«Мистицизм и логика»

В начале алгебры даже самый умный ребенок, как правило, находит очень большие трудности. Использование букв — это тайна, которая, кажется, не имеет никакой цели, кроме мистификации. Почти невозможно поначалу не думать, что каждая буква означает какое-то конкретное число, если бы только учитель раскрыл, какое число она означает. Факт в том, что в алгебре ум впервые учится рассматривать общие истины, истины, которые не утверждаются как справедливые только для той или иной конкретной вещи, а для любой из целой группы вещей. Именно в способности понимать и открывать такие истины заключается господство интеллекта над всем миром вещей актуальных и возможных; и способность иметь дело с общим как таковым — это один из даров, который должно даровать математическое образование. Но как мало, как правило, учитель алгебры способен объяснить пропасть, которая отделяет ее от арифметики, и как мало ученику помогают в его попытках понимания! Обычно метод, который был принят в арифметике, продолжается: правила излагаются без адекватного объяснения их оснований; ученик учится использовать правила вслепую, и вскоре, когда он способен получить ответ, который желает учитель, он чувствует, что овладел трудностями предмета. Но внутреннего понимания используемых процессов он, вероятно, приобрел почти ничего.

Когда алгебра изучена, все идет гладко, пока мы не доходим до тех исследований, в которых используется понятие бесконечности — исчисление бесконечно малых и вся высшая математика. Решение трудностей, которые ранее окружали математическую бесконечность, является, вероятно, величайшим достижением, которым может похвастаться наша собственная эпоха. С начала греческой мысли эти трудности были известны; в каждую эпоху лучшие умы тщетно пытались ответить на, казалось бы, неразрешимые вопросы, которые были заданы Зеноном Элейским. Наконец, Георг Кантор нашел ответ и завоевал для интеллекта новую и обширную провинцию, которая была отдана Хаосу и древней Ночи. Считалось самоочевидным, пока Кантор и Дедекинд не установили обратное, что если из любой совокупности вещей некоторые были взяты, число оставшихся вещей всегда должно быть меньше исходного числа вещей. Это предположение, на самом деле, справедливо только для конечных совокупностей; и отказ от него, когда речь идет о бесконечном, как было показано, устраняет все трудности, которые до сих пор сбивали с толку человеческий разум в этом вопросе, и делает возможным создание точной науки о бесконечном. Этот колоссальный факт должен произвести революцию в высшем преподавании математики; он сам по себе неизмеримо увеличил образовательную ценность предмета, и он, наконец, дал средства для обращения с логической точностью со многими исследованиями, которые до недавнего времени были окутаны заблуждениями и неясностью. Теми, кто получил образование по старым канонам, новая работа считается пугающе сложной, абстрактной и неясной; и следует признать, что сам первооткрыватель, как это часто бывает, едва ли сам вышел из тумана, который рассеивает свет его интеллекта. Но по своей сути новая доктрина бесконечности для всех искренних и пытливых умов облегчила овладение высшей математикой; ибо до сих пор было необходимо учиться, путем долгого процесса софистики, давать согласие на аргументы, которые при первом знакомстве справедливо считались запутанными и ошибочными. Далекое от того, чтобы порождать бесстрашную веру в разум, смелый отказ от всего, что не смогло выполнить строжайшие требования логики, математическое обучение в течение последних двух столетий поощряло веру в то, что многие вещи, которые жесткое исследование отвергло бы как ошибочные, должны быть приняты, потому что они работают в том, что математик называет «практикой». Этим средством был воспитан робкий, компромиссный дух, или же священническая вера в тайны, не понятные профанам, там, где должен был править только разум. Все это теперь пора смести; пусть те, кто желает проникнуть в тайны математики, будут обучены сразу истинной теории во всей ее логической чистоте и в конкатенации, установленной самой сущностью рассматриваемых сущностей.

Если мы рассматриваем математику как самоцель, а не как техническую подготовку для инженеров, очень желательно сохранить чистоту и строгость ее рассуждений. Соответственно, те, кто достиг достаточного знакомства с ее более легкими частями, должны быть ведомы назад от предложений, на которые они дали согласие как на самоочевидные, к все более и более фундаментальным принципам, из которых то, что ранее казалось предпосылками, может быть выведено. Их следует учить — что теория бесконечности очень удачно иллюстрирует — что многие предложения кажутся самоочевидными для нетренированного ума, которые, тем не менее, более пристальный взгляд показывает ложными. Этим средством они будут приведены к скептическому исследованию первых принципов, изучению оснований, на которых построено все здание рассуждения, или, чтобы взять, возможно, более подходящую метафору, великий ствол, из которого растут раскидистые ветви. На этом этапе хорошо изучить заново элементарные части математики, спрашивая уже не просто, является ли данное предложение истинным, но также как оно вырастает из центральных принципов логики. Вопросы такого рода теперь могут быть решены с точностью и уверенностью, которые ранее были совершенно невозможны; и в цепях рассуждений, которые требует ответ, единство всех математических исследований наконец раскрывается.

В подавляющем большинстве математических учебников наблюдается полное отсутствие единства в методе и систематического развития центральной темы. Предложения самых разных видов доказываются любыми средствами, которые считаются наиболее легко понятными, и много места уделяется простым курьезам, которые никоим образом не способствуют основному аргументу. Но в величайших работах единство и неизбежность ощущаются как в развертывании драмы; в предпосылках предлагается тема для рассмотрения, и на каждом последующем шаге делается определенный прогресс к овладению ее природой. Любовь к системе, к взаимосвязи, которая, возможно, является самой внутренней сущностью интеллектуального импульса, может найти свободную игру в математике, как нигде больше. Ученик, который чувствует этот импульс, не должен быть оттолкнут массивом бессмысленных примеров или отвлечен забавными странностями, но должен быть поощрен останавливаться на центральных принципах, становиться знакомым со структурой различных предметов, которые представлены перед ним, легко путешествовать по ступеням более важных дедукций. Таким образом культивируется хороший тон ума, и избирательное внимание приучается останавливаться предпочтительно на том, что является весомым и существенным.

Когда отдельные исследования, на которые разделена математика, были рассмотрены каждое как логическое целое, как естественный рост из предложений, которые составляют их принципы, ученик сможет понять фундаментальную науку, которая объединяет и систематизирует все дедуктивное рассуждение. Это символическая логика — исследование, которое, хотя оно обязано своим началом Аристотелю, является, тем не менее, в своих более широких разработках продуктом почти полностью девятнадцатого века и, действительно, в настоящее время все еще растет с большой скоростью. Истинный метод открытия в символической логике, и, вероятно, также лучший метод для введения исследования ученику, знакомому с другими частями математики, — это анализ фактических примеров дедуктивного рассуждения с целью открытия используемых принципов. Эти принципы, по большей части, настолько встроены в наши рассудочные инстинкты, что они используются совершенно бессознательно и могут быть вытащены на свет только с большим терпеливым усилием. Но когда, наконец, они были найдены, они оказываются немногочисленными и единственным источником всего в чистой математике. Открытие того, что вся математика следует неизбежно из небольшой коллекции фундаментальных законов, — это открытие, которое неизмеримо усиливает интеллектуальную красоту целого; для тех, кто был подавлен фрагментарным и неполным характером большинства существующих цепей дедукции, это открытие приходит со всей подавляющей силой откровения; подобно дворцу, возникающему из осеннего тумана, когда путешественник поднимается на итальянский склон холма, величественные этажи математического здания появляются в их должном порядке и пропорции, с новым совершенством в каждой части.

Пока символическая логика не приобрела свое нынешнее развитие, принципы, от которых зависит математика, всегда предполагались философскими и обнаруживаемыми только неопределенными, непрогрессивными методами, до сих пор используемыми философами. Пока так думали, математика казалась не автономной, а зависимой от исследования, которое имело совершенно другие методы, чем свои собственные. Более того, поскольку природа постулатов, из которых арифметика, анализ и геометрия должны быть выведены, была окутана всеми традиционными неясностями метафизической дискуссии, здание, построенное на таких сомнительных основаниях, начало рассматриваться не лучше, чем замок в воздухе. В этом отношении открытие того, что истинные принципы являются такой же частью математики, как и любые их следствия, очень сильно увеличило интеллектуальное удовлетворение, которое можно получить. В этом удовлетворении не следует отказывать ученикам, способным наслаждаться им, ибо оно такого рода, чтобы увеличить наше уважение к человеческим силам и наше знание красот, принадлежащих абстрактному миру.

Философы обычно придерживались мнения, что законы логики, которые лежат в основе математики, являются законами мысли, законами, регулирующими операции наших умов. Этим мнением истинное достоинство разума очень сильно занижается: он перестает быть исследованием самого сердца и неизменной сущности всех вещей актуальных и возможных, становясь, вместо этого, исследованием чего-то более или менее человеческого и подверженного нашим ограничениям. Созерцание того, что является нечеловеческим, открытие того, что наши умы способны иметь дело с материалом, не созданным ими, прежде всего, осознание того, что красота принадлежит внешнему миру так же, как и внутреннему, являются главными средствами преодоления ужасного чувства бессилия, слабости, изгнания среди враждебных сил, которое слишком склонно возникать из признания почти всемогущества чуждых сил. Примирить нас, путем демонстрации своей ужасной красоты, с правлением Судьбы — которая является лишь литературной персонификацией этих сил — есть задача трагедии. Но математика уводит нас еще дальше от того, что является человеческим, в область абсолютной необходимости, которой не только актуальный мир, но и каждый возможный мир должен соответствовать; и даже здесь она строит жилище, или, скорее, находит жилище, вечно стоящее, где наши идеалы полностью удовлетворены и наши лучшие надежды не сорваны. Только когда мы полностью понимаем всю независимость от нас самих, которая принадлежит этому миру, который находит разум, мы можем адекватно осознать глубокую важность его красоты.

Математика не только независима от нас и наших мыслей, но в другом смысле мы и вся вселенная существующих вещей независимы от математики. Постижение этого чисто идеального характера является необходимым, если мы хотим правильно понять место математики как одного из искусств. Ранее предполагалось, что чистый разум может решать, в некоторых отношениях, о природе актуального мира: геометрия, по крайней мере, считалась имеющей дело с пространством, в котором мы живем. Но мы теперь знаем, что чистая математика никогда не может выносить суждения о вопросах актуального существования: мир разума, в некотором смысле, контролирует мир фактов, но он ни в какой точке не является творцом фактов, и в применении своих результатов к миру во времени и пространстве его определенность и точность теряются среди приближений и рабочих гипотез. Объекты, рассматриваемые математиками, в прошлом были в основном такого рода, который был предложен явлениями; но от таких ограничений абстрактное воображение должно быть полностью свободно. Взаимная свобода должна быть таким образом предоставлена: разум не может диктовать миру фактов, но факты не могут ограничивать привилегию разума иметь дело с любыми объектами, которые его любовь к красоте может заставить казаться достойными рассмотрения. Здесь, как и везде, мы строим наши собственные идеалы из фрагментов, которые можно найти в мире; и в конце трудно сказать, является ли результат творением или открытием.

Очень желательно в обучении не просто убеждать студента в точности важных теорем, но убеждать его способом, который сам по себе имеет, из всех возможных способов, наибольшую красоту. Истинный интерес демонстрации не, как предполагают традиционные способы изложения, сосредоточен полностью в результате; где это действительно происходит, это должно рассматриваться как дефект, который нужно исправить, если возможно, путем такого обобщения шагов доказательства, что каждый становится важным в и для себя. Аргумент, который служит только для доказательства заключения, подобен истории, подчиненной какой-то морали, которую она призвана преподать: для эстетического совершенства никакая часть целого не должна быть просто средством. Определенный практический дух, желание быстрого прогресса, завоевания новых сфер, ответственен за чрезмерный акцент на результатах, который преобладает в математическом обучении. Лучший способ — предложить некоторую тему для рассмотрения — в геометрии, фигуру, имеющую важные свойства; в анализе, функцию, изучение которой является поучительным, и так далее. Всякий раз, когда доказательства зависят от некоторых только из признаков, которыми мы определяем объект для изучения, эти признаки должны быть изолированы и исследованы на их собственный счет. Ибо это дефект в аргументе — использовать больше предпосылок, чем требует заключение: то, что математики называют элегантностью, является результатом использования только существенных принципов, в силу которых тезис является истинным. Это заслуга Евклида, что он продвигается так далеко, как он способен идти, не используя аксиому параллельных — не, как часто говорят, потому что эта аксиома по своей сути является нежелательной, а потому что в математике каждая новая аксиома уменьшает общность результирующих теорем, и наибольшая возможная общность должна быть прежде всего искомой.

Об эффектах математики вне ее собственной сферы было написано больше, чем на тему ее собственного надлежащего идеала. Эффект на философию был в прошлом наиболее заметным, но наиболее разнообразным; в семнадцатом веке идеализм и рационализм, в восемнадцатом — материализм и сенсуализм казались одинаково ее отпрысками. Об эффекте, который она, вероятно, будет иметь в будущем, было бы очень опрометчиво говорить много; но в одном отношении хороший результат кажется вероятным. Против того вида скептицизма, который оставляет стремление к идеалам, потому что путь труден, а цель не является определенно достижимой, математика, в пределах своей собственной сферы, является полным ответом. Слишком часто говорят, что нет абсолютной истины, а только мнение и личное суждение; что каждый из нас обусловлен, в своем взгляде на мир, своими собственными особенностями, своим собственным вкусом и предвзятостью; что нет внешнего царства истины, в которое, путем терпения и дисциплины, мы можем наконец получить допуск, а только истина для меня, для вас, для каждого отдельного человека. Этим образом мыслей одна из главных целей человеческого усилия отрицается, и высшая добродетель искренности, бесстрашного признания того, что есть, исчезает из нашего морального видения. От такого скептицизма математика является постоянным упреком; ибо ее здание истин стоит непоколебимо и неприступно для всех видов оружия сомневающегося цинизма.

Эффекты математики на практическую жизнь, хотя их не следует рассматривать как мотив наших исследований, могут быть использованы для ответа на сомнение, которому одинокий студент должен всегда быть подвержен. В мире, столь полном зла и страданий, уход в монастырь созерцания, к наслаждению удовольствиями, которые, как бы благородны они ни были, должны всегда быть только для немногих, не может не казаться несколько эгоистичным отказом разделить бремя, наложенное на других случайностями, в которых справедливость не играет никакой роли. Имеет ли кто-либо из нас право, спрашиваем мы, отстраниться от нынешних зол, оставить наших ближних без помощи, пока мы живем жизнью, которая, хотя трудна и сурова, все же явно хороша по своей собственной природе? Когда возникают эти вопросы, истинный ответ, несомненно, заключается в том, что некоторые должны поддерживать священный огонь, некоторые должны сохранять, в каждом поколении, преследующее видение, которое очерчивает цель столь многих стремлений. Но когда, как иногда должно случаться, этот ответ кажется слишком холодным, когда мы почти обезумели от зрелища скорбей, которым мы не приносим помощи, тогда мы можем поразмыслить, что косвенно математик часто делает больше для человеческого счастья, чем любой из его более практически активных современников. История науки обильно доказывает, что совокупность абстрактных предложений — даже если, как в случае конических сечений, она остается две тысячи лет без эффекта на повседневную жизнь — может все же, в любой момент, быть использована для того, чтобы вызвать революцию в привычных мыслях и занятиях каждого гражданина. Использование пара и электричества — чтобы взять поразительные примеры — становится возможным только благодаря математике. В результатах абстрактной мысли мир обладает капиталом, использование которого в обогащении общего круга не имеет до сих пор обнаружимых пределов. Не дает опыт и никаких средств для решения того, какие части математики будут найдены полезными. Полезность, следовательно, может быть только утешением в моменты разочарования, а не руководством в направлении наших исследований.

Для здоровья моральной жизни, для облагораживания тона эпохи или нации, более суровые добродетели имеют странную силу, превосходящую силу тех, что не информированы и не очищены мыслью. Из этих более суровых добродетелей любовь к истине является главной, и в математике, больше, чем где-либо еще, любовь к истине может найти ободрение для угасающей веры. Каждое великое исследование является не только самоцелью, но и средством создания и поддержания возвышенной привычки ума; и эта цель должна быть сохранена всегда в поле зрения на протяжении преподавания и изучения математики.

ПРИМЕЧАНИЯ:

[10] На этот отрывок мне указал профессор Гилберт Мюррей.

V

МАТЕМАТИКА И МЕТАФИЗИКИ

Девятнадцатый век, который гордился изобретением пара и эволюции, мог бы извлечь более законное право на славу из открытия чистой математики. Эта наука, как и большинство других, была крещена задолго до того, как она родилась; и таким образом мы находим писателей до девятнадцатого века, ссылающихся на то, что они называли чистой математикой. Но если бы их спросили, что это за предмет, они смогли бы только сказать, что он состоит из Арифметики, Алгебры, Геометрии и так далее. Относительно того, что эти исследования имели общего, и относительно того, что отличало их от прикладной математики, наши предки были полностью в темноте.

Чистая математика была открыта Булем в работе, которую он назвал Законы Мысли (1854). Эта работа изобилует утверждениями, что она не является математической, факт в том, что Буль был слишком скромен, чтобы предположить, что его книга — первая, когда-либо написанная по математике. Он также ошибался, предполагая, что имеет дело с законами мысли: вопрос о том, как люди на самом деле думают, был совершенно нерелевантен для него, и если бы его книга действительно содержала законы мысли, было бы любопытно, что никто никогда не думал таким образом раньше. Его книга была на самом деле посвящена формальной логике, и это то же самое, что математика.

Чистая математика состоит полностью из утверждений о том, что, если такое-то предложение верно для чего-либо, то такое-то другое предложение верно для этой вещи. Существенно не обсуждать, является ли первое предложение действительно истинным, и не упоминать, что это за «что-либо», о котором предполагается, что оно истинно. Оба эти пункта принадлежали бы прикладной математике. Мы начинаем, в чистой математике, с определенных правил вывода, с помощью которых мы можем вывести, что если одно предложение истинно, то истинно и какое-то другое предложение. Эти правила вывода составляют большую часть принципов формальной логики. Мы затем берем любую гипотезу, которая кажется забавной, и выводим ее следствия. Если наша гипотеза о чем-либо, а не об одной или нескольких конкретных вещах, то наши дедукции составляют математику. Таким образом, математика может быть определена как предмет, в котором мы никогда не знаем, о чем мы говорим, ни верно ли то, что мы говорим. Люди, которые были озадачены началами математики, я надеюсь, найдут утешение в этом определении и, вероятно, согласятся, что оно точное.

Поскольку один из главных триумфов современной математики заключается в том, что она обнаружила, чем математика является на самом деле, несколько слов на эту тему могут быть не лишними. Обычно начинают любую ветвь математики — например, Геометрию — с определенного количества примитивных идей, предполагаемых неспособными к определению, и определенного количества примитивных предложений или аксиом, предполагаемых неспособными к доказательству. Теперь факт в том, что, хотя есть неопределяемые и недоказуемые в каждой ветви прикладной математики, их нет в чистой математике, кроме тех, которые принадлежат общей логике. Логика, в широком смысле, отличается тем фактом, что ее предложения могут быть приведены в форму, в которой они применяются к чему угодно. Вся чистая математика — Арифметика, Анализ и Геометрия — построена комбинациями примитивных идей логики, и ее предложения выведены из общих аксиом логики, таких как силлогизм и другие правила вывода. И это больше не мечта или стремление. Напротив, по большей и более сложной части области математики это уже было достигнуто; в немногих оставшихся случаях нет особой сложности, и это теперь быстро достигается. Философы спорили веками, была ли такая дедукция возможна; математики сели и сделали дедукцию. Для философов теперь не осталось ничего, кроме изящных признаний.

Предмет формальной логики, который таким образом наконец показал себя идентичным математике, был, как все знают, изобретен Аристотелем и составлял главное исследование (кроме теологии) Средних веков. Но Аристотель никогда не выходил за пределы силлогизма, который является очень малой частью предмета, а схоласты никогда не выходили за пределы Аристотеля. Если бы потребовалось какое-либо доказательство нашего превосходства над средневековыми докторами, его можно было бы найти в этом. На протяжении Средних веков почти все лучшие умы посвящали себя формальной логике, тогда как в девятнадцатом веке лишь бесконечно малая доля мировой мысли уходила в этот предмет. Тем не менее, в каждом десятилетии с 1850 года было сделано больше для продвижения предмета, чем за весь период от Аристотеля до Лейбница. Люди обнаружили, как сделать рассуждение символическим, как это в Алгебре, так что дедукции осуществляются математическими правилами. Они обнаружили много правил помимо силлогизма, и новая ветвь логики, называемая Логикой Отношений [11], была изобретена для обращения с темами, которые полностью превосходили силы старой логики, хотя они составляют главное содержание математики.

Нелегко для обывательского ума осознать важность символизма в обсуждении оснований математики, и объяснение может, возможно, показаться странно парадоксальным. Факт в том, что символизм полезен, потому что он делает вещи трудными. (Это неверно для продвинутых частей математики, а только для начал.) Что мы хотим знать, это что может быть выведено из чего. Теперь, в началах, все самоочевидно; и очень трудно увидеть, следует ли одно самоочевидное предложение из другого или нет. Очевидность — всегда враг правильности. Следовательно, мы изобретаем некоторый новый и трудный символизм, в котором ничто не кажется очевидным. Затем мы устанавливаем определенные правила для оперирования символами, и все становится механическим. Таким образом мы выясняем, что должно быть принято как предпосылка и что может быть продемонстрировано или определено. Например, вся Арифметика и Алгебра, как было показано, требуют трех неопределяемых понятий и пяти недоказуемых предложений. Но без символизма было бы очень трудно это выяснить. Это так очевидно, что дважды два — четыре, что мы едва можем сделать себя достаточно скептичными, чтобы сомневаться, может ли это быть доказано. И то же самое верно в других случаях, где самоочевидные вещи должны быть доказаны.

Однако доказательство самоочевидных положений может показаться непосвященным несколько легкомысленным занятием. На это мы могли бы ответить, что зачастую отнюдь не самоочевидно, что одно очевидное положение вытекает из другого очевидного положения; таким образом, мы действительно открываем новые истины, когда доказываем то, что очевидно, методом, который не является очевидным. Но еще более интересный ответ заключается в том, что с тех пор, как люди пытались доказать очевидные положения, они обнаружили, что многие из них ложны. Самоочевидность часто бывает лишь блуждающим огоньком, который непременно заведет нас в тупик, если мы возьмем его в качестве своего проводника. Например, нет ничего яснее того, что целое всегда имеет больше членов, чем часть, или что число увеличивается при прибавлении к нему единицы. Но теперь известно, что эти положения обычно ложны. Большинство чисел бесконечны, и если число бесконечно, вы можете прибавлять к нему единицы сколько угодно, нисколько его не нарушая. Одно из достоинств доказательства состоит в том, что оно внушает определенное сомнение в отношении доказанного результата; и когда то, что очевидно, может быть доказано в одних случаях, но не в других, становится возможным предположить, что в этих других случаях оно ложно.

Великим мастером искусства формальных рассуждений среди наших современников является итальянец, профессор Пеано из Туринского университета. Он свел большую часть математики (а он или его последователи со временем сведут ее всю) к строгой символической форме, в которой вообще нет слов. В обычных математических книгах, несомненно, меньше слов, чем хотелось бы большинству читателей. Тем не менее, встречаются небольшие фразы, такие как «следовательно», «допустим», «рассмотрим» или «отсюда следует». Все это, однако, является уступкой, и профессор Пеано отбрасывает их. Например, если мы хотим изучить всю арифметику, алгебру, исчисление и, действительно, все то, что обычно называют чистой математикой (за исключением геометрии), мы должны начать со словаря из трех слов. Один символ означает «ноль», другой — «число», а третий — «следующий за». Что означают эти идеи, необходимо знать, если вы хотите стать арифметиком. Но после того, как были изобретены символы для этих трех идей, во всем дальнейшем развитии не требуется ни одного слова. Все будущие символы символически объясняются с помощью этих трех. Даже эти три можно объяснить с помощью понятий «отношение» и «класс»; но это требует логики отношений, которой профессор Пеано никогда не занимался. Следует признать, что то, что математик должен знать для начала, — это немного. Существует не более дюжины понятий, из которых составлены все понятия всей чистой математики (включая геометрию). Профессор Пеано, которому помогает очень способная школа молодых итальянских учеников, показал, как это можно сделать; и хотя метод, который он изобрел, способен быть развит гораздо дальше, чем он его развил, честь первопроходца должна принадлежать ему.

Двести лет назад Лейбниц предвидел науку, которую усовершенствовал Пеано, и пытался ее создать. Ему помешало добиться успеха уважение к авторитету Аристотеля, которого он не мог считать виновным в определенных формальных логических ошибках; но предмет, который он хотел создать, теперь существует, несмотря на покровительственное презрение, с которым ко всем его схемам относились все «высшие» лица. От этой «Универсальной характеристики», как он ее называл, он ожидал решения всех проблем и конца всех споров. «Если бы возникли разногласия, — говорит он, — то не было бы больше нужды в диспутах между двумя философами, чем между двумя бухгалтерами. Ибо достаточно было бы взять перья в руки, сесть за свои столы и сказать друг другу (с другом в качестве свидетеля, если им угодно): «Давайте посчитаем». Этот оптимизм теперь представляется несколько чрезмерным; все еще существуют проблемы, решение которых сомнительно, и споры, которые расчет не может решить. Но на огромном поле того, что раньше было спорным, мечта Лейбница стала трезвым фактом. Во всей философии математики, которая раньше была по меньшей мере такой же полной сомнений, как и любая другая часть философии, порядок и определенность заменили путаницу и нерешительность, которые царили ранее. Философы, конечно, еще не открыли этот факт и продолжают писать на такие темы по-старому. Но математики, по крайней мере в Италии, теперь имеют возможность рассматривать принципы математики точным и мастерским образом, благодаря чему определенность математики распространяется и на математическую философию. Следовательно, многие темы, которые раньше относились к великим тайнам — например, природа бесконечности, непрерывности, пространства, времени и движения, — теперь уже ни в малейшей степени не открыты для сомнений или обсуждений. Те, кто хочет знать природу этих вещей, должны лишь прочитать работы таких людей, как Пеано или Георг Кантор; они найдут там точные и несомненные изложения всех этих бывших тайн.

В этом капризном мире нет ничего более капризного, чем посмертная слава. Одним из самых примечательных примеров отсутствия суждения у потомства является элеец Зенон. Этот человек, которого можно считать основателем философии бесконечности, появляется в «Пармениде» Платона в привилегированном положении наставника Сократа. Он изобрел четыре аргумента, все неизмеримо тонкие и глубокие, чтобы доказать, что движение невозможно, что Ахиллес никогда не сможет догнать черепаху и что летящая стрела на самом деле находится в покое. После того как они были опровергнуты Аристотелем и каждым последующим философом с того дня до наших дней, эти аргументы были восстановлены и положены в основу математического возрождения немецким профессором, который, вероятно, никогда не мечтал о какой-либо связи между собой и Зеноном. Вейерштрасс, строго изгнав из математики использование бесконечно малых, наконец показал, что мы живем в неизменном мире и что летящая стрела действительно находится в покое. Единственная ошибка Зенона заключалась в том, что он сделал вывод (если он его сделал), что, поскольку не существует такого состояния, как изменение, то мир находится в одном и том же состоянии в любое время, как и в любое другое. Это следствие, которое отнюдь не вытекает из сказанного; и в этом отношении немецкий математик более конструктивен, чем изобретательный грек. Вейерштрасс смог, воплотив свои взгляды в математике, где знакомство с истиной устраняет вульгарные предрассудки здравого смысла, придать парадоксам Зенона респектабельный вид банальностей; и если результат менее восхитителен для любителя разума, чем смелый вызов Зенона, то, во всяком случае, он более рассчитан на то, чтобы успокоить массу академического человечества.

Зенон, по сути, занимался тремя проблемами, каждая из которых представлена движением, но каждая более абстрактна, чем движение, и способна к чисто арифметической обработке. Это проблемы бесконечно малого, бесконечного и непрерывности. Ясно сформулировать связанные с этим трудности — значит выполнить, пожалуй, самую трудную часть задачи философа. Это было сделано Зеноном. С его времен до наших дней лучшие умы каждого поколения по очереди атаковали эти проблемы, но, говоря в широком смысле, ничего не достигли. В наше время, однако, три человека — Вейерштрасс, Дедекинд и Кантор — не просто продвинули эти три проблемы, но полностью решили их. Решения для тех, кто знаком с математикой, настолько ясны, что не оставляют больше ни малейшего сомнения или трудности. Это достижение, вероятно, самое великое, которым может похвастаться наш век; и я не знаю ни одного века (кроме, пожалуй, золотого века Греции), который мог бы предложить более убедительное доказательство трансцендентного гения своих великих людей. Из трех проблем проблема бесконечно малого была решена Вейерштрассом; решение двух других было начато Дедекиндом и окончательно завершено Кантором.

Бесконечно малое раньше играло большую роль в математике. Оно было введено греками, которые рассматривали круг как бесконечно мало отличающийся от многоугольника с очень большим числом очень маленьких равных сторон. Оно постепенно росло в значении, пока, когда Лейбниц изобрел исчисление бесконечно малых, оно не стало казаться фундаментальным понятием всей высшей математики. Карлейль рассказывает в своем «Фридрихе Великом», как Лейбниц беседовал с королевой Пруссии Софией Шарлоттой о бесконечно малом и как она отвечала, что в этом предмете она не нуждается в наставлениях — поведение придворных сделало ее полностью знакомой с ним. Но философы и математики, которые по большей части были менее знакомы с дворами, продолжали обсуждать эту тему, хотя и не делая никакого прогресса. Исчисление требовало непрерывности, а непрерывность, как предполагалось, требовала бесконечно малого; но никто не мог обнаружить, что такое бесконечно малое. Оно явно было не совсем нулем, потому что достаточно большое число бесконечно малых, сложенных вместе, как видели, составляло конечное целое. Но никто не мог указать на какую-либо дробь, которая не была бы нулем и при этом не была бы конечной. Таким образом, возник тупик. Но наконец Вейерштрасс обнаружил, что бесконечно малое вообще не нужно и что все можно выполнить без него. Таким образом, больше не было необходимости предполагать, что такая вещь существует. Поэтому в наши дни математики более солидны, чем Лейбниц: вместо того чтобы говорить о бесконечно малом, они говорят о бесконечно большом — предмете, который, как бы он ни подходил монархам, к сожалению, интересует их даже меньше, чем бесконечно малое интересовало монархов, с которыми беседовал Лейбниц.

Изгнание бесконечно малого имеет всякого рода странные последствия, к которым приходится постепенно привыкать. Например, не существует такого понятия, как «следующий момент». Интервал между одним моментом и следующим должен был бы быть бесконечно малым, поскольку, если мы возьмем два момента с конечным интервалом между ними, в этом интервале всегда есть другие моменты. Таким образом, если не должно быть бесконечно малых, никакие два момента не являются вполне последовательными, но между любыми двумя всегда есть другие моменты. Следовательно, между любыми двумя моментами должно быть бесконечное число моментов; потому что если бы их было конечное число, один из них был бы ближе всего к первому из двух моментов и, следовательно, следующим за ним. Это можно было бы счесть трудностью; но, по сути, именно здесь вступает философия бесконечного и все расставляет по своим местам.

То же самое происходит и в пространстве. Если разрезать любой кусок материи пополам, а затем каждую часть пополам и так далее, кусочки будут становиться все меньше и меньше и теоретически могут быть сделаны сколь угодно малыми. Как бы малы они ни были, их все равно можно разрезать и сделать еще меньше. Но они всегда будут иметь какой-то конечный размер, как бы малы они ни были. Мы никогда не достигнем бесконечно малого таким путем, и никакое конечное число делений не приведет нас к точкам. Тем не менее точки существуют, только их нельзя достичь последовательными делениями. Здесь опять же философия бесконечного показывает нам, как это возможно и почему точки не являются бесконечно малыми отрезками.

Что касается движения и изменения, мы получаем аналогично любопытные результаты. Люди раньше думали, что когда вещь меняется, она должна находиться в состоянии изменения, а когда вещь движется, она находится в состоянии движения. Теперь известно, что это ошибка. Когда тело движется, можно сказать лишь то, что оно находится в одном месте в одно время и в другом — в другое. Мы не должны говорить, что в следующий момент оно будет в соседнем месте, поскольку нет никакого «следующего момента». Философы часто говорят нам, что когда тело находится в движении, оно меняет свое положение внутри момента. На этот взгляд Зенон давно дал роковой ответ, что каждое тело всегда находится там, где оно есть; но ответ столь простой и краткий не был тем, которому философы привыкли придавать вес, и они продолжали вплоть до наших дней повторять те же фразы, которые вызывали разрушительный пыл элейца. Лишь недавно стало возможным объяснить движение в деталях в соответствии с банальностью Зенона и в противовес парадоксу философа. Мы можем теперь наконец предаться утешительному убеждению, что движущееся тело так же истинно находится там, где оно есть, как и тело в покое. Движение состоит лишь в том факте, что тела иногда находятся в одном месте, а иногда в другом, и что они находятся в промежуточных местах в промежуточное время. Только те, кто прошел через трясину философских спекуляций на эту тему, могут осознать, какое освобождение от античных предрассудков заключено в этой простой и прямолинейной банальности.

Философия бесконечно малого, как мы только что видели, в основном негативна. Люди раньше верили в нее, а теперь обнаружили свою ошибку. Философия бесконечного, с другой стороны, полностью позитивна. Раньше предполагалось, что бесконечные числа и математическое бесконечное в целом противоречивы. Но поскольку было очевидно, что существуют бесконечности — например, число чисел, — противоречия бесконечности казались неизбежными, и философия, казалось, забрела в «тупик». Эта трудность привела к антиномиям Канта и, следовательно, более или менее косвенно, ко многому из диалектического метода Гегеля. Почти вся современная философия опрокинута тем фактом (о котором очень немногие философы пока знают), что все древние и почтенные противоречия в понятии бесконечного были раз и навсегда устранены. Метод, с помощью которого это было сделано, весьма интересен и поучителен. Во-первых, хотя люди легкомысленно говорили о бесконечности с самого начала греческой мысли, никто никогда не задумывался над вопросом: «Что такое бесконечность?». Если бы любого философа попросили дать определение бесконечности, он мог бы выдать какую-нибудь непонятную бессмыслицу, но он, безусловно, не смог бы дать определение, которое имело бы хоть какой-то смысл. Примерно двадцать лет назад Дедекинд и Кантор задали этот вопрос и, что более примечательно, ответили на него. То есть они нашли совершенно точное определение бесконечного числа или бесконечной совокупности вещей. Это был первый и, пожалуй, самый важный шаг. Затем оставалось исследовать предполагаемые противоречия в этом понятии. Здесь Кантор действовал единственно правильным способом. Он взял пары противоречивых положений, в которых обе стороны противоречия обычно считались доказуемыми, и строго исследовал предполагаемые доказательства. Он обнаружил, что все доказательства, направленные против бесконечности, включают в себя определенный принцип, на первый взгляд очевидно истинный, но разрушительный по своим последствиям почти для всей математики. Доказательства же в пользу бесконечности, с другой стороны, не включали никакого принципа, который имел бы пагубные последствия. Таким образом, оказалось, что здравый смысл позволил обмануть себя обманчивой максимой и что, как только эта максима была отвергнута, все пошло хорошо.

Рассматриваемая максима заключается в том, что если одна совокупность является частью другой, то та, которая является частью, имеет меньше членов, чем та, частью которой она является. Эта максима верна для конечных чисел. Например, англичане — лишь некоторые среди европейцев, и англичан меньше, чем европейцев. Но когда мы переходим к бесконечным числам, это уже неверно. Этот крах максимы дает нам точное определение бесконечности. Совокупность членов бесконечна, когда она содержит в качестве частей другие совокупности, которые имеют столько же членов, сколько и она сама. Если вы можете убрать некоторые члены совокупности, не уменьшая числа членов, то в совокупности имеется бесконечное число членов. Например, четных чисел столько же, сколько чисел вообще, поскольку каждое число можно удвоить. Это можно увидеть, поместив нечетные и четные числа вместе в один ряд, а четные числа отдельно в ряд ниже:

1, 2, 3, 4, 5, ad infinitum. 2, 4, 6, 8, 10, ad infinitum.

В ряду ниже очевидно столько же чисел, сколько в ряду выше, потому что на каждое число сверху приходится одно снизу. Это свойство, которое раньше считалось противоречием, теперь превращено в безвредное определение бесконечности и показывает в вышеприведенном случае, что количество конечных чисел бесконечно.

Но непосвященные могут задаться вопросом, как можно иметь дело с числом, которое нельзя сосчитать. Невозможно пересчитать все числа одно за другим, потому что, сколько бы мы ни считали, всегда есть еще числа, которые последуют за ними. Дело в том, что счет — это очень вульгарный и элементарный способ выяснить, сколько членов в совокупности. И в любом случае счет дает нам то, что математики называют порядковым числом наших членов; то есть он располагает наши члены в порядке или ряду, и его результат говорит нам, какой тип ряда получается из этого расположения. Другими словами, невозможно считать вещи, не считая что-то первым, а другое — потом, так что счет всегда имеет дело с порядком. Теперь, когда имеется только конечное число членов, мы можем считать их в любом порядке, каком захотим; но когда их бесконечное число, то, что соответствует счету, даст нам совершенно разные результаты в зависимости от того, как мы выполняем операцию. Таким образом, порядковое число, которое получается из того, что в общем смысле можно назвать счетом, зависит не только от того, сколько у нас членов, но также (там, где число членов бесконечно) от того, как эти члены расположены.

Фундаментальные бесконечные числа не являются порядковыми, а являются тем, что называется кардинальными. Они получаются не путем упорядочивания наших членов и их счета, а другим методом, который говорит нам, во-первых, имеют ли две совокупности одинаковое число членов или, если нет, какая из них больше. Он не говорит нам, в том смысле, в каком это делает счет, какое число членов имеет совокупность; но если мы определим число как число членов в такой-то совокупности, то этот метод позволит нам обнаружить, имеет ли какая-то другая совокупность, о которой может идти речь, больше или меньше членов. Иллюстрация покажет, как это делается. Если бы существовала какая-то страна, в которой по той или иной причине было невозможно провести перепись, но в которой было известно, что у каждого мужчины есть жена, а у каждой женщины — муж, тогда (при условии, что многоженство не было национальным институтом) мы знали бы без счета, что в этой стране было ровно столько же мужчин, сколько женщин, ни больше, ни меньше. Этот метод можно применять повсеместно. Если существует некоторое отношение, которое, подобно браку, связывает вещи в одной совокупности каждую с одной из вещей в другой совокупности и наоборот, то эти две совокупности имеют одинаковое число членов. Именно так мы обнаружили, что четных чисел столько же, сколько чисел вообще. Каждое число можно удвоить, и каждое четное число можно разделить пополам, и каждый процесс дает ровно одно число, соответствующее тому, которое удваивается или делится пополам. И таким образом мы можем найти любое количество совокупностей, каждая из которых имеет столько же членов, сколько существует конечных чисел. Если каждый член совокупности может быть «зацеплен» за число, и все конечные числа используются один раз и только один раз в этом процессе, то наша совокупность должна иметь столько же членов, сколько существует конечных чисел. Это общий метод, с помощью которого определяются числа бесконечных совокупностей.

Но не следует полагать, что все бесконечные числа равны. Напротив, бесконечных чисел бесконечно больше, чем конечных. Существует больше способов расположения конечных чисел в различных типах рядов, чем самих конечных чисел. Вероятно, в пространстве больше точек и во времени больше моментов, чем конечных чисел. Дробей ровно столько же, сколько целых чисел, хотя между любыми двумя целыми числами существует бесконечное число дробей. Но иррациональных чисел больше, чем целых чисел или дробей. Вероятно, точек в пространстве ровно столько же, сколько иррациональных чисел, и ровно столько же точек на линии длиной в миллионную долю дюйма, сколько во всем бесконечном пространстве. Существует самое большое из всех бесконечных чисел, которое является числом вещей вообще, всякого рода и вида. Очевидно, что не может быть числа больше этого, потому что если все взято, то нечего добавить. У Кантора есть доказательство того, что не существует самого большого числа, и если бы это доказательство было верным, противоречия бесконечности вновь появились бы в сублимированной форме. Но в этом единственном пункте мастер был виновен в очень тонкой логической ошибке, которую я надеюсь объяснить в какой-нибудь будущей работе.

Теперь мы можем понять, почему Зенон верил, что Ахиллес не может догнать черепаху, и почему на самом деле он может ее догнать. Мы увидим, что все люди, которые не соглашались с Зеноном, не имели на это права, потому что все они принимали посылки, из которых следовал его вывод. Аргумент таков: пусть Ахиллес и черепаха начнут движение по дороге одновременно, черепахе (как и положено) будет предоставлена фора. Пусть Ахиллес бежит в два раза быстрее черепахи, или в десять, или в сто раз быстрее. Тогда он никогда не догонит черепаху. Ибо в каждый момент черепаха где-то находится, и Ахиллес где-то находится; и ни один из них никогда не бывает дважды в одном и том же месте, пока идет гонка. Таким образом, черепаха проходит ровно столько же мест, сколько и Ахиллес, потому что каждый из них находится в одном месте в один момент и в другом — в любой другой момент. Но если бы Ахиллес догнал черепаху, места, где была бы черепаха, были бы лишь частью мест, где был бы Ахиллес. Здесь, мы должны предположить, Зенон апеллировал к максиме, что целое имеет больше членов, чем часть. Таким образом, если бы Ахиллес догнал черепаху, он побывал бы в большем количестве мест, чем черепаха; но мы видели, что он должен, в любой период, побывать ровно в стольких же местах, сколько и черепаха. Отсюда мы делаем вывод, что он никогда не сможет догнать черепаху. Этот аргумент строго верен, если мы допускаем аксиому, что целое имеет больше членов, чем часть. Поскольку вывод абсурден, аксиома должна быть отвергнута, и тогда все идет хорошо. Но нет доброго слова, которое можно было бы сказать в адрес философов последних двух тысяч с лишним лет, которые все допускали аксиому и отрицали вывод.

Сохранение этой аксиомы ведет к абсолютным противоречиям, тогда как ее отвержение ведет лишь к странностям. Некоторые из этих странностей, надо признаться, очень странны. Одна из них, которую я называю парадоксом Тристрама Шенди, является обратной парадоксу Ахиллеса и показывает, что черепаха, если дать ей время, уйдет так же далеко, как Ахиллес. Тристрам Шенди, как мы знаем, потратил два года на описание первых двух дней своей жизни и сетовал, что при таком темпе материал будет накапливаться быстрее, чем он сможет с ним справиться, так что по мере того, как шли годы, он будет все дальше и дальше от конца своей истории. Теперь я утверждаю, что если бы он жил вечно и не устал от своей задачи, то, даже если бы его жизнь продолжалась так же насыщенно событиями, как и началась, ни одна часть его биографии не осталась бы ненаписанной. Ибо рассмотрим: сотый день будет описан в сотом году, тысячный — в тысячном году и так далее. Какой бы день мы ни выбрали как настолько далекий, что он не может надеяться до него дойти, этот день будет описан в соответствующем году. Таким образом, любой день, который может быть упомянут, будет описан рано или поздно, и поэтому ни одна часть биографии не останется навсегда ненаписанной. Это парадоксальное, но совершенно истинное положение зависит от того факта, что число дней во всем времени не больше числа лет.

Таким образом, в вопросе о бесконечности невозможно избежать выводов, которые на первый взгляд кажутся парадоксальными, и именно по этой причине многие философы полагали, что в бесконечном есть внутренние противоречия. Но немного практики позволяет постичь истинные принципы доктрины Кантора и приобрести новые и лучшие инстинкты относительно того, что истинно, а что ложно. Странности тогда становятся не более странными, чем люди на антиподах, которых раньше считали невозможными, потому что им было бы так неудобно стоять на головах.

Решение проблем, касающихся бесконечности, позволило Кантору решить также проблемы непрерывности. О ней, как и о бесконечности, он дал совершенно точное определение и показал, что в понятии, определенном таким образом, нет никаких противоречий. Но этот предмет настолько техничен, что здесь невозможно дать какое-либо его описание.

Понятие непрерывности зависит от понятия порядка, поскольку непрерывность — это лишь особый тип порядка. Математика в современную эпоху выдвинула порядок на все более и более видное место. В прежние времена предполагалось (и философы до сих пор склонны предполагать), что количество является фундаментальным понятием математики. Но в наши дни количество изгнано совсем, за исключением одного маленького уголка геометрии, в то время как порядок все больше и больше царит безраздельно. Исследование различных видов рядов и их отношений сейчас является очень большой частью математики, и было обнаружено, что это исследование можно проводить без всякой отсылки к количеству и, по большей части, без всякой отсылки к числу. Все типы рядов способны к формальному определению, и их свойства могут быть выведены из принципов символической логики с помощью алгебры отношений. Понятие предела, которое является фундаментальным в большей части высшей математики, раньше определялось с помощью количества как член, к которому члены некоторого ряда приближаются настолько близко, насколько мы пожелаем. Но в наши дни предел определяется совершенно иначе, и ряд, который он ограничивает, может вообще к нему не приближаться. Это улучшение также принадлежит Кантору, и оно произвело революцию в математике. Только порядок теперь имеет отношение к пределам. Так, например, наименьшее из бесконечных целых чисел является пределом конечных целых чисел, хотя все конечные целые числа находятся на бесконечном расстоянии от него. Изучение различных типов рядов — это общая тема, частной и очень интересной ветвью которой является изучение порядковых чисел (упомянутых выше). Но неизбежные технические сложности этого предмета делают невозможным объяснение его кому-либо, кроме профессиональных математиков.

Геометрия, как и арифметика, была в последнее время включена в общее изучение порядка. Раньше предполагалось, что геометрия — это изучение природы пространства, в котором мы живем, и, соответственно, те, кто считал, что существующее можно познать только эмпирически, настаивали на том, что геометрию следует рассматривать как принадлежащую к прикладной математике. Но постепенно, с ростом неевклидовых систем, стало ясно, что геометрия проливает на природу пространства не больше света, чем арифметика — на население Соединенных Штатов. Геометрия — это целая совокупность дедуктивных наук, основанных на соответствующей совокупности наборов аксиом. Один набор аксиом — евклидов; другие, столь же хорошие наборы аксиом, приводят к другим результатам. Истинны ли аксиомы Евклида — это вопрос, к которому чистый математик безразличен; и, более того, это вопрос, на который теоретически невозможно ответить с уверенностью утвердительно. Можно было бы, возможно, показать путем очень тщательных измерений, что аксиомы Евклида ложны; но никакие измерения никогда не могли бы уверить нас (из-за ошибок наблюдения), что они в точности истинны. Таким образом, геометр оставляет человеку науки решать, как он может, какие аксиомы наиболее близки к истине в реальном мире. Геометр берет любой набор аксиом, которые кажутся интересными, и выводит их следствия. Что определяет геометрию в этом смысле, так это то, что аксиомы должны порождать ряд более чем одного измерения. И именно так геометрия становится отделом в изучении порядка.

В геометрии, как и в других частях математики, Пеано и его ученики проделали работу величайшего достоинства в отношении принципов. Раньше и философы, и математики считали, что доказательства в геометрии зависят от фигуры; в наши дни известно, что это ложно. В лучших книгах вообще нет фигур. Рассуждение строится по строгим правилам формальной логики из набора аксиом, установленных в самом начале. Если используется фигура, то кажется, что из нее очевидно вытекают всякие вещи, которые никакое формальное рассуждение не может доказать из явных аксиом и которые, по сути, принимаются только потому, что они очевидны. Изгнав фигуру, становится возможным обнаружить все необходимые аксиомы; и таким образом на свет выходят всякого рода возможности, которые в противном случае остались бы незамеченными.

Один большой шаг вперед, с точки зрения корректности, был сделан путем введения точек по мере необходимости, а не путем предположения всего пространства, как это делалось раньше. Этот метод принадлежит отчасти Пеано, отчасти другому итальянцу по имени Фано. Тем, кто к нему не привык, он кажется несколько преднамеренным педантизмом. Таким образом, мы начинаем со следующих аксиом: (1) Существует класс сущностей, называемых точками. (2) Существует по крайней мере одна точка. (3) Если a — точка, существует по крайней мере одна другая точка, помимо a. Затем мы вводим прямую линию, соединяющую две точки, и начинаем снова с (4), а именно: на прямой линии, соединяющей a и b, есть по крайней мере одна другая точка, помимо a и b. (5) Существует по крайней мере одна точка, не лежащая на линии ab. И так мы продолжаем, пока у нас не появятся средства для получения стольких точек, сколько нам нужно. Но слово «пространство», как с юмором замечает Пеано, — это слово, для которого у геометрии вообще нет применения.

Строгие методы, применяемые современными геометрами, низвергли Евклида с его вершины корректности. До недавнего времени считалось, как заметил сэр Генри Сэвил в 1621 году, что в Евклиде было только два изъяна: теория параллельных линий и теория пропорций. Теперь известно, что это почти единственные пункты, в которых Евклид свободен от изъянов. Бесчисленные ошибки содержатся в его первых восьми предложениях. То есть не только сомнительно, истинны ли его аксиомы, что является сравнительно тривиальным делом, но и несомненно, что его предложения не вытекают из аксиом, которые он провозглашает. Для доказательства его предложений требуется гораздо большее число аксиом, которые Евклид бессознательно использует. Даже в самом первом предложении, где он строит равносторонний треугольник на данном основании, он использует два круга, которые, как предполагается, пересекаются. Но никакая явная аксиома не уверяет нас, что они это делают, а в некоторых видах пространств они не всегда пересекаются. Совершенно сомнительно, принадлежит ли наше пространство к одному из этих видов или нет. Таким образом, Евклид полностью не доказывает свою точку зрения в самом первом предложении. Поскольку он, безусловно, не является легким автором и ужасно многословен, он больше не представляет никакого интереса, кроме исторического. При этих обстоятельствах это не что иное, как скандал, что его до сих пор преподают мальчикам в Англии. Книга должна обладать либо понятностью, либо корректностью; совместить то и другое невозможно, но отсутствие и того, и другого делает ее недостойной того места, которое Евклид занимал в образовании.