«Принципы науки: Трактат о логике и научном методе»

Если бы все сочетания, допускаемые Законами мышления, встречались в природе безразлично, то наука начиналась бы и заканчивалась этими законами. Наблюдение за природой не дало бы нам дополнительных знаний, потому что никакие два качества в долгосрочной перспективе не ассоциировались бы чаще, чем любые другие два. Мы никогда не смогли бы предсказывать события с большей уверенностью, чем мы сейчас предсказываем выпадение игральных костей, и опыт был бы бесполезен. Но вселенная, как она создана на самом деле, представляет собой гораздо более сложную и гораздо более интересную проблему. Самое поверхностное наблюдение показывает, что некоторые вещи постоянно ассоциируются с другими вещами. Чем более зрелым становится наше исследование, тем больше мы убеждаемся, что каждое событие зависит от предшествующего возникновения какого-то другого ряда событий. Постепенно обнаруживается, что действие и противодействие лежат в основе всей сцены, и независимое или случайное событие не существует, кроме как по видимости. Даже игральные кости, когда они падают, наверняка определяются в своем движении предшествующими условиями и фиксированными законами. Таким образом, сочетания событий, которые могут произойти на самом деле, оказываются сравнительно ограниченными, и задача науки — обнаружить эти ограничивающие условия.

В английском алфавите, например, двадцать шесть букв. Если бы сочетания таких букв были совершенно свободными, так что любая буква могла бы безразлично звучать с любой другой, количество слов, которые можно было бы сформировать без повторений, было бы 2^26 - 1, или 67 108 863, равное по количеству сочетаниям двадцать седьмого столбца Логического алфавита, исключая один случай, в котором все буквы отсутствовали бы. Но устройство наших голосовых органов не позволяет нам использовать большую часть этих сочетаний букв. В каждом слове должен присутствовать по крайней мере один гласный; более двух согласных обычно не могут быть поставлены вместе; и для создания слов, способных к плавному произношению, необходимо соблюдать ряд других правил. Определить точно, сколько слов могло бы существовать в английском языке при этих обстоятельствах, было бы чрезвычайно сложной задачей, решение которой никогда не предпринималось. Количество существующих английских слов, возможно, можно сказать, не превышает ста тысяч, и только исследуя сочетания, представленные в словаре, мы можем узнать Законы эвфонии или вычислить возможное количество слов. В этом примере мы имеем воплощение работы и метода науки. Сочетания природных явлений ограничены большим количеством условий, которые никоим образом не доводятся до нашего сведения, кроме как в той мере, в какой они раскрываются при изучении природы.

Часто бывает очень трудным делом определить количество перестановок или сочетаний, которые могут существовать при различных ограничениях. Многие ученые люди ломали голову в прошлые века над тем, что называлось «протеевыми стихами», или стихами, допускающими множество вариаций в соответствии с Законами метра. Самым знаменитым из этих стихов был тот, который изобрел Бернард Баухузий, а именно —

“Tot tibi sunt dotes, Virgo, quot sidera cœlo.”

Один автор, Эриций Путеан, заполнил сорок восемь страниц работы, подсчитывая возможные перестановки, насчитав их всего 1022. Другие вычислители давали 2196, 3276, 2580 в качестве своих результатов. Валлис приписал 3312, но без особой уверенности в точности своего результата. Потребовалось мастерство Якоба Бернулли, чтобы решить, что количество перестановок равно 3312 при условии, что смысл и метр стиха будут идеально сохранены.

Приступая к рассмотрению великой Индуктивной проблемы, очень необходимо, чтобы мы приобрели правильные понятия о сравнительном количестве сочетаний, которые могут существовать при различных обстоятельствах. Доктрина сочетаний — это та часть математической науки, которая применяет численный расчет для определения количества сочетаний при различных условиях. Это часть науки, которая действительно лежит в основе не только других наук, но и других отраслей математики. Формы алгебраических выражений определяются принципами сочетания, и Гинденбург признал этот факт в своем «Комбинаторном анализе». Величайшие математики в течение последних трех столетий отдавали свои лучшие силы изучению этого предмета; это было любимое занятие Паскаля; оно рано привлекло внимание Лейбница, который написал свое любопытное эссе «De Arte Combinatoria» в двадцать лет; Якоб Бернулли, один из самых глубоких математиков, посвятил немалую часть своей жизни исследованию этого предмета в связи с теорией вероятностей; и в своем знаменитом труде «De Arte Conjectandi» он так прекрасно описал важность доктрины сочетаний, что мне не нужно извиняться за то, что я привожу его замечания полностью.

«Легко заметить, что поразительное разнообразие, которое проявляется как в произведениях природы, так и в действиях людей и которое составляет большую часть красоты вселенной, обязано множеству различных способов, которыми ее отдельные части смешиваются друг с другом или располагаются рядом друг с другом. Но, поскольку количество причин, которые содействуют возникновению данного события или эффекта, зачастую настолько огромно, а сами причины настолько отличаются одна от другой, что чрезвычайно трудно пересчитать все различные способы, которыми они могут быть расположены или объединены вместе, часто случается, что люди, даже обладающие лучшим пониманием и величайшей осмотрительностью, виновны в той ошибке в рассуждении, которую авторы по логике называют недостаточным или несовершенным перечислением частей или случаев: настолько, что я осмелюсь утверждать, что это главный и почти единственный источник огромного количества ошибочных мнений, причем очень часто в делах большой важности, которые мы склонны формировать по всем предметам, над которыми размышляем, касаются ли они познания природы или достоинств и мотивов человеческих действий».

«Поэтому следует признать, что то искусство, которое дает исцеление от этой слабости или дефекта нашего понимания и учит нас перечислять все возможные способы, которыми данное количество вещей может быть смешано и объединено вместе, так что мы можем быть уверены, что не упустили ни одного их расположения, которое может привести к объекту нашего исследования, заслуживает того, чтобы считаться в высшей степени полезным и достойным нашего высочайшего уважения и внимания. И это дело искусства или доктрины сочетаний. И не следует рассматривать это искусство или доктрину просто как отрасль математических наук. Ибо оно имеет отношение почти к каждому виду полезного знания, которым может заниматься человеческий разум. Оно действительно действует на математических принципах при расчете количества сочетаний предложенных вещей: но выводы, полученные с его помощью, могут помочь проницательности естествоиспытателя, точности историка, мастерству и суждению врача, а также благоразумию и дальновидности политика; потому что дело всех этих важных профессий — лишь формировать разумные предположения относительно различных объектов, которые занимают их внимание, а все мудрые предположения являются результатами справедливого и тщательного изучения различных эффектов, которые могут возникнуть из причин, способных их произвести».

Различие между сочетаниями и перестановками.

Мы должны сначала рассмотреть глубокое различие, которое существует между сочетаниями и перестановками, различие, включающее важные логические принципы и влияющее на форму математических выражений. В перестановке мы признаем разновидности порядка, рассматривая AB как группу, отличную от BA. В сочетании мы обращаем внимание только на присутствие или отсутствие определенной вещи и не обращаем никакого внимания на ее место в порядке времени или пространства. Так, четыре буквы a, e, m, n могут образовать только одно сочетание, но в языке они встречаются в нескольких перестановках, таких как name, amen, mean, mane.

До сих пор мы имели дело с чисто логическими вопросами, включающими только сочетание качеств. Я полностью указал в более чем одном месте, что, хотя наши символы не могли не быть записаны в порядке места и прочитаны в порядке времени, выраженные отношения не имели никакого отношения к месту или времени (стр. 33, 114). Закон коммутативности, по сути, выражает условие, что в логике мы имеем дело с сочетаниями, и тот же закон верен для всех процессов алгебры. В некоторых случаях порядок может быть делом безразличия; не имеет значения, например, является ли порох смесью серы, углерода и селитры, или углерода, селитры и серы, или селитры, серы и углерода, при условии, что вещества присутствуют в надлежащих пропорциях и хорошо перемешаны. Но это безразличие к порядку обычно не распространяется на события физической науки или операции искусства. Превращение механической энергии в тепло не совсем то же самое, что превращение тепла в механическую энергию; гром не безразлично предшествует молнии и следует за ней; имеет некоторое значение, что мы заряжаем, ставим капсюль, прицеливаемся и стреляем из винтовки именно в этом порядке. Время — условие всех наших мыслей, пространство — всех наших действий, и поэтому как в искусстве, так и в науке мы в значительной степени имеем дело с перестановками. Язык, например, рассматривает различные перестановки букв как имеющие различные значения.

Перестановки вещей гораздо более многочисленны, чем сочетания этих вещей, по той очевидной причине, что каждая отдельная вещь рассматривается по-разному в зависимости от ее места. Так, буквы A, B, C будут составлять различные перестановки в зависимости от того, стоит ли A на первом, втором или третьем месте; определив место A, мы имеем два места, из которых можем выбирать для B; и тогда остается только одно место для C. Соответственно, перестановки этих букв в целом будут составлять 3 × 2 × 1, или 6. С четырьмя вещами или буквами, A, B, C, D, мы будем иметь четыре выбора места для первой буквы, три для второй, два для третьей и один для четвертой, так что всего будет 4 × 3 × 2 × 1, или 24 перестановки. То же простое правило применяется во всех случаях; начиная с общего количества вещей, мы умножаем на каждом шаге на число, уменьшенное на единицу. На общем языке, если n — количество вещей в сочетании, количество перестановок равно

n (n - 1)(n - 2) . . . . 4 . 3 . 2 . 1.

Если бы мы переставили названия дней недели, возможные расположения, из которых нам пришлось бы выбирать новый порядок, составили бы не менее 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1, или 5040, или, исключая существующий порядок, 5039.

Читатель увидит, что числа, к которым мы приходим в вопросах перестановки, увеличиваются еще более необычайным образом, чем в сочетании. Каждый новый объект или термин удваивает количество сочетаний, но увеличивает перестановки на постоянно растущий множитель. Вместо 2 × 2 × 2 × 2 × .... мы имеем 2 × 3 × 4 × 5 × .... и произведения последнего выражения неизмеримо превосходят произведения первого. Эти произведения возрастающих множителей часто используются, как мы увидим, в вопросах как перестановки, так и сочетания. Они технически называются факториалами, то есть произведение всех целых чисел от единицы до любого числа n является факториалом n и часто обозначается символически как n!. Ниже я привожу факториалы до двенадцати: —

24 =

1 . 2 . 3 . 4

120 =

1 . 2 . . . 5

720 =

1 . 2 . . . 6

5,040 =

7!

40,320 =

8!

362,880 =

9!

3,628,800 =

10!

39,916,800 =

11!

479,001,600 =

12!

Факториалы до 36! приведены в «Циклопедии» Риса, ст. Cipher, а логарифмы факториалов до 265! можно найти в конце таблицы логарифмов, опубликованной под руководством Общества распространения полезных знаний (стр. 215). Чтобы выразить факториал 265!, потребовалось бы 529 знаков.

Многие авторы время от времени отмечали необычайную величину чисел, с которыми мы имеем дело в этом предмете. Такет вычислил, что двадцать четыре [sic] буквы алфавита могут быть расположены более чем в 620 тысяч триллионов порядков; а Шотт оценил, что если бы тысяча миллионов человек были заняты в течение такого же количества лет написанием этих расположений, и каждый человек заполнял бы каждый день сорок страниц по сорок расположений на каждой, они не выполнили бы задачу, так как написали бы только 584 тысячи триллионов вместо 620 тысяч триллионов.

В некоторых вопросах количество перестановок может быть ограничено и уменьшено различными условиями. Некоторые вещи в группе могут быть неотличимы от других, так что изменение порядка не произведет никакой разницы. Так, если бы мы переставляли буквы имени Ann, согласно нашему предыдущему правилу, мы получили бы 3 × 2 × 1, или 6 порядков; но половина этих расположений была бы идентична другой половине, потому что перестановка двух n не имеет никакого эффекта. Действительно различными порядками будут, следовательно, 3 · 2 · 1 / 1 · 2 или 3, а именно Ann, Nan, Nna. В слове utility есть две i и две t, в отношении обеих этих пар количество перестановок должно быть уменьшено вдвое. Таким образом, мы получаем 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 / 1 · 2 · 1 · 2 или 1260 в качестве количества перестановок. Простое правило, очевидно, таково: когда некоторые вещи или буквы неразличимы, приступайте в первую очередь к расчету всех возможных перестановок, как если бы все они были различными, а затем разделите на количество возможных перестановок тех серий вещей, которые неразличимы и перестановки которых, следовательно, были подсчитаны в избытке. Так, поскольку слово Utilitarianism содержит четырнадцать букв, из которых четыре i, две a и две t, количество различных расположений будет найдено путем деления факториала 14 на факториалы 4, 2 и 2, результат будет 908 107 200. Из букв слова Mississippi мы можем получить таким же образом 11! / 4! × 4! × 2! или 34 650 перестановок, что не составляет и тысячной части того, что мы получили бы, если бы все буквы были различными.

Расчет количества сочетаний.

Хотя во многих вопросах как искусства, так и науки нам необходимо рассчитывать количество перестановок из-за их собственного интереса, гораздо чаще в научных предметах они обладают лишь косвенным интересом. Как я уже указывал, мы почти всегда имеем дело в логических и математических науках с сочетаниями, и разнообразие порядка входит только через присущие несовершенства наших символов и способов расчета. Знаки должны использоваться в некотором порядке, и мы должны отвлечь наше внимание от этого порядка, прежде чем знаки будут правильно представлять отношения вещей, которые существуют ни до, ни после друг друга. Теперь часто случается, что мы не можем выбрать все сочетания вещей, не выбрав их сначала с учетом случайного разнообразия порядка, и мы должны затем разделить на количество возможных вариаций порядка, чтобы прийти к истинному количеству чистых сочетаний.

Предположим, что мы хотим определить количество способов, которыми мы можем выбрать группу из трех букв из алфавита, не допуская повторения одной и той же буквы. При первом выборе мы можем взять любую из 26 букв; на следующем шаге остается 25 букв, любую из которых можно присоединить к уже взятой; на третьем шаге будет 24 выбора, так что, по-видимому, общее количество способов выбора равно 26 × 25 × 24. Но тот факт, что один выбор следовал за другим, привел к тому, что мы получили одни и те же сочетания букв в разном порядке; мы получили бы, например, a, p, r в один раз и p, r, a в другой, и каждые три различные буквы будут появляться шесть раз, потому что три вещи могут быть расположены в шести перестановках. Чтобы получить количество сочетаний, мы должны, следовательно, разделить общее количество способов выбора на шесть, количество перестановок трех вещей, получив 26 × 25 × 24 / 1 × 2 × 3 или 2600.

Очевидно, что нам нужна доктрина сочетаний, чтобы мы могли во многих вопросах противодействовать преувеличивающему эффекту последовательного выбора. Если из сената в 30 человек мы должны выбрать комитет из 5, мы можем выбрать любого из 30 сначала, любого из 29 затем и так далее, фактически будет 30 × 29 × 28 × 27 × 26 выборов; но поскольку фактический характер членов комитета не будет затронут случайным порядком их выбора, мы делим на 1 × 2 × 3 × 4 × 5, и возможное количество различных комитетов будет 142 506. Аналогично, если мы хотим рассчитать количество способов, которыми восемь больших планет могут вступить в соединение, очевидно, что они могут встретиться либо по две, либо по три, либо по четыре или более за раз, и поскольку ничего не говорится об относительном порядке или месте в соединении, нам требуется количество сочетаний. Теперь выбор 2 из 8 возможен 8 · 7 / 1 · 2 или 28 способами; 3 из 8 — 8 · 7 · 6 / 1 · 2 · 3 или 56 способами; 4 из 8 — 8 · 7 · 6 · 5 / 1 · 2 · 3 · 4 или 70 способами; и можно аналогично показать, что для 5, 6, 7 и 8 планет, встречающихся одновременно, количество способов равно 56, 28, 8 и 1. Таким образом, мы решили весь вопрос о разнообразии соединений восьми планет; и, сложив все числа вместе, мы обнаружим, что 247 — это максимально возможное количество способов встречи.

На общем алгебраическом языке мы можем сказать, что группа из m вещей может быть выбрана из общего количества n вещей в количестве сочетаний, обозначаемом формулой

n . (n-1)(n-2)(n-3) . . . . (n - m + 1)/1 . 2 . 3 . 4 . . . . m

Чрезвычайная важность и значимость этой формулы, по-видимому, были впервые адекватно признаны Паскалем, хотя ее открытие приписывается им другу, М. де Ганье. Мы будем постоянно встречать ее в вопросах как сочетаний, так и вероятности, и во всех формулах математического анализа можно заметить следы ее влияния.

Арифметический треугольник.

Арифметический треугольник — это название, давно данное ряду замечательных чисел, связанных с предметом, который мы рассматриваем. Согласно Монтюкла, «этот треугольник в теории сочетаний и изменений порядка почти то же самое, что таблица Пифагора в обычной арифметике, то есть он сразу помещает перед глазами числа, требуемые во множестве случаев этой теории». Еще в 1544 году Штифель заметил замечательные свойства этих чисел и способ их эволюции. Бриггс, изобретатель обычной системы логарифмов, был настолько поражен их важностью, что назвал их Abacus Panchrestus. Паскаль, однако, был первым, кто написал отдельный трактат об этих числах и дал им название, под которым они известны до сих пор. Но Паскаль отнюдь не исчерпал предмет, и Якобу Бернулли оставалось полностью продемонстрировать важность фигурных чисел, как их также называют. В своем трактате «De Arte Conjectandi» он указывает на их применение в теории сочетаний и вероятностей и замечает об Арифметическом треугольнике: «Он не только содержит ключ к таинственной доктрине сочетаний, но также является основанием или фундаментом большинства важных и глубоких открытий, которые были сделаны в других отраслях математики».

Числа треугольника могут быть рассчитаны очень простым способом путем последовательных сложений. Мы начинаем с единицы в вершине; в следующей строке мы помещаем вторую единицу справа от этой; чтобы получить третью строку цифр, мы перемещаем предыдущую строку на одно место вправо и складываем их с теми же цифрами, какими они были до перемещения; мы можем затем повторять тот же процесс ad infinitum. Четвертая строка цифр, например, содержит 1, 3, 3, 1; перемещая их на одно место и складывая, как указано, мы получаем: —

Fourth line . . .

1

3

3

1

1

3

3

1

Fifth line . . . . .

1

4

6

4

1

1

4

6

4

1

Sixth line . . . . .

1

5

10

10

5

1

Выполняя этот простой процесс еще десять шагов, мы получаем первые семнадцать строк Арифметического треугольника, как напечатано на следующей странице. Теоретически говоря, Треугольник должен рассматриваться как бесконечный по протяженности, но числа увеличиваются так быстро, что вскоре становится непрактичным продолжать таблицу. Самая длинная таблица чисел, которую я нашел, находится в «Traité des Progressions» Фортиа (стр. 80), где они даны до сороковой строки и девятого столбца.

АРИФМЕТИЧЕСКИЙ ТРЕУГОЛЬНИК.

Line.

First Column.

1

1

Second Column.

2

1

1

Third Column.

3

1

2

1

Fourth Column.

4

1

3

3

1

Fifth Column.

5

1

4

6

4

1

Sixth Column.

6

1

5

10

10

5

1

Seventh Column.

7

1

6

15

20

15

6

1

Eighth Column.

8

1

7

21

35

35

21

7

1

Ninth Column.

9

1

8

28

56

70

56

28

8

1

Tenth Column.

10

1

9

36

84

126

126

84

36

9

1

Eleventh Column.

11

1

10

45

120

210

252

210

120

45

10

1

Twelfth Column.

12

1

11

55

165

330

462

462

330

165

55

11

1

Thirteenth Column.

13

1

12

66

220

495

792

924

792

495

220

66

12

1

Fourteenth Column.

14

1

13

78

286

715

1287

1716

1716

1287

715

286

78

13

1

Fifteenth Column.

15

1

14

91

364

1001

2002

3003

3432

3003

2002

1001

364

91

14

1

Sixteenth Column.

16

1

15

105

455

1365

3003

5005

6435

6435

5005

3003

1365

455

105

15

1

Seventeenth Col.

17

1

16

120

560

1820

4368

8008

11440

12870

11440

8008

4368

1820

560

120

16

1

Изучая эти числа, мы обнаруживаем, что они связаны неограниченным рядом отношений, некоторые из наиболее простых из которых могут быть замечены. Каждый вертикальный столбец чисел точно соответствует косому ряду, спускающемуся слева направо, так что треугольник совершенно симметричен по своему содержанию. Первый столбец содержит только единицы; второй столбец содержит натуральные числа, 1, 2, 3 и т. д.; третий столбец содержит замечательный ряд чисел, 1, 3, 6, 10, 15 и т. д., которые давно называют треугольными числами, потому что они соответствуют количеству шаров, которые могут быть расположены в треугольной форме, вот так —

Четвертый столбец содержит пирамидальные числа, названные так потому, что они соответствуют количеству одинаковых шаров, которые можно сложить в правильные треугольные пирамиды. Их разности представляют собой треугольные числа. Разностями чисел пятого столбца являются пирамидальные числа, но поскольку не существует правильной фигуры, содержание которой они выражали бы, их произвольно назвали треугольно-треугольными числами. Последующие столбцы, подобным же образом, как говорят, содержат треугольно-пирамидальные, пирамидально-пирамидальные числа и так далее.

Из способа формирования таблицы следует, что разности чисел в каждом столбце будут найдены в предыдущем столбце слева. Следовательно, вторые разности, или разности разностей, будут находиться во втором столбце слева от любого заданного столбца, третьи разности — в третьем столбце и так далее. Таким образом, мы можем сказать, что единица, которая появляется в первом столбце, является первой разностью чисел во втором столбце; второй разностью чисел в третьем столбце; третьей разностью чисел в четвертом и так далее. Видно, что треугольник представляет собой полную классификацию всех чисел в зависимости от того, имеют ли они единицу в качестве какой-либо из своих разностей.

Поскольку каждая строка образуется путем прибавления предыдущей строки к самой себе, очевидно, что сумма чисел в каждой горизонтальной строке должна быть вдвое больше суммы чисел в строке, расположенной непосредственно над ней. Следовательно, мы знаем, не производя сложения, что последовательные суммы должны быть 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 и т. д., так же как и количество комбинаций в Логическом алфавите. Говоря в общем, сумма чисел в n-й строке будет равна 2n–1.

Далее, если сложить все числа вплоть до любой строки, мы получим число, на единицу меньшее некоторой степени двойки; так, первая строка дает 1, или 2^1–1; первые две строки дают 3, или 2^2–1; первые три строки — 7, или 2^3–1; первые шесть строк дают 63, или 2^6–1; или, говоря общим языком, сумма первых n строк равна 2^n–1. Отсюда следует, что сумма чисел в любой одной строке равна сумме чисел во всех предыдущих строках, увеличенной на единицу. Ибо сумма n-й строки, как уже было показано, равна 2^n–1, а сумма первых n-1 строк равна 2^n-1–1, то есть меньше на единицу.

Это описание свойств фигурных чисел не претендует на полноту; можно было бы проследить значительное, вероятно, неограниченное число менее простых и очевидных отношений. Паскаль, приведя многие из этих свойств, восклицает: «Mais j’en laisse bien plus que je n’en donne; c’est une chose étrange combien il est fertile en propriétés! Chacun peut s’y exercer». Арифметический треугольник можно рассматривать как естественную классификацию чисел, наиболее полно демонстрирующую их развитие и отношения с определенной точки зрения. Очевидно, что при неограниченном расширении треугольника каждое число, за единственным исключением числа два, занимает по крайней мере два места.

Хотя вышеописанные свойства весьма любопытны, наибольшая ценность треугольника заключается в том, что он содержит полное изложение значений формулы (стр. 182) для количества комбинаций из m элементов по n для всех возможных значений m и n. Из семи предметов один можно выбрать семью способами, и семерка встречается в восьмой строке второго столбца. Комбинации из двух предметов, выбранных из семи, составляют 7 × 6 / 1 × 2, или 21, что является третьим числом в восьмой строке. Комбинации из трех предметов из семи составляют 7 × 6 × 5 / 1 × 2 × 3, или 35, что появляется четвертым в восьмой строке. Подобным же образом в пятом, шестом, седьмом и восьмом столбцах восьмой строки я нахожу указание на то, сколькими способами я могу выбрать комбинации из 4, 5, 6 и 7 предметов из 7. Переходя к девятой строке, я последовательно нахожу количество способов, которыми я могу выбрать 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 предметов из 8. Говоря в общем, если я хочу узнать, сколькими способами можно выбрать комбинации из m предметов из n, я должен посмотреть в (n+1)-й строке и взять (m+1)-е число в качестве ответа. Сколькими способами, например, можно выбрать подкомитет из пяти человек из комитета из девяти? Ответ — 126, это шестое число в десятой строке; оно окажется равным 9 · 8 · 7 · 6 · 5 / 1 · 2 · 3 · 4 · 5, что и дает наша формула (стр. 182).

Полная полезность фигурных чисел станет более очевидной, когда мы перейдем к теме вероятностей, но я могу привести здесь один или два примера. Сколькими способами мы можем расположить четыре монеты с точки зрения орла и решки? Вопрос сводится к тому, сколькими способами мы можем выбрать 0, 1, 2, 3 или 4 орла из 4, и пятая строка треугольника дает нам полный ответ, а именно:

We can select No

head and 4 tails in 1 way.

"

1

head and 3 tails in 4 ways.

"

2

heads and 2 tails in 6 ways.

"

3

heads and 1 tail in 4 ways.

"

4

heads and 0 tail in 1 way.

Общее количество различных случаев равно 16, или 2^4, и когда мы перейдем к следующей главе, выяснится, что эти числа дают нам соответствующие вероятности всех выпадений при броске четырех монет.

На стр. 181 я привел расчет количества способов, которыми восемь планет могут встретиться в соединении; читатель найдет все числа, подробно изложенные в девятой строке арифметического треугольника. Сумма всей строки равна 2^8, или 256; но мы должны вычесть единицу для случая, когда не появляется ни одна планета, и 8 для 8 случаев, в которых появляется только одна планета; так что общее количество соединений составляет 2^8 – 1 – 8, или 247. Если орган имеет одиннадцать регистров, мы находим в двенадцатой строке количество способов, которыми мы можем включать их по 1, 2, 3 или более за раз. Так, существует 462 способа включить пять регистров одновременно, и столько же — включить шесть регистров. Общее количество способов варьирования звука составляет 2048, включая единственный случай, когда не включен ни один регистр.

Одно из наиболее важных научных применений арифметического треугольника состоит в информации, которую он дает относительно сравнительной частоты отклонений от среднего значения. Предположим, ради аргумента, что все люди от природы имеют одинаковый рост в пять футов, но в юности обладают семью независимыми шансами вырасти еще на один дюйм. Из этих семи шансов один, два, три или более могут оказаться благоприятными для любого индивида; но, поскольку не имеет значения, какие именно шансы выпадут, лишь бы дюйм был получен, вопрос фактически сводится к количеству комбинаций из 0, 1, 2, 3 и т. д. элементов из семи. Следовательно, восьмая строка треугольника дает нам полный ответ на этот вопрос, а именно:

Из каждых 128 человек —

Feet

Inches.

One

person would have

the stature of

5

0

7

persons "

"

5

1

21

persons "

"

5

2

35

persons "

"

5

3

35

persons "

"

5

4

21

persons "

"

5

5

7

persons "

"

5

6

1

person "

"

5

7

Взяв соответствующую строку треугольника, можно получить ответ при любом более естественном предположении. Эта теория сравнительной частоты отклонения от среднего значения была впервые адекватно замечена Кетле и недавно была использована весьма интересным и смелым образом г-ном Фрэнсисом Гальтоном в его замечательной работе «Наследственный гений». Впоследствии мы обнаружим, что теория ошибок, к которой обращаются в конечном счете в случаях количественного исследования, основана на сравнительных числах комбинаций, представленных в треугольнике.

Связь между арифметическим треугольником и Логическим алфавитом.

Существует тесная связь между арифметическим треугольником, описанным в последнем разделе, и рядом комбинаций букв, называемым Логическим алфавитом. Одно относится к математической науке так же, как другое — к логической науке. Фактически, фигурные числа, или те, что представлены в треугольнике, получаются путем суммирования логических комбинаций. Соответственно, точно так же, как сумма чисел в каждой строке треугольника вдвое больше, чем для предыдущей строки (стр. 186), каждый столбец Алфавита (стр. 94) содержит вдвое больше комбинаций, чем предыдущий. Подобное соответствие существует также между суммами всех строк цифр вплоть до любой конкретной строки и комбинациями вплоть до любого конкретного столбца.

Изучая любой столбец Логического алфавита, мы обнаруживаем, что комбинации естественным образом группируются в соответствии с фигурными числами. Возьмем комбинации букв A, B, C, D; они состоят из всех способов, которыми я могу выбрать четыре, три, два, один или ни одного из четырех букв, заполняя пустые места отрицательными терминами.

Существует одна комбинация, ABCD, в которой присутствуют все положительные буквы; есть четыре комбинации, в каждой из которых присутствуют три положительные буквы; шесть, в которых присутствуют две; четыре, в которых присутствует только одна; и, наконец, существует единственный случай, abcd, в котором отсутствуют все положительные буквы. Эти числа, 1, 4, 6, 4, 1, являются числами пятой строки арифметического треугольника, и подобное соответствие будет обнаружено в каждом столбце Логического алфавита.

Числовая абстракция, как утверждалось, состоит в том, чтобы не обращать внимания на вид различия и сохранять лишь осознание его существования (стр. 158). Таким образом, в то время как в логике мы имеем дело с каждой комбинацией как с отдельным видом вещей, в арифметике мы различаем только классы, которые зависят от присутствия большего или меньшего числа положительных терминов, и количества этих классов непосредственно порождают числа арифметического треугольника.

Здесь можно указать, что существуют два способа, которыми мы можем вычислить общее количество комбинаций определенных вещей. Либо мы можем взять общее количество сразу, как показано в Логическом алфавите, и в этом случае число будет некоторой степенью двойки, либо мы можем вычислять последовательно, с помощью перестановок, количество комбинаций из нуля, одного, двух, трех предметов и так далее. Следовательно, мы приходим к необходимому тождеству между двумя рядами чисел. В случае четырех предметов мы будем иметь

2 = 1 + 4/1 + 4 . 3/1 . 2 + 4 . 3 . 2/1 . 2 . 3 + 4 . 3 . 2 . 1/1 . 2 . 3 . 4.

В общей форме выражения мы будем иметь

2 = 1 + n/1 + n . (n - 1)/1 . 2 + n(n - 1)(n - 2)/1 . 2 . 3 + &c.,

причем члены продолжаются до тех пор, пока они не перестанут иметь какое-либо значение. Таким образом, мы приходим к доказательству простых случаев биномиальной теоремы, примером которой является каждый столбец Логического алфавита. Можно показать, что все другие математические разложения также возникают из простых процессов комбинации, но более полное рассмотрение этого предмета должно быть отложено до другой работы.

Возможное разнообразие природы и искусства.

Мы не можем адекватно понять трудности, которые подстерегают нас в определенных отраслях науки, если у нас нет ясного представления об огромном количестве комбинаций или перестановок, которые могут быть возможны при определенных условиях. Только так мы можем узнать, насколько безнадежно было бы пытаться рассматривать природу в деталях и исчерпать все количество событий, которые могли бы возникнуть. Поучительно рассмотреть, во-первых, насколько огромны числа комбинаций, с которыми мы имеем дело во многих искусствах и развлечениях.

При сдаче колоды карт количество возможных рук по тринадцать карт в каждой очевидно равно 52 × 51 × 50 × ... × 40, деленному на 1 × 2 × 3 ... × 13, или 635 013 559 600. Но в висте одновременно сдаются четыре руки, и количество различных сдач становится настолько огромным, что для его выражения потребовалось бы двадцать восемь цифр. Если бы все население мира, скажем, один миллиард человек, сдавало карты день и ночь в течение ста миллионов лет, они бы за это время не исчерпали и стотысячной доли возможных сдач. Даже при одних и тех же руках карты игра может быть почти бесконечно разнообразной, так что полное разнообразие игр в вист, которые могут существовать, почти неисчислимо велико. В высшей степени невероятно, чтобы хоть одна игра в вист была когда-либо в точности похожа на другую, если только это не было сделано намеренно.

Можно было бы опасаться конца новизны в искусстве, если бы мы не обнаружили, что природа, по крайней мере, не установила никакого достижимого предела и что недостаток будет заключаться в наших творческих способностях. Это было бы поистине безрадостное время, когда все возможные вариации мелодий были бы исчерпаны, но легко показать, что если бы перезвон двадцати четырех колоколов звонил непрерывно с так называемого начала мира до наших дней, то и тогда не было бы сделано никакого приближения к завершению возможных изменений. Более того, если бы каждая минута была продлена до 10 000 лет, задача все равно осталась бы невыполненной. Что касается обычных мелодий, то восемь нот одной октавы дают более 40 000 перестановок, а две октавы — более миллиона миллионов. Если бы мы приняли во внимание полутона, стало бы очевидно, что исчерпать разнообразие музыки невозможно. Когда покойный г-н Дж. С. Милль в подавленном состоянии духа опасался приближающегося истощения музыкальных мелодий, он, безусловно, недостаточно изучил предмет перестановок.

Подобные соображения применимы к возможному количеству природных веществ, хотя мы не всегда можем дать точные численные результаты. Хатчетт рекомендовал провести систематическое исследование всех сплавов металлов, переходя от бинарных к более сложным тернарным или четвертичным. Он вряд ли осознавал масштаб предложенного им исследования. Если мы будем работать только с тридцатью известными металлами, количество бинарных сплавов составит 435, тернарных — 4060, четвертичных — 27 405, не принимая во внимание варьирующиеся пропорции металлов, а учитывая только вид металла. Если бы мы варьировали все тернарные сплавы на величины не менее одного процента, количество этих сплавов составило бы 11 445 060. Исчерпывающее исследование этого предмета поэтому исключено, и если не удастся открыть какие-либо законы, связывающие свойства сплава и его компонентов, неясно, как наши знания о них могут когда-либо стать чем-то большим, чем фрагментарными.

Возможное разнообразие определенных химических соединений, опять же, чрезвычайно велико. Химики уже исследовали многие тысячи неорганических веществ и еще большее число органических соединений; тем не менее, они не произвели никакого заметного впечатления на число тех, что могут существовать. Принимая количество элементов за шестьдесят один, число соединений, содержащих различные наборы из четырех элементов каждое, составило бы более полумиллиона (521 855). Поскольку одни и те же элементы часто соединяются во многих различных пропорциях, а некоторые из них, особенно углерод, обладают способностью образовывать почти бесконечное число соединений, вряд ли можно было бы установить какой-либо предел количеству химических соединений, которые могут быть образованы. Таким образом, существуют отрасли физической науки, о которых вряд ли ученые, при всем своем трудолюбии, смогут когда-либо получить знания, в какой-либо заметной степени приближающиеся к полноте.

Более высокие порядки разнообразия.

Рассмотрение фактов, уже приведенных в этой главе, не даст адекватного представления о возможном разнообразии существования, если мы не рассмотрим сравнительные числа комбинаций различных порядков. Под комбинацией более высокого порядка я подразумеваю комбинацию групп, которые сами по себе являются группами. Огромное количество соединений углерода, водорода и кислорода, описанных в органической химии, являются комбинациями второго порядка, ибо атомы — это группы групп. Звуковую волну, производимую музыкальным инструментом, можно рассматривать как комбинацию движений; совокупность звука, исходящая от большого оркестра, является, следовательно, сложным агрегатом звуков, каждый из которых сам по себе является сложной комбинацией движений. Можно сказать, что вся литература развивается из различия между белой бумагой и черными чернилами. Из неограниченного числа знаков, которые могли бы быть выбраны, мы выбираем двадцать шесть условных букв. Произносимые комбинации букв, вероятно, исчисляются триллионами. Теперь, поскольку предложение — это выбор слов, возможные предложения должны быть невообразимо более многочисленными, чем слова, из которых они могут состоять. Книга — это комбинация предложений, а библиотека — это комбинация книг. Библиотеку, следовательно, можно рассматривать как комбинацию пятого порядка, и силы численного выражения были бы серьезно затруднены при попытке выразить количество различных библиотек, которые могли бы быть созданы. Расчет, конечно, был бы невозможен, потому что объединение букв в слова, слов в предложения и предложений в книги регулируется условиями, настолько сложными, что они не поддаются анализу. Я хочу лишь указать, что бесконечное разнообразие литературы, существующей или возможной, развивается из одного фундаментального различия. Галилей заметил, что вся истина содержится в пределах алфавита. Ему следовало бы сказать, что она вся содержится в различии между чернилами и бумагой.

Одним из следствий последовательной комбинации является то, что простейших знаков будет достаточно для выражения любой информации. Фрэнсис Бэкон предложил для тайного письма двубуквенный шифр, который сводит все буквы алфавита к перестановкам двух букв a и b. Так, A было aaaaa, B — aaaab, X — babab и так далее. Подобным же образом, как ясно видел Бэкон, любое различие может быть сделано основой кода сигналов; мы можем выразить, как он говорит, omnia per omnia. Азбука Морзе использует только последовательность длинных и коротких знаков, а другие системы телеграфного языка используют правые и левые штрихи. Одна лампа, закрываемая через различные промежутки времени, длинные или короткие, может быть использована для написания любых слов, а с помощью двух ламп, различающихся по цвету, положению или любому другому обстоятельству, мы могли бы сразу представить двубуквенный алфавит Бэкона. Бэббидж остроумно предложил, чтобы каждый маяк в мире постоянно выстукивал свое собственное имя или номер с помощью вспышек или затмений различной длительности и последовательности. Система, подобная системе Бэббиджа, в настоящее время применяется к маякам в Соединенном Королевстве сэром У. Томсоном и д-ром Джоном Хопкинсоном.

Давайте вычислим количество комбинаций различных порядков, которые могут возникнуть из присутствия или отсутствия одного знака, скажем, A. В этих цифрах

A

A

A

A A A

A A

мы имеем четыре различных вида. Сформируйте из них группу более высокого порядка и рассмотрите, сколькими способами мы можем варьировать эту группу, опуская одну или несколько составных частей. Теперь, поскольку имеется четыре части и любая из них может присутствовать или отсутствовать, возможные вариации будут составлять 2 × 2 × 2 × 2, или 16 в количестве. Сформируйте из них новое целое и снова приступайте к созданию разнообразия, опуская любую одну или несколько из шестнадцати. Количество возможных изменений теперь будет 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2, или 2^16, и мы можем повторять этот процесс снова и снова. Мы представляем себе создание объектов, числа которых представлены последовательными порядками степеней двойки.

На первом шаге мы имеем 2; на следующем 2^2, или 4; на третьем (2^2)^2, или 16, числа весьма умеренной величины. Пусть читатель вычислит следующий член, ((2^2)^2)^2, и он будет удивлен, обнаружив, что он подскакивает до 65 536. Но на следующем шаге ему предстоит вычислить значение 65 536 двоек, умноженных друг на друга, и оно настолько велико, что мы никак не смогли бы его вычислить, так как одно лишь выражение результата потребовало бы 19 729 знаков. Но сделайте еще один шаг, и мы перейдем границы всякого разума. Шестой порядок степеней двойки становится настолько большим, что мы не смогли бы даже выразить количество цифр, необходимых для его записи, не используя для этой цели около 19 729 цифр. Последовательные порядки степеней двойки имеют тогда следующие значения, насколько нам удается их описать:

First order 2

Second order 4

Third order 16

Fourth order 65,536

Fifth order, number expressed by 19,729

figures.

Sixth order, number expressed by

figures, to express the number

of which figures would require

about 19,729

figures.

Это может дать нам некоторое представление о бесконечности, если вспомнить, что на этом шестом шаге, давно выйдя за все границы интуитивного представления, мы не приближаемся к пределу. Более того, если бы мы сделали сто таких шагов, мы были бы так же далеки, как и всегда, от актуальной бесконечности.

Стоит заметить, что наши способности выражения быстро преодолевают возможное множество конечных объектов, которые могут существовать в любом заданном пространстве. Архимед давно показал в одном из самых замечательных сочинений древности, Liber de Arenae Numero, что песчинки в мире можно пересчитать, или, скорее, что если бы их пересчитали, результат можно было бы легко выразить в арифметической нотации. Давайте расширим его задачу и выясним, могли бы мы выразить количество атомов, которые могли бы существовать в видимой Вселенной. Самые далекие звезды, которые сейчас можно увидеть в телескопы — звезды шестнадцатой величины — предположительно находятся на расстоянии около 33 900 000 000 000 000 миль. Сэр У. Томсон привел доводы в пользу предположения, что в кубическом сантиметре твердого или жидкого вещества существует не более чем от 3 × 10^24 до 10^26 молекул. Предполагая, ради аргумента, что эти данные верны, простой расчет позволяет нам показать, что почти невообразимо огромная сфера нашей звездной системы, если бы она была полностью заполнена твердым веществом, содержала бы не более чем около 68 × 10^90 атомов, то есть число, требующее для своего выражения 92 знака. Теперь, это число было бы неизмеримо меньше, чем пятый порядок степеней двойки.

В разнообразии логических отношений, которые могут существовать между определенным количеством логических терминов, мы также встречаем случай более высоких комбинаций. Мы видели (стр. 142), что всего при шести терминах количество возможных выборов комбинаций составляет 18 446 744 073 709 551 616. Учитывая, что использование аргумента, включающего шесть объектов или терминов, является самой обычной вещью в мире, может вызвать некоторое удивление тот факт, что полное исследование отношений, в которых могут находиться друг к другу шесть таких терминов, должно включать почти невообразимое количество случаев. Тем не менее, эти числа возможных логических отношений относятся только ко второму порядку комбинаций.

ГЛАВА X. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ.

Предмет, к которому мы теперь переходим, не следует рассматривать как изолированную и любопытную отрасль умозрения. Это необходимая основа суждений, которые мы делаем при развитии науки, или решений, к которым мы приходим при ведении обычных дел. Как справедливо сказал Батлер: «Вероятность — это сам путеводитель жизни». Если бы наука о числах изучалась не для какой-либо другой цели, она должна была бы быть развита для вычисления вероятностей. Все наши выводы относительно будущего являются лишь вероятными, и надлежащая оценка степени вероятности зависит от понимания принципов этого предмета. Я убежден, что невозможно изложить методы индукции здравым образом, не основывая их на теории вероятностей. Только совершенное знание может дать уверенность, а в природе совершенное знание было бы бесконечным знанием, что явно выходит за пределы наших способностей. Мы должны, следовательно, довольствоваться частичным знанием — знанием, смешанным с невежеством, порождающим сомнение.

Большая трудность в этом предмете состоит в приобретении точного представления о рассматриваемом вопросе. Что именно мы нумеруем, измеряем и вычисляем в теории вероятностей? Является ли это верой, или мнением, или сомнением, или знанием, или случайностью, или необходимостью, или отсутствием искусства? Существует ли вероятность в вещах, которые являются вероятными, или в уме, который рассматривает их как таковые? Этимология названия не оказывает нам никакой помощи: ибо, как ни странно, probable в конечном счете — то же самое слово, что и provable, хороший пример того, как одно слово дифференцировалось в два противоположных значения.

Случайность не может быть предметом теории, потому что на самом деле не существует такой вещи, как случайность, рассматриваемая как нечто, порождающее и управляющее событиями. Слово «случайность» означает «падение», и понятие падения постоянно используется как сравнение для выражения неопределенности, потому что мы редко можем предсказать, как упадет кость, монета или лист, или когда пуля попадет в цель. Но каждый видит после небольшого размышления, что именно в нашем знании кроется недостаток, а не в определенности законов природы. Нет сомнения у молнии относительно того, в какую точку она ударит; в величайшем шторме нет ничего капризного; нет ни одной песчинки на пляже, которую бесконечное знание не объяснило бы своим положением; и путь каждого падающего листа направляется принципами механики, которые управляют движениями небесных тел.

Случайность, таким образом, не существует в природе и не может сосуществовать со знанием; это лишь выражение, как заметил Лаплас, нашего невежества относительно действующих причин и нашего последующего неумения предсказать результат или вызвать его безошибочно. В природе свершение события было предопределено с самого начала формирования Вселенной. Вероятность целиком принадлежит уму. Это доказывается тем фактом, что разные умы могут рассматривать одно и то же событие в одно и то же время с широко различающимися степенями вероятности. Паровой корабль, например, пропал без вести, и некоторые люди верят, что он затонул посреди океана; другие думают иначе. В самом событии не может быть такой неопределенности; паровой корабль либо затонул, либо не затонул, и никакое последующее обсуждение вероятной природы события не может изменить этот факт. Тем не менее, вероятность события будет действительно меняться изо дня в день и от ума к уму, по мере того как будет получена малейшая информация относительно судов, встреченных в море, преобладающей там погоды, найденных признаков крушения или предыдущего состояния судна. Вероятность, таким образом, относится к нашему ментальному состоянию, к свету, в котором мы рассматриваем события, свершение или несвершение которых само по себе определенно. Многие авторы, соответственно, утверждали, что вероятность связана со степенью или количеством веры. Де Морган говорит: «Под степенью вероятности мы действительно подразумеваем или должны подразумевать степень веры». Покойный профессор Донкин выразил значение вероятности как «количество веры»; но я никогда не чувствовал удовлетворения от таких определений вероятности. Природа веры не более ясна моему уму, чем понятие, которое она используется для определения. Но вполне достаточным возражением является то, что теория измеряет не то, какова вера, а то, какова она должна быть. Мало умов думают в тесном соответствии с теорией, и существует много случаев свидетельств, в которых существующая вера обычно отличается от того, какой она должна быть. Даже если бы состояние веры в любом уме можно было измерить и выразить в цифрах, результаты были бы бесполезны. Ценность теории состоит в исправлении и направлении нашей веры, а также в приведении наших состояний ума и последующих действий в гармонию с нашим знанием внешних условий.

Это возражение было ясно воспринято некоторыми из тех, кто все еще использовал количество веры в качестве определения вероятности. Так, Де Морган добавляет: «Вера — это лишь другое название несовершенного знания». Донкин хорошо сказал, что количество веры «всегда относительно конкретного состояния знания или невежества; но следует заметить, что оно абсолютно в том смысле, что не является относительным к какому-либо индивидуальному уму; поскольку, при условии наличия одной и той же информации, все умы должны распределять свою веру одинаковым образом». Буль, по-видимому, придерживался схожего взгляда, когда описывал теорию как занятую «равномерным распределением невежества»; но мы с таким же успехом можем сказать, что она занята равномерным распределением знания.

Я предпочитаю вовсе обойтись без этого неясного слова «вера» и сказать, что теория вероятностей имеет дело с количеством знания — выражением, для которого можно дать точное объяснение и меру. Событие является вероятным только тогда, когда наше знание о нем разбавлено невежеством, и требуется точный расчет, чтобы различить, что мы знаем и чего не знаем. Теория была описана некоторыми авторами как претендующая на то, чтобы развивать знание из невежества; но, как замечательно заметил Донкин, это на самом деле «метод избегания построения веры на невежестве». Она определяет рациональное ожидание путем измерения сравнительных количеств знания и невежества и учит нас регулировать наши действия в отношении будущих событий таким образом, который в конечном итоге приведет к наименьшему разочарованию. Это, как удачно сказал Лаплас, здравый смысл, сведенный к расчету. Эта теория кажется мне благороднейшим творением интеллекта, и моему пониманию непостижимо, как можно было найти таких людей, как Огюст Конт и Дж. С. Милль, которые принижали ее и тщетно ставили под сомнение ее обоснованность. Восхвалять теорию должно быть так же излишне, как восхвалять сам разум.

Фундаментальные принципы теории.

Расчет вероятностей на самом деле основан, как я полагаю, на принципе рассуждения, изложенном в предыдущих главах. Мы должны относиться к равным вещам одинаково, и то, что мы знаем об одном случае, может быть утверждено о каждом случае, напоминающем его в необходимых обстоятельствах. Теория состоит в том, чтобы поставить подобные случаи на один уровень и распределить поровну между ними все знания, которыми мы обладаем. Подбросьте монету в воздух и подумайте, что мы знаем относительно способа ее падения. Мы знаем, что она определенно упадет на сторону, так что либо орел, либо решка будут сверху; но относительно того, будет ли это орел или решка, наше знание разделено поровну. Все, что мы знаем относительно орла, мы знаем также относительно решки, так что у нас нет причин ожидать одно больше, чем другое. Малейшее преобладание веры к какой-либо стороне было бы иррациональным; оно состояло бы в неравном отношении к вещам, о которых наше знание равно.

Теория не требует, как ошибочно полагали некоторые авторы, чтобы мы сначала установили путем эксперимента равную возможность событий, которые мы рассматриваем. Настолько, насколько мы можем исследовать и измерить действующие причины, события удаляются из сферы вероятности. Теория вступает в игру там, где начинается невежество, и знания, которыми мы обладаем, требуют распределения по многим случаям. Теория также не показывает, что монета будет падать на одну сторону так же часто, как и на другую. Почти невозможно, чтобы это произошло, потому что некоторое неравенство в форме монеты или некоторая единообразная манера подбрасывания почти наверняка вызовут небольшое преобладание в одном направлении. Но поскольку мы заранее не знаем, в какую сторону будет существовать преобладание, у нас нет причин ожидать орла больше, чем решку. Наше состояние знания изменится, если мы подбросим монету много раз и зарегистрируем результаты. Каждый бросок дает нам некоторую небольшую информацию относительно вероятной тенденции монеты, и в последующих расчетах мы должны принимать это во внимание. В других случаях опыт мог бы показать, что мы были полностью неправы; мы могли бы ожидать, что кость будет падать на каждую из шести сторон так же часто, как и на каждую другую сторону в долгосрочной перспективе; испытание могло бы показать, что кость была фальшивой и падает чаще всего на определенную грань. Теория не ввела бы нас в заблуждение: она правильно обработала информацию, которую мы имели, что является всем, что может сделать любая теория.

Можно спросить, как спрашивает Милль: зачем тратить столько усилий на расчеты по несовершенным данным, когда небольшое усилие позволило бы нам сделать вывод достоверным путем фактического испытания? Зачем рассчитывать вероятность правильности измерения, когда мы можем проверить, правильно ли оно? Но я полностью укажу в более поздних частях этой работы, что при измерении мы никогда не можем достичь идеального совпадения. Два измерения одной и той же базовой линии при съемке могут показать разницу в несколько дюймов, и может не быть средств узнать, какой результат лучше. Третье измерение, вероятно, не совпало бы ни с одним из них. Выбор любого из измерений означал бы, что мы знаем, что оно наиболее близко к правильному, чего мы не знаем. В этом состоянии невежества единственным путеводителем является теория вероятностей, которая доказывает, что в долгосрочной перспективе среднее значение расходящихся результатов будет наиболее близким к истине. Во всех других научных операциях, какими бы они ни были, совершенное знание невозможно, и когда мы исчерпали все наши инструментальные средства в достижении истины, остается предел ошибки, с которым можно безопасно обращаться только с помощью принципов вероятности.

Метод, который мы используем в теории, состоит в вычислении количества всех случаев или событий, относительно которых наше знание равно. Если у нас есть малейшая причина подозревать, что одно событие более вероятно, чем другое, мы должны принять это знание во внимание. После этого мы должны определить общее количество событий, которые, насколько нам известно, одинаково вероятны. Таким образом, если у нас нет причин предполагать, что монета будет падать чаще одной стороной, чем другой, существуют два случая, орел и решка, одинаково вероятные. Но если из испытания или иным образом мы знаем, или думаем, что знаем, что из 100 бросков 55 дадут решку, то вероятность измеряется отношением 55 к 100.

Математические формулы теории в точности такие же, как и в теории комбинаций. В этой последней теории мы определяем, сколькими способами события могут быть соединены вместе, и теперь мы переходим к использованию этого знания при расчете количества способов, которыми может произойти определенное событие. Именно сравнительные числа способов, которыми могут произойти события, измеряют их сравнительные вероятности. Если мы подбросим три монеты в воздух, какова вероятность того, что две из них упадут решкой вверх? Это сводится к вопросу: сколькими возможными способами мы можем выбрать две решки из трех, по сравнению с общим количеством способов, которыми могут быть расположены монеты? Теперь четвертая строка Арифметического треугольника (стр. 184) дает нам ответ. Общее количество способов, которыми мы можем выбрать или оставить три предмета, равно восьми, а возможные комбинации из двух предметов за раз — трем; следовательно, вероятность двух решек — это отношение трех к восьми. Из чисел в треугольнике мы можем аналогичным образом вывести все следующие вероятности:

One combination gives 0 tail. Probability 1/8.

Three combinations gives 1 tail. Probability 3/8.

Three combinations give 2 tails. Probability 3/8.

One combination gives 3 tails. Probability 1/8.

Мы можем применить те же соображения к воображаемым причинам различия в росте, комбинации которых были показаны на стр. 188. Всего существует 128 способов, которыми семь причин могут присутствовать или отсутствовать. Теперь двадцать одна из этих комбинаций дает прибавку в два дюйма, так что вероятность того, что человек при данных обстоятельствах будет иметь рост пять футов два дюйма, составляет 21/128. Вероятность пяти футов трех дюймов — 35/128; пяти футов одного дюйма — 7/128; пяти футов — 1/128 и так далее. Таким образом, восьмая строка Арифметического треугольника дает все вероятности, возникающие из комбинаций семи причин.