«Монист, Том III, 1892-1893»

ВНЕШНОСТЬ КАК СЕРИЙНЫЙ ЧЛЕН.

Но если временной элемент независим как отдельный перцепт, пространственный — как другой и так далее, то следует, что, хотя члены ряда могут, так сказать, течь, хотя мы не можем представить их разделенными или, на практике, иначе как непрерывными в своем потоке, все же теоретически это ряд или комплекс рядов, и ряд может быть прерван на любом члене. Таким образом, сама внешность, будучи пространственным отношением, есть лишь еще один член, несущественный в теории, к предыдущему члену. Так что, когда неокантианцы говорят о «конституировании объективного», следует добавить, что не только содержание объективного таким образом конституируется сознанием, но и внешность, все, что идет на создание того, что называется «внешнестью», также конституируется сознанием.

СЕЙЧАС-ВРЕМЯ.

«Настоящее — это наполовину прошлое и наполовину будущее» (с. 546), как цвет изогнутой граничной линии на разноцветной поверхности; т. е. «между» тем и другим. Именно здесь теория синехизма показывает свой главный недостаток. До этой стадии мы имели дело с идеями, чувствами, a, b, c, d..., последовательно проходящими через точку сознания e. И нотация бесконечно малых довольно хорошо подходит для требуемого процесса. Она достаточно сложна, но изобретательна и, по крайней мере, правдоподобна. Ничто до этой стадии не заставило бы нас предположить, что в обоснование, которое представляет г-н Пирс, должен быть привнесен какой-либо дополнительный элемент. Как мы видели, конечное время не послужило бы его цели. На какой бы малый конечный интервал ни прошли a, b, c или d точку e, всякий шанс их восстановления безнадежен. Что ж, мы прибегаем к бесконечно малым и обнаруживаем (выражаясь популярно, а не техническими терминами г-на Пирса), что a, прошедшее точку сознания на бесконечно малый интервал, возвещает b. Так что e одновременно сталкивается с исчезающей формой первого и появляющейся формой второго, и то же самое с b и c, по очереди, и так далее. Таким образом, настоящее, в смысле идей, последовательно проходящих через сознание, наполовину a и наполовину b, затем наполовину b и наполовину c, эта бесконечно малая градация в конечном итоге обеспечивает присутствие всего ряда в последнем «моменте».

Но это не поможет с самим концептом времени, как отличным от временной последовательности. Что эти два разделены у г-на Пирса, сомневаться невозможно. Он говорит, например: «Время с его непрерывностью логически включает в себя какой-то иной вид непрерывности, чем его собственный» (с. 547) и говорит о «времени и его потоке», и о «времени как универсальной форме изменения». И это сбивает с толку, по меньшей мере, когда нас без предупреждения перемещают из того, что практически является перцептивной областью, в концептуальную. Допустим идеи, чувства или что угодно, «скользящие почти незаметно» (как покойный г-н Барделл в другую сферу) мимо центральной точки сознания, но не полностью прошедшие, только уходящие, менее прошедшие, чем любая назначаемая прошлая дата, допустим это, утверждение не является, следовательно, оправданным, что само время, настоящее, как время, а не как вовлекающее последовательность идей, есть «наполовину прошлое и наполовину будущее». Идеи, чувства, о которых пишет г-н Пирс, последовательно проходят стадию быть таким образом наполовину прошлыми и наполовину будущими, но это отнюдь не то же самое, что сказать, что настоящее — наполовину прошлое, наполовину будущее, как утверждает синехизм. С нашей теорией, представленной на предыдущих страницах, действительно нет такой трудности, но г-н Пирс, с другой стороны, решил придерживаться бесконечно малого измерения времени, применительно к идеям и т. д., как отдельного от концептуального времени, и должен принять последствия своего решения. Он говорит: настоящее, а не настоящая идея.

Теперь, в концепте времени в целом, во всем его диапазоне, может быть выбрана определенная точка — в исключение других точек — точка, имеющая положение, но не протяженность, как настоящее. Является ли оно тогда — настоящее — наполовину прошлым, наполовину будущим, как временная идея? Конечно, нет. В нем нет ничего от потока ряда. Далее, этот выбор «сейчас», как точки, не мешает его постоянству. «Настоящность» может сохраняться. И в тот момент, когда оно приобщилось бы, даже бесконечно мало, к характеру прошлого или будущего, оно перестало бы быть настоящим. В случае ряда идей во времени трудность заключается в том, чтобы удержать их все в настоящем растворе, так сказать, без ущерба для их очевидной непрерывности, но определение настоящего как точки во времени не представляет такой трудности. Условия совершенно различны. Тем не менее, относительно этой временной точки — настоящего — г-н Пирс уверяет нас, что оно «наполовину прошлое, наполовину будущее», что является как раз тем, точной противоположностью чего оно является, если слова должны иметь хоть какой-то смысл.

Опять же, обоснование г-на Пирса показывает, на первый взгляд, что существует (1) конечно делимое время и (2) время, разделенное бесконечно мало, ибо то, что конечное время не могло сделать, поскольку оно имело ограничения, нотация бесконечно малых легко выполняет. В своих дальнейших последствиях это несколько неудачно для синехизма, поскольку сознание идей в непрерывности ограничено теорией бесконечно малых, где, можно спросить, место в сознании для последовательности конечных интервалов? Сознание должно быть практически удвоено, так сказать, если оно должно удерживать и то, и другое вместе. Вот к чему приводит то, что мировая схема строится на математической тонкости — тонкости, которая, как правило, более или менее носит характер бегства от трудностей вульгарной нотации, вульгарная нотация остается, и с ней приходится считаться, и обе должны быть приписаны сознанию. В качестве примера этого возьмем следующее из недавней статьи г-на Пирса «Стеклянная сущность человека» — с. 15:

«Для того чтобы субмолекула пищи могла быть тщательно и прочно ассимилирована в разрушенную молекулу протоплазмы, необходимо не только чтобы она имела точно правильный химический состав, но также чтобы она находилась в точно правильном месте в правильное время и двигалась в точно правильном направлении с точно правильной скоростью. Если все эти условия не выполнены, ... она будет в особой опасности быть выброшенной снова» (Курсив не в оригинале).

Теперь здесь есть «время, когда», которое может быть точно определено в соответствии с условиями. Определенные результаты следуют, если его не придерживаться. Это то, что г-н Пирс, несомненно, счел бы временным физическим событием, частью и долей регулярности материи, и все же событием, которое в свое время и своим способом идет на объяснение как чувства, так и привыкания — способным, следовательно, быть выраженным в терминах конечного времени, как происходящее в данный момент, и ни до, ни после него. Но когда эта же молекула, в силу пунктуального соблюдения своего назначения, благополучно установлена в чувствующей протоплазме, последовательность идей или чувств, на которые, как субъект, она способна, подчиняется другому правилу — данный момент больше не существует; это момент, который есть всё — момент, наполовину его предшественник, наполовину его преемник. Даже если допустить функцию бесконечно малого, это очень похоже на сведение к абсурду. Ибо, если вышеупомянутое временное слияние субмолекулы с разрушенной молекулой было также делом субъективного чувства, прошедшим как процесс через сознание, следует вывод, что соединение молекул происходит в два разных времени! От этого нет спасения. Дан момент в одном случае, момент в другом, эти два не могут быть одной и той же точкой во времени. Момент приобщается, как бы нечувствительно, к предшествующим и последующим стадиям, момент — нет. Следовательно, они не одни и те же, а разные времена.

ИНОВОСТЬ.

Вышесказанное имеет отчетливое отношение к вопросу о «других я», о которых г-н Пирс пишет следующее:

«Признание одним человеком личности другого происходит средствами, в некоторой степени идентичными средствам, которыми он осознает свою собственную личность. Идея второй личности, что равносильно тому, чтобы сказать, что сама вторая личность входит в поле прямого сознания первого лица и воспринимается так же непосредственно, как его эго, хотя и менее сильно. В то же время воспринимается оппозиция между двумя лицами, так что признается внешность второго». («Закон разума», с. 558.)

Это схема «иности», которая в случае неокантианцев, особенно французской секции, представленной М. Пиллоном, М. Ренувье и другими, оказалась такой ловушкой. Для этих мыслителей (как, впрочем, и для покойного профессора Т. Х. Грина из Оксфорда, хотя и в меньшей степени) так называемый внешний мир лежит в «других» мыслящих субъектах — в «чужих центрах представлений». Доктрина свободной торговли воистину проникла в философскую область — оптовый допуск иностранных товаров в ущерб отечественным продуктам. Почему я должен помещать содержание того так называемого внешнего мира, который, внешний или внутренний, является моим собственным неотчуждаемо, в центр представления, отличный от моего собственного, делая таким образом мое познание его полностью покоящимся на «эъективной» плоскости? Только когда я обнаружу, как я должен рано или поздно, что в отчете «постороннего» (или в любом их количестве) нет ничего, кроме того, что я приписываю ему или ей в своем собственном сознании; и что посторонний находится на той же плоскости, что и другие объекты, только тогда мистификация проясняется. Я не познаю и не признаю внешнее из вторых рук. «Признак» иности — просто еще один член, более или менее, в космическом ряду.

Однако не только с привычными «другими я» обычной жизни мы сталкиваемся в синехизме. В кредо анимизма

“Millions of spiritual creatures walk the earth,”

и г-н Пирс говорит о «духовных влияниях» (с. 559) как о не имеющих, по крайней мере, никаких препятствий, представленных им его доктриной. Но у него есть другие призрачные личности в распоряжении, которые, надо признаться, вполне способны заставить нас остановиться. «Должно быть нечто вроде личного сознания в телах людей, которые находятся в интимном и интенсивно симпатическом общении.... Никто из нас не может полностью осознать, каковы умы корпораций.... Но закон разума ясно указывает на существование таких личностей». Вероятно, верно, что «умы корпораций» всегда должны представлять неразрешимую загадку извращенности для жителя пригорода, раздраженного насмешкой мощения и освещения. Но нам не нужно задерживаться на этом предположении, ибо за ними есть другие тени.

«Если такой факт способен быть обнаружен где-либо, то это должно быть в Церкви.... Безусловно, личность должна была развиться в той Церкви, в той «невесте Христа», как они ее называют». («Стеклянная сущность человека», с. 21-22.)

ЛИЧНЫЙ ТВОРЕЦ.

Имея в виду наши церковные разделения, трудно представить единство «корпоративной личности» такого рода, но, оставив это в стороне, можно заметить, что когда кто-то начинает воображать, что во вселенной есть другие, кроме него самого, он, как правило, не довольствуется двумя или тремя спутниками своего одиночества. Они приходят батальонами. Таким образом, за другими я, корпоративными личностями и духовными влияниями синехизма вырисовывается трансцендентная личность. «Подлинная эволюционная философия», — говорят нам, — «... настолько далека от того, чтобы быть антагонистичной идее личного Творца, что она на самом деле неотделима от этой идеи». А философия псевдоэволюционизма «враждебна всем надеждам на личные отношения с Богом». («Закон разума», с. 557.)

Г-н Пирс, таким образом, отводит своей первой причине место в континууме идей и говорит, что если есть личный Бог, мы должны иметь прямое восприятие этой личности и «действительно быть в личном общении с ним». Трудность, признает он, в том, что если это так, как возможно, чтобы существование этого существа когда-либо подвергалось сомнению кем-либо. И единственный ответ, который он может в настоящее время дать, заключается в том, что «факты, которые стоят перед нашим лицом и глазами и смотрят нам в лицо, далеко не во всех случаях являются наиболее легко различимыми. Это», — добавляет он, — «было замечено с незапамятных времен». («Закон разума», с. 558-559.)

Один из самых способных живущих философских писателей, профессор Вейч из Университета Глазго, выражает это несколько похоже, хотя и со своей собственной реалистической окраской, когда говорит:

«Бог, если он вообще есть, должен подняться над линией конечного регресса; Он не может быть причиной в нем; Он не может быть причиной, зависящей от другой причины; Он должен быть где-то, или в какой-то точке, на линии бесконечного научного регресса, там, над ним, но связанный с ним, и в нем; иначе Он — ничто для нас». («Знание и бытие», с. 320.)

Параллелизм стоит отметить. Эти взгляды воплощают то, что было утверждением настоящего автора на протяжении всей этой статьи, с этим самым заметным отличием: что никакой член ряда не может таким образом превосходить ряд или быть чем-то иным, чем на уровне с другими членами, будучи сам лишь членом, звеном, в самом ряду. И с этим навсегда падает идея причины без причины.

И все же разве я не в ряду? Ибо все, что в ряду, — мое, каждый перцепт, каждый концепт; так что, как бы «экстравагантно» это ни казалось, именно я — это ряд. Другими словами, эго — это синтез вселенной, а синтез вселенной — эго.

Готов ли г-н Пирс принять последствия того, к чему ведет его синехизм?

Г. М. Маккри.

СНОСКИ:

[67] От τύχη, случайность.

[68] Тихизм снова выходит на первый план в следующем номере The Monist (Vol. III, No. 1) в статье г-на Пирса под названием «Стеклянная сущность человека».

[69] Д-р Карус в своем обзоре доктрин г-на Пирса (The Monist, Vol. II, No. 4, с. 575) отмечает этот позитивистский конструктивизм.

[70] Ср. Т. Х. Грин, «Пролегомены к этике», гл. II, с. 63.

[71] №№ 258, 59, 61, август 1892 г. «Мировая схема мисс Наден».

[72] В примечании к этому отрывку была добавлена цитата из брошюры д-ра Э. Кобэма Брюера как практический пример того, что объективное на устаревшей субъект-объектной плоскости фактически вытеснено. Предположим, очень далекая звезда погасла, «вибрации» продолжали бы «путешествовать» к наблюдателю, расположенному на нашей планете, годами, может быть, столетиями. Так что наблюдатель в конечном итоге «видит» то, чего даже не существует. Комментарий д-ра Брюера, который нельзя считать каким-либо вкладом в удовлетворительное обоснование, таков: «объекты, однако, должны были существовать, иначе никакой посланник не мог быть отправлен из их дворов». Очевидно, в этом случае то, что отправлено, по крайней мере, так же хорошо, как отправитель — является, по сути, тем же самым. Только в этом случае, как быть с погасшим объектом?

[73] Или, выражаясь иначе, любая одна идея и время этой идеи — на самом деле две идеи, хотя, как мы увидим позже, они могут быть неотделимы на практике.

[74] Ср. в этой связи результаты экспериментов Чеселдена, проведенных еще в 1727 году над врожденно слепыми людьми, прооперированными по поводу двойной катаракты.

[75] Гораздо более инклюзивная, также, чем реляционная теория неокантианцев.

[76] The Monist, Vol. III, No. 1.

[77] Г-н Пирс использует слово «мгновение» для обозначения точки времени, а «момент» — для обозначения бесконечно малой длительности.

[78] Фраза «нечто вроде» значима, если мы помним (см. выше), что у г-на Пирса возбудители были «нечто вроде» возбужденных чувств.

ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И СПИРИТУАЛИСТИЧЕСКОЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

Тенденция к обобщению давно привела математиков к расширению понятия трехмерного пространства, которое является пространством чувственного представления, и к определению совокупностей точек, или пространств, более чем трех измерений с целью использования этих определений как полезных средств исследования. У них не было идеи требовать от людей воображать четырехмерные вещи и миры, и они были еще менее далеки от того, чтобы требовать от них верить в реальное существование четырехмерного пространства. В руках математиков это расширение понятия пространства было лишь средством, разработанным для открытия и выражения, более короткими и удобными способами, истин, применимых к общей геометрии и к алгебре, оперирующей более чем тремя неизвестными величинами. На этой стадии, однако, появились спиритуалисты и хладнокровно завладели этой частной собственностью математиков. Они были в большом недоумении, куда им поместить духов умерших. Дать им место в мире, доступном нашим чувствам, было не совсем практично. Они были вынуждены, поэтому, искать вокруг какую-то terra incognita, которая противопоставила бы духу исследования, врожденному в человечестве, непреодолимый барьер. Обитель духов должна была быть местом, недоступным нашим чувствам и полным тайны для ума. Этим свойством обладало четырехмерное пространство математиков. С интеллектуальной извращенностью, о которой наука не имеет представления, эти спиритуалисты смело утверждали, во-первых, что весь мир расположен в четырехмерном пространстве так, как плоскость может быть расположена в знакомом нам пространстве, во-вторых, что духи умерших живут в таком четырехмерном пространстве, в-третьих, что эти духи могут, соответственно, воздействовать на мир и, следовательно, на человеческие существа, живущие в нем, точно так же, как мы, трехмерные существа, можем производить эффекты на вещи, которые являются двухмерными; например, такие эффекты, как те, что производятся, когда мы разбиваем пластинку льда и таким образом влияем на какой-то, возможно, существующий двухмерный ледяной мир.

С тех пор как спиритуализм под руководством лейпцигского профессора Цёлльнера таким образом провозгласил существование четырехмерного пространства, это понятие, которым математики владеют в совершенстве — ибо во всех своих операциях с ним, хотя они и сошли с пути актуальной представимости, они никогда не покидали пути истины, — это понятие также перешло в головы мирян, которые использовали его как лозунг, обычно не имея ясного представления о том, что они или кто-либо другой под этим подразумевают. Прояснить такие идеи и исправить неверные впечатления культурных людей, не имеющих технической математической подготовки, — цель следующих страниц. Подобное разъяснение было целью трактатов, которые Шлегель (Риман, Берлин, 1888) и Кранц (Собрание Вирхова-Хольцендорфа, №№ 112 и 113) опубликовали о так называемом четвертом измерении. Оба трактата обладают несомненными достоинствами, но их методы изложения во многих отношениях слишком кратки, чтобы дать неспециалисту глубокое понимание предмета. Автор, соответственно, смог добавить к размышлениям, которые предлагают эти превосходные трактаты, многое из того, что представляется ему необходимым для полного объяснения в умах нематематиков понятия четвертого измерения.

I. ПОНЯТИЕ ИЗМЕРЕНИЯ.

Многие учебники стереометрии начинаются со слов: «Каждое тело имеет три измерения: длину, ширину и толщину». Если бы мы попросили автора книги такого описания сказать нам длину, ширину и толщину яблока, губки или облака табачного дыма, он был бы несколько озадачен и, вероятно, сказал бы, что рассматриваемое определение относится к чему-то другому. Кубическая коробка или какая-то подобная структура, чьи углы все прямые, а ограничивающие поверхности, следовательно, все прямоугольники, — это единственное тело, о котором можно однозначно утверждать, что в нем различимы три главных направления, из которых любое можно назвать длиной, любое другое — шириной, а третье — толщиной. Мы, таким образом, видим, что понятия длины, ширины и толщины недостаточно ясны и универсальны, чтобы позволить нам вывести из них какое-либо представление о том, что имеется в виду, когда говорят, что каждое тело обладает тремя измерениями, или что пространство мира трехмерно.

Это различие может быть сделано более острым и очевидным с помощью следующих соображений: у нас есть, предположим, прямая линия, на которой расположена точка, и предложена задача определить положение точки на линии однозначным образом. Самый простой способ решить это — указать, насколько точка удалена в том или ином направлении от некоторой заданной фиксированной точки; точно так же, как в термометре положение поверхности ртути дается указанием ее расстояния в направлении холода или тепла от заранее определенной фиксированной точки — точки замерзания воды. Чтобы указать, следовательно, положение точки на прямой линии, единственным необходимым данным является одно число, ибо заранее мы определили некоторую стандартную линию, как сантиметр, и некоторую определенную точку, которой мы придаем значение ноль, а также заранее решили, в каком направлении от нулевой точки должны быть расположены точки, чье положение выражается положительными числами, а также в каком направлении должны лежать те, чье положение выражается отрицательными числами. Этот последний упомянутый факт, что одного числа достаточно для определения места точки на прямой линии, является реальной причиной, по которой мы приписываем прямой линии или любой ее части одно измерение.

Более общо, мы называем всякую совокупность или систему бесконечно многочисленных вещей одномерной, в которой одно число — это все, что требуется для определения и различения любой конкретной из этих вещей среди всей совокупности. Таким образом, время одномерно. Мы, как жители земли, естественно выбрали в качестве нашей единицы времени период вращения земли вокруг своей оси, а именно день или определенную часть дня. Нулевая точка времени рассматривается в христианских странах как год рождения Христа, а положительное направление времени — это время после рождения Христа. Эти данные зафиксированы, все, что необходимо для установления и различения любой определенной точки времени среди бесконечной совокупности всех точек времени, — это одно число. Конечно, это число не обязательно должно быть целым, а может состоять из суммы целого числа и дроби, в числителе и знаменателе которой мы можем иметь числа, какие пожелаем. Мы можем, следовательно, также сказать, что совокупность всех мыслимых числовых величин, или только таких, которые больше одного определенного числа и меньше другого определенного числа, является одномерной.

Мы добавим здесь несколько дополнительных примеров одномерных величин, представленных геометрией. Во-первых, окружность круга является одномерной величиной, как и любая кривая линия, независимо от того, замыкается она сама на себя или нет. Далее, совокупность всех равносторонних треугольников, стоящих на одном и том же основании, является одномерной, как и совокупность всех окружностей, которые можно описать через две фиксированные точки. Также можно увидеть, что совокупность всех мыслимых кубов является одномерной, при условии, что они различаются не по положению, а по величине.

В соответствии с фундаментальными идеями, с помощью которых мы определяем понятие одномерной многомерности, можно увидеть, что атрибут «двумерный» должен применяться ко всем совокупностям вещей, в которых необходимо (и достаточно) два числа, чтобы различить любую определенную отдельную вещь внутри этой совокупности. Простейший двумерный комплекс, который нам известен, — это плоскость. Чтобы точно определить положение точки на плоскости, проще всего взять две оси, расположенные под прямым углом друг к другу, то есть фиксированные прямые линии, а затем указать расстояния, на которые данная точка удалена от каждой из этих осей.

Этот метод определения положения точки на плоскости подсказал знаменитому философу и математику Декарту фундаментальную идею аналитической геометрии — раздела математики, в котором с помощью простого приема приписывания каждой точке на плоскости двух числовых значений, определяемых ее расстояниями от двух вышеупомянутых осей, планиметрические соображения преобразуются в алгебраические. Точно так же все виды кривых, которые графически представляют зависимость вещей от времени, используют тот факт, что совокупность точек на плоскости является двумерной. Например, чтобы представить в графической форме рост населения города, мы берем горизонтальную ось для представления времени, а перпендикулярную — для представления чисел, являющихся мерами численности населения. Любые две линии, длины которых определяются практическими соображениями, берутся в качестве единицы времени, скажем, года, и в качестве единицы населения, скажем, одной тысячи человек. За нулевую точку принимается какой-то определенный год, скажем, 1850-й. Затем от всех равноудаленных точек на горизонтальной оси, которые обозначают годы, мы движемся в направлениях, параллельных другой оси, то есть в перпендикулярном направлении, вверх ровно настолько, насколько требуют числа, обозначающие население этого года. Достигнутые таким образом конечные точки или кривая, проходящая через эти конечные точки, представят графическую картину темпов роста населения города в разные годы. Прямоугольные оси Декарта используются аналогичным образом для построения барометрических кривых, которые определяют для различных местностей страны величину изменения атмосферного давления в течение любого периода времени. Сразу после плоскости поверхность Земли будет признана двумерным агрегатом точек. В этом случае географическая широта и долгота дают два числа, необходимые для точного определения положения точки. Также совокупность всех возможных прямых линий, которые можно провести через любую точку в пространстве, является двумерной, что мы лучше всего поймем, если представим себе плоскость, пересекаемую в одной точке каждой из этих прямых линий, а затем вспомним, что при таком построении каждая точка на плоскости будет принадлежать какой-то одной линии и, наоборот, каждой точке будет соответствовать линия, откуда следует, что совокупность всех прямых линий, проходящих через заданную точку, имеет те же измерения, что и совокупность точек воображаемой плоскости.

Можно задаться вопросом: каким образом и в какой степени в данном случае спецификация двух чисел является необходимой и достаточной для определения среди всех лучей, проходящих через указанную точку, определенного отдельного луча? Чтобы получить ясное представление о рассматриваемой здесь проблеме, давайте представим луч, продолженный далеко в небеса, где ему будет соответствовать некоторая вполне определенная точка. Положение точки на небесах зависит, как и положение точки на всех сферических поверхностях, от двух чисел. На небесах эти два числа обычно задаются двумя углами, называемыми высотой, или расстоянием над плоскостью горизонта, и азимутом, или угловым расстоянием между кругом, на котором измеряется высота, и меридианом наблюдателя. Таким образом, видно, что совокупность всех световых лучей, которые глаз, мыслимый как точка, может получить из внешнего мира, является двумерной, а также что светящаяся точка испускает двумерную группу световых лучей. Также будет замечено в связи с этим примером, что двумерная совокупность всех лучей, которые можно провести через точку в пространстве, — это нечто иное, чем совокупность лучей, проходящих через точку, но обязанных лежать в данной плоскости. Такая группа объектов, как последняя, является одномерной совокупностью.

Теперь, когда мы достаточно обсудили атрибуты, характерные для одномерных и двумерных агрегатов, мы можем, без дальнейшего исследования предмета, предложить следующее определение: в общем случае n-мерная совокупность бесконечно многочисленных вещей — это такая совокупность, по отношению к которой спецификация n чисел является необходимой и достаточной для указания определенного индивида среди совокупности всех бесконечно многочисленных индивидов группы.

Соответственно, агрегат точек, составляющий мировое пространство, в котором мы обитаем, является трехмерной совокупностью. Чтобы получить точную ориентацию в этом пространстве и определить любую конкретную точку в нем, мы должны, следовательно, провести через любую точку, которую мы принимаем за нашу нулевую точку, три оси под прямым углом друг к другу: одну, идущую справа налево, одну назад и вперед, и одну вверх и вниз. Затем мы соединяем каждые две из этих осей плоскостью и таким образом получаем возможность указать положение каждой точки в пространстве тремя перпендикулярными расстояниями, на которые данная точка удалена в положительном или отрицательном смысле от этих трех плоскостей. Принято обозначать числа, являющиеся мерами этих трех расстояний, через x, y и z, причем положительные x, положительные y и положительные z обычно отсчитываются в направлениях справа, вперед и вверх от начала координат. Если теперь, с прямой отсылкой к этой фундаментальной системе осей, будет сделана какая-либо конкретная спецификация x, y и z, то в результате такой операции из трехмерной многомерности всех точек пространства будет вырезана и изолирована совокупность меньших измерений. Если, например, z равно семи единицам или мерам, это равносильно утверждению, что имеется в виду только двумерная совокупность точек, составляющих плоскость, которую можно провести под прямым углом к направленной вверх оси z на расстоянии семи мер от нулевой точки. Следовательно, каждое мыслимое уравнение между x, y и z изолирует и определяет двумерную совокупность точек. Если между x, y и z выполняются два различных уравнения, то из всех точек пространства будут изолированы две такие двумерные совокупности. Но так как последние должны иметь какую-то общую одномерную совокупность, мы можем сказать, что сосуществование двух уравнений между x, y и z определяет одномерную совокупность точек, то есть прямую линию, линию, изогнутую на плоскости, или даже, возможно, изогнутую в пространстве. Из этого очевидно, что введение трех осей координат образует мост между теорией пространства и теорией уравнений, включающих три переменные величины x, y, z. Причина, по которой теория пространства не может быть таким образом приведена в связь с алгеброй в целом, то есть с теорией бесконечно многочисленных уравнений, а только с алгеброй трех величин x, y, z, заключается просто в том факте, что пространство, каким мы его себе представляем, может иметь только три измерения.

Нам осталось привести лишь несколько дополнительных примеров n-мерных совокупностей. Все частицы воздуха являются четырехмерными по величине, когда в дополнение к их положению в пространстве мы также рассматриваем переменные плотности, которые они принимают, как они выражаются различными высотами барометра в разных частях атмосферы. Аналогично, все мыслимые сферы в пространстве являются четырехмерными величинами, ибо их центры образуют трехмерный агрегат точек, и вокруг каждого центра можно дополнительно вообразить одномерную совокупность сфер, радиусы которых могут быть выражены любой числовой величиной от нуля до бесконечности. Далее, если мы представим себе измерительную линейку неизменной длины, принимающую каждое мыслимое положение в пространстве, полученные таким образом положения составят пятимерный агрегат. Ибо, во-первых, один из концов измерительной линейки можно представить принимающим положение в каждой точке пространства, и это определяет для одного конца линейки трехмерную совокупность положений; и во-вторых, как мы видели выше, из каждого такого положения этого конца исходит двумерная совокупность направлений, и, вообразив измерительную линейку расположенной вдоль каждого из этих направлений, мы получим все мыслимые положения, которые может принять второй конец, и, следовательно, измерения должны быть 3 плюс 2, или 5. Наконец, чтобы выяснить, сколько измерений обладает совокупность всех возможных положений квадрата, неизменного по величине, мы сначала придаем одному из его углов все мыслимые положения в пространстве, и таким образом получаем три измерения. Теперь, когда для положения одного угла квадрата зафиксирована определенная точка в пространстве, мы воображаем проведенными через эту точку все возможные линии, и на каждой откладываем длину стороны квадрата, тем самым получая два дополнительных измерения. Через точку, полученную для положения второго угла квадрата, мы должны теперь вообразить проведенными все возможные направления, перпендикулярные зафиксированной таким образом линии, и мы должны еще раз отложить на каждом из этих направлений сторону квадрата. Этим последним определением измерения увеличиваются только на один, ибо для одной прямой линии в одной из ее точек возможна только одна одномерная совокупность перпендикулярных направлений. Три угла квадрата теперь зафиксированы, и тем самым положение четвертого также однозначно определено. Соответственно, совокупность всех равных квадратов, которые отличаются друг от друга только своим положением в пространстве, составляет многомерность шести измерений.

II. ВВЕДЕНИЕ ПОНЯТИЯ ЧЕТЫРЕХМЕРНЫХ АГРЕГАТОВ ТОЧЕК ДОПУСТИМО.

В предыдущем разделе было показано, что мы можем мыслить не только многомерности одного, двух и трех измерений, но также многомерности любого числа измерений. Но в то же время было указано, что наше мировое пространство, то есть совокупность всех мыслимых точек, которые различаются только по положению, не может, в согласии с нашими представлениями о вещах, обладать более чем тремя измерениями. Но теперь возникает вопрос: если прогресс науки движется в таком направлении, допустимо ли расширять понятие пространства путем введения агрегатов точек более чем трех измерений и заниматься изучением свойств таких творений, хотя мы знаем, что, несмотря на тот факт, что мы можем концептуально устанавливать и исследовать такие агрегаты точек, мы все же не можем представить себе эти творения так, как мы представляем пространственные величины, которые нас окружают, то есть регулярные трехмерные агрегаты точек.

Чтобы ясно показать читателю, что на этот вопрос следует ответить утвердительно, что расширение нашего понятия пространства допустимо, хотя оно и ведет к вещам, которые мы не можем воспринимать нашими чувствами, я могу обратить внимание читателя на тот факт, что в арифметике мы с юности привыкли к расширениям идей, которые, если смотреть точно, так же мало допускают графическое представление, как и четырехмерное пространство, то есть агрегат точек четырех измерений. Своими чувствами человек сначала достигает только идеи целых чисел — результатов счета. Наблюдение за первобытными народами [79] и детьми ясно доказывает, что существенными решающими факторами счета являются следующие три: во-первых, мы абстрагируемся при счете вещей полностью от индивидуальных и характерных атрибутов этих вещей, то есть рассматриваем их как однородные. Во-вторых, мы ассоциируем индивидуально с вещами, которые мы считаем, другие однородные вещи. Эти другие вещи даже сейчас, среди нецивилизованных народов, — десять пальцев двух рук. Однако это могут быть простые штрихи или, как в случае с костями и домино, черные точки на белом фоне. В-третьих, мы заменяем результат этой ассоциации каким-то кратким символом или словом; например, римляне заменяли три сосчитанные вещи тремя штрихами, расположенными рядом, а именно: III; но для больших чисел вещей они использовали сокращенные знаки. У ацтеков, коренных жителей Мексики, по-видимому, было достаточно времени, чтобы выразить все числа до девятнадцати равными кружками, расположенными рядом. У них были сокращенные знаки только для чисел 20, 400, 8000 и так далее. В речи какой-то один и тот же звук мог ассоциироваться с сосчитанными вещами; но этот метод счета в наши дни используется только часами: языки людей с доисторических времен создали краткие слова для результатов рассматриваемой ассоциации. Из понятия числа, зафиксированного таким образом как результат счета, человек пришел к понятию сложения двух чисел, а оттуда — к понятию, которое является обратным последнему процессу, понятию вычитания. Но в этот момент ясно обнаруживается, что не каждая задача, которая может быть предложена, разрешима; ибо не существует числа, которое могло бы выразить результат вычитания числа из того, которое равно ему по величине, или из того, которое меньше его самого. Ученик начальной школы, который говорит, что из 5 «нельзя вычесть» 8, совершенно прав со своей точки зрения. Ибо действительно не существует никакого результата счета, который, будучи прибавленным к восьми, даст пять.

Если бы человечество придерживалось этой точки зрения и удовлетворилось мнением, что задача «5 минус 8» неразрешима, наука арифметика никогда не получила бы своего полного развития, и человечество не продвинулось бы в цивилизации так далеко, как оно продвинулось. К счастью, люди сказали себе в этот критический момент: «Если 5 минус 8 не получается, мы сделаем так, чтобы получилось; если 5 минус 8 не обладает понятным смыслом, мы просто придадим ему его». На самом деле вещи, не имеющие смысла, всегда предоставляют людям приятную возможность наделить их им. Вопрос, следовательно, в том, какой смысл следует придать задаче «5 минус 8»?

Самым естественным и, следовательно, самым выгодным решением, несомненно, является придерживаться первоначального понятия вычитания как обратного сложению и сделать смысл 5 минус 8 таким, чтобы для 5 минус 8 плюс 8 мы получили наше первоначальное уменьшаемое 5. При таком методе все правила вычисления, которые применяются к реальным разностям, будут также справедливы для нереальных разностей, таких как 5 минус 8. Но тогда ясно обнаруживается, что все формы, выражающие разности, в которых число, стоящее перед знаком минус, меньше на равную величину, чем то, которое следует за ним, могут рассматриваться как равные; так что самым простым курсом кажется введение в качестве общего признака всех равных дифференциальных форм такого описания общего знака, который будет указывать в то же время на разность двух таким образом ассоциированных чисел. Так вышло, что для 5 минус 8, как и для каждой дифференциальной формы, которая может рассматриваться как равная ей, был введен знак «-3». Но, называя дифференциальные формы такого описания числами, понятие числа было расширено и была открыта новая область, а именно область отрицательных чисел.

В дальнейшем развитии науки арифметики, через операцию деления, рассматриваемую как обратную умножению, было достигнуто второе расширение идеи числа, а именно понятие дробных чисел как результата делений, которые привели к числам, доселе не определенным. Мы находим, таким образом, что наука арифметика на протяжении всего своего развития строго придерживалась принципа соответствия и последовательности и наделила каждую ассоциацию двух чисел, которая раньше не имела смысла, путем введения новых чисел, реальным смыслом, таким, что подобные операции в соответствии с точно такими же правилами могли выполняться с новыми числами, рассматриваемыми как результаты этой ассоциации, как и с числами, которые были известны ранее и были совершенно определены. Таким образом, наука продвигалась дальше по своему пути и пришла к понятиям иррациональных, мнимых и комплексных чисел.

Суть всего этого, которую читатель должен тщательно отметить, заключается в том, что все числа арифметики, за исключением положительных целых чисел, являются искусственными продуктами человеческой мысли, изобретенными для того, чтобы сделать язык арифметики более гибким и ускорить прогресс науки. Всем этим числам недостает атрибутов представимости.

Ни один человек в мире не может представить себе «минус три дерева». Можно, конечно, знать, что когда три дерева в саду были срублены и унесены, то трех не хватает, и, заменив «не хватает» обратным понятием «прибавлено», мы можем сказать, возможно, что «минус три дерева» прибавлены. Но это совсем не то же самое, что подвиг воображения отрицательного числа деревьев. Мы можем только представить себе число деревьев, которое является результатом фактического счета, то есть положительное целое число. И все же, несмотря на все это, люди нисколько не колебались в расширении понятия числа. Точно так же должно быть позволено нам в геометрии расширить понятие пространства, даже если такое расширение может быть определено только мысленно и никогда не может быть приведено в пределы человеческих способностей представления.

В математике, на самом деле, расширение любого понятия допустимо, при условии, что такое расширение не ведет к противоречиям с самим собой или с результатами, которые хорошо установлены. Являются ли такие расширения необходимыми, оправданными или важными для прогресса науки — это другой вопрос. Должно быть признано, следовательно, что математик оправдан в расширении понятия пространства как агрегата точек трех измерений, и во введении пространства или агрегатов точек более чем трех измерений, и в использовании их как средств исследования. Другие науки также оперируют вещами, о которых они не знают, существуют ли они, и которые, хотя они достаточно определены, не могут быть восприняты нашими чувствами. Например, физик использует эфир как средство исследования, хотя он не может иметь о нем чувственного знания. Эфир — это не что иное, как средство, которое позволяет нам механически постичь эффекты, известные как действие на расстоянии, и привести их в пределы общей точки зрения. Без допущения материала, который проникает во все, и посредством чьих колебаний импульсы передаются в самые отдаленные части пространства, явления света, тепла, гравитации и электричества были бы нагромождением изолированных и несвязанных тайн. Допущение эфира, однако, включает в систематическую схему все эти изолированные события, облегчает наш ментальный контроль над явлениями природы и позволяет нам производить эти явления по желанию. Но в таких размышлениях нельзя забывать, что эфир сам по себе является для человека еще большей проблемой, и что эфирная гипотеза не решает трудностей явлений, а только ставит их в унитарную концептуальную форму. Несмотря на все это, физики никогда не имели ни малейшего колебания в использовании эфира как средства исследования. И так же мало существует причин, почему математики должны колебаться в исследовании свойств четырехмерного агрегата точек с целью приобретения таким образом удобного средства исследования.

III. ВВЕДЕНИЕ ИДЕИ ЧЕТЫРЕХМЕРНЫХ АГРЕГАТОВ ТОЧЕК ПОЛЕЗНО ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЙ.

Из допущения, что математик имеет право определять и исследовать свойства агрегатов точек более чем трех измерений, не обязательно следует, что введение идеи такого описания представляет ценность для науки. Так, например, в арифметике введение операций, которые проистекают из возведения в степень, как возведение в степень и две его обратные операции проистекают из умножения, несомненно, разрешено. Точно так же, как для «a умножить на a умножить на a» мы пишем сокращенный символ «a³» (который мы читаем «a в третьей степени») и подробно исследуем операцию возведения в степень, определенную таким образом, мы могли бы также ввести какой-то сокращенный символ для «a в степени a в степени a» и таким образом прийти к операции четвертой степени, которая рассматривала бы a как пассивное число, а число 3 или любое более высокое число — как активное число, то есть как число, которое указывает, сколько раз a берется как основание степени, чей показатель может быть a, или «a в степени a», или «a в степени a в степени a».

Но введение такой операции четвертой степени доказало свою не особую ценность для математики. И причина в том, что в операции возведения в степень закон коммутации не выполняется. В сложении числа, которые нужно сложить, могут быть переставлены, и введение умножения поэтому представляет большую ценность. Так же и в умножении числа, которые комбинируются, то есть множители, могут быть изменены любым способом, и таким образом введение возведения в степень представляет ценность. Но в возведении в степень основание и показатель не могут быть переставлены, и, следовательно, введение любой более высокой операции почти бесполезно.

Но с введением идеи агрегатов точек многих измерений дело обстоит совершенно иначе. Рассматриваемое новшество доказало свою важность не только для исследований, но прогресс науки непреодолимо заставил исследователей перейти к введению этой идеи, как мы сейчас изложим подробно.

Во-первых, алгебра, особенно алгебраическая теория систем уравнений, извлекает большую пользу из понятия многомерных пространств. Если у нас есть только три неизвестные величины x, y, z, алгебраические вопросы, которые возникают из возможных задач этого класса, допускают, как мы видели выше, геометрическое представление для глаза. Благодаря этой возможности геометрического представления некоторые определенные простые геометрические идеи, такие как «движение», «лежание в», «пересечение» и так далее, могут быть переведены в алгебраические события. Теперь не существует причины, почему алгебра должна останавливаться на трех переменных величинах; она должна, на самом деле, принимать во внимание любое число переменных величин.

Для целей краткости и большей наглядности, следовательно, вполне естественно использовать геометрические формы речи при рассмотрении более чем трех переменных. Но когда мы делаем это, мы принимаем, возможно, не намереваясь этого делать, идею пространства более чем трех измерений. Если у нас есть четыре переменные величины x, y, z, u, мы приходим, вообразив приписанной каждой из этих четырех величин каждую возможную числовую величину, к четырехмерной многомерности числовых величин, которую мы можем с таким же успехом рассматривать как четырехмерный агрегат точек. Два уравнения, которые существуют при этом предположении между x, y, z и u, определяют два трехмерных агрегата точек, которые пересекаются, как мы можем кратко сказать, в двумерном агрегате точек, то есть в поверхности; и так далее. Несколько иным образом определение содержания квадрата или куба путем возведения в степень числа, которое обозначает длину его сторон, ведет к понятию четырехмерных структур и, следовательно, к понятию четырехмерного точечного пространства. Когда мы отмечаем, что a² означает содержание квадрата, а a³ — содержание куба, мы естественно спрашиваем о содержании структуры, которая производится из куба, как куб производится из квадрата, и которая также будет иметь содержание a⁴. Мы не можем, это правда, ясно представить себе структуру такого описания, но мы можем, тем не менее, установить ее свойства с математической точностью. [80] Она ограничена 8 кубами, точно так же, как куб ограничен 6 квадратами; она имеет 16 углов, 24 квадрата и 32 ребра, так что из каждого угла исходят 4 ребра, 6 квадратов и 4 куба, а из каждого ребра — 3 квадрата и 3 куба.

И все же, несмотря на большую пользу для алгебры этой идеи многомерного пространства, должно быть признано, что концепция, хотя и удобная, все же не является незаменимой. Это правда, алгебра нуждается в идее многих измерений, но она не так абсолютно нуждается в идее агрегатов точек многих измерений.

Это понятие, однако, необходимо и полезно для глубокого постижения геометрии. Система геометрических знаний, которую Евклид Александрийский создал около трехсот лет до Христа, поставляла в течение периода более чем двух тысяч лет блестящий пример совокупности выводов и истин, которые были взаимно последовательными и логичными. До настоящего столетия идея элементарной геометрии была неразрывно связана с именем Евклида, так что в Англии, где люди дольше всего придерживались жесткой дедуктивной системы греческого математика, задача «изучения геометрии» и «чтения Евклида» были до нескольких лет назад идентичными. Каждое положение этой евклидовой системы покоится на других положениях, как один строительный камень в доме покоится на другом. Только самые нижние камни, фундаменты, были без опор. Это аксиомы или фундаментальные положения, истины, на которых все другие истины прямо или косвенно основаны, но которые сами по себе принимаются без доказательства как самоочевидные.

Но дух математического исследования становился со временем все более критическим и, наконец, спросил, не могут ли эти аксиомы, возможно, допускать доказательство. Особенно искалось жесткое доказательство для одиннадцатой аксиомы Евклида, которая трактует о параллельных.

После столетий бесплодных попыток доказать одиннадцатую аксиому Евклида, Гаусс, а вместе с ним Бойяи и Лобачевский, Риман и Гельмгольц, наконец, изложили решающие причины, почему любая попытка доказать аксиому о параллельных должна обязательно быть тщетной. Эти причины состоят в том факте, что, хотя эта аксиома достаточно хорошо выполняется в мировом пространстве, каким мы его делаем и можем мыслить, существуют идеально мыслимые, хотя и не способные к ментальному представлению трехмерные пространства, где аксиома не выполняется. Аксиома была, таким образом, показана как простой факт наблюдения, и с того времени не могло быть больше никакой мысли о дедуктивном доказательстве ее. Ввиду тесной связи, которая как с исторической, так и с эпистемологической точки зрения существует между расширением концепции пространства и критическим исследованием аксиом Евклида, мы должны войти несколько более подробно в обсуждение последних упомянутых положений.

Из аксиом, которые Евклид предпосылает своей геометрии, только следующие три являются действительно геометрическими аксиомами:

Восьмая аксиома: Величины, которые совпадают друг с другом, равны друг другу.

Одиннадцатая аксиома: Если прямая линия встречает две прямые линии так, чтобы сделать два внутренних угла на той же стороне от нее, взятые вместе, меньше двух прямых углов, эти прямые линии, будучи постоянно продолженными, должны в конце концов встретиться на той стороне, на которой находятся углы, которые меньше двух прямых углов.

Двенадцатая аксиома: Две прямые линии не могут заключать [конечное] пространство.

Многочисленные доказательства, которые с течением времени приводились в демонстрацию этих аксиом, особенно одиннадцатой, все оказываются при близком рассмотрении псевдодоказательствами. Лежандр обратил внимание на тот факт, что любая из следующих аксиом может быть подставлена вместо одиннадцатой:

a) Через точку можно провести к прямой линии, внутри плоскости, которая соединяет точку с линией, одну и только одну линию, которая не будет пересекать первую (параллели), как бы далеко обе линии ни были продолжены;

b) Если две параллельные линии пересекаются третьей прямой линией, внутренние накрест лежащие углы будут равны.

c) Сумма углов треугольника равна двум прямым углам, то есть углу прямой линии или 180°.

С помощью любого из этих трех утверждений одиннадцатая аксиома Евклида может быть доказана, и, наоборот, с помощью последней каждое из трех утверждений может быть доказано, конечно, с помощью двух других аксиом, восьмой и двенадцатой. Восприятие того, что одиннадцатая аксиома не допускает доказательства без использования одного из вышеупомянутых заменителей, может быть лучше всего получено из рассмотрения конгруэнтных фигур. Каждый читатель вспомнит из своего первого обучения геометрии, что конгруэнтность двух треугольников доказывается наложением одного треугольника на другой и затем выяснением, полностью ли они совпадают, причем при определении не делается никаких допущений, кроме вышеупомянутых.

Рис. 1.

В случае треугольников, которые конгруэнтны, как I и II на предыдущем рисунке, это совпадение может быть осуществлено простым перемещением одного из треугольников; так что даже двумерное существо, предполагаемое наделенным способностями рассуждения, но способное представлять себе только движения внутри плоскости, также могло бы убедиться, что два треугольника I и II могут быть сделаны совпадающими. Но существо такого описания не могло бы убедиться подобным образом в конгруэнтности треугольников I и III. Оно обнаружило бы равенство трех сторон и трех углов, но оно никогда не смогло бы так наложить два треугольника друг на друга, чтобы сделать их совпадающими. Трехмерное существо, однако, может сделать это очень легко. Ему просто нужно повернуть треугольник I вокруг одной из его сторон и сдвинуть треугольник, приведенный таким образом в положение своего отражения в зеркале, в положение треугольника III. Аналогично, треугольники II и III могут быть сделаны совпадающими путем перемещения любого из них из плоскости бумаги вокруг одной из его сторон как оси и поворота его до тех пор, пока он снова не попадет в плоскость бумаги. Перевернутый таким образом треугольник может быть затем приведен в положение другого.

Позже мы вернемся к этим двум видам конгруэнтности: «конгруэнтность путем перемещения» и «конгруэнтность путем поворота». На данный момент мы будем исходить из того факта, что всегда возможно в пределах плоскости взять треугольник из одного положения и привести его в другое, не изменяя его сторон и углов. Вопрос в том, возможно ли это только в плоскости или это может быть сделано также на других поверхностях.

Мы находим, что существуют определенные поверхности, на которых это возможно, и некоторые другие, на которых это невозможно. Например, невозможно переместить треугольник, нарисованный на поверхности яйца, в какое-то другое положение на поверхности яйца без растяжения или сжатия некоторых частей треугольника. С другой стороны, вполне возможно переместить треугольник, нарисованный на поверхности сферы, в любое другое положение на поверхности сферы без растяжения или сжатия его частей. Математическая причина этого факта заключается в том, что поверхность сферы, как и плоскость, имеет везде одинаковую кривизну, но поверхность яйца в разных местах имеет разную кривизну. О плоскости мы говорим, что она имеет везде кривизну ноль; о поверхности сферы мы говорим, что она имеет везде положительную кривизну, которая тем больше, чем меньше радиус. Существуют также поверхности, которые имеют постоянную отрицательную кривизну; эти поверхности демонстрируют в каждой точке в направлениях, исходящих с одной и той же стороны, частично вогнутую и частично выпуклую структуру, несколько похожую на центр седла. Нет необходимости нам входить в какие-либо детали в характер и структуру последних упомянутых поверхностей.

Тесно связаны с плоскостью, однако, все те поверхности, которые, как и плоскость, имеют кривизну ноль; в эту категорию входят особенно цилиндрические поверхности и конические поверхности. Лист бумаги в форме сектора круга может, например, быть легко согнут в форму конической поверхности. Если теперь два конгруэнтных треугольника будут нарисованы на листе бумаги, которые могут путем перемещения быть переведены один в другой, эти треугольники будут, ясно, также оставаться конгруэнтными на конической поверхности; то есть на конической поверхности также мы можем переместить один в другой; ибо хотя произойдет изгибание фигур, не будет никакого растяжения или сжатия. Аналогично, существуют поверхности, которые, как и сфера, имеют везде постоянную положительную кривизну. На таких поверхностях также каждая фигура может быть перенесена в какое-то другое положение без растяжения или сжатия ее частей. Соответственно, на всех поверхностях, таким образом связанных с плоскостью или сферой, допущение, которое лежит в основе восьмой аксиомы Евклида, что возможно перенести в любое новое положение любую фигуру, нарисованную на таких поверхностях без искажения, выполняется.

Одиннадцатая аксиома в свою очередь также выполняется на всех поверхностях постоянной кривизны, будь то кривизна ноль или положительная; только в таких случаях вместо «прямой» линии мы должны сказать «кратчайшая» линия. На поверхности сферы, а именно, две кратчайшие линии, то есть дуги двух больших кругов, всегда пересекаются, независимо от того, продолжены ли они в направлении той стороны, на которой третья дуга большого круга образует с ними углы меньше двух прямых углов, или в направлении другой стороны, где эта дуга образует с ними углы более двух прямых углов. На плоскости, однако, две прямые линии пересекаются только на той стороне, где третья прямая линия, которая встречает их, образует с ними внутренние углы меньше двух прямых углов.

Двенадцатая аксиома Евклида, наконец, выполняется только на плоскости и на поверхностях, связанных с ней, но не на сфере или других поверхностях, которые, как и сфера, имеют постоянную положительную кривизну. Это также объясняет тот факт, что один из трех постулатов, которые мы рассматривали как заменители одиннадцатой аксиомы, хотя и справедливый для плоскости, не является истинным для поверхности сферы; а именно, постулат, который определяет сумму углов треугольника. Эта сумма в плоском треугольнике равна двум прямым углам; в сферическом треугольнике она больше двух прямых углов, причем сферический треугольник тем больше, чем больше избыток суммы его углов над двумя прямыми углами. Будет видно из этих соображений, что в геометриях, в которых изучаются кривые поверхности, а не фиксированные плоскости, аксиомы Евклида являются либо полностью, либо частично ложными.