«Логика случая»

Можно заметить, что везде, где серьезные практические последствия зависят от должного обеспечения желаемой случайности, всегда принимаются меры к тому, чтобы никакой замысел, неловкость или бессознательная односторонность не нарушили результат. Основной случай здесь, конечно, предоставляют азартные игры. Что нам нужно, когда мы бросаем игральную кость, так это обеспечить, чтобы все числа от 1 до 6 в долгосрочной перспективе выпадали одинаково часто, но чтобы никто не мог предсказать отдельный случай. Мы могли бы в нашей постановке задачи с таким же успехом постулировать «число, задуманное наугад», как и «выстрел, произведенный наугад», но никто не стал бы рисковать своим выигрышем или проигрышем в предположении, что это будет сделано с постоянной честностью. Соответственно, мы изготавливаем кость, грани которой точно одинаковы, и обнаруживается, что мы можем делать с ней почти все что угодно на любом этапе, предшествующем ее выходу из стаканчика для костей на стол, не нарушая случайного характера результата.

§ 6. II. Еще одна характеристика, в которой научная концепция, как мне кажется, отходит от популярного или первоначального значения, заключается в следующем. Область распределения, которую мы принимаем во внимание, должна быть конечной или ограниченной. Необходимость этого ограничения может быть не очевидна на первый взгляд, но рассмотрение одного или двух примеров послужит указанием на тот момент, когда она дает о себе знать. Предположим, кого-то попросили выбрать число наугад не из конечного диапазона, а из неисчерпаемых возможностей счета. В популярном смысле этого термина — т. е. произнесения числа без паузы для выбора — нет никакой сложности. Но минутное размышление покажет, что никакое расположение, даже стремящееся к окончательно равномерному распределению, не может быть обеспечено таким образом. Никакое среднее значение не могло бы быть выведено с постоянно возрастающей устойчивостью. То же самое касается пространственной бесконечности. Мы можем рационально говорить о выборе точки наугад на данной прямой, площади или в объеме. Но если мы предположим, что линия не имеет конца, или выбор делается в бесконечном пространстве, основа для окончательной тенденции к тому, что можно назвать одинаково плотным отложением наших случайных точек, полностью нас подводит.

Точно так же и в любом другом примере, в котором одна из величин не ограничена. Предположим, я бросаю палку наугад в горизонтальной плоскости в ряд железных перил и спрашиваю о вероятности того, что она пройдет сквозь них, не задев их. Задача имеет некоторую аналогию с задачей о шахматных фигурах, и, поскольку речь идет о поступательном движении палки (если мы начнем с этого), она не представляет сложности. Но что касается вращения, то дело обстоит иначе. Для любой заданной линейной скорости существует определенная угловая скорость, ниже которой палка может пройти без контакта, но выше которой она не может. И поскольку первый диапазон ограничен, а второй — нет, мы сталкиваемся с той же невозможностью, что и раньше, пытаясь представить равномерное распределение. Конечно, мы могли бы избежать этой конкретной трудности, начав с оценки угловой скорости, когда нам пришлось бы повторить то, что только что было сказано, mutatis mutandis, в отношении линейной скорости.

§ 7. Я, конечно, осознаю, что существует множество распространенных задач, которые, по-видимому, противоречат только что сказанному, но все они поддаются объяснению. Например: какова вероятность того, что три прямые линии, взятые или проведенные наугад, будут иметь такую длину, что позволят образовать треугольник? Есть два способа, которыми мы можем рассматривать эту задачу. Мы можем, во-первых, начать с предположения о трех линиях, не превышающих определенной длины n, а затем определить, к какому пределу стремится вероятность по мере того, как n бесконечно возрастает. Или же мы можем утверждать, что вопрос заключается лишь в относительном соотношении трех линий. Тогда мы можем начать с любой величины, которую пожелаем, чтобы представить одну из линий (для простоты, скажем, самую длинную из них), и считать, что все возможные формы треугольника будут представлены путем изменения длин двух других. В любом случае мы получаем определенный результат без необходимости пытаться представить какой-либо случайный выбор из бесконечности возможных длин.

Так и в том, что называется «задачей о трех точках»: три точки в пространстве выбираются наугад; найти вероятность того, что они образуют остроугольный треугольник. Что делается, так это начинается с замкнутого объема — скажем, сферы, из-за ее превосходной простоты — находится вероятность (в предположении равномерного распределения внутри этого объема), а затем предполагается непрерывное увеличение этой сферы без предела. В таком рассмотрении задача совершенно последовательна и понятна, хотя я не вижу, почему ее следует называть случайным выбором в пространстве, а не в сфере. Конечно, если бы мы начали с другого объема, скажем, куба, мы получили бы другой результат; и поэтому утверждается (например, г-ном Крофтоном в Educational Times, как уже упоминалось), что бесконечное пространство более естественно и уместно рассматривать как то, к чему стремятся путем увеличения сферы, чем путем увеличения куба или любой другой фигуры.

Далее: группа целых чисел берется наугад; показать, что число, взятое таким образом, скорее всего, будет нечетным, чем четным. Что мы делаем, отвечая на это, так это начинаем с любого конечного числа n и показываем, что из всех возможных комбинаций, которые могут быть сделаны в этом диапазоне, нечетных больше, чем четных. Поскольку это верно независимо от величины n, мы склонны говорить так, как если бы могли представить себе выбор, сделанный наугад из истинной бесконечности, рассматриваемой в счете.

§ 8. Там, где эти условия не могут быть обеспечены, мне кажется, что попытка приписать вероятности какое-либо конечное значение терпит неудачу. Например, в следующей задаче, предложенной г-ном Дж. М. Уилсоном: «Три прямые линии проведены наугад на бесконечной плоскости, и четвертая линия проведена наугад так, чтобы пересечь их: найти вероятность того, что она пройдет через треугольник, образованный тремя другими» (Ed. Times, Reprint, том V, стр. 82), он предлагает следующее решение: «Из четырех линий две должны, а две не должны проходить внутри треугольника, образованного остальными тремя. Поскольку все они проведены наугад, вероятность того, что последняя проведенная линия пройдет через треугольник, образованный тремя другими, следовательно, равна 1/2».

Я привожу это решение, потому что оно, как мне кажется, иллюстрирует трудность, на которую я хочу обратить внимание. Поскольку задача сформулирована именно так, предполагается, что треугольник задан тремя прямыми линиями. Каким бы большим он ни был, его размер не имеет никакого конечного отношения к бесконечно большей области вне его; и, насколько я могу дать какое-либо понятное толкование этому предположению, вероятность проведения четвертой случайной линии, которая случайно пересекла бы эту конечную область, должна считаться равной нулю. Задача, которую решил г-н Уилсон, кажется мне совершенно другой, а именно: «Даны четыре пересекающиеся прямые линии, найти вероятность того, что мы наугад выберем ту, которая проходит через треугольник, образованный тремя другими».

Та же трудность, как мне кажется, возникает в большинстве других попыток применить эту концепцию случайности к реальной бесконечности. Следующее кажется точным аналогом вышеприведенной задачи: число выбрано наугад, найти вероятность того, что другое число, выбранное наугад, будет больше первого; ответ, безусловно, должен заключаться в том, что вероятность равна единице, т. е. достоверности, потому что диапазон выше любого заданного числа бесконечно больше, чем диапазон ниже него. Или, выражаясь на единственном языке, на котором я могу понять термин «бесконечность», я имею в виду следующее. Если первое число равно m, и я ограничен выбором до n (n > m), то вероятность превышения m равна (n - m) : n; если я ограничен 2n, то она равна (2n - m) : 2n и так далее. То есть, какими бы большими ни были n и m, выражение всегда понятно; но, поскольку m выбрано первым, n может быть сделано настолько больше m, насколько мы пожелаем: т. е. вероятность может быть сделана приближающейся к единице настолько, насколько мы пожелаем.

Я не могу не думать, что существует аналогичная ошибка в удивительно наводящей на размышления статье Де Моргана о бесконечности (Camb. Phil. Trans., том 11), когда он обсуждает «задачу о трех точках», т. е. даны три точки, взятые наугад, найти вероятность того, что они образуют остроугольный треугольник. Все, что он показывает, это то, что если мы начнем с одной заданной стороны и рассмотрим последующие возможные положения противоположной вершины, то существует бесконечно много таких положений, которые образуют остроугольный треугольник, как и тупоугольный: но, как и прежде, это решение другой задачи.

§ 9. Наиболее близкий подход, который я могу сделать к истинной неопределенной случайности, или случайному выбору из истинной неопределенности, заключается в следующем. Предположим, есть круг с касательной линией, продолженной бесконечно в каждом направлении. Теперь из центра проведем радиусы наугад; другими словами, пусть полуокружность, которая лежит по направлению к касательной, будет в конечном счете равномерно пересекаться радиусами. Пусть эти радиусы затем будут продолжены так, чтобы пересечь касательную линию, и рассмотрим распределение этих точек пересечения. Мы получим в результате одну характеристику нашего случайного распределения; т. е. никакая часть этой касательной, как бы мала или как бы удалена она ни была, не окажется в конечном счете в положении любой малой части тротуара при нашем предполагаемом непрерывном дожде. То есть любой такой элементарный участок будет становиться все более и более густо усеянным точками пересечения. Но другая существенная характеристика, а именно характеристика окончательно равномерного распределения, будет отсутствовать. Будет существовать особая форма распределения — то, что фактически должно быть обсуждено в будущей главе под названием «закон ошибок» — в силу которой концентрация будет стремиться быть наибольшей в определенной точке (точке контакта с кругом) и будет редеть отсюда в каждом направлении согласно легко вычисляемой формуле. Существование такого положения вещей совершенно противоречит концепции истинной случайности.

§ 10. III. Помимо определений и того, что из них следует, пожалуй, самый важный вопрос, связанный с концепцией случайности, заключается в следующем: как в любом данном случае мы должны определить, следует ли считать наблюдаемое расположение случайным или нет? Этот вопрос должен быть более полно обсужден в будущей главе, но мы уже в состоянии увидеть путь решения некоторых трудностей, связанных с ним.

(1) Если предполагается, что рассматриваемые события или объекты продолжаются бесконечно, или если мы знаем достаточно о способе, которым они осуществляются, чтобы обнаружить их окончательную тенденцию — или даже, не доходя до этого, если они достаточно многочисленны, чтобы не поддаваться практическому подсчету, — то нет большой трудности. Мы просто сталкиваемся с вопросом факта, который должен быть решен, как и другие вопросы факта. В случае с каплями дождя наблюдайте за двумя равными квадратами тротуара или другими поверхностями и отметьте, становятся ли они все более густо, равномерно и ровно усеянными: если становятся, то расположение является тем, что мы называем случайным. Если я хочу знать, действительно ли курительная трубка ломается наугад, и поэтому послужила бы иллюстрацией задачи, предложенной несколько страниц назад, мне нужно только уронить достаточное их количество и посмотреть, одинаково ли представлены в долгосрочной перспективе куски всех возможных длин. Или я могу рассуждать дедуктивно, исходя из того, что я знаю о прочности материалов и молекулярном строении таких тел, относительно того, одинаково ли вероятно возникновение изломов малых и больших кусков.

§ 11. Внимание читателя должно быть тщательно направлено на источник путаницы здесь, возникающий из-за определенного перекрестного деления. То, что мы сейчас обсуждаем, — это вопрос факта, а именно природа определенного окончательного расположения; мы не обсуждаем конкретный способ, которым оно достигается. Другими словами, антитеза заключается в том, что является и что не является случайным: это не антитеза между тем, что случайно, и тем, что задумано. Как мы увидим через несколько мгновений, вполне возможно, что расположение, которое является результатом — если бы когда-либо что-то было таковым — «замысла», может тем не менее представлять безошибочный отпечаток случайности расположения.

Рассмотрим случай, который много обсуждался и к которому мы еще вернемся: расположение звезд. Вопрос здесь несколько усложняется тем фактом, что мы ничего не знаем о фактическом взаимном положении звезд, все, что мы можем принять к сведению, — это их кажущиеся или видимые места, спроецированные на поверхность предполагаемой сферы. Апеллируя к тому, что мы можем таким образом наблюдать, очевидно, что расположение в целом не является случайным. Млечный Путь и другие разрешимые туманности, какими они предстают перед нами, являются таким же очевидным нарушением такого расположения, каким было бы появление здесь и там участков земли во время дождя, которые получили гораздо больше капель, чем окружающие их пространства. Если мы оставим эти исключительные области вне вопроса и рассмотрим только те звезды, которые видны невооруженным глазом или при небольшом телескопическом увеличении, кажется столь же несомненным, что расположение является, по большей части, довольно репрезентативным случайным. Под этим мы не подразумеваем ничего, кроме того факта, что когда мы отмечаем любое количество равных областей на видимой сфере, они содержат приблизительно одинаковое количество звезд.

Фактическое расположение звезд в пространстве также может быть того же характера: то есть кажущаяся более плотная агрегация может быть только кажущейся, возникающей из-за того, что мы смотрим через области, которые не более густо заселены, а просто более обширны. Альтернатива перед нами, фактически, такова. Если весь объем, так сказать, звездного неба довольно правилен по форме, то расположение звезд не является случайным; если этот объем очень неправилен по форме, возможно, что расположение внутри него может быть повсюду такого порядка.

§ 12. (2) Когда рассматриваемое расположение включает лишь сравнительно небольшое количество событий или объектов, становится гораздо труднее определить, следует ли его называть случайным. Фактически мы должны изменить нашу позицию и решать не на основе того, что было фактически наблюдаемо, а на основе того, что, как мы имеем основания заключить, наблюдалось бы, если бы мы могли продолжать наше наблюдение гораздо дольше. Это вводит то, что называется «обратной вероятностью», т. е. определение природы причины по природе наблюдаемого следствия; вопрос, который будет полностью обсужден в будущей главе. Но некоторые вводные замечания могут быть удобно сделаны здесь.

Каждая задача вероятности, как этот предмет понимается здесь, вводит концепцию окончательного предела и, следовательно, предполагает неопределенную возможность повторения. Когда перед нами только конечное число случаев, прямое доказательство характера их расположения подводит нас, и мы должны вернуться к природе агентства, которое их производит. И по мере того, как число становится меньше, уверенность, с которой мы можем оценить природу агентства, постепенно уменьшается.

Начнем с промежуточного случая. Есть небольшая лужайка, усеянная маргаритками: является ли это случайным расположением? Мы чувствуем некоторую уверенность в том, что это так, при простом осмотре; подразумевая под этим, что (отрицательно) не прослеживается никаких следов какого-либо регулярного узора и (положительно), что если мы возьмем любую умеренно малую область, скажем, квадратный ярд, мы обнаружим примерно одинаковое количество растений, включенных в нее. Но мы можем помочь себе, апеллируя к известному агентству распределения здесь. Мы знаем, что маргаритка распространяется семенами, и, учитывая влияние ветра и постоянное подметание и стрижку лужайки, мы можем обнаружить действующие причины, которые аналогичны тем, которыми регулируется раздача карт и подбрасывание игральных костей.

В вышеприведенном случае апелляция к процессу производства была вспомогательной, но когда мы переходим к рассмотрению природы очень небольшой последовательности или группы, эта апелляция становится гораздо более важной. Пусть нам расскажут о некоторой последовательности «орлов» и «решек» в количестве десяти. Диапазон здесь слишком мал для решения, и если нам не скажут, подбрасывал ли агент, который их получил, или задумывал, мы совершенно не в состоянии сказать, следует ли применять обозначение «случайный» к полученному результату. Никогда нельзя забывать истину, что хотя «замысел» обязательно потерпит неудачу в долгосрочной перспективе, если он попытается непосредственно создать подобие случайности, все же на короткий срок он может имитировать ее идеально. Любая короткая последовательность, скажем, орлов и решек, могла быть с равным успехом получена как подбрасыванием, так и преднамеренным выбором.

§ 13. Читатель заметит, что этот вопрос о случайности здесь рассматривается просто как вопрос окончательного статистического факта. Я полностью признал, что это не примитивная концепция и не популярная интерпретация, но принятие ее кажется единственным курсом, открытым для нас, если мы хотим делать выводы, подобные тем, что рассматриваются в вероятности. Когда мы смотрим на производящее агентство окончательного расположения, мы можем обнаружить, что оно очень различно. Оно может оказаться (несколько этапов назад) результатом сознательной преднамеренной цели, как при вытягивании карты или подбрасывании кости: оно может быть результатом чрезвычайно сложного взаимодействия многих естественных причин, как при расположении цветов, разбросанных по лужайке или лугу: оно может быть такого рода, о котором мы буквально ничего не знаем, как в случае с фактическим расположением звезд относительно друг друга.

Это было положение вещей, имевшееся в виду, когда несколько страниц назад было сказано, что случайность и замысел приведут к чему-то вроде перекрестного деления. Можно упомянуть множество расположений, к которым приложил руку замысел, этап или два назад, которые были бы совершенно неотличимы по своим результатам от тех, в которых нельзя было проследить никакого замысла. Пожалуй, самый яркий случай здесь можно найти в расположении цифр в одной из естественных арифметических констант, таких как π или e, или в таблице логарифмов. Если мы посмотрим на процесс получения этих цифр, нельзя найти более крайнего примера того, что мы подразумеваем под антитезой случайности: каждая цифра имеет свое обязательно предопределенное положение, и минутное ослабление намерения разрушило бы всю цель вычислителя. И все же, если мы смотрим только на результаты, нельзя найти лучшего примера, чем один из этих рядов цифр, если бы он предназначался для иллюстрации того, что мы практически понимаем под случайным расположением ряда объектов. Каждая цифра встречается приблизительно одинаково часто, и эта тенденция развивается по мере того, как мы продвигаемся дальше: взаимное соположение цифр также показывает ту же тенденцию, то есть любая цифра (скажем, 5) так же часто сопровождается 6 или 7, как и любой из других. Фактически, если бы мы взяли весь ряд до сих пор вычисленных цифр, отсекли первые пять как знакомые нам всем и рассмотрели остальные, ни у кого не было бы ни малейшего основания предполагать, что они не получились как результаты броска кости с десятью равными гранями.

§ 14. Если спросить, почему это так, возникает довольно озадачивающий вопрос. Везде, где замешана физическая причинность, мы, как правило, считаем, что удовлетворили требование, подразумеваемое в этом вопросе, если укажем антецеденты, за которыми будет регулярно следовать событие перед нами; но в геометрии и арифметике нет места для антецедентов. То, что мы тогда обычно ищем, — это демонстрация, т. е. разрешение наблюдаемого факта в аксиомы, если возможно, или, во всяком случае, в признанные истины большей общности. Я не знаю, можно ли дать демонстрацию существования этой характеристики статистической случайности в таких последовательностях цифр, как рассматриваемые. Но следующие замечания могут послужить для того, чтобы переложить бремя невероятности, предположив, что преобладание аналогии скорее в пользу существования.

Возьмем для рассмотрения хорошо известную константу π. Она обозначает величину, которая проявляется в огромном количестве арифметических и геометрических отношений; возьмем для исследования наиболее известное из них, рассматривая ее как отношение окружности к диаметру круга. В таком рассмотрении это не что иное, как простой случай измерения величины произвольно выбранной единицей. Представьте тогда, что перед нами стержень или линия, и мы хотим измерить ее с абсолютной точностью. Мы должны предположить — если мы хотим иметь подходящий аналог определению π до нескольких сотен цифр, — что путем применения постоянно более высокого увеличительного стекла мы можем обнаружить все более тонкие подразделения в градуировке. Мы прикладываем наш стержень к шкале и обнаруживаем, скажем, что он попадает между 31 и 32 дюймами; затем мы смотрим на следующее деление шкалы, т. е. на деление на десятые доли дюйма. Можем ли мы увидеть хоть малейшую причину, почему количество этих десятых долей должно быть иным, чем независимым от количества целых дюймов? «Кусок сверх», который мы измеряем, может, фактически, рассматриваться как совершенно новый кусок, который попал нам в руки после того, как кусок в 31 дюйм был измерен и с ним было покончено; и аналогично с каждым последующим куском сверх, по мере того как мы переходим к все более и более тонким делениям.

Подобные замечания можно сделать о большинстве других несоизмеримых величин, таких как иррациональные корни. Представьте две прямые линии под прямым углом, и что мы откладываем определенное количество дюймов вдоль каждой из них от точки пересечения; скажем, два и пять дюймов, и соединяем их концы так, чтобы образовать диагональ прямоугольного треугольника. Если мы приступим к измерению этой диагонали в терминах любой из других линий, мы, по сути, извлекаем квадратный корень. Мы ожидали бы, скорее, чем что-либо другое, обнаружить здесь, как и в случае с π, что несоизмеримость и результирующая случайность порядка в цифрах были правилом, а соизмеримость — исключением. Время от времени, как когда две стороны были три и четыре, мы обнаруживали бы диагональ соизмеримой с ними; но это были бы случайные исключения, или, скорее, это были бы сравнительно конечные исключения среди бесконечно многочисленных случаев, которые составляли правило.

§ 15. Лучший способ, пожалуй, проиллюстрировать истинно случайный характер такого ряда цифр — это прибегнуть к графической помощи. Здесь нелегко, как и в обычной статистике, уловить значение одних лишь цифр; тогда как расположение групп точек или линий схватывается гораздо легче. Глаз очень быстро обнаруживает любые симптомы регулярности в расположении или любую тенденцию к более плотной агрегации в одном направлении, чем в другом. Как же тогда нам расположить наши цифры, чтобы заставить их проявить свой истинный характер? Я бы предложил, чтобы мы занялись проведением линии наугад; и, поскольку мы не можем доверить нашим собственным усилиям без посторонней помощи сделать это, чтобы мы полагались на помощь такой таблицы цифр, чтобы сделать это за нас, а затем исследовали, с какой эффективностью они могут выполнить задачу. Задача проведения прямых линий наугад, при различных ограничениях направления или пересечения, достаточно знакома, но я не знаю, чтобы кто-то предлагал проведение линии, форма которой, как и положение, была бы чисто случайного характера. Для простоты мы предполагаем, что линия ограничена плоскостью.

Определение такой линии, по-видимому, не содержит никакой особой трудности. Выражаясь в соответствии с обычным языком, мы описали бы ее как путь (т. е. любой путь), прочерченный точкой, которая в каждый момент с равной вероятностью может двигаться в любом направлении, как и в любом другом. То, что мы сами не могли бы провести такую линию, и то, что мы не могли бы получить ее прочерченной каким-либо физическим агентством, несомненно. Сама инерция любого движущегося тела всегда будет придавать ему тенденцию, какой бы слабой она ни была, продолжать движение по прямой линии в каждый момент, вместо того чтобы мгновенно реагировать на мгновенно меняющиеся указания относительно направления движения. Мы также не можем представить или вообразить такую линию в ее окончательном или идеальном состоянии. Но легко дать графическое приближение к ней, и легко также показать, как это приближение может быть продолжено так далеко, как мы пожелаем, к идеалу, о котором идет речь.

Мы можем действовать следующим образом. Возьмем лист обычной разлинованной бумаги, подготовленной для графического изображения кривых. Выберем в качестве нашей отправной точки пересечение двух из этих линий и рассмотрим восемь «точек компаса», указанных этими линиями и биссектрисами содержащихся прямых углов. Для предложения случайного выбора среди этих направлений пусть они будут пронумерованы от 0 до 7, и скажем, что линия, измеренная строго на «север», будет обозначена цифрой 0, «северо-восток» — 1 и так далее. Выбор среди этих чисел, а следовательно, и направлений, в каждом углу мог бы быть передан игральной кости с восемью гранями; но для цели рассматриваемой иллюстрации мы выбираем цифры от 0 до 7, как они представлены в вычисленном значении π. Род пути, вдоль которого мы должны были бы путешествовать серией таких шагов, сделанных таким образом наугад, может быть легко представлен; он приведен в конце этой главы.

Для цели, с которой была предложена эта иллюстрация, а именно графического отображения последовательности цифр в любой из несоизмеримых констант арифметики или геометрии, вышесказанного может быть достаточно. После фактического тестирования некоторых из них таким образом, они кажутся мне, насколько глаз или теоретические принципы, которые будут упомянуты в ближайшее время, являются каким-либо руководством, вполне справедливо отвечающими описанию случайности.

§ 16. Поскольку мы на эту тему, однако, кажется, стоит пойти дальше, спросив, насколько близко мы могли бы подобраться к идеалу случайности направления. Чтобы выполнить это полностью, должны быть сделаны два улучшения. Во-первых, вместо того чтобы ограничиваться восемью направлениями, мы должны допустить бесконечное число. Это не представило бы большой трудности; ибо вместо использования небольшого количества цифр нам нужно было бы просто использовать какой-то круговой волчок, который покоился бы равновероятно в любом направлении. Но, во-вторых, вместо коротких конечных шагов мы должны предположить их бесконечно короткими. Именно здесь дает о себе знать фактическая недостижимость. Мы достаточно знакомы с устройством, использованным Ньютоном, перехода от прерывистого многоугольника к непрерывной кривой. Но мы можем прибегнуть к этому устройству, потому что идеал, т. е. кривая, так же легко рисуется (и, я бы сказал, так же легко представляется или воображается), как и любой из шагов, которые ведут нас к нему. Но в рассматриваемом нами случае дело обстоит иначе. Линия, о которой идет речь, будет оставаться прерывистой, или, скорее, угловатой, до самого конца: ибо ее углы не стремятся даже потерять свою остроту, хотя фрагменты, которые их составляют, увеличиваются в количестве и уменьшаются в величине без какого-либо предела. И такой идеал немыслим как идеал. Это как если бы мы имели грубое тело под микроскопом и обнаружили, что по мере того, как мы подвергали его все более и более высоким увеличениям, не было никакой тенденции к тому, чтобы углы скруглялись. Наша «случайная линия» должна оставаться такой же «колючей», как и всегда, хотя размер ее шипов, конечно, уменьшается без какого-либо предела.

Случай, следовательно, кажется таким. Легко, словами, указать на концепцию, говоря о линии, которая в каждый момент с равной вероятностью может принять одно направление, как и другое. Более того, легко провести такую линию с любой степенью точности, которую мы пожелаем потребовать. Но невозможно представить или вообразить линию в ее окончательной форме. Фактически здесь нет никакого «предела», понятного для разума или представимого воображением (соответствующего асимптоте кривой или непрерывной кривой для постоянно развивающегося многоугольника), к которому мы постоянно приближаемся и который, следовательно, склонны считать себя в конечном счете достигающими. Обычное допущение, следовательно, которое лежит в основе ньютоновской инфинитезимальной геометрии и дифференциального исчисления, перестает применяться здесь.

§ 17. Если нам нравится рассматривать такую линию на одной из ее приблизительных стадий, как указано выше, мне кажется, что некоторые из обычных теорем вероятности, где задействованы большие числа, могут быть безопасно применены. Если спросить, например, будет ли такая линия в конечном счете стремиться отклониться бесконечно далеко от своей отправной точки, можно апеллировать к «Закону больших чисел» Бернулли, в силу которого мы сказали бы, что крайне маловероятно, чтобы ее расхождение было относительно большим. Вернемся к нашей графической иллюстрации и рассмотрим сначала результирующее отклонение точки (после большого количества шагов) вправо или влево от вертикальной линии через отправную точку. Из восьми допустимых движений на каждом этапе два не повлияют на это относительное положение, в то время как остальные шесть равновероятно переместят нас на шаг вправо или влево. Наш результирующий «дрейф» вправо или влево будет, следовательно, аналогичен результирующей разнице между количеством орлов и решек после большого количества подбрасываний монеты. Теперь хорошо известный результат такого количества подбрасываний заключается в том, что в конечном счете пропорциональное приближение к априорной вероятности, т. е. к равенству орлов и решек, осуществляется все более и более точно, но что абсолютное отклонение проявляется все более и более широко.

Применяя это к рассматриваемому случаю и помня, что результаты в равной степени применимы к горизонтальному и вертикальному направлениям, мы сказали бы, что после любого очень большого количества таких «шагов», как рассматриваемые, отношение нашего расстояния от отправной точки ко всему пройденному расстоянию будет почти наверняка малым, тогда как фактическое расстояние от нее будет большим. Мы сказали бы также, что чем дольше мы продолжали бы проводить такую линию, тем более выраженными становились бы эти тенденции. Насколько это касается этого теста и того, который предоставляется общим видом проведенных линий — последнее, как было отмечено выше, является довольно заслуживающим доверия, — я не сомневаюсь в общем «случайном» характере рядов цифр, отображаемых рассматриваемыми несоизмеримыми или иррациональными отношениями.

Поскольку читателю может быть интересно увидеть фактический образец такого пути, я прилагаю один, представляющий расположение восьми цифр от 0 до 7 в значении π. Данные взяты из поразительного достижения г-на Шенкса в вычислении этой константы до 707 знаков (Proc. of R. S., XXI, стр. 319). Из них, после исключения 8 и 9, остается 568; диаграмма представляет курс, прочерченный путем следования направлению этих цифр как ключу к нашему пути. Многие из шагов, конечно, были сделаны в противоположных направлениях дважды или чаще. Результат, как мне кажется, дает очень справедливое графическое указание на случайность. Я сравнил его с соответствующими путями, предоставленными рядами цифр, взятыми из логарифмических таблиц и другими способами, и нахожу, что результаты примерно такие же.

1 Согласно проф. Скиту (Etymological Dictionary), самое раннее известное значение — это значение яростного действия, как в кавалерийской атаке. Этимологию, считает он, связывают с тевтонским словом rand (край), и она подразумевает яростное и нерегулярное действие реки, полной до краев.

2 См. экзаменационный лист от 18 января 1854 г. в Кембриджском математическом трипосе.

3 Как, по словам г-на Г. Годфрея, большинство кандидатов и предположили, когда задача была однажды предложена на экзамене. См. Educational Times (Reprint, том VII, стр. 99).

4 См. стр. 68.

5 Конечно, было бы полнее взять десять альтернатив направления и, таким образом, не пропустить ни одной из цифр; но это гораздо хлопотнее на практике, чем ограничиться восемью.

6 Не более чем мы представляем форму равноугольной спирали в центре.

ГЛАВА VI.

СУБЪЕКТИВНАЯ СТОРОНА ВЕРОЯТНОСТИ. ИЗМЕРЕНИЕ ВЕРЫ.

* Первоначально написано в некотором духе протеста против того, что казалось мне преобладающей склонностью следовать Де Моргану в принятии слишком субъективного взгляда на науку. Читая это сейчас, я не могу найти ни одного предложения, против которого я мог бы решительно возразить, хотя должен признать, что если бы я писал это совершенно заново, я бы постарался выразиться с меньшим акцентом, и я внес изменения в этом направлении. Читатель, который желает увидеть взгляд, не существенно отличающийся от моего, но выраженный с несколько противоположным акцентом, может обратиться к статье г-на Ф. И. Эджуорта «Философия случая» (Mind, том IX).

§ 1. Получив теперь ясное представление об определенном виде серии, следующее исследование заключается в том, что делать с этой серией? Как ее использовать в качестве средства для совершения выводов? Общий шаг, который мы сейчас собираемся сделать, можно описать как переход от объективного к субъективному, от самих вещей к состоянию нашего ума при их созерцании.

Читатель должен заметить, что подстановка во многих случаях уже была сделана в качестве первого этапа на пути к приведению вещей в форму, пригодную для вычисления. Эта подстановка, как описано в предыдущих главах, является в некоторой мере процессом идеализации. Серии, с которыми мы фактически сталкиваемся, склонны демонстрировать изменчивый тип, и их индивиды иногда нарушают свою лицензированную нерегулярность. Следовательно, их приходится немного подрезать, чтобы придать форму, как это почти всегда бывает с естественными объектами, прежде чем о них можно будет точно рассуждать. Форма, в которой появляется серия, — это форма серии с фиксированным типом. Эта воображаемая или идеальная серия является основой нашего вычисления.

§ 2. Не следует полагать, что это хоть сколько-нибудь противоречит ранее сделанному утверждению, что вероятность — это наука о выводе о реальных вещах; только путем подстановки вышеуказанного рода мы получаем возможность рассуждать о вещах. В природе почти все явления предстают в форме, которая отходит от той строго точной, которой требуют научные цели, поэтому мы должны ввести воображаемую серию, которая была бы свободна от любых таких дефектов. Единственное условие, которое должно быть выполнено, заключается в том, что подстановка должна быть как можно менее произвольной, то есть как можно меньше отклоняться от истины. Этот вид подстановки обычно проходит незамеченным, когда естественные объекты любого рода делаются предметами точной науки. Я направляю на это особое внимание здесь просто из опасения, что недостаток знакомства с предметом может привести некоторых читателей к предположению, что это влечет за собой в данном случае исключительное отклонение от точности в формальном процессе вывода.

Можно также заметить, что принятие этой воображаемой серии не дает никакой поддержки доктрине, критикуемой в последней главе, в соответствии с которой предполагалось, что наша серия обладает фиксированным неизменным типом, который был просто «развитием вероятностей» вещей, если использовать выражение Лапласа. Она отличается от всего, что рассматривалось в этой гипотезе, тем фактом, что она должна быть признана необходимой подстановкой нашей собственной для фактической серии и должна поддерживаться в как можно более тесном соответствии с фактами. Это просто фикция или уловка, к которой необходимо прибегать для целей вычисления, и только для этой цели.

Это предостережение тем более необходимо, что в примере, который я выберу и который принадлежит к самому любимому классу примеров в этом предмете, подстановка становится случайно ненужной. Вещи, как неоднократно указывалось, иногда могут не нуждаться в подрезании, потому что в той форме, в которой они фактически предстают, они почти идеализированы. В большинстве случаев необходимо немало изменений, чтобы придать серии форму, но в некоторых — особенно в случае азартных игр — мы находим изменения, для всех практических целей, ненужными.

§ 3. Начнем тогда с такой серии, как эта, с исследования: какой вывод можно сделать о ней? Логическому читателю может помочь информация о том, что наш первый шаг будет аналогичен одному классу того, что обычно известно как непосредственные выводы, — выводы, то есть, типа: «Все люди смертны, следовательно, любой конкретный человек или люди смертны». Этот случай, простой и очевидный, как он есть в логике, требует очень тщательного рассмотрения в вероятности.

Очевидно, что мы должны быть готовы сформировать мнение о правильности совершения шага, вовлеченного в такой вывод. До сих пор мы имели как можно меньше дел с нерегулярными индивидами; мы рассматривали их просто как фрагменты регулярной серии. Но мы не можем долго продолжать пренебрегать всяким их рассмотрением. Даже если эти события в совокупности довольно достоверны, не только в совокупности мы должны иметь с ними дело; они постоянно предстают перед нами по несколько штук за раз или даже как индивиды, и мы должны сформировать какое-то мнение о них в этом состоянии. Страховая компания, например, имеет дело с числами, достаточно большими, чтобы устранить большую часть неопределенности, но каждая из их транзакций имеет другую сторону, заинтересованную в ней — что может сказать человек, который страхуется, об их действиях? ибо для него этот вопрос становится индивидуальным. И даже сама компания получает свои дела по отдельности и поэтому хотела бы иметь как можно более ясные взгляды на эти отдельные дела. Теперь замечания, сделанные в предыдущих главах о предметах, которые обсуждает вероятность, могли бы показаться исключающими всякие исследования такого рода, ибо разве незнание индивида не было предпослано до такой степени, что даже (как будет видно далее) причинность могла быть отрицаема, в значительных пределах, не влияя на наши выводы? Ответ на этот вопрос потребует от нас теперь обратиться к рассмотрению совершенно отдельной стороны вопроса, которая еще не предстала перед нами. Нашим лучшим введением к ней будет обсуждение специального примера.

§ 4. Пусть монета подбрасывается очень много раз; тогда можно предположить, что мы знаем наверняка этот факт (среди многих других), что в долгосрочной перспективе орел и решка будут выпадать примерно одинаково часто. Но предположим, что мы рассматриваем только умеренное количество бросков, или еще меньше, и так продолжаем ограничивать число, пока не дойдем до трех или двух, или даже одного? У нас есть, как крайние случаи, достоверность или что-то неотличимо близкое к ней, и полная неопределенность. Разве у нас нет между этими крайностями всех градаций веры? Существует большая группа авторов, включая некоторых из самых выдающихся авторитетов по этому предмету, которые утверждают или подразумевают, что мы отчетливо осознаем такое изменение количества нашей веры и что это состояние нашего ума может быть измерено и определено почти с той же точностью, что и внешние события, к которым они относятся. Главным математическим сторонником этого взгляда является Де Морган, который решительно настаивал на нем во всех своих работах по этому предмету. Самое ясное изложение его мнений можно найти в его «Формальной логике», в которой он сделал взгляд, который мы сейчас обсуждаем, основой своей системы. Он утверждает, что мы имеем определенное количество веры в каждое предложение, которое может быть поставлено перед нами, количество, которое по своей природе допускает определение, хотя мы можем практически найти трудным в любом конкретном случае определить его. Он считает, фактически, что вероятность — это своего рода сестринская наука к формальной логике, говоря о ней следующими словами: «Я не могу понять, почему изучение эффекта, который частичная вера в посылки производит в отношении вывода, должно быть отделено от изучения последствий предположения, что первые абсолютно истинны». Другими словами, существует наука — формальная логика, — которая исследует правила, согласно которым одно предложение может быть необходимо выведено из другого; в тесном соответствии с этим существует наука, которая исследует правила, согласно которым количество нашей веры в одно предложение варьируется с количеством нашей веры в другие предложения, с которыми оно связано.

Эту же точку зрения поддерживает другой авторитетный ученый, покойный профессор Донкин, который пишет (Phil. Mag., май 1851 г.): «Я полагаю, будет общепризнано, и часто более или менее явно утверждалось, что предметом вычислений в математической теории вероятностей является величина убежденности».

§ 5. Прежде чем приступить к критике этого мнения, следует сделать одно замечание, которое слишком часто упускалось из виду. Необходимо помнить, что даже если бы этот взгляд на предмет не был фактически неверным, его можно было бы оспорить как недостаточный для целей определения на том основании, что изменение убежденности не ограничивается только вероятностью. Безусловно, это свойство, с которым имеет дело данная наука, но это свойство, с которым мы сталкиваемся и в других областях. В каждом случае, когда мы расширяем наши выводы посредством индукции или аналогии, полагаемся на свидетельства других, доверяем собственной памяти о прошлом, приходим к заключению через противоречивые аргументы или даже совершаем длинное и сложное дедуктивное умозаключение в математике или логике, мы получаем результат, в котором вряд ли можем быть так же уверены, как в предпосылках, из которых он был получен. Итак, во всех этих случаях мы осознаем варьирующиеся величины убежденности, но являются ли законы, согласно которым эта убежденность формируется и варьируется, одними и теми же? Если их нельзя свести к одной гармоничной схеме, если, по сути, их в лучшем случае можно свести лишь к ряду различных схем, каждая со своим собственным сводом законов и правил, то тщетно пытаться объединить их в одну науку.

Это мнение подкрепляется тем фактом, что большинство авторов, принимающих данное определение, на практике исключают из рассмотрения большинство вышеупомянутых примеров уменьшения убежденности и ограничивают свое внимание классами событий, обладающих свойством, обсуждавшимся в гл. I, а именно: «незнание немногих, знание многих». Совершенно верно, что к некоторым из этих примеров приходится применять значительное насилие, вводя в них крайне произвольные допущения, прежде чем их можно будет заставить принять подходящую форму. Но все же нет сомнений в том, что если мы внимательно изучим используемый язык, то обнаружим, что почти в каждом случае делаются допущения, которые фактически подразумевают, что наше знание об отдельном событии выводится из суждений, данных в типичной форме, описанной в гл. I. Это будет более полно доказано, когда мы перейдем к рассмотрению некоторых распространенных случаев неправильного применения этой науки.

§ 6. Даже если бы вышеупомянутый взгляд на предмет был верным, он, на мой взгляд, все равно был бы недостаточен для целей определения; но по меньшей мере очень сомнительно, является ли он верным. Прежде чем мы могли бы должным образом придать стороне убежденности в этом вопросе ту значимость, которую ей придают Де Морган и другие, и, безусловно, прежде чем науку можно было бы определить с этой стороны, по-видимому, необходимо было бы обосновать два следующих положения, против каждого из которых можно привести веские возражения.

(1) Что наша убежденность в каждом суждении — это нечто такое, что мы, строго говоря, можем измерить; что в каждом случае должна существовать определенная ее величина, которую мы можем каким-то образом осознать и соотнести с неким стандартом, чтобы вынести суждение о ее значении.

(2) Что значение, воспринятое таким образом, является правильным согласно теории, а именно: что это именно та доля полной уверенности, которой оно должно соответствовать. Это утверждение поначалу может показаться несколько неясным; оно будет объяснено далее.

§ 7. (I.) Теперь, во-первых, что касается трудности получения какой-либо меры величины нашей убежденности. Один источник этой трудности слишком очевиден, чтобы остаться незамеченным; это возмущающее влияние, оказываемое на величину убежденности любой сильной эмоцией или страстью. Глубокий интерес к предмету спора, будь то возбуждение надежды или страха, наносит огромный ущерб «измерителю убежденности», поэтому мы должны предполагать, что разум совершенно бесстрастен при взвешивании доказательств. Это замечено и признано Лапласом и другими; но эти авторы, как мне кажется, полагают, что это единственный источник ошибки, и к тому же сравнительно маловажный. Даже если бы это был единственный источник ошибки, я не вижу, чтобы он был маловажным. Мы испытываем надежду или страх в столь многих случаях, что исключение таких влияний из рассмотрения было бы почти равносильно заявлению о том, что, претендуя на рассмотрение всей величины нашей убежденности, мы в действительности будем рассматривать лишь ее часть. Очень сильные чувства, конечно, являются исключением, но мы тем не менее обнаружили бы, что эмоциональный элемент в той или иной форме дает о себе знать почти по любому поводу. Очень редко мы не можем говорить о своем удивлении или ожидании в отношении какого-либо конкретного события. Оба этих выражения, но особенно первое, по-видимому, указывают на нечто большее, чем просто убежденность. Правда, слово «ожидание» обычно определяется в трактатах по теории вероятностей как эквивалентное убежденности; но кажется сомнительным, чтобы кто-либо, кто обращает внимание на популярное использование этих терминов, признал бы их точно синонимичными. Как бы то ни было, эмоциональный элемент присутствует почти по любому поводу, и поэтому его возмущающее влияние постоянно действует.

§ 8. Другая причина, которая взаимодействует с предыдущей, заключается в чрезвычайной сложности и разнообразии доказательств, от которых зависит наша убежденность в каком-либо суждении. Отсюда следует, что наша фактическая убежденность в любой данный момент является одной из самых мимолетных и изменчивых вещей, так что мы почти никогда не можем ухватить ее достаточно ясно, чтобы измерить. Это не ограничивается временами, когда наш разум находится в смятении от волнения из-за надежды или страха. В самые спокойные моменты мы обнаружим, что нелегко дать точный ответ на вопрос: насколько твердо я придерживаюсь того или иного убеждения? В его пользу может быть один или два веских аргумента, а против него — одно или два соответствующих возражения, но это далеко не исчерпывает всех причин, которыми порождается наше состояние убежденности. Поскольку такие причины — это все, что можно практически привнести в устные или письменные дискуссии, мы не должны делать вывод, что только ими определяется наша уверенность. Напротив, наша уверенность обычно покоится на своего рода хаотическом фундаменте, состоящем из бесконечного числа выводов и аналогий всякого рода, к тому же искаженных нашим состоянием чувств в данный момент, притупленных степенью нашего воспоминания о них впоследствии и, вероятно, воспринимаемых время от времени с разной силой в зависимости от того, как они случайно сочетаются в нашем сознании в данный момент. Заимствуя яркую иллюстрацию у Абрахама Такера, подструктуру наших убеждений следует сравнивать не столько с прочным фундаментом обычного здания, сколько со сваями домов в Роттердаме, которые каким-то образом покоятся в глубоком слое мягкого ила. Они достаточно надежно несут свой вес, но было бы нелегко точно указать зависимость различных частей друг от друга. Как только мы начинаем думать о величине нашей убежденности, мы вынуждены думать об аргументах, которыми она порождается — на самом деле, эти аргументы будут навязываться без нашего выбора. Когда каждый из них по очереди вспыхивает в уме, он изменяет силу нашей уверенности; мы подобны человеку, слушающему сбивчивый шум толпы, где всегда есть нечто произвольное в том конкретном звуке, который мы выбираем для прослушивания. Причин может быть достаточно для нашего окончательного выбора, но при проверке мы обнаружим, что они отнюдь не воспринимаются с одинаковой силой в разное время. Убежденность, порожденная каким-то сильным аргументом, может быть очень решительной в данный момент, но она часто начинает ослабевать, когда аргумент фактически не находится в уме. Это похоже на ослепление ярким светом; впечатление все еще остается, но почти сразу начинает угасать. Я думаю, что это так, как бы мы ни пытались ограничить источники нашей уверенности.

§ 9. (II.) Но если предположить, что можно вывести своего рода среднее значение этого колеблющегося состояния, нашли бы мы это среднее значение равным величине, приписываемой теорией? Другими словами, находится ли наша естественная убежденность в наступлении двух различных событий в прямой пропорции к частоте, с которой эти события происходят в долгосрочной перспективе? Существует лотерея со 100 билетами и десятью призами; справедливо ли убеждение человека в том, что он получит приз, представлено одной десятой уверенности? Одно лишь упоминание лотереи должно быть достаточным, чтобы опровергнуть это. Лотереи процветали во все времена и никогда не испытывали недостатка в поддержке, несмотря на самое полное убеждение многих, если не большинства, тех, кто в них участвует, что в долгосрочной перспективе все проиграют. Безусловно, следует сделать скидку на тех, кто действует из суеверных побуждений, из веры в приметы, сны и так далее. Но помимо них, и если предположить, что кто-то приходит, вооружившись всем, что может сделать для него математика, трудно поверить, что его естественные впечатления об отдельных событиях всегда будут такими, какими они должны быть согласно теории. Много ли найдется таких, кто может честно заявить, что у них не было бы желания купить хотя бы один билет? Они, вероятно, сказали бы себе, что сумма, которую они отдали, — это ничто, о чем стоит жалеть, и что есть шанс выиграть очень много; другими словами, они не распределяют свою убежденность так, как предписывает теория.

Что подтверждает этот взгляд, так это то, что те же самые люди, которые действовали бы таким образом в единичных случаях, часто не подумали бы делать это иначе, как в единичных случаях. Другими словами, естественная склонность здесь состоит в том, чтобы приписывать слишком большую величину убежденности там, где она мала или должна быть мала; т.е. преуменьшать риск по сравнению с возможной выгодой. Они, скорее всего, при споре применили бы к этому состоянию чувств пренебрежительные эпитеты, назвав его необъяснимым очарованием или чем-то в этом роде, но в его существовании вряд ли можно сомневаться. Мы говорим сейчас о том, какова естественная склонность нашего разума, а не о том, к чему он может быть в конечном итоге дисциплинирован образованием и мышлением. Если, однако, образованные люди по большей части преуспели в контроле над этой склонностью в азартных играх, то дух безрассудных спекуляций едва ли еще изгнан из коммерции. При рассмотрении эта склонность окажется настолько распространенной во все времена, во всех рангах и характерах, что было бы недопустимо пренебрегать ею ради того, чтобы привести наши предполагаемые инстинкты в более тесное соответствие с общепринятыми теориями вероятности.

§ 10. Существует еще один аспект этого вопроса, который часто упускался из виду, но который, по-видимому, заслуживает некоторого внимания. Допустим, у нас есть инстинкт доверия, почему следует предполагать, что он должен быть именно той интенсивности, которую оправдает последующий опыт? Наши инстинкты заложены в нас для благих целей и предназначены действовать немедленно и бессознательно. Однако они подлежат контролю и должны быть приведены в соответствие с тем, что мы считаем истинным и правильным. В других областях психологии мы не предполагаем, что каждое спонтанное побуждение природы должно быть оставлено таким, каким мы его находим, или даже что в среднем, опуская индивидуальные вариации, оно установлено на том уровне, который в конечном итоге окажется наилучшим, когда мы начнем размышлять об этом и устанавливать его правила. Возьмем, например, случай негодования. Здесь у нас есть инстинктивная склонность, и та, которая в целом дает хорошие результаты. Но моралисты согласны с тем, что почти все наши усилия по самоконтролю должны быть направлены на его подавление и удержание в правильном русле. Предполагается, что он дан как своего рода грубая защита и установлен, если можно так выразиться, на слишком высокий уровень, чтобы действовать на него в обществе обдуманно и сознательно. Не может ли нечто подобное происходить и с нашей убежденностью? Я делаю здесь лишь мимолетную ссылку на этот пункт, так как в теории вероятностей, принятой в этой работе, это не кажется сколько-нибудь существенным для науки. Но это кажется веским аргументом против целесообразности начала изучения науки с субъективной стороны или даже придания этой стороне какой-либо большой значимости.

То, что люди не верят в точном соответствии с этой теорией, должно было поразить почти каждого, но это, вероятно, рассматривалось как простое исключение и нерегулярность; при этом делалось допущение, что в среднем и в подавляющем большинстве случаев они верят именно так. Как было сказано выше, весьма сомнительно, не является ли склонность, которая только что обсуждалась, настолько широко распространенной, что ее можно было бы с гораздо большим основанием назвать правилом, чем исключением. И, возможно, лучше, чтобы это было так: много хороших результатов может проистекать из того жизнерадостного расположения духа, которое побуждает человека иногда продолжать попытки добиться какого-то великого блага, шанс на которое он переоценивает. Он будет продолжать путь через трудности и разочарования, возможно, без серьезного вреда, когда хладнокровный и расчетливый наблюдатель ясно видит, что его «мера убежденности» намного выше, чем должна быть. Так же и склонность, столь распространенная, недооценивать шанс великого зла, также может работать во благо. Многими людьми смерть может рассматриваться как почти бесконечное зло, по крайней мере, они сами так бы ее рассматривали; предположим, они постоянно держали бы эту возможность перед собой в ее истинном значении, как было бы возможно справляться с практической работой жизни? Люди сидели бы дома, потому что, если бы они вышли, их могли бы убить или укусить бешеная собака. Сказать это — не значит призывать к возврату к нашим инстинктам; действительно, когда мы однажды достигли критического и сознательного состояния, это вряд ли возможно; но следует заметить, что преимущество, полученное от их исправления, в лучшем случае является лишь сбалансированным. Что наиболее важно для наших текущих целей, это предполагает нецелесообразность попыток основать точную теорию на том, что впоследствии может оказаться лишь инстинктом, не санкционированным в полной мере опытом.