«Основы науки: Наука и гипотеза, Ценность науки, Наука и метод»

Рассел приходит к выводу, что любое ложное высказывание влечет за собой все остальные высказывания, истинные или ложные. Г-н Кутюра говорит, что этот вывод поначалу покажется парадоксальным. Однако достаточно было исправить плохой тезис в математике, чтобы признать, насколько прав Рассел. Кандидату часто стоит больших усилий получить первое ложное уравнение; но как только оно получено, для него становится лишь забавой накапливать самые удивительные результаты, некоторые из которых могут оказаться даже истинными.

II

Мы видим, насколько богаче новая логика, чем классическая; символы умножаются и допускают разнообразные комбинации, число которых больше не ограничено. Имеет ли кто-то право давать такое расширение значению слова «логика»? Было бы бесполезно исследовать этот вопрос и искать вместе с Расселом пустой спор о словах. Уступите ему то, что он требует; но не удивляйтесь, если некоторые истины, объявленные несводимыми к логике в старом смысле слова, окажутся теперь сводимыми к логике в новом смысле — чему-то совсем иному.

Было введено большое количество новых понятий, и это не просто комбинации старых. Рассел знает это, и не только в начале первой главы «Логика высказываний», но и в начале второй и третьей, «Логика классов» и «Логика отношений», он вводит новые слова, которые объявляет неопределимыми.

И это не все; он также вводит принципы, которые объявляет недоказуемыми. Но эти недоказуемые принципы — это обращения к интуиции, синтетические суждения a priori. Мы рассматриваем их как интуитивные, когда встречаем их более или менее явно сформулированными в математических трактатах; изменили ли они характер оттого, что значение слова «логика» было расширено и мы теперь находим их в книге под названием «Трактат по логике»? Они не изменили своей природы; они только сменили место.

III

Могли бы эти принципы рассматриваться как замаскированные определения? Тогда необходимо было бы иметь какой-то способ доказать, что они не содержат противоречий. Необходимо было бы установить, что, как бы далеко ни следовать по ряду дедукций, человек никогда не рискует противоречить самому себе.

Мы могли бы попытаться рассуждать следующим образом: мы можем проверить, что операции новой логики, примененные к посылкам, свободным от противоречий, могут дать только следствия, столь же свободные от противоречий. Если, следовательно, после n операций мы не встретили противоречия, мы не встретим его и после n + 1. Таким образом, невозможно, чтобы наступил момент, когда противоречие начинается, что показывает, что мы никогда его не встретим. Имеем ли мы право рассуждать таким образом? Нет, ибо это означало бы использование полной индукции; а помните, мы еще не знаем принципа полной индукции.

Поэтому у нас нет права рассматривать эти допущения как замаскированные определения, и остается лишь один ресурс — допустить новый акт интуиции для каждого из них. Более того, я верю, что такова действительно мысль Рассела и г-на Кутюра.

Таким образом, каждое из девяти неопределимых понятий и двадцати недоказуемых предложений (полагаю, если бы считал я, я бы нашел еще несколько), которые являются фундаментом новой логики, логики в широком смысле, предполагает новый и независимый акт нашей интуиции и (почему бы не сказать это?) подлинное синтетическое суждение a priori. По этому пункту все, кажется, согласны, но то, что утверждает Рассел, и что кажется мне сомнительным, — это то, что после этих обращений к интуиции на этом все закончится; нам не нужно будет делать других, и мы сможем построить всю математику без вмешательства какого-либо нового элемента.

IV

Г-н Кутюра часто повторяет, что эта новая логика совершенно независима от идеи числа. Я не буду забавляться подсчетом того, сколько числительных содержит его изложение, как количественных, так и порядковых, или неопределенных прилагательных, таких как «несколько». Мы можем, однако, привести некоторые примеры:

«Логическое произведение двух или более высказываний есть...»;

«Все высказывания способны принимать только два значения: истина и ложь»;

«Относительное произведение двух отношений есть отношение»;

«Отношение существует между двумя членами» и т. д., и т. д.

Иногда этого неудобства можно было бы избежать, но иногда оно является существенным. Отношение непостижимо без двух членов; невозможно иметь интуицию отношения, не имея в то же время интуиции его двух членов и не замечая, что их два, потому что, если отношение должно быть мыслимым, необходимо, чтобы их было два и только два.

V

Арифметика

Я перехожу к тому, что г-н Кутюра называет порядковой теорией, которая является фундаментом арифметики в собственном смысле слова. Г-н Кутюра начинает с изложения пяти допущений Пеано, которые являются независимыми, как было доказано Пеано и Падоа.

1. Ноль — это целое число.

2. Ноль не является преемником никакого целого числа.

3. Преемник целого числа — это целое число.

К этому следовало бы добавить:

У каждого целого числа есть преемник.

4. Два целых числа равны, если равны их преемники.

Пятое допущение — это принцип полной индукции.

Г-н Кутюра рассматривает эти допущения как замаскированные определения; они составляют определение через постулаты нуля, преемника и целого числа.

Но мы видели, что для того, чтобы определение через постулаты было приемлемым, мы должны быть в состоянии доказать, что оно не содержит противоречий.

Так ли это здесь? Отнюдь нет.

Доказательство не может быть сделано на примере. Мы не можем взять часть целых чисел, например первые три, и доказать, что они удовлетворяют определению.

Если я возьму ряд 0, 1, 2, я вижу, что он удовлетворяет допущениям 1, 2, 4 и 5; но чтобы удовлетворить допущению 3, все еще необходимо, чтобы 3 было целым числом, и, следовательно, чтобы ряд 0, 1, 2, 3 удовлетворял допущениям; мы могли бы доказать, что он удовлетворяет допущениям 1, 2, 4, 5, но допущение 3 требует, кроме того, чтобы 4 было целым числом и чтобы ряд 0, 1, 2, 3, 4 удовлетворял допущениям, и так далее.

Поэтому невозможно доказать допущения для определенных целых чисел, не доказав их для всех; мы должны отказаться от доказательства на примере.

Тогда необходимо взять все следствия наших допущений и посмотреть, не содержат ли они противоречий.

Если бы число этих следствий было конечным, это было бы легко; но их бесконечно много; они составляют всю математику, или, по крайней мере, всю арифметику.

Что же тогда делать? Возможно, строго говоря, мы могли бы повторить рассуждение из пункта III.

Но, как мы сказали, это рассуждение есть полная индукция, и именно принцип полной индукции является тем, обоснование которого и было бы предметом вопроса.

VI

Логика Гильберта

Я перехожу теперь к капитальной работе Гильберта, которую он представил на Конгрессе математиков в Гейдельберге и французский перевод которой, выполненный г-ном Пьером Бутру, появился в «l'Enseignement mathématique», тогда как английский перевод, принадлежащий Хэлстеду, появился в «The Monist». В этой работе, содержащей глубокие мысли, цель автора аналогична цели Рассела, но по многим пунктам он расходится со своим предшественником.

«Но, — говорит он (Monist, стр. 340), — при внимательном рассмотрении мы осознаем, что в обычном изложении законов логики уже используются некоторые фундаментальные понятия арифметики; например, понятие совокупности, отчасти также понятие числа».

«Мы попадаем таким образом в порочный круг, и поэтому, чтобы избежать парадоксов, необходимо частично одновременное развитие законов логики и арифметики».

Мы видели выше, что то, что Гильберт говорит о принципах логики в обычном изложении, применимо также к логике Рассела. Таким образом, для Рассела логика предшествует арифметике; для Гильберта они «одновременны». Мы найдем далее другие различия, еще большие, но мы укажем на них по мере того, как дойдем до них. Я предпочитаю следовать шаг за шагом за развитием мысли Гильберта, цитируя дословно наиболее важные отрывки.

«Возьмем в качестве основы нашего рассмотрения прежде всего мысленную вещь 1 (один)» (стр. 341). Заметьте, что, делая это, мы никоим образом не подразумеваем понятие числа, потому что подразумевается, что 1 здесь — это только символ и что мы вовсе не стремимся узнать его значение. «Взятие этой вещи вместе с самой собой соответственно два, три или более раз...» Ах! На этот раз это уже не то же самое; если мы вводим слова «два», «три» и, прежде всего, «более», «несколько», мы вводим понятие числа; и тогда определение конечного целого числа, которое мы представим сейчас, придет слишком поздно. Наш автор был слишком осмотрителен, чтобы не заметить этого предвосхищения основания. Поэтому в конце своей работы он пытается перейти к подлинному процессу «латания дыр».

Затем Гильберт вводит два простых объекта 1 и = и рассматривает все комбинации этих двух объектов, все комбинации их комбинаций и т. д. Само собой разумеется, что мы должны забыть обычное значение этих двух знаков и не приписывать им никакого.

Впоследствии он разделяет эти комбинации на два класса: класс существующего и класс несуществующего, и до дальнейших распоряжений это разделение является совершенно произвольным. Каждое утвердительное высказывание говорит нам, что определенная комбинация принадлежит к классу существующего; каждое отрицательное высказывание говорит нам, что определенная комбинация принадлежит к классу несуществующего.

VII

Заметьте теперь различие высочайшей важности. Для Рассела любой объект вообще, который он обозначает через x, — это объект абсолютно неопределенный, о котором он ничего не предполагает; для Гильберта это одна из комбинаций, образованных символами 1 и =; он не мог бы представить себе введение чего-либо иного, кроме комбинаций уже определенных объектов. Более того, Гильберт формулирует свою мысль самым четким образом, и я думаю, что должен воспроизвести in extenso его утверждение (стр. 348):

«В допущениях произвольные элементы (как эквивалент понятия «каждый» и «все» в обычной логике) представляют только те мысленные вещи и их комбинации друг с другом, которые на данной стадии заложены как фундаментальные или должны быть вновь определены. Поэтому при выведении следствий из допущений произвольные элементы, которые встречаются в допущениях, могут быть заменены только такими мысленными вещами и их комбинациями».

«Также мы должны должным образом помнить, что через добавление и принятие в качестве фундаментальной новой мысленной вещи предыдущие допущения претерпевают расширение своей значимости и, где необходимо, должны быть подвергнуты изменению в соответствии со смыслом».

Контраст с точкой зрения Рассела полный. Для этого философа мы можем подставить вместо x не только уже известные объекты, но и что угодно.

Рассел верен своей точке зрения, которая является точкой зрения охвата. Он исходит из общей идеи бытия и обогащает ее все больше и больше, ограничивая ее путем добавления новых качеств. Гильберт, напротив, признает возможными существами только комбинации уже известных объектов; так что (рассматривая только одну сторону его мысли) можно было бы сказать, что он принимает точку зрения объема.

VIII

Продолжим изложение идей Гильберта. Он вводит два допущения, которые он формулирует на своем символическом языке, но которые означают, на языке непосвященных, что каждое качество равно самому себе и что каждая операция, выполненная над двумя идентичными величинами, дает идентичные результаты.

Так сформулированные, они очевидны, но представить их так — значит исказить мысль Гильберта. Для него математика должна комбинировать только чистые символы, и настоящий математик должен рассуждать о них без предвзятых мнений относительно их значения. Поэтому его допущения — это для него не то, что они для обычных людей.

Он рассматривает их как представляющие определение через постулаты символа (=), доселе лишенного всякого значения. Но чтобы оправдать это определение, мы должны показать, что эти два допущения не ведут к противоречию. Для этого Гильберт использовал рассуждение из нашего пункта III, не замечая, по-видимому, что он использует полную индукцию.

IX

Конец работы Гильберта совершенно загадочен, и я не буду делать на нем акцент. Противоречия накапливаются; мы чувствуем, что автор смутно осознает petitio principii, который он совершил, и что он тщетно пытается залатать дыры в своем аргументе.

Что это означает? В момент доказательства того, что определение целого числа через допущение полной индукции не содержит противоречий, Гильберт отступает, как отступили Рассел и Кутюра, потому что трудность слишком велика.

X

Геометрия

Геометрия, говорит г-н Кутюра, — это обширный свод доктрин, в который не входит принцип полной индукции. Это верно в известной мере; мы не можем сказать, что он полностью отсутствует, но он входит очень незначительно. Если мы обратимся к «Рациональной геометрии» д-ра Хэлстеда (Нью-Йорк, John Wiley and Sons, 1904), построенной в соответствии с принципами Гильберта, мы увидим, что принцип индукции входит впервые на странице 114 (если я не допустил упущения, что вполне возможно).

Таким образом, геометрия, которая еще несколько лет назад казалась областью, где господство интуиции было неоспоримым, сегодня является царством, где, кажется, торжествуют логики. Ничто не могло бы лучше измерить важность геометрических работ Гильберта и глубокий след, который они оставили в наших концепциях.

Но не обманывайтесь. Что такое, в конце концов, фундаментальная теорема геометрии? Это то, что допущения геометрии не содержат противоречий, и это мы не можем доказать без принципа индукции.

Как Гильберт доказывает этот существенный пункт? Опираясь на анализ, а через него — на арифметику, а через нее — на принцип индукции.

И если когда-нибудь кто-то изобретет другое доказательство, все равно придется опираться на этот принцип, поскольку возможные следствия допущений, о которых необходимо показать, что они не противоречивы, бесконечны по числу.

XI

Заключение

Наш вывод сразу состоит в том, что принцип индукции нельзя рассматривать как замаскированное определение целого числа.

Вот три истины: (1) Принцип полной индукции; (2) Постулат Евклида; (3) физический закон, согласно которому фосфор плавится при 44° (цитируется г-ном Ле Руа).

Говорят, что это три замаскированных определения: первое — целого числа; второе — прямой линии; третье — фосфора.

Я согласен с этим для второго; я не признаю этого для двух других. Я должен объяснить причину этой кажущейся непоследовательности.

Во-первых, мы видели, что определение приемлемо только при условии, что оно не содержит противоречий. Мы показали также, что для первого определения это доказательство невозможно; с другой стороны, мы только что напомнили, что для второго Гильберт дал полное доказательство.

Что касается третьего, очевидно, оно не содержит противоречий. Означает ли это, что определение гарантирует, как и должно, существование определенного объекта? Мы здесь уже не в математических науках, а в физических, и слово «существование» уже не имеет того же значения. Оно больше не означает отсутствие противоречий; оно означает объективное существование.

Вы уже видите первую причину различия, которое я сделал между тремя случаями; есть вторая. В приложениях, которые мы должны сделать из этих трех понятий, представляются ли они нам как определенные этими тремя постулатами?

Возможные приложения принципа индукции бесчисленны; возьмем, например, одно из тех, что мы изложили выше, где пытаются доказать, что совокупность допущений не может привести к противоречию. Для этого мы рассматриваем один из рядов силлогизмов, который мы можем продолжать, исходя из этих допущений как посылок. Когда мы закончили n-й силлогизм, мы видим, что можем сделать еще один, и это n+1-й. Таким образом, число n служит для счета ряда последовательных операций; это число, получаемое последовательными сложениями. Это, следовательно, число, от которого мы можем вернуться к единице последовательными вычитаниями. Очевидно, мы не могли бы этого сделать, если бы у нас было n = n − 1, поскольку тогда при вычитании мы всегда получали бы снова то же самое число. Так что путь, которым мы были приведены к рассмотрению этого числа n, подразумевает определение конечного целого числа, и это определение следующее: конечное целое число — это то, которое может быть получено последовательными сложениями; оно таково, что n не равно n − 1.

Это допущено, что мы делаем? Мы показываем, что если не было противоречия до n-го силлогизма, то не будет его и до n+1-го, и заключаем, что его никогда не будет. Вы говорите: я имею право сделать этот вывод, поскольку целые числа — это по определению те, для которых подобное рассуждение законно. Но это подразумевает другое определение целого числа, которое выглядит так: целое число — это то, над которым мы можем рассуждать по рекурсии. В частном случае это то, о котором мы можем сказать, что если отсутствие противоречия до момента силлогизма, номер которого есть целое число, влечет за собой отсутствие противоречия до момента силлогизма, номер которого есть следующее целое число, то нам не нужно опасаться противоречия ни для одного из силлогизмов, номер которого есть целое число.

Два определения не идентичны; они, несомненно, эквивалентны, но только в силу синтетического суждения a priori; мы не можем перейти от одного к другому чисто логической процедурой. Следовательно, у нас нет права принимать второе, введя целое число путем, который предполагает первое.

С другой стороны, что происходит в отношении прямой линии? Я уже объяснял это так часто, что колеблюсь повторять снова, и ограничусь кратким резюме своей мысли. У нас нет, как в предыдущем случае, двух эквивалентных определений, логически несводимых одно к другому. У нас есть только одно, выразимое словами. Скажут ли, что есть другое, которое мы чувствуем, не будучи в состоянии выразить словами, поскольку у нас есть интуиция прямой линии или поскольку мы представляем себе прямую линию? Прежде всего, мы не можем представить ее себе в геометрическом пространстве, а только в репрезентативном пространстве, и затем мы можем представить себе точно так же объекты, которые обладают другими свойствами прямой линии, кроме свойства удовлетворять постулату Евклида. Эти объекты — «неевклидовы прямые», которые с определенной точки зрения не являются бессмысленными сущностями, а окружностями (истинными окружностями истинного пространства), ортогональными к некоторой сфере. Если среди этих объектов, одинаково способных к представлению, именно первые (евклидовы прямые) мы называем прямыми, а не последние (неевклидовы прямые), то это собственно по определению.

И переходя, наконец, к третьему примеру, определению фосфора, мы видим, что истинным определением было бы: Фосфор — это кусочек материи, который я вижу в вон той колбе.

XII

И раз уж я на эту тему, еще одно слово. О примере с фосфором я сказал: «Это предложение — реальный проверяемый физический закон, потому что оно означает, что все тела, обладающие всеми другими свойствами фосфора, кроме точки плавления, плавятся, как он, при 44°». И мне ответили: «Нет, этот закон не проверяем, потому что если бы было показано, что два тела, похожие на фосфор, плавятся одно при 44°, а другое при 50°, всегда можно было бы сказать, что, несомненно, помимо точки плавления, есть какое-то другое неизвестное свойство, которым они различаются».

Это было не совсем то, что я хотел сказать. Я должен был написать: «Все тела, обладающие такими-то и такими-то свойствами, конечными по числу (а именно, свойствами фосфора, указанными в книгах по химии, за исключением точки плавления), плавятся при 44°».

И чтобы лучше сделать очевидной разницу между случаем прямой и случаем фосфора, еще одно замечание. Прямая имеет в природе много образов, более или менее несовершенных, главными из которых являются световые лучи и ось вращения твердого тела. Предположим, мы обнаружим, что луч света не удовлетворяет постулату Евклида (например, показав, что звезда имеет отрицательный параллакс), что мы будем делать? Заключим ли мы, что прямая, будучи по определению траекторией света, не удовлетворяет постулату, или, с другой стороны, что прямая, по определению удовлетворяющая постулату, — это не луч света?

Безусловно, мы свободны принять то или иное определение и, следовательно, тот или иной вывод; но принять первое было бы глупо, потому что луч света, вероятно, удовлетворяет лишь несовершенно не только постулату Евклида, но и другим свойствам прямой линии, так что если он отклоняется от евклидовой прямой, он отклоняется не меньше от оси вращения твердых тел, которая является другим несовершенным образом прямой линии; в то время как, наконец, он, несомненно, подвержен изменениям, так что такая линия, которая вчера была прямой, перестанет быть прямой завтра, если изменится какое-то физическое обстоятельство.

Предположим теперь, мы обнаружим, что фосфор плавится не при 44°, а при 43,9°. Заключим ли мы, что фосфор, будучи по определению тем, что плавится при 44°, это тело, которое мы называли фосфором, не является истинным фосфором, или, с другой стороны, что фосфор плавится при 43,9°? Здесь опять мы свободны принять то или иное определение и, следовательно, тот или иной вывод; но принять первое было бы глупо, потому что мы не можем менять название вещества каждый раз, когда определяем новый десятичный знак его точки плавления.

XIII

Подводя итог, Рассел и Гильберт каждый предприняли энергичное усилие; каждый из них написал работу, полную оригинальных взглядов, глубоких и часто вполне обоснованных. Эти две работы дают нам много пищи для размышлений, и нам есть чему у них поучиться. Среди их результатов некоторые, даже многие, являются солидными и предназначенными для долгой жизни.

Но сказать, что они окончательно разрешили спор между Кантом и Лейбницем и разрушили кантовскую теорию математики, очевидно, неверно. Я не знаю, верили ли они действительно, что сделали это, но если они так верили, они обманывали себя.

ГЛАВА V

Последние усилия логистиков

I

Логики попытались ответить на предыдущие соображения. Для этого потребовалась трансформация логистики, и Рассел, в частности, изменил по некоторым пунктам свои первоначальные взгляды. Не вдаваясь в детали спора, я хотел бы вернуться к двум вопросам, наиболее важным, на мой взгляд: продемонстрировали ли правила логистики свою плодотворность и непогрешимость? Верно ли, что они дают средства доказать принцип полной индукции без какого-либо обращения к интуиции?

II

Непогрешимость логистики

Что касается вопроса о плодотворности, кажется, у г-на Кутюра наивные иллюзии. Логистика, по его словам, дает изобретению «ходули и крылья», а на следующей странице: «Десять лет назад Пеано опубликовал первое издание своего Formulaire». Как же так, десять лет крыльев — и не взлететь!

Я питаю высочайшее уважение к Пеано, который сделал очень красивые вещи (например, его «кривую, заполняющую пространство», фразу, ныне отброшенную); но в конце концов он не ушел дальше, не поднялся выше и не двигался быстрее, чем большинство бескрылых математиков, и справился бы так же хорошо своими ногами.

Напротив, я вижу в логистике только оковы для изобретателя. Это не помощь в лаконичности — далеко не так, и если двадцать семь уравнений потребовались, чтобы установить, что 1 — это число, сколько понадобилось бы, чтобы доказать реальную теорему? Если мы различаем, вместе с Уайтхедом, индивид x, класс, единственным членом которого является x и который будет называться ιx, затем класс, единственным членом которого является класс, единственным членом которого является x и который будет называться μx, — думаете ли вы, что эти различия, какими бы полезными они ни были, сильно ускоряют наш шаг?

Логистика заставляет нас говорить все то, что обычно оставляют подразумеваемым; она заставляет нас продвигаться шаг за шагом; это, возможно, надежнее, но не быстрее.

Не крылья вы, логистики, даете нам, а помочи. И тогда мы имеем право требовать, чтобы эти помочи предотвращали наше падение. Это будет их единственным оправданием. Когда облигация не приносит большого дохода, она должна, по крайней мере, быть вложением для отца семейства.

Следует ли следовать вашим правилам вслепую? Да, иначе только интуиция могла бы позволить нам различать их; но тогда они должны быть непогрешимы; ибо только в непогрешимую власть можно иметь слепое доверие. Это, следовательно, для вас необходимость. Вы будете непогрешимы, или вовсе не будете.

У вас нет права говорить нам: «Правда, мы совершаем ошибки, но и вы тоже». Для нас ошибиться — это несчастье, очень большое несчастье; для вас это смерть.

Не можете вы также спрашивать: мешает ли непогрешимость арифметики ошибкам в сложении? Правила вычисления непогрешимы, и все же мы видим, как ошибаются те, кто не применяет эти правила; но при проверке их вычисления сразу видно, где они ошиблись. Здесь совсем не тот случай; логики применили свои правила, и они впали в противоречие; и настолько это верно, что они готовятся изменить эти правила и «пожертвовать понятием класса». Зачем менять их, если они были непогрешимы?

«Мы не обязаны, — говорите вы, — решать hic et nunc (здесь и сейчас) все возможные проблемы». О, мы не просим от вас так много. Если бы перед лицом проблемы вы не дали никакого решения, нам нечего было бы сказать; но, напротив, вы даете нам два из них, и притом противоречивых, а следовательно, по крайней мере одно ложное; это и есть провал.

Рассел стремится примирить эти противоречия, что может быть сделано, по его словам, «только путем ограничения или даже принесения в жертву понятия класса». И г-н Кутюра, обнаруживая успех его попытки, добавляет: «Если логики преуспеют там, где другие потерпели неудачу, г-н Пуанкаре вспомнит эту фразу и отдаст честь решения логистике».

Но нет! Логистика существует, у нее есть свой кодекс, который уже выдержал четыре издания; или, скорее, этот кодекс и есть сама логистика. Готовится ли г-н Рассел показать, что по крайней мере одно из двух противоречивых рассуждений нарушило кодекс? Отнюдь нет; он готовится изменить эти законы и отменить определенное их число. Если он преуспеет, я отдам честь этому интуиции Рассела, а не пеановской логистике, которую он разрушит.

III

Свобода противоречия

Я сделал два главных возражения против определения целого числа, принятого в логистике. Что говорит г-н Кутюра на первое из этих возражений?

Что означает слово «существовать» в математике? Это означает, сказал я, быть свободным от противоречий. Это г-н Кутюра оспаривает. «Логическое существование, — говорит он, — это совсем другое дело, нежели отсутствие противоречий. Оно состоит в том, что класс не пуст». Сказать: «a существуют» — значит по определению утверждать, что класс a не пуст.

И, несомненно, утверждать, что класс a не пуст, — значит по определению утверждать, что «a существуют». Но одно из двух утверждений столь же лишено смысла, как и другое, если они оба не означают либо то, что можно увидеть или потрогать a, что является смыслом, который придают им физики или натуралисты, либо то, что можно помыслить a, не будучи втянутым в противоречия, что является смыслом, придаваемым им логиками и математиками.

Для М. Кутюра «не противоречивость доказывает существование, а существование доказывает непротиворечивость». Следовательно, чтобы установить существование класса, необходимо на примере доказать, что существует индивид, принадлежащий к этому классу: «Но, скажут нам, как доказывается существование этого индивида? Разве не должно быть установлено это существование, чтобы можно было вывести существование класса, частью которого он является? Что ж, нет; как бы парадоксально ни выглядело это утверждение, мы никогда не доказываем существование индивида. Индивиды, именно потому, что они являются индивидами, всегда рассматриваются как существующие... Нам никогда не приходится выражать, что индивид существует в абсолютном смысле, а только то, что он существует в классе». М. Кутюра находит свое собственное утверждение парадоксальным, и он, безусловно, будет не единственным. И все же оно должно иметь смысл. Это, несомненно, означает, что существование индивида, одинокого в мире, о котором ничего не утверждается, не может повлечь за собой противоречия; поскольку он совсем один, он, очевидно, никого не смутит. Ну что ж, пусть будет так; мы допустим существование индивида «в абсолютном смысле», но не более того. Остается доказать существование индивида «в классе», и для этого всегда будет необходимо доказать, что утверждение «Такой-то индивид принадлежит к такому-то классу» не является противоречивым ни само по себе, ни по отношению к другим принятым постулатам.

«Тогда, — продолжает М. Кутюра, — произвольно и вводит в заблуждение утверждение, что определение действительно только в том случае, если мы сначала докажем, что оно не противоречиво». Нельзя было бы заявить более гордыми и энергичными словами о свободе противоречия. «В любом случае, onus probandi (бремя доказательства) лежит на тех, кто считает, что эти принципы противоречивы». Постулаты считаются совместимыми до тех пор, пока не доказано обратное, точно так же, как обвиняемый считается невиновным. Излишне добавлять, что я не согласен с этим утверждением. Но, скажете вы, доказательство, которое вы от нас требуете, невозможно, и вы не можете просить нас перепрыгнуть через луну. Прошу прощения; это невозможно для вас, но не для нас, кто признает принцип индукции как синтетическое суждение a priori. И это было бы необходимо для вас, как и для нас.

Чтобы доказать, что система постулатов не содержит противоречий, необходимо применить принцип полной индукции; этот способ рассуждения не только не имеет в себе ничего «странного», но является единственно правильным. Не «маловероятно», что он когда-либо применялся; и нетрудно найти его «примеры и прецеденты». Я привел два таких примера, заимствованных из статьи Гильберта. Он не единственный, кто использовал его, и те, кто этого не сделал, были неправы. В чем я упрекал Гильберта, так это не в том, что он прибег к нему (такой прирожденный математик, как он, не мог не видеть, что доказательство необходимо и что это единственно возможное), а в том, что он прибег к нему, не признавая рассуждения по рекуррентности.

IV

Второе возражение

Я указал на вторую ошибку логистики в статье Гильберта. Сегодня Гильберт отлучен, и М. Кутюра больше не считает его принадлежащим к культу логистики; поэтому он спрашивает, нашел ли я ту же ошибку у ортодоксов. Нет, я не видел ее на страницах, которые читал; я не знаю, нашел ли бы я ее на трехстах страницах, которые они написали, но которые у меня нет желания читать.

Только они должны совершить ее в тот день, когда захотят применить математику. У этой науки не единственная цель — вечное созерцание собственного пупка; она имеет дело с природой, и однажды она коснется ее. Тогда необходимо будет стряхнуть с себя чисто словесные определения и перестать обманывать себя словами.

Возвращаясь к примеру Гильберта: предметом спора всегда является рассуждение по рекуррентности и вопрос о том, не противоречива ли система постулатов. М. Кутюра, несомненно, скажет, что тогда это его не касается, но, возможно, это заинтересует тех, кто не требует, как он, свободы противоречия.

Мы хотим установить, как сказано выше, что мы никогда не встретим противоречия после любого количества дедукций, при условии, что это число конечно. Для этого необходимо применить принцип индукции. Следует ли нам здесь понимать под конечным числом любое число, к которому по определению применяется принцип индукции? Очевидно, нет, иначе мы пришли бы к самым неловким последствиям. Чтобы иметь право устанавливать систему постулатов, мы должны быть уверены, что они не противоречивы. Это истина, признаваемая большинством ученых; я бы написал «всеми» до прочтения последней статьи М. Кутюра. Но что это означает? Означает ли это, что мы должны быть уверены, что не встретим противоречия после конечного числа предложений, причем конечное число по определению является тем, которое обладает всеми свойствами рекуррентного характера, так что если одно из этих свойств нарушается — если, например, мы наталкиваемся на противоречие — мы согласимся сказать, что рассматриваемое число не является конечным? Другими словами, имеем ли мы в виду, что мы должны быть уверены, что не встретим противоречий, при условии согласия остановиться как раз тогда, когда мы собираемся столкнуться с одним из них? Сформулировать такое предложение — значит осудить его.

Таким образом, рассуждение Гильберта не только предполагает принцип индукции, но и исходит из того, что этот принцип дан нам не как простое определение, а как синтетическое суждение a priori.

Подводя итог:

Доказательство необходимо.

Единственное возможное доказательство — это доказательство по рекуррентности.

Оно законно только в том случае, если мы признаем принцип индукции и если мы рассматриваем его не как определение, а как синтетическое суждение.

V

Антиномии Кантора

Теперь перейдем к рассмотрению новой работы Рассела. Эта работа была написана с целью преодоления трудностей, вызванных теми антиномиями Кантора, на которые уже часто ссылались. Кантор думал, что может построить науку о бесконечном; другие пошли по открытому им пути, но вскоре натолкнулись на странные противоречия. Эти антиномии уже многочисленны, но самые известные из них:

1. Антиномия Бурали-Форти;

2. Антиномия Цермело-Кёнига;

3. Антиномия Ришара.

Кантор доказал, что порядковые числа (речь идет о трансфинитных порядковых числах, новом понятии, введенном им) могут быть расположены в линейный ряд; то есть из двух неравных порядковых чисел одно всегда меньше другого. Бурали-Форти доказывает обратное; и, по сути, он говорит, что если бы можно было расположить все порядковые числа в линейный ряд, этот ряд определил бы порядковое число, большее всех остальных; мы могли бы впоследствии добавить 1 и снова получили бы порядковое число, которое было бы еще больше, а это противоречиво.

Мы вернемся позже к антиномии Цермело-Кёнига, которая имеет несколько иной характер. Антиномия Ришара [15] заключается в следующем: Рассмотрим все десятичные числа, определяемые конечным числом слов; эти десятичные числа образуют совокупность E, и легко видеть, что эта совокупность счетна, то есть мы можем пронумеровать различные десятичные числа этой совокупности от 1 до бесконечности. Предположим, что нумерация произведена, и определим число N следующим образом: Если n-я десятичная цифра n-го числа совокупности E равна

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

n-я десятичная цифра N будет:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 1

Как мы видим, N не равно n-му числу E, и так как n произвольно, N не принадлежит E, и все же N должно принадлежать этой совокупности, поскольку мы определили его конечным числом слов.

Позже мы увидим, что М. Ришар сам с большой проницательностью дал объяснение своего парадокса и что оно распространяется, mutatis mutandis, на другие подобные парадоксы. Опять же, Рассел приводит еще один довольно забавный парадокс: Какое наименьшее целое число, которое нельзя определить фразой, состоящей менее чем из ста английских слов?

Это число существует; и на самом деле числа, которые можно определить подобной фразой, очевидно, конечны по количеству, поскольку слова английского языка не бесконечны. Следовательно, среди них будет одно, меньшее всех остальных. И, с другой стороны, это число не существует, потому что его определение содержит противоречие. Это число, на самом деле, определяется фразой, выделенной курсивом, которая состоит менее чем из ста английских слов; и по определению это число не должно быть определяемым подобной фразой.

VI

Теория зигзага и теория отсутствия классов

Какова позиция г-на Рассела перед лицом этих противоречий? Проанализировав те, о которых мы только что говорили, и приведя еще другие, придав им форму, напоминающую Эпименида, он без колебаний заключает: «Пропозициональная функция одной переменной не всегда определяет класс». Пропозициональная функция (то есть определение) не всегда определяет класс. «Пропозициональная функция» или «норма» может быть «непредикативной». И это не означает, что эти непредикативные предложения определяют пустой класс, нулевой класс; это не означает, что нет значения x, удовлетворяющего определению и способного быть одним из элементов класса. Элементы существуют, но они не имеют права объединяться в синдикат, чтобы сформировать класс.

Но это только начало, и необходимо знать, как распознать, является ли определение предикативным или нет. Чтобы решить эту проблему, Рассел колеблется между тремя теориями, которые он называет

A. Теория зигзага;

B. Теория ограничения размера;

C. Теория отсутствия классов.

Согласно теории зигзага, «определения (пропозициональные функции) определяют класс, когда они очень просты, и перестают это делать только тогда, когда они сложны и неясны». Кто теперь должен решать, можно ли считать определение достаточно простым, чтобы быть приемлемым? На этот вопрос нет ответа, если это не честное признание полной неспособности: «Правила, которые позволяют нам распознать, являются ли эти определения предикативными, были бы чрезвычайно сложными и не могут быть рекомендованы какой-либо правдоподобной причиной. Это недостаток, который можно было бы исправить большей изобретательностью или использованием различий, еще не указанных. Но до сих пор, в поисках этих правил, я не смог найти никакого другого руководящего принципа, кроме отсутствия противоречия».

Эта теория поэтому остается очень неясной; в этой ночи единственный свет — слово «зигзаг». То, что Рассел называет «зигзагообразностью», несомненно, является той особой характеристикой, которая отличает аргумент Эпименида.

Согласно теории ограничения размера, класс перестал бы иметь право на существование, если бы он был слишком обширным. Возможно, он мог бы быть бесконечным, но не должен быть слишком бесконечным. Но мы всегда снова сталкиваемся с той же трудностью; в какой точный момент он начинает быть слишком бесконечным? Конечно, эта трудность не решена, и Рассел переходит к третьей теории.

В теории отсутствия классов запрещено произносить слово «класс», и это слово должно быть заменено различными перифразами. Какая перемена для логистики, которая говорит только о классах и классах классов! Становится необходимым переделать всю логистику. Представьте, как выглядела бы страница логистики при вычеркивании всех предложений, где идет речь о классе. Там остались бы только несколько разрозненных выживших посреди пустой страницы. Apparent rari nantes in gurgite vasto (редкие пловцы видны в огромной пучине).

Как бы то ни было, мы видим, как Рассел колеблется и каким изменениям он подвергает фундаментальные принципы, которые он до сих пор принимал. Нужны критерии, чтобы решить, является ли определение слишком сложным или слишком обширным, и эти критерии могут быть оправданы только обращением к интуиции.

Именно к теории отсутствия классов Рассел в конечном итоге склоняется. Как бы то ни было, логистику предстоит переделать, и неясно, сколько из нее можно спасти. Излишне добавлять, что рассматриваются только канторизм и логистика; реальная математика, та, которая полезна для чего-то, может продолжать развиваться в соответствии со своими собственными принципами, не беспокоясь о бурях, которые бушуют вне ее, и продолжать шаг за шагом свои обычные завоевания, которые являются окончательными и от которых ей никогда не приходится отказываться.

VII

Истинное решение

Какой выбор мы должны сделать среди этих различных теорий? Мне кажется, что решение содержится в письме М. Ришара, о котором я говорил выше, которое можно найти в Revue générale des sciences от 30 июня 1905 года. Изложив антиномию, которую мы назвали антиномией Ришара, он дает ее объяснение. Вспомните, что уже было сказано об этой антиномии. E — это совокупность всех чисел, определяемых конечным числом слов, без введения понятия самой совокупности E. Иначе определение E содержало бы порочный круг; мы не должны определять E через саму совокупность E.

Теперь мы определили N конечным числом слов, это правда, но с помощью понятия совокупности E. И именно поэтому N не является частью E. В примере, выбранном М. Ришаром, вывод представляется с полной очевидностью, и очевидность покажется еще более сильной при ознакомлении с текстом самого письма. Но то же объяснение справедливо и для других антиномий, что легко проверить. Таким образом, определения, которые следует рассматривать как непредикативные, — это те, которые содержат порочный круг. И предыдущие примеры достаточно показывают, что я под этим подразумеваю. Это ли то, что Рассел называет «зигзагообразностью»? Я задаю вопрос, не отвечая на него.

VIII

Доказательства принципа индукции

Давайте теперь рассмотрим мнимые доказательства принципа индукции и, в частности, доказательства Уайтхеда и Бурали-Форти.

Мы сначала поговорим об Уайтхеде и воспользуемся некоторыми новыми терминами, удачно введенными Расселом в его недавней работе. Назовем рекуррентным классом любой класс, содержащий ноль и содержащий n + 1, если он содержит n. Назовем индуктивным числом любое число, которое является частью всех рекуррентных классов. При каком условии это последнее определение, которое играет существенную роль в доказательстве Уайтхеда, будет «предикативным» и, следовательно, приемлемым?

В соответствии с тем, что было сказано, необходимо понимать под «всеми» рекуррентными классами все те, в определение которых не входит понятие индуктивного числа. Иначе мы снова попадем в порочный круг, который породил антиномии.

Но Уайтхед не принял этой предосторожности. Рассуждение Уайтхеда поэтому ошибочно; оно такое же, которое привело к антиномиям. Оно было незаконным, когда давало ложные результаты; оно остается незаконным, когда случайно приводит к истинному результату.

Определение, содержащее порочный круг, ничего не определяет. Бесполезно говорить: мы уверены, какой бы смысл мы ни придавали нашему определению, ноль по крайней мере принадлежит к классу индуктивных чисел; вопрос не в том, чтобы знать, является ли этот класс пустым, а в том, может ли он быть строго разграничен. «Непредикативный» класс — это не пустой класс, это класс, граница которого неопределенна. Излишне добавлять, что это частное возражение оставляет в силе общие возражения, применимые ко всем доказательствам.

IX

Бурали-Форти дал другое доказательство [16]. Но он вынужден принять два постулата: Во-первых, всегда существует по крайней мере один бесконечный класс. Второй выражается так:

Первый постулат не более очевиден, чем доказываемый принцип. Второй не только не очевиден, но и ложен, как показал Уайтхед; как, впрочем, любой новобранец увидел бы с первого взгляда, если бы аксиома была сформулирована на понятном языке, поскольку она означает, что количество комбинаций, которые можно сформировать из нескольких объектов, меньше, чем количество этих объектов.

X

Допущение Цермело

Знаменитое доказательство Цермело опирается на следующее допущение: В любой совокупности (или в каждой совокупности из некоторого множества совокупностей) мы всегда можем выбрать наугад элемент (даже если это множество совокупностей содержит бесконечность совокупностей). Это допущение применялось тысячу раз, не будучи сформулированным, но, будучи сформулированным, оно вызвало сомнения. Некоторые математики, например М. Борель, решительно отвергают его; другие восхищаются им. Посмотрим, что, согласно его последней статье, думает об этом Рассел. Он не высказывается прямо, но его размышления очень показательны.

И сначала живописный пример: Предположим, у нас столько пар обуви, сколько целых чисел, и так, что мы можем пронумеровать пары от одного до бесконечности, сколько ботинок у нас будет? Будет ли количество ботинок равно количеству пар? Да, если в каждой паре правый ботинок отличим от левого; на самом деле будет достаточно присвоить номер 2n − 1 правому ботинку n-й пары, а номер 2n — левому ботинку n-й пары. Нет, если правый ботинок точно такой же, как левый, потому что подобная операция стала бы невозможной — если только мы не допустим допущение Цермело, поскольку тогда мы могли бы выбрать наугад в каждой паре ботинок, который следует считать правым.

XI

Выводы

Доказательство, действительно основанное на принципах аналитической логики, будет состоять из ряда предложений. Некоторые, служащие посылками, будут тождествами или определениями; другие будут выведены из посылок шаг за шагом. Но хотя связь между каждым предложением и следующим непосредственно очевидна, на первый взгляд не будет видно, как мы переходим от первого к последнему, которое мы можем быть склонны рассматривать как новую истину. Но если мы последовательно заменим различные выражения в нем их определениями и если эта операция будет доведена до конца, насколько это возможно, в конечном итоге останутся только тождества, так что все сведется к огромной тавтологии. Логика поэтому остается бесплодной, если ее не делает плодотворной интуиция.

Это я написал давно; логистика утверждает обратное и думает, что доказала это, фактически доказывая новые истины. С помощью какого механизма? Почему при применении к их рассуждениям процедуры, только что описанной — а именно, замены определенных терминов их определениями — мы не видим, как они растворяются в тождества, как обычные рассуждения? Это потому, что эта процедура к ним неприменима. И почему? Потому что их определения не являются предикативными и представляют собой такого рода скрытый порочный круг, на который я указал выше; непредикативные определения не могут быть подставлены вместо определенных терминов. В этих условиях логистика не бесплодна, она порождает антиномии.

Именно вера в существование актуальной бесконечности породила эти непредикативные определения. Позвольте мне объяснить. В этих определениях фигурирует слово «все», как видно из примеров, приведенных выше. Слово «все» имеет очень точное значение, когда речь идет о конечном числе объектов; чтобы иметь другое значение, когда объекты бесконечны по количеству, потребовалось бы наличие актуальной (данной как завершенная) бесконечности. В противном случае все эти объекты не могли бы быть задуманы как постулированные до их определения, и тогда, если определение понятия N зависит от всех объектов A, оно может быть заражено порочным кругом, если среди объектов A есть такие, которые нельзя определить без вмешательства самого понятия N.

Правила формальной логики просто выражают свойства всех возможных классификаций. Но чтобы они были применимы, необходимо, чтобы эти классификации были неизменными и чтобы у нас не было необходимости изменять их в ходе рассуждения. Если нам нужно классифицировать только конечное число объектов, легко сохранить наши классификации без изменений. Если объекты неопределенны по количеству, то есть если человек постоянно подвергается риску увидеть появление новых и непредвиденных объектов, может случиться так, что появление нового объекта может потребовать изменения классификации, и именно так мы подвергаемся риску антиномий. Актуальной (данной как завершенная) бесконечности не существует. Канторианцы забыли об этом и впали в противоречие. Правда, канторизм был полезен, но это было тогда, когда он применялся к реальной проблеме, термины которой были точно определены, и тогда мы могли продвигаться без страха.

Логистика также забыла об этом, как и канторианцы, и столкнулась с теми же трудностями. Но вопрос в том, чтобы знать, пошли ли они по этому пути случайно или это было для них необходимостью. Для меня вопрос не вызывает сомнений; вера в актуальную бесконечность существенна в логике Рассела. Именно это отличает ее от логики Гильберта. Гильберт принимает точку зрения экстенсиональности, именно для того, чтобы избежать канторовских антиномий. Рассел принимает точку зрения интенсиональности. Следовательно, для него род предшествует виду, а summum genus (высший род) предшествует всему. Это не было бы неудобно, если бы summum genus был конечным; но если он бесконечен, необходимо постулировать бесконечное, то есть рассматривать бесконечное как актуальное (данное как завершенное). И у нас есть не только бесконечные классы; когда мы переходим от рода к виду, ограничивая понятие новыми условиями, эти условия все еще бесконечны по количеству. Потому что они выражают в общем, что рассматриваемый объект представляет такое или иное отношение со всеми объектами бесконечного класса.

Но это древняя история. Рассел осознал опасность и советуется. Он собирается изменить все, и, что легко понять, он готовится не только ввести новые принципы, которые позволят совершать операции, ранее запрещенные, но он готовится запретить операции, которые он ранее считал законными. Не довольствуясь тем, чтобы поклоняться тому, что он сжигал, он собирается сжечь то, чему поклонялся, что более серьезно. Он не добавляет новое крыло к зданию, он подрывает его фундамент.

Старая логистика мертва, настолько, что уже теория зигзага и теория отсутствия классов спорят о преемственности. Чтобы судить о новом, мы будем ждать его прихода.

КНИГА III НОВАЯ МЕХАНИКА

ГЛАВА I

Механика и радий

I

Введение

Общие принципы динамики, которые со времен Ньютона служили фундаментом для физической науки и которые казались незыблемыми, находятся ли они на грани того, чтобы быть отброшенными или, по крайней мере, глубоко измененными? Вот о чем многие люди спрашивают себя уже несколько лет. По их мнению, открытие радия опрокинуло научные догмы, которые мы считали наиболее прочными: с одной стороны, невозможность трансмутации металлов; с другой стороны, фундаментальные постулаты механики.

Возможно, слишком поспешно считать эти новинки окончательно установленными и разбивать наших вчерашних идолов; возможно, было бы уместно, прежде чем принимать чью-либо сторону, дождаться более многочисленных и более убедительных экспериментов. Тем не менее, необходимо уже сегодня знать новые доктрины и аргументы, уже очень весомые, на которых они основываются.

В нескольких словах давайте сначала вспомним, в чем состоят эти принципы:

A. Движение материальной точки, изолированной и отделенной от всякой внешней силы, является прямолинейным и равномерным; это принцип инерции: без силы нет ускорения;

B. Ускорение движущейся точки имеет то же направление, что и равнодействующая всех сил, которым она подвергается; оно равно частному от деления этой равнодействующей на коэффициент, называемый массой движущейся точки.

Масса движущейся точки, определенная таким образом, является константой; она не зависит от скорости, приобретенной этой точкой; она одинакова, независимо от того, направлена ли сила параллельно этой скорости, стремясь только ускорить или замедлить движение точки, или же, наоборот, будучи перпендикулярной этой скорости, она стремится заставить это движение отклониться вправо или влево, то есть искривить траекторию;

C. Все силы, воздействующие на материальную точку, происходят от действия других материальных точек; они зависят только от относительных положений и скоростей этих различных материальных точек.

Объединяя два принципа B и C, мы приходим к принципу относительного движения, в силу которого законы движения системы одинаковы, независимо от того, относим ли мы эту систему к неподвижным осям или к движущимся осям, совершающим прямолинейное и равномерное поступательное движение, так что невозможно отличить абсолютное движение от относительного движения по отношению к таким движущимся осям;

D. Если материальная точка A действует на другую материальную точку B, тело B реагирует на A, и эти два действия представляют собой две равные и прямо противоположные силы. Это принцип равенства действия и противодействия, или, короче, принцип противодействия.

Астрономические наблюдения и самые обычные физические явления, по-видимому, дали этим принципам подтверждение полное, постоянное и очень точное. Это правда, теперь говорят, но это потому, что мы никогда не работали ни с чем, кроме очень малых скоростей; Меркурий, например, самая быстрая из планет, движется едва ли со скоростью 100 километров в секунду. Вела бы себя эта планета так же, если бы она двигалась в тысячу раз быстрее? Мы видим, что пока нет причин для беспокойства; каковы бы ни были успехи автомобилизма, пройдет много времени, прежде чем нам придется отказаться от применения к нашим машинам классических принципов динамики.

Как же тогда мы пришли к тому, чтобы создавать реальные скорости в тысячу раз большие, чем у Меркурия, равные, например, десятой или третьей части скорости света, или приближающиеся еще ближе к этой скорости? Это с помощью катодных лучей и лучей радия.

Мы знаем, что радий испускает три вида лучей, обозначаемых тремя греческими буквами α, β, γ; в дальнейшем, если не будет прямо указано обратное, речь всегда будет идти о β-лучах, которые аналогичны катодным лучам.

После открытия катодных лучей появились две теории. Крукс приписывал явления настоящей молекулярной бомбардировке; Герц — особым колебаниям эфира. Это было возобновление дебатов, которые разделяли физиков столетие назад по поводу света; Крукс принял теорию испускания, отброшенную для света; Герц придерживался волновой теории. Факты, по-видимому, решают в пользу Крукса.

Было признано, во-первых, что катодные лучи несут с собой отрицательный электрический заряд; они отклоняются магнитным полем и электрическим полем; и эти отклонения именно такие, какие эти же поля произвели бы на снаряды, обладающие очень высокой скоростью и сильно заряженные электричеством. Эти два отклонения зависят от двух величин: одна — скорость, другая — отношение электрического заряда снаряда к его массе; мы не можем знать абсолютное значение этой массы, ни значение заряда, а только их отношение; на самом деле, ясно, что если мы удвоим одновременно заряд и массу, не меняя скорости, мы удвоим силу, которая стремится отклонить снаряд, но, поскольку его масса также удвоена, ускорение и наблюдаемое отклонение не изменятся. Наблюдение двух отклонений даст нам, следовательно, два уравнения для определения этих двух неизвестных. Мы находим скорость от 10 000 до 30 000 километров в секунду; что касается отношения заряда к массе, оно очень велико. Мы можем сравнить его с соответствующим отношением для иона водорода в электролизе; тогда мы обнаружим, что катодный снаряд несет примерно в тысячу раз больше электричества, чем несла бы равная масса водорода в электролите.

Чтобы подтвердить эти взгляды, нам нужно прямое измерение этой скорости для сравнения со скоростью, вычисленной таким образом. Старые эксперименты Дж. Дж. Томсона дали результаты, которые были более чем в сто раз меньше; но они были подвержены определенным причинам ошибок. Вопрос был снова поднят Вихертом в установке, где использовались герцевы колебания; были получены результаты, согласующиеся с теорией, по крайней мере по порядку величины; было бы очень интересно повторить эти эксперименты. Как бы то ни было, теория колебаний кажется бессильной объяснить этот комплекс фактов.

Те же расчеты, сделанные применительно к β-лучам радия, дали еще большие скорости: 100 000 или 200 000 километров или даже больше. Эти скорости значительно превосходят все известные нам. Правда, давно известно, что свет проходит 300 000 километров в секунду; но это не перенос материи, в то время как, если мы примем теорию испускания для катодных лучей, будут существовать материальные молекулы, действительно движущиеся с рассматриваемыми скоростями, и уместно исследовать, применимы ли к ним еще обычные законы механики.

II

Масса продольная и масса поперечная

Мы знаем, что электрические токи производят явления индукции, в частности самоиндукции. Когда ток увеличивается, развивается электродвижущая сила самоиндукции, которая стремится противодействовать току; наоборот, когда ток уменьшается, электродвижущая сила самоиндукции стремится поддержать ток. Самоиндукция поэтому противодействует всякому изменению интенсивности тока, точно так же, как в механике инерция тела противодействует всякому изменению его скорости.