«Основы науки: Наука и гипотеза, Ценность науки, Наука и метод»

Таковы также определения, найденные в книге, справедливо почитаемой и высоко ценимой, «Основаниях геометрии» Гильберта. Посмотрите, в самом деле, как он начинает: «Мы мыслим три системы вещей, которые мы назовем точками, прямыми и плоскостями». Что это за «вещи»?

Мы не знаем и не должны знать; было бы даже жаль пытаться узнать; все, что мы имеем право знать о них, — это то, что говорят нам предположения; вот, например: «Две различные точки всегда определяют прямую», за чем следует замечание: «вместо «определяют» мы можем сказать, что две точки лежат на прямой, или прямая проходит через эти две точки, или соединяет две точки».

Таким образом, «быть на прямой» просто определяется как синоним «определять прямую». Вот книга, о которой я высокого мнения, но которую я не стал бы рекомендовать школьнику. Впрочем, я мог бы сделать это без опасений: он все равно не прочтет многого. Я привел крайние примеры, и ни один учитель не стал бы заходить так далеко. Но разве, даже не доходя до таких крайностей, он не подвергает себя той же опасности?

Предположим, мы в классе; учитель диктует: окружность — это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от внутренней точки, называемой центром. Хороший ученик записывает эту фразу в тетрадь; плохой ученик рисует рожицы; но никто из них не понимает; тогда учитель берет мел и рисует окружность на доске. «А!» — думают ученики, — «почему он сразу не сказал: окружность — это кольцо, мы бы поняли». Несомненно, учитель прав. Определение учеников было бы бесполезным, так как оно не могло бы послужить для доказательства, к тому же оно не привило бы им полезной привычки анализировать свои представления. Но нужно показать им, что они не понимают того, что, как им кажется, они знают, подвести их к осознанию неточности их первоначального представления и вызвать у них самих желание уточнить и прояснить его.

4. Я вернусь к этим примерам; я лишь хотел показать вам две противоположные концепции; они находятся в резком контрасте. Этот контраст объясняет история науки. Если мы прочтем книгу, написанную пятьдесят лет назад, большая часть рассуждений, которые мы там найдем, покажется лишенной строгости. Тогда предполагалось, что непрерывная функция может менять знак, только обращаясь в нуль; сегодня мы это доказываем. Предполагалось, что обычные правила вычисления применимы к несоизмеримым числам; сегодня мы это доказываем. Предполагалось многое другое, что иногда оказывалось ложным.

Мы доверяли интуиции; но интуиция не может дать строгости и даже уверенности; мы видим это все яснее. Она говорит нам, например, что каждая кривая имеет касательную, то есть что каждая непрерывная функция имеет производную, а это ложно. И поскольку мы искали уверенности, нам приходилось все меньше и меньше полагаться на интуицию.

Что сделало необходимым эту эволюцию? Мы довольно быстро поняли, что строгость нельзя установить в рассуждениях, если она не была предварительно заложена в определениях.

Объекты, которыми занимались математики, долгое время были плохо определены; мы думали, что знаем их, потому что представляли их с помощью чувств или воображения; но мы имели о них лишь грубый образ, а не точное понятие, за которое могло бы ухватиться рассуждение. Именно здесь логикам следовало бы приложить свои усилия.

Так, для несоизмеримого числа смутная идея непрерывности, которой мы обязаны интуиции, разрешилась в сложную систему неравенств, относящихся к целым числам. Таким образом, наконец исчезли все те трудности, которые пугали наших отцов, когда они размышляли об основах исчисления бесконечно малых. Сегодня в анализе остались только целые числа или конечные или бесконечные системы целых чисел, связанные сплетением равенств и неравенств. Мы говорим, что математика арифметизирована.

5. Но думаете ли вы, что математика достигла абсолютной строгости, не принеся никаких жертв? Вовсе нет; то, что она выиграла в строгости, она потеряла в объективности. Именно отделившись от реальности, она приобрела эту совершенную чистоту. Мы можем свободно перемещаться по всей ее области, прежде изобиловавшей препятствиями, но эти препятствия не исчезли. Они были лишь отодвинуты на границу, и их пришлось бы преодолевать заново, если бы мы захотели выйти за пределы этой границы, чтобы войти в область практического.

У нас было смутное понятие, сформированное из несообразных элементов, одни из которых были априорными, другие — почерпнутыми из более или менее осмысленного опыта; мы думали, что знаем по интуиции его основные свойства. Сегодня мы отбрасываем эмпирические элементы, сохраняя только априорные; одно из свойств служит определением, а все остальные выводятся из него путем строгих рассуждений. Все это очень хорошо, но остается доказать, что это свойство, ставшее определением, присуще реальным объектам, которые были известны нам из опыта и из которых мы почерпнули наше смутное интуитивное понятие. Чтобы доказать это, необходимо было бы обратиться к опыту или совершить усилие интуиции, и если бы мы не смогли этого доказать, наши теоремы были бы совершенно строгими, но совершенно бесполезными.

Логика иногда порождает монстров. В течение полувека мы наблюдаем появление множества причудливых функций, которые, кажется, стараются как можно меньше походить на добропорядочные функции, приносящие хоть какую-то пользу. Больше никакой непрерывности, или, может быть, непрерывность есть, но нет производных и т. д. Более того, с логической точки зрения именно эти странные функции являются наиболее общими, а те, что встречаются без поиска, больше не появляются иначе как в качестве частных случаев. Для них остается лишь очень маленький уголок.

Раньше, когда изобреталась новая функция, это делалось для какой-то практической цели; сегодня их изобретают специально для того, чтобы опровергнуть рассуждения наших отцов, и от них никогда не добьются ничего большего.

Если бы логика была единственным путеводителем учителя, пришлось бы начинать с самых общих функций, то есть с самых причудливых. Именно новичка пришлось бы заставить бороться с этим тератологическим музеем. Если вы этого не делаете, могут сказать логики, вы добьетесь строгости только поэтапно.

6. Да, возможно, но мы не можем так дешево относиться к реальности, и я имею в виду не только реальность чувственного мира, который, впрочем, имеет свою ценность, поскольку именно для борьбы с ним девять десятых ваших студентов просят у вас оружие. Существует реальность более тонкая, которая составляет саму жизнь математических сущностей и которая совсем иная, чем логика.

Наше тело состоит из клеток, а клетки — из атомов; являются ли эти клетки и эти атомы всей реальностью человеческого тела? Разве то, как эти клетки расположены, из чего проистекает единство индивида, не является также реальностью, причем гораздо более интересной?

Стал бы натуралист, который никогда не изучал слона иначе как под микроскопом, считать, что он знает это животное адекватно? То же самое и в математике. Когда логик расчленит каждое доказательство на множество элементарных операций, каждая из которых верна, он все равно не будет обладать всей реальностью; это «не знаю что», составляющее единство доказательства, полностью ускользнет от него.

В зданиях, воздвигнутых нашими учителями, какой смысл восхищаться работой каменщика, если мы не можем понять план архитектора? Но чистая логика не может дать нам этого понимания общего эффекта; за этим мы должны обратиться к интуиции.

Возьмем, к примеру, идею непрерывной функции. Сначала это лишь чувственный образ, след, оставленный мелом на доске. Мало-помалу он уточняется; мы используем его для построения сложной системы неравенств, которая воспроизводит все черты первоначального образа; когда все сделано, мы убираем центрирование, как после возведения арки; это грубое представление, ставшее бесполезной опорой, исчезло, и осталось только само здание, безупречное в глазах логика. И все же, если бы профессор не напомнил о первоначальном образе, если бы он не восстановил на мгновение центрирование, как мог бы студент догадаться, по какому капризу все эти неравенства были выстроены таким образом одно над другим? Определение было бы логически правильным, но оно не показало бы ему истинной реальности.

7. Итак, мы должны вернуться назад; несомненно, учителю трудно преподавать то, что его самого не вполне удовлетворяет; но удовлетворение учителя — не единственная цель обучения; мы должны прежде всего обратить внимание на то, каков ум ученика и каким мы хотим его видеть.

Зоологи утверждают, что эмбриональное развитие животного вкратце повторяет всю историю его предков на протяжении геологического времени. Похоже, то же самое происходит и в развитии ума. Учитель должен заставить ребенка пройти путь, по которому прошли его отцы; более быстро, но не пропуская станций. По этой причине история науки должна быть нашим первым путеводителем.

Наши отцы думали, что знают, что такое дробь, или непрерывность, или площадь кривой поверхности; мы обнаружили, что они этого не знали. Точно так же наши ученики думают, что знают это, когда начинают серьезное изучение математики. Если я без предупреждения скажу им: «Нет, вы этого не знаете; то, что вы думаете, что понимаете, вы не понимаете; я должен доказать вам то, что кажется вам очевидным», и если в доказательстве я буду опираться на посылки, которые им кажутся менее очевидными, чем заключение, что подумают эти несчастные? Они подумают, что математика — это лишь произвольная масса бесполезных тонкостей; либо они возненавидят ее, либо будут играть в нее как в игру и придут к состоянию ума, подобному состоянию греческих софистов.

Позже, напротив, когда ум ученика, освоившийся с математическими рассуждениями, созреет от этого долгого общения, сомнения возникнут сами собой, и тогда ваше доказательство будет принято с радостью. Оно пробудит новые сомнения, и вопросы будут возникать у ребенка последовательно, так же как они возникали последовательно у наших отцов, пока одна лишь совершенная строгость не сможет его удовлетворить. Сомневаться во всем недостаточно, нужно знать, почему сомневаешься.

8. Главная цель математического обучения — развить определенные способности ума, и среди них интуиция — не самая малая по ценности. Именно благодаря ей математический мир остается в контакте с реальным миром, и если чистая математика могла бы обойтись без нее, то всегда необходимо было бы прибегать к ней, чтобы заполнить пропасть, отделяющую символ от реальности. Практику она всегда будет нужна, и на одного чистого геометра должно приходиться сто практиков.

Инженер должен получить полное математическое образование, но для чего оно должно ему служить?

Чтобы видеть различные аспекты вещей и видеть их быстро; у него нет времени охотиться за мышами. Необходимо, чтобы в сложных физических объектах, представленных ему, он быстро распознавал точку, за которую могут ухватиться математические инструменты, которые мы вложили в его руки. Как он мог бы это сделать, если бы мы оставили между инструментами и объектами глубокую пропасть, вырытую логиками?

9. Помимо инженеров, другие ученые, менее многочисленные, в свою очередь должны стать учителями; поэтому они должны дойти до самой сути; глубокое и строгое знание первых принципов для них прежде всего необходимо. Но это не повод не развивать в них интуицию; ибо они получили бы ложное представление о науке, если бы никогда не смотрели на нее только с одной стороны, к тому же они не смогли бы развить в своих студентах качество, которым не обладали сами.

Даже для самого чистого геометра эта способность необходима; логикой доказывают, интуицией изобретают. Уметь критиковать — хорошо, уметь создавать — лучше. Вы умеете распознать, правильна ли комбинация; какое затруднение, если у вас нет искусства выбора среди всех возможных комбинаций. Логика говорит нам, что на таком-то пути мы наверняка не встретим никаких препятствий; она не говорит, какой путь ведет к цели. Для этого необходимо видеть цель издалека, и способность, которая учит нас видеть, — это интуиция. Без нее геометр был бы похож на писателя, который сведущ в грамматике, но не имеет идей. Но как могла бы развиться эта способность, если, как только она проявляется, мы прогоняем ее и запрещаем, если мы учимся ни во что ее не ставить, прежде чем узнаем ее пользу.

И здесь позвольте сделать отступление, чтобы подчеркнуть важность письменных упражнений. Письменным работам, возможно, не уделяется достаточного внимания на некоторых экзаменах, например, в Политехнической школе. Мне говорят, что они закрыли бы дверь перед очень хорошими учениками, которые освоили курс, глубоко понимают его и которые, тем не менее, не способны сделать малейшее применение. Я только что сказал, что слово «понимать» имеет несколько значений: такие студенты понимают только в первом смысле, а мы видели, что этого недостаточно ни для того, чтобы стать инженером, ни для того, чтобы стать геометром. Что ж, раз нужно выбирать, я предпочитаю тех, кто понимает полностью.

10. Но разве искусство здравого рассуждения — не тоже драгоценная вещь, которую профессор математики должен прежде всего культивировать? Я очень стараюсь не забывать об этом. Оно должно занимать наше внимание с самого начала. Я был бы огорчен, увидев, как геометрия вырождается в не знаю какую тахиметрию низкого сорта, и я ни в коем случае не подписываюсь под крайними доктринами некоторых немецких старших учителей. Но есть достаточно случаев, чтобы упражнять учеников в правильном рассуждении в тех частях математики, где неудобства, на которые я указал, не проявляются. Существуют длинные цепочки теорем, где абсолютная логика царила с самого начала и, так сказать, вполне естественно, где первые геометры дали нам модели, которым мы должны постоянно подражать и которыми должны восхищаться.

Именно при изложении первых принципов необходимо избегать излишней тонкости; там это было бы наиболее обескураживающим и, более того, бесполезным. Мы не можем доказать все и не можем определить все; и всегда будет необходимо заимствовать у интуиции; какая разница, будет ли это сделано немного раньше или немного позже, при условии, что, правильно используя посылки, которые она нам предоставила, мы научимся здраво рассуждать.

11. Возможно ли выполнить столько противоречивых условий? Возможно ли это, в частности, когда речь идет о том, чтобы дать определение? Как найти краткое утверждение, удовлетворяющее одновременно бескомпромиссным правилам логики, нашему желанию уловить место нового понятия в совокупности науки, нашей потребности мыслить образами? Обычно его не найти, и именно поэтому недостаточно сформулировать определение; его нужно подготовить и обосновать.

Что это значит? Вы знаете, часто говорили: каждое определение подразумевает допущение, поскольку оно утверждает существование определяемого объекта. Определение тогда будет оправдано, с чисто логической точки зрения, только тогда, когда будет доказано, что оно не содержит противоречий ни в терминах, ни с ранее принятыми истинами.

Но этого недостаточно; определение преподносится нам как конвенция; но большинство умов восстанут, если мы захотим навязать его им как произвольную конвенцию. Они будут удовлетворены только тогда, когда вы ответите на многочисленные вопросы.

Обычно математические определения, как показал г-н Лиар, являются настоящими конструкциями, построенными целиком из более простых понятий. Но почему нужно собирать эти элементы таким образом, когда возможна тысяча других комбинаций?

Это по капризу? Если нет, то почему эта комбинация имела больше прав на существование, чем все остальные? На какую потребность она отвечает? Как было предвидено, что она будет играть важную роль в развитии науки, что она сократит наши рассуждения и наши вычисления? Есть ли в природе какой-то знакомый объект, который является, так сказать, грубым и смутным образом этого?

Это еще не все; если вы ответите на все эти вопросы удовлетворительным образом, мы действительно увидим, что новорожденный имел право быть крещеным; но и выбор имени не является произвольным; необходимо объяснить, какими аналогиями руководствовались, и что если аналогичные имена были даны разным вещам, то эти вещи, по крайней мере, различаются только материалом и сходны по форме; что их свойства аналогичны и, так сказать, параллельны.

Такой ценой мы можем удовлетворить все склонности. Если утверждение достаточно корректно, чтобы понравиться логику, обоснование удовлетворит интуитивиста. Но есть еще лучшая процедура; везде, где это возможно, обоснование должно предшествовать утверждению и подготавливать его; нужно подводить к общему утверждению путем изучения некоторых частных примеров.

Еще одна вещь: каждая из частей формулировки определения имеет целью отличить определяемую вещь от класса других соседних объектов. Определение будет понято только тогда, когда вы покажете не просто определяемый объект, но и соседние объекты, от которых его уместно отличать, когда вы дадите понимание разницы и когда вы прямо добавите: вот почему, формулируя определение, я сказал то или это.

Но пора оставить общие рассуждения и рассмотреть, как несколько абстрактные принципы, которые я изложил, могут быть применены в арифметике, геометрии, анализе и механике.

Арифметика

12. Целое число не подлежит определению; зато обычно определяют операции над целыми числами; я полагаю, что ученики заучивают эти определения наизусть и не придают им никакого значения. На то есть две причины: во-первых, их заставляют учить их слишком рано, когда их ум еще не чувствует в них потребности; во-вторых, эти определения не являются удовлетворительными с логической точки зрения. Хорошее определение сложения не может быть найдено просто потому, что мы должны остановиться и не можем определить все. Не является определением сложения сказать, что оно состоит в прибавлении. Все, что можно сделать, — это начать с определенного числа конкретных примеров и сказать: операция, которую мы выполнили, называется сложением.

Для вычитания все совсем иначе; оно может быть логически определено как операция, обратная сложению; но должны ли мы начинать с этого? Здесь также следует начать с примеров, показать на этих примерах взаимность двух операций; таким образом, определение будет подготовлено и обосновано.

Точно так же и для умножения; возьмите частную задачу; покажите, что ее можно решить, сложив несколько равных чисел; затем покажите, что мы достигаем результата быстрее с помощью умножения, операции, которую ученики уже умеют выполнять механически, и из этого естественным образом выйдет логическое определение.

Деление определяется как операция, обратная умножению; но начните с примера, взятого из знакомого понятия разбиения, и покажите на этом примере, что умножение воспроизводит делимое.

Остаются еще операции над дробями. Единственная трудность — с умножением. Лучше всего сначала изложить теорию пропорций; только из нее может исходить логическое определение; но чтобы сделать приемлемыми определения, встречающиеся в начале этой теории, необходимо подготовить их многочисленными примерами, взятыми из классических задач на тройное правило, стараясь вводить дробные данные.

Также не следует бояться знакомить учеников с понятием пропорции с помощью геометрических образов, либо апеллируя к тому, что они помнят, если они уже изучали геометрию, либо прибегая к прямой интуиции, если они ее не изучали, что, кроме того, подготовит их к ее изучению. Наконец, я добавлю, что после определения умножения дробей необходимо обосновать это определение, показав, что оно коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно, и обратив внимание слушателей на то, что это устанавливается для обоснования определения.

Видно, какую роль во всем этом играют геометрические образы; и эта роль оправдана философией и историей науки. Если бы арифметика осталась свободной от всякой примеси геометрии, она знала бы только целое число; именно чтобы приспособиться к нуждам геометрии, она изобрела все остальное.

Геометрия

В геометрии мы сразу встречаем понятие прямой линии. Можно ли определить прямую линию? Хорошо известное определение — кратчайший путь между двумя точками — меня почти не удовлетворяет. Я начал бы просто с линейки и сначала показал бы ученику, как можно проверить линейку путем вращения; эта проверка — истинное определение прямой линии; прямая линия — это ось вращения. Затем ему следует показать, как проверить линейку путем скольжения, и он получил бы одно из важнейших свойств прямой линии.

Что касается другого свойства — быть кратчайшим путем из одной точки в другую, то это теорема, которая может быть доказана аподиктически, но доказательство слишком деликатно, чтобы найти место в среднем образовании. Будет стоить больше показать, что предварительно проверенная линейка прилегает к натянутой нити. Перед лицом подобных трудностей не нужно бояться умножать допущения, обосновывая их грубыми экспериментами.

Необходимо допустить эти предположения, и если допустить их немного больше, чем строго необходимо, зло не очень велико; главное — научиться здраво рассуждать на основе принятых предположений. Дядюшка Сарсе, который любил повторять, часто говорил, что в театре зритель охотно принимает все постулаты, навязанные ему в начале, но как только занавес поднят, он становится бескомпромиссным в отношении логики. Что ж, в математике точно так же.

Для окружности мы можем начать с циркуля; ученики с первого взгляда узнают начерченную кривую; затем заставьте их заметить, что расстояние между двумя точками инструмента остается постоянным, что одна из этих точек неподвижна, а другая подвижна, и так мы естественным образом придем к логическому определению.

Определение плоскости подразумевает аксиому, и этого не нужно скрывать. Возьмите чертежную доску и покажите, что движущуюся линейку можно постоянно держать в полном контакте с этой плоскостью, сохраняя при этом три степени свободы. Сравните с цилиндром и конусом, поверхностями, на которых приложенная прямая сохраняет только две степени свободы; затем возьмите три чертежные доски; покажите сначала, что они будут скользить, оставаясь приложенными друг к другу, и это с тремя степенями свободы; и, наконец, чтобы отличить плоскость от сферы, покажите, что две из этих досок, которые подходят к третьей, подойдут друг к другу.

Возможно, вы удивлены этим непрестанным использованием движущихся вещей; это не грубая уловка; это гораздо более философски, чем можно было бы подумать на первый взгляд. Что такое геометрия для философа? Это изучение группы. И какой группы? Группы движений твердых тел. Как же определить эту группу, не двигая некоторые твердые тела?

Следует ли нам сохранить классическое определение параллелей и сказать, что параллели — это две компланарные прямые, которые не пересекаются, как бы далеко их ни продолжали? Нет, так как это определение отрицательное, так как оно не поддается проверке экспериментом и, следовательно, не может рассматриваться как непосредственный дар интуиции. Нет, прежде всего потому, что оно совершенно чуждо понятию группы, рассмотрению движения твердых тел, которое является, как я сказал, истинным источником геометрии. Не лучше ли было бы сначала определить прямолинейное перемещение неизменной фигуры как движение, при котором все точки этой фигуры имеют прямолинейные траектории; показать, что такое перемещение возможно, заставив квадрат скользить по линейке?

Из этого экспериментального установления, принятого в качестве допущения, было бы легко вывести понятие параллели и сам постулат Евклида.

Механика

Мне не нужно возвращаться к определению скорости, или ускорения, или других кинематических понятий; их можно с выгодой связать с понятием производной.

Я буду настаивать, с другой стороны, на динамических понятиях силы и массы.

Меня поражает одно: как далеки молодые люди, получившие среднее образование, от применения к реальному миру механических законов, которым их учили. Дело не только в том, что они не способны на это; они даже не думают об этом. Для них мир науки и мир реальности разделены непроницаемой перегородкой.

Если мы попытаемся проанализировать состояние ума наших учеников, это удивит нас меньше. Что для них реальное определение силы? Не то, которое они декламируют, а то, которое, притаившись в уголке их ума, оттуда направляет его целиком. Вот определение: силы — это стрелки, с помощью которых строят параллелограммы. Эти стрелки — воображаемые вещи, которые не имеют ничего общего с чем-либо существующим в природе. Этого бы не случилось, если бы им показали силы в реальности, прежде чем представлять их стрелками.

Как мы определим силу?

Я думаю, что я уже достаточно показал в другом месте, что нет хорошего логического определения. Есть антропоморфное определение, ощущение мышечного усилия; это действительно слишком грубо, и из него нельзя извлечь ничего полезного.

Вот как нам следует поступить: во-первых, чтобы сделать известным род «сила», мы должны показать одну за другой все виды этого рода; они очень многочисленны и очень различны; это давление жидкостей на внутренние стенки сосудов, в которых они содержатся; натяжение нитей; упругость пружины; гравитация, действующая на все молекулы тела; трение; нормальное взаимное действие и противодействие двух соприкасающихся твердых тел.

Это только качественное определение; необходимо научиться измерять силу. Для этого начните с того, что покажите, что одна сила может быть заменена другой, не нарушая равновесия; мы можем найти первый пример этой замены в весах и двойном взвешивании Борда.

Затем покажите, что вес может быть заменен не только другим весом, но и силой иной природы; например, тормоз Прони позволяет заменить вес трением.

Из всего этого возникает понятие эквивалентности двух сил.

Направление силы должно быть определено. Если сила F эквивалентна другой силе F', приложенной к рассматриваемому телу с помощью натянутой нити, так что F может быть заменена на F' без нарушения равновесия, то точка прикрепления нити будет по определению точкой приложения силы F', а также эквивалентной силы F; направление нити будет направлением силы F', а также эквивалентной силы F.

Отсюда перейдем к сравнению величины сил. Если сила может заменить две другие с тем же направлением, она равна их сумме; покажите, например, что вес в 20 граммов может заменить два веса по 10 граммов.

Достаточно ли этого? Еще нет. Мы теперь знаем, как сравнивать интенсивность двух сил, которые имеют одно и то же направление и одну и ту же точку приложения; мы должны научиться делать это, когда направления различны. Для этого представьте нить, натянутую весом и перекинутую через блок; мы скажем, что тензор двух ветвей нити один и тот же и равен весу натяжения.

Это наше определение позволяет нам сравнивать натяжения двух частей нашей нити и, используя предыдущие определения, сравнивать любые две силы, имеющие то же направление, что и эти две части. Оно должно быть обосновано тем, что натяжение последней части нити остается тем же самым для того же веса тензора, независимо от количества и расположения отклоняющих блоков. Оно должно быть дополнено тем, что это верно только в том случае, если блоки не имеют трения.

Став хозяином этих определений, нужно показать, что точка приложения, направление и интенсивность достаточны для определения силы; что две силы, для которых эти три элемента одни и те же, всегда эквивалентны и всегда могут быть заменены одна другой, будь то в равновесии или в движении, и это независимо от других действующих сил.

Нужно показать, что две пересекающиеся силы всегда могут быть заменены единственной равнодействующей; и что эта равнодействующая остается той же самой, находится ли тело в покое или в движении, и независимо от других приложенных к нему сил.

Наконец, нужно показать, что силы, определенные таким образом, удовлетворяют принципу равенства действия и противодействия.

Именно эксперимент, и только эксперимент, может научить нас всему этому. Достаточно будет сослаться на некоторые обычные эксперименты, которые ученики проводят ежедневно, не подозревая об этом, и провести перед ними несколько экспериментов, простых и хорошо подобранных.

Именно после прохождения всех этих меандров можно представлять силы стрелками, и я даже хотел бы, чтобы в развитии рассуждений время от времени возвращались от символа к реальности. Например, было бы несложно проиллюстрировать параллелограмм сил с помощью аппарата, состоящего из трех нитей, перекинутых через блоки, натянутых весами и находящихся в равновесии при натяжении одной и той же точки.

Зная силу, легко определить массу; на этот раз определение должно быть заимствовано из динамики; нет способа сделать иначе, поскольку цель, которую нужно достичь, — дать понимание различия между массой и весом. Здесь опять же определение должно быть подготовлено экспериментами; существует, по сути, машина, которая, кажется, создана специально для того, чтобы показать, что такое масса, — машина Атвуда; вспомните также законы падения тел, что ускорение силы тяжести одинаково для тяжелых и легких тел и что оно меняется с широтой и т. д.

Теперь, если вы скажете мне, что все методы, которые я превозношу, давно применяются в школах, я буду радоваться этому больше, чем удивляться. Я знаю, что в целом наше математическое преподавание хорошее. Я не хочу, чтобы его перевернули; это меня даже огорчило бы. Я желаю лишь медленных прогрессивных улучшений. Это преподавание не должно подвергаться резким колебаниям под капризным порывом эфемерных мод. В таких бурях его высокая воспитательная ценность вскоре потерпела бы крушение. Хорошая и здравая логика должна продолжать оставаться его основой. Определение через пример всегда необходимо, но оно должно подготавливать путь для логического определения, оно не должно заменять его; оно должно, по крайней мере, сделать его желанным в тех случаях, когда истинное логическое определение может быть с выгодой дано только в продвинутом обучении.

Поймите, что то, что я здесь сказал, не означает отказа от того, что я написал в другом месте. У меня часто была возможность критиковать некоторые определения, которые я превозношу сегодня. Эти критические замечания остаются в силе полностью. Эти определения могут быть только предварительными. Но именно через них мы должны пройти.

ГЛАВА III

Математика и логика

Введение

Может ли математика быть сведена к логике без необходимости апеллировать к принципам, свойственным математике? Существует целая школа, изобилующая пылом и полная веры, стремящаяся доказать это. У них свой особый язык, в котором нет слов, используются только знаки. Этот язык понимают только посвященные, так что обыватели склонны склоняться перед резкими утверждениями адептов. Возможно, не бесполезно рассмотреть эти утверждения несколько пристальнее, чтобы увидеть, оправдывают ли они тот безапелляционный тон, с которым они представлены.

Но чтобы прояснить суть вопроса, необходимо углубиться в некоторые исторические детали и, в частности, вспомнить характер работ Кантора.

Давно уже понятие бесконечности было введено в математику; но эта бесконечность была тем, что философы называют «становлением». Математическая бесконечность была лишь величиной, способной возрастать без всякого предела: это была переменная величина, о которой нельзя было сказать, что она «превзошла» все пределы, а только то, что она «может превзойти» их.

Кантор предпринял попытку ввести в математику «актуальную бесконечность», то есть величину, которая не только способна превзойти все пределы, но которая рассматривается как уже превзошедшая их. Он задавался такими вопросами: больше ли точек в пространстве, чем целых чисел? Больше ли точек в пространстве, чем точек на плоскости? и т. д.

И тогда число целых чисел, число точек пространства и т. д. составляют то, что он называет «трансфинитным кардинальным числом», то есть кардинальное число, большее всех обычных кардинальных чисел. И он занимался сравнением этих трансфинитных кардинальных чисел. Располагая в надлежащем порядке элементы совокупности, содержащей их бесконечность, он также вообразил то, что называет трансфинитными порядковыми числами, на которых я не буду останавливаться.

Многие математики последовали его примеру и поставили ряд вопросов такого рода. Они настолько освоились с трансфинитными числами, что пришли к тому, чтобы сделать теорию конечных чисел зависимой от теории кардинальных чисел Кантора. В их глазах, чтобы преподавать арифметику по-настоящему логично, нужно начать с установления общих свойств трансфинитных кардинальных чисел, затем выделить среди них очень малый класс — класс обычных целых чисел. Благодаря этому обходному пути можно было бы преуспеть в доказательстве всех предложений, относящихся к этому маленькому классу (то есть всей нашей арифметики и нашей алгебры), не используя никакого принципа, чуждого логике. Этот метод явно противоречит всякой здравой психологии; конечно, не так человеческий ум действовал при построении математики; поэтому его авторы, я думаю, не мечтают вводить его в среднее образование. Но является ли это, по крайней мере, логикой, или, лучше сказать, правильно ли это? В этом можно усомниться.

Геометры, которые использовали его, однако, очень многочисленны. Они накопили формулы и подумали, что освободились от того, что не является чистой логикой, написав мемуары, где формулы больше не чередуются с пояснительным дискурсом, как в книгах по обычной математике, но где этот дискурс полностью исчез.

К сожалению, они пришли к противоречивым результатам, к тому, что называют «канторовскими антиномиями», к которым у нас будет повод вернуться. Эти противоречия не обескуражили их, и они попытались изменить свои правила так, чтобы заставить исчезнуть те, которые уже проявились, не будучи при этом уверенными, что не проявятся новые.

Пора вершить суд над этими преувеличениями. Я не надеюсь убедить их; ибо они слишком долго жили в этой атмосфере. К тому же, когда одно из их доказательств опровергнуто, мы наверняка увидим, как оно воскресает с незначительными изменениями, и некоторые из них уже восставали несколько раз из пепла. Такой давно была Лернейская гидра с ее знаменитыми головами, которые всегда отрастали снова. Геркулес справился, так как у его гидры было всего девять голов или одиннадцать; но здесь их слишком много, одни в Англии, другие в Германии, в Италии, во Франции, и ему пришлось бы отказаться от борьбы. Поэтому я взываю только к людям здравого суждения, непредвзятым.

I

В последние годы было опубликовано множество работ по чистой математике и философии математики, пытающихся отделить и изолировать логические элементы математического рассуждения. Эти работы были проанализированы и изложены очень ясно г-ном Кутюра в книге под названием «Принципы математики».

Для г-на Кутюра новые работы, и в частности работы Рассела и Пеано, окончательно разрешили спор, так долго длившийся между Лейбницем и Кантом. Они показали, что не существует синтетических суждений априори (фраза Канта для обозначения суждений, которые нельзя ни доказать аналитически, ни свести к тождествам, ни установить экспериментально), они показали, что математика полностью сводима к логике и что интуиция здесь не играет никакой роли.

Это то, что г-н Кутюра изложил в только что упомянутой работе; это он говорит еще более прямо в своей речи на юбилее Канта, так что я слышал, как мой сосед прошептал: «Я хорошо вижу, что это столетие со дня смерти Канта».

Можем ли мы подписаться под этим окончательным осуждением? Я думаю, нет, и я попытаюсь показать почему.

II

Что поражает нас прежде всего в новой математике, так это ее чисто формальный характер: «Мы мыслим», — говорит Гильберт, — «три рода вещей, которые мы назовем точками, прямыми и плоскостями. Мы договариваемся, что прямая определяется двумя точками, и что вместо того, чтобы говорить, что эта прямая определяется этими двумя точками, мы можем сказать, что она проходит через эти две точки, или что эти две точки расположены на этой прямой». Что это за «вещи», мы не только не знаем, но и не должны стремиться узнать. Нам это не нужно, и тот, кто никогда не видел ни точки, ни прямой, ни плоскости, мог бы заниматься геометрией так же, как мы. Что фраза «проходить через» или фраза «быть расположенным на» может не вызывать у нас никакого образа, первая — просто синоним «быть определенным», а вторая — «определять».

Таким образом, будьте уверены, чтобы доказать теорему, не нужно и даже не выгодно знать, что она означает. Геометра можно было бы заменить «логическим пианино», воображенным Стэнли Джевонсом; или, если хотите, можно было бы вообразить машину, куда допущения подавались бы с одного конца, а теоремы выходили бы с другого, подобно легендарной чикагской машине, где свиньи входят живыми, а выходят превращенными в ветчину и колбасы. Не больше, чем этим машинам, математику нужно знать, что он делает.

Я не ставлю в упрек Гильберту этот формальный характер его геометрии. Это путь, которым он должен был идти, учитывая задачу, которую он перед собой поставил. Он хотел свести к минимуму число фундаментальных допущений геометрии и полностью перечислить их; теперь, в рассуждениях, где наш ум остается активным, в тех, где интуиция все еще играет роль, в живых рассуждениях, так сказать, трудно не ввести допущение или постулат, который проходит незамеченным. Поэтому только после того, как он свел все геометрические рассуждения к форме чисто механической, он мог быть уверен, что выполнил свой замысел и закончил свою работу.

То, что Гильберт сделал для геометрии, другие пытались сделать для арифметики и анализа. Даже если бы они полностью преуспели, были бы кантианцы окончательно приговорены к молчанию? Возможно, нет, ибо, сводя математическое мышление к пустой форме, его, безусловно, калечат.

Даже допуская, что было бы установлено, что все теоремы могут быть выведены процедурами чисто аналитическими, простыми логическими комбинациями конечного числа допущений, и что эти допущения — лишь конвенции; философ все равно имел бы право исследовать истоки этих конвенций, чтобы увидеть, почему они были сочтены предпочтительными перед противоположными конвенциями.

И затем, логическая правильность рассуждений, ведущих от допущений к теоремам, — не единственное, что должно занимать нас. Правила совершенной логики — это вся математика? С таким же успехом можно сказать, что все искусство игры в шахматы сводится к правилам ходов фигур. Среди всех конструкций, которые можно построить из материалов, предоставленных логикой, нужно сделать выбор; истинный геометр делает этот выбор рассудительно, потому что он руководствуется верным инстинктом или неким смутным осознанием не знаю какой более глубокой и более скрытой геометрии, которая одна придает ценность построенному зданию.

Искать истоки этого инстинкта, изучать законы этой глубокой геометрии, чувствуемой, а не сформулированной, было бы также прекрасным занятием для философов, которые не хотят, чтобы логика была всем. Но я не хочу становиться на эту точку зрения, я не хочу рассматривать вопрос таким образом. Упомянутый инстинкт необходим для изобретателя, но на первый взгляд кажется, что мы могли бы обойтись без него, изучая уже созданную науку. Что ж, я хочу исследовать, правда ли, что, раз принципы логики приняты, можно, я не говорю открыть, но доказать все математические истины, не прибегая заново к интуиции.

III

Я однажды сказал «нет» на этот вопрос: [12] должен ли наш ответ быть изменен недавними работами? Мое «нет» было потому, что «принцип полной индукции» казался мне одновременно необходимым математику и несводимым к логике. Формулировка этого принципа такова: «Если свойство истинно для числа 1, и если мы установим, что оно истинно для n + 1 при условии, что оно истинно для n, то оно будет истинно для всех целых чисел». В этом я вижу математическое рассуждение par excellence. Я не хотел сказать, как предполагалось, что все математические рассуждения могут быть сведены к применению этого принципа. Рассматривая эти рассуждения пристально, мы увидели бы там применение многих других аналогичных принципов, обладающих теми же существенными характеристиками. В этой категории принципов принцип полной индукции — лишь самый простой из всех, и именно поэтому я выбрал его в качестве типа.

Текущее название, «принцип полной индукции», не оправдано. Этот способ рассуждения тем не менее является истинной математической индукцией, которая отличается от обычной индукции только своей достоверностью.

IV

Определения и допущения

Существование таких принципов — трудность для бескомпромиссных логиков; как они претендуют выйти из нее? Принцип полной индукции, говорят они, — это не допущение в собственном смысле слова или синтетическое суждение априори; это просто определение целого числа. Это, следовательно, простая конвенция. Чтобы обсудить этот взгляд на вещи, мы должны рассмотреть несколько пристальнее отношения между определениями и допущениями.

Вернемся сначала к статье г-на Кутюра о математических определениях, которая появилась в «L'Enseignement mathématique», журнале, издаваемом Готье-Вилларом и Георгом в Женеве. Мы увидим там различие между прямым определением и определением через постулаты.

«Определение через постулаты», — говорит г-н Кутюра, — «применяется не к одному понятию, а к системе понятий; оно состоит в перечислении фундаментальных отношений, которые объединяют их и которые позволяют нам доказать все их другие свойства; эти отношения — постулаты».

Если предварительно были определены все эти понятия, кроме одного, то последнее будет по определению вещью, которая проверяет эти постулаты. Таким образом, некоторые недоказуемые допущения математики были бы лишь замаскированными определениями. Эта точка зрения часто легитимна; и я сам признал ее в отношении, например, постулата Евклида.

Другие допущения геометрии не достаточны для полного определения расстояния; расстояние тогда будет, по определению, среди всех величин, которые удовлетворяют этим другим допущениям, той, которая такова, что делает постулат Евклида истинным.

Что ж, логики предполагают истинным для принципа полной индукции то, что я допускаю для постулата Евклида; они хотят видеть в нем лишь замаскированное определение.

Но чтобы дать им это право, должны быть выполнены два условия. Стюарт Милль говорит, что каждое определение подразумевает допущение, то, которым утверждается существование определяемого объекта. Согласно этому, это было бы уже не допущение, которое могло бы быть замаскированным определением, это, напротив, было бы определение, которое было бы замаскированным допущением. Стюарт Милль имел в виду слово «существование» в материальном и эмпирическом смысле; он хотел сказать, что, определяя окружность, мы утверждаем, что в природе есть круглые вещи.

В этой форме его мнение недопустимо. Математика независима от существования материальных объектов; в математике слово «существовать» может иметь только одно значение, оно означает «свободный от противоречий». Таким образом исправленная, мысль Стюарта Милля становится точной; определяя вещь, мы утверждаем, что определение не подразумевает никакого противоречия.

Если, следовательно, у нас есть система постулатов, и если мы можем доказать, что эти постулаты не подразумевают никакого противоречия, мы будем иметь право рассматривать их как представляющие определение одного из понятий, входящих в них. Если мы не можем доказать это, оно должно быть принято без доказательства, и это тогда будет допущением; так что, ища определение под постулатом, мы нашли бы допущение под определением.

Обычно, чтобы показать, что определение не содержит противоречий, мы прибегаем к примеру: мы пытаемся создать пример вещи, удовлетворяющей этому определению. Возьмем случай определения через постулаты; мы хотим определить понятие А и говорим, что по определению А — это все, для чего верны определенные постулаты. Если мы можем прямо доказать, что все эти постулаты верны для некоторого объекта B, то определение будет оправдано; объект B будет примером А. Мы будем уверены, что постулаты не противоречивы, поскольку существуют случаи, когда все они верны одновременно.

Но такое прямое доказательство на примере возможно не всегда.

Чтобы установить, что постулаты не содержат противоречий, необходимо рассмотреть все предложения, выводимые из этих постулатов, рассматриваемых как посылки, и показать, что среди этих предложений нет двух противоречащих друг другу. Если число этих предложений конечно, возможна прямая проверка. Этот случай встречается редко и не представляет интереса. Если же число этих предложений бесконечно, такая прямая проверка уже невозможна; приходится прибегать к процедурам, где в общем случае необходимо ссылаться именно на тот принцип полной индукции, который как раз и подлежит доказательству.

Это объяснение одного из условий, которым должны удовлетворять логики, и далее мы увидим, что они его не выполнили.

V

Существует второе условие. Когда мы даем определение, мы делаем это для того, чтобы им пользоваться.

Следовательно, в дальнейшем изложении мы встретим определенное слово; имеем ли мы право утверждать относительно вещи, представленной этим словом, тот постулат, который послужил определением? Да, очевидно, если слово сохранило свое значение, если мы не приписываем ему неявно другой смысл. Но именно это иногда и происходит, и обычно это трудно заметить; необходимо видеть, как это слово входит в нашу речь и не подразумевает ли «ворота», через которые оно вошло, на самом деле определение, отличное от заявленного.

Эта трудность возникает во всех приложениях математики. Математическому понятию было дано определение весьма утонченное и строгое; и для чистой математики всякое сомнение исчезло; но если кто-то желает применить его, например, к физическим наукам, речь идет уже не об этом чистом понятии, а о конкретном объекте, который часто является лишь его грубым образом. Сказать, что этот объект удовлетворяет, по крайней мере приблизительно, определению, — значит констатировать новую истину, которую только опыт может поставить вне сомнения и которая уже не имеет характера условного постулата.

Но даже не выходя за рамки чистой математики, мы сталкиваемся с той же трудностью.

Вы даете тонкое определение чисел; затем, после того как это определение дано, вы о нем больше не думаете; потому что, в действительности, не оно научило вас тому, что такое число; вы давно это знали, и когда слово «число» встречается далее под вашим пером, вы придаете ему тот же смысл, что и первый встречный. Чтобы знать, что это за смысл и является ли он одним и тем же в этой или той фразе, необходимо видеть, как вы были приведены к разговору о числе и к введению этого слова в эти две фразы. Я не буду в данный момент распространяться на этот счет, поскольку у нас будет повод вернуться к этому.

Рассмотрим, таким образом, слово, которому мы дали явное определение А; впоследствии в рассуждении мы используем его так, что это неявно предполагает другое определение B. Возможно, что эти два определения обозначают одну и ту же вещь. Но то, что это так, — новая истина, которую необходимо либо доказать, либо принять как независимое допущение.

Мы увидим далее, что логики выполнили второе условие не лучше, чем первое.

VI

Определений числа очень много, и они очень разные; я воздержусь даже от перечисления имен их авторов. Нас не должно удивлять, что их так много. Если бы одно из них было удовлетворительным, нового бы не давали. Если каждый новый философ, занимающийся этим вопросом, считал, что должен изобрести другое, то это потому, что он не был удовлетворен определениями своих предшественников, а не был он ими удовлетворен, потому что считал, что видит petitio principii (предвосхищение основания).

Читая труды, посвященные этой проблеме, я всегда испытывал глубокое чувство дискомфорта; я всегда ожидал натолкнуться на petitio principii, и когда я не замечал его сразу, я боялся, что пропустил его.

Это происходит потому, что невозможно дать определение, не используя предложение, и трудно составить предложение, не используя числительное, или, по крайней мере, слово «несколько», или, по крайней мере, слово во множественном числе. А затем склон становится скользким, и в каждое мгновение есть риск сорваться в petitio principii.

В дальнейшем я сосредоточу свое внимание только на тех определениях, где petitio principii скрыто наиболее искусно.

VII

Пазиграфия

Символический язык, созданный Пеано, играет очень большую роль в этих новых исследованиях. Он способен принести некоторую пользу, но я думаю, что г-н Кутюра придает ему преувеличенное значение, которое должно удивлять самого Пеано.

Элементами этого языка являются определенные алгебраические знаки, представляющие различные союзы: «если», «и», «или», «следовательно». То, что эти знаки могут быть удобны, возможно; но то, что они призваны произвести революцию во всей философии, — это другое дело. Трудно допустить, что слово «если» приобретает, будучи записанным как C, некую силу, которой оно не имело, будучи записанным как «если». Это изобретение Пеано сначала называлось пазиграфией, то есть искусством написания математического трактата без использования ни одного слова обычного языка. Это название определяло его область весьма точно. Позже его возвели в более высокий сан, присвоив ему титул логистики. Это слово, по-видимому, используется в Военной академии для обозначения искусства интенданта кавалерии, искусства марша и расквартирования войск; но здесь не стоит опасаться путаницы, и сразу видно, что это новое название подразумевает замысел произвести революцию в логике.

Мы можем увидеть новый метод в действии в математической работе Бурали-Форти под названием «Una Questione sui numeri transfiniti» («Вопрос о трансфинитных числах»), опубликованной в XI томе «Rendiconti del circolo matematico di Palermo».

Начну с того, что эта работа очень интересна, и я беру ее здесь в качестве примера именно потому, что она является самой важной из всех написанных на новом языке. Кроме того, непосвященные могут прочитать ее благодаря итальянскому подстрочному переводу.

Важность этой работы заключается в том, что она дала первый пример тех антиномий, которые встречаются при изучении трансфинитных чисел и которые уже несколько лет приводят математиков в отчаяние. Цель этой заметки, говорит Бурали-Форти, состоит в том, чтобы показать, что могут существовать два трансфинитных числа (порядковых), a и b, таких, что a не равно, не больше и не меньше b.

Чтобы успокоить читателя: для понимания последующих рассуждений ему не нужно знать, что такое трансфинитное порядковое число.

Кантор же как раз доказал, что между двумя трансфинитными числами, как и между двумя конечными, не может быть иного отношения, кроме равенства или неравенства в том или ином смысле. Но я хочу говорить здесь не о содержании этой работы; это увело бы меня слишком далеко от темы; я хочу рассмотреть только форму и спросить, дает ли эта форма значительный выигрыш в строгости и компенсирует ли она тем самым усилия, которые она навязывает автору и читателю.

Сначала мы видим, как Бурали-Форти определяет число 1 следующим образом:

определение, в высшей степени подходящее для того, чтобы дать представление о числе 1 людям, которые никогда о нем не слышали.

Я слишком плохо понимаю «пеановский» язык, чтобы осмелиться на критику, но все же боюсь, что это определение содержит petitio principii, учитывая, что я вижу цифру 1 в первой части и «Un» буквами во второй.

Как бы то ни было, Бурали-Форти исходит из этого определения и после короткого вычисления приходит к уравнению:

которое говорит нам, что «Один» — это число.

И раз уж мы заговорили об этих определениях первых чисел, напомним, что г-н Кутюра также определил 0 и 1.

Что такое ноль? Это число элементов пустого класса. А что такое пустой класс? Это тот, который не содержит ни одного элемента.

Определять ноль через «пустой», а «пустой» через «ни одного» — это действительно злоупотребление богатством языка; поэтому г-н Кутюра внес улучшение в свое определение, написав:

что означает: ноль — это число вещей, удовлетворяющих условию, которое никогда не выполняется.

Но поскольку «никогда» означает «ни в каком случае», я не вижу, чтобы прогресс был велик.

Спешу добавить, что определение числа 1, данное г-ном Кутюра, более удовлетворительно.

Один, говорит он по существу, — это число элементов в классе, в котором любые два элемента идентичны.

Оно более удовлетворительно, сказал я, в том смысле, что для определения 1 он не использует слово «один»; в качестве компенсации он использует слово «два». Но боюсь, если спросить, что такое «два», г-ну Кутюра пришлось бы использовать слово «один».

VIII

Но вернемся к работе Бурали-Форти; я сказал, что его выводы находятся в прямом противоречии с выводами Кантора. Однажды ко мне пришел г-н Адамар, и разговор зашел об этой антиномии.

«Рассуждение Бурали-Форти, — сказал я, — разве оно не кажется вам безупречным?» «Нет, напротив, я не нахожу ничего, что можно было бы возразить против рассуждения Кантора. К тому же Бурали-Форти не имел права говорить о совокупности всех порядковых чисел».

«Простите, он имел право, так как он всегда мог положить

Я хотел бы знать, кто мог ему помешать, и можно ли сказать, что вещь не существует, когда мы назвали ее Ω?»

Все было напрасно, я не смог его убедить (что, впрочем, было бы печально, так как он был прав). Было ли это просто потому, что я недостаточно красноречиво говорю на «пеановском»? Возможно; но между нами говоря, я так не думаю.

Таким образом, несмотря на весь этот пазиграфический аппарат, вопрос не был решен. Что это доказывает? Поскольку речь идет лишь о том, чтобы доказать, что 1 — это число, пазиграфии достаточно, но если возникает трудность, если есть антиномия, которую нужно решить, пазиграфия становится бессильной.

ГЛАВА IV

Новая логика

I

Логика Рассела

Чтобы оправдать свои претензии, логика должна была измениться. Мы видели появление новых логик, из которых наиболее интересной является логика Рассела. Кажется, что ему нечего добавить нового к формальной логике, как будто Аристотель достиг в ней дна. Но область, которую Рассел приписывает логике, бесконечно шире, чем область классической логики, и он выдвинул по этому поводу взгляды, которые оригинальны и порой вполне обоснованы.

Во-первых, Рассел подчиняет логику классов логике высказываний, в то время как логика Аристотеля была прежде всего логикой классов и брала за отправную точку отношение субъекта к предикату. Классический силлогизм «Сократ есть человек» и т. д. уступает место гипотетическому силлогизму: «Если А истинно, то B истинно; если B истинно, то C истинно» и т. д. И это, я думаю, самая удачная идея, потому что классический силлогизм легко свести к гипотетическому, тогда как обратное преобразование не лишено трудностей.

И это еще не все. Логика высказываний Рассела — это изучение законов сочетания союзов «если», «и», «или» и отрицания «не».

Добавляя сюда два других союза, «и» и «или», Рассел открывает для логики новую область. Символы «и», «или» следуют тем же законам, что и два знака × и +, то есть коммутативному, ассоциативному и дистрибутивному законам. Таким образом, «и» представляет логическое умножение, а «или» — логическое сложение. Это тоже очень интересно.