«Принципы науки: Трактат о логике и научном методе»

Weight of a body = force with which the earth attracts it.

Weight of a body = weight, &c. proportional to its mass.

Слегка отличающийся случай умозаключения состоит в подстановке в суждении формы A = AB определения термина B. Так, из A = AB и B = C мы получаем A = AC. Например, мы можем сказать, что «Металлы — это элементы» и «Элементы неспособны к разложению».

Metal = metal element.

Element = what is incapable of decomposition.

Следовательно

Metal = metal incapable of decomposition.

Почти излишне указывать, что форма этих аргументов не претерпевает никаких реальных изменений, если некоторые из терминов оказываются отрицательными; действительно, в последнем примере «неспособны к разложению» можно рассматривать как отрицательный термин. Взяв

A = metal C = capable of decomposition

B = element c = incapable of decomposition;

суждения имеют формы

A = AB

B = c

откуда, путем подстановки,

A = Ac.

Вывод частичного из двух частичных тождеств.

Как бы ни были обычны уже отмеченные случаи умозаключения, существует форма, встречающаяся почти чаще других и заслуживающая большого внимания, потому что она занимала видное место в древней силлогистической системе. Эта система странным образом упускала из виду все виды аргументов, которые мы до сих пор рассматривали, и выбрала в качестве типа всех рассуждений тот, который использует два частичных тождества в качестве посылок. Так, из суждений

Sodium is a metal (1)

Metals conduct electricity, (2)

мы можем заключить, что

Sodium conducts electricity. (3)

Принимая A, B, C для представления трех терминов соответственно, посылки имеют формы

A = AB (1)

B = BC. (2)

Теперь вместо B в (1) мы можем подставить его выражение, как оно дано в (2), получая

A = ABC, (3)

или, словами, из

Sodium = sodium metal, (1)

Metal = metal conducting electricity, (2)

мы выводим

Sodium = sodium metal conducting electricity, (3)

что на эллиптическом языке обыденной жизни становится

“Sodium conducts electricity.”

Вышеприведенное — это силлогизм в модусе, называемом Barbara (60) на поистине варварском языке древних логиков; и первая фигура силлогизма содержала Barbara и три других модуса, которые считались отдельными формами аргумента. Но заслуживает внимания то, что без какого-либо реального изменения в нашей форме умозаключения мы легко включаем эти три других модуса в Barbara. Отрицательный модус Celarent будет представлен примером

Neptune is a planet, (1)

No planet has retrograde motion; (2)

Hence Neptune has not retrograde motion. (3)

Если мы поставим A для Нептуна, B для планеты и C для «имеющий ретроградное движение», то соответствующим отрицательным термином c мы обозначим «не имеющий ретроградного движения». Посылки теперь подпадают под формы

A = AB (1)

B = Bc, (2)

и путем подстановки вместо B, точно так же, как и раньше, мы получаем

A = ABc. (3)

То, что в старой логике называется частным заключением, может быть выведено без какого-либо реального изменения в символах. Частное количество обозначается, как упоминалось ранее (стр. 41), путем присоединения к термину неопределенного прилагательного количества, такого как «некоторые», «часть», «некоторые» и т.д., означающего, что неизвестная часть термина входит в суждение в качестве субъекта. Значительное сомнение и двусмысленность возникают из вопроса, не может ли часть в некоторых случаях быть целым, и в силлогизме, по крайней мере, это должно пониматься в этом смысле (61). Теперь, если мы возьмем букву для представления этой неопределенной части, нам не нужно вносить никаких изменений в наши формулы, чтобы выразить силлогизмы Darii и Ferio. Рассмотрим пример—

Some metals are of less density than water, (1)

All bodies of less density than water will float upon the surface of water; hence (2)

Some metals will float upon the surface of water. (3)

Let A = some metals,

B = body of less density than water,

C = floating on the surface of water

тогда суждения, очевидно, такие же, как и раньше,

A = AB, (1)

B = BC; (2)

hence A = ABC, (3)

Таким образом, силлогизм Darii на самом деле не отличается от Barbara. Если читатель предпочитает, мы можем легко использовать отдельный символ для неопределенного знака количества.

Let P = some,

Q = metal,

B и C имеют те же значения, что и раньше. Тогда посылки становятся

PQ = PQB, (1)

B = BC; (2)

следовательно, путем подстановки, как и раньше,

PQ = PQBC. (3)

За исключением того, что формулы выглядят немного сложнее, нет никакой разницы вообще.

Модус Ferio имеет точно такой же характер, как Darii или Barbara, за исключением того, что он включает использование отрицательного термина. Возьмем пример,

Bodies which are equally elastic in all directions do not doubly refract light;

Some crystals are bodies equally elastic in all directions; therefore, some crystals do not doubly refract light.

Назначая буквы следующим образом:—

A = some crystals,

B = bodies equally elastic in all directions,

C = doubly refracting light,

c = not doubly refracting light.

Наш аргумент имеет ту же форму, что и раньше, и может быть кратко изложен в одной строке,

A = AB = ABc.

Если предпочтительнее поставить PQ для неопределенного «некоторые кристаллы», мы имеем

PQ = PQB = PQBc.

Единственная разница в том, что отрицательный термин c занимает место C в модусе Darii.

Эллипсис терминов в частичных тождествах.

Читатель, вероятно, заметил, что заключение, которое мы получаем из посылок, часто более полно, чем то, которое получено старыми аристотелевскими процессами. Так, из «Натрий — металл» и «Металлы проводят электричество» мы вывели (стр. 55), что «Натрий = натрий, металл, проводящий электричество», тогда как старая логика просто заключает, что «Натрий проводит электричество». Символически, из A = AB и B = BC мы получаем A = ABC, тогда как старая логика получает в лучшем случае A = AC. Поэтому хорошо показать, что, не используя никаких других принципов умозаключения, кроме уже описанных, мы можем вывести A = AC из A = ABC, хотя мы не можем вывести последний, более полный и точный результат из первого. Мы можем показать это проще всего следующим образом:—

По первому закону мысли очевидно, что

AA = AA;

и если нам дано суждение A = ABC, мы можем подставить вместо обоих A во второй стороне вышеприведенного, получая

AA = ABC . ABC.

Но из свойства логических символов, выраженного в законе простоты (стр. 33), некоторые из повторяющихся букв могут быть объединены, и мы имеем

A = ABC . C.

Подставляя снова вместо ABC его эквивалент A, мы получаем

A = AC,

желаемый результат.

Подобным процессом рассуждения можно показать, что мы всегда можем отбросить любой термин, появляющийся в одном члене суждения, при условии, что мы подставим вместо него весь другой член. Этот процесс был описан в моем первом логическом эссе (62) как внутренняя элиминация, но, возможно, его лучше было бы назвать эллипсисом терминов. Он позволяет нам избавиться от ненужных терминов путем строгого подстановочного рассуждения.

Вывод простого из двух частичных тождеств.

Два термина могут быть связаны друг с другом двумя частичными тождествами еще одним способом, и тогда возникает случай умозаключения, который имеет высочайшую важность. В двух посылках

A = AB (1)

B = AB (2)

второй член каждого из них один и тот же; так что мы можем путем очевидной подстановки получить

A = B.

Таким образом, в планиметрии мы легко доказываем, что «Каждый равносторонний треугольник является также равноугольным треугольником», и мы можем с такой же легкостью доказать, что «Каждый равноугольный треугольник является равносторонним треугольником». Отсюда путем подстановки, как объяснено выше, мы переходим к простому тождеству,

Equilateral triangle = equiangular triangle.

Мы таким образом доказываем, что один класс треугольников полностью тождественен другому классу; то есть они различаются только в нашем способе называния и рассмотрения их.

Большая важность этого процесса умозаключения проистекает из того факта, что заключение более простое и общее, чем любая из посылок, и содержит столько же информации, сколько обе они вместе взятые. Именно по этой причине он постоянно используется в индуктивном исследовании, как будет впоследствии более полно объяснено, и это естественный способ, которым мы приходим к убеждению в истинности простых тождеств, существующих между классами многочисленных объектов.

Вывод ограниченного из двух частичных тождеств.

Мы рассмотрели некоторые аргументы, которые относятся к типу, рассматриваемому Аристотелем в первой фигуре силлогизма. Но существуют два других типа аргумента, которые используют пару частичных тождеств. Если наши посылки таковы, как показано в этих символах,

B = AB (1)

B = CB, (2)

мы можем подставить вместо B либо (1) в (2), либо (2) в (1), и обоими способами мы получаем заключение

AB = CB, (3)

суждение того рода, который мы назвали ограниченным тождеством (стр. 42). Так, например,

Potassium = potassium metal (1)

Potassium = potassium capable of floating on water; (2)

следовательно

Potassium metal = potassium capable of floating on water. (3)

Это на самом деле силлогизм модуса Darapti в третьей фигуре, за исключением того, что мы получаем заключение более точного характера, чем дает старый силлогизм. Из посылок «Калий — металл» и «Калий плавает на воде» Аристотель вывел бы, что «Некоторые металлы плавают на воде». Но если бы был задан вопрос, что это за «некоторые металлы», ответом, безусловно, было бы «Металл, который является калием». Следовательно, заключение Аристотеля просто опускает часть информации, предоставленной в посылках. Оно даже оставляет нас открытыми для интерпретации «некоторых металлов» в более широком смысле, чем мы имеем на то право. От этих явных дефектов старого силлогизма процесс подстановки свободен, и новый процесс навлекает на себя лишь возможное возражение в том, что он утомительно мелочен и точен.

Различные формы дедуктивного умозаключения.

После того как более общие формы дедуктивного рассуждения были продемонстрированы и обоснованы на принципе подстановки, остается еще много, фактически неопределенное число, которые могут быть объяснены с почти равной легкостью. Те, которые включают использование дизъюнктивных суждений, будут описаны в более поздней главе, а несколько силлогистических модусов, которые включают отрицательные термины, будут более удобно рассмотрены после того, как мы введем символическое использование второго и третьего законов мысли.

Мы иногда встречаем цепь суждений, которые допускают повторную подстановку и образуют аргумент, называемый в старой логике соритом. Возьмем, например, посылки

Iron is a metal, (1)

Metals are good conductors of elec­tri­city, (2)

Good conductors ofelectricity are useful for tele­graph­ic purposes. (3)

Очевидно, следует, что

Iron is useful for telegraphic purposes. (4)

Теперь, если мы возьмем наши буквы таким образом,

A = Iron, B = metal, C = good conductor of electricity, D = useful for telegraphic purposes,

посылки примут формы

A = AB, (1)

B = BC, (2)

C = CD. (3)

Вместо B в (1) мы можем подставить его эквивалент в (2), получая, как и раньше,

A = ABC.

Подставляя вместо C в этом промежуточном результате его эквивалент, как дано в (3), мы получаем полное заключение

A = ABCD. (4)

Полная интерпретация заключается в том, что «Железо — это железо, металл, хороший проводник электричества, полезный для телеграфных целей», что сокращается в обычном языке эллипсисом обстоятельств, которые не имеют непосредственного значения.

Вместо того чтобы все суждения были точно такого же рода, как в последнем примере, мы можем иметь ряд посылок различного характера; например,

Common salt is sodium chloride, (1)

Sodium chloride crystallizes in a cubical form, (2)

What crystallizes in a cubical form does not possess the power of double refraction; (3)

отсюда будет следовать, что

Common salt does not possess the power of double refraction. (4)

Принимая наши буквенные термины таким образом,

A = Common salt,

B = Sodium chloride,

C = Crystallizing in a cubical form,

D = Possessing the power of double refraction,

мы можем изложить посылки в формах

A = B, (1)

B = BC, (2)

C = Cd. (3)

Подставляя (3) в (2), а затем (2) в измененном виде в (1), мы получаем

A = BCd, (4)

что является более точной версией обычного заключения.

Мы часто встречаем ряд суждений, описывающих качества или обстоятельства одной и той же вещи, и мы можем объединить их все в одно суждение путем процесса подстановки. Этот случай, по сути, является тем, что доктор Томсон назвал «непосредственным умозаключением по сумме нескольких предикатов», и его пример хорошо послужит моей цели (63). Он описывает медь как «металл — красного цвета — и неприятного запаха — и вкуса — все препараты которого ядовиты — который является высококовким — пластичным — и вязким — с удельным весом около 8,83». Если мы присвоим букву A меди, а последующие буквы алфавита — ряду предикатов, мы получим девять различных утверждений формы A = AB (1), A = AC (2), A = AD (3) . . . A = AK (9). Мы можем легко объединить эти суждения в одно, подставив вместо A во второй стороне (1) его выражение в (2). Мы таким образом получаем

A = ABC,

и повторяя процесс снова и снова, мы очевидно получаем единственное суждение

A = ABCD . . . JK.

Но доктор Томсон ошибается, полагая, что мы можем получить таким образом определение меди. Строго говоря, вышеприведенное суждение — это только описание меди, и все обычные описания веществ в научных трудах могут быть суммированы в этой форме. Так, мы можем утверждать об органических веществах, называемых парафинами, что они все являются насыщенными углеводородами, неспособными соединяться с другими веществами, производимыми путем нагревания алкогольных иодидов с цинком, и так далее. Можно показать, что никакое количество обычного описания не может быть эквивалентно определению любого вещества.

Логические ошибки.

Я до сих пор был занят тем, чтобы показать, что все формы рассуждения старой силлогистической логики, и неопределенное число других форм в дополнение, могут быть легко и ясно объяснены на единственном принципе подстановки. Теперь желательно показать, что тот же принцип предотвратит нас от впадения в логические ошибки. Пока мы точно соблюдаем одно правило подстановки эквивалентов, будет невозможно совершить паралогизм, то есть нарушить любое из сложных правил древней системы. Одно новое правило, таким образом, доказывается столь же мощным, как шесть, восемь или более правил, которыми охранялась правильность силлогистического рассуждения.

Было фундаментальным правилом, например, что две отрицательные посылки не могут дать никакого заключения. Если мы возьмем суждения

Granite is not a sedimentary rock, (1)

Basalt is not a sedimentary rock, (2)

мы не должны быть в состоянии сделать никакого вывода относительно отношения между гранитом и базальтом. Принимая наши буквенные термины таким образом:

A = granite, B = sedimentary rock, C = basalt,

посылки могут быть выражены в формах

A ~ B, (1)

C ~ B. (2)

У нас есть в этой форме два утверждения различия; но принцип умозаключения может работать только с утверждением согласия или тождества (стр. 63). Таким образом, наше правило не дает нам никакой силы делать какой-либо вывод; это в точности соответствует пятому правилу силлогизма.

Следует помнить, действительно, что мы претендуем на право всегда превращать отрицательное суждение в утвердительное (стр. 45); и может показаться, что старое правило против отрицательных посылок будет таким образом обойдено. Давайте попробуем. Посылки (1) и (2) при утвердительном изложении принимают формы

A = Ab (1)

C = Cb. (2)

Читатель найдет невозможным по правилу подстановки обнаружить отношение между A и C. Три термина встречаются в вышеприведенных посылках, а именно A, b и C; но они так скомбинированы, что ни один термин, встречающийся в одной, не имеет своего точного эквивалента, указанного в другой. Никакая подстановка, следовательно, не может быть сделана, и принцип пятого правила силлогизма остается верным. Логическая ошибка невозможна.

Было бы ошибкой, однако, полагать, что простое появление отрицательных терминов в обеих посылках силлогизма делает их неспособными дать заключение. Старое правило информировало нас, что из двух отрицательных посылок нельзя сделать никакого заключения, но факт в том, что правило в этой голой форме не является общепринято истинным; и я не знаю, чтобы было дано какое-либо точное объяснение условий, при которых оно является или не является обязательным. Рассмотрим следующий пример:

Whatever is not metallic is not capable of powerful magnetic influence, (1)

Carbon is not metallic, (2)

Therefore, carbon is not capable of powerful magnetic influence. (3)

Здесь у нас есть две отчетливо отрицательные посылки (1) и (2), и все же они дают вполне обоснованное отрицательное заключение (3). Силлогистическое правило фактически фальсифицировано в своем голом и общем утверждении. В этом и многих других случаях мы можем преобразовать суждения в утвердительные, которые дадут заключение путем подстановки без каких-либо трудностей.

Чтобы показать это, пусть

A = carbon,

B = metallic,

C = capable of powerful magnetic influence.

Посылки легко принимают формы

b = bc, (1)

A = Ab, (2)

и подстановка вместо b в (2) с помощью (1) дает заключение

A = Abc. (3)

Наш принцип умозаключения, таким образом, включает правило отрицательных посылок всякий раз, когда оно истинно, и правильно различает случаи, где оно соблюдается, а где нет.

Паралогизм, в древности называемый ошибкой нераспределенного среднего, также легко демонстрируется и безошибочно избегается нашей системой. Пусть посылки будут

Hydrogen is an element, (1)

All metals are elements. (2)

Согласно силлогистическим правилам, средний термин «элемент» здесь нераспределен, и никакого заключения получить нельзя; мы не можем тогда сказать, является ли водород металлом или нет. Представим термины следующим образом

A = hydrogen,

B = element,

C = metal.

Посылки тогда становятся

A = AB, (1)

C = CB. (2)

Читатель здесь, как и на предыдущей странице (стр. 62), найдет невозможным сделать какую-либо подстановку. Единственный термин, который встречается в обеих посылках, — это B, но он по-разному скомбинирован в двух посылках. Вместо B мы не должны подставлять A, который эквивалентен AB, а не B. Также мы не должны путать CB и AB, которые, хотя и содержат одну общую букву, являются разными совокупными терминами. Правило подстановки не дает нам права разлагать комбинации; и если мы строго придерживаемся правила, что если два термина заявлены как эквивалентные, мы можем подставить один вместо другого, мы не можем совершить ошибку. Очевидно, что форма посылок, изложенная выше, та же самая, что мы получили путем перевода двух отрицательных посылок в утвердительную форму.

Старую ошибку, технически называемую незаконным процессом большего термина, легче совершить и труднее обнаружить, чем любое другое нарушение силлогистических правил. В нашей системе она едва ли могла бы возникнуть. Из посылок

All planets are subject to gravity, (1)

Fixed stars are not planets, (2)

мы могли бы непреднамеренно, но ошибочно заключить, что «Неподвижные звезды не подвержены тяжести». Чтобы свести посылки к символической форме, пусть

A = planet

B = fixed star

C = subject to gravity;

тогда мы имеем суждения

A = AC (1)

B = Ba. (2)

Читатель тщетно попытается получить из этих посылок путем законной подстановки любое отношение между B и C; он не смог бы тогда совершить ошибку, утверждая, что B не есть C.

Остаются два других вида паралогизма, обычно известных как ошибка четырех терминов и незаконный процесс меньшего термина. Они настолько очевидно невозможны, пока мы подчиняемся правилу подстановки эквивалентов, что нет необходимости приводить какие-либо иллюстрации. Когда в двух суждениях есть четыре различных термина, как в A = B и C = D, очевидно, не могло бы быть никакой возможности для подстановки. Что касается незаконного процесса меньшего термина, он состоит в вопиющей подстановке вместо термина другого, более широкого термина, который не известен как эквивалентный ему, и который, следовательно, не разрешен нашим правилом для подстановки вместо него.

ГЛАВА V. ДИЗЪЮНКТИВНЫЕ СУЖДЕНИЯ.

В предыдущей главе я продемонстрировал различные случаи дедуктивного рассуждения путем процесса подстановки, избегая введения дизъюнктивных суждений; но мы не можем долго откладывать рассмотрение этого более сложного класса тождеств. Общие термины возникают, как мы видели (стр. 24), из классификации или мысленного объединения всех объектов, которые согласуются в определенных качествах, причем ценность этого объединения состоит в том, что сила знания тем самым умножается. При формировании таких классов или общих понятий мы упускаем из виду или абстрагируемся от точек различия, которые существуют между объединенными объектами, и фиксируем наше внимание только на точках согласия. Но можно сказать, что каждый процесс мысли имеет свой обратный процесс, который состоит в отмене эффектов прямого процесса. Подобно тому, как деление отменяет умножение, а извлечение корня отменяет возведение в степень, так мы должны иметь процесс, который отменяет обобщение, или операцию формирования общих понятий. Этот обратный процесс будет состоять в различении отдельных объектов или малых классов, которые являются составными частями любого более широкого класса. Если мы мысленно объединяем определенные объекты, видимые в небе, и называем их планетами, нам впоследствии нужно будет различать содержание этого общего понятия, что мы и делаем в дизъюнктивном суждении—

A planet is either Mercury or Venus or the Earth or . . . or Neptune.

Сформировав очень широкий класс «позвоночное животное», мы можем уточнить его подчиненные классы следующим образом: «Позвоночное животное — это либо млекопитающее, птица, рептилия, либо рыба». И нет предела количеству возможных альтернатив. «Экзогенное растение — это либо лютик, мак, крестоцветное, роза, либо оно принадлежит к одному из других семидесяти естественных порядков экзогенов, в настоящее время признанных ботаниками». Соборная церковь в Англии должна быть либо в Лондоне, Кентербери, Винчестере, Солсбери, Манчестере, либо в одном из примерно двадцати четырех городов, обладающих такими церквями. И если бы мы попытались уточнить значение термина «звезда», нам потребовалось бы перечислить в качестве альтернатив не только многие тысячи звезд, записанных в каталогах, но и многие миллионы безымянных.

Всякий раз, когда мы таким образом различаем части общего понятия, мы используем дизъюнктивное суждение, по крайней мере в одной стороне которого есть несколько альтернатив, соединенных так называемым дизъюнктивным союзом «или», сокращенной формой от «другой». Должно быть какое-то отношение между частями, соединенными таким образом в одном суждении; мы можем назвать его дизъюнктивным или альтернативным отношением, и мы должны тщательно исследовать его природу. Это отношение — отношение невежества и сомнения, порождающее выбор. Всякий раз, когда мы классифицируем и абстрагируем, мы должны открывать путь к такой неопределенности. Фиксируя наше внимание на определенных атрибутах с исключением других, мы неизбежно оставляем сомнительным, что это за другие атрибуты. Термин «коренной зуб» несет на себе печать того, что он является частью более широкого термина «зуб». Но если мы встречаем простой термин «зуб», нет ничего, что указывало бы, является ли он резцом, клыком или коренным зубом. Это сомнение, однако, может быть разрешено дальнейшей информацией, и мы должны рассмотреть, каковы соответствующие логические процессы для обработки дизъюнктивных суждений в связи с другими суждениями, дизъюнктивными или иными.

Выражение альтернативного отношения.

Чтобы представлять дизъюнктивные суждения с удобством, нам требуется знак альтернативного отношения, эквивалентный по крайней мере одному значению маленького союза «или», так часто используемого в обычном языке. Я предлагаю использовать для этой цели символ ꖌ. В моем первом логическом эссе я следовал практике Буля и принял знак +; но этот знак не следует использовать, если не существует точной аналогии между математическим сложением и логическим чередованием. Мы обнаружим, что аналогия несовершенна и что существует столь глубокое различие между логическими и математическими терминами, что это должно предотвратить наше объединение их одним и тем же символом. Соответственно, я выбрал знак ꖌ, который, кажется, удачно предполагает любую степень аналогии, которая может существовать, не подразумевая большего. Точное значение символа мы теперь перейдем к исследованию.

Природа альтернативного отношения.

Перед обработкой дизъюнктивных суждений необходимо решить, должны ли альтернативы считаться исключающими или неисключающими. Под исключающими альтернативами мы понимаем те, которые не могут содержать одни и те же вещи. Если мы говорим «Арки бывают круговые или стрельчатые», безусловно, следует понимать, что одна и та же арка не может быть описана как одновременно круговая и стрельчатая. Многие примеры, с другой стороны, могут быть легко предложены, в которых две или более альтернатив могут быть истинными для одного и того же объекта. Таким образом

Luminous bodies are self-luminous or luminous by reflection.

Согласно законам оптики, несомненно возможно, чтобы одна и та же поверхность в один и тот же момент времени испускала собственный свет и отражала свет от других тел. Мы привычно говорим о глухих или немых людях, зная, что большинство тех, кто глух от рождения, также являются немыми.

Нет сомнений в том, что во многих случаях, возможно, в большинстве случаев, альтернативы фактически являются исключающими. Любое число несовместимо с любым другим; один момент времени или одно место исключают все остальные. Роджер Бэкон умер либо в 1284, либо в 1292 году; несомненно, он не мог умереть в оба этих года. Генри Филдинг родился либо в Дублине, либо в Сомерсетшире; он не мог родиться в обоих местах. В использовании исключающих альтернатив так много точности и ясности, что мы, несомненно, должны выбирать их, когда это возможно. Соответственно, старые труды по логике содержали правило, предписывающее, чтобы Membra dividentia, части деления или составляющие виды рода, были исключающими друг друга.

Несомненно, именно благодаря широкому распространению и удобству исключающих делений большинство логиков считали необходимым делать каждую альтернативу в разделительном суждении исключающей по отношению к любой другой. Аквинский полагал, что если это не так, то суждение фактически является ложным, и Кант придерживался того же мнения. Множество утверждений на этот счет можно легко процитировать, и если бы вопрос решался весом исторических свидетельств, он определенно был бы не в пользу моей точки зрения. Среди недавних логиков Гамильтон, как и Буль, придерживались исключающей стороны. Но существуют авторитеты и противоположного мнения. Уэйтли, Мэнсел и Дж. С. Милль указывали, что мы часто можем рассматривать альтернативы как совместимые, или истинные в одно и то же время. Уэйтли приводит пример: «Добродетель стремится обеспечить нам либо уважение человечества, либо благосклонность Бога», и добавляет: «Здесь оба члена истинны, и, следовательно, из утверждения одного мы не уполномочены отрицать другой. Разумеется, в каждом случае нам остается догадываться из контекста, подразумевается ли, что члены являются исключающими или нет». Мэнсел говорит: «Мы можем случайно узнать, что две альтернативы не могут быть истинными вместе, так что утверждение второй делает необходимым отрицание первой; но это, как замечает Боэций, есть материальное, а не формальное следствие». Милль также указал на абсурдность, которая возникла бы при постоянной интерпретации альтернатив как исключающих. «Если мы утверждаем, — говорит он, — что человек, поступивший определенным образом, должен быть либо мошенником, либо глупцом, мы вовсе не утверждаем и не намерены утверждать, что он не может быть и тем, и другим». И далее: «Чтобы использовать деспотическую власть совершенно бескорыстно, человек должен быть либо святым, либо философом... Обязательно ли разделительная посылка подразумевает, или должна ли она толковаться как предполагающая, что один и тот же человек не может быть одновременно и святым, и философом? Такое толкование было бы нелепым».

Я подробно обсуждаю этот предмет, потому что это действительно тот пункт, который отделяет мою логическую систему от системы Буля. В своих «Законах мышления» (стр. 32) он прямо говорит: «В строгом смысле слова «и», «или», вставленные между терминами, описывающими два или более классов объектов, подразумевают, что эти классы совершенно различны, так что ни один член одного не встречается в другом». Я полностью оспариваю это. В обычном использовании этих союзов мы соединяем не только различные термины; и когда термины, соединенные таким образом, оказываются логически различными, это происходит в силу негласной посылки, чего-то в значении имен и наших знаний о них, что учит нас, что они различны. Если наши знания о значениях соединенных слов несовершенны, часто будет невозможно решить, являются ли термины, соединенные союзами, исключающими или нет.

В предложении «Раскаяние — это не отдельный акт, а привычка или добродетель» не может подразумеваться, что добродетель не является привычкой; согласно определению Аристотеля, это так. У Мильтона в одном из сонетов есть выражение «Unstain’d by gold or fee» («Незапятнанный золотом или платой»), где очевидно, что если плата не всегда является золотом, то золото подразумевается как плата или взятка. У Теннисона есть выражение «wreath or anadem» («венок или повязка»). Большинство читателей были бы совершенно не уверены, может ли венок быть повязкой, а повязка — венком, или же они совершенно различны или совершенно одинаковы. Из «Происхождения видов» Дарвина я беру выражение: «Когда мы видим какую-либо часть или орган, развитый в замечательной степени или манере». Здесь «или» используется дважды, и ни разу исключительно. Ибо если часть и орган не являются синонимами, то, во всяком случае, орган есть часть. И очевидно, что часть может быть развита одновременно и в необычайной степени, и в необычайной манере, хотя такие случаи могут быть сравнительно редкими.

Таким образом, из тщательного изучения обычных текстов можно обнаружить, что значения терминов, соединенных словами «и», «или», варьируются от абсолютной тождественности до абсолютной противоположности. Логического условия различимости вообще не существует, и когда мы выбираем исключающие альтернативы, это происходит потому, что того требует наш предмет. Содержание, а не форма выражения указывает на то, являются ли термины исключающими или нет. В векселях, полисах и других видах юридических документов иногда необходимо очень четко выразить, что альтернативы не являются исключающими. Тогда используется форма «и/или», и, как заметил г-н Дж. Дж. Мерфи, эта форма по значению в точности совпадает с символом ꖌ.

В первом издании этой работы (том I, стр. 81) я взял разделительное суждение «Материя бывает твердой, жидкой или газообразной» и рассмотрел его как пример исключающих альтернатив, заметив, что одна и та же часть материи не может быть одновременно твердой и жидкой, если говорить правильно, и что тем более мы не можем предполагать, что она является твердой и газообразной, или твердой, жидкой и газообразной в одно и то же время. Но эксперименты профессора Эндрюса показывают, что при определенных условиях температуры и давления не происходит резкого перехода из жидкого состояния в газообразное. Одно и то же вещество может находиться в таком состоянии, что его можно одинаково описать как жидкое и как газообразное. Во многих случаях переход от твердого к жидкому также является постепенным, так что свойства твердости, по крайней мере частично, соединяются со свойствами текучести. Тогда это суждение, вместо того чтобы быть примером исключающих альтернатив, по-видимому, дает отличный пример обратного характера. Когда могут возникнуть такие сомнения, очевидно невозможно рассматривать альтернативы как абсолютно исключающие в силу логической природы отношения. Это становится чисто вопросом содержания суждения.

Этот вопрос, как мы увидим впоследствии более полно, имеет величайшее теоретическое значение, поскольку он касается истинного различия между науками логики и математики. Основой числа является то, что каждая единица должна быть отлична от любой другой единицы; но Буль привнес условия числа в науку логики и создал систему, которая, хотя и удивительна по своим результатам, вовсе не была системой логики.

Законы разделительного отношения.

Рассматривая комбинацию или синтез терминов (стр. 30), мы обнаружили, что должны соблюдаться определенные законы — законы простоты и коммутативности. При объединении терминов с помощью разделительного символа мы обнаружим, что действуют те же или очень похожие законы. Альтернативы любого члена разделительного суждения, безусловно, коммутативны. Точно так же, как мы не можем должным образом различить «богатые и редкие драгоценные камни» и «редкие и богатые драгоценные камни», мы должны считать идентичными выражения «богатые или редкие драгоценные камни» и «редкие или богатые драгоценные камни». В нашем символическом языке мы можем сказать

A ꖌ B = B ꖌ A.

Короче говоря, порядок изложения не влияет на значение совокупности альтернатив, так что закон коммутативности справедлив для разделительного символа.

Поскольку мы допустили возможность соединения в качестве альтернатив терминов, которые не являются действительно различными, возникает вопрос: как нам обращаться с двумя или более альтернативами, когда ясно показано, что они являются одними и теми же? Если мы утверждаем, что P есть Q или R, и впоследствии доказано, что Q — это лишь другое имя для R, результатом будет то, что P есть либо R, либо R. Как нам интерпретировать такое утверждение? Каков был бы смысл, например, «венка или повязки», если бы, обратившись к словарю, мы обнаружили, что повязка описана как венок? Я считаю самоочевидным, что значение тогда стало бы просто «венок». Соответственно, мы можем подтвердить общий закон

A ꖌ A = A.

Любое количество идентичных альтернатив всегда может быть сведено к любой одной из этих альтернатив и логически эквивалентно ей. Это закон, который отличает математические термины от логических, поскольку он, очевидно, не применяется к первым. Я предлагаю называть его законом единства, потому что он действительно должен быть включен в любое определение математической единицы. Этот закон тесно аналогичен закону простоты, AA = A; и природа этой связи заслуживает внимания.

Мало кто из логиков, кроме Де Моргана, адекватно заметил тесную связь между комбинированными и разделительными терминами, а именно, что каждый разделительный термин является отрицанием соответствующего комбинированного термина, и наоборот. Рассмотрим термин

Malleable dense metal.

Как нам описать класс вещей, которые не являются ковкими-плотными-металлами? Все, что включено в этот термин, должно обладать всеми качествами ковкости, плотности и металличности. Везде, где отсутствует хотя бы одно или несколько качеств, комбинированный термин не будет применим. Следовательно, отрицание всего термина есть

Not-malleable or not-dense or not-metallic.

В приведенном выше союзе «или» должно быть ясно интерпретировано как неисключающее; ибо легко могут существовать объекты, которые одновременно являются и не-ковкими, и не-плотными, и, возможно, не-металлическими. Если бы на самом деле от нас требовалось использовать «или» в строго исключающем смысле, потребовалось бы указать семь различных альтернатив, чтобы описать отрицание комбинации трех терминов. Отрицания четырех или пяти терминов состояли бы из пятнадцати или тридцати одной альтернативы. Одно это соображение достаточно, чтобы доказать, что значение «или» не может быть всегда исключающим в обычном языке.

Выражая символически, мы можем сказать, что отрицание

ABC

is not-A or not-B or not-C;

that is, a ꖌ b ꖌ c.

Взаимно, отрицание

P ꖌ Q ꖌ R

is pqr.

Таким образом, каждый разделительный термин является отрицанием комбинированного термина, и наоборот.

Применим этот результат к комбинированному термину AAA, и его отрицание есть

a ꖌ a ꖌ a.

Поскольку AAA по закону простоты эквивалентно A, то a ꖌ a ꖌ a должно быть эквивалентно a, и закон единства остается в силе. Таким образом, каждый закон обязательно предполагает другой.

Символическое выражение закона двойственности.

Теперь мы можем использовать наш символ чередования, чтобы выразить в ясной и формальной манере третий фундаментальный закон мышления, который я назвал законом двойственности (стр. 6). Принимая A для представления любого класса, объекта или качества, а B — любого другого класса, объекта или качества, мы всегда можем утверждать, что A либо согласуется с B, либо не согласуется. Таким образом, мы можем сказать

A = AB ꖌ Ab.

Это формула, которая отныне будет постоянно использоваться, и она лежит в основе рассуждения.

Читатель, возможно, пожелает узнать, почему A вставлено в обе альтернативы второго члена тождества и почему закон не сформулирован в виде

A = B ꖌ b.

Но если он рассмотрит содержание последнего раздела (стр. 73), он увидит, что последнее выражение не может быть правильным, иначе ни один термин не мог бы иметь соответствующего отрицательного термина. Ибо отрицанием B ꖌ b является bB, или самопротиворечивый термин; таким образом, если бы A было тождественно B ꖌ b, его отрицание a было бы несуществующим. По меньшей мере, этот результат в большинстве случаев был бы абсурдным, и я вижу много оснований полагать, что со строго логической точки зрения он всегда был бы абсурдным. По всей вероятности, мы должны принять в качестве фундаментальной логической аксиомы, что каждый термин имеет свое отрицание в мышлении. Мы не можем мыслить вообще, не отделяя то, о чем мы мыслим, от других вещей, и эти вещи обязательно образуют отрицательное понятие. Отсюда следует, что любое суждение вида A = B ꖌ b столь же самопротиворечиво, как и суждение вида A = Bb.

Удобно резюмировать здесь три закона мышления в их символической форме, таким образом

Law of Identity A = A.

Law of Contradiction Aa = 0.

Law of Duality A = AB ꖌ Ab.

Различные формы разделительного суждения.

Разделительные суждения могут встречаться в большом разнообразии форм, на которые старые логики обращали недостаточно внимания. Может быть любое количество альтернатив, каждая из которых может быть комбинацией любого количества простых терминов. Суждение, опять же, может быть разделительным в одном или обоих членах. Суждение

Solids or liquids or gases are electrics or conductors of electricity

является примером дважды разделительной формы. Смысл такого суждения заключается в том, что все, что подпадает под одну или несколько альтернатив с одной стороны, должно подпадать под одну или несколько альтернатив с другой стороны. Из того, что было сказано ранее, очевидно, что суждение

A ꖌ B = C ꖌ D

будет соответствовать

ab = cd,

каждый член последнего является отрицанием члена первого суждения.

В качестве примера сложного разделительного суждения я могу привести определение богатства Сениора, которое, кратко сформулированное, сводится к суждению: «Богатство — это то, что является передаваемым, ограниченным в предложении и либо приносящим удовольствие, либо предотвращающим боль».

Let A = wealth

B = transferable

C = limited in supply

D = productive of pleasure

E = preventive of pain.

Определение принимает форму

A = BC(D ꖌ E);

но если мы развернем альтернативы методом, который будет рассмотрен позже более полно, оно становится

A = BCDE ꖌ BCDe ꖌ BCdE.

Пример еще более сложного суждения встречается в трудах Де Моргана: «Он должен был быть богат, и если не был абсолютно безумен, то был самой слабостью, подверженной либо дурным советам, либо самым неблагоприятным обстоятельствам».

Если мы присвоим буквы алфавита по порядку, таким образом,

A = he

B = rich

C = absolutely mad

D = weakness itself

E = subjected to bad advice

F = subjected to most unfavourable circumstances,

суждение примет форму

A = AB{C ꖌ D (E ꖌ F)},

и если мы развернем альтернативы, выражая некоторые из различных случаев, которые могут произойти, мы получим

A = ABC ꖌ ABcDEF ꖌ ABcDEf ꖌ ABcDeF.

Вышеприведенное дает строгое логическое толкование предложения, и первая альтернатива ABC способна к развитию в восемь случаев, в зависимости от того, присутствуют ли D, E и F или нет. Хотя из нашего знания предмета мы можем сделать вывод, что слабость характера не может быть приписана человеку, абсолютно безумному, явного утверждения на этот счет нет.

Умозаключение посредством разделительных суждений.

Прежде чем мы сможем свободно использовать разделительные суждения в процессах умозаключения, мы должны рассмотреть, как разделительные термины могут быть объединены друг с другом или с простыми терминами. Во-первых, чтобы объединить простой термин с разделительным, мы должны объединить его с каждой альтернативой разделительного термина. Растение, например, — это либо трава, либо кустарник, либо дерево. Следовательно, экзогенное растение — это либо экзогенная трава, либо экзогенный кустарник, либо экзогенное дерево. Символически выраженный, этот процесс комбинации выглядит следующим образом,

A(B ꖌ C) = AB ꖌ AC.

Во-вторых, чтобы объединить два разделительных термина друг с другом, объедините каждую альтернативу одного с каждой альтернативой другого. Поскольку цветковые растения — это либо экзогены, либо эндогены, и в то же время они являются либо травами, либо кустарниками, либо деревьями, отсюда следует, что всего существует шесть альтернатив — а именно: экзогенные травы, экзогенные кустарники, экзогенные деревья, эндогенные травы, эндогенные кустарники, эндогенные деревья. Этот процесс комбинации показан в общей форме

(A ꖌ B) (C ꖌ D ꖌ E) = AC ꖌ AD ꖌ AE ꖌ BC ꖌ BD ꖌ BE.

Едва ли нужно указывать, что, как бы ни были многочисленны комбинируемые термины или альтернативы в этих терминах, мы можем осуществить комбинацию при условии, что каждая альтернатива комбинируется с каждой альтернативой других терминов, как в алгебраическом процессе умножения.

Некоторые процессы дедукции могут быть показаны сразу. Мы всегда можем, например, присоединить один и тот же определяющий термин к каждой стороне тождества, даже если один или оба члена тождества являются разделительными. Так, пусть

A = B ꖌ C.

Теперь самоочевидно, что

AD = AD,

и в одной стороне этого тождества мы можем подставить вместо A его эквивалент B ꖌ C, получив

AD = BD ꖌ CD.

Поскольку «газообразный элемент — это либо водород, либо кислород, либо азот, либо хлор, либо фтор», отсюда следует, что «свободный газообразный элемент — это либо свободный водород, либо свободный кислород, либо свободный азот, либо свободный хлор, либо свободный фтор».

Этот процесс комбинации приведет к наиболее полезным умозаключениям, когда определяющее прилагательное, объединенное с обеими сторонами суждения, является отрицанием одной или нескольких альтернатив. Поскольку хлор — это цветной газ, мы можем сделать вывод, что «бесцветный газообразный элемент — это либо (бесцветный) водород, кислород, азот, либо фтор». Альтернатива «хлор» исчезает, потому что бесцветного хлора не существует. Опять же, поскольку «зуб — это либо резец, клык, премоляр или моляр», отсюда следует, что «зуб, не являющийся резцом, — это либо клык, премоляр или моляр». Общее правило состоит в том, что из отрицания любой из альтернатив можно вывести утверждение остальных. Теперь этот результат ясно следует из нашего процесса подстановки; ибо если у нас есть суждение

A = B ꖌ C ꖌ D,

и мы вставляем это выражение для A на одну сторону самоочевидного тождества

Ab = Ab,

мы получаем Ab = ABb ꖌ AbC ꖌ AbD;

и, поскольку первая из трех альтернатив самопротиворечива, мы вычеркиваем ее согласно закону противоречия: остается

Ab = AbC ꖌ AbD.

Таким образом, наша система полностью включает и объясняет тот модус разделительного силлогизма, который технически называется modus tollendo ponens.

Но читатель должен внимательно заметить, что разделительный силлогизм модуса ponendo tollens, который утверждает одну альтернативу и отсюда выводит отрицание остальных, не может считаться истинным в этой системе. Если я скажу, действительно, что

Water is either salt or fresh water,

кажется очевидным, что «вода, которая соленая, не является пресной». Но это умозаключение на самом деле исходит из нашего знания о том, что вода не может быть одновременно соленой и пресной. Эта несовместимость альтернатив, как я полностью показал, не всегда будет иметь место. Таким образом, если я скажу

Gems are either rare stones or beautiful stones, (1)

очевидно, не последует, что

A rare gem is not a beautiful stone, (2)

ни то, что

A beautiful gem is not a rare stone. (3)

Наш символический метод дает только истинные заключения; ибо если мы возьмем

A = gem

B = rare stone

C = beautiful stone,

суждение (1) имеет форму

A

= B ꖌ C

hence AB

= B ꖌ BC

and AC

= BC ꖌ C;

но эти умозаключения не эквивалентны ложным (2) и (3).

Мы можем легко представить разделительное рассуждение посредством modus ponendo tollens, когда оно справедливо, выражая несовместимость альтернатив явно. Таким образом, если мы прибегнем к нашему примеру

Water is either salt or fresh,

и возьмем

A = Water B = salt C = fresh,

то посылка, по-видимому, имеет форму

A = AB ꖌ AC;

но в действительности существует невыраженное условие, что «то, что соленое, не является пресным», из чего следует, посредством процесса умозаключения, который будет описан позже, что «то, что пресное, не является соленым». У нас есть тогда, в буквенных терминах, два суждения

B = Bc

C = bC.

Если мы подставим эти описания в исходное суждение, мы получим

A = ABc ꖌ AbC;

соединяя B с каждой стороной, мы выводим

AB

= ABc ꖌ ABbC

or AB

= ABc;

то есть,

Water which is salt is water salt and not fresh.

Я утомил бы читателя, если бы попытался проиллюстрировать множество форм, которые может принимать разделительное рассуждение; и поскольку в следующей главе мы будем постоянно рассматривать этот предмет, я должен здесь ограничиться единственным примером. Очень распространенный процесс рассуждения состоит в определении имени вещи путем последовательного исключения альтернатив, процесс, называемый старым именем abscissio infiniti. Возьмем случай:

Red-coloured metal is either copper or gold (1)

Copper is dissolved by nitric acid (2)

This specimen is red-coloured metal (3)

This specimen is not dissolved by nitric acid (4)

Therefore, this specimen consists of gold (5)

Давайте присвоим буквенные символы таким образом —

A = this specimen

B = red-coloured metal

C = copper

D = gold

E = dissolved by nitric acid.

Предполагая, что альтернативы «медь» или «золото» задуманы как исключающие, как только что объяснено в случае пресной и соленой воды, посылки могут быть сформулированы в формах

B = BCd ꖌ BcD (1)

C = CE (2)

A = AB (3)

A = Ae (4)

Подставляя вместо C в (1) с помощью (2), мы получаем

B = BCdE ꖌ BcD

Из (3) и (4) мы можем вывести аналогично

A = ABe

и если в этом мы подставим вместо B его эквивалент, только что указанный, отсюда следует, что

A = ABCdEe ꖌ ABcDe

Первая из альтернатив противоречива, результат есть

A = ABcDe

который содержит полное описание «этого образца», как оно представлено в посылках, но путем эллипсиса утверждает, что это золото. Будет замечено, что в символическом выражении (1) я явно указал то, что, безусловно, подразумевается: что медь не является золотом, а золото не является медью, без какового условия умозаключение не было бы верным.

ГЛАВА VI. НЕПРЯМОЙ МЕТОД УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ.

Формы дедуктивного рассуждения, рассмотренные до сих пор, в основном являются случаями прямой дедукции, в отличие от тех, которые мы сейчас собираемся рассматривать. Метод непрямой дедукции можно описать как тот, который указывает, чем является вещь, показывая, что она не может быть ничем иным. Мы можем определить определенное пространство на карте, либо раскрасив это пространство, либо раскрасив все, кроме этого пространства; первый способ — положительный, второй — отрицательный. Различие, как легко увидеть, в точности аналогично различию между прямым и непрямым способами доказательства в геометрии. Евклид часто показывает, что две линии равны, показывая, что они не могут быть неравными, и доказательство опирается на известное количество альтернатив — больше, равно или меньше, — которые единственно мыслимы. В других случаях, как, например, в седьмом предложении первой книги, он показывает, что две линии должны встретиться в определенной точке, показывая, что они не могут встретиться в другом месте.

В логике мы всегда можем с уверенностью определить предельное количество альтернатив, которые мыслимы. Закон двойственности (стр. 6, 74) позволяет нам всегда утверждать, что любое качество или обстоятельство вообще либо присутствует, либо отсутствует. Каким бы ни было значение терминов A и B, безусловно верно, что

A = AB ꖌ Ab

B = AB ꖌ aB.

Это универсальные негласные посылки, которые могут быть использованы при решении любой задачи и которые являются такими неизменными и необходимыми условиями всякого мышления, что их не нужно специально формулировать. Закон противоречия является дальнейшим условием всякого мышления и всех логических символов; он позволяет, и, по сути, обязывает нас исключить из дальнейшего рассмотрения все термины, которые подразумевают присутствие и отсутствие одного и того же качества. Теперь, всякий раз, когда мы приводим оба этих закона мышления в явное действие методом подстановки, мы используем непрямой метод умозаключения. Окажется, что мы можем рассматривать не только те аргументы, которые уже представлены согласно прямому методу, но мы можем включить бесконечное множество других аргументов, которые неспособны к решению никакими другими средствами.

Некоторые философы, особенно французские, придерживались мнения, что непрямой метод доказательства имеет определенную неполноценность по сравнению с прямым методом, что должно препятствовать нашему использованию его, кроме случаев, когда мы вынуждены. Но есть много истин, которые мы можем доказать только непрямым путем. Мы можем доказать, что число является простым, только чисто непрямым методом, показывая, что оно не является ни одним из чисел, имеющих делители, и замечательный процесс, известный как «решето Эратосфена», является единственным способом, которым мы можем выбрать простые числа. Он имеет сильную аналогию с непрямым методом, который здесь описывается. Мы можем доказать, что сторона и диаметр квадрата несоизмеримы, но только отрицательным или непрямым способом, показывая, что противоположное предположение неизбежно ведет к противоречию. Многие другие доказательства в различных отраслях математических наук следуют подобному методу. Теперь, если есть только одна важная истина, которая должна быть и может быть доказана только непрямым путем, мы можем сказать, что этот процесс является необходимым и достаточным, и вопрос о его сравнительном превосходстве или полезности не стоит обсуждения. На самом деле я полагаю, что почти половина наших логических заключений основывается на его использовании.

Простые иллюстрации.

Прослеживая силы и результаты этого метода, мы начнем с простейшего возможного примера. Возьмем суждение обычной формы, A = AB, скажем,

A Metal is an Element,

и давайте исследуем его полный смысл. Любой человек, имеющий хотя бы минимальную логическую подготовку, знает, что мы можем вывести из вышеприведенного суждения, по-видимому, другое, а именно,

A Not-element is a Not-metal.

В то время как некоторые логики, как, например, Де Морган, считали отношение этих двух суждений чисто самоочевидным, не нуждающимся и не допускающим анализа, гораздо большее число людей, как я заметил, обучая логике, поначалу неспособны уловить тесную связь между ними. Я верю, что истинная и полная система логики даст ясный анализ этого процесса, который был назван контрапозитивным обращением; полный процесс выглядит следующим образом:

Во-первых, по закону двойственности мы знаем, что

Not-element is either Metal or Not-metal.

Если это металл, мы знаем, что это, согласно посылке, элемент; таким образом, мы предполагали бы, что одна и та же вещь является элементом и не-элементом, что находится в противоречии с законом противоречия. Согласно единственной другой альтернативе, тогда, не-элемент должен быть не-металлом.

Чтобы представить этот процесс умозаключения символически, мы берем посылку в форме

A = AB. (1)

Мы замечаем, что по закону двойственности термин не-B описывается так

b = Ab ꖌ ab. (2)

Для A в этом суждении мы подставляем его описание, как дано в (1), получая

b = ABb ꖌ ab.

Но согласно закону противоречия термин ABb должен быть исключен из мышления, или

ABb = 0.

Следовательно, получается, что b — это либо ничто, либо это ab; и заключение есть

b = ab.

Поскольку часто будет необходимо ссылаться на заключение такого рода, я буду называть его, как принято, контрапозитивным суждением исходного. Читателя едва ли нужно предостерегать, чтобы он заметил, что из «все A суть B» не следует, что «все не-A суть не-B». Ибо по закону двойственности мы имеем

a = aB ꖌ ab,

и невозможно будет сделать какую-либо подстановку в этом с помощью нашей исходной посылки A = AB. Поэтому остается сомнительным, является ли не-металл элементом или не-элементом.

Доказательство контрапозитивного суждения, приведенное выше, в точности такое же, как то, которое Евклид применяет в случае геометрических понятий. Де Морган описывает процесс Евклида следующим образом: «Из каждого не-B есть не-A он производит «Каждое A есть B», таким образом: Если возможно, пусть это A будет не-B, но каждое не-B есть не-A, следовательно, это A есть не-A, что абсурдно: откуда каждое A есть B». Теперь Де Морган думает, что это доказательство совершенно излишне, потому что обычная логика дает умозаключение без использования каких-либо геометрических рассуждений. Я полагаю, однако, что логика дает умозаключение только непрямым процессом. Де Морган претендует на то, чтобы «видеть тождество в «Каждое A есть B» и «каждое не-B есть не-A» посредством процесса мышления, предшествующего силлогизму». Независимо от того, предшествует ли он силлогизму или нет, я утверждаю, что он не предшествует законам мышления и процессу подстановочного умозаключения, посредством которого он может быть, несомненно, продемонстрирован.

Использование контрапозитивного суждения.

Мы можем часто использовать контрапозитивную форму суждения методом подстановки; и некоторые модусы древнего силлогизма, которые мы до сих пор обходили, могут быть таким образом удовлетворительно поняты в нашей системе. Возьмем, например, следующий силлогизм в модусе Camestres:

“Whales are not true fish; for they do not respire water, whereas true fish do respire water.”

Давайте возьмем

A = whale

B = true fish

C = respiring water

Посылки имеют формы

A = Ac (1)

B = BC (2)

Теперь, процессом контрапозиции мы получаем из второй посылки

c = bc

и мы можем подставить это выражение для c в (1), получая

A = Abc

или «Киты не являются настоящими рыбами, не дышащими водой».

Модус Cesare на самом деле не отличается от Camestres, кроме порядка посылок, и он может быть представлен в точно такой же манере.

Модус Baroko доставил много хлопот старым логикам, которые не могли свести его к первой фигуре таким же образом, как другие модусы, и были вынуждены изобрести, специально для него и для Bokardo, метод непрямой редукции, тесно аналогичный непрямому доказательству Евклида. Теперь эти модусы не требуют исключительного обращения в этой системе. Возьмем в качестве примера Baroko аргумент