«Основы науки: Наука и гипотеза, Ценность науки, Наука и метод»

1º Что взаимное действие двух элементов сводится к силе, действующей вдоль их соединения;

2º Что действие двух замкнутых токов является равнодействующей взаимных действий их различных элементов, которые, кроме того, такие же, как если бы эти элементы были изолированы.

Примечательно то, что здесь Ампер снова делает эти гипотезы бессознательно.

Как бы то ни было, эти две гипотезы вместе с экспериментами над замкнутыми токами достаточны для полного определения закона взаимного действия двух элементов. Но тогда большинство простых законов, с которыми мы сталкивались в случае замкнутых токов, перестают быть верными.

Во-первых, не существует электродинамического потенциала; его не было, как мы видели, и в случае действия замкнутого тока на разомкнутый.

Далее, собственно говоря, не существует магнитной силы.

И, по сути, мы привели выше три различных определения этой силы:

1º По действию на магнитный полюс;

2º По направляющей паре, которая ориентирует магнитную стрелку;

3º По действию на элемент тока.

Но в случае, который нас сейчас занимает, не только эти три определения перестают быть согласованными, но каждое из них потеряло свой смысл, и на самом деле:

1º На магнитный полюс больше не действует просто одна сила, приложенная к этому полюсу. Мы видели, по сути, что сила, обусловленная действием элемента тока на полюс, приложена не к полюсу, а к элементу; ее, кроме того, можно заменить силой, приложенной к полюсу, и парой сил;

2º Пара, действующая на магнитную стрелку, больше не является простой направляющей парой, так как ее момент относительно оси стрелки не равен нулю. Она распадается на направляющую пару, собственно говоря, и дополнительную пару, которая стремится вызвать непрерывное вращение, о котором мы говорили выше;

3º Наконец, сила, действующая на элемент тока, не нормальна к этому элементу.

Иными словами, единство магнитной силы исчезло.

Посмотрим, в чем состоит это единство. Две системы, которые оказывают одинаковое действие на магнитный полюс, будут оказывать также одинаковое действие на бесконечно малую магнитную стрелку или на элемент тока, помещенный в ту же точку пространства, что и этот полюс.

Что ж, это верно, если эти две системы содержат только замкнутые токи; это перестало бы быть верным, если бы эти две системы содержали разомкнутые токи.

Достаточно заметить, например, что если магнитный полюс помещен в A, а элемент в B, причем направление элемента совпадает с продолжением отрезка AB, то этот элемент, который не будет оказывать никакого действия на этот полюс, будет, с другой стороны, оказывать действие либо на магнитную стрелку, помещенную в точку A, либо на элемент тока, помещенный в точку A.

5. Индукция. — Мы знаем, что открытие электродинамической индукции вскоре последовало за бессмертной работой Ампера.

Пока речь идет только о замкнутых токах, трудностей нет, и Гельмгольц даже заметил, что принцип сохранения энергии достаточен для вывода законов индукции из электродинамических законов Ампера. Но всегда при одном условии, как хорошо показал Бертран: что мы делаем, кроме того, некоторое количество гипотез.

Тот же принцип снова позволяет сделать этот вывод в случае разомкнутых токов, хотя, конечно, мы не можем подвергнуть результат проверке экспериментом, поскольку не можем создавать такие токи.

Если мы попытаемся применить этот метод анализа к теории разомкнутых токов Ампера, мы придем к результатам, которые могут нас удивить.

Во-первых, индукцию нельзя вывести из изменения магнитного поля по формуле, хорошо известной ученым и практикам, и, по сути, как мы сказали, собственно говоря, магнитного поля больше не существует.

Но, кроме того, если цепь C подвергается индукции переменной вольтаической системы S, если эта система S перемещается и деформируется любым способом, так что интенсивность токов этой системы изменяется по любому закону, но после этих изменений система в конечном итоге возвращается в свое исходное положение, кажется естественным предположить, что средняя электродвижущая сила, индуцированная в цепи C, равна нулю.

Это верно, если цепь C замкнута и если система S содержит только замкнутые токи. Это перестало бы быть верным, если принять теорию Ампера, если бы существовали разомкнутые токи. Так что индукция не только перестанет быть изменением потока магнитной силы в любом из обычных смыслов этого слова, но ее нельзя будет представить изменением чего бы то ни было.

II. Теория Гельмгольца. — Я остановился на следствиях теории Ампера и его метода объяснения разомкнутых токов.

Трудно не заметить парадоксальный и искусственный характер положений, к которым мы таким образом приходим. Нельзя не подумать: «этого не может быть».

Мы понимаем поэтому, почему Гельмгольц был вынужден искать что-то другое.

Гельмгольц отвергает фундаментальную гипотезу Ампера, а именно, что взаимное действие двух элементов тока сводится к силе вдоль их соединения. Он предполагает, что элемент тока подвергается не одной силе, а силе и паре сил. Именно это послужило причиной знаменитой полемики между Бертраном и Гельмгольцем.

Гельмгольц заменяет гипотезу Ампера следующей: два элемента всегда допускают электродинамический потенциал, зависящий исключительно от их положения и ориентации; и работа сил, которые они оказывают друг на друга, равна изменению этого потенциала. Таким образом, Гельмгольц не может обойтись без гипотезы больше, чем Ампер; но, по крайней мере, он не делает ее, не объявив об этом явно.

В случае замкнутых токов, которые одни доступны эксперименту, обе теории согласуются.

Во всех остальных случаях они расходятся.

Во-первых, вопреки тому, что предполагал Ампер, сила, которая, по-видимому, действует на подвижную часть замкнутого тока, не та же самая, что действовала бы на эту подвижную часть, если бы она была изолирована и составляла разомкнутый ток.

Вернемся к цепи C´, о которой мы говорили выше и которая была образована подвижным проводом αβ, скользящим по неподвижному проводу. В единственном эксперименте, который можно провести, подвижная часть αβ не изолирована, а является частью замкнутой цепи. Когда она переходит из AB в A´B´, полный электродинамический потенциал изменяется по двум причинам:

1º Он претерпевает первое увеличение, потому что потенциал A´B´ по отношению к цепи C не тот же, что потенциал AB;

2º Он получает второе приращение, потому что его нужно увеличить на потенциалы элементов AA´, BB´ по отношению к C.

Именно это двойное приращение представляет собой работу силы, которой, по-видимому, подвергается часть AB.

Если бы, напротив, αβ был изолирован, потенциал претерпел бы только первое увеличение, и это первое приращение одно измеряло бы работу силы, действующей на AB.

Во-вторых, не могло бы быть непрерывного вращения без скользящего контакта, и, по сути, это, как мы видели à propos замкнутых токов, является непосредственным следствием существования электродинамического потенциала.

В эксперименте Фарадея, если магнит неподвижен и если часть тока вне магнита проходит вдоль подвижного провода, эта подвижная часть может совершать непрерывное вращение. Но это не означает, что если бы контакты провода с магнитом были устранены и разомкнутый ток проходил бы вдоль провода, провод все равно совершал бы движение непрерывного вращения.

Я только что сказал, по сути, что на изолированный элемент действует не так, как на подвижный элемент, являющийся частью замкнутой цепи.

Другое отличие: действие замкнутого соленоида на замкнутый ток равно нулю согласно эксперименту и согласно обеим теориям. Его действие на разомкнутый ток было бы равно нулю согласно Амперу; оно не было бы равно нулю согласно Гельмгольцу. Из этого следует важное следствие. Мы привели выше три определения магнитной силы. Третье здесь не имеет смысла, поскольку на элемент тока больше не действует одна сила. Первое также не имеет смысла. Что, по сути, такое магнитный полюс? Это конец бесконечного линейного магнита. Этот магнит можно заменить бесконечным соленоидом. Чтобы определение магнитной силы имело какой-то смысл, необходимо, чтобы действие, оказываемое разомкнутым током на бесконечный соленоид, зависело только от положения конца этого соленоида, то есть чтобы действие на замкнутый соленоид было равно нулю. Но мы только что видели, что это не так.

С другой стороны, ничто не мешает нам принять второе определение, которое основано на измерении направляющей пары, стремящейся ориентировать магнитную стрелку.

Но если оно принято, ни эффекты индукции, ни электродинамические эффекты не будут зависеть исключительно от распределения силовых линий в этом магнитном поле.

III. Трудности, вызванные этими теориями. — Теория Гельмгольца опережает теорию Ампера; необходимо, однако, чтобы все трудности были устранены. И в той, и в другой фраза «магнитное поле» не имеет смысла, или, если мы придадим ей смысл с помощью более или менее искусственной конвенции, обычные законы, столь знакомые всем электрикам, перестают применяться; так, электродвижущая сила, индуцированная в проводе, больше не измеряется числом силовых линий, пересекаемых этим проводом.

И наше отвращение проистекает не только из трудности отказа от закоренелых привычек языка и мышления. Есть нечто большее. Если мы не верим в действие на расстоянии, электродинамические явления должны объясняться модификацией среды. Именно эту модификацию мы называем «магнитным полем». И тогда электродинамические эффекты должны зависеть только от этого поля.

Все эти трудности возникают из гипотезы разомкнутых токов.

IV. Теория Максвелла. — Таковы были трудности, вызванные доминирующими теориями, когда появился Максвелл, который одним росчерком пера заставил их все исчезнуть. По его мнению, по сути, все токи являются замкнутыми токами. Максвелл предполагает, что если в диэлектрике электрическое поле начинает изменяться, этот диэлектрик становится местом особого явления, действующего на гальванометр как ток, и который он называет током смещения.

Если тогда два проводника, несущие противоположные заряды, приводятся в соединение проводом, в этом проводе во время разряда существует разомкнутый ток проводимости; но в то же время в окружающем диэлектрике возникают токи смещения, которые замыкают этот ток проводимости.

Мы знаем, что теория Максвелла приводит к объяснению оптических явлений, которые были бы обусловлены чрезвычайно быстрыми электрическими колебаниями.

В ту эпоху такая концепция была лишь смелой гипотезой, которая не могла быть подтверждена никаким экспериментом.

Спустя двадцать лет идеи Максвелла получили экспериментальное подтверждение. Герцу удалось создать системы электрических колебаний, которые воспроизводят все свойства света и отличаются от него только длиной волны; то есть так же, как фиолетовый отличается от красного. В некоторой мере он совершил синтез света.

Можно было бы сказать, что Герц не продемонстрировал прямо фундаментальную идею Максвелла — действие тока смещения на гальванометр. Это верно в некотором смысле. Что он показал в итоге, так это то, что электромагнитная индукция распространяется не мгновенно, как предполагалось, а со скоростью света.

Но предполагать, что тока смещения нет, а индукция распространяется со скоростью света, или предполагать, что токи смещения производят эффекты индукции, а индукция распространяется мгновенно, — это одно и то же.

Этого нельзя увидеть с первого взгляда, но это доказано анализом, о приведении здесь даже краткого изложения которого я не могу и думать.

V. Эксперимент Роуланда. — Но, как я сказал выше, существуют два вида разомкнутых токов проводимости. Во-первых, это токи разряда конденсатора или любого проводника.

Существуют также случаи, в которых электрические разряды описывают замкнутый контур, перемещаясь путем проводимости в одной части цепи и путем конвекции в другой части.

Для разомкнутых токов первого рода вопрос можно было считать решенным; они замыкались токами смещения.

Для разомкнутых токов второго рода решение казалось еще более простым. Казалось, что если ток и был замкнут, то только самим током конвекции. Для этого достаточно было предположить, что «ток конвекции», то есть заряженный проводник в движении, может действовать на гальванометр.

Но экспериментального подтверждения не хватало. Казалось трудным, по сути, получить достаточную интенсивность, даже максимально увеличивая заряд и скорость проводников. Именно Роуланд, чрезвычайно искусный экспериментатор, первым преодолел эти трудности. Диск получил сильный электростатический заряд и очень большую скорость вращения. Астатическая магнитная система, помещенная рядом с диском, претерпела отклонения.

Эксперимент был проведен Роуландом дважды: один раз в Берлине, другой раз в Балтиморе. Позже он был повторен Химштедтом. Эти физики даже объявили, что им удалось провести количественные измерения.

Фактически, в течение двадцати лет закон Роуланда принимался без возражений всеми физиками. Кроме того, все, казалось, подтверждало его. Искра, безусловно, производит магнитный эффект. Но не кажется ли вероятным, что разряд искрой обусловлен частицами, взятыми с одного из электродов и перенесенными на другой электрод вместе с их зарядом? Не является ли сам спектр искры, в котором мы узнаем линии металла электрода, доказательством этого? Искра тогда была бы настоящим током конвекции.

С другой стороны, также признается, что в электролите электричество переносится ионами в движении. Ток в электролите был бы, следовательно, также током конвекции; теперь он действует на магнитную стрелку.

То же самое для катодных лучей. Крукс приписывал эти лучи очень тонкой материи, заряженной электричеством и движущейся с очень большой скоростью. Он рассматривал их, иными словами, как токи конвекции. Теперь эти катодные лучи отклоняются магнитом. В силу принципа действия и противодействия они должны, в свою очередь, отклонять магнитную стрелку. Правда, Герц считал, что продемонстрировал, что катодные лучи не несут электричества и не действуют на магнитную стрелку. Но Герц ошибался. Прежде всего, Перрену удалось собрать электричество, переносимое этими лучами, электричество, существование которого Герц отрицал; немецкий ученый, по-видимому, был введен в заблуждение эффектами, обусловленными действием рентгеновских лучей, которые еще не были открыты. Впоследствии, и совсем недавно, действие катодных лучей на магнитную стрелку было доказано.

Таким образом, все эти явления, рассматриваемые как токи конвекции, искры, электролитические токи, катодные лучи, действуют одинаковым образом на гальванометр и в соответствии с законом Роуланда.

VI. Теория Лоренца. — Вскоре мы пошли дальше. Согласно теории Лоренца, сами токи проводимости были бы настоящими токами конвекции. Электричество оставалось бы неразрывно связанным с определенными материальными частицами, называемыми электронами. Циркуляция этих электронов через тела создавала бы вольтаические токи. И то, что отличало бы проводники от изоляторов, заключалось бы в том, что через одни могли бы проходить эти электроны, в то время как другие останавливали бы их движение.

Теория Лоренца очень привлекательна. Она дает очень простое объяснение некоторых явлений, которые более ранние теории, даже теория Максвелла в ее первоначальном виде, не могли объяснить удовлетворительным образом; например, аберрация света, частичное увлечение световых волн, магнитная поляризация и эффект Зеемана.

Некоторые возражения все еще оставались. Явления электрической системы, казалось, зависели от абсолютной скорости поступательного движения центра тяжести этой системы, что противоречит идее, которую мы имеем о относительности пространства. При поддержке М. Кремье М. Липпман представил это возражение в поразительной форме. Представьте себе два заряженных проводника с одинаковой скоростью поступательного движения; они относительно неподвижны. Однако, каждый из них будучи эквивалентным току конвекции, они должны были бы притягиваться друг к другу, и, измеряя это притяжение, мы могли бы измерить их абсолютную скорость.

«Нет!» — ответили сторонники Лоренца. — «То, что мы могли бы измерить таким образом, — это не их абсолютная скорость, а их относительная скорость по отношению к эфиру, так что принцип относительности в безопасности».

Что бы ни было в этих последних возражениях, здание электродинамики, по крайней мере в своих общих чертах, казалось окончательно построенным. Все было представлено в самом удовлетворительном виде. Теории Ампера и Гельмгольца, созданные для разомкнутых токов, которых больше не существовало, казалось, больше не имели ничего, кроме чисто исторического интереса, и неразрешимые сложности, к которым приводили эти теории, были почти забыты.

Это спокойствие было недавно нарушено экспериментами М. Кремье, которые на мгновение, казалось, противоречили результату, ранее полученному Роуландом.

Но новые исследования не подтвердили их, и теория Лоренца победоносно выдержала испытание.

История этих вариаций будет не менее поучительной; она научит нас, каким ловушкам подвергается ученый и как он может надеяться избежать их.

ЦЕННОСТЬ НАУКИ

ВВЕДЕНИЕ ПЕРЕВОДЧИКА

1. Создает ли ученый науку? — Профессор Радош из Будапешта в своем докладе Венгерской академии наук о присуждении Пуанкаре премии Бойяи в десять тысяч крон, говоря о нем как о бесспорно самом мощном исследователе в области математики и математической физики, охарактеризовал его как интуитивного гения, черпающего вдохновение для своих широкомасштабных исследований из неисчерпаемого источника геометрической и физической интуиции, но прорабатывающего это вдохновение в деталях с поразительной логической остротой. С его блестящим творческим гением сочеталась способность к резкому и успешному обобщению, раздвигающему границы мысли в самых разных областях, так что его работы должны быть отнесены к величайшим математическим достижениям всех времен. «Наконец, — говорит Радош, — позвольте мне особо упомянуть его чрезвычайно интересную книгу «Ценность науки», в которой он в некотором роде изложил кредо ученого». Итак, что же это за кредо?

Чувство может действовать как стимул, как нечто наводящее на мысль, но не для того, чтобы пробудить дремлющее изображение или вызвать концепцию архетипической формы, а скорее для того, чтобы пробить час для творчества, призвать к работе скульптора, способного выточить Венеру Милосскую из бесформенной глины. Знание не является даром голого опыта, и оно не сделано исключительно из опыта. Творческая активность ума в математике особенно ясна. Аксиомы геометрии — это конвенции, замаскированные определения или недоказуемые гипотезы, заранее созданные самоактивными животными и человеческими умами. Бертран Рассел говорит о проективной геометрии: «Она ничего не берет из опыта и имеет, подобно арифметике, объектом своего изучения творение чистого интеллекта. Она имеет дело с объектом, свойства которого логически выведены из его определения, а не эмпирически обнаружены из данных». Создает ли тогда ученый науку? Это вопрос, который Пуанкаре здесь препарирует мастерской рукой.

Физиолого-психологическое исследование проблемы пространства должно дать значение слов «геометрический факт», «геометрическая реальность». Пуанкаре здесь подвергает самому успешному анализу, который когда-либо делался, трехмерность нашего пространства.

2. Ум, рассеивающий оптические иллюзии. — Фактическое восприятие пространственных свойств сопровождается движениями, соответствующими его характеру. В случае оптических иллюзий, с так называемыми ложными восприятиями, тесно связаны движения глаз. Но хотя воспринимаемый объект и его окружение остаются постоянными, достаточно мощный ум может, как мы говорим, рассеять эти иллюзии, при этом само восприятие творчески меняется. Фотографии, сделанные с интервалами во время присутствия этих оптических иллюзий, во время изменения, возможно, постепенного и бессознательного, в восприятии, и после того, как эти иллюзии, как говорится, окончательно исчезли, показывают совершенно ясно, что изменения в движениях глаз, соответствующие тем, что внутренне созданы в самом восприятии, происходят последовательно. То, что называется точностью движения, создается тем, что называется правильностью восприятия. Высшее творчество в восприятии является определяющей причиной улучшения, точности в движении. Таким образом, мы видим, как правильное восприятие у индивида помогает создать ту церебральную организацию и точную моторную настройку, от которых, по-видимому, в такой степени зависят его возможность и постоянство. Так называемое правильное восприятие связано с длительным процессом перцептивного образования, мотивированным и инициированным изнутри. Как это может происходить, здесь подробно иллюстрируется нашим автором.

3. Евклид не обязателен. — Геометрия — это конструкция интеллекта, в применении не достоверная, но удобная. Как говорит Шиллер, когда мы видим эти факты так же ясно, как развитие метагеометрии заставило нас их видеть, мы должны, безусловно, признать, что кантовское описание пространства безнадежно и доказуемо устарело. Как говорит Ройс в «Доктрине Канта об основании математики»: «Само использование интуиции, которое Кант считал геометрически идеальным, современный геометр считает научно дефектным, потому что суррогатным. Никакой математической точности без явного доказательства из принятых принципов — таков девиз современного геометра. Но предположим, что рассуждения Евклида очищены от этого сравнительно суррогатного обращения к интуиции. Предположим, что принципы геометрии сделаны совершенно явными в самом начале трактата, как Пьери и Гильберт или профессор Хэлстед или доктор Веблен делает свои принципы явными в своей недавней трактовке геометрии. Тогда, действительно, геометрия становится для современного математика чисто рациональной наукой. Но очень немногие исследователи логики математики в настоящее время могут увидеть какое-либо основание в анализе геометрической истины для того, чтобы рассматривать именно евклидову систему принципов как обладающую какой-либо обнаруживаемой необходимостью». Тем не менее, экологические и, возможно, наследственные премии Евклиду все еще заставляют даже ученого считать Евклида наиболее удобным.

4. Без гипотез нет науки. — Никто никогда не наблюдал равноудаленную линию, но также никто никогда не наблюдал прямую линию. Уриэль Эмерсона

«Высказал свое божественное мнение Против бытия линии. Линии в Природе не найти».

Ясно, что нет, будучи выбросом из человеческого ума. То, что называется «знанием фактов», обычно является лишь субъективным осознанием того, что старые гипотезы все еще достаточно эластичны, чтобы служить в какой-то области; то есть с достаточным количеством сознательных или бессознательных упущений, подтасовок и фальсификаций, более или менее преднамеренных. В настоящей книге мы видим, как самые фундаментальные камни науки, сохранение энергии и неразрушимость материи, бьются о прутья своих клеток, по-видимому, стремясь улететь в эмпиреи, чтобы преследовать некогда божественный постулат о параллельных, вырвавшийся из Евклида и Канта.

5. Какой результат? — Каков теперь определенный, постоянный результат? Какие новые островки поднимают свои перистые пальмы в воздухе в музыкальной области мысли? Над какими поседевшими от времени барьерами поднимаются ароматные потоки этого нового весеннего прилива, благоухающие лесом Трансильвании, где бродят волки, далекой погружающейся рекой Эрдели, горьким Марошем или широкой матушкой Волгой у Казани? Какая победа возвестила о великой ракете, за которую юный Лобачевский, сын вдовы, был брошен в тюрьму? Какое разрывание вековых ментальных оков символизировало то, что юный Бойяи своим дамасским клинком срезал шипы, вбитые в его дверной косяк, и разбросал по дерну тринадцать австрийских кавалерийских офицеров? Эта книга величайшего математика нашего времени дает самый весомый и самый очаровательный ответ.

Джордж Брюс Хэлстед.

ВВЕДЕНИЕ

Поиск истины должен быть целью нашей деятельности; это единственная цель, достойная ее. Несомненно, мы должны сначала направить наши усилия на облегчение человеческих страданий, но зачем? Не страдать — это негативный идеал, более верно достигаемый уничтожением мира. Если мы хотим все больше и больше освобождать человека от материальных забот, то это для того, чтобы он мог использовать полученную свободу в изучении и созерцании истины.

Но иногда истина пугает нас. И, по сути, мы знаем, что она иногда обманчива, что это призрак, никогда не показывающийся ни на мгновение, кроме как для того, чтобы непрестанно бежать, что ее нужно преследовать все дальше и дальше, так и не достигнув. И все же, чтобы работать, нужно остановиться, как сказал какой-то грек, Аристотель или другой. Мы также знаем, как часто жестока истина, и мы задаемся вопросом, не является ли иллюзия более утешительной, да, даже более бодрящей, ибо именно иллюзия дает уверенность. Когда она исчезнет, останется ли надежда и хватит ли у нас мужества достичь цели? Разве не отказался бы идти конь, запряженный в беговую дорожку, если бы его глаза не были завязаны? А затем, чтобы искать истину, необходимо быть независимым, полностью независимым. Если, напротив, мы хотим действовать, быть сильными, мы должны быть едины. Вот почему многие из нас боятся истины; мы считаем ее причиной слабости. И все же истины не следует бояться, ибо только она прекрасна.

Когда я говорю здесь об истине, я, безусловно, имею в виду прежде всего научную истину; но я также имею в виду моральную истину, аспектом которой является то, что мы называем справедливостью. Может показаться, что я злоупотребляю словами, что я объединяю таким образом под одним именем две вещи, не имеющие ничего общего; что научная истина, которая доказана, никоим образом не может быть уподоблена моральной истине, которая чувствуется. И все же я не могу отделить их, и всякий, кто любит одну, не может не любить другую. Чтобы найти одну, так же как и найти другую, необходимо полностью освободить душу от предрассудков и страстей; необходимо достичь абсолютной искренности. Эти два вида истины, будучи обнаруженными, приносят одинаковую радость; каждая при восприятии сияет тем же великолепием, так что мы должны видеть ее или закрыть глаза. Наконец, обе привлекают нас и бегут от нас; они никогда не фиксированы: когда мы думаем, что достигли их, мы обнаруживаем, что нам все еще нужно продвигаться, и тот, кто преследует их, обречен никогда не знать покоя. Нужно добавить, что те, кто боится одной, будут бояться и другой; ибо это те, кто во всем заботится прежде всего о последствиях. Одним словом, я уподобляю две истины, потому что одни и те же причины заставляют нас любить их и потому что одни и те же причины заставляют нас бояться их.

Если мы не должны бояться моральной истины, тем более мы не должны страшиться научной истины. Во-первых, она не может конфликтовать с этикой. Этика и наука имеют свои собственные области, которые соприкасаются, но не проникают друг в друга. Одна показывает нам, к какой цели мы должны стремиться, другая, при заданной цели, учит нас, как ее достичь. Поэтому они никогда не могут конфликтовать, так как никогда не могут встретиться. Не может быть более безнравственной науки, чем может быть научная мораль.

Но если науки боятся, то прежде всего потому, что она не может дать нам счастья. Конечно, не может. Мы можем даже спросить, не страдает ли зверь меньше, чем человек. Но можем ли мы сожалеть о том земном рае, где человек, подобно животному, был поистине бессмертен, не зная, что должен умереть? Когда мы вкусили яблоко, никакое страдание не заставит нас забыть его вкус. Мы всегда возвращаемся к нему. Могло ли быть иначе? Так же хорошо спросить, не будет ли тосковать по свету тот, кто видел, а теперь слеп. Человек, таким образом, не может быть счастлив через науку, но сегодня он может гораздо меньше быть счастлив без нее.

Но если истина — единственная цель, достойная преследования, можем ли мы надеяться достичь ее? В этом вполне можно усомниться. Читатели моей маленькой книги «Наука и гипотеза» уже знают, что я думаю по этому вопросу. Истина, которую нам позволено увидеть, — это не совсем то, что большинство людей называют этим именем. Означает ли это, что наше самое законное, самое императивное стремление является в то же время самым тщетным? Или мы можем, несмотря ни на что, приблизиться к истине с какой-то стороны? Это то, что должно быть исследовано.

Во-первых, какой инструмент есть в нашем распоряжении для этого завоевания? Не является ли человеческий интеллект, более конкретно интеллект ученого, восприимчивым к бесконечным вариациям? Можно было бы написать тома, не исчерпав этой темы; я же на нескольких кратких страницах лишь слегка коснулся ее. Что ум геометра не похож на ум физика или натуралиста, согласился бы весь мир; но математики сами по себе не похожи друг на друга; одни признают только беспощадную логику, другие апеллируют к интуиции и видят в ней единственный источник открытия. И это было бы причиной для недоверия. Могут ли математические теоремы предстать в одном и том же свете перед столь непохожими умами? Истина, которая не одна и та же для всех, — истина ли это? Но присмотревшись к вещам ближе, мы видим, как эти очень разные работники сотрудничают в общем деле, которое не могло бы быть достигнуто без их кооперации. И это уже успокаивает нас.

Далее должны быть исследованы рамки, в которые природа, кажется, заключена и которые называются временем и пространством. В «Науке и гипотезе» я уже показал, насколько относительна их ценность; не природа навязывает их нам, это мы навязываем их природе, потому что находим их удобными. Но я говорил едва ли о чем-то большем, чем пространство, и особенно количественное пространство, так сказать, то есть о математических отношениях, совокупность которых составляет геометрию. Я должен был показать, что то же самое с временем, что и с пространством, и все то же самое с «качественным пространством»; в частности, я должен был исследовать, почему мы приписываем пространству три измерения. Мне можно простить, таким образом, возвращение к этим важным вопросам.

Является ли тогда математический анализ, чьей главной целью является изучение этих пустых рамок, лишь пустой игрой ума? Он может дать физику только удобный язык; не является ли это посредственной услугой, без которой, строго говоря, можно было бы обойтись; и даже не следует ли опасаться, что этот искусственный язык может быть завесой, простертой между реальностью и глазом физика? Далеко от этого; без этого языка большинство интимных аналогий вещей навсегда остались бы нам неизвестны; и мы навсегда остались бы в неведении относительно внутренней гармонии мира, которая, как мы увидим, является единственной истинной объективной реальностью.

Лучшим выражением этой гармонии является закон. Закон — одно из самых недавних завоеваний человеческого ума; все еще есть люди, которые живут в присутствии постоянного чуда и не удивляются ему. Напротив, именно мы должны удивляться регулярности природы. Люди требуют от своих богов доказать свое существование чудесами; но вечное чудо в том, что чудеса не происходят непрестанно. Мир божественен, потому что он — гармония. Если бы им правил каприз, что могло бы доказать нам, что им не правит случай?

Этим завоеванием закона мы обязаны астрономии, и именно это составляет величие науки, а не материальное величие объектов, которые она рассматривает. Было совершенно естественно, таким образом, что небесная механика стала первой моделью математической физики; но с тех пор эта наука развилась; она все еще развивается, даже быстро развивается. И уже необходимо изменить в некоторых пунктах схему, из которой я извлек две главы «Науки и гипотезы». В докладе на выставке в Сент-Луисе я стремился обозреть пройденный путь; результат этого исследования читатель увидит далее.

Прогресс науки, казалось, поставил под угрозу самые устоявшиеся принципы, даже те, которые считались фундаментальными. И все же ничто не показывает, что они не будут спасены; и если это произойдет лишь несовершенно, они все равно будут существовать, даже если они будут изменены. Продвижение науки сравнимо не с изменениями города, где старые здания безжалостно сносятся, чтобы уступить место новым, а с непрерывной эволюцией зоологических типов, которые развиваются непрестанно и в конечном итоге становятся неузнаваемыми для обычного взгляда, но где экспертный глаз всегда находит следы предшествующей работы прошлых столетий. Не следует думать тогда, что старомодные теории были бесплодными и тщетными.

Если бы мы остановились на этом, мы нашли бы на этих страницах некоторые основания для доверия к ценности науки, но гораздо больше — для недоверия к ней; осталось бы впечатление сомнения; теперь необходимо все расставить по своим местам.

Некоторые люди преувеличили роль условности в науке; они дошли даже до утверждения, что закон, что сам научный факт создается ученым. Это слишком далеко заходит в сторону номинализма. Нет, научные законы не являются искусственными созданиями; у нас нет оснований считать их случайными, хотя невозможно доказать обратное.

Существует ли гармония, которую человеческий разум, как ему кажется, обнаруживает в природе, вне этого разума? Нет, вне всякого сомнения, реальность, полностью независимая от сознания, которое ее постигает, видит или чувствует, — это невозможность. Столь внешний мир, даже если бы он существовал, был бы для нас навсегда недоступен. Но то, что мы называем объективной реальностью, в конечном счете есть то, что является общим для многих мыслящих существ и могло бы быть общим для всех; эта общая часть, как мы увидим, может быть только гармонией, выраженной математическими законами. Именно эта гармония и есть единственная объективная реальность, единственная истина, которую мы можем достичь; и когда я добавляю, что всеобщая гармония мира является источником всей красоты, станет понятно, какую цену мы должны придавать медленному и трудному прогрессу, который мало-помалу позволяет нам познавать ее лучше.

ЧАСТЬ I МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ГЛАВА I

Интуиция и логика в математике

I

Невозможно изучать труды великих математиков, или даже тех, кто менее значителен, не замечая и не различая две противоположные тенденции, или, скорее, два совершенно разных типа ума. Одни прежде всего озабочены логикой; читая их работы, искушаешься поверить, что они продвигались только шаг за шагом, на манер Вобана, который ведет свои траншеи против осажденной крепости, не оставляя ничего на волю случая. Другие руководствуются интуицией и с первого же удара совершают быстрые, но порой ненадежные завоевания, подобно отважным кавалеристам передового отряда.

Метод не навязывается предметом исследования. Хотя о первых часто говорят, что они «аналитики», а других называют «геометрами», это не мешает первым оставаться аналитиками, даже когда они работают над геометрией, в то время как вторые остаются геометрами, даже когда занимаются чистым анализом. Именно сама природа их ума делает их логиками или интуитивистами, и они не могут отбросить ее, когда приступают к новому предмету.

И не образование развило в них одну из двух тенденций и подавило другую. Математиками рождаются, а не становятся, и, кажется, рождаются геометрами или аналитиками. Я хотел бы привести примеры, и их, безусловно, предостаточно; но чтобы подчеркнуть контраст, я начну с крайнего примера, взяв на себя смелость поискать его у двух ныне живущих математиков.

Г-н Мера хочет доказать, что двучленное уравнение всегда имеет корень, или, говоря обычными словами, что угол всегда можно разделить. Если и есть истина, которую мы, как нам кажется, знаем благодаря прямой интуиции, то это она. Кто может сомневаться в том, что угол всегда можно разделить на любое число равных частей? Г-н Мера смотрит на это иначе; в его глазах это положение вовсе не очевидно, и для его доказательства ему требуется несколько страниц.

С другой стороны, посмотрите на профессора Клейна: он изучает один из самых абстрактных вопросов теории функций — определить, существует ли всегда на данной римановой поверхности функция, допускающая заданные особенности. Что делает знаменитый немецкий геометр? Он заменяет свою риманову поверхность металлической поверхностью, электрическая проводимость которой меняется по определенным законам. Он соединяет две ее точки с двумя полюсами батареи. Ток, говорит он, должен пройти, и распределение этого тока на поверхности определит функцию, особенности которой будут в точности такими, как того требует условие.

Несомненно, профессор Клейн хорошо знает, что дал здесь лишь набросок; тем не менее он не побоялся его опубликовать; и он, вероятно, считает, что находит в нем, если не строгое доказательство, то по крайней мере своего рода моральную уверенность. Логик отверг бы с ужасом такую концепцию, или, вернее, ему не пришлось бы ее отвергать, потому что в его уме она никогда бы не возникла.

Опять же, позвольте мне сравнить двух людей, гордость французской науки, которые недавно покинули нас, но оба давно вошли в бессмертие. Я говорю о г-не Бертране и г-не Эрмите. Они были учениками одной школы в одно и то же время; они получили одинаковое образование, находились под одинаковым влиянием; и все же какая разница! Она проявляется не только в их трудах; она в их преподавании, в их манере говорить, в самом их взгляде. В памяти всех их учеников эти два лица запечатлены бессмертными чертами; для всех, кто имел удовольствие следовать их преподаванию, это воспоминание еще свежо; нам легко его вызвать.

Во время разговора г-н Бертран всегда в движении; то он кажется сражающимся с каким-то внешним врагом, то жестом руки очерчивает фигуры, которые изучает. Очевидно, он видит и стремится изобразить, вот почему он призывает на помощь жест. У г-на Эрмита все как раз наоборот; его глаза, кажется, избегают контакта с миром; не вовне, а внутри ищет он видение истины.

Среди немецких геометров этого столетия два имени прежде всего прославлены — это имена двух ученых, основавших общую теорию функций: Вейерштрасса и Римана. Вейерштрасс сводит все к рассмотрению рядов и их аналитических преобразований; лучше сказать, он сводит анализ к своего рода продолжению арифметики; вы можете пролистать все его книги, не найдя ни одного чертежа. Риман, напротив, сразу призывает на помощь геометрию; каждая из его концепций — это образ, который никто не может забыть, однажды уловив его смысл.

Совсем недавно Ли был интуитивистом; в этом можно было усомниться, читая его книги, но никто не мог бы усомниться после разговора с ним; вы сразу видели, что он мыслит образами. Мадам Ковалевская была логиком.

Среди наших студентов мы замечаем те же различия; одни предпочитают решать свои задачи «аналитически», другие — «геометрически». Первые неспособны «видеть в пространстве», вторые быстро устают от длинных вычислений и приходят в замешательство.

Оба типа ума одинаково необходимы для прогресса науки; как логики, так и интуитивисты достигли великих вещей, которые другие не смогли бы сделать. Кто осмелился бы сказать, что он предпочел бы, чтобы Вейерштрасс никогда не писал или чтобы никогда не было Римана? Анализ и синтез имеют, таким образом, свои законные роли. Но интересно изучить более пристально в истории науки ту часть, которая принадлежит каждому.

II

Странно! Если мы перечитываем работы древних, мы склонны причислить их всех к интуитивистам. И все же природа всегда одна и та же; вряд ли вероятно, что она начала в этом столетии создавать умы, преданные логике. Если бы мы могли погрузиться в поток идей, господствовавших в их время, мы бы признали, что многие из старых геометров были по своей склонности аналитиками. Евклид, например, воздвиг научное сооружение, в котором его современники не могли найти изъяна. В этой обширной конструкции, каждая часть которой, однако, обязана интуицией, мы можем еще сегодня, без особого труда, распознать работу логика.

Изменились не умы, а идеи; интуитивные умы остались прежними; но их читатели потребовали от них больших уступок.

В чем причина этой эволюции? Ее нетрудно найти. Интуиция не может дать нам строгости, и даже уверенности; это признается все больше и больше. Приведем несколько примеров. Мы знаем, что существуют непрерывные функции, не имеющие производных. Ничто не является более шокирующим для интуиции, чем это положение, которое навязывается нам логикой. Наши отцы не преминули бы сказать: «Очевидно, что каждая непрерывная функция имеет производную, так как каждая кривая имеет касательную».

Как может интуиция обмануть нас в этом пункте? Это потому, что, когда мы стремимся представить себе кривую, мы не можем вообразить ее без ширины; точно так же, когда мы представляем себе прямую линию, мы видим ее в форме прямолинейной полосы определенной ширины. Мы хорошо знаем, что эти линии не имеют ширины; мы пытаемся представить их все более узкими и таким образом приблизиться к пределу; так мы и делаем в известной мере, но мы никогда не достигнем этого предела. И тогда ясно, что мы всегда можем представить эти две узкие полосы, одну прямую, другую кривую, в таком положении, чтобы они слегка перекрывали друг друга, не пересекаясь. Мы будем таким образом приведены, если нас не предупредит строгий анализ, к заключению, что кривая всегда имеет касательную.

Я возьму в качестве второго примера принцип Дирихле, на котором покоится так много теорем математической физики; сегодня мы устанавливаем его с помощью рассуждений очень строгих, но очень длинных; прежде же, напротив, мы довольствовались очень кратким доказательством. Некоторый интеграл, зависящий от произвольной функции, никогда не может обратиться в нуль. Отсюда делается вывод, что он должен иметь минимум. Изъян в этом рассуждении поражает нас немедленно, так как мы используем абстрактный термин «функция» и знакомы со всеми особенностями, которые могут представлять функции, когда слово понимается в самом общем смысле.

Но было бы иначе, если бы мы использовали конкретные образы, если бы, например, мы рассматривали эту функцию как электрический потенциал; считалось бы законным утверждать, что электростатическое равновесие может быть достигнуто. Хотя, возможно, физическое сравнение пробудило бы некоторое смутное недоверие. Но если бы позаботились перевести рассуждение на язык геометрии, промежуточный между языком анализа и языком физики, несомненно, это недоверие не возникло бы, и, возможно, можно было бы таким образом даже сегодня все еще обманывать многих непредупрежденных читателей.

Интуиция, следовательно, не дает нам уверенности. Вот почему эволюция должна была произойти; посмотрим теперь, как она произошла.

Не замедлили заметить, что строгость не может быть введена в рассуждения, если сначала не заставить ее войти в определения. По большей части объекты, рассматриваемые математиками, долгое время были плохо определены; предполагалось, что они известны, поскольку представлены посредством чувств или воображения; но имели лишь грубый образ их, а не точную идею, за которую могло бы ухватиться рассуждение. Именно здесь логики должны были прежде всего направить свои усилия.

Так, в случае несоизмеримых чисел. Смутная идея непрерывности, которой мы обязаны интуиции, разрешилась в сложную систему неравенств, относящихся к целым числам.

Этим путем трудности, возникающие при переходе к пределу или при рассмотрении бесконечно малых, окончательно устраняются. Сегодня в анализе остались только целые числа или системы, конечные или бесконечные, целых чисел, связанных сетью отношений равенства или неравенства. Математика, как говорят, арифметизирована.

III

Возникает первый вопрос. Закончена ли эта эволюция? Достигли ли мы наконец абсолютной строгости? На каждом этапе эволюции наши отцы также думали, что достигли ее. Если они обманывались, не обманываемся ли мы точно так же?

Мы верим, что в наших рассуждениях мы больше не апеллируем к интуиции; философы скажут нам, что это иллюзия. Чистая логика никогда не могла бы привести нас ни к чему, кроме тавтологий; она не могла бы создать ничего нового; не из нее одной может исходить какая-либо наука. В одном смысле эти философы правы; чтобы создать арифметику, как и геометрию, или любую науку, необходимо нечто иное, чем чистая логика. Для обозначения этого «чего-то иного» у нас нет другого слова, кроме «интуиция». Но сколько разных идей скрыто под этим же словом?

Сравните эти четыре аксиомы: (1) Две величины, равные третьей, равны между собой; (2) если теорема верна для числа 1 и если мы докажем, что она верна для n + 1, если верна для n, то она будет верна для всех целых чисел; (3) если на прямой точка C находится между A и B, а точка D между A и C, то точка D будет между A и B; (4) через данную точку проходит не более одной параллельной к данной прямой.

Все четыре приписываются интуиции, и все же первая является формулировкой одного из правил формальной логики; вторая — это реальное синтетическое суждение a priori, это фундамент строгой математической индукции; третья — это апелляция к воображению; четвертая — замаскированное определение.

Интуиция не обязательно основана на очевидности чувств; чувства вскоре стали бы бессильны; например, мы не можем представить себе хилиагон, и все же мы рассуждаем интуитивно о многоугольниках в целом, которые включают хилиагон как частный случай.

Вы знаете, что Понселе понимал под «принципом непрерывности». Что верно для вещественной величины, говорил Понселе, должно быть верно для мнимой величины; что верно для гиперболы, чьи асимптоты вещественны, должно быть верно для эллипса, чьи асимптоты мнимы. Понселе был одним из самых интуитивных умов этого столетия; он был страстно, почти демонстративно таковым; он рассматривал принцип непрерывности как одну из своих самых смелых концепций, и все же этот принцип не покоился на очевидности чувств. Уподобить гиперболу эллипсу — это скорее противоречило этой очевидности. Это был лишь своего рода преждевременный и инстинктивный процесс обобщения, который, впрочем, я не имею желания защищать.

У нас есть, таким образом, много видов интуиции; во-первых, апелляция к чувствам и воображению; затем, обобщение путем индукции, скопированное, так сказать, с процедур экспериментальных наук; наконец, у нас есть интуиция чистого числа, откуда возникла вторая из только что сформулированных аксиом, которая способна создавать реальное математическое рассуждение. Я показал выше на примерах, что первые два не могут дать нам уверенности; но кто всерьез усомнится в третьем, кто усомнится в арифметике?

Теперь в анализе сегодняшнего дня, когда заботятся о том, чтобы быть строгими, не может быть ничего, кроме силлогизмов или апелляций к этой интуиции чистого числа, единственной интуиции, которая не может нас обмануть. Можно сказать, что сегодня достигнута абсолютная строгость.

IV

Философы выдвигают еще одно возражение: «То, что вы выигрываете в строгости, — говорят они, — вы теряете в объективности. Вы можете подняться к своему логическому идеалу, только разорвав связи, которые привязывают вас к реальности. Ваша наука непогрешима, но она может оставаться таковой, лишь заточив себя в башню из слоновой кости и отказавшись от всякой связи с внешним миром. Из этого уединения она должна выйти, когда попытается сделать малейшее применение».

Например, я стремлюсь показать, что некоторое свойство относится к некоторому объекту, концепция которого кажется мне поначалу неопределимой, потому что она интуитивна. Сначала я терплю неудачу или должен довольствоваться приблизительными доказательствами; наконец, я решаю дать своему объекту точное определение, и это позволяет мне установить это свойство безупречным образом.

«И тогда, — говорят философы, — еще остается показать, что объект, который соответствует этому определению, действительно тот же самый, что стал известен вам благодаря интуиции; или же что какой-то реальный и конкретный объект, соответствие которого вашей интуитивной идее вы, как полагаете, сразу узнаете, соответствует вашему новому определению. Только тогда вы могли бы утверждать, что он обладает рассматриваемым свойством. Вы только переместили трудность».

Это не совсем так; трудность не была перемещена, она была разделена. Положение, которое нужно было установить, в действительности состояло из двух разных истин, поначалу не различавшихся. Первая была математической истиной, и теперь она строго установлена. Вторая была экспериментальной истиной. Только опыт может научить нас, что какой-то реальный и конкретный объект соответствует или не соответствует какому-то абстрактному определению. Эта вторая истина не доказана математически, но она и не может быть таковой, не более, чем эмпирические законы физических и естественных наук. Было бы неразумно требовать большего.

Что ж, разве это не большой прогресс — различить то, что долго ошибочно смешивали? Означает ли это, что от этого возражения философов ничего не осталось? Этого я не намерен говорить; становясь строгой, математическая наука приобретает характер настолько искусственный, что поражает каждого; она забывает свои исторические истоки; мы видим, как можно ответить на вопросы, мы больше не видим, как и почему они ставятся.

Это показывает нам, что логики недостаточно; что наука доказательства — это не вся наука и что интуиция должна сохранить свою роль как дополнение, я готов был сказать — как противовес или как антидот логики.

У меня уже был случай настаивать на месте, которое интуиция должна занимать в преподавании математических наук. Без нее молодые умы не могли бы начать понимать математику; они не могли бы научиться любить ее и видели бы в ней только пустую логомахию; прежде всего, без интуиции они никогда не стали бы способны применять математику. Но теперь я хочу прежде всего говорить о роли интуиции в самой науке. Если она полезна студенту, она еще более полезна ученому-творцу.

V

Мы ищем реальность, но что такое реальность? Физиологи говорят нам, что организмы сформированы из клеток; химики добавляют, что сами клетки сформированы из атомов. Означает ли это, что эти атомы или эти клетки составляют реальность, или, скорее, единственную реальность? То, как эти клетки расположены и из чего проистекает единство индивида, — не является ли это также реальностью, гораздо более интересной, чем реальность изолированных элементов, и должен ли натуралист, который никогда не изучал слона иначе как с помощью микроскопа, считать себя достаточно знакомым с этим животным?

Что ж, в математике есть нечто аналогичное этому. Логик разрезает, так сказать, каждое доказательство на очень большое число элементарных операций; когда мы исследовали эти операции одну за другой и убедились, что каждая верна, должны ли мы думать, что уловили реальный смысл доказательства? Поймем ли мы его даже тогда, когда усилием памяти станем способны повторить это доказательство, воспроизведя все эти элементарные операции в том самом порядке, в каком их расположил изобретатель? Очевидно, нет; мы еще не будем обладать всей реальностью; то «не знаю что», которое составляет единство доказательства, полностью ускользнет от нас.

Чистый анализ предоставляет в наше распоряжение множество процедур, непогрешимость которых он гарантирует; он открывает нам тысячу различных путей, на которые мы можем вступить со всей уверенностью; мы уверены, что не встретим там никаких препятствий; но из всех этих путей какой приведет нас наиболее быстро к нашей цели? Кто скажет нам, какой выбрать? Нам нужна способность, которая заставляет нас видеть цель издалека, и интуиция — это и есть такая способность. Она необходима исследователю для выбора своего маршрута; она не менее необходима тому, кто следует по его следам и хочет знать, почему он его выбрал.

Если вы присутствуете при игре в шахматы, для понимания игры будет недостаточно знать правила перемещения фигур. Это позволит вам лишь распознать, что каждый ход был сделан в соответствии с этими правилами, и это знание действительно будет иметь очень малую ценность. И все же именно это сделал бы читатель книги по математике, если бы он был только логиком. Понимать игру — это совсем другое дело; это значит знать, почему игрок передвигает эту фигуру, а не ту другую, которую он мог бы передвинуть, не нарушая правил игры. Это значит воспринимать внутреннюю причину, которая делает из этой серии последовательных ходов своего рода организованное целое. Эта способность еще более необходима самому игроку, то есть изобретателю.

Оставим это сравнение и вернемся к математике. Например, посмотрите, что произошло с идеей непрерывной функции. Поначалу это был лишь чувственный образ, например, непрерывного следа, оставленного мелом на классной доске. Затем она мало-помалу стала более утонченной; вскоре она была использована для построения сложной системы неравенств, которая воспроизводила, так сказать, все линии исходного образа; это построение закончено, кружала арки, так сказать, были удалены, то грубое представление, которое временно служило опорой и которое было впоследствии бесполезно, было отвергнуто; осталось только само построение, безупречное в глазах логика. И все же, если бы первоначальный образ полностью исчез из нашего воспоминания, как могли бы мы угадать, по какому капризу все эти неравенства были воздвигнуты таким образом одно на другое?

Возможно, вы думаете, что я использую слишком много сравнений; все же простите еще одно. Вы, несомненно, видели те тонкие скопления кремнистых игл, которые образуют скелет некоторых губок. Когда органическое вещество исчезло, остается только хрупкое и изящное кружево. Правда, там нет ничего, кроме кремнезема, но что интересно, так это форма, которую принял этот кремнезем, и мы не могли бы понять ее, если бы не знали живую губку, которая придала ему именно эту форму. Так и старые интуитивные понятия наших отцов, даже когда мы отказались от них, все еще запечатлевают свою форму на логических конструкциях, которые мы поставили на их место.

Этот взгляд на совокупность необходим изобретателю; он столь же необходим всякому, кто желает действительно понять изобретателя. Может ли логика дать его нам? Нет; названия, которые математики дают ей, было бы достаточно, чтобы доказать это. В математике логика называется «анализом», а анализ означает «деление», «расчленение». Она может иметь, следовательно, не иное орудие, кроме скальпеля и микроскопа.

Таким образом, логика и интуиция имеют каждая свою необходимую роль. Каждая незаменима. Логика, которая одна может дать уверенность, есть инструмент доказательства; интуиция — инструмент изобретения.

VI

Но в момент формулирования этого вывода меня охватывают сомнения. Вначале я различал два вида математических умов: одни — логики и аналитики, другие — интуитивисты и геометры. Что ж, аналитики тоже были изобретателями. Имена, которые я только что привел, делают мое настаивание на этом излишним.

Здесь есть противоречие, по крайней мере кажущееся, которое нуждается в объяснении. И во-первых, думаете ли вы, что эти логики всегда переходили от общего к частному, как того, казалось бы, требуют правила формальной логики? Не так могли бы они расширить границы науки; научное завоевание совершается только путем обобщения.

В одной из глав «Науки и гипотезы» у меня был случай изучить природу математического рассуждения, и я показал, как это рассуждение, не переставая быть абсолютно строгим, могло поднять нас от частного к общему с помощью процедуры, которую я назвал «математической индукцией». Именно с помощью этой процедуры аналитики заставляли науку прогрессировать, и если мы рассмотрим саму деталь их доказательств, мы найдем ее там в каждый момент рядом с классическим силлогизмом Аристотеля. Мы, следовательно, видим уже, что аналитики — это не просто творцы силлогизмов на манер схоластов.