«Principia Mathematica, том 1»

ГЛАВА II. ТЕОРИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ТИПОВ.

Теория логических типов, которая будет объяснена в настоящей Главе, рекомендовала себя нам в первую очередь своей способностью разрешать определенные противоречия, из которых наиболее известным математикам является противоречие Бурали-Форти относительно наибольшего порядкового числа. Но рассматриваемая теория не зависит полностью от этой косвенной рекомендации: она также обладает определенным созвучием со здравым смыслом, что делает ее внутренне достоверной. Поэтому в дальнейшем мы сначала изложим теорию саму по себе, а затем применим ее к разрешению противоречий.

I. Принцип порочного круга.

Анализ парадоксов, которых следует избегать, показывает, что все они возникают из определенного рода порочного круга [12]. Рассматриваемые порочные круги возникают из предположения, что совокупность объектов может содержать члены, которые могут быть определены только посредством совокупности как целого. Так, например, предполагается, что совокупность предложений содержит предложение, утверждающее, что «все предложения либо истинны, либо ложны». Однако кажется, что такое утверждение не могло бы быть законным, если бы «все предложения» не относились к какой-то уже определенной совокупности, чего они не могут делать, если новые предложения создаются утверждениями о «всех предложениях». Поэтому нам придется сказать, что утверждения о «всех предложениях» бессмысленны. Более общо, для любого множества объектов такого, что, если мы предположим, что множество имеет итог, оно будет содержать члены, которые предполагают этот итог, такое множество не может иметь итога. Говоря, что множество «не имеет итога», мы имеем в виду, прежде всего, что нельзя сделать значимое утверждение обо «всех его членах». Предложения, как показывает приведенная выше иллюстрация, должны быть множеством, не имеющим итога. То же самое верно, как мы вскоре увидим, и для пропозициональных функций, даже когда они ограничены такими, которые могут значимо иметь в качестве аргумента данный объект. В таких случаях необходимо разбить наше множество на меньшие множества, каждое из которых способно иметь итог. Именно это и стремится осуществить теория типов.

Принцип, который позволяет нам избегать нелегитимных совокупностей, может быть сформулирован следующим образом: «То, что включает в себя все члены совокупности, не должно быть одним из членов этой совокупности»; или, наоборот: «Если бы при условии, что некоторая совокупность имеет итог, она имела бы члены, определимые только в терминах этого итога, то данная совокупность не имеет итога». Мы будем называть это «принципом порочного круга», потому что он позволяет нам избегать порочных кругов, связанных с допущением нелегитимных совокупностей. Аргументы, которые осуждаются принципом порочного круга, будут называться «ошибками порочного круга». Такие аргументы в определенных обстоятельствах могут приводить к противоречиям, но часто случается, что выводы, к которым они приводят, на самом деле истинны, хотя аргументы ошибочны. Возьмем, например, закон исключенного третьего в форме «все предложения истинны или ложны». Если из этого закона мы аргументируем, что, поскольку закон исключенного третьего является предложением, следовательно, закон исключенного третьего истинен или ложен, мы совершаем ошибку порочного круга. «Все предложения» должны быть каким-то образом ограничены, прежде чем они станут легитимной совокупностью, и любое ограничение, которое делает их легитимными, должно сделать любое утверждение о совокупности выходящим за пределы совокупности. Аналогично, воображаемый скептик, который утверждает, что он ничего не знает, и опровергается вопросом, знает ли он, что он ничего не знает, утверждает бессмыслицу и был ошибочно опровергнут аргументом, который включает ошибку порочного круга. Чтобы утверждение скептика стало значимым, необходимо наложить некоторое ограничение на вещи, о которых он утверждает свое невежество, потому что вещи, о которых можно быть в неведении, образуют нелегитимную совокупность. Но как только им наложено подходящее ограничение на совокупность предложений, о которых он утверждает свое невежество, предложение о том, что он не знает ни одного члена этой совокупности, само не должно быть одним из членов этой совокупности. Следовательно, любой значимый скептицизм не открыт для вышеуказанной формы опровержения.

Парадоксы символической логики касаются различных видов объектов: предложений, классов, кардинальных и порядковых чисел и т. д. Все эти виды объектов, как мы покажем, представляют собой нелегитимные совокупности и поэтому способны порождать ошибки порочного круга. Но посредством теории (которая будет объяснена в Главе III), сводящей утверждения, которые словесно касаются классов и отношений, к утверждениям, которые касаются пропозициональных функций, парадоксы сводятся к таким, которые касаются предложений и пропозициональных функций. Парадоксы, касающиеся предложений, лишь косвенно относятся к математике, в то время как те, которые более непосредственно касаются математика, все касаются пропозициональных функций. Поэтому мы немедленно перейдем к рассмотрению пропозициональных функций.

II. Природа пропозициональных функций.

Под «пропозициональной функцией» мы понимаем нечто, что содержит переменную x и выражает предложение, как только x присваивается значение. То есть она отличается от предложения исключительно тем фактом, что она двусмысленна: она содержит переменную, значение которой не присвоено. Она согласуется с обычными функциями математики в том факте, что содержит неназначенную переменную: где она отличается, так это в том факте, что значениями функции являются предложения. Так, например, «x — человек» или «x^2 + x + 1 = 0» есть пропозициональная функция. Мы обнаружим, что возможно совершить ошибку порочного круга в самом начале, допуская в качестве возможных аргументов пропозициональной функции термины, которые предполагают эту функцию. Эта форма ошибки очень поучительна, и ее избегание ведет, как мы увидим, к иерархии типов.

Вопрос о природе функции [13] отнюдь не прост. Однако кажется, что существенной характеристикой функции является двусмысленность. Возьмем, например, закон тождества в форме «x есть x», которая является формой, в которой он обычно формулируется. Ясно, что, если рассматривать психологически, мы имеем здесь единое суждение. Но что мы должны сказать об объекте суждения? Мы не судим, что Сократ есть Сократ, ни что Платон есть Платон, ни любое другое из определенных суждений, которые являются примерами закона тождества. Тем не менее каждое из этих суждений в некотором смысле находится в рамках нашего суждения. Мы фактически судим двусмысленный пример пропозициональной функции «x есть x». Мы, по-видимому, имеем единую мысль, которая не имеет определенного объекта, но имеет своим объектом неопределенное одно из значений функции «x есть x». Именно этот вид двусмысленности составляет сущность функции. Когда мы говорим о «φx», где x не определено, мы имеем в виду одно значение функции, но не определенное. Мы можем выразить это, сказав, что «φx» двусмысленно обозначает φa, φb, φc и т. д., где a, b, c и т. д. являются различными значениями «x».

Когда мы говорим, что «φx» двусмысленно обозначает φa, φb, φc и т. д., мы имеем в виду, что «φx» означает один из объектов φa, φb, φc и т. д., хотя и не определенный, а неопределенный. Отсюда следует, что «φx» имеет хорошо определенное значение (хорошо определенное, то есть, за исключением того, что в его сущности быть двусмысленным) только в том случае, если объекты φa, φb, φc и т. д. хорошо определены. То есть функция не является хорошо определенной функцией, если все ее значения уже не хорошо определены. Из этого следует, что ни одна функция не может иметь среди своих значений ничего, что предполагает эту функцию, ибо если бы она имела, мы не могли бы рассматривать объекты, двусмысленно обозначаемые функцией, как определенные до тех пор, пока функция не была бы определена, в то время как, наоборот, как мы только что видели, функция не может быть определена, пока ее значения не определены. Это частный случай, но, возможно, самый фундаментальный случай принципа порочного круга. Функция есть то, что двусмысленно обозначает некое одно из определенной совокупности, а именно значения функции; следовательно, эта совокупность не может содержать никаких членов, которые включают в себя функцию, поскольку, если бы она содержала, она содержала бы члены, включающие совокупность, чего, согласно принципу порочного круга, никакая совокупность делать не может.

Будет видно, что, согласно вышеприведенному изложению, значения функции предполагаются функцией, а не наоборот. Достаточно очевидно в любом частном случае, что значение функции не предполагает функцию. Так, например, предложение «Сократ — человек» может быть прекрасно понято без рассмотрения его как значения функции «x — человек». Правда, наоборот, функция может быть понята без необходимости понимать ее значения по отдельности и индивидуально. Если бы это было не так, ни одна функция не могла бы быть понята вообще, поскольку число значений (истинных и ложных) функции обязательно бесконечно, и обязательно существуют возможные аргументы, с которыми мы не знакомы. Что необходимо, так это не то, чтобы значения были даны индивидуально и экстенсионально, а то, чтобы совокупность значений была дана интенсионально, так что относительно любого назначенного объекта по крайней мере теоретически определимо, является ли данный объект значением функции или нет.

Практически необходимо отличать саму функцию от неопределенного значения функции. Мы можем рассматривать саму функцию как то, что двусмысленно обозначает, в то время как неопределенное значение функции — это то, что двусмысленно обозначается. Если неопределенное значение записано «φx», мы будем писать саму функцию «φx̂». (Вместо x̂ может быть использована любая другая буква.) Таким образом, мы должны сказать «φx — предложение», но «φx̂ — пропозициональная функция». Когда мы говорим «φx — предложение», мы имеем в виду утверждение чего-то, что истинно для каждого возможного значения x, хотя мы не решаем, какое значение x должно иметь. Мы делаем двусмысленное утверждение о любом значении функции. Но когда мы говорим «φx̂ — функция», мы не делаем двусмысленного утверждения. Было бы правильнее сказать, что мы делаем утверждение об двусмысленности, придерживаясь взгляда, что функция есть двусмысленность. Сама функция, φx̂, есть единая вещь, которая двусмысленно обозначает свои многие значения; в то время как φx, где x не определено, есть один из обозначаемых объектов, причем двусмысленность принадлежит способу обозначения.

Мы видели, что в соответствии с принципом порочного круга значения функции не могут содержать термины, определимые только в терминах функции. Теперь, учитывая функцию φx̂, значения для функции [14] — это все предложения вида φx. Отсюда следует, что не должно быть никаких предложений вида φx, в которых x имеет значение, которое включает в себя φx̂. (Если бы это было так, значения функции не были бы все определены до тех пор, пока функция не была бы определена, тогда как мы обнаружили, что функция не определена, если ее значения не определены заранее.) Следовательно, не должно быть такой вещи, как значение для φx̂ с аргументом φx̂, или с любым аргументом, который включает в себя φx̂. То есть символ «φ(φx̂)» не должен выражать предложение, как «φ(a)» делает, если a — значение для φx̂. Фактически «φ(φx̂)» должен быть символом, который ничего не выражает: мы можем поэтому сказать, что он не является значимым. Таким образом, учитывая любую функцию φx̂, существуют аргументы, с которыми функция не имеет значения, так же как существуют аргументы, с которыми она имеет значение. Мы будем называть аргументы, с которыми φx̂ имеет значение, «возможными значениями x». Мы будем говорить, что φx̂ «значима с аргументом x», когда φx̂ имеет значение с аргументом x.

Когда говорят, что, например, «φ(φx̂)» бессмысленно и, следовательно, ни истинно, ни ложно, необходимо избежать недопонимания. Если бы «φ(φx̂)» интерпретировалось как означающее «значение для φx̂ с аргументом φx̂ истинно», это было бы не бессмысленно, а ложно. Это ложно по той же причине, по которой «Король Франции лыс» ложно, а именно потому, что не существует такой вещи, как «значение для φx̂ с аргументом φx̂». Но когда с некоторым аргументом x мы утверждаем φx, мы не имеем в виду утверждать «значение для φx̂ с аргументом x истинно»; мы имеем в виду утверждать само предложение, которое является значением для φx̂ с аргументом x. Так, например, если φx̂ есть «x — человек», φ(Сократ) будет «Сократ — человек», а не «значение для функции «x — человек» с аргументом Сократ истинно». Таким образом, в соответствии с нашим принципом, что «φ(φx̂)» бессмысленно, мы не можем законно отрицать «функция «x — человек» — человек», потому что это бессмыслица, но мы можем законно отрицать «значение для функции «x — человек» с аргументом «x — человек» истинно», не на том основании, что рассматриваемое значение ложно, а на том основании, что для функции не существует такого значения.

Мы будем обозначать символом «(x).φx» предложение «φx всегда [15]», т. е. предложение, которое утверждает все значения для φx̂. Это предложение включает в себя функцию φx̂, а не просто двусмысленное значение функции. Утверждение φx, где x не определено, есть утверждение, отличное от того, которое утверждает все значения для φx̂, ибо первое есть двусмысленное утверждение, тогда как второе ни в каком смысле не является двусмысленным. Будет замечено, что «(x).φx» не утверждает «φx со всеми значениями x», потому что, как мы видели, должны существовать значения x, с которыми «φx» бессмысленно. То, что утверждается через «(x).φx», — это все предложения, которые являются значениями для φx̂; следовательно, φx утверждается, когда мы утверждаем «(x).φx», только с такими значениями x, которые делают «φx» значимым, т. е. со всеми возможными аргументами. Таким образом, удобный способ прочитать «(x).φx» — это «φx истинно со всеми возможными значениями x». Это, однако, менее точное чтение, чем «φx всегда», потому что понятие истины не является частью содержания того, что судится. Когда мы судим «все люди смертны», мы судим истинно, но понятие истины не обязательно находится в наших умах, не более, чем оно должно быть, когда мы судим «Сократ смертен».

III. Определение и систематическая двусмысленность истины и лжи.

Поскольку «(x).φx» включает в себя функцию φx̂, оно должно, согласно нашему принципу, быть невозможным в качестве аргумента для φx̂. То есть символ «φ(φx̂)» должен быть бессмысленным. Этот принцип, на первый взгляд, кажется, имеет некоторые исключения. Возьмем, например, функцию «x ложно» и рассмотрим предложение «(x).x ложно». Это должно быть предложение, утверждающее все предложения вида «x ложно». Такое предложение, мы были бы склонны сказать, должно быть ложным, потому что «x ложно» не всегда истинно. Следовательно, мы были бы приведены к предложению «(x).x ложно» ложно, т. е. мы были бы приведены к предложению, в котором «(x).x ложно» является аргументом для функции «x ложно», что мы объявили невозможным. Теперь будет видно, что «(x).x ложно» в вышеприведенном претендует на то, чтобы быть предложением обо всех предложениях, и что, согласно общей форме принципа порочного круга, не должно быть никаких предложений обо всех предложениях. Тем не менее кажется ясным, что, учитывая любую функцию, существует предложение (истинное или ложное), утверждающее все ее значения. Следовательно, мы приходим к выводу, что «x ложно» и «y ложно» не всегда должны быть значениями с аргументами x и y для одной функции «x ложно». Это, однако, возможно только в том случае, если слово «ложно» действительно имеет много различных значений, подходящих для предложений различных видов.

То, что слова «истинно» и «ложно» имеют много различных значений в зависимости от вида предложения, к которому они применяются, нетрудно увидеть. Возьмем любую функцию φx̂ и пусть φx будет одним из ее значений. Назовем вид истины, который применим к φx, «первой истиной». (Это не означает, что это была бы первая истина в другом контексте: это лишь указывает на то, что это первый вид истины в нашем контексте.) Рассмотрим теперь предложение (x).φx. Если оно имеет истину того вида, который подходит для него, это будет означать, что каждое значение φx имеет «первую истину». Таким образом, если мы назовем вид истины, который подходит для (x).φx, «второй истиной», мы можем определить «p имеет вторую истину» как означающее «каждое значение φx имеет первую истину», т. е. «(x).φx имеет первую истину». Аналогично, если мы обозначим через «(∃x).φx» предложение «φx иногда», т. е., как мы можем менее точно выразить это, «φx с некоторым значением x», мы обнаружим, что (∃x).φx имеет вторую истину, если существует x, с которым φx имеет первую истину; таким образом, мы можем определить «p имеет вторую истину» как означающее «некоторое значение φx имеет первую истину», т. е. «(∃x).φx имеет первую истину». Подобные замечания применимы к лжи. Таким образом, «p имеет вторую ложь» будет означать «некоторое значение φx имеет первую ложь», т. е. «(∃x).φx имеет первую ложь», в то время как «p имеет вторую ложь» будет означать «все значения φx имеют первую ложь», т. е. «(x).φx имеет первую ложь». Таким образом, вид лжи, который может принадлежать общему предложению, отличается от вида, который может принадлежать частному предложению.

Применяя эти соображения к предложению «(x).φx ложно», мы видим, что вид лжи, о котором идет речь, должен быть уточнен. Если, например, имеется в виду первая ложь, функция «p имеет первую ложь» значима только тогда, когда p — это вид предложения, который имеет первую ложь или первую истину. Следовательно, «(x).φx ложно» будет заменено утверждением, которое эквивалентно «все предложения, имеющие либо первую истину, либо первую ложь, имеют первую ложь». Это предложение имеет вторую ложь и не является возможным аргументом для функции «p имеет первую ложь». Таким образом, кажущееся исключение из принципа, что «φ(φx̂)» должно быть бессмысленным, исчезает.

Подобные соображения позволят нам иметь дело с «не-p» и с «p или q». Может показаться, что это функции, в которых любое предложение может появиться в качестве аргумента. Но это связано с систематической двусмысленностью в значениях «не» и «или», благодаря которой они приспосабливаются к предложениям любого порядка. Чтобы полностью объяснить, как это происходит, будет хорошо начать с определения простейшего вида истины и лжи.

Вселенная состоит из объектов, обладающих различными качествами и находящихся в различных отношениях. Некоторые из объектов, которые встречаются во вселенной, являются сложными. Когда объект сложен, он состоит из взаимосвязанных частей. Рассмотрим сложный объект, состоящий из двух частей a и b, находящихся друг к другу в отношении R. Сложный объект «a-в-отношении-R-к-b» может быть способен быть воспринятым; когда он воспринят, он воспринимается как один объект. Внимание может показать, что он сложен; тогда мы судим, что a и b находятся в отношении R. Такое суждение, будучи производным от восприятия простым вниманием, может быть названо «суждением восприятия». Это суждение восприятия, рассматриваемое как фактическое событие, есть отношение четырех терминов, а именно a, b, R и воспринимающего. Восприятие, напротив, есть отношение двух терминов, а именно «a-в-отношении-R-к-b» и воспринимающего. Поскольку объект восприятия не может быть ничем, мы не можем воспринимать «a-в-отношении-R-к-b», если a не находится в отношении R к b. Следовательно, суждение восприятия, согласно вышеприведенному определению, должно быть истинным. Это не означает, что в суждении, которое кажется нам суждением восприятия, мы уверены в отсутствии ошибки, поскольку мы можем ошибаться, думая, что наше суждение было действительно получено просто анализом того, что было воспринято. Но если наше суждение было так получено, оно должно быть истинным. Фактически мы можем определить истину, где такие суждения затронуты, как состоящую в том факте, что существует сложный объект, соответствующий дискурсивному мышлению, которое является суждением. То есть, когда мы судим «a имеет отношение R к b», наше суждение называется истинным, когда существует сложный объект «a-в-отношении-R-к-b», и называется ложным, когда это не так. Это определение истины и лжи в отношении суждений такого рода.

Будет видно, что, согласно вышеприведенному изложению, суждение не имеет единого объекта, а именно предложения, но имеет несколько взаимосвязанных объектов. То есть отношение, которое составляет суждение, не есть отношение двух терминов, а именно судящего ума и предложения, но есть отношение нескольких терминов, а именно ума и того, что называется составляющими предложения. То есть, когда мы судим (скажем) «это красное», происходит отношение трех терминов: ума, «этого» и красного. С другой стороны, когда мы воспринимаем «красноту этого», существует отношение двух терминов, а именно ума и сложного объекта «краснота этого». Когда происходит суждение, существует некоторая сложная сущность, состоящая из ума и различных объектов суждения. Когда суждение истинно, в случае того вида суждений, которые мы рассматривали, существует соответствующий сложный объект, состоящий только из объектов суждения. Ложь, в отношении нашего настоящего класса суждений, состоит в отсутствии соответствующего сложного объекта, состоящего только из объектов. Из вышеприведенной теории следует, что «предложение» в том смысле, в котором предложение должно быть объектом суждения, есть ложная абстракция, потому что суждение имеет несколько объектов, а не один. Именно множественность объектов в суждении (в противоположность восприятию) привела людей к тому, чтобы называть мышление «дискурсивным», хотя они, по-видимому, не осознавали ясно, что имелось в виду под этим эпитетом.

Из-за множественности объектов единичного суждения следует, что то, что мы называем «предложением» (в том смысле, в котором это отличается от фразы, выражающей его), вообще не является единой сущностью. То есть фраза, которая выражает предложение, есть то, что мы называем «неполным» символом [16]; он не имеет значения сам по себе, но требует некоторого дополнения, чтобы приобрести полное значение. Этот факт несколько скрыт тем обстоятельством, что суждение само по себе предоставляет достаточное дополнение и что суждение само по себе не делает никакого словесного добавления к предложению. Таким образом, «предложение «Сократ — человек»» использует «Сократ — человек» способом, который требует дополнения какого-либо рода, прежде чем он приобретет полное значение; но когда я сужу «Сократ — человек», значение дополняется актом суждения, и мы больше не имеем неполного символа. Тот факт, что предложения являются «неполными символами», важен философски и уместен в определенных точках символической логики.

Суждения, с которыми мы имели дело до сих пор, являются такими, которые имеют ту же форму, что и суждения восприятия, т. е. их субъекты всегда частные и определенные. Но существует много суждений, которые не имеют этой формы. Таковы «все люди смертны», «я встретил человека», «некоторые люди — греки». Прежде чем иметь дело с такими суждениями, мы введем некоторые технические термины.

Мы дадим имя «сложный объект» любому такому объекту, как «a в отношении R к b» или «a, обладающий качеством φ» или «a, b и c, находящиеся в отношении R». В широком смысле сложный объект — это все, что встречается во вселенной и не является простым. Мы будем называть суждение элементарным, когда оно просто утверждает такие вещи, как «a имеет отношение R к b», «a имеет качество φ» или «a, b и c находятся в отношении R». Тогда элементарное суждение истинно, когда существует соответствующий сложный объект, и ложно, когда нет соответствующего сложного объекта.

Но возьмем теперь такое предложение, как «все люди смертны». Здесь суждение соответствует не одному сложному объекту, а многим, а именно «Сократ смертен», «Платон смертен», «Аристотель смертен» и т. д. (На данный момент нет необходимости исследовать, не требует ли каждый из них дальнейшей обработки, прежде чем мы достигнем конечных сложных объектов. Для целей иллюстрации «Сократ смертен» здесь рассматривается как элементарное суждение, хотя на самом деле это не так, как будет объяснено позже. Поистине элементарные суждения найти не очень легко.) Мы не намерены отрицать, что может существовать некоторое отношение концепта «человек» к концепту «смертный», которое может быть эквивалентно «все люди смертны», но в любом случае это отношение — не то же самое, что мы утверждаем, когда говорим, что все люди смертны. Наше суждение о том, что все люди смертны, собирает вместе ряд элементарных суждений. Оно, однако, не состоит из них, поскольку (например) тот факт, что Сократ смертен, не является частью того, что мы утверждаем, что можно увидеть, рассмотрев тот факт, что наше утверждение может быть понято человеком, который никогда не слышал о Сократе. Чтобы понять суждение «все люди смертны», нет необходимости знать, какие люди существуют. Мы должны, следовательно, признать в качестве радикально нового вида суждения такие общие утверждения, как «все люди смертны». Мы утверждаем, что при условии, что x — человек, x всегда смертен. То есть мы утверждаем «x смертен» для каждого x, который является человеком. Таким образом, мы способны судить (истинно или ложно), что все объекты, которые обладают некоторым назначенным свойством, также обладают некоторым другим назначенным свойством. То есть, учитывая любые пропозициональные функции φx̂ и ψx̂, существует суждение, утверждающее ψx для каждого x, для которого мы имеем φx. Такие суждения мы будем называть общими суждениями.

Очевидно (как объяснено выше), что определение истины отличается в случае общих суждений от того, каким оно было в случае элементарных суждений. Назовем значение истины, которое мы дали для элементарных суждений, «элементарной истиной». Тогда, когда мы утверждаем, что истинно, что все люди смертны, мы будем иметь в виду, что все суждения вида «x смертен», где x — человек, имеют элементарную истину. Мы можем определить это как «истину второго порядка» или «истину второго порядка». Тогда, если мы выразим предложение «все люди смертны» в форме (x).φx ⊃ ψx и назовем это суждение p, то «p истинно» должно пониматься как означающее «p имеет истину второго порядка», что в свою очередь означает (x).φx ⊃ ψx имеет элементарную истину.

Чтобы избежать необходимости явно указывать ограничение, которому подвержена наша переменная, удобно заменить вышеприведенную интерпретацию «все люди смертны» немного другой интерпретацией. Предложение «все люди смертны» эквивалентно ««x — человек» имплицирует «x смертен» со всеми возможными значениями x». Здесь x не ограничено такими значениями, которые являются людьми, но может иметь любое значение, с которым ««x — человек» имплицирует «x смертен»» значимо, т. е. либо истинно, либо ложно. Такое предложение называется «формальной импликацией». Преимущество этой формы в том, что значения, которые может принимать переменная, даются функцией, для которой она является аргументом: значения, которые может принимать переменная, — это все те, с которыми функция значима.

Мы используем символ «(x).φx» для выражения общего суждения, которое утверждает все суждения вида «φx». Тогда суждение «все люди смертны» эквивалентно (x).φx ⊃ ψx, т. е. (в силу определения импликации) к (x).¬φx ∨ ψx. Как мы только что видели, значение истины, которое применимо к этому предложению, не то же самое, что значение истины, которое применимо к «x — человек» или к «x смертен». И вообще, в любом суждении (x).φx смысл, в котором это суждение есть или может быть истинным, не тот же самый, в котором φx есть или может быть истинным. Если φx — элементарное суждение, оно истинно, когда оно указывает на соответствующий сложный объект. Но (x).φx не указывает на единый соответствующий сложный объект: соответствующие сложные объекты так же многочисленны, как возможные значения x.

Из вышесказанного следует, что такое предложение, как «все суждения, сделанные Эпименидом, истинны», будет лишь prima facie способным быть истинным, если все его суждения одного порядка. Если они разного порядка, из которых n-й является высшим, мы можем сделать n утверждений вида «все суждения порядка n, сделанные Эпименидом, истинны», где n имеет все значения до n. Но никакое такое суждение не может включать себя в свою собственную область, поскольку такое суждение всегда более высокого порядка, чем суждения, к которым оно относится.

Рассмотрим далее, что подразумевается под отрицанием предложения вида (x).φx. Мы заметим, для начала, что «φx в некоторых случаях» или «φx иногда» — это суждение, которое находится на одном уровне с «φx во всех случаях» или «φx всегда». Суждение «φx иногда» истинно, если существует одно или более значений x, для которых φx истинно. Мы выразим предложение «φx иногда» через обозначение «(∃x).φx», где «∃» означает «существует», и весь символ может быть прочитан «существует x такой, что φx». Мы принимаем два вида суждения, выраженные через «(x).φx» и «(∃x).φx», как примитивные идеи. Мы также принимаем как примитивную идею отрицание элементарного предложения. Мы можем тогда определить отрицания (x).φx и (∃x).φx. Отрицание любого предложения p будет обозначаться символом «¬p». Тогда отрицание (x).φx будет определено как означающее (∃x).¬φx, а отрицание (∃x).φx будет определено как означающее (x).¬φx. Таким образом, в традиционном языке формальной логики отрицание общеутвердительного суждения должно быть определено как частноотрицательное, а отрицание частноутвердительного суждения должно быть определено как общеотрицательное. Следовательно, значение отрицания для таких предложений отличается от значения отрицания для элементарных предложений.

Аналогичное объяснение будет применимо к дизъюнкции. Рассмотрим утверждение «либо p, либо φx всегда». Мы будем обозначать дизъюнкцию двух предложений p, q через «p ∨ q». Тогда наше утверждение есть «p ∨ (x).φx». Мы предположим, что p — элементарное предложение, и что φx всегда элементарное предложение. Мы принимаем дизъюнкцию двух элементарных предложений как примитивную идею, и мы хотим определить дизъюнкцию p ∨ (x).φx. Это может быть определено как «(x).p ∨ φx», т. е. «либо p истинно, либо φx всегда истинно» должно означать ««p ∨ φx» всегда истинно». Аналогично мы определим p ∨ (∃x).φx как означающее «(∃x).p ∨ φx», т. е. мы определяем «либо p истинно, либо существует x, для которого φx истинно» как означающее «существует x, для которого либо p, либо φx истинно». Аналогично мы можем определить дизъюнкцию двух универсальных предложений: «(x).φx ∨ (x).ψx» будет определено как означающее «(x).φx ∨ ψx», т. е. «либо φx всегда истинно, либо ψx всегда истинно» должно означать ««φx ∨ ψx» всегда истинно». Этим методом мы получаем определения дизъюнкций, содержащих предложения вида (x).φx или (∃x).φx в терминах дизъюнкций элементарных предложений; но значение «дизъюнкции» не то же самое для предложений форм (x).φx, (∃x).φx, как оно было для элементарных предложений.

Аналогичные объяснения можно было бы дать для импликации и конъюнкции, но это излишне, поскольку они могут быть определены через отрицание и дизъюнкцию.

IV. Почему данная функция требует аргументов определенного типа.

Рассмотрения, приведенные до сих пор в пользу того взгляда, что функция не может осмысленно иметь в качестве аргумента нечто, определенное через саму эту функцию, были более или менее косвенными. Однако прямое рассмотрение видов функций, имеющих функции в качестве аргументов, и видов функций, имеющих аргументы, отличные от функций, покажет, если мы не ошибаемся, что не только невозможно, чтобы функция имела саму себя или что-либо производное от нее в качестве аргумента, но и что, если φ — другая функция, такая, что существуют аргументы, с которыми значимы как «φ(x)», так и «ψ(x)», то φ и все, что из нее производно, не могут осмысленно быть аргументом для ψ. Это вытекает из того факта, что функция по существу является неопределенностью и что, если она должна входить в определенное суждение, она должна входить таким образом, чтобы неопределенность исчезла и получился полностью однозначный смысл. Несколько примеров прояснят это. Так, «φ(x)», которое мы уже рассматривали, есть функция от x; как только x задано, мы получаем определенное суждение, полностью свободное от неопределенности. Но очевидно, что мы не можем подставить вместо функции нечто, что не является функцией: «φ(x) для всех случаев» зависит в своей значимости от того факта, что существуют «случаи» x, т.е. от неопределенности, которая характерна для функции. Этот пример иллюстрирует тот факт, что, когда функция может осмысленно входить в качестве аргумента, нечто, не являющееся функцией, не может осмысленно входить в качестве аргумента. Но, наоборот, когда нечто, не являющееся функцией, может осмысленно входить в качестве аргумента, функция не может входить осмысленно. Возьмем, например, «x есть человек» и рассмотрим «φ(x) есть человек». Здесь нет ничего, что устранило бы неопределенность, составляющую φ; таким образом, нет ничего определенного, о чем говорится, что оно есть человек. Функция, по сути, не является определенным объектом, который мог бы или не мог бы быть человеком; это лишь неопределенность, ожидающая своего определения, и для того, чтобы она могла входить осмысленно, она должна получить необходимое определение, которое она, очевидно, не получает, если ее просто подставляют вместо чего-то определенного в суждении [17]. Однако этот аргумент не применяется непосредственно против такого утверждения, как «φ(x) есть человек». Здравый смысл признал бы такое утверждение бессмысленным, но его нельзя осудить на основании неопределенности его субъекта. Нам здесь нужно новое возражение, а именно следующее: суждение не является единой сущностью, но есть отношение нескольких; следовательно, утверждение, в котором суждение выступает в качестве субъекта, будет значимым только в том случае, если оно может быть сведено к утверждению о терминах, которые появляются в суждении. Суждение, подобно таким фразам, как «такой-то», где грамматически оно выступает в качестве субъекта, должно быть разложено на свои составляющие, если мы хотим найти истинный субъект или субъекты [18]. Но в таком утверждении, как «p есть человек», где p — суждение, это невозможно. Следовательно, «p есть человек» бессмысленно.

V. Иерархия функций и суждений.

Таким образом, мы приходим к выводу, как из принципа порочного круга, так и из прямого наблюдения, что функции, для которых данный объект x может быть аргументом, не способны быть аргументами друг для друга и не имеют общего термина с функциями, для которых они сами могут быть аргументами. Мы, таким образом, приходим к построению иерархии. Начиная с x и других терминов, которые могут быть аргументами для тех же функций, для которых аргументом может быть x, мы переходим к функциям, для которых x является возможным аргументом, а затем к функциям, для которых такие функции являются возможными аргументами, и так далее. Но иерархия, которую необходимо построить, не так проста, как могло бы показаться на первый взгляд. Функции, которые могут принимать x в качестве аргумента, образуют нелегитимную совокупность и сами требуют разделения на иерархию функций. Это легко увидеть следующим образом. Пусть φ(x, y) — функция двух переменных x и y. Тогда, если, фиксируя на момент y, мы утвердим это для всех возможных значений x, мы получим суждение: (x).φ(x, y). Здесь, если y является переменной, мы имеем функцию от y; но так как эта функция включает совокупность значений x [19], она сама не может быть одним из значений, включенных в эту совокупность, согласно принципу порочного круга. Отсюда следует, что совокупность значений x, участвующих в (x).φ(x, y), не является совокупностью всех функций, в которых x может входить в качестве аргумента, и что не существует такой совокупности, как совокупность всех функций, в которых x может входить в качестве аргумента.

Из вышесказанного следует, что функция, в которой φ(x) появляется в качестве аргумента, требует, чтобы «φ» не обозначало любую функцию, способную принимать данный аргумент, но должно быть ограничено таким образом, чтобы ни одна из функций, являющихся возможными значениями «φ», не содержала никакой отсылки к совокупности таких функций. Возьмем в качестве иллюстрации определение тождества. Мы могли бы попытаться определить «x тождественно y» как означающее «все, что истинно для x, истинно для y», т.е. «φ(x) всегда влечет φ(y)». Но здесь, поскольку мы стремимся утвердить все значения «φ(x) влечет φ(y)», рассматриваемые как функция от φ, мы будем вынуждены наложить на φ некоторое ограничение, которое предотвратит включение в значения φ таких значений, в которых упоминаются «все возможные значения φ». Так, например, «x тождественно y» есть функция от φ; следовательно, если это легитимное значение φ в «φ(x) всегда влечет φ(y)», мы сможем вывести, посредством вышеприведенного определения, что если x тождественно z и z тождественно y, то x тождественно y. Хотя заключение верно, рассуждение содержит ошибку порочного круга, так как мы приняли «φ(x) влечет φ(y)» в качестве возможного значения φ, чем оно быть не может. Если, однако, мы наложим какое-либо ограничение на φ, может случиться, насколько это представляется сейчас, что при других значениях φ мы могли бы иметь φ(x) истинным, а φ(y) ложным, так что наше предложенное определение тождества было бы явно неверным. Эта трудность устраняется «аксиомой сводимости», которая будет объяснена позже. В настоящее время она упоминается лишь для того, чтобы проиллюстрировать необходимость и релевантность иерархии функций от данного аргумента.

Дадим название «φ-функции» функциям, которые значимы для данного аргумента x. Затем предположим, что мы берем любую выборку φ-функций и рассматриваем суждение «x удовлетворяет всем функциям, принадлежащим к рассматриваемой выборке». Если мы здесь заменим x переменной, мы получим φ-функцию; но по принципу порочного круга эта φ-функция не может быть членом нашей выборки, так как она отсылает ко всей выборке целиком. Пусть выборка состоит из всех тех функций, которые удовлетворяют ψ. Тогда наша новая функция есть (φ).ψ(φ)⊃φ(x), где x — аргумент. Таким образом, оказывается, что какую бы выборку φ-функций мы ни сделали, всегда найдутся другие φ-функции, которые лежат вне нашей выборки. Такие φ-функции, как иллюстрирует вышеприведенный пример, всегда возникают при взятии функции от двух аргументов, φ(x, y), и утверждении всех или некоторых значений, возникающих в результате варьирования y. Что необходимо, следовательно, для того, чтобы избежать ошибок порочного круга, — это разделить наши φ-функции на «типы», каждый из которых не содержит функций, отсылающих ко всему этому типу.

Когда что-то утверждается или отрицается обо всех возможных значениях или о некоторых (неопределенных) возможных значениях переменной, эта переменная называется связанной (apparent), по Пеано. Присутствие слов «все» или «некоторые» в суждении указывает на наличие связанной переменной; но часто связанная переменная реально присутствует там, где язык не сразу указывает на ее наличие. Так, например, «x смертен» означает «существует время, в которое x умрет». Таким образом, переменное время встречается как связанная переменная.

Наиболее ясными примерами суждений, не содержащих связанных переменных, являются те, которые выражают непосредственные суждения восприятия, такие как «это красное» или «это болезненно», где «это» есть нечто непосредственно данное. В других суждениях, даже там, где на первый взгляд кажется, что переменная отсутствует, часто случается, что она там действительно есть. Возьмем (скажем) «Сократ — человек». Для самого Сократа слово «Сократ», несомненно, означало объект, который он непосредственно осознавал, и суждение «Сократ — человек» не содержало связанной переменной. Но для нас, знающих Сократа только по описанию, слово «Сократ» не может означать то, что оно означало для него; оно означает скорее «лицо, обладающее такими-то свойствами», (скажем) «афинский философ, который выпил яд». Теперь во всех суждениях о «таком-то» есть связанная переменная, как будет показано в Главе III. Таким образом, в том, что мы имеем в виду, когда говорим «Сократ — человек», есть связанная переменная, хотя в соответствующем суждении, сделанном Сократом, связанной переменной не было, при условии, что мы допускаем существование непосредственного осознания самого себя.

Каковы бы ни были примеры суждений, не содержащих связанных переменных, очевидно, что пропозициональные функции, значения которых не содержат связанных переменных, являются источником суждений, содержащих связанные переменные, в том смысле, в каком функция φ(x) является источником суждения (x).φ(x). Ибо значения для φ(x) не содержат связанной переменной x, которая появляется в (x).φ(x); если они содержат связанную переменную y, она может быть аналогично устранена, и так далее. Этот процесс должен закончиться, так как никакое суждение, которое мы можем постичь, не может содержать более чем конечное число связанных переменных, на том основании, что все, что мы можем постичь, должно обладать конечной сложностью. Таким образом, мы должны в конце концов прийти к функции от стольких переменных, сколько было этапов в достижении ее от нашего исходного суждения, и эта функция будет такова, что ее значения не содержат связанных переменных. Мы можем назвать эту функцию матрицей нашего исходного суждения и любых других суждений и функций, которые могут быть получены путем превращения некоторых аргументов функции в связанные переменные. Так, например, если у нас есть матрица-функция, значениями которой являются φ(x, y), мы выведем из нее

(y).φ(x, y), которая есть функция от x,

(x).φ(x, y), которая есть функция от y,

(x, y).φ(x, y), означающее «φ(x, y) истинно для всех возможных значений x и y». Это последнее есть суждение, не содержащее свободной (real) переменной, т.е. никакой переменной, кроме связанных переменных.

Таким образом, ясно, что все возможные суждения и функции могут быть получены из матриц путем процесса превращения аргументов матриц в связанные переменные. Чтобы разделить наши суждения и функции на типы, мы, следовательно, начнем с матриц и рассмотрим, как они должны быть разделены с целью избежания ошибок порочного круга в определениях соответствующих функций. Для этой цели мы будем использовать такие буквы, как a, b, c, d, e, f, g, для обозначения объектов, которые не являются ни суждениями, ни функциями. Такие объекты мы будем называть индивидами. Такие объекты будут составляющими суждений или функций, и будут подлинными составляющими в том смысле, что они не исчезают при анализе, как (например) классы или фразы вида «такой-то».

Первые матрицы, которые встречаются, — это те, значения которых имеют вид φ(x, y, ...), т.е. где аргументы, сколько бы их ни было, все являются индивидами. Функции φ(x), ψ(x, y), ..., поскольку (по определению) они не содержат связанных переменных и не имеют никаких аргументов, кроме индивидов, не предполагают никакой совокупности функций. Из функций φ(x), ψ(x, y), ... мы можем перейти к формированию других функций от x, таких как (y).ψ(x, y), (y, z).χ(x, y, z), и так далее. Все они не предполагают никакой совокупности, кроме совокупности индивидов. Мы, таким образом, приходим к определенной коллекции функций от x, характеризующейся тем фактом, что они не включают никаких переменных, кроме индивидов. Такие функции мы будем называть «функциями первого порядка».

Теперь мы можем ввести обозначение для выражения «любая функция первого порядка». Мы будем обозначать любую функцию первого порядка через «f!x» и любое значение для такой функции через «f!x». Таким образом, «f!x» означает любое значение для любой функции, которая не включает никаких переменных, кроме индивидов. Будет видно, что «f!x» сама по себе является функцией двух переменных, а именно f! и x. Таким образом, f!x включает переменную, которая не является индивидом, а именно f!. Аналогично «(y).ψ(x, y)» есть функция от переменной x, и, таким образом, включает переменную, отличную от индивида. Опять же, если a — данный индивид, f!a есть функция от f!, но это не функция вида f!x, потому что она включает (связанную) переменную x, которая не является индивидом. Дадим название «предикат» любой функции первого порядка f!x. (Это использование слова «предикат» предлагается только для целей настоящего обсуждения.) Тогда утверждение «f!x влечет f!y для всех возможных значений f!» может быть прочитано как «все предикаты x являются предикатами y». Это делает утверждение об x, но не приписывает x предикат в специальном смысле, только что определенном.

Благодаря введению переменной функции первого порядка f!, мы теперь имеем новый набор матриц. Так, «f!(x, y)» есть функция, которая не содержит связанных переменных, но содержит две свободные переменные f! и x. (Следует заметить, что когда f! задано, мы можем получить функцию, значения которой действительно включают индивидов в качестве связанных переменных, например, если f! есть (z).ψ(z, x)). Но пока f! является переменной, f!(x) не содержит связанных переменных.) Опять же, если a — определенный индивид, f!(a) есть функция от одной переменной f!. Если a и b — определенные индивиды, «f!(a) влечет f!(b)» есть функция от двух переменных f!, и так далее. Мы, таким образом, приходим к целому набору новых матриц, f!(x, y, ...). Эти матрицы содержат индивидов и функции первого порядка в качестве аргументов, но (как и все матрицы) они не содержат связанных переменных. Любая такая матрица, если она содержит более одной переменной, порождает новые функции от одной переменной путем превращения всех ее аргументов, кроме одного, в связанные переменные. Таким образом, мы получаем функции f!(x), (x).f!(x, y), и так далее.

Мы дадим название «матрицы второго порядка» таким матрицам, которые имеют функции первого порядка среди своих аргументов и не имеют никаких аргументов, кроме функций первого порядка и индивидов. (Не обязательно, чтобы они имели индивидов среди своих аргументов.) Мы дадим название «функции второго порядка» таким, которые либо являются матрицами второго порядка, либо производны от таких матриц путем превращения некоторых аргументов в связанные переменные. Будет видно, что либо индивид, либо функция первого порядка может выступать в качестве аргумента для функции второго порядка. Функции второго порядка — это такие, которые содержат переменные, являющиеся функциями первого порядка, но не содержат никаких других переменных, кроме (возможно) индивидов.

Теперь в нашем распоряжении есть различные новые классы функций. Во-первых, у нас есть функции второго порядка, которые имеют один аргумент, являющийся функцией первого порядка. Мы будем обозначать переменную функцию такого рода обозначением f2!, и любое значение такой функции через f2!(f!x). Подобно f!x, f2!(f!x) есть функция от двух переменных, а именно f2! и f!x. Среди возможных значений f2! будут (f!x).ψ(f!x) (где ψ — константа), f2!(f!a), и так далее. (Они возникают в результате присвоения значения f!x, оставляя f2! для присвоения.) Мы будем называть такие функции «предикативными функциями функций первого порядка».

Во-вторых, у нас есть функции второго порядка от двух аргументов, один из которых является функцией первого порядка, а другой — индивидом. Обозначим неопределенные значения таких функций обозначением f2!(f!x, y). Как только f!x задано, мы будем иметь предикативную функцию от y. Если наша функция не содержит функции первого порядка в качестве связанной переменной, мы получим предикативную функцию от y, если присвоим значение f!x. Так, чтобы взять самый простой возможный случай, если f2! есть f!(x), присвоение значения x дает нам предикативную функцию от f!, в силу определения «f!x». Но если f2! содержит функцию первого порядка в качестве связанной переменной, присвоение значения f!x дает нам функцию второго порядка от y.

В-третьих, у нас есть функции второго порядка от индивидов. Все они будут производны от функций вида f2!(f!x) путем превращения f!x в связанную переменную. Нам, следовательно, не нужно новое обозначение для них.

У нас также есть функции второго порядка от двух функций первого порядка, или от двух таких функций и индивида, и так далее.

Теперь мы можем действовать точно таким же образом в отношении матриц третьего порядка, которые будут функциями, содержащими функции второго порядка в качестве аргументов и не содержащими связанных переменных, а также не содержащими никаких аргументов, кроме индивидов, функций первого порядка и функций второго порядка. Отсюда мы перейдем, как и прежде, к функциям третьего порядка; и так мы можем продолжать бесконечно. Если высший порядок переменной, встречающейся в функции, будь то в качестве аргумента или в качестве связанной переменной, есть функция n-го порядка, то функция, в которой она встречается, есть функция (n+1)-го порядка. Мы не приходим к функциям бесконечного порядка, потому что число аргументов и связанных переменных в функции должно быть конечным, и поэтому каждая функция должна быть конечного порядка. Поскольку порядки функций определяются только шаг за шагом, не может быть процесса «перехода к пределу», и функции бесконечного порядка не могут существовать.

Мы определим функцию от одной переменной как предикативную, когда она на порядок выше порядка своего аргумента, т.е. имеет низший порядок, совместимый с тем, что она имеет этот аргумент. Если функция имеет несколько аргументов и высший порядок функции, встречающейся среди аргументов, есть n-й, мы называем функцию предикативной, если она n-го порядка, т.е. опять же, если она имеет низший порядок, совместимый с тем, что она имеет эти аргументы. Функция от нескольких аргументов является предикативной, если существует один из ее аргументов такой, что, когда другим аргументам присвоены значения, мы получаем предикативную функцию от одного неопределенного аргумента.

Важно заметить, что все возможные функции в вышеприведенной иерархии могут быть получены посредством предикативных функций и связанных переменных. Так, как мы видели, функции второго порядка от индивида x имеют вид (f!).φ(f!, x), где φ — предикативная функция второго порядка. И говоря в общем, не-предикативная функция n-го порядка получается из предикативной функции n-го порядка путем превращения всех аргументов n-го порядка в связанные переменные. (Другие аргументы также могут быть превращены в связанные переменные.) Таким образом, нам не нужно вводить в качестве переменных никакие функции, кроме предикативных функций. Более того, чтобы получить любую функцию от одной переменной x, нам не нужно выходить за пределы предикативных функций от двух переменных. Ибо функция φ(x, y), где y задано, есть функция от x и y, и является предикативной. Таким образом, она имеет вид f2!(x, y), и поэтому (y).f2!(x, y) имеет вид (y).f2!(x, y). Таким образом, говоря в общем, последовательными шагами мы обнаруживаем, что если f!n — предикативная функция достаточно высокого порядка, любая заданная не-предикативная функция от x будет иметь одну из двух форм (f!n).f!n(x) или (f!n).f!n(x), где f!n — предикативная функция от x и y.

Природу вышеприведенной иерархии функций можно переформулировать следующим образом. Функция, как мы видели на более раннем этапе, предполагает в качестве части своего смысла совокупность своих значений или, что то же самое, совокупность своих возможных аргументов. Аргументами функции могут быть функции, суждения или индивиды. (Следует помнить, что индивиды были определены как все, что не является ни суждением, ни функцией.) В настоящее время мы пренебрегаем случаем, в котором аргументом функции является суждение. Рассмотрим функцию, аргументом которой является индивид. Эта функция предполагает совокупность индивидов; но если она не содержит функций в качестве связанных переменных, она не предполагает никакой совокупности функций. Если, однако, она содержит функцию в качестве связанной переменной, то она не может быть определена, пока не будет определена некоторая совокупность функций. Отсюда следует, что мы должны сначала определить совокупность тех функций, которые имеют индивидов в качестве аргументов и не содержат функций в качестве связанных переменных. Это предикативные функции индивидов. В общем, предикативная функция от переменного аргумента — это такая, которая не включает никакой совокупности, кроме совокупности возможных значений аргумента и тех, которые предполагаются любым из возможных аргументов. Таким образом, предикативная функция от переменного аргумента — это любая функция, которая может быть специфицирована без введения новых видов переменных, не предполагаемых переменной, являющейся аргументом.

Близко аналогичное рассмотрение может быть развито для суждений. Суждения, которые не содержат функций и связанных переменных, могут быть названы элементарными суждениями. Суждения, которые не являются элементарными, которые не содержат функций и никаких связанных переменных, кроме индивидов, могут быть названы суждениями первого порядка. (Следует заметить, что никакие переменные, кроме связанных переменных, не могут встречаться в суждении, так как все, что содержит свободную переменную, есть функция, а не суждение.) Таким образом, элементарные суждения и суждения первого порядка будут значениями функций первого порядка. (Следует помнить, что функция не является составляющей в одном из своих значений: так, например, функция «x есть человек» не является составляющей суждения «Сократ — человек».) Элементарные суждения и суждения первого порядка не предполагают никакой совокупности, кроме (в крайнем случае) совокупности индивидов. Они имеют одну из трех форм: f!x, (x).f!x, (x).f!x, где f! — предикативная функция от индивида. Отсюда следует, что если p представляет переменную элементарного суждения или переменную суждения первого порядка, функция f(p) есть либо f(f!x), либо f((x).f!x), либо f((x).f!x). Таким образом, функция от элементарного суждения или суждения первого порядка всегда может быть сведена к функции от функции первого порядка. Отсюда следует, что суждение, включающее совокупность суждений первого порядка, может быть сведено к суждению, включающему совокупность функций первого порядка; и это, очевидно, в равной степени применимо к высшим порядкам. Пропозициональная иерархия может, следовательно, быть выведена из функциональной иерархии, и мы можем определить суждение n-го порядка как такое, которое включает связанную переменную n-го порядка в функциональной иерархии. Пропозициональная иерархия никогда не требуется на практике и релевантна только для решения парадоксов; следовательно, нет необходимости вдаваться в дальнейшие детали относительно типов суждений.

VI. Аксиома сводимости.

Остается рассмотреть «аксиому сводимости». Будет видно, что, согласно вышеприведенной иерархии, никакое утверждение не может быть осмысленно сделано обо «всех φ-функциях», где φ — некоторый данный объект. Таким образом, такое понятие, как «все свойства x», означающее «все функции, которые истинны для аргумента x», будет нелегитимным. Мы должны будем различать порядок рассматриваемой функции. Мы можем говорить о «всех предикативных свойствах x», «всех свойствах второго порядка x» и так далее. (Если x — не индивид, а объект порядка n, «свойства второго порядка x» будут означать «функции порядка n+2, удовлетворяемые x».) Но мы не можем говорить о «всех свойствах x». В некоторых случаях мы можем видеть, что некоторое утверждение будет справедливо для «всех n-порядковых свойств x», какое бы значение ни имел x. В таких случаях не возникает практического вреда от рассмотрения утверждения как относящегося ко «всем свойствам x», при условии, что мы помним, что это на самом деле ряд утверждений, а не единое утверждение, которое можно было бы рассматривать как приписывающее x другое свойство, сверх всех свойств. Такие случаи всегда будут включать некоторую систематическую неопределенность, подобную той, что включена в значение слова «истина», как объяснено выше. Благодаря этой систематической неопределенности будет возможно, иногда, объединить в единое словесное утверждение то, что на самом деле является рядом различных утверждений, соответствующих различным порядкам в иерархии. Это иллюстрируется в случае лжеца, где утверждение «все утверждения A ложны» должно быть разбито на различные утверждения, отсылающие к его утверждениям различных порядков и приписывающие каждому соответствующий вид ложности.