«Основы науки: Наука и гипотеза, Ценность науки, Наука и метод»

К тому же, думаете ли вы, что они всегда маршировали шаг за шагом без видения цели, которой желали достичь? Они должны были угадать путь, ведущий туда, и для этого им нужен был проводник. Этот проводник — прежде всего аналогия. Например, один из методов доказательства, дорогой аналитикам, — это метод, основанный на использовании доминирующих функций. Мы знаем, что он уже послужил для решения множества задач; в чем же состоит тогда роль изобретателя, который желает применить его к новой задаче? Вначале он должен распознать аналогию этого вопроса с теми, которые уже были решены этим методом; затем он должен уловить, в чем этот новый вопрос отличается от других, и отсюда вывести модификации, необходимые для применения к методу.

Но как воспринимают эти аналогии и эти различия? В только что приведенном примере они почти всегда очевидны, но я мог бы найти другие, где они были бы гораздо глубже скрыты; часто для их обнаружения необходима очень необычная проницательность. Аналитики, чтобы не упустить эти скрытые аналогии, то есть чтобы быть изобретателями, должны, без помощи чувств и воображения, иметь прямое чувство того, что составляет единство доказательства, что составляет, так сказать, его душу и сокровенную жизнь.

Когда разговаривали с г-ном Эрмитом, он никогда не вызывал чувственного образа, и все же вы вскоре замечали, что самые абстрактные сущности были для него как живые существа. Он не видел их, но он чувствовал, что они не являются искусственным скоплением и что они имеют какой-то принцип внутреннего единства.

Но, скажут, это все еще интуиция. Должны ли мы заключить, что различие, сделанное вначале, было лишь кажущимся, что существует только один сорт ума и что все математики — интуитивисты, по крайней мере те, кто способен изобретать?

Нет, наше различие соответствует чему-то реальному. Я сказал выше, что существует много видов интуиции. Я сказал, насколько интуиция чистого числа, откуда происходит строгая математическая индукция, отличается от чувственной интуиции, в которую воображение, собственно говоря, является главным вкладчиком.

Является ли бездна, которая их разделяет, менее глубокой, чем казалось поначалу? Могли бы мы признать с небольшим вниманием, что эта чистая интуиция сама не могла бы обойтись без помощи чувств? Это дело психолога и метафизика, и я не буду обсуждать этот вопрос. Но того, что вещь сомнительна, достаточно, чтобы оправдать меня в признании и утверждении существенного различия между двумя видами интуиции; они не имеют одного и того же объекта и, кажется, приводят в действие две разные способности нашей души; можно было бы подумать о двух прожекторах, направленных на два мира, чуждых друг другу.

Именно интуиция чистого числа, интуиция чистых логических форм, освещает и направляет тех, кого мы назвали «аналитиками». Именно она позволяет им не только доказывать, но и изобретать. С ее помощью они воспринимают с первого взгляда общий план логического здания, и притом без того, чтобы чувства, казалось, вмешивались. Отвергая помощь воображения, которое, как мы видели, не всегда непогрешимо, они могут продвигаться без страха обмануться. Счастливы, следовательно, те, кто может обойтись без этой помощи! Мы должны восхищаться ими; но как они редки!

Среди аналитиков будут, следовательно, изобретатели, но их будет мало. Большинство из нас, если бы мы пожелали видеть вдаль только с помощью чистой интуиции, вскоре почувствовали бы себя охваченными головокружением. Наша слабость нуждается в посохе более твердом, и, несмотря на исключения, о которых мы только что говорили, остается верным, что чувственная интуиция в математике — самый обычный инструмент изобретения.

По поводу этих размышлений возникает вопрос, который у меня нет времени ни решить, ни даже сформулировать с теми развитиями, которые он мог бы допустить. Есть ли место для нового различия, для различения среди аналитиков тех, кто прежде всего использует чистую интуицию, и тех, кто прежде всего озабочен формальной логикой?

Г-н Эрмит, например, которого я только что цитировал, не может быть причислен к геометрам, которые используют чувственную интуицию; но он и не логик, собственно говоря. Он не скрывает своего отвращения к чисто дедуктивным процедурам, которые исходят из общего и заканчиваются в частном.

ГЛАВА II

Измерение времени

I

Пока мы не выходим за пределы области сознания, понятие времени относительно ясно. Мы не только без труда отличаем настоящее ощущение от воспоминания о прошлых ощущениях или предвкушения будущих ощущений, но мы прекрасно знаем, что имеем в виду, когда говорим, что из двух сознательных явлений, которые мы помним, одно было предшествующим другому; или что из двух предвидимых сознательных явлений одно будет предшествовать другому.

Когда мы говорим, что два сознательных факта одновременны, мы имеем в виду, что они глубоко взаимопроникают, так что анализ не может разделить их, не изувечив.

Порядок, в котором мы располагаем сознательные явления, не допускает никакой произвольности. Он навязан нам, и в нем мы не можем ничего изменить.

У меня есть только одно замечание. Чтобы совокупность ощущений стала воспоминанием, способным к классификации во времени, она должна перестать быть актуальной, мы должны потерять чувство ее бесконечной сложности, иначе она осталась бы настоящим. Она должна, так сказать, кристаллизоваться вокруг центра ассоциаций идей, который будет своего рода ярлыком. Только когда они таким образом потеряли всякую жизнь, мы можем классифицировать наши воспоминания во времени, как ботаник расставляет засушенные цветы в своем гербарии.

Но эти ярлыки могут быть только конечными по числу. С этой точки зрения психологическое время должно быть прерывным. Откуда берется чувство, что между любыми двумя моментами есть другие? Мы располагаем наши воспоминания во времени, но мы знаем, что остаются пустые отделения. Как могло бы это быть, если бы время не было формой, предсуществующей в наших умах? Как могли бы мы знать, что есть пустые отделения, если бы эти отделения открывались нам только своим содержанием?

II

Но это еще не все; в эту форму мы хотим поместить не только явления нашего собственного сознания, но и те, театром которых являются другие сознания. Но более того, мы хотим поместить туда физические факты, эти «не знаю что», которыми мы населяем пространство и которые никакое сознание не видит непосредственно. Это необходимо, потому что без этого наука не могла бы существовать. Одним словом, психологическое время дано нам и должно создать научное и физическое время. Здесь начинается трудность, или, вернее, трудности, ибо их две.

Подумайте о двух сознаниях, которые подобны двум мирам, непроницаемым один для другого. По какому праву мы стремимся поместить их в одну и ту же форму, измерить их одним и тем же стандартом? Не похоже ли это на то, как если бы кто-то стремился измерить длину граммом или вес метром? И к тому же, почему мы говорим об измерении? Мы знаем, возможно, что какой-то факт предшествует какому-то другому, но не «насколько» он предшествует.

Следовательно, две трудности: (1) Можем ли мы преобразовать психологическое время, которое качественно, в количественное время? (2) Можем ли мы свести к одной и той же мере факты, которые происходят в разных мирах?

III

Первая трудность давно замечена; она была предметом долгих дискуссий, и можно сказать, что вопрос решен. У нас нет прямой интуиции равенства двух интервалов времени. Люди, которые верят, что обладают этой интуицией, являются жертвами иллюзии. Когда я говорю, что с полудня до часа проходит столько же времени, сколько с двух до трех, какой смысл имеет это утверждение?

Малейшее размышление показывает, что само по себе оно не имеет никакого смысла. Оно будет иметь только тот, который я выберу ему придать, посредством определения, которое, безусловно, будет обладать определенной степенью произвольности. Психологи могли бы обойтись без этого определения; физики и астрономы — нет; посмотрим, как они справились.

Чтобы измерить время, они используют маятник и предполагают по определению, что все колебания этого маятника имеют равную продолжительность. Но это лишь первое приближение; температура, сопротивление воздуха, барометрическое давление заставляют ход маятника меняться. Если бы мы могли избежать этих источников ошибки, мы получили бы гораздо более близкое приближение, но это все равно было бы лишь приближение. Новые причины, до сих пор игнорируемые, электрические, магнитные или другие, ввели бы минутные возмущения.

На самом деле лучшие хронометры должны время от времени корректироваться, и коррекции делаются с помощью астрономических наблюдений; принимаются меры, чтобы звездные часы отмечали тот же час, когда та же звезда проходит меридиан. Другими словами, именно звездный день, то есть продолжительность вращения Земли, является постоянной единицей времени. Предполагается, по новому определению, подставленному вместо того, что основано на колебаниях маятника, что два полных вращения Земли вокруг своей оси имеют одну и ту же продолжительность.

Однако астрономы все еще не довольны этим определением. Многие из них думают, что приливы действуют как тормоз на наш земной шар и что вращение Земли становится все медленнее и медленнее. Этим объяснялось бы кажущееся ускорение движения Луны, которая, казалось бы, движется быстрее, чем позволяет теория, потому что наши часы, которыми является Земля, отстают.

IV

Все это неважно, скажет кто-то; несомненно, наши инструменты измерения несовершенны, но достаточно того, что мы можем вообразить совершенный инструмент. Этот идеал не может быть достигнут, но достаточно того, что мы его вообразили и тем самым внесли строгость в определение единицы времени.

Беда в том, что в определении нет строгости. Когда мы используем маятник для измерения времени, какой постулат мы неявно допускаем? Это то, что продолжительность двух идентичных явлений одна и та же; или, если хотите, что одни и те же причины требуют одного и того же времени для производства одних и тех же следствий.

И на первый взгляд это хорошее определение равенства двух продолжительностей. Но будьте осторожны. Невозможно ли, что опыт когда-нибудь опровергнет наш постулат?

Позвольте мне объясниться. Я предполагаю, что в определенном месте мира происходит явление α, вызывающее как следствие по прошествии определенного времени эффект α'. В другом месте мира, очень далеко от первого, происходит явление β, которое вызывает как следствие эффект β'. Явления α и β одновременны, как и эффекты α' и β'.

Позже явление α воспроизводится при примерно тех же условиях, что и раньше, и одновременно явление β также воспроизводится в очень отдаленном месте мира и почти при тех же обстоятельствах. Эффекты α' и β' также имеют место. Предположим, что эффект α' происходит заметно раньше эффекта β'.

Если бы опыт заставил нас стать свидетелями такого зрелища, наш постулат был бы опровергнут. Ибо опыт сказал бы нам, что первая продолжительность αα' равна первой продолжительности ββ', и что вторая продолжительность αα' меньше второй продолжительности ββ'. С другой стороны, наш постулат потребовал бы, чтобы две продолжительности αα' были равны друг другу, как и две продолжительности ββ'. Равенство и неравенство, выведенные из опыта, были бы несовместимы с двумя равенствами, выведенными из постулата.

Теперь можем ли мы утверждать, что гипотезы, которые я только что сделал, абсурдны? Они ни в коей мере не противоречат принципу противоречия. Несомненно, они не могли бы произойти без того, чтобы принцип достаточного основания казался нарушенным. Но чтобы оправдать определение столь фундаментальное, я предпочел бы какую-то другую гарантию.

V

Но это еще не все. В физической реальности одна причина не производит данный эффект, но множество различных причин способствуют его производству, без того чтобы у нас были какие-либо средства различения доли каждой из них.

Физики стремятся сделать это различие; но они делают его лишь приблизительно, и, как бы они ни прогрессировали, они никогда не сделают его иначе как приблизительно. Приблизительно верно, что движение маятника обусловлено исключительно притяжением Земли; но со всей строгостью каждое притяжение, даже Сириуса, действует на маятник.

При этих условиях ясно, что причины, которые произвели определенный эффект, никогда не будут воспроизведены иначе как приблизительно. Тогда мы должны изменить наш постулат и наше определение. Вместо того чтобы говорить: «Одни и те же причины требуют одного и того же времени для производства одних и тех же следствий», мы должны сказать: «Почти идентичные причины требуют почти одного и того же времени для производства почти тех же следствий».

Наше определение, следовательно, является теперь лишь приблизительным. К тому же, как г-н Калинон очень справедливо замечает в недавнем мемуаре:

«Одним из обстоятельств любого явления является скорость вращения Земли; если эта скорость вращения меняется, она составляет при воспроизведении этого явления обстоятельство, которое больше не остается тем же самым. Но предполагать эту скорость вращения постоянной — значит предполагать, что мы знаем, как измерять время».

Наше определение, следовательно, еще не удовлетворительно; оно, безусловно, не то, которое неявно принимают астрономы, о которых я говорил выше, когда они утверждают, что земное вращение замедляется.

Какой смысл, по их мнению, имеет это утверждение? Мы можем понять его, только анализируя доказательства, которые они приводят в пользу своего положения. Они говорят сначала, что трение приливов, производящее тепло, должно уничтожать «живую силу». Они призывают, следовательно, принцип «живой силы», или сохранения энергии.

Они говорят затем, что вековое ускорение Луны, вычисленное согласно закону Ньютона, было бы меньше, чем то, что выведено из наблюдений, если бы не была сделана коррекция, относящаяся к замедлению земного вращения. Они призывают, следовательно, закон Ньютона. Другими словами, они определяют продолжительность следующим образом: время должно быть определено так, чтобы закон Ньютона и закон «живой силы» могли быть проверены. Закон Ньютона — это экспериментальная истина; как таковая, она лишь приблизительна, что показывает, что у нас все еще есть только определение по приближению.

Если теперь предположить, что принят другой способ измерения времени, эксперименты, на которых основан закон Ньютона, тем не менее имели бы тот же смысл. Только формулировка закона была бы иной, потому что он был бы переведен на другой язык; он был бы, очевидно, гораздо менее простым. Так что определение, неявно принятое астрономами, может быть суммировано так: время должно быть определено так, чтобы уравнения механики были как можно более простыми. Другими словами, нет одного способа измерения времени, более истинного, чем другой; тот, который принят обычно, лишь более «удобен». О двух часах у нас нет права сказать, что одни идут верно, другие — неверно; мы можем только сказать, что выгодно сообразовываться с показаниями первых.

Трудность, которая только что занимала нас, была, как я сказал, часто отмечена; среди самых недавних работ, в которых она рассматривается, я могу упомянуть, помимо книжки г-на Калинона, трактат по механике Андраде.

VI

Вторая трудность до настоящего времени привлекала гораздо меньше внимания; тем не менее она совершенно аналогична предыдущей; и даже, логически, я должен был бы говорить о ней первой.

Два психологических явления происходят в двух разных сознаниях; когда я говорю, что они одновременны, что я имею в виду? Когда я говорю, что физическое явление, которое происходит вне всякого сознания, находится до или после психологического явления, что я имею в виду?

В 1572 году Тихо Браге заметил на небе новую звезду. Огромный пожар произошел в каком-то очень далеком небесном теле; но он произошел задолго до этого; по крайней мере двести лет было необходимо, чтобы свет от этой звезды достиг нашей Земли. Этот пожар, следовательно, произошел до открытия Америки. Что ж, когда я говорю это; когда, рассматривая это гигантское явление, у которого, возможно, не было свидетеля, так как спутники этой звезды были, возможно, необитаемы, я говорю, что это явление предшествует формированию визуального образа острова Эспаньола в сознании Христофора Колумба, что я имею в виду?

Небольшого размышления достаточно, чтобы понять, что все эти утверждения сами по себе не имеют смысла. Они могут иметь его только как результат условности.

VII

Мы должны сначала спросить себя, как можно было прийти к идее поместить в одну и ту же рамку так много миров, непроницаемых один для другого. Мы хотели бы представить себе внешний универсум, и только так мы могли бы почувствовать, что понимаем его. Мы знаем, что никогда не сможем достичь этого представления: наша слабость слишком велика. Но по крайней мере мы желаем способности вообразить бесконечный разум, для которого это представление могло бы быть возможным, своего рода великое сознание, которое видело бы все и которое классифицировало бы все «в своем времени», как мы классифицируем, в «нашем времени», то немногое, что видим.

Эта гипотеза действительно груба и неполна, потому что этот высший разум был бы лишь полубогом; бесконечный в одном смысле, он был бы ограничен в другом, так как имел бы лишь несовершенное воспоминание о прошлом; и он не мог бы иметь другого, так как иначе все воспоминания были бы одинаково присутствующими для него и для него не было бы времени. И все же, когда мы говорим о времени, для всего, что происходит вне нас, не принимаем ли мы бессознательно эту гипотезу; не ставим ли мы себя на место этого несовершенного бога; и не ставят ли даже атеисты себя на то место, где был бы бог, если бы он существовал?

То, что я только что сказал, показывает нам, возможно, почему мы пытались поместить все физические явления в одну и ту же рамку. Но это не может сойти за определение одновременности, так как этот гипотетический разум, даже если бы он существовал, был бы для нас непроницаем. Необходимо, следовательно, искать что-то другое.

VIII

Обычные определения, которые подходят для психологического времени, не удовлетворили бы нас более. Два одновременных психологических факта так тесно связаны, что анализ не может разделить их, не изувечив. Так ли это с двумя физическими фактами? Не является ли мое настоящее ближе к моему прошлому вчерашнего дня, чем настоящее Сириуса?

Было также сказано, что два факта должны рассматриваться как одновременные, когда порядок их следования может быть инвертирован по желанию. Очевидно, что это определение не подошло бы для двух физических фактов, которые происходят далеко друг от друга, и что, в том, что касается их, мы больше даже не понимаем, что была бы эта обратимость; к тому же, само следование должно быть сначала определено.

IX

Постараемся же дать отчет в том, что понимается под одновременностью или предшествованием, и для этого проанализируем некоторые примеры.

Я пишу письмо; оно впоследствии прочитано другом, которому я его адресовал. Есть два факта, которые имели своим театром два разных сознания. Написав это письмо, я имел его визуальный образ, и мой друг имел в свою очередь этот же визуальный образ, читая письмо. Хотя эти два факта происходят в непроницаемых мирах, я не колеблюсь рассматривать первый как предшествующий второму, потому что верю, что он является его причиной.

Я слышу гром и заключаю, что произошел электрический разряд; я не колеблюсь считать физическое явление предшествующим слуховому образу, воспринятому в моем сознании, потому что верю, что оно является его причиной.

Итак, вот правило, которому мы следуем и которому единственно можем следовать: когда явление представляется нам причиной другого, мы считаем его предшествующим. Таким образом, именно через понятие причины мы определяем время; но как чаще всего, когда два факта кажутся нам связанными постоянным отношением, мы распознаем, какой из них является причиной, а какой — следствием? Мы предполагаем, что предшествующий факт, антецедент, является причиной другого, консеквента. Значит, именно через понятие времени мы определяем причину. Как же нам избежать этого petitio principii?

Мы говорим теперь post hoc, ergo propter hoc; теперь propter hoc, ergo post hoc; удастся ли нам вырваться из этого порочного круга?

X

Посмотрим не на то, как нам удается вырваться — ибо полностью нам это не удается, — а на то, как мы пытаемся это сделать.

Я совершаю волевой акт A и ощущаю затем чувство D, которое рассматриваю как следствие акта A; с другой стороны, по какой-то причине я заключаю, что это следствие не является непосредственным, но что вне моего сознания произошли два факта B и C, свидетелем которых я не был, и притом таким образом, что B есть следствие A, C есть следствие B, а D — следствие C.

Но почему? Если я полагаю, что у меня есть основания рассматривать четыре факта A, B, C, D как связанные друг с другом причинно-следственной связью, почему я располагаю их в причинном порядке A B C D и в то же время в хронологическом порядке A B C D, а не в каком-либо ином?

Я ясно вижу, что в акте A у меня есть чувство активности, тогда как при получении ощущения D у меня есть чувство пассивности. Вот почему я рассматриваю A как первопричину, а D — как конечное следствие; вот почему я ставлю A в начало цепи, а D — в конец; но почему я ставлю B перед C, а не C перед B?

Если задать этот вопрос, ответ обычно таков: мы знаем, что именно B является причиной C, потому что мы всегда видим, что B происходит раньше C. Эти два явления, когда мы их наблюдаем, происходят в определенном порядке; когда аналогичные явления происходят без свидетелей, нет причин инвертировать этот порядок.

Безусловно, но будьте осторожны: мы никогда не знаем физические явления B и C непосредственно. Мы знаем лишь ощущения B' и C', производимые соответственно B и C. Наше сознание немедленно сообщает нам, что B' предшествует C', и мы предполагаем, что B и C следуют друг за другом в том же порядке.

Это правило кажется на самом деле весьма естественным, и все же нас часто заставляют отступать от него. Мы слышим звук грома лишь спустя несколько секунд после электрического разряда в облаке. Не может ли из двух вспышек молнии, одна из которых далекая, а другая близкая, первая быть предшествующей второй, даже если звук второй доходит до нас раньше, чем звук первой?

XI

Другая трудность: имеем ли мы действительно право говорить о причине явления? Если все части вселенной в некоторой мере взаимосвязаны, то любое явление будет не следствием одной-единственной причины, а результатом бесконечно многочисленных причин; это, как часто говорят, следствие состояния вселенной мгновением ранее. Как сформулировать правила, применимые к столь сложным обстоятельствам? И все же только так эти правила могут быть общими и строгими.

Чтобы не потеряться в этой бесконечной сложности, сделаем более простую гипотезу. Рассмотрим три звезды, например, Солнце, Юпитер и Сатурн; но для большей простоты будем считать их сведенными к материальным точкам и изолированными от остального мира. Положения и скорости трех тел в данный момент достаточны для определения их положений и скоростей в следующий момент, а следовательно, и в любой момент. Их положения в момент t определяют их положения в момент t + h, так же как и их положения в момент t − h.

Более того: положение Юпитера в момент t вместе с положением Сатурна в момент t + a определяет положение Юпитера в любой момент и положение Сатурна в любой момент.

Совокупность положений, занимаемых Юпитером в момент t + e и Сатурном в момент t + a + e, связана с совокупностью положений, занимаемых Юпитером в момент t и Сатурном в момент t + a, законами столь же точными, как закон Ньютона, хотя и более сложными. Тогда почему бы не рассматривать одну из этих совокупностей как причину другой, что привело бы к признанию одновременными момента t для Юпитера и момента t + a для Сатурна?

В ответ могут быть приведены лишь соображения — весьма веские, правда, — удобства и простоты.

XII

Но перейдем к менее искусственным примерам; чтобы понять определение, неявно предполагаемое учеными, понаблюдаем за их работой и поищем правила, с помощью которых они исследуют одновременность.

Я возьму два простых примера: измерение скорости света и определение долготы.

Когда астроном говорит мне, что некое звездное явление, которое открывает ему в данный момент телескоп, произошло, тем не менее, пятьдесят лет назад, я пытаюсь понять, что он имеет в виду, и с этой целью я прежде всего спрошу его, как он это узнал, то есть как он измерил скорость света.

Он начал с предположения, что свет имеет постоянную скорость, и, в частности, что его скорость одинакова во всех направлениях. Это постулат, без которого невозможно было бы предпринять никакое измерение этой скорости. Этот постулат никогда не мог быть проверен непосредственно экспериментом; он мог бы быть опровергнут им, если бы результаты различных измерений не согласовывались. Нам следует считать себя удачливыми, что этого противоречия не произошло и что небольшие расхождения, которые могут возникнуть, легко объяснимы.

Постулат, во всяком случае, напоминающий принцип достаточного основания, был принят всеми; я хочу подчеркнуть, что он дает нам новое правило для исследования одновременности, совершенно отличное от того, которое мы сформулировали выше.

Приняв этот постулат, посмотрим, как была измерена скорость света. Вы знаете, что Рёмер использовал затмения спутников Юпитера и искал, насколько событие отстает от своего предсказания. Но как делается это предсказание? С помощью астрономических законов; например, закона Ньютона.

Нельзя ли было бы объяснить наблюдаемые факты столь же хорошо, если бы мы приписали скорости света значение, немного отличающееся от принятого, и предположили, что закон Ньютона лишь приближенный? Только это привело бы к замене закона Ньютона другим, более сложным. Поэтому для скорости света принимается такое значение, чтобы астрономические законы, совместимые с этим значением, были как можно более простыми. Когда мореплаватели или географы определяют долготу, им приходится решать именно ту задачу, которую мы обсуждаем; они должны, не находясь в Париже, вычислить парижское время. Как они это делают? Они везут хронометр, настроенный на Париж. Качественная проблема одновременности ставится в зависимость от количественной проблемы измерения времени. Мне нет нужды останавливаться на трудностях, связанных с этой последней проблемой, поскольку выше я подробно на них указал.

Или же они наблюдают астрономическое явление, такое как затмение Луны, и предполагают, что это явление воспринимается одновременно из всех точек Земли. Это не совсем верно, поскольку распространение света не мгновенно; если бы требовалась абсолютная точность, пришлось бы внести поправку по сложному правилу.

Или же, наконец, они используют телеграф. Ясно прежде всего, что прием сигнала в Берлине, например, происходит после отправки этого же сигнала из Парижа. Это правило причины и следствия, проанализированное выше. Но насколько после? В общем, длительностью передачи пренебрегают, и два события рассматриваются как одновременные. Но, чтобы быть строгим, все же пришлось бы внести небольшую поправку посредством сложного вычисления; на практике она не вносится, потому что она была бы значительно меньше ошибок наблюдения; ее теоретическая необходимость тем не менее остается с нашей точки зрения, которая является точкой зрения строгого определения. Из этой дискуссии я хочу подчеркнуть две вещи: (1) Применяемые правила чрезвычайно разнообразны. (2) Трудно отделить качественную проблему одновременности от количественной проблемы измерения времени; неважно, используется ли хронометр или необходимо учитывать скорость передачи, как у света, потому что такую скорость невозможно измерить, не измеряя время.

XIII

В заключение: у нас нет прямой интуиции одновременности, как и равенства двух длительностей. Если мы думаем, что обладаем этой интуицией, это иллюзия. Мы заменяем ее с помощью определенных правил, которые применяем почти всегда, не отдавая себе в них отчета.

Но какова природа этих правил? Никакого общего правила, никакого строгого правила; множество маленьких правил, применимых к каждому частному случаю.

Эти правила не навязаны нам, и мы могли бы развлечься, изобретая другие; но их нельзя было бы отбросить, не усложнив значительно формулировку законов физики, механики и астрономии.

Поэтому мы выбираем эти правила не потому, что они истинны, а потому, что они наиболее удобны, и мы можем резюмировать их следующим образом: «Одновременность двух событий, или порядок их следования, равенство двух длительностей должны быть определены так, чтобы формулировка естественных законов была как можно более простой. Иными словами, все эти правила, все эти определения — лишь плод бессознательного оппортунизма».

ГЛАВА III

Понятие пространства

1. Введение

В статьях, которые я до сих пор посвящал пространству, я прежде всего подчеркивал проблемы, поднятые неевклидовой геометрией, почти полностью оставляя в стороне другие вопросы, более трудные для подхода, такие как те, что относятся к числу измерений. Все геометрии, которые я рассматривал, имели, таким образом, общую основу — тот трехмерный континуум, который был одинаков для всех и который дифференцировался лишь фигурами, которые в нем чертили, или когда стремились его измерить.

В этом континууме, первоначально аморфном, мы можем вообразить сеть линий и поверхностей, мы можем затем условиться считать ячейки этой сети равными друг другу, и только после этой конвенции этот континуум, став измеримым, превращается в евклидово или неевклидово пространство. Из этого аморфного континуума может, следовательно, возникнуть безразлично одно или другое из двух пространств, точно так же как на чистом листе бумаги можно начертить безразлично прямую или окружность.

В пространстве мы знаем прямолинейные треугольники, сумма углов которых равна двум прямым углам; но в равной мере мы знаем криволинейные треугольники, сумма углов которых меньше двух прямых углов. Существование одних не более сомнительно, чем других. Дать имя прямых сторонам первых — значит принять евклидову геометрию; дать имя прямых сторонам последних — значит принять неевклидову геометрию. Так что спрашивать, какую геометрию подобает принять, — значит спрашивать, какой линии подобает дать имя прямой?

Очевидно, что опыт не может решить такой вопрос; никто не стал бы просить, например, эксперимент решить, должен ли я называть AB или CD прямой. С другой стороны, я также не могу сказать, что не имею права давать имя прямых сторонам неевклидовых треугольников, потому что они не соответствуют вечной идее прямой, которую я имею интуитивно. Я признаю, конечно, что у меня есть интуитивная идея стороны евклидова треугольника, но у меня есть в равной мере интуитивная идея стороны неевклидова треугольника. Почему я должен иметь право применять имя прямой к первой из этих идей, а не ко второй? В чем этот слог является составной частью этой интуитивной идеи? Очевидно, когда мы говорим, что евклидова прямая есть истинная прямая, а неевклидова прямая не есть истинная прямая, мы просто имеем в виду, что первая интуитивная идея соответствует более примечательному объекту, чем вторая. Но как мы решаем, что этот объект более примечателен? Этот вопрос я исследовал в «Науке и гипотезе».

Именно здесь мы увидели, как вступает опыт. Если евклидова прямая более примечательна, чем неевклидова прямая, то главным образом потому, что она мало отличается от некоторых примечательных природных объектов, от которых неевклидова прямая отличается сильно. Но, скажут, определение неевклидовой прямой искусственно; если мы на мгновение примем его, мы увидим, что две окружности разного радиуса обе получают имя неевклидовых прямых, в то время как из двух окружностей одного радиуса одна может удовлетворять определению, а другая — нет, и тогда, если мы перенесем одну из этих так называемых прямых, не деформируя ее, она перестанет быть прямой. Но по какому праву мы считаем равными эти две фигуры, которые евклидовы геометры называют двумя окружностями с одним радиусом? Потому что, перенеся одну из них без деформации, мы можем заставить ее совпасть с другой. И почему мы говорим, что это перемещение совершается без деформации? Невозможно привести для этого вескую причину. Среди всех мыслимых движений есть такие, о которых евклидовы геометры говорят, что они не сопровождаются деформацией; но есть другие, о которых неевклидовы геометры сказали бы, что они не сопровождаются деформацией. В первых, называемых евклидовыми движениями, евклидовы прямые остаются евклидовыми прямыми, а неевклидовы прямые не остаются неевклидовыми прямыми; в движениях второго рода, или неевклидовых движениях, неевклидовы прямые остаются неевклидовыми прямыми, а евклидовы прямые не остаются евклидовыми прямыми. Таким образом, не было доказано, что называть прямыми стороны неевклидовых треугольников неразумно; было лишь показано, что это было бы неразумно, если бы продолжали называть евклидовы движения движениями без деформации; но в то же время было показано, что было бы столь же неразумно называть прямыми стороны евклидовых треугольников, если бы неевклидовы движения назывались движениями без деформации.

Теперь, когда мы говорим, что евклидовы движения — это истинные движения без деформации, что мы имеем в виду? Мы просто имеем в виду, что они более примечательны, чем другие. И почему они более примечательны? Потому что некоторые примечательные природные тела, твердые тела, совершают движения, почти подобные им.

А затем, когда мы спрашиваем: можно ли вообразить неевклидово пространство? Это означает: можем ли мы вообразить мир, где существовали бы примечательные природные объекты, имеющие почти форму неевклидовых прямых, и примечательные природные тела, часто совершающие движения, почти подобные неевклидовым движениям? Я показал в «Науке и гипотезе», что на этот вопрос мы должны ответить утвердительно.

Часто отмечалось, что если бы все тела во вселенной расширялись одновременно и в одной пропорции, у нас не было бы средств это заметить, поскольку все наши измерительные приборы росли бы одновременно с самими объектами, которые они служат измерять. Мир после этого расширения продолжал бы свой путь, и ничто не известило бы нас о столь значительном событии. Иными словами, два мира, подобные друг другу (понимая слово подобие в смысле Евклида, книга VI), были бы абсолютно неразличимы. Но более того: миры будут неразличимы не только если они равны или подобны, то есть если мы можем перейти от одного к другому, изменив оси координат или изменив масштаб, к которому относятся длины; но они будут по-прежнему неразличимы, если мы можем перейти от одного к другому посредством любого «точечного преобразования». Я объясню свою мысль. Я предполагаю, что каждой точке одного соответствует одна точка другого и только одна, и обратно; и кроме того, что координаты точки являются непрерывными функциями, в остальном совершенно произвольными, соответствующей точки. Я предполагаю, кроме того, что каждому объекту первого мира соответствует во втором объект той же природы, помещенный точно в соответствующей точке. Я предполагаю, наконец, что это соответствие, выполненное в начальный момент, поддерживается бесконечно. У нас не было бы средств отличить эти два мира один от другого. Относительность пространства обычно не понимается в столь широком смысле; однако именно так ее следовало бы понимать.

Если одна из этих вселенных — наш евклидов мир, то, что ее обитатели назовут прямой, будет нашей евклидовой прямой; но то, что обитатели второго мира назовут прямой, будет кривой, которая будет обладать теми же свойствами по отношению к миру, в котором они живут, и по отношению к движениям, которые они назовут движениями без деформации. Их геометрия будет, следовательно, евклидовой геометрией, но их прямая не будет нашей евклидовой прямой. Это будет ее образ при точечном преобразовании, которое переносит из нашего мира в их. Прямые этих людей не будут нашими прямыми, но они будут иметь между собой те же отношения, что наши прямые друг к другу. Именно в этом смысле я говорю, что их геометрия будет нашей. Если же мы все-таки хотим провозгласить, что они заблуждаются, что их прямая не есть истинная прямая, если мы все еще не желаем признать, что такое утверждение не имеет смысла, по крайней мере мы должны признать, что у этих людей нет никаких средств распознать свою ошибку.

2. Качественная геометрия

Все это относительно легко понять, и я уже так часто это повторял, что считаю излишним распространяться далее по этому вопросу. Евклидово пространство не есть форма, навязанная нашей чувственности, поскольку мы можем вообразить неевклидово пространство; но два пространства, евклидово и неевклидово, имеют общую основу — тот аморфный континуум, о котором я говорил в начале. Из этого континуума мы можем получить либо евклидово пространство, либо пространство Лобачевского, точно так же как мы можем, начертив на нем надлежащую градуировку, превратить неградуированный термометр в термометр Фаренгейта или Реомюра.

А затем возникает вопрос: не является ли этот аморфный континуум, который наш анализ позволил сохранить, формой, навязанной нашей чувственности? Если так, мы расширили бы тюрьму, в которую заключена эта чувственность, но это всегда была бы тюрьма.

Этот континуум обладает определенным числом свойств, свободных от всякой идеи измерения. Изучение этих свойств является объектом науки, которая культивировалась многими великими геометрами и, в частности, Риманом и Бетти, и которая получила имя анализа ситус. В этой науке делается абстракция от всякой количественной идеи, и, например, если мы устанавливаем, что на линии точка B находится между точками A и C, мы удовлетворимся этим установлением и не будем беспокоиться о том, чтобы узнать, является ли линия ABC прямой или кривой, ни является ли длина AB равной длине BC, или она вдвое больше.

Теоремы анализа ситус имеют, следовательно, ту особенность, что они оставались бы истинными, если бы фигуры были скопированы неискусным рисовальщиком, который грубо изменил бы все пропорции и заменил прямые линиями, более или менее извилистыми. На математическом языке они не изменяются никаким «точечным преобразованием». Часто говорили, что метрическая геометрия была количественной, тогда как проективная геометрия была чисто качественной. Это не совсем верно. Прямая все еще отличается от других линий свойствами, которые остаются количественными в некоторых отношениях. Настоящая качественная геометрия — это, следовательно, анализ ситус.

Те же вопросы, которые возникали по поводу истин евклидовой геометрии, возникают вновь по поводу теорем анализа ситус. Получаются ли они дедуктивным рассуждением? Являются ли они замаскированными конвенциями? Являются ли они экспериментальными истинами? Являются ли они характеристиками формы, навязанной либо нашей чувственности, либо нашему рассудку?

Я хочу просто заметить, что последние два решения исключают друг друга. Мы не можем допустить одновременно, что невозможно вообразить пространство четырех измерений и что опыт доказывает нам, что пространство имеет три измерения. Экспериментатор задает природе вопрос: это или то? — и он не может задать его, не вообразив два члена альтернативы. Если бы было невозможно вообразить один из этих членов, было бы бесполезно и, кроме того, невозможно консультироваться с опытом. Нет нужды в наблюдении, чтобы знать, что стрелка часов не показывает час 15 на циферблате, потому что мы заранее знаем, что их всего 12, и мы не могли бы посмотреть на отметку 15, чтобы увидеть, находится ли там стрелка, потому что этой отметки не существует.

Заметьте также, что в анализе ситус эмпирики избавлены от одного из самых серьезных возражений, которые могут быть выдвинуты против них, от того, которое делает абсолютно тщетными заранее все их усилия применить свой тезис к истинам евклидовой геометрии. Эти истины строги, а всякое экспериментирование может быть лишь приближенным. В анализе ситус приближенных экспериментов может быть достаточно, чтобы дать строгую теорему, и, например, если видно, что пространство не может иметь ни двух или менее двух измерений, ни четырех или более четырех, мы уверены, что оно имеет ровно три, поскольку оно не могло бы иметь два с половиной или три с половиной.

Из всех теорем анализа ситус самая важная — та, которая выражается в утверждении, что пространство имеет три измерения. Именно ее мы собираемся рассмотреть, и мы поставим вопрос в таких терминах: когда мы говорим, что пространство имеет три измерения, что мы имеем в виду?

3. Физический континуум нескольких измерений

Я объяснил в «Науке и гипотезе», откуда мы выводим понятие физической непрерывности и как из него возникло понятие математической непрерывности. Случается, что мы способны отличить два впечатления одно от другого, в то время как каждое из них неотличимо от третьего. Так, мы можем легко отличить вес в 12 граммов от веса в 10 граммов, в то время как вес в 11 граммов нельзя было бы отличить ни от того, ни от другого. Такое утверждение, переведенное в символы, может быть записано: A = B, B = C, A < C.

A = B, B = C, A < C.

Это была бы формула физического континуума, как дает его нам грубый опыт, откуда возникает невыносимое противоречие, которое было устранено введением математического континуума. Это шкала, ступени которой (соизмеримые или несоизмеримые числа) бесконечны по числу, но внешни друг другу, вместо того чтобы вторгаться друг в друга, как это делают элементы физического континуума в соответствии с предыдущей формулой.

Физический континуум — это, так сказать, туманность, не разрешенная на звезды; самые совершенные инструменты не могли бы достичь ее разрешения. Безусловно, если бы мы измеряли веса хорошими весами, вместо того чтобы судить о них рукой, мы могли бы отличить вес в 11 граммов от весов в 10 и 12 граммов, и наша формула стала бы: A < B, B < C, A < C.

A < B, B < C, A < C.

Но мы всегда находили бы между A и B и между B и C новые элементы D и E, такие что

A = D, D = B, A < B; B = E, E = C, B < C,

и трудность лишь отступила бы, а туманность всегда оставалась бы неразрешенной; лишь разум может разрешить ее, и математический континуум — это и есть туманность, разрешенная на звезды.

И все же до этого момента мы не ввели понятие числа измерений. Что имеется в виду, когда мы говорим, что математический континуум или физический континуум имеет два или три измерения?

Сначала мы должны ввести понятие разреза, изучая сначала физические континуумы. Мы видели, что характеризует физический континуум. Каждый из элементов этого континуума состоит из многообразия впечатлений; и может случиться либо то, что элемент нельзя отличить от другого элемента того же континуума, если этот новый элемент соответствует многообразию впечатлений, недостаточно отличающихся, либо, напротив, что различение возможно; наконец, может случиться, что два элемента, неотличимые от третьего, могут, тем не менее, быть отличены один от другого.

Это постулировано: если A и B — два различимых элемента континуума C, можно найти серию элементов E1, E2, ..., En, принадлежащих этому же континууму C и таких, что каждый из них неотличим от предыдущего, E1 неотличим от A, а En неотличим от B. Следовательно, мы можем перейти от A к B по непрерывному пути и не покидая C. Если это условие выполнено для любых двух элементов A и B континуума C, мы можем сказать, что этот континуум C — весь в одном куске. Теперь выделим некоторые из элементов C, которые могут либо быть все различимы друг от друга, либо сами образовывать один или несколько континуумов. Совокупность элементов, выбранных таким образом произвольно среди всех элементов C, образует то, что я назову разрезом или разрезами.

Возьмем на C любые два элемента A и B. Либо мы можем также найти серию элементов E1, E2, ..., En, таких: (1) что они все принадлежат C; (2) что каждый из них неотличим от следующего, E1 неотличим от A, а En неотличим от B; (3) и кроме того, что ни один из элементов E не является неотличимым от какого-либо элемента разреза. Либо, напротив, в каждой из серий E1, E2, ..., En, удовлетворяющих первым двум условиям, найдется элемент E, неотличимый от одного из элементов разреза. В первом случае мы можем перейти от A к B по непрерывному пути, не покидая C и не встречая разрезов; во втором случае это невозможно.

Если тогда для любых двух элементов A и B континуума C всегда имеет место первый случай, мы скажем, что C остается весь в одном куске, несмотря на разрезы.

Таким образом, если мы выбираем разрезы определенным образом, в остальном произвольным, может случиться либо то, что континуум остается весь в одном куске, либо то, что он не остается весь в одном куске; в этой последней гипотезе мы тогда скажем, что он разделен разрезами.

Заметим, что все эти определения построены, исходя исключительно из этого очень простого факта: два многообразия впечатлений иногда могут быть различены, иногда — нет. Это постулировано: если для разделения континуума достаточно считать разрезами определенное число элементов, все различимых друг от друга, мы говорим, что этот континуум — одного измерения; если, напротив, для разделения континуума необходимо считать разрезами систему элементов, самих образующих один или несколько континуумов, мы скажем, что этот континуум — нескольких измерений.

Если для разделения континуума C достаточно разрезов, образующих один или несколько континуумов одного измерения, мы скажем, что C — континуум двух измерений; если достаточно разрезов, образующих один или несколько континуумов не более чем двух измерений, мы скажем, что C — континуум трех измерений; и так далее.

Чтобы оправдать это определение, подобает посмотреть, именно ли так геометры вводят понятие трех измерений в начале своих работ. Что же мы видим? Обычно они начинают с определения поверхностей как границ тел или частей пространства, линий как границ поверхностей, точек как границ линий, и они утверждают, что ту же процедуру нельзя продолжать далее.

Это в точности та идея, что дана выше: для разделения пространства необходимы разрезы, называемые поверхностями; для разделения поверхностей необходимы разрезы, называемые линиями; для разделения линий необходимы разрезы, называемые точками; мы не можем идти дальше, точка не может быть разделена, значит, точка — не континуум. Тогда линии, которые могут быть разделены разрезами, не являющимися континуумами, будут континуумами одного измерения; поверхности, которые могут быть разделены непрерывными разрезами одного измерения, будут континуумами двух измерений; наконец, пространство, которое может быть разделено непрерывными разрезами двух измерений, будет континуумом трех измерений.

Таким образом, определение, которое я только что дал, не отличается существенно от обычных определений; я лишь стремился придать ему форму, применимую не к математическому континууму, а к физическому континууму, который один лишь поддается представлению, и все же сохранить всю его точность. Более того, мы видим, что это определение применяется не только к пространству; что во всем, что подпадает под наши чувства, мы находим характеристики физического континуума, которые позволили бы ту же классификацию; что было бы легко найти там примеры континуумов четырех, пяти измерений в смысле предыдущего определения; такие примеры приходят на ум сами собой.

Я объяснил бы наконец, если бы у меня было время, что эта наука, о которой я говорил выше и которой Риман дал имя анализа ситус, учит нас делать различия между континуумами одного и того же числа измерений и что классификация этих континуумов покоится также на рассмотрении разрезов.

Из этого понятия возникло понятие математического континуума нескольких измерений точно так же, как физический континуум одного измерения породил математический континуум одного измерения. Формула

A > C, A = B, B = C,

которая суммировала данные грубого опыта, подразумевала невыносимое противоречие. Чтобы освободиться от него, необходимо было ввести новое понятие, все еще уважая существенные характеристики физического континуума нескольких измерений. Математический континуум одного измерения допускал шкалу, деления которой, бесконечные по числу, соответствовали различным значениям, соизмеримым или нет, одной и той же величины. Чтобы иметь математический континуум n измерений, достаточно будет взять n подобных шкал, деления которых соответствуют различным значениям n независимых величин, называемых координатами. Мы таким образом будем иметь образ физического континуума n измерений, и этот образ будет настолько верным, насколько это возможно после решения не допускать противоречия, о котором я говорил выше.

4. Понятие точки

Кажется теперь, что на вопрос, который мы поставили перед собой в начале, дан ответ. Когда мы говорим, что пространство имеет три измерения, скажут, мы имеем в виду, что многообразие точек пространства удовлетворяет определению, которое мы только что дали для физического континуума трех измерений. Удовлетвориться этим — значит предположить, что мы знаем, что такое многообразие точек пространства, или даже одна точка пространства.

Но это не так просто, как можно было бы подумать. Каждый верит, что знает, что такое точка, и именно потому, что мы знаем это слишком хорошо, мы думаем, что нет нужды ее определять. Конечно, от нас нельзя требовать умения определить ее, потому что при восхождении от определения к определению должно наступить время, когда мы должны остановиться. Но в какой момент мы должны остановиться?

Мы остановимся сначала, когда достигнем объекта, который подпадает под наши чувства или который мы можем представить себе; определение тогда станет бесполезным; мы не определяем овцу ребенку; мы говорим ему: смотри, овца.

Итак, мы должны спросить себя, возможно ли представить себе точку пространства. Те, кто отвечает «да», не задумываются о том, что они представляют себе в действительности белое пятно, сделанное мелом на доске, или черное пятно, сделанное пером на белой бумаге, и что они могут представить себе лишь объект или, скорее, впечатления, которые этот объект произвел на их чувства.

Когда они пытаются представить себе точку, они представляют впечатления, которые заставили их почувствовать очень маленькие объекты. Излишне добавлять, что два разных объекта, хотя оба очень маленькие, могут производить чрезвычайно разные впечатления, но я не буду останавливаться на этой трудности, которая потребовала бы еще некоторого обсуждения.

Но вопрос не в этом; недостаточно представить одну точку, необходимо представить определенную точку и иметь средства отличить ее от другой точки. И в самом деле, чтобы мы могли применить к континууму правило, которое я изложил выше и с помощью которого можно распознать число его измерений, мы должны полагаться на тот факт, что два элемента этого континуума иногда могут, а иногда не могут быть различены. Необходимо поэтому, чтобы мы в определенных случаях знали, как представить себе конкретный элемент и отличить его от другого элемента.

Вопрос в том, чтобы узнать, является ли точка, которую я представил себе час назад, той же самой, что эта, которую я теперь представляю себе, или это другая точка. Иными словами, как мы узнаем, является ли точка, занимаемая объектом A в момент α, той же самой, что точка, занимаемая объектом B в момент β, или, еще лучше, что это означает?

Я сижу в своей комнате; объект помещен на моем столе; в течение секунды я не двигаюсь, никто не касается объекта. Я склонен сказать, что точка A, которую этот объект занимал в начале этой секунды, идентична точке B, которую он занимает в ее конце. Вовсе нет; от точки A до точки B — 30 километров, потому что объект был увлечен движением Земли. Мы не можем знать, не изменил ли объект, большой он или маленький, свое абсолютное положение в пространстве, и не только мы не можем утверждать это, но это утверждение не имеет смысла и в любом случае не может соответствовать никакому представлению.

Но тогда мы можем спросить себя, изменилось ли относительное положение объекта по отношению к другим объектам или нет, и прежде всего, изменилось ли относительное положение этого объекта по отношению к нашему телу. Если впечатления, которые этот объект производит на нас, не изменились, мы будем склонны судить, что и это относительное положение не изменилось; если они изменились, мы будем судить, что этот объект изменился либо в состоянии, либо в относительном положении. Остается решить, в чем из двух. Я объяснил в «Науке и гипотезе», как мы были приведены к различению изменений положения. Более того, я вернусь к этому далее. Мы приходим к знанию, следовательно, осталось ли относительное положение объекта по отношению к нашему телу тем же самым или нет.

Если теперь мы видим, что два объекта сохранили свое относительное положение по отношению к нашему телу, мы заключаем, что относительное положение этих двух объектов по отношению друг к другу не изменилось; но мы приходим к этому заключению лишь посредством косвенного рассуждения. Единственное, что мы знаем непосредственно, — это относительное положение объектов по отношению к нашему телу. A fortiori, лишь посредством косвенного рассуждения мы думаем, что знаем (и, более того, это убеждение обманчиво), изменилось ли абсолютное положение объекта.

Одним словом, система координатных осей, к которой мы естественно относим все внешние объекты, — это система осей, неизменно связанных с нашим телом и переносимых вместе с нами.

Невозможно представить себе абсолютное пространство; когда я пытаюсь представить себе одновременно объекты и себя в движении в абсолютном пространстве, в действительности я представляю себе самого себя неподвижным и видящим движущимися вокруг меня разные объекты и человека, который является внешним по отношению ко мне, но которого я условился называть мной.

Будет ли решена трудность, если мы договоримся относить все к этим осям, связанным с нашим телом? Будем ли мы знать тогда, что такое точка, определенная таким образом своим относительным положением по отношению к нам самим? Многие ответят «да» и скажут, что они «локализуют» внешние объекты.

Что это означает? Локализовать объект просто означает представить себе движения, которые были бы необходимы, чтобы достичь его. Я объяснюсь. Речь идет не о представлении самих движений в пространстве, а исключительно о представлении себе мышечных ощущений, которые сопровождают эти движения и которые не предполагают предсуществования понятия пространства.

Если мы предположим два разных объекта, которые последовательно занимают одно и то же относительное положение по отношению к нам самим, впечатления, которые эти два объекта производят на нас, будут очень разными; если мы локализуем их в одной и той же точке, это просто потому, что необходимо совершить одни и те же движения, чтобы достичь их; помимо этого, нельзя просто увидеть, что они могли бы иметь общего.

Но, имея объект, мы можем вообразить много разных серий движений, которые в равной мере позволяют нам достичь его. Если тогда мы представляем себе точку, представляя себе серию мышечных ощущений, которые сопровождают движения, позволяющие нам достичь этой точки, будет много способов, совершенно разных, представить себе одну и ту же точку. Если кто-то не удовлетворен этим решением, но желает, например, привнести визуальные ощущения вместе с мышечными, будет еще один или два способа представить себе эту же точку, и трудность лишь увеличится. В любом случае возникает следующий вопрос: почему мы думаем, что все эти представления, столь разные друг от друга, все еще представляют одну и ту же точку?