«Английские сочинения Томаса Гоббса, том 1»

В первую очередь, следовательно, если провести AV, пересекающую дугу BHD в X, а сторону DC в Z, я желаю, чтобы какой-нибудь аналитик, если может, дал причину, почему прямые линии TE и TC должны пересекать дугу BD, одна в Y, другая в X, так чтобы сделать дугу BY равной дуге YX; или если они не равны, чтобы он определил их разность.

Во-вторых, если на стороне DA взять прямую линию Da, равную DZ, и провести Va; почему Va и VB должны быть равны; или если они не равны, какова разность.

В-третьих, проведя Zb параллельно и равно стороне CB, пересекающую дугу BHD в c, и проведя прямую линию Ac и продолжив ее до BV в d; почему Ad должно быть равно и параллельно прямой линии aV, и, следовательно, равно также дуге BD.

В-четвертых, проведя eK, синус дуги BK, и взяв (на продолжении eA) ef, равное диагонали AC, и соединив fC; почему fC должно проходить через a (каковая точка будучи дана, длина дуги BHD также дана) и c; и почему fe и fc должны быть равны; или если нет, почему неравны.

В-пятых, проведя fZ, я желаю, чтобы он показал, почему оно равно BV или дуге BD; или если они не равны, какова их разность.

В-шестых, допуская, что fZ равно дуге BD, я желаю, чтобы он определил, лежит ли оно все вне дуги BCA, или пересекает ее, или касается ее, и в какой точке.

В-седьмых, по завершении полукруга BDg, почему проведенная и продолженная gI должна проходить через X, каковой точкой X определяется длина дуги BD. И тот же gI, будучи еще далее продолжен до DC в h, почему Ad, которое равно дуге BD, должно проходить через эту точку h.

В-восьмых, на центре квадрата ABCD, который пусть будет k, проведя дугу квадранта EiL, пересекающую продолженное eK в i, почему проведенная прямая линия iX должна быть параллельна стороне CD.

В-девятых, на сторонах BA и BC взяв gl и Bm, по отдельности равные половине BV или дуге BH, и проведя mn параллельно и равно стороне BA, пересекающую дугу BD в o, почему прямая линия, которая соединяет Vl, должна проходить через точку o.

В-десятых, я хотел бы знать от него, почему прямая линия, которая соединяет aH, должна быть равна Bm; или если нет, насколько она отличается от него.

Аналитик, который может решить эти задачи, не зная сначала длины дуги BD или не используя никакого другого известного метода, кроме того, который идет путем постоянной бисекции угла, или почерпнут из рассмотрения природы изгиба, сделает больше, чем способна выполнить обычная геометрия. Но если измерение круга нельзя найти никаким другим методом, тогда я либо нашел его, либо его вовсе нельзя найти.

Из известной длины дуги квадранта и из пропорционального деления дуги и касательной BC может быть выведено сечение угла в любой заданной пропорции; как также квадратура круга, квадратура заданного сектора и многие подобные пропозиции, которые здесь нет необходимости доказывать. Я, поэтому, лишь представлю прямую линию, равную спирали Архимеда, и на этом закончу это размышление.

The equation of the spiral of Archimedes with a strait line.

5. Длина периметра круга будучи найдена, найдена также та прямая линия, которая касается спирали в конце ее первого оборота. Ибо на центре A (на рис. 6) пусть будет описан круг BCDE; и в нем пусть будет проведена спираль Архимеда AFGHB, начинающаяся в A и заканчивающаяся в B. Через центр A пусть будет проведена прямая линия CE, пересекающая диаметр BD под прямыми углами; и пусть она будет продолжена до I, так что AI будет равно периметру BCDEB. Поэтому проведенная IB будет касаться спирали AFGHB в B; что доказано Архимедом в его книге «О спиралях».

А для прямой линии, равной данной спирали AFGHB, ее можно найти так.

Пусть прямая линия AI, которая равна периметру BCDE, будет бисектирована в K; и, взяв KL, равное радиусу AB, пусть будет завершен прямоугольник IL. Пусть ML будет пониматься как ось, а KL — как основание параболы, и пусть MK будет ее кривой линией. Теперь, если представить, что точка M движется под воздействием двух движителей, один из IM к KL со скоростью, возрастающей постоянно в той же пропорции со временем, другой из ML к IK равномерно, так что оба эти движения начинаются вместе в M и заканчиваются в K; Галилей доказал, что таким движением точки M будет описана кривая линия параболы. Снова, если представить, что точка A движется равномерно по прямой линии AB и в то же время переносится вокруг центра A круговым движением всех точек между A и B; Архимед доказал, что таким движением будет описана спиральная линия. И видя, что круги всех этих движений концентричны в A; и внутренний круг всегда меньше внешнего в пропорции времен, в которые AB проходится равномерным движением; скорость также кругового движения точки A будет постоянно возрастать пропорционально временам. И до сих пор порождения параболической линии MK и спиральной линии AFGHB подобны. Но равномерное движение в AB, совпадающее с круговым движением в периметрах всех концентрических кругов, описывает тот круг, чей центр есть A, а периметр — BCDE; и, следовательно, этот круг есть (согласно следствию ст. 1, гл. XVI) совокупность всех скоростей вместе взятых точки A, пока она описывает спираль AFGHB. Также прямоугольник IKLM есть совокупность всех скоростей вместе взятых точки M, пока она описывает кривую линию MK. И, следовательно, вся скорость, с которой описывается параболическая линия MK, относится ко всей скорости, с которой описывается спиральная линия AFGHB в то же время, как прямоугольник IKLM к кругу BCDE, то есть к треугольнику AIB. Но поскольку AI бисектировано в K, а прямые линии IM и AB равны, поэтому прямоугольник IKLM и треугольник AIB также равны. Посему спиральная линия AFGHB и параболическая линия MK, будучи описаны с равной скоростью и в равные времена, равны друг другу. Теперь, в первой статье гл. XVIII, найдена прямая линия, равная любой параболической линии. Посему также найдена прямая линия, равная данной спиральной линии первого оборота, описанной Архимедом; что и требовалось сделать.

Of the analysis of geometricians by the powers of lines.

6. В шестой главе, которая о методе, то, о чем я должен был там сказать об аналитике геометров, я счел уместным отложить, потому что я не мог бы быть там понят, так как не назвал тогда даже линий, поверхностей, тел, равных и неравных и т.д. Посему я изложу в этом месте свои мысли относительно этого.

Анализ есть непрерывное рассуждение от определений терминов пропозиции, которую мы предполагаем истинной, и снова от определений терминов этих определений, и так далее, пока мы не придем к некоторым известным вещам, композиция которых есть доказательство истинности или ложности первого предположения; и эта композиция или доказательство есть то, что мы называем синтезом. Analytica, следовательно, есть то искусство, посредством которого наш разум переходит от чего-то предполагаемого к принципам, то есть к первичным пропозициям, или к таким, которые известны из них, пока у нас не будет столько известных пропозиций, сколько достаточно для доказательства истинности или ложности предполагаемой вещи. Synthetica есть само искусство доказательства. Синтез, следовательно, и анализ различаются ничем, кроме как движением вперед или назад; и Logistica охватывает и то, и другое. Так что в анализе или синтезе любого вопроса, то есть любой задачи, термины всех пропозиций должны быть обратимыми; или если они сформулированы гипотетически, истинность следствия должна не только вытекать из истинности его антецедента, но, напротив, истинность антецедента должна необходимо выводиться из истинности следствия. Ибо иначе, когда путем разрешения мы приходим к принципам, мы не можем путем композиции вернуться прямо назад к искомой вещи. Ибо те термины, которые являются первыми в анализе, будут последними в синтезе; как, например, когда при разрешении мы говорим: эти два прямоугольника равны, и поэтому их стороны обратно пропорциональны, мы должны необходимо при композиции сказать: стороны этих прямоугольников обратно пропорциональны, и поэтому сами прямоугольники равны; чего мы не могли бы сказать, если бы «прямоугольники имеют стороны обратно пропорциональные» и «прямоугольники равны» не были терминами обратимыми.

Теперь в каждом анализе то, что ищется, есть пропорция двух величин; посредством которой пропорции, будучи описана фигура, искомая величина может быть представлена чувствам. И эта экспозиция есть конец и решение вопроса, или построение задачи.

И видя, что анализ есть рассуждение от чего-то предполагаемого, пока мы не придем к принципам, то есть к определениям или теоремам, ранее известным; и видя, что то же рассуждение стремится в последнем месте к некоторому уравнению, мы можем, следовательно, не делать конца разрешения, пока не придем наконец к самим причинам равенства и неравенства, или к теоремам, ранее доказанным из этих причин; и так иметь достаточное число тех теорем для доказательства искомой вещи.

И видя также, что конец аналитики есть либо построение такой задачи, которая возможна, либо обнаружение невозможности оной; когда бы задача ни могла быть решена, аналитик не должен останавливаться, пока не придет к тем вещам, которые содержат эффективную причину того, относительно чего он должен сделать построение. Но он должен по необходимости остановиться, когда придет к первичным пропозициям; и это есть определения. Эти определения, следовательно, должны содержать эффективную причину его построения; я говорю его построения, а не заключения, которое он доказывает; ибо причина заключения содержится в предпосланных пропозициях; то есть истинность пропозиции, которую он доказывает, выводится из пропозиций, которые доказывают оную. Но причина его построения — в самих вещах и состоит в движении или в стечении движений. Посему те пропозиции, в которых заканчивается анализ, суть определения, но такие, которые означают, каким образом происходит построение или порождение вещи. Ибо иначе, когда он пойдет назад путем синтеза к доказательству своей задачи, он не придет ни к какому доказательству вовсе; не будучи никакого истинного доказательства, кроме такого, которое является научным; и никакое доказательство не является научным, кроме того, которое исходит из знания причин, из которых выведено построение задачи. Чтобы собрать, следовательно, то, что было сказано, в немногих словах: АНАЛИЗ есть рассуждение от предполагаемого построения или порождения вещи к эффективной причине или коэффициентам причин того, что построено или порождено. А СИНТЕЗ есть рассуждение от первых причин построения, продолженное через все средние причины, пока мы не придем к самой вещи, которая построена или порождена.

Но поскольку существует много средств, которыми одна и та же вещь может быть порождена или одна и та же задача построена, поэтому ни все геометры, ни один и тот же геометр не используют всегда один и тот же метод. Ибо, если к некоторой данной величине требуется построить другую величину, равную ей, могут быть такие, которые будут спрашивать, нельзя ли это сделать посредством некоторого движения. Ибо существуют величины, равенство и неравенство которых могут быть аргументированы из движения и времени, так же как из конгруэнтности; и существует движение, посредством которого две величины, будь то линии или поверхности, хотя одна из них кривая, а другая прямая, могут быть сделаны конгруэнтными или совпадающими. И этот метод Архимед использовал в своей книге «О спиралях». Также равенство или неравенство двух величин может быть найдено и доказано из рассмотрения веса, как тот же Архимед делал в своей квадратуре параболы. Кроме того, равенство и неравенство часто обнаруживаются путем деления двух величин на части, которые рассматриваются как неделимые; как Кавальери Бонавентура делал в наше время, и Архимед часто. Наконец, то же самое выполняется путем рассмотрения степеней линий или корней этих степеней, и путем умножения, деления, сложения и вычитания, а также путем извлечения корней этих степеней, или путем нахождения, где заканчиваются прямые линии той же пропорции. Например, когда любое число прямых линий, сколько бы их ни было, проведено из прямой линии и все проходят через одну и ту же точку, посмотрите, какую пропорцию они имеют, и если их части, продолженные от точки, сохраняют везде ту же пропорцию, они все закончатся в прямой линии. И то же самое происходит, если точка взята между двумя кругами. Так что места всех их точек окончания образуют либо прямые линии, либо окружности кругов и называются плоскими местами. Так же, когда прямые параллельные линии приложены к одной прямой линии, если части прямой линии, к которой они приложены, относятся друг к другу в пропорции, дубликатной пропорции смежных приложенных линий, они все закончатся в коническом сечении; которое сечение, будучи местом их окончания, называется твердым местом, потому что оно служит для нахождения величины любого уравнения, которое состоит из трех измерений. Существует, следовательно, три способа нахождения причины равенства или неравенства между двумя данными величинами; а именно: во-первых, путем вычисления движений; ибо равным движением и равным временем описываются равные пространства; и взвешивание есть движение. Во-вторых, неделимыми: потому что все части вместе взятые равны целому. И в-третьих, степенями: ибо когда они равны, их корни также равны; и, напротив, степени равны, когда их корни равны. Но если вопрос сильно усложнен, не может быть ни одним из этих способов установлено верное правило, с предположения о какой из неизвестных величин анализ может лучше всего начаться; ни из разнообразия уравнений, которые поначалу появляются, какое нам лучше выбрать; но успех будет зависеть от ловкости, от ранее приобретенной науки и зачастую от удачи.

Ибо никто никогда не может быть хорошим аналитиком, не будучи сначала хорошим геометром; и правила анализа не делают геометра, как делает синтез; который начинается с самых элементов и продолжается путем логического использования оных. Ибо истинное обучение геометрии — путем синтеза, согласно методу Евклида; и тот, кто имеет Евклида своим учителем, может быть геометром без Виета, хотя Виет был достойнейшим геометром; но тот, кто имеет Виета своим учителем, не так, без Евклида.

Что же касается той части анализа, которая работает с помощью степеней, то, хотя некоторые геометры и не считают ее главным способом решения всех задач, она не имеет большого охвата, поскольку вся содержится в учении о прямоугольниках и прямоугольных телах. Так что, хотя они и приходят к уравнению, определяющему искомую величину, иногда они не могут с помощью искусства представить эту величину на плоскости, а лишь в некотором коническом сечении; то есть, как говорят геометры, не геометрически, а механически. Такие задачи они называют солидными; а когда они не могут представить искомую величину с помощью конического сечения, они называют ее линейной задачей. И поэтому в величинах углов и дуг кругов нет никакого применения аналитике, которая оперирует степенями; так что древние объявляли невозможным представить на плоскости деление углов, за исключением бисекции и бисекции разделенных частей, иначе как механически. Ибо Папп (перед 31-й пропозицией своего четвертого книги), различая и определяя различные виды задач, говорит, что «одни являются плоскими, другие солидными, а третьи линейными. Те, следовательно, которые могут быть решены с помощью прямых линий и окружностей кругов (то есть которые могут быть описаны с помощью линейки и циркуля без какого-либо другого инструмента), справедливо называются плоскими; ибо линии, с помощью которых находятся такие задачи, имеют свое порождение на плоскости. Но те, которые решаются с помощью использования одного или нескольких конических сечений при их построении, называются солидными, потому что их построение не может быть выполнено без использования поверхности твердых тел, а именно конусов. Остается третий вид, который называется линейным, потому что в их построении используются другие линии, помимо уже упомянутых, и т. д.». И немного далее он говорит: «К этому виду относятся спиральные линии, квадратрисы, конхоиды и циссоиды. И геометры считают немалой ошибкой, когда для нахождения плоской задачи кто-либо использует конические сечения или новые линии». Теперь он причисляет трисекцию угла к солидным задачам, а квинтусекцию — к линейным. Но что же! Следует ли винить древних геометров, которые использовали квадратрису для нахождения прямой линии, равной дуге круга? И сам Папп, был ли он неправ, когда нашел трисекцию угла с помощью гиперболы? Или я неправ, полагая, что нашел построение обеих этих задач только с помощью линейки и циркуля? Ни они, ни я. Ибо древние использовали этот анализ, который оперирует степенями; и у них считалось ошибкой делать то с помощью более отдаленной степени, что могло быть сделано с помощью более близкой; поскольку это было аргументом того, что они недостаточно понимали природу самой вещи.

Сила этого вида анализа состоит в изменении, повороте и перебрасывании прямоугольников и аналогизмов; и мастерство аналитиков — это чистая логика, с помощью которой они способны методично находить все, что скрыто либо в субъекте, либо в предикате искомого заключения. Но это не относится собственно к алгебре или аналитике специозной, символической или коссической, которые являются, если можно так выразиться, брахиграфией аналитики и искусством не обучения или изучения геометрии, а краткой и быстрой регистрации открытий геометров. Ибо, хотя легко рассуждать с помощью символов об очень отдаленных пропозициях, я не знаю, заслуживает ли такое рассуждение того, чтобы считаться очень полезным, когда оно ведется без каких-либо идей о самих вещах.

ГЛ. XX. О трансляции. Рис. 1-2

ГЛ. XX. О трансляции. Рис. 3

ГЛ. XX. О трансляции. Рис. 4

ГЛ. XX. О трансляции. Рис. 5-6

ГЛАВА XXI. О КРУГОВОМ ДВИЖЕНИИ.

1. При простом движении каждая прямая линия, взятая в движущемся теле, переносится так, что она всегда параллельна тем местам, в которых она находилась ранее. — 2. Если круговое движение совершается вокруг покоящегося центра и в этом круге имеется эпицикл, обращение которого совершается в обратную сторону таким образом, что за равные времена он описывает равные углы, то каждая прямая линия, взятая в этом эпицикле, будет переноситься так, что она всегда будет параллельна тем местам, в которых она находилась ранее. — 3. Свойства простого движения. — 4. Если жидкость движется простым круговым движением, все точки, взятые в ней, будут описывать свои круги за времена, пропорциональные расстояниям от центра. — 5. Простое движение рассеивает гетерогенные и собирает гомогенные тела. — 6. Если круг, образованный движителем, движущимся простым движением, соизмерим с другим кругом, образованным точкой, которая переносится тем же движителем, то все точки обоих кругов в какое-то время вернутся в то же положение. — 7. Если сфера совершает простое движение, ее движение будет тем сильнее рассеивать гетерогенные тела, чем дальше оно от полюсов. — 8. Если простое круговое движение жидкого тела затруднено телом, которое не является жидким, жидкое тело будет распространяться по поверхности этого тела. — 9. Круговое движение вокруг фиксированного центра отбрасывает по касательной те вещи, которые лежат на окружности и не прилипают к ней. — 10. Вещи, которые движутся простым круговым движением, порождают простое круговое движение. — 11. Если то, что так движется, имеет одну сторону твердую, а другую жидкую, его движение не будет идеально круговым.

In simple motion, every strait line taken in the body moved is so carried, that it is always parallel to the places in which it formerly was.

1. Я уже определил простое движение как такое, при котором различные точки, взятые в движущемся теле, за различные равные времена описывают различные равные дуги. И поэтому при простом круговом движении необходимо, чтобы каждая прямая линия, взятая в движущемся теле, всегда переносилась параллельно самой себе; что я и доказываю следующим образом.

Во-первых, пусть A B (на первом рисунке) будет любой прямой линией, взятой в любом твердом теле; и пусть A D будет любой дугой, проведенной на любом центре C и радиусе CA. Пусть точка B описывает в ту же сторону дугу B E, подобную и равную дуге A D. Теперь, за то же время, в которое точка A проходит дугу A D, точка B, которая по причине своего простого движения предполагается движущейся со скоростью, равной скорости A, пройдет дугу B E; и в конце того же времени все A B будет находиться в D E; и поэтому A B и D E равны. И поскольку дуги A D и B E подобны и равны, их стягивающие прямые линии AD и BE также будут равны; и поэтому четырехсторонняя фигура A B D E будет параллелограммом. Следовательно, A B переносится параллельно самой себе. И то же самое может быть доказано тем же методом, если любая другая прямая линия будет взята в том же движущемся теле, в котором была взята прямая линия A B. Таким образом, все прямые линии, взятые в теле, движущемся простым круговым движением, будут переноситься параллельно самим себе.

Следствие I. Очевидно, что то же самое произойдет и в любом теле, которое имеет простое движение, хотя и не круговое. Ибо все точки любой прямой линии будут описывать линии, хотя и не круговые, но равные; так что, хотя кривые линии A D и B E были не дугами кругов, а парабол, эллипсов или любых других фигур, все же и они, и их хорды, и прямые линии, которые их соединяют, были бы равны и параллельны.

Следствие II. Также очевидно, что радиусы равных кругов A D и B E или ось сферы будут переноситься так, чтобы всегда быть параллельными тем местам, в которых они находились ранее. Ибо прямая линия B F, проведенная к центру дуги B E, будучи равной радиусу A C, будет также равна прямой линии F E или C D; и угол B F E будет равен углу A C D. Теперь, поскольку пересечение прямых линий C A и B E находится в G, угол C G E (поскольку B E и A D параллельны) будет равен углу D A C. Но угол E B F равен тому же углу D A C; и поэтому углы C G E и E B F также равны. Следовательно, A C и B F параллельны; что и требовалось доказать.

If circular motion be made about a resting centre, and in that circle there be an epicycle whose revolution is made the contrary way, in such manner that in equal times it make equal angles, every strait line taken in that epicycle will be so carried, that it will always be parallel to the places in which it formerly was.

2. Пусть дан круг (на втором рисунке), центр которого A, а радиус A B; и на центре B и любом радиусе B C пусть будет описан эпицикл C D E. Пусть центр B переносится вокруг центра A, а весь эпицикл вместе с ним, пока он не совпадет с кругом F G H, центр которого I; и пусть B A I будет любой заданный угол. Но за то время, пока центр B перемещается в I, пусть эпицикл C D E совершает обратное вращение вокруг своего собственного центра, а именно от E через D к C, согласно тем же пропорциям; то есть таким образом, чтобы в обоих кругах за равные времена совершались равные углы. Я утверждаю, что E C, ось эпицикла, всегда будет переноситься параллельно самой себе. Пусть угол F I G будет равен углу B A I; следовательно, I F и A B будут параллельны; и насколько ось A G отклонилась от своего прежнего места A C (мерой которого является угол C A G или C B D, который я предполагаю равным ему), настолько же за то же время ось I G, совпадающая с B C, отклонилась от своего прежнего положения. Следовательно, за то время, за которое B C приходит в I G движением от B к I вокруг центра A, за то же время G придет в F обратным движением эпицикла; то есть он будет повернут назад к F, и I G будет лежать в I F. Но углы F I G и G A C равны; и поэтому A C, то есть B C, и I F (то есть ось, хотя и в разных местах) будут параллельны. Следовательно, ось эпицикла E D C будет всегда переноситься параллельно самой себе; что и требовалось доказать.

Следствие. Отсюда очевидно, что те два годовых движения, которые Коперник приписывает Земле, сводимы к этому одному круговому простому движению, посредством которого все точки движущегося тела переносятся всегда с равной скоростью, то есть за равные времена они совершают равные обороты равномерно.

Это, будучи самым простым, является также самым частым из всех круговых движений; оно такое же, какое используют все люди, когда вращают что-либо своими руками, как они делают при помоле или просеивании. Ибо все точки движущейся вещи описывают линии, которые подобны и равны друг другу. Так что если бы у человека была линейка, в которой закреплено много перьев равной длины, он мог бы этим одним движением написать много линий сразу.

Properties of simple motion.

3. Показав, что такое простое движение, я изложу здесь также некоторые его свойства.

Во-первых, когда тело движется простым движением в жидкой среде, в которой нет пустоты, оно изменяет положение всех частей окружающей жидкости, которые сопротивляются его движению; я утверждаю, что нет таких малых частей окружающей жидкости, как бы далеко она ни простиралась, которые не изменяли бы своего положения таким образом, что они постоянно оставляют свои места другим малым частям, которые приходят на их место.

Ибо (на том же втором рисунке) пусть любое тело, как K L M N, движется простым круговым движением; и пусть круг, который описывает каждая его точка, имеет любую определенную величину, предположим, что такую же, как K L M N. Следовательно, центр A и каждая другая точка, и, следовательно, само движущееся тело, будут переноситься иногда к стороне, где находится K, а иногда к другой стороне, где находится M. Когда, следовательно, оно переносится к K, части жидкой среды с той стороны будут отступать; и, предполагая, что все пространство заполнено, другие с другой стороны будут следовать за ними. И так будет, когда тело переносится к стороне M, и к N, и во все стороны. Теперь, когда ближайшие части жидкой среды отступают, необходимо, чтобы части, прилегающие к этим ближайшим частям, также отступали; и, все еще предполагая, что все пространство заполнено, другие части будут приходить на их места с постоянной и бесконечной последовательностью. Следовательно, все, даже самые малые части жидкой среды, меняют свои места и т. д. Что и требовалось доказать.

Отсюда очевидно, что простое движение, круговое или некруговое, тел, которые совершают постоянные возвраты к своим прежним местам, имеет большую или меньшую силу для рассеивания частей сопротивляющихся тел, в зависимости от того, насколько оно быстрее или медленнее, и от того, имеют ли описываемые линии большую или меньшую величину. Теперь наибольшую скорость, которая может быть, можно понимать как имеющуюся в наименьшем круге, а наименьшую — в наибольшем; и это можно предполагать, когда есть необходимость.

If a fluid be moved with simple circular motion, all the points taken in it will describe their circles in times proportional to the distances from the centre.

4. Во-вторых, предполагая то же простое движение в воздухе, воде или другой жидкой среде, части среды, которые прилипают к движущемуся телу, будут переноситься вместе с тем же движением и скоростью, так что за любое время, за которое любая точка движителя завершает свой круг, за то же время каждая часть среды, которая прилипает к движителю, также опишет такую часть своего круга, которая равна целому кругу движителя; я утверждаю, что она опишет часть, а не целый круг, потому что все ее части получают свое движение от внутреннего концентрического движителя, а из концентрических кругов внешние всегда больше внутренних; и движение, отпечатанное любым движителем, не может быть большей скорости, чем скорость самого движителя. Откуда следует, что более удаленные части окружающей жидкости будут завершать свои круги за времена, которые имеют друг к другу ту же пропорцию, что и их расстояния от движителя. Ибо каждая точка окружающей жидкости, пока она касается тела, которое переносит ее, переносится вместе с ним и описывала бы тот же круг, если бы она не отставала настолько, насколько внешний круг превышает внутренний. Так что если мы предположим, что какая-то вещь, которая не является жидкой, плавает в той части окружающей жидкости, которая ближе всего к движителю, она будет переноситься вместе с движителем. Теперь та часть окружающей жидкости, которая не является ближайшей, но почти ближайшей, получая свою степень скорости от ближайшей, которая не может быть больше, чем она была у дающего, поэтому за то же время совершает круговую линию, не целый круг, но равную целому кругу ближайшей. Поэтому за то же время, за которое движитель описывает свой круг, то, что не касается его, не опишет свой круг; все же оно опишет такую его часть, которая равна целому кругу движителя. И таким же образом более удаленные части окружающей среды будут описывать за то же время такие части своих кругов, которые будут по отдельности равны целому кругу движителя; и, следовательно, они будут завершать свои целые круги за времена, пропорциональные их расстояниям от движителя; что и требовалось доказать.

Simple motion dissipates heterogeneous and congregates

homogeneous bodies.

5. В-третьих, то же простое движение тела, помещенного в жидкую среду, собирает или объединяет в одном месте такие вещи, которые естественно плавают в этой среде, если они гомогенны; а если они гетерогенны, оно разделяет и рассеивает их. Но если такие вещи, которые гетерогенны, не плавают, а оседают, то то же движение взбалтывает и беспорядочно перемешивает их вместе. Ибо, видя, что тела, которые не похожи друг на друга, то есть гетерогенные тела, не являются непохожими в том, что они тела; ибо тела, как тела, не имеют различия; но только от какой-то особой причины, то есть от какого-то внутреннего движения или движений их мельчайших частей (ибо я показал в гл. IX, ст. 9, что всякое изменение есть такое движение), остается, что гетерогенные тела имеют свою непохожесть или различие друг от друга от своих внутренних или специфических движений. Теперь тела, которые имеют такое различие, получают непохожие и различные движения от одного и того же внешнего общего движителя; и поэтому они не будут двигаться вместе, то есть они будут рассеяны. И будучи рассеянными, они обязательно в какое-то время встретятся с телами, похожими на них самих, и будут двигаться одинаково и вместе с ними; и впоследствии, встречая больше тел, похожих на них самих, они объединятся и станут большими телами. Поэтому гомогенные тела собираются, а гетерогенные рассеиваются простым движением в среде, где они естественно плавают. Опять же, такие, которые, находясь в жидкой среде, не плавают, а тонут, если движение жидкой среды достаточно сильное, будут взболтаны и унесены этим движением, и, следовательно, им будет помешано вернуться в то место, в которое они тонут естественно и в котором только они объединились бы, и из которого они беспорядочно уносятся; то есть они беспорядочно перемешиваются.

Теперь это движение, посредством которого гомогенные тела собираются, а гетерогенные рассеиваются, есть то, что обычно называют ферментацией, от латинского fervere; как у греков есть их Ζύμη, что означает то же самое, от Ζέω ferveo. Ибо кипение заставляет все части воды менять свои места; и части любой вещи, которая брошена в нее, будут идти разными путями согласно их разным природам. И все же не всякое волнение или кипение вызвано огнем; ибо молодое вино и многие другие вещи также имеют свою ферментацию и волнение, к которым огонь вносит малый вклад, а иногда и никакой. Но когда при ферментации мы находим тепло, оно создается ферментацией.

If a circle made by a movent moved with simple motion, be commensurable to another circle made by a point which is carried about by the same movent, all the points of both the circles will at some time return to the same situation.

6. В-четвертых, за любое время, за которое движитель, центр которого A (на рис. 2), движущийся в K L N, совершит любое число оборотов, то есть когда периметры B I и K L N соизмеримы, опишет линию, равную кругу, который проходит через точки B и I, за то же время все точки плавающего тела, центр которого B, вернутся к тому же положению по отношению к движителю, из которого они вышли. Ибо, видя, что как расстояние B A, то есть как радиус круга, который проходит через B I, относится к самому периметру B I, так радиус круга K L N относится к периметру K L N; и видя, что скорости точек B и K равны, время также оборота в I B ко времени одного оборота в K L N будет как периметр B I к периметру K L N; и поэтому столько оборотов в K L N, сколько в сумме равны периметру B I, будет завершено за то же время, в которое завершается весь периметр B I; и поэтому также точки L, N, F и H, или любые другие, за то же время вернутся к тому же положению, из которого они вышли; и это может быть доказано, какие бы точки ни рассматривались. Поэтому все точки за это время вернутся к тому же положению; что и требовалось доказать.

Отсюда следует, что если периметры B I и L K N не соизмеримы, то все точки никогда не вернутся к тому же положению или конфигурации по отношению друг к другу.

If a sphere have simple motion, its motion will more dissipate heterogeneous bodies by how much it is more remote from the poles.

7. При простом движении, если движущееся тело имеет сферическую форму, оно имеет меньшую силу по направлению к своим полюсам, чем по направлению к своей середине, чтобы рассеивать гетерогенные или собирать гомогенные тела.

Пусть будет сфера (как на третьем рисунке), центр которой A, а диаметр B C; и пусть она мыслится движущейся простым круговым движением; осью которого пусть будет прямая линия D E, пересекающая диаметр B C под прямыми углами в A. Пусть теперь круг, который описывается любой точкой B сферы, имеет B F своим диаметром; и, взяв F G равным B C и разделив его пополам в H, центр сферы A будет, когда завершится половина оборота, находиться в H. И видя, что H F и A B равны, круг, описанный на центре H с радиусом H F или H G, будет равен кругу, центр которого A, а радиус A B. И если то же движение будет продолжено, точка B в конце другого полуоборота вернется к месту, откуда она начала двигаться; и поэтому в конце полуоборота точка B будет перенесена в F, а все полушарие D B E — в то полушарие, в котором находятся точки L, K и F. Поэтому та часть жидкой среды, которая прилегает к точке F, за то же время отступит на длину прямой линии B F; и при возвращении точки F к B, то есть G к C, жидкая среда отступит настолько же по прямой линии от точки C. И это есть эффект простого движения в середине сферы, где расстояние от полюсов наибольшее. Пусть теперь точка I будет взята в той же сфере ближе к полюсу E, и через нее пусть будет проведена прямая линия I K параллельно прямой линии B F, пересекающая дугу F L в K, а ось H L в M; затем, соединив H K, на H F пусть будет проведен перпендикуляр K N. За то же время, следовательно, за которое B приходит в F, точка I придет в K, так как B F и I K равны и описываются с той же скоростью. Теперь движение в I K к жидкой среде, на которую оно воздействует, а именно к той части среды, которая прилегает к точке K, является косым, тогда как если бы оно продолжалось по прямой линии H K, оно было бы перпендикулярным; и поэтому движение, которое продолжается в I K, имеет меньшую силу, чем то, которое продолжается в H K с той же скоростью. Но движения в H K и H F одинаково отталкивают среду; и поэтому часть сферы в K движет среду меньше, чем часть в F, а именно настолько меньше, насколько K N меньше H F. Поэтому также то же движение имеет меньшую силу для рассеивания гетерогенных и собирания гомогенных тел, когда оно ближе, чем когда оно дальше от полюсов; что и требовалось доказать.

Следствие. Также необходимо, чтобы в плоскостях, которые перпендикулярны оси и более удалены, чем сам полюс, от середины сферы, это простое движение не имело никакого эффекта. Ибо ось D E при простом движении описывает поверхность цилиндра; и по направлению к основаниям цилиндра в этом движении нет никакого стремления вообще.

If a simple circular motion of a fluid body be hindered by a body which is not fluid, the fluid body will spread itself upon the superficies of that body.

8. Если в жидкой среде, движущейся, как было сказано, простым движением, мыслится плавающим какое-то другое сферическое тело, которое не является жидким, части среды, которые остановлены этим телом, будут стремиться распространиться во все стороны по поверхности его. И это достаточно очевидно из опыта, а именно из распространения воды, вылитой на мостовую. Но причина этого может быть такой. Видя, что сфера A (на рис. 3) движется к B, среда, в которой она движется, также будет иметь то же движение. Но поскольку в этом движении она падает на тело, не являющееся жидким, как G, так что она не может продолжать движение; и видя, что малые части среды не могут идти вперед, и не могут идти прямо назад против силы движителя; остается, следовательно, что они распространяются по поверхности этого тела, как к O и P; что и требовалось доказать.

Circular motion about a fixed centre casteth off by the tangent such things as lie upon the circumference & stick not to it.

9. Составное круговое движение, в котором все части движущегося тела одновременно описывают окружности, некоторые большие, другие меньшие, согласно пропорции их различных расстояний от общего центра, переносит вместе с собой такие тела, которые, не будучи жидкими, прилипают к телу, так движущемуся; а те, которые не прилипают, оно отбрасывает вперед по прямой линии, которая является касательной к точке, из которой они отбрасываются.

Ибо пусть будет круг, радиус которого A B (на рис. 4); и пусть тело будет помещено в окружности в B, которое, если оно закреплено там, будет обязательно переноситься вместе с ним, что очевидно само по себе. Но пока движение продолжается, предположим, что это тело не закреплено в B. Я утверждаю, что тело продолжит свое движение по касательной B C. Ибо пусть и радиус A B, и сфера B мыслятся состоящими из твердой материи; и предположим, что радиус A B ударен в точке B каким-то другим телом, которое падает на него по касательной D B. Теперь, следовательно, будет движение, совершенное соединением двух вещей: одна — стремление к C по прямой линии D B, продолженной, по которой тело B продолжало бы движение, если бы оно не удерживалось радиусом A B; другая — само удержание. Но удержание само по себе не вызывает никакого стремления к центру; и, следовательно, удержание будучи снятым, что делается откреплением B, останется только одно стремление в B, а именно то, что по касательной B C. Следовательно, движение тела B, не закрепленного, продолжится по касательной B C; что и требовалось доказать.

Из этой демонстрации очевидно, что круговое движение вокруг неподвижной оси стряхивает и удаляет дальше от центра своего движения такие вещи, которые касаются, но не прилипают крепко к его поверхности; и тем больше, чем больше расстояние от полюсов кругового движения; и также тем больше, чем меньше вещи, которые стряхиваются, прижимаются к центру окружающей жидкостью по другим причинам.

Such things as are moved with simple circular motion, beget simple circular motion.

10. Если в жидкой среде сферическое тело движется простым круговым движением, и в той же среде плавает другая сфера, материя которой не является жидкой, эта сфера также будет двигаться простым круговым движением.

Пусть B C D (на рис. 5) будет круг, центр которого A, и в окружности которого находится сфера, движущаяся так, что она описывает простым движением периметр B C D. Пусть также E F G будет другая сфера из консистентной материи, полудиаметр которой E H, а центр H; и с радиусом A H пусть будет описан круг H I. Я утверждаю, что сфера E F G будет, движением тела в B C D, двигаться в окружности H I простым движением.

Ибо видя, что движение в B C D (по ст. 4 этой главы) заставляет все точки жидкой среды описывать за то же время круговые линии, равные друг другу, точки E, H и G прямой линии E H G будут за то же время описывать с равными радиусами равные круги. Пусть E B будет проведена равной и параллельной прямой линии A H; и пусть A B будет соединена, которая поэтому будет равна и параллельна E H; и поэтому также, если на центре B и радиусе B E будет проведена дуга E K, равная дуге H I, и будут проведены прямые линии A I, B K и I K, B K и A I будут равны; и они будут также параллельны, потому что две дуги E K и H I, то есть два угла K B E и I A H, равны; и, следовательно, прямые линии A B и K I, которые соединяют их, будут также равны и параллельны. Следовательно, K I и E H параллельны. Видя, следовательно, что E и H переносятся за то же время в K и I, вся прямая линия I K будет параллельна E H, от которой она отошла. И, следовательно, видя, что сфера E F G предполагается из консистентной материи, так что все ее точки сохраняют всегда то же положение, необходимо, чтобы каждая другая прямая линия, взятая в той же сфере, переносилась всегда параллельно тем местам, в которых она находилась ранее. Следовательно, сфера E F G движется простым круговым движением; что и требовалось доказать.

If that which is so moved have one side hard and the other side fluid, its motion will not be perfectly circular.

11. Если в жидкой среде, части которой взболтаны телом, движущимся простым движением, плавает другое тело, которое имеет свою поверхность либо полностью твердой, либо полностью жидкой, части этого тела будут приближаться к центру одинаково со всех сторон; то есть движение тела будет круговым и концентричным с движением движителя. Но если оно имеет одну сторону твердую, а другую жидкую, тогда оба эти движения не будут иметь одного и того же центра, и плавающее тело не будет двигаться в окружности идеального круга.

Пусть тело движется в окружности круга K L M N (на рис. 2), центр которого A. И пусть будет другое тело в I, поверхность которого либо вся твердая, либо вся жидкая. Также пусть среда, в которой помещены оба эти тела, будет жидкой. Я утверждаю, что тело в I будет двигаться в круге I B вокруг центра A. Ибо это было доказано в последней статье.

Поэтому пусть поверхность тела в I будет жидкой с одной стороны и твердой с другой. И сначала пусть жидкая сторона будет по направлению к центру. Видя, следовательно, что движение среды таково, что ее части постоянно меняют свои места (как было показано в ст. 5); если это изменение места рассматривается в тех частях среды, которые прилегают к жидкой поверхности, необходимо, чтобы малые части этой поверхности входили в места малых частей среды, которые прилегают к ним; и подобное изменение места будет совершаться со следующими прилегающими частями по направлению к A. И если жидкие части тела в I имеют хоть какую-то степень цепкости (ибо есть степени цепкости, как в воздухе и воде), вся жидкая сторона будет немного приподнята, но тем меньше, чем меньше цепкости имеют ее части; тогда как твердая часть поверхности, которая прилегает к жидкой части, не имеет никакой причины вообще для подъема, то есть никакого стремления к A.

Во-вторых, пусть твердая поверхность тела в I будет по направлению к A. По причине, следовательно, сказанного изменения места частей, которые прилегают к ней, твердая поверхность должна, по необходимости, видя, что по предположению нет пустого пространства, либо подойти ближе к A, либо ее мельчайшие части должны восполнить прилегающие места среды, которые иначе были бы пустыми. Но это не может быть по причине предполагаемой твердости; и, следовательно, другое должно быть, а именно, что тело подходит ближе к A. Следовательно, тело в I имеет большее стремление к центру A, когда его твердая сторона рядом с ним, чем когда она отвернута от него. Но тело в I, пока оно движется в окружности круга I B, имеет иногда одну сторону, иногда другую, повернутую к центру; и, следовательно, оно иногда ближе, иногда дальше от центра A. Следовательно, тело в I не переносится в окружности идеального круга; что и требовалось доказать.

Том 1. Лат. и англ. ГЛ. XXI. Рис. 1-5

Fig 1. Fig 2. Fig 3. Fig 4. Fig 5.

ГЛАВА XXII. О ДРУГОМ РАЗНООБРАЗИИ ДВИЖЕНИЯ.

1. Стремление и давление, как они различаются. — 2. Два вида сред, в которых движутся тела. — 3. Распространение движения, что это такое. — 4. Какое движение имеют тела, когда они давят друг на друга. — 5. Жидкие тела, когда они сдавлены вместе, проникают друг в друга. — 6. Когда одно тело давит другое и не проникает его, действие давящего тела перпендикулярно поверхности сдавленного тела. — 7. Когда твердое тело, давя другое тело, проникает его, оно не проникает его перпендикулярно, если только не падает перпендикулярно на него. — 8. Движение иногда противоположно движению движителя. — 9. В полной среде движение распространяется на любое расстояние. — 10. Дилатация и контракция, что это такое. — 11. Дилатация и контракция предполагают изменение мельчайших частей в отношении их положения. — 12. Всякое тяжение есть пульсия. — 13. Такие вещи, которые, будучи сдавлены или согнуты, восстанавливают себя, имеют движение в своих внутренних частях. — 14. Хотя то, что несет другое, остановлено, переносимое тело продолжит движение. — 15, 16. Эффекты перкуссии не сравнимы с эффектами веса. — 17, 18. Движение не может начаться сначала во внутренних частях тела. — 19. Действие и реакция происходят на одной и той же линии. — 20. Привычка, что это такое.

Endeavour and pressure how they differ.

1. Я уже (глава XV, ст. 2) определил стремление как движение через некоторую длину, хотя и рассматриваемое не как длина, а как точка. Поэтому, есть ли сопротивление или нет сопротивления, стремление все равно будет тем же. Ибо просто стремиться — значит идти. Но когда два тела, имея противоположные стремления, давят друг на друга, тогда стремление любого из них есть то, что мы называем давлением, и оно взаимно, когда их давления противоположны.

Two kinds of mediums in which bodies are moved.

2. Движущиеся тела, а также среды, в которых они движутся, бывают двух видов. Ибо либо они имеют свои части сцепленными таким образом, что никакая часть движущегося тела не уступит легко движителю, если не уступит и все тело, и такие вещи мы называем твердыми: или же их части, пока целое остается неподвижным, будут легко уступать движителю, и эти мы называем жидкими или мягкими телами. Ибо слова жидкий, мягкий, жесткий и твердый, так же как великий и малый, используются только сравнительно; и не являются разными видами, а разными степенями качества.

Propagation of motion, what it is.

3. Делать и страдать — значит двигать и быть движимым; и ничто не движется, кроме как тем, что касается его и также движется, как было показано ранее. И как бы велика ни была дистанция, мы говорим, что первый движитель движет последнее движимое тело, но опосредованно; а именно так, что первый движет второго, второй — третьего и так далее, пока последнее из всех не будет затронуто. Когда, следовательно, одно тело, имея противоположное стремление к другому телу, движет его, а то движет третье и так далее, я называю это действие распространением движения.

What motion bodies have when they press one another.

4. Когда два жидких тела, которые находятся в свободном и открытом пространстве, давят друг на друга, их части будут стремиться или двигаться по направлению к сторонам; не только те части, которые находятся там, где есть взаимный контакт, но и все другие части. Ибо при первом контакте части, которые сдавлены обоими стремящимися телами, не имеют места ни вперед, ни назад, в котором они могут двигаться; и поэтому они вытесняются по направлению к сторонам. И это вытеснение, когда силы равны, происходит по линии, перпендикулярной давящим телам. Но когда бы передние части обоих тел ни были сдавлены, задние также должны быть сдавлены в то же время; ибо движение задних частей не может в одно мгновение быть остановлено сопротивлением передних частей, но продолжается некоторое время; и поэтому, видя, что они должны иметь какое-то место, в котором они могут двигаться, и что нет места вообще для них вперед, необходимо, чтобы они были перемещены в места, которые находятся по направлению к сторонам во все стороны. И этот эффект следует по необходимости, не только в жидких, но и в консистентных и твердых телах, хотя это не всегда очевидно для чувства. Ибо хотя от сжатия двух камней мы не можем глазами различить никакого раздувания наружу по направлению к сторонам, как мы замечаем в двух телах из воска; все же мы знаем достаточно хорошо разумом, что какая-то опухоль должна быть там, хотя она и мала.

Fluid bodies, when they are pressed together, penetrate one another.

5. Но когда пространство замкнуто и оба тела жидкие, они, если будут сдавлены вместе, проникнут друг в друга, хотя и по-разному, согласно их разным стремлениям. Ибо предположим полый цилиндр из твердой материи, хорошо закрытый с обоих концов, но наполненный сначала внизу каким-то тяжелым жидким телом, как ртуть, а сверху водой или воздухом. Если теперь дно цилиндра будет повернуто вверх, тяжелейшее жидкое тело, которое теперь наверху, имея величайшее стремление вниз и будучи твердыми сторонами сосуда удержано от расширения в стороны, должно по необходимости либо быть принято более легким телом, чтобы оно могло погрузиться сквозь него, либо оно должно открыть проход сквозь себя, по которому более легкое тело может подняться. Ибо из двух тел то, части которого легче всего разделяются, будет первым разделено; что будучи сделано, нет необходимости, чтобы части другого претерпели какое-либо разделение вообще. И поэтому, когда две жидкости, которые заключены в одном и том же сосуде, меняют свои места, нет нужды, чтобы их мельчайшие части были смешаны друг с другом; ибо путь будучи открыт сквозь одну из них, части другой не нуждаются в разделении.

Теперь, если жидкое тело, которое не замкнуто, давит твердое тело, его стремление действительно будет по направлению к внутренним частям этого твердого тела; но будучи исключено сопротивлением его, части жидкого тела будут двигаться во все стороны согласно поверхности твердого тела, и это одинаково, если давление перпендикулярно; ибо когда все части причины равны, эффекты будут также равны. Но если давление не перпендикулярно, тогда углы падения будучи неравными, расширение также будет неравным, а именно большим на той стороне, где угол больше, потому что то движение наиболее прямое, которое продолжается по самой прямой линии.

When one body presseth another and doth not penetrate it, the action of the pressing body is perpendicular to the superficies of the body pressed.

6. Если тело, давящее другое тело, не проникает его, оно тем не менее даст части, которую оно давит, стремление уступить и отступить по прямой линии, перпендикулярной его поверхности в той точке, в которой оно давится.

Пусть A B C D (на рис. 1) будет твердое тело, и пусть другое тело, падающее на него по прямой линии E A, с любым наклоном или без наклона, давит его в точке A. Я утверждаю, что тело, так давящее и не проникающее его, даст части A стремление уступить или отступить по прямой линии, перпендикулярной линии A D.

Ибо пусть A B будет перпендикулярно A D, и пусть B A будет продолжено до F. Если, следовательно, A F совпадает с A E, само по себе очевидно, что движение в E A заставит A стремиться по линии A B. Пусть теперь E A будет наклонно к A D, и из точки E пусть будет проведена прямая линия E C, пересекающая A D под прямыми углами в D, и пусть прямоугольники A B C D и A D E F будут завершены. Я показал (в 8-й статье главы XVI), что тело будет переноситься от E к A соединением двух равномерных движений: одно в E F и его параллелях, другое в E D и его параллелях. Но движение в E F и его параллелях, из которых D A является одной, ничего не вносит в тело в A, чтобы заставить его стремиться или давить по направлению к B; и поэтому все стремление, которое тело имеет в наклонной линии E A, чтобы пройти или давить прямую линию A D, оно имеет все от перпендикулярного движения или стремления в F A. Следовательно, тело E, после того как оно в A, будет иметь только то перпендикулярное стремление, которое происходит от движения в F A, то есть в A B; что и требовалось доказать.

When a hard body, pressing another body, penetrates the same, it doth not penetrate it perpendicularly, unless it fall perpendicularly upon it.

7. Если твердое тело, падающее на другое тело или давящее его, проникает его, его стремление после его первого проникновения будет не в наклонной линии продолженной, и не в перпендикуляре, но иногда между обоими, иногда вне их.

Пусть E A G (на том же рис. 1) будет наклонная линия продолженная; и сначала пусть проход сквозь среду, в которой E A, будет легче, чем проход сквозь среду, в которой A G. Как только, следовательно, тело будет внутри среды, в которой A G, оно встретит большее сопротивление своему движению в D A и его параллелях, чем оно встречало, пока оно было выше A D; и поэтому ниже A D оно будет продолжаться с более медленным движением в параллелях D A, чем выше его. Поэтому движение, которое составлено из двух движений в E F и E D, будет медленнее ниже A D, чем выше его; и поэтому также тело не продолжит движение от A в E A продолженной, но ниже ее. Видя, следовательно, что стремление в A B порождается стремлением в F A; если к стремлению в F A будет добавлено стремление в D A, которое не все снято погружением точки A в нижнюю среду, тело не продолжит движение от A в перпендикуляре A B, но за ним; а именно в какой-то прямой линии между A B и A G, как в линии A H.

Во-вторых, пусть проход сквозь среду E A будет менее легким, чем тот, что сквозь A G. Движение, следовательно, которое совершается соединением движений в E F и F B, медленнее выше A D, чем ниже его; и, следовательно, стремление не продолжит движение от A в E A продолженной, но за ней, как в A I. Поэтому, если твердое тело падающее и т. д.; что и требовалось доказать.

Эта дивергенция прямой линии A H от прямой линии A G есть то, что авторы оптики обычно называли рефракцией, которая, когда проход легче в первой, чем во второй среде, совершается дивергенцией от линии наклона по направлению к перпендикуляру; и наоборот, когда проход не так легок в первой среде, отходом дальше от перпендикуляра.

Motion sometimes opposite to that of the movent.

8. По 6-й теореме очевидно, что сила движителя может быть помещена так, что тело, движимое им, может продолжать путь почти прямо противоположный пути движителя, как мы видим в движении кораблей.

Ибо пусть A B (на рис. 2) представляет корабль, длина которого от носа до кормы A B, и пусть ветер лежит на нем в прямых параллельных линиях C B, D E и F G; и пусть D E и F G будут пересечены в E и G прямой линией, проведенной из B перпендикулярно A B; также пусть B E и E G будут равны, а угол A B C — любой угол, как бы мал он ни был. Тогда между B C и B A пусть будет проведена прямая линия B I; и пусть парус мыслится растянутым в той же линии B I, а ветер падает на него в точках L, M и B; из которых точек, перпендикулярно B I, пусть будут проведены B K, M Q и L P. Наконец, пусть E N и G O будут проведены перпендикулярно B G и пересекают B K в H и K; и пусть H N и K O будут сделаны равными друг другу и по отдельности равными B A. Я утверждаю, что корабль B A, ветром, падающим на него в C B, D E, F G и других линиях, параллельных им, будет переноситься вперед почти противоположно ветру, то есть по пути почти противоположному пути движителя.

Ибо ветер, дующий вдоль линии C B, (как было показано в ст. 6) придаст точке B стремление двигаться по прямой линии, перпендикулярной прямой B I, то есть по прямой B K; а точкам M и L — стремление двигаться по прямым M Q и L P, которые параллельны B K. Пусть теперь мерой времени будет B G, разделенная посередине в точке E; и пусть точка B переместится в H за время B E. Следовательно, за то же время, благодаря ветру, дующему в D M и F L, а также во всех других линиях, которые могут быть проведены параллельно им, весь корабль будет перемещен к прямой H N. Также по истечении второго промежутка времени E G он будет перемещен к прямой K O. Посему корабль будет всегда двигаться вперед; и угол, который он образует с ветром, будет равен углу A B C, как бы мал ни был этот угол; и путь, который он проходит за любое время, будет равен прямой E H. Я утверждаю, что так оно и было бы, если бы корабль мог перемещаться с такой же скоростью вбок от B A к K O, с какой он может перемещаться вперед по линии B A. Но это невозможно из-за сопротивления, оказываемого большим количеством воды, давящей на борт, которое значительно превышает сопротивление, оказываемое гораздо меньшим количеством воды, давящей на нос корабля; так что путь, который корабль проходит вбок, едва заметен; и, следовательно, точка B будет двигаться почти точно по линии B A, образуя с ветром угол A B C, каким бы острым он ни был; то есть она будет двигаться почти по прямой B C, то есть по пути, почти противоположному направлению движущего тела; что и требовалось доказать.