«Четвертое измерение»

Куб, который мы видим, — это как бы просто лоток, против которого покоится четырехмерная фигура. Его сечение на любом этапе — куб. Но переход в этом направлении, будучи поперечным ко всему нашему пространству, не представлен никаким пространственным движением. Мы можем показать последовательные этапы результата переноса куба в этом направлении, но не можем показать продукт переноса, как бы мал он ни был, в этом направлении.

Fig. 56.

Чтобы вернуться к исходному методу представления наших переменных, рассмотрим рис. 56. Эти четыре куба представляют четыре сечения фигуры, полученной из первого из них путем движения его в четвертом измерении. Первая часть движения, которая начинается с 1, прочерчивает более чем твердое тело, которое все в первой фигуре. Начало этого тела показано в 1. Следующая часть движения прочерчивает более чем твердое тело, все из которого во второй фигуре; начало этого тела показано в 2; 3 и 4 следуют подобным образом. Здесь, тогда, в одной четырехмерной фигуре мы имеем все комбинации четырех переменных: большая посылка, меньшая посылка, фигура, вывод, представленные, каждая переменная проходит через свои четыре разновидности. Нарисованные несвязанные кубы — это наше представление в пространстве посредством несвязанных сечений этого высшего тела.

В настоящее время истинными является лишь ограниченное число выводов — их истинность зависит от конкретных комбинаций посылок и фигур, которые они сопровождают. Общую фигуру, представленную таким образом, можно назвать универсумом мысли в отношении этих четырех составляющих, и из универсума всех возможных комбинаций логике надлежит выбирать те, которые соответствуют результатам наших мыслительных способностей.

Мы можем проанализировать каждую из посылок в каждом из модусов и выяснить, какой вывод логически следует из них. Однако это уже сделано в трудах по логике; наиболее просто и ясно, на мой взгляд, — в «Логике Джевонса». Поскольку нас интересует лишь формальное представление результатов, мы воспользуемся приведенными ниже мнемоническими строками, в которых слова, заключенные в скобки, относятся к фигурам и не несут смысловой нагрузки:

Barbara celarent Darii ferio [prioris].

Caesare Camestris Festino Baroko [secundae].

[Tertia] darapti disamis datisi felapton.

Bokardo ferisson habet [Quarta insuper addit].

Bramantip camenes dimaris ferapton fresison.

В этих строках каждое значимое слово содержит три гласные: первая гласная относится к большей посылке и указывает на ее модус (например, «a» означает, что большая посылка находится в модусе A). Вторая гласная относится к меньшей посылке и указывает на ее модус. Третья гласная относится к выводу и указывает на его модус. Так, для (prioris) — первой фигуры — первое мнемоническое слово «barbara» дает: большая посылка — модус A, меньшая посылка — модус A, вывод — модус A. Соответственно, в первом из наших четырех кубов мы отмечаем нижний левый передний куб. Возьмем другой пример из третьей фигуры «Tertia»: слово «ferisson» дает нам большую посылку в модусе E (например, «ни одно M не есть P»), меньшую посылку в модусе I («некоторое M есть S»), вывод в модусе O («некоторое S не есть P»). Область, которую нужно отметить в третьем репрезентативном кубе, — это область во второй стенке справа для большей посылки, в третьей стенке от передней части для меньшей посылки и в верхнем слое для вывода.

Легко заметить, что на диаграмме этот куб отмечен, как и все остальные правильные выводы. Области, отмеченные в общей совокупности, показывают, какие комбинации четырех переменных — большей посылки, меньшей посылки, фигуры и вывода — существуют.

Иными словами, мы объективируем все возможные выводы и выстраиваем идеальное многообразие, содержащее все возможные их комбинации с посылками, а затем исключаем из него все то, что не удовлетворяет законам логики. Остаток представляет собой силлогизм, рассматриваемый как канон рассуждения.

Если посмотреть на форму, представляющую совокупность правильных выводов, то она не обнаруживает какой-либо очевидной симметрии или легко характеризуемой природы. Однако поразительная конфигурация получается, если спроецировать полученную четырехмерную фигуру в трехмерную; то есть, если мы возьмем в базовом кубе все те кубы, которые имеют отмеченное пространство где-либо в ряду из четырех областей, начинающихся от этого куба.

Это соответствует абстрагированию от фигур, дающему все выводы, которые являются правильными независимо от того, какова фигура.

Fig. 57.

Действуя таким образом, мы получаем расположение отмеченных кубов, показанное на рис. 57. Мы видим, что правильные выводы расположены почти симметрично вокруг одного куба — того, что находится на вершине колонны, начинающейся с AAA. Однако в этой схеме есть один разрыв непрерывности. Один куб не отмечен, хотя, будь он отмечен, это обеспечило бы симметрию. Это куб, который обозначался бы буквами I, E, O в третьей стенке справа, второй стенке в глубине, верхнем слое. Но эта комбинация посылок в модусе IE с выводом в модусе O не упоминается ни в одной известной мне книге по логике. Давайте рассмотрим ее самостоятельно, поскольку кажется, что в связи с этим разрывом непрерывности в пойографе должно быть что-то любопытное.

Fig. 58.

Суждения I, E в различных фигурах выглядят следующим образом, как показано на прилагаемой схеме, рис. 58: Первая фигура: некоторое M есть P; ни одно S не есть M. Вторая фигура: некоторое P есть M; ни одно S не есть M. Третья фигура: некоторое M есть P; ни одно M не есть S. Четвертая фигура: некоторое P есть M; ни одно M не есть S.

Изучая эти фигуры, мы видим, взяв первую, что если некоторое M есть P и ни одно S не есть M, то мы не получаем вывода формы «S есть P» в различных модусах. Совершенно неопределенно, как круг, представляющий S, расположен по отношению к кругу, представляющему P. Он может лежать внутри, снаружи или частично внутри P. То же самое верно для других фигур 2 и 3. Но когда мы переходим к четвертой фигуре, поскольку M и S лежат полностью вне друг друга, та часть P, которая лежит внутри M, не может лежать внутри S. Теперь мы знаем из большей посылки, что некоторая часть P действительно лежит в M. Следовательно, S не может содержать P целиком. Иными словами: некоторое P есть M, ни одно M не есть S, следовательно, S не содержит P целиком. Если мы возьмем P в качестве субъекта, это даст нам вывод в модусе O относительно P: «некоторое P не есть S». Но это не дает нам вывода относительно S ни в одной из четырех форм, признанных в силлогизме и называемых его модусами. Таким образом, разрыв непрерывности в пойографе позволил нам обнаружить неполноту отношений, рассматриваемых в силлогизме.

Приведем пример: некоторые американцы (P) принадлежат к африканскому происхождению (M); ни один ариец (S) не принадлежит к африканскому происхождению (M); арийцы (S) не включают в себя всех американцев (P).

Чтобы сделать вывод относительно S, мы должны признать утверждение «S не содержит P целиком» в качестве правильной логической формы — это утверждение об S, которое может быть сделано. Логика, которая дает нам форму «некоторое P не есть S» и не позволяет нам дать точно эквивалентную и столь же первичную форму «S не содержит P целиком», является искусственной.

И я хочу отметить, что эта искусственность ведет к ошибке.

Если полагаться на приведенные выше мнемонические строки, можно было бы сделать вывод, что из утверждения «некоторое P есть M, ни одно M не есть S» нельзя сделать никакого логического вывода относительно S.

Но вывод сделать можно: S не содержит P целиком.

Дело не в том, что результат выражен в другой форме. Мнемонические строки отрицают, что из посылок в модусах I, E соответственно можно сделать какой-либо вывод.

Таким образом, простой четырехмерный пойограф позволил нам обнаружить ошибку в мнемонических строках, которые передавались без возражений со средневековых времен. Чтобы обсудить предмет этих строк более полно, логик, защищающий их, вероятно, сказал бы, что частное суждение не может быть большей посылкой, и тем самым отрицал бы существование четвертой фигуры в комбинации модусов.

Возьмем наш пример: некоторые американцы принадлежат к африканскому происхождению; ни один ариец не принадлежит к африканскому происхождению. Он сказал бы, что вывод — «некоторые американцы не являются арийцами» и что второе утверждение является большим. Он отказался бы сказать что-либо об арийцах, обрекая нас на вечное молчание о них, насколько это касается данных посылок! Но если существует утверждение, затрагивающее отношение двух классов, оно должно быть выразимо как утверждение о любом из них.

Запрет на вывод «арийцы не включают в себя всех американцев» — это чисто временная мера в пользу ложной классификации.

И аргумент, основанный на универсальности большей посылки, не может последовательно поддерживаться. Он исключил бы такие комбинации, как большая посылка O, меньшая A, вывод O — т. е. такие, как «некоторые горы (M) не являются постоянными (P); все горы (M) являются пейзажем (S); некоторый пейзаж (S) не является постоянным (P)».

Это допускается в «Логике Джевонса», и его упущение в обсуждении I, E, O в четвертой фигуре необъяснимо. Удовлетворительный пойограф логической схемы может быть создан путем допущения использования слов «некоторые», «никакие» или «все» как относительно предиката, так и относительно субъекта. Тогда мы сможем выразить утверждение «арийцы не включают в себя всех американцев» неуклюже, но, когда его неясность будет преодолена, корректно: «некоторые арийцы не являются всеми американцами». И этот метод называется «квантификацией предиката».

Законы формальной логики совпадают с выводами, которые можно сделать относительно областей пространства, перекрывающихся друг с другом различными возможными способами. Нетрудно сформулировать эти отношения или получить симметричный пойограф. Но углубляться в эту ветвь геометрии выходит за рамки нашей текущей цели, которая состоит в том, чтобы показать применение пойографа в конечной и ограниченной области без тех сложностей, которые сопровождают его использование в отношении природных объектов.

Если мы возьмем последние — например, растения — и, не предполагая фиксированных направлений в пространстве в качестве репрезентативных для определенных вариаций, расположим репрезентативные точки таким образом, чтобы они соответствовали сходствам объектов, мы получим конфигурацию исключительного интереса; и, возможно, таким образом, при создании форм форм, тел с опущенными телами, можно было бы получить некоторое представление о структуре видов и родов.

ГЛАВА IX ПРИМЕНЕНИЕ К ТЕОРИИ ОПЫТА КАНТА

Наблюдая за небесными телами, мы осознаем, что все они участвуют в одном универсальном движении — суточном вращении вокруг полярной оси.

В случае неподвижных звезд это верно в самой безусловной степени, но в случае Солнца, а также планет, можно различить единое движение вращения, модифицированное и слегка измененное другими, вторичными движениями.

Следовательно, универсальной характеристикой небесных тел является то, что они движутся по суточному кругу.

Но мы знаем, что этот один великий факт, верный для них всех, в действительности не имеет к ним никакого отношения. Суточное вращение, которое они совершают на наших глазах, является результатом состояния наблюдателя. Именно потому, что наблюдатель находится на вращающейся Земле, можно сделать универсальное утверждение обо всех небесных телах.

Универсальное утверждение, справедливое для каждого из небесных тел, — это то, которое вообще их не касается, а является лишь констатацией состояния наблюдателя.

Теперь существуют универсальные утверждения других видов, которые мы можем сделать. Мы можем сказать, что все объекты опыта находятся в пространстве и подчиняются законам геометрии.

Означает ли это, что пространство и все, что оно подразумевает, обусловлено состоянием наблюдателя?

Если универсальный закон в одном случае не означает ничего, затрагивающего сами объекты, а лишь состояние наблюдения, верно ли это в каждом случае? В астрономии нам показана vera causa для утверждения универсалии. Следует ли искать ту же причину повсюду?

Таково первое приближение к доктрине критики Канта.

Это постижение отношения, в которое с той и другой стороны входят совершенно определенные составляющие — человеческий наблюдатель и звезды, — и перенос этого отношения в область, в которой составляющие с обеих сторон совершенно неизвестны.

Если пространственность обусловлена состоянием наблюдателя, то наблюдатель не может быть этим нашим телесным «я» — тело, подобно окружающим его объектам, в равной степени находится в пространстве.

Эту концепцию Кант применил не только к созерцаниям чувств, но и к понятиям разума — везде, где делается универсальное утверждение, ему предоставляется возможность для применения своего принципа. Он построил систему, в которой трудно сказать, чему больше удивляться: архитектурному мастерству или сдержанности в отношении вещей в себе и наблюдателя в самом себе.

Его систему можно сравнить с садом, возможно, несколько формальным, но обладающим очарованием качества, выходящего за рамки интеллектуального, — besonnenheit, изысканной умеренностью во всем. И из почвы, которую он так тщательно подготовил, скрыв в ней то, что должно быть скрыто, расцветает наука и растет древо подлинного знания.

Критика — это сокровищница идей глубокого интереса. Та из них, о которой я дал частичное изложение, ведет, как мы увидим при ее детальном изучении, к теории математики, наводящей на размышления во многих направлениях.

Обоснование моего подхода можно найти, среди прочих отрывков, в той части трансцендентальной аналитики, где Кант говорит об объектах опыта, подчиненных формам чувственности, но не подчиненных понятиям разума.

Кант утверждает, что всякий раз, когда мы мыслим, мы мыслим об объектах в пространстве и времени, но он отрицает, что пространство и время существуют как независимые сущности. Он берется объяснить их и их универсальность не путем их допущения, как делают большинство других философов, а путем постулирования их отсутствия. Как же тогда получается, что мир для нас находится в пространстве и времени?

Кант занимает ту же позицию в отношении того, что мы называем природой — великой системы, подчиненной закону и порядку. «Как вы объясняете закон и порядок в природе?» — спрашиваем мы философов. Все, кроме Канта, отвечают, предполагая наличие закона и порядка где-то, а затем показывая, как мы можем их распознать.

Объясняя наши понятия, философы, стоящие на позициях, отличных от кантовских, предполагают, что понятия существуют вне нас, и тогда нетрудно показать, как они приходят к нам — либо через вдохновение, либо через наблюдение.

Мы спрашиваем: «Почему у нас есть идея закона в природе?» «Потому что природные процессы идут согласно закону, — отвечают нам, — и опыт, унаследованный или приобретенный, дает нам это понятие».

Но когда мы говорим о законе в природе, мы говорим о нашем собственном понятии. Так что все, что делают эти толкователи, — это объясняют наше понятие через его же допущение.

Кант совсем другой. Он ничего не предполагает. Опыт, подобный нашему, сильно отличается от опыта в абстракции. Представьте себе просто опыт, последовательность состояний сознания! Да ведь не было бы никакой связи между двумя из них, не было бы никакой личной идентичности, никакой памяти. Именно из общего опыта, подобного этому, который в отношении всего, что мы называем реальным, меньше, чем сон, Кант показывает генезис опыта, подобного нашему.

Кант берется за проблему объяснения пространства, времени, порядка и поэтому вполне логично не предполагает их заранее.

Но как, когда каждый акт мышления касается вещей в пространстве и времени и является упорядоченным, мы представим себе то совершенно неопределенное нечто, которое является необходимой гипотезой Канта — то, что не находится в пространстве или времени и не является упорядоченным? Это наша проблема: представить то, что Кант предполагает не подчиненным ни одной из наших форм мышления, а затем показать некую функцию, которая, воздействуя на это, превращает его в «природу», подчиненную закону и порядку, в пространстве и времени. Такую функцию Кант называет «единством апперцепции», т. е. то, что делает наше состояние сознания способным быть вплетенным в систему с «я», внешним миром, памятью, законом, причиной и порядком.

Трудность, с которой мы сталкиваемся при обсуждении гипотезы Канта, заключается в том, что все, о чем мы думаем, находится в пространстве и времени — как же тогда нам представить в пространстве существование, не находящееся в пространстве, и во времени существование, не находящееся во времени? Эта трудность еще более очевидна, когда мы переходим к построению пойографа, ибо пойограф — это по существу пространственная структура. Но именно потому, что трудность более очевидна, она ближе к решению. Если мы всегда мыслим в пространстве, т. е. используя пространственные понятия, то первое условие, необходимое для их адаптации к представлению непространственного существования, — это осознание ограниченности нашего мышления, чтобы иметь возможность предпринять надлежащие шаги для ее преодоления. Проблема, стоящая перед нами, таким образом, состоит в том, чтобы представить в пространстве существование, не находящееся в пространстве.

Решение простое. Оно обеспечивается концепцией альтернативности.

Чтобы прояснить наши идеи, давайте вернемся назад, за пределы различий между внутренним и внешним миром. И то, и другое, говорит Кант, есть продукты. Давайте возьмем просто состояния сознания и не будем задаваться вопросом, произведены ли они или привнесены — задавать такой вопрос означает зайти слишком далеко, предположить нечто, происхождение чего мы не проследили. Относительно этих состояний давайте просто скажем, что они происходят. Давайте теперь будем использовать слово «позит» для фазы сознания, сведенной к последней возможной стадии исчезновения; пусть позит будет той фазой сознания, о которой можно сказать лишь то, что она происходит.

Пусть a, b, c будут тремя такими позитами. Мы не можем представить их в пространстве, не поместив в определенном порядке, как a, b, c. Но Кант проводит различие между формами чувственности и понятиями разума. Сон, в котором все происходит наугад, был бы опытом, подчиненным форме чувственности и лишь частично подчиненным понятиям разума. Он частично подчинен понятиям разума, потому что, хотя нет порядка последовательности, все же в любой данный момент есть порядок. Восприятие вещи как находящейся в пространстве — это форма чувственности, восприятие порядка — это понятие разума.

Мы должны, следовательно, чтобы добраться до того процесса, который Кант считает конститутивным для упорядоченного опыта, представить позиты как находящиеся в пространстве без порядка.

Поскольку мы их знаем, они должны быть в каком-то порядке: abc, bca, cab, acb, cba, bac — в том или ином.

Чтобы представить их как не имеющие порядка, вообразите, что все эти различные порядки существуют в равной степени. Введите концепцию альтернативности — давайте предположим, что порядок abc и bac, например, существуют в равной степени, так что мы не можем сказать об a, что оно идет до или после b. Это соответствовало бы внезапному и произвольному превращению a в b и b в a, так что, используя слова Канта, было бы возможно называть одну вещь одним именем в одно время, а в другое время — другим именем.

В опыте такого рода мы имеем своего рода хаос, в котором не существует никакого порядка; это многообразие, не подчиненное понятиям разума.

Существует ли теперь какой-либо процесс, с помощью которого в такое многообразие можно внести порядок — существует ли какая-либо функция сознания, благодаря которой мог бы возникнуть упорядоченный опыт?

В том точном состоянии, в котором находятся позиты, как описано выше, это не представляется возможным. Но если мы вообразим, что в многообразии существует двойственность, можно легко обнаружить функцию сознания, которая произведет порядок из отсутствия порядка.

Давайте представим каждый позит как имеющий двойственный аспект. Пусть a будет 1a, в котором двойственный аспект представлен комбинацией символов. И аналогично пусть b будет 2b, c будет 3c, в которых 2 и b представляют двойственные аспекты b, 3 и c — аспекты c.

Поскольку a может произвольно превратиться в b или в c и так далее, вышеуказанные конкретные комбинации не могут быть сохранены. Мы должны предположить равновозможную встречаемость форм, таких как 2a, 2b и так далее; и чтобы получить представление обо всех тех комбинациях, из которых любой набор является альтернативно возможным, мы должны взять каждый аспект с каждым аспектом. Мы должны, то есть, иметь каждую букву с каждым числом.

Давайте теперь применим метод пространственного представления.

Примечание. — В начале следующей главы те же структуры, что и ниже, представлены более подробно, и ссылка на них устранит любую неясность, которая может возникнуть в непосредственно следующих отрывках. Там они доведены до большего многообразия измерений, и значение процесса, кратко объясненного здесь, становится более очевидным.

Fig. 59.

Возьмем три взаимно перпендикулярные оси в пространстве 1, 2, 3 (рис. 59) и на каждой отметим три точки, причем общая точка встречи является первой на каждой оси. Затем с помощью этих трех точек на каждой оси мы определяем 27 положений, 27 точек в кубическом кластере, показанном на рис. 60, используя тот же метод координации, который был описан ранее. Каждое из этих положений можно назвать с помощью осей и точек в комбинации.

Fig. 60.

Так, например, положение, отмеченное звездочкой, можно назвать 1c, 2b, 3c, потому что оно противоположно c на 1, b на 2, c на 3.

Давайте теперь рассмотрим состояния сознания, соответствующие этим положениям. Каждая точка представляет собой композит позитов, и соответствующее им многообразие сознания обладает определенной сложностью.

Предположим теперь, что составляющие — точки на осях — произвольно меняются местами, любая из них становится любой другой, а также оси 1, 2 и 3 меняются местами между собой, любая из них становится любой другой, и они не подчиняются никакой системе или закону, то есть порядок не существует, и точки, которые идут abc на каждой оси, могут идти bac и так далее.

Тогда любое из состояний сознания, представленных точками в кластере, может стать любым другим. Мы имеем представление случайного сознания определенной степени сложности.

Теперь давайте внимательно рассмотрим один конкретный случай произвольной перестановки точек a, b, c; так как один такой случай, тщательно рассмотренный, проясняет все.

Fig. 61.

Рассмотрим точки, названные на рисунке 1c, 2a, 3c; 1c, 2c, 3a; 1a, 2c, 3c и изучим эффект, оказываемый на них при изменении порядка. Предположим, например, что a меняется на b, и назовем два набора точек, которые мы получаем — один до и один после их изменения — сопряженными.

Before the change 1c 2a 3c 1c 2c 3a 1a 2c 3c } Conjugates.

After the change 1c 2b 3c 1c 2c 3b 1b 2c 3c

Точки, окруженные кольцами, представляют сопряженные точки.

Очевидно, что сознание, представленное сначала первым набором точек, а затем вторым, не имело бы ничего общего в своих двух фазах. Оно не было бы способно дать отчет о самом себе. Не было бы никакой идентичности.

Fig. 62.

Если, однако, мы сможем найти любой набор точек в кубическом кластере, который при любом произвольном изменении точек на осях или самих осей повторяет себя, воспроизводится, тогда сознание, представленное этими точками, обладало бы постоянством. Оно имело бы принцип идентичности. Несмотря на отсутствие закона, отсутствие порядка у конечных составляющих, оно имело бы порядок, оно сформировало бы систему, условие личной идентичности было бы выполнено.

Вопрос сводится, таким образом, к следующему. Можем ли мы найти систему точек, которая является самосопряженной, то есть такую, что когда любой позит на осях становится любым другим или когда любая ось становится любой другой, такой набор преобразуется в самого себя, его идентичность не поглощается, а возвышается над хаосом его составляющих?

Такой набор можно найти. Рассмотрим набор, представленный на рис. 62 и записанный в первой из двух строк —

Self-

conjugate { 1a 2b 3c 1b 2a 3c 1c 2a 3b 1c 2b 3a 1b 2c 3a 1a 2c 3b

1c 2b 3a 1b 2c 3a 1a 2c 3b 1a 2b 3c 1b 2a 3c 1c 2a 3b

Если теперь a меняется на c, а c на a, мы получаем набор во второй строке, который имеет те же члены, что и в верхней строке. Глядя на диаграмму, мы видим, что это соответствовало бы просто повороту фигур как целого. [2] Любое произвольное изменение точек на осях или самих осей воспроизводит тот же набор.

[2] Эти фигуры описаны более полно и расширены в следующей главе.

Таким образом, функция, с помощью которой случайное, неупорядоченное сознание могло бы дать упорядоченное и систематическое, может быть представлена. Примечательно, что это система отбора. Если из всех альтернативных форм внимание уделяется только той, которая является самосопряженной, формируется упорядоченное сознание. Отбор дает признак постоянства.

Можем ли мы сказать, что постоянное сознание — это и есть данный отбор?

Обнаруживается аналогия между Кантом и Дарвином. То, что есть, отделяется от мимолетного в силу того, что оно представляет собой признак постоянства. Нет необходимости предполагать какую-либо функцию «внимания». Сознание, способное дать отчет о самом себе, — это сознание, характеризующееся данной комбинацией. Все комбинации существуют — сознание, которое может дать отчет о самом себе, относится к этому типу. И сама двойственность, которую мы предположили, может рассматриваться как возникшая в результате процесса отбора.

Дарвин поставил перед собой задачу объяснить происхождение флоры и фауны мира. Он отрицал специфические тенденции. Он предположил неопределенную изменчивость — то есть случайность, — но случайность, ограниченную узкими пределами в отношении величины любых последовательных вариаций. Он показал, что организмы, обладающие признаками постоянства, если они возникали, сохранялись. Таким образом, его объяснение любой структуры или организованного существа заключалось в том, что оно обладает признаками постоянства.

Кант, взявшись не за объяснение каких-либо конкретных явлений, а того, что мы называем природой в целом, имел свое собственное происхождение видов, свое объяснение флоры и фауны сознания. Он отрицал какую-либо специфическую тенденцию элементов сознания, но, взяв наше собственное сознание, указал на то, в чем оно напоминало любое сознание, которое могло бы выжить, которое могло бы дать отчет о самом себе.

Он предполагает случайный или хаотичный мир, и поскольку «большое» и «малое» не были для него данными понятиями, которые он мог бы использовать, он никак не ограничивал случайность, хаотичность. Но любое сознание, которое является постоянным, должно обладать определенными признаками — а именно теми атрибутами, которые придают ему постоянство. Любое сознание, подобное нашему, — это просто сознание, которое обладает этими атрибутами. Главное — это то, что он называет единством апперцепции, что, как мы видели выше, является просто утверждением того, что конкретный набор фаз сознания на основе полной случайности будет самосопряженным, а значит, постоянным.

Как у Дарвина, так и у Канта причина существования любого признака сводится к следующему: покажите, что он способствует постоянству того, кто им обладает.

Мы можем таким образом рассматривать Канта как создателя первой из современных теорий эволюции. И, как это часто бывает, первая попытка была самой грандиозной по своему охвату. Кант не исследует происхождение какой-либо особой части мира, такой как его организмы, его химические элементы, его социальные сообщества людей. Он просто исследует происхождение целого — всего, что включено в сознание, происхождение той «мыслящей вещи», прогрессирующая реализация которой есть познаваемая вселенная.

Эта точка зрения сильно отличается от обычной, в которой человек якобы помещен в мир, подобный тому, о котором он пришел к мысли, а затем узнает то, что он обнаружил из этой модели, которую он сам поместил на сцену.

Мы все знаем, что существует ряд вопросов, при попытке ответить на которые такое допущение недопустимо.

Милль, например, объясняет наше понятие «закона» неизменной последовательностью в природе. Но то, что мы называем природой, — это нечто, данное в мысли. Так что он объясняет мысль о законе и порядке мыслью о неизменной последовательности. Он оставляет проблему там, где ее нашел.

Теория Канта не является уникальной и единственной. Это одна из ряда теорий эволюции. Представление о ее важности и значении можно получить путем сравнения ее с другими теориями.

Так, в теоретическом мире естественного отбора Дарвина делается определенное допущение — допущение неопределенной изменчивости (незначительной изменчивости, правда, за любой ощутимый промежуток времени, но неопределенной в постулируемые эпохи трансформации) — и показывается, что из этого следует целая цепь результатов.

Этот элемент случайной вариации, однако, не является конечной точкой. Это предварительная стадия. Это допущение «всего» является предварительным шагом к выяснению того, что «есть». Если может возникнуть любой вид организма, те, что выживут, будут обладать такими-то и такими-то характеристиками. Это необходимое начало для установления того, какие виды организмов действительно возникают. И так гипотеза Канта о случайном сознании является необходимым началом для рационального исследования сознания как такового. Его допущение обеспечивает, так сказать, пространство, в котором мы можем наблюдать явления. Оно дает общие законы, конституирующие любой опыт. Если при допущении абсолютной случайности составляющих опыт будет характеризоваться тем-то и тем-то, то, каковы бы ни были составляющие, эти характеристики должны быть универсально верными.

Теперь мы перейдем к более тщательному изучению пойографа, сконструированного с целью демонстрации иллюстрации единства апперцепции Канта.

Чтобы показать выведение порядка из отсутствия порядка, необходимо было предположить принцип двойственности — у нас были оси и позиты на осях — существуют два набора элементов, каждый из которых не упорядочен, и именно в их взаимном отношении возникает порядок, определенная система.

Есть ли в нашем опыте что-то, имеющее природу двойственности?

В нашем опыте, безусловно, есть объекты, обладающие порядком, и те, которые не способны к порядку. Два корня квадратного уравнения не имеют порядка. Никто не может сказать, какой идет первым. Если тело поднимается вертикально, а затем движется под прямым углом к своему прежнему курсу, никто не может приписать какой-либо приоритет направлению на север или на восток. Нет приоритета в направлениях поворота. Мы связываем повороты с отсутствием порядка, прогрессии на линии — с порядком. Но в осях и точках, которые мы предположили выше, нет такого различия. Одно и то же, предполагаем ли мы порядок среди поворотов и отсутствие порядка среди точек на осях или, наоборот, порядок в точках и отсутствие порядка в поворотах. Существо с бесконечным числом осей, взаимно расположенных под прямым углом, с определенной последовательностью между ними и отсутствием последовательности между точками на осях, находилось бы в состоянии, формально неотличимом от состояния существа, которое, согласно более естественному для нас допущению, имело бы на каждой оси бесконечное число упорядоченных точек и отсутствие порядка приоритета между осями. Существо в таком мире не смогло бы сказать, что является поворотом, а что — длиной вдоль оси, чтобы различить их. Таким образом, чтобы привести уместную иллюстрацию, мы можем находиться в мире бесконечного числа измерений с тремя произвольными точками на каждом — тремя точками, порядок которых безразличен, — или в мире трех осей произвольной последовательности с бесконечным числом упорядоченных точек на каждой. Мы не можем сказать, что есть что, чтобы отличить одно от другого.

Таким образом, оказывается, что использованный нами способ иллюстрации не является искусственным. В природе действительно существует двойственность того рода, которая необходима для объяснения происхождения порядка из отсутствия порядка — а именно двойственность измерения и положения. Давайте будем использовать термин «группа» для той системы точек, которая остается неизменной, какое бы произвольное изменение ее составляющих ни происходило. Мы замечаем, что группа включает в себя двойственность, она немыслима без двойственности.

Таким образом, согласно Канту, первичным элементом опыта является группа, и теория групп была бы самой фундаментальной отраслью науки. Из-за одного выражения в «Критике» авторитет Канта иногда приводится против допущения более чем трех измерений пространства. Мне кажется, однако, что вся тенденция его теории лежит в противоположном направлении и указывает на совершенную двойственность между измерением и положением в измерении.

Если порядок и закон, которые мы видим, обусловлены условиями сознательного опыта, мы должны мыслить природу спонтанной, свободной, не подлежащей никакой предикации, которую мы можем придумать, но, как бы она ни постигалась, подчиненной нашей логике.

А наша логика — это просто пространственность в общем смысле, тот результат отбора постоянного из непостоянного, упорядоченного из неупорядоченного посредством группы и лежащей в ее основе двойственности.

Мы не можем ничего предикатировать о природе, только о том, как мы можем постигать природу. Все, что мы можем сказать, — это то, что все, что дает нам опыт, будет обусловлено как пространственное, подчиненное нашей логике. Таким образом, исследуя факты геометрии от простейших логических отношений до свойств пространства любого числа измерений, мы просто наблюдаем самих себя, осознавая условия, при которых мы должны воспринимать. Если какие-либо явления оказываются неспособными к объяснению в рамках допущения пространства, с которым мы имеем дело, тогда мы должны приучить себя к концепции высшего пространства, чтобы наша логика могла соответствовать стоящей перед нами задаче.

Мы получаем повторение мысли, которая приходила ранее, экспериментально предложенной. Если законы интеллектуального постижения природы — это те, что выведены из рассмотрения ее как абсолютной случайности, не подчиненной никакому закону, кроме того, что выведен из процесса отбора, то, возможно, порядок природы требует для своего постижения иных способностей, нежели интеллектуальные. Источник и происхождение идей, возможно, придется искать не в рассуждении.

Общий итог «Критики» состоит в том, чтобы оставить обычного человека там, где он есть, оправданным в своем практическом отношении к природе, освобожденным от оков его собственных ментальных представлений.

Истина картины заключается в ее общем эффекте. Тщетно искать информацию о ландшафте, изучая пигменты. И в любом методе мышления именно сложность целого приводит нас к познанию природы. Измерения достаточно искусственны, но в их многообразии мы ловим некоторое дыхание природы.

Мы должны поэтому — и это кажется мне практическим выводом из всего дела — приступить к формированию средств интеллектуального постижения все большей и большей степени сложности, как в размерном отношении, так и по протяженности в любом измерении. Такие средства представления всегда должны быть искусственными, но в многообразии элементов, с которыми мы имеем дело, как бы зачаточно произвольны они ни были, заключается наш шанс постижения природы.

И в качестве заключительной главы к этой части книги я расширю фигуры, которые использовались для представления теории Канта, на два шага, чтобы читатель имел возможность взглянуть на четырехмерную фигуру, которую можно начертить без какого-либо специального аппарата, к рассмотрению которого я впоследствии перейду.

ГЛАВА X ЧЕТЫРЕХМЕРНАЯ ФИГУРА

Метод, использованный в предыдущей главе для иллюстрации проблемы критики Канта, дает исключительно простой и прямой способ построения серии важных фигур в любом количестве измерений.

Мы видели, что для представления нашего пространства плоское существо должно отказаться от одной из своих осей, и аналогично, чтобы представить высшие формы, мы должны отказаться от одной из наших трех осей.

Но существует другой вид отказа, который сводит построение высших форм к вопросу величайшей простоты.

Обычно мы имеем на прямой линии любое количество положений. Богатство пространства в положении безгранично, в то время как существует только три измерения.

Я предлагаю отказаться от этого богатства положений и рассмотреть фигуры, полученные путем взятия ровно стольких положений, сколько имеется измерений.

Таким образом, я рассматриваю измерения и положения как два «вида» и, применяя простое правило выбора каждого из одного вида с каждым другим из каждого другого вида, получаю серию фигур, которые примечательны тем, что они точно заполняют пространство любого количества измерений (как шестиугольник заполняет плоскость) путем равных повторений самих себя.

Правило станет более очевидным при простом применении.

Давайте рассмотрим одно измерение и одно положение. Я назову ось i, а положение — o.

———————————————- i o

Здесь фигура — это положение o на линии i. Возьмем теперь два измерения и два положения на каждом.

Fig. 63.

Мы имеем два положения o; 1 на i и два положения o, 1 на j, рис. 63. Они порождают определенную сложность. Я позволю двум линиям i и j встретиться в положении, которое я называю o на каждой, и я буду рассматривать i как направление, начинающееся одинаково из каждого положения на j, а j — как начинающееся одинаково из каждого положения на i. Мы таким образом получаем следующую фигуру: A — это и oi, и oj, B — это 1i и oj, и так далее, как показано на рис. 63b. Положения на AC — это все положения oi. Они, если мы хотим рассматривать это таким образом, являются точками на нулевом расстоянии в направлении i от линии AC. Мы можем назвать линию AC линией oi. Аналогично, точки на AB — это те, что находятся на нулевом расстоянии от AB в направлении j, и мы можем назвать их точками oj, а линию AB — линией oj. Опять же, линию CD можно назвать линией 1j, потому что точки на ней находятся на расстоянии 1 в направлении j.

Fig. 63b.

Мы имеем тогда четыре положения или точки, названные как показано, и, рассматривая направления и положения как «виды», мы имеем комбинацию двух видов с двумя видами. Теперь выбор каждого из одного вида с каждым другим из каждого другого вида будет означать, что мы берем 1 вида i и с ним o вида j; а затем, что мы берем o вида i и с ним 1 вида j.

Fig. 64.

Таким образом, мы получаем пару положений, лежащих на прямой линии BC, рис. 64. Мы можем назвать эту пару 10 и 01, если примем план мысленного добавления i к первому и j ко второму из символов, записанных таким образом — 01 является кратким выражением для Oi, 1j.

Fig. 65.

Переходя теперь к нашему пространству, мы имеем три измерения, поэтому мы берем три положения на каждом. Эти положения, я предполагаю, находятся на равных расстояниях вдоль каждой оси. Три оси и три положения на каждой показаны на прилагаемых диаграммах, рис. 65, из которых первая представляет куб с видимыми передними гранями, вторая — задние грани того же куба; положения я назову 0, 1, 2; оси — i, j, k. Я беру основание ABC в качестве отправной точки, от которой определяются расстояния в направлении k, и, следовательно, каждая точка в основании ABC будет положением ok, а основание ABC можно назвать плоскостью ok.

Таким же образом, измеряя расстояния от грани ADC, мы видим, что каждое положение в грани ADC является положением oi, и всю плоскость грани можно назвать плоскостью oi. Таким образом, мы видим, что с введением нового измерения значение составного символа, такого как «oi», меняется. В плоскости это означало линию AC. В пространстве это означает всю плоскость ACD.

Теперь очевидно, что у нас есть двадцать семь положений, каждое из которых названо. Если читатель проследит эту номенклатуру в отношении положений, отмеченных на рисунках, у него не возникнет трудностей с присвоением имен каждому из двадцати семи положений. A — это oi, oj, ok. Оно находится на расстоянии 0 вдоль i, 0 вдоль j, 0 вдоль k, и io можно записать кратко 000, где символы ijk опущены.

Точка непосредственно над ним — 001, ибо она находится на нулевом расстоянии в направлении i и на расстоянии 1 в направлении k. Опять же, глядя на B, она находится на расстоянии 2 от A, или от плоскости ADC, в направлении i, 0 в направлении j от плоскости ABD и 0 в направлении k, измеренном от плоскости ABC. Следовательно, это 200, записанное для 2i, 0j, 0k.

Теперь из этих двадцати семи «вещей» или соединений положения и измерения выберите те, которые даны правилом: каждый из одного вида с каждым другим из каждого другого вида.

Fig. 66.

Возьмите 2 вида i. С этим мы должны иметь 1 вида j, а затем по правилу мы можем иметь только 0 вида k, ибо если бы мы имели любой другой из вида k, мы бы повторили один из видов, который у нас уже был. В 2i, 1j, 1k, например, 1 повторяется. Точка, которую мы получаем, — это точка, отмеченная 210, рис. 66.

Fig. 67.

Действуя таким образом, мы выбираем следующий кластер точек, рис. 67. Они соединены линиями, пунктирными там, где они скрыты телом куба, и мы видим, что они образуют фигуру — шестиугольник, который можно было бы вынуть из куба и поместить на плоскость. Это фигура, которая заполнит плоскость путем равных повторений самой себя. Плоское существо, представляющее эту конструкцию в своей плоскости, взяло бы три квадрата, чтобы представить куб. Давайте предположим, что он берет оси ij в своем пространстве, а k представляет ось, выходящую из его пространства, рис. 68. В каждом из трех квадратов, показанных здесь как нарисованные отдельно, он мог бы выбрать точки, заданные правилом, и тогда ему пришлось бы попытаться обнаружить фигуру, определенную тремя проведенными линиями. Линия от 210 до 120 дана на рисунке, но линия от 201 до 102 или GK не дана. Он может определить GK, сделав другой набор рисунков и обнаружив в них, каково отношение между этими двумя конечностями.

Fig. 68.

Fig. 69.

Пусть он проведет оси i и k в своей плоскости, рис. 69. Ось j тогда уходит в сторону, и он получает прилагаемый рисунок. В первом из этих трех квадратов, рис. 69, он может по правилу выбрать две точки 201, 102 — G и K. Здесь они находятся в одной плоскости, и он может измерить расстояние между ними. В его первом представлении они находятся в точках G и K на отдельных рисунках.

Таким образом, плоское существо обнаружило бы, что концы каждой из линий удалены на расстояние, равное диагонали единичного квадрата, от соответствующего конца предыдущей, и тогда он смог бы расположить три линии в их правильном относительном положении. Соединив их, он получил бы фигуру шестиугольника.

Fig. 70.

Мы также можем заметить, что плоское существо могло бы одновременно создать представление всего куба. Три квадрата, показанные в перспективе на рис. 70, лежат в одной плоскости, и на них плоское существо могло бы выбрать любую совокупность точек так же легко, как и на трех отдельных квадратах. Он получил бы шестиугольник, соединив отмеченные точки. Этот шестиугольник, как он нарисован, имеет правильную форму, но это было бы не так, если бы вместо перспективы использовались реальные квадраты, поскольку отношение между отдельными квадратами, как они лежат на плоском рисунке, не является их реальным отношением. Однако фигура, построенная таким образом, дала бы ему представление о правильной фигуре, и он мог бы определить ее точно, помня, что расстояния в каждом квадрате были верными, но при переходе от одного квадрата к другому необходимо было учитывать их расстояние в третьем измерении.

Переходя теперь к фигуре, созданной путем выбора согласно нашему правилу из всей массы точек, заданных четырьмя осями и четырьмя положениями на каждой, мы должны сначала нарисовать каталожную фигуру, в которой показана вся совокупность.

Мы можем представить эту совокупность точек четырьмя твердыми фигурами. Первая дает все те положения, которые находятся на расстоянии 0 от нашего пространства в четвертом измерении, вторая показывает все те, которые находятся на расстоянии 1, и так далее.

Эти фигуры будут каждая кубами. Первые два нарисованы с показом передних граней, вторые два — задних граней. Мы отметим точки 0, 1, 2, 3, расставив точки на этих расстояниях вдоль каждой из этих осей, и предположим, что все точки, определенные таким образом, содержатся в твердых моделях, представителями которых являются наши чертежи на рис. 71. Здесь мы замечаем, что, как на плоскости 0i означало всю линию, от которой измерялись расстояния в направлении i, и как в пространстве 0i означает всю плоскость, от которой измеряются расстояния в направлении i, так теперь 0h означает все пространство, в котором стоит первый куб — отмеряя от этого пространства расстояние, равное единице, мы приходим ко второму представленному кубу.

Fig. 71.

Теперь, выбирая согласно правилу каждую точку одного вида с каждой другой точкой любого другого вида, мы должны взять, например, 3i, 2j, 1k, 0h. Эта точка отмечена 3210 у нижней звезды на рисунке. Она находится на расстоянии 3 в направлении i, 2 в направлении j, 1 в направлении k, 0 в направлении h.

With 3i we must also take 1j, 2k, 0h. This point is shown by the second star in the cube 0h.

Fig. 72.

В первом кубе, поскольку все точки являются точками 0h, мы можем иметь только такие варианты, в которых i, j, k сопровождаются 3, 2, 1.

Определенные точки отмечены на диаграмме рис. 72, и проведены линии, соединяющие соседние пары на каждой фигуре; линии пунктирные, когда они проходят внутри объема куба на первых двух диаграммах.

Напротив каждой точки, с той или другой стороны каждого куба, написано ее название. Будет замечено, что фигуры симметричны справа и слева; и справа и слева первые две цифры просто меняются местами.

Теперь, когда это наш выбор точек, какую фигуру они образуют, когда все они собраны в своих надлежащих относительных положениях?

Чтобы определить это, мы должны найти расстояние между соответствующими углами отдельных шестиугольников.

Fig. 73.

Чтобы сделать это, давайте сохраним оси i, j в нашем пространстве и нарисуем h вместо k, позволив k уходить в четвертое измерение, рис. 73.

Fig. 74.

Здесь у нас снова четыре куба, в первом из которых все точки являются точками 0k; то есть точками на расстоянии ноль в направлении k от пространства трех измерений ijh. У нас есть все точки, выбранные ранее, и некоторые из расстояний, которые на последней диаграмме вели от фигуры к фигуре, показаны здесь на той же самой фигуре и, таким образом, поддаются измерению. Возьмем, к примеру, точки 3120 и 3021, которые на первой диаграмме (рис. 72) лежат в первой и второй фигурах. Их фактическое отношение показано на рис. 73 в кубе, отмеченном 2K, где рассматриваемые точки отмечены *. Мы видим, что рассматриваемое расстояние — это диагональ единичного квадрата. Подобным образом мы находим, что расстояние между соответствующими точками любых двух шестиугольных фигур — это диагональ единичного квадрата. Общая фигура теперь легко конструируется. Представление о ней можно получить, нарисовав все четыре куба из каталожной фигуры в одном (рис. 74). Эти кубы являются точными повторениями друг друга, поэтому один чертеж послужит представлением всей серии, если мы позаботимся запомнить, где мы находимся, в фигуре 0h, 1h, 2h или 3h, когда выбираем нужные точки. Рис. 74 — это представление всех каталожных кубов, собранных в один. Для ясности передние и задние грани этого куба представлены отдельно.

Фигура, определенная выбранными точками, показана ниже.

При сборке сечений некоторые из их контуров исчезают. Линия TW, например, не нужна.

Мы замечаем, что PQTW и TWRS — это каждая половина шестиугольника. Теперь QV и VR лежат на одной прямой линии. Следовательно, эти два шестиугольника соединяются вместе, образуя один шестиугольник, и линия TW нужна только тогда, когда мы рассматриваем сечение всей фигуры; таким образом мы получаем тело, представленное в нижней части рис. 74. Равные повторения этой фигуры, называемой тетрадекагоном, заполнят трехмерное пространство.

Чтобы создать соответствующую четырехмерную фигуру, мы должны взять пять осей, взаимно перпендикулярных друг другу, с пятью точками на каждой. Каталог положений, определенных в пятимерном пространстве, можно найти таким образом.

Fig. 75.

Возьмем куб с пятью точками на каждой из его осей, пятая точка находится на расстоянии четырех единиц длины от первой на любой из осей. И поскольку четвертое измерение также простирается на расстояние четырех, нам потребуется представить последовательные наборы точек на расстояниях 0, 1, 2, 3, 4 в четвертом измерении — пять кубов. Теперь все они не простираются ни на какое расстояние в пятом измерении. Чтобы представить то, что лежит в пятом измерении, нам придется нарисовать, начиная от каждого из наших кубов, пять подобных кубов, чтобы представить четыре шага в пятом измерении. С помощью этой совокупности мы получаем каталог всех точек, показанных на рис. 75, где L представляет пятое измерение.

Теперь, как мы видели ранее, ничто не мешает нам поместить все кубы, представляющие различные стадии в четвертом измерении, в одну фигуру, если мы будем отмечать, когда смотрим на нее, рассматриваем ли мы ее как куб 0h, 1h, 2h и т. д. Соединив затем кубы 0h, 1h, 2h, 3h, 4h каждого ряда в один, мы получим пять кубов, стороны каждого из которых содержат пять положений; первый из этих пяти кубов представляет точки 0l и содержит в себе точки i от 0 до 4, точки j от 0 до 4, точки k от 0 до 4, в то время как мы должны уточнить в отношении любого выбора, который мы делаем из него, рассматриваем ли мы его как фигуру 0h, 1h, 2h, 3h или 4h. На рис. 76 каждый куб представлен двумя чертежами: один — передней части, другой — задней части.

Пусть тогда наши пять кубов будут расположены перед нами, и наш выбор будет сделан согласно правилу. Возьмем первую фигуру, в которой все точки являются точками 0l. Мы не можем иметь 0 с какой-либо другой буквой. Затем, оставаясь в первой фигуре, которая является фигурой положений 0l, возьмем прежде всего тот выбор, который всегда содержит 1h. Мы предполагаем, следовательно, что куб является кубом 1h, и в нем мы берем i, j, k в сочетании с 4, 3, 2 согласно правилу.

Фигура, которую мы получаем, — это шестиугольник, как показано, тот, что спереди. Точки справа имеют те же цифры, что и слева, с первыми двумя цифрами, поменянными местами. Затем, оставаясь по-прежнему в фигуре 0l, давайте предположим, что куб перед нами представляет сечение на расстоянии 2 в направлении h. Пусть все точки в нем рассматриваются как точки 2h. Тогда у нас есть область 0l, 2h, и остаются наборы ijk и 431. Мы должны затем выбрать в соответствии с нашим правилом все такие точки, как 4i, 3j, 1k.

Они показаны на рисунке, и мы обнаруживаем, что можем нарисовать их без путаницы, формируя второй шестиугольник спереди. Продолжая таким образом, можно увидеть, что в каждой из пяти фигур выделяется набор шестиугольников, которые, будучи сложенными вместе, образуют трехмерную фигуру, чем-то похожую на тетрадекагон.

Fig. 76.

Эти отдельные фигуры являются последовательными стадиями, в которых может быть воспринята вся четырехмерная фигура, в которой они связаны.

Первая и последняя фигуры — это тетрадекагоны. Это две из твердых границ фигуры. Другие твердые границы можно легко проследить. Некоторые из них являются полными от одной грани в фигуре до соответствующей грани в следующей, как, например, тело, которое простирается от шестиугольного основания первой фигуры до равного шестиугольного основания второй фигуры. Этот вид границы — шестиугольная призма. Шестиугольная призма также встречается в другой серийной последовательности сечений, как, например, в квадрате в нижней части первой фигуры, прямоугольнике в основании второй и квадрате в основании третьей фигуры.

Другие твердые границы можно проследить через четыре из пяти сеченных фигур. Так, взяв шестиугольник в верхней части первой фигуры, мы находим в следующей также шестиугольник, некоторые чередующиеся стороны которого удлинены. Верхняя часть третьей фигуры — это также шестиугольник с другим набором удлиненных чередующихся сторон, и, наконец, в четвертой фигуре мы приходим к правильному шестиугольнику.

Эти четыре сечения являются сечениями тетрадекагона, что можно распознать по сечениям этой фигуры, которые у нас были ранее. Следовательно, границы бывают двух видов: шестиугольные призмы и тетрадекагоны.

Эти четырехмерные фигуры точно заполняют четырехмерное пространство путем равных повторений самих себя.

ГЛАВА XI. НОМЕНКЛАТУРА И АНАЛОГИИ, ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ К ИЗУЧЕНИЮ ЧЕТЫРЕХМЕРНЫХ ФИГУР

На следующих страницах принят метод обозначения различных областей пространства с помощью систематической цветовой схемы. Объяснения даны таким образом, чтобы не ссылаться на модели; диаграмм будет достаточно. Но для облегчения изучения в приложении приведено описание набора моделей, которые читатель может либо изготовить сам, либо приобрести. Если используются модели, диаграммы в главах XI и XII послужат руководством, достаточным для указания их использования. Кубы цветов, обозначенных на диаграммах, следует подобрать и использовать для подкрепления диаграмм. Читателю в следующем описании следует предположить, что доска или стена простирается от него, против которой размещены фигуры.

Fig. 77.

Возьмите квадрат, один из тех, что показаны на рис. 77, и придайте ему нейтральный цвет; пусть этот цвет называется «нулевым» и будет таким, чтобы он не вносил заметных различий в любой цвет, с которым смешивается. Если такого реального цвета нет, давайте представим такой цвет и припишем ему свойства числа ноль, которое не вносит никаких изменений в любое число, к которому оно прибавляется.

Над этим квадратом поместите красный квадрат. Таким образом, мы символизируем движение вверх путем добавления красного к нулевому.

В стороне от этого нулевого квадрата поместите желтый квадрат и представьте движение в сторону путем добавления желтого к нулевому.

Fig. 78.

Чтобы завершить фигуру, нам нужен четвертый квадрат. Окрасьте его в оранжевый цвет, который является смесью красного и желтого, и поэтому соответствующим образом представляет движение в направлении, составленном из «вверх» и «в сторону». Таким образом, у нас есть цветовая схема, которая послужит для именования набора нарисованных квадратов. У нас есть две оси цветов — красная и желтая — и они могут занимать, как на рисунке, направление вверх и в сторону, или они могут быть повернуты; в любом случае они позволяют нам назвать четыре квадрата, нарисованные в их отношении друг к другу.

Теперь возьмите на рис. 78 девять квадратов и предположим, что в конце движения в любом направлении цвет, с которого начали, повторяется.

Мы получаем квадрат, названный так, как показано.

Давайте теперь, на рис. 79, предположим, что количество квадратов увеличивается, придерживаясь принципа раскраски, который уже использовался.

Здесь нулевых квадратов остается четыре. Между первым нулевым и нулевым над ним находятся три красных, между первым нулевым и нулевым за ним — три желтых, в то время как оранжевые увеличиваются двойным образом.