«Principia Mathematica, том 1»

*10·23. ⊢: (x)(φx ⊃ ψx) ⊃ . (x)φx ⊃ (x)ψx

Док.

В вышеуказанном доказательстве мы используем определения *9. В альтернативном методе, в котором (x)φx определяется в соответствии с *10·01, доказательство выглядит следующим образом.

*10·23. ⊢: (x)(φx ⊃ ψx) ⊃ . (x)φx ⊃ (x)ψx

Док.

Всякий раз, когда у нас есть утвержденная пропозиция вида (x)(φx ⊃ ψx), мы можем перейти по *10·11, *10·21 к утвержденной пропозиции (x)φx ⊃ (x)ψx. Этот переход постоянно требуется, как в предпоследней строке вышеуказанного доказательства. Он будет обозначаться просто ссылкой «*10·11, *10·21», и два шага, которые он требует, не будут записываться отдельно.

*10·24. ⊢: φy ⊃ (∃x)φx

Это *9·1. В альтернативном методе доказательство выглядит следующим образом.

Док.

*10·25. ⊢: (x)φx ⊃ φy

*10·251. ⊢: (x)φx ⊃ φy

*10·252. ⊢: (x)φx ⊃ φy

*10·253. ⊢: (x)φx ⊃ φy

В альтернативном методе, в котором (x)φx определяется как в *10·01, доказательства *10·252, *10·253 выглядят следующим образом.

*10·252. ⊢: (x)φx ⊃ φy

*10·253. ⊢: (x)φx ⊃ φy

Док.

*10·26. ⊢: (x)(φx ⊃ ψx) . φy : ⊃ . ψy

Это одна из форм силлогизма Barbara. Например, положим φx — человек, ψx — смертен, y = Сократ. Тогда пропозиция принимает вид:

«Если все люди смертны, и Сократ — человек, то Сократ смертен».

Другая форма силлогизма Barbara дана в *10·3. Две формы, ранее ошибочно отождествлявшиеся, были впервые различены Пеано и Фреге.

*10·27. ⊢: (x)(p ⊃ φx) ⊃ . p ⊃ (x)φx

Это *9·21. В альтернативном методе доказательство выглядит следующим образом.

Док.

*10·271. ⊢: (x)(p ⊃ φx) ⊃ . p ⊃ (x)φx

Док.

*10·28. ⊢: (x)(φx ⊃ p) ⊃ . (∃x)φx ⊃ p

Это *9·22. В альтернативном методе доказательство выглядит следующим образом.

Док.

*10·281. ⊢: (x)(φx ⊃ p) ⊃ . (∃x)φx ⊃ p

*10·29. ⊢: (x)(p ⊃ q) . ⊃ : (x)p ⊃ (x)q

Док.

Это расширение принципа композиции.

*10·3. ⊢: (x)(φx ⊃ ψx) . (x)φx : ⊃ . (x)ψx

Это вторая форма силлогизма Barbara.

Док.

*10·301. ⊢: (x)(φx ⊃ ψx) . (∃x)φx : ⊃ . (∃x)ψx

Док.

Во второй строке доказательств *10·3 и *10·301 мы сокращаем процесс доказательства способом, который часто удобен. В *10·3 полный процесс выглядел бы следующим образом:

Вышеуказанные две пропозиции показывают, что формальная импликация и формальная эквивалентность являются транзитивными отношениями между функциями.

*10·31. ⊢: (x)(φx ⊃ ψx) . (x)(φx ⊃ χx) : ⊃ . (x)(φx ⊃ ψx ∧ χx)

Док.

*10·311. ⊢: (x)(φx ⊃ χx) . (x)(ψx ⊃ χx) : ⊃ . (x)(φx ∨ ψx ⊃ χx)

Док.

Вышеуказанные две пропозиции являются расширениями принципа фактора.

*10·32. ⊢: (x)(φx ≡ ψx) . ⊃ : (x)φx ≡ (x)ψx

Док.

Эта пропозиция показывает, что формальная эквивалентность симметрична.

*10·321. ⊢: (x)(φx ≡ ψx) . ⊃ : (∃x)φx ≡ (∃x)ψx

Док.

*10·322. ⊢: (x)(φx ≡ ψx) . ⊃ : (x)φx ≡ (x)ψx

Док.

*10·33. ⊢: (x)φx ⊃ (∃x)φx

Док.

*10·34. ⊢: (x)φx ∨ (x)ψx ⊃ (x)(φx ∨ ψx)

Это следует непосредственно из *9·05, *9·01 и *1·01. В альтернативном методе доказательство выглядит следующим образом.

Док.

*10·35. ⊢: (x)φx ∨ (x)ψx ⊃ (x)(φx ∨ ψx)

Док.

*10·36. ⊢: (∃x)(φx ∧ ψx) ⊃ (∃x)φx ∧ (∃x)ψx

Это следует непосредственно из *9·05. В альтернативном методе доказательство выглядит следующим образом.

Док.

Вышеуказанная пропозиция требуется только для того, чтобы привести к следующей:

*10·37. ⊢: (∃x)(φx ∧ ψx) ⊃ (∃x)φx ∧ (∃x)ψx

*10·39. ⊢: (x)(φx ⊃ ψx) . ⊃ : (x)φx ⊃ (∃x)ψx

Док.

Эта пропозиция истинна только тогда, когда заключение значимо; значимость гипотезы не гарантирует значимость заключения. Об условиях значимости см. замечания к *10·4 ниже.

*10·4. ⊢: (x)(φx ⊃ ψx) . ⊃ : (x)φx ⊃ (x)ψx

Док.

В *10·4 и многих последующих пропозициях, как и в *10·39, заключение может быть не значимым, когда гипотеза истинна. Следовательно, чтобы было правомерно использовать *10·4 в выводе, т. е. переходить от утверждения гипотезы к утверждению заключения, функции φx, ψx, χx, θx должны быть такими, чтобы иметь перекрывающиеся области значимости. В силу *10·221 это обеспечивается, если они имеют формы φx, ψx, χx, θx. Это также обеспечивается, если φx и ψx, или ψx и χx, или χx и θx, или φx и θx имеют такие формы, ибо φx и ψx должны иметь перекрывающиеся области значимости, если гипотеза должна быть значимой, и то же самое должны иметь ψx и χx.

*10·41. ⊢: (x)(φx ⊃ ψx) . ⊃ : (∃x)φx ⊃ (∃x)ψx

Док.

Заметьте, что в вышеуказанном доказательстве использование *2·2 и *1·3 правомерно только в том случае, если φx и ψx имеют перекрывающиеся области значимости, ибо в противном случае, если φx такова, что существует пропозиция (∃x)φx, она такова, что не существует пропозиции (∃x)ψx, и наоборот.

*10·411. ⊢: (x)(φx ⊃ ψx) . ⊃ : (∃x)φx ⊃ (∃x)ψx

Док.

*10·412. ⊢: (x)(φx ⊃ ψx) . ⊃ : (∃x)φx ⊃ (∃x)ψx

*10·413. ⊢: (x)(φx ⊃ ψx) . ⊃ : (∃x)φx ⊃ (∃x)ψx

Док.

*10·414. ⊢: (x)(φx ⊃ ψx) . ⊃ : (∃x)φx ⊃ (∃x)ψx

Док.

Пропозиции *10·413, *10·414 в основном используются в случаях, когда либо φx заменяется на p, либо ψx заменяется на q, и в этом случае половина гипотезы становится излишней, будучи истинной по *4·2.

*10·42. ⊢: (x)φx ∨ p . ≡ : (x)(φx ∨ p)

Док.

Эта пропозиция используется очень часто. Ее следует противопоставить *10·5, в которой мы имеем только импликацию, а не эквивалентность.

*10·43. ⊢: (∃x)φx ∨ p . ≡ : (∃x)(φx ∨ p)

Док.

*10·5. ⊢: (∃x)φx ∨ p . ⊃ : (∃x)(φx ∨ p)

Док.

Обратное к вышеуказанной пропозиции ложно. Тот факт, что эта пропозиция утверждает импликацию, в то время как *10·42 утверждает эквивалентность, является источником многих последующих различий между формулами, касающимися логического сложения, и формулами, касающимися логического умножения.

*10·51. ⊢: (∃x)(φx ∨ ψx) . ≡ : (∃x)φx ∨ (∃x)ψx

Док.

*10·52. ⊢: (x)(φx ∧ ψx) . ≡ : (x)φx ∧ (x)ψx

Док.

*10·53. ⊢: (x)φx ∧ (x)ψx . ≡ : (x)(φx ∧ ψx)

Док.

*10·541. ⊢: (x)φx ∧ (x)ψx . ≡ : (x)(φx ∧ ψx)

Док.

Вышеуказанная пропозиция необходима только для того, чтобы привести к следующей:

*10·542. ⊢: (x)φx ∧ (x)ψx . ≡ : (x)(φx ∧ ψx)

Эта пропозиция является леммой для *84·43.

*10·55. ⊢: (x)φx ∨ (x)ψx . ⊃ : (x)(φx ∨ ψx)

Док.

Эта пропозиция является леммой для *117·12, *117·121.

*10·56. ⊢: (∃x)φx ∧ (∃x)ψx . ⊃ : (∃x)(φx ∧ ψx)

Док.

Эта пропозиция и *10·57 используются в теории рядов (Часть V).

*10·57. ⊢: (∃x)φx ∧ (∃x)ψx . ⊃ : (∃x)(φx ∧ ψx)

Док.

*11. ТЕОРИЯ ДВУХ СВЯЗАННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Резюме *11.

В этом параграфе пропозиции, доказанные для одной переменной в *10, должны быть распространены на две переменные, с добавлением нескольких пропозиций, не имеющих аналогов для одной переменной, таких как *11·2, *11·21, *11·23, *11·24 и *11·53, *11·55, *11·6, *11·7. «φ(x, y)» означает пропозицию, содержащую x и содержащую y; когда x и y не назначены, φ(x, y) — пропозициональная функция от x и y. Определение *11·01 показывает, что «истинность всех значений φ(x, y)» не нужно принимать как новую примитивную идею, но она определима в терминах «истинности всех значений φ(x, y)». Причина в том, что когда x назначен, φ(x, y) становится функцией одной переменной, а именно y, откуда следует, что для каждого возможного значения x, «(y)φ(x, y)» воплощает лишь примитивную идею, введенную в *9. Но «(y)φ(x, y)» снова является лишь функцией одной переменной, а именно x, поскольку y здесь стало связанной переменной. Следовательно, определение *11·01 ниже правомерно. Мы полагаем:

*11·01. (x, y)φ(x, y) = (x)(y)φ(x, y) Df.

*11·02. (∃x, y)φ(x, y) = (∃x)(∃y)φ(x, y) Df.

*11·03. (x, y)φ(x, y) = (x)(∃y)φ(x, y) Df.

*11·04. (∃x, y)φ(x, y) = (∃x)(y)φ(x, y) Df.

*11·05. (x, y)φ(x, y) = (x)(y)φ(x, y) Df.

*11·06. (∃x, y)φ(x, y) = (∃x)(∃y)φ(x, y) Df.

Все вышеуказанные определения предполагаются распространенными на любое количество переменных, которые могут встретиться.

Все пропозиции этого раздела могут быть распространены на любое конечное число переменных; поскольку аналогия является точной, в наших доказательствах нет необходимости выходить за рамки двух переменных.

В дополнение к определению *11·01 нам необходима примитивная пропозиция о том, что «каков бы ни был возможный аргумент x, «φ(x, y) истинно, каков бы ни был возможный аргумент y» имплицирует соответствующее утверждение при перестановке x и y. Любое из них может быть принято в качестве значения выражения «φ(x, y) истинно, каковы бы ни были возможные аргументы x и y».

Пропозиции настоящего параграфа используются несколько реже, чем пропозиции *10, однако некоторые из них применяются часто. К таковым относятся следующие:

*11·1.

*11·11. Если φ(x, y) истинно, каковы бы ни были возможные аргументы x и y, то (x, y).φ(x, y) истинно.

Эти две пропозиции являются аналогами *10·1·11.

*11·2.

Т. е. сказать, что «для всех возможных значений x φ(x, y) истинно для всех возможных значений y», эквивалентно утверждению «для всех возможных значений y φ(x, y) истинно для всех возможных значений x».

*11·3.

Это аналог *10·21.

*11·32.

Т. е. «если φ(x, y) всегда имплицирует ψ(x, y), то «φ(x, y) всегда» имплицирует «ψ(x, y) всегда»». Это аналог *10·21. *11·33·34·341 являются соответственно аналогами *10·271·28·281 и также часто используются.

*11·35.

Т. е. если φ(x, y) всегда имплицирует ψ(x, y), то если φ(x, y) когда-либо истинно, то ψ(x, y) истинно. Это аналог *10·23.

*11·45.

Это аналог *10·35.

*11·54.

Эта пропозиция полезна тем, что она разлагает пропозицию, содержащую две связанные переменные, на две пропозиции, каждая из которых содержит только одну. «φ(x)ψ(y)» является функцией двух переменных, но составлена из двух функций, каждая из которых зависит от одной переменной. Такая функция подобна коническому сечению, представляющему собой две прямые линии: ее можно назвать «разложимой» функцией.

*11·55.

Т. е. сказать «существуют значения x и y, для которых φ(x, y) истинно» эквивалентно утверждению «существует значение x, для которого φ(x, y) истинно и для которого существует значение y такое, что φ(x, y) истинно».

*11·6.

Это дает преобразование, полезное во многих доказательствах.

*11·62.

Это преобразование также часто полезно.

*11·01. (x, y).φ(x, y) = (x).(y).φ(x, y) Df.

*11·02. (x, y).φ(x, y) = (x).(y).φ(x, y) Df.

*11·03. (x, y).φ(x, y) = (x).(y).φ(x, y) Df.

*11·04. (x, y).φ(x, y) = (x).(y).φ(x, y) Df.

*11·05.

*11·06.

с аналогичными определениями для любого числа переменных.

*11·07. «Каков бы ни был возможный аргумент x, «φ(x, y) истинно, каков бы ни был возможный аргумент y»» имплицирует соответствующее утверждение при перестановке x и y. Pp.

*11·1.

Док.

*11·11. Если φ(x, y) истинно, каковы бы ни были возможные аргументы x и y, то (x, y).φ(x, y) истинно.

Док.

Согласно *10·11, гипотеза имплицирует, что (y).φ(x, y) истинно, каков бы ни был возможный аргумент x; а это, согласно *10·11, имплицирует (x, y).φ(x, y).

*11·12.

Док.

Эта пропозиция используется только для доказательства *11·2.

*11·13. Если φ(x, y) и ψ(x, y) принимают свои первые и вторые аргументы соответственно одного и того же типа, и мы имеем «φ(x, y)» и «φ(x, y) ⊃ ψ(x, y)», мы будем иметь «ψ(x, y)». [Доказательство как в *10·13]

*11·14.

Док.

Эта пропозиция, подобно *10·14, не всегда значима, когда ее гипотеза истинна. *11·13, напротив, всегда значима, когда ее гипотеза истинна. По этой причине *11·13 всегда можно безопасно использовать в дедукции, тогда как *11·14 может быть использована в дедукции (т. е. для фактического утверждения консеквента, когда гипотеза утверждена) только в том случае, если известно, что консеквент значим.

*11·2.

Док.

Заметим, что «(x, y).φ(x, y)» — это та же самая пропозиция, что и «(y, x).φ(x, y)»; пропозиция не является функцией какой-либо связанной переменной, которая в ней встречается.

*11·21.

Док.

*11·22.

Док.

*11·23.

Док.

*11·24.

Док.

*11·25.

*11·26.

Док.

Заметим, что обратная пропозиция ложна. Например, пусть φ(x, y) будет пропозициональной функцией «если x — правильная дробь, то y — правильная дробь, большая чем x». Тогда для всех значений x мы имеем (y).φ(x, y), так что (x).(y).φ(x, y) удовлетворяется. Фактически «(x).(y).φ(x, y)» выражает пропозицию: «Если x — правильная дробь, то всегда существует правильная дробь, большая чем x». Но «(y).(x).φ(x, y)» выражает пропозицию: «Существует правильная дробь, которая больше любой правильной дроби», что ложно.

*11·27.

Док.

Все пропозиции *10 имеют аналоги, которые справедливы для двух или более переменных. Наиболее важные из них доказаны ниже.

*11·3.

Док.

*11·31.

Здесь условия значимости в правой части требуют, чтобы x и y принимали аргументы одних и тех же типов.

Док.

Доказательства большинства следующих пропозиций проводятся точно так же, как доказательства *11·3·31: аналогичная пропозиция в *10 используется дважды вместе с *10·27 или *10·271 или *10·28 или *10·281, в зависимости от случая. Когда доказательства соответствуют этому образцу, мы будем просто давать ссылки на используемые пропозиции.

*11·311. Если φ(x, y) и ψ(x, y) принимают аргументы одного и того же типа, и мы имеем «φ(x, y)» и «φ(x, y) ⊃ ψ(x, y)», мы будем иметь «ψ(x, y)». [Доказательство как в *10·13.]

*11·32.

*11·33.

*11·34.

*11·341.

*11·35.

*11·36.

Док.

*11·37.

Док.

В следующей демонстрации «Г» означает гипотезу доказываемой пропозиции. Мы будем использовать это сокращение, когда это удобно, во всех случаях, когда доказываемая пропозиция является гипотетической, т. е. имеет вид «Г ⊃ П». Аналогично «Г(1)» будет означать «гипотезу (1)» и так далее.

Вышеприведенное является типом доказательства, который часто повторяется в дальнейшем. Доказательства, соответствующие этому образцу, будут обозначаться только номерами используемых пропозиций.

*11·371.

*11·38.

*11·39.

*11·391.

Док.

*11·4.

Док.

*11·401.

*11·41.

*11·42.

*11·421.

*11·43.

*11·44.

*11·45.

*11·46.

*11·47.

*11·5.

Док.

*11·51.

Док.

*11·52.

Док.

*11.521.

*11.53.

Док.

*11·54.

Док.

Эта пропозиция используется очень часто.

*11·55.

Док.

Эта пропозиция используется очень часто.

*11·56.

Док.

*11·57.

Использование здесь *4·24 зависит от того факта, что (x, y).φ(x, y) и (y, x).φ(x, y) являются одной и той же пропозицией.

*11·58.

*11·59.

Док.

*11·6.

Эта пропозиция очень часто используется в последующих доказательствах.

Док.

*11·61.

Док.

*11·62.

Док.

*11·63.

Док.

*11·7.

Док.

В последней строке вышеприведенного доказательства используется тот факт, что (x, y).φ(x, y) и (y, x).φ(x, y) являются одной и той же пропозицией.

Первое использование следующей пропозиции встречается в доказательстве *234·12. Ее полезность заключается в том, что она позволяет нам перейти от гипотезы, содержащей две связанные переменные, к произведению двух гипотез, каждая из которых содержит только одну.

*11·71.

Док.

*12. ИЕРАРХИЯ ТИПОВ И АКСИОМА СВОДИМОСТИ.

Примитивная идея «(x).φ(x)» была объяснена как означающая «φ(x) всегда истинно», т. е. «все значения φ(x) истинны». Но какой бы ни была функция φ, найдутся аргументы x, при которых φ(x) бессмысленно, т. е. при которых в качестве аргументов φ(x) не имеет никакого значения. Аргументы x, при которых φ(x) имеет значения, образуют то, что мы будем называть «областью значимости» φ. «Тип» определяется как область значимости некоторой функции. В силу *9·14, если φ(x) и ψ(x) значимы, т. е. либо истинны, либо ложны, то таковым является и φ(x) ∨ ψ(x). Отсюда следует, что два типа, имеющие общий элемент, совпадают, и что два различных типа взаимно исключительны. Любая пропозиция вида (x).φ(x), т. е. любая пропозиция, содержащая связанную переменную, определяет некоторый тип как область значений связанной переменной, причем тип фиксируется функцией φ.

Разделение объектов на типы обусловлено парадоксами порочного круга, которые в противном случае возникают [52]. Эти парадоксы показывают, что не должно быть никаких совокупностей, которые, будучи легитимными, содержали бы элементы, определенные через самих себя. Следовательно, любое выражение, содержащее связанную переменную, не должно находиться в области значений этой переменной, т. е. должно принадлежать к другому типу. Таким образом, связанные переменные, содержащиеся или подразумеваемые в выражении, определяют его тип. Это руководящий принцип в дальнейшем.

Как объяснено в *9, пропозиции, содержащие переменные, порождаются из пропозициональных функций, которые не содержат этих связанных переменных, путем процесса утверждения всех или некоторых значений таких функций. Предположим, что p — пропозиция, содержащая x; мы дадим имя «обобщение» процессу, который превращает p в (x).φ(x) или (∃x).φ(x), и мы дадим имя «обобщенные пропозиции» всем таким, которые содержат связанные переменные. Очевидно, что пропозиции, содержащие связанные переменные, предполагают другие, не содержащие связанных переменных, из которых они могут быть выведены путем обобщения. Пропозиции, которые не содержат связанных переменных, мы называем «элементарными пропозициями» [53], а термины таких пропозиций, отличные от функций, мы называем «индивидами». Тогда индивиды образуют первый тип.

На практике нет необходимости знать, какие объекты принадлежат к низшему типу, или даже является ли низший тип переменной, встречающейся в данном контексте, типом индивидов или каким-то иным. Ибо на практике релевантны только относительные типы переменных; таким образом, низший тип, встречающийся в данном контексте, может быть назван типом индивидов, насколько это касается данного контекста. Отсюда следует, что вышеприведенное описание индивидов не является существенным для истинности того, что следует далее; все, что существенно, — это способ, которым другие типы порождаются из индивидов, как бы ни был конституирован тип индивидов.

Применяя процесс обобщения к индивидам, встречающимся в элементарных пропозициях, мы получаем новые пропозиции. Легитимность этого процесса требует лишь того, чтобы никакие индивиды не были пропозициями. То, что это так, обеспечивается значением, которое мы придаем слову «индивид». Мы можем объяснить индивида как нечто, существующее само по себе; тогда он, очевидно, не является пропозицией, поскольку пропозиции, как объяснено в главе II Введения (стр. 46), являются неполными символами, не имеющими значения вне употребления. Следовательно, применяя процесс обобщения к индивидам, мы не рискуем столкнуться с рефлексивными парадоксами. Мы дадим имя «пропозиции первого порядка» таким, которые содержат одну или более связанных переменных, чьи возможные значения являются индивидами, но не содержат других связанных переменных. Пропозиции первого порядка не все одного и того же типа, поскольку, как было объяснено в *9, две пропозиции, которые не содержат одинакового числа связанных переменных, не могут быть одного и того же типа. Но благодаря систематической двусмысленности отрицания и дизъюнкции их различия в типе обычно могут игнорироваться на практике. Никаких рефлексивных парадоксов не возникнет, поскольку никакая пропозиция первого порядка не вовлекает никакой совокупности, кроме совокупности индивидов.

Обозначим через «φ!x» или «ψ!x» или и т. д. элементарную функцию, чей аргумент или аргументы являются индивидами. Мы будем называть такую функцию «предикативной функцией индивида». Такие функции, вместе с теми, которые получены из них путем обобщения, будут называться «функциями первого порядка». На практике мы можем без риска рефлексивных парадоксов рассматривать функции первого порядка как тип, поскольку единственная совокупность, которую они вовлекают, — это совокупность индивидов, и посредством систематической двусмысленности отрицания и дизъюнкции любая функция от функции первого порядка, которая будет нас интересовать, будет значимой, какой бы функции первого порядка ни был придан аргумент, при условии, что приданы правильные значения вовлеченным отрицаниям и дизъюнкциям.

Ради ясности мы повторим в несколько иных терминах наше описание того, что подразумевается под функцией первого порядка. Дадим имя «матрица» любой функции, от сколь угодно многих переменных, которая не вовлекает никаких связанных переменных. Тогда любая возможная функция, отличная от матрицы, выводится из матрицы посредством обобщения, т. е. путем рассмотрения пропозиции, которая утверждает, что рассматриваемая функция истинна для всех возможных значений или для некоторого значения одного из аргументов, при этом другой аргумент или аргументы остаются неопределенными. Таким образом, например, из функции φ(x, y) мы сможем вывести четыре функции, из которых две первые являются функциями от x, а две последние — функциями от y. (Все пропозиции, за исключением таких, которые являются значениями матриц, также выводятся из матриц посредством вышеуказанного процесса обобщения. Чтобы получить пропозицию из матрицы, содержащей n переменных, не присваивая значений ни одной из переменных, необходимо превратить все переменные в связанные переменные. Таким образом, если φ(x, y) — матрица, (x, y).φ(x, y) — пропозиция.) Мы дадим имя «матрицы первого порядка» таким, которые имеют в качестве своих аргументов только индивидов, и мы дадим имя «функции первого порядка» (от любого числа переменных) таким, которые либо являются матрицами первого порядка, либо выведены из матриц первого порядка путем обобщения, примененного к некоторым (не всем) аргументам таких матриц. «Пропозиции первого порядка» будут такими, которые возникают в результате применения обобщения ко всем аргументам матрицы первого порядка.

Как мы уже заявляли, нотация «φx» используется для любой элементарной функции одной переменной. Таким образом, «φx» представляет любое значение любой элементарной функции одной переменной. Будет видно, что «φ(x, y)» является функцией двух переменных, а именно x и y. Поскольку она не содержит связанной переменной, она является матрицей, но поскольку она содержит переменную (а именно φ), которая не является индивидом, она не является матрицей первого порядка. То же самое относится к φ(a, x), где a — некоторая определенная константа. Мы можем построить ряд новых матриц, таких как f(φ!x). Все это матрицы, которые вовлекают функции первого порядка среди своих аргументов. Такие матрицы мы будем называть «матрицами второго порядка». Из этих матриц, применяя обобщение к их аргументам, будь то такие, которые являются функциями, или такие (если таковые имеются), которые являются индивидами, мы получаем новые функции и пропозиции. Такие функции (вместе с матрицами второго порядка) будут называться «функциями второго порядка», а такие пропозиции будут называться «пропозициями второго порядка». Таким образом, мы приходим к следующим определениям:

«Матрица второго порядка» — это такая, которая имеет по крайней мере одну матрицу первого порядка среди своих аргументов, но не имеет других аргументов, кроме матриц первого порядка и индивидов.

«Функция второго порядка» — это такая, которая либо является матрицей второго порядка, либо возникает из нее путем применения обобщения к некоторым (не всем) аргументам матрицы второго порядка.

«Пропозиция второго порядка» — это такая, которая возникает из матрицы второго порядка путем применения обобщения ко всем ее аргументам.

В дополнение к вышеприведенным иллюстрациям матриц второго порядка мы можем привести следующие примеры функций второго порядка:

(1) Функции, в которых аргументом является φ!x: f(φ!x), (φ!x) ∨ (ψ!x), φ!x ⊃ ψ!x, где φ и ψ — константы, f(φ!x) ∨ p, где p — константная функция, и так далее.

(2) Функции, в которых аргументами являются φ!x и ψ!x: f(φ!x, ψ!x), φ!x ⊃ ψ!x, где φ и ψ — константы, и так далее.

(3) Функции, в которых аргументом является индивид x: f(x), φ!x ∨ ψ!x, f(x) ∨ p, где p — константа, и так далее.

(4) Функции, в которых аргументами являются x и y: f(x, y), φ!x ∨ ψ!y, где φ — константа, f(x, y) ∨ p, и так далее.

Примеры функций второго порядка могли бы, конечно, быть умножены бесконечно, но вышеприведенных кажется достаточно для целей иллюстрации.

Матрица второго порядка от одной переменной будет называться «предикативной функцией второго порядка от одной переменной» или «предикативной функцией матрицы первого порядка». Таким образом, f(φ!x), φ!x ∨ ψ!x и φ!x ⊃ ψ!x являются предикативными функциями от φ!x. Аналогично функция от нескольких переменных, из которых по крайней мере одна является матрицей первого порядка, в то время как остальные являются либо индивидами, либо матрицами первого порядка, будет называться «предикативной», если она является матрицей.

Будет видно, однако, что функция второго порядка может иметь в качестве своих аргументов только индивидов; примеры были приведены только что под заголовком (3). Такие функции мы не будем называть предикативными, поскольку предикативные функции индивидов уже были определены как таковые, которые являются функциями первого порядка. Таким образом, порядок функции не определяется порядком ее аргумента или аргументов; действительно, функция может быть любого порядка, превосходящего порядок или порядки ее аргументов.

Переменная матрица, чей аргумент есть φ!x, будет обозначаться через f(φ!x), и вообще, матрица, чьи аргументы есть φ!x, ψ!x, ..., f(φ!x), ... (где среди аргументов есть по крайней мере одна функция), будет обозначаться через f(φ!x, ψ!x, ..., f(φ!x), ...). Такая матрица не является матрицей первого или второго порядка, поскольку она содержит новую переменную f, чьи значения являются матрицами второго порядка. Мы приступаем к построению новых матриц, как мы делали с матрицей f(φ!x); они составляют «матрицы третьего порядка». Эти, вместе с функциями, выведенными из них путем обобщения, называются «функциями третьего порядка», а пропозиции, выведенные из матриц третьего порядка путем обобщения, называются «пропозициями третьего порядка».

Таким образом мы можем продолжать бесконечно к матрицам, функциям и пропозициям все более и более высоких порядков. Мы вводим следующее определение:

Функция называется «предикативной», когда она является матрицей. Будет замечено, что в иерархии, в которой все переменные являются индивидами или матрицами, матрица — это то же самое, что элементарная функция (ср. стр. 132, 133).

«Матрица» или «предикативная функция» — это примитивная идея.

Тот факт, что функция является предикативной, указывается, как выше, восклицательным знаком после функциональной буквы.

Переменные, встречающиеся в настоящей работе, с этого момента и далее будут либо индивидами, либо матрицами некоторого порядка в вышеуказанной иерархии. Пропозиции, которые до сих пор встречались как переменные, больше не будут таковыми, за исключением нескольких изолированных случаев, которые в дальнейшем не используются. На практике, по причинам, объясненным на стр. 169, функция от матрицы может рассматриваться как способная принимать любой аргумент, который является функцией того же порядка и принимает аргументы того же типа.

На практике нам никогда не нужно знать абсолютные типы наших переменных, а только их относительные типы. То есть, если мы доказываем любую пропозицию в предположении, что одна из наших переменных является индивидом, а другая — функцией порядка n, доказательство будет оставаться в силе, если вместо индивида мы возьмем функцию порядка m, а вместо нашей функции порядка n мы возьмем функцию порядка n+m, с соответствующими изменениями для любых других переменных, которые могут быть вовлечены. Это следует из предположения, что наши примитивные пропозиции должны применяться к переменным любого порядка.

Мы будем использовать малые латинские буквы (кроме f, g, h, φ, ψ, χ) для переменных низшего типа, рассматриваемого в любом контексте. Для функций мы будем использовать буквы f, g, h, φ, ψ, χ (за исключением того, что на более позднем этапе φ будет определено как константная реляция, а η будет определено как порядковый тип континуума).

Мы объясним позже другую иерархию, иерархию классов и реляций, которая выводится из функциональной иерархии, объясненной выше, но является более удобной на практике.

Когда любая предикативная функция, скажем φ!, встречается как связанная переменная, было бы строго более корректно указать этот факт, поместив «(φ!)» перед тем, что следует, а именно так: «(φ!).f(φ!)». Но ради краткости мы пишем просто «(φ!).f(φ!)» вместо «(φ!).f(φ!)». Поскольку то, что следует за (φ!) в скобках, должно всегда содержать φ! с подставленными аргументами, никакой путаницы из этой практики возникнуть не может.

Следует заметить, что в силу способа, которым была порождена наша иерархия функций, не-предикативные функции всегда возникают из таких, которые являются предикативными, посредством обобщения. Следовательно, нет необходимости вводить специальную нотацию для не-предикативных функций данного порядка n и принимающих аргументы данного порядка. Например, функции второго порядка от индивида x всегда выводятся путем обобщения из матрицы f(φ!x), где функции φ, ψ, ... являются предикативными. Возможно, поэтому, без потери общности, не использовать никаких связанных переменных, кроме таких, которые являются предикативными.

Нам требуется, однако, средство символизации функции, чей порядок не назначен. Мы будем использовать «f» или «g» или и т. д. для выражения функции (f(x) или f(x, y)), чей порядок, относительно ее аргумента, не дан. Такая функция не может быть превращена в связанную переменную, если мы не предположим, что ее порядок предварительно зафиксирован. Поскольку единственная цель нотации — избежать необходимости фиксации порядка, такая функция не будет использоваться как связанная переменная; единственные функции, которые будут так использоваться, будут предикативными функциями, потому что, как мы только что видели, это ограничение не влечет за собой потери общности.

Теперь мы должны сформулировать и объяснить аксиому сводимости.

Важно заметить, что, поскольку существуют различные типы пропозиций и функций, и поскольку обобщение может быть применено только внутри некоторого одного типа (или, посредством систематической двусмысленности, внутри некоторого хорошо определенного и завершенного множества типов), все фразы, относящиеся к «всем пропозициям» или «всем функциям», или к «некоторой (неопределенной) пропозиции» или «некоторой (неопределенной) функции», prima facie бессмысленны, хотя в определенных случаях они способны к безупречной интерпретации. Противоречия возникают из использования таких фраз в случаях, когда не может быть найдено никакого невинного значения.

Если математика должна быть возможной, абсолютно необходимо (как объяснено во Введении, глава II), чтобы мы имели некоторый метод составления утверждений, которые обычно были бы эквивалентны тому, что мы имеем в виду, когда (неточно) говорим «все свойства x». («Свойство x» может быть определено как пропозициональная функция, удовлетворяемая x.) Следовательно, мы должны найти, если возможно, некоторый метод снижения порядка пропозициональной функции, не затрагивая истинность или ложность ее значений. Это, по-видимому, то, что здравый смысл осуществляет посредством допущения классов. Дана любая пропозициональная функция φ(x) любого порядка, это предполагается эквивалентным, для всех значений x, утверждению вида «x принадлежит классу φ». Теперь, предполагая, что существует такая сущность, как класс φ, это утверждение является утверждением первого порядка, поскольку оно не вовлекает никакого намека на переменную функцию. Действительно, его единственное практическое преимущество перед исходным утверждением φ(x) состоит в том, что оно является утверждением первого порядка. Нет никакого преимущества в предположении, что действительно существуют такие вещи, как классы, и противоречие о классах, которые не являются элементами самих себя, показывает, что если существуют классы, они должны быть чем-то радикально отличным от индивидов. Казалось бы, единственная цель, которой служат классы, и одна главная причина, которая делает их лингвистически удобными, состоит в том, что они предоставляют метод снижения порядка пропозициональной функции. Мы, следовательно, не будем предполагать ничего из того, что может казаться вовлеченным в здравое допущение классов, кроме этого: что каждая пропозициональная функция эквивалентна, для всех своих значений, некоторой предикативной функции того же аргумента или аргументов.

Это допущение в отношении функций должно быть сделано, каким бы ни был тип их аргументов. Пусть φ(x) — функция, любого порядка, от аргумента x, который сам может быть либо индивидом, либо функцией любого порядка. Если φ(x) — матрица, мы записываем функцию в форме φ!x; в таком случае мы называем φ!x предикативной функцией. Таким образом, предикативная функция индивида является функцией первого порядка; и для более высоких типов аргументов предикативные функции занимают место, которое занимают функции первого порядка в отношении индивидов. Мы предполагаем, таким образом, что каждая функция от одной переменной эквивалентна, для всех своих значений, некоторой предикативной функции того же аргумента. Это допущение кажется сущностью обычного допущения классов; во всяком случае, оно сохраняет столько от классов, сколько нам нужно, и достаточно мало, чтобы избежать противоречий, которые склонно влечь за собой менее скупое допущение классов. Мы будем называть это допущение «аксиомой классов» или «аксиомой сводимости».

Мы будем предполагать аналогично, что каждая функция от двух переменных эквивалентна, для всех своих значений, предикативной функции от этих переменных, т. е. матрице. Это допущение — то, что, по-видимому, подразумевается под утверждением, что любое утверждение о двух переменных определяет реляцию между ними. Мы будем называть это допущение «аксиомой реляций» или (как предыдущую аксиому) «аксиомой сводимости».

При работе с реляциями между более чем двумя членами потребовались бы аналогичные допущения для трех, четырех, ... переменных. Но эти допущения не являются обязательными для нашей цели и поэтому в данной работе не делаются.

Сформулированные в символах, две формы аксиомы сводимости выглядят следующим образом:

*12·1. ∃φ! : φx ≡ φ!x Pp.

*12·11. ∃φ! : φ(x, y) ≡ φ!(x, y) Pp.

Мы называем две функции φ и ψ «формально эквивалентными», когда (x).φx ≡ ψx, и аналогично мы называем φ и ψ «формально эквивалентными», когда (x, y).φ(x, y) ≡ ψ(x, y). Таким образом, вышеприведенные аксиомы утверждают, что любая функция от одной или двух переменных формально эквивалентна некоторой предикативной функции от одной или двух переменных, в зависимости от случая.

Из вышеприведенных двух аксиом первая главным образом нужна в теории классов (*20), а вторая — в теории реляций (*21). Но первая также существенна для теории тождества, если тождество должно быть определено (как мы сделали, в *13·01); ее использование в теории тождества воплощено в доказательстве *13·101 ниже.

Мы можем суммировать то, что было сказано в настоящем параграфе, следующим образом:

(1) Функция первого порядка — это такая, которая не вовлекает никаких переменных, кроме индивидов, будь то в качестве связанных переменных или в качестве аргументов.

(2) Функция n-го порядка — это такая, которая имеет по крайней мере один аргумент или связанную переменную порядка n, и не содержит никакого аргумента или связанной переменной, которые не являются либо индивидом, либо функцией первого порядка, либо функцией второго порядка, ... или функцией порядка n.

(3) Предикативная функция — это такая, которая не содержит связанных переменных, т. е. является матрицей. Возможно, без потери общности, не использовать никаких переменных, кроме матриц и индивидов, до тех пор, пока не требуются переменные пропозиции.

(4) Любая функция от одного аргумента или от двух формально эквивалентна предикативной функции того же аргумента или аргументов.

СНОСКИ:

[52] Ср. Введение, глава II.

[53] Cf. pp. 95, 96.

*13. ТОЖДЕСТВО.

Резюме *13.

Пропозициональная функция «x идентично y» будет записана как «x = y». Мы обнаружим, что это использование знака равенства охватывает все обычные использования равенства, которые встречаются в математике. Определение следующее:

*13·01. x = y .=: (φ) : φ!x ⊃ φ!y Df.

Это определение утверждает, что x и y должны называться идентичными, когда каждая предикативная функция, удовлетворяемая x, также удовлетворяется y. Мы не можем утверждать, что каждая функция, удовлетворяемая x, должна удовлетворяться y, потому что x удовлетворяет функциям различных порядков, и они не могут быть все охвачены одной связанной переменной. Но в силу аксиомы сводимости следует, что если x = y и x удовлетворяет φ(x), где φ — любая функция, предикативная или не-предикативная, то y также удовлетворяет φ(y) (ср. *13·101 ниже). Следовательно, по существу, определение столь же мощно, как если бы оно могло быть распространено на все функции от x.

Заметим, что второй знак равенства в вышеприведенном определении объединен с «.≡.», и, таким образом, не является в действительности тем же самым символом, что и знак равенства, который определяется. Таким образом, определение не является циклическим, хотя на первый взгляд оно таким кажется.

На пропозиции настоящего параграфа постоянно ссылаются. Большинство из них самоочевидны, и доказательства не представляют трудности. Наиболее важными из пропозиций этого параграфа являются следующие:

*13·101.

Т. е. если x и y идентичны, любое свойство x является свойством y.

*13·12.

Это включает *13·101 вместе с тем фактом, что если x и y идентичны, любое свойство x является свойством y.

*13·15·16·17, которые утверждают, что тождество рефлексивно, симметрично и транзитивно.

*13·191.

Т. е. утверждать, что все, что идентично x, обладает определенным свойством, эквивалентно утверждению, что x обладает этим свойством.

*13·195.

Т. е. утверждать, что нечто, идентичное x, обладает определенным свойством, эквивалентно утверждению, что x обладает этим свойством.

*13·22.

Это аналог *13·195 для двух переменных.

*13·01.

Следующие определения воплощают сокращения, которые часто удобны.

*13·02. x ≠ y .=. ~(x = y) Df.

*13·03. x, y, z = x = y.y = z Df.

*13·1.

*13·101.

Док.

В силу этой пропозиции, если x = y, y удовлетворяет любой функции, будь то предикативная или не-предикативная, которая удовлетворяется x. Будет замечено, что доказательство использует аксиому сводимости (*12·1). Если бы не эта аксиома, два члена x и y могли бы совпадать в отношении всех предикативных функций, но не в отношении всех не-предикативных функций. Мы были бы таким образом приведены к тождествам различных степеней, в зависимости от степени функций, в отношении которых x и y совпадали. Строгое тождество в этом случае должно было бы быть принято как примитивная идея, и *13·101 должно было бы быть примитивной пропозицией, как и *13·15·16·17.

*13·11.

Док.

*13·12.

Док.

*13·13.

*13·14.

*13·15.

*13·16.

*13·17.

Док.

В вышеприведенном использовании *10·3, φ!x, ψ!x, χ!x рассматриваются как три различные функции от x, и x заменяет y в *10·3.

Вышеприведенные три пропозиции показывают, что тождество рефлексивно (*13·15), симметрично (*13·16) и транзитивно (*13·17). Это три признака реляций, имеющих формальные свойства, которые мы обычно ассоциируем со знаком равенства.

*13·171.

*13·172.

*13·18.

*13·181.

*13·182.

*13·183.

Док.

*13·19.

*13·191.

Док.

Эта пропозиция постоянно используется в последующих доказательствах.

*13·192.

Док.

Эта пропозиция полезна в теории дескрипций (*14).

*13·193.

Док.

Эта пропозиция используется очень часто.

*13·194.

Эта пропозиция используется в *37·65 и *101·14.

*13·195.

Док.

Использование этой пропозиции в последующих доказательствах очень часто.

*13·196.

*13·21.

Док.

Эта пропозиция является аналогом, для двух переменных, *13·191.

*13·22.

Док.

Эта пропозиция является аналогом, для двух переменных, *13·195. Она часто используется, особенно в теории пар (*54, *55, *56).

Следующая пропозиция полезна в теории типов. Ее цель — показать, что если x — любой аргумент, для которого «x = a» значимо, т. е. для которого мы имеем x = a ∨ x ≠ a, то «y = x» значимо тогда и только тогда, когда y идентично a или не идентично a. Отсюда следует (как будет доказано в *20·81), что если «x = a» и «x = b» оба значимы, класс значений x, для которых «x = a» значимо, является тем же самым, что и класс тех, для которых «x = b» значимо, т. е. два типа, имеющие общий элемент, идентичны.

В следующем доказательстве главный момент, который следует заметить, — это использование *10·221. Есть две переменные, x и y, которые должны быть идентифицированы. В первом использовании мы зависим от того факта, что x и y оба встречаются как в (4), так и в (5): вхождение x в оба оправдывает идентификацию двух x, и когда они были идентифицированы, вхождение y в оба оправдывает идентификацию двух y. (Если бы x уже не были идентифицированы, это не было бы легитимным, потому что «x = y» типически двусмысленно, если ни x, ни y не имеют данного типа.) Второе использование *10·221 оправдано тем фактом, что оба x и y встречаются как в (2), так и в (6).

*13·3.

Док.

*14. ДЕСКРИПЦИИ.

Резюме *14.

Дескрипция — это фраза вида «термин, который и т. д.», или, более эксплицитно, «термин x, который удовлетворяет φx», где φx — некоторая функция, удовлетворяемая одним и только одним аргументом. По причинам, объясненным во Введении (глава III), мы не определяем «x, который удовлетворяет φx», но мы определяем любую пропозицию, в которой встречается эта фраза. Таким образом, когда мы говорим: «Термин x, который удовлетворяет φx, удовлетворяет ψx», мы будем подразумевать: «Существует термин x такой, что φx истинно тогда и только тогда, когда x есть x, и ψx истинно». То есть, записывая «(ιx)(φx)» для «термина x, который удовлетворяет φx», ψ(ιx)(φx) должно означать ∃c : (x).φx ≡ x = c : ψc. Это, однако, еще не совсем адекватно как определение, ибо когда (ιx)(φx) встречается в пропозиции, которая является частью большей пропозиции, есть сомнение, меньшая или большая пропозиция должна быть принята как «область действия» (ιx)(φx). Возьмем, например, ψ(ιx)(φx) ∨ p. Это может быть либо ψ(ιx)(φx) ∨ p, либо ψ(ιx)(φx ∨ p). Если «(ιx)(φx)» ложно, первая из них должна быть истинной, в то время как вторая должна быть ложной. Таким образом, очень необходимо различать их.

Пропозиция, которая должна рассматриваться как «область действия» (ιx)(φx), будет называться «областью действия» (ιx)(φx). Таким образом, в первой из вышеприведенных двух пропозиций областью действия (ιx)(φx) является ψ(ιx)(φx), в то время как во второй это ψ(ιx)(φx ∨ p). Чтобы избежать двусмысленностей относительно области действия, мы будем указывать область действия, записывая «(ιx)(φx)» в начале области действия, за которой следует достаточное количество точек, чтобы дотянуться до конца области действия. Таким образом, из вышеприведенных двух пропозиций первая есть (ιx)(φx).ψ(ιx)(φx) ∨ p, в то время как вторая есть (ιx)(φx).ψ(ιx)(φx ∨ p). Таким образом, мы приходим к следующему определению:

*14·01. ψ(ιx)(φx) .=: (∃c) : (x).φx ≡ x = c : ψc Df.

На практике будет обнаружено, что областью действия обычно требуется наименьшая пропозиция, заключенная в точки или скобки, в которой встречается «(ιx)(φx)». Следовательно, когда эта область действия должна быть придана (ιx)(φx), мы обычно будем опускать эксплицитное упоминание области действия. Таким образом, например, мы будем иметь E!(ιx)(φx) .=. (∃c) : (x).φx ≡ x = c. Из них первая необходимо имплицирует (∃c).φc, в то время как вторая — нет. Мы полагаем

*14·02. E!(ιx)(φx) .=: (∃c) : (x).φx ≡ x = c Df.

Это определяет: «x, удовлетворяющий φx, существует», что справедливо тогда и только тогда, когда φx удовлетворяется одним значением x и никаким другим значением.

Когда две или более дескрипции встречаются в одной и той же пропозиции, возникает необходимость избегать двусмысленности относительно того, какая из них имеет большую область действия. Для этой цели мы полагаем

*14·03. ψ(ιx)(φx)(ιy)(ψy) .=: (∃c) : (x).φx ≡ x = c : ψ(ιy)(ψy) Df.

Будет показано в *14·113, что истинностное значение пропозиции, содержащей две дескрипции, не затрагивается вопросом о том, какая из них имеет большую область действия. Следовательно, мы в общем будем принимать конвенцию, что дескрипция, встречающаяся типографически первой, должна иметь большую область действия, если обратное не указано эксплицитно. Таким образом, например, ψ(ιx)(φx)(ιy)(ψy) будет означать (ιx)(φx).ψ(ιx)(φx)(ιy)(ψy), т. е. (ιx)(φx).(ιy)(ψy).ψ(ιx)(φx)(ιy)(ψy). Благодаря этой конвенции мы можем почти всегда избегать эксплицитного указания порядка исключения двух или более дескрипций. Если, однако, нам требуется большая область действия для более поздней дескрипции, мы полагаем

*14·04. (ιy)(ψy)(ιx)(φx).ψ(ιx)(φx)(ιy)(ψy) Df.

Всякий раз, когда мы имеем E!(ιx)(φx), (ιx)(φx) ведет себя формально как обычный аргумент к любой функции, в которой она может встретиться. Этот факт воплощен в следующей пропозиции:

*14·18

Иными словами, когда ( существует, оно обладает любым свойством, которое присуще всему. Это неверно, когда ( не существует; например, нынешний король Франции не обладает свойством быть либо лысым, либо не лысым.

Если ( обладает каким-либо свойством, оно должно существовать. Этот факт утверждается в предложении:

*14·21

Это предложение очевидно, поскольку «E (» согласно определениям является частью «(». Когда в обычном языке или в философии говорится, что нечто «существует», это всегда нечто описанное, т. е. это не нечто непосредственно представленное, как вкус или цветовое пятно, а нечто вроде «материи», «разума» или «Гомера» (означающего «автора гомеровских поэм»), которое известно через описание как «такой-то и такой-то» и, следовательно, имеет форму ( . Таким образом, во всех подобных случаях существование (грамматического) субъекта ( может быть аналитически выведено из любого истинного предложения, имеющего этот грамматический субъект. По-видимому, слово «существование» не может быть значимым образом применено к непосредственно данным субъектам; т. е. не только наше определение не придает смысла « (», но и в философии нет оснований полагать, что можно найти значение существования, применимое к непосредственно данным субъектам.

Помимо вышесказанного, к числу наиболее полезных предложений настоящего раздела относятся следующие.

*14·202.

Из первой эквивалентности в вышеприведенном следует, что

*14·204.

Т. е. ( существует, когда есть нечто, чем ( является.

Мы имеем

*14·205.

Т. е. ( обладает свойством , когда есть нечто, что является ( и что обладает свойством .

Мы должны доказать, что такие символы, как «( », подчиняются тем же правилам в отношении тождества, что и символы, непосредственно представляющие объекты. Однако здесь есть одно частичное исключение, ибо вместо того, чтобы иметь , мы имеем лишь

*14·28.

Т. е. «( » удовлетворяет рефлексивному свойству тождества только в том случае, если ( существует.

Симметричное свойство тождества справедливо для таких символов, как ( , без необходимости предположения о существовании, т. е. мы имеем

*14·13.

*14·131.

Аналогично, транзитивное свойство тождества справедливо без необходимости предположения о существовании. Это доказано в *14·14·142·144.

*14·01.

*14·02.

*14·03.

*14·04.

*14·1 .

В силу наших соглашений относительно области действия, подразумеваемой, когда область действия не указана явно, вышеприведенное предложение тождественно следующему:

*14·101.

*14·11 .

*14·111.

Док.

*14·112.

В вышеприведенном предложении мы используем соглашение, объясненное на стр. 182 после формулировки *14·03.

*14·113 .

Это предложение показывает, что когда два описания встречаются в одном и том же предложении, истинностное значение предложения не зависит от того, какое из них имеет большую область действия.

*14·12.

Док.

*14·121.

Док.

*14·122 .

Док.

Два следующих предложения (*14·123·124) помещены здесь из-за аналогии с *14·122, но они не используются до тех пор, пока мы не перейдем к теории пар (*55 и *56).

*14·123.

Док.

*14·124.

Док.

*14·13 .

Док.

Это предложение не является непосредственным следствием *13·16, поскольку « (» не является значением функции « (» . Аналогичные замечания применимы к следующим предложениям.

*14·131.

Док.

В вышеприведенном предложении, в соответствии с нашим соглашением, дескриптивное выражение ( исключается перед ( , поскольку оно встречается первым в «( ( »; но в «( ( » ( должно быть исключено первым. Порядок исключения не влияет на истинностное значение, как было доказано в *14·113.

Вышеприведенное предложение может быть также доказано следующим образом:

*14·14.

*14·142.

Док.

*14·144.

Док.

*14·145.

Док.

*14·15.

Док.

*14·16.

Док.

*14·17.

Док.

Следует заметить, что мы не имеем , ибо если ( всегда ложно, то ( справедливо для всех значений . Но мы имеем

*14·171.

Док.

*14·18 .

Док.

Вышеприведенное предложение показывает, что при условии, что ( существует, оно обладает (говоря формально) всеми логическими свойствами символов, которые непосредственно представляют объекты. Следовательно, когда ( существует, тот факт, что оно является неполным символом, становится несущественным для истинностных значений логических предложений, в которых оно встречается.

*14·2.

Док.

*14·201.

Док.

*14·202 .

Док.

[Вторая половина доказывается так же, как и первая.]

*14·203.

Док.

*14·204.

Док.

*14·205.

*14·21 .

Док.

Это предложение показывает, что если о ( можно сделать какое-либо истинное утверждение, то ( должно существовать. Его использование на протяжении остальной части работы будет очень частым.

Когда ( не существует, все еще существуют истинные предложения, в которых встречается «( », но в таких предложениях оно имеет вторичное вхождение в смысле, объясненном в главе III Введения, т. е. рассматриваемое утвердительное предложение имеет форму не ( , а ( , иными словами, предложение, которое является областью действия ( , является лишь частью всего утвердительного предложения.

*14·22.

Док.

В качестве примера вышеприведенного предложения можно взять следующее: «Предложение "автор Уэверли существовал" эквивалентно "человек, написавший Уэверли, написал Уэверли"». Таким образом, такое предложение, как «человек, написавший Уэверли, написал Уэверли», не воплощает логически необходимую истину, поскольку оно было бы ложным, если бы Уэверли не был написан или был написан двумя людьми в соавторстве. Например, «человек, который квадратировал круг, квадратировал круг» — это ложное предложение.

*14·23.

Док.

Заметьте, что во второй строке вышеприведенного доказательства требуется не только *3·26, но и *10·5. Ибо область действия дескриптивного символа ( есть все произведение ( , так что, применяя *14·1, предложение справа в первой строке становится ( , что согласно *10·5 и *3·26 влечет за собой

*14·24.

Док.

Это предложение следует сравнить с *14·241, где в силу меньшей области действия ( мы получаем импликацию вместо эквивалентности.

*14·241 .

Док.

*14·242 .

*14·25.

Док.

*14·26.

Док.

*14·27.

Док.

*14·271.

Док.

*14·272.

Док.

Вышеприведенные два предложения показывают, что ( и ( являются «экстенсиональными» свойствами ( , т. е. их истинностное значение не меняется при подстановке вместо ( любой формально эквивалентной функции ( .

*14·28 .

Док.

Это предложение утверждает, что ( тождественно самому себе всякий раз, когда оно существует, но не иначе. Таким образом, например, предложение «нынешний король Франции есть нынешний король Франции» ложно.

Цель следующих предложений — показать, что когда ( , область действия ( не имеет значения для истинностного значения любого предложения, в котором встречается ( . Это предложение не может быть доказано в общем виде, но оно может быть доказано в каждом конкретном случае. Следующие предложения показывают метод, который всегда осуществляется посредством *14·242, *10·23 и *14·11. Предложение может быть доказано в общем виде, когда ( встречается в форме ( , и ( встречается в том, что мы можем назвать «истинностной функцией», т. е. функции, истинность или ложность которой зависит только от истинности или ложности ее аргумента или аргументов. Это охватывает все случаи, с которыми мы когда-либо имеем дело. Иными словами, если ( встречается любым из способов, которые могут быть порождены процессами *1—*11, то при условии ( истинностное значение ( ( то же, что и у ( ( . Это доказано в следующем предложении. Однако в этом предложении использование предложений в качестве связанных переменных включает аппарат, не требуемый в других местах, и поэтому мы не использовали это предложение в последующих доказательствах.

*14·3 .

Док.

Следующие предложения являются непосредственными применениями вышеприведенного. Однако они доказываются независимо, поскольку *14·3 вводит предложения ( , а именно) в качестве связанных переменных, чего мы не делали в других местах и не можем сделать законно без явного введения иерархии предложений с аксиомой сводимости, такой как *12·1.

*14·31 .

Док.

Следующие предложения доказываются точно так же, как *14·31; поэтому мы будем просто давать ссылки на предложения, используемые в доказательствах.

*14·32.

Эквивалентность, утверждаемая здесь, нарушается, когда ( . Так, например, пусть ( будет « ( является королем Франции». Тогда ( = король Франции. Пусть ( будет « ( лыс». Тогда король Франции существует и не лыс; но ложно, что король Франции существует и лыс. Из них первое ложно, второе истинно. Любое из них могло бы подразумеваться под «король Франции не лыс», что двусмысленно; но было бы естественнее принять первую (ложную) интерпретацию как значение слов. Если бы король Франции существовал, они были бы эквивалентны; таким образом, применительно к королю Англии оба истинны или оба ложны.

*14·33.

*14·331.

*14·332.

*14·34 .

Это предложение не требует гипотезы ( .

Док.

Предложения вышеуказанного типа можно продолжать бесконечно, но поскольку они доказываются по единому плану, нет необходимости выходить за рамки фундаментальных случаев ( , ( и (

Следует заметить, что предложение, в котором ( имеет большую область действия, всегда влечет за собой соответствующее, в котором оно имеет меньшую область действия, но обратная импликация справедлива только если либо (а) мы имеем ( , либо (б) предложение, в котором ( имеет меньшую область действия, влечет ( . Второй случай встречается в *14·34 и является причиной того, почему мы получаем эквивалентность без гипотезы ( . Предложение, в котором ( имеет большую область действия, всегда влечет ( в силу *14·21.

РАЗДЕЛ C. КЛАССЫ И ОТНОШЕНИЯ.

*20. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КЛАССОВ.

Резюме *20.

Следующая теория классов, хотя и предоставляет нотацию для их представления, избегает предположения о том, что существуют такие вещи, как классы. Она делает это путем простого определения предложений, в выражении которых встречаются символы, представляющие классы, точно так же, как в *14 мы определили предложения, содержащие описания.

Характеристики класса состоят в том, что он включает все термины, удовлетворяющие некоторой пропозициональной функции, так что каждая пропозициональная функция определяет класс, и две функции, которые формально эквивалентны (т. е. такие, что всякий раз, когда одна из них истинна, другая также истинна), определяют один и тот же класс, в то время как, наоборот, две функции, определяющие один и тот же класс, формально эквивалентны. Когда две функции формально эквивалентны, мы будем говорить, что они имеют одну и ту же экстенсию. Неполные символы, которые занимают место классов, служат цели технического предоставления чего-то идентичного в случае двух функций, имеющих одну и ту же экстенсию; без чего-то, представляющего классы, мы не можем, например, сосчитать комбинации, которые могут быть сформированы из заданного набора объектов.

Предложения, в которых встречается функция ( , могут зависеть по своему истинностному значению от конкретной функции ( , или они могут зависеть только от экстенсии ( . В первом случае мы будем называть рассматриваемое предложение интенсиональной функцией ( ; во втором случае — экстенсиональной функцией ( . Так, например, ( или ( является экстенсиональной функцией ( , потому что если ( формально эквивалентно ( , т. е. если ( , мы имеем ( и ( . Но, с другой стороны, «Я верю ( » является интенсиональной функцией, потому что даже если ( , из этого отнюдь не следует, что я верю ( , при условии, что я верю ( . Признаком экстенсиональной функции функции ( является (Мы пишем « ( », когда хотим говорить о самой функции в противоположность ее аргументу.) Функции функций, которыми специально занимается математика, все являются экстенсиональными.