«Логика случая»

(I.) С одной стороны, мы можем предположить, что этот принцип причинности является окончательным. Называя его так, мы не имеем в виду, что это то, с чего мы сознательно начинаем наши исследования, как мы делаем с аксиомами геометрии, а скорее то, что это конечный результат, к которому мы обнаруживаем себя влекомыми изучением природы. Обнаруживая, что на протяжении всего объема наших исследований событие следует за событием в неизменном единообразии, и обнаруживая, кроме того (некоторые могли бы добавить), что этот опыт поддерживается или даже требуется тенденцией или законом нашей природы (здесь не имеет значения, как мы это описываем), мы можем прийти к тому, чтобы рассматривать это как единственный фундаментальный принцип, на котором должны основываться все наши исследования.

(II.) Или, с другой стороны, мы можем допустить класс принципов совсем другого рода. Допуская, что существует это единообразие, насколько простирается наш опыт, мы можем все же допустить то, что едва ли может быть описано иначе, чем называя это Руководящим Провидением, то есть Схемой или Порядком, в отношении которого Замысел может быть предикатирован без использования просто метафорического языка. Чтобы принять удачно выбранное различие, это следует понимать не как господствующее над событиями, а скорее как лежащее в их основе.

§ 24. Теперь совершенно ясно, что в зависимости от того, подходим ли мы к обсуждению любого конкретного чуда или необычайной истории под влиянием одного или другого из этих предубеждений, вопрос об их достоверности примет весьма различный аспект. Иногда упускается из виду, что, хотя различие во мнениях о фактах является одним из условий добросовестного аргумента, различие, которое доходит до конечных принципов, является фатальным для всякого аргумента. Возможность настоящего конфликта изгнана в таком случае так же абсолютно, как и возможность будущего согласия. Большое количество популярной литературы на тему чудес, по-видимому, страдает этим недостатком. Аргументы за и против достоверности чудесных историй излагаются и рассматриваются без того, чтобы спорящие стороны, по-видимому, имели какое-либо адекватное представление о пропасти, которая отделяет одну сторону от другой.

§ 25. Следующая иллюстрация может в некоторой степени послужить для того, чтобы показать род непоследовательности, о которой мы говорим. Моряк сообщает, что на некотором отдаленном коралловом острове в Тихом океане, на который он высадился в одиночку, он нашел множество камней на пляже, расположенных в точной форме креста. Теперь, если мы представим, что возникает дебаты о правдивости его истории, в которых делается попытка решить вопрос просто соображениями о силе свидетельства, без введения вопроса о существовании жителей и характере их обычаев, мы получим некоторое представление о неудовлетворительном характере многих текущих аргументов о чудесах. Все иллюстрации этого предмета несовершенны, но случай, подобный этому, в котором предполагаемый след человеческого воздействия обнаруживается, вмешиваясь в упорядоченную последовательность других и неразумных естественных причин, настолько же уместен, насколько может быть любая иллюстрация. Вещь, опущенная здесь из обсуждения, — это, очевидно, одна важная вещь. Если мы предположим, что жителей нет, мы, вероятно, не поверим истории или сочтем ее грубо преувеличенной. Если мы предположим, что жители есть, вопрос сразу же разрешается в другой и несколько более запутанный. Достоверность свидетеля — не единственный элемент, но мы должны были бы обязательно принять во внимание характер предполагаемых жителей и цель такого действия с их стороны.

§ 26. Соображения такого характера, несомненно, часто вводятся в обсуждение, но мне кажется, что они вводятся в очень недостаточной степени. Часто настаивают, вслед за Пейли: «Раз поверьте в Бога, и чудеса не будут невероятными». Такое допущение, безусловно, требует некоторой модификации и расширения. Его следует скорее сформулировать так: «Верьте в Бога, чья работа может быть прослежена во всем моральном и физическом мире». Это сводится, по сути, к следующему: признайте, что может существовать замысел, который мы можем проследить так или иначе в ходе вещей; признайте, что мы не ограничены полностью прослеживанием связи событий или следованием за их эффектами, но что мы можем сформировать некоторое представление, пусть слабое и несовершенное, о схеме. Совет Пейли звучит слишком похоже на то, как если бы сказали: «Признайте, что существуют феи, и мы сможем объяснить, почему наши чашки треснули». Допущение не должно делаться столь небрежным образом. Для любого, кто страдает от трудности, о которой мы говорим, эта вера в Бога почти вне какой-либо постоянной связи с природой, которого мы затем воображаем иногда проявляющим себя в, возможно, нерегулярной манере, совершенно невозможна. Единственная форма, под которой вера в Божество может получить доступ в его разум, — это как контролирующий Дух бесконечной и упорядоченной системы. На самом деле, мне кажется, парадоксальным, как бы ни выглядело это предположение, что для человека, глубоко проникнутого духом индуктивной науки, хотя и атеиста, могло бы быть даже легче поверить в чудо, которое составляло часть обширной системы, чем для такого человека, как теиста, принять изолированное чудо.

§ 27. Поэтому с большой осторожностью Юм и другие после него практически настаивали на начале с обсуждения достоверности отдельного чуда, рассматривая вопрос так, как если бы христианское Откровение могло быть адекватно рассмотрено как последовательность таких событий. С таким же успехом можно было бы считать живое тело представленным совокупностью конечностей, которые его составляют. На что следует жаловаться в столь многих популярных дискуссиях на эту тему, так это на полное отсутствие какого-либо признания различной почвы, на которой так часто действительно стоят нападающие и защитники чудес. Доказательства и иллюстрации производятся в бесконечном количестве, которые, вовлекая, как они почти все делают в уме спорящих сторон, по крайней мере с одной стороны, тот самый принцип причинности, отсутствие которого в рассматриваемом случае они призваны установить, терпят неудачу в единственном существенном пункте. Пытаться побудить кого-либо не верить в существование физической причинности в данном случае с помощью иллюстраций, которые ему кажутся лишь дополнительными примерами рассматриваемого принципа, — это все равно что пытаться сделать плотину, чтобы остановить течение реки, забрасывая снег. Такие иллюстрации обильны во времена полемики, но, будучи в действительности лишь модифицированными формами того, чему они призваны противодействовать, они меняют свою форму при первом контакте с умом неверующего и только помогают раздуть поток, который они были призваны сдержать.

1 В последней главе были приведены причины против уместности применения правил теории вероятностей с какой-либо строгостью к таким примерам, как эти. Но хотя всякое приближение к численной точности недостижимо, мы, несомненно, признаем в обычной жизни различие между достоверностью одного свидетеля и другого; такое грубое практическое различие будет вполне достаточным для целей этой главы. Для удобства и для иллюстрации теории примеры лучше всего излагать в численной форме, но не предполагается тем самым подразумевать, что какая-либо такая точность действительно достижима на практике.

2 Я должен признать себя виновным в этом обвинении в первом издании этой работы. Результатом стало то, что трактовка этой части предмета стала неясной и несовершенной, а в некоторых отношениях ошибочной.

3 Обобщенная алгебраическая форма этого результата выглядит следующим образом. Пусть p — априорная вероятность события, а x — достоверность свидетеля. Тогда, если он утверждает, что событие произошло, вероятность того, что оно действительно произошло, равна

px/px + (1 − p)(1 − x);

тогда как если он утверждает, что оно не произошло, вероятность того, что оно произошло, равна

p(1 − x)/p(1 − x) + (1 − p)x.

В иллюстрацию некоторых замечаний, которые будут сделаны в настоящее время, читатель заметит, что, приравнивая любое из этих выражений к p, мы получаем в каждом случае x = 1/2. То есть свидетель, чья правдивость = 1/2, оставляет априорную вероятность события (такого рода) незатронутой.

Если, с другой стороны, мы приравняем эти выражения к x и 1 − x соответственно, мы получим в каждом случае p = 1/2. То есть, когда событие (такого рода) столь же вероятно, как и нет, обычная правдивость свидетеля в отношении него остается незатронутой.

4 Тодхантер, «История», стр. 400. «Философский журнал», июль 1864 г.

5 «Когда, следовательно, эти два вида опыта противоречат друг другу, нам не остается ничего другого, как вычесть один из другого и принять мнение, либо с одной, либо с другой стороны, с той уверенностью, которая возникает из остатка». (Эссе о чудесах.)

6 Соображения такого рода действительно были введены в математическую трактовку предмета. Обычное алгебраическое решение задачи в § 5 (начиная с простейшего случая), конечно, выглядит следующим образом. Пусть p — предшествующая вероятность события, а t — мера правдивости свидетеля; тогда шанс того, что его заявление истинно, равен pt / pt + (1 − p)(1 − t). Это предполагает, что он лжет так же часто, когда событие не происходит, как и когда оно происходит. Но мы можем встретить случаи, предполагаемые в тексте, предположив, что t' — это мера его правдивости, когда событие не происходит, так что вышеуказанная формула становится pt / pt + (1 − p)(1 − t'). Здесь t' и t измеряют соответственно его надежность в обычных и необычных событиях. Как формальное решение это, безусловно, отвечает на возражения, изложенные выше в §§ 14 и 15. Определение, однако, t' потребовало бы, как я заметил, постоянно возобновляемого обращения к опыту. В любом случае практические методы, которые были бы приняты, если бы были прибегнуты к каким-либо планам указанного выше рода, кажутся мне сильно отличающимися от тех, что приняты математиками, по своему духу и плану.

7 Лаплас, например (Essai, изд. 1825 г., стр. 149), говорит, что если бы мы увидели 100 игральных костей (известно, конечно, что они честные), все дающие одну и ту же грань, мы были бы ошеломлены в то время и нуждались бы в подтверждении от других, но что после должного рассмотрения никто не почувствовал бы себя обязанным постулировать галлюцинацию в этом деле. Но шанс этого события представлен дробью, числитель которой равен 1, а знаменатель содержит 77 цифр и поэтому совершенно не поддается воображению. Следует признать, однако, что в таком примере есть нечто гипотетическое, ибо мы не могли бы действительно знать, что кости были честными, с уверенностью, даже отдаленно приближающейся к таким колоссальным шансам. Другими словами, здесь трудно разделить те различные аспекты вопроса, обсуждаемые в гл. XIV. §§ 28–33.

8 В первом издании это было изложено, как мне теперь кажется, в решительно слишком неквалифицированной манере. Следует помнить, однако, что (как было показано в § 7) этот план действительно является лучшим теоретическим, который может быть принят в определенных случаях.

9 Именно на этом принципе основан замечательный вывод, упомянутый на стр. 405. Предположим событие, вероятность которого равна p; и что из числа свидетелей той же правдивости (y) m утверждают, что оно произошло, а n отрицают это. Обобщая арифметическое рассуждение, приведенное выше, мы видим, что шанс того, что событие утверждается, варьируется как

pym(1 − y)n + (1 − p)yn(1 − y)m;

(а именно: как шанс того, что событие происходит и что m правы, а n неправы; плюс шанс того, что оно не происходит и что n правы, а m неправы). И шанс того, что оно правильно утверждается, равен p y^m (1 − y)^n. Поэтому шанс того, что когда у нас перед глазами утверждение, оно является истинным, равен

pym (1 − y)n/pym (1 − y)n + (1 − p) yn (1 − y)m,

что равно

pym−n/pym−n + (1 − p) (1 − y)m−n.

Но это последнее выражение представляет вероятность утверждения, которое единогласно поддерживается m − n такими свидетелями.

10 Акцент, который Батлер делает на этом понятии схемы, является, я думаю, одной большой заслугой его «Аналогии».

ГЛАВА XVIII.

ПРИРОДА И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ, И О РАЗЛИЧНЫХ ВИДАХ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ. [*]

* Существует большая потребность в хорошем изложении, доступном обычному английскому читателю, природы и свойств основных видов среднего значения. Обычные учебники алгебры предполагают, что их всего три, а именно: арифметическое, геометрическое и гармоническое: — включая таким образом два, с которыми статистик имеет мало или ничего общего, и исключая два или более, с которыми он должен иметь много общего. Три лучшие ссылки, которые я могу дать читателю, следующие. (1) Статья «Moyenne» в «Dictionnaire des Sciences Médicales», д-ра Бертильона. Это написано несколько с точки зрения Кетле. (2) Статья Фехнера в «Abhandlungen d. Math. phys. Classe d. Kön. Sächs. Gesellschaft d. Wiss.» 1878; стр. 1–76. Она содержит очень интересную дискуссию, особенно для статистика, о ряде различных видов среднего значения. Его описание медианы удивительно полное и ценное. Но требуется мало математических знаний. (3) Статья г-на Ф. И. Эджуорта в «Camb. Phil. Trans.» за 1885 г., озаглавленная «Observations and Statistics». Это требует некоторых математических знаний. Вместо того чтобы иметь дело, как это обычно делают такие исследования, только с одним законом ошибок и только с одним видом среднего значения, она охватывает широкое поле исследований.

§ 1. У нас был столь частый повод ссылаться на средние значения и на тот вид единообразия, который они склонны демонстрировать в отличие от отдельных объектов или событий, что теперь будет удобно обсудить более детально, каковы различные виды доступных средних значений и каковы именно функции, которые они выполняют.

Первое смутное понятие среднего значения, как мы его сейчас понимаем, кажется мне включающим не более чем понятие чего-то промежуточного между рядом объектов. Объекты должны, конечно, напоминать друг друга в определенных отношениях, иначе мы не думали бы классифицировать их вместе; и они должны также различаться в определенных отношениях, иначе мы не различали бы их. То, что среднее значение делает для нас в этой примитивной форме, — это позволяет нам удобно удерживать группу вместе как целое. То есть оно предоставляет своего рода репрезентативную величину количественного аспекта рассматриваемых вещей, которая послужит для определенных целей заменой любого отдельного члена группы.

Казалось бы, тогда, что первая заря концепции, которую наука сводит к точности под обозначением среднего значения или среднего, а затем приступает к подразделению на различные отдельные виды средних, представляется выполняющей некоторые функции общего имени. Ибо каково главное использование общего имени? Это сведение множества объектов к единству; группировка ряда вещей вместе путем ссылки на некоторые качества, которыми они обладают в общем. Обычное общее имя опирается на значительное разнообразие атрибутов, в основном качественного характера, тогда как среднее значение, поскольку оно служит тому же роду цели, опирается скорее на один количественный атрибут. Оно направляет внимание на определенный вид и степень величины. Когда животновод говорит о своих овцах, что «одна с другой они принесут около 50 шиллингов», или фермер покупает партию шестов, которые «доходят до около 10 футов», это правда, что они не используют строго эквивалент ни общего, ни собирательного имени. Но они очень близки к такому использованию, выбирая своего рода тип или образец величины, на которую должно быть направлено внимание, и классифицируя всю группу по ее сходству с этим типом. Животновод думает о своих овцах: не в чисто общем смысле, как об овцах, и, следовательно, под этим именем или концепцией, а как об овцах определенной приблизительной денежной стоимости. Некоторые будут больше, некоторые меньше, но все они достаточно близки к назначенной стоимости, чтобы быть удобно классифицированными вместе, как если бы по имени. Многие из наших грубых количественных обозначений кажутся такого рода, как когда мы говорим о «восьмидневных часах» или «двенадцатистоунных людях» и т. д.; если, конечно, мы не намерены (как мы иногда делаем в этих случаях) назначить максимальное или минимальное значение. Действительно, нелегко увидеть, как еще мы могли бы легко передать чисто общее понятие количественного аспекта вещей, кроме как путем выбора типа, как выше, или путем назначения определенных пределов, в которых, как предполагается, лежат вещи.

§ 2. До сих пор не обязательно вводится какая-либо идея сравнения — сравнения, то есть одной группы с другой — с помощью такого среднего значения. Как только мы начинаем думать об этом, мы должны быть более точными в том, что мы подразумеваем под средним значением. Мы легко можем видеть, что количество возможных видов среднего значения, в смысле промежуточных величин, очень велико; оно, по сути, неопределенно велико. Из общего понятия промежуточной величины, полученной некоторой обработкой исходных величин, мы можем извлечь столько подразделений, сколько пожелаем, различными способами обработки. Однако есть только три или четыре, которые для наших целей необходимо принять во внимание.

(1) В первую очередь существует арифметическое среднее или среднее значение. Правило для получения этого очень простое: сложите все величины вместе и разделите сумму на их количество. Это единственный вид среднего значения, с которым ненаучный ум полностью знаком. Но мы не должны позволять этой простоте и знакомству ослеплять нас фактом, что существуют определенные причины для использования этого среднего значения и что оно, следовательно, уместно только в определенных обстоятельствах. Причина, по которой оно дает безопасную и точную промежуточную величину для фактических расходящихся значений, заключается в том, что для многих обычных целей жизни, таких как покупка и продажа, мы приходим к точно такому же результату, учитываем ли мы эти существующие расхождения или предполагаем, что все объекты приравнены к их среднему значению. То, что животновод должен подразумевать, если он хочет быть точным, говоря, что средняя цена его овец составляет 50 шиллингов, — это то, что, насколько касается этого стада (и насколько касается его), выходит точно то же самое, продаются ли они каждая по разным ценам или все продаются по «средней» цене. Соответственно, когда он сравнивает свои продажи одного года с продажами другого; когда он говорит, что в прошлом году овцы стоили в среднем 48 шиллингов против 50 в этом году; использование этого репрезентативного или среднего значения является большим упрощением и является совершенно точным для рассматриваемой цели.

§ 3. (2) Теперь рассмотрим этот случай. Установлено, что определенное население удвоилось за 100 лет: можем ли мы говорить о «среднем» приросте здесь в 1 процент ежегодно? Обстоятельства не совсем такие же, как в предыдущем случае, но аналогия достаточно близка для нашей цели. Ответ решительно: нет. Если 100 товаров любого вида проданы за 100 фунтов стерлингов, мы говорим, что средняя цена составляет 1 фунт стерлингов. Под этим мы подразумеваем, что общая сумма та же, продается ли вся партия за 100 фунтов стерлингов или мы разбиваем партию на отдельные единицы и продаем каждую из них за 1 фунт стерлингов. Средняя цена здесь — это удобный фиктивный заменитель, который может быть применен для каждой единицы без изменения совокупного итога. Если, следовательно, вопрос в том, будет ли предполагаемый прирост в 1 процент в каждый из 100 лет эквивалентен общему увеличению до двойного первоначального количества? мы предлагаем тесно аналогичный вопрос. И ответ, как только что было отмечено, должен быть отрицательным. Ежегодный прирост в 1 процент, продолжающийся в течение 100 лет, более чем удвоит итог; он умножит его примерно на 2,7. Истинный ежегодный прирост, требуемый, измеряется 100√2; то есть можно сказать, что население увеличилось «в среднем» на 0,7 процента ежегодно.

Мы таким образом направляемся ко второму виду среднего значения, обсуждаемому в обычных учебниках алгебры, а именно: геометрическому. Когда задействованы только две величины с единственной промежуточной величиной между ними, геометрическое среднее, составляющее последнюю, лучше всего описывается как среднее пропорциональное между двумя первыми. Таким образом, поскольку 3 : √15 :: √15 : 5, √15 является геометрическим средним между 3 и 5. Когда ряд геометрических средних должен быть вставлен между двумя величинами, они должны быть выбраны так, чтобы каждый член во всей последовательности имел одно и то же постоянное отношение к своему предшественнику. Таким образом, в примере в последнем абзаце 99 промежуточных шагов должны были быть вставлены между 1 и 2, с условием, что 100 отношений, таким образом произведенных, должны быть все равны.

Казалось бы, тогда, что везде, где задействованы точные количественные результаты, выбор соответствующего вида среднего значения должен зависеть от ответа на вопрос: какая конкретная промежуточная величина может быть безопасно заменена фактическим разнообразием значений, насколько касается точной цели? Это аспект предмета, который должен быть более полно рассмотрен в следующей главе. Но можно безопасно утверждать, что для целей общего сравнения, где точные численные отношения не требуются, почти любой вид промежуточной величины ответит нашей цели, при условии, что мы придерживаемся одного и того же на протяжении всего процесса. Таким образом, если мы хотим сравнить рост жителей разных графств или районов в Англии, или англичан в целом с французами, или установить, увеличивается или уменьшается рост какого-то конкретного класса или района, действительно не кажется важным, какой сорт среднего значения мы выбираем, при условии, конечно, что мы придерживаемся одного и того же на протяжении наших исследований. Очень большое количество работы, выполняемой средними значениями, является этого чисто сравнительного или неколичественного описания; или, во всяком случае, ничего большего, чем это, действительно не требуется. Будучи так, мы должны естественно прибегнуть к арифметическому среднему; отчасти потому, что, долго находясь в поле, оно повсеместно понимается и к нему апеллируют, и отчасти потому, что оно оказывается удивительно простым и легким для вычисления.

§ 4. Арифметическое среднее для большинства обычных целей является самым простым и лучшим. Действительно, когда мы имеем дело с небольшим количеством несколько искусственно выбранных величин, это единственное среднее значение, которое кто-либо подумал бы использовать. Мы не стали бы, например, применять никакой другой метод к результатам нескольких дюжин измерений длин или оценок цен.

Когда, однако, мы приходим к рассмотрению результатов очень большого числа измерений того рода, которые могут быть сгруппированы вместе в некоторого рода «кривую вероятности», мы начинаем обнаруживать, что перед нами есть более чем одна альтернатива. Начните с возвращения к знакомой кривой, представленной на стр. 29; или, еще лучше, к начальной форме ее, представленной в следующей главе (стр. 476). Мы видим, что есть три различных способа, которыми мы можем описать вершину кривой. Мы можем назвать ее положением максимальной ординаты; или положением центра кривой; или (как будет видно далее) точкой, к которой направляет нас арифметическое среднее всех различных значений переменной величины. Эти три — все различные способы описания положения; но когда мы имеем дело с симметричной кривой, хоть сколько-нибудь напоминающей биномиальную или экспоненциальную форму, они все три совпадают в даче одного и того же результата: как они очевидно делают в рассматриваемом случае.

Однако, как только мы переходим к рассмотрению случая асимметричных или скошенных кривых, показатели, даваемые этими тремя методами, как правило, будут совершенно различными; и поэтому два первых из них заслуживают краткого упоминания, поскольку они представляют собой иные виды средних значений, нежели арифметическое или обычное среднее. Мы увидим, что в каждом из них есть нечто такое, что делает его привлекательным для здравого смысла как в некотором роде естественное и подходящее.

§ 5. (3) Первый из этих методов выбирает из множества различных величин ту конкретную, которая встречается наиболее часто. Он не получил никакого технического обозначения, за исключением тех случаев, когда на него ссылаются через его графическое представление как на метод «максимальной ординаты». Но я подозреваю, что обращение к такому среднему или стандарту на самом деле встречается довольно часто, и если бы мы могли прояснить концепции, скрытые в суждениях сравнительно необразованных людей, мы обнаружили бы, что существуют различные классы случаев, в которых это среднее значение использовалось естественным образом. Предположим, например, что существует рыбный промысел, где рыба сильно варьируется по размеру, но при этом наиболее распространенный размер близок к самому большому или самому маленькому. Если бы люди привыкли продавать рыбу на вес, вероятно, они вскоре начали бы приобретать некоторое представление о том, что подразумевается под арифметическим средним, и поняли бы, что это наиболее подходящий критерий. Но если бы рыбу сортировали по размерам и продавали по количеству штук в каждом из этих размеров, я подозреваю, что это обращение к максимальной ординате начало бы вытеснять другое. То есть наиболее многочисленный класс стал бы выбираться в качестве своего рода типа, по которому можно сравнивать один и тот же промысел в разное время или один промысел с другими. Существует также, как мы увидим в следующей главе, некоторое научное основание для предпочтения этого вида среднего в особых случаях, а именно: когда величины, с которыми мы имеем дело, являются истинными «ошибками» в оценке какой-либо величины, и когда также гораздо важнее быть точно правым или очень близким к истине, чем просто иметь низкое среднее значение ошибки.

§ 6. (4) Оставшийся вид среднего — это то, что сейчас начинают называть «медианой». Это понятие, с которым работы г-на Гальтона сделали статистиков весьма знакомыми, и его лучше всего описать следующим образом. Представьте себе, что все рассматриваемые объекты выстроены в порядке возрастания их величины; или, что сводится к тому же самому, представьте, что они отсортированы на ряд равночисленных классов; тогда средний объект в этом ряду или средний объект в среднем классе и будет медианой. Я не думаю, что этот вид среднего в настоящее время является общепризнанным, но если схема естественного измерения г-на Гальтона с помощью того, что он называет «перцентилями», станет общепринятой, такой критерий станет важным. У этого вида среднего есть некоторые заметные преимущества. Во-первых, в большинстве статистических исследований его вычислить гораздо проще; и, более того, процесс его определения также служит для установления другого важного элемента, который будет рассмотрен далее, а именно «вероятной ошибки». Кроме того, как отмечает Фехнер, в то время как при использовании арифметического среднего несколько исключительных и экстремальных значений часто вызывают затруднения из-за их относительного преобладания, в случае медианы (где учитывается только их количество, а не их экстремальная величина) важность такого искажения уменьшается.

§ 7. Простая иллюстрация послужит для того, чтобы показать, как эти три вида среднего сливаются в один, когда мы имеем дело с симметричными законами ошибок, но становятся совершенно различными, как только мы переходим к рассмотрению тех, которые являются асимметричными.

Предположим, что при измерении величины вдоль OBDC, где крайними пределами являются OB и OC, закон ошибок представлен треугольником BAC: длина OD будет одновременно арифметическим средним, медианой и наиболее часто встречающейся длиной: ее частота представлена максимальной ординатой AD. Но теперь предположим, с другой стороны, что крайние длины равны OD и OC, и что треугольник ADC представляет закон ошибок. Наиболее часто встречающаяся длина будет такой же, как и раньше, OD, отмеченная максимальной ординатой AD. Но среднее значение теперь будет OX, где DX = 1/3 DC; а медианой будет OY, где DY = (1 − 1/√2) DC.

Другой пример, взятый из природных явлений, можно найти в показаниях барометра, снятых в один и тот же час в последовательные дни. Поскольку 4857 таких наблюдений могут рассматриваться как обеспечивающие достаточно стабильную основу опыта, определенно кажется, что результирующая кривая частоты является асимметричной. Средняя высота здесь оказалась равной 29,98: медиана — 30,01: наиболее часто встречающаяся высота — 30,05. Близкое совпадение между ними является признаком того, что асимметрия невелика.

§ 8. Необходимо четко понимать, что среднее значение, какого бы рода оно ни было, в силу самого факта того, что оно является единичной заменой для фактического множества наблюдаемых значений, должно упускать значительный объем информации. На самом деле оно вводится только ради экономии. Оно может не повлечь за собой никаких потерь при использовании для какой-то одной поставленной цели, как в нашем примере с овцами; но для целей в целом оно никак не может заменить исходное разнообразие, предоставив всю информацию, которую оно содержало. Если все это должно быть сохранено, мы должны прибегнуть к какому-то другому методу. На практике мы обычно делаем одно из двух: либо (1) записываем все цифры в статистические таблицы, либо (2) обращаемся к диаграмме. Этот последний план удобен, когда данных очень много или когда мы хотим отобразить или обнаружить природу закона распределения, которому они подчиняются.

Простое указание среднего значения отбрасывает почти все это, ограничиваясь лишь обозначением промежуточной величины. Оно дает «среднюю точку» того или иного рода, но ничего не говорит о том, как исходные величины группировались вокруг этой точки. Например, независимо от того, были ли две величины соответственно 25 и 27 или 15 и 37, они дали бы одно и то же арифметическое среднее, равное 26.

§ 9. Прерваться на этом этапе означало бы оставить проблему в очень несовершенном состоянии. Поэтому мы естественным образом ищем какой-то простой критерий, который укажет, насколько тесно отдельные результаты группировались вокруг своего среднего, чтобы восстановить часть информации, которая была упущена.

Если бы кто-то подходил к этой проблеме совершенно заново — то есть если бы он не имел знаний о математических требованиях, которые сопровождают теорию «метода наименьших квадратов», — я полагаю, что есть только один способ, которым он взялся бы за это дело. Он сказал бы: среднее значение, которое мы уже получили, дало нам грубое указание, назначив промежуточную точку среди исходных величин. Если мы хотим дополнить это грубым указанием на то, насколько близко друг к другу лежат эти величины, лучший способ — это обработать их отклонения от среднего (то, что технически называется «ошибками») точно таким же образом, а именно: назначив их среднее значение. Предположим, есть 13 человек, чей рост варьируется с равными интервалами от 5 футов до 6 футов, мы бы сказали, что их средний рост составляет 66 дюймов, а их среднее отклонение от этого среднего составляет 3 3/13 дюйма.

Рассматривая вопрос с этой точки зрения, мы затем перешли бы к тому, чтобы проверить, как каждое из вышеупомянутых средних ответило бы этой цели. Два из них — а именно арифметическое среднее и медиана — подойдут идеально; и, как мы сейчас увидим, часто используются для этой цели. Точно так же мы могли бы, если бы захотели, использовать геометрическое среднее, хотя такое использование было бы утомительным из-за сложности вычислений. «Максимальная ордината», очевидно, не подошла бы, поскольку она обычно (см. диаграмму на стр. 443) отсылала бы нас обратно к уже полученному среднему значению и, следовательно, не дала бы никакой информации.

Единственный момент здесь, по поводу которого могло бы возникнуть сомнение, касается того, что в алгебре называется знаком ошибок. Две равные и противоположные ошибки, сложенные алгебраически, взаимно уничтожились бы. Но когда, как здесь, мы рассматриваем ошибки как самостоятельные величины, которые должны учитываться сами по себе, мы обращаем внимание только на их реальную величину, и тогда эти равные и противоположные ошибки должны быть поставлены в совершенно одинаковые условия.

§ 10. Из различных средних значений, уже обсужденных, два, как только что было отмечено, находятся в обычном употреблении. Одно из них привычно известно в астрономических и других расчетах как «средняя ошибка» и является настолько абсолютным применением того же принципа арифметического среднего к ошибкам, который уже был применен к исходным величинам, что не нуждается в дальнейшем объяснении. Так, в примере из последнего раздела среднее значение роста составляло 66 дюймов, среднее значение ошибок — 3 3/13 дюйма.

Другое — это медиана, хотя здесь она всегда известна под другим названием, т.е. как «вероятная ошибка»; — технический и определенно вводящий в заблуждение термин. Она кратко определяется как та ошибка, которую мы с равной вероятностью можем как превысить, так и не достичь: иначе говоря, если бы мы расположили все ошибки в порядке их величины, она соответствует той из них, которая как раз делит ряд пополам. Следовательно, это «медианная» ошибка: или, если мы расположим все величины в последовательном порядке и разделим их на четыре равночисленных класса — то, что г-н Гальтон называет «квартилями», — первое и третье из последующих делений будут отмечать пределы «вероятной ошибки» с каждой стороны, в то время как среднее будет отмечать «медиану». Эта медиана, как было отмечено, совпадает в симметричных кривых с арифметическим средним.

Лучше придерживаться принятой номенклатуры, но читатель должен понимать, что такая ошибка не является «вероятной» в каком-либо строгом смысле. Действительно, крайне маловероятно, что в каком-либо конкретном случае мы случайно получим именно эту ошибку: на самом деле, если бы мы захотели быть точными и рассматривать ее как одну точную величину из бесконечного числа, было бы бесконечно маловероятно, что мы попадем именно в нее. Нельзя также сказать, что вероятно, что мы окажемся в пределах этого лимита от истины, ибо, по определению, мы с равной вероятностью можем как превысить, так и не достичь его. Как уже отмечалось (см. примечание на стр. 441), «максимальная ордината» имела бы больше всего прав считаться указывающей на действительно наиболее вероятное значение.

§ 11. (5) Среднеквадратичная ошибка. Как предполагалось ранее, план, который естественным образом принял бы любой человек, не имеющий дела с высшей математикой предмета, состоял бы в том, чтобы взять «среднюю ошибку» для цели, которую мы имеем в виду. Но совсем другой вид среднего обычно принимается на практике, чтобы служить критерием величины расхождения или дисперсии. Предположим, у нас есть величины x1, x2, … xn; их обычное среднее равно 1/n (x1 + x2 + … + xn), а их «ошибки» — это разности между этим средним и x1, x2, … xn. Назовем эти ошибки e1, e2, … en, тогда арифметическое среднее этих ошибок (независимо от знака) равно 1/n (e1 + e2 + … + en). Среднеквадратичная ошибка, с другой стороны, является квадратным корнем из 1/n (e1^2 + e2^2 + … + en^2).

Причины использования этого последнего вида среднего в предпочтение любому другому будут указаны в следующей главе. В настоящее время нас интересует только общая логическая природа среднего, и поэтому достаточно указать, что любая такая промежуточная величина ответит цели получения грубого и суммарного указания на степень близости приближения, которую наши различные измерения демонстрируют друг к другу и к их общему среднему. Если бы мы говорили соответственно о «первом» и «втором среднем», мы могли бы сказать, что первое из них назначает грубую единичную замену для множества исходных значений, в то время как второе дает аналогичную грубую оценку степени их отклонения от первого.

§ 12. До сих пор мы рассматривали только общую природу среднего и основные виды среднего, практически используемые. Теперь мы должны более подробно исследовать, каковы основные цели, для которых используются средние значения.

В этом отношении первое, что мы должны сделать, — это посеять сомнения в уме читателя по предмету, в котором он, возможно, до сих пор не испытывал ни малейшего сомнения. Каждый более или менее знаком с практикой обращения к среднему значению для обеспечения точности. Но, строго говоря, то, с чего мы начинаем, — это принесение в жертву точности; ибо вместо множества фактических результатов мы получаем единый результат, который вполне возможно не согласуется ни с одним из них. Если я обнаружу, что температура в разных частях комнаты различна, но скажу, что средняя температура составляет 61°, возможно, найдется лишь несколько мест в комнате, где эта точная температура реализуется. И если я скажу, что средний рост определенной небольшой группы людей составляет 68 дюймов, вероятно, никто из них не будет иметь именно такой рост.

Основной способ, которым точность может быть таким образом обеспечена, заключается в том, когда мы на самом деле стремимся не к величинам перед нами, а к чему-то другому, показателем чего они являются. Если они сами по себе «неточны» — мы увидим вскоре, что это требует некоторого объяснения, — тогда единое среднее, которое само по себе, возможно, не согласуется ни с одним из них, может быть гораздо ближе к тому, что нам действительно нужно. Мы найдем удобным подразделить этот взгляд на предмет на две части: рассмотрев сначала те случаи, в которых количественные соображения входят лишь незначительно и в которых не требуется определение конкретного закона ошибок, и, во-вторых, те, в которых такого определения нельзя избежать. Последние здесь упоминаются лишь вскользь, так как отдельная глава зарезервирована для их более полного рассмотрения.

§ 13. Процесс, как практический, достаточно знаком почти каждому, кому приходится работать с измерениями любого рода. Предположим, например, что я измеряю какой-либо объект латунным стержнем, который, как мы знаем, расширяется и сжимается в зависимости от температуры. Результаты будут немного варьироваться, будучи иногда немного больше, а иногда немного меньше. Все эти вариации являются физическими фактами, и если бы нас интересовали свойства латуни, они были бы для нас единственным важным фактом. Но когда нас интересует длина измеряемого объекта, эти факты становятся излишними и вводящими в заблуждение. Что мы хотим сделать, так это избежать их влияния, и это мы можем осуществить, взяв их (арифметическое) среднее, при условии только, что они так же часто бывают в избытке, как и в недостатке. Для этой цели все, что необходимо, — это чтобы равные избытки и недостатки были одинаково распространены. Нет необходимости знать, каков закон вариации, или даже быть уверенным, что он одного конкретного вида. При условии только, что он, на языке диаграммы на стр. 29, симметричен, тогда арифметическое среднее подходящего и должным образом варьируемого числа измерений будет свободно от этого источника возмущения. И то, что справедливо для этой причины вариации, будет справедливо для всех остальных, которые подчиняются тем же общим условиям. На самом деле, одинаковая распространенность равных и противоположных ошибок кажется единственным и достаточным оправданием привычного процесса взятия среднего для обеспечения точности.

§ 14. Мы должны теперь провести различие, на которое так часто требуется обращать внимание в этих предметах, между случаями, в которых соответственно есть и нет некоторой объективной величины, к которой стремятся: различие, которое общее использование одного и того же слова «ошибки» так склонно затемнять. Когда мы говорили в случае с латунным стержнем о том, что избытки и недостатки равны, мы имели в виду именно то, что сказали, а именно: что для каждого случая, в котором «истинная» длина (т.е. определенная авторизованным стандартом) превышается на заданную долю дюйма, будет соответствующий случай, в котором есть равный недостаток.

С другой стороны, когда нет такого фиксированного объективного стандарта отсчета, по-видимому, все, что мы подразумеваем под равными избытками и недостатками, — это постоянная симметрия расположения. В случае с измерительным стержнем мы могли начать с чего-то, что существовало, так сказать, до его вариаций; но во многих случаях любая отправная точка, которую мы можем найти, определяется исключительно средним значением.

Предположим, например, мы берем большое количество наблюдений высоты барометра в определенном месте, во все времена и сезоны и при любой погоде, мы обычно считали бы, что среднее всех этих наблюдений показывает «истинную» высоту для этого места. Что мы на самом деле подразумеваем, так это то, что высота в любой момент определяется частично (и главным образом) высотой столба воздуха над ним, но частично также рядом других факторов, таких как местная температура, влажность, ветер и т.д. Они иногда более, а иногда менее эффективны, но поскольку их диапазон довольно постоянен, а их распределение по этому диапазону довольно симметрично, среднее одной большой партии наблюдений будет почти точно таким же, как и любой другой. Это постоянство среднего и есть его истина. Я прекрасно осознаю, что нам трудно не предполагать, что должно быть что-то большее, чем это постоянство, но мы, вероятно, склонны впадать в заблуждение по аналогии с другим классом случаев, а именно теми, в которых мы действительно стремимся к какой-то цели.

§ 15. Что касается практических методов, доступных для определения различных видов среднего, то здесь мало что можно сказать; поскольку арифметические правила просты и определенны и не включают ничего, кроме неизбежной рутины, связанной с работой с длинными рядами цифр. Пожалуй, наиболее важный вклад в эту часть предмета внесен предложением г-на Гальтона заменить среднее значение медианой и, таким образом, получить среднее с достаточной точностью простым актом группировки ряда объектов вместе. Так, он дал остроумное предложение для получения среднего роста ряда людей без хлопот и риска измерять их всех. «Варварского вождя часто можно было бы склонить выстроить своих людей в порядке их роста или в порядке популярной оценки их мастерства в любой области; но потребовалось бы некоторое оборудование и много времени, чтобы измерить каждого человека отдельно, даже если предположить возможность преодоления обычно сильного отвращения нецивилизованных людей к любой такой процедуре» (Phil. Mag. Jan. 1875). То есть, поскольку из широкого опыта известно, что рост любого достаточно однородного набора людей склонен группироваться симметрично — условие для совпадения трех основных видов среднего, — средний человек в ряду, таким образом, расположенном по порядку, будет представлять среднего или усредненного человека, и его мы можем подвергнуть измерению. Более того, поскольку промежуточные значения роста представлены гораздо гуще, чем экстремальные, умеренная ошибка в выборе центрального человека длинного ряда повлечет за собой лишь очень небольшую ошибку в выборе соответствующего роста.

§ 16. Мы можем теперь удобно вернуться к предмету, который уже был отмечен в предыдущей главе, а именно к попытке, которая иногда предпринимается, установить различие между средним (average) и средним (mean). Было предложено ограничить первый термин случаями, в которых мы имеем дело с фиктивным результатом нашего собственного построения, то есть с простым арифметическим выводом из наблюдаемых величин, и применять второй к случаям, в которых предполагается наличие некоторой объективной величины, особенно репрезентативной для среднего.

Вернемся к трем основным классам вещей, подходящих для вероятности, которые были намечены в гл. II. § 4. Первый из них включал результаты азартных игр. Подбросьте кость десять раз: общее количество очков на верхней стороне может варьироваться от десяти до шестидесяти. Предположим, оно равно тридцати. Мы тогда говорим, что среднее этой партии из десяти равно трем. Возьмите другой набор из десяти бросков, и мы можем получить другое среднее, скажем, четыре. Очевидно, нет ничего объективного, что каким-либо образом особенно соответствовало бы этим средним. Несомненно, если мы будем продолжать достаточно долго, мы обнаружим, что средние стремятся к центру около 3,5: мы тогда называем это средним, или «вероятным» числом очков; и это окончательное среднее могло быть довольно постоянно утверждено заранее из нашего знания о строении кости. Однако оно не имеет другой истины или реальности в себе по своей природе типа: это просто предел, к которому стремятся средние.

Следующий класс занят членами большинства естественных групп объектов, особенно в отношении характеристик естественных видов. Несколько похожие замечания можно повторить здесь. Очень часто существует «предел», к которому стремятся средние возрастающих чисел индивидов; и, безусловно, есть некоторое искушение рассматривать этот предел как своего рода тип, которому все должны были быть подобны как можно ближе. Но когда мы присмотрелись внимательнее, мы обнаружили, что этот взгляд едва ли может быть оправдан; все, что можно было безопасно утверждать, это то, что этот тип представлял, на данный момент, наиболее многочисленные экземпляры или те, которые при существующих условиях могли быть наиболее легко произведены.

Оставшийся класс стоит на несколько иной почве. Когда мы делаем последовательность более или менее успешных попыток любого рода, мы получаем соответствующую серию отклонений от цели, к которой мы стремились. Мы можем рассматривать их арифметически и получать их средние, точно так же, как в предыдущих случаях. Эти средние являются фикциями, то есть они являются искусственными выводами нашего собственного построения, которые не обязательно должны иметь что-либо объективное, соответствующее им. На самом деле, если они являются средними лишь немногих, они, скорее всего, не будут иметь ничего подобного, соответствующего им. Что-либо, отвечающее типу, можно искать только в «пределе», к которому они в конечном итоге стремятся, ибо этот предел совпадает с фиксированной точкой или объектом, к которому стремились.

§ 17. Полностью признавая большую ценность и интерес работы Кетле в этом направлении — он, безусловно, первым обратил внимание общественности на тот факт, что так много классов естественных объектов демонстрируют одно и то же характерное свойство, — тем не менее, не кажется желательным пытаться отметить такое различие каким-либо специальным использованием этих технических терминов. Возражения в основном следующие.

Во-первых, единая антитеза, подобная этой между средним (average) и средним (mean), по-видимому, предполагает гораздо более простое положение вещей, чем то, которое на самом деле существует в природе. Ссылка на три только что упомянутых класса вещей и рассмотрение широкого диапазона и разнообразия, включенных в каждый из них, послужат напоминанием нам не только об очень постепенном и незаметном переходе от того, что таким образом рассматривается как «фиктивное», к тому, что претендует на «реальное»; но также и о важном факте, что в то время как «реальный тип» может быть изменчивого и эфемерного характера, «фикция» может (как в азартных играх) быть, по-видимому, фиксированной навсегда. При условии только, что условия производства остаются стабильными, средние больших чисел всегда будут практически представлять почти одни и те же общие характеристики. Гораздо более важное различие лежит между средним немногих, с его колеблющимися значениями и очень несовершенным и случайным достижением своей конечной цели, и средним многих и его постепенно близким приближением к своему конечному значению: т.е. к своей объективной точке цели, если таковая имеется.

Затем, опять же, соображения, приведенные в этой главе, покажут, что в области самого среднего существует гораздо больше разнообразия, чем, по-видимому, признавал Кетле. Он действительно не совсем игнорировал это разнообразие, но практически ограничивался почти исключительно теми симметричными расположениями, в которых три из основных средних сливаются в одно. Нам было бы трудно провести его различие в менее простых случаях. Например, когда существует некоторая степень асимметрии, именно «максимальная ордината» должна была бы рассматриваться как «среднее» в исключение других; ибо никакое обращение к арифметическому среднему не привело бы нас к этой точке, которая, однако, должна рассматриваться, если какая-либо может быть так рассмотрена, как отмечающая положение конечного типа.

§ 18. Мы несколько раз указывали, что характеристикой вещей, с которыми имеет дело вероятность, является проявление в долгосрочной перспективе постоянно усиливающейся однородности. И это часто описывалось как то, что происходит «в среднем». Теперь может возникнуть возражение против рассмотрения расположения вещей, благодаря которому порядок таким образом возникает из беспорядка, как заслуживающего какого-либо особого внимания, на том основании, что по природе арифметического среднего это не могло бы быть иначе. Процесс, с помощью которого получается среднее, можно утверждать, обеспечивает эту тенденцию к выравниванию среди величин, с которыми оно имеет дело. Например, пусть будет группа из десяти человек, из которых четверо высокие и четверо низкие, и возьмем среднее любых пяти из них. Поскольку это число не может состоять только из высоких или только из низких людей, само собой разумеется, что средние не могут различаться между собой так сильно, как отдельные измерения. Не является ли тогда процесс выравнивания, который наблюдается при увеличении диапазона наших наблюдений, тем, который, как можно показать, следует из необходимых законов арифметики, и, следовательно, тем, который можно было бы утверждать априори?

Какая бы сила ни была в вышеупомянутом возражении, она возникает главным образом из ограничений выбранного примера, в котором выбранное число было такой большой долей от общего, что исключало саму возможность того, что в нем содержатся только экстремальные случаи. Поскольку здесь часто чувствуется большая путаница между тем, что необходимо, и тем, что является предметом опыта, будет хорошо рассмотреть пример несколько ближе, чтобы определить точно, каковы действительно необходимые последствия процесса усреднения.

§ 19. Предположим тогда, что мы берем десять цифр наугад из таблицы (скажем) логарифмов. Если не считать крайне маловероятного случая, когда мы случайно получили одну и ту же цифру десять раз подряд, среднее десяти должно быть промежуточным между возможными крайностями. Каждая концепция среднего любого рода не просто включает, но фактически означает взятие чего-то промежуточного между крайностями. Поэтому среднее десяти должно лежать ближе к 4,5 (среднему крайних значений), чем некоторые из отдельных цифр.

Теперь предположим, что мы берем 1000 таких цифр вместо 10. Мы не можем сказать ничего больше о большем числе, с демонстративной уверенностью, чем мы могли раньше о меньшем. Если они были неравны с самого начала (т.е. если они не были все одинаковыми), то среднее должно быть промежуточным, но больше этого нельзя доказать арифметически. По сравнению с такими чисто арифметическими соображениями существует то, что можно назвать физическим фактом, лежащим в основе нашей уверенности в растущей стабильности среднего большего числа. Это то, что составляющие элементы, из которых выводится среднее, сами будут обнаруживать растущую однородность: — что пропорции, в которых выходят разные цифры, будут становиться все более и более равными по мере того, как мы берем большие их числа. Если бы пропорции, в которых распределялись 1000 цифр, были такими же, как у 10, средние были бы такими же. Очевидно, поэтому, что арифметический процесс получения среднего очень мало способствует обеспечению поразительного вида однородности, который, как мы обнаруживаем, на самом деле представлен.

§ 20. Есть еще один способ, которым можно выразить то же самое. Иногда говорят, что каким бы ни было расположение исходных элементов, процесс постоянного усреднения обязательно приведет к особому биномиальному или экспоненциальному закону расположения. Это утверждение совершенно верно (с определенными оговорками), но оно никоим образом не противоречит тому, что было сказано выше. Давайте возьмем для рассмотрения пример, упомянутый выше. Расположение отдельных цифр в долгосрочной перспективе является самым простым из возможных. Оно было бы представлено на диаграмме не кривой, а конечной прямой линией, ибо каждая цифра встречается примерно так же часто, как любая другая, и это исчерпывает все «расположение», которое можно обнаружить. Теперь, когда мы рассматриваем результаты взятия средних десяти таких цифр, мы сразу видим, что открывается возможность для более обширного расположения. Итоговые значения могут варьироваться от 0 до 100, и поэтому среднее будет иметь 100 значений от 0 до 9; и что мы обнаруживаем, так это то, что частота этих чисел определяется в соответствии с биномиальным или экспоненциальным законом. Наиболее частый результат — это истинное среднее, а именно 4,5, и от него они уменьшаются в каждом направлении к 0 и 10, каждое из которых будет встречаться лишь однажды (в среднем) в 10^10 случаях.

Объяснение здесь того же рода, что и в предыдущем случае. Результирующее расположение, насколько это касается средних, является «необходимым» только в том смысле, что оно является необходимым результатом определенных физических предположений или опытов. Если все цифры стремятся встречаться с равной частотой и если они «независимы» (т.е. если каждая ассоциируется безразлично с каждой другой), то арифметическим следствием является то, что средние, когда они расположены в отношении своей величины и распространенности, будут демонстрировать закон распределения, указанный выше. Опыт, насколько к нему можно апеллировать, показывает, что истинная случайность выбора цифр — т.е. их одинаково частая повторяемость и беспристрастность их комбинации — довольно хорошо обеспечена на практике. Соответственно, теоретический вывод о том, что каким бы ни был исходный закон распределения отдельных результатов, мы всегда обнаружим, что привычный экспоненциальный закон утверждает себя как закон средних, довольно хорошо оправдывается опытом в таком случае.

Дальнейшее обсуждение определенных исправлений и уточнений зарезервировано для следующей главы.

§ 21. Что касается трех видов среднего, используемых для проверки величины дисперсии — т.е. средней ошибки, вероятной ошибки и среднеквадратичной ошибки, — необходимо иметь в виду два важных соображения. Оба они вернутся для более полного обсуждения и обоснования в ходе следующей главы, когда мы коснемся метода наименьших квадратов, но их значение для логических целей настолько велико, что их не следует полностью обходить вниманием в настоящее время.

(1) Во-первых, тогда, следует отметить, что для того, чтобы знать, каково в любом случае реальное значение ошибки, мы должны в строгом смысле знать, каково положение предела или окончательного среднего, ибо величина ошибки всегда теоретически измеряется от этой точки. Но это информация, которой мы не всегда обладаем. Возвращаясь еще раз к трем основным классам событий, с которыми мы имеем дело, мы можем легко увидеть, что в случае азартных игр мы по большей части обладаем этим знанием. Вместо того чтобы обращаться к опыту для установления предела, мы практически выводим его простыми механическими или арифметическими соображениями, и тогда «ошибка» в любом индивидуальном случае или группе случаев очевидно находится путем сравнения результатов, таким образом полученных, с тем, что теория сообщает нам, будет в конечном итоге получено в долгосрочной перспективе. В случае преднамеренных усилий при цели (третий класс) мы можем знать или не знать точно значение или положение этой цели. В астрономических наблюдениях мы не знаем его, и метод наименьших квадратов — это метод, помогающий нам установить его как можно лучше; в таких экспериментальных результатах, как стрельба по мишени, мы знаем его и можем таким образом проверить природу и величину нашей неудачи прямым опытом. В оставшемся случае, а именно в том, что мы назвали естественными видами или группами вещей, мы не только не знаем конечного предела, но его существование всегда по крайней мере сомнительно, а во многих случаях может быть уверенно отрицаемо. Там, где он существует, то есть где тип кажется для всех практических целей постоянно фиксированным, мы можем установить его только трудоемким обращением к статистике. Сделав это, мы можем затем проверить им результаты наблюдений в малом масштабе. Например, если мы обнаружим, что окончательная пропорция рождений мальчиков к девочкам составляет около 106 к 100, мы можем затем сравнить статистику какого-либо конкретного района или города и говорить о последующей «ошибке», а именно об отклонении в этом конкретном и специальном районе от общего среднего.