«Английские сочинения Томаса Гоббса, том 1»

Но парус в B I должен быть натянут так, чтобы в нем не оставалось никакого прогиба; ибо в противном случае прямые L P, M Q и B K не будут перпендикулярны плоскости паруса, а, опускаясь ниже P, Q и K, будут толкать корабль назад. Однако, используя небольшую доску в качестве паруса, маленькую тележку с колесами в качестве корабля и гладкую мостовую в качестве моря, я на опыте убедился, что это настолько верно, что я едва мог расположить доску под каким-либо углом к ветру, пусть даже самым малым, чтобы тележка не приводилась им в движение вперед.

С помощью той же 6-й теоремы можно определить, насколько удар, наносимый под углом, слабее удара, наносимого перпендикулярно, если они подобны и равны во всех остальных отношениях.

Пусть удар наносится по стене A B под углом, как, например, по прямой C A (на рис. 3). Проведем C E параллельно A B, а D A — перпендикулярно той же A B и равной C A; и пусть как скорость, так и время движения в C A будут равны скорости и времени движения в D A. Я утверждаю, что удар в C A будет слабее, чем в D A, в пропорции E A к D A. Ибо, если продолжить D A как угодно до F, стремление обоих ударов будет (согласно ст. 6) исходить из A по перпендикуляру A F. Но удар в C A создается сочетанием двух движений в C E и E A, из которых движение в C E ничего не добавляет к удару в A, поскольку C E и B A параллельны; и, следовательно, удар в C A создается только движением, которое происходит в E A. Но скорость или сила перпендикулярного удара в E A по отношению к скорости или силе удара в D A относятся как E A к D A. Посему косой удар в C A слабее перпендикулярного удара в D A в пропорции E A к D A или C A; что и требовалось доказать.

In a full medium, motion is propagated to any distance.

9. В сплошной среде всякое стремление распространяется настолько, насколько простирается сама среда; иными словами, если среда бесконечна, то и стремление будет распространяться бесконечно.

Ибо все, что стремится, движется, а следовательно, все, что стоит на его пути, оно заставляет уступить, по крайней мере немного, а именно настолько, насколько само движущее тело продвигается вперед. Но то, что уступает, также движется и, следовательно, заставляет уступить то, что находится на его пути, и так далее последовательно, пока среда остается сплошной; то есть бесконечно, если сплошная среда бесконечна; что и требовалось доказать.

Хотя стремление, распространяемое таким образом непрерывно, не всегда воспринимается чувствами как движение, оно проявляется как действие или как действующая причина некоторого изменения. Ибо если поместить перед нашими глазами какой-нибудь очень маленький объект, например, маленькое песчиное зерно, которое видно с определенного расстояния, то очевидно, что его можно удалить на такое расстояние, что оно перестанет быть видимым, хотя своим действием оно все еще воздействует на органы зрения, как явствует из того, что было доказано последним, а именно, что всякое стремление распространяется бесконечно. Представим себе поэтому, что оно удалено от наших глаз на любое, сколь угодно большое расстояние, и к нему добавлено достаточное количество других песчинок той же величины; очевидно, что совокупность всех этих песчинок будет видна; и хотя ни одну из них нельзя увидеть, когда она одинока и отделена от остальных, вся груда или холм, который они образуют, будет явно виден; что было бы невозможно, если бы от каждой отдельной части всей груды не исходило некоторое действие.

Dilatation & contraction what they are.

10. Между степенями твердого и мягкого находятся те вещи, которые мы называем упругими (tough); упругое — это то, что может быть согнуто, не изменяясь в своей сути; а сгибание линии есть либо приведение, либо отведение крайних частей, то есть движение от прямолинейности к кривизне или наоборот, в то время как сама линия остается той же, что и была; ибо при растяжении крайних точек линии на их наибольшее расстояние линия становится прямой, тогда как в противном случае она кривая. Так же и сгибание поверхности есть отведение или приведение ее крайних линий, то есть их расширение и сокращение.

Dilatation & contraction suppose mutation of the smallest parts in respect of their situation.

11. Расширение и сокращение, как и всякое сгибание, необходимо предполагают, что внутренние части согнутого тела либо приближаются к внешним частям, либо удаляются от них. Ибо хотя сгибание рассматривается только в отношении длины тела, когда это тело сгибается, линия, образующаяся с одной стороны, становится выпуклой, а линия с другой стороны — вогнутой; из которых вогнутая, будучи внутренней линией, будет, если только что-то не будет взято от нее и добавлено к выпуклой линии, более кривой, то есть большей из двух. Но они равны; и, следовательно, при сгибании происходит приращение от внутренних частей к внешним; и, наоборот, при растяжении — от внешних частей к внутренним. А что касается тех вещей, которые нелегко допускают такое перемещение своих частей, то они называются хрупкими; и большая сила, требуемая для того, чтобы заставить их уступить, заставляет их также при внезапном движении разлетаться и ломаться на куски.

All traction is pulsion.

12. Также движение различается на пульсию (pulsion) и тракцию (traction). И пульсия, как я уже определил ее, происходит тогда, когда движимое тело идет впереди того, что его движет. Но, напротив, при тракции движущее тело идет впереди того, что движется. Тем не менее, при более внимательном рассмотрении это представляется тем же самым, что и пульсия. Ибо из двух частей твердого тела, когда та, что впереди, толкает перед собой среду, в которой происходит движение, в то же самое время та, что толкается вперед, толкает следующую, а эта — следующую, и так далее последовательно. В этом действии, если мы предположим, что нет пустого места, необходимо, чтобы при непрерывной пульсии, а именно когда это действие совершило круг, движущее тело оказалось позади той части, которая поначалу казалась не толкаемой вперед, а тянущейся; так что теперь тело, которое тянули, идет впереди тела, которое сообщает ему движение; и его движение является уже не тракцией, а пульсией.

Such things as being pressed or bent restore themselves, have motion in their internal parts.

13. Те вещи, которые удаляются со своих мест путем насильственного сжатия или растяжения и, как только сила убирается, немедленно возвращаются и восстанавливают свое прежнее положение, имеют начало своего восстановления внутри себя, а именно некоторое движение в своих внутренних частях, которое было там, когда, до снятия силы, они были сжаты или растянуты. Ибо это восстановление есть движение, а то, что находится в покое, не может быть приведено в движение иначе, как движущимся и соприкасающимся движителем. И причина их восстановления не исходит из снятия силы, которой они были сжаты или растянуты; ибо устранение препятствий не обладает эффективностью причины, как было показано в конце 3-й статьи главы XV. Причиной же их восстановления является некоторое движение либо частей окружающей среды, либо частей самого сжатого или растянутого тела. Но части окружающей среды не имеют стремления, которое способствовало бы их сжатию или растяжению, равно как и их освобождению или восстановлению. Остается, следовательно, что с момента их сжатия или растяжения остается некоторое стремление или движение, посредством которого, при устранении препятствия, каждая часть возобновляет свое прежнее место; то есть целое восстанавливает само себя.

Though that which carrieth another be stopped, the body carried will proceed.

14. При перевозке тел, если тело, которое несет другое, наталкивается на какое-либо препятствие или каким-либо образом внезапно останавливается, а то, которое несут, не останавливается, оно будет продолжать движение, пока его движение не будет устранено каким-либо внешним препятствием.

Ибо я доказал (глава VIII, ст. 19), что движение, если оно не сдерживается каким-либо внешним сопротивлением, будет продолжаться вечно с той же скоростью; и в 7-й статье главы IX, что действие внешнего агента не имеет эффекта без контакта. Когда поэтому то, что несет другое тело, останавливается, эта остановка не лишает немедленно движения то, что несут. Оно поэтому будет продолжать движение, пока его движение не будет мало-помалу погашено каким-либо внешним сопротивлением: что и требовалось доказать; хотя одного опыта было бы достаточно, чтобы доказать это.

Точно так же, если тело, которое несет другое, переходит из состояния покоя в внезапное движение, то, которое несут, не будет двигаться вперед вместе с ним, а останется позади. Ибо соприкасающаяся часть несомого тела имеет почти то же движение, что и тело, которое его несет; а удаленные части получат различные скорости в соответствии с их различным расстоянием от тела, которое их несет; а именно, чем дальше части, тем меньше будут их степени скорости. Необходимо, следовательно, чтобы тело, которое несут, соответственно оставалось в большей или меньшей степени позади. И это также очевидно из опыта, когда при внезапном рывке лошади вперед всадник падает назад.

The effects of percussion not to be compared with those of weight.

15. В перкуссии (percussion), следовательно, когда одно твердое тело в какой-то своей малой части поражается другим с большой силой, не обязательно, чтобы все тело уступало удару с той же скоростью, с какой уступает пораженная часть. Ибо остальные части получают свое движение от движения пораженной и уступающей части, которое распространяется во все стороны к бокам меньше, чем прямо вперед. И отсюда происходит, что иногда очень твердые тела, которые в вертикальном положении трудно заставить стоять, легче ломаются, чем опрокидываются от сильного удара; когда, тем не менее, если бы все их части вместе были подтолкнуты вперед каким-либо слабым движением, они были бы легко опрокинуты.

16. Хотя различие между трузией (trusion) и перкуссией состоит только в том, что при трузии движение как движущего, так и движимого тела начинается одновременно в самом их контакте; а при перкуссии сначала движется ударяющее тело, а затем ударяемое; тем не менее их эффекты настолько различны, что кажется почти невозможным сравнить их силы друг с другом. Я утверждаю, что при заданном эффекте перкуссии, как, например, удар молота любого заданного веса, которым свая любой заданной длины должна быть забита в землю любой заданной плотности, мне кажется очень трудным, если не невозможным, определить, с каким весом, или с каким ударом, и за какое время та же свая может быть забита на заданную глубину в ту же землю. Причина этой трудности заключается в том, что скорость ударяющего тела должна сравниваться с величиной веса. Но скорость, поскольку она вычисляется по длине пройденного пространства, должна считаться лишь как одно измерение; вес же есть нечто твердое, измеряемое измерением всего тела. И нет никакого сравнения между твердым телом и длиной, то есть линией.

Motion cannot begin first in the internal parts of a body.

17. Если внутренние части тела находятся в покое или сохраняют то же положение друг относительно друга в течение любого, сколь угодно малого времени, в этих частях не может быть порождено никакого нового движения или стремления, эффективная причина которого не находилась бы вне тела, частями которого они являются. Ибо если предположить, что какая-то малая часть, заключенная внутри поверхности всего тела, сейчас находится в покое, а вскоре будет двигаться, эта часть должна по необходимости получить свое движение от какого-то движущегося и соприкасающегося тела. Но по предположению, внутри тела нет такой движущейся и соприкасающейся части. Посему, если во внутренних частях этого тела есть какое-либо стремление, или движение, или изменение положения, оно должно возникать от некоторой эффективной причины, которая находится вне тела, содержащего их; что и требовалось доказать.

18. В твердых телах, следовательно, которые сжаты или растянуты, если то, что сжимает или растягивает их, убрано, они восстанавливают свое прежнее место или положение, необходимо, чтобы то стремление или движение их внутренних частей, посредством которого они были способны восстановить свои прежние места или положения, не было погашено, когда сила, которой они были сжаты или растянуты, была убрана. Поэтому, когда согнутая планка арбалета, как только она освобождается, восстанавливает себя, хотя для того, кто судит по чувствам, и она, и все ее части кажутся находящимися в покое; тот же, кто, судя по разуму, не считает устранение препятствия эффективной причиной и не допускает, что без эффективной причины что-либо может перейти из покоя в движение, заключит, что части уже находились в движении, прежде чем они начали восстанавливать себя.

Action and reaction proceed in the same line.

19. Действие и реакция происходят на одной и той же линии, но от противоположных пределов. Ибо, видя, что реакция есть не что иное, как стремление в претерпевающем теле восстановить себя в то положение, из которого оно было вытеснено агентом; стремление или движение как агента, так и претерпевающего тела или реагирующего тела будет распространяться между теми же пределами; однако так, что в действии предел «от которого» в реакции является пределом «к которому». И видя, что всякое действие происходит таким образом не только между противоположными пределами всей линии, в которой оно распространяется, но также и во всех частях этой линии, пределы «от которого» и «к которому», как действия, так и реакции, будут находиться на одной и той же линии. Посему действие и реакция происходят на одной и той же линии и т.д.

Habit, what it is.

20. К тому, что было сказано о движении, я добавлю то, что имею сказать относительно навыка. Навык, следовательно, есть порождение движения, не движения просто, а легкого ведения движимого тела определенным и намеченным путем. И видя, что он достигается ослаблением таких стремлений, которые отклоняют его движение, поэтому такие стремления должны быть ослаблены мало-помалу. Но это не может быть сделано иначе, как долгим продолжением действия или часто повторяемыми действиями; и поэтому обычай порождает ту легкость, которая обычно и правильно называется навыком; и его можно определить так: НАВЫК есть движение, сделанное более легким и готовым посредством обычая; то есть посредством постоянного стремления или повторяющихся стремлений на пути, отличающемся от того, по которому движение происходило с самого начала, и противодействующего таким стремлениям, которые сопротивляются. И чтобы сделать это более ясным на примере, мы можем заметить, что когда тот, кто не имеет навыка в музыке, впервые прикладывает руку к инструменту, он не может после первого удара перенести руку в то место, где он хотел бы сделать второй удар, не отведя ее назад новым стремлением и, как бы начиная снова, перейти от первого ко второму. И он не сможет перейти к третьему месту без другого нового стремления; но будет вынужден отвести руку назад снова, и так последовательно, возобновляя свое стремление при каждом ударе; пока, наконец, делая это часто и соединяя многие прерывистые движения или стремления в одно равное стремление, он не сможет заставить свою руку легко двигаться от удара к удару в том порядке и тем путем, который был намечен вначале. И навыки должны наблюдаться не только у живых существ, но также и у тел неодушевленных. Ибо мы находим, что когда планка арбалета сильно согнута и, если бы препятствие было удалено, вернулась бы снова с большой силой; если она остается долгое время согнутой, она приобретет такой навык, что когда она будет освобождена и оставлена на свою волю, она не только не восстановит себя, но потребует столько же силы для приведения ее обратно в первое положение, сколько потребовалось для сгибания ее в первый раз.

Том 1. Лат. и англ. ГЛ. XXII. Рис. 1-3

Fig 1. Fig 2. Fig 3.

ГЛАВА XXIII. О ЦЕНТРЕ РАВНОВЕСИЯ; О ТЕЛАХ, ДАВЯЩИХ ВНИЗ ПО ПРЯМЫМ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ ЛИНИЯМ.

1. Определения и предположения. — 2. Две плоскости равновесия не параллельны. — 3. Центр равновесия находится в каждой плоскости равновесия. — 4. Моменты равных весов относятся друг к другу как их расстояния от центра весов. — 5, 6. Моменты неравных весов имеют пропорцию друг к другу, составленную из пропорций их весов и расстояний от центра весов. — 7. Если два веса имеют свои веса и расстояния от центра весов в обратной пропорции, они находятся в равновесии; и наоборот. — 8. Если части любого веса давят на коромысла весов везде одинаково, все отсеченные части, считая от центра весов, будут иметь свои моменты в той же пропорции, что и части треугольника, отсеченные от вершины прямыми линиями, параллельными основанию. — 9. Диаметр равновесия фигур, которые являются недостающими согласно соизмеримым пропорциям их высот и оснований, делит ось так, что часть, взятая у вершины, относится к другой части как полная фигура к недостающей фигуре. — 10. Диаметр равновесия дополнения половины любой из указанных недостающих фигур делит ту линию, которая проведена через вершину параллельно основанию, так, что часть у вершины относится к другой части как полная фигура к дополнению. — 11. Центр равновесия половины любой из фигур в первом ряду таблицы ст. 3, главы XVII, может быть найден по числам второго ряда. — 12. Центр равновесия половины любой из фигур второго ряда той же таблицы может быть найден по числам четвертого ряда. — 13. Центр равновесия половины любой из фигур той же таблицы будучи известен, центр избытка той же фигуры над треугольником той же высоты и основания также известен. — 14. Центр равновесия твердого сектора находится на оси, разделенной так, что часть у вершины относится ко всей оси, за вычетом половины оси части сферы, как 3 к 4.

DEFINITIONS.

Definitions.

I. Весы — это прямая линия, средняя точка которой неподвижна, а все остальные точки свободны; и та часть весов, которая простирается от центра до любого из грузов, называется коромыслом.

II. Равновесие — это когда стремление одного тела, которое давит на одно из коромысел, сопротивляется стремлению другого тела, давящего на другое коромысло, так что ни одно из них не движется; и тела, когда ни одно из них не движется, называются находящимися в равновесии.

III. Вес — это совокупность всех стремлений, посредством которых все точки того тела, которое давит на коромысло, стремятся вниз по линиям, параллельным друг другу; и тело, которое давит, называется весомым телом (ponderant).

IV. Момент — это сила, которую весомое тело имеет для перемещения коромысла по причине определенного положения.

V. Плоскость равновесия — это та, посредством которой весомое тело делится так, что моменты с обеих сторон остаются равными.

VI. Диаметр равновесия — это общее сечение двух плоскостей равновесия, и он находится на прямой линии, на которой подвешен вес.

VII. Центр равновесия — это общая точка двух диаметров равновесия.

SUPPOSITIONS.

Suppositions.

I. Когда два тела находятся в равновесии, если вес добавляется к одному из них, а не к другому, их равновесие прекращается.

II. Когда два весомых тела равной величины и одного вида или материи давят на коромысло с обеих сторон на равных расстояниях от центра весов, их моменты равны. Также когда два тела стремятся на равных расстояниях от центра весов, если они равной величины и одного вида, их моменты равны.

Two planes

of equiponderation

are

not parallel.

2. Никакие две плоскости равновесия не параллельны.

Пусть A B C D (на рис. 1) будет любым весомым телом; и в нем пусть E F будет плоскостью равновесия; параллельно которой пусть будет проведена любая другая плоскость, как G H. Я утверждаю, что G H не является плоскостью равновесия. Ибо, видя, что части A E F D и E B C F весомого тела A B C D находятся в равновесии; и вес E G H F добавлен к части A E F D, и ничего не добавлено к части E B C F, но вес E G H F взят из нее; поэтому, согласно первому предположению, части A G H D и G B C H не будут находиться в равновесии; и, следовательно, G H не является плоскостью равновесия. Посему никакие две плоскости равновесия не параллельны; что и требовалось доказать.

The centre of equiponderation is in every plane of equiponderation.

3. Центр равновесия находится в каждой плоскости равновесия.

Ибо если взять другую плоскость равновесия, она не будет, согласно последней статье, параллельна прежней плоскости; и поэтому обе эти плоскости будут пересекать друг друга. Теперь это сечение (согласно 6-му определению) есть диаметр равновесия. Опять же, если взять другой диаметр равновесия, он пересечет тот прежний диаметр; и в этом сечении (согласно 7-му определению) находится центр равновесия. Посему центр равновесия находится в том диаметре, который лежит в указанной плоскости равновесия.

The moments

of equal ponderants

are to one

another as their

distances from

the centre of

the scale.

4. Момент любого весомого тела, приложенного к одной точке коромысла, к моменту того же или равного весомого тела, приложенного к любой другой точке коромысла, относится как расстояние первой точки от центра весов к расстоянию второй точки от того же центра. Или так: эти моменты относятся друг к другу как дуги окружностей, которые описываются на центре весов через эти точки за одно и то же время. Или, наконец, так: они относятся как параллельные основания двух треугольников, которые имеют общий угол в центре весов.

Пусть A (на рис. 2) будет центром весов; и пусть равные весомые тела D и E давят на коромысло A B в точках B и C; также пусть прямые B D и C E будут диаметрами равновесия; а точки D и E в весомых телах D и E будут их центрами равновесия. Пусть A G F будет проведена как угодно, пересекая D B, продолженную в F, и E C в G; и, наконец, на общем центре A пусть будут описаны две дуги B H и C I, пересекающие A G F в H и I. Я утверждаю, что момент весомого тела D к моменту весомого тела E относится как A B к A C, или как B H к C I, или как B F к C G. Ибо эффект весомого тела D в точке B есть круговое движение по дуге B H; а эффект весомого тела E в точке C — круговое движение по дуге C I; и по причине равенства весомых тел D и E эти движения относятся друг к другу как быстроты или скорости, с которыми точки B и C описывают дуги B H и C I, то есть как сами дуги B H и C I, или как прямые параллели B F и C G, или как части коромысла A B и A C; ибо A B : A C :: B F : C G :: B H : C I — пропорциональны; и поэтому эффекты, то есть, согласно 4-му определению, моменты равных весомых тел, приложенных к различным точкам коромысла, относятся друг к другу как A B и A C; или как расстояния этих точек от центра весов; или как параллельные основания треугольников, которые имеют общий угол в A; или как концентрические дуги B H и C I; что и требовалось доказать.

The moments of unequal ponderants have their proportion to one another compounded of the proportions of their weights and distances from the centre of the scale.

5. Неравные весомые тела, когда они приложены к различным точкам коромысла и висят свободно, то есть так, что линия, на которой они висят, является диаметром равновесия, какова бы ни была фигура весомого тела, имеют свои моменты друг к другу в пропорции, составленной из пропорций их расстояний от центра весов и их весов.

Пусть A (на рис. 3) будет центром весов, а A B — коромыслом; к которому пусть будут приложены два весомых тела C и D в точках B и E. Я утверждаю, что пропорция момента весомого тела C к моменту весомого тела D составлена из пропорций A B к A E и веса C к весу D; или, если C и D одного вида, величины C к величине D.

Пусть любое из них, например C, предполагается больше другого, D. Если, следовательно, путем добавления F, F и D вместе будут как одно тело, равное C, момент C к моменту F + D будет (согласно последней статье) как B G к E H. Теперь, как F + D относится к D, так пусть E H относится к другому E I; и момент F + D, то есть C, к моменту D будет как B G к E I. Но пропорция B G к E I составлена из пропорций B G к E H, то есть A B к A E, и E H к E I, то есть веса C к весу D. Посему неравные весомые тела, когда они приложены и т.д. Что и требовалось доказать.

6. При той же фигуре, если I K будет проведена параллельно коромыслу A B и пересечет A G в K; и K L будет проведена параллельно B G, пересекая A B в L, расстояния A B и A L от центра будут пропорциональны моментам C и D. Ибо момент C есть B G, а момент D есть E I, которому равен K L. Но как расстояние A B от центра относится к расстоянию A L от центра, так B G, момент весомого тела C, относится к L K, или E I, моменту весомого тела D.

If two ponderants have their weights and distances from the centre of the scale in reciprocal proportion, they are equally poised; and contrarily.

7. Если два весомых тела имеют свои веса и расстояния от центра в обратной пропорции, и центр весов находится между точками, к которым приложены весомые тела, они будут находиться в равновесии. И наоборот, если они находятся в равновесии, их веса и расстояния от центра весов будут в обратной пропорции.

Пусть центр весов (на том же третьем рисунке) будет A, коромысло A B; и пусть любое весомое тело C, имеющее B G своим моментом, будет приложено к точке B; также пусть любое другое весомое тело D, чей момент есть E I, будет приложено к точке E. Через точку I пусть I K будет проведена параллельно коромыслу A B, пересекая A G в K; также пусть K L будет проведена параллельно B G, тогда K L будет моментом весомого тела D; и согласно последней статье, будет как B G, момент весомого тела C в точке B, к L K, моменту весомого тела D в точке E, так A B к A L. На другой стороне центра весов пусть A N будет взято равным A L; и к точке N пусть будет приложено весомое тело O, имеющее к весомому телу C пропорцию A B к A N. Я утверждаю, что весомые тела в B и N будут находиться в равновесии. Ибо пропорция момента весомого тела O в точке N к моменту весомого тела C в точке B, согласно 5-й статье, составлена из пропорций веса O к весу C и расстояния от центра весов A N или A L к расстоянию от центра весов A B. Но видя, что мы предположили, что расстояние A B к расстоянию A N находится в обратной пропорции веса O к весу C, пропорция момента весомого тела O в точке N к моменту весомого тела C в точке B будет составлена из пропорций A B к A N и A N к A B. Посему, располагая в порядке A B, A N, A B, момент O к моменту C будет как первый к последнему, то есть как A B к A B. Их моменты поэтому равны; и, следовательно, плоскость, которая проходит через A, будет (согласно пятому определению) плоскостью равновесия. Посему они будут находиться в равновесии; что и требовалось доказать.

Теперь обратное этому очевидно. Ибо если есть равновесие и пропорция весов и расстояний не обратная, то оба веса всегда будут иметь одни и те же моменты, хотя к одному из них будет добавлен больший вес или его расстояние будет изменено.

Следствие. Когда весомые тела одного вида и их моменты равны, их величины и расстояния от центра весов будут обратно пропорциональны. Ибо в однородных телах как вес к весу, так величина к величине.

If the parts of any ponderant press the beams of the scale every where equally, all the parts cut off, reckoned from centre of the scale, will have their moments in the same proportion with that of the parts of a triangle cut off from the vertex by strait lines parallel to the base.

8. Если ко всей длине коромысла приложен параллелограмм, или параллелепипед, или призма, или цилиндр, или поверхность цилиндра, или сферы, или любой части сферы или призмы; части любого из них, отсеченные плоскостями, параллельными основанию, будут иметь свои моменты в той же пропорции, что и части треугольника, который имеет свою вершину в центре весов, а одной из своих сторон — само коромысло, каковые части отсекаются плоскостями, параллельными основанию.

Во-первых, пусть прямоугольный параллелограмм A B C D (на рисунке 4) будет приложен ко всей длине коромысла A B; и, продолжая C B как угодно до E, пусть будет описан треугольник A B E. Пусть теперь любая часть параллелограмма, как A F, будет отсечена плоскостью F G, параллельной основанию C B; и пусть F G будет продолжена до A E в точке H. Я утверждаю, что момент целого A B C D к моменту его части A F относится как треугольник A B E к треугольнику A G H, то есть в пропорции, дублирующей пропорцию расстояний от центра весов.

Ибо, так как параллелограмм A B C D разделен на равные части, бесконечные по числу, прямыми линиями, проведенными параллельно основанию; и предполагая момент прямой линии C B равным B E, момент прямой линии F G будет (согласно 7-й статье) G H; и моменты всех прямых линий этого параллелограмма будут столькими же прямыми линиями в треугольнике A B E, проведенными параллельно основанию B E; все эти параллели, взятые вместе, составляют момент всего параллелограмма A B C D; и те же параллели также составляют поверхность треугольника A B E. Посему момент параллелограмма A B C D есть треугольник A B E; и по той же причине момент параллелограмма A F есть треугольник A G H; и поэтому момент целого параллелограмма к моменту параллелограмма, который является его частью, относится как треугольник A B E к треугольнику A G H, или в пропорции, дублирующей пропорцию коромысел, к которым они приложены. И то, что здесь доказано в случае параллелограмма, может быть понято как применимое к случаю цилиндра, и призмы, и их поверхностей; как также к поверхностям сферы, полусферы или любой части сферы. Ибо части поверхности сферы имеют ту же пропорцию, что и части оси, отсеченные теми же параллелями, которыми отсекаются части поверхности, как доказал Архимед; и поэтому, когда части любой из этих фигур равны и находятся на равных расстояниях от центра весов, их моменты также равны, таким же образом, как они равны в параллелограммах.

Во-вторых, пусть параллелограмм A K I B не будет прямоугольным; прямая линия I B тем не менее будет давить на точку B перпендикулярно по прямой линии B E; и прямая линия L G будет давить на точку G перпендикулярно по прямой линии G H; и все остальные прямые линии, которые параллельны I B, будут делать то же самое. Каков бы ни был момент, назначенный прямой линии I B, как здесь, например, предполагается, что он равен B E, если провести A E, момент всего параллелограмма A I будет треугольником A B E; а момент части A L будет треугольником A G H. Посему момент любого весомого тела, стороны которого одинаково приложены к коромыслу, приложены ли они перпендикулярно или под углом, будет всегда относиться к моменту его части в такой пропорции, в какой целый треугольник относится к его части, отсеченной плоскостью, параллельной основанию.

The diameter of equiponderation of figures which are deficient according to commensurable proportions of their altitudes and bases, divides the axis, so that the part taken next the vertex is to the other part as the complete figure to the deficient figure.

9. Центр равновесия любой фигуры, которая является недостающей согласно соизмеримым пропорциям уменьшенных высоты и основания, и чья полная фигура есть либо параллелограмм, либо цилиндр, либо параллелепипед, делит ось так, что часть у вершины относится к другой части как полная фигура к недостающей фигуре.

Ибо пусть C I A P E (на рис. 5) будет недостающей фигурой, чья ось есть A B, а полная фигура — C D F E; и пусть ось A B будет разделена в Z так, что A Z относится к Z B как C D F E к C I A P E. Я утверждаю, что центр равновесия фигуры C I A P E будет находиться в точке Z.

Во-первых, то, что центр равновесия фигуры C I A P E находится где-то на оси A B, очевидно само по себе; и поэтому A B является диаметром равновесия. Пусть будет проведена A E, и пусть B E будет принято за момент прямой линии C E; треугольник A B E будет поэтому (согласно третьей статье) моментом полной фигуры C D F E. Пусть ось A B будет разделена пополам в L, и пусть G L H будет проведена параллельно и равна прямой линии C E, пересекая кривую линию C I A P E в I и P, а прямые линии A C и A E в K и M. Более того, пусть Z O будет проведена параллельно той же C E; и пусть будет, как L G к L I, так L M к другому, L N; и пусть то же самое будет сделано во всех остальных возможных прямых линиях, параллельных основанию; и через все точки N пусть будет проведена линия A N E; трехсторонняя фигура A N E B будет поэтому моментом фигуры C I A P E. Теперь треугольник A B E относится (согласно 9-й статье главы XVII) к трехсторонней фигуре A N E B, как A B C D + A I C B, взятые дважды, то есть как C D F E + C I A P E относится к C I A P E, взятым дважды. Но как C I A P E относится к C D F E, то есть как вес недостающей фигуры относится к весу полной фигуры, так C I A P E, взятые дважды, относятся к C D F E, взятым дважды. Посему, располагая в порядке C D F E + C I A P E : 2 C I A P E : 2 C D F E; пропорция C D F E + C I A P E к C D F E, взятым дважды, будет составлена из пропорции C D F E + C I A P E к C I A P E, взятым дважды, то есть из пропорции треугольника A B E к трехсторонней фигуре A N E B, то есть из пропорции момента полной фигуры к моменту недостающей фигуры, и из пропорции C I A P E, взятых дважды, к C D F E, взятым дважды, то есть к пропорции, взятой обратно, веса недостающей фигуры к весу полной фигуры.

Опять же, видя, что по предположению A Z : Z B :: C D F E : C I A P E являются пропорциональными; A B : A Z :: C D F E + C I A P E : C D F E также, путем сложения, будут пропорциональными. И видя, что A L есть половина A B, A L : A Z :: C D F E + C I A P E : 2 C D F E также будут пропорциональными. Но пропорция C D F E + C I A P E к 2 C D F E составлена, как было только что показано, из пропорций момента к моменту и т.д., и поэтому пропорция A L к A Z составлена из пропорции момента полной фигуры C D F E к моменту недостающей фигуры C I A P E и из пропорции веса недостающей фигуры C I A P E к весу полной фигуры C D F E; но пропорция A L к A Z составлена из пропорций A L к B Z и B Z к A Z. Теперь пропорция B Z к A Z есть пропорция весов, взятая обратно, то есть пропорция веса C I A P E к весу C D F E. Поэтому оставшаяся пропорция A L к B Z, то есть L B к B Z, есть пропорция момента веса C D F E к моменту веса C I A P E. Но пропорция A L к B Z составлена из пропорций A L к A Z и A Z к Z B; из которых пропорций пропорция A Z к Z B есть пропорция веса C D F E к весу C I A P E. Посему (согласно ст. 5 этой главы) оставшаяся пропорция A L к A Z есть пропорция расстояний точек Z и L от центра весов, который есть A. И поэтому (согласно ст. 6) вес C I A P E будет висеть от O на прямой линии O Z. Так что O Z есть один диаметр равновесия веса C I A P E. Но прямая линия A B есть другой диаметр равновесия того же веса C I A P E. Посему (согласно 7-му определению) точка Z есть центр того же равновесия; каковая точка, по построению, делит ось так, что часть A Z, которая есть часть у вершины, относится к другой части Z B, как полная фигура C D F E относится к недостающей фигуре C I A P E; что и требовалось доказать.

Следствие I. Центр равновесия любой из тех плоских трехсторонних фигур, которые сравниваются с их полными фигурами в таблице ст. 3, главы XVII, должен быть найден в той же таблице путем взятия знаменателя дроби для части оси, отсеченной у вершины, и числителя для другой части у основания. Например, если требуется найти центр равновесия второй трехсторонней фигуры из четырех средних, то в пересечении второго столбца с рядом трехсторонних фигур из четырех средних имеется эта дробь 5/7, которая означает, что эта фигура относится к своему параллелограмму или полной фигуре как 5/7 к единице, то есть как 5/7 к 7/7, или как 5 к 7; и поэтому центр равновесия этой фигуры делит ось так, что часть у вершины относится к другой части как 7 к 5.

Следствие II. Центр равновесия любого из тел тех фигур, которые содержатся в таблице ст. 7 той же главы XVII, представлен в той же таблице. Например, если ищется центр равновесия конуса, конус будет найден как 1/3 своего цилиндра; и поэтому центр его равновесия будет так делить ось, что часть у вершины к другой части будет как 3 к 1. Также тело трехсторонней фигуры из одного среднего, то есть параболическое тело, видя, что оно 2/4, то есть 1/2 своего цилиндра, будет иметь свой центр равновесия в той точке, которая делит ось так, что часть к вершине будет вдвое больше части к основанию.

The diameter of equiponderation of the complement of the half of any of the said deficient figures, divides that line which is drawn through the vertex parallel to the base, so that the part next the vertex is to the other part as the complete figure to the complement.

10. Диаметр равновесия дополнения половины любой из тех фигур, которые содержатся в таблице ст. 3, главы XVII, делит ту линию, которая проведена через вершину параллельно и равна основанию, так, что часть у вершины будет относиться к другой части как полная фигура к дополнению.

Пусть A I C B (на том же рис. 5) будет половиной параболы или любой другой из тех трехсторонних фигур, которые приведены в таблице ст. 3 гл. XVII, чья ось есть A B, а основание B C, причем A D проведена из вершины, равна и параллельна основанию B C, а полная фигура есть параллелограмм A B C D. Пусть I Q проведена на некотором расстоянии от стороны C D, но параллельно ей; и пусть A D будет высотой дополнения A I C D, а Q I — линией, ординатно приложенной в нем. Посему высота A L в дефицитной фигуре A I C B равна Q I, линии, ординатно приложенной в ее дополнении; и наоборот, L I, линия, ординатно приложенная в фигуре A I C B, равна высоте A Q в ее дополнении; и так во всех остальных ординатных линиях и высотах мутация такова, что та линия, которая ординатно приложена в фигуре, является высотой ее дополнения. И поэтому пропорция убывающих высот к пропорции убывающих ординатных линий, будучи мультипликатной согласно любому числу в дефицитной фигуре, является субмультипликатной согласно тому же числу в ее дополнении. Например, если A I C B — парабола, то, видя, что пропорция A B к A L дупликатна пропорции B C к L I, пропорция A D к A Q в дополнении A I C D, которая та же, что и пропорция B C к L I, будет субдупликатной пропорции C D к Q I, которая та же, что и пропорция A B к A L; и, следовательно, в параболе дополнение будет относиться к параллелограмму как 1 к 3; в трехсторонней фигуре с двумя средними — как 1 к 4; в трехсторонней фигуре с тремя средними — как 1 к 5 и т. д. Но все ординатные линии вместе в A I C D суть ее момент; и все ординатные линии в A I C B суть ее момент. Посему моменты дополнений половин дефицитных фигур в таблице ст. 3 гл. XVII, будучи сравнены, относятся как сами дефицитные фигуры; и, следовательно, диаметр равновесия разделит прямую линию A D в такой пропорции, что часть, прилежащая к вершине, будет относиться к другой части так, как полная фигура A B C D относится к дополнению A I C D.

Следствие. Диаметр равновесия этих половин может быть найден по таблице ст. 3 гл. XVII следующим образом. Пусть предложена любая дефицитная фигура, а именно вторая трехсторонняя фигура с двумя средними. Эта фигура относится к полной фигуре как 3/5 к 1, то есть как 3 к 5. Посему дополнение к той же полной фигуре относится как 2 к 5; и, следовательно, диаметр равновесия этого дополнения пересечет прямую линию, проведенную из вершины параллельно основанию, так, что часть, прилежащая к вершине, будет относиться к другой части как 5 к 2. И подобным же образом, если предложена любая другая из указанных трехсторонних фигур, то, если числитель ее дроби, найденной в таблице, вычесть из знаменателя, прямую линию, проведенную из вершины, следует разделить так, чтобы часть, прилежащая к вершине, относилась к другой части как знаменатель к остатку, который оставляет это вычитание.

The centre of equiponderation of the half of any of the deficient figures in the first row of the table of art. 3, chapter xvii, may be found out by the numbers of the second row.

11. Центр равновесия половины любой из тех криволинейных фигур, которые находятся в первом ряду таблицы ст. 3 гл. XVII, лежит на той прямой линии, которая, будучи параллельной оси, делит основание согласно числам дроби, находящейся непосредственно под ней во втором ряду, так, чтобы числитель соответствовал той части, которая обращена к оси.

Например, возьмем первую фигуру с тремя средними, чья половина есть A B C D (на рис. 6), и завершим прямоугольник A B E D. Дополнением, следовательно, будет B C D E. И видя, что A B E D относится к фигуре A B C D (согласно таблице) как 5 к 4, тот же A B E D будет относиться к дополнению B C D E как 5 к 1. Посему, если провести F G параллельно основанию D A, пересекая ось так, что A G относится к G B как 4 к 5, центр равновесия фигуры A B C D, согласно предыдущей статье, будет где-то на той же F G. Далее, видя, согласно той же статье, что полная фигура A B E D относится к дополнению B C D E как 5 к 1, то если разделить B E и A D в точках I и H как 5 к 1, центр равновесия дополнения B C D E будет где-то на прямой линии, соединяющей H и I. Пусть теперь прямая линия L K будет проведена через M, центр полной фигуры, параллельно основанию; а прямая линия N O — через тот же центр M, перпендикулярно ей; и пусть прямые линии L K и F G пересекают прямую линию H I в точках P и Q. Пусть P R будет взята вчетверо больше P Q; и пусть R M будет проведена и продолжена до F G в точке S. R M, следовательно, будет относиться к M S как 4 к 1, то есть как фигура A B C D к ее дополнению B C D E. Посему, видя, что M есть центр полной фигуры A B E D, а расстояния R и S от центра M находятся в пропорции, обратной пропорции веса дополнения B C D E к весу фигуры A B C D, R и S будут либо центрами равновесия своих собственных фигур, либо эти центры будут в каких-то других точках диаметров равновесия H I и F G. Но последнее невозможно. Ибо никакая другая прямая линия не может быть проведена через точку M, заканчиваясь на прямых линиях H I и F G и сохраняя пропорцию M R к M S, то есть фигуры A B C D к ее дополнению B C D E. Центр равновесия фигуры A B C D, следовательно, находится в точке S. Теперь, видя, что P M имеет ту же пропорцию к Q S, какую R P имеет к R Q, Q S будет составлять 5 тех частей, из которых P M составляет четыре, то есть из которых I N составляет четыре. Но I N или P M составляет 2 тех части, из которых E B или F G составляет 6; и, следовательно, если как 4 к 5, так 2 к четвертому, то это четвертое будет 2½. Посему Q S есть 2½ тех частей, из которых F G составляет 6. Но F Q есть 1; и, следовательно, F S есть 3½. Посему оставшаяся часть G S есть 2½. Таким образом, F G разделена в S так, что часть, обращенная к оси, относится к другой части как 2½ к 3½, то есть как 5 к 7; что соответствует дроби 5/7 во втором ряду, непосредственно под дробью 4/5 в первом ряду. Посему, проведя S T параллельно оси, основание будет разделено подобным же образом.

Этим методом очевидно, что основание полупараболы будет разделено на 3 и 5; основание первой трехсторонней фигуры с двумя средними — на 4 и 6; а первой трехсторонней фигуры с четырьмя средними — на 6 и 8. Дроби, следовательно, второго ряда обозначают пропорции, в которых основания фигур первого ряда делятся диаметрами равновесия. Но первый ряд начинается на одно место выше, чем второй ряд. 12. Центр равновесия половины любой из фигур во втором ряду той же таблицы ст. 3 гл. XVII лежит на прямой линии, параллельной оси и делящей основание согласно числам дроби в четвертом ряду, на два места ниже, так, чтобы числитель соответствовал той части, которая прилежит к оси.

The centre of equiponderation of the half of any of the figures of the second row of the same table may be found out by the numbers of the fourth row.

12. Центр равновесия половины любой из фигур во втором ряду той же таблицы ст. 3 гл. XVII лежит на прямой линии, параллельной оси и делящей основание согласно числам дроби в четвертом ряду, на два места ниже, так, чтобы числитель соответствовал той части, которая прилежит к оси.

Возьмем половину второй трехсторонней фигуры с двумя средними; пусть это будет A B C D (на рис. 7); ее дополнение есть B C D E, а завершенный прямоугольник — A B E D. Пусть этот прямоугольник будет разделен двумя прямыми линиями L K и N O, пересекающими друг друга в центре M под прямыми углами; и поскольку A B E D относится к A B C D как 5 к 3, пусть A B будет разделена в G так, что A G к B G относится как 3 к 5; и пусть F G будет проведена параллельно основанию. Также поскольку A B E D (согласно ст. 9) относится к B C D E как 5 к 2, пусть B E будет разделена в точке I так, что B I относится к I E как 5 к 2; и пусть I H будет проведена параллельно оси, пересекая L K и F G в P и Q. Пусть теперь P R будет взята так, чтобы она относилась к P Q как 3 к 2, и пусть R M будет проведена и продолжена до F G в точке S. Видя, следовательно, что R P относится к P Q, то есть R M к M S, как A B C D относится к своему дополнению B C D E, а центры равновесия A B C D и B C D E лежат на прямых линиях F G и H I, а центр равновесия их обоих вместе — в точке M; R будет центром дополнения B C D E, а S — центром фигуры A B C D. И видя, что P M, то есть I N, относится к Q S как R P к R Q; и I N или P M составляет 3 тех части, из которых B E, то есть F G, составляет 14; следовательно, Q S составляет 5 тех же частей; а E I, то есть F G, 4; и F S, 9; и G S, 5. Посему прямая линия S T, будучи проведена параллельно оси, разделит основание A D на 5 и 9. Но дробь 5/9 найдена в четвертом ряду таблицы, на два места ниже дроби 3/5 во втором ряду.

Тем же методом, если в том же втором ряду взять вторую трехстороннюю фигуру с тремя средними, центр равновесия ее половины окажется на прямой линии, параллельной оси, делящей основание согласно числам дроби 6/10, на два места ниже в четвертом ряду. И тот же способ годится для всех остальных фигур во втором ряду. Подобным же образом центр равновесия третьей трехсторонней фигуры с тремя средними окажется на прямой линии, параллельной оси, делящей основание так, что часть, прилежащая к оси, относится к другой части как 7 к 13 и т. д.

Следствие. Центры равновесия половин указанных фигур известны, поскольку они находятся на пересечении прямых линий S T и F G, которые обе известны.

The centre of equiponderation of the half of any of the figures in the same table being known, the centre of the excess of the same figure above a triangle of the same altitude and base is also known.

13. Центр равновесия половины любой из фигур, которые (в таблице ст. 3 гл. XVII) сравниваются со своими параллелограммами, будучи известным, центр равновесия избытка той же фигуры над ее треугольником также известен.

Например, возьмем полупараболу A B C D (на рис. 8), чья ось есть A B; чья полная фигура есть A B E D; и чей избыток над ее треугольником есть B C D B. Ее центр равновесия может быть найден следующим образом. Пусть F G будет проведена параллельно основанию так, что A F будет третьей частью оси; и пусть H I будет проведена параллельно оси так, что A H будет третьей частью основания. По завершении этого центр равновесия треугольника A B D будет в I. Далее, пусть K L будет проведена параллельно основанию так, что A K относится к A B как 2 к 5; а M N — параллельно оси так, что A M относится к A D как 3 к 8; и пусть M N заканчивается на прямой линии K L. Центр, следовательно, равновесия параболы A B C D есть N; и поэтому мы имеем центры равновесия полупараболы A B C D и ее части, треугольника A B D. Чтобы теперь найти центр равновесия оставшейся части B C D B, пусть I N будет проведена и продолжена до O так, что N O будет втрое больше I N; и O будет искомым центром. Ибо, видя, что вес A B D к весу B C D B находится в пропорции, обратной пропорции прямой линии N O к прямой линии I N; и N есть центр целого, а I — центр треугольника A B D; O будет центром оставшейся части, а именно фигуры B D C B; что и требовалось найти.

Следствие. Центр равновесия фигуры B D C B находится на пересечении двух прямых линий, из которых одна параллельна основанию и делит ось так, что часть, прилежащая к основанию, составляет 3/5 или 9/15 всей оси; другая параллельна оси и делит основание так, что часть, обращенная к оси, составляет ½ или 12/24 всего основания. Ибо, проводя O P параллельно основанию, будет как I N к N O, так F K к K P, то есть как 1 к 3, или 5 к 15. Но A F есть 5/15, или ⅓ всей A B; а A K есть 6/15, или 2/5; и F K — 1/15; и K P — 3/15; и поэтому A P есть 9/15 оси A B. Также A H есть ⅓, или 8/24; а A M — 3/8, или 9/24 всего основания; и поэтому, если O Q проведена параллельно оси, M Q, которая втрое больше H M, будет 3/24. Посему A Q есть 12/24, или ½ основания A D.

Избытки остальных трехсторонних фигур в первом ряду таблицы ст. 3 гл. XVII имеют свои центры равновесия на двух прямых линиях, которые делят ось и основание согласно тем дробям, которые прибавляют 4 к числителям дробей параболы 9/15 и 12/24; и 6 к знаменателям, следующим образом:

In a parabola, the axis 9⁄15, the base 12⁄24.

In the first three-sided figure, the axis 13⁄21, the base 16⁄30.

In the second three-sided figure, the axis 17⁄27, the base 20⁄36, &c.

И тем же методом любой человек, если это стоит труда, может найти центры равновесия избытков над их треугольниками остальных фигур во втором и третьем ряду и т. д.

The centre of equiponderation of a solid sector is in the axis so divided, that the part next the vertex be to the whole axis, wanting half the axis of the portion of the sphere, as 3 to 4.

14. Центр равновесия сектора сферы, то есть фигуры, составленной из прямого конуса, чья вершина есть центр сферы, и части сферы, чье основание то же, что и у конуса, делит прямую линию, образованную осью конуса и половиной оси части вместе взятыми, так, что часть, прилежащая к вершине, втрое больше другой части, или относится ко всей прямой линии как 3 к 4.

Ибо пусть A B C (на рис. 9) будет сектором сферы, чья вершина есть центр сферы A; чья ось есть A D; и круг на B C есть общее основание части сферы и конуса, чья вершина есть A; ось которой части есть E D, а половина ее — F D; и ось конуса — A E. Наконец, пусть A G будет 3/4 прямой линии A F. Я утверждаю, что G есть центр равновесия сектора A B C.

Пусть прямая линия F H будет проведена любой длины, образуя прямые углы с A F в точке F; и, проведя прямую линию A H, пусть будет построен треугольник A F H. Затем на том же центре A пусть будет проведена любая дуга I K, пересекающая A D в L; и ее хорда, пересекающая A D в M; и, разделив M L пополам в N, пусть N O будет проведена параллельно прямой линии F H и встретится с прямой линией A H в O.

Видя теперь, что B D C есть сферическая поверхность части, отсеченной плоскостью, проходящей через B C и пересекающей ось под прямыми углами; и видя, что F H делит E D, ось части, на две равные части в F; центр равновесия поверхности B D C будет в F (согласно ст. 8); и по той же причине центр равновесия поверхности I L K, где K находится на прямой линии A C, будет в N. И подобным же образом, если бы между центром сферы A и внешней сферической поверхностью сектора были проведены дуги в бесконечном числе, центры равновесия сферических поверхностей, в которых находятся эти дуги, оказались бы на той части оси, которая заключена между самой поверхностью и плоскостью, проходящей вдоль хорды дуги и пересекающей ось посередине под прямыми углами.

Пусть теперь предполагается, что момент внешней сферической поверхности B D C есть F H. Видя, следовательно, что поверхность B D C относится к поверхности I L K в пропорции, дупликатной пропорции дуги B D C к дуге I L K, то есть B E к I M, то есть F H к N O; пусть будет как F H к N O, так N O к другому N P; и снова, как N O к N P, так N P к другому N Q; и пусть это будет сделано во всех прямых линиях, параллельных основанию F H, которые могут быть проведены между основанием и вершиной треугольника A F H. Если тогда через все точки Q провести кривую линию A Q H, фигура A F H Q A будет дополнением первой трехсторонней фигуры с двумя средними; и то же самое будет также моментом всех сферических поверхностей, из которых составлен твердый сектор A B C D; и, следовательно, моментом самого сектора. Пусть теперь F H понимается как полудиаметр основания прямого конуса, чья сторона есть A H, а ось — A F. Посему, видя, что основания конусов, которые проходят через F и N и остальные точки оси, находятся в пропорции, дупликатной пропорции прямых линий F H и N O и т. д., момент всех оснований вместе, то есть всего конуса, будет сама фигура A F H Q A; и поэтому центр равновесия конуса A F H тот же, что и твердого сектора. Посему, видя, что A G есть 3/4 оси A F, центр равновесия конуса A F H находится в G; и поэтому центр твердого сектора также находится в G и делит часть A F оси так, что A G втрое больше G F; то есть A G относится к A F как 3 к 4; что и требовалось доказать.

Заметьте, что когда сектор есть полусфера, ось конуса исчезает в той точке, которая является центром сферы; и поэтому она ничего не прибавляет к половине оси части. Посему, если в оси полусферы взять от центра 3/4 половины оси, то есть 3/8 полудиаметра сферы, там будет центр равновесия полусферы.

Том 1. Лат. и англ. Гл. XXIII. Рис. 1-9

Fig 1. Fig 2. Fig 3. Fig 4. Fig 5. Fig 6. Fig 7. Fig 8. Fig 9.

ГЛАВА XXIV. О ПРЕЛОМЛЕНИИ И ОТРАЖЕНИИ.

1. Определения.— 2. При перпендикулярном движении нет преломления.— 3. Тела, брошенные из более разреженной в более плотную среду, преломляются так, что угол преломления больше угла наклона.— 4. Стремление, которое из одной точки направляется во все стороны, будет преломлено так, что синус угла преломления будет относиться к синусу угла наклона как плотность первой среды к плотности второй среды, взятые обратно.— 5. Синус угла преломления при одном наклоне относится к синусу угла преломления при другом наклоне как синус угла этого наклона к синусу угла того наклона.— 6. Если две линии падения, имеющие равный наклон, находятся одна в более разреженной, другая в более плотной среде, синус угла их наклона будет средним пропорциональным между двумя синусами их углов преломления.— 7. Если угол наклона полупрямой, а линия наклона находится в более плотной среде, и пропорция их плотностей та же, что у диагонали к стороне квадрата, а разделяющая поверхность плоская, преломленная линия будет лежать в разделяющей поверхности.— 8. Если тело движется по прямой линии на другое тело и не проникает в него, но отражается от него, угол отражения будет равен углу падения.— 9. То же происходит при порождении движения в линии падения.

DEFINITIONS.

Definitions.

I. Преломление есть преломление той прямой линии, в которой тело движется или его действие продолжалось бы в одной и той же среде, на две прямые линии по причине различных свойств двух сред.

II. Первая из них называется линией падения; последняя — преломленной линией. III. Точка преломления есть общая точка линии падения и преломленной линии.