«Исследования и упражнения по формальной логике»

Из-за своей неприязни к отрицательным терминам Зигварт рассматривает переход от «Все S суть P» к «Ни одно не-P не есть S» как искусственную перверсию. Но он признает ценность вывода от «Если что-то есть S, то оно есть P» к «Если что-то не есть P, то оно не есть S». Это различие кажется немногим более чем словесным. Следует заметить, что мы можем избежать использования отрицательных терминов, не прибегая к условной форме пропозиции: например, «Что бы ни было S, оно есть P», следовательно, «Что бы ни было не-P, оно не есть S»; «Все, что есть S, есть P», следовательно, «Все, что не есть P, не есть S».

103. Инверсия категорических пропозиций. Обсуждая обращение и контрапозицию, мы исследовали, в каких случаях возможно, имея данную пропозицию с S в качестве субъекта и P в качестве предиката, вывести (a) пропозицию с P в качестве субъекта, (b) пропозицию с не-P в качестве субъекта. Теперь мы можем далее исследовать, в каких случаях возможно вывести (c) пропозицию с не-S в качестве субъекта.

Если такую пропозицию вообще можно вывести, она будет получена путем определенной комбинации более элементарных процессов обычного обращения и обверсии. Поэтому мы возьмем каждую из фундаментальных форм пропозиции и посмотрим, что можно вывести (1) сначала обратив ее, а затем попеременно выполняя операции обверсии и обращения; (2) сначала обвертировав ее, а затем попеременно выполняя операции обращения и обверсии. Будет обнаружено, что в каждом случае процесс можно продолжать до тех пор, пока не будет достигнута частноотрицательная пропозиция, чья очередь быть обращенной.

144. Это может быть получено и напрямую; например, с помощью кругов Эйлера. См. следующую главу.

(1) Результаты попеременного выполнения процессов обращения и обверсии, начиная с первого, следующие: (i) «Все S суть P», следовательно (путем обращения), «Некоторые P суть S», следовательно (путем обверсии), «Некоторые P не суть не-S». Здесь наступает очередь обращения; но поскольку мы имеем дело с пропозицией O, мы не можем продвинуться дальше.

(ii) «Некоторые S суть P», следовательно (путем обращения), «Некоторые P суть S», следовательно (путем обверсии), «Некоторые P не суть не-S»; и снова мы не можем продвинуться дальше.

(iii) «Ни одно S не есть P», следовательно (путем обращения), «Ни одно P не есть S», следовательно (путем обверсии), «Все P суть не-S», следовательно (путем обращения), «Некоторые не-S суть P», следовательно (путем обверсии), «Некоторые не-S не суть не-P». В этом случае любая из пропозиций, выделенных курсивом, является искомым непосредственным умозаключением.

(iv) «Некоторые S не суть P». В этом случае мы не можем даже начать нашу серию операций.

(2) Результаты попеременного выполнения процессов обращения и обверсии, начиная с последнего, следующие: (i) «Все S суть P», следовательно (путем обверсии), «Ни одно S не есть не-P», следовательно (путем обращения), «Ни одно не-P не есть S», следовательно (путем обверсии), «Все не-P суть не-S», следовательно (путем обращения), «Некоторые не-S суть не-P», следовательно (путем обверсии), «Некоторые не-S не суть P». Здесь мы снова получили желаемую форму.

(ii) «Некоторые S суть P», следовательно (путем обверсии), «Некоторые S не суть не-P».

(iii) «Ни одно S не есть P», следовательно (путем обверсии), «Все S суть не-P», следовательно (путем обращения), «Некоторые не-P суть S», следовательно (путем обверсии), «Некоторые не-P не суть не-S».

(iv) «Некоторые S не суть P», следовательно (путем обверсии), «Некоторые S суть не-P», следовательно (путем обращения), «Некоторые не-P суть S», следовательно (путем обверсии), «Некоторые не-P не суть не-S».

Теперь мы можем ответить на вопрос, с которого начали это исследование. Требуемая пропозиция может быть получена только в том случае, если данная пропозиция является универсальной; тогда мы имеем, в зависимости от того, утвердительная она или отрицательная: «Все S суть P», следовательно, «Некоторые не-S не суть P» (= «Некоторые не-S суть не-P»); «Ни одно S не есть P», следовательно, «Некоторые не-S суть P» (= «Некоторые не-S не суть не-P»).

Эта форма непосредственного умозаключения более или менее случайно признавалась различными логиками, не получая никакого отличительного названия. Иногда ее смутно классифицировали как контрапозицию (сравните Джевонс, «Elementary Lessons in Logic», стр. 185, 6), но на самом деле она так же далека от процесса, которому было дано это обозначение, как последний от обычного обращения. Термин «инверсия» был предложен в более раннем издании этой работы и с тех пор был принят некоторыми другими авторами. Инверсию можно определить как процесс непосредственного умозаключения, в котором из данной пропозиции выводится другая пропозиция, имеющая в качестве субъекта противоречащее исходному субъекту. Таким образом, имея пропозицию с S в качестве субъекта и P в качестве предиката, мы получаем путем инверсии новую пропозицию с не-S в качестве субъекта. Исходная пропозиция может называться инвертендом, а выведенная пропозиция — инверсом.

В приведенном выше определении не уточняется, должен ли инверс иметь в качестве предиката P или не-P. Следовательно, были получены две формы (каждая из которых является обверсом другой), как и в случае контрапозиции. Насколько необходимо отмечать различие, мы можем говорить о форме, в которой P является предикатом, как о частичном инверсе, а о той, в которой не-P является предикатом, — как о полном инверсе.

104. Обоснованность инверсии. Следует помнить, что в настоящее время мы работаем исходя из предположения, что каждый класс, представленный простым термином, существует в универсуме дискурса, в то же время не исчерпывая этот универсум; другими словами, мы предполагаем, что S, не-S, P, не-P — все представляют существующие классы. Это предположение, возможно, особенно важно в случае инверсии, и оно связано с определенными трудностями, которые, возможно, уже возникли у читателя. При переходе от «Все S суть P» к ее инверсу «Некоторые не-S не суть P» происходит кажущийся незаконный процесс, который не так легко ни обосновать, ни объяснить. Ибо термин P, который не распределен в посылке, распределен в заключении, и все же, если признается универсальная обоснованность обверсии и обращения, невозможно обнаружить какой-либо изъян в аргументе, с помощью которого достигается заключение. Именно в предположении существования противоречащего исходному предикату можно найти объяснение кажущейся аномалии. Это предположение может быть выражено в форме «Некоторые вещи не суть P». Заключение «Некоторые не-S не суть P» может, соответственно, рассматриваться как основанное на этой посылке в сочетании с явной посылкой «Все S суть P»; и следует заметить, что в дополнительной посылке P распределен.

145. Вопрос об обоснованности инверсии при других предположениях будет рассмотрен в главе 8.

105. Резюме результатов. Результаты, полученные в предыдущих разделах, суммированы в следующей таблице:

A.E.I.O.

iOriginal propositionSaP SiPSePSoP

iiObverseSePʹSoPʹ SaPʹSiPʹ

iiiConversePiSPiSPeS

ivObverted ConversePoSʹPoSʹ PaSʹ

vPartial Contrapositive146 PʹeS PʹiSPʹiS

viFull Contrapositive146 PʹaSʹPʹoSʹPʹoSʹ

viiPartial Inverse146SʹoPSʹiP

viii Full Inverse146 SʹiPʹ SʹoPʹ

146. В предыдущих изданиях то, что здесь называется частичным контрапозитивом и полным контрапозитивом соответственно, называлось контрапозитивом и обвертированным контрапозитивом; а то, что здесь называется частичным инверсом и полным инверсом, называлось инверсом и обвертированным инверсом.

Можно отметить, что следующие правила применимы ко всем вышеперечисленным непосредственным умозаключениям: Правило качества. Общее количество отрицаний, допущенных или опущенных в субъекте, предикате или связке, должно быть четным. Правила количества. Если новый субъект есть S, количество может оставаться неизменным; если S', количество должно быть понижено; если P, количество должно быть понижено в A и O; если P', количество должно быть понижено в E и I.

147. Говоря о количестве как о пониженном, имеется в виду, что универсальное дает частное, а частное не дает ничего.

106. Таблица пропозиций, связывающих любые два термина и их противоречащие. Взяв любые два термина и их противоречащие, S, P, не-S, не-P, и комбинируя их в пары, мы получаем тридцать две пропозиции форм A, E, I, O. Однако следующая таблица показывает, что только восемь из этих тридцати двух пропозиций неэквивалентны.

(i)(ii)(iii)(iv)

Universals

ASaP= SePʹ=PʹeS= PʹaSʹ

AʹSʹaPʹ = SʹeP = PeSʹ = PaS

E SaPʹ = SeP = PeS = PaSʹ

Eʹ SʹaP = SʹePʹ = PʹeSʹ = PʹaS

Particulars

O SoP = SiPʹ = PʹiS = PʹoSʹ

Oʹ SʹoPʹ = SʹiP = PiSʹ = PoS

I SoPʹ = SiP = PiS = PoSʹ

Iʹ SʹoP = SʹiPʹ = PʹiSʹ = PʹoS

В этой таблице столбцы (i) и (ii) содержат пропозиции, в которых S или S' является субъектом, а столбцы (iii) и (iv) — пропозиции, в которых P или P' является субъектом. В столбцах (i) и (iv) у нас есть формы, которые допускают простую контрапозицию (т.е. A и O), а в столбцах (ii) и (iii) — те, которые допускают простое обращение (т.е. E и I). Противоречащие показаны идентичными местами в универсальных и частных рядах. Мы переходим от столбца (i) к столбцу (ii) путем обверсии; от столбца (ii) к столбцу (iii) путем простого обращения; и от столбца (iii) к столбцу (iv) путем обверсии.

Формы, набранные черным шрифтом, показывают, что мы можем взять в качестве наших восьми неэквивалентных пропозиций четыре пропозиции, связывающие S и P, и аналогичный набор, связывающий не-S и не-P. Чтобы установить их неэквивалентность, мы можем поступить следующим образом: SaP и SeP уже известны как неэквивалентные, и то же самое верно для S'aP' и S'eP'; но никакая универсальная пропозиция не может дать универсальный инверс; следовательно, ни одна из этих четырех пропозиций не эквивалентна никакой другой. Опять же, SiP и SoP уже известны как неэквивалентные, и то же самое верно для S'iP' и S'oP'; но никакая частная пропозиция не имеет никакого инверса; следовательно, ни одна из этих пропозиций не эквивалентна никакой другой. Наконец, никакая универсальная пропозиция не может быть эквивалентна частной пропозиции.

148. Первый набор обозначается A, E, I, O, второй набор может быть обозначен A', E', I', O'.

149. Г-жа Лэдд-Франклин в статье о пропозиции в «Словаре философии и психологии» Болдуина приходит к результату, достигнутому в этом разделе, с другой точки зрения. Г-жа Франклин показывает, что если мы выразим все, что можно сказать, в форме экзистенциальных пропозиций (то есть пропозиций, утверждающих или отрицающих существование), то сразу становится очевидным, что фактическое число различных утверждений, возможных в терминах X и Y и их противоречащих x и y, равно восьми. Ибо комбинации X и Y и их противоречащих суть XY, Xy, xY, xy, и мы можем утверждать, что каждая из этих комбинаций существует или не существует. Следовательно, ясно, что возможны восемь различных утверждений факта и что эти восемь должны оставаться различными, независимо от формы, в которой они могут быть выражены.

Может быть, стоит добавить, что условные и дизъюнктивные формы, так же как и категорические, могут быть включены сюда при условии, что все пропозиции интерпретируются ассерторически. Таким образом, следующие четыре пропозиции, при вышеуказанном понимании, эквивалентны друг другу: «Все X суть Y» (категорическая); «Если что-то есть X, оно есть Y» (условная); «Ничто не есть Xy» (экзистенциальная); «Все есть x или Y» (дизъюнктивная).

107. Взаимные отношения неэквивалентных пропозиций, связывающих любые два термина и их противоречащие. Теперь мы можем исследовать взаимные отношения наших восьми неэквивалентных пропозиций. SaP, SeP, SiP, SoP образуют обычный квадрат оппозиции; так же как и S'aP', S'eP', S'iP', S'oP'. Ссылка на столбцы (iii) и (iv) в таблице покажет далее, что SaP, S'eP', S'iP', SoP эквивалентны другому квадрату оппозиции; и что то же самое верно для S'aP', SeP, SiP, S'oP'. Это оставляет только следующие пары без учета: SaP, S'aP'; SeP, S'eP'; SoP, S'oP'; SiP, S'iP'; SaP, S'oP'; S'aP', SoP; SeP, S'iP'; S'eP', SiP; и будет обнаружено, что в каждом из этих случаев мы имеем независимую пару.

150. Этот раздел можно пропустить при первом чтении.

SaP и S'aP' (которые эквивалентны SaP, PaS, а также P'aS', S'aP'), взятые вместе, служат для идентификации классов S и P, а также классов S' и P'. Поэтому они являются комплементарными пропозициями в соответствии с определением, данным в разделе 100. Аналогично, SeP и S'eP' (которые эквивалентны SaP', P'aS, а также PaS', S'aP) являются комплементарными; они служат для идентификации классов S и P', а также классов S' и P. Следует заметить, что комплементарная любой универсальной пропозиции может быть получена путем замены субъекта и предиката соответственно их противоречащими. Не редкой ошибкой является молчаливая подстановка комплементарной пропозиции вместо самой пропозиции.

Комплементарное отношение существует только между универсалиями. Частные пропозиции, между которыми существует аналогичное отношение (субъект и предикат одной являются соответственно противоречащими субъекта и предиката другой), окажутся субкомплементарными в соответствии с определением в разделе 100; это отношение существует между SoP и S'oP', а также между SiP и S'iP'. SoP и S'oP' (которые эквивалентны SoP, PoS, а также P'oS', S'oP') указывают на то, что классы S и P не являются ни коэкстенсивными, ни включенными друг в друга, а также что то же самое верно для S' и P'; SiP и S'iP' (которые эквивалентны SoP', P'oS, а также PoS', S'oP) указывают на то же самое относительно S и P', S' и P.

Четыре оставшиеся пары являются контракомплементарными, каждая пара служит совместно для подчинения определенного класса определенному другому классу; или, скорее, поскольку каждое такое подчинение подразумевает дополнительное подчинение, мы можем сказать, что каждая пара подчиняет два класса двум другим классам. Таким образом, SaP и S'oP' (которые эквивалентны SaP, PoS, а также P'aS', S'oP'), взятые вместе, показывают, что класс S содержится в классе P, но не исчерпывает его, а также что класс P' содержится в классе S', но не исчерпывает его; S'aP' и SoP (которые эквивалентны S'aP', P'oS', а также PaS, SoP) дают те же результаты относительно классов S' и P', а также классов P и S; SeP и S'iP' (которые эквивалентны SaP', P'oS, а также PaS', S'oP) относительно S и P', а также P и S'; и S'eP' и SiP (которые эквивалентны S'aP, PoS', а также P'aS, SoP') относительно S' и P, P' и S.

Обозначая комплементарные A и E через A' и E', а субкомплементарные I и O через I' и O', различные отношения между неэквивалентными пропозициями, связывающими любые два термина и их противоречащие, могут быть представлены в следующем октагоне оппозиции:

Каждая из пунктирных линий в приведенном выше заменяет четыре соединительные линии, которые не заполнены; например, пунктирная линия, отмеченная как соединяющая контрарные, указывает на отношение между A и E, A и E', A' и E, A' и E'.

151. За октагон оппозиции в форме, в которой он здесь дан, я обязан г-ну Джонсону.

108. Элиминация отрицательных терминов. Процесс обверсии позволяет нам с помощью отрицательных терминов свести все пропозиции к утвердительной форме; и может возникнуть вопрос, не позволят ли нам различные процессы непосредственного умозаключения и использование, где необходимо, отрицательных пропозиций в равной степени элиминировать отрицательные термины.

152. Этот раздел можно пропустить при первом чтении.

Конечно, ясно, что с помощью обверсии мы можем избавиться от отрицательного термина, встречающегося в качестве предиката пропозиции. Проблема сложнее, когда отрицательный термин встречается в качестве субъекта, но в этом случае элиминация все еще может быть возможна; например, S'iP = PoS. Мы можем даже быть в состоянии избавиться от двух отрицательных терминов; например, S'aP' = PaS. Однако до тех пор, пока мы ограничены категорическими пропозициями обычного типа, мы не можем элиминировать отрицательный термин (не вводя другой на его место), где такой термин встречается в качестве субъекта либо (a) в универсально-утвердительной или частноотрицательной пропозиции с положительным термином в качестве предиката, либо (b) в универсально-отрицательной или частноутвердительной пропозиции с отрицательным термином в качестве предиката.

Обоснованность вышеприведенных результатов сразу же показывается ссылкой на таблицу эквивалентностей, приведенную в разделе 106. По крайней мере одна пропозиция, в которой нет отрицательного термина, будет найдена в каждой строке эквивалентностей, кроме четвертой и восьмой, которые следующие:

SʹaP = SʹePʹ = PʹeSʹ = PʹaS ;

SʹoP = SʹiPʹ = PʹiSʹ = PʹoS.

В этих случаях мы действительно можем избавиться от S' (как, например, из S'aP), но только путем введения P' (таким образом, S'aP = P'aS); нет способа избавиться от отрицательных терминов полностью. Мы можем здесь вернуться к результатам, полученным в разделах 100 и 106; с двумя терминами было получено шесть неэквивалентных пропозиций, с двумя терминами и их противоречащими — восемь неэквивалентных пропозиций. Основание этого различия теперь прояснено.

Если, однако, нам разрешено расширить нашу схему пропозиций путем признания определенных дополнительных типов, и если мы работаем исходя из предположения, что универсальные пропозиции экзистенциально отрицательны, а частные пропозиции экзистенциально утвердительны, то отрицательные термины всегда могут быть элиминированы. Таким образом, «Ни одно не-S не есть не-P» эквивалентно утверждению «Ничто не есть и не-S, и не-P», и это становится путем обверсии «Все есть либо S, либо P». Опять же, «Некоторые не-S не суть не-P» эквивалентно утверждению «Что-то есть и не-S, и не-P», и это становится путем обверсии «Что-то не есть ни S, ни P», или, как эта пропозиция также может быть записана, «Есть что-то помимо S и P». Элиминация отрицательных терминов теперь была достигнута во всех случаях. Следует заметить далее, что теперь у нас есть восемь неэквивалентных пропозиций, содержащих только S и P, — а именно: «Все S суть P», «Ни одно S не есть P», «Некоторые S суть P», «Некоторые S не суть P», «Все P суть S», «Некоторые P не суть S», «Все есть либо S, либо P», «Есть что-то помимо S и P».

153. Здесь необходимо предвосхитить результаты дискуссии, которая будет на более позднем этапе. См. главу 8.

Следуя этой линии рассмотрения, таблицу эквивалентностей, данную в разделе 106, можно переписать следующим образом [столбцы (ii) и (iii) опущены, а столбцы (v) и (vi) занимают их места]:

(i)(iv)(v)(vi)

SaP= PʹaSʹ=Nothing is SPʹ=Everything is Sʹ or P.

SʹaPʹ = PaS = Nothing is SʹP = Everything is S or Pʹ.

SaPʹ =PaSʹ = Nothing is SP =Everything is Sʹ or Pʹ.

SʹaP =PʹaS = Nothing is SʹPʹ =Everything is S or P.

SoP =PʹoSʹ = Something is SPʹ =There is something besides Sʹ and P.

SʹoPʹ =PoS =Something is SʹP =There is something besides S and Pʹ.

SoPʹ =PoSʹ = Something is SP =There is something besides Sʹ and Pʹ.

SʹoP = PʹoS = Something is SʹPʹ =There is something besides S and P.

Беря пропозиции в двух делениях по четыре набора в каждом, две диагонали слева направо дают пропозиции, содержащие только S и P.

154. Первые четыре пропозиции в столбце (v) могут быть выражены символически SP' = 0 и т.д.; вторые четыре SP' > 0 и т.д.; первые четыре в столбце (vi) S' + P = 1 и т.д.; и вторые четыре S' + P < 1 и т.д.; где 1 = универсум дискурса, а 0 = небытие, т.е. противоречащее универсуму дискурса. Сравните раздел 138.

Схема пропозиций, данная в этом разделе, может быть приведена в интересную связь с тремя фундаментальными законами мышления. Схема основана на признании следующих пропозициональных форм и их противоречащих:

Каждое S есть P;

Каждое не-P есть не-S;

Ничто не есть и S, и не-P;

Все есть либо P, либо не-S; и эти четыре пропозиции оказались эквивалентными друг другу.

155. Сравните г-жу Лэдд-Франклин в «Mind», январь 1890 г., стр. 87.

Если в вышеприведенных пропозициях мы теперь напишем S вместо P, мы получим следующее:

Каждое S есть S;

Каждое не-S есть не-S;

Ничто не есть и S, и не-S;

Все есть либо S, либо не-S.

Но первые две из этих пропозиций выражают закон тождества с положительными и отрицательными терминами соответственно, третья является выражением закона противоречия, а четвертая — закона исключенного третьего. Таким образом, можно сказать, что схема пропозиций, с которой мы имели дело, основана на признании именно тех пропозициональных форм, которые необходимы для выражения фундаментальных законов мышления.

Поскольку было показано, что рассматриваемые пропозициональные формы взаимно эквивалентны друг другу, может возникнуть дальнейший аргумент: если признать обоснованность вовлеченных непосредственных умозаключений, то из этого следует, что фундаментальные законы мышления оказались взаимно выводимыми друг из друга. Но, с другой стороны, можно утверждать, что этот аргумент открыт для обвинения в вовлечении circulus in probando на том основании, что обоснованность самих непосредственных умозаключений требует, чтобы законы мышления были сначала постулированы как предшествующее условие.

109. Прочие непосредственные умозаключения. — Можно кратко коснуться некоторых других общепризнанных форм непосредственного умозаключения.

(1) Непосредственные умозаключения, основанные на логическом квадрате, были рассмотрены в предыдущей главе.

(2) Непосредственное умозаключение посредством изменения отношения — это процесс, при котором мы переходим от категорического суждения к условному или разделительному, либо от условного к разделительному или категорическому, либо от разделительного к категорическому или условному. Например: «Всякое S есть P», следовательно, «Если что-либо есть S, то оно есть P»; «Всякое S есть P или Q», следовательно, «Любое S, которое не есть P, есть Q». К подобным умозаключениям уже делались отсылки, и они будут подробнее рассмотрены далее.

156 Мисс Джонс называет умозаключение такого рода трансверсией. См. примечание 3 на стр. 126.

(3) Непосредственное умозаключение посредством добавления детерминантов — это процесс непосредственного умозаключения, который состоит в ограничении как субъекта, так и предиката исходного суждения с помощью одного и того же детерминанта. Например: «Всякое P есть Q», следовательно, «Всякое AP есть AQ»; «Негр есть живое существо», следовательно, «Страдающий негр есть страдающее живое существо». Формальная правильность этого рассуждения может быть показана следующим образом: AP есть подразделение класса P, а именно та его часть, которая также принадлежит классу A; и, следовательно, все, что истинно для всего P, должно быть истинно для AP; таким образом, при условии, что «Всякое P есть Q», мы можем сделать вывод, что «Всякое AP есть Q»; более того, согласно закону тождества, «Всякое AP есть A»; следовательно, «Всякое AP есть AQ».

157 Однако следует заметить, что правильность этого аргумента требует допущения относительно экзистенциальной значимости суждений, которое отличается от того, которое мы в основном принимали до сих пор. Необходимо предположить, что общие суждения не подразумевают существования своих субъектов. В противном случае это умозаключение не было бы правильным в случае, если ни одно P не есть A. P могло бы существовать, и все P могли бы быть Q, но мы не смогли бы перейти к «AP есть AQ», поскольку это подразумевало бы существование AP, что было бы некорректно. Необходимо кратко обратить внимание на вышесказанное в данном месте, но нашей целью на протяжении всех этих ранних глав было по возможности избегать различных осложнений, возникающих в связи со сложной проблемой экзистенциальной значимости.

Формальная правильность непосредственного умозаключения посредством добавления детерминантов оспаривалась на основании очевидной логической ошибки при переходе от такой посылки, как «слон есть животное», к заключению «маленький слон есть маленькое животное», или от такой посылки, как «игроки в крикет — люди», к заключению «плохие игроки в крикет — плохие люди». В этих случаях, однако, ошибка на самом деле проистекает из двусмысленности языка: добавленный детерминант получает иную интерпретацию, когда он определяет субъект, нежели ту, которую он имеет, когда определяет предикат. О термине сравнения, таком как «маленький», действительно едва ли можно сказать, что он имеет независимую интерпретацию, поскольку его значение всегда относительно какого-то другого термина, с которым он соединен. Таким образом, хотя умозаключение в своей символической форме («P есть Q», следовательно, «AP есть AQ») является совершенно правильным, при его использовании с содержательными терминами особенно необходимо остерегаться логических ошибок. Все, на чем мы должны настаивать, — это чтобы добавленный детерминант получал одну и ту же интерпретацию как в субъекте, так и в предикате. Например, нет никакой ошибки в следующем: «Слон есть животное, следовательно, маленький слон есть животное, которое мало по сравнению со слонами вообще»; «Игроки в крикет — люди, следовательно, плохие игроки в крикет — люди, которые в своем качестве игроков в крикет являются плохими».

(4) Непосредственное умозаключение посредством сложного понятия — это процесс непосредственного умозаключения, который состоит в использовании субъекта и предиката исходного суждения в качестве частей более сложного понятия. Символически мы можем выразить это лишь примерно так: «P есть Q», следовательно, «Все, что находится в определенном отношении к P, находится в том же отношении к Q». Ниже приводится конкретный пример: «Слон есть животное, следовательно, ухо слона есть ухо животного». Систематическое рассмотрение этого вида умозаключения относится к специальной ветви формальной логики, известной как логика отношений, детальное рассмотрение которой выходит за рамки настоящей работы. Однако можно обратить внимание на опасность совершения логической ошибки, если выполнять этот процесс небрежно. Например: «Протестанты — христиане, следовательно, большинство протестантов — большинство христиан»; «Негр — человек, следовательно, лучший из негров — лучший из людей». Первая из этих ошибок сродни ошибке композиции (см. раздел 11), поскольку мы переходим от дистрибутивного использования термина к собирательному.

(5) Непосредственное умозаключение посредством обратного отношения — это процесс непосредственного умозаключения, аналогичный обычному обращению, но принадлежащий к логике отношений. Он состоит в переходе от утверждения об отношении, в котором P находится к Q, к утверждению об отношении, в котором Q, следовательно, находится к P. Два термина переставляются, а слово, выражающее их отношение, заменяется на коррелятивное. Например: «A больше B», следовательно, «B меньше A»; «Александр был сыном Филиппа», следовательно, «Филипп был отцом Александра»; «Свобода синонимична вольности», следовательно, «Вольность синонимична свободе».

Мансел приводит первые два из вышеприведенных примеров как примеры материального следования в отличие от формального следования. «Материальное следование определяется Олдричем как такое, в котором заключение следует из посылок исключительно в силу самих терминов. Это, по сути, означает: из некоторого подразумеваемого суждения или суждений, связывающих термины, посредством добавления которых разум способен свести следование к логической форме... Несостоятельность материального следования имеет место тогда, когда между терминами не существует такой связи, которая позволила бы нам предоставить требуемые посылки; т.е. когда одна или несколько таких предоставленных посылок были бы ложными. Но определение этого момента, очевидно, выходит за рамки компетенции логика. По этой причине материальное следование справедливо исключается из логики... К числу этих материальных, а следовательно, внелогических следований следует отнести те, которые Рид приводит как случаи, для которых логика не предусматривает правил; например: «Александр был сыном Филиппа, следовательно, Филипп был отцом Александра»; «A больше B, следовательно, B меньше A». В обоих этих случаях именно наше материальное знание отношений «отца и сына», «большего и меньшего» позволяет нам сделать умозаключение» (Олдрич, стр. 199).

Различие между тем, что является формальным, и тем, что является материальным, в действительности не так просто или абсолютно, как здесь подразумевается. Обычно признаются формальными только те отношения, которые могут быть выражены с помощью обычной связки «есть» или «не есть»; и есть очень веские причины придерживаться этого основания в большей части наших логических дискуссий. Никакое другое отношение не имеет такого же фундаментального значения или не допускает столь же развитой логической надстройки. Но важно признать, что существуют другие отношения, которые могут оставаться неизменными, в то время как связанные ими вещи варьируются; и везде, где это имеет место, мы можем рассматривать отношение как составляющее форму, а связанные вещи — как материю. Соответственно, с каждым таким отношением мы можем иметь различную формальную систему. Логика отношений имеет дело с такими системами, которые находятся вне обычно признаваемой. Каждое непосредственное умозаключение посредством обратного отношения будет, следовательно, формальным в своей собственной частной системе. Этот момент превосходно изложен мисс Джонс: «Суждение, содержащее относительный термин, предоставляет — помимо обычных непосредственных умозаключений — другие непосредственные умозаключения любому, кто знаком с системой, к которой оно относится. Эти умозаключения не могут быть выведены никем, кроме человека, знающего «систему»; с другой стороны, не требуется никакого знания объектов, к которым идет отсылка, кроме знания их места в системе, и это знание во многих случаях совпадает с обычным интеллектом; рассмотрим, например, отношения величины объектов в пространстве, последовательных частей времени, родственных связей, числа» (General Logic, стр. 34).

158 Сравните раздел 2.

(6) Непосредственное умозаключение посредством модального следования или, как его еще называют, умозаключение посредством изменения модальности, несколько аналогично субальтерному умозаключению. Оно состоит не более чем в ослаблении утверждения в отношении его модальности; и поэтому никогда невозможно вернуться от выведенного суждения к исходному. Таким образом, от истинности аподиктического суждения мы можем перейти к истинности ассерторического, а от него — к истинности проблематического; но не наоборот. С другой стороны, от ложности проблематического суждения мы можем перейти к ложности ассерторического, а от него — к ложности аподиктического; но опять же не наоборот.

159 Сравните Ибервег, «Логика», § 98.

110. Сведение непосредственных умозаключений к опосредованной форме. — Непосредственное умозаключение было определено как выведение суждения из одного другого суждения; опосредованное умозаключение, с другой стороны, есть выведение суждения по меньшей мере из двух других суждений.

160 Студенты, которые еще не имеют технических знаний о силлогизме, могут пропустить этот раздел, пока не прочитают более ранние главы Части III.

Мы можем кратко рассмотреть различные способы установления правильности непосредственных умозаключений с помощью опосредованных умозаключений.

152 (1) Один из древнегреческих логиков, Александр Афродисийский, устанавливает обращение E с помощью силлогизма в Ferio.

No S is P, therefore, No P is S ;

ибо, если нет, то по закону противоречия, «Некоторое P есть S»; и мы имеем этот силлогизм —

No S is P, Some P is S, therefore, Some P is not P,

reductio ad absurdum.

161 Сравните «Олдрич» Мансела, стр. 62. Обращение A и обращение I могут быть установлены аналогично.

(2) Можно правдоподобно утверждать, что в доказательстве Аристотеля обращения E (приведенном в разделе 99) содержится неявный силлогизм, а именно: Q есть P, Q есть S, следовательно, «Некоторое S есть P».

(3) Контрапозиция A может быть установлена с помощью силлогизма в Camestres следующим образом: —

Given All S is P, we have also No not-P is P,by the law of contradiction, therefore, No not-P is S.162

162 Аналогично, признавая правильность обверсии, контрапозицию O можно установить с помощью силлогизма в Datisi следующим образом: —

Дано «Некоторое S не есть P», тогда мы имеем

All S is S,by the law of identity, andSome S is not-P,by obversion of the given proposition, therefore,Some not-P is S.

Будет обнаружено, что при использовании того же метода контрапозиция E получается с помощью силлогизма в Darapti.

(4) Мы могли бы также получить контрапозитив «Всякое S есть P» следующим образом: —

По закону исключенного третьего, «Всякое не-P есть S или не-S», и, по гипотезе, «Всякое S есть P»,

therefore, All not-P is P or not-S ; but, by the law of contradiction,No not-P is P, therefore, All not-P is not-S.163

163 Сравните Джевонс, «Принципы науки», глава 6, § 2; и «Studies in Deductive Logic», стр. 44.

153 (5) Контрапозиция A может быть также установлена косвенно с помощью силлогизма в Darii: —

All S is P, therefore, No not-P is S ;

ибо, если нет, «Некоторое не-P есть S»; и мы имеем следующий силлогизм —

All S is P, Some not-P is S, therefore, Some not-P is P,

что абсурдно. 164

164 Сравните Де Морган, «Формальная логика», стр. 25. Признавая правильность обверсии, контрапозицию E и контрапозицию O можно установить аналогично.

Все вышеперечисленное интересно как иллюстрация процессов непосредственного умозаключения; но, рассматриваемые как доказательства, они страдают от недостатка выведения менее сложного посредством более сложного.

УПРАЖНЕНИЯ.

111. Приведите все логические противоположности суждения «Некоторые богатые люди добродетельны»; а также обращение контрарного к его противоречащему. Как последнее напрямую связано с данным суждением? Следует ли из того, что предикат суждения распределен, что оно допускает простое обращение? [K.]

112. Укажите на двусмысленности в следующих суждениях и приведите противоречащее и (где возможно) обратное для каждого из них: — (i) Некоторые из кандидатов были успешны; (ii) Не все счастливы, кто кажется таковым; (iii) Вся рыба весила пять фунтов. [K.]

113. Сформулируйте в логической форме и обратите следующие суждения: — (a) Тот насмехается над шрамами, кто никогда не чувствовал раны; (b) Аксиомы самоочевидны; (c) Только туземцы могут переносить климат Африки; (d) Ни один из греков при Фермопилах не спасся; (e) Не все то золото, что блестит. [O.]

114. «Углы при основании равнобедренного треугольника равны». Что можно вывести из этого суждения путем обверсии, обращения и контрапозиции соответственно? [L.]

154 115. Приведите обверс, контрапозитив и инверсию для каждого из следующих суждений: — Только добродетельные по-настоящему благородны; Ни один афинянин не является илотом. [M.]

116. Приведите контрапозитив и (где возможно) инверсию следующих суждений: — (i) Своевременный стежок девять бережет; (ii) Только храбрые достойны прекрасного; (iii) Блаженны миротворцы; (iv) Вещи, равные одной и той же вещи, равны между собой; (v) Не всякой сказке, которую мы слышим, следует верить. [K.]

117. Если ложно, что «Не только добродетельные счастливы», что мы можем вывести (a) в отношении недобродетельных, (b) в отношении несчастливых? [J.]

118. Запишите противоречащее, а также — где возможно — обратное, контрапозитив и инверсию для каждого из следующих суждений: «Синица в руках лучше, чем журавль в небе»; «Никакие несправедливые поступки не являются целесообразными»; «Не все те святые, кто ходит в церковь». [K.]

119. Приведите контрапозитив и инверсию для каждого из следующих суждений: — «Никогда не терпят неудачи те, кто умирает за великое дело»; «Кого любят боги, тот умирает молодым». Если A есть либо B, либо и C, и D, что мы знаем о том, что не есть D? [K.]

120. Возьмите следующие суждения парами и в отношении каждой пары укажите, являются ли два суждения совместимыми или несовместимыми друг с другом; в первом случае укажите далее, можно ли вывести одно суждение из другого, и, если можно, укажите характер умозаключения; во втором случае укажите, возможно ли, чтобы оба суждения были ложными: — (a) Всякое S есть P; (b) Всякое не-S есть P; (c) Ни одно P не есть S; (d) Некоторое не-P есть S. [K.]

121. Преобразуйте следующие суждения таким образом, чтобы, не теряя своей силы, они все имели один и тот же субъект и один и тот же предикат: — Ни одно не-P не есть S; Всякое P есть не-S; Некоторое P есть S; Некоторое не-P не есть не-S. [K.]

122. Опишите логические отношения, если таковые имеются, между каждым из следующих суждений и каждым из остальных: — (i) Нет неорганических веществ, которые не содержат углерод; 155 (ii) Все органические вещества содержат углерод; (iii) Некоторые вещества, не содержащие углерод, являются органическими; (iv) Некоторые неорганические вещества не содержат углерод. [C.]

123. «Все, кто любит добродетель, любят рыбалку». Расположите следующие суждения в три следующие группы: — (α) те, которые можно вывести из вышеприведенного суждения; (β) те, которые совместимы с ним, но которые нельзя из него вывести; (γ) те, которые несовместимы с ним. (i) Никто из тех, кто не любит добродетель, не любит рыбалку. (ii) Все, кто любит рыбалку, любят добродетель. (iii) Все, кто не любит рыбалку, любят добродетель. (iv) Никто из тех, кто не любит рыбалку, не любит добродетель. (v) Некоторые из тех, кто не любит добродетель, любят рыбалку. (vi) Некоторые из тех, кто не любит добродетель, не любят рыбалку. (vii) Некоторые из тех, кто не любит рыбалку, любят добродетель. (viii) Некоторые из тех, кто не любит рыбалку, не любят добродетель. [K.]

124. Определите логическое отношение между каждой парой следующих суждений: — (1) Все кристаллы — твердые тела. (2) Некоторые твердые тела не являются кристаллами. (3) Некоторые не-кристаллы не являются твердыми телами. (4) Ни один кристалл не является не-твердым телом. (5) Некоторые твердые тела являются кристаллами. (6) Некоторые не-твердые тела не являются кристаллами. (7) Все твердые тела — кристаллы. [L.]

ГЛАВА V.

ДИАГРАММАТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СУЖДЕНИЙ. 125. Использование диаграмм в логике. — При представлении суждений с помощью геометрических диаграмм наша цель состоит не в том, чтобы получить новый набор символов, а в том, чтобы отношение между субъектом и предикатом суждения было продемонстрировано с помощью наглядного представления, значение которого ясно с первого взгляда. Следовательно, первое требование, которому должна удовлетворять любая диаграмматическая схема, состоит в том, чтобы интерпретация диаграмм была интуитивно очевидной, как только будет объяснен принцип, на котором они основаны. 165

165 «Геометрическая схема» Гамильтона, которую он сам описывает как «легкую, простую, сжатую, вседостаточную, последовательную, явную, точную, полную» (Logic, II, стр. 475), не удовлетворяет этому условию. Он представляет утвердительную связку горизонтальной сужающейся линией (), широкая часть которой направлена к субъекту. Отрицание отмечается перпендикулярной линией, пересекающей горизонтальную (). Двоеточие (:), помещенное на любом конце связки, указывает на то, что соответствующий термин распределен; запятая (,) — что он не распределен. Таким образом, для «Всякое S есть P» мы имеем: —

S : , P;

и аналогично для других суждений.

Д-р Венн справедливо замечает, что эта схема является чисто символической и вообще не заслуживает того, чтобы считаться диаграмматической схемой. Очевидно, что в двух концах клина нет ничего, что предполагало бы субъекты и предикаты, или в двоеточии и запятой — что предполагало бы распределенность и нераспределенность» (Symbolic Logic, стр. 432). Схему Гамильтона, безусловно, можно отвергнуть как бесполезную. Схемы Эйлера и Ламберта принадлежат к совершенно иной категории.

Второе существенное требование состоит в том, чтобы диаграммы были адекватными; то есть они должны давать полное, а 157 не частичное, представление отношений, которые они призваны обозначать. Использование Гамильтоном диаграмм Эйлера, как описано в следующем разделе, послужит иллюстрацией неспособности удовлетворить этому требованию.

В-третьих, диаграммы должны быть способны представлять все пропозициональные формы, признанные в расписании суждений, которые подлежат иллюстрации, например, частные, так же как и общие. Однако одна схема диаграмм может быть лучше приспособлена для одной цели, а другая схема — для другой. Будет обнаружено, что диаграммы д-ра Венна, которые будут описаны далее, не совсем так хорошо приспособлены для представления частных суждений, как общих.

Наконец, выгодно, чтобы диаграмматическая схема была как можно менее громоздкой, когда желательно представить два или более суждения в сочетании друг с другом. Это слабое место метода Эйлера. Однако схема диаграмм может выполнять очень полезную функцию, проясняя полную силу отдельных суждений, даже если она не очень хорошо приспособлена для представления комбинированных суждений.

Иногда добавляется еще одно требование, а именно, чтобы каждая пропозициональная форма была представлена одной диаграммой, а не набором альтернативных диаграмм. Это, однако, отнюдь не существенно. Ибо если мы принимаем расписание суждений, некоторые из которых дают лишь неопределенное отношение в отношении объема между вовлеченными терминами, важно, чтобы это было четко выявлено, и набор альтернативных диаграмм может быть особенно полезен для этой цели. Этот момент будет проиллюстрирован со ссылкой на диаграммы Эйлера в следующем разделе. 166

166 Следует иметь в виду, что во всех схемах, описанных в этой главе, термины суждений, которые представлены диаграмматически, берутся в объеме, а не в содержании.

126. Диаграммы Эйлера. — Мы можем начать с хорошо известной схемы диаграмм, которая была впервые изложена швейцарским математиком и логиком Леонардом Эйлером и которая обычно называется его именем. 167

167 Эйлер жил с 1707 по 1783 год. Его диаграмматическая схема приведена в его «Lettres à une Princesse d’Allemagne» (Письма 102–105).

158 Представляя индивидов, включенных в любой класс или обозначенных любым именем, кругом, будет очевидно, что пять следующих диаграмм представляют все возможные отношения между любыми двумя классами: —

Сила различных пропозициональных форм заключается в исключении одной или нескольких из этих возможностей. «Всякое S есть P» ограничивает нас одним из двух α, β; «Некоторое S есть P» — одним из четырех α, β, γ, δ; «Ни одно S не есть P» — ε; «Некоторое S не есть P» — одним из трех γ, δ, ε.

Будет замечено, что существует большая нехватка симметрии в количестве кругов, соответствующих различным пропозициональным формам; также существует кажущееся неравенство в объеме информации, предоставляемой A и E, а также I и O. Мы обнаружим, что эти аномалии исчезают, когда принимаются во внимание отрицательные термины.

Наиболее вводит в заблуждение попытка представить «Всякое S есть P» одной парой кругов, таким образом

или «Некоторое S есть P» одной парой, таким образом

159 ибо в каждом случае суждение на самом деле оставляет нас с другими альтернативами. Этот метод использования диаграмм, однако, был принят довольно многими логиками, которые использовали их, включая сэра Уильяма Гамильтона (Logic, I, стр. 255) и профессора Джевонса (Elementary Lessons in Logic, стр. 72–75); и попытка такого упрощения привела к их использованию в незаслуженно дурной славе. Так, д-р Венн замечает: «Обычная практика, принятая во многих руководствах, апеллировать к этим диаграммам — эйлеровым диаграммам, как их часто называют, — кажется мне очень сомнительной. Старые четыре суждения A, E, I, O не совсем соответствуют пяти диаграммам, и, следовательно, ни один из модусов в силлогизме не может быть в строгом смысле представлен этими диаграммами» (Symbolic Logic, стр. 15, 16; сравните также стр. 424, 425). Эта критика, будучи совершенно обоснованной в отношении использования кругов Эйлера Гамильтоном и Джевонсом, теряет большую часть своей силы, если диаграммы используются с должными предосторожностями. Это правда, что диаграммы становятся несколько громоздкими в отношении силлогизма; но логическая сила суждений и логические отношения между суждениями могут во многих отношениях быть хорошо проиллюстрированы с их помощью. Таким образом, они могут быть использованы: —

(1) Для иллюстрации распределенности предиката в суждении. В случае каждого из четырех фундаментальных суждений мы можем заштриховать часть предиката, относительно которой нам дана информация.

Тогда мы имеем: —

160

Мы видим, что с A и I только часть P в некоторых случаях заштрихована; тогда как с E и O все P в каждом случае заштриховано; и таким образом становится ясно, что отрицательные суждения распределяют, в то время как утвердительные суждения не распределяют свои предикаты.

(2) Для иллюстрации оппозиции суждений. Сравнивая два противоречащих суждения, например, A и O, мы видим, что у них нет общего случая, но что между собой они исчерпывают все возможные случаи. Следовательно, истина о том, что два противоречащих суждения не могут быть истинными вместе, но что одно из них должно быть истинным, доносится до нас в новом аспекте. Опять же, сравнивая два субальтерных суждения, например, A и I, мы замечаем, что первое дает нам всю информацию, предоставляемую вторым, и кое-что еще, поскольку оно еще больше ограничивает возможности. Другие отношения, вовлеченные в доктрину оппозиции, могут быть проиллюстрированы аналогично.

(3) Для иллюстрации обращения суждений. Таким образом, диаграммами становится ясно, почему A допускает только обращение per accidens. «Всякое S есть P» ограничивает нас одним или другим из следующего: —

Что тогда мы знаем о P? В первом случае мы имеем «Всякое P есть S», во втором — «Некоторое P есть S»; и поскольку мы не знаем, какой из двух случаев верен, мы можем только констатировать то, что является общим для них обоих, а именно: «Некоторое P есть S».

Опять же, становится ясно, почему O необратимо. «Некоторое S не есть P» ограничивает нас одним или другим из следующего: —

161 Что тогда мы знаем относительно P? Три случая дают нам соответственно: — (i) «Всякое P есть S»; (ii) «Некоторое P есть S» и «Некоторое P не есть S»; (iii) «Ни одно P не есть S». Но (i) и (iii) несовместимы друг с другом. Следовательно, ничего нельзя утверждать о P, что было бы истинно во всех трех случаях безразлично.

(4) Для иллюстрации более сложных форм непосредственного умозаключения. Взяв, например, суждение «Всякое S есть P», мы можем спросить: что это позволяет нам утверждать о не-P и не-S соответственно? Мы имеем один или другой из этих случаев: —

Что касается не-P, они дают соответственно (i) «Ни одно не-P не есть S»; (ii) «Ни одно не-P не есть S». И таким образом мы получаем контрапозитив данного суждения.

Что касается не-S, мы имеем (i) «Ни одно не-S не есть P», (ii) «Некоторое не-S есть P» и «некоторое не-S не есть P». 168 Следовательно, в любом случае мы можем вывести «Некоторое не-S не есть P».

168 При использовании диаграмм Эйлера предполагается, что S и P оба существуют в универсуме рассуждения, в то время как ни один из них не исчерпывает этот универсум. Это допущение такое же, как то, на котором основывалась наша трактовка непосредственных умозаключений в предыдущей главе.

E, I, O могут быть рассмотрены аналогично.

(5) Для иллюстрации совместной силы пары комплементарных или контра-комплементарных или суб-комплементарных суждений (сравните раздел 100). Таким образом, пара комплементарных суждений, SaP и PaS, взятых вместе, ограничивают нас

Аналогично пара контра-комплементарных суждений, SaP и PoS, ограничивают нас отношением, отмеченным β на стр. 158; а пара контра-комплементарных суждений, SoP и 162 PaS, — к γ; в то время как пара суб-комплементарных суждений, SoP и PoS, дают нам выбор между δ и ε.

Применение диаграмм к силлогистическим рассуждениям будет рассмотрено в последующей главе.

Что касается всего вышеперечисленного, можно сказать, что использование кругов не дает нам ничего, что нельзя было бы легко получить независимо. Это, конечно, правда; но никто, кто имел опыт трудности, которую иногда находят студенты в правильном понимании элементарных принципов формальной логики, и особенно в работе с непосредственными умозаключениями, не будет презирать любые средства иллюстрации старых истин заново и представления их в новом аспекте.

Тот факт, что у нас нет одной пары кругов, соответствующей каждой фундаментальной форме суждения, является фатальным, если мы хотим проиллюстрировать какой-либо сложный ход рассуждения таким образом; но при указании реальной природы информации, предоставляемой самими суждениями, это скорее преимущество, чем что-либо другое, поскольку это показывает, насколько ограниченной в некоторых случаях эта информация на самом деле является. 169

169 Д-р Венн пишет в критике схемы Эйлера: «Четырехкратная схема суждений не очень удобно впишется в пятикратную схему диаграмм... То, что пять диаграмм способны проиллюстрировать, — это фактическое отношение классов, а не наше, возможно, несовершенное знание этого отношения» (Empirical Logic, стр. 229). Ответ на эту критику заключается в том, что, поскольку четырехкратная схема суждений дает лишь несовершенное знание фактического отношения классов, обозначенных терминами, эйлеровы диаграммы особенно ценны в том, чтобы сделать это ясным и недвусмысленным. С помощью пунктирных линий действительно возможно представить каждое суждение одной эйлеровой фигурой; но диаграммы тогда становятся настолько более трудными для интерпретации, что потеря значительно больше, чем выигрыш. Первая и вторая из следующих диаграмм заимствованы у Ибервега (Logic, § 71). В случае O диаграмма Ибервега довольно сложна; и я заменил ее более простой.

В последней из этих диаграмм мы получаем три случая, даваемые суждением O, путем (1) заполнения пунктирной линии слева и вычеркивания другой, (2) заполнения обеих пунктирных линий, (3) заполнения пунктирной линии справа и вычеркивания другой. Эти три случая — соответственно те, что отмечены γ, δ, ε на стр. 158.

163 127. Диаграммы Ламберта. — Схема диаграмм была использована Ламбертом 170, в которой горизонтальные прямые линии занимают место кругов Эйлера. Объем термина представлен горизонтальной прямой линией, и насколько две такие линии перекрываются, указывается, что соответствующие классы совпадают, в то время как насколько они не перекрываются, эти классы показаны как взаимно исключающие. Как абсолютная, так и относительная длина линий, конечно, произвольна и несущественна.

170 Иоганн Генрих Ламберт был немецким философом и математиком, который жил с 1728 по 1777 год. Его «Neues Organon» был опубликован в Лейпциге в 1768 году. Собственная диаграмматическая схема Ламберта несколько отличается от обеих, приведенных в тексте; но она очень близко напоминает ту, в которой части линий являются пунктирными. Модификации в тексте были введены, чтобы устранить определенные трудности, вовлеченные в собственные диаграммы Ламберта. См. примечание 2 на стр. 165.

Мы можем сначала показать, как линии Ламберта могут быть использованы таким образом, чтобы быть точно аналогичными кругам Эйлера. 164 Таким образом, четыре фундаментальных суждения могут быть представлены следующим образом: —

Эти диаграммы занимают меньше места, чем круги Эйлера. Но они также кажутся менее интуитивно ясными и менее наводящими на размышления. Различные случаи тоже менее заметно отличаются друг от друга. Вероятно, что человек был бы в результате более подвержен ошибке при их использовании.

Различные случаи могут, однако, быть объединены с помощью пунктирных линий, чтобы дать лишь одну диаграмму для каждого суждения гораздо более удовлетворительно, чем в схеме Эйлера. Таким образом, «Всякое S есть P» может быть представлено диаграммой

где пунктирная линия указывает на то, что мы не уверены в том, есть ли какое-либо P, которое не есть S. Мы очевидно получаем два случая в зависимости от того, вычеркиваем ли мы точки или заполняем их, и это два случая, ранее показанные как совместимые с суждением A.

Опять же, «Некоторое S есть P» может быть представлено диаграммой

и здесь мы получаем четыре случая, ранее данные для суждения I 165 путем (a) заполнения точек слева и вычеркивания тех, что справа, (b) заполнения всех точек, (c) вычеркивания их всех, (d) заполнения тех, что справа, и вычеркивания тех, что слева.

Две полные схемы диаграмм могут быть построены по этому плану, в одной из которых никакая часть никакой линии S, а в другой никакая часть никакой линии P не является пунктирной. 171 Эти две схемы приведены ниже слева и справа соответственно от самих пропозициональных форм.

171 Важно привести обе эти схемы, так как будет обнаружено, что ни одна из них сама по себе не будет достаточной, когда этот метод используется для иллюстрации силлогизма. По очевидным причинам диаграмма E одинакова в обеих схемах.

Должно быть понятно, что две диаграммы, приведенные выше в случаях A, I и O, являются альтернативными в том смысле, что мы можем выбрать любую, какую пожелаем, чтобы представить наше суждение; но любая представляет его полностью.

Мы обнаружим позже, что для цели иллюстрации силлогистических модусов метод Ламберта гораздо менее громоздкий, чем метод Эйлера. 172 Адаптация диаграмм Ламберта, в которой противоречащие S и P введены так же 166 как сами S и P, будет дана в разделе 131. Эта более разработанная схема будет полезна для иллюстрации различных процессов непосредственного умозаключения.

172 Д-р Венн (Symbolic Logic, стр. 432) замечает: «В целом схема Ламберта кажется мне явно уступающей схеме Эйлера и, как следствие, очень мало использовалась другими логиками». Критика, предложенная в поддержку этого утверждения, направлена главным образом против собственного представления Ламбертом частного утвердительного суждения, а именно:

Эта диаграмма, безусловно, кажется такой же подходящей для O, как и для I; но модификация, введенная в тексте и, по сути, предложенная самим д-ром Венном, не открыта для подобного возражения.

128. Диаграммы д-ра Венна. — В диаграмматической схеме, используемой д-ром Венном (Symbolic Logic, глава 5), диаграмма

сама по себе не представляет никакого суждения, но является каркасом, в который могут быть вписаны суждения. Обозначая не-S через Sʹ, а то, что является и S, и P, через SP и т. д., ясно, что все должно быть содержаться в одном или другом из четырех классов SP, SPʹ, SʹP, SʹPʹ; и вышеприведенная диаграмма показывает четыре отсека (один из которых — тот, что лежит вне обоих кругов), соответствующие этим четырем классам. Каждое общее суждение отрицает существование одного или нескольких таких классов, и поэтому оно может быть диаграмматически представлено путем заштриховывания соответствующего отсека или отсеков. Таким образом, «Всякое S есть P», которое отрицает существование SPʹ, представлено