«Principia Mathematica, том 1»

Аксиома сводимости вводится для того, чтобы легитимировать огромную массу рассуждений, в которых, prima facie, мы имеем дело с такими понятиями, как «все свойства x» или «все φ-функции», и в которых, тем не менее, вряд ли возможно заподозрить какую-либо существенную ошибку. Чтобы сформулировать аксиому, мы должны сначала определить, что имеется в виду под «формальной эквивалентностью». Две функции φ, ψ называются «формально эквивалентными», когда для каждого возможного аргумента x φ(x) эквивалентно ψ(x), т.е. φ(x) и ψ(x) либо оба истинны, либо оба ложны. Таким образом, две функции формально эквивалентны, когда они удовлетворяются одним и тем же набором аргументов. Аксиома сводимости — это допущение, что для любой функции φ существует формально эквивалентная предикативная функция, т.е. существует предикативная функция, которая истинна, когда φ истинна, и ложна, когда φ ложна. В символах аксиома такова: (∃f!).(x).φ(x)≡f!x. Для двух переменных нам требуется аналогичная аксиома, а именно: для любой функции φ(x, y) существует формально эквивалентная предикативная функция, т.е. (∃f!).(x, y).φ(x, y)≡f!(x, y).

Чтобы объяснить цели аксиомы сводимости и природу оснований для предположения о ее истинности, мы сначала проиллюстрируем ее, применив к некоторым частным случаям.

Если мы назовем предикатом объекта предикативную функцию, которая истинна для этого объекта, то предикаты объекта — это лишь некоторые из его свойств. Возьмем, например, такое суждение, как «Наполеон обладал всеми качествами, которые делают великого полководца». Мы можем интерпретировать это как означающее «Наполеон обладал всеми предикатами, которые делают великого полководца». Здесь есть предикат, который является связанной переменной. Если мы подставим «f!» вместо «f! — предикат, требуемый для великого полководца», наше суждение есть (f!).(f! — предикат великого полководца ⊃ f!(Наполеон)). Поскольку это отсылает к совокупности предикатов, оно само по себе не является предикатом Наполеона. Однако из этого вовсе не следует, что не существует одного предиката, общего и специфичного для великих полководцев. На самом деле, несомненно, что такой предикат существует. Ибо число великих полководцев конечно, и каждый из них, безусловно, обладал некоторым предикатом, которым не обладал ни один другой человек — например, точный момент его рождения. Дизъюнкция таких предикатов будет составлять предикат, общий и специфичный для великих полководцев [20]. Если мы назовем этот предикат f!, утверждение, которое мы сделали о Наполеоне, было эквивалентно f!(Наполеон). И эта эквивалентность сохраняется в равной степени, если мы подставим любого другого индивида вместо Наполеона. Таким образом, мы пришли к предикату, который всегда эквивалентен свойству, которое мы приписали Наполеону, т.е. он принадлежит тем объектам, которые обладают этим свойством, и никаким другим. Аксиома сводимости утверждает, что такой предикат всегда существует, т.е. что любое свойство объекта принадлежит той же коллекции объектов, что и те, которые обладают некоторым предикатом.

Мы можем далее проиллюстрировать наш принцип его применением к тождеству. В этой связи он имеет определенное сходство с лейбницевским тождеством неразличимых. Ясно, что если x и y тождественны, и φ(x) истинно, то φ(y) истинно. Здесь не может иметь значения, какого рода функцией может быть φ: утверждение должно быть справедливо для любой функции. Но мы не можем сказать, наоборот: «Если для всех значений φ, φ(x) влечет φ(y), то x и y тождественны»; потому что «все значения φ» недопустимо. Если мы хотим говорить о «всех значениях φ», мы должны ограничиться функциями одного порядка. Мы можем ограничиться предикатами, или функциями второго порядка, или функциями любого порядка, какого пожелаем. Но мы должны обязательно исключить функции всех порядков, кроме одного. Таким образом, мы получим, так сказать, иерархию различных степеней тождества. Мы можем сказать «все предикаты x принадлежат y», «все свойства второго порядка x принадлежат y» и так далее. Каждое из этих утверждений влечет все свои предшествующие: например, если все свойства второго порядка x принадлежат y, то все предикаты x принадлежат y, ибо обладать всеми предикатами x есть свойство второго порядка, и это свойство принадлежит y. Но мы не можем, без помощи аксиомы, аргументировать наоборот, что если все предикаты x принадлежат y, то все свойства второго порядка x также должны принадлежать y. Таким образом, мы не можем, без помощи аксиомы, быть уверены, что x и y тождественны, если они имеют одни и те же предикаты. Лейбницевское тождество неразличимых предоставляло эту аксиому. Следует заметить, что под «неразличимыми» он не мог иметь в виду два объекта, которые согласуются во всех своих свойствах, ибо одно из свойств x есть быть тождественным x, и поэтому это свойство обязательно принадлежало бы y, если бы x и y согласовались во всех своих свойствах. Некоторое ограничение общих свойств, необходимых для того, чтобы сделать вещи неразличимыми, подразумевается, следовательно, необходимостью аксиомы. Для целей иллюстрации (а не интерпретации Лейбница) мы можем предположить, что общие свойства, требуемые для неразличимости, ограничены предикатами. Тогда тождество неразличимых будет утверждать, что если x и y согласуются во всех своих предикатах, они тождественны. Это может быть доказано, если мы примем аксиому сводимости. Ибо в этом случае каждое свойство принадлежит той же коллекции объектов, что определена некоторым предикатом. Следовательно, существует некоторый предикат, общий и специфичный для объектов, которые тождественны x. Этот предикат принадлежит y, так как x тождественен самому себе; следовательно, он принадлежит y, так как y имеет все предикаты x; следовательно, y тождественен x. Отсюда следует, что мы можем определить x и y как тождественные, когда все предикаты x принадлежат y, т.е. когда (f!).f!x≡f!y. Мы, следовательно, принимаем следующее определение тождества [21]:

Но помимо аксиомы сводимости или некоторой аксиомы, эквивалентной в этой связи, мы были бы вынуждены рассматривать тождество как неопределимое и признать (что кажется невозможным), что два объекта могут соглашаться во всех своих предикатах, не будучи тождественными.

Аксиома сводимости еще более существенна в теории классов. Следует заметить, во-первых, что если мы предположим существование классов, аксиома сводимости может быть доказана. Ибо в этом случае, для любой функции φ любого порядка, существует класс α, состоящий именно из тех объектов x, которые удовлетворяют φ. Следовательно, «φ(x)» эквивалентно «x принадлежит α». Но «x принадлежит α» есть утверждение, не содержащее связанной переменной, и является, следовательно, предикативной функцией от x. Отсюда, если мы предполагаем существование классов, аксиома сводимости становится ненужной. Допущение аксиомы сводимости является, следовательно, меньшим допущением, чем допущение о том, что существуют классы. Это последнее допущение до сих пор делалось без колебаний. Однако, как на основании противоречий, которые требуют более сложного рассмотрения, если классы предполагаются, так и на основании того, что всегда хорошо делать наименьшее допущение, требуемое для доказательства наших теорем, мы предпочитаем принять аксиому сводимости, а не существование классов. Но чтобы объяснить использование аксиомы при работе с классами, необходимо сначала объяснить теорию классов, которая является темой, относящейся к Главе III. Мы, следовательно, откладываем до этой Главы объяснение использования нашей аксиомы при работе с классами.

Стоит отметить, что все цели, которым служит аксиома сводимости, в равной степени хорошо достигаются, если мы предположим, что всегда существует функция n-го порядка (где n фиксировано), которая формально эквивалентна φ, каков бы ни был порядок φ. Здесь мы будем понимать под «функцией n-го порядка» функцию n-го порядка относительно аргументов x, y, ...; таким образом, если эти аргументы абсолютно n-го порядка, мы предполагаем существование функции, формально эквивалентной φ, чей абсолютный порядок есть n-й. Аксиома сводимости в форме, принятой выше, берет n=1, но это не является необходимым для использования аксиомы. Также не является необходимым, чтобы n было одним и тем же для различных значений φ; что необходимо, так это чтобы n было константой, пока φ является константой. Что нужно, так это чтобы, когда дело касается экстенсиональных функций функций, мы могли иметь дело с любой φ-функцией посредством некоторой формально эквивалентной функции данного типа, чтобы иметь возможность получить результаты, которые иначе потребовали бы нелегитимного понятия «всех φ-функций»; но не имеет значения, какой это данный тип. Однако не представляется, что аксиома сводимости становится заметно более правдоподобной от того, что она представлена в вышеприведенной более общей, но более сложной форме.

Аксиома сводимости эквивалентна допущению, что «любая комбинация или дизъюнкция предикатов [22] эквивалентна единому предикату», т.е. допущению, что если мы утверждаем, что x обладает всеми предикатами, которые удовлетворяют функции φ, то существует некоторый один предикат, который x будет иметь всякий раз, когда наше утверждение истинно, и не будет иметь всякий раз, когда оно ложно, и аналогично, если мы утверждаем, что x обладает некоторым одним из предикатов, которые удовлетворяют функции φ (т.е. (∃f!).f!x.φ(f!)). Ибо посредством этого допущения порядок не-предикативной функции может быть понижен на один; следовательно, после некоторого конечного числа шагов мы сможем перейти от любой не-предикативной функции к формально эквивалентной предикативной функции. Не представляется вероятным, что вышеприведенное допущение могло бы быть подставлено вместо аксиомы сводимости в символических дедукциях, так как его использование потребовало бы явного введения дальнейшего допущения, что конечным числом шагов вниз мы можем перейти от любой функции к предикативной функции, и это допущение не могло бы быть легко сделано без разработок, которые вряд ли возможны на ранней стадии. Но на вышеприведенных основаниях кажется ясным, что на самом деле, если вышеприведенная альтернативная аксиома истинна, то истинна и аксиома сводимости. Обратное, которое завершает доказательство эквивалентности, конечно, очевидно.

VII. Причины для принятия аксиомы сводимости.

То, что аксиома сводимости самоочевидна, — это суждение, которое вряд ли может быть поддержано. Но на самом деле самоочевидность никогда не является более чем частью причины для принятия аксиомы и никогда не является незаменимой. Причина для принятия аксиомы, как и для принятия любого другого суждения, всегда в значительной степени индуктивна, а именно: многие суждения, которые почти несомненны, могут быть выведены из нее, и не известно никакого столь же правдоподобного способа, которым эти суждения могли бы быть истинными, если бы аксиома была ложной, и из нее не может быть выведено ничего, что было бы вероятно ложным. Если аксиома кажется самоочевидной, это означает лишь, практически, что она почти несомненна; ибо вещи считались самоочевидными, но все же оказывались ложными. И если сама аксиома почти несомненна, это лишь добавляет к индуктивному свидетельству, полученному из того факта, что ее следствия почти несомненны: это не предоставляет новых свидетельств радикально иного рода. Непогрешимость никогда не достижима, и поэтому некоторый элемент сомнения должен всегда прилагаться к каждой аксиоме и ко всем ее следствиям. В формальной логике элемент сомнения меньше, чем в большинстве наук, но он не отсутствует, как видно из того факта, что парадоксы следовали из посылок, которые ранее не считались требующими ограничений. В случае аксиомы сводимости индуктивное свидетельство в ее пользу очень сильно, так как рассуждения, которые она позволяет, и результаты, к которым она ведет, — все таковы, что кажутся верными. Но хотя кажется очень маловероятным, что аксиома окажется ложной, отнюдь не маловероятно, что она может быть найдена выводимой из некоторой другой, более фундаментальной и более очевидной аксиомы. Возможно, что использование принципа порочного круга, как оно воплощено в вышеприведенной иерархии типов, является более радикальным, чем это необходимо, и что при менее радикальном использовании необходимость в аксиоме могла бы быть избегнута. Такие изменения, однако, не сделали бы ложным ничего, что было утверждено на основе принципов, объясненных выше: они лишь предоставили бы более легкие доказательства тех же теорем. Казалось бы, поэтому, что существуют лишь самые слабые основания для опасения, что использование аксиомы сводимости может привести нас к ошибке.

VIII. Противоречия.

Теперь мы в состоянии показать, как теория типов влияет на решение противоречий, которые осаждали математическую логику. Для этой цели мы начнем с перечисления некоторых из наиболее важных и иллюстративных из этих противоречий, а затем покажем, как все они воплощают ошибки порочного круга и, следовательно, все избегаются теорией типов. Будет замечено, что эти парадоксы не относятся исключительно к идеям числа и количества. Соответственно, никакое решение не может быть адекватным, если оно стремится объяснить их лишь как результат некоторого нелегитимного использования этих идей. Решение должно быть найдено в некотором таком критическом рассмотрении фундаментальных логических идей, какое было предпринято на предыдущих страницах.

(1) Старейшее противоречие такого рода — это Эпименид. Эпименид Критский сказал, что все критяне — лжецы, и все другие утверждения, сделанные критянами, были, безусловно, ложью. Была ли это ложь? Простейшая форма этого противоречия представлена человеком, который говорит: «Я лгу»; если он лжет, он говорит правду, и наоборот.

(2) Пусть w — класс всех тех классов, которые не являются членами самих себя. Тогда, каким бы классом ни был x, «x есть w» эквивалентно «x не есть член x». Следовательно, придавая x значение w, «w есть w» эквивалентно «w не есть член w».

(3) Пусть R — отношение, которое существует между двумя отношениями P и Q всякий раз, когда P не имеет отношения Q к Q. Тогда, какими бы отношениями P и Q ни были, «P имеет отношение R к Q» эквивалентно «P не имеет отношения Q к Q». Следовательно, придавая значение R обоим P и Q, «R имеет отношение R к R» эквивалентно «R не имеет отношения R к R».

(4) Противоречие Бурали-Форти [23] может быть сформулировано следующим образом: может быть показано, что каждый вполне упорядоченный ряд имеет порядковое число, что ряд порядковых чисел вплоть до и включая любое данное порядковое число превышает данное порядковое число на единицу, и (при некоторых очень естественных допущениях) что ряд всех порядковых чисел (в порядке величины) вполне упорядочен. Отсюда следует, что ряд всех порядковых чисел имеет порядковое число, скажем, Ω. Но в таком случае ряд всех порядковых чисел, включая Ω, имеет порядковое число Ω+1, которое должно быть больше Ω. Следовательно, Ω не является порядковым числом всех порядковых чисел.

(5) Число слогов в английских названиях конечных целых чисел имеет тенденцию возрастать по мере того, как целые числа становятся больше, и должно постепенно возрастать бесконечно, так как только конечное число названий может быть составлено из данного конечного числа слогов. Следовательно, названия некоторых целых чисел должны состоять по крайней мере из девятнадцати слогов, и среди них должно быть наименьшее. Следовательно, «наименьшее целое число, не называемое менее чем девятнадцатью слогами» должно обозначать определенное целое число; на самом деле, оно обозначает 111 777. Но «наименьшее целое число, не называемое менее чем девятнадцатью слогами» само по себе является названием, состоящим из восемнадцати слогов; следовательно, наименьшее целое число, не называемое менее чем девятнадцатью слогами, может быть названо восемнадцатью слогами, что является противоречием [24].

(6) Среди трансфинитных порядковых чисел некоторые могут быть определены, в то время как другие не могут; ибо общее число возможных определений есть ℵ0 [25], в то время как число трансфинитных порядковых чисел превышает ℵ0. Следовательно, должны существовать неопределимые порядковые числа, и среди них должно быть наименьшее. Но оно определено как «наименьшее неопределимое порядковое число», что является противоречием [26].

(7) Парадокс Ришара [27] сродни парадоксу наименьшего неопределимого порядкового числа. Он состоит в следующем: рассмотрим все десятичные дроби, которые могут быть определены посредством конечного числа слов; пусть E — класс таких десятичных дробей. Тогда E имеет ℵ0 членов; следовательно, его члены могут быть упорядочены как 1-я, 2-я, 3-я, .... Пусть n — число, определенное следующим образом. Если n-я цифра в n-й десятичной дроби есть d, пусть n-я цифра в n есть d+1 (или 0, если d=9). Тогда n отличается от всех членов E, так как, какое бы конечное значение n ни имело, n-я цифра в n отличается от n-й цифры в n-й из десятичных дробей, составляющих E, и, следовательно, n отличается от n-й десятичной дроби. Тем не менее, мы определили n конечным числом слов, и поэтому n должно быть членом E. Таким образом, n одновременно является и не является членом E.

Во всех вышеприведенных противоречиях (которые являются лишь выборками из бесконечного числа) есть общая характеристика, которую мы можем описать как самоотсылку или рефлексивность. Замечание Эпименида должно включать себя в свою собственную область действия. Если все классы, при условии, что они не являются членами самих себя, являются членами w, это должно также применяться к w; и аналогично для соответствующего реляционного противоречия. В случаях названий и определений парадоксы возникают из рассмотрения неназываемости и неопределимости как элементов в названиях и определениях. В случае парадокса Бурали-Форти ряд, чье порядковое число вызывает трудность, есть ряд всех порядковых чисел. В каждом противоречии что-то говорится обо всех случаях некоторого рода, и из того, что сказано, кажется, генерируется новый случай, который одновременно является и не является того же рода, что и случаи, о которых все говорилось в том, что было сказано. Но это характеристика нелегитимных совокупностей, как мы определили их при формулировке принципа порочного круга. Следовательно, все наши противоречия являются иллюстрациями ошибок порочного круга. Остается лишь показать, следовательно, что нелегитимные совокупности, вовлеченные в них, исключаются иерархией типов, которую мы построили.

(1) Когда человек говорит «Я лгу», мы можем интерпретировать его утверждение как: «Существует суждение, которое я утверждаю и которое ложно». То есть, он утверждает истинность некоторого значения функции «Я утверждаю p, и p ложно». Но мы видели, что слово «ложно» двусмысленно и что, для того чтобы сделать его однозначным, мы должны специфицировать порядок ложности или, что то же самое, порядок суждения, которому приписывается ложность. Мы видели также, что если p — суждение n-го порядка, суждение, в котором p встречается как связанная переменная, не является суждением n-го порядка, но суждением более высокого порядка. Следовательно, вид истины или ложности, который может принадлежать утверждению «существует суждение p, которое я утверждаю и которое имеет ложность n-го порядка», есть истина или ложность более высокого порядка, чем n-й. Следовательно, утверждение Эпименида не попадает в свою собственную область действия, и поэтому никакое противоречие не возникает.

Если мы рассматриваем утверждение «Я лгу» как компактный способ одновременного делания всех следующих утверждений: «Я утверждаю ложное суждение первого порядка», «Я утверждаю ложное суждение второго порядка» и так далее, мы обнаруживаем следующее любопытное положение вещей: так как никакое суждение первого порядка не утверждается, утверждение «Я утверждаю ложное суждение первого порядка» ложно. Это утверждение второго порядка, следовательно, утверждение «Я делаю ложное утверждение второго порядка» истинно. Это утверждение третьего порядка и является единственным утверждением третьего порядка, которое делается. Следовательно, утверждение «Я делаю ложное утверждение третьего порядка» ложно. Таким образом, мы видим, что утверждение «Я делаю ложное утверждение порядка n» ложно, в то время как утверждение «Я делаю ложное утверждение порядка n+1» истинно. Но в этом положении вещей нет никакого противоречия.

(2) Чтобы решить противоречие о классе классов, которые не являются членами самих себя, мы предположим, что будет объяснено в следующей Главе, что суждение о классе всегда должно быть сведено к утверждению о функции, которая определяет класс, т.е. о функции, которая удовлетворяется членами класса и никакими другими аргументами. Таким образом, класс есть объект, производный от функции и предполагающий функцию, точно так же, как, например, α предполагает функцию φ(x). Следовательно, класс не может, по принципу порочного круга, осмысленно быть аргументом для своей определяющей функции, то есть, если мы обозначим через «α» класс, определенный φ, символ «φ(α)» должен быть бессмысленным. Следовательно, класс ни удовлетворяет, ни не удовлетворяет своей определяющей функции, и поэтому (как будет более полно показано в Главе III) не является ни членом самого себя, ни не членом самого себя. Это непосредственное следствие ограничения на возможные аргументы функции, которое было объяснено в начале настоящей Главы. Таким образом, если α — класс, утверждение «α не является членом α» всегда бессмысленно, и поэтому нет смысла во фразе «класс тех классов, которые не являются членами самих себя». Следовательно, противоречие, которое возникает из предположения, что существует такой класс, исчезает.

(3) Точно такие же замечания применимы к «отношению, которое существует между P и Q всякий раз, когда P не имеет отношения Q к Q». Предположим, отношение R определено функцией φ(P, Q), т.е. R существует между P и Q всякий раз, когда φ(P, Q) истинно, но не иначе. Тогда, чтобы интерпретировать «P имеет отношение R к Q», мы должны будем предположить, что P и Q могут осмысленно быть аргументами для R. Но (предполагая, как будет показано в Главе III, что R предполагает свою определяющую функцию) это потребовало бы, чтобы R могло принимать в качестве аргумента объект, который определен через R, а этого ни одна функция сделать не может, как мы видели в начале этой Главы. Следовательно, «R имеет отношение R к R» бессмысленно, и противоречие прекращается.

(4) Решение противоречия Бурали-Форти требует некоторых дальнейших разработок. На данном этапе достаточно заметить, что ряд есть отношение, а порядковое число — это класс рядов. (Эти утверждения обосновываются в основной части работы.) Следовательно, ряд порядковых чисел есть отношение между классами отношений и имеет более высокий тип, чем любой из рядов, являющихся элементами рассматриваемых порядковых чисел. «Порядковое число всех порядковых чисел» Бурали-Форти должно быть порядковым числом всех порядковых чисел данного типа и, следовательно, должно иметь более высокий тип, чем любое из этих порядковых чисел. Отсюда следует, что оно не является одним из этих порядковых чисел, и в том, что оно больше любого из них, нет никакого противоречия [28].

(5) Парадокс о «наименьшем целом числе, которое нельзя назвать менее чем девятнадцатью слогами» воплощает, как сразу становится очевидным, логическую ошибку «порочного круга». Ибо слово «называемый» относится ко всей совокупности имен и, тем не менее, допускается к употреблению в том, что претендует на роль одного из этих имен. Следовательно, не может существовать такой вещи, как совокупность имен в том смысле, в каком парадокс говорит о «именах». Легко видеть, что в силу иерархии функций теория типов делает совокупность «имен» невозможной. Мы можем, фактически, различать имена разных порядков следующим образом: (a) Элементарные имена будут такими, которые являются истинными «собственными именами», т. е. условными обозначениями, не включающими в себя никакого описания. (b) Имена первого порядка будут такими, которые включают описание посредством функции первого порядка; иными словами, если φ — функция первого порядка, то «термин, удовлетворяющий φ» будет именем первого порядка, хотя не всегда будет существовать объект, называемый этим именем. (c) Имена второго порядка будут такими, которые включают описание посредством функции второго порядка; среди таких имен будут те, которые включают отсылку к совокупности имен первого порядка. И так мы можем продвигаться по всей иерархии. Но ни на одном этапе мы не можем придать смысл слову «называемый», если не укажем порядок имен, которые должны быть использованы; и любое имя, в котором встречается фраза «называемый именами порядка n», необходимо имеет более высокий порядок, чем n-й. Таким образом, парадокс исчезает.

Решения парадокса о наименьшем неопределимом порядковом числе и парадокса Ришара тесно аналогичны приведенным выше. Понятие «определимый», которое встречается в обоих, почти совпадает с «называемым», встречающимся в нашем пятом парадоксе: «определимый» — это то, во что превращается «называемый», когда исключаются элементарные имена, т. е. «определимый» означает «называемый именем, которое не является элементарным». Но здесь существует та же двусмысленность в отношении типа, что и прежде, и та же необходимость добавления слов, которые уточняют тип, к которому должно принадлежать определение. И как бы ни был определен тип, «наименьшее порядковое число, не определимое определениями этого типа» является определением более высокого типа; а в парадоксе Ришара, когда мы ограничиваем себя, как мы и должны, десятичными дробями, имеющими определение данного типа, обнаруживается, что число, вызывающее парадокс, имеет определение, принадлежащее к более высокому типу, и, таким образом, не подпадает под действие наших предыдущих определений.

Неопределенное число других противоречий, сходных по природе с семью вышеупомянутыми, может быть легко сконструировано. Во всех них решение одного и того же рода. Во всех них видимость противоречия порождается присутствием некоторого слова, обладающего систематической двусмысленностью типа, такого как истина, ложь, функция, свойство, класс, отношение, кардинальное число, порядковое число, имя, определение. Любое такое слово, если не заметить его типическую двусмысленность, по-видимому, породит совокупность, содержащую элементы, определенные через него само, и, таким образом, приведет к логическим ошибкам «порочного круга». В большинстве случаев выводы аргументов, содержащих логические ошибки «порочного круга», не будут самопротиворечивыми, но везде, где мы имеем нелегитимную совокупность, небольшая изобретательность позволит нам построить логическую ошибку «порочного круга», ведущую к противоречию, которое исчезает, как только типически двусмысленные слова становятся типически определенными, т. е. определяются как принадлежащие к тому или иному типу.

Таким образом, видимость противоречия всегда обусловлена присутствием слов, воплощающих скрытую типическую двусмысленность, и решение кажущегося противоречия заключается в выявлении этой скрытой двусмысленности.

Несмотря на противоречия, возникающие из-за незамеченной типической двусмысленности, нежелательно избегать слов и символов, обладающих типической двусмысленностью. Такие слова и символы охватывают практически все идеи, с которыми имеют дело математика и математическая логика: систематическая двусмысленность является результатом систематической аналогии. Иными словами, почти во всех рассуждениях, составляющих математику и математическую логику, мы используем идеи, которые могут получить любое из бесконечного числа различных типических определений, любое из которых оставляет рассуждение верным. Таким образом, используя типически двусмысленные слова и символы, мы можем сделать одну цепочку рассуждений применимой к любому из бесконечного числа различных случаев, что было бы невозможно, если бы мы отказались от использования типически двусмысленных слов и символов.

Среди предложений, полностью выраженных в терминах типически двусмысленных понятий, практически единственными, которые могут различаться в отношении истинности или ложности в зависимости от полученного ими типического определения, являются теоремы существования. Если мы предположим, что общее число индивидов равно n, то общее число классов индивидов равно 2^n, общее число классов классов индивидов равно 2^(2^n) и так далее. Здесь n может быть либо конечным, либо бесконечным, и в любом случае 2^n > n. Таким образом, кардинальные числа, большие, чем n, но не большие, чем 2^n, существуют применительно к классам классов, но не применительно к классам индивидов, так что, каким бы ни предполагалось число индивидов, будут существовать теоремы существования, которые верны для более высоких типов, но не для более низких типов. Даже здесь, однако, до тех пор, пока число индивидов не утверждается, а лишь гипотетически предполагается, мы можем заменить тип индивидов любым другим типом, при условии, что мы внесем соответствующее изменение во все другие типы, встречающиеся в том же контексте. То есть мы можем дать имя «относительные индивиды» элементам произвольно выбранного типа τ, а имя «относительные классы индивидов» — классам «относительных индивидов» и так далее. Таким образом, пока речь идет только о гипотетических суждениях, в которых теоремы существования для одного типа оказываются следствиями теорем существования для другого, даже в теоремах существования релевантны только относительные типы. Это применимо также к случаям, когда гипотеза (а следовательно, и заключение) утверждается, при условии, что утверждение верно для любого типа, как бы он ни был выбран. Например, любой тип имеет по крайней мере один элемент; следовательно, любой тип, состоящий из классов, какого бы порядка они ни были, имеет по крайней мере два элемента. Но дальнейшее рассмотрение этих тем должно быть оставлено для основной части работы.

СНОСКИ:

[12] См. последний раздел настоящей главы. Ср. также А. Пуанкаре, «Математика и логика», Revue de Métaphysique et de Morale, май 1906 г., стр. 307.

[13] Когда в дальнейшем используется слово «функция», всегда имеется в виду «пропозициональная функция». Другие функции в настоящей главе рассматриваться не будут.

[14] Мы будем говорить в этой главе о «значениях для φ» и о «значениях φ», имея в каждом случае в виду одно и то же, а именно φ(x), φ(y), φ(z) и т. д. Различие в формулировках служит для избежания двусмысленности, когда задействовано несколько переменных, особенно когда одна из них является функцией.

[15] Мы используем «всегда» в значении «во всех случаях», а не «во все времена». Аналогично, «иногда» будет означать «в некоторых случаях».

[16] См. главу III.

[17] Заметьте, что утверждения относительно значимости фразы, содержащей «(φx)», касаются символа «(φx)» и поэтому не подпадают под правило, согласно которому устранение функциональной двусмысленности необходимо для значимости. Значимость — это свойство знаков. Ср. стр. 43.

[18] Ср. главу III.

[19] Когда мы говорим о «значениях φ», именно x, а не φ, должно быть присвоено значение. Это следует из объяснения в примечании на стр. 42. Когда сама функция является переменной, возможно и проще писать f(φ) вместо f(φx), за исключением тех случаев, когда необходимо подчеркнуть, что для обеспечения значимости должен быть предоставлен аргумент.

[20] Когда (конечное) множество предикатов задается фактическим перечислением, их дизъюнкция является предикатом, поскольку ни один предикат не встречается в дизъюнкции как связанная переменная.

[21] Заметьте, что в этом определении второй знак равенства следует рассматривать как объединяющийся с «Df» для образования одного символа; то, что определяется, есть знак равенства =, а не = Df.

[22] Здесь предполагается, что конъюнкция или дизъюнкция заданы интенсионально. Если они заданы экстенсионально (т. е. перечислением), никакого допущения не требуется; но в этом случае число рассматриваемых предикатов должно быть конечным.

[23] «Una questione sui numeri transfiniti», Rendiconti del circolo matematico di Palermo, том XI (1897). См. *256.

[24] Это противоречие было предложено нам г-ном Дж. Дж. Берри из Бодлианской библиотеки.

[25] ω — это число конечных целых чисел. См. *123.

[26] Ср. Кёниг, «Ueber die Grundlagen der Mengenlehre und das Kontinuumproblem», Math. Annalen, том LXI (1905); А. К. Диксон, «On 'well-ordered' aggregates», Proc. London Math. Soc., серия 2, том IV, часть i (1906); и Э. У. Хобсон, «On the Arithmetic Continuum», ibid. Решение, предложенное в последней из этих работ, зависит от вариации «аппарата определения» и, таким образом, в общих чертах согласуется с принятым здесь решением. Но оно не опровергает утверждение в тексте, если «определению» придается постоянный смысл.

[27] Ср. Пуанкаре, «Математика и логика», Revue de Métaphysique et de Morale, май 1906 г., особенно разделы VII и IX; также Пеано, Revista de Mathematica, том VIII, № 5 (1906), стр. 149 и сл.

[28] Решение парадокса Бурали-Форти посредством теории типов приведено подробно в *256.

ГЛАВА III. НЕПОЛНЫЕ СИМВОЛЫ.

(1) Описания. Под «неполным» символом мы понимаем символ, который не должен иметь никакого значения в изоляции, а определяется только в определенных контекстах. В обычной математике, например, (φx) и (x) являются неполными символами: необходимо что-то добавить, прежде чем мы получим что-то значимое. Такие символы имеют то, что можно назвать «определением в употреблении». Таким образом, если мы положим f((φx)) = ∃y(φz ≡ z=y . fy), мы определяем использование (φx), но (φx) само по себе остается без значения. Это отличает такие символы от того, что (в обобщенном смысле) мы можем назвать собственными именами: «Сократ», например, обозначает определенного человека и поэтому имеет значение само по себе, без необходимости какого-либо контекста. Если мы добавим контекст, как в «Сократ смертен», эти слова выражают факт, составной частью которого является сам Сократ: существует определенный объект, а именно Сократ, который обладает свойством смертности, и этот объект является составной частью сложного факта, который мы утверждаем, когда говорим «Сократ смертен». Но в других случаях этот простой анализ нас подводит. Предположим, мы говорим: «Круглого квадрата не существует». Кажется очевидным, что это истинное предложение, однако мы не можем рассматривать его как отрицание существования определенного объекта, называемого «круглым квадратом». Ибо если бы такой объект существовал, он бы существовал: мы не можем сначала предположить, что существует определенный объект, а затем приступить к отрицанию того, что такой объект существует. Всякий раз, когда грамматический субъект предложения может быть предположен несуществующим, не делая предложение бессмысленным, ясно, что грамматический субъект не является собственным именем, т. е. не является именем, непосредственно представляющим какой-либо объект. Таким образом, во всех подобных случаях предложение должно быть способно быть проанализировано так, чтобы то, что было грамматическим субъектом, исчезло. Таким образом, когда мы говорим «круглого квадрата не существует», мы можем, в качестве первой попытки такого анализа, подставить «ложно, что существует объект x, который является одновременно круглым и квадратным». Вообще, когда говорят, что «такой-то» не существует, мы имеем предложение вида ∃y(φz ≡ z=y . ψy) [29]

или какой-либо эквивалент. Здесь кажущийся грамматический субъект (φx) полностью исчез; таким образом, в «(φx)» (φx) является неполным символом.

Путем расширения вышеприведенного аргумента можно легко показать, что (φx) всегда является неполным символом. Возьмем, например, следующее предложение: «Скотт — автор «Уэверли». [Здесь «автор «Уэверли»» есть (φx).] Это предложение выражает тождество; таким образом, если бы «автор «Уэверли»» можно было принять за собственное имя и предположить, что оно обозначает некоторый объект y, предложение было бы «Скотт есть y». Но если y — кто угодно, кроме Скотта, это предложение ложно; в то время как если y — Скотт, предложение есть «Скотт есть Скотт», которое тривиально и явно отличается от «Скотт — автор «Уэверли»». Обобщая, мы видим, что предложение (φx) = y есть то, которое может быть истинным или ложным, но никогда не является просто тривиальным, как x = x; тогда как, если бы (φx) было собственным именем, (φx) = y было бы необходимо либо ложным, либо тем же самым, что и тривиальное предложение x = x. Мы можем выразить это, сказав, что (φx) не является значением пропозициональной функции f(x), из чего следует, что (φx) не является значением x. Но поскольку (φx) может быть чем угодно, из этого следует, что (φx) есть ничто. Следовательно, поскольку в употреблении оно имеет значение, оно должно быть неполным символом.

Можно было бы предположить, что «Скотт — автор «Уэверли»» утверждает, что «Скотт» и «автор «Уэверли»» — это два имени одного и того же объекта. Но небольшое размышление покажет, что это было бы ошибкой. Ибо если бы это было значением «Скотт — автор «Уэверли»», то для его истинности потребовалось бы, чтобы Скотта называли автором «Уэверли»: если бы его так называли, предложение было бы истинным, даже если бы кто-то другой написал «Уэверли»; в то время как если бы никто его так не называл, предложение было бы ложным, даже если бы он написал «Уэверли». Но на самом деле он был автором «Уэверли» в то время, когда никто его так не называл, и он не был бы автором, если бы все его так называли, но кто-то другой написал «Уэверли». Таким образом, предложение «Скотт — автор «Уэверли»» не является предложением об именах, подобно «Наполеон есть Бонапарт»; и это иллюстрирует смысл, в котором «автор «Уэверли»» отличается от истинного собственного имени.

Таким образом, все фразы (кроме предложений), содержащие слово «the» (в единственном числе), являются неполными символами: они имеют значение в употреблении, но не в изоляции. Ибо «автор «Уэверли»» не может означать то же самое, что «Скотт», иначе «Скотт — автор «Уэверли»» означало бы то же самое, что «Скотт есть Скотт», чего оно явно не делает; и «автор «Уэверли»» не может означать ничего, кроме «Скотта», иначе «Скотт — автор «Уэверли»» было бы ложным. Следовательно, «автор «Уэверли»» ничего не означает.

Из вышесказанного следует, что мы не должны пытаться определить «(φx)», а должны определить использования этого символа, т. е. предложения, в символическом выражении которых он встречается. Теперь, стремясь определить использования этого символа, важно отметить значение предложений, в которых он встречается. Возьмем в качестве иллюстрации: «Автор «Уэверли» был поэтом». Это подразумевает (1) что «Уэверли» было написано, (2) что оно было написано одним человеком, а не в соавторстве, (3) что тот один человек, который его написал, был поэтом. Если что-либо из этого не выполняется, предложение ложно. Таким образом, «автор «Славкенбургиуса о носах» был поэтом» ложно, потому что такая книга никогда не была написана; «автор «Трагедии девушки» был поэтом» ложно, потому что эта пьеса была написана Бомонтом и Флетчером совместно. Эти две возможности ложности не возникают, если мы говорим «Скотт был поэтом». Таким образом, наша интерпретация использований (φx) должна быть такой, чтобы допускать их. Теперь, принимая ψx для замены «x написал «Уэверли»», ясно, что любое утверждение, по-видимому, о (φx) требует (1) ∃x(φx) и (2) ∃x(φx ≡ x=y) . ψy; здесь (1) утверждает, что по крайней мере один объект удовлетворяет φ, в то время как (2) утверждает, что самое большее один объект удовлетворяет φ. Вместе они эквивалентны ∃y(φz ≡ z=y . ψy). Таким образом, «ψ(φx)» должно быть частью того, что утверждается любым предложением о (φx). Если наше предложение есть f((φx)), то далее утверждается ∃y(φz ≡ z=y . fy), если f(x) есть ψx. Таким образом, мы имеем f((φx)) = ∃y(φz ≡ z=y . fy), т. е. «(φx), удовлетворяющий φ, удовлетворяет f» должно означать: «Существует объект y такой, что φz истинно тогда и только тогда, когда z есть y, и fy истинно», или, точнее: «Существует y такой, что «φz» всегда эквивалентно «z есть y», и fy». В этом «(φx)» полностью исчезло; таким образом, «(φx)» является чисто символическим и не представляет непосредственно объект, как предполагается для одиночных малых латинских букв [30].

Предложение «f((φx))» легко показать эквивалентным «∃y(φz ≡ z=y . fy)». Ибо по определению оно есть ∃y(φz ≡ z=y . fy), т. е. «существует y, для которого φy истинно, и этот y удовлетворяет f», что эквивалентно «f((φx))». Таким образом, «Скотт — автор «Уэверли»» эквивалентно: ∃y(y написал «Уэверли» ≡ y есть Скотт . y есть Скотт), т. е. «x написал «Уэверли»» истинно, когда x есть Скотт, и ложно, когда x не есть Скотт.

Таким образом, хотя «(φx)» не имеет значения само по себе, оно может быть подставлено вместо x в любую пропозициональную функцию f(x), и мы получаем значимое предложение, хотя и не значение f(x).

Когда (φx), как определено выше, является частью некоторого другого предложения, мы будем говорить, что (φx) имеет вторичное вхождение. Когда (φx) имеет вторичное вхождение, предложение, в котором оно встречается, может быть истинным, даже когда (φx) не существует. Это применимо, например, к предложению: «Не существует такого лица, как король Франции». Мы можем интерпретировать это как ¬∃y(φz ≡ z=y), если «(φx)» означает «x есть король Франции». В любом случае утверждается, что предложение f((φx)), в котором встречается (φx), ложно, и это предложение, таким образом, является частью большего предложения. То же самое относится к такому предложению, как следующее: «Если бы Франция была монархией, король Франции был бы из Орлеанского дома».

Следует заметить, что такое предложение, как ¬f((φx)), двусмысленно; оно может отрицать f((φx)), в каком случае оно будет истинным, если (φx) не существует, или оно может означать f((φx)) . ¬f((φx)), в каком случае оно может быть истинным только если (φx) существует. В обычном языке обычно принимается последняя интерпретация. Например, предложение «король Франции не лыс» обычно отвергалось бы как ложное, считаясь означающим «король Франции существует и не лыс», а не «ложно, что король Франции существует и не лыс». Когда (φx) существует, обе интерпретации двусмысленности дают эквивалентные результаты; но когда (φx) не существует, одна интерпретация истинна, а другая ложна. Необходимо уметь различать их в нашей нотации; и вообще, если у нас есть такие предложения, как f((φx)), ¬f((φx)) и так далее, мы должны уметь с помощью нашей нотации различать, следует ли рассматривать все предложение или только его часть как «(φx)» нашего определения. Для этой цели мы будем ставить «[(φx)]» с точками в начале части (или целого), которая должна быть принята как (φx), причем точки должны быть достаточно многочисленными, чтобы отделить (φx); т. е. (φx) должно быть всем, что следует за точками, пока мы не достигнем равного числа точек, не означающих логическое произведение, или большего числа, означающего логическое произведение, или конца предложения, или конца скобки, заключающей «[(φx)]». Таким образом, [(φx)] . ¬f((φx)) и ¬[(φx)] . f((φx)). Важно различать эти два, ибо если (φx) не существует, первое истинно, а второе ложно. Опять же, [(φx)] . f((φx)) ∨ g((φx)) и [(φx)] . f((φx)) ∨ g((φx)). Здесь опять же, когда (φx) не существует, первое ложно, а второе истинно.

Чтобы избежать этой двусмысленности в предложениях, содержащих (φx), мы исправляем наше определение, или, скорее, нашу нотацию, полагая f((φx)) = [(φx)] . f((φx)). С помощью этого определения мы избегаем любого сомнения относительно части нашего всего утвержденного предложения, которая должна рассматриваться как «(φx)» определения. Эта часть будет называться областью действия (scope) (φx). Таким образом, в [(φx)] . f((φx)) область действия (φx) есть f((φx)); но в [(φx)] . f((φx)) ∨ g((φx)) область действия есть f((φx)); но в [(φx)] . f((φx) ∨ g((φx))) область действия есть f((φx)) ∨ g((φx)).

Будет видно, что когда (φx) имеет все рассматриваемое предложение в качестве своей области действия, рассматриваемое предложение не может быть истинным, если (φx) не существует; но когда (φx) имеет только часть рассматриваемого предложения в качестве своей области действия, оно часто может быть истинным, даже когда (φx) не существует. Будет видно далее, что когда ∃! (φx), мы можем расширять или уменьшать область действия (φx) сколько угодно, не изменяя истинностного значения любого предложения, в котором оно встречается.

Если предложение содержит два описания, скажем (φx) и (ψy), мы должны различать, какое из них имеет большую область действия, т. е. мы должны различать [(φx)] . [(ψy)] . f((φx), (ψy)) и [(ψy)] . [(φx)] . f((φx), (ψy)).

Первое из них, устраняя (φx), становится [(ψy)] . ∃z(φw ≡ w=z . f(z, (ψy))), которое, устраняя (ψy), становится ∃z(φw ≡ w=z . ∃v(ψu ≡ u=v . f(z, v))), и то же самое предложение получается, если в (1) мы устраним сначала (φx), а затем (ψy). Аналогично (2) становится, когда (φx) и (ψy) устранены, ∃v(ψu ≡ u=v . ∃z(φw ≡ w=z . f(z, v))).

(4) и (5) эквивалентны, так что истинностное значение предложения, содержащего два описания, не зависит от вопроса о том, какое из них имеет большую область действия.

Будет обнаружено, что в большинстве случаев, в которых встречаются описания, их область действия на практике является наименьшим предложением, заключенным в точки или другие скобки, в которых они содержатся. Таким образом, например, f((φx)) будет встречаться гораздо чаще, чем [(φx)] . f((φx)). По этой причине удобно решить, что когда областью действия вхождения (φx) является наименьшее предложение, заключенное в точки или другие скобки, в которых содержится рассматриваемое вхождение, область действия не нужно указывать с помощью «[(φx)]». Таким образом, например, f((φx)) означает [(φx)] . f((φx)).

Это соглашение позволяет нам в подавляющем большинстве случаев, которые действительно встречаются, обходиться без явного указания области действия описательного символа; и будет обнаружено, что это соглашение очень тесно согласуется с молчаливыми соглашениями обычного языка по этому вопросу. Так, например, если «(φx)» — это «такой-то», то f((φx)) следует читать «(φx) не является таким-то», что обычно рассматривается как подразумевающее, что «такой-то» существует; но f((φx)) следует читать «неверно, что (φx) является таким-то», что обычно допускается как верное, если «такой-то» не существует. Обычный язык, конечно, довольно свободен и изменчив в своих импликациях по этому вопросу; но при условии требования определенности наше соглашение, по-видимому, остается как можно ближе к обычному языку.

В случае, когда наименьшее предложение, заключенное в точки или другие скобки, содержит два или более описаний, мы будем предполагать, при отсутствии каких-либо указаний на обратное, что то, которое типографически встречается раньше, имеет большую область действия, чем то, которое типографически встречается позже. Таким образом, f((φx), (ψy)) означает [(φx)] . [(ψy)] . f((φx), (ψy)).

Эти два предложения легко показать эквивалентными.

(2) Классы. Символы для классов, подобно символам для описаний, являются в нашей системе неполными символами: их использования определены, но сами они не предполагаются означающими вообще что-либо. Иными словами, использования таких символов определены таким образом, что, когда definiens подставляется вместо definiendum, не остается никакого символа, который можно было бы предположить представляющим класс. Таким образом, классы, насколько мы их вводим, являются лишь символическими или лингвистическими удобствами, а не подлинными объектами, каковыми являются их элементы, если они индивиды.

Это старый спор, должна ли формальная логика заниматься главным образом интенсионалами или экстенсионалами. В общем, логики, чья подготовка была преимущественно философской, склонялись к интенсионалам, тогда как те, чья подготовка была преимущественно математической, склонялись к экстенсионалам. Факты, по-видимому, таковы, что, хотя математическая логика требует экстенсионалов, философская логика отказывается предоставлять что-либо, кроме интенсионалов. Наша теория классов признает и примиряет эти два, казалось бы, противоположных факта, показывая, что экстенсионал (который есть то же самое, что класс) является неполным символом, чье использование всегда приобретает свой смысл через отсылку к интенсионалу.

В случае описаний было возможно доказать, что они являются неполными символами. В случае классов мы не знаем какого-либо столь же определенного доказательства, хотя аргументы большей или меньшей убедительности могут быть извлечены из древней проблемы Единого и Множественного [31]. Однако для наших целей нет необходимости догматически утверждать, что таких вещей, как классы, не существует. Нам лишь необходимо показать, что неполные символы, которые мы вводим как представители классов, дают все предложения, ради которых классы могли бы считаться существенными. Когда это показано, сам принцип экономии примитивных идей ведет к невведению классов, кроме как в качестве неполных символов.

Чтобы объяснить теорию классов, необходимо сначала объяснить различие между экстенсиональными и интенсиональными функциями. Это осуществляется следующими определениями:

Истинностное значение предложения есть истина, если оно истинно, и ложь, если оно ложно. (Это выражение принадлежит Фреге.)

Два предложения называются эквивалентными, когда они имеют одно и то же истинностное значение, т. е. когда они оба истинны или оба ложны.

Две пропозициональные функции называются формально эквивалентными, когда они эквивалентны при любом возможном аргументе, т. е. когда любой аргумент, который удовлетворяет одну, удовлетворяет другую, и наоборот. Таким образом, «x есть человек» формально эквивалентно «x есть двуногое без перьев»; «x есть четное простое число» формально эквивалентно «x тождественно 2».

Функция функции называется экстенсиональной, когда ее истинностное значение при любом аргументе такое же, как при любом формально эквивалентном аргументе. Иными словами, f(φ) является экстенсиональной функцией φ, если, при условии, что φ формально эквивалентно ψ, f(φ) эквивалентно f(ψ). Здесь связанные переменные φ и ψ необходимо принадлежат к типу, из которого аргументы могут значимо поставляться для f. Мы не находим необходимости использовать в качестве связанных переменных какие-либо функции непредикативных типов; соответственно, в дальнейшем все рассматриваемые экстенсиональные функции на самом деле являются функциями предикативных функций [32].

Функция функции называется интенсиональной, когда она не является экстенсиональной.

Природа и важность различия между интенсиональными и экстенсиональными функциями станут яснее на некоторых иллюстрациях. Предложение ««φx» всегда влечет «ψx»» является экстенсиональной функцией функции «φx», потому что мы можем подставить вместо «φx» «x есть двуногое без перьев» или любое другое утверждение, которое применяется к тем же объектам, к которым применяется «φx», и ни к каким другим. Но предложение «A верит, что «φx» всегда влечет «ψx»» является интенсиональной функцией «φx», потому что A, возможно, никогда не рассматривал вопрос о том, смертны ли двуногие без перьев, или может ошибочно полагать, что существуют двуногие без перьев, которые не смертны. Таким образом, даже если «x есть двуногое без перьев» формально эквивалентно «x есть человек», из этого отнюдь не следует, что человек, который верит, что все люди смертны, должен верить, что все двуногие без перьев смертны, поскольку он, возможно, никогда не думал о двуногих без перьев или предполагал, что двуногие без перьев не всегда являются людьми. Опять же, предложение «число аргументов, которые удовлетворяют функцию φ, равно n» является экстенсиональной функцией φ, потому что его истинность или ложность не меняется, если мы подставим вместо φ любую другую функцию, которая истинна всякий раз, когда φ истинна, и ложна всякий раз, когда φ ложна. Но предложение «A утверждает, что число аргументов, удовлетворяющих φ, равно n» является интенсиональной функцией φ, поскольку, если A утверждает это относительно φ, он, конечно, не может утверждать это относительно всех предикативных функций, которые эквивалентны φ, потому что жизнь слишком коротка. Опять же, рассмотрим предложение «два белых человека утверждают, что достигли Северного полюса». Это предложение утверждает «два аргумента удовлетворяют функцию «x есть белый человек, который утверждает, что достиг Северного полюса»». Истинность или ложность этого предложения не затрагивается, если мы подставим вместо «x есть белый человек, который утверждает, что достиг Северного полюса» любое другое утверждение, которое верно для тех же аргументов и ни для каких других. Следовательно, это экстенсиональная функция. Но предложение «это странное совпадение, что два белых человека должны утверждать, что достигли Северного полюса», которое утверждает «это странное совпадение, что два аргумента должны удовлетворять функцию «x есть белый человек, который утверждает, что достиг Северного полюса»», не эквивалентно «это странное совпадение, что два аргумента должны удовлетворять функцию «x есть доктор Кук или командор Пири»». Таким образом, «это странное совпадение, что φ должно быть удовлетворено двумя аргументами» является интенсиональной функцией φ.

Вышеприведенные примеры иллюстрируют тот факт, что функции функций, с которыми математика имеет дело специально, являются экстенсиональными, и что интенсиональные функции функций встречаются только там, где вводятся нематематические идеи, такие как то, во что кто-то верит или что утверждает, или эмоции, вызванные каким-то фактом. Поэтому естественно в математической логике делать особый акцент на экстенсиональных функциях функций.

Когда две функции формально эквивалентны, мы можем сказать, что они имеют один и тот же экстенсионал. В этом определении мы находимся в тесном согласии с употреблением. Мы не предполагаем, что существует такая вещь, как экстенсионал: мы просто определяем всю фразу «иметь один и тот же экстенсионал». Мы можем теперь сказать, что экстенсиональная функция функции — это такая, чья истинность или ложность зависит только от экстенсионала ее аргумента. В таком случае удобно рассматривать рассматриваемое утверждение как относящееся к экстенсионалу. Поскольку экстенсиональные функции многочисленны и важны, естественно рассматривать экстенсионал как объект, называемый классом, который предполагается субъектом всех эквивалентных утверждений о различных формально эквивалентных функциях. Так, например, если мы говорим «было двенадцать апостолов», естественно рассматривать это утверждение как приписывание свойства «быть двенадцатью» определенной совокупности людей, а именно тем, кто был апостолами, а не как приписывание свойства «быть удовлетворенным двенадцатью аргументами» функции «x был апостолом». Этот взгляд поощряется чувством, что есть нечто, что тождественно в случае двух функций, которые «имеют один и тот же экстенсионал». И если мы берем такие простые задачи, как «сколько комбинаций можно составить из n вещей?», на первый взгляд кажется необходимым, чтобы каждая «комбинация» была единым объектом, который можно посчитать как один. Это, однако, технически совсем не обязательно, и мы не видим причин полагать, что это верно философски. Техническая процедура, с помощью которой преодолевается кажущаяся трудность, заключается в следующем.