«Наследие Греции»

С другой стороны, Аристотель был членом Академии в течение двадцати лет, и это не могло не оставить на нем свой след. Это, несомненно, объясняет факт, который часто отмечался, что во всем мышлении Аристотеля есть две противоположные и несовместимые линии. С одной стороны, он полон решимости избегать всего «трансцендентного», и его неприязнь к пифагорейской и платоновской математике в основном связана с этим. С другой стороны, несмотря на свои придирчивые и иногда несправедливые критические замечания в адрес Платона, он, очевидно, очень восхищался им и находился под сильным его влиянием. Можно предположить, что тон его критических замечаний отчасти объясняется его раздражением от того, что он не мог стряхнуть с себя платонизм, что бы он ни делал. Это подтверждается тем фактом, что, когда он доходит до самой дальней точки, до которой его собственная система может его довести, он склонен прибегать к метафорам мифического или «трансцендентного» характера, к которым мы никак не подготовлены и объяснения которых нам не дается. Это особенно верно, когда он имеет дело с душой и первым двигателем. В целом его описание души — это просто развитие восточно-ионийских теорий, и мы чувствуем, что мы действительно далеки от платоновской концепции приоритета души над всем остальным. Но когда он говорит нам, что высшая и наиболее развитая форма души — это Ум, мы внезапно удивлены утверждением, что Ум в этом смысле является лишь пассивным, в то время как существует другая его форма, которая отделима от материи, и только она является бессмертной и вечной. Это породило бесконечные споры, которые нас здесь не касаются, но лучше всего интерпретировать это как непроизвольный всплеск платонизма, от которого Аристотель не мог полностью отказаться. Очень похож отрывок, где он пытается объяснить, как первый двигатель, хотя сам неподвижен, передает движение миру. «Он движет его как нечто любимое», — говорит он нам и оставляет нас самих разбираться с этим. И все же мы не можем не чувствовать, что в таких отрывках мы подходим гораздо ближе к убеждениям, которые действительно волновали Аристотеля, чем где-либо еще. В глубине души он платоник вопреки самому себе.

Отношение Аристотеля к практической жизни также зависит от Платона. В десятой книге «Этики» он ставит требования Созерцательной Жизни даже выше, чем когда-либо делал Платон, так что практическая жизнь кажется лишь вспомогательной по отношению к ней. Он не чувствует в той же степени, что и Платон, призыва к философу снова спуститься в Пещеру ради заключенных там, и в целом он кажется гораздо более равнодушным к практическим интересам жизни. Тем не менее, он последовал примеру Платона, уделив много времени изучению политики, и притом с отчетливо практической целью подготовки законодателей. Его часто критиковали за то, что он не увидел, что дни города-государства сочтены, и за то, как он игнорирует возвышение имперской монархии в лице своего собственного ученика Александра Македонского. Это, однако, не совсем справедливо. Аристотель питал здоровую неприязнь к принцам и дворам, и город-государство все еще привлекал его как нормальная форма политической организации. Он не мог поверить, что она когда-либо будет вытеснена, и хотел внести свой вклад в ее лучшее управление. У него, по сути, был гораздо более консервативный взгляд, чем у Платона, который был склонен думать вместе с Исократом, что возрождение монархии — это единственное, что может сохранить эллинизм при тогдашнем положении дел. Мы должны помнить, что Аристотель сам не был гражданином какого-либо свободного государства и что от него вряд ли можно было ожидать тех же политических инстинктов, что и у Платона, который принадлежал по рождению к правящим классам Афин и унаследовал либеральные традиции Перикловой эпохи. Это лучше всего проявляется, пожалуй, в отношении двух философов к вопросу о рабстве. В «Законах», которые имеют дело с существующими условиями, Платон, конечно, признает de facto существование рабства, хотя он очень чувствителен к его опасностям и вносит много законодательных предложений с целью их смягчения. В «Государстве», с другой стороны, где нет нужды беспокоиться о существующих условиях, он заставляет Сократа нарисовать для нас общество, в котором, по-видимому, вообще нет рабов. Аристотель также стремится смягчить худшие злоупотребления рабством, но он оправдывает этот институт как постоянный соображением, что варвары — это «рабы по природе» и что в их собственных интересах быть «живыми орудиями». Эта настойчивость на фундаментальном различии между греками и варварами должна была показаться анахронизмом многим современникам Аристотеля, и она была прямо осуждена Платоном как ненаучная.

Непосредственным эффектом отвержения Аристотелем платоновской математики был тот, который он, безусловно, ни предвидел, ни намеревался. Это был разрыв между философией и наукой. Математическая наука, осознавал это Аристотель или нет, все еще была в расцвете своей первой молодости, и математики были взволнованы достижениями последнего поколения, чтобы попытаться решить еще более высокие проблемы. Если Ликей отвернулся от них, они были вполне готовы продолжать академическую традицию самостоятельно, и они преуспели на некоторое время сверх всяких ожиданий. III век до н. э. был, по сути, Золотым веком греческой математики, и было высказано предположение, что это произошло благодаря эмансипации математики от философии. Если бы это было правдой, было бы очень важно для нас знать это; но, я думаю, можно показать, что это неправда. Великие математики III века, безусловно, продолжали традицию своих предшественников, которые были философами, а также математиками, и неудивительно, что они смогли делать это некоторое время. Но действительно поразительный факт, безусловно, заключается в том, что греческая математика стала бесплодной в сравнительно короткое время и что никакого дальнейшего прогресса не было сделано до дней Декарта и Лейбница, с которыми философия и математика снова пошли рука об руку.

Не менее катастрофическим был эффект этого развода и для самой философии. Теофраст продолжил работу Аристотеля в духе Аристотеля и основал науку ботанику, как его предшественник основал зоологию, но перипатетическая школа практически вымерла вместе с ним и имела очень мало влияния до тех пор, пока изучение Аристотеля не было возрождено много позже неоплатониками.

В настоящее время развод науки и философии был полным. Стоики и эпикурейцы оба, действительно, имели научную систему, но их философия ни в коем случае не была основана на ней. Отношение Эпикура к науке особенно хорошо выражено. Он не проявлял к ней никакого интереса как таковой, но использовал ее как инструмент, чтобы освободить людей от религиозного страха, которому он приписывал человеческое несчастье. Для этой цели наука Академии, которая вела к теологии, была явно непригодна, и, как истинный восточный иониец, каким он был, Эпикур вернулся к атомной теории Демокрита, добавив к ней, однако, некоторые вещи, которые на самом деле превращали ее в бессмыслицу, такие, например, как теория абсолютного веса и легкости, которой, к сожалению, учил Аристотель. Стоики тоже были материалистами и находили такую науку, какая им была нужна, в системе Гераклита, хотя они также приняли для полемических целей многое из логики Аристотеля, стараясь, однако, изменить его терминологию. Обе эти школы, по сути, оставаясь верными идее философии как обращения, забыли, что в свои лучшие дни она всегда основывалась на науке. Именно это, несомненно, больше всего рекомендовало стоицизм и эпикуреизм римлянам, которые никогда по-настоящему не интересовались наукой. И стоицизм, и эпикуреизм имели практическую привлекательность, хотя и разного рода, и это послужило тому, чтобы завоевать им доверие в Риме.

Академия, которую основал Платон, продолжала существовать, хотя она была отвлечена от своей первоначальной цели не более чем через поколение после смерти Платона. Математика, как мы видели, стала независимой, и самой насущной необходимостью того времени была, безусловно, критика нового догматизма, который ввели стоики. Это было на самом деле продолжением одной стороны платонизма, и не самой маловажной. Действительно, Академия представляется нам на этом расстоянии времени в основном как школа скептицизма, но мы должны помнить, что ее скептицизм был направлен исключительно на чувственный мир, в отношении которого отношение самого Платона не было принципиально иным. Настоящие скептики всегда отказывались признавать, что академики были скептиками в собственном смысле этого слова, и возможно, что традиция собственно платонизма никогда не была полностью прервана. Во всяком случае, к I веку до н. э. мы начинаем замечать, что стоицизм имеет тенденцию становиться все более платоническим. Изучение «Тимея» Платона снова вошло в моду, и комментарий, который Посидоний (ок. 100 г. до н. э.) написал к нему, оказал большое влияние на развитие философии вплоть до конца Средневековья. Именно этот период эклектизма отражен для нас в философских сочинениях Цицерона. Он имел большое значение для истории цивилизации, но он далек от духа подлинной греческой философии. Она была мертва в то время и не ожила до III века нашей эры, когда платонизм был возрожден в Риме Плотином.

Только совсем недавно историки греческой философии начали отдавать должное «неоплатонизму». Это отчасти связано с современными философскими тенденциями, отмеченными в начале этой статьи, а отчасти с историческими исследованиями философии Средневековья, которая все больше рассматривается как зависящая в основном от неоплатонизма, вплоть до системы св. Фомы Аквинского включительно. Фактически, самым решающим фактом в истории западноевропейской цивилизации было то, что Плотин основал свою школу в Риме, а не в Афинах или Александрии; ибо именно так Западная Европа стала настоящим наследником философии Греции. Все знают, конечно, что Плотин был «мистиком», но этот термин склонен внушать совершенно неверные идеи о нем. О нем часто до сих пор говорят как о человеке, который привнес восточные идеи в греческую философию, и популярно считается, что он был египтянином. Это крайне маловероятно; и если бы это было правдой, это только сделало бы еще более примечательным то, что, хотя он, безусловно, учился в Александрии в течение одиннадцати лет, он даже не упоминает религию Исиды, которая была так модна в Риме в его дни и которая очаровала такого подлинного грека, как Плутарх, несколькими поколениями ранее. Нет сомнений, что то, чему Плотин верил, что учит, было подлинным платонизмом и что он подготовил себя к этой задаче тщательным изучением Аристотеля и даже стоицизма, насколько это служило его цели. Несомненно, он был слишком великим человеком, чтобы стать лишь рупором чужой мысли; но, несмотря на это, он был законным преемником Платона, и можно добавить, что М. Робен, который взял на себя трудную задачу извлечения подлинной философии Платона из сочинений Аристотеля, пришел к выводу, что в Платоне гораздо больше «неоплатонизма», чем иногда предполагают.

Плотин — мистик, тогда, хотя совсем не в том смысле, в котором этот термин часто используется неправильно. Он предлагает своим ученикам «образ жизни», который ведет по ступеням к высшей жизни из всех, но это как раз то, что делали Пифагор и Платон, и это лишь продолжение традиции, которая восходит у греков к VI веку до н. э., почти за тысячу лет до времени Плотина. Его цель, как и цель его предшественников, — обращение душ к этому образу жизни, и он отличается от таких мыслителей, как стоики и эпикурейцы, тем, что считает, что «образ жизни», к которому он их призывает, должен быть основан снова на систематическом учении о Боге, Мире и Человеке. Результатом стало то, что развод, существовавший веками между наукой и философией, был снова аннулирован. Мы не можем сказать, действительно, что сам Плотин проводил какое-либо специальное изучение математики, но нет никаких сомнений в том, что его последователи делали это, и именно благодаря им, и особенно Проклу, мы знаем о греческой математике столько, сколько знаем. Прокл был действительно систематизатором учения Плотина, хотя он расходится с ним по некоторым пунктам, и его влияние на более позднюю философию невозможно переоценить. Его можно отчетливо проследить даже у Декарта, к которому оно дошло по ряду каналов, изучение которых недавно было предпринято французским ученым, профессором Жильсоном из Страсбургского университета. Когда его исследования будут завершены, преемственность греческой и современной философии станет ясно видна, и роль, которую сыграл платонизм в формировании современного европейского сознания, станет очевидной. Мы тогда поймем лучше, чем когда-либо, почему греческая философия является предметом вечного интереса.

История греческой философии — это, по сути, история нашего собственного духовного прошлого, и невозможно понять настоящее, не принимая ее во внимание. В частности, платоновская традиция лежит в основе всей западной цивилизации. Именно в Риме, как было указано, преподавал Плотин, и именно в некоторых латинских переводах сочинений его школы св. Августин нашел основу для христианской философии, которую он искал. Именно великий авторитет Августина в Латинской церкви сделал платонизм ее официальной философией на столетия. Полная ошибка полагать, что мышление Средневековья доминировалось авторитетом Аристотеля. Только в XIII веке Аристотель был известен вообще, и даже тогда его изучали в свете платонизма, точно так же, как это делали Плотин и его последователи. Только в самом конце Средневековья он приобрел то преобладание, которое произвело столь сильное впечатление на последующие века. Именно из платоновской традиции пришла и наука раннего Средневековья. Значительная часть «Тимея» Платона была переведена на латынь в IV веке Кальцидием с очень подробным комментарием, основанным на древних источниках, в то время как «Утешение философией», написанное в тюрьме римским платоником Боэцием в 525 г. н. э., было легко самой популярной книгой Средневековья. Она была переведена на английский Альфредом Великим и Чосером, а также на многие другие европейские языки. Именно на этих основах был построен французский платонизм XII века, и особенно платонизм Шартрской школы, и влияние этой школы в Англии было действительно очень велико. Имена Гроссетеста и Роджера Бэкона могут быть просто упомянуты в этой связи, и нетрудно было бы показать, что особый характер вклада, который английские писатели смогли внести в науку и философию, в значительной мере объясняется этим влиянием.

Но интерес к греческой философии не только исторический; он полон наставлений и для будущего. Со времен Локка философия была склонна ограничиваться дискуссиями о природе знания и оставлять вопросы о природе мира специалистам. История греческой философии показывает опасность этого неестественного разделения области мысли, и чем больше мы изучаем ее, тем больше будем чувствовать потребность в более всестороннем взгляде. «Философия человеческих вещей», как называли ее греки, — это лишь один отдел среди других, а теория познания — лишь один отдел этого. Если изучать ее в отрыве от целого, она неизбежно станет однобокой. Из греческой философии мы также можем узнать, что фатально отделять спекуляцию от служения человечеству. Мысль о том, что философия может быть так изолирована, была бы совершенно непонятна любому из великих греческих мыслителей, и больше всего, пожалуй, платоникам, которых часто обвиняют в этой самой ереси. Прежде всего, мы можем извлечь из греческой философии первостепенную важность того, что мы называем личностью, а они называли душой. Именно потому, что греки осознавали это, подлинно эллинская идея обращения играла столь большую роль в их мышлении и в их жизни. Это, прежде всего, урок, который они должны преподать, и именно поэтому сочинения их великих философов все еще имеют силу обращать души всех, кто воспримет их учение со смирением.

Дж. Бернет.

МАТЕМАТИКА И АСТРОНОМИЯ

Справедливо замечено, что если мы хотим изучить какой-либо предмет должным образом, мы должны изучать его как нечто живое и развивающееся, рассматривая его в связи с его ростом в прошлом. Поскольку большинство жизненных сил и движений современной цивилизации зародились в Греции, это означает, что для их надлежащего изучения мы должны вернуться к Греции. То же самое касается литературы современных стран, их философии или искусства; мы не можем изучать их с решимостью докопаться до сути и понять их, если путь в конечном итоге не указывает на Грецию.

Когда мы думаем о долге, который человечество имеет перед греками, мы склонны слишком исключительно думать о шедеврах литературы и искусства, которые они нам оставили. Но греческий гений был многогранен; грек с его ненасытной тягой к знаниям, решимостью видеть вещи такими, какие они есть, и видеть их в целом, с его жгучим желанием уметь дать рациональное объяснение всему на небе и на земле, был столь же непреодолимо влеком к естественным наукам, математике и точному мышлению в целом, или логике.

Цитируя блестящий обзор одной известной работы: «Быть греком — значит стремиться познать, познать первооснову материи, познать смысл числа, познать мир как рациональное целое. Без всякого парадокса можно сказать, что Евклид — самый типичный грек: он хотел досконально познать и познать как рациональную систему законы измерения земли. Платон тоже любил геометрию и чудеса чисел; он был по существу греком, потому что был по существу математиком... И если кто-то таким образом находит греческий гений в Евклиде и „Второй аналитике“, он поймет девиз, написанный над Академией: μηδεις αγεωμετρητος εισιτω. Чтобы узнать, что означал греческий гений, вы должны (если можно говорить εν αινιγματι) начать с геометрии».

Математика, безусловно, играет важную роль в греческой философии: например, существует много отрывков у Платона и Аристотеля, для интерпретации которых первостепенно важно знание техники греческой математики. Следовательно, частью подготовки каждого классика должно быть чтение существенных частей работ греческих математиков в оригинале, скажем, некоторых ранних книг Евклида полностью и определений (по крайней мере) других книг, а также избранных отрывков из других авторов. Фон Виламовиц-Мёллендорф включил в свой Griechisches Lesebuch отрывки из Евклида, Архимеда и Герона Александрийского; и этому примеру следует последовать в нашей стране.

Знакомство с оригинальными работами греческих математиков не менее необходимо для любого математика, достойного этого имени. Математика — это греческая наука. Что касается чистой геометрии, то технический инструментарий математика почти полностью греческий. Греки заложили принципы, установили терминологию и изобрели методы ab initio; более того, они сделали это с такой уверенностью, что в прошедшие с тех пор столетия не было необходимости реконструировать, а тем более отвергать как несостоятельную какую-либо существенную часть их доктрины.

Рассмотрим сначала терминологию математики. Почти все стандартные термины являются греческими или латинскими переводами с греческого, и, хотя математика могут научить их значению без знания греческого, он, безусловно, лучше поймет их смысл, если будет знать их происхождение как часть живого языка людей, которые их изобрели. Возьмем слово isosceles (равнобедренный); школьнику можно показать, что такое равнобедренный треугольник, но если он ничего не знает о происхождении, он будет удивляться, почему такой, казалось бы, странный термин необходим для выражения столь простой идеи. Но если один лишь вид слова покажет ему, что оно означает вещь с равными ногами, будучи составленным из ισος (равный) и σκελος (нога), он поймет его уместность и без труда запомнит. Equilateral (равносторонний), с другой стороны, заимствовано из латыни, но это лишь латинский перевод греческого ισοπλευρος (равносторонний). Parallelogram (параллелограмм) также можно объяснить человеку, не знающему греческого, но гораздо лучше его поймет тот, кто видит в нем два слова παραλληλος и γραμμη и осознает, что это краткий способ выражения того, что рассматриваемая фигура ограничена параллельными линиями; и мы лучше всего поймем само слово parallel (параллельный), если увидим в нем утверждение факта, что две прямые линии, описанные таким образом, идут рядом друг с другом, παρ’ αλληλας, на всем протяжении. Аналогично, математик должен знать, что rhombus (ромб) назван так из-за своего сходства с формой волчка (ῥομβος от ῥεμβω — вращать) и что, подобно тому как параллелограмм — это фигура, образованная двумя парами параллельных прямых, так parallelepiped (параллелепипед) — это объемная фигура, ограниченная тремя парами параллельных плоскостей (παραλληλος — параллельный и επιπεδος — плоскость); кстати, в последнем случае он избавится от написания «parallelopiped», чудовища, которое обезобразило немало учебников геометрии. Еще один хороший пример — слово hypotenuse (гипотенуза); оно происходит от глагола ὑποτεινειν (с ὑπο и вин. или простым вин.), что означает «натягивать под», или, в латинской форме, subtend (стягивать), этот термин используется вполне обще для обозначения «быть напротив»; в нашей фразеологии слово hypotenuse ограничено той стороной прямоугольного треугольника, которая находится напротив прямого угла, будучи сокращением выражения, используемого в Евклидовых «Началах» I. 47, ἡ την ορθην γωνιαν ὑποτεινουσα πλευρα, «сторона, стягивающая прямой угол», что объясняет женскую форму причастия ὑποτεινουσα (гипотенуза). Если бы математики лучше знали греческий, возможно, неправильно написанная форма «hypothenuse» не сохранилась бы так долго.

Чтобы привести пример вне «Начал», как математик может правильно понять термин latus rectum (прямая сторона), используемый в конических сечениях, если он не видел его у Аполлония как «прямую сторону» (ορθια πλευρα) определенного прямоугольника в случае каждого из трех конических сечений? [3] Слово ordinate (ордината) вряд ли может что-то сказать тому, кто не знает, что это то, что Аполлоний описывает как «прямая линия, проведенная вниз (из точки на кривой) предписанным или упорядоченным образом (τεταγμενως κατηγμενη)». Asymptote (асимптота) опять же происходит от ασυμπτωτος — «не встречающийся», «не пересекающийся», и у греков имела более общее значение, а также более узкое, которое она имеет для нас: иногда она использовалась для параллельных линий, которые также «не встречаются».

Опять же, если мы возьмем учебник геометрии, написанный в соответствии с самым современным циркуляром Совета по образованию или университетской программой, мы обнаружим, что используемая фразеология (за исключением случаев, когда она становится более разговорной и менее научной) почти вся является чистым греческим языком. Греческий язык был необычайно хорошо приспособлен в качестве средства научного мышления. Одной из характеристик языка Евклида, которую его комментатор Прокл больше всего любит подчеркивать, является его удивительная точность (ακριβεια). Язык греческих геометров также удивительно лаконичен, вопреки всем внешним признакам. Одна из жалоб, часто предъявляемых Евклиду, заключается в том, что он «многословен». Тем не менее (помимо сокращений при письме) обнаружится, что изложение соответствующих вопросов в современных элементарных учебниках обычно занимает не меньше, а больше места. И, не говоря уже о совершенной отделке трактатов Архимеда, мы найдем у Герона, Птолемея и Паппа подлинные образцы краткого изложения. Чисто геометрическое доказательство Герона формулы площади треугольника Δ=√{s(s-a) (s-b) (s-c)} и геометрические предложения в Книге I «Синтаксиса» Птолемея (включая «Теорему Птолемея») являются тому примерами.

Принципы геометрии и арифметики (в смысле теории чисел) изложены во вводной части Книг I и VII Евклида. Но Евклид не был их первооткрывателем; они постепенно развивались со времен Пифагора и далее. Аристотель ясно понимает природу принципов и их классификацию. Каждая доказательная наука, говорит он, имеет дело с тремя вещами: предметом, доказываемыми вещами и вещами, из которых начинается доказательство (εξ ὡν). Не все можно доказать, иначе цепь доказательств была бы бесконечной; вы должны с чего-то начать, и вы должны начать с вещей, которые признаны, но недоказуемы. Это, во-первых, принципы, общие для всех наук, которые называются аксиомами или общими мнениями, например, что «из двух противоречий одно должно быть истинным» или «если от равных отнять равные, остатки будут равны»; во-вторых, принципы, специфичные для предмета конкретной науки, скажем, геометрии. Первыми среди последних принципов являются определения; должно быть согласие относительно того, что мы подразумеваем под определенными терминами. Но определение ничего не утверждает о существовании или несуществовании определяемой вещи. Существование различных определяемых вещей должно быть доказано, за исключением нескольких первичных вещей в каждой науке, существование которых недоказуемо и должно быть принято среди первых принципов науки; так, в геометрии мы должны принять существование точек и линий, а в арифметике — единицы. Наконец, мы должны принять некоторые другие вещи, которые менее очевидны и не могут быть доказаны, но все же должны быть приняты; они называются постулатами, потому что они требуют веры от обучающегося. Постулаты Евклида относятся к этому типу, особенно тот, который известен как постулат о параллельных.

Методы решения задач, несомненно, сначала применялись в частных случаях, а затем постепенно систематизировались; технические термины для них, вероятно, были изобретены позже, после того как сами методы стали общепринятыми.

Одним из методов решения было сведение (reduction) одной задачи к другой. Это называлось απαγωγη, термин, который, по-видимому, впервые встречается у Аристотеля. Но примеры такого сведения встречались задолго до этого. Гиппократ Хиосский свел задачу об удвоении куба к задаче о нахождении двух средних пропорциональных в непрерывной пропорции между двумя прямыми линиями, то есть он показал, что если последняя задача может быть решена, то тем самым решена и первая; и вполне вероятно, что еще более ранние случаи были в пифагорейской геометрии.

Далее идет метод математического анализа. Говорят, что этот метод был «сообщен» или «объяснен» Платоном Леодамасу с Тасоса; но, подобно сведению (к которому он тесно примыкает), анализ в математическом смысле должен был использоваться гораздо раньше. Анализ и его коррелят синтез определяются Паппом: «в анализе мы предполагаем то, что ищется, как если бы оно было уже сделано, и мы спрашиваем, из чего это следует, и опять, какова предшествующая причина последнего, и так далее, пока, прослеживая наши шаги назад, мы не наткнемся на что-то уже известное или принадлежащее к классу принципов. Но в синтезе, обращая процесс, мы берем как уже сделанное то, к чему пришли в конце анализа, и, располагая в естественном порядке как следствия то, что раньше было антецедентами, и последовательно соединяя их друг с другом, мы в конечном итоге приходим к построению того, что искалось».

Метод reductio ad absurdum (доказательство от противного) является разновидностью анализа. Исходя из гипотезы, а именно противоречия тому, что мы хотим доказать, мы используем тот же процесс анализа, перенося его назад, пока не придем к чему-то заведомо ложному или абсурдному. Аристотель описывает этот метод различными способами как reductio ad absurdum, доказательство per impossibile или доказательство, ведущее к невозможному. Но и здесь, хотя термин был новым, метод — нет. Парадоксы Зенона являются классическими примерами.

Наконец, греки установили форму изложения, которая до сих пор управляет геометрической работой, просто потому, что она продиктована строгой логикой. Это видно в предложениях Евклида с их отдельными формальными делениями, которым впоследствии были присвоены специфические названия: (1) формулировка (προτασις), (2) изложение (εκθεσις), (3) διορισμος, являющийся переформулировкой того, что мы должны сделать или доказать, не в общих терминах (как в формулировке), а со ссылкой на конкретные данные, содержащиеся в изложении, (4) построение (κατασκευη), (5) доказательство (αποδειξις), (6) заключение (συμπερασμα). В случае задачи часто случается, что решение невозможно, если конкретные данные не удовлетворяют определенным условиям; в этом случае в предложении есть еще одна составная часть, а именно указание условий или пределов возможности, которая называлась тем же именем διορισμος, определение или ограничение, что и та, которая применялась к третьей составной части теоремы.

Мы до сих пор пытались указать в общих чертах завершенность и непреходящую ценность работы, проделанной создателями математической науки. Остается кратко, насколько это возможно, подвести итоги истории греческой математики по периодам и предметам.

Греки, конечно, брали то, что могли, в виде элементарных фактов геометрии и астрономии у египтян и вавилонян. Но некоторые из существенных характеристик греческого гения проявляются даже в их заимствованиях из этих или других источников. Здесь, как и везде, мы видим их прямоту и концентрацию; они всегда знали, чего хотели, и у них был безошибочный инстинкт брать только то, что стоило иметь, и отвергать остальное. Это иллюстрируется историей путешествий Пифагора. Он общался со жрецами и пророками и был посвящен в религиозные обряды, практикуемые в разных местах, не из религиозного энтузиазма, «как вы могли бы подумать» (говорит наш информатор), а для того, чтобы не упустить ни одного фрагмента знания, достойного приобретения, который мог бы скрываться в таинствах божественного поклонения.

Эта история также иллюстрирует важное преимущество, которое греки имели перед египтянами и вавилонянами. В тех странах наука, какой бы она ни была, была монополией жрецов; и там, где это так, первые шаги в науке склонны оказаться и последними, потому что достигнутые научные результаты имеют тенденцию становиться вовлеченными в религиозные предписания и рутинные обряды, и, таким образом, заканчиваться собранием безжизненных формул. К счастью для греков, у них не было организованного жречества; не стесненные предписаниями, традиционными догмами или суевериями, они могли дать своим мыслительным способностям свободный ход. Таким образом, они смогли создать науку как живую вещь, способную к развитию без ограничений.

Греческая геометрия, как и греческая астрономия, начинается с Фалеса (около 624-547 гг. до н. э.), который путешествовал по Египту и, как говорят, привез оттуда геометрию. Такая геометрия, какая была в Египте, возникла из практических потребностей. Доход собирался путем налогообложения земельной собственности, и его оценка зависела от точного установления границ различных владений. Когда они удалялись периодическим наводнением из-за разлива Нила, необходимо было заменить их или определить налогооблагаемую площадь независимо от них с помощью искусства землемерия. Мы заключаем из папируса Ринда (скажем, 1700 г. до н. э.) и других документов, что египетская геометрия состояла главным образом из практических правил измерения с большей или меньшей точностью: (1) таких площадей, как квадраты, треугольники, трапеции и круги, (2) объема мер зерна и т. д. различной формы. Египтяне также строили пирамиды определенного наклона с помощью арифметических расчетов, основанных на определенном соотношении, se-qeṭ, а именно отношении половины стороны основания к высоте, что фактически эквивалентно котангенсу угла наклона. Использование этого соотношения подразумевает понятие подобия фигур, особенно треугольников. Египтяне также знали, что треугольник со сторонами в соотношении чисел 3, 4, 5 является прямоугольным, и использовали этот факт как средство для проведения прямых углов. Но нет никаких признаков того, что они знали общее свойство прямоугольного треугольника (= Евклид I. 47), частным случаем которого это является, или что они доказали какую-либо общую теорему в геометрии.

Несомненно, Фалес, находясь в Египте, видел диаграммы, нарисованные для иллюстрации правил измерения кругов и других плоских фигур, и эти диаграммы наводили его на мысли о некоторых сходствах и конгруэнтностях, которые заставляли его задуматься, нет ли каких-то элементарных общих принципов, лежащих в основе построения и отношений различных фигур и частей фигур. Это соответствовало бы греческому инстинкту к обобщению и их желанию уметь объяснять все на рациональных принципах.

Следующие теоремы приписываются Фалесу: (1) что круг делится пополам любым диаметром (Евклид I, Опр. 17), (2) что углы при основании равнобедренного треугольника равны (Евклид I. 5), (3) что, если две прямые линии пересекают друг друга, вертикально противоположные углы равны (Евклид I. 15), (4) что, если два треугольника имеют соответственно равные два угла и одну сторону, треугольники равны во всех отношениях (Евклид I. 26). Говорят (5), что он первым вписал прямоугольный треугольник в круг, что должно означать, что он первым обнаружил, что угол в полукруге является прямым углом (ср. Евклид III. 31).

Сколь бы элементарными ни были эти вещи, они представляют собой новый шаг значительного рода, будучи первыми шагами к теории геометрии. По этому вопросу мы не можем сделать ничего лучше, чем процитировать некоторые замечания из предисловия Канта ко второму изданию его «Критики чистого разума».

«Математика с самых ранних времен, к которым восходит история человеческого разума, (то есть) у этого удивительного народа — греков, шла верным путем науки. Но не следует полагать, что математике было так же легко, как логике, где разум имеет дело только с самим собой, найти, или, скорее, построить для себя этот королевский путь. Я считаю, напротив, что в математике долгое время оставался случай блуждания — египтяне, в частности, все еще находились на этой стадии — и что это преобразование должно быть приписано революции, вызванной счастливым озарением одного человека при попытке эксперимента, с какого момента путь, который должен быть пройден, уже нельзя было упустить, и верный путь науки был проложен и намечен на все времена и на безграничные расстояния... Свет озарил первого человека, который доказал свойство равнобедренного треугольника (будь его имя Фалес или кто угодно)...»

Фалес также решил две задачи практического рода: (1) он показал, как измерить расстояние до корабля в море, и (2) он нашел высоту пирамид с помощью теней, отбрасываемых на землю пирамидой и палкой известной длины в один и тот же момент; в одном из описаний говорится, что он выбрал время, когда длины палки и ее тени были равны, но в любом случае он рассуждал по подобию треугольников.

В астрономии Фалес предсказал солнечное затмение, которое, вероятно, было затмением 28 мая 585 г. до н. э. Теперь вавилоняне, в результате наблюдений, продолжавшихся столетиями, открыли период в 223 лунации, после которого затмения повторяются. Поэтому весьма вероятно, что Фалес слышал об этом периоде и что его предсказание основывалось на нем. Далее говорят, что он использовал Малую Медведицу для нахождения полюса, открыл неравенство четырех астрономических сезонов и написал работы «О равноденствии» и «О солнцестоянии».

После Фалеса идут пифагорейцы. О пифагорейцах Аристотель говорит, что они посвятили себя изучению математики и были первыми, кто продвинул эту науку, дойдя до того, что нашли в принципах математики принципы всех существующих вещей. О самом Пифагоре нам говорят, что он придавал огромное значение изучению арифметики, продвигая ее и выводя из области практической пользы, и опять же, что он превратил изучение геометрии в свободное образование, исследуя принципы науки с самого начала.

Само слово μαθηματα, которое первоначально означало «предметы обучения» в целом, как говорят, было впервые присвоено математике пифагорейцами.

Говоря, что арифметика началась с Пифагора, мы должны различать использование этого слова тогда и сейчас. Αριθμητικη у греков отличалась от λογιστικη, науки о вычислениях. Именно последнее слово охватывало бы арифметику в нашем смысле, или практическое вычисление; термин αριθμητικη был ограничен наукой о числах, рассматриваемых самих по себе, или, как мы бы сказали, теорией чисел. Другой способ выразить это различие состоял в том, чтобы сказать, что αριθμητικη имела дело с абсолютными числами или числами в абстракции, а λογιστικη — с «пронумерованными вещами» или конкретными числами; таким образом, λογιστικη включала простые задачи о количестве яблок, чаш или объектов в целом, такие как те, что встречаются в Греческой антологии и иногда включают простые алгебраические уравнения.

Теория чисел, таким образом, началась с Пифагора (около 572-497 гг. до н. э.). Она включала определения единицы и числа, а также классификацию и определения различных классов чисел: нечетных, четных, простых, составных и подразделений этих, таких как нечетно-четные, четно-четные и т. д. Опять же, были фигурные числа, а именно: треугольные числа, квадраты, прямоугольные числа, многоугольные числа (пятиугольники, шестиугольники и т. д.), соответствующие соответственно плоским фигурам, и пирамидальные числа, кубы, параллелепипеды и т. д., соответствующие объемным фигурам в геометрии. Обработка была в основном геометрической, числа представлялись точками, заполняющими геометрические фигуры различных видов. Были установлены законы формирования различных фигурных чисел. В этом исследовании важную роль играл гномон. Первоначально означавший вертикальную иглу солнечных часов, термин затем использовался для фигуры, похожей на столярный угольник, а затем был применен к фигуре такой формы, помещенной вокруг двух сторон квадрата и составляющей больший квадрат. Арифметическое применение термина было аналогичным. Если мы представим единицу одной точкой и поместим вокруг нее три точки таким образом, что четыре образуют углы квадрата, три — это первый гномон. Пять точек, помещенных на равных расстояниях вокруг двух сторон квадрата, содержащего четыре точки, составляют следующий квадрат (3²), и пять — это второй гномон. В общем, если у нас есть n² точек, расположенных так, чтобы заполнить квадрат со стороной n, гномон, который нужно поместить вокруг него, чтобы составить следующий квадрат (n+1)², имеет 2n+1 точек. При формировании квадратов, следовательно, последовательные гномоны — это ряд нечетных чисел, следующих за 1 (первый квадрат), а именно 3, 5, 7... При формировании прямоугольных чисел (чисел вида n(n+1)), первое из которых 1.2, последовательные гномоны — это члены после 2 в ряду четных чисел 2, 4, 6... Треугольные числа формируются путем добавления к 1 (первый треугольник) членов после 1 в ряду натуральных чисел 1, 2, 3...; поэтому они являются гномонами (по аналогии) для треугольников. Гномоны для пятиугольных чисел — это члены после 1 в арифметической прогрессии 1, 4, 7, 10... (с 3, или 5-2, в качестве общей разности) и так далее; общая разность последовательных гномонов для a-угольного числа равна a-2.

Из ряда гномонов для квадратов мы легко выводим формулу для нахождения квадратных чисел, которые являются суммой двух квадратов. Ибо, поскольку гномон 2n+1 является разностью между последовательными квадратами n² и (n+1)², нам остается только сделать 2n+1 квадратом. Предположим, что 2n+1=m²; следовательно, n=½(m²-1), и {½(m²-1)}²+m²={½(m²+1)}², где m — любое нечетное число. Это формула, фактически приписываемая Пифагору.

Говорят, что Пифагор открыл теорию пропорциональных или пропорцию. Это была числовая теория и поэтому была применима только к соизмеримым величинам; она, несомненно, была в некотором роде в духе Евклида, Книга VII. С теорией пропорции была связана теория средних, и Пифагор был знаком с тремя из них: арифметическим, геометрическим и субконтрарным (впоследствии названным гармоническим). В частности, говорят, что Пифагор ввел из Вавилона в Грецию «самую совершенную» пропорцию, а именно:

a:(a+b)/2=2ab/(a+b):b,

где второй и третий члены являются соответственно арифметическим и гармоническим средним между a и b. Частным случаем является 12:9=8:6.

Это относится к тому, что, вероятно, было величайшим открытием Пифагора, а именно к тому, что музыкальные интервалы соответствуют определенным арифметическим отношениям между длинами струн при одинаковом натяжении, октава соответствует отношению 2:1, квинта — 3:2, а кварта — 4:3. Поскольку эти отношения такие же, как у 12 к 6, 8, 9 соответственно, мы можем понять, как третий член, 8, в вышеуказанной пропорции стал называться «гармоническим» средним между 12 и 6.

Пифагорейская арифметика в целом, с разработками, сделанными после времени самого Пифагора, в основном известна нам через «Введение в арифметику» Никомаха, комментарий Ямвлиха к нему и работу Теона Смирнского «Изложение математических предметов, полезных для чтения Платона». Вещи в этих книгах, наиболее заслуживающие внимания, следующие.

Во-первых, это описание «совершенного» числа (числа, которое равно сумме всех своих частей, т. е. всех своих целых делителей, включая 1, но исключая само число), с утверждением свойства, что все такие числа заканчиваются на 6 или 8. Четыре таких числа, а именно 6, 28, 496, 8128, были известны Никомаху. Закон формирования таких чисел впервые встречается в Евклиде IX. 36, доказывающем, что если сумма (Sn) n членов ряда 1, 2, 2², 2³... является простым числом, то Sn.2n-1 является совершенным числом.

Во-вторых, Теон Смирнский дает закон формирования ряда «стороновых» и «диагональных» чисел, которые удовлетворяют уравнениям 2x²-y²=±1. Закон зависит от предложения, доказанного в Евклиде II. 10, о том, что (2x+y)²-2(x+y)²=2x²-y², откуда следует, что если x, y удовлетворяют любому из вышеуказанных уравнений, то 2x+y, x+y является решением в больших числах другого уравнения. Последовательные решения дают значения для y/x, а именно 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29..., которые являются последовательными приближениями к значению √2 (отношение диагонали квадрата к его стороне). Поводом для этого метода приближения к √2 (который можно продолжать сколько угодно) стало открытие пифагорейцами несоизмеримого или иррационального в этом частном случае.

В-третьих, Ямвлих упоминает открытие Тимарида, пифагорейца не позднее времени Платона, называемое επανθημα («цветение») Тимарида, и сводящееся к решению любого количества одновременных уравнений следующего вида:

x+x1 + x2 + ... + xn-1 = s, x + x1 = a1, x + x2 = a2, .... x+xn-1 = an-1,

решение которого x=((a1+a2+...+an-1)-s)/(n-2).

Правило сформулировано в общих чертах, но вышеприведенное представление его эффекта показывает, что это кусок чистой алгебры.

Пифагорейские вклады в геометрию были еще более замечательными. Самое известное предложение, приписываемое самому Пифагору, — это, конечно, теорема Евклида I. 47 о том, что квадрат на гипотенузе любого прямоугольного треугольника равен сумме квадратов на двух других сторонах. Но Прокл также приписывает ему, помимо теории пропорциональных, построение «космических фигур», пяти правильных тел.

Одно из упомянутых тел, додекаэдр, имеет двенадцать правильных пятиугольников в качестве граней, а построение правильного пятиугольника включает деление прямой линии «в крайнем и среднем отношении» (Евклид II. 11 и VI. 30), что является частным случаем метода, известного как приложение площадей. Этот метод был полностью разработан пифагорейцами и оказался одним из самых мощных во всей греческой геометрии. Самый элементарный случай появляется в Евклиде I. 44, 45, где показано, как приложить к данной прямой линии в качестве основания параллелограмм с одним углом, равным данному углу, и равный по площади любой данной прямолинейной фигуре; это построение является геометрическим эквивалентом арифметического деления. Общий случай — это тот, в котором параллелограмм, хотя и приложен к прямой линии, перекрывает ее или не доходит до нее таким образом, что часть параллелограмма, которая выходит за пределы или не доходит до параллелограмма того же угла и ширины на данной прямой линии как основании, подобна любому данному параллелограмму (Евклид VI. 28, 29). Это геометрический эквивалент решения самой общей формы квадратного уравнения ax±mx²=C, насколько оно имеет действительные корни; условие того, что корни могут быть действительными, также было разработано (= Евклид VI. 27). Именно в форме «приложения площадей» Аполлоний получает фундаментальное свойство каждого из конических сечений, и, как мы увидим, именно из терминологии приложения площадей Аполлоний взял три названия: парабола, гипербола и эллипс, которые он первым дал этим трем кривым.

Другой задачей, решенной пифагорейцами, было построение прямолинейной фигуры, которая была бы равна по площади одной данной прямолинейной фигуре и подобна другой. Плутарх упоминает сомнение, была ли это задача или теорема Евклида I. 47, по поводу которой, как говорили, Пифагор принес в жертву быка.

Основные частные применения теоремы о квадрате на гипотенузе, например, те, что в Евклиде, Книга II, были также пифагорейскими; построение квадрата, равного данному прямоугольнику (Евклид II. 14), является одним из них и соответствует решению чистого квадратного уравнения x²=ab.

Пифагорейцы знали свойства параллелей и доказали теорему о том, что сумма трех углов любого треугольника равна двум прямым углам.

Как мы видели, пифагорейская теория пропорции, будучи числовой, была неадекватной в том смысле, что она не применялась к несоизмеримым величинам; но с этой оговоркой мы можем сказать, что пифагорейская геометрия охватывала основную часть предмета Книг I, II, IV и VI «Начал» Евклида. Случай менее ясен в отношении Книги III «Начал»; но, поскольку основные предложения этой Книги были известны Гиппократу Хиосскому во второй половине V века до н. э., мы заключаем, что они также были частью пифагорейской геометрии.

Наконец, пифагорейцы открыли существование несоизмеримого или иррационального в частном случае диагонали квадрата по отношению к его стороне. Аристотель упоминает древнее доказательство несоизмеримости диагонали со стороной путем reductio ad absurdum, показывающее, что если бы диагональ была соизмерима со стороной, то следовало бы, что одно и то же число является и нечетным, и четным. Это доказательство, несомненно, было пифагорейским.

Следует добавить слово о пифагорейской астрономии. Пифагор первым высказал мнение, что земля (и, несомненно, каждое из других небесных тел также) имеет сферическую форму, и он знал, что солнце, луна и планеты имеют независимые движения, противоположные суточному вращению; но он, по-видимому, сохранил землю в центре. Его преемники в школе (одному Гикету из Сиракуз и Филолаю попеременно приписывают это новшество) фактически отказались от геоцентрической идеи и заставили землю, подобно солнцу, луне и другим планетам, вращаться по кругу вокруг «центрального огня», в котором пребывал управляющий принцип, упорядочивающий и направляющий движение вселенной.

Геометрия, о которой мы до сих пор говорили, принадлежит к «Началам». Но до того, как корпус «Начал» был завершен, греки продвинулись дальше «Начал». Ко второй половине V века до н. э. они исследовали три знаменитые задачи высшей геометрии: (1) квадратура круга, (2) трисекция любого угла, (3) удвоение куба. Великие имена, принадлежащие к этому периоду, — Гиппий Элидский, Гиппократ Хиосский и Демокрит.

Гиппий Элидский изобрел определенную кривую, описываемую путем объединения двух равномерных движений (одного углового и другого прямолинейного), занимающих одно и то же время для завершения. Сам Гиппий использовал свою кривую для трисекции любого угла или деления его в любом отношении; но впоследствии она использовалась Диностратом, братом ученика Евдокса Менехма, и Никомедом для квадратуры круга, откуда она получила название τετραγωνιζουσα, квадратриса.

Гиппократ Хиосский упоминается Аристотелем как пример того, что человек может быть выдающимся геометром и в то же время глупцом в обычных делах жизни. Он занимает важное место как в элементарной геометрии, так и в отношении двух вышеупомянутых высших задач. Он был, насколько известно, первым составителем книги «Начал»; и он первым доказал важную теорему Евклида XII. 2 о том, что круги относятся друг к другу как квадраты на их диаметрах, из чего он далее вывел, что подобные сегменты кругов относятся друг к другу как квадраты на их основаниях. Эти предложения были использованы им в его трактате о квадратуре луночек, который должен был привести к квадратуре круга. Существенные части трактата сохранились в отрывке комментария Симпликия к «Физике» Аристотеля, который содержит существенные выдержки из утраченной «Истории геометрии» Евдема. Гиппократ показал, как квадратировать три частные луночки разных видов, и затем, наконец, он квадратировал сумму круга и определенной луночки. К сожалению, последняя упомянутая луночка не была одной из тех, которые можно квадратировать, так что попытка квадратировать круг таким образом в конце концов провалилась.

Гиппократ также взялся за задачу удвоения куба. Существует две версии происхождения этой знаменитой задачи. Согласно одной истории, старый трагический поэт представил Миноса недовольным размером кубической гробницы, воздвигнутой для его сына Главка, и приказавшим архитектору сделать ее вдвое больше, сохранив кубическую форму. Другая история гласит, что делийцы, страдая от чумы, обратились к оракулу и получили приказ удвоить определенный алтарь как средство прекращения чумы. Гиппократ действительно не решил задачу удвоения, но свел ее к другой, а именно к нахождению двух средних пропорциональных в непрерывной пропорции между двумя данными прямыми линиями; и задача с тех пор всегда решалась в этой форме. Если x, y — две искомые средние пропорциональные между двумя прямыми линиями a, b, то a:x=x:y=y:b, откуда b/a=(x/a)³, и, как частный случай, если b=2a, x³=2a³, так что, когда x найдено, куб удвоен.

Демокрит написал большое количество математических трактатов, названия которых только и сохранились. Мы заключаем из одного из этих названий, «Об иррациональных линиях и телах», что он писал об иррациональных числах. Демокрит осознавал так же полно, как Зенон, и выразил с не меньшей остротой трудность, связанную с непрерывным и бесконечно малым. Это видно из его дилеммы о круговом основании конуса и параллельном сечении; сечение, которое он имеет в виду, — это сечение, «бесконечно близкое» (как говорится) к основанию, т. е. самое следующее сечение, как мы могли бы сказать (если бы оно было). Равно ли оно, сказал Демокрит, основанию или не равно? Если оно равно, то будет равно и самое следующее сечение к нему, и так далее, так что конус будет на самом деле не конусом, а цилиндром. Если оно не равно основанию и фактически меньше, поверхность конуса будет зазубренной, как ступеньки, что очень абсурдно. Мы можем быть уверены, что работа Демокрита «О касании круга или сферы» обсуждала подобную трудность.

Наконец, Архимед говорит нам, что Демокрит первым заявил, хотя и не смог дать строгого доказательства, что объем конуса или пирамиды составляет одну треть объема цилиндра или призмы соответственно на том же основании и имеющих равную высоту, теоремы, впервые доказанные Евдоксом.

Мы подходим теперь ко времени Платона, и здесь великие имена — Архит, Феодор Киренский, Теэтет и Евдокс.

Архит (около 430-360 гг. до н. э.) писал о музыке и числовых отношениях, соответствующих интервалам тетрахорда. Говорят, что он первым написал трактат по механике, основанный на математических принципах; с практической стороны он изобрел механического голубя, который мог летать. В геометрии он дал первое решение задачи о двух средних пропорциональных, используя удивительную конструкцию в трех измерениях, которая определяла определенную точку как пересечение трех поверхностей: (1) определенного конуса, (2) полуцилиндра, (3) анкерного кольца или тора с внутренним диаметром, равным нулю.

Феодор, учитель математики Платона, расширил теорию иррационального, доказав несоизмеримость в некоторых частных случаях, отличных от случая диагонали квадрата по отношению к его стороне, который был уже известен. Он доказал, что сторона квадрата, содержащего 3 квадратных фута, или 5 квадратных футов, или любое неквадратное число квадратных футов до 17, несоизмерима с одним футом, другими словами, что √3, √5... √17 все несоизмеримы с 1. Доказательство Феодора, очевидно, не было общим; и Теэтету было суждено охватить все эти иррациональности в одном определении и доказать свойство в общем виде, как оно доказано в Евклиде X. 9. Большая часть содержания остальной части Книги X Евклида (имеющей дело с составными иррациональностями), как и Книги XIII о пяти правильных телах, была заслугой Теэтета, которому даже приписывают открытие двух из этих тел (октаэдра и икосаэдра).

Платон (427-347 гг. до н. э.), вероятно, не был оригинальным математиком, но он «заставил математику в целом и геометрию в частности сделать большой шаг вперед благодаря своему энтузиазму к ним». Он поощрял членов своей школы специализироваться на математике и астрономии; например, нам говорят, что в астрономии он поставил задачу всем серьезным студентам найти, «каковы равномерные и упорядоченные движения, посредством допущения которых можно объяснить видимые движения планет». В собственных трудах Платона встречаются определенные определения, например, прямой линии как «той, у которой середина покрывает концы», и некоторые интересные математические иллюстрации, особенно та, что во втором геометрическом отрывке в «Меноне» (86E-87C). Самому Платону приписываются (1) формула (n²-1)²+(2n)²=(n²+1)² для нахождения двух квадратных чисел, сумма которых является квадратным числом, (2) изобретение метода анализа, который, как говорят, он объяснил Леодамасу с Тасоса (математический анализ, однако, безусловно, на практике применялся задолго до этого). Решение, приписываемое Платону, задачи о двух средних пропорциональных с помощью рамки, напоминающей ту, которую сапожник использует для измерения стопы, вряд ли может быть его.

Евдокс (408-355 гг. до н. э.), оригинальный гений, не уступающий никому (если не считать Архимеда) в истории нашего предмета, сделал два открытия первостепенной важности для дальнейшего развития греческой геометрии.

(1) Как мы видели, открытие несоизмеримого сделало неадекватной пифагорейскую теорию пропорции, которая применялась только к соизмеримым величинам. Несомненно, было бы возможно в большинстве случаев заменить доказательства, зависящие от пропорций, другими; но это влекло за собой большие неудобства, и на геометрию в целом была брошена тень. Проблема была решена раз и навсегда открытием Евдоксом великой теории пропорции, применимой как к соизмеримым, так и к несоизмеримым величинам, которая изложена в Книге V Евклида. Справедливо Барроу мог сказать об этой теории, что «во всем корпусе начал нет ничего более тонкого изобретения, ничего более солидно установленного». Краеугольным камнем структуры является определение равных отношений (Евклид V, Опр. 5); и двадцать три столетия не убавили ни йоты от его ценности, что ясно из того факта, что Вейерштрасс повторяет его слово в слово как свое определение равных чисел, и оно почти до точки совпадения соответствует современному подходу к иррациональным числам, принадлежащему Дедекинду.