«Principia Mathematica, том 1»

Пропозициональные функции являются фундаментальным видом, из которого выводятся более обычные виды функций, такие как «x + y» или «x^2» или «отец x». Эти производные функции рассматриваются позже и называются «дескриптивными функциями». Рассмотренные выше функции пропозиций являются частным случаем пропозициональных функций.

Область значений и полное варьирование. Таким образом, соответствуя любой пропозициональной функции φx, существует область, или совокупность, значений, состоящая из всех пропозиций (истинных или ложных), которые могут быть получены путем придания x каждого возможного определения в φx. Значение φx, для которого φx истинно, будет называться «удовлетворяющим» φx. Теперь в отношении истинности или ложности пропозиций этой области необходимо отметить и символизировать три важных случая. Эти случаи даются тремя пропозициями, из которых по крайней мере одна должна быть истинной. Либо (1) все пропозиции области истинны, либо (2) некоторые пропозиции области истинны, либо (3) ни одна пропозиция области не является истинной. Утверждение (1) символизируется через «(x) . φx», а (2) символизируется через «(∃x) . φx». Никакого определения этих двух символов не дается, которые, соответственно, воплощают две новые примитивные идеи в нашей системе. Символ «(x) . φx» может читаться «φx всегда», или «φx всегда истинно», или «φx истинно для всех возможных значений x». Символ «(∃x) . φx» может читаться «существует x, для которого φx истинно», или «существует x, удовлетворяющий φx», и, таким образом, соответствует естественной форме выражения мысли.

Пропозиция (3) может быть выражена в терминах фундаментальных идей, имеющихся в наличии. Чтобы сделать это, заметьте, что «~φx» означает противоречащее φx. Соответственно, ~φx — это другая пропозициональная функция, такая, что каждое значение ~φx противоречит значению φx и наоборот. Следовательно, «(x) . ~φx» символизирует пропозицию о том, что каждое значение φx не является истинным. Это номер (3), как указано выше.

Очевидной ошибкой, хотя и легко совершаемой, является предположение, что случаи (1) и (3) являются противоречащими друг другу. Символика сразу же обнаруживает это заблуждение, ибо (1) есть (x) . φx, а (3) есть (x) . ~φx, в то время как противоречащим (1) является ~(x) . φx. Ради краткости символики делается определение, а именно: ~(x) . φx . ≡ : (∃x) . ~φx.

Определения, целью которых является получение некоторого тривиального преимущества в краткости за счет незначительной корректировки символов, будут называться определениями «чисто символического значения» в отличие от тех определений, которые требуют рассмотрения важной идеи.

Пропозиция (x) . φx называется «полным варьированием» функции φx.

По причинам, которые будут объяснены в Главе II, мы не берем отрицание как примитивную идею, когда речь идет о пропозициях форм (x) . φx и (∃x) . φx, но мы определяем отрицание (x) . φx, т. е. «φx всегда истинно», как «φx иногда ложно», т. е. «(∃x) . ~φx», и аналогично мы определяем отрицание (∃x) . φx как (x) . ~φx. Таким образом, мы полагаем: ~(x) . φx . = : (∃x) . ~φx и ~(∃x) . φx . = : (x) . ~φx.

Подобным же образом мы определяем дизъюнкцию, в которой одна из пропозиций имеет форму «(x) . φx» или «(∃x) . φx», в терминах дизъюнкции пропозиций не этой формы, полагая: (x) . φx ∨ q . = : (x) . φx ∨ q, т. е. «либо φx всегда истинно, либо q истинно» должно означать «'φx или q' всегда истинно», с аналогичными определениями в других случаях. Этот предмет возобновляется в Главе II и в *9 в основном тексте работы.

Связанные переменные. Символ «(x) . φx» обозначает одну определенную пропозицию, и нет различия в значении между «(x) . φx» и «(y) . φy», когда они встречаются в одном и том же контексте. Таким образом, «x» в «(x) . φx» не является двусмысленной составляющей любого выражения, в котором встречается «(x) . φx»; и такое выражение не перестает передавать определенное значение по причине двусмысленности x в «(x) . φx». Символ «(x) . φx» имеет некоторую аналогию с символом ∫ для определенного интеграла, поскольку ни в одном из случаев выражение не является функцией от x.

Область x в «(x) . φx» или «(∃x) . φx» простирается на полное поле значений x, для которых «φx» имеет значение, и, соответственно, значение «(x) . φx» или «(∃x) . φx» предполагает, что такое поле является определенным. x, который встречается в «(x) . φx» или «(∃x) . φx», называется (вслед за Пеано) «связанной переменной». Из значения «(x) . φx» следует, что x в этом выражении также является связанной переменной. Пропозиция, в которой x встречается как связанная переменная, не является функцией от x. Так, например, «(x) . x = x» будет означать «все равно самому себе». Это абсолютная константа, а не функция от переменной x. Вот почему x называется связанной переменной в таких случаях.

Помимо «области» x в «(x) . φx» или «(∃x) . φx», которая является полем значений, которые может иметь x, мы будем говорить об «области действия» x, имея в виду функцию, все значения или некоторое значение которой утверждаются. Если мы утверждаем все значения (или некоторое значение) «φx», «φx» является областью действия x; если мы утверждаем все значения (или некоторое значение) «ψx», «ψx» является областью действия x; если мы утверждаем все значения (или некоторое значение) «χx», «χx» будет областью действия x, и так далее. Область действия x указывается количеством точек после «(x)» или «(∃x)»; то есть область действия простирается вперед до тех пор, пока мы не достигнем равного количества точек, не указывающих на логическое произведение, или большего количества, указывающего на логическое произведение, или конца утвержденной пропозиции, в которой встречается «(x)» или «(∃x)», в зависимости от того, что произойдет раньше [5]. Так, например, (x) . φx ⊃ ψx будет означать «φx всегда имплицирует ψx», но (x) . φx ⊃ . ψx будет означать «если φx всегда истинно, то ψx истинно для аргумента x».

Заметьте, что в пропозиции (x) . φx ⊃ (x) . ψx два x не имеют никакой связи друг с другом. Поскольку только одна точка следует за x в скобках, область действия первого x ограничена «φx», непосредственно следующим за x в скобках. Обычно к ясности приводит написание (x) . φx ⊃ (y) . ψy, поскольку использование разных букв подчеркивает отсутствие связи между двумя переменными; но нет никакой логической необходимости использовать разные буквы, и иногда удобно использовать одну и ту же букву.

Двусмысленное утверждение и свободная переменная. Любое значение «φx» функции φx может быть утверждено. Такое утверждение двусмысленного члена значений φx символизируется через ⊦ . φx.

Двусмысленное утверждение такого рода является примитивной идеей, которая не может быть определена в терминах утверждения пропозиций. Эта примитивная идея — та, которая воплощает использование переменной. Помимо двусмысленного утверждения, рассмотрение «φx», которое является двусмысленным членом значений φx, имело бы мало последствий. Когда мы рассматриваем или утверждаем «φx», переменная x называется «свободной переменной». Возьмем, например, закон исключенного третьего в форме, которую он имеет в традиционной формальной логике: ⊦ . φx ∨ ~φx. Здесь φ и x являются свободными переменными: по мере их варьирования выражаются различные пропозиции, хотя все они истинны. Пока φ и x неопределенны, как в вышеприведенной формулировке, ни одна определенная пропозиция не утверждается, но утверждается любое значение рассматриваемой пропозициональной функции. Это может быть правомерно утверждено только если, какое бы значение ни было выбрано, это значение истинно, т. е. если все значения истинны. Таким образом, вышеприведенная форма закона исключенного третьего эквивалентна ⊦ : (x) . φx ∨ ~φx, т. е. «всегда истинно, что φx есть либо φx, либо не-φx». Но эти две, хотя и эквивалентны, не идентичны, и мы сочтем необходимым сохранять их различие.

Когда мы утверждаем что-то, содержащее свободную переменную, как, например, ⊦ . φx, мы утверждаем любое значение пропозициональной функции. Когда мы утверждаем что-то, содержащее связанную переменную, как в ⊦ : (x) . φx или ⊦ : (∃x) . φx, мы утверждаем, в первом случае все значения, во втором случае некоторое значение (неопределенное) рассматриваемой пропозициональной функции. Ясно, что мы можем правомерно утверждать «любое значение» только если все значения истинны; ибо в противном случае, поскольку значение переменной остается неопределенным, оно могло бы быть определено так, чтобы дать ложную пропозицию. Таким образом, в вышеприведенном примере, поскольку мы имеем ⊦ : (x) . φx ∨ ~φx. И вообще, имея утверждение, содержащее свободную переменную x, мы можем преобразовать свободную переменную в связанную, поместив (x) в скобках в начале, за которым следует столько точек, сколько их после знака утверждения.

Когда мы утверждаем что-то, содержащее свободную переменную, нельзя строго сказать, что мы утверждаем пропозицию, ибо мы получаем определенную пропозицию только путем присвоения значения переменной, и тогда наше утверждение применяется только к одному определенному случаю, так что оно не имеет совсем той же силы, что и прежде. Когда то, что мы утверждаем, содержит свободную переменную, мы утверждаем полностью неопределенную из всех пропозиций, которые возникают в результате придания различных значений переменной. Будет удобно говорить о таких утверждениях как об утверждении пропозициональной функции. Обычные формулы математики содержат такие утверждения; например, ⊦ . x + y = y + x не утверждает тот или иной частный случай формулы, и не утверждает, что формула верна для всех возможных значений x и y, хотя она эквивалентна этому последнему утверждению; она просто утверждает, что формула верна, оставляя x и y полностью неопределенными; и она способна делать это правомерно, потому что, как бы ни были определены x и y, получается истинная пропозиция.

Хотя утверждение, содержащее свободную переменную, строго говоря, не утверждает пропозицию, тем не менее о нем будут говорить как об утверждении пропозиции, за исключением случаев, когда обсуждается природа вовлеченного двусмысленного утверждения.

Определение и свободные переменные. Когда definiens содержит одну или более свободных переменных, definiendum также должен содержать их. Ибо в этом случае мы имеем функцию свободных переменных, и definiendum должен иметь то же значение, что и definiens для всех значений этих переменных, что требует, чтобы символ, являющийся definiendum, содержал буквы, представляющие свободные переменные. Это правило не всегда соблюдается математиками, и его нарушение иногда вызывало важные путаницы в мышлении, особенно в геометрии и философии пространства.

В приведенных выше определениях «φx ∨ ψx», «φx ⊃ ψx» и «φx . ≡ . ψx», φ и x являются свободными переменными и поэтому появляются по обе стороны определения. В определении «(x) . φx» только рассматриваемая функция, а именно φ, является свободной переменной; таким образом, что касается рассматриваемого правила, x не обязательно должен появляться слева. Но когда свободная переменная является функцией, необходимо указать, как должен быть подан аргумент, и поэтому существуют возражения против опускания связанной переменной там, где (как в рассматриваемом случае) это аргумент к функции, которая является свободной переменной. Это проявляется более ясно, если вместо общей функции φ мы возьмем некоторую частную функцию, скажем «f», и рассмотрим определение (x) . fx. Наше определение дает (x) . fx . = : (x) . fx. Но если бы мы приняли обозначение, в котором двусмысленное значение «φx», содержащее связанную переменную x, не встречалось бы в definiendum, нам пришлось бы построить обозначение, использующее саму функцию, а именно «f!». Это не включает связанную переменную, но было бы неуклюжим на практике. Фактически мы нашли удобным и возможным — за исключением пояснительных частей — почти полностью исключить из этой работы явное использование символов типа «φx», либо как констант [например, f!x], либо как свободных переменных.

Пропозиции, связывающие свободные и связанные переменные. Наиболее важными пропозициями, связывающими свободные и связанные переменные, являются следующие:

(1) «Когда пропозициональная функция может быть утверждена, может быть утверждена и пропозиция о том, что все значения функции истинны». Более кратко, если менее точно, «то, что верно для любого, как бы он ни был выбран, верно для всех». Это переводится в правило, что когда свободная переменная встречается в утверждении, мы можем превратить ее в связанную переменную, поместив букву, представляющую ее, в скобки непосредственно после знака утверждения.

(2) «То, что верно для всех, верно для любого», т. е. ⊦ : (x) . φx . ⊃ . φy. Это утверждает: «если φx всегда истинно, то φy истинно».

(3) «Если φy истинно, то φx иногда истинно», т. е. ⊦ : φy . ⊃ . (∃x) . φx. Утвержденная пропозиция формы «(∃x) . φx» выражает «теорему существования», а именно «существует x, для которого φx истинно». Вышеприведенная пропозиция дает то, что на практике является единственным способом доказательства теорем существования: мы всегда должны найти некоторый частный y, для которого φy верно, и отсюда сделать вывод «(∃x) . φx». Если бы мы приняли то, что называется мультипликативной аксиомой, или эквивалентную аксиому, сформулированную Цермело, это дало бы, в важном классе случаев, теорему существования там, где нельзя найти никакого частного примера ее истинности.

В силу «(x) . φx ⊃ φy» и «φy ⊃ (∃x) . φx», мы имеем ⊦ : (x) . φx . ⊃ . (∃x) . φx, т. е. «то, что всегда истинно, иногда истинно». Это не было бы так, если бы ничего не существовало; таким образом, наши предположения содержат допущение, что что-то существует. Это вовлечено в принцип, что то, что верно для всех, верно для любого; ибо это не было бы истинно, если бы не было никакого «любого».

(4) «Если φx всегда истинно, и ψx всегда истинно, то 'φx . ψx' всегда истинно», т. е. ⊦ : (x) . φx : (x) . ψx : ⊃ : (x) . φx . ψx. (Это требует, чтобы φx и ψx были функциями, которые принимают аргументы одного и того же типа. Мы объясним это требование на более позднем этапе.) Обратное также верно; т. е. мы имеем ⊦ : (x) . φx . ψx . ≡ : (x) . φx : (x) . ψx.

В некоторой степени произвольно, какие из пропозиций, связывающих свободные и связанные переменные, принимаются в качестве примитивных пропозиций. Примитивные пропозиции, принятые по этому предмету в основном тексте работы (*9), являются следующими: ⊦ : φx ∨ ψx . ⊃ : (x) . φx ∨ ψx, т. е. если либо φx истинно, либо ψx истинно, то (x) . φx ∨ ψx истинно. (О необходимости этой примитивной пропозиции см. замечания к *9·11 в основном тексте работы.)

(3) Если мы можем утвердить ⊦ . φy, где y — свободная переменная, то мы можем утвердить ⊦ : (x) . φx; т. е. то, что верно для любого, как бы он ни был выбран, верно для всех.

Формальная импликация и формальная эквивалентность. Когда говорят, что импликация, скажем φx ⊃ ψx, выполняется всегда, т. е. когда ⊦ : (x) . φx ⊃ ψx, мы будем говорить, что φx формально имплицирует ψx; и пропозиции формы «(x) . φx ⊃ ψx» будут называться выражающими формальные импликации. В обычных примерах импликации, таких как «'Сократ — человек' имплицирует 'Сократ — смертен'», мы имеем пропозицию формы «φx ⊃ ψx» в случае, в котором «φx» истинно. В таком случае мы чувствуем импликацию как частный случай формальной импликации. Таким образом, получилось, что импликации, которые не являются частными случаями формальных импликаций, вообще не рассматривались как импликации. Существует также практическое основание для пренебрежения такими импликациями, ибо, говоря вообще, они могут быть известны только тогда, когда уже известно либо то, что их гипотеза ложна, либо то, что их заключение истинно; и ни в одном из этих случаев они не служат тому, чтобы мы узнали заключение, поскольку в первом случае заключение не обязательно должно быть истинным, а во втором оно известно уже. Таким образом, такие импликации не служат цели, для которой импликации наиболее полезны, а именно цели заставить нас узнать, путем дедукции, заключения, о которых мы ранее не знали. Формальные импликации, напротив, служат этой цели, благодаря психологическому факту, что мы часто знаем «(x) . φx ⊃ ψx» и «(x) . φx», в случаях, когда «(x) . ψx» (которое следует из этих посылок) не может быть легко узнано непосредственно.

Эти причины, хотя они и не оправдывают полное пренебрежение импликациями, которые не являются примерами формальных импликаций, являются причинами, которые делают формальную импликацию очень важной. Формальная импликация утверждает, что для всех возможных значений x, если гипотеза φx истинна, заключение ψx истинно. Поскольку «φx ⊃ ψx» всегда будет истинно, когда φx ложно, важны только те значения x, которые делают φx истинным в формальной импликации; эффективно утверждается, что для всех этих значений ψx истинно. Таким образом, пропозиции формы «все φx есть ψx», «ни один φx не есть ψx» выражают формальные импликации, поскольку первая (как следует из того, что только что было сказано) утверждает (x) . φx ⊃ ψx, в то время как вторая утверждает (x) . φx ⊃ ~ψx. И любая формальная импликация «(x) . φx ⊃ ψx» может быть интерпретирована как: «Все значения x, которые удовлетворяют φx [6], удовлетворяют ψx», в то время как формальная импликация «(x) . φx ⊃ ~ψx» может быть интерпретирована как: «Никакие значения x, которые удовлетворяют φx, не удовлетворяют ψx».

Мы имеем аналогично для «некоторый φx есть ψx» формулу (∃x) . φx . ψx и для «некоторый φx не есть ψx» формулу (∃x) . φx . ~ψx.

Две функции φx, ψx называются формально эквивалентными, когда каждая всегда имплицирует другую, т. е. когда ⊦ : (x) . φx ≡ ψx, и пропозиция этой формы называется формальной эквивалентностью. В силу того, что было сказано об истинностных значениях, если φx и ψx формально эквивалентны, любая может заменить другую в любой функции истинности. Следовательно, для всех целей математики или настоящей работы φx может заменить ψx или наоборот в любой пропозиции, с которой мы будем иметь дело. Теперь сказать, что φx и ψx формально эквивалентны, — это то же самое, что сказать, что φx и ψx имеют одну и ту же экстенсию, т. е. что любое значение x, которое удовлетворяет любой из них, удовлетворяет и другой. Таким образом, всякий раз, когда константная функция встречается в нашей работе, истинностное значение пропозиции, в которой она встречается, зависит только от экстенсии функции. Пропозиция, содержащая функцию φx и обладающая этим свойством (т. е. что ее истинностное значение зависит только от экстенсии φx), будет называться экстенсиональной функцией от φx. Таким образом, функции функций, с которыми мы будем специально иметь дело, будут все экстенсиональными функциями функций.

То, что только что было сказано, объясняет связь (отмеченную выше) между фактом, что функции пропозиций, с которыми математика специально связана, являются все функциями истинности, и фактом, что математика связана с экстенсиями, а не интенсиями.

Удобное сокращение. Следующие определения дают альтернативные и часто более удобные обозначения: (x) . φx ⊃ ψx . = : (x) . φx ⊃ ψx. Это обозначение «(x) . φx ⊃ ψx» принадлежит Пеано, который, однако, не имеет обозначения для общей идеи «(x) . φx ⊃ ψx». Можно заметить в качестве упражнения по использованию точек в качестве скобок, что мы могли бы написать (x) . φx ⊃ ψx. На практике, однако, когда φx и ψx являются специальными функциями, невозможно использовать меньше точек, чем в первой форме, и часто требуется больше.

Следующие определения дают сокращенные обозначения для функций двух или более переменных: (x, y) . φ(x, y) . ⊃ . ψ(x, y) и так далее для любого количества переменных; (∃x, y) . φ(x, y) и так далее для любого количества переменных.

Тождество. Пропозициональная функция «x идентично y» выражается через x = y. Это будет определено (ср. *13·01), но, из-за некоторых трудных моментов, вовлеченных в определение, мы здесь опустим его (ср. Глава II). Мы имеем, конечно, x = x, x = y . ⊃ . y = x, x = y . y = z . ⊃ . x = z. Первое из них выражает рефлексивное свойство тождества: отношение называется рефлексивным, когда оно выполняется между термином и самим собой, либо универсально, либо всякий раз, когда оно выполняется между этим термином и некоторым термином. Вторая из вышеприведенных пропозиций выражает, что тождество является симметричным отношением: отношение называется симметричным, если, всякий раз, когда оно выполняется между x и y, оно также выполняется между y и x. Третья пропозиция выражает, что тождество является транзитивным отношением: отношение называется транзитивным, если, всякий раз, когда оно выполняется между x и y и между y и z, оно выполняется также между x и z.

Мы обнаружим, что в математике не требуется никакого нового определения знака равенства: все математические уравнения, в которых знак равенства используется обычным образом, выражают некоторое тождество и, таким образом, используют знак равенства в вышеуказанном смысле.

Если x и y идентичны, любая может заменить другую в любой пропозиции, не изменяя истинностного значения пропозиции; таким образом, мы имеем x = y . ⊃ : φx . ≡ . φy. Это фундаментальное свойство тождества, из которого остальные свойства по большей части следуют.

Можно было бы подумать, что тождество не имело бы большого значения, поскольку оно может выполняться между x и y только если x и y являются разными символами для одного и того же объекта. Этот взгляд, однако, не применяется к тому, что мы будем называть «дескриптивными фразами», т. е. «такой-то и такой-то». Именно в отношении таких фраз тождество важно, как мы вскоре объясним. Пропозиция, такая как «Скотт был автором Уэверли», выражает тождество, в котором есть дескриптивная фраза (а именно «автор Уэверли»); это иллюстрирует, как в таких случаях утверждение тождества может быть важным. По существу тот же случай, когда газеты говорят «личность преступника не установлена». В таком случае преступник известен по дескриптивной фразе, а именно «человек, который совершил деяние», и мы хотим найти x, для которого истинно «x = человек, который совершил деяние». Когда такой x был найден, личность преступника установлена.

Классы и отношения. Класс (который то же самое, что многообразие или совокупность) — это все объекты, удовлетворяющие некоторой пропозициональной функции. Если φx — класс, состоящий из объектов, удовлетворяющих φx, мы будем говорить, что φx — это класс, определенный через φx. Каждая пропозициональная функция, таким образом, определяет класс, хотя если пропозициональная функция является той, которая всегда ложна, класс будет нулевым, т. е. не будет иметь членов. Класс, определенный функцией φx, будет представлен через φ^x [7]. Таким образом, например, если φx — уравнение, φ^x будет классом его корней; если φx — «x имеет две ноги и нет перьев», φ^x будет классом людей; если φx — «x < 1», φ^x будет классом правильных дробей, и так далее.

Очевидно, что один и тот же класс объектов будет иметь много определяющих функций. Когда нет необходимости указывать определяющую функцию класса, класс может быть удобно представлен одной греческой буквой. Таким образом, греческие буквы, отличные от тех, которым присвоено некоторое константное значение, будут использоваться исключительно для классов.

Существует два вида трудностей, которые возникают в формальной логике; один вид возникает в связи с классами и отношениями, а другой — в связи с дескриптивными функциями. Суть трудности для классов и отношений, насколько это касается классов, заключается в том, что класс не может быть объектом, подходящим в качестве аргумента к любой из своих определяющих функций. Если α представляет класс, а φx — одну из его определяющих функций [так что α = φ^x], недостаточно, чтобы φα было ложной пропозицией, это должно быть бессмыслицей. Таким образом, кажется необходимой определенная классификация того, что кажется объектами, на вещи существенно разных типов. Весь этот вопрос обсуждается в Главе II о теории типов, и формальное рассмотрение в систематическом изложении, которое составляет основной корпус этой работы, направлено этим обсуждением. Часть систематического изложения, которая специально касается теории классов, — это *20, и в этом Введении она обсуждается в Главе III. Достаточно отметить здесь, что в полном рассмотрении *20 мы избежали решения о том, имеет ли класс вещей в каком-либо смысле существование как один объект. Решение этого вопроса в ту или иную сторону безразлично для нашей логики, хотя, возможно, если бы мы рассматривали некоторое решение, которое считало бы классы и отношения в некотором реальном смысле объектами как истинное и вероятное для всеобщего принятия, мы могли бы упростить одно или два определения и несколько предварительных пропозиций. Наши символы, такие как «φ^x» и другие, которые представляют классы и отношения, просто определены в их использовании, точно так же, как φx, стоящее для «x имеет свойство φ», не имеет значения помимо подходящей функции от x, φx, на которой нужно оперировать. Результат наших определений заключается в том, что способ, которым мы используем классы, соответствует в целом их использованию в обычном мышлении и речи; и какова бы ни была окончательная интерпретация одного, такова же и интерпретация другого. Таким образом, фактически наша классификация типов в Главе II действительно выполняет единственную, хотя и существенную, услугу, оправдывая нас в воздержании от вступления в цепочки рассуждений, которые ведут к противоречивым выводам. Оправдание заключается в том, что то, что кажется пропозициями, на самом деле является бессмыслицей.

Определения, которые встречаются в теории классов, посредством которых идея класса (по крайней мере в использовании) основана на других идеях, принятых как примитивные, не могут быть поняты без более полного обсуждения, чем то, которое может быть дано сейчас (ср. Главу II этого Введения, а также *20). Соответственно, в этом предварительном обзоре мы переходим к изложению более важных простых пропозиций, которые следуют из этих определений, оставляя читателю возможность использовать в своем уме обычную неанализированную идею класса вещей. Наши символы в своем использовании соответствуют обычному использованию этой идеи в языке. Следует заметить, что в систематическом изложении наше рассмотрение классов и отношений не требует новых примитивных идей и только две новые примитивные пропозиции, а именно две формы «Аксиомы сводимости» (ср. следующую Главу) для одной и двух переменных соответственно.

Пропозициональная функция «x является членом класса α» будет выражена, вслед за Пеано, обозначением x ∈ α. Здесь ε выбрано как инициал слова ἐστί. «x ∈ α» может читаться «x есть α». Таким образом, «x ∈ φ^x» будет означать «x есть φ», и так далее. Для типографского удобства мы будем полагать x ∈ φ^x . ≡ . φx.

Для «класса» мы будем писать «Cls»; таким образом, «α ∈ Cls» означает «α есть класс».

Мы имеем x ∈ φ^x . ≡ . φx, т. е. «'x является членом класса, определенного через φx' эквивалентно 'x удовлетворяет φx', или 'φx истинно'».

Класс полностью определен, когда известна его принадлежность, то есть не может быть двух разных классов, имеющих одну и ту же принадлежность. Таким образом, если φx, ψx — формально эквивалентные функции, они определяют один и тот же класс; ибо в этом случае, если x является членом класса, определенного через φx, и поэтому удовлетворяет φx, он также удовлетворяет ψx и, следовательно, является членом класса, определенного через ψx. Таким образом, мы имеем φx ≡ ψx . ⊃ . φ^x = ψ^x.

Следующие пропозиции очевидны и важны: α = φ^x . ≡ : x ∈ α . ≡ . φx, т. е. α идентично классу, определенному через φx, тогда и только тогда, когда «x ∈ α» формально эквивалентно φx; α = β . ≡ : x ∈ α . ≡ . x ∈ β, т. е. два класса α и β идентичны тогда и только тогда, когда они имеют одну и ту же принадлежность; φ^x = φ^x, в других словах, φ^x есть класс объектов, которые являются членами φ^x; φ^x ∈ Cls, т. е. класс, определенный функцией φx, есть класс.

Будет видно, что, согласно вышесказанному, любая функция от одной переменной может быть заменена эквивалентной функцией формы «x ∈ α». Следовательно, любая экстенсиональная функция функций, которая выполняется, когда ее аргумент является функцией формы «x ∈ α», какое бы возможное значение α ни имело, будет выполняться также, когда ее аргумент является любой функцией φx. Таким образом, варьирование классов может заменить варьирование функций от одной переменной во всех пропозициях того рода, с которыми мы имеем дело.

Точно аналогичным образом мы вводим двойные или диадические отношения, т. е. отношения между двумя терминами. Такие отношения будут называться просто «отношениями»; отношения между более чем двумя терминами будут различаться как множественные отношения, или (когда количество их терминов указано) как тройные, четверные, ... отношения, или как триадические, тетрадические, ... отношения. Такие отношения не будут касаться нас, пока мы не дойдем до Геометрии. На данный момент единственные отношения, с которыми мы имеем дело, — это двойные отношения.

Отношения, подобно классам, должны приниматься в экстенсии, т. е. если R и S — отношения, которые выполняются между одними и теми же парами терминов, R и S должны быть идентичны. Мы можем рассматривать отношение, в смысле, в котором оно требуется для наших целей, как класс пар; т. е. пара (x, y) должна быть одной из класса пар, составляющих отношение R, если x имеет отношение R к y [8]. Этот взгляд на отношения как классы пар, однако, не будет введен в наше символическое рассмотрение и упоминается только для того, чтобы показать, что возможно так понимать значение слова «отношение», что отношение должно определяться своей экстенсией.

Любая функция φ(x, y) определяет отношение R между x и y. Если мы рассматриваем отношение как класс пар, отношение, определенное через φ(x, y), есть класс пар (x, y), для которых φ(x, y) истинно. Отношение, определенное функцией φ(x, y), будет обозначаться через φ^(x, y). Мы будем использовать заглавную букву для отношения, когда нет необходимости указывать определяющую функцию. Таким образом, всякий раз, когда встречается заглавная буква, следует понимать, что она означает отношение.

Пропозициональная функция «x имеет отношение R к y» будет выражена обозначением xRy. Это обозначение разработано так, чтобы оставаться как можно ближе к обычному языку, который, когда ему нужно выразить отношение, обычно упоминает его между его терминами, как в «x любит y», «x равен y», «x больше y» и так далее. Для «отношения» мы будем писать «Rel», таким образом, «R ∈ Rel» означает «R есть отношение».

Благодаря тому, что мы принимаем отношения в экстенсии, мы будем иметь φ^(x, y) = ψ^(x, y) . ≡ : (x, y) . φ(x, y) ≡ ψ(x, y), т. е. две функции двух переменных определяют одно и то же отношение тогда и только тогда, когда две функции формально эквивалентны. x(φ^(x, y))y . ≡ . φ(x, y), т. е. «x имеет к y отношение, определенное через φ(x, y)» эквивалентно φ(x, y);

Эти пропозиции аналогичны тем, что были ранее даны для классов. Из них следует, что любая функция двух переменных формально эквивалентна некоторой функции формы xRy; следовательно, в экстенсиональных функциях двух переменных варьирование отношений может заменить варьирование функций двух переменных.

Как классы, так и отношения имеют свойства, аналогичные большинству свойств пропозиций, которые следуют из отрицания и логической суммы. Логическое произведение двух классов α и β — это их общая часть, т. е. класс терминов, которые являются членами обоих. Это представлено через α ∩ β. Таким образом, мы полагаем x ∈ α ∩ β . ≡ : x ∈ α . x ∈ β. Это дает нам x ∈ α ∩ β . ≡ . x ∈ α . x ∈ β, т. е. «x является членом логического произведения α и β» эквивалентно логическому произведению «x является членом α» и «x является членом β».

Аналогично логическая сумма двух классов α и β — это класс терминов, которые являются членами любого из них; мы обозначаем ее через α ∪ β. Определение есть x ∈ α ∪ β . ≡ : x ∈ α ∨ x ∈ β, и связь с логической суммой пропозиций дается через x ∈ α ∪ β . ≡ . x ∈ α ∨ x ∈ β.

Отрицание класса α состоит из тех терминов x, для которых «x ∈ α» может быть значимо и истинно отрицаемо. Мы обнаружим, что существуют термины других типов, для которых «x ∈ α» не является ни истинным, ни ложным, а бессмысленным. Эти термины не являются членами отрицания α.

Таким образом, отрицание класса α — это класс терминов подходящего типа, которые не являются его членами, т. е. класс x ∈ ~α . ≡ : x ∈ α . ≡ . F. Мы называем этот класс «~α» (читается «не-α»); таким образом, определение есть x ∈ ~α . ≡ : ~ (x ∈ α), и связь с отрицанием пропозиций дается через x ∈ ~α . ≡ . ~ (x ∈ α).

Вместо импликации мы имеем отношение включения. Класс α называется включенным или содержащимся в классе β, если все члены α являются членами β, т. е. если (x) . x ∈ α ⊃ x ∈ β. Мы пишем «α ⊂ β» для «α содержится в β». Таким образом, мы полагаем α ⊂ β . ≡ : (x) . x ∈ α ⊃ x ∈ β.

Большинство формул, касающихся ⊃, ≡, ~, остаются истинными, если мы подставим ⊂, =, ~α. Вместо эквивалентности мы подставляем тождество; ибо «α ⊂ β» было определено как «(x) . x ∈ α ⊃ x ∈ β», но «α = β» дает «α ⊂ β . β ⊂ α», откуда α = β . ≡ : α ⊂ β . β ⊂ α.

Ниже приведены некоторые пропозиции, касающиеся классов, которые являются аналогами пропозиций, ранее данных относительно пропозиций: α ∩ β = ~ (~α ∪ ~β), т. е. общая часть α и β — это отрицание «не-α или не-β»; x ∈ α ∪ β . ≡ : x ∈ α ∨ x ∈ β, т. е. x ∈ α ∪ β, «x является членом α или не-α»; x ∈ α ∩ ~α . ≡ : x ∈ α . ~ (x ∈ α), т. е. «x не является членом обоих α и не-α»;

Две последние — это две формы закона тавтологии.

Закон поглощения выполняется в форме α ⊂ β . ≡ : α ∩ β = α.

Таким образом, например, «все критяне — лжецы» эквивалентно «критяне идентичны лгущим критянам».

Точно так же, как мы имеем p ⊃ q . q ⊃ r . ⊃ . p ⊃ r, так мы имеем α ⊂ β . β ⊂ γ . ⊃ . α ⊂ γ.

Это выражает обычный силлогизм в Barbara (с переставленными посылками); ибо «α ⊂ β» означает то же самое, что «все α суть β», так что вышеприведенная пропозиция утверждает: «Если все α суть β, и все β суть γ, то все α суть γ». (Следует заметить, что силлогизмы традиционно выражаются с «следовательно», как если бы они утверждали обе посылки и заключение. Это, конечно, просто небрежный способ речи, поскольку то, что на самом деле утверждается, — это только связь посылок с заключением.)

Силлогизм в Barbara, когда меньшая посылка имеет индивидуальный субъект, есть x ∈ α . α ⊂ β . ⊃ . x ∈ β, например, «если Сократ — человек, и все люди — смертны, то Сократ — смертен». Это, как было указано Пеано, не является частным случаем «α ⊂ β . β ⊂ γ . ⊃ . α ⊂ γ», поскольку «x ∈ α» не является частным случаем «α ⊂ β». Этот момент важен, поскольку традиционная логика здесь ошибается. Природа и масштаб ее ошибки станут яснее на более позднем этапе.

Для отношений мы имеем точно аналогичные определения и пропозиции. Мы полагаем R ∩ S = φ^(x, y) . ψ^(x, y) . ≡ . φ(x, y) . ψ(x, y).

Вообще, когда нам требуются аналогичные, но разные символы для отношений и для классов, мы будем выбирать для отношений символ, полученный путем добавления точки, в некотором удобном положении, к соответствующему символу для классов. (Точка не должна быть поставлена на линии, поскольку это вызвало бы путаницу с использованием точек в качестве скобок.) Но такие символы требуют и получают специальное определение в каждом случае.

Класс называется существующим, когда он имеет по крайней мере один член: «α существует» обозначается через «∃!α». Таким образом, мы полагаем ∃!α . = : (∃x) . x ∈ α. Класс, который не имеет членов, называется «нулевым классом» и обозначается через «Λ». Любая пропозициональная функция, которая всегда ложна, определяет нулевой класс. Одна такая функция нам уже известна, а именно «x не идентично x», которую мы обозначаем через «x ≠ x». Таким образом, мы можем использовать эту функцию для определения Λ, и полагаем Λ = x^ (x ≠ x).

Класс, определенный функцией, которая всегда истинна, называется универсальным классом и представлен через V; таким образом V = x^ (x = x).

Таким образом Λ = ~V. Мы имеем x ∈ V . ≡ . x = x, т. е. «'x является членом V' всегда истинно»; и x ∈ Λ . ≡ . x ≠ x, т. е. «'x является членом Λ' всегда ложно». Также α = Λ . ≡ . ~ ∃!α, т. е. «α — это нулевой класс» эквивалентно «α не существует».

Для отношений мы используем похожие обозначения. Мы полагаем ∃!R . = : (∃x, y) . xRy, т. е. «∃!R» означает, что существует по крайней мере одна пара x, y, между которыми выполняется отношение R. Λ_R будет отношением, которое никогда не выполняется, а V_R — отношением, которое всегда выполняется. V_R практически никогда не требуется; Λ_R будет отношением x ≠ x . y ≠ y. Мы имеем R ∈ Rel . ⊃ . ∃!R . ⊃ . R ≠ Λ_R.

Не существует классов, которые содержат объекты более чем одного типа. Соответственно, существует универсальный класс и нулевой класс, свойственные каждому типу объектов. Но эти символы не нужно различать, поскольку будет обнаружено, что нет возможности путаницы. Подобные замечания применимы к отношениям.

Дескрипции. Под «дескрипцией» мы понимаем фразу формы «такой-то и такой-то» или некоторой эквивалентной формы. На данный момент мы ограничиваем наше внимание «таким-то» в единственном числе. Мы будем использовать это слово строго, чтобы подразумевать уникальность; например, мы не должны говорить «x — сын y», если y имел других сыновей, кроме x. Таким образом, дескрипция формы «такой-то и такой-то» будет иметь применение только в случае, если существует один такой-то и не более. Следовательно, дескрипция требует некоторой пропозициональной функции, которая удовлетворяется одним значением x и никакими другими значениями; тогда «тот, который удовлетворяет φx» — это дескрипция, которая определенно описывает некоторый объект, хотя мы можем не знать, какой объект она описывает. Например, если x — человек, «x — отец y» должно быть истинно для одного и только одного значения x. Следовательно, «отец y» — это дескрипция некоторого человека, хотя мы можем не знать, какого человека она описывает. Фраза, содержащая «тот», всегда предполагает некоторую начальную пропозициональную функцию, не содержащую «тот»; таким образом, вместо «x — отец y» мы должны взять в качестве нашей начальной функции «x породил y»; тогда «отец y» означает одно значение x, которое удовлетворяет этой пропозициональной функции.

Если φx — пропозициональная функция, символ «(ιx)(φx)» используется в нашей символике таким образом, что его всегда можно прочитать как «тот, который удовлетворяет φx». Но мы не определяем «(ιx)(φx)» как означающее «тот, который удовлетворяет φx», таким образом рассматривая эту последнюю фразу как воплощающую примитивную идею. Каждое использование «(ιx)(φx)», где оно по-видимому встречается как составляющая пропозиции на месте объекта, определено в терминах примитивных идей, уже имеющихся в наличии. Пример этого определения в использовании дается пропозицией «E!(ιx)(φx)», которая рассматривается немедленно. Весь предмет рассматривается более полно в Главе III.

Символ следует сравнивать и противопоставлять с «φ^x», который в использовании всегда можно прочитать как «те x, которые удовлетворяют φx». Оба символа являются неполными символами, определенными только в использовании, и как таковые обсуждаются в Главе III. Символ «φ^x» всегда имеет применение, а именно к классу, определенному через φx; но «(ιx)(φx)» имеет применение только тогда, когда φx удовлетворяется только одним значением x, ни больше, ни меньше. Следует также заметить, что значение, данное символу определением, приведенным немедленно ниже, E!(ιx)(φx) . = : (∃b) : φx . ≡_x . x = b, не предполагает, что мы знаем значение «один». Это также характерно для определения любого другого использования «(ιx)(φx)».

Мы теперь переходим к определению «E!(ιx)(φx)», так что его можно прочитать «тот, который удовлетворяет φx, существует». (Будет замечено, что это другое значение существования, чем то, которое мы выражаем через «∃!α»). Его определение есть E!(ιx)(φx) . = : (∃b) : φx . ≡_x . x = b, т. е. «тот, который удовлетворяет φx, существует» должно означать «существует объект b такой, что φx истинно, когда x есть b, но не иначе».

Следующие формы эквивалентны:

Последняя из них утверждает, что «тот, который удовлетворяет φx, существует» эквивалентно «существует объект b, удовлетворяющий φx, и каждый объект, отличный от b, не удовлетворяет φx».

Вид существования, только что определенный, охватывает очень многие случаи. Таким образом, например, «самое совершенное Существо существует» будет означать: E!(ιx)(φx), что, принимая последнюю из вышеприведенных эквивалентностей, эквивалентно (∃b) : φb : (x) . x ≠ b ⊃ ~φx.

Такое суждение, как «Аполлон существует», в действительности имеет ту же логическую форму, хотя и не содержит явным образом слова «существующий». Ибо «Аполлон» на самом деле означает «объект, обладающий такими-то и такими-то свойствами», скажем, «объект, обладающий свойствами, перечисленными в Классическом словаре [9]». Если эти свойства составляют пропозициональную функцию φ, то «Аполлон» означает «(ιx)(φx)», а «Аполлон существует» означает «(∃x)(φx)». Возьмем другой пример: «автор Уэверли» означает «человек, который (или, вернее, объект, который) написал Уэверли». Таким образом, «Скотт — автор Уэверли» есть (ιx)(φx) = Скотт. Здесь (как мы отмечали ранее) отчетливо проявляется важность тождества в связи с описаниями.

Обозначение «(ιx)(φx)», которое является длинным и неудобным, используется редко, будучи главным образом необходимым для введения другого обозначения, а именно «R‘y», означающего «объект, имеющий отношение R к y». То есть мы полагаем R‘y = (ιx)(xRy). Перевернутую запятую можно читать как «от». Таким образом, «R‘y» читается как «R от y». Так, если R — отношение отца к сыну, «R‘y» означает «отец y»; если R — отношение сына к отцу, «R‘y» означает «сын y», который будет «существовать» только в том случае, если у y есть один сын и не более. R‘y есть функция от y, но не пропозициональная функция; мы будем называть ее дескриптивной функцией. Все обычные функции математики являются функциями этого рода, что будет более полно показано далее. Так, в нашем обозначении «sin x» было бы записано «sin‘x», а «sin» обозначало бы отношение, которое sin‘x имеет к x. Вместо переменной дескриптивной функции f мы ставим R‘y, где переменное отношение R занимает место переменной функции f. Дескриптивная функция в общем случае будет существовать, пока y принадлежит определенной области, но не вне этой области; так, если мы имеем дело с положительными рациональными числами, √‘y будет значимым, если y — полный квадрат, но не в противном случае; если мы имеем дело с вещественными числами и условимся, что «√‘y» должно означать положительный квадратный корень (или должно означать отрицательный квадратный корень), √‘y будет значимым при условии, что y положительно, но не в противном случае; и так далее. Таким образом, каждая дескриптивная функция имеет то, что мы можем назвать «областью определения» или «областью существования», которая может быть определена следующим образом: если рассматриваемая функция есть R‘y, ее областью определения или существования будет класс тех аргументов y, для которых мы имеем E!(R‘y), т. е. для которых (∃b)(xRy ≡ x = b), т. е. для которых существует один x, и не более, имеющий отношение R к y.

Если R — любое отношение, мы будем говорить о R‘y как об «ассоциированной дескриптивной функции». Очень многие из постоянных отношений, которые нам придется вводить, важны только или главным образом благодаря своим ассоциированным дескриптивным функциям. В таких случаях легче (хотя и менее корректно) начать с присвоения значения дескриптивной функции и вывести значение отношения из значения дескриптивной функции. Это будет сделано в следующих пояснениях к обозначениям.

Различные дескриптивные функции отношений. Если R — любое отношение, то конверс R есть отношение, которое имеет место между y и x всякий раз, когда R имеет место между x и y. Таким образом, «больше» есть конверс «меньше», «до» — «после», «причина» — «следствие», «муж» — «жена» и т. д. Конверс R записывается как ˘R или Cnv‘R. Определение есть x(˘R)y ≡ yRx. Второе из них не является формально корректным определением, поскольку мы должны были бы определить «Cnv» и вывести значение ˘R. Но не стоит придерживаться этого плана в нашем настоящем вводном изложении, которое стремится к простоте, а не к формальной корректности.

Отношение называется симметричным, если R = ˘R, т. е. если оно имеет место между x и y всякий раз, когда оно имеет место между y и x (и, следовательно, наоборот). Тождество, различие, согласие или несогласие в каком-либо отношении являются симметричными отношениями. Отношение называется асимметричным, когда оно несовместимо со своим конверсом, т. е. когда R ∩ ˘R = Λ, или, что эквивалентно, xRy ⊃ ¬(yRx).

«До» и «после», «больше» и «меньше», «предок» и «потомок» являются асимметричными, как и все другие отношения такого рода, которые ведут к рядам. Но существует много асимметричных отношений, которые не ведут к рядам, например, отношение «брат жены» [11]. Отношение может быть ни симметричным, ни асимметричным; например, это справедливо для отношения включения между классами: α ⊂ β и β ⊂ α будут оба истинны, если α = β, но в противном случае будет истинно самое большее одно из них. Отношение «брат» не является ни симметричным, ни асимметричным, ибо если x — брат y, y может быть либо братом, либо сестрой x.

В пропозициональной функции xRy мы называем x референтом, а y — релятумом. Класс ŷ(xRy), состоящий из всех y, которые имеют отношение R к x, называется классом референтов R по отношению к x; класс ˆx(xRy), состоящий из всех x, к которым y имеет отношение R, называется классом релятумов R по отношению к y. Эти два класса обозначаются соответственно через R‘y и ˘R‘x. Таким образом, R‘y = ˆx(xRy) и ˘R‘x = ŷ(xRy). Стрелка направлена к y в первом случае, чтобы показать, что мы имеем дело с вещами, имеющими отношение R к y; она направлена от x во втором случае, чтобы показать, что отношение R идет от x к членам класса. Фактически она идет от референта x к релятуму y.

Обозначения R‘y, ˘R‘x очень важны и используются постоянно. Если R — отношение родителя к ребенку, R‘y = родители y, ˘R‘x = дети x. Мы имеем x ∈ R‘y ≡ xRy и y ∈ ˘R‘x ≡ xRy. Эти эквивалентности часто воплощаются в обычном языке. Например, мы говорим без различия «x — житель Лондона» или «x населяет Лондон». Если мы поставим «R» для «населяет», «x населяет Лондон» есть «x R London», в то время как «x — житель Лондона» есть «x ∈ ˘R‘London».

Вместо R‘y и ˘R‘x мы иногда используем R→y, R←x, где «→» означает «sagitta» (стрела), а «←» есть «→» наоборот. Таким образом, мы полагаем R→y = R‘y и R←x = ˘R‘x. Эти обозначения иногда удобнее, чем стрелка, когда рассматриваемое отношение представлено комбинацией букв, а не одной буквой, такой как R. Так, например, мы должны были бы писать (R ∪ S)→y, а не ставить стрелку над всей длиной (R ∪ S).

Класс всех членов, которые имеют отношение R к чему-либо, называется областью R. Так, если R — отношение родителя и ребенка, областью R будет класс родителей. Мы представляем область R через «D‘R». Таким образом, мы полагаем D‘R = ˆx(∃y)(xRy). Аналогично класс всех членов, к которым что-либо имеет отношение R, называется конверсной областью R; это то же самое, что область конверса R. Конверсная область R представляется через «D‘˘R» (или «C‘R»); таким образом, C‘R = ŷ(∃x)(xRy). Сумма области и конверсной области называется полем и представляется через «C‘R»: таким образом, C‘R = D‘R ∪ C‘R.

Поле C‘R главным образом важно в связи с рядами. Если R — упорядочивающее отношение ряда, C‘R будет классом членов ряда, D‘R будет всеми членами, кроме последнего (если таковой имеется), а C‘R будет всеми членами, кроме первого (если таковой имеется). Первый член, если он существует, является единственным членом C‘R ∖ D‘R, поскольку он является единственным членом, который является предшественником, но не последователем. Аналогично последний член (если таковой имеется) является единственным членом D‘R ∖ C‘R. Условие того, что ряд не должен иметь конца, есть D‘R = C‘R, т. е. «каждый последователь есть предшественник»; условие отсутствия начала есть C‘R = D‘R. Эти условия эквивалентны соответственно C‘R ⊂ D‘R и D‘R ⊂ C‘R.

Относительное произведение двух отношений R и S есть отношение, которое имеет место между x и z, когда существует промежуточный член y такой, что x имеет отношение R к y, а y имеет отношение S к z. Относительное произведение R и S представляется через R|S; таким образом, мы полагаем x(R|S)z ≡ (∃y)(xRy ∧ ySz). Таким образом, «папина тетя» есть относительное произведение «сестра» и «отец»; «папина бабушка» есть относительное произведение «мать» и «отец»; «мамина бабушка» есть относительное произведение «мать» и «мать». Относительное произведение не коммутативно, но оно подчиняется ассоциативному закону, т. е. (R|S)|T = R|(S|T). Оно также подчиняется дистрибутивному закону по отношению к логическому сложению отношений, т. е. мы имеем R|(S ∪ T) = (R|S) ∪ (R|T).

Но по отношению к логическому произведению мы имеем только R|(S ∩ T) ⊂ (R|S) ∩ (R|T).

Относительное произведение не подчиняется закону тавтологии, т. е. мы не имеем в общем случае R|R = R. Мы полагаем R^2 = R|R, R^3 = R^2|R, и т. д. Таким образом, папин дедушка = (отец|отец)‘x.

мамина бабушка = (мать|мать)‘x.

Отношение называется транзитивным, если R^2 ⊂ R, т. е. если, если xRy и yRz, мы всегда имеем xRz, т. е. когда R^2 ⊂ R. Отношения, которые порождают ряды, всегда транзитивны; так, например, если R — отношение, которое порождает ряд, xRy может быть удобно прочитано как «x предшествует y»; таким образом, «R^2 ⊂ R» становится «если x предшествует y и y предшествует z, то x всегда предшествует z». Класс отношений, которые порождают ряды, частично характеризуется тем фактом, что они транзитивны и асимметричны и никогда не связывают член с самим собой.

Если R — отношение, которое порождает ряд, и если мы имеем не просто R^2 ⊂ R, но R ⊂ R^2, то R порождает ряд, который является компактным (überall dicht), т. е. таким, что между любыми двумя членами есть члены. Ибо в этом случае мы имеем R ⊂ R^2, т. е. если x предшествует y, существует член z такой, что x предшествует z и z предшествует y, т. е. существует член между x и y. Таким образом, среди отношений, которые порождают ряды, те, которые порождают компактные ряды, — это те, для которых R ⊂ R^2.

Многие отношения, которые не порождают ряды, являются транзитивными, например, тождество или отношение включения между классами. Такие случаи возникают, когда отношения не являются асимметричными. Отношения, которые являются транзитивными и симметричными, представляют собой важный класс: их можно рассматривать как состоящие в обладании некоторым общим свойством.

Множественные дескриптивные функции. Класс членов y, которые имеют отношение R к некоторому члену класса α, обозначается через R‘‘α или R‘α. Определение есть R‘‘α = ŷ(∃x)(x ∈ α ∧ xRy). Так, например, пусть R — отношение «населять», а α — класс городов; тогда R‘‘α = жители городов α. Пусть R — отношение «меньше чем» среди рациональных чисел, а α — класс тех рациональных чисел, которые имеют форму 1/n для целых значений n; тогда R‘‘α будут все рациональные числа, меньшие некоторого члена α, т. е. все рациональные числа, меньшие 1. Если R — порождающее отношение ряда, а α — любой класс членов C‘R, R‘‘α будут предшественники членов α, т. е. сегмент, определенный α. Если R — отношение такое, что R‘x всегда существует, когда x ∈ α, R‘‘α будет классом всех членов формы R‘x для значений x, которые являются членами α; т. е. R‘‘α = ˆy(∃x)(x ∈ α ∧ y = R‘x). Таким образом, членом класса «отцы великих людей» будет отец x, где x — некоторый великий человек. В других случаях это не будет иметь места; например, пусть R — отношение числа к любому числу, множителем которого оно является; тогда R‘‘α будет классом всех множителей всех чисел α, но этот класс не состоит из членов формы «R‘x», где x — четное число, потому что числа не имеют только по одному множителю каждое.

Единичные классы. Класс, единственным членом которого является x, можно было бы считать идентичным x, но Пеано и Фреге показали, что это не так. (Причины, по которым это не так, будут предварительно объяснены в Главе II Введения.) Мы обозначаем через «ι‘x» класс, единственным членом которого является x: таким образом, ι‘x = ˆy(y = x), т. е. «ι‘x» означает «класс объектов, которые тождественны x».

Класс, состоящий из x и y, будет ι‘x ∪ ι‘y; класс, полученный добавлением x к классу α, будет α ∪ ι‘x; класс, полученный вычитанием x из класса α, будет α ∖ ι‘x. (Мы пишем α ∖ x как сокращение для α ∖ ι‘x.)

Следует заметить, что единичные классы были определены без ссылки на число 1; фактически мы используем единичные классы для определения числа 1. Это число определяется как класс единичных классов, т. е. 1 = ˆα(∃x)(α = ι‘x). Это ведет к E!(ι‘x). Из этого далее следует, что E!(ι‘x) ≡ (∃x)(φx), т. е. «ι‘x есть единичный класс» эквивалентно «существует x, удовлетворяющий φ».

Если E!(R‘y), то R‘y — единственный член R‘‘ι‘y, ибо единственный член ι‘y — это единственный член, к которому y имеет отношение R. Таким образом, «R‘y» занимает место «(ιx)(xRy)», если R‘y обозначает (ιx)(xRy). На практике «R‘y» — более удобное обозначение, чем «(ιx)(xRy)», и оно обычно используется вместо «(ιx)(xRy)».

Вышеприведенное изложение объяснило большую часть логических обозначений, используемых в настоящей работе. В приложениях к различным частям математики вводятся другие определения; но объекты, определяемые этими более поздними определениями, принадлежат, по большей части, скорее математике, чем логике. Читатель, освоивший объясненные выше символы, обнаружит, что любые более поздние формулы могут быть расшифрованы с помощью сравнительно немногих дополнительных определений.

СНОСКИ:

[1] Ср. Главу II Введения.

[2] Эта фраза принадлежит Фреге.

[3] Значение этих выражений будет объяснено позже, и примеры использования точек в связи с ними будут даны на стр. 17, 18.

[4] Этот случай будет полностью рассмотрен в Главе III Введения. В настоящее время он не требует нашего дальнейшего внимания.

[5] Это согласуется с правилами для вхождений точек типа Группы II, как объяснено выше, стр. 9 и 10.

[6] Говорят, что значение x удовлетворяет φx, когда φx истинно для этого значения x.

[7] Вместо x может быть использована любая другая буква.

[8] Такая пара имеет смысл, т. е. пара x;y отличается от пары y;x, если x ≠ y. Мы будем называть ее «парой со смыслом», чтобы отличить ее от класса, состоящего из x и y. Ее также можно назвать упорядоченной парой.

[9] Тот же принцип применяется ко многим случаям использования собственных имен существующих объектов, например, ко всем случаям использования собственных имен для объектов, известных говорящему только по слухам, а не по личному знакомству.

[10] Второе из этих обозначений взято из «Algebra und Logik der Relative» Шрёдера.

[11] Это отношение не является строго асимметричным, но является таковым, за исключением случаев, когда брат жены также является мужем сестры. В Греческой церкви это отношение строго асимметрично.