«Четвертое измерение»

Пусть, рис. 34, ABCD будет квадратом на его плоскости, и представим два измерения его пространства осями Ax, Ay.

Теперь движение, посредством которого квадрат переворачивается вокруг линии AC, включает третье измерение.

Он не может представить движение всего квадрата при его повороте, но он может представить движения его частей. Пусть третья ось, перпендикулярная плоскости бумаги, называется осью z. Из трех осей x, y, z плоское существо может представить любые две в своем пространстве. Пусть он тогда нарисует, на рис. 35, две оси, x и z. Здесь он имеет на своей плоскости представление того, что существует в плоскости, которая уходит перпендикулярно его пространству.

В этом представлении квадрат не был бы показан, ибо в плоскости xz содержится просто линия AB квадрата.

Тогда плоское существо имело бы перед собой, на рис. 35, представление одной линии AB своего квадрата и двух осей, x и z, под прямым углом. Теперь для него было бы очевидно, что посредством поворота, такого как он знает, посредством вращения вокруг точки, линия AB может повернуться вокруг A и, занимая все промежуточные положения, такие как AB1, после полуоборота лечь как Ax, продолженная через A.

Опять же, точно так же, как он может представить вертикальную плоскость через AB, он может представить вертикальную плоскость через A'B', рис. 34, и подобным образом может видеть, что линия A'B' может повернуться вокруг точки A' до тех пор, пока она не ляжет в противоположном направлении от того, в котором она шла сначала.

Теперь эти два поворота не являются противоречивыми. На его плоскости, если бы AB повернулась вокруг A, а A'B' вокруг A', целостность квадрата была бы разрушена, это было бы невозможное движение для твердого тела. Но при повороте, который он изучает часть за частью, нет ничего противоречивого. Каждая линия в квадрате может повернуться таким образом, следовательно, он осознал бы поворот всего квадрата как сумму ряда поворотов изолированных частей. Такие повороты, если бы они происходили на его плоскости, были бы противоречивыми, но в силу третьего измерения они согласованы, и результат их всех состоит в том, что квадрат поворачивается вокруг линии AC и ложится в положение, в котором он является зеркальным отражением того, чем он был в своем первом положении. Таким образом, он может осознать поворот вокруг линии, отказавшись от одной из своих осей и представляя свое тело часть за частью.

Давайте применим этот метод к повороту куба так, чтобы он стал зеркальным отражением самого себя. В нашем пространстве мы можем построить три независимые оси, x, y, z, показанные на рис. 36. Предположим, что существует четвертая ось, w, под прямым углом к каждой из них. Мы не можем, сохраняя все три оси, x, y, z, представить w в нашем пространстве; но если мы откажемся от одной из наших трех осей, мы можем позволить четвертой оси занять ее место, и мы можем представить то, что лежит в пространстве, определяемом двумя осями, которые мы сохраняем, и четвертой осью.

Fig. 37.

Предположим, что мы позволим оси y исчезнуть и что мы представим ось w как занимающую ее направление. У нас есть на рис. 37 чертеж того, что мы увидели бы тогда от куба. Квадрат ABCD остается неизменным, ибо он находится в плоскости xz, и у нас все еще есть эта плоскость. Но от этой плоскости куб простирается в направлении оси y. Теперь ось y исчезла, и поэтому у нас нет от куба ничего, кроме грани ABCD. Рассматривая теперь эту грань ABCD, мы видим, что она свободна вращаться вокруг линии AB. Она может вращаться в направлении от x к w вокруг этой линии. На рис. 38 она показана на своем пути, и она может, очевидно, продолжать это вращение до тех пор, пока не ляжет на другую сторону оси z в плоскости xz.

Fig. 38.

Мы можем также взять сечение, параллельное грани ABCD, и затем, отбросив все наше пространство, кроме плоскости этого сечения, ввести ось w, идущую в старом направлении y. Это сечение может быть представлено тем же чертежом, рис. 38, и мы видим, что оно может вращаться вокруг линии слева от него, пока не повернется наполовину и не пойдет в направлении, противоположном тому, в котором оно шло раньше. Эти повороты различных сечений не являются противоречивыми, и, взятые все вместе, они приведут куб из положения, показанного на рис. 36, к тому, что показано на рис. 41.

Поскольку в нашем распоряжении три оси в нашем пространстве, мы не обязаны представлять ось w какой-либо конкретной. Мы можем позволить любой оси, какой захотим, исчезнуть и позволить четвертой оси занять ее место.

Fig. 39.

Fig. 40.

Fig. 41.

На рис. 36 предположим, что ось z исчезла. У нас тогда просто плоскость xy, и квадратное основание куба ACEG, рис. 39, — это все, что можно было бы увидеть от него. Пусть теперь ось w займет место оси z, и у нас есть, снова на рис. 39, представление пространства xyw, в котором все, что существует от куба, — это его квадратное основание. Теперь, посредством поворота от x к w, это основание может вращаться вокруг линии AE, оно показано на своем пути на рис. 40, и, наконец, после полуоборота оно ляжет на другую сторону оси y. Подобным образом мы можем вращать сечения, параллельные основанию, при вращении xw, и каждое из них начинает идти в направлении, противоположном тому, которое они занимали сначала.

Таким образом, снова куб приходит из положения рис. 36 к положению рис. 41. В этом повороте от x к w мы видим, что он происходит посредством вращений сечений, параллельных передней грани, вокруг линий, параллельных AB, или же мы можем рассматривать его как состоящий из вращения сечений, параллельных основанию, вокруг линий, параллельных AE. Это вращение всего куба вокруг плоскости ABEF. Два отдельных сечения не могли бы вращаться вокруг двух отдельных линий в нашем пространстве, не конфликтуя, но их движение согласовано, когда мы рассматриваем другое измерение. Точно так же, как плоское существо может думать о вращении вокруг линии как о вращении вокруг ряда точек, причем эти вращения не мешают друг другу, как они мешали бы, если бы происходили в его двухмерном пространстве, так и мы можем думать о вращении вокруг плоскости как о вращении ряда сечений тела вокруг ряда линий в плоскости, причем эти вращения не являются противоречивыми в четырехмерном пространстве, как они противоречивы в трехмерном пространстве.

Мы не ограничены каким-либо конкретным направлением для линий в плоскости, вокруг которых мы предполагаем вращение конкретных сечений. Давайте нарисуем сечение куба, рис. 36, через A, F, C, H, образующее наклонную плоскость. Теперь, поскольку четвертое измерение находится под прямым углом к каждой линии в нашем пространстве, оно находится под прямым углом и к этому сечению. Мы можем представить наше пространство, нарисовав ось под прямым углом к плоскости ACEG, наше пространство тогда определяется плоскостью ACEG и перпендикулярной осью. Если мы позволим этой оси исчезнуть и предположим, что четвертая ось, w, займет ее место, мы получим представление пространства, которое уходит в четвертое измерение от плоскости ACEG. В этом пространстве мы увидим просто сечение ACEG куба и ничего больше, ибо один куб не простирается на какое-либо расстояние в четвертом измерении.

Fig. 42.

Если, сохраняя эту плоскость, мы введем четвертое измерение, у нас будет пространство, в котором существует просто это сечение куба и ничего больше. Сечение может поворачиваться вокруг линии AF, а параллельные сечения могут поворачиваться вокруг параллельных линий. Таким образом, при рассмотрении вращения вокруг плоскости мы можем нарисовать любые линии, какие захотим, и рассматривать вращение как происходящее в сечениях вокруг них.

Чтобы прояснить этот момент, давайте возьмем две параллельные линии, A и B, в пространстве xyz, и пусть CD и EF будут двумя стержнями, идущими выше и ниже плоскости xy от этих линий. Если мы повернем эти стержни в нашем пространстве вокруг линий A и B, то по мере того, как верхний конец одного, F, будет опускаться, нижний конец другого, C, будет подниматься. Они встретятся и столкнутся. Но вполне возможно, чтобы эти два стержня каждый из них поворачивался вокруг двух линий, не изменяя своих относительных расстояний.

Чтобы увидеть это, предположим, что ось y исчезла, и позволим оси w занять ее место. Мы больше не увидим линии A и B, ибо они идут в направлении y от точек G и H.

Fig. 43.

Рис. 43 — это изображение двух стержней, видимых в пространстве xzw. Если они вращаются в направлении, показанном стрелками — в направлении от z к w — они движутся параллельно друг другу, сохраняя свои относительные расстояния. Каждый будет вращаться вокруг своей собственной линии, но их вращение не будет противоречить тому, что они являются частью жесткого тела.

Теперь нам остается только предположить центральную плоскость со стержнями, пересекающими ее в каждой точке, подобно тому как CD и EF пересекают плоскость xy, чтобы получить образ массы материи, простирающейся на равные расстояния по обе стороны от диаметральной плоскости. Как два из этих стержней могут вращаться вокруг, так могут и все, и вся масса материи может вращаться вокруг своей диаметральной плоскости.

Это вращение вокруг плоскости соответствует в четырех измерениях вращению вокруг оси в трех измерениях. Вращение тела вокруг плоскости является аналогом вращения стержня вокруг оси.

В плоскости мы имеем вращение вокруг точки, в трехмерном пространстве — вращение вокруг осевой линии, в четырехмерном пространстве — вращение вокруг осевой плоскости.

Вал четырехмерного существа, посредством которого он передает энергию, — это диск, вращающийся вокруг своей центральной плоскости — весь контур соответствует концам оси вращения в нашем пространстве. Он может передать вращение в любой точке и снять его в любой другой точке на контуре, точно так же, как вращение вокруг линии может в трехмерном пространстве быть передано на одном конце стержня и снято на другом конце.

Четырехмерное колесо можно легко описать по аналогии с представлением, которое плоское существо сформировало бы для себя об одном из наших колес.

Предположим, что колесо движется поперек плоскости, так что весь диск, который я буду считать твердым и без спиц, одновременно вошел в контакт с плоскостью. Он предстал бы как круглая часть плоской материи, полностью заключающая в себе другую и меньшую часть — ось.

Это явление продолжалось бы, если предположить, что движение колеса продолжается до тех пор, пока оно не пересечет плоскость на величину своей толщины, когда в плоскости останется только маленький диск, который является сечением оси. Сначала в плоскости не было бы очевидных средств, с помощью которых можно было бы добраться до оси, кроме как пройдя сквозь субстанцию колеса. Но возможность добраться до нее, не разрушая субстанцию колеса, была бы показана продолжающимся существованием сечения оси после того, как сечение колеса исчезло.

Подобным образом четырехмерное колесо, движущееся поперек нашего пространства, предстало бы сначала как твердая сфера, полностью окружающая меньшую твердую сферу. Внешняя сфера представляла бы колесо и существовала бы до тех пор, пока колесо не пересечет наше пространство на расстояние, равное его толщине. Затем осталась бы только маленькая сфера, представляющая сечение оси. Большая сфера могла бы двигаться вокруг маленькой совершенно свободно. Любая линия в пространстве могла бы быть взята как ось, и вокруг этой линии внешняя сфера могла бы вращаться, в то время как внутренняя сфера оставалась бы неподвижной. Но во всех этих направлениях вращения в действительности была бы одна линия, которая оставалась бы неизменной, то есть линия, которая простирается в четвертом направлении, образуя ось оси. Четырехмерное колесо может вращаться в любом количестве плоскостей, но все эти плоскости таковы, что существует линия под прямым углом ко всем им, не затронутая вращением в них.

Иногда возникает возражение против этого способа рассуждения от плоского мира к высшей размерности. Как искусственна, утверждается, эта концепция плоского мира. Если бы можно было показать существование какого-либо реального бытия, ограниченного поверхностью, был бы аргумент для того, относительно которого наше трехмерное существование является поверхностным. Но как с одной, так и с другой стороны пространства, с которым мы знакомы, пространства с меньшим или большим количеством измерений являются лишь произвольными концепциями.

В ответ на это я бы заметил, что плоское существо, имеющее на одно измерение меньше, чем наши три, имело бы одну треть наших возможностей движения, в то время как у нас только на одну четверть меньше, чем у высшего пространства. Вполне может быть, что может существовать определенная степень свободы движения, которая требуется как условие организованного существования, и что никакое материальное существование невозможно с более ограниченной размерностью, чем наша. Это хорошо видно, если мы попытаемся построить механику двухмерного мира. Никакая трубка не могла бы существовать, ибо, если они не соединены полностью на одном конце, две параллельные линии были бы полностью разделены. Возможность органической структуры, подчиняющейся таким условиям, весьма проблематична; тем не менее, возможно, в извилинах мозга может существовать способ существования, который можно описать как двухмерный.

Нам остается только предположить, что увеличение поверхности и уменьшение массы доведены до определенной степени, чтобы найти область, которая, хотя и без подвижности составляющих, должна была бы быть описана как двухмерная.

Но, как бы искусственна ни была концепция плоского существа, она тем не менее должна использоваться при переходе к концепции большей размерности, чем наша, и поэтому обоснованность первой части этого возражения полностью исчезает, как только мы находим доказательства такого состояния бытия.

Вторая часть возражения имеет больший вес. Как возможно представить, что в четырехмерном пространстве какие-либо существа должны быть ограничены трехмерным существованием?

В ответ я бы сказал, что мы знаем как факт, что жизнь — это по существу явление поверхности. Амплитуда движений, которые мы можем совершать, гораздо больше вдоль поверхности земли, чем вверх или вниз.

Теперь нам остается только представить протяженность твердой поверхности увеличенной, в то время как движения, возможные поперек нее, уменьшены в той же пропорции, чтобы получить образ трехмерного мира в четырехмерном пространстве.

И поскольку наше место обитания — это встреча воздуха и земли на мире, так мы должны думать о месте встречи двух как о предоставлении условия для нашей вселенной. Встреча каких двух? Что может быть той обширностью в высшем пространстве, которая простирается на таком идеальном уровне, что наши астрономические наблюдения не могут обнаружить малейшей кривизны?

Совершенство уровня предполагает жидкость — озеро посреди какого обширного пейзажа! — на котором материя вселенной плавает, подобно пылинке.

Но этот аспект проблемы подобен тому, что в математике называется граничными условиями.

Мы можем проследить все последствия четырехмерных движений до мельчайших деталей. Затем, зная способ действия, который был бы характерен для мельчайших частиц, если бы они были свободны, мы можем сделать выводы из того, что они делают на самом деле, о том, каково ограничение на них. Из двух вещей, материальных условий и движения, одна известна, а другая может быть выведена. Если место этой вселенной — встреча двух, то была бы односторонность пространства. Если она лежит так, что то, что простирается в одном направлении в неизвестном, не похоже на то, что простирается в другом, тогда, насколько это касается движений, которые участвуют в этом измерении, была бы разница в том, в какую сторону происходило движение. Это проявилось бы в несходстве явлений, которые, насколько это касается всех движений трехмерного пространства, были совершенно симметричными. Чтобы привести пример, просто ради уточнения наших идей, а не из-за какой-либо присущей ему вероятности; если бы можно было показать, что электрический ток в положительном направлении был точно таким же, как электрический ток в отрицательном направлении, за исключением обращения компонентов движения в трехмерном пространстве, тогда несходство разряда от положительного и отрицательного полюсов было бы указанием на односторонность нашего пространства. Единственной причиной разницы в двух разрядах был бы компонент в четвертом измерении, который, будучи направленным в одном направлении поперек нашего пространства, встречал бы иное сопротивление, чем то, которое он встречал, будучи направленным в противоположном направлении.

ГЛАВА VII. СВИДЕТЕЛЬСТВА В ПОЛЬЗУ ЧЕТВЕРТОГО ИЗМЕРЕНИЯ

Метод, который необходимо использовать при поиске свидетельств в пользу четвертого измерения, заключается прежде всего в формировании представлений о четырехмерных формах и движениях. Когда мы овладеем ими, можно будет прибегнуть к помощи наблюдения; без них мы могли бы всю жизнь находиться в привычном присутствии четырехмерного явления, так и не осознав его природы.

Если взять одно из уже сформированных нами представлений, то превращение реального объекта в его зеркальное отражение было бы событием, которое трудно объяснить, не опираясь на допущение о существовании четвертого измерения.

Нам не известно о таком превращении. Однако существует множество форм, которые обнаруживают определенное отношение к плоскости — отношение симметрии, указывающее на нечто большее, чем случайное расположение частей. В органической жизни универсальным типом является право- и левосторонняя симметрия: существует плоскость, по обе стороны от которой части соответствуют друг другу. Мы видели, что в четырех измерениях плоскость занимает место линии в трех измерениях. В нашем пространстве вращение вокруг оси является типом вращения, и происхождение тел, симметричных относительно линии (как Земля симметрична относительно оси), легко объяснимо. Но там, где есть симметрия относительно плоскости, простого физического движения, к которому мы привыкли, недостаточно для ее объяснения. В нашем пространстве симметричный объект должен быть построен путем равных приращений по обе стороны от центральной плоскости. Такие приращения вокруг такой плоскости столь же маловероятны, как и любые другие. Вероятность существования симметричной формы в неорганической природе в нашем пространстве ничтожна, а в органических формах их создание было бы столь же затруднительно, как и любой другой разновидности конфигурации. Чтобы проиллюстрировать этот момент, можно взять детскую забаву: сделать из капель чернил на листе бумаги реалистичное изображение насекомого, просто сложив бумагу пополам. Капли распределяются вдоль симметричной линии и создают впечатление сегментированной формы с усиками и ножками.

Видя множество таких фигур, мы естественным образом предположили бы складывание. Может ли тогда складывание в четырехмерном пространстве объяснить симметрию органических форм? Складывание, конечно, не может относиться к телам, которые мы видим, но оно может касаться тех мельчайших составляющих, предельных элементов живой материи, которые, будучи повернуты тем или иным образом, становятся право- или левосторонними и тем самым создают соответствующую структуру.

В жизни есть нечто, не включенное в наши представления о механическом движении. Является ли это нечто четырехмерным движением?

Если взглянуть на это с самой широкой точки зрения, поразителен тот факт, что там, где появляется жизнь, возникает совершенно иной набор явлений, отличный от явлений неорганического мира.

Интерес и ценность жизни, какой мы знаем ее в самих себе и какой мы знаем ее, существующую вокруг нас в подчиненных формах, совершенно иные, чем все, что демонстрирует неорганическая природа. И в живых существах мы имеем своего рода форму, расположение материи, которое полностью отличается от того, что показано в неорганической материи. Право- и левосторонняя симметрия не встречается в конфигурациях мертвой материи. У нас есть примеры симметрии относительно оси, но не относительно плоскости. Можно утверждать, что возникновение симметрии в двух измерениях предполагает существование трехмерного процесса, как когда камень падает в воду и образует кольца ряби, или как когда масса мягкого материала вращается вокруг оси. Можно утверждать, что симметрия в любом количестве измерений является свидетельством действия в высшей размерности. Таким образом, рассматривая живые существа, мы находим свидетельство как в их структуре, так и в их ином способе активности, некоего начала, проникающего извне в неорганический мир.

И возражения, которые легко приходят на ум, такие как те, что вытекают из форм двойниковых кристаллов и теоретической структуры химических молекул, не опровергают этот аргумент; ибо и в этих формах предполагаемый центр активности, порождающей их, лежит в той самой мельчайшей области, в которой мы неизбежно помещаем центр четырехмерной подвижности.

В другом отношении существование симметричных форм также примечательно. Загадочно представить, как могут существовать две совершенно равные формы, которые невозможно наложить друг на друга. Такая пара симметричных фигур, как две руки, правая и левая, показывает либо ограничение в нашей способности к движению, из-за чего мы не можем наложить одну на другую, либо определенное влияние и принуждение пространства на материю, налагающее ограничения, которые являются дополнительными к ограничениям пропорций частей.

Однако мы отложим аргументы, вытекающие из рассмотрения симметрии, как неубедительные, сохранив одно ценное указание, которое они дают. Если симметрия существует благодаря четырехмерному движению, то это движение можно найти только в мельчайших частицах тел, ибо не существует такого понятия, как изгибание в четырех измерениях любого объекта такого размера, который мы можем наблюдать. Область крайне малого — это та область, которую нам предстоит исследовать. Мы должны искать некое явление, которое, вызывая движения известного нам типа, само по себе остается необъяснимым как любая форма движения, которую мы знаем.

Теперь, в теориях о взаимодействии мельчайших частиц тел друг с другом и в движениях эфира, математики молчаливо предполагали, что механические принципы те же, что преобладают в случае тел, которые можно наблюдать; без доказательств предполагалось, что концепция трехмерности движения сохраняется и за пределами области, на основе наблюдений в которой она была сформирована.

Следовательно, мы не можем получить доказательство четырех измерений ни из одного явления, объясненного математикой. Каждое объясненное явление объясняется как трехмерное. Более того, поскольку в области крайне малого мы не находим твердых тел, действующих друг на друга на расстоянии, а находим упругие вещества и непрерывные жидкости, такие как эфир, перед нами будет стоять двойная задача.

Мы должны сформировать представления о возможных движениях упругой и жидкой четырехмерной материи, прежде чем сможем начать наблюдение. Давайте поэтому возьмем четырехмерное вращение вокруг плоскости и спросим, чем оно становится в случае растяжимых жидких веществ. Если существуют четырехмерные движения, то этот вид вращения должен существовать, и более тонкие части материи должны его демонстрировать.

Рассмотрим на мгновение стержень из гибкого и растяжимого материала. Он может вращаться вокруг оси, даже если он не прямой; кольцо из индийской резины может вывернуться наизнанку.

Чем это было бы в случае четырех измерений?

Fig. 44.

Axis of x running towards the observer.

Рассмотрим сферу из нашей трехмерной материи, имеющую определенную толщину. Чтобы представить эту толщину, предположим, что из каждой точки сферы на рис. 44 выступают стержни в обе стороны, внутрь и наружу, как D и F. Мы можем видеть только внешнюю часть, потому что внутренние части скрыты сферой.

В этой сфере ось x предполагается направленной к наблюдателю, ось z — вверх, ось y — вправо.

Fig. 45.

Теперь возьмем сечение, определяемое плоскостью zy. Это будет круг, как показано на рис. 45. Если мы отбросим ось x, этот круг — все, что у нас есть от сферы. Если теперь ось w будет проходить на месте старой оси x, мы получим пространство yzw, и в этом пространстве все, что у нас есть от сферы, — это круг. Таким образом, рис. 45 представляет все, что есть от сферы в пространстве yzw. В этом пространстве очевидно, что стержни CD и EF могут вращаться вокруг окружности как вокруг оси. Если материя сферической оболочки достаточно растяжима, чтобы позволить частицам C и E стать настолько широко разнесенными, насколько они были бы в положениях D и F, то полоса материи, представленная CD и EF, и множество подобных им стержней могут вращаться вокруг круговой окружности.

Таким образом, это конкретное сечение сферы может вывернуться наизнанку, и то, что справедливо для любого одного сечения, справедливо для всех. Следовательно, в четырех измерениях вся сфера может, если она растяжима, вывернуться наизнанку. Более того, любая ее часть — например, чашеобразная часть — может вывернуться наизнанку, и так далее, снова и снова.

Это, по сути, не более чем то, что мы имели ранее при вращении вокруг плоскости, за исключением того, что мы видим, что плоскость может, в случае растяжимой материи, быть искривленной и все же играть роль оси.

Если мы предположим, что сферическая оболочка состоит из четырехмерной материи, наше представление будет немного другим. Предположим, что материя имеет небольшую толщину в четвертом измерении. Это не изменило бы ничего на рис. 44, ибо он лишь показывает вид в пространстве xyz. Но когда ось x отбрасывается и появляется ось w, тогда стержни CD и EF, которые представляют материю оболочки, будут иметь определенную толщину, перпендикулярную плоскости бумаги, на которой они нарисованы. Если они имеют толщину в четвертом измерении, они покажут эту толщину, если смотреть на них с направления оси w.

Предполагая, что эти стержни являются небольшими пластинами, нанизанными на окружность круга на рис. 45, мы видим, что и в этом случае не будет никаких препятствий для их вращения вокруг окружности. Мы можем иметь оболочку из растяжимого или жидкого материала, выворачивающуюся наизнанку в четырех измерениях.

И мы должны помнить, что в четырех измерениях не существует вращения вокруг оси. Если мы хотим исследовать движение жидкостей в четырех измерениях, мы должны взять движение вокруг оси в нашем пространстве и найти соответствующее движение вокруг плоскости в четырехмерном пространстве.

Теперь, из всех движений, происходящих в жидкостях, наиболее важным с физической точки зрения является вихревое движение.

Вихрь — это кружение или водоворот; он виден в кружащихся столбах пыли в летний день; он проявляется в большем масштабе в разрушительном движении циклона.

Вращающееся колесо будет разбрызгивать воду. Но когда это круговое движение происходит в самой жидкости, оно удивительно устойчиво. Существует, конечно, определенное сцепление между частицами воды, благодаря которому они взаимно препятствуют своим движениям. Но в жидкости, лишенной трения, такой, что каждая частица свободна от бокового сцепления на своем пути движения, можно показать, что вихрь или водоворот отделяет от массы жидкости определенную часть, которая всегда остается в этом вихре.

Форма вихря может меняться, но он всегда состоит из одних и тех же частиц жидкости.

Теперь, весьма примечательный факт о таком вихре заключается в том, что концы вихря не могут оставаться подвешенными и изолированными в жидкости. Они всегда должны устремляться к границе жидкости. Водоворот в воде, который остается на полпути, не доходя до поверхности, невозможен.

Концы вихря должны достигать границы жидкости — граница может быть внешней или внутренней; вихрь может существовать между двумя объектами в жидкости, заканчиваясь одним концом на каждом объекте, причем объекты являются внутренними границами жидкости. Опять же, концы вихря могут быть соединены вместе, так что он образует кольцо. Круговые вихревые кольца такого рода часто наблюдаются в клубах дыма, и то, что дым движется в кольце, является доказательством того, что вихрь всегда состоит из одних и тех же частиц воздуха.

Давайте теперь спросим, чем был бы вихрь в четырехмерной жидкости.

Мы должны заменить линейную ось плоскостной осью. Следовательно, у нас была бы часть жидкости, вращающаяся вокруг плоскости.

Мы видели, что контур этой плоскости соответствует концам осевой линии. Следовательно, такой четырехмерный вихрь должен иметь свой край на границе жидкости. Существовала бы область вихревого движения с контуром. Если бы такое вращение началось в одной части круговой границы, его края распространялись бы по границе в обоих направлениях, пока вся внутренняя область не заполнилась бы вихревым слоем.

Вихрь в трехмерной жидкости может состоять из ряда вихревых нитей, лежащих вместе и образующих трубку или стержень вихревого движения.

Таким же образом мы можем иметь в четырех измерениях ряд вихревых слоев рядом друг с другом, каждый из которых можно представить как чашеобразную часть сферической оболочки, выворачивающуюся наизнанку. Вращение происходит в любой точке, не в пространстве, занятом оболочкой, а из этого пространства в четвертое измерение и обратно.

Есть ли что-то аналогичное этому в пределах нашего наблюдения?

Электрический ток отвечает этому описанию во всех отношениях. Электричество не течет по проводу. Его эффект распространяется в обе стороны от начальной точки вдоль провода. Искра, которая показывает его прохождение на полпути в цепи, появляется позже, чем та, которая возникает в точках вблизи начальной точки по обе стороны от нее.

Более того, известно, что действие тока происходит не в проводе. Оно происходит в области, заключенной проводом; это поле силы, место проявления эффектов тока.

И необходимость проводящей цепи для тока — это именно то, чего мы ожидали бы, если бы это был четырехмерный вихрь. Согласно Максвеллу, каждый ток образует замкнутую цепь, и это, с четырехмерной точки зрения, то же самое, что сказать, что вихрь должен иметь свои концы на границе жидкости.

Таким образом, на гипотезе о четвертом измерении вращение жидкого эфира дало бы явление электрического тока. Мы должны предположить, что эфир полон движения, ибо чем больше мы исследуем условия, преобладающие в неясности мельчайшего, тем больше мы обнаруживаем, что там царит непрерывное и вечное движение. Таким образом, мы можем сказать, что концепция четвертого измерения означает, что должно существовать явление, обладающее характеристиками электричества.

Мы знаем теперь, что свет — это электромагнитное действие, и что, будучи далеко не особым и изолированным явлением, это электрическое действие является универсальным в царстве мельчайшего. Следовательно, не можем ли мы сделать вывод, что, будучи далеко не отдаленным и далеким, будучи вещью символического значения, термином для объяснения сомнительных фактов более неясной теорией, четвертое измерение на самом деле является самым важным фактом в пределах нашего знания. Наш трехмерный мир поверхностен. Эти процессы, которые действительно лежат в основе всех явлений материи, ускользают от нашего наблюдения из-за своей миниатюрности, но открывают нашему интеллекту амплитуду движения, превосходящую любую, которую мы можем видеть. В таких формах и движениях есть царство величайшей интеллектуальной красоты, и то, к которому наши символические методы применяются с большей грацией, чем к тем, что в трех измерениях.

ГЛАВА VIII. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЧЕТЫРЕХ ИЗМЕРЕНИЙ В МЫШЛЕНИИ

Удерживая перед собой этот набросок гипотезы о мире как четырехмерном, грубо собрав те факты движения, которые, как мы видим, применимы к нашему реальному опыту, давайте перейдем к другой ветви нашего предмета.

Инженер использует чертежи, графические построения, самыми разными способами. У него есть, например, диаграммы, которые представляют расширение пара, эффективность его клапанов. Они существуют наряду с реальными планами его машин. Они не являются изображениями чего-то реально существующего, но позволяют ему думать об отношениях, которые существуют в его механизмах.

И так, помимо того, что четырехмерное пространство показывает нам реальное существование того мира, который лежит под миром видимых движений, оно позволяет нам делать идеальные конструкции, которые служат для представления отношений вещей и облекают то, что в противном случае было бы неясным, в определенную и наводящую на размышления форму.

Из великого множества примеров, которые лежат передо мной, я выберу два: один касается предмета, имеющего небольшой внутренний интерес, который, однако, дает в ограниченной области поразительный пример метода вывода заключений и использования фигур высшего пространства. [1]

[1] Это наводит на размышления и в другом отношении, поскольку ясно показывает, что в наших мыслительных процессах задействованы способности, отличные от логических; в нем происхождение идеи, которая оказывается оправданной, почерпнуто из рассмотрения симметрии, отрасли прекрасного.

Другой пример выбран из-за того значения, которое он имеет для наших фундаментальных концепций. В нем я пытаюсь обнаружить реальный смысл теории опыта Канта.

Исследование свойств чисел значительно облегчается тем фактом, что отношения между числами сами могут быть представлены как числа — например, 12 и 3 — оба числа, и отношение между ними равно 4, другому числу. Таким образом, открывается путь для процесса конструктивной теории без необходимости прибегать к другому классу концепций, помимо того, который дан в изучаемых явлениях.

Созданная таким образом дисциплина числа имеет большое и разнообразное применение, но мы учимся понимать явления природы не только как количественные. Невозможно объяснить свойства материи только числом, но все виды деятельности материи являются энергиями в пространстве. Они численно определенны, а также, можно сказать, направленно определенны, т.е. определенны по направлению.

Существует ли тогда совокупность доктрин о пространстве, которая, подобно доктрине числа, доступна в науке? Излишне отвечать: да, геометрия. Но существует метод, лежащий рядом с обычными методами геометрии, который, молчаливо используемый и представляющий аналогию с методом численного мышления, заслуживает того, чтобы быть выдвинутым на более видное место, чем то, которое он обычно занимает.

Отношение чисел — это число.

Можем ли мы сказать таким же образом, что отношение форм — это форма?

Мы можем.

Fig. 46.

Возьмем пример, выбранный из-за его легкой доступности. Давайте возьмем два прямоугольных треугольника с заданной гипотенузой, но имеющих стороны разной длины (рис. 46). Эти треугольники — формы, которые имеют определенное отношение друг к другу. Давайте представим их отношение как фигуру.

Fig. 47.

Проведите две прямые линии под прямым углом друг к другу, одну HL — горизонтальный уровень, другую VL — вертикальный уровень (рис. 47). С помощью этих двух координирующих линий мы можем представить двойной набор величин; один набор как расстояния вправо от вертикального уровня, другой как расстояния выше горизонтального уровня, при выборе подходящей единицы измерения.

Таким образом, линия, отмеченная 7, выделит совокупность точек, расстояние которых от вертикального уровня равно 7, а линия, отмеченная 1, выделит точки, расстояние которых выше горизонтального уровня равно 1. Точка встречи этих двух линий, 7 и 1, определит точку, которая по отношению к одному набору величин равна 7, по отношению к другому — 1. Давайте возьмем стороны наших треугольников в качестве двух рассматриваемых наборов величин.

Fig. 48.

Тогда точка 7, 1 будет представлять треугольник, стороны которого равны 7 и 1. Аналогично, точка 5, 5 — 5, то есть вправо от вертикального уровня и 5 выше горизонтального уровня — будет представлять треугольник, стороны которого равны 5 и 5 (рис. 48).

Таким образом, мы получили фигуру, состоящую из двух точек 7, 1 и 5, 5, представляющих наши два треугольника. Но мы можем пойти дальше и, начертив дугу окружности вокруг O, точки встречи горизонтального и вертикального уровней, которая проходит через 7, 1 и 5, 5, утверждать, что все треугольники, которые являются прямоугольными и имеют гипотенузу, квадрат которой равен 50, представлены точками на этой дуге.

Таким образом, каждый индивид класса представляется точкой, весь класс представляется совокупностью точек, образующих фигуру. Принимая это представление, мы можем придать определенное и вычислимое значение выражению «сходство» или «подобие» между двумя индивидами представленного класса, причем разница измеряется длиной линии между двумя репрезентативными точками. Излишне умножать примеры или показывать, как, соответствуя различным классам треугольников, мы получаем различные кривые.

Представление такого рода, в котором объект, вещь в пространстве, представляется как точка, а все его свойства опускаются, их эффект остается только в относительном положении, которое репрезентативная точка занимает по отношению к репрезентативным точкам других объектов, может быть названо, по аналогии с годографом сэра Уильяма Р. Гамильтона, «Пойографом».

Сделанные таким образом представления имеют характер естественных объектов; они имеют свой собственный детерминированный и определенный характер. Любой недостаток полноты в них, вероятно, обусловлен отсутствием полноты тех наблюдений, которые составляют основу их построения.

Каждая система классификации — это пойограф. В схеме элементов Менделеева, например, каждый элемент представлен точкой, а отношения между элементами представлены отношениями между точками.

До сих пор я просто выдвигал на первый план процессы и соображения, с которыми мы все знакомы. Но стоит привлечь к нашим привычным предположениям и процессам полное внимание. Часто случается, что мы обнаруживаем, что есть два из них, которые имеют отношение друг к другу, которые, без этого вытаскивания на свет, мы позволили бы остаться без взаимного влияния.

Существует факт, который нам важно принять во внимание при обсуждении теории пойографа.

Что касается нашего знания о мире, мы далеки от того состояния, которое воображал Лаплас, когда утверждал, что всезнающий разум мог бы определить будущее состояние каждого объекта, если бы он знал координаты его частиц в пространстве и их скорость в любой конкретный момент.

Напротив, в присутствии любого естественного объекта перед нами предстает великая сложность условий, которую мы не можем свести к положению в пространстве и дате во времени.

Существует масса, притяжение, по-видимому, спонтанное, электрические и магнитные свойства, которые должны быть добавлены к пространственной конфигурации. Чтобы сократить список, мы должны сказать, что практически явления мира представляют нам проблемы, включающие много переменных, которые мы должны принимать как независимые.

Из этого следует, что при создании пойографов мы должны быть готовы использовать пространство более чем трех измерений. Если симметрия и полнота нашего представления должны быть нам полезны, мы должны быть готовы оценить и критиковать фигуры сложности большей, чем те, что в трех измерениях. Невозможно привести пример такого пойографа, который не был бы просто тривиальным, не вдаваясь в детали, в некотором роде не относящиеся к нашему предмету. Я предпочитаю ввести не относящиеся к делу детали, чем относиться к этой части предмета поверхностно.

Чтобы взять пример пойографа, который не ведет нас в сложности, присущие его применению в классификационной науке, давайте последуем за миссис Алисией Буль Стотт в ее представлении силлогизма с его помощью. Ей будет интересно обнаружить, что любопытный пробел, который она обнаружила, имеет значение.

Fig. 49.

Силлогизм состоит из двух утверждений, большей и меньшей посылок, с выводом, который можно из них сделать. Таким образом, чтобы взять пример, рис. 49. Очевидно, глядя на последовательные фигуры, что если мы знаем, что область M лежит целиком внутри области P, а также знаем, что область S лежит целиком внутри области M, мы можем заключить, что область S лежит целиком внутри области P. M есть P — большая посылка; S есть M — меньшая посылка; S есть P — вывод. Имея первые два данных, мы должны заключить, что S лежит в P. Вывод S есть P включает два термина, S и P, которые соответственно называются субъектом и предикатом, причем буквы S и P выбраны со ссылкой на части, которые играют понятия, обозначаемые ими в выводе. S — субъект вывода, P — предикат вывода. Большую посылку мы принимаем за ту, которая не включает S, и здесь мы всегда пишем ее первой.

Существует несколько разновидностей утверждений, обладающих разными степенями универсальности и манерами утвердительности. Эти различные формы утверждения называются модусами.

Мы возьмем большую посылку как одну переменную, как вещь, способную к различным модификациям одного и того же рода, меньшую посылку как другую, и различные модусы мы будем рассматривать как определяющие вариации, которые претерпевают эти переменные.

Существует четыре модуса:—

1. Универсальный утвердительный; все M есть P, называется модус A.

2. Универсальный отрицательный; ни одно M не есть P, модус E.

3. Частный утвердительный; некоторые M есть P, модус I.

4. Частный отрицательный; некоторые M не есть P, модус O.

Figure 50.

Пунктирные линии в 3 и 4, рис. 50, обозначают, что неизвестно, существуют ли какие-либо объекты, соответствующие пространству, границей которого является пунктирная линия; таким образом, в модусе I мы не знаем, есть ли какие-либо M, которые не являются P, мы знаем только, что некоторые M являются P.

Fig. 51.

Представляя первую посылку в ее различных модусах областями, отмеченными вертикальными линиями справа от PQ, мы имеем на рис. 51, идущие вверх от четырех букв AEIO, четыре столбца, каждый из которых указывает, что большая посылка находится в модусе, обозначенном соответствующей буквой. В первом столбце справа от PQ находится модус A. Теперь над линией RS пусть будут отмечены четыре области, соответствующие четырем модусам меньшей посылки. Таким образом, в первом ряду над RS вся область между RS и первой горизонтальной линией над ней обозначает, что меньшая посылка находится в модусе A. Буквы E, I, O таким же образом показывают модус, характеризующий меньшую посылку в рядах напротив этих букв.

Нам еще предстоит представить вывод. Чтобы сделать это, мы должны рассматривать вывод как третью переменную, характеризуемую в ее различных разновидностях четырьмя модусами — это силлогистическая классификация. Введение третьей переменной влечет за собой изменение в нашей системе представления.

Fig. 52.

Ранее мы начинали с областей справа от определенной линии как представляющих последовательно большую посылку в ее модусах; теперь мы должны начать с областей справа от определенной плоскости. Пусть LMNR будет плоской гранью куба, рис. 52, и пусть куб будет разделен на четыре части вертикальными сечениями, параллельными LMNR. Переменная, большая посылка, представлена последовательными областями, которые встречаются справа от плоскости LMNR — та область, которой противостоит A, тот срез куба, является значимым для модуса A. Эта целая четверть-часть куба представляет, что для каждой ее части большая посылка находится в модусе A.

Подобным образом следующее сечение, второе с буквой E напротив него, представляет, что для каждого из шестнадцати малых кубических пространств в нем большая посылка находится в модусе E. Третье и четвертое отделения, сделанные вертикальными сечениями, обозначают большую посылку в модусах I и O. Но куб может быть разделен другими способами другими плоскостями. Пусть деления, четыре из которых тянутся от передней грани, соответствуют меньшей посылке. Первая стена из шестнадцати кубов, обращенная к наблюдателю, имеет характеристику, что в каждом из малых кубов, что бы ни было в остальном, меньшая посылка находится в модусе A. Переменная — меньшая посылка — варьируется через фазы A, E, I, O, вдали от передней грани куба или передней плоскости, частью которой является передняя грань.

И теперь мы можем представить третью переменную точно таким же образом. Мы можем взять вывод как третью переменную, проходящую через свои четыре фазы от базовой плоскости вверх. Каждый из малых кубов в основании всего куба имеет это истинным о себе, что бы ни было в остальном, что вывод в нем находится в модусе A. Таким образом, чтобы подвести итог, первая стена из шестнадцати малых кубов, первая из четырех стен, которые, продвигаясь слева направо, строят весь куб, характеризуется в каждой своей части тем, что большая посылка находится в модусе A.

Следующая стена обозначает, что большая посылка находится в модусе E, и так далее. Продвигаясь спереди назад, первая стена представляет область, в каждой части которой меньшая посылка находится в модусе A. Вторая стена — это область, на протяжении которой меньшая посылка находится в модусе E, и так далее. В слоях, снизу вверх, вывод проходит через свои различные модусы, начиная с A в самом нижнем, E во втором, I в третьем, O в четвертом.

В общем случае, в котором переменные, представленные в пойографе, проходят через широкий диапазон значений, плоскости, от которых мы измеряем их степени вариации в нашем представлении, принимаются бесконечно расширенными. В этом случае, однако, все, что нас беспокоит, — это конечная область.

Нам теперь нужно представить, путем некоторого ограничения комплекса, который мы получили, тот факт, что не каждая комбинация посылок оправдывает любой вид вывода. Это может быть просто осуществлено путем маркировки областей, в которых посылки, будучи такими, как определено позициями, обнаруживается вывод, который является действительным.

Принимая конъюнкцию большей посылки, все M есть P, и меньшей, все S есть M, мы заключаем, что все S есть P. Следовательно, та область должна быть отмечена, в которой мы имеем конъюнкцию большей посылки в модусе A; меньшей посылки, модус A; вывод, модус A. Это куб, занимающий самый нижний левый угол большого куба.

Fig. 53.

Продвигаясь таким образом, мы обнаруживаем, что области, которые должны быть отмечены, — это те, что показаны на рис. 53. Обсудить случай, показанный в отмеченном кубе, который появляется в верхней части рис. 53. Здесь большая посылка находится во второй стене справа — она в модусе E и типа «ни одно M не есть P». Меньшая посылка находится в модусе, характеризуемом третьей стеной спереди. Она типа «некоторые S есть M». Из этих посылок мы делаем вывод, что некоторые S не есть P, вывод в модусе O. Теперь модус O вывода представлен в верхнем слое. Следовательно, мы видим, что маркировка в этом отношении правильна.

Fig. 54.

Конечно, было бы возможно представить куб на плоскости с помощью четырех квадратов, как на рис. 54, если мы рассмотрим каждый квадрат как представляющий просто начало области, за которую он стоит. Таким образом, весь куб может быть представлен четырьмя вертикальными квадратами, каждый из которых стоит за своего рода вертикальный лоток, и маркировки были бы такими, как показано. В № 1 большая посылка находится в модусе A для всей области, указанной вертикальным квадратом из шестнадцати делений; в № 2 она в модусе E, и так далее.

Существо, ограниченное плоскостью, должно было бы принять какой-то такой дизъюнктивный способ представления всего куба. Он был бы обязан представить то, что мы видим как целое, в отдельных частях, и каждая часть лишь представляла бы, не являлась бы, тем твердым содержанием, которое мы видим.

Вид этих четырех квадратов, который имело бы плоское существо, не был бы таким, как наш. Он не видел бы внутренности четырех квадратов, представленных выше, но каждый был бы полностью заключен внутри своего контура, внутренние границы отдельных малых квадратов он не мог бы видеть, кроме как удалив внешние квадраты.

Мы теперь готовы ввести четвертую переменную, вовлеченную в силлогизм.

При назначении букв для обозначения терминов силлогизма мы взяли S и P для представления субъекта и предиката в выводе, и таким образом в выводе их порядок неизменен. Но в посылках мы взяли произвольно порядок «все M есть P» и «все S есть M». Нет причин, почему M, а не P, не должен быть предикатом большей посылки, и так далее.

Соответственно, мы берем порядок терминов в посылках как четвертую переменную. Об этом порядке есть четыре разновидности, и эти разновидности называются фигурами.

Используя порядок, в котором написаны буквы, чтобы обозначить, что буква, написанная первой, является субъектом, та, что написана второй, — предикатом, мы имеем следующие возможности:—

1st Figure. 2nd Figure. 3rd Figure. 4th Figure.

Major M P P M M P P M

Minor S M S M M S M S

Таким образом, существуют четыре возможности в отношении этой четвертой переменной, как и в отношении посылок.

Мы использовали наши измерения пространства для представления фаз посылок и вывода в отношении модуса, и чтобы представить аналогичным образом вариации в фигуре, нам требуется четвертое измерение.

Теперь, вводя это четвертое измерение, мы должны сделать изменение в наших началах измерения, аналогичное тому, которое мы сделали при переходе от плоскости к твердому телу.

Это четвертое измерение предполагается проходящим под прямым углом к любому из трех пространственных измерений, как третье пространственное измерение проходит под прямым углом к двум измерениям плоскости, и таким образом оно дает нам возможность генерировать новый вид объема. Если весь куб движется в этом измерении, само твердое тело прочерчивает путь, каждое сечение которого, сделанное под прямым углом к направлению, в котором оно движется, является твердым телом, точным повторением самого куба.

Куб, каким мы его видим, является началом твердого тела такого рода. Он представляет своего рода лоток, как квадратная грань куба является своего рода лотком, против которого куб покоится.

Предположим, куб движется в этом четвертом измерении в четыре этапа, и пусть гипер-твердая область, прочерченная на первом этапе его прогресса, характеризуется тем, что термины силлогизма находятся в первой фигуре, тогда мы можем представить на каждом из трех последующих этапов оставшиеся три фигуры. Таким образом, весь куб формирует основу, от которой мы измеряем вариацию в фигуре. Первая фигура верна для куба, каким мы его видим, и для того гипер-твердого тела, которое лежит внутри первого этапа; вторая фигура верна на втором этапе, и так далее.

Таким образом, мы измеряем от всего куба, что касается фигур.

Но мы видели, что когда мы измеряли в самом кубе, имея три переменные, а именно две посылки и вывод, мы измеряли от трех плоскостей. База, от которой мы измеряли, была в каждом случае одной и той же.

Следовательно, при измерении в этом высшем пространстве мы должны иметь базы того же рода, от которых измерять, мы должны иметь твердые базы.

Первая твердая база легко видна, это сам куб. Другая может быть найдена из этого соображения.

То твердое тело, от которого мы измеряем фигуру, — это то, в котором остальные переменные проходят через свой полный диапазон разновидностей.

Теперь, если мы хотим измерять в отношении модусов большей посылки, мы должны позволить меньшей посылке, выводу, пройти через их диапазон, а также порядок терминов. То есть мы должны взять в качестве основы измерения в отношении модусов большей то, что представляет вариацию модусов меньшей, вывода и вариацию фигур.

Теперь вариация модусов меньшей и вывода представлены в квадратной грани слева от куба. Здесь все разновидности меньшей посылки и вывода. Разновидности фигур представлены этапами в движении, происходящем под прямым углом ко всем пространственным направлениям, следовательно, под прямым углом к рассматриваемой грани, левой грани куба.

Следовательно, позволяя левой грани двигаться в этом направлении, мы получаем куб, и в этом кубе представлены все разновидности меньшей посылки, вывода и фигуры.

Таким образом, кубу дается другая кубическая база измерения, генерируемая движением левого квадрата в четвертом измерении.

Мы находим другие базы подобным образом, одна — это куб, генерируемый передним квадратом, движущимся в четвертом измерении так, чтобы генерировать куб. От этого куба измеряются вариации в модусе меньшей. Четвертая база — та, что найдена путем движения нижнего квадрата куба в четвертом измерении. В этом кубе даны вариации большей, меньшей и фигуры. Рассматривая это как основу в четырех этапах, исходящих от нее, даны вариации в модусах вывода.

Любая из этих кубических баз может быть представлена в пространстве, и тогда высшее твердое тело, генерируемое от них, лежит вне нашего пространства. Оно может быть представлено только устройством, аналогичным тому, с помощью которого плоское существо представляет куб.

Он представляет куб, показанный выше, взяв четыре квадратных сечения и поместив их произвольно на удобных расстояниях одно от другого.

Так и мы должны представить это высшее твердое тело четырьмя кубами: каждый куб представляет только начало соответствующего высшего объема.

Нам достаточно, тогда, если мы нарисуем четыре куба, первый представляет ту область, в которой фигура первого рода, второй — ту область, в которой фигура второго рода, и так далее. Эти кубы — лишь начала соответствующих областей — они являются лотками, как бы, против которых реальные твердые тела должны быть представлены как покоящиеся, от которых они начинаются. Первый из них, так как он является началом области первой фигуры, характеризуется порядком терминов в посылках, являющимся порядком первой фигуры. Второй аналогично имеет термины посылок в порядке второй фигуры, и так далее.

Эти кубы показаны ниже.

Ради показа свойств метода представления, а не для логической проблемы, я сделаю отступление. Я представлю в пространстве модусы меньшей и вывода и различные фигуры, сохраняя большую всегда в модусе A. Здесь у нас три переменные на разных этапах: меньшая, вывод и фигура. Пусть квадрат левой стороны исходного куба будет воображен стоящим сам по себе, без твердой части куба, представленной (2) рис. 55. A, E, I, O, которые убегают, представляют модусы меньшей, A, E, I, O, которые бегут вверх, представляют модусы вывода. Весь квадрат, так как он является началом области в большей посылке, модус A, должен рассматриваться как в большей посылке, модус A.

От этого квадрата пусть будет предположено, что то направление, в котором представлены фигуры, идет к левой руке. Таким образом, мы имеем куб (1), идущий от квадрата выше, в котором сам квадрат скрыт, но буквы A, E, I, O вывода видны. В этом кубе мы имеем меньшую посылку и вывод во всех их модусах, и все фигуры представлены. Что касается большей посылки, так как грань (2) принадлежит первой стене слева в исходном расположении, и в этом расположении характеризовалась большей посылкой в модусе A, мы можем сказать, что весь куб, который мы теперь поставили, представляет модус A большей посылки.

Fig. 55.

Следовательно, малый куб внизу справа в 1, ближайший к зрителю, — это большая посылка, модус A; меньшая посылка, модус A; вывод, модус A; и фигура первая. Куб рядом с ним, идущий влево, — это большая посылка, модус A; меньшая посылка, модус A; вывод, модус A; фигура 2.

Так в этом кубе мы имеем представления всех комбинаций, которые могут возникнуть, когда большая посылка, оставаясь в модусе A, меньшая посылка, вывод и фигуры проходят через свои разновидности.

В этом случае в пространстве нет места для естественного представления модусов большей посылки. Чтобы представить их, мы должны предположить, как и прежде, что существует четвертое измерение, и, начиная от этого куба как базы в четвертом направлении в четыре равных этапа, весь первый объем соответствует большей посылке A, второй — большей посылке, модус E, следующий — модусу I, и последний — модусу O.