«Исследования и упражнения по формальной логике»

486. Каждое A есть BC, за исключением случаев, когда оно есть D; все, что не есть A, есть D; то, что является одновременно C и D, есть B; и каждое D есть C. Что можно определить из этих посылок относительно содержания нашего универсума рассуждения? [M.]

ГЛАВА V.

ВЫВОДЫ ИЗ КОМБИНАЦИЙ СЛОЖНЫХ СУЖДЕНИЙ. 487. Условия, при которых общее суждение дает информацию относительно любого данного термина. — Проблему, которую необходимо решить для определения этих условий, можно сформулировать следующим образом: дано любое общее суждение и любой термин X; требуется провести различие между случаями, в которых суждение дает информацию относительно этого термина, и теми, в которых оно ее не дает.

Прежде всего, ясно, что если суждение должно давать информацию относительно какого-либо термина, оно должно быть неформальным. Если оно отрицательное, приведем его путем обверсии к утвердительному виду. Тогда его можно записать в форме

«Все, что есть A1A2… или B1B2… или и т. д., есть P1P2… или Q1Q2… или и т. д.»,

где A1, B1, P1, Q1 и т. д. — все являются простыми терминами. 501

501. Таким образом, и субъект, и предикат состоят из ряда альтернантов, которые сами содержат только простые детерминанты; то есть нет альтернанта вида (A или B)(C или D).

Как показано в разделе 446, это может быть разложено на независимые суждения:—

«Все A1A2… есть P1P2… или Q1Q2… или и т. д.»; «Все B1B2… есть P1P2… или Q1Q2… или и т. д.»; и т. д. и т. д. и т. д.;

ни в одном из которых нет альтернации в субъекте.

Эти суждения могут рассматриваться отдельно, и если какое-либо из них дает информацию относительно X, то и исходное суждение дает ее.

Тогда нам нужно рассмотреть суждение вида

«Все A1A2…An есть P1P2… или Q1Q2… или и т. д.»;

и это суждение путем контрапозиции может быть приведено к форме 505

«Все есть a1 или a2… или an или P1P2… или Q1Q2… или и т. д.»;

из которого можно вывести

«Все X есть a1 или a2… или an или P1P2… или Q1Q2… или и т. д.»

Любой альтернант в предикате этого суждения, который содержит x, может быть явно опущен.

Если все альтернанты содержат x, то информация, предоставляемая относительно X, заключается в том, что он несуществующий.

Если остаются некоторые альтернанты, то суждение будет давать информацию относительно X, за исключением случая, когда после максимально возможного упрощения предиката 502 один из альтернантов сам является X, не объединенным ни с каким другим термином, в каковой ситуации ясно, что мы остаемся с чисто формальным суждением.

502. Все избыточные термины опущены, но предикат по-прежнему состоит из ряда альтернантов, которые сами содержат только простые детерминанты.

Теперь один из этих альтернантов будет X в следующих случаях, и только в этих случаях: — Во-первых, если один из альтернантов в предикате исходного суждения, приведенного к утвердительной форме, есть X. Во-вторых, если любой набор альтернантов в предикате исходного суждения, приведенного к утвердительной форме, составляет развитие X, поскольку любое развитие (например, AX или aX, ABX или AbX или aBX или abX) эквивалентно просто X. 503 В-третьих, если один из альтернантов в предикате исходного суждения, приведенного к утвердительной форме, содержит X в сочетании исключительно с некоторым детерминантом, который также является детерминантом субъекта или противоречием некоторого другого альтернанта предиката; поскольку в любом из этих случаев такой альтернант эквивалентен просто X. 504 В-четвертых, если один из детерминантов субъекта есть x; поскольку в этом случае после контрапозиции мы будем иметь X в качестве одного из альтернантов предиката.

503. См. раздел 430.

504. Согласно разделу 445, правило (2), «Все AB есть AX или D» эквивалентно «Все AB есть X или D»; и согласно закону исключения (раздел 432) «A или aX» эквивалентно «A или X».

Вышесказанное можно суммировать в следующем положении: — Любое неформальное общее суждение будет давать информацию относительно любого термина X, если только после приведения его к утвердительной форме (1) один из альтернантов предиката не является X, или (2) любой набор альтернантов в предикате не составляет развитие X, или (3) любой альтернант предиката не содержит 506 X в сочетании исключительно с некоторым детерминантом, который также является детерминантом субъекта или противоречием некоторого другого альтернанта предиката, или (4) x не является детерминантом субъекта.

Если после приведения суждения к утвердительной форме все избыточные термины опущены в соответствии с правилами, данными в главах 1 и 2, то критерий становится более простым: — Любое неформальное общее суждение будет давать информацию относительно любого термина X, если только (после того, как оно приведено к утвердительной форме и его предикат упрощен так, что не содержит избыточных терминов) X сам по себе не является альтернантом предиката или x не является детерминантом субъекта. 505

505. Можно добавить, что каждое общее суждение, если оно не является чисто формальным, будет давать информацию либо относительно X, либо относительно x. Ибо если и X, и x появляются как альтернанты предиката или как детерминанты субъекта общего утвердительного суждения, то суждение будет обязательно формальным.

Если вместо X у нас есть сложный термин XYZ, то никакой детерминант этого термина не должен появляться сам по себе как альтернант предиката, и в субъекте должен быть по крайней мере один альтернант, который не содержит в качестве детерминанта противоречие любого детерминанта этого сложного термина; т. е. никакой альтернант в предикате не должен быть X, Y или Z, или любой их комбинацией, и некоторый альтернант субъекта не должен содержать ни x, ни y, ни z.

Вышеуказанный критерий прост в применении.

488. Информация, совместно предоставляемая рядом общих суждений относительно любого данного термина. — Подавляющее большинство прямых задач 506, включающих сложные суждения, могут быть сведены к общей форме: дано любое количество общих суждений, включающих любое количество терминов; требуется определить всю информацию, которую они совместно предоставляют относительно любого данного термина или комбинации терминов. Если студент обратится к Булю, Джевонсу или Венну, он обнаружит, что эта проблема рассматривается ими как центральная проблема символической логики. 507

506. Обратные задачи будут обсуждаться в следующей главе.

507. «Буль, — говорит Джевонс, — первым поставил проблему логической науки во всей ее полноте: — даны определенные логические посылки или условия; требуется определить описание любого класса объектов при этих условиях. Такова была общая проблема, из которой древняя логика решила лишь несколько изолированных случаев — девятнадцать модусов силлогизма, сорит, дилемму, дизъюнктивный силлогизм и несколько других форм. Буль неопровержимо показал, что с помощью системы математических знаков можно вывести заключения всех этих древних способов рассуждения и неопределенное количество других заключений. Короче говоря, любое заключение, которое можно было вывести из любого набора посылок или условий, какими бы многочисленными и сложными они ни были, могло быть вычислено по его методу» (Philosophical Transactions, 1870). Сравните также «Principles of Science», 6, § 5.

507. Общий метод решения заключается в следующем: — Пусть X — термин, относительно которого требуется получить информацию. Найдите, какую информацию дает каждое суждение отдельно относительно X, получая таким образом новый набор суждений вида «Все X есть P1 или P2… или Pn». Это всегда возможно с помощью правил обверсии и контрапозиции, данных в главе 3. С помощью правила, приведенного в предыдущем разделе, те суждения, которые не дают никакой информации относительно X, могут быть сразу исключены из рассмотрения. Затем пусть полученные таким образом суждения будут объединены способом, указанным в разделе 475. Это даст желаемое решение. Если информация требуется относительно нескольких терминов, будет удобно привести все суждения к форме

«Все есть P1 или P2… или Pn»;

и объединить их сразу, суммируя таким образом в едином суждении всю информацию, данную отдельными суждениями, взятыми вместе. Из этого суждения все, что известно относительно X, может быть немедленно выведено путем опускания каждого альтернанта, содержащего x, все, что известно относительно Y, путем опускания каждого альтернанта, содержащего y, и так далее.

Метод может быть варьирован путем приведения суждений к форме

«Ни одно X не есть Q1 или Q2… или Qn»,

или к форме

«Ничто не есть Q1 или Q2… или Qn»,

затем объединяя их, как в разделе 476, и (если требуется утвердительное решение) наконец обвертируя результат. Будет ли желательным это варьирование, зависит от формы исходных суждений. 508

508. Этот второй метод аналогичен тому, который обычно используется д-ром Венном в его «Symbolic Logic». Оба метода имеют определенное сходство с косвенным методом Джевонса; но ни один из них не идентичен этому методу.

В эквациональной системе символической логики решение относительно любого термина X обычно включает частичное решение и относительно x. При использовании вышеуказанных методов x должен быть найден отдельно. Можно добавить, что полные решения для X и x суммируют между собой всю информацию, данную 508 исходными данными; другими словами, они, взятые вместе, эквивалентны данным посылкам. 509

509. Установив, что «Все X есть P» и что «Все x есть q», мы можем путем контрапозиции привести последнее суждение к форме «Все Q есть X», и тогда может оказаться, что P и Q имеют некоторые общие альтернанты. Эти альтернанты являются терминами, которые (в системе Буля) берутся во всем их объеме в уравнении, дающем X; и полученное таким образом решение тесно аналогично тому, которое дается любой эквациональной системой символической логики.

Следующее можно взять в качестве простого примера первого из вышеуказанных методов. Он адаптирован из Буля («Laws of Thought», стр. 118).

«Дано: 1-е, что везде, где свойства A и B объединены, присутствует также либо свойство C, либо свойство D, но они не присутствуют совместно; 2-е, что везде, где свойства B и C объединены, свойства A и D либо оба присутствуют с ними, либо оба отсутствуют; 3-е, что везде, где свойства A и B оба отсутствуют, свойства C и D также оба отсутствуют; и vice versâ, где свойства C и D оба отсутствуют, A и B также оба отсутствуют. Найдите, что можно вывести из присутствия A относительно присутствия или отсутствия B, C и D».

Посылки можно записать следующим образом: (1) «Все AB есть Cd или cD»; (2) «Все BC есть AD или ad»; (3) «Все ab есть cd»; (4) «Все cd есть ab».

Then, from (1), All A is b or Cd or cD ; and from (2), All A is b or c or D ; therefore (by combining these),All A is b or cD ; (3) gives no information regarding A (see the preceding section); but by (4), All A is C or D ; therefore, All A is bC or bD or cD ; and, since bD is by development either bCD or bcD this becomes All A is bC or cD. Это решает поставленную задачу. Переходя также к определению a, мы находим, что (1) не дает никакой информации относительно этого термина; но согласно (2), «Все a есть b или c или d»; и согласно (3), «Все a есть B или cd»; следовательно, «Все a есть Bc или Bd или cd». Далее, согласно (4), «Все a есть b или C или D». Следовательно, «Все a есть BCd или BcD или bcd»; и путем контрапозиции: «Все, что есть Bcd или bC или bD или CD, есть A». 510

510. Принимая во внимание результат, полученный выше относительно A, можно увидеть, что это может быть разложено на «Все, что есть bC или bD, есть A» и «Ничто не есть BCD или Bcd». Эти два суждения, взятые вместе с решением для A, эквивалентны исходным посылкам.

489. Проблема исключения. — Под исключением в логике понимается опущение определенных элементов из суждения или набора 509 суждений с целью более прямого и краткого выражения связи между элементами, которые остаются. Пример этого процесса дает обычный категорический силлогизм, где исключается так называемый средний термин. Таким образом, имея посылки «Все M есть P», «Все S есть M», мы можем вывести «Все S есть MP»; но если мы хотим узнать отношение между S и P независимо от M, мы довольствуемся менее точным, но достаточным утверждением «Все S есть P»; другими словами, мы исключаем M.

Некоторые авторы считали исключение абсолютно необходимым для логического рассуждения. Однако оно не обязательно вовлечено ни в процесс контрапозиции, ни в процесс, обсуждавшийся в предыдущем разделе; и если формальные выводы вообще признаются, то название вывода, безусловно, нельзя отказать этим процессам. Мы должны, следовательно, отказаться рассматривать исключение как сущность рассуждения, хотя оно обычно может быть в нем вовлечено. 511

511. Сравните разделы 207, 208.

490. Исключение из общих утверждений. — Любое общее утвердительное суждение (или, путем объединения, любой набор общих утвердительных суждений), включающее термин X и его противоречие x, может путем контрапозиции быть приведено к форме «Все есть PX или Qx или R», где P, Q, R сами являются простыми или сложными терминами, не включающими X или x; и поскольку согласно правилу, данному в разделе 448, детерминант может быть в любое время опущен из нераспределенного термина, мы можем исключить X (и x) из этого суждения, просто опустив их и приведя суждение к форме «Все есть P или Q или R». 512

512. Мы могли бы также поступить следующим образом: решить для X и для x, как в разделе 488, так что мы будем иметь «Все X есть A», «Все x есть B», где A и B — простые или сложные термины, не включающие ни X, ни x. Тогда, поскольку «Все есть X или x», мы будем иметь «Все есть A или B», и это будет суждение, не содержащее ни X, ни x.

Мы должны, однако, здесь допустить возможность того, что P, Q, R имеют формы «A или a», «Aa». Они эквивалентны соответственно всему универсуму рассуждения и ничему. Таким образом, если P имеет форму «A или a», а Q имеет форму «Aa», наше суждение до исключения более естественно было бы записать как «Все есть X или R»; если Q имеет форму «A или a», а R имеет форму «Aa», оно более естественно было бы записано как «Все есть PX или x». Отсюда следует, что если либо P, либо Q имеет форму «A или a» (то есть если либо P, либо Q эквивалентно всему универсуму рассуждения), суждение, полученное в результате исключения 510, не будет давать никакой реальной информации, поскольку всегда истинно à priori, что «Все есть A или a или и т. д.». Таким образом, мы не можем исключить X из такого суждения, как «Все A есть X или BC».

В качестве примера исключения из общих утверждений можно привести следующее.

Пусть требуется исключить X (вместе с x) из суждений «Все P есть XQ или xR», «Все, что есть X или R, есть p или XQR». Объединяя эти суждения, мы имеем «Все есть XQR или p»; следовательно, путем исключения: «Все есть QR или p», то есть «Все P есть QR». Будет замечено, что P (вместе с p) не может быть исключено из вышеуказанных суждений.

491. Исключение из общих отрицаний. — Любое общее отрицательное суждение (или, путем объединения, любой набор общих отрицательных суждений), содержащее термин X и его противоречие x, может путем обращения быть приведено к форме «Ничто не есть PX или Qx или R», где P, Q, R сами являются простыми или сложными терминами, не включающими ни X, ни x. Здесь мы могли бы, в соответствии с правилом, данным в разделе 448, просто опустить альтернанты PX, Qx, оставив нас с суждением «Ничто не есть R». Это, однако, лишь часть информации, получаемой путем исключения X. Мы также имеем «Ни одно X не есть P» и «Ни одно Q не есть x», то есть «Все Q есть X»; откуда путем силлогизма в Celarent мы можем вывести «Ни одно Q не есть P». Полный результат исключения, следовательно, дается суждением «Ничто не есть PQ или R». 513

513. Сравните эссе миссис Лэдд-Франклин «The Algebra of Logic» («Studies in Logic by Members of the Johns Hopkins University»). Тот же вывод может быть получен путем обверсии из результата, полученного в предыдущем разделе. «Ничто не есть PX или Qx или R» становится путем обверсии «Все есть prX или qrx». Следовательно, путем исключения X: «Все есть pr или qr»; и это суждение становится путем обверсии «Ничто не есть PQ или R».

Другой метод, с помощью которого может быть получен тот же результат, заключается в следующем: путем развития первого альтернанта относительно Q и второго относительно P, «Ничто не есть PX или Qx или R» становится «Ничто не есть PQX или PqX или PQx или pQx или R». Но PQX или PQx сводится к PQ, и при опускании PqX и pQx мы имеем «Ничто не есть PQ или R».

Интересно заметить, что вышеуказанное правило исключения из отрицаний эквивалентно знаменитому правилу Буля для исключения. Чтобы исключить X из уравнения F(X) = 0, он дает формулу F(1)F(0) = 0. Теперь любое уравнение, содержащее X, может быть приведено к форме AX + Bx + C = 0, где A, B, C независимы от X. Применяя правило Буля, мы имеем (A + C)(B + C) = 0, то есть AB + C = 0; и это в точности эквивалентно правилу, данному в тексте.

Ниже приведен пример: пусть требуется исключить X из суждений «Ни одно P не есть Xq или xr», «Ни одно X или R не есть xP или Pq или Pr». 511 Объединяя эти суждения, мы имеем «Ничто не есть XPq или XPr или xP или PqR»; следовательно, путем исключения в соответствии с вышеуказанным правилом: «Ничто не есть Pq или Pr», то есть «Ни одно P не есть q или r».

492. Исключение из частных утверждений. — Любое частное утвердительное суждение, включающее термин X, может путем обращения быть приведено к форме «Нечто есть либо PX, либо Qx, либо R», где P, Q, R независимы от X и x. Мы можем здесь немедленно применить правило, данное в разделе 448, что детерминант может быть в любое время опущен из нераспределенного термина; и результат исключения X, соответственно, есть «Нечто есть либо P, либо Q, либо R». 514

514. Таким образом, правило исключения из частных утверждений практически идентично правилу исключения из общих утверждений.

493. Исключение из частных отрицаний. — Любое частное отрицательное суждение, включающее термин, может путем контрапозиции быть приведено к форме «Нечто не есть либо PX, либо Qx, либо R». Путем развития первого альтернанта относительно Q и второго альтернанта относительно P это суждение становится «Нечто не есть либо PQX, либо PqX, либо PQx, либо pQx, либо R». Но PQX или PQx сводится к PQ, и альтернанты PqX, pQx могут быть опущены согласно правилу, данному в разделе 448. Отсюда мы получаем суждение «Нечто не есть либо PQ, либо R», из которого X было исключено. 515

515. Таким образом, правило исключения из частных отрицаний практически идентично правилу исключения из общих отрицаний. То же правило может быть выведено путем обверсии из результата, полученного в предыдущем разделе. «Нечто не есть либо PX, либо Qx, либо R»; следовательно, «Нечто есть либо prX, либо qrx, либо pqr»; следовательно, «Нечто есть либо pr, либо qr»; следовательно, «Нечто не есть либо PQ, либо R».

494. Порядок процедуры в процессе исключения. — Шрёдер («Der Operationskreis des Logikkalkuls», стр. 23) указывает, что сначала исключить, а затем объединить — это не то же самое, что сначала объединить, а затем исключить. Ибо, как правило, если термин X исключается из нескольких изолированных суждений, объединенные результаты дают меньше информации, чем предоставляется путем предварительного объединения данных суждений и последующего осуществления требуемого исключения.

Действительно, существует много случаев, в которых мы не можем исключить вообще, если сначала не объединим данные суждения. Это, конечно, очевидно в силлогизмах; и мы имеем аналогичный случай, если возьмем посылки «Все есть A или X», «Все есть B или x». Мы не можем исключить X из любого из этих суждений, взятого само по себе, поскольку в каждом из них X (или x) появляется как изолированный альтернант. Но путем 512 объединения мы имеем «Все есть Ax или BX»; и это путем исключения X становится «Все есть A или B». 516

516. Работая с отрицаниями, мы получаем тот же результат. Взяв суждения «Ничто не есть ax», «Ничто не есть bX» отдельно, мы не можем исключить X из любого из них. Но объединив их в суждении «Ничто не есть ax или bX», мы можем вывести «Ничто не есть ab».

Существуют другие случаи, в которых исключение из отдельных суждений возможно, но где этот порядок процедуры ведет к ослабленному заключению. Возьмем суждения «Все есть AX или Bx», «Все есть CX или Dx». Сначала исключив X, а затем объединив, мы имеем «Все есть AC или AD или BC или BD». Но сначала объединив, а затем исключив X, наше заключение становится «Все есть AC или BD», что дает больше информации, чем предоставляется предыдущим заключением.

УПРАЖНЕНИЯ.

495. Предположим, что анализ свойств определенного класса веществ привел к следующим общим заключениям, а именно: 1-е, что везде, где свойства A и B объединены, присутствует также либо свойство C, либо свойство D, но они не присутствуют совместно; 2-е, что везде, где свойства B и C объединены, свойства A и D либо оба присутствуют с ними, либо оба отсутствуют; 3-е, что везде, где свойства A и B оба отсутствуют, свойства C и D также оба отсутствуют; и vice versâ, где свойства C и D оба отсутствуют, A и B также оба отсутствуют. Покажите, что везде, где свойство A присутствует, свойства B и C не присутствуют оба одновременно; также что везде, где B отсутствует, в то время как C присутствует, A присутствует.

[Буль, «Laws of Thought», стр. 118–120; сравните также Венн, «Symbolic Logic», стр. 276–278.]

Решение этой задачи уже было дано в разделе 488. Мы можем также поступить следующим образом. Посылки таковы:

«Все AB есть Cd или cD», (i)

«Все BC есть AD или ad», (ii)

«Все ab есть cd», (iii)

«Все cd есть ab». (iv)

513. Согласно (i), «Ни одно AB не есть CD», следовательно, «Ни одно A не есть BCD». (1)

Согласно (ii), «Ни одно BC не есть Ad», следовательно, «Ни одно A не есть BCd». (2)

Объединяя (1) и (2), немедленно следует, что «Ни одно A не есть BC».

Буль также показывает, что «Все bC есть A». Это частичная контрапозиция (iii). Нам до сих пор не требовалось использовать (iv) вообще.

496. Имея те же посылки, что и в предыдущем разделе, докажите, что: — (1) Везде, где найдено свойство C, либо свойство A, либо свойство B будет найдено с ним, но не оба вместе; (2) Если свойство B отсутствует, либо A и C будут совместно присутствовать, либо C будет отсутствовать; (3) Если A и C совместно присутствуют, B будет отсутствовать. [Буль, «Laws of Thought», стр. 129.]

Во-первых, согласно (i), «Все C есть a или b или d»; согласно (ii), «Все C есть a или b или D»; следовательно, «Все C есть a или b».

Также согласно (iii), «Все C есть A или B»; следовательно, «Все C есть Ab или aB». (1) Во-вторых, согласно (iii), «Все b есть A или c», следовательно, согласно разделу 432, «Все b есть AC или c». (2) В-третьих, из (1) немедленно следует, что «Все AC есть b». (3)

Данные посылки могут быть все суммированы в суждении: «Все есть AbC или AbD или aBCd или abcd или BcD». Из этого вышеуказанные частные результаты и другие следуют немедленно.

497. Дано, что «все есть либо Q, либо R», и что «все R есть Q, если только оно не есть не-P», докажите, что «все P есть Q». [K.]

Посылки можно записать следующим образом: (1) «Все r есть Q», (2) «Все PR есть Q». Согласно (1), «Все Pr есть Q», и согласно (2), «Все PR есть Q»; но «Все P есть Pr или PR»; следовательно, «Все P есть Q».

498. Где A присутствует, B и C либо оба присутствуют сразу, либо оба отсутствуют сразу; и где C присутствует, A присутствует. Опишите класс «не-B» при этих условиях. [Джевонс, «Studies», стр. 204.]

Посылки таковы: (1) «Все A есть BC или bc», (2) «Все C есть A». Согласно (1), «Все b есть a или c», и согласно (2), «Все b есть A или c», следовательно, «Все b есть c».

499. О некоторых вещах известно, что (1) где есть качество A, там нет B; (2) где есть B, и только где есть B, там есть C и D. 514 Выведите из этих условий описание класса вещей, в которых A не присутствует, но C присутствует. [Джевонс, «Studies», стр. 200.]

Посылки таковы: (1) «Все A есть b»; (2) «Все B есть CD»; (3) «Все CD есть B». Никакой информации относительно aC не дается (1). Но согласно (2), «Все aC есть b или D»; и согласно (3), «Все aC есть B или d». Следовательно, «Все aC есть BD или bd».

500. Взяв те же посылки, что и в предыдущем разделе, составьте описания классов Ac, ab и cD. [Джевонс, «Studies», стр. 244.]

Согласно (1), «Все есть a или b», и согласно (2), «Все есть b или CD». Следовательно, «Все есть aCD или b»; и согласно (3), «Все есть B или c или d». Следовательно, «Все есть aBCD или bc или bd». Отсюда мы немедленно выводим «Все Ac есть b», «Все ab есть c или d», «Все cD есть b».

501. Существует определенный класс вещей, из которого A выбирает «X, который есть E, и Y, который не есть Z», а B выбирает из остатка «Z, который есть Y, и X, который не есть Y». Затем обнаруживается, что не осталось ничего, кроме класса «Z, который не есть X». Весь этот класс, однако, остался. Что можно определить о классе изначально? [Венн, «Symbolic Logic», стр. 267, 8.]

Главная трудность в этой задаче состоит в точном формулировании посылок. Назовем исходный класс W. Тогда мы имеем

«Все W есть XZ или Yz или YZ или Xy или xZ», то есть «Все W есть X или Y или Z»; (1) «Все xZ есть W»; (2) «Ни одно xZ не есть WXZ или WYz или WYZ или WXy», то есть «Ни одно xZ не есть WYZ». (3)

Теперь мы можем поступить следующим образом: — Согласно (1), «Все W есть X или Y или Z»; и согласно (3), «Все W есть X или y или z». Следовательно, «Все W есть X или Yz или yZ». (2) не дает никакой информации относительно класса W, кроме того, что все, что есть Z, но не X, содержится внутри него.

502. (1) Если нация имеет природные ресурсы и хорошее правительство, она будет процветающей. (2) Если она имеет природные ресурсы без хорошего правительства или хорошее правительство без природных ресурсов, она будет довольной, но не процветающей. (3) Если она не имеет ни природных ресурсов, ни хорошего правительства, она не будет ни довольной, ни процветающей. Покажите, что эти утверждения могут быть сведены к двум суждениям формы U Гамильтона. [O’S]

515. Пусть нация с природными ресурсами обозначается R, нация с хорошим правительством — G, процветающая нация — P, а довольная нация — C. Тогда данные утверждения могут быть выражены следующим образом: — (1) «Все RG есть P»; (2) «Все Rg или rG есть Cp»; (3) «Все rg есть cp». Путем контрапозиции (2) может быть разложено на два суждения: «Все cp есть RG или rg», «Все P есть RG или rg». Но согласно (1) «Ни одно cp не есть RG»; и согласно (3) «Ни одно P не есть rg». Отсюда два суждения, на которые было разложено (2), могут быть приведены к форме: «Все cp есть rg», «Все P есть RG». Три исходных утверждения, соответственно, эквивалентны двум суждениям U: «Все RG есть все P», «Все rg есть все cp».

503. Пусть наблюдение за классом природных продуктов привело к следующим общим результатам. 1-е. В тех из этих продуктов, в которых отсутствуют свойства A и C, найдено свойство E вместе с одним из свойств B и D, но не с обоими. 2-е. Везде, где найдены свойства A и D, в то время как E отсутствует, свойства B и C будут либо оба найдены, либо оба отсутствуют. 3-е. Везде, где свойство A найдено в сочетании либо с B, либо с E, или с обоими, там будет найдено либо свойство C, либо свойство D, но не оба вместе. И наоборот, везде, где свойство C или D найдено в единственном числе, там свойство A будет найдено в сочетании либо с B, либо с E, или с обоими. Покажите, что из этого следует: «В каких бы веществах ни было найдено свойство A, там также будет найдено либо свойство C, либо свойство D, но не оба вместе, или же свойства B, C и E будут все отсутствовать». И наоборот: «Где либо свойство C, либо свойство D найдено в единственном числе, или свойства B, C и D все вместе отсутствуют, там будет найдено свойство A». Покажите также, что «Если свойство A отсутствует, а C присутствует, D присутствует».

[Буль, «Законы мышления», стр. 146–148. Венн, «Символическая логика», стр. 280, 281. «Исследования по логике» Университета Джонса Хопкинса, стр. 57, 58, 82, 83.]

Посылки следующие:—

1st,All ac is BdE or bDE ;(i) 2nd,All Ade is BC or bc ;(ii) 3rd,Whatever is AB or AE is Cd or cD ;(iii) Whatever is Cd or cD is AB or AE.(iv) 516 Требуется доказать:—

All A is Cd or cD or bcd ; (α) All Cd is A ; (β) All cD is A ; (γ) All bcd is A ; (δ) All aC is D. (ε) Во-первых, согласно (iii), «Всякое A есть Cd или cD или bc». Но согласно (ii), «Всякое Abe есть c или d»; и согласно (iv), «Всякое Abe есть CD или cd»; следовательно, «Всякое Abe есть cd». Отсюда, «Всякое A есть Cd или cD или bcd». (α)

Во-вторых, (β) и (γ) непосредственно следуют из (iv). В-третьих, из (i) мы имеем непосредственно: «Ни одно ac не есть bd»; следовательно (путем обращения), «Ни одно bcd не есть a»; следовательно, «Всякое bcd есть A». (δ)

Наконец, согласно (iv), «Всякое Cd есть A»; следовательно, путем контрапозиции, «Всякое aC есть D». (ε)

Мы можем получить полное решение в той части, которая касается A, следующим образом:

Согласно (ii), 517 «Всякое A есть BC или bc или d или E»; согласно (iii), «Всякое A есть be или Cd или cD»; следовательно, «Всякое A есть Cd или cDE или bcD или bce или bde»; согласно (iv), «Всякое A есть B или E или CD или cd»; следовательно, «Всякое A есть cDE или bcde или BCd или CdE».

Это включает частное решение в отношении A: «Всякое A есть Cd или cD или bcd». Буль ограничивается этим, поскольку он начал с намерения исключить E из своего заключения. Теперь мы можем решить относительно a. (ii) и (iii) не дают никакой информации относительно этого термина. Но согласно (i), «Всякое a есть BdE или bDE или C»; и согласно (iv), «Всякое a есть CD или cd». Следовательно, «Всякое a есть BcdE или CD». И это дает путем контрапозиции: «Все, что есть bc или Cd или cD или ce, есть A».

517 Никакой информации относительно A не дается в (i), поскольку a появляется как детерминант субъекта. См. раздел 487.

504. При тех же посылках, что и в предыдущем разделе, показать, что:— 1-е. Если свойство B присутствует в одном из производных, то либо свойства A, C и D все отсутствуют, либо отсутствует только одно из них. И наоборот, если они все отсутствуют, можно заключить, что свойство B присутствует. 2-е. Если A и C оба присутствуют или оба отсутствуют, D будет отсутствовать, совершенно независимо от присутствия или отсутствия B. [Буль, «Законы мышления», стр. 149.]

Мы можем здесь действовать, объединив все данные посылки 517 способом, указанным в разделе 475. Из полученного таким образом результата непосредственно последуют вышеприведенные выводы, а также те, что содержатся в предыдущем разделе.

Согласно (iii), «Все есть a или be или Cd или cD»; и согласно (iv), «Все есть AB или AE или CD или cd»; следовательно, «Все есть ABCd или ABcD или ACdE или AcDE или aCD или acd или bCDe или bcde»; следовательно, согласно (i), «Все есть ABCd или ABcD или Abcde или ACdE или AcDE или aBcdE или aCD или bCDe»; следовательно, согласно (ii), «Все есть ABCd или Abcde или ACdE или AcDE или aBcdE или aCD». (v)

Следовательно, «Всякое B есть ACd или AcDE или acdE или aCD»; «Всякое acd есть BE»; «Всякое AC есть Bd или dE»; «Всякое ac есть BdE». Исключая E из каждого вышеприведенного, мы получаем результаты, к которым пришел Буль. Исключая как A, так и E из (v), мы имеем

«Все есть BCd или bcd или Cd или cD или Bcd или CD»;

то есть «Все есть C или D или cd», что является тождеством. Это эквивалентно выводу Буля о том, что «между свойствами B, C и D нет независимого отношения» («Законы мышления», стр. 148). Любые дальнейшие результаты, которые могут потребоваться, могут быть получены непосредственно из (v).

505. Дано XY = A, YZ = C, найти XZ в терминах A и C.

[Венн, «Символическая логика», стр. 279, 310–312. «Исследования по логике» Университета Джонса Хопкинса, стр. 53, 54.]

Посылки могут быть записаны следующим образом:

«Все есть AXY или ax или ay»; (1) «Все есть CYZ или cy или cx». (2)

Согласно (1), «Всякое XZ есть AY или ay», и согласно (2), «Всякое XZ есть CY или cy»; следовательно, «Всякое XZ есть ACY или acy». Отсюда, исключая Y, «Всякое XZ есть AC или ac». Это решает поставленную задачу. Но чтобы получить полное решение, эквивалентное тому, которое было бы получено Булем, можно добавить следующее: решая, как указано выше, относительно x или z и исключая Y, мы имеем «Все, что есть либо x, либо z, есть AcXz или aCxZ или ac». Откуда, путем контрапозиции, «Все, что есть AC или Ax или AZ или CX или Cz, есть XZ». Иными словами, «Все, что есть AC или AZ или CX, есть XZ»; и «Ничто не есть Ax или Cz».

518 506. Показать эквивалентность между тремя следующими системами суждений: (1) «Всякое Ab есть cd»; «Всякое aB есть Ce»; «Всякое D есть E»; (2) «Всякое A есть B или c или D»; «Всякое BE есть A»; «Всякое Be есть Ad или Cd»; «Всякое bD есть aE»; (3) «Все, что есть A или e, есть B или d»; «Всякое a есть bE или bd или BCe»; «Всякое bC есть a»; «Всякое D есть E». [K.]

Путем обверсии первый набор суждений становится: «Ни одно Ab не есть C или D»; «Ни одно aB не есть c или E»; «Ни одно D не есть e»; и эти суждения объединены в утверждении: «Ничто не есть либо AbC, либо AbD, либо aBc, либо aBE, либо De». (1)

Путем обверсии и объединения второго набора суждений мы имеем: «Ничто не есть AbCd или aBE или aBce или BDe или AbD или bDe». (2)

Но AbCd или AbD эквивалентно AbC или AbD; aBE или aBce — aBE или aBc; BDe или bDe — De. Следовательно, (1) и (2) эквивалентны. Далее, путем обверсии и объединения третьего набора суждений мы имеем: «Ничто не есть AbD или bDe или aBc или aBE или abDe или acDe или AbC или De». (3)

Но поскольку bDe, abDe, acDe — все являются подразделениями De, (3) непосредственно сводится к (1).

507. Из посылок (1) «Ни одно Ax не есть cd или cy», (2) «Ни одно BX не есть cde или cey», (3) «Ни одно ab не есть cdx или cEx», (4) «Ни одно A или B или C не есть xy», вывести суждение, не содержащее ни X, ни Y. [«Исследования по логике» Университета Джонса Хопкинса, стр. 53.]

Согласно (2), «Ни одно X не есть Bcde», и согласно (1) и (3), «Ни одно x не есть Acd или abcd или abcE»; следовательно, согласно разделу 491, «Ни одно Acd или abcd или abcE не есть Bcde»; следовательно, «Ни одно Acd не есть Be». Будет замечено, что, поскольку Y не появляется в посылках, y может быть исключен только путем опускания всех терминов, содержащих его.

508. Члены научного общества делятся на три секции, которые обозначаются A, B, C. Каждый член должен вступить по крайней мере в одну из этих секций при соблюдении следующих условий: (1) любой, кто является членом A, но не B, или B, но не C, или C, но не A, может прочитать лекцию членам, если он уплатил свой взнос, но в противном случае нет; (2) тот, кто является членом A, но не C, или C, но не A, или B, но не A, может продемонстрировать эксперимент членам, если он уплатил свой взнос, но в противном случае нет; но (3) каждый член должен ежегодно либо прочитать лекцию, либо выполнить эксперимент перед другими членами. Найти наименьшее дополнение к этим правилам, которое заставит каждого члена уплатить свой взнос или лишиться членства. [«Исследования по логике» Университета Джонса Хопкинса, стр. 54.]

Пусть A = член секции A и т. д.; X = тот, кто читает лекцию; 519 Y = тот, кто выполняет эксперимент; Z = тот, кто уплатил свой взнос. Посылки: (1) «Всякое Ab или aC или Bc есть x или Z»; (2) «Всякое Ac или aB или aC есть y или Z»; (3) «Каждый член есть X или Y»; (4) «Каждый член есть A или B или C». Задача состоит в том, чтобы найти, какое наименьшее дополнение к этим правилам приведет к выводу, что «Каждый член есть Z». Согласно (1), «Всякое z есть либо x, либо (a или B) (A или c) (b или C)»; следовательно, «Всякое z есть x или ABC или abc». Аналогично, согласно (2), «Всякое z есть y или AC или abc»; следовательно, «Всякое z есть xy или xAC или ABC или abc». Согласно (3), «Всякое z есть X или Y»; следовательно, «Всякое z есть XABC или Xabc или xYAC или YABC или Yabc». Согласно (4), «Всякое z есть A или B или C»; следовательно, «Всякое z есть XABC или xYAC или YABC»; но «Всякое YABC есть либо XYABC, либо xYABC»; следовательно, «Всякое z есть XABC или xYAC». Следовательно, мы получаем желаемый результат, если добавим к посылкам: «Ни одно z не есть XABC или xYAC». Требуемое правило, таким образом, следующее: «Никто, кто не уплатил свой взнос, не может вступить во все три секции и прочитать лекцию, равно как он не может вступить в A и C и продемонстрировать эксперимент, не прочитав лекцию».

509. Что можно вывести независимо от X и Y из посылок: (1) «Либо некоторое A, которое есть X, не есть Y, либо все D есть и X, и Y»; (2) «Либо некоторое Y есть и B, и X, либо все X есть либо не Y, либо C и не B»? [«Исследования по логике» Университета Джонса Хопкинса, стр. 85.]

Посылки могут быть записаны следующим образом: (1) «Либо что-то есть AXy, либо все есть XY или d»; (2) «Либо что-то есть BXY, либо все есть x или y или bC». Объединяя эти посылки, как в главе 4, «Либо что-то есть AXy и что-то есть BXY, либо что-то есть AXy и все есть x или y или bC, либо что-то есть BXY и все есть XY или d, либо все есть bCXY или bCd или dx или dy». 518 Следовательно, исключая X и Y (см. разделы 490 и 492), «Либо что-то есть A и что-то есть B, либо что-то есть A, или 520 что-то есть B, или все есть bC или d»; и объединяя первые три альтернатора, как в разделе 481, это становится

«Либо что-то есть A или B, или все есть bC или d».

Этот вывод может быть также выражен в форме

«Если все есть ab, то всякое c есть d».

518 Мы не можем, если хотим получить эквивалентное суждение, выразить первые три из этих альтернаторов в несложной форме. См. разделы 477, 479.

510. Шесть детей, A, B, C, D, E, F, должны соблюдать следующие правила: (1) в понедельник и вторник никакие четверо не могут выходить вместе; (2) в четверг, пятницу и субботу никакие трое не могут оставаться вместе; (3) во вторник, среду и субботу, если B и C вместе, то A, B, E и F должны быть вместе; (4) в понедельник и субботу B не может выйти, если только D или A, C и E не останутся дома. A и B сначала решают, что они будут делать, а C принимает свое решение до D, E и F. Найти (α) когда C должен выйти, (β) когда он должен остаться, и (γ) когда он может делать, что хочет. [«Исследования по логике» Университета Джонса Хопкинса, стр. 58.]

Пусть A = случай, в котором A выходит, a = тот, в котором он остается, и т. д. Тогда посылки следующие: (1) В понедельник и вторник — «по крайней мере трое должны остаться»; (2) В четверг, пятницу и субботу — «никакие трое не могут оставаться вместе»; (3) Во вторник, среду и субботу — «Каждый случай есть ABEF или abef или Bc или bC»; (4) В понедельник и субботу — «Каждый случай есть ace или b или d». Чтобы решить задачу, мы должны объединить возможности для каждого дня, затем исключить D, E и F и найти, каким образом движения A и B определяют движения C. (i) В понедельник — мы имеем «Каждый случай есть ace или b или d», объединенный с условием, что по крайней мере трое должны остаться. Один альтернатор, следовательно, есть def без дальнейшего условия, и отсюда следует, что мы не можем определить никакого независимого отношения между A, B и C. Следовательно, в понедельник C может делать, что хочет. (ii) Во вторник — мы имеем «Каждый случай есть ABEF или abef или Bc или bC», объединенный с условием, что по крайней мере трое должны остаться. Следовательно, «Каждый случай есть abef или Bc или bC»; 519 и исключая D, E и F, «Каждый случай есть ab или Bc или bC».

519 Два альтернатора Bc и bC могли бы здесь быть сделаны более определенными, таким образом: aBcd или aBce или aBcf или Bcde или Bcdf или Bcef и abCd или abCe или abCf или bCde или bCdf или bCef. Но поскольку мы знаем, что мы собираемся немедленно исключить d, e и f, очевидно, даже без их полной записи, что эти более определенные выражения снова сведутся просто к Bc и bC.

521 Отсюда следует, что во вторник (α) если A выходит, пока B остается, C должен выйти, и (β) если B выходит, C должен остаться. (iii) В среду — «Каждый случай есть ABEF или abef или Bc или bC»; или, исключая D, E и F, «Каждый случай есть AB или ab или Bc или bC». Следовательно, «Всякое Ab есть C» и «Всякое aB есть c». Следовательно, в среду (α) если A выходит, пока B остается, C должен выйти, и (β) если A остается, пока B выходит, C должен остаться. (iv) В четверг и пятницу — единственное условие состоит в том, что никакие трое не могут оставаться вместе. Следовательно, в четверг и пятницу, если A и B оба остаются, C должен выйти. (v) В субботу — «Каждый случай есть ABEF или abef или Bc или bC»; также «Каждый случай есть ace или b или d». Объединяя эти посылки, «Каждый случай есть ABdEF или abef или aBce или Bcd или bC». Но у нас есть дальнейшее условие, что никакие трое не могут оставаться вместе. Следовательно, «Каждый случай есть ABdEF или ABcdEF или AbCDE или AbCDF или AbCEF или bCDEF». Следовательно, исключая D, E и F, «Каждый случай есть AB или bC». Следовательно, в субботу, если B остается, C должен выйти.

511. Дано (1) «Всякое P есть QR», (2) «Всякое p есть qr»; показать, что (3) «Всякое Q есть PR», (4) «Всякое R есть PQ». [K.]

512. Исключить R из суждений «Всякое R есть P или pq», «Всякое q есть Pr или R», «Всякое qR есть P». [K.]

513. Показать эквивалентность между следующими наборами суждений:— (1) «a есть BC»; «b есть AC»; «C есть Ab или aB»; (2) «a есть BC»; «B есть Ac или aC»; «c есть AB»; (3) «A есть Bc или bC»; «b есть AC»; «c есть AB». [K.]

514. Указать при осмотре, с приведением доводов, какие из следующих суждений дают информацию относительно A, aB, b, bCd соответственно: «Всякое Ab есть bCd или c»; «Всякое bd есть A или bC или abc»; «Все, что есть a или B, есть c или D»; «Все, что есть Ab или bc, есть bD или cD или e»; «Все есть A или ab или Bc или Cd». [K.]

515. Определить условия, при которых частное суждение дает информацию относительно любого данного термина. [K.]

516. О некоторых вещах известно, что качество A всегда сопровождается C и D, но никогда B; и далее, что качества C и D никогда не встречаются вместе, кроме как в сочетании с A. Что мы можем заключить о C? [M.]

522 517. Дано, что все, что есть Q, но не S, есть либо и P, и R, либо ни P, ни R, и что ни R, ни S не есть и P, и Q, показать, что ни одно P не есть Q. [K.]

518. Где присутствует C, там присутствуют все A, B и D; где присутствует D, там A, B и C либо все трое присутствуют, либо все трое отсутствуют. Показать, что когда присутствует либо A, либо B, C и D либо оба присутствуют, либо оба отсутствуют. Какая часть данной информации является излишней в том, что касается желаемого вывода? [K.]

519. Дано (i) «Всякое Pqr есть ST»; (ii) «Q и R всегда присутствуют или отсутствуют вместе»; (iii) «Всякое QRS есть PT или pt»; (iv) «Всякое QRs есть Pt»; (v) «Всякое pqrS есть T»; тогда следует, что (1) «Всякое Pq есть rST»; (2) «Всякое Ps есть QRt»; (3) «Всякое pQ есть RSt»; (4) «Всякое pT есть qr»; (5) «Всякое Qs есть PRt»; (6) «Всякое QT есть PRS»; (7) «Всякое qS есть rT»; (8) «Всякое qs есть pr»; (9) «Всякое qt есть prs»; (10) «Всякое sT есть pqr». [K.]

520. Что можно определить о P в терминах Q и R из посылок «Всякое P есть Q или X», «Некоторое P не есть RX»? [K.]

521. Дано, что все честные люди счастливы и что все нечестные люди неразумны; и предполагая, что честный и нечестный, счастливый и несчастный, мудрый и неразумный являются парами логических противоречий; что можно вывести о людях, которые счастливы, несчастны, мудры, неразумны соответственно? [K.]

522. Если нерадивость и бедность неразделимы, а добродетель и страдание несовместимы, и если бережливость есть добродетель, можно ли доказать существование какой-либо связи между страданием и бедностью? Если, более того, все нерадивые люди либо добродетельны, либо не страдают, что из этого следует? [V.]

523. На некотором экзамене все кандидаты, записавшиеся на латынь, были также записаны либо на греческий, либо на французский, либо на немецкий, но не более чем на один из этих языков; все кандидаты, не записавшиеся на немецкий, были записаны по крайней мере на два из других языков; ни один кандидат, записавшийся и на греческий, и на французский, не был записан на немецкий, но все кандидаты, не записавшиеся ни на греческий, ни на французский, были записаны на латынь. Показать, что все кандидаты были записаны на два из четырех языков, но никто не был записан более чем на два. [K.]

524. (1) Где бы ни был дым, там есть также огонь или свет; (2) Где бы ни был свет и дым, там есть также огонь; (3) Нет огня без дыма или света.

523 Учитывая истинность вышеприведенных суждений, что вы можете вывести относительно (i) обстоятельств, где есть дым; (ii) обстоятельств, где нет дыма; (iii) обстоятельств, где нет света? [W.]

525. На некотором складе, когда предлагаемые товары антикварные, они дорогостоящие и в то же время либо красивые, либо гротескные, но не то и другое вместе. Когда они одновременно современные и гротескные, они не являются ни красивыми, ни дорогостоящими. Все, что не является красивым, предлагается по низкой цене, и ничто дешевое не является красивым. Что мы можем утверждать (1) об антикварных и (2) о гротескных товарах? [M.]

526. Показать, что следующие наборы суждений эквивалентны друг другу:— (1) «Всякое a есть b или c»; «Всякое b есть aCd»; «Всякое c есть aB»; «Всякое D есть c». (2) «Всякое A есть BC»; «Всякое b есть aC»; «Всякое C есть ABd или abd». (3) «Всякое A есть B»; «Всякое B есть A или c»; «Всякое c есть aB»; «Всякое D есть c». (4) «Всякое b есть aC»; «Всякое A есть C»; «Всякое C есть d»; «Всякое aC есть b». (5) «Всякое c есть aB»; «Всякое D есть aB»; «Всякое A есть B»; «Всякое aB есть c». (6) «Всякое A есть BC»; «Всякое BC есть A»; «Всякое D есть Bc»; «Всякое b есть C». [K.]

527. Показать, что определенный набор из четырех свойств должен где-то встречаться вместе, если известны следующие факты: «Все, что обладает первым свойством или лишено последнего, обладает двумя другими; и если все, что обладает и первым, и последним, обладает одним или другим, но не обоими из двух других, то нечто, обладающее первыми двумя, должно быть лишено последних двух». [J.]

528. Даны суждения: (i) все материальные блага являются внешними; (ii) никакие внутренние (= не внешние) блага не являются отчуждаемыми; (iii) все отчуждаемые блага являются присваиваемыми; (iv) никакие коллективные блага не являются присваиваемыми или нематериальными (= не материальными); что мы можем вывести о (a) присваиваемых благах, (b) нематериальных благах? [J.]

529. Исключить X и Y из следующих суждений: «Всякое aX есть BcY или bcy»; «Ни одно AX не есть BY»; «Всякое AB есть Y»; «Ни одно ABCD не есть xY». Показать также, что из этих суждений следует, что «Всякое XY есть Ab или aBc». [K.]

530. Дано (1) «Всякое A есть Bc или bC», (2) «Всякое B есть DE или de», (3) «Всякое C есть De»; показать, что (i) «Всякое A есть BcDE или Bcde или bCDe», (ii) «Всякое BcD есть E», (iii) «Всякое abd есть c», (iv) «Всякое cd есть ab или Be», (v) «Всякое bCD есть e». [Джевонс, «Чистая логика», § 160.]

524 531. Дано (1) «Всякое aB есть c или D», (2) «Всякое BE есть DF или cdF», (3) «Всякое C есть aB или BE или D», (4) «Всякое bD есть e или F», (5) «Всякое bf есть a или C или DE», (6) «Всякое bcdE есть Af или aF», (7) «Всякое A есть B или CDEf или cDf или cdE»; показать, что (i) «Всякое A есть B», (ii) «Всякое C есть D», (iii) «Всякое E есть F». [K.]

532. Показать эквивалентность между двумя следующими наборами суждений:

(1) All A is BC or BE or CE or D ; All B is ACDE or ACde or cdE ; All C is AB or AE or aD ; All D is ABCE or Ace or aC ; All E is AC or aCB or Bc. (2) All a is BcdE or bcde or bD ; All b is a or ce or dE ; All c is AbDe or abde or BdE ; All d is abce or BcE or Be or bE ; All e is ab or bc or d.[K.] 533. Дано

(1)All bc is DE or Df or hk, (2)All C is aB or DEFG or BFH, (3)All Bcd is eL or hk, (4)All Acf is d, (5)All k is BC or Cd or Cf or H, (6)All ABCDEFG is H or K, (7)All DEFGH is B, (8)All ABl is f or h, (9)All ADFKl is H, (10)All ADEFH is B or C or G or L ; показать, что «Всякое A есть L». [K.]

ГЛАВА VI.

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА. 534. Природа обратной задачи. — Под обратной задачей здесь понимается некоторая задача, так названная Джевонсом. Ее природа будет указана следующими выдержками, которые взяты из «Принципов науки» и «Исследований по дедуктивной логике» соответственно.

«В косвенном процессе вывода мы обнаружили, что из определенных суждений мы можем безошибочно определить комбинации терминов, согласующиеся с этими посылками. Индуктивная задача — это как раз обратная. Имея данные комбинации терминов, нам нужно установить суждения, с которыми они согласуются и из которых они могли произойти. Теперь, если читатель рассмотрит следующие комбинации,—

ABCabC aBCabc, он, вероятно, сразу вспомнит, что они принадлежат посылкам A = AB, B = BC. Если нет, ему потребуется несколько попыток, прежде чем он найдет правильный ответ, и каждая попытка будет состоять в допущении определенных законов и наблюдении, согласуются ли выведенные результаты с данными. Чтобы проверить легкость, с которой он может решить эту индуктивную задачу, пусть он случайно вычеркнет любую из возможных комбинаций, включающих три термина, и скажет, каким законам подчиняются оставшиеся комбинации. Пусть он скажет, например, какие законы воплощены в комбинациях,—

ABCaBC AbcabC, «Трудность становится намного больше, когда в комбинации входит больше терминов. Было бы нелегко указать полные условия, выполненные в комбинациях,—

ACe aBCe aBcdE abCe abcE. После некоторых усилий читатель может обнаружить, что основные законы — это C = e и A = Ae; но он вряд ли обнаружит оставшийся закон, а именно, что BD = BDe» («Принципы науки», 1-е изд., том I, стр. 144; 2-е изд., стр. 125).

«Обратная задача всегда является пробной и состоит в изобретении законов и попытке проверить, согласуются ли их результаты с теми, что перед нами» («Исследования по дедуктивной логике», стр. 252).

Задачу предпочтительнее сформулировать следующим образом:— Дано сложное суждение вида

«Все есть P1P2… или Q1Q2… или …»,

найти набор суждений, не включающий никакой альтернативной комбинации терминов, которые вместе были бы эквивалентны ему. 520

520 Задачу можно также сформулировать следующим образом:— Дано общеутвердительное сложное суждение, содержащее альтернативные термины, найти эквивалентное сложное конъюнктивное суждение, все детерминанты которого являются утвердительными и свободными от альтернативных терминов.

Можно заметить, что Джевонс не исключает определенно альтернативные термины в своих решениях обратных задач, хотя он обычно стремится их избегать. Задача, однако, не может быть определена с точностью, если такие термины явно не исключены.

Обратная задача в некотором смысле неопределенна, ибо мы можем найти ряд наборов суждений, не включающих никакой альтернативной комбинации терминов, которые точно эквивалентны по логической силе, и, следовательно, любая обратная задача может допускать ряд решений. Но нет необходимости прибегать к ряду догадок, чтобы решить любую обратную задачу, равно как и метод решения не нужно описывать как полностью пробный. Несколько систематических методов решения, применимых к любой обратной задаче, сформулированы в следующих разделах. Поскольку, однако, возможны более чем одно решение, некоторые из которых проще других, процесс можно рассматривать как более или менее пробный в той мере, в какой мы стремимся получить наиболее удовлетворительное решение.

Следующее может быть принято в качестве нашего критерия простоты. Сравнивая два эквивалентных набора суждений, не включающих никакой 527 альтернативной комбинации терминов, тот набор можно считать более простым, который содержит меньшее число суждений. Если каждый набор содержит одинаковое число суждений, тогда мы можем подсчитать число терминов, участвующих в их субъектах и предикатах вместе взятых, и считать более простым тот, который включает меньше терминов.

535. Общее решение обратной задачи. — Предположим, таким образом, что нам дано сложное суждение, включающее альтернативную комбинацию, и что мы должны найти набор суждений, не включающий альтернативную комбинацию, которые вместе были бы эквивалентны ему.

Данные могут быть записаны в форме

«Все есть P или Q или S или T или и т. д.»,

где P, Q и т. д. сами являются сложными терминами, включающими конъюнктивную, но не альтернативную комбинацию. 521

521 Суждение в своей первоначальной форме может допускать упрощение в соответствии с правилами, изложенными в главе 1. Как правило, будет выгодно прибегнуть к такому упрощению, прежде чем продолжать решение.

Путем контрапозиции один или несколько из этих сложных терминов могут быть перенесены из предиката в субъект, так что мы имеем

«Все, что не есть либо P, либо S, либо и т. д., есть Q или T или и т. д.»

Выбор определенных терминов для транспозиции таким способом является произвольным (и именно здесь становится очевидной неопределенность задачи); но обычно будет найдено лучшим взять два или три, которые имеют как можно больше общих детерминантов.

«Все, что не есть либо P, либо S, либо и т. д., есть Q или T или и т. д.»

будет, когда субъект записан в утвердительной форме, немедленно разрешимо в серию суждений, которые вместе дают всю информацию, первоначально данную. 522 Любые из этих суждений, которые все еще включают альтернативную комбинацию, могут быть обработаны таким же образом, пока не останется никакой альтернативной комбинации.

522 См. раздел 446.

Теперь мы останемся с набором суждений, которые удовлетворят требуемым условиям. Возможность различных упрощений, однако, должна быть рассмотрена. Таким образом, будет необходимо убедиться, что каждое из суждений само выражено в своей простейшей форме; 523 и наблюдать, допускают ли какие-либо два или более суждений простое рекомбинирование. 524 Может также оказаться, что некоторые из суждений могут быть полностью опущены, поскольку они ничего не добавляют к информации, совместно предоставляемой остальными; или что, рассматриваемые в их отношении к оставшимся суждениям, они могут, во всяком случае, быть упрощены путем опускания одного или нескольких терминов, которые они содержат. 525 Когда эти упрощения были доведены до предела, мы будем иметь наше окончательное решение. 526

523 Например, «Всякое AB есть BC» может быть сведено к «Всякое AB есть C».

524 Например, «Всякое ac есть d» и «Всякое Bc есть d» могут быть объединены в «Всякое cD есть Ab».

525 Таким образом, вместо суждений «Всякое AB есть CD» и «Всякое Ab есть C» мы можем подставить суждения «Всякое AB есть D» и «Всякое A есть C».

526 Можно заметить, что не является частью нашей цели получение набора суждений, которые были бы взаимно независимыми. На самом деле, обычно будет обнаружено, что максимальное упрощение включает повторение некоторых элементов информации. Таким образом, в примере, приведенном в предыдущем примечании, суждения «Всякое AB есть CD» и «Всякое Ab есть C» совершенно независимы друг от друга; но суждение «Всякое A есть C» делает излишней часть информации, данной суждением «Всякое AB есть D».