«Принципы науки: Трактат о логике и научном методе»

Когда мы сравниваем общие термины друг с другом, часто можно обнаружить, что значение одного включено в значение другого. Так, все «кристаллы» включены в число «материальных веществ», а все «непрозрачные кристаллы» включены в число «кристаллов»; здесь включение происходит по объему (extension). Мы также можем иметь включение значения в отношении содержания (intension). Ибо, поскольку все кристаллы являются материальными веществами, качества, имплицируемые термином «материальное вещество», должны быть среди тех, которые имплицируются «кристаллом». Опять же, очевидно, что в то время как по объему значения непрозрачные кристаллы являются лишь частью кристаллов, по содержанию значения «кристалл» является лишь частью «непрозрачного кристалла». Мы увеличиваем интенсивное значение термина, присоединяя к нему прилагательные или фразы, эквивалентные прилагательным, и удаление таких прилагательных, конечно, уменьшает интенсивное значение. Теперь, относительно таких изменений значения, повсеместно верен следующий важнейший закон: когда интенсивное значение термина увеличивается, объем уменьшается; и наоборот, когда объем увеличивается, содержание уменьшается. Короче говоря, по мере того как одно увеличивается, другое уменьшается.

Этот закон относится только к логическим изменениям. Количество паровых машин в мире может быстро увеличиваться без изменения интенсивного значения имени. Закон будет проверен, опять же, только тогда, когда произойдет реальное изменение в интенсивном значении, а прилагательное часто может быть присоединено к существительному без внесения изменений. «Элементарный металл» идентичен «металлу»; «смертный человек» — «человеку»; поскольку свойством всех металлов является быть элементами, а всех людей — быть смертными.

Нет предела количеству значения, которое может иметь термин. Термин может денотировать один объект, или многие, или бесконечное число; он может имплицировать одно качество, если таковое существует, или группу любого количества качеств, и все же закон, связывающий объем и содержание, будет безотказно применяться. Взяв общее имя «планета», мы увеличиваем его содержание и уменьшаем его объем, добавив прилагательное «внешняя»; и если мы далее добавим «ближайшая к Земле», останется только одна планета, Марс, к которой тогда может быть применено это имя. Сингулярные термины, которые денотируют только одного индивида, подпадают под тот же закон значения, что и общие имена. Их можно рассматривать как общие имена, значение которых по объему сведено к минимуму. Логики ошибочно утверждали, как мне кажется, что сингулярные термины лишены значения по содержанию, в то время как факт состоит в том, что они превосходят все другие термины в этом виде значения, как я пытался показать в другом месте.

Абстрактные термины.

Сравнение объектов и анализ сложных сходств и различий, которые они представляют, приводят нас к концепции «абстрактных качеств». Мы учимся думать об одном объекте не только как об отличном от другого, но как о различающемся в каком-то конкретном пункте, таком как цвет, вес или размер. Мы можем затем превратить точки согласия или различия в отдельные объекты мысли, которые мы называем качествами и обозначаем «абстрактными терминами». Так, термин «краснота» означает нечто, в чем ряд объектов согласуются по цвету и в силу чего они называются красными. Краснота образует, по сути, интенсивное значение термина «красный».

Абстрактные термины сильно отличаются от общих терминов тем, что обладают только одним видом значения; ибо, поскольку они денотируют качества, нет ничего, что они не могли бы дополнительно имплицировать. Прилагательное «красный» — это имя красных объектов, но оно имплицирует обладание ими качеством «краснота»; но этот последний термин имеет один единственный смысл — только качество. Таким образом, получается, что абстрактные термины неспособны к множественности. Красные объекты численно отличны друг от друга, и существует множество таких объектов; но краснота — это единое качество, которое проходит через все эти объекты и является тем же самым в одном, что и в другом. Правда, мы можем говорить о «краснотах», имея в виду разные виды или оттенки красноты, точно так же, как мы можем говорить о «цветах», имея в виду разные виды цветов. Но при различении видов, степеней или других различий мы делаем термины в этой мере конкретными. В том, что они просто красные, в красных объектах есть только одна природа, и поскольку вещи просто окрашены, цвет — это единое неделимое качество. Краснота, поскольку она является просто краснотой, везде одна и та же и обладает абсолютным единством. В силу этого единства мы приобретаем способность обращаться со всеми примерами такого качества так, как мы можем обращаться с любым одним. Мы обладаем, короче говоря, общим знанием.

Субстанциальные термины.

Логики, по-видимому, мало обращали внимания на класс терминов, которые в определенных отношениях разделяют характер абстрактных терминов и все же, несомненно, являются именами конкретных существующих вещей. Эти термины — имена веществ, таких как золото, карбонат кальция, азот и т. д. Мы не можем говорить о двух «золотах», двадцати «карбонатах кальция» или ста «азотах». Между частями однородного вещества нет такого различия, которое позволило бы различать многочисленных индивидов. Качества цвета, блеска, ковкости, плотности и т. д., по которым мы узнаем золото, распространяются через его вещество независимо от конкретного размера или формы. Поскольку вещество является золотом, оно везде одно и то же; так что термины этого рода, которые я предлагаю называть «субстанциальными терминами», обладают особым единством абстрактных терминов. И все же они не абстрактны; ибо золото, конечно, является осязаемым видимым телом, полностью конкретным и существующим независимо от других тел.

Только когда путем фактического механического деления мы разбиваем однородное целое, которое образует значение субстанциального термина, мы вводим число. «Кусок золота» — это термин, способный к множественности; ибо может быть очень много кусков, различаемых либо по их различным формам и размерам, либо, при отсутствии таких признаков, путем одновременного занятия разных частей пространства. По существу они едины; что касается свойств пространства, они множественны. Нам не нужно далее углубляться в этот вопрос, который включает различие между единством и множественностью, пока мы не рассмотрим принципы числа в последующей главе.

Собирательные термины.

Мы должны четко различать собирательные и общие значения терминов. Одно и то же имя может быть использовано для обозначения всего тела существующих объектов определенного рода или любого из этих объектов, взятого отдельно. «Человек» может означать совокупность существующих людей, которую мы иногда описываем как «человечество»; это также общее имя, применяемое к любому человеку. «Растительное царство» — это имя всей совокупности растений, но «растение» само по себе является общим именем, применяемым к любому одному или другому растению. Каждый материальный объект может быть представлен как делимый на части и поэтому является собирательным в отношении этих частей. Животное тело состоит из клеток и волокон, кристалл — из молекул; везде, где возможно физическое деление, или, как его называли, «разделение», мы имеем дело в действительности с собирательным целым. Таким образом, большее число общих терминов в то же время являются собирательными в отношении каждого индивидуального целого, которое они обозначают.

Едва ли стоит указывать, что мы не должны делать вывод о собирательном целом из того, что мы знаем только о частях, ни о частях из того, что мы знаем только о целом. Отношение целого и части не является отношением тождества и не допускает подстановки. Тем не менее могут существовать качества, которые одинаково верны для целого и для его частей. Ряд органных труб, настроенных в унисон, производят совокупность звука, которая имеет точно такую же высоту, как каждый отдельный звук. В случае субстанциальных терминов определенные качества могут присутствовать в равной степени в каждой мельчайшей части, как и в целом. Химическая природа самой большой массы чистого карбоната кальция такая же, как природа самой маленькой частицы. В случае абстрактных терминов, опять же, мы не можем провести различие между целым и частью; то, что верно для красноты в любом случае, всегда верно для красноты, поскольку она является просто красной.

Синтез терминов.

Мы постоянно объединяем простые термины вместе, чтобы сформировать новые термины более сложного значения. Так, чтобы увеличить интенсивное значение термина, мы пишем его с прилагательным или фразой адъективного характера. Присоединяя «хрупкий» к «металлу», мы получаем комбинированный термин «хрупкий металл», который обозначает определенную часть металлов, а именно те, которые выбраны из-за обладания качеством «хрупкости». Как мы уже видели, «хрупкий металл» обладает меньшим объемом и большим содержанием, чем «металл». Существительные, предложные фразы, причастные обороты и подчиненные суждения также могут быть добавлены к терминам, чтобы увеличить их содержание и уменьшить их объем.

В нашем символическом языке нам нужен какой-то способ обозначения этого соединения терминов, и самым удобным устройством будет соположение буквенных терминов. Так, если A означает «хрупкий», а B означает «металл», то AB будет означать «хрупкий металл». И не должно быть никакого предела количеству букв, соединенных таким образом, или сложности понятий, которые они могут представлять.

Так, если мы возьмем буквы

P = metal,

Q = white,

R = monovalent,

S = of specific gravity 10·5,

T = melting above 1000° C.,

V = good conductor of heat and electricity,

то мы можем сформировать комбинированный термин PQRSTV, который будет обозначать «белый одновалентный металл с удельным весом 10,5, плавящийся выше 1000° C и являющийся хорошим проводником тепла и электричества».

Существует много грамматических употреблений, касающихся соединения слов и фраз, на которые нам не нужно обращать внимание в логике. Мы никогда не можем сказать в обычном языке «деревянный стол» (of wood table), имея в виду «стол из дерева» (table of wood); но мы можем рассматривать «из дерева» логически как точный эквивалент «деревянного»; так что если

X = of wood,

Y = table,

нет причин, почему в наших символах XY не могло бы быть таким же правильным выражением для «стола из дерева», как YX. В этом случае, действительно, мы могли бы заменить «из дерева» соответствующим прилагательным «деревянный», но мы часто не смогли бы найти никакого прилагательного, точно соответствующего фразе. Нет ни одного слова, которым мы могли бы выразить понятие «с удельным весом 10,5»: но логически мы можем рассматривать эти слова как образующие прилагательное; и, обозначая это через S, а металл через P, мы можем сказать, что SP означает «металл с удельным весом 10,5». Одно из многих преимуществ этих пустых буквенных символов заключается в том, что они позволяют нам полностью пренебречь всеми грамматическими особенностями и сосредоточить наше внимание исключительно на чисто логических отношениях. Исследование, вероятно, покажет, что правила грамматики в основном основаны на традиционном употреблении и имеют мало логического значения. Это, действительно, достаточно доказано широкими грамматическими различиями, которые существуют между языками, хотя логическое основание должно быть одним и тем же.

Символическое выражение закона противоречия.

Синтез терминов подчиняется важнейшему Закону Мышления, описанному в предыдущем разделе (стр. 5) и называемому Законом Противоречия. Самоочевидно, что никакое качество не может одновременно присутствовать и отсутствовать в одно и то же время и в одном и том же месте. Это фундаментальное условие всякого мышления и всякого существования выражается символически правилом, что термин и его отрицание никогда не должны допускаться к соединению. Такие комбинированные термины, как Aa, Bb, Cc и т. д., самопротиворечивы и лишены всякого понятного смысла. Если бы они могли что-то представлять, это было бы то, что не может существовать и не может быть даже воображено в уме. Поэтому они могут входить в наше рассмотрение только для того, чтобы подвергнуться немедленному исключению. Критерий ложного рассуждения, как мы обнаружим, заключается в том, что оно включает самопротиворечие, утверждение и отрицание одного и того же высказывания. Мы могли бы представить объект всякого рассуждения как отделение последовательного и возможного от непоследовательного и невозможного; и мы не можем сделать никакого утверждения, кроме трюизма, не подразумевая, что определенные комбинации терминов противоречивы и исключены из мышления. Утверждать, что «все A суть B», эквивалентно утверждению, что «A, которые не суть B, не могут существовать».

Будет удобно иметь средства для обозначения исключения самопротиворечивого, и мы можем использовать привычный знак для «ничего», цифру 0. Таким образом, второй закон мышления может быть символизирован в формах

Aa = 0 ABb = 0 ABCa = 0

Мы можем по-разному описывать значение 0 в логике как «несуществующее», «невозможное», «самопротиворечивое», «непостижимое». Между этим значением и его математическим обозначением существует тесная аналогия.

Некоторые особые условия логических символов.

Для того чтобы мы могли рассуждать и делать выводы истинно, мы должны обращаться с нашими логическими символами в соответствии с фундаментальными законами Тождества и Различия. Но при таком использовании наших символов мы часто будем встречать комбинации, значение которых не будет очевидным на первый взгляд. Если в одном случае мы узнаем, что объект «желтый и круглый», а в другом случае, что он «круглый и желтый», возникает вопрос, идентичны ли эти два описания по значению или нет. Опять же, если мы докажем, что объект был «круглый круглый», значение такого выражения было бы сомнительным. Соответственно, мы должны принять к сведению, прежде чем двигаться дальше, некоторые особые законы, которые управляют комбинацией логических терминов.

Во-первых, комбинация логического термина с самим собой не имеет эффекта, точно так же, как повторение утверждения не меняет значения утверждения; «круглый круглый объект» — это просто «круглый объект». То, что желтое желтое, — это просто желтое; металлические металлы не могут отличаться от металлов, ни круговые круги от кругов. В нашем символическом языке мы можем аналогично утверждать, что AA идентично A, или

A = AA = AAA = &c.

Покойный профессор Буль — единственный логик в современную эпоху, который обратил внимание на это замечательное свойство логических терминов; но вместо имени, которое он дал закону, я предложил назвать его Законом Простоты. Его высокая важность станет очевидной только тогда, когда мы попытаемся определить отношения логической и математической науки. Два символа количества, и только два, по-видимому, подчиняются этому закону; мы можем сказать, что 1 × 1 = 1 и 0 × 0 = 0 (принимая 0 за абсолютный ноль или 1 – 1); по-видимому, нет другого числа, которое в комбинации с самим собой дает неизменный результат. Я укажу, однако, в главе о Числе, что в действительности все числовые символы подчиняются этому логическому принципу.

Любопытно, что этот Закон Простоты, хотя почти незамеченный в современную эпоху, был известен Боэцию, который делает своеобразное замечание в своем трактате De Trinitate et Unitate Dei (стр. 959). Он говорит: «Если бы я сказал солнце, солнце, солнце, я бы не сделал три солнца, но я бы назвал одно солнце так много раз». Древние дискуссии о доктрине Троицы привлекали больше внимания к тонким вопросам относительно природы единства и множественности, чем когда-либо с тех пор.

Второй закон логических символов состоит в том, что порядок комбинации является делом безразличия. «Богатые и редкие драгоценные камни» — это то же самое, что «редкие и богатые драгоценные камни», или даже как «драгоценные камни, богатые и редкие». Грамматическое, риторическое или поэтическое употребление может придавать значительный смысл порядку выражения. Ограниченная сила нашего ума не позволяет нам схватывать много идей сразу, и поэтому порядок высказывания может производить некоторый эффект, но не просто логическим образом. Вся жизнь протекает в последовательности времени, и мы обязаны писать, говорить или даже думать о вещах и их качествах одну за другой; но между вещами и их качествами не должно быть такой связи порядка во времени или пространстве. Сладость сахара не до и не после его веса и растворимости. Твердость металла, его цвет, вес, непрозрачность, ковкость, электрические и химические свойства — все они сосуществуют и соразмерны, пронизывая металл и каждую его часть в совершенной общности, ни одно не до и не после других. В наших словах и символах мы не можем соблюдать это естественное условие; мы должны назвать одно качество первым, а другое вторым, точно так же, как кто-то должен быть первым, кто подпишет петицию, или идти впереди в процессии. В природе нет такого старшинства.

Я нахожу, что мнение, изложенное здесь, о том, что отношения пространства и времени не применимы ко многим нашим идеям, четко принято Юмом в его знаменитом «Трактате о человеческой природе» (том I, стр. 410). Он говорит: «Объект можно назвать находящимся нигде, когда его части не расположены по отношению друг к другу так, чтобы образовывать какую-либо фигуру или количество; ни целое по отношению к другим телам так, чтобы отвечать нашим понятиям смежности или расстояния. Теперь это очевидно случай со всеми нашими восприятиями и объектами, за исключением тех, что относятся к зрению и осязанию. Моральное размышление не может быть помещено с правой или с левой стороны страсти, ни запах или звук не могут быть круглой или квадратной фигурой. Эти объекты и восприятия, будучи далеки от требования какого-либо определенного места, абсолютно несовместимы с ним, и даже воображение не может приписать его им».

Небольшое размышление покажет, что знание в высшем совершенстве состояло бы в одновременном обладании множеством фактов. Чтобы постичь науку идеально, мы должны были бы иметь каждый факт присутствующим с каждым другим фактом. Мы должны написать книгу и мы должны читать ее последовательно, слово за словом, но насколько бесконечно выше были бы наши силы мышления, если бы мы могли охватить целое в одном собирательном акте сознания! По сравнению с животными мы действительно обладаем некоторым слабым приближением к такой силе, и мыслимо, что в неопределенном будущем разум может приобрести увеличение способности и быть менее ограниченным в пошаговом исследовании предмета. Но я хочу здесь прояснить, что нет логического основания для последовательного характера мышления и рассуждения, неизбежного при наших нынешних ментальных условиях. Мы логически слабы и несовершенны в отношении того факта, что мы обязаны думать об одной вещи после другой. Мы должны описать металл как «твердый и непрозрачный» или «непрозрачный и твердый», но в самом металле нет такой разницы в порядке; свойства одновременны и соразмерны в существовании.

Отбрасывая все грамматические особенности, которые делают существительное менее подвижным, чем прилагательное, и не принимая во внимание любое значение, указанное акцентом или отмеченным порядком слов, мы можем констатировать, как общий закон логики, что AB идентично BA, или AB = BA. Аналогично, ABC = ACB = BCA = и т. д.

Буль первым обратил внимание в последние годы на это свойство логических терминов, и он назвал его свойством Коммутативности. Он не только изложил закон с предельной ясностью, но и указал, что это Закон Мышления, а не Закон Вещей. Мне придется в различных частях этой работы показать, как необходимое несовершенство наших символов, выраженное в этом законе, цепляется за наши способы выражения и вносит усложнение во все тело математических формул, которые на самом деле основаны на логическом базисе.

Конечно, очевидно, что сила коммутации принадлежит только терминам, связанным в простом логическом способе синтеза. Никто не может спутать «дом из кирпичей» с «кирпичами дома», «двенадцать квадратных футов» с «двенадцатью футами в квадрате», «воду кристаллизации» с «кристаллизацией воды». Все отношения, которые включают различия времени и пространства, неконвертируемы; высшее не должно меняться местами с низшим, ни первое с последним. Для вовлеченных сторон есть вся разница в мире между «A убивает B» и «B убивает A». Закон коммутативности просто утверждает, что различие порядка не относится к связи между свойствами и обстоятельствами вещи — к тому, что я называю простым логическим отношением.

ГЛАВА III. СУЖДЕНИЯ.

Теперь мы переходим к рассмотрению разнообразия форм суждений, в которых должны быть выражены истины науки. Я постараюсь показать, что, как бы разнообразны ни были эти формы, все они допускают применение одного и того же принципа вывода: то, что верно для вещи, верно для подобного или того же самого. Этот принцип остается верным независимо от вида или способа сходства, при условии, что должное внимание уделяется его природе. Суждения могут утверждать тождество времени, пространства, способа, количества, степени или любого другого обстоятельства, в котором вещи могут соглашаться или различаться.

Мы находим пример суждения относительно времени в следующем: «Год, в который родился Ньютон, был годом, в который умер Галилей». Это суждение выражает приблизительное тождество времени между двумя событиями; следовательно, все, что верно для года, в который умер Галилей, верно для того, в который родился Ньютон, и наоборот. «Тауэр-Хилл — это место, где был казнен Рэли» выражает тождество места; и все, что верно для одного места, верно для места, определенного иначе, но в действительности того же самого. В обычном языке у нас есть много суждений, смутно выражающих тождества числа, количества или степени. «Сколько людей, столько умов» — это суждение относительно числа, то есть уравнение; все, что верно для числа людей, верно для числа умов, и наоборот. «Плотность Марса (почти) такая же, как у Земли», «Сила тяжести прямо пропорциональна произведению масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния» — это суждения относительно величины или степени. Логики не уделили должного внимания большому разнообразию суждений, которые могут быть сформулированы с использованием маленького союза «как» вместе с «так». «Каков дом, таковы и люди» — это суждение, выражающее тождество способа; и можно было бы процитировать большое количество подобных суждений, указывающих на какой-то вид сходства. Каков бы ни был особый вид тождества, все такие выражения подлежат великому принципу вывода; но поскольку мы в более поздних частях этой работы будем рассматривать более подробно вывод в случаях числа и величины, мы здесь ограничим наше внимание логическими суждениями, которые включают только понятия качества.

Простые тождества.

Самый важный класс суждений состоит из тех, которые подпадают под формулу

A = B,

и могут быть названы «простыми тождествами». Я могу привести в пример, во-первых, те самые элементарные суждения, которые выражают точное сходство качества, встреченного в двух или более объектах. Я могу сравнить цвет Тихого океана с цветом Атлантического и объявить их идентичными. Я могу утверждать, что «запах тухлого яйца похож на запах сероводорода»; «вкус гипосульфита серебра похож на вкус тростникового сахара»; «звук землетрясения напоминает звук дальней артиллерии». Таковы суждения, констатирующие, точно или иначе, тождество простых физических ощущений. Суждения такого рода обязательно предполагаются в более сложных суждениях. Если я объявляю, что «эта монета сделана из золота», я должен основывать суждение на точном сходстве вещества в нескольких качествах с другими кусками вещества, которые, несомненно, являются золотом. Я должен сделать суждения о цвете, удельном весе, твердости и других механических и химических свойствах; каждое из этих суждений выражено в элементарном суждении: «цвет этой монеты — это цвет золота» и так далее. Даже когда мы устанавливаем тождество вещи с самой собой под другим именем или аспектом, это происходит путем отдельных суждений относительно отдельных обстоятельств. Чтобы доказать, что гомеровский χαλκός — это медь, мы должны показать тождество каждого качества, записанного о χαλκός, с качеством меди. Чтобы установить Дил как место высадки Цезаря, все материальные обстоятельства должны быть показаны как согласующиеся. Если современный Вроксетер — это древний Урикониум, должно быть подобное согласие всех особенностей страны, не подверженных изменению временем.

Такие тождества должны быть выражены в форме A = B. Мы можем сказать

Colour of Pacific Ocean = Colour of Atlantic Ocean.

Smell of rotten egg = Smell of hydrogen sulphide.

В этих и подобных суждениях мы утверждаем тождество отдельных качеств или причин ощущения. В той же форме мы можем также выразить тождество любой группы качеств, как в

χαλκός = Copper.

Deal = Landing-place of Cæsar.

Множество суждений, включающих сингулярные термины, подпадают под ту же форму, как в

The Pole star = The slowest-moving star.

Jupiter = The greatest of the planets.

The ringed planet = The planet having seven satellites.

The Queen of England = The Empress of India.

The number two = The even prime number.

Honesty = The best policy.

В математических и научных теориях мы часто встречаем простые тождества, способные к выражению в той же форме. Так, в механической науке «Процесс нахождения равнодействующей сил = процессу нахождения равнодействующей одновременных скоростей». Теоремы в геометрии часто дают результаты в этой форме, как

Equilateral triangles = Equiangular triangles.

Circle = Finite plane curve of constant curvature.

Circle = Curve of least perimeter.

Более глубокие и важные законы природы часто выразимы в форме простых тождеств; в дополнение к некоторым примерам, которые уже были даны, я могу предложить,

Crystals of cubical system = Crystals not possessing the power of double refraction.

Все определения обязательно имеют эту форму, независимо от того, являются ли определенные объекты многими, немногими или сингулярными. Так мы можем сказать,

Common salt = Sodium chloride.

Chlorophyl = Green colouring matter of leaves.

Square = Equal-sided rectangle.

Это экстраординарный факт, что суждения этой элементарной формы, столь важные и очень многочисленные, не имели признанного места в системе Логики Аристотеля. Соответственно, их важность не замечалась до самого недавнего времени, и логика была самой деформированной из наук. Но невозможно, чтобы Аристотель или кто-либо другой избегал их постоянного использования; ни один термин не мог быть определен без их использования. По крайней мере в одном месте Аристотель фактически замечает суждение такого рода. Он наблюдает: «Мы иногда говорим, что та белая вещь — это Сократ, или что приближающийся объект — это Каллий». Здесь мы, безусловно, имеем простое тождество терминов; но он считал такие суждения чисто случайными и пришел к неудачному выводу, что «Сингулярное не может быть предикатом других терминов».

Суждения могут также выражать тождество экстенсивных групп объектов, взятых собирательно или в одном связанном целом; как когда мы говорим,

The Queen, Lords, and Commons = The Legislature of the United Kingdom.

Когда Блэкстон утверждает, что «Единственное истинное и естественное основание общества — это потребности и страхи индивидов», мы должны интерпретировать его как означающее, что совокупность потребностей и страхов индивидов в целом образует основание общества. Но многие суждения, которые могли бы показаться собирательными, являются лишь группами сингулярных суждений или тождеств. Когда мы говорим «Калий и натрий — это металлические основания поташа и соды», мы очевидно имеем в виду,

Potassium = Metallic base of potash;

Sodium = Metallic base of soda.

Работа грамматического анализа состоит в том, чтобы отделить различные суждения, часто объединенные в одно предложение. От логики нельзя должным образом требовать интерпретации форм и устройств языка, а только рассматривать значение, когда оно четко представлено.

Частичные тождества.

Второй высоко важный вид суждения — это тот, который я предлагаю называть «частичным тождеством». Когда мы говорим, что «Все млекопитающие суть позвоночные», мы не имеем в виду, что млекопитающие животные идентичны позвоночным животным, а только то, что млекопитающие образуют часть класса позвоночных. Такое суждение рассматривалось в старой логике как утверждение включения одного класса в другой или объекта в класс. Оно называлось общеутвердительным суждением, потому что атрибут «позвоночный» утверждался о всем субъекте «млекопитающие»; но атрибут назывался «нераспределенным», потому что не все позвоночные были по необходимости вовлечены в суждение. Аристотель, упуская из виду важность простых тождеств и, действительно, почти отрицая их существование, к сожалению, основал свою систему на понятии включения в класс, вместо того чтобы принять базис тождества. Он рассматривал вывод как покоящийся на правиле, что то, что верно для содержащего класса, верно для содержащегося, вместо гораздо более общего правила, что то, что верно для класса или вещи, верно для подобного. Таким образом, он не только свел логику к фрагменту ее собственного «я», но и разрушил глубокие аналогии, которые связывают логическое и математическое рассуждение. Отсюда множество дефектов, трудностей и ошибок, которые долго будут обезображивать первую и самую простую из наук.

Безусловно очевидно, что отношение включения покоится на отношении тождества. Млекопитающие животные не могут быть включены в число позвоночных, если они не идентичны части позвоночных. Члены кабинета министров включены почти всегда в класс членов парламента, потому что они идентичны с некоторыми, кто заседает в парламенте. Мы можем указать это тождество с частью большего класса различными способами; как, например,

Mammalia = part of the vertebrata.

Diatomaceæ = a class of plants.

Cabinet Ministers = some members of Parliament.

Iron = a metal.

В обычном языке глаголы «есть» и «суть» выражают простое включение чаще, чем нет. «Люди суть смертны» означает, что люди образуют часть класса «смертный»; но существует большая путаница между этим смыслом глагола и тем, в котором он выражает тождество, как в «Солнце есть центр планетной системы». Введение неопределенного артикля «а» часто выражает частичность; когда мы говорим «Железо — это металл», мы ясно имеем в виду, что железо — это только один из нескольких металлов.

Некоторые недавние логики предложили избежать неопределенности, о которой идет речь, посредством того, что называется Квантификацией Предиката, и они обычно использовали маленькое слово «некоторые», чтобы показать, что только часть предиката идентична субъекту. «Некоторые» — это неопределенное прилагательное; оно имплицирует неизвестные качества, посредством которых мы могли бы выбрать часть, о которой идет речь, если бы качества были известны, но оно не дает никакого намека на их природу. Я мог бы использовать такой неопределенный знак для выражения частичных тождеств в этой работе. Так, взяв специальный символ V = Некоторые, общая форма частичного тождества была бы A = VB, и в Логике Буля выражения такого рода часто использовались. Но я полагаю, что неопределенные символы только вносят сложность и разрушают красоту и простую универсальность системы, которая может быть создана без их использования. Расплывчатое слово, подобное «некоторые», используется в обычном языке только путем эллипсиса и чтобы избежать труда достижения точности. Мы всегда можем использовать более определенные выражения, если хотим; но когда однажды введено неопределенное «некоторые», мы не можем заменить его специальным описанием. Мы не знаем, является ли «некоторый» цвет красным, желтым, синим или каким он является; но, с другой стороны, красный цвет — это, безусловно, «некоторый» цвет.

На протяжении всей этой системы логики я буду обходиться без таких неопределенных выражений; и это можно легко сделать, заменив один из других терминов. Чтобы выразить суждение «Все A суть некоторые B», я не буду использовать форму A = VB, но

A = AB.

Эта формула утверждает, что класс A идентичен классу AB; и поскольку последний должен быть частью, по крайней мере, класса B, она имплицирует включение класса A в класс B. Мы могли бы представить наш прежний пример так,

Mammalia = Mammalian vertebrata.

Это суждение утверждает тождество между частью (или это может быть целое) позвоночных и млекопитающими. Если спрашивается: Какая часть? — суждение не дает ответа, кроме того, что это часть, которая является млекопитающей; но утверждение «млекопитающие = некоторые позвоночные» не говорит нам большего.

Вполне вероятно, что некоторые читатели сочтут этот способ представления общеутвердительного суждения искусственным и сложным. Я не берусь убедить их в обратном в этой точке моего изложения. Обоснование для него будет найдено не столько в непосредственном рассмотрении этого суждения, сколько в общей гармонии, которую оно позволит нам раскрыть между всеми частями рассуждения. Я не сомневаюсь, что это критическая трудность в отношении логических к другим формам рассуждения. Признайте этот способ обозначения того, что «все A суть B», и я не боюсь дальнейших трудностей; откажитесь от него, и мы найдем отсутствие аналогии и бесконечную аномалию в каждом направлении. Именно на общих основаниях я надеюсь показать подавляющие причины для стремления свести каждый вид суждения к форме тождества.

Я могу добавить, что немало логиков приняли этот взгляд на общеутвердительное суждение. Лейбниц в своих Difficultates Quædam Logicæ принимает его, говоря: «Omne A est B; id est æquivalent AB et A, seu A non B est nonens». Буль использовал логическое уравнение x = xy одновременно с x = vy; и Сполдинг четко говорит, что суждение «все металлы суть минералы» можно описать как утверждение частичного тождества между двумя классами. Отсюда название, которое я принял для суждения.

Ограниченные тождества.

Важный класс суждений имеет форму

AB = AC,

выражающую тождество класса AB с классом AC. Другими словами, «Внутри сферы класса A все B суть все C»; или опять же, «B и C, которые суть A, идентичны». Но будет замечено, что ничего не утверждается относительно вещей, которые находятся вне класса A; и таким образом тождество имеет ограниченный объем. Это суждение B = C, ограниченное сферой вещей, называемых A. Так мы можем сказать, с некоторым приближением к истине, что «Большие растения — это растения, лишенные способности к передвижению».

Барристер может сделать множество самых общих заявлений относительно отношений лиц и вещей в ходе аргументации, но, конечно, следует понимать, что он говорит только о лицах и вещах по английскому праву. Даже математики делают заявления, которые не верны с абсолютной общностью. Они говорят, что мнимые корни входят в уравнения парами; но это верно только при молчаливом условии, что уравнения, о которых идет речь, не должны иметь мнимых коэффициентов. Вселенная, короче говоря, внутри которой они обычно дискутируют, — это вселенная уравнений с действительными коэффициентами. Эти подразумеваемые ограничения составляют часть той великой массы молчаливого знания, которое сопровождает все специальные аргументы.

Де Моргану принадлежит замечание о том, что мы обычно мыслим и рассуждаем в ограниченной вселенной или сфере понятий, даже если это не оговорено прямо.

Заслуживает исследования вопрос, не ограничиваются ли все тождества в действительности подразумеваемой сферой значения. Когда мы делаем такое простое утверждение, как «Золото ковко», мы, очевидно, говорим о золоте только в его твердом состоянии; когда мы говорим, что «Ртуть — это жидкий металл», следует понимать, что мы исключаем состояние замерзания, до которого она может быть доведена в арктических регионах. Даже когда мы берем такой фундаментальный закон природы, как «Все вещества обладают тяжестью», под «веществом» мы должны понимать материальное вещество, не включая ту основу тепловых, световых и электрических колебаний, которая занимает пространство и обладает многими удивительными механическими свойствами, но не тяжестью. Таким образом, суждение на самом деле имеет форму

Material substance = Material gravitating substance.

Отрицательные суждения.

В каждом акте интеллекта мы имеем дело с определенным тождеством или различием между сравниваемыми вещами или ощущениями. До сих пор я рассматривал только тождества; и все же может показаться, что отношение различия должно быть бесконечно более распространенным, чем отношение сходства. Одна вещь может походить на множество других вещей, но при этом она отличается от всех остальных вещей в мире. Можно почти сказать, что многообразие составляет жизнь, являясь для мысли тем же, чем движение для реки. Восприятие объекта предполагает его отличение от всех других объектов. Но тем не менее можно сказать, что мы обнаруживаем сходство так же часто, как и различие. Мы не можем, по сути, утверждать существование различия, не подразумевая в то же время существование согласия.

Если я сравниваю ртуть, например, с другими металлами и решаю, что она не твердая, то здесь налицо различие между ртутью и твердыми телами, выраженное в отрицательном суждении; но в то же время должно подразумеваться согласие между ртутью и другими веществами, которые не являются твердыми. Как невозможно отделить гласные алфавита от согласных, не отделяя в то же время согласные от гласных, так и я не могу выбрать в качестве объекта мысли твердые тела, не объединив тем самым в другой класс все вещи, которые не являются твердыми. Сам факт отсутствия качества составляет новое качество, которое может быть основанием для суждения и классификации. С этой точки зрения согласие и различие всегда являются двумя сторонами одного и того же акта интеллекта, и становится одинаково возможным выразить одно и то же суждение в том или ином аспекте.

Между утверждением и отрицанием, следовательно, существует полное равновесие. Каждое утвердительное суждение подразумевает отрицательное, и наоборот. С логической точки зрения даже безразлично, используется ли положительный или отрицательный термин для обозначения данного качества и класса вещей, обладающих им. Если обычное состояние тела человека называется хорошим здоровьем, то в других обстоятельствах говорят, что он не в добром здравии; но мы могли бы с таким же успехом описать его в последнем состоянии как болезненного, а в его нормальном состоянии он был бы не болезненным. Животные и растительные вещества сейчас называются органическими, так что другие вещества, составляющие неизмеримо большую часть земного шара, описываются отрицательно как неорганические. Но мы могли бы, по крайней мере с такой же логической корректностью, описать преобладающий класс веществ как минеральные, и тогда растительные и животные вещества были бы неминеральными.

Ясно, что любой положительный термин и соответствующий ему отрицательный делят между собой всю вселенную мысли: все, что не попадает в один, должно попасть в другой, согласно третьему фундаментальному закону мысли — закону двойственности. Отсюда сразу следует, что существует два способа представления различия. Предполагая, что вещи, представленные A и B, оказываются различными, мы можем указать (см. стр. 17) результат суждения с помощью записи

A ~ B.

Теперь мы можем представить то же самое суждение утверждением, что A согласуется с теми вещами, которые отличаются от B, или что A согласуется с не-B. Используя нашу нотацию для отрицательных терминов (см. стр. 14), мы получаем

A = Ab

в качестве выражения обычного отрицательного суждения. Таким образом, если мы возьмем A для обозначения ртути, а B — для обозначения твердого, то мы получим следующее суждение:—

Quicksilver = Quicksilver not-solid.

Могут существовать и несколько других классов отрицательных суждений, которые не принимались во внимание в старой логике. У нас могут быть случаи, когда все A являются не-B, и в то же время все не-B являются A; короче говоря, может существовать простое тождество между A и не-B, которое может быть выражено в форме

A = b.

Примером этой формы было бы

Conductors of electricity = non-electrics.

Нам также часто придется иметь дело, как с результатами дедукции, с простыми, частичными или ограниченными тождествами между отрицательными терминами, как в формах

a = b, a = ab, aC = bC, etc.

Было бы возможно представить утвердительные суждения в отрицательной форме. Так, «Железо твердое» можно было бы выразить как «Железо не является нетвердым» или «Железо не является жидким»; или, взяв A и b для терминов «железо» и «нетвердое», форма была бы A = b.

Но существуют очень веские причины, по которым мы должны использовать все суждения в их утвердительной форме. Всякое умозаключение происходит путем подстановки эквивалентов, и суждение, выраженное в форме тождества, готово дать все свои следствия наиболее прямым образом. Как будет показано более полно, мы можем делать выводы в отрицательном суждении, но не посредством него. Различие неспособно стать основанием для умозаключения; только подразумеваемое согласие с другими различающимися объектами допускает дедуктивное рассуждение; и всегда будет выгоднее использовать суждения в форме, которая ясно демонстрирует подразумеваемые согласия.

Обращение суждений.

Старые учебники логики содержат много правил относительно обращения суждений, то есть перестановки субъекта и предиката таким образом, чтобы получить новое суждение, которое будет истинным, когда истинно исходное суждение. Сведение каждого суждения к форме тождества делает все такие правила и процессы излишними. Тождество по существу взаимно. Если цвет Атлантического океана такой же, как у Тихого океана, то цвет Тихого должен быть таким же, как у Атлантического. Поскольку хлорид натрия тождественен поваренной соли, поваренная соль должна быть тождественна хлориду натрия. Если число окон в Солсберийском соборе равно числу дней в году, то число дней в году должно быть равно числу окон. Лорд Честерфилд не ошибался, когда сказал: «Я предоставлю любому выбор из этих двух истин, которые сводятся к одному и тому же: Тот, кто любит себя больше всего, — самый честный человек; или, Самый честный человек любит себя больше всего». Скот Эриугена точно выражает этот взаимный характер тождества, говоря: «Нет двух учений, одного о философии, а другого о религии; истинная философия — это истинная религия, а истинная религия — это истинная философия».

Математик не счел бы нужным упоминать, что если x = y, то также y = x. Он вообще не считал бы это двумя уравнениями, а одним уравнением, случайно записанным двумя разными способами. В письменных символах одно из двух имен должно стоять первым, а другое — вторым, и подобная последовательность, возможно, должна соблюдаться в наших мыслях: но в отношении тождества нет необходимости в последовательности по порядку (см. стр. 33), каждое из них одновременно равно и тождественно другому. Эти замечания будут справедливы как для логического, так и для математического тождества; так что я буду рассматривать две формы

A = B and B = A

как выражающие точно одно и то же тождество, записанное по-разному. Всякая необходимость в правилах обращения исчезает, и в системе не будет ни одного суждения, которое нельзя было бы записать любой стороной вперед. Таким образом, A = AB — это то же самое, что AB = A, aC = bC — это то же самое, что bC = aC, и так далее.

Те же замечания частично верны для различий и неравенств, которые также взаимны в той мере, в какой одна вещь не может отличаться от второй, не отличаясь при этом второй от первой. Марс отличается по цвету от Венеры, и Венера должна отличаться от Марса. Земля отличается от Юпитера по плотности; следовательно, Юпитер должен отличаться от Земли. Говоря в общем, если A ~ B, то мы также будем иметь B ~ A, и эти две формы можно рассматривать как выражения одного и того же различия. Но отношение различающихся вещей не является полностью взаимным. Плотность Юпитера отличается от плотности Земли не так, как плотность Земли отличается от плотности Юпитера. Изменение ощущения, которое мы испытываем при переходе от Венеры к Марсу, не то же самое, что мы испытываем при возвращении к Венере, а прямо противоположное по своей природе. Цвет неба светлее цвета океана; следовательно, цвет океана не может быть светлее цвета неба, а только темнее. В этих и всех подобных случаях мы получаем понятие направления или характера изменения, и можно показать, что результаты огромной важности основываются на этом понятии. В настоящее время нас будет интересовать сам факт существования или несуществования тождества.

Двойственная интерпретация суждений.

Термины, как мы видели (стр. 25), могут иметь значение либо в объеме, либо в содержании; и в зависимости от того, одно или другое значение приписывается терминам суждения, суждению может быть присвоена различная интерпретация. Когда термины абстрактны, мы должны читать их в содержании, и суждение, связывающее такие термины, должно обозначать тождество или нетождество качеств, соответственно обозначаемых терминами. Так, если мы говорим

Equality = Identity of magnitude,

утверждение означает, что обстоятельство равенства точно соответствует обстоятельству тождества по величине.

Opacity = Incapability of transmitting light,

в суждении качество неспособности пропускать свет объявляется тем же самым, что и предполагаемое значение слова «непрозрачность».

Когда общие имена образуют термины суждения, мы можем применить двойную интерпретацию. Таким образом

Exogens = Dicotyledons

означает либо то, что качества, принадлежащие всем экзогенам, являются теми же, что принадлежат всем двудольным, либо то, что каждый индивид, подпадающий под одно имя, в равной степени подпадает под другое. Отсюда можно сказать, что существуют две различные области логической мысли. Мы можем рассуждать либо исходя из качественного значения имен, либо исходя из количественного, то есть экстенсивного значения. Любой аргумент, включающий конкретные множественные термины, может быть преобразован в аргумент, включающий только абстрактные единичные термины, и наоборот. Но есть основания полагать, что интенсиональная или качественная форма рассуждения является первичной и фундаментальной. Достаточно указать на то, что экстенсивное значение имени — вещь изменчивая и мимолетная, в то время как интенсиональное значение может при этом оставаться неизменным. В последнее время было сделано очень много дополнений к экстенсивным значениям как «планеты», так и «элемента». Каждый построенный или уничтоженный железный пароход добавляет или отнимает от экстенсивного значения имени «пароход», не обязательно затрагивая интенсиональное значение. «Дилижанс» означает столько же, сколько и всегда в одном смысле, но в объеме этот класс почти вымер. «Китайская железная дорога», с другой стороны, является термином, представленным только одним примером; через двадцать лет это может быть названием большого класса.

ГЛАВА IV. ДЕДУКТИВНОЕ РАССУЖДЕНИЕ.

После того как общий принцип умозаключения был объяснен в предыдущих главах и предоставлена подходящая система символов, перед нами теперь стоит сравнительно легкая задача проследить наиболее общие и важные формы дедуктивного рассуждения. Общая проблема дедукции заключается в следующем: из одного или нескольких суждений, называемых посылками, вывести такие другие суждения, которые будут обязательно истинными, когда истинны посылки. С помощью дедукции мы исследуем и раскрываем информацию, содержащуюся в посылках; и мы можем сделать это с помощью одного единственного правила: для любого термина, встречающегося в любом суждении, подставьте термин, который, как утверждается в любой посылке, тождественен ему. Чтобы получить определенные дедукции, особенно те, которые включают отрицательные выводы, нам потребуется использовать второй и третий законы мысли, и процесс рассуждения будет тогда называться косвенной дедукцией. В настоящей главе, однако, я ограничу свое внимание теми результатами, которые могут быть получены путем процесса прямой дедукции, то есть путем применения к самим посылкам правила подстановки. Будет обнаружено, что мы можем объединить в одну гармоничную систему не только различные модусы древнего силлогизма, но и большое количество столь же важных форм рассуждения, которые не имели признанного места в старой логике. Мы можем в то же время полностью обойтись без сложного аппарата логических правил и мнемонических строк, которые были необходимы до тех пор, пока жизненный принцип рассуждения не был ясно выражен.

Непосредственное умозаключение.

Вероятно, самой простой из всех форм умозаключения является та, которая была названа непосредственным умозаключением, поскольку она может быть выполнена над одним суждением. Она состоит в присоединении прилагательного или другого определяющего предложения того же характера к обеим сторонам тождества и утверждении эквивалентности полученных таким образом терминов. Например, поскольку

Conductors of electricity = Non-electrics,

отсюда следует, что

Liquid conductors of electricity = Liquid non-electrics.

Если мы предположим, что

Plants = Bodies decomposing carbonic acid,

отсюда следует, что

Microscopic plants = Microscopic bodies decomposing carbonic acid.

В общих терминах, из тождества

A = B

мы можем вывести тождество

AC = BC.

Это лишь случай простой подстановки; ибо по первому закону мысли должно быть признано, что

AC = AC,

и если во второй стороне этого тождества мы подставим вместо A его эквивалент B, мы получим

AC = BC.

Точно так же из частичного тождества

A = AB

мы можем получить

AC = ABC

путем точно такого же акта подстановки; и в каждом другом случае будет обнаружено, что правило поддается проверке принципом умозаключения. Процесс, выполненный так, как здесь описано, будет полностью свободен от подверженности ошибкам, которые, как я показал (55), существуют в «непосредственном умозаключении через добавленные детерминанты», как описано доктором Томсоном (56).

Умозаключение с двумя простыми тождествами.

Одна из наиболее распространенных форм умозаключения, на которую я особенно обращу внимание, практикуется с двумя простыми тождествами. Из двух утверждений, что «Лондон — столица Англии» и «Лондон — самый густонаселенный город в мире», мы мгновенно делаем вывод, что «Столица Англии — самый густонаселенный город в мире». Аналогично, из тождеств

Hydrogen = Substance of least density,

Hydrogen = Substance of least atomic weight,

мы выводим

Substance of least density = Substance of least atomic weight.

Общая форма аргумента представлена в символах

B = A (1)

B = C (2)

hence A = C. (3)

Мы можем описать результат, сказав, что термины, тождественные одному и тому же термину, тождественны друг другу; и невозможно не заметить аналогию с первым аксиомой Евклида о том, что «вещи, равные одной и той же вещи, равны друг другу». Очень часто предполагалось, что это фундаментальный принцип мысли, не поддающийся сведению к чему-то более простому. Но я не сомневаюсь, что эта форма рассуждения является лишь одним из случаев общего правила умозаключения. У нас есть два суждения, A = B и B = C, и мы можем на мгновение рассмотреть второе как утверждающее истину относительно B, в то время как первое информирует нас, что B тождественно A; следовательно, путем подстановки мы можем утверждать ту же истину относительно A. В данном конкретном случае оказывается, что утверждаемая истина — это тождество с C, и мы могли бы, если бы предпочли, рассмотреть подстановку как сделанную с помощью второго тождества в первом. Имея два тождества, мы имеем выбор способа, которым мы произведем подстановку, хотя результат в обоих случаях точно такой же.

Теперь сравните три следующие формулы,

(1) A = B = C, hence A = C

(2) A = B ~ C, hence A ~ C

(3) A ~ B ~ C, no inference.

Во второй формуле у нас есть тождество и различие, и мы можем вывести различие; в третьей у нас есть два различия, и мы не можем сделать никакого вывода вообще. Поскольку A и C оба отличаются от B, мы не можем сказать, будут ли они отличаться друг от друга или нет. Цветы и листья растения могут оба отличаться по цвету от земли, в которой растет растение, и все же они могут отличаться друг от друга; в других случаях листья и стебель могут оба отличаться от почвы и все же согласуваться друг с другом. Там, где у нас есть только различие, мы не можем сделать никакого вывода; там, где у нас есть тождество, мы можем сделать вывод. Этот факт дает большое подтверждение моему утверждению, что умозаключение всегда происходит через тождество, но может быть с равным успехом осуществлено в суждениях, утверждающих различие или тождество.

Откладывая более полное обсуждение этого пункта, я упомяну сейчас только то, что аргументы из двойного тождества встречаются очень часто и обычно принимаются как должное из-за их чрезвычайной простоты. В отношении эквивалентности слов эта форма умозаключения должна постоянно использоваться. Если древнегреческое χαλκός — это наша «медь», то это должен быть французский «cuivre», немецкий «kupfer», латинский «cuprum», потому что это слова, по крайней мере в одном смысле, эквивалентные меди. Всякий раз, когда мы можем дать два определения или выражения для одного и того же термина, применяется формула; так, Сениор определял богатство как «Все те вещи, и только те вещи, которые передаваемы, ограничены в предложении и прямо или косвенно способствуют получению удовольствия или предотвращению боли». Богатство также эквивалентно «вещам, которые имеют ценность при обмене»; следовательно, очевидно, «вещи, которые имеют ценность при обмене = все те вещи, и только те вещи, которые передаваемы и т.д.». Два выражения для одного и того же термина часто даются в одном и том же предложении, и их эквивалентность подразумевается. Так, Томсон и Тейт говорят (57): «Натуралист может довольствоваться знанием материи как того, что может быть воспринято чувствами, или как того, на что может воздействовать или что может оказывать силу». Я понимаю это так:

Matter = what can be perceived by the senses;

Matter = what can be acted upon by or can exert force.

Для термина «материя» в любом из этих тождеств мы можем подставить его эквивалент, данный в другом определении. В других местах они часто используют предложения формы, проиллюстрированной в следующем (58): «Интегральная кривизна, или полное изменение направления дуги плоской кривой, есть угол, на который повернулась касательная при переходе от одного конца к другому». Это предложение, безусловно, имеет форму—

The integral curvature = the whole change of direction, &c. = the angle through which the tangent has turned, &c.

Замаскированные случаи того же рода умозаключения встречаются во всех науках, и замечательный пример можно найти в алгебраической геометрии. Математики легко показывают, что каждое уравнение вида y = mx + c соответствует или представляет прямую линию; также легко доказать, что то же самое уравнение эквивалентно одному из общего вида Ax + By + C = 0, и наоборот. Отсюда следует, что каждое уравнение рассматриваемого вида, то есть каждое уравнение первой степени, соответствует или представляет прямую линию (59).

Умозаключение с простым и частичным тождеством.

Форма рассуждения, несколько отличающаяся от той, что рассматривалась последней, состоит в умозаключении между простым и частичным тождеством. Если у нас есть два суждения форм

A = B,

B = BC,

мы можем затем подставить вместо B в любом суждении его эквивалент в другом, получая в обоих случаях A = BC; в этом мы можем, если хотим, сделать вторую подстановку вместо B, получая

A = AC.

Таким образом, поскольку «Монблан — самая высокая гора в Европе, и Монблан глубоко покрыт снегом», мы выводим путем очевидной подстановки, что «Самая высокая гора в Европе глубоко покрыта снегом». Эти суждения при строгом изложении подпадают под формы, представленные выше.

Этот способ умозаключения постоянно используется, когда вместо термина мы подставляем его определение, или наоборот. Сама цель определения — позволить использовать одно существительное вместо длинной описательной фразы. Так, когда мы говорим «Круг — это кривая второго порядка», мы можем подставить определение круга, получая «Кривая, все точки которой находятся на равном расстоянии от одной точки, есть кривая второго порядка». Реальные формы приведенных здесь суждений — в точности те, что показаны в символическом утверждении, но в этом и многих других случаях будет достаточно изложить их на обычном эллиптическом языке ради краткости. В научных трактатах термин и его определение часто даются в одном и том же предложении, как в «Вес тела в любой данной местности, или сила, с которой земля притягивает его, пропорционален его массе». Союз «или» в этом утверждении придает силу эквивалентности родительной фразе, так что суждения на самом деле суть