«Исследования и упражнения по формальной логике»

Это утверждение уязвимо для критики в двух отношениях. Во-первых, говоря, что одно или несколько эндогенов не являются параллельно-листными растениями, мы не намереваемся исключить возможность того, что ни один эндоген вообще не является параллельно-листным растением. Символически, «Некоторые S не суть P» не исключает «Ни одно S не есть P». Таким образом, три альтернативы во всяком случае сводятся к двум первым. Но, во-вторых, некорректно говорить о любой из этих альтернатив как о самостоятельном противоречащем исходного суждения. Истинным противоречащим является утверждение истинности той или иной из этих альтернатив. Если исходное суждение ложно, мы, безусловно, знаем, что новое суждение, ограничивающее нас такими альтернативами, истинно, и наоборот.

Суть вопроса можно прояснить, представив рассматриваемое суждение в символической форме. «Все S суть все P» — это сжатое выражение, разложимое на форму: «Все S суть P и все P суть S». Оно имеет только одно противоречащее, а именно: «Либо некоторые S не суть P, либо некоторые P не суть S». Если любая из этих альтернатив верна, то исходное утверждение должно быть полностью ложным; и, с другой стороны, если последнее ложно, то по крайней мере одна из этих альтернатив должна быть истинной. «Некоторые S не суть P» само по себе не является противоречащим для «Все S суть все P». Эти два суждения действительно несовместимы друг с другом, но они оба могут быть ложными.

Противоречащее суждению «Все S суть все P» действительно может быть выражено в другой форме, а именно: «S и P не равнообъемны», но это имеет точно такую же силу, как и противоречащее, приведенное в тексте. Далее мы покажем, что две различные формы противоречащего одного и того же суждения должны обязательно быть эквивалентны друг другу.

Из этого следует, что мы должны отвергнуть дальнейшее утверждение Джевонса о том, что «суждение умеренной сложности имеет почти неограниченное число противоречащих суждений, которые в той или иной степени конфликтуют с исходным. Истинность любого одного или нескольких из этих противоречащих устанавливает ложность исходного, но ложность исходного не устанавливает истинность любого одного или нескольких из его противоречащих». Несомненно, суждение, сложное по форме, может порождать неопределенное число других неэквивалентных суждений, истинность любого из которых несовместима с его собственной. Также будет верно, что его противоречащее может быть выражено более чем в одной форме. Но эти формы будут обязательно эквивалентны друг другу, поскольку невозможно, чтобы суждение имело два или более неэквивалентных противоречащих. Это положение может быть формально доказано следующим образом. Пусть Q и R будут оба противоречащими P. Они будут эквивалентны, если можно показать, что если Q, то R, и если R, то Q. Поскольку P и Q — противоречащие, мы имеем: если Q, то не-P, а поскольку P и R — противоречащие, мы имеем: если не-P, то R. Объединяя эти два суждения, мы получаем вывод: если Q, то R. Аналогично следует: если R, то Q. Следовательно, мы установили желаемый результат.

Следует признать, что логики нередко использовали слово «противоречить» несколько вольно. Например, в «Логике Пор-Рояля» мы находим следующее: «За исключением мудреца (говорили стоики), все люди — истинные глупцы. Это можно опровергнуть (1) утверждением, что мудрец стоиков был таким же глупцом, как и другие люди; (2) утверждением, что существовали другие, помимо их мудреца, которые не были глупцами; (3) утверждением, что мудрец стоиков был глупцом, а другие люди — нет» (стр. 140). Утверждение любого из этих трех суждений, безусловно, делает необходимым отрицание истинности данного суждения, но ни одно из них само по себе не является противоречащим данного суждения. Истинным противоречащим является разделительное суждение: «Либо мудрец стоиков — глупец, либо некоторые другие люди не являются глупцами».

В связи с тем же вопросом Джевонс поднимает еще одну проблему, в отношении которой его взгляд также уязвим для критики. Он говорит: «Но возникает вопрос, нет ли путаницы в идеях при обычном рассмотрении этого древнего учения об оппозиции, и не является ли противоречащим суждению любое суждение, которое влечет за собой ложность исходного, но не является единственным условием этого. Я полагаю, что любое утверждение ложно, если оно сделано без достаточных оснований. Ложно утверждать, что обратная сторона Луны покрыта горами, не потому, что мы можем доказать противоречащее, а потому, что мы знаем, что утверждающий должен был сделать это утверждение без доказательств. Если человек, несведущий в математике, утверждает, что 'все инволюты суть трансцендентные кривые', он делает ложное утверждение, потому что, являются ли они таковыми или нет, он не может этого знать». Однако мы впали бы в безнадежную путаницу, если бы стали считать, что истинность или ложность суждения зависит от знания человека, утверждающего его, так что одно и то же суждение было бы то истинным, то ложным. Далее следует заметить, что, согласно взгляду Джевонса, оба суждения «S есть P» и «S не есть P» были бы ложными для человека, совершенно несведущего в природе S. Это означало бы, что мы не могли бы перейти от ложности суждения к истинности его противоречащего; и такой результат сделал бы невозможным любой прогресс в мышлении.

81. Противная оппозиция. — Пытаясь обобщить отношение между A и E, мы могли бы естественным образом прийти к характеристике противного (контрарного) суждения, сказав, что оно выходит за рамки простого отрицания и выдвигает дальнейшее утверждение, максимально удаленное от исходного; так что, в то время как противоречащее суждение отрицает его полную истинность, противное суждение можно сказать утверждающим его полную ложность. Пара противных суждений, определенных таким образом, может рассматриваться как находящаяся на противоположных концах шкалы, на которой имеется ряд промежуточных позиций.

Однако при таком определении понятие противности не может быть удовлетворительно распространено далеко за пределы частного случая, рассматриваемого в обычном логическом квадрате. Ибо если у нас есть суждение, которое само по себе не может рассматриваться как стоящее на одном конце шкалы, а лишь как занимающее промежуточную позицию, такое суждение не может рассматриваться как образующее пару противных. В качестве иллюстрации можно взять плюративные и численно определенные суждения.

Следовательно, если желательно определить противность так, чтобы концепция была общеприменимой, от идеи двух суждений, стоящих, так сказать, максимально далеко друг от друга, необходимо отказаться, и любые два суждения могут быть описаны как противные, если они несовместимы друг с другом, не исчерпывая при этом всех возможностей. Противные суждения при таком определении должны всегда допускать наличие среднего, но они не всегда могут быть тем, что мы назвали бы диаметральными противоположностями, и любое данное суждение не ограничивается одним противным, а может иметь неопределенное число неэквивалентных противных. В то же время следует заметить, что это определение все еще позволяет идентифицировать A и E как пару противных, причем как единственную пару в традиционной схеме оппозиции.

82. Оппозиция единичных суждений. — Возьмем суждение «Сократ мудр», его противоречащим является «Сократ не мудр»; и до тех пор, пока мы придерживаемся одних и тех же терминов, мы не можем выйти за рамки этого простого отрицания. Таким образом, суждение не имеет формального противного. Эта оппозиция единичных суждений была названа вторичной оппозицией (Мансел, «Олдрич», стр. 56).

112. Это следует считать правильным противоречащим с точки зрения, достигнутой в настоящей главе. Вопрос становится немного сложнее, когда принимается во внимание экзистенциальная интерпретация суждений.

113. Мы можем получить то, что можно назвать материальным противным данного суждения, используя противное предиката вместо его простого противоречащего; например: «Сократ не имеет ни грана здравого смысла». Это называется материальной противностью, потому что она требует введения нового термина, который не мог быть формально получен из данного суждения. Следует добавить, что различие между формальной и материальной противностью может быть применено и в случае общих суждений.

Если, однако, в суждении с единичным субъектом имеется вторичная квантификация, то мы можем получить обычный логический квадрат. Так, если наше исходное суждение — «Сократ всегда (или во всех отношениях) мудр», то оно опровергается утверждением, что «Сократ иногда (или в некоторых отношениях) не мудр», в то время как его противным является «Сократ никогда (или ни в каких отношениях) не мудр», а его субалтерном — «Сократ иногда (или в некоторых отношениях) мудр». Можно сказать, что когда мы таким образом рассматриваем Сократа как обладающего различными характеристиками в разное время или при различных условиях, наш субъект не является строго единичным, поскольку он больше не является неделимым целым. В некотором смысле это верно, и мы, несомненно, могли бы заменить наше суждение другим, имеющим в качестве субъекта «суждения или поступки Сократа». Но не представляется, что это разложение суждения необходимо для его логической обработки.

Возможность неявной вторичной квантификации, хотя такая квантификация явно не указана, является весьма плодотворным источником логических ошибок при использовании суждений с единичными субъектами. Если мы возьмем такие суждения, как «Браунинг неясен», «Эпименид — лжец», «Этот цветок синий», и в качестве их противоречащих дадим «Браунинг не является неясным», «Эпименид не является лжецом», «Этот цветок не синий», скажем ли мы, что исходное суждение или его противоречащее истинно в случае, если Браунинг иногда (но не всегда) неясен, или в случае, если Эпименид иногда (но не часто) говорит правду, или в случае, если цветок частично (но не полностью) синий? В таких примерах, безусловно, существует значительный риск смешения противоречащей и противной оппозиции, и этого можно избежать, если сделать вторичную квантификацию суждений явной с самого начала, записывая их в форме «Браунинг всегда (или иногда) неясен» и т.д. 114 Противоречащее тогда будет соответственно частным или общим.

114. Или мы могли бы свести их к формам: «Все (или некоторые) стихотворения Браунинга неясны», «Все (или некоторые) высказывания Эпименида ложны», «Вся (или часть) поверхность этого цветка синяя».

83. Оппозиция модальных суждений. — До сих пор в этой главе наше внимание ограничивалось ассерторическими суждениями. На данный момент достаточно будет очень краткой ссылки на оппозицию модальных суждений. Основные затронутые моменты будут рассмотрены более подробно позже.

Мы видели, что безусловно общее суждение, выраженное ли в обычной категорической форме «Все S суть P», или как условное «Если что-либо есть S, то оно есть P», утверждает необходимую связь, под которой понимается не просто то, что все S на самом деле являются P, но то, что в их природе заложено быть таковыми. Утверждение, что некоторые S не суть P, несовместимо с этим суждением, но не является его противоречащим, поскольку оба суждения могут быть ложными: все S могут случайно оказаться P, и все же между S и P может не быть закона связи. Рассматриваемое суждение является аподиктическим и будет иметь в качестве противоречащего модальное суждение другого рода, а именно проблематическое суждение; и это может быть записано в форме «S не обязательно есть P» или «Если что-либо есть S, то оно все же не обязательно есть P», в зависимости от того, выражено ли наше исходное суждение как категорическое или как условное.

Аналогично, противоречащим гипотетического суждения «Если P истинно, то Q истинно», если это суждение интерпретируется модально, является «Если P истинно, то Q все же не обязательно истинно».

84. Расширение учения об оппозиции. 115 — Если мы не ограничиваемся обычным логическим квадратом, а рассматриваем любую пару суждений (независимо от того, к какой системе они принадлежат), становится необходимым расширить список формальных отношений, признаваемых в логическом квадрате, а также расширить значение некоторых терминов. Мы можем предложить следующую классификацию:

115. Иллюстрации, приведенные в этом разделе, предполагают знание непосредственных умозаключений. Соответственно, при первом чтении этот раздел можно отложить до тех пор, пока не будет прочитана часть следующей главы.

(1) Два суждения могут быть эквивалентными или равносильными, причем каждое суждение формально выводимо из другого. Следовательно, если одно из суждений истинно, то и другое истинно; и если одно из них ложно, то и другое ложно. Например, как будет показано далее, «Все S суть P» и «Все не-P суть не-S» находятся в этом отношении друг к другу.

(2) и (3) Одно из двух суждений может быть формально выводимо из другого, но не наоборот. Если мы рассматриваем два данных суждения Q и R, это дает два случая: Q может влечь за собой истинность R, но не наоборот; или R может влечь за собой истинность Q, но не наоборот. Обычные субалтерные суждения со своими субалтернантами попадают в этот класс; и будет удобно расширить значение термина «субалтерный», чтобы применить его к любой паре суждений, связанных таким образом, независимо от того, принадлежат ли они к обычному логическому квадрату или нет. Действительно, можно обнаружить, что любая пара простых суждений форм A, E, I, O, которые являются субалтерными в расширенном смысле, эквивалентна некоторой паре, являющейся субалтерной в более ограниченном смысле. 116 Так, «Все S суть P» и «Некоторые P суть S», которые являются субалтерными в расширенном смысле, эквивалентны «Все S суть P» и «Некоторые S суть P». «Все S суть P» и «Некоторые не-S не суть P» — еще одна пара субалтерных. Здесь не так сразу очевидно, в каком направлении следует искать пару эквивалентных суждений, принадлежащих обычному логическому квадрату. Однако «Ни одно не-P не есть S» и «Некоторые не-P не суть S» удовлетворяют требуемым условиям.

116. Это, конечно, не будет справедливо, когда мы применяем термин «субалтерный» к сложным суждениям, например, к паре «Некоторые S не суть P и некоторые P не суть S», «Некоторые S не суть P или некоторые P не суть S».

(4) Суждения могут быть такими, что они оба могут быть истинными одновременно, или оба ложными, или одно истинным, а другое ложным. Например, «Все S суть P» и «Все P суть S». Такие суждения можно назвать независимыми в их отношении друг к другу.

(5) Суждения могут быть такими, что одно или другое из них должно быть истинным, в то время как оба могут быть истинными. Пару суждений, которые связаны таким образом — например, «Некоторые S суть P» и «Некоторые не-S суть P» — можно, путем расширения значения, как в случае с термином «субалтерный», назвать субконтрарными. Можно показать, что любая пара субконтрарных суждений форм A, E, I, O эквивалентна некоторой паре субконтрарных, принадлежащих обычному логическому квадрату; так, вышеуказанная пара эквивалентна «Некоторые P суть S» и «Некоторые P не суть S».

(6) Два суждения могут быть противными друг другу в том смысле, что они не могут быть оба истинными, но могут быть оба ложными. Как и прежде, можно показать, что любая пара противных суждений форм A, E, I, O эквивалентна некоторой паре противных в более обычном смысле. Например, противные «Все S суть P» и «Все не-S суть P» эквивалентны «Ни одно не-P не есть S» и «Все не-P суть S».

(7) Два суждения могут быть противоречащими друг другу согласно определению, данному в разделе 80, то есть они не могут быть ни оба истинными, ни оба ложными. «Все S суть P» и «Некоторые не-P суть S» дают пример вне обычного логического квадрата. Следует заметить, что эти два суждения эквивалентны паре «Все S суть P» и «Некоторые S не суть P».

Таким образом, два суждения могут, в отношении выводимости, совместимости или несовместимости, быть формально (1) эквивалентными, (2) и (3) субалтерными, (4) независимыми, (5) субконтрарными, (6) противными, (7) противоречащими, причем термины «субалтерный» и т. д. используются в самом широком смысле. Какие пары категорических суждений (в которые входят только одни и те же термины или их противоречащие) фактически попадают в эти категории соответственно, будет показано в разделах 106 и 107.

Эти семь возможных отношений между суждениями (взятыми парами) окажутся точно аналогичными семи возможным отношениям между классами (взятыми парами), как это показано в последующей главе (раздел 130).

85. Природа значимого отрицания. — Желательно, прежде чем завершить эту главу, кратко обсудить более фундаментальный вопрос, чем любой из тех, что были подняты до сих пор, а именно: значение и природу отрицания.

Мы наблюдаем, во-первых, что отрицание всегда находит выражение в суждении и что оно всегда предполагает отрицание некоторого другого суждения. Поэтому возникает вопрос, всегда ли отрицание предполагает предшествующее утверждение. На этот вопрос следует ответить отрицательно, если понимать его в том смысле, что для того, чтобы иметь возможность отрицать суждение, мы должны сначала рассматривать его как истинное. Суждение, которое мы отрицаем, может быть высказано или предложено кем-то другим; или оно может прийти нам на ум как одна из нескольких возможных альтернатив; или оно может быть поставлено в форме вопроса.

Однако следует добавить, что если отрицание должно иметь какую-либо ценность как констатация факта, соответствующее утверждение должно быть совместимо со значением используемых терминов. Так, если A коннотирует m, n, p, а B коннотирует не-p, q, r, то отрицание того, что A есть B, не дает никакой реальной информации относительно A. Ибо утверждение, что A есть B, не может быть сделано никем, кто знает, что означают A и B соответственно. Тот же момент можно выразить иначе, сказав, что подобно тому, как утверждение вербального суждения является незначимым, если рассматривать его как реальное утверждение относительно субъекта (а не просто как утверждение относительно значения, которое следует придать термину-субъекту), так и отрицание противоречия в терминах является незначимым с той же точки зрения. Такое отрицание дает лишь то, что является тавтологичным и практически бесполезным.

Например, отрицание того, что «душа — это корабль под полными парусами», является незначимым, если рассматривать его как констатацию факта; ибо такое отрицание не дает никакой информации тому, кто уже знаком со значением вовлеченных терминов.

Природа логического отрицания носит столь фундаментальный и предельный характер, что любая попытка объяснить ее скорее склонна затемнить, нежели прояснить. Ее нельзя выразить проще и яснее, чем через законы противоречия и исключенного третьего: суждение и его противоречащее не могут быть оба истинными; равно как и не могут они быть оба ложными.

Поскольку каждое отрицательное суждение предполагает отрицание некоторого другого суждения, утверждалось, что отрицательное суждение, такое как «S не есть P», является прежде всего суждением относительно положительного суждения «S есть P», а не относительно субъекта S; и, следовательно, отрицательное суждение не является координатным по отношению к положительному суждению, а зависит от него.

117. Сравните: Зигварт, «Логика», I, стр. 121, 2.

Опуская тот факт, что положительное суждение также предполагает отрицание некоторого другого суждения, мы можем заметить, что следует проводить различие между «'S есть P' не истинно» (что является суждением о «S есть P») и «S не есть P» (что является суждением об S). Отрицание, несомненно, представляется уму проще всего в первой из этих двух форм. Но при противоречии данному суждению наш метод обычно состоит в установлении другого суждения, включающего те же термины, которое находится к данному суждению в отношении, выраженном законами противоречия и исключенного третьего; и когда мы противопоставляем суждение «S не есть P» суждению «S есть P», мы приходим к менее прямому способу отрицания, в котором мы снова имеем суждение относительно нашего исходного субъекта.

Пример, взятый здесь, возможно, склонен затемнить суть вопроса, поскольку различие между «'S есть P' не истинно» и «S не есть P» может показаться настолько незначительным, что является несущественным. Однако то, что существует реальное различие, станет ясным, если мы возьмем такие пары суждений, как «'Все S суть P' не истинно» и «Некоторые S не суть P»; «'Все S суть все P' не истинно» и «Либо некоторые S не суть P, либо некоторые P не суть S»; «'Если какой-либо P есть Q, то он есть R' не истинно» и «P мог бы быть Q, не будучи R».

Будет удобно, если в целом мы будем понимать под противоречащим суждения P не его простое отрицание «P не истинно», а суждение Q, включающее те же термины, которое формально связано с P так, что P и Q не могут быть оба истинными или оба ложными.

Зигварт отмечает, что основанием отрицания может быть либо (a) недостаточность, либо (b) оппозиция. 118 Я могу, например, заявить, что определенная вещь не обладает данным атрибутом, либо (a) потому, что мне не удалось обнаружить наличие этого атрибута, либо (b) потому, что я признаю наличие некоторого другого атрибута, который, как я знаю, несовместим с предложенным.

118. «Логика», I, стр. 127.

Это различие можно проиллюстрировать еще одним или двумя примерами. Так, я могу отрицать, что человек ехал на определенном поезде, либо (a) потому, что я обыскал весь поезд непосредственно перед его отправлением и обнаружил, что его там нет, либо (b) потому, что я знаю, что он был в другом месте, когда поезд отправился, — я мог, например, видеть, как он покинул станцию в тот же момент на другом поезде в противоположном направлении. Аналогично, я могу отрицать общее суждение либо (a) потому, что я обнаружил определенные случаи, когда оно не выполняется, либо (b) потому, что я принимаю другое общее суждение, которое несовместимо с ним. Опять же, я могу отрицать, что данный металл, или металл, содержащийся в определенной соли, является медью, (a) на основании недостаточности, а именно, что он не реагирует на определенный тест, или (b) на основании оппозиции, а именно, что я признаю его другим металлом, скажем, цинком.

Основание отрицания всегда включает в себя что-то положительное, например, обыск поезда или обнаружение индивидуальных исключений. Но ясно, что когда мы устанавливаем оппозицию, мы получаем результат, который сам по себе является положительным, чего не происходит, когда мы просто устанавливаем недостаточность. Это может привести к краткому рассмотрению учения о природе значимого отрицания, которое изложено г-ном Бозанкетом.

Г-н Бозанкет утверждает, что голое отрицание само по себе не имеет значения, и он, по-видимому, отрицает, что противоречащее суждения, помимо оснований, на которых оно базируется, передает какую-либо информацию. 119 Для понимания значимого отрицания, говорит он, мы должны смотреть на основания отрицания; или же для противоречащего отрицания мы должны подставить противное отрицание. Как следствие, суждение может, строго и правильно, «быть отрицаемо только другим суждением того же рода; единичное — единичным суждением, родовое — родовым, гипотетическое — гипотетическим»; 120 и, по-видимому, частное — частным, аподиктическое — аподиктическим.

119. «Логика», I, стр. 305.

120. Там же, стр. 383.

Конечно, верно, что каждое отрицание должно иметь какую-то положительную основу, но также необходимо, чтобы суждение отличалось от оснований, на которых оно базируется. Мы не можем сказать, что суждение данного содержания является разным для двух людей, потому что они принимают его на разных основаниях; и если говорят, что это предрешение вопроса, поскольку различие в основании само по себе составляет различие в содержании, ответ заключается в том, что такое учение должно сделать содержание каждого суждения настолько неуловимым и неопределенным, что его анализ станет невозможным.

Взгляд, который отождествляет отрицание суждения с его противным, не только смешивает суждение с его основаниями, но и упускает из виду одно из двух главных оснований отрицания. Когда основанием отрицания является оппозиция, мы, несомненно, можем сказать, что приходим к отрицанию через противное, хотя мы все равно должны придерживаться мнения, что отрицание само по себе является чем-то меньшим, чем противное; но когда основанием отрицания является недостаточность, даже это не может быть допущено. Если, например, я пришел к выводу, что человек не отправился на определенном поезде, потому что я обыскал весь поезд перед его отправлением и не нашел его там; или если я заключаю, что данный металл не является медью, потому что он не удовлетворяет данному тесту; я не получил никакого противного суждения, и все же мое отрицание оправдано.

Это были бы случаи голого отрицания. Я не получил никакого положительного знания о местонахождении рассматриваемого человека, и я не могу идентифицировать данный металл. Но вряд ли можно всерьез утверждать, что отрицание бессмысленно или бесполезно, скажем, для детектива в первом случае или для химика-аналитика во втором.

Конечно, мы редко или никогда не довольствуемся голым отрицанием. Противное, а не противоречащее представляет нашу конечную цель. Но часто бывает так, что, по крайней мере временно, мы не можем выйти за рамки голого отрицания; и мы не должны считать, что мы полностью не смогли добиться прогресса, когда все, чего мы достигли, — это исключение возможной альтернативы или свержение ложной теории. Недавние исследования, например, происхождения рака не привели к положительным результатам; но утверждается, что, разрушая предвзятые идеи по этому вопросу, они расчистили путь для будущего прогресса. Кто-нибудь подтвердит, что это не стоило делать или что время, потраченное на исследования, было потрачено впустую?

Рассматривая вопрос с другой точки зрения, безусловно абсурдно говорить, что мы не можем отрицать общее суждение, если мы не способны подставить на его место другое общее суждение. Время от времени предлагались различные алгебраические формулы как обязательно дающие простое число. Все они были опровергнуты, и никакой верной формулы не было установлено на их месте. Но знание того, что эти формулы ложны, не совсем уместно описывать как невежество.

В другом месте г-н Бозанкет говорит, что простые перечислительные исключения тщетны и не могут затронуть сущность безусловно общих суждений, которым они, по-видимому, противостоят. 121 Он, по-видимому, имеет в виду случаи, когда показана необходимость лишь некоторой модификации исходного суждения. Но даже в этом случае перечислительные исключения опровергли исходное суждение. Несомненно, научный закон, в пользу которого было приведено большое количество доказательств, вероятно, содержит элементы истины, даже если он не совсем верен; и целью ученого, который опровергает закон, будет установление какого-то другого закона на его месте. Но, говорит г-н Бозанкет, даже если первое родовое суждение было чистой ошибкой и путаницей, как это время от времени случалось с суждениями, выдвигаемыми в науке, «едва ли возможно исправить путаницу, кроме как заменив ее истинными положительными концепциями, которые возникают из случаев, опровергших ее». Здесь признается, что исключения действительно опровергают закон, и остальная часть аргументации, безусловно, является примером ignoratio elenchi. Более того, это чистое, и во многих случаях неоправданное, допущение, что случаи, которых достаточно для опровержения ложного закона, также будут достаточны в качестве основы для установления истинного закона на его месте.

121. «Логика», I, стр. 313.

УПРАЖНЕНИЯ.

86. Исследуйте природу оппозиции между каждой парой следующих суждений: — Против предложения голосовали только либералы; Среди тех, кто голосовал против предложения, были некоторые либералы; Неверно, что все те, кто голосовал против предложения, были либералами. [K.]

87. Если бы «некоторые» использовалось в своем обычном разговорном смысле, как пришлось бы модифицировать схему оппозиции между суждениями? [J.]

88. Объясните технические термины «противоречащее» и «противное», применяя их к следующим суждениям: Немногие S суть P; Он был не единственным, кто жульничал; Две трети армии находятся за границей. [V.]

89. Дайте противоречащее для каждого из следующих суждений: — Некоторые, но не все S суть P; Все S суть P и некоторые P не суть R; Либо все S суть P, либо некоторые P не суть R; Где бы ни встречалось свойство A, с ним будет встречаться либо свойство B, либо свойство C, но не оба вместе. [K.]

90. Дайте противоречащее, а также противное для каждого из следующих суждений: Половина кандидатов провалилась; Веллингтон всегда был успешен как в разгроме врага, так и в использовании своей победы; Все люди либо не мошенники, либо не глупцы; Все, кроме него, бежали; Немногие из них честны; Иногда все наши усилия терпят неудачу; Некоторые из наших усилий всегда терпят неудачу. [L.]

91. Дайте противоречащее, а также противное для каждого из следующих суждений: Я уверен, что вы ошибаетесь; Иногда, когда идет дождь, я оказываюсь без зонта; Что бы вы ни сказали, я вам не поверю. [C.]

92. Определите термины «субалтерный», «субконтрарный», «противный», «противоречащий» таким образом, чтобы они были применимы к парам суждений в целом, а не только к тем, которые включены в обычный логический квадрат. Исчерпывают ли вышеуказанные термины формальные отношения (в отношении выводимости, совместимости или несовместимости), которые возможны между парами суждений? Проиллюстрируйте свой ответ, рассмотрев отношение (в отношении выводимости, совместимости или несовместимости) между каждым из следующих суждений и каждым из остальных: S и P совпадают; Некоторые S суть P; Не все S суть P; Либо некоторые S не суть P, либо некоторые P не суть S; Все, что не есть P, есть S. [K.]

93. Дано, что суждения X и Z противоречащие, Y и V противоречащие, а X и Y противные, покажите (не предполагая, что X, Y, V, Z принадлежат к обычной системе суждений), что отношения V к X, Z к Y, V к Z тем самым выводимы. [J.]

94. Докажите формально, что если два суждения эквивалентны, их противоречащие также будут эквивалентны. [K.]

95. Исследуйте доктрину, согласно которой суждение может быть правильно отрицаемо только другим суждением того же типа. Проиллюстрируйте ссылкой на (a) общие суждения, (b) частные суждения, (c) разделительные суждения, (d) аподиктические суждения. [K.]

ГЛАВА IV.

НЕПОСРЕДСТВЕННЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ. 122

122. В этой главе мы занимаемся в основном традиционной схемой суждений, и, за исключением случаев, когда сделано явное заявление об обратном, мы исходим из предположения, что каждый класс, представленный простым термином, существует в универсуме дискурса, в то же время не исчерпывая этот универсум. Это предположение, по-видимому, было сделано неявно в традиционной трактовке логики.

96. Обращение категорических суждений. — Под обращением в широком смысле понимается изменение положения терминов суждения. 123 Логика, однако, занимается обращением лишь постольку, поскольку истинность нового суждения, полученного в результате этого процесса, является законным выводом из истинности исходного суждения. Например, переход от «Все S суть P» к «Все P суть S» не является законным логическим обращением, поскольку истинность последнего суждения не следует из истинности первого. Другими словами, логическое обращение — это случай непосредственного умозаключения, которое можно определить как вывод суждения из одного другого суждения. 124

123. Убервег («Логика», § 84) определяет обращение таким образом. Сравните также Де Морган, «Формальная логика», стр. 58. В геометрии «все равноугольные треугольники равносторонние» рассматривалось бы как обратное к «все равносторонние треугольники равноугольные». В этом смысле термина «обращение», который является его обычным нетехническим смыслом, мы можем сказать — как мы часто говорим — «Да, такое-то суждение истинно; но обратное ему не истинно».

124. Обсуждая непосредственные умозаключения, мы «прослеживаем содержание высказанного суждения в его отношениях к суждениям, еще не высказанным» (Лотце). Вместо «непосредственных умозаключений» профессор Бэйн предпочитает говорить об «эквивалентных пропозициональных формах». Однако можно обнаружить, что новые суждения, полученные путем непосредственного умозаключения, не всегда эквивалентны исходному суждению, например, при обращении per accidens. Мисс Джонс предлагает термин «эдукция» как синоним для «непосредственного умозаключения» («Общая логика», стр. 79); и она затем проводит различие между эверсиями и трансверсиями, где эверсия — это эдукция из категорической формы в категорическую, или из гипотетической в гипотетическую и т. д., а трансверсия — это эдукция из категорической формы в условную, или из условной в категорическую и т. д. В настоящее время мы будем заниматься только эверсиями.

127. Простейшая форма логического обращения, и та, которая понимается в логике, когда мы говорим об обращении без дальнейших уточнений, может быть определена как процесс непосредственного умозаключения, в котором из данного суждения мы выводим другое, имеющее предикат исходного суждения в качестве субъекта, а его субъект — в качестве предиката. Таким образом, имея суждение, имеющее S в качестве субъекта и P в качестве предиката, наша цель в процессе обращения состоит в том, чтобы получить путем непосредственного умозаключения новое суждение, имеющее P в качестве субъекта и S в качестве предиката. Исходное суждение можно назвать конвертендом, а выведенное суждение — конверсом.

Процесс будет валидным, если соблюдаются два следующих правила: (1) Конверс должен быть того же качества, что и конвертенд (Правило качества); (2) Ни один термин не должен быть распределен в конверсе, если он не был распределен в конвертенде (Правило распределения).

Применяя эти правила к четырем фундаментальным формам суждения, мы получаем следующую таблицу:—

Convertend. Converse.

All S is P. A. Some P is S. I.

Some S is P. I.Some P is S. I.

No S is P. E.No P is S. E.

Some S is not P. O.(None)

На данном этапе желательно кратко обратить внимание на момент, который получит более полное рассмотрение позже в связи с чтением суждений в объеме и содержании, а именно: что, вообще говоря, в любом суждении у нас естественно перед умом находятся объекты, обозначаемые субъектом, но качества, коннотируемые предикатом. Однако в процессе обращения суждения объемная сила предиката становится заметной, и предикату придается значение, подобное значению субъекта. В то же время распределение предиката должно быть сделано явным в мышлении. Именно при переходе от предикативного чтения к чтению по классам (например, от «все люди смертны» к «все люди суть смертные») заключается трудность, иногда обнаруживаемая при правильном обращении суждений. Во всяком случае, нам будет полезно признать, что обращение и другие непосредственные умозаключения обычно включают отдельный ментальный акт вышеуказанного характера.

Из сказанного выше следует, что некоторые суждения поддаются процессу обращения гораздо легче, чем другие. Когда предикат суждения является существительным, для обращения суждения требуется мало усилий или не требуется вовсе; больше усилий необходимо, когда предикат является прилагательным; и еще больше, когда в исходном суждении логический предикат вообще не выражен отдельно, как в суждениях secundi adjacentis. Сравните для целей обращения суждения: «Киты — млекопитающие», «Львы плотоядны», «Своевременный стежок девять бережет». В некоторых случаях, вследствие неуклюжести превращения прилагательных и глагольных предикатов в существительные, обращение суждения представляется очень искусственным продуктом. 125

125. Сравните: Зигварт, «Логика», I, стр. 340.

97. Простое обращение и обращение per accidens. — Можно заметить, что в случае I и E конверс имеет ту же форму, что и исходное суждение; более того, мы не теряем никакой части информации, данной нам конвертендом, и мы можем вернуться к нему путем обратного обращения конверса. Конвертенд и его конверс, соответственно, являются эквивалентными суждениями. Обращение при этих условиях называется простым.

В случае A дело обстоит иначе; мы не можем перейти путем непосредственного умозаключения от «Все S суть P» к «Все P суть S», поскольку P распределен в последнем из этих суждений, но не распределен в первом. Следовательно, хотя мы начинаем с общего суждения, путем обращения мы получаем только частное суждение, 126 и никакими средствами оперирования с конверсом мы не можем восстановить исходное суждение. Конвертенд и его конверс, соответственно, являются неэквивалентными суждениями. Обращение в этом случае называется обращением per accidens, 127 или обращением через ограничение. 128

126. Неспособность распознать или запомнить, что общеутвердительные суждения не являются просто обратимыми, является плодотворным источником логических ошибок.

127. Обращение A, по словам Мансела, называется обращением per accidens, «потому что это не обращение общего per se, а по причине того, что оно содержит частное. Ибо суждение 'Некоторые B суть A' является первично конверсом 'Некоторые A суть B', вторично — 'Все A суть B'» (Мансел, «Олдрич», стр. 61). Профессор Бэйн, по-видимому, отрицает, что это правильное объяснение использования термина («Новая аналитика логических форм», стр. 29); но как бы то ни было, нам, безусловно, не нужно рассматривать конверс A как обязательно полученный через его субалтерн. Можно перейти непосредственно от «Все A суть B» к «Некоторые B суть A» без вмешательства «Некоторые A суть B».

Простое обращение и обращение per accidens также называются соответственно conversio pura и conversio impura. См. Лотце, «Логика», § 79.

Для конкретных иллюстраций процесса обращения мы можем взять следующие пропозиции: «Своевременный стежок девять бережет» (A stitch in time saves nine); «Только храбрые достойны прекрасного» (None but the brave deserve the fair). Первую из них можно записать в форме: «Все своевременные стежки суть вещи, сберегающие девять стежков». Поскольку это пропозиция типа A, она обратима только per accidens, и мы получаем обратное суждение: «Некоторые вещи, сберегающие девять стежков, суть своевременные стежки». Вторую из данных пропозиций можно записать так: «Никто, кто не является храбрым, не достоин прекрасного». Поскольку это пропозиция типа E, она может быть обращена просто, давая: «Никто, достойный прекрасного, не является не храбрым». Наши результаты могут быть выражены в более естественной форме следующим образом: «Один из способов сберечь девять стежков — это сделать своевременный стежок»; «Никто, достойный прекрасного, не может не быть храбрым».

Никогда не должно возникать трудностей при обращении или выполнении других непосредственных умозаключений из любой данной пропозиции, если она уже приведена к традиционной логической форме, ее количество и качество определены, ее субъект, связка и предикат четко разграничены, а ее предикат, как и субъект, рассматривается в объеме. Однако, если этим правилом пренебречь, ошибки почти неизбежны.

98. Необратимость частноотрицательных пропозиций. Из правил обращения, приведенных в разделе 96, непосредственно следует, что «Некоторые S не суть P» не допускает обычного обращения; ибо S, которое не распределено в исходной пропозиции, стало бы предикатом отрицательной пропозиции в обращенной, и, следовательно, было бы распределено. Однако вскоре будет показано, что, хотя мы не можем сделать никакого вывода о P в данном случае, мы можем сделать вывод относительно не-P.

129. Относительно необратимости O см. также разделы 99 и 126.

Джевонс считает, что тот факт, что частноотрицательная пропозиция неспособна к обычному обращению, «составляет изъян в античной логике» («Studies in Deductive Logic», стр. 37). Однако для этой критики нет достаточных оснований. Впоследствии мы обнаружим, что из частноотрицательной пропозиции можно вывести столько же, сколько из частноутвердительной (поскольку последняя, в отличие от первой, не допускает контрапозиции). Никакая логика, символическая или иная, не может фактически получить из данных сведений больше, чем античная логика. Высказывалось предположение, что Джевонс имеет в виду, что необратимость O приводит к отсутствию симметрии и что логики должны специально стремиться к симметрии. С этим последним утверждением мы можем сердечно согласиться. Однако отсутствие симметрии в рассматриваемом нами случае является лишь кажущимся и проистекает из неполного взгляда. Будет обнаружено, что симметрия восстанавливается позже.

130 See sections 105, 106.

99. Законность обращения. Аристотель доказывает обращение E косвенно следующим образом: «Ни одно S не есть P», следовательно, «Ни одно P не есть S»; ибо если нет, то «Некоторый индивид P, скажем Q, есть S»; и, следовательно, «Q есть и S, и P»; но это несовместимо с исходной пропозицией.

131. «Методом, называемым ἔκθεσις, т.е. путем демонстрации отдельного примера». См. «Олдрич» Манселя, стр. 61, 2.

Показав, что простое обращение E законно, мы можем доказать, что обращение per accidens пропозиции A также законно. «Все S суть P», следовательно, «Некоторые P суть S»; ибо, если нет, то «Ни одно P не есть S», и, следовательно (путем обращения), «Ни одно S не есть P»; но это несовместимо с исходным допущением. Законность простого обращения I следует аналогичным образом.

Приведенное выше доказательство, по-видимому, не включает в себя ничего, кроме принципов противоречия и исключенного третьего. Само доказательство, однако, не является удовлетворительным; ибо оно практически предполагает обоснованность того самого процесса, который стремится оправдать, то есть оно предполагает эквивалентность пропозиций «S есть Q» и «Q есть S».

Лучшее обоснование процесса обращения может быть получено путем рассмотрения классовых отношений, задействованных в соответствующих пропозициях. Так, беря пропозицию E, самоочевидно, что если один класс полностью исключен из другого класса, то этот второй класс полностью исключен из первого. В случае пропозиции A при размышлении становится ясно, что утверждение «Все S суть P» совместимо с любым из двух отношений классов S и P, а именно: S и P совпадают, или P содержит S и нечто сверх того, и далее, что это единственные два возможных отношения, с которыми оно совместимо. Самоочевидно, что в каждом из этих случаев «Некоторые P суть S»; и, следовательно, вывод путем обращения из пропозиции A оказывается обоснованным. В случае пропозиции O, если мы рассмотрим все отношения классов, в которых она справедлива, мы обнаружим, что ничто не является истинным для P в терминах S во всех из них. Следовательно, O необратима. Необратимость O также может быть установлена путем демонстрации того, что «Некоторые S не суть P» совместимо с каждой из следующих пропозиций: «Все P суть S», «Некоторые P суть S», «Ни одно P не есть S», «Некоторые P не суть S».

132. Невозможно согласиться с профессором Бэном, который хотел бы установить правила обращения с помощью своего рода индуктивного доказательства. Он пишет следующее: «Когда мы внимательно изучаем различные процессы в логике, мы обнаруживаем, что они материальны до самой глубины. Возьмем обращение. Откуда мы знаем, что если ни одно X не есть Y, то ни одно Y не есть X? Путем детального изучения случаев и обнаружения того, что эквивалентность верна. Сколь бы очевидным ни казался вывод на чисто формальном основании, мы не довольствуемся формальным аспектом. Если бы мы это сделали, мы с такой же вероятностью сказали бы, что «Все X суть Y» дает «Все Y суть X»; нас удерживает от этого скачка только изучение случаев» («Логика», «Дедукция», стр. 251). Но никто при размышлении не стал бы утверждать, что простое обращение A самоочевидно законно; ибо, когда нам представляют этот случай, мы немедленно признаем, что противоречащее «Все P суть S» совместимо с «Все S суть P». С другой стороны, никто не может отрицать, что в случае E законность процесса обращения самоочевидна.

133. Сравните раздел 126, где этот и другие подобные выводы проиллюстрированы с помощью диаграмм Эйлера.

134. Снова сравните раздел 126.

100. Таблица пропозиций, связывающих любые два термина. Существует — связывающих любые два термина S и P — восемь пропозиций форм A, E, I, O, а именно: четыре с S в качестве субъекта и четыре с P в качестве субъекта. Результаты, к которым мы пришли относительно обращения пропозиций, показывают, что из этих восьми две пропозиции E эквивалентны друг другу, и то же самое верно для двух пропозиций I, причем E и I просто обратимы; а также что это единственные достижимые эквивалентности. Таким образом, у нас есть следующая таблица пропозиций, связывающих любые два термина S и P:

SaP, PaS, SeP = PeS, SiP = PiS, SoP, PoS. Пара пропозиций SaP и PaS независимы (см. раздел 84); то же самое верно для пар SoP и PoS, SaP и PoS, PaS и SoP. Первая пара, взятая вместе, указывает на то, что классы S и P коэкстенсивны, и их можно назвать комплементарными пропозициями. Вторая пара, взятая вместе, указывает на то, что классы S и P не являются ни коэкстенсивными, ни включенными друг в друга; их можно назвать субкомплементарными пропозициями. Третья пара, взятая вместе, указывает на то, что класс S включен в класс P, но не исчерпывает этот класс; их можно назвать контракомплементарными пропозициями. Четвертая пара, взятая вместе, указывает на то, что класс P включен в класс S, но не исчерпывает этот класс; следовательно, они также являются контракомплементарными.

135. Новые технические термины, введенные здесь, были предложены г-ном Джонсоном.

Приведенная выше таблица будет дополнена в разделе 106 таблицей пропозиций, связывающих любые два термина и их противоречащие: S, P, не-S, не-P. Тогда будет обнаружено, что у нас есть симметрия, которой в настоящее время не хватает.

101. Обверсия категорических пропозиций. Обверсия — это процесс непосредственного умозаключения, в котором выведенная пропозиция (или обверс), сохраняя исходный субъект, имеет в качестве предиката противоречащее предикату исходной пропозиции (или обвертенда). Этот процесс законен для пропозиции любой формы, если при этом изменяется качество пропозиции. Выведенная пропозиция, кроме того, во всех случаях эквивалентна исходной пропозиции, так что мы всегда можем вернуться от обверса к обвертенду.

136. Процесс непосредственного умозаключения, обсуждаемый в этом разделе, назывался многими различными именами. Термин «обверсия», который использует профессор Бэн, является наиболее удобным. Другие использовавшиеся названия: «пермутация» (Фаулер), «эквиполлентность» (Юбервег), «инфинитация» (Боуэн), «непосредственное умозаключение через частную концепцию» (Джевонс), «контраверсия» (Де Морган), «контрапозиция» (Сполдинг). Профессор Бэн различает формальную обверсию и материальную обверсию. Под формальной обверсией понимается вид обверсии, обсуждаемый в вышеприведенном разделе, и это единственный вид обверсии, который может быть должным образом признан формальным логиком. Материальная обверсия описывается как процесс совершения «обверсивных выводов, которые оправданы только при рассмотрении материи пропозиции» («Логика», том I, стр. 111); и в качестве примеров приводятся следующие: «Тепло приятно; следовательно, холод неприятен. Война порождает зло; следовательно, мир порождает добро. Знание — это благо; следовательно, невежество — это зло». Очень сомнительно, являются ли это законными выводами, формальными или иными. По-видимому, для их установления требуются совершенно независимые исследования. Помимо этого, однако, ошибочно рассматривать этот процесс как аналогичный формальной обверсии. В последней выведенная пропозиция имеет тот же субъект, что и исходная, в то время как ее качество иное; но ни одно из этих условий не выполняется в приведенных выше примерах. Этот процесс на самом деле больше сродни непосредственному умозаключению, которое будет обсуждаться далее под названием инверсии.

У нас есть следующая таблица:

Obvertend. Obverse.

All S is P. A.No S is not-P. E

Some S is P. I.Some S is not not-P. O.

No S is P. E.All S is not-P. A.

Some S is not P. O.Some S is not-P. I.

Следует заметить, что обверсия «Все S суть P» зависит от принципа противоречия, который говорит нам, что если что-то есть P, то оно не есть не-P; но что мы возвращаемся от «Ни одно S не есть не-P» к «Все S суть P» по принципу исключенного третьего, который говорит нам, что если что-то не есть не-P, то оно есть P. Остальные выводы путем обверсии также зависят от того или иного из этих двух принципов.

102. Контрапозиция категорических пропозиций. Контрапозицию можно определить как процесс непосредственного умозаключения, в котором из данной пропозиции выводится другая пропозиция, имеющая в качестве субъекта противоречащее исходному предикату. Таким образом, имея пропозицию с S в качестве субъекта и P в качестве предиката, мы стремимся получить путем непосредственного умозаключения новую пропозицию, имеющую не-P в качестве субъекта.

137. Эта форма непосредственного умозаключения некоторыми логиками называется обращением через отрицание; мисс Джонс предлагает название «контраверсия». Более строго мы могли бы говорить об обращении через контрапозицию. Слово «контрапозитив» использовалось Боэцием для противоположности термина (например, не-A), слово «противоречащий» ограничивалось пропозициональными формами; а переход от «Все S суть P» к «Все не-P суть не-S» назывался Conversio per contrapositionem terminorum. В этом употреблении за Боэцием следовали средневековые логики. Сравните Минто, «Логика», стр. 151, 153.

Следует заметить, что в приведенном выше определении остается открытым вопрос, имеет ли контрапозитив пропозиции исходный субъект или противоречащее исходному субъекту в качестве предиката; и каждая пропозиция, допускающая контрапозицию, будет, соответственно, иметь два контрапозитива, каждый из которых является обверсом другого. Например, в случае «Все S суть P» существуют две формы: «Ни одно не-P не есть S» и «Все не-P суть не-S». Для многих целей это различие можно практически игнорировать без риска путаницы. Однако следует заметить, что когда не-S берется в качестве предиката контрапозитива, качество исходной пропозиции сохраняется и достигается большая симметрия. С другой стороны, если мы рассматриваем контрапозицию как составленную из обверсии и обращения способом, указанным в следующем абзаце, форму с S в качестве предиката получить легче. Возможно, лучшее решение (в случаях, когда необходимо отметить различие) — это называть форму с не-S в качестве предиката полным контрапозитивом, а форму с S в качестве предиката — частичным контрапозитивом.

138. Следующее взято из «Олдрича» Манселя, стр. 61: «Обращение через контрапозицию, которое не используется Аристотелем, дано Боэцием в его первой книге «De Syllogismo Categorico». За ним следует Петр Испанский. Следует заметить, что старые логики, следуя Боэцию, утверждают, что при обращении через контрапозицию, как и в других случаях, качество должно оставаться неизменным. Следовательно, обращение «Все A суть B» есть «Все не-B суть не-A», а «Некоторые A не суть B» — «Некоторые не-B не суть не-A». Однако проще обратить A в E, а O в I («Ни одно не-B не есть A», «Некоторые не-B суть A»), как это делают Уоллис и архиепископ Уэйтли; а до Боэция — Апулей и Капелла, которые замечают обращение, но не дают ему названия. Принцип этого обращения можно найти у Аристотеля, Top. II. 8. 1, хотя он не использует его для логических целей».

139. В предыдущих изданиях форма с S в качестве предиката называлась контрапозитивом, а форма с не-S в качестве предиката — обвертированным контрапозитивом.

Для получения полного контрапозитива данной пропозиции можно принять следующее правило: обвертируйте исходную пропозицию, затем обратите полученную таким образом пропозицию, а затем еще раз обвертируйте. Ибо для данной пропозиции с S в качестве субъекта и P в качестве предиката обверсия даст эквивалентную пропозицию с S в качестве субъекта и не-P в качестве предиката; обращение этого сделает не-P субъектом, а S — предикатом; а повторение процесса обверсии даст пропозицию с не-P в качестве субъекта и не-S в качестве предиката.

Применяя это правило, мы получаем следующую таблицу:

Original Proposition ObversePartial ContrapositiveFull Contrapositive

All S is P. A. No S is not-P. E. No not-P is S. E. All not-P is not-S A.

Some S is P. I. Some S is not not-P. O. (None.)(None.)

No S is P. E. All S is not-P. A. Some not-P is S. I. Some not-P is not not-S. O.

Some S is not P. O. Some S is not-P. I. Some not-P is S. I. Some not-P is not not-S. O.

Следует заметить, что в случае A и O контрапозитив эквивалентен исходной пропозиции, количество остается неизменным, тогда как в случае E мы переходим от универсального к частному. Чтобы подчеркнуть это различие и следуя аналогии с обычным обращением, контрапозиция A и O была названа простой контрапозицией, а контрапозиция E — контрапозицией per accidens.

140. В большинстве учебников определение контрапозиции вообще не дается, и можно отметить, что в попытке обобщить специальные примеры Джевонс в своих «Elementary Lessons in Logic» запутывается в трудностях. Для контрапозитива A он дает «Все не-P суть не-S»; O, говорит он, не имеет контрапозитива (а только обращение через отрицание, «Некоторые не-P суть S»); а для контрапозитива E он дает «Ни одно P не есть S». Невозможно обнаружить какое-либо определение контрапозиции, которое могло бы дать такие результаты. Предполагая, что при контрапозиции качество пропозиции должно оставаться неизменным, как в контрапозитиве A у Джевонса, тогда контрапозитивом как E, так и O является «Некоторые не-P не суть не-S».

141. Сравните Юбервег, «Логика», § 90.

То, что I не имеет контрапозитива, следует из необратимости O. Ибо когда «Некоторые S суть P» обвертируется, она становится частноотрицательной, и обращение этой пропозиции было бы необходимо для того, чтобы сделать возможной контрапозицию исходной пропозиции.

Что касается полезности исследования выводов, которые можно сделать из данных пропозиций с помощью контрапозиции, Де Морган указывает, что признание того, что «Каждое не-P есть не-S» следует из «Каждого S есть P», что бы ни означали S и P, делает ненужными специальные доказательства, которые Евклид дает для некоторых своих теорем.

142. «Syllabus of Logic», стр. 32.

Будет обнаружено, что, если взять первую книгу Евклида, пропозиция 6 может быть получена путем контрапозиции из пропозиции 18, а 19 — из 5 и 18 вместе; или что 5 может быть получена путем контрапозиции из 19, а 18 — из 6 и 19. Подобные отношения существуют между пропозициями 4, 8, 24 и 25; и, опять же, между аксиомой 12 и пропозициями 16, 28 и 29. Другие примеры можно было бы взять из более поздних книг Евклида. В некоторых случаях логические отношения, в которых находятся пропозиции друг к другу, очевидны; в других случаях необходимы некоторые дополнительные шаги.