«Principia Mathematica, том 1»

Когда функция ( является экстенсиональной, ее можно рассматривать как относящуюся к классу, определяемому ( , поскольку ее истинностное значение остается неизменным до тех пор, пока класс остается неизменным. Следовательно, для теории классов нам требуется метод получения экстенсиональной функции из любой заданной функции функции. Это осуществляется следующим определением:

*20·01 .

Здесь ( в действительности является функцией ( , которая определена всякий раз, когда ( значимо для предикативных функций ( . Но удобно рассматривать ( так, как если бы оно имело аргумент ( ), который мы назовем «классом, определяемым функцией ( ». Вскоре будет доказано, что ( всегда является экстенсиональной функцией ( , и что, применяя определение тождества (*13·01) к фиктивным объектам ( ) и ( ), мы имеем ( . Это последнее является отличительной характеристикой классов и оправдывает нас в трактовке ( ) как класса, определяемого ( .

Что касается области действия ( ), и порядка исключения двух таких выражений, мы примем те же соглашения, которые были объяснены в *14 для ( . Условие, соответствующее ( , которое всегда выполняется в силу *12·1.

Следуя Пеано, мы будем использовать нотацию ( для выражения « ( является членом класса, определяемого ( ». Поэтому мы вводим следующее определение:

*20·02 .

В этой форме определение никогда не используется; оно вводится ради предложения ( , которое получается из *20·02 и *20·01, и приводит к ( с помощью *12·1.

Мы будем использовать малые греческие буквы (кроме ( , ( , ( , ( , ( , ( ) для представления классов, т. е. для обозначения символов вида ( или ( . Когда малая греческая буква встречается как связанная переменная, следует понимать, что она обозначает символ вида ( , где ( является собственно рассматриваемой связанной переменной. Использование отдельных букв вместо таких символов, как ( или ( , практически почти необходимо, поскольку в противном случае нотация быстро становится невыносимо громоздкой. Таким образом, « ( » будет означать « ( является членом класса ( » и может использоваться везде, где не рассматривается специальная определяющая функция класса ( .

Следующее определение определяет, что подразумевается под классом.

*20·03 .

Заметьте, что выражение « ( » не имеет значения в изоляции: мы лишь определили (в *20·01) некоторые способы использования таких выражений. Вышеприведенное определение решает, что символ «Cls» может заменить символ « ( », где бы последний ни встречался, и что значение комбинации символов при этом не должно меняться. Таким образом, «Cls» также не имеет значения в изоляции, а лишь в определенных употреблениях.

Вышеприведенное определение, как и многие будущие определения, двусмысленно относительно типа. Латинская буква ( , согласно нашим соглашениям, должна представлять самый низкий рассматриваемый тип; таким образом, ( имеет тип, следующий непосредственно за этим. Удобно говорить о классе как о имеющем тот же тип, что и его определяющая функция; таким образом, ( имеет тип, следующий непосредственно за типом ( , а «Cls» имеет тип, следующий непосредственно за типом ( . Таким образом, тип «Cls» фиксирован относительно самого низкого рассматриваемого типа; но если в двух разных контекстах рассматриваются разные типы как самые низкие, значение «Cls» будет разным в этих двух контекстах. Значение «Cls» становится определенным только тогда, когда указан самый низкий рассматриваемый тип.

Равенство между классами определяется путем применения *13·01, символически неизменного, к их определяющим функциям, а затем использования *20·01.

Предложения настоящего раздела можно разделить на три группы. Во-первых, это те, которые имеют дело с фундаментальными свойствами классов; они заканчиваются на *20·43. Затем идет группа предложений, имеющих дело как с классами, так и с описаниями; они простираются от *20·5 до *20·59 (за исключением *20·53·54). Наконец, у нас есть группа предложений, предназначенных для доказательства того, что классы классов обладают всеми теми же формальными свойствами, что и классы индивидов.

В первой группе основными предложениями являются следующие.

*20·15.

Т. е. два класса идентичны тогда и только тогда, когда их определяющие функции формально эквивалентны. Это основное свойство классов.

*20·31.

Т. е. два класса идентичны тогда и только тогда, когда они имеют одни и те же члены.

*20·43.

Это то же самое предложение, что и *20·31, просто использующее греческие буквы вместо ( и ( .

*20·18.

Т. е. если два класса идентичны, любое свойство одного из них принадлежит также и другому. Это аналог *13·12.

*20·2·21·22, которые доказывают, что тождество между классами является рефлексивным, симметричным и транзитивным.

*20·3.

Т. е. термин принадлежит классу тогда и только тогда, когда он удовлетворяет определяющей функции класса.

Во второй группе предложений (*20·3—·59) мы показываем, что при подходящих обстоятельствах выражения, такие как ( , могут быть подставлены вместо ( в *20·3 и различные другие предложения первой группы, и мы доказываем несколько свойств таких выражений, как «( », т. е. «класс, который удовлетворяет функции ( ». Здесь следует помнить, что « ( » означает « ( », и что « ( » поэтому означает « ( ». Это, в действительности, функция ( , а именно экстенсиональная функция, связанная с ( посредством *20·01. Таким образом, выражение, содержащее переменную класса, всегда является сокращением для выражения, содержащего переменную функцию.

В третьей группе предложений мы доказываем, что переменные классы удовлетворяют всем примитивным предложениям, принятым для переменных индивидов или функций, откуда следует, путем простого повторения доказательств первой группы предложений (*20·1—·43), что классы классов обладают всеми формальными свойствами классов индивидов или функций. У нас никогда не будет повода явно рассматривать классы функций, но классы классов будут встречаться постоянно — например, каждое кардинальное число будет определяться как класс классов. Классы отношений, которые также будут часто встречаться, будут рассмотрены в *21.

*20·01.

*20·02.

*20·03.

Три следующих определения служат исключительно целям сокращения.

*20·04.

*20·05.

*20·06.

Следующие определения лишь распространяют на символы, представляющие классы, определения, которые уже были даны для других символов, с минимально возможными модификациями.

*20·07 . (

*20·071. (

*20·072.

*20·08.

*20·081.

Предложения, которые следуют, дают наиболее общие свойства классов.

*20·1 .

*20·11.

Док.

Это доказывает, что каждое предложение о классе выражает экстенсиональное свойство определяющей функции класса и, следовательно, не зависит по своей истинности или ложности от конкретной функции, выбранной для определения класса, а только от экстенсии определяющей функции.

*20·111.

Док.

*20·112 .

Док.

Таким образом, аксиома сводимости по-прежнему справедлива для классов в качестве аргументов.

*20·12.

*20·13 .

Значение « ( » получается двойным применением *20·01 к *13·01, помня соглашение, что ( должно иметь большую область действия, чем ( , поскольку оно встречается первым.

Док.

*20·14.

Док.

Это предложение является обратным к *20·13.

*20·15.

Это предложение утверждает, что две функции определяют один и тот же класс тогда и только тогда, когда они формально эквивалентны, т. е. удовлетворяются одним и тем же набором значений. Это существенное свойство классов, которое дает оправдание определению *20·01.

*20·151 .

Док.

В силу этого предложения все классы могут быть получены из предикативных функций. Этот факт особенно важен, когда классы используются в качестве связанных переменных. Ибо в этом случае, согласно определениям *20·07·071, связанной переменной, действительно вовлеченной, является предикативная функция. В силу *20·151 это не накладывает никаких ограничений на рассматриваемые классы, за исключением ограничения, которое неизбежно вытекает из природы их членства.

Класс, следовательно, в отличие от функции, имеет свой порядок, полностью определяемый порядком своих возможных членов, т. е. аргументов, которые делают его определяющую функцию значимой.

*20·16.

*20·17 .

*20·18.

*20·19.

Док.

*20·191.

*20·2.

Док.

*20·21.

*20·22.

Вышеприведенные предложения не являются непосредственными следствиями *13·15·16·17 по причине, аналогичной той, что объяснена в примечании к *14·13, а именно потому, что ( не является значением ( , и поэтому, в частности, « ( » не является значением « ( ».

*20·23.

*20·24.

*20·25 .

Док.

*20·3 .

Док.

Это предложение показывает, что ( является членом класса, определяемого ( , тогда и только тогда, когда ( удовлетворяет ( .

*20·31 .

*20·32 .

*20·33.

Док.

Здесь ( написано вместо некоторого выражения вида ( . Использование одной греческой буквы более удобно всякий раз, когда определяющая функция не имеет значения.

*20·34.

Док.

Вышеприведенное предложение и *20·25 иллюстрируют использование греческих букв в качестве связанных переменных.

*20·35.

*20·4.

*20·41 .

*20·42.

Греческая буква, такая как ( , является лишь сокращением для выражения вида ( , таким образом, это предложение есть повторенное *20·32.

Док.

*20·43 .

Следующие предложения имеют дело со случаями, в которых встречаются как классы, так и описания. В таких случаях мы, при отсутствии каких-либо указаний на обратное, примем соглашение, что описания должны иметь большую область действия, чем классы, при применении определений *14·01 и *20·01.

*20·5 .

Док.

*20·51.

Док.

*20·52.

Док.

*20·53.

Это аналог *13·191.

Док.

*20·54.

Это предложение является аналогом *13·195.

Док.

*20·55.

Док.

*20·56.

*20·57 .

Док.

*20·58.

Док.

*20·59 .

Док.

В следующих предложениях мы докажем, что классы обладают всеми формальными свойствами индивидов и имеют те же отношения к классам классов, что и индивиды к классам индивидов. Необходимо лишь доказать аналоги наших примитивных предложений и наших определений в тех случаях, когда их аналоги сами не являются определениями. Мы возьмем предложения *10·1·11·12·121·122, а не предложения *9, и мы докажем аналог *10·01. Как было указано в *10, мы таким образом докажем все, от чего зависят последующие доказательства. Аналоги *20·01·02 и *14·01 остаются определениями, но аналоги *10·01 и *13·01 становятся предложениями, подлежащими доказательству. *9·131 должно быть расширено определением: два класса являются «одного типа», когда они имеют предикативные определяющие функции одного типа. В дополнение к этому мы должны доказать аналоги *10·1·11·12·121·122, *11·07 и *12·1·11. Когда они будут доказаны, аналоги других предложений последуют путем простого повторения предыдущих доказательств. Эти аналоги, следовательно, будут цитироваться по номерам оригинальных предложений, аналогами которых они являются.

*20·6 .

Док.

Это аналог *10·01.

*20·61.

Док.

Это аналог *10·1.

На практике нам также нужно . Это *20·17.

Нам нужно далее

Это *20·41.

*20·62 . Когда ( истинно, каким бы ни был возможный аргумент вида ( , тогда ( ( истинно.

Это аналог *10·11.

Док.

когда ( истинно, каким бы ни был возможный аргумент ( , тогда ( ( истинно, т. е. (по *20·07), ( ( истинно.

*20·63.

Это аналог *10·12.

Док.

*20·631 . Если « ( » значимо, то если ( того же типа, что и ( , « ( » значимо, и наоборот.

Это аналог *10·121.

Док.

По *20·151 ( имеет вид ( , и поэтому, по *20·01, ( есть функция ( . Аналогично ( имеет вид ( , и ( есть функция ( . Следовательно, применяя *10·121 к ( и ( , получаем результат.

*20·632 . Если для некоторого ( существует предложение ( , то существует функция ( , и наоборот.

Док.

По определению в *20·01 ( есть функция ( . Следовательно, предложение следует из *10·122.

*20·633 . «Каким бы ни был возможный класс ( , ( истинно, каким бы ни был возможный класс ( » влечет соответствующее утверждение с ( и ( , поменянными местами, за исключением « ( ». (Соответствующее исключение следует понимать в *11·07.)

Это аналог *11·07 и следует сразу из *11·07, потому что ( есть функция определяющих функций ( и ( .

*20·64.

Док.

Заметьте, что « ( » — это лишь сокращение для любого символа вида ( . Вот почему в вышеприведенном доказательстве ничего больше не требуется.

Вышеприведенное предложение является аналогом *10·14. Как и это предложение, оно требует для значимости заключения, чтобы ( и ( были функциями, которые принимают аргументы одного типа. Это не требуется для значимости гипотезы. Следовательно, хотя вышеприведенное предложение истинно всякий раз, когда оно значимо, оно не истинно всякий раз, когда значима его гипотеза.

*20·7 .

Это аналог *12·1.

*20·701 .

[Доказательство продолжается как в *20·112, используя *12·11 вместо *12·1.]

*20·702.

[Доказательство как в *20·701.]

*20·703.

Док.

*20·701·702·703 дают аналоги для классов *12·11.

*20·71.

Это аналог *13·01.

Это завершает доказательство того, что все до сих пор приведенные предложения применимы к классам так же, как и к индивидам. Точно такие же рассуждения распространяют этот результат на классы классов, классы классов классов и т. д.

Из вышеприведенных предложений видно, что, хотя выражения, такие как ( , не имеют значения в изоляции, все же те из их формальных свойств, с которыми мы до сих пор имели дело, являются теми же, что и соответствующие свойства символов, которые имеют значение в изоляции. Следовательно, ничто в аппарате, введенном до сих пор, не требует от нас определять, обозначает ли данный символ класс или нет, если только символ не встречается таким образом, при котором только класс может значимо встречаться. Это важный результат, который позволяет нам придать нашим предложениям гораздо большую общность, чем это было бы возможно в противном случае.

Два следующих предложения (*20·8·81) являются следствиями *13·3. «Тип» любого объекта ( будет определен в *63 как класс терминов, либо идентичных ( , либо не идентичных ( . Мы можем определить «тип аргументов к ( » как класс аргументов ( , для которых « ( » значимо, т. е. класс ( . Тогда первое из следующих предложений показывает, что если « ( » значимо, тип аргументов к ( есть тип ( ; второе предложение показывает, что если « ( » и « ( » оба значимы, тип аргументов к ( есть тот же, что и тип аргументов к ( , потому что каждый из них есть тип ( . *20·8 будет использовано в *63·11, которое является фундаментальным предложением в теории относительных типов.

*20·8 .

Док.

*20·81 .

Док.

В третьей строке вышеприведенного доказательства использование *10·121 зависит от того факта, что « ( » как в (1), так и в (2) должно быть таким, чтобы сделать гипотезу значимой, т. е. таким, чтобы сделать ( значимым. Следовательно, « ( » в (1) и « ( » в (2) должны быть одного типа, по *10·121, и, следовательно, по *10·13 мы можем утверждать произведение (1) и (2), отождествляя две « ( ».

Поскольку тип есть область значимости функции, если ( есть функция, которая всегда истинна, ( должно быть типом. Ибо если функция всегда истинна, аргументы, для которых она истинна, те же, что и аргументы, для которых она значима; следовательно, ( есть область значимости ( , если ( справедливо. Таким образом, любой класс ( есть тип, если ( . Отсюда следует, что какой бы ни была функция ( , ( есть тип; и, в частности, ( есть тип. Поскольку ( является членом этого класса, этот класс есть тип, к которому принадлежит ( . В силу *20·8, если ( значимо, тип, к которому принадлежит ( , есть класс аргументов, для которых ( значимо, т. е. ( . И если существует какой-либо аргумент ( , для которого ( и ( оба значимы, тогда ( и ( имеют одну и ту же область значимости в силу *20·81.

*21. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОШЕНИЙ.

Резюме *21.

Определения и предложения этого раздела точно аналогичны определениям *20, от которых они отличаются тем, что касаются функций двух переменных вместо одной. Отношение, как мы будем использовать это слово, будет пониматься в экстенсии: его можно рассматривать как класс пар ( , для которых некоторая заданная функция ( истинна. Его отношение к функции ( точно такое же, как у класса к его определяющей функции. Мы полагаем

*21·01 .

Здесь « ( » не имеет значения в изоляции, а только в некоторых своих употреблениях. В *21·01 алфавитный порядок ( и ( соответствует типографскому порядку ( и ( в ( , так что ( . Это важно в отношении соглашения о подстановке ниже.

Будет показано, что ( , т. е. что два отношения, как определено выше, идентичны тогда и только тогда, когда они удовлетворяются одними и теми же парами аргументов.

Для подстановки в ( и ( мы принимаем соглашение, что когда функция (в противоположность ее значениям) представлена в форме, включающей ( и ( , или любые другие две буквы алфавита, значение этой функции для аргументов ( и ( должно быть найдено путем подстановки ( вместо ( и ( вместо ( , в то время как значение для аргументов ( и ( должно быть найдено путем подстановки ( вместо ( и ( вместо ( . То есть аргумент, упомянутый первым, должен быть подставлен вместо буквы, которая идет первой в алфавите, а аргумент, упомянутый вторым, — вместо более поздней буквы; таким образом, способ подстановки зависит от алфавитного порядка букв, которые имеют циркумфлексы, и типографского порядка других букв.

Вышеприведенное соглашение относительно порядка предполагается в следующем определении, где ( является первым упомянутым аргументом, а ( — вторым:

*21·02.

Следовательно, следуя соглашению,

Это определение не используется в том виде, в каком оно есть, но вводится ради ( , которое получается из *21·01·02. Мы будем использовать заглавные латинские буквы для представления переменных выражений вида ( , точно так же, как мы использовали греческие буквы для переменных выражений вида ( . Если заглавная латинская буква, скажем ( , используется как связанная переменная, предполагается, что ( , которое встречается в форме «( ( » или «( ( », должно быть заменено на «( ( » или «( ( », в то время как ( , которое встречается позже, должно быть заменено на « ( ». Фактически мы полагаем ( . Использование отдельных букв для таких выражений, как ( , является практически незаменимым удобством.

Ниже приводится определение класса отношений:

*21·03.

К нему применимы те же замечания, что и к определению «Cls» (*20·03).

В силу определений *21·01·02 и соглашения относительно заглавных латинских букв нотация « ( » будет означать « ( имеет отношение ( к ( ». Эта нотация практически удобна и после предварительных замечаний полностью заменит громоздкую нотацию ( .

Доказательства предложений этого раздела обычно опускаются, поскольку они точно аналогичны доказательствам *20, просто заменяя *12·11 на *12·1, а предложения в *11 на предложения в *10.

Предложения этого параграфа, подобно предложениям *20, делятся на три раздела. Предложения второго раздела упоминаются редко. Предложения третьего раздела, распространяющие на отношения формальные свойства, ранее постулированные или доказанные для индивидов и функций, в дальнейшем явно не упоминаются, но постоянно релевантны, а именно всякий раз, когда предложение, постулированное или доказанное для индивидов и функций, применяется к отношениям. Основными предложениями первого раздела являются следующие.

*21·15.

Т. е. два отношения идентичны тогда и только тогда, когда их определяющие функции формально эквивалентны.

*21·31.

Т. е. два отношения идентичны тогда и только тогда, когда они имеют место между одними и теми же парами термов. Тот же факт выражается следующим предложением:

*21·43.

*21·2·21·22 показывают, что идентичность отношений рефлексивна, симметрична и транзитивна.

*21·3.

Т. е. два терма находятся в данном отношении тогда и только тогда, когда они удовлетворяют его определяющей функции.

*21·151.

Т. е. каждое отношение может быть определено предикативной функцией. Следовательно, когда, используя *21·07 или *21·071, мы имеем отношение в качестве связанной переменной и поэтому ограничены предикативными определяющими функциями, потери общности не происходит.

*21·01.

Относительно соглашения о порядке в *21·01·02 см. стр. 211, и таким образом соотносим с, так что

*21·02.

*21·03.

Следующие определения лишь распространяют на отношения, с минимально возможными модификациями, определения, уже данные для других символов.

*21·07. (

*21·071. (

*21·072.

*21·08.

*21·081.

Соглашение о типографическом и алфавитном порядке здесь сохраняется.

*21·082.

*21·083.

*21·1.

*21·11.

Это предложение доказывает, что каждое предложение об отношении выражает экстенсиональное свойство определяющей функции.

*21·111.

*21·112.

В этом предложении требуется *12·1, а не *12·11, поскольку мы имеем дело с функцией ( от одной переменной, а именно , хотя эта одна переменная сама является функцией от двух переменных.

*21·12.

Это первое использование примитивного предложения *12·11, за исключением *20·701·702·703.

*21·13.

*21·14.

*21·15.

Это предложение утверждает, что две двойные функции определяют одно и то же отношение тогда и только тогда, когда они формально эквивалентны, т. е. удовлетворяются одними и теми же парами аргументов. Это фундаментальное свойство отношений, как определено выше (*21·01).

*21·151.

*21·16.

*21·17.

*21·18.

*21·19.

*21·191.

*21·2.

*21·21.

*21·22.

*21·23.

*21·24.

*21·3.

Это показывает, что находится в отношении, определяемом , к y тогда и только тогда, когда и удовлетворяют .

Заметьте, что примитивное предложение *12·11 здесь снова необходимо.

*21·31.

*21·32.

*21·33.

Здесь написано для некоторого выражения вида . Использование одной заглавной буквы для отношения удобно всякий раз, когда определяющая функция нерелевантна.

*21·4.

*21·41.

*21·42.

*21·43.

*20·5·51·52 не имеют аналогов в теории отношений.

*21·53.

*21·54.

*21·55.

*21·56.

*21·57.

*21·58.

Следующие предложения являются аналогами *20·6 и сл. и имеют схожую цель.

*21·6.

*21·61.

*21·62. Когда истинно, каким бы ни был возможный аргумент вида , ( истинно. [Доказательство как в *20·62]

*21·63.

*21·631. Если " " значимо, то если того же типа, что и , " " значимо, и наоборот.

[Доказательство как в *20·631]

*21·632. Если для некоторого существует предложение , то существует функция , и наоборот.

[Доказательство как в *20·632]

*21·633. "Каким бы ни было возможное отношение , истинно, каким бы ни было возможное отношение " влечет "каким бы ни было возможное отношение , истинно, каким бы ни было возможное отношение ".

[Доказательство как в *20·633]

*21·64.

*21·7.

*21·701.

*21·702.

*21·703.

*21·704.

*21·705.

*21·71.

Из вышеприведенных предложений следует, что отношения, подобно классам, обладают всеми формальными свойствами, которыми они обладали бы, если бы были символами, имеющими значение в изоляции. Следовательно, если символ не встречается таким образом, при котором только отношение может встречаться значимо, нам не нужно решать, обозначает ли он отношение или нет. Этот результат, подобно соответствующему результату для классов, упомянутому в конце *20, важен, поскольку придает нашим предложениям большую общность, чем они обладали бы в противном случае. Результаты, полученные в *20 и *21 для классов и отношений, чьи члены или термы не являются ни классами, ни отношениями, могут быть распространены, путем простого повторения доказательств, на классы классов, классы отношений, отношения классов, отношения отношений и так далее.

*22. ИСЧИСЛЕНИЕ КЛАССОВ.

Резюме *22.

В этом параграфе мы доходим до того, что исторически было отправной точкой символической логики. Используемые греческие буквы (за исключением , , , ) всегда должны обозначать выражения вида , или, где греческие буквы не являются связанными переменными, . Малые латинские буквы могут быть либо такими, которые имеют значение в изоляции, либо могут представлять классы или отношения; это возможно в силу примечаний в конце *20 и *21. Мы полагаем:

*22·01.

Это определяет "класс содержится в классе ", или "все 'ы суть 'ы".

*22·02.

Это определяет логическое произведение или общую часть двух классов и .

*22·03.

Это определяет логическую сумму двух классов; это класс, состоящий из всех членов одного вместе со всеми членами другого.

*22·04.

Это определяет отрицание класса. Читается "не-". Он не содержит каждый объект , относительно которого " " не истинно, а только те объекты, относительно которых " " ложно; т. е. он исключает те объекты, для которых " " бессмысленно. Таким образом, он состоит из всех объектов типа, непосредственно следующего за , которые не являются членами ; но он не содержит объектов никакого другого типа, кроме этого.

*22·05.

Это определение дает сокращение, которое часто удобно.

Постулаты, необходимые для алгебры логики, были перечислены Хантингтоном [54]. В нашей нотации они таковы.

Мы предполагаем класс , с двумя правилами комбинации, а именно и ; и тогда нам требуются следующие десять постулатов:

I a. в классе, когда и в классе.

I b. в классе, когда и в классе.

II a. Существует элемент такой, что для каждого элемента .

II b. Существует элемент такой, что для каждого элемента .

III a. когда , , и в классе.

III b. когда , , и в классе.

IV a. когда , , , , , , , и в классе.

IV b. когда , , , , , , , и ( в классе.

V. Если элементы и в постулатах II a и II b существуют и единственны, то для каждого элемента существует элемент такой, что и .

VI. Существуют по крайней мере два элемента, и , в классе, такие что .

Форма вышеуказанных постулатов такова, что они взаимно независимы, т. е. любые девять из них удовлетворяются интерпретациями символов, которые не удовлетворяют оставшемуся.

Для наших целей " " должно быть заменено на " ". и будут нулевым классом и универсальным классом, которые определены в *24. Тогда вышеуказанные десять постулатов доказываются ниже, следующим образом:

I a. в *22·37, а именно " "

I b. в *22·36, а именно " "

II a. в *24·24, а именно " "

II b. в *24·26, а именно " "

III a. в *22·57, а именно " "

III b. в *22·51, а именно " "

IV a. в *22·69, а именно " "

IV b. в *22·68, а именно " "

V. в *24·21·22, а именно " " и " "

VI. в *24·1, а именно " "

Следовательно, принимая анализ постулатов Хантингтона для формальной алгебры логики, предложения, доказанные в дальнейшем, достаточны для установления того, что эта алгебра справедлива для классов. Соответствующие предложения *23 и *25 доказывают, что она справедлива для отношений, подставляя , , , , вместо , , , , .

Основными предложениями настоящего параграфа являются следующие:

(1) Те, что воплощают формальные правила:

*22·51.

*22·57.

Они воплощают коммутативный закон.

*22·52.

*22·7.

Они воплощают ассоциативный закон.

*22·5.

*22·56.

Они воплощают закон тавтологии.

*22·68.

*22·69.

Они воплощают дистрибутивный закон. Будет видно, что второе получается из первого путем повсеместной замены знаков сложения и умножения.

*22·8.

Это принцип двойного отрицания.

*22·81.

Это принцип транспозиции.

(2) Другие полезные предложения:

*22·44.

*22·441.

Они воплощают две формы силлогизма в Barbara.

*22·62.

*22·621.

Эти два предложения позволяют нам преобразовать любое включение ( в уравнение.

*22·91.

Т. е. " или " идентично " или часть , которая исключена из ".

*22·01.

*22·02.

*22·03.

*22·04.

*22·05.

*22·1.

*22·2.

*22·3.

*22·31.

*22·32.

*22·33.

*22·34.

*22·35.

*22·351.

Док.

Это предложение используется при доказательстве того, что нулевой класс не идентичен классу, содержащему всё (*24·1), что используется для показа того, что существуют по крайней мере два класса. Наши аксиомы не достаточны для доказательства того, что существует более одного индивида, но они доказывают существование по крайней мере двух классов и по крайней мере двух отношений.

*22·36.

*22·37.

*22·38.

*22·39.

Док.

*22·391.

*22·392.

*22·4.

Док.

*22·41.

*22·42.

*22·43.

*22·44.

Это одна форма силлогизма в Barbara. Другая форма — следующая:

*22·441.

*22·45.

Док.

*22·46.

*22·47.

*22·48.

*22·481.

Док.

*22·49.

*22·5.

Док.

Вышеуказанное есть закон тавтологии для логического умножения классов.

*22·51.

*22·52.

Таким образом, логическое умножение классов подчиняется коммутативному и ассоциативному законам. Ссылки на *22·33·34·35 и на *20·43 в будущем часто будут опускаться.

*22·53.

Это определение служит лишь для избежания скобок.

*22·54.

*22·55.

*22·551.

*22·56.

Вышеуказанное есть закон тавтологии для логического сложения классов.

*22·57.

*22·58.

*22·59.

Док.

Аналог *4·78, т. е. ложно. Мы имеем только

Подобное замечание применимо к аналогу *4·79. Ср. *22·64·65.

*22·6.

Док.

*22·61.

*22·62.

Док.

*22·621.

Доказательство протекает как в *22·62. Предложение *22·621 является одним из самых полезных предложений в настоящем параграфе.

*22·63.

Процесс получения *22·63 из *4·44 того же рода, что и процесс, используемый в доказательствах, которые были выписаны в этом параграфе. Следовательно, упоминается только *4·44. Мы будем аналогичным образом ограничивать ссылки для более поздних предложений в этом параграфе. Процесс всегда примерно таков: , , заменяются на , , ; затем применяется *10·11 и такие дальнейшие предложения *10, которые могут потребоваться, вместе с *22·33·34·35.

*22·631.

*22·632.

*22·633.

*22·64.

Док.

Обратное к этому предложению неверно, потому что обратное к *10·41 неверно.

*22·65.

Здесь снова обратное неверно.

*22·66.

*22·68.

Док.

*22·69.

Вышеуказанные предложения *22·68·69 являются двумя формами дистрибутивного закона. Заметьте, что каждое получается из другого путем замены знаков сложения и умножения.

*22·7.

*22·71.

*22·72.

*22·73.

*22·74.

Док.

*22·8.

*22·81.

*22·811.

*22·82.

*22·83.

*22·831.

*22·84.

*22·85.

*22·86.

*22·87.

*22·84·85·86·87 — формулы Де Моргана.

*22·88.

Это форма закона исключенного третьего.

*22·89.

Это форма закона противоречия.

*22·9.

*22·91.

Док.

*22·92.

*22·93.

Док.

*22·94.

Док.

Это предложение используется в связи с математической индукцией, в *90·102, что требуется для доказательства *90·132, которое является одним из фундаментальных предложений в теории математической индукции.

*22·95.

Док.

СНОСКИ:

[54] Trans. Amer. Math. Soc. Vol. 5, July 1904, p. 292.

*23. ИСЧИСЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ.

Резюме *23.

Определения и предложения этого параграфа должны быть точными аналогами определений и предложений *22. Свойства отношений, которые не имеют аналогов для классов, не будут рассматриваться до Раздела D. Доказательства в настоящем параграфе будут опущены, так как они точно аналогичны доказательствам аналогичных предложений в *22. В этом параграфе, как и всегда в будущем, заглавные латинские буквы обозначают выражения вида , или, где они не используются как связанные переменные, . Основные предложения этого параграфа являются аналогами предложений *22.

*23·01.

*23·02.

*23·03.

*23·04.

*23·05.

К этим определениям применимы те же замечания, что и к определениям *22.

*23·1.

*23·2.

*23·3.

*23·31.

*23·32.

*23·33.

*23·34.

*23·35.

*23·351.

*23·36.

*23·37.

*23·38.

*23·39.

*23·391.

*23·392.

*23·4.

*23·41.

*23·42.

*23·43.

*23·44.

*23·441.

*23·45.

*23·46.

*23·47.

*23·48.

*23·481.

*23·49.

*23·5.

*23·51.

*23·52.

*23·53.

*23·54.

*23·55.

*23·551.

*23·56.

*23·57.

*23·58.

*23·59.

*23·6.

*23·61.

*23·62.

*23·621.

*23·63.

*23·631.

*23·632.

*23·633.

*23·64.

*23·65.

*23·66.

*23·68.

*23·69.

*23·7.

*23·71.

*23·72.

*23·73.

*23·74.

*23·8.

*23·81.

*23·811.

*23·82.

*23·83.

*23·831.

*23·84.

*23·85.

*23·86.

*23·87.

*23·88.

*23·89.

*23·9.

*23·91.

*23·92.

*23·93.

*23·94.

*23·95.

*24. УНИВЕРСАЛЬНЫЙ КЛАСС, НУЛЕВОЙ КЛАСС И СУЩЕСТВОВАНИЕ КЛАССОВ.

Резюме *24.

Универсальный класс, обозначаемый , есть класс всех объектов типа, который в данном контексте обозначается малыми латинскими буквами, т. е. низшего рассматриваемого типа. Таким образом, , подобно " ", двусмысленно относительно типа. Его определение таково:

*24·01.

Любое другое свойство, присущее всему, подошло бы так же хорошо, как " ", но это единственное такое свойство, которое мы до сих пор изучали.

Нулевой класс, обозначаемый , есть класс, который не имеет членов. Подобно , он двусмысленен относительно типа. Мы используем один и тот же символ, , для нулевых классов различных типов; но эти нулевые классы различаются. Тип определяется типом термов, относительно которых " " ложно: каким бы ни был , " " не будет представлять истинное предложение, но если не соответствующего типа, " " будет бессмысленным, а не ложным. Таким образом, есть типа, непосредственно следующего за типом , относительно которого " " значимо и ложно. Определение есть

*24·02.

Когда класс не является нулевым, так что он имеет один или более членов, говорят, что он существует. (Этот смысл "существования" не следует путать с тем, который определен в *14·02.) Мы пишем " " для " существует". Определение таково

*24·03.

В настоящем параграфе мы сначала рассмотрим свойства и , затем свойства существования. При сравнении алгебры символической логики с обычной алгеброй занимает место , в то время как объединяет свойства и .

Среди наиболее важных свойств и , которые доказываются в этом параграфе, являются следующие:

*24·1.

Т. е. "ничто не есть всё". Это полезно, поскольку дает нам существование по крайней мере двух классов. Если бы монистические философы были правы, утверждая, что существует только один индивид, существовало бы только два класса, и , будучи (в этом случае) классом, единственным членом которого является этот один индивид. Наши примитивные предложения не требуют существования более чем одного индивида.

*24·102·103 показывают, что любая функция, которая всегда истинна, определяет универсальный класс, и любая функция, которая всегда ложна, определяет нулевой класс.

*24·21·22 дают формы законов противоречия и исключенного третьего, а именно "ничто не есть одновременно и не-" ( и "всё есть либо , либо не-" ( .

*24·23·24·26·27 дают свойства и в отношении сложения и умножения, а именно: умножение на и сложение не вносят изменений в класс (*24·26·24); сложение дает , а умножение на дает (*24·27·23). Будет замечено, что свойства и следуют друг из друга путем замены сложения и умножения.

*24·3.

Т. е. " содержится в " эквивалентно "ничто не есть , но не ".

*24·311.

Т. е. "никакой не есть " эквивалентно "ничто не есть одновременно и ".

*24·411.

*24·43.

Как правило, предложения, касающиеся , используются гораздо меньше, чем коррелятивные предложения, касающиеся .

Свойства существования классов следуют из свойств , благодаря тому факту, что есть противоречащее , как доказано в *24·54. Таким образом, мы имеем, в силу *24·3,

*24·55.

Т. е. "не все 'ы суть 'ы" эквивалентно "существуют 'ы, которые не суть 'ы". Это знакомое предложение формальной логики, что противоречащим общеутвердительному является частноотрицательное.

Мы имеем

*24·56.

*24·561.

Т. е. если сумма существует, то одно из слагаемых существует, и наоборот; и если произведение существует, оба множителя существуют (но не наоборот).

Доказательства предложений в настоящем параграфе не представляют трудности.

*24·01.

*24·02.

*24·03.

*24·1.

*24·101.

*24·102.

Док.

Таким образом, любая функция, которая всегда истинна, определяет универсальный класс, и наоборот.

*24·103.

Док.

*24·104.

Док.

*24·105.

Док.

*24·11.

Док.

*24·12.

Док.

*24·13.

Док.

*24·14.

Док.

*24·141.

Док.

*24·15.

Док.

*24·17.

*24·21.

*24·22.

*24·23.

*24·24.

Вышеуказанные два предложения (*24·23·24) демонстрируют алгебраическую аналогию к нулю.

*24·26.

Это демонстрирует аналогию к 1.

*24·27.

Это демонстрирует аналогию к .

*24·3.

Док.

Вышеуказанное предложение используется очень часто.

*24·31.

Док.

Это предложение является коррелятивным к *24·3, но, в отличие от того предложения, оно не полезно в дальнейшем. Каждое предложение, касающееся , имеет коррелятивное, касающееся , но мы часто не будем приводить эти коррелятивы, поскольку они редко требуются для последующих доказательств.

*24·311.

Док.

*24·312.

Док.

*24·313.

*24·32.

Док.

*24·33.

Док.

*24·34.

*24·35.

*24·36.

*24·37.

Док.

*24·38.

Док.

*24·39.

*24·4.

Док.

*24·401.

Док.

*24·402.

Док.

*24·41. )

Док.

*24·411. )

Док.

*24·412.

Док.

Это предложение используется в *234·181, в теории непрерывных функций.

*24·42.

Док.

*24·43.

Док.

*24·431. )

Это и следующее предложение являются леммами для *24·44.

Док.

*24·432.

Док.

*24·44.

*24·45.

Док.

*24·46.

Док.

Следующие предложения, вплоть до *24·495 включительно, являются леммами, вставленными для использования в гораздо более поздних предложениях, большинство из них используется лишь несколько раз.

*24·47.

Док.

*24·48.

Док.

Вышеуказанное предложение, помимо использования в следующих двух, используется в теории пар (*54·6), в теории большего и меньшего (*117·632) и в главе об упорядочении классов по принципу первых разностей (*170·68).

*24·481.

Док.

Вышеуказанное предложение используется в теории выборок (*83·74), в теории большего и меньшего (*117·582) и в теории трансфинитной индукции (*257).

*24·482.

Вышеуказанное предложение используется в теории сходимости (*232·34).

*24·49.

Док.

*24·491.

Док.

Вышеуказанное предложение используется в теории выборок (*83·63·65) и в теории сегментов ряда (*211·84).

*24·492.

Док.

Вышеуказанное предложение используется довольно часто, особенно в теории рядов. Оно впервые используется в *93·273, в теории "генераций".

*24·493.

Док.

*24·494.

Док.

Это предложение используется в теории выборок (*83·63 и *88·45).

*24·495.

Док.

Вышеуказанное предложение используется в теории минимальных точек (*205·83·832·84).

В остальной части этого параграфа мы будем иметь дело с существованием классов. Многие свойства существования классов следуют из того факта, что сказать, что класс существует, эквивалентно тому, что класс не равен нулевому классу. Это доказано в *24·54.

*24·5.

*24·51.

Док.

*24·52.

Это предложение утверждает, что класс всех объектов рассматриваемого типа не является нулевым, а имеет по крайней мере один член. Предположение, что существует нечто, которое эквивалентно этому предложению, неявно содержится в предложении *10·1, что то, что истинно всегда, истинно в любом случае. Это не было бы справедливо, если бы не было случаев чего-либо; следовательно, это подразумевает существование чего-либо. Будет замечено, что вышеуказанное предложение (*24·52) зависит от *24·1, которое зависит от *23·351, которое зависит от *10·251, которое зависит от *10·24, которое зависит от *10·1 или от *9·1. Предположение, что существует нечто, вовлечено в использование свободной переменной, которая в противном случае была бы бессмысленной. Это сделано явным в *9·1 и в доказательстве *29·2, которое является тем же предложением, что и *10·1.

*24·53.

*24·54.

*24·55.

*24·56.

*24·561.

*24·57.

Док.

*24·571.

Док.

*24·58.

*24·6.

Док.

*24·61.

*24·62.

*24·63.

В этом предложении условия значимости требуют, чтобы «» было классом классов. Условие «» является одним из тех, что требуются в качестве гипотезы во многих предложениях. В силу вышеприведенного предложения эта гипотеза может быть заменена на «».

Док.

Это предложение часто используется в последующих частях работы. Нам часто приходится иметь дело с классами существующих классов, и наиболее удобная форма для утверждения того, что все элементы класса классов существуют, есть «».

*25. УНИВЕРСАЛЬНОЕ ОТНОШЕНИЕ, ПУСТОЕ ОТНОШЕНИЕ И СУЩЕСТВОВАНИЕ ОТНОШЕНИЙ.

Резюме к *25.

Этот номер содержит аналоги определений и предложений из *24 для отношений. Доказательства не приводятся, так как они протекают точно так же, как в *24.

Универсальное отношение, обозначаемое через , — это отношение, которое имеет место между любыми двумя членами соответствующих типов, каковы бы они ни были в данном контексте. Пустое отношение, , — это отношение, которое не имеет места ни между какой парой членов, причем его тип фиксируется типами членов, относительно которых отрицание того, что оно имеет место, является значимым. Говорят, что отношение существует, когда имеется по крайней мере одна пара членов, между которыми оно имеет место; « существует» записывается как «».

На предложения этого номера ссылаются гораздо реже, чем на предложения из *24, но ради единообразия мы привели аналоги всех предложений из *24 с той же нумерацией (за исключением целой части).

Все замечания, сделанные в *24, применимы, mutatis mutandis, в настоящем номере.

*25·01.

*25·02.

*25·03.

*25·1.

*25·101.

*25·102.

*25·103.

*25·104.

*25·105.

*25·11.

*25·12.

*25·13.

*25·14.

*25·141.

*25·15.

*25·17.

*25·21.

*25·22.

*25·23.

*25·24.

*25·26.

*25·27.

*25·3.

*25·31.

*25·311.

*25·312.

*25·313.

*25·32.

*25·33.

*25·34.

*25·35.

*25·36.

*25·37.

*25·38.

*25·39.

*25·4.

*25·401.

*25·402.

*25·41.

*25·411.

*25·412.

*25·42.

*25·43.

*25·431.

*25·432.

*25·44.

*25·45.

*25·46.

*25·47.

*25·48.

*25·481.

*25·482.

*25·49.

*25·491.

*25·492.

*25·493.

*25·494.

*25·495.

*25·5.

*25·51.

*25·52.

*25·53.

*25·54.

*25·55.

*25·56.

*25·561.

*25·57.

*25·571.

*25·58.

*25·6.

*25·61.

*25·62.

*25·63.

РАЗДЕЛ D. ЛОГИКА ОТНОШЕНИЙ.

В настоящем разделе мы будем заниматься теми общими свойствами отношений, которые не имеют аналогов в теории классов. Обозначения, введенные в этом разделе, будут постоянно использоваться на протяжении всей остальной части работы, и идеи, выраженные в определениях, окажутся фундаментально важными.

*30. ДЕСКРИПТИВНЫЕ ФУНКЦИИ.

Резюме к *30.

Функции, рассматривавшиеся до сих пор, за исключением нескольких частных функций, таких как , были пропозициональными, т.е. имели своими значениями суждения. Но обычные функции математики, такие как , , , не являются пропозициональными. Функции такого рода всегда означают «член, имеющий такое-то отношение к ». По этой причине их можно назвать дескриптивными функциями, поскольку они описывают определенный член посредством его отношения к своему аргументу. Таким образом, «» описывает число ; однако суждения, в которых встречается , не тождественны тем, которые были бы, если бы вместо было подставлено . Это видно, например, из суждения «», которое несет ценную информацию, тогда как «» тривиально. Дескриптивные функции, подобно описаниям в целом, не имеют значения сами по себе, а только как составные части суждений [55].

Общее определение дескриптивной функции таково:

*30·01.

То есть «» должно означать «член, который имеет отношение к ». Если существует несколько членов или ни одного, имеющих отношение к , то все суждения о , т.е. все суждения вида «», будут ложными. Апостроф в «» можно читать как «от». Таким образом, если — отношение отца к сыну, «» означает «отец ». Если — отношение сына к отцу, «» означает «сын »; в этом случае все суждения вида «» будут ложными, если только у не имеется одного сына и не более.

Все функции, встречающиеся в обычной математике, являются примерами вышеприведенного определения; все они получены вышеуказанным способом из некоторого отношения. Так, в нашей нотации «» занимает место того, что обычно было бы «», причем эта последняя нотация зарезервирована для пропозициональных функций. Мы должны писать «» вместо «», используя «» для выражения отношения к , когда .

Определение, такое как , где значение, приданное определяемому термину, является описанием, должно пониматься в том смысле, что определяемый термин (в данном случае ) и описание, назначенное в качестве его значения (в данном случае ), должны быть взаимозаменяемы при использовании: определение является, в некотором смысле, более чисто символическим, чем другие определения, поскольку описание, назначенное в качестве значения, само по себе не имеет значения, кроме как в употреблении. Возможно, было бы более формально правильно написать

Но даже это определение не было бы вполне полным, поскольку в нем опущено упоминание области действия двух описаний и . Таким образом, полная форма была бы . Но нет необходимости принимать эту форму определения, при условии, что понимается, что определение *30·01 означает, что «» может быть написано вместо «» везде, т.е. в указаниях области действия, так же как и в других местах. Использование определения происходит всегда в соответствии с предложением: , которое является *30·1 ниже.

Следует заметить, что *30·01 не обязательно влечет за собой . Ибо это, по определению, эквивалентно , что, согласно *14·28, имеет место только тогда, когда , т.е. когда существует один член, и не более, который имеет отношение к .

Все соглашения относительно области действия, объясненные в *14, должны быть перенесены на , т.е. при отсутствии какого-либо противоположного указания областью действия является наименьшее суждение, заключенное в точки или другие скобки, в котором встречается рассматриваемый .

Мы полагаем

*30·02.

Это определение служит лишь для избежания скобок. Оно должно интерпретироваться как означающее . В будущем мы часто будем определять новое выражение как имеющее дескриптивную фразу в качестве своего значения; в таком случае определение всегда должно интерпретироваться, как указано выше. То есть любое суждение, в котором встречается новое выражение, должно быть суждением, которое получается путем подстановки старого выражения вместо нового везде, где последнее встречается.

в вышеприведенном должно интерпретироваться путем предварительного рассмотрения так, как если бы оно не было дескриптивным символом, и применения *30·01 и *14·01 или *14·02 к , а затем путем применения *30·01 и *14·01 или *14·02 к .

Большинство предложений настоящего номера являются непосредственными следствиями соответствующих предложений в *14. Так, *14·31—·34 и *14·113 ведут непосредственно к *30·12—·16, которые показывают, что, либо всегда, либо когда существует, «область действия» или и не делает никакой разницы для истинностных значений таких суждений, с которыми мы имеем дело. Мы имеем

*30·18.

так что то, что справедливо для всего, справедливо для , при условии, что существует. Это следует непосредственно из *14·18 и показывает, что при условии, что существует, тот факт, что «» является неполным символом, не препятствует его подстановке в качестве значения всякий раз, когда мы имеем (, или утверждение пропозициональной функции .

Одно из наиболее часто используемых предложений этого номера есть:

*30·3.

которое следует непосредственно из *14·202. Следующее аналогичное предложение следует из вышеприведенного посредством *14·122:

*30·31.

Т.е. «» включает в себя, в дополнение к «», утверждение, что все, что имеет отношение к , тождественно .

Предложение, на которое постоянно ссылаются, есть:

*30·37.

В гипотезе может быть заменено на , но то или другое из них существенно. Ибо, согласно *14·21, «» влечет и (они эквивалентны, когда ), и поэтому не может быть истинным, когда и не существуют.

Использование *30·37 главным образом в случаях, когда или или оба заменены дескриптивными функциями. Предположим, например, что заменено на . Согласно *30·18, мы можем подставить вместо , если существует. Согласно *14·21, обе стороны импликации в *30·37 станут ложными, если не существует, и поэтому импликация все еще будет иметь место. Следовательно, существует или нет, мы можем подставить его вместо и получить . Подобным же образом, если мы заменим на , мы получим

Очень важное предложение есть:

*30·4.

Это предложение утверждает, что при условии, что существует, сказать, что есть тот член, который имеет отношение к , эквивалентно утверждению, что имеет отношение к . Так, например, « есть занимающий дом » эквивалентно « занимает дом», « есть автор Уэверли» эквивалентно « написал Уэверли», « есть отец » эквивалентно « породил ». Но мы не можем аргументировать от «Джон Смит населяет Лондон» к «Джон Смит есть житель Лондона».

Мы введем в этом и последующих разделах много постоянных отношений, для которых всегда истинно. Когда таково, что всегда истинно, мы имеем, в силу *30·4, для каждого возможного значения . Следующее предложение полезно в случаях, когда и таковы, что и всегда существуют:

*30·41.

Таким образом, если мы знаем, что и всегда тождественны, мы знаем не только то, что и тождественны, но также и то, что (и, следовательно, ) всегда существует.

*30·01.

*30·02.

При интерпретации , должно рассматриваться как обычный символ, пока не будет исключено посредством *30·01 и *14·01 или *14·02, а затем вышеприведенные определения должны быть применены к .

*30·1.

*30·11.

Следующие предложения являются непосредственными применениями *14·31 и сл., сделанными в соответствии с *30·1.

*30·12.

*30·13.

*30·14.

*30·141.

*30·142.

*30·15.

Следующие два предложения являются непосредственными следствиями *14·113·112.

*30·16.

*30·17.

*30·18.

*30·19.

*30·2.

При доказательстве *30·2 мы должны использовать определение *30·01, а не *30·1, потому что не имеет формы . Это видно, если мы попытаемся применить определение *14·01 к , что ведет к выражению, содержащему бессмысленную составную часть . Но по определению *30·01, каждое типографское вхождение символа «» означает то, что получается, когда этот символ заменяется на «(»; следовательно, «» означает «».

*30·21.

*30·22.

Заметьте, что мы не обязательно имеем , что истинно только тогда, когда .

*30·3.

*30·31.

*30·32.

*30·33.

*30·34.

*30·341.

Док.

*30·35.

*30·36.

*30·37.

Док.

Это предложение используется очень часто.

*30·4.

Это очень важное предложение, использование которого постоянно.

*30·41.

Док.

*30·42.

Гипотеза ( выполняется рядом важных частных отношений, примеры которых встретятся в последующих номерах настоящего раздела.

*30·5.

Док.

*30·501.

О значении «» см. примечание к определению *30·02.

Док.

*30·51.

*30·52.

СНОСКИ:

[55] Ср. *14 выше.

*31. КОНВЕРСЫ ОТНОШЕНИЙ.

Резюме к *31.

Если — отношение, то отношение, которое имеет к , когда , называется конверсом . Таким образом, «больше» есть конверс «меньше», «до» — «после», «муж» — «жена». Конверс тождества есть тождество, а конверс различия есть различие. Конверс записывается (читается «-конверс»). Когда , называется симметричным отношением, в противном случае оно называется несимметричным. Когда несовместимо с , называется асимметричным. Таким образом, «двоюродный брат» симметрично, «брат» несимметрично (потому что, когда есть брат , может быть либо братом, либо сестрой ), а «муж» асимметрично.

Отношение к называется «». Будет показано, что каждое отношение имеет один и только один конверс; следовательно, применяя нотацию *30, этот единственный есть . Таким образом . Таким образом, у нас есть две нотации для конверса ; вторая более удобна для конверса отношения, не обозначаемого одной буквой.

Более важными предложениями настоящего номера являются следующие:

*31·13.

Т.е. любое отношение имеет конверс. Следовательно, отношение «» удовлетворяет гипотезе , т.е. мы имеем .

*31·32.

Т.е. два отношения тождественны тогда и только тогда, когда их конверсы тождественны.

*31·33.

Т.е. любое отношение есть конверс своего конверса.

Очень многие из последующих использований понятия конверса отношения требуют только предложений, которые воплощают определения и , а именно

*31·11.

и

*31·131.

*31·01.

*31·02.

*31·1.

*31·101.

Док.

*31·11.

*31·111.

*31·12.

Док.

*31·13.

*31·131.

*31·132.

*31·14.

Док.

*31·15.

*31·16.

Док.

*31·17.

*31·18.

*31·21.

Док.

*31·22.

*31·23.

Док.

*31·24.

*31·32.

Док.

*31·33.

Док.

*31·34.

Док.

*31·4.

*31·41.

*31·5.

*31·51.

Док.

*31·52.

*32. РЕФЕРЕНТЫ И РЕЛАТЫ ДАННОГО ЧЛЕНА ОТНОСИТЕЛЬНО ДАННОГО ОТНОШЕНИЯ.

Резюме к *32.

Для любого отношения класс членов, которые имеют отношение к данному члену , называются референтами , а класс членов, к которым данный член имеет отношение , называются релатами . Мы будем обозначать через отношение класса референтов к , а через отношение класса релатов к . Удобно также иметь нотацию для отношений и к . Мы будем обозначать отношение к через «», где «» означает «sagitta» (стрела). Аналогично мы будем обозначать через «» отношение к , чтобы предложить стрелку, идущую справа налево, вместо слева направо. и главным образом полезны ради дескриптивных функций, к которым они приводят; таким образом и . Так, например, если — отношение родителя к сыну, родители , сыновья . Если — отношение «меньше» к «больше» среди чисел любого рода, числа, меньшие , и числа, большие . Когда существует, есть класс, единственным элементом которого является . Но когда имеется много членов, имеющих отношение к , , который есть класс этих членов, предоставляет нотацию, которая не может быть предоставлена . И аналогично, если имеется много членов, к которым имеет отношение , предоставляет нотацию для этих членов. Так, например, пусть будет отношение «», т.е. отношение, которое имеет к , когда . Тогда «» представляет все значения , такие что , т.е. все значения или . В отличие от обычного символа, он не является двусмысленным, поскольку вместо представления какого-то одного из этих значений он представляет класс их.

Определения , , , таковы:

*32·01.

*32·02.

*32·03.

*32·04.

В силу вышеприведенных определений мы будем иметь , . Это дает альтернативную нотацию, которая удобна при работе с отношением, не представленным одной буквой.

Следует заметить, что если — гомогенное отношение (т.е. такое, в котором референты и релаты одного типа), то и не являются гомогенными, а соотносят класс с объектами типа его элементов.

В силу определений и мы будем иметь

*32·13.

*32·131.

Таким образом, согласно *14·21, мы всегда имеем и . Таким образом, каким бы ни было отношение , мы имеем и . Мы в общем случае не имеем или (. Таким образом, принимая за отношение родителя и ребенка, и . Таким образом , т.е. когда бездетен, и , т.е. , когда есть Адам или Ева. Два вида существования, и , могут оба быть значимо предикатированы о , потому что «» есть дескриптивная функция, значением которой является класс; и то же самое применимо к . Будет видно, что (согласно *14·21) , но обратная импликация в общем случае не имеет места.

Мы имеем

*32·16.

Также согласно *32·18·181,

Таким образом, посредством использования или , каждое утверждение вида «» может быть сведено к утверждению, постулирующему принадлежность классу. Поскольку, однако, рассматриваемый класс задается дескриптивной функцией, а дескриптивные функции определяются посредством отношений, мы не получаем таким образом метода сведения теории отношений к теории классов.

*32·01.

*32·02.

*32·03.

*32·04.

*32·1.

*32·101.

*32·11.

*32·111.

*32·12.

*32·121.

«» не должно смешиваться с «». Первое означает, что существует такой класс, как , что, как мы только что видели, всегда истинно; второе означает, что не пусто, что истинно только если есть член, к которому какой-то другой член имеет отношение . Заметьте, что согласно *14·21, оба и влекут . Противоречащим к является не , а . Последнее не влекло бы , если бы не тот факт, что всегда истинно.

*32·13.

*32·131.

*32·132.

*32·133.

Использование *20·57 в общем случае будет подразумеваемым. Постоянно случается, что мы имеем предложения, такие как *32·13, в которых дескриптивное выражение показано тождественным классу. В таких случаях, всякий раз, когда свойства класса утверждаются о дескриптивном выражении, *20·57 является релевантным.

*32·14.

Док.

*32·15.

*32·16.

*32·18.

*32·181.

*32·182.

Преобразование из «» в «» является обычным в языке. Например, предположим, что «» есть « любит », тогда «» есть « есть любящий ».

*32·19.

Док.

*32·2.

*32·201.

*32·21.

*32·211.

*32·22.

*32·221.

*32·23.

*32·231.

*32·24.

Док.

*32·241.

*32·25.

*32·251.

*32·3.

Заметьте, что мы не имеем

Док.

*32·31.

*32·32.

*32·33.

*32·34.

*32·35.

Доказательства вышеприведенных предложений аналогичны доказательству *32·3.

*32·4.

*32·41.

Док.

*32·42.

*33. ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ОБЛАСТИ ЗНАЧЕНИЙ И ПОЛЯ ОТНОШЕНИЙ.

Резюме к *33.

Если — любое отношение, то область определения , которую мы обозначаем через , есть класс членов, которые имеют отношение к чему-либо; область значений , , есть класс членов, к которым что-либо имеет отношение ; и поле , , есть сумма области определения и области значений. (Заметьте, что поле значимо только тогда, когда — гомогенное отношение.)

Вышеприведенные нотации , , производны от нотаций , , для отношений, к отношению, его области определения, области значений и поля соответственно. Мы должны иметь , следовательно, мы определяем , , следующим образом:

*33·01.

*33·02.

*33·03.

Буква выбрана как начальная буква слова «campus». Нам требуется одно другое определение, а именно отношения к , когда есть элемент поля . Это отношение, которое мы назовем , определяется следующим образом: