Уильям Стэнли Джевонс

«Принципы науки: Трактат о логике и научном методе»

Страница 9 из 31 · 55 712 зн. · 64 мин. чтения

Правила для расчета вероятностей.

Теперь я объясню как можно проще правила для расчета вероятностей. Основное правило заключается в следующем:

Вычислите количество событий, которые могут произойти независимо друг от друга и которые, насколько известно, одинаково вероятны. Сделайте это число знаменателем дроби, а в качестве числителя возьмите количество таких событий, которые подразумевают или составляют свершение события, вероятность которого требуется найти.

Таким образом, если буквы слова Roma случайно брошены в ряд, какова вероятность того, что они образуют значимое латинское слово? Возможные расположения четырех букв равны 4 × 3 × 2 × 1, или 24 в количестве (стр. 178), и если изучить все расположения, семь из них окажутся имеющими смысл, а именно: Roma, ramo, oram, mora, maro, armo и amor. Следовательно, вероятность значимого результата составляет 7/24.

Мы должны различать сравнительные и абсолютные вероятности. При случайном вытягивании карты из колоды нет причин ожидать какую-либо одну карту больше, чем любую другую. Теперь, в колоде четыре короля и четыре дамы, так что существует столько же способов вытянуть одного, сколько и другого, и вероятности равны. Но существует тринадцать бубен, так что вероятность короля относится к вероятности бубны как четыре к тринадцати. Таким образом, вероятности каждой пропорциональны их соответствующим количествам способов свершения. Далее, я могу вытянуть короля четырьмя способами и не вытянуть его сорока восемью, так что вероятности находятся в этой пропорции, или, как обычно говорят, шансы против вытягивания короля составляют сорок восемь к четырем. Шансы составляют семь к семнадцати «за» или семнадцать к семи «против» того, что буквы R, o, m, a случайно образуют значимое слово. Шансы составляют пять к трем «против» того, что две решки появятся при трех бросках монеты. И наоборот, когда даны шансы события и требуется вероятность, возьмите шансы «за» событие в качестве числителя, а сумму шансов — в качестве знаменателя.

Очевидно, что событие является достоверным, когда все комбинации причин, которые могут иметь место, порождают это событие. Если мы представим вероятность такого события согласно нашему правилу, она дает отношение некоторого числа к самому себе, или единицу. Событие достоверно не произойдет, когда никакая возможная комбинация причин не дает события, и отношение по тому же правилу становится отношением 0 к некоторому числу. Отсюда следует, что в теории вероятности достоверность выражается 1, а невозможность — 0; но не следует придавать этим символам мистического значения, так как они лишь выражают тот факт, что все или никакие возможные комбинации дают событие.

Под составным событием мы подразумеваем событие, которое может быть разложено на два или более простых события. Таким образом, выстрел из ружья может быть разложен на нажатие на спусковой крючок, падение курка, взрыв капсюля и т. д. В этом примере простые события не являются независимыми, потому что если спусковой крючок нажат, другие события при надлежащих условиях обязательно последуют, и их вероятности, следовательно, такие же, как у первого события. События являются независимыми, когда свершение одного не делает другое ни более, ни менее вероятным, чем прежде. Таким образом, смерть человека не становится ни более, ни менее вероятной от того, что планета Марс случайно видна. Когда компонентные события независимы, можно дать простое правило для расчета вероятности составного события, а именно: перемножьте дроби, выражающие вероятности независимых компонентных событий.

Вероятность выпадения решки дважды при броске монеты равна 1/2 × 1/2, или 1/4; вероятность выпадения ее три раза подряд равна 1/2 × 1/2 × 1/2, или 1/8; результат, согласующийся с тем, что получен, по-видимому, иным способом (стр. 202). Фактически, когда мы перемножаем знаменатели, мы получаем общее количество способов свершения составного события, а когда мы перемножаем числители, мы получаем количество способов, благоприятных для требуемого события.

Вероятности могут быть добавлены друг к другу или вычтены друг из друга при важном условии, что рассматриваемые события исключают друг друга, так что не более одного из них может произойти. Можно было бы утверждать, что, поскольку вероятность выпадения орла при первом испытании равна 1/2, а при втором испытании также 1/2, вероятность выпадения его в первых двух бросках равна 1/2 + 1/2, или достоверности. Этот результат не только явно абсурден, но повторение процесса привело бы нас к вероятности 1 1/2 или любого большего числа, результатам, которые не могли бы иметь никакого смысла вообще. Вероятность, которую мы хотим рассчитать, — это вероятность одного орла в двух бросках, но в наше сложение мы включили случай, в котором появляются два орла. Истинный результат — 1/2 + 1/2 × 1/2, или 3/4, или вероятность орла при первом броске, добавленная к исключительной вероятности того, что если он не выпадет при первом, он выпадет при втором. Величайшие трудности теории возникают из смешения исключительных и неисключительных альтернатив. Я могу напомнить читателю, что возможность неисключительных альтернатив была пунктом, ранее обсуждавшимся (стр. 68), и к причинам, данным тогда для рассмотрения чередования как логически неисключительного, можно добавить существование этих трудностей в теории вероятности. Ошибочный результат, объясненный выше, на самом деле возник из-за того, что не было замечено, что выражение «орел при первом броске или орел при втором броске» может включать случай орла при обоих бросках.

Логический алфавит в вопросах вероятности.

Когда даны вероятности определенных простых событий и требуется вывести вероятности составных событий, Логический алфавит может оказать помощь, при условии, что нет специальных логических условий, так что все комбинации возможны. Таким образом, если есть три события, A, B, C, вероятности которых равны α, β, γ, то отрицания этих событий, выражающие отсутствие событий, будут иметь вероятности 1 - α, 1 - β, 1 - γ. Нам нужно только подставить эти значения вместо букв комбинаций и перемножить, и мы получим вероятность каждой комбинации. Таким образом, вероятность ABC равна αβγ; A bc — α(1 - β)(1 - γ).

Теперь мы можем четко различать вероятности исключительных и неисключительных событий. Таким образом, если A и B — события, которые могут произойти вместе, как дождь и прилив, или землетрясение и шторм, вероятность свершения A или B не является суммой их отдельных вероятностей. Ибо по Законам мышления мы развиваем A ꖌ B в AB ꖌ A b ꖌ a B, и, подставляя α и β, вероятности A и B соответственно, мы получаем α · β + α · (1 - β) + (1 - α) · β, или α + β - α · β. Но если события несовместимы или неспособны произойти вместе, как ясное небо и дождь, или новолуние и полнолуние, то события — это не A или B, а A не-B, или B не-A, или в символах A b ꖌ a B. Теперь, если мы возьмем μ = вероятность A b и ν = вероятность a B, то мы можем просто складывать, и вероятность A b ꖌ a B равна μ + ν.

Пусть читатель внимательно заметит, что если комбинация AB не может существовать, вероятность A b не является произведением вероятностей A и b. Когда определенные комбинации логически невозможны, уже нельзя подставлять вероятность каждого термина вместо термина, потому что умножение вероятностей предполагает независимость событий. Большая часть «Законов мышления» Буля посвящена попытке преодолеть эту трудность и создать Общий метод в вероятностях, с помощью которого из определенных логических условий и определенных данных вероятностей можно было бы вывести вероятность любых других комбинаций событий при этих условиях. Буль преследовал свою задачу с удивительной изобретательностью и силой, но, потратив много времени на изучение его работы, я вынужден прийти к заключению, что его метод фундаментально ошибочен. Как указал г-н Уилбрахам, Буль получил свои результаты путем произвольного предположения, которое является лишь наиболее вероятным, а не единственно возможным предположением. Полученный ответ, следовательно, не является реальной вероятностью, которая обычно неопределенна, а лишь, так сказать, наиболее вероятной вероятностью. Некоторые задачи, решенные Булем, свободны от логических условий и поэтому могут допускать обоснованные ответы. Они, как я показал, могут быть решены с помощью комбинаций Логического алфавита, но остальные задачи не допускают определенного ответа, по крайней мере, по методу Буля.

Сопоставление теории с опытом.

Законы вероятности опираются на фундаментальные принципы рассуждения и не могут быть фактически опровергнуты никаким возможным опытом. Может случиться так, что человек будет постоянно подбрасывать монету орлом вверх и казаться неспособным получить решку случайно. Теория при этом не будет опровергнута, поскольку она допускает возможность самых крайних стечений обстоятельств. Наш фактический опыт может противоречить всему, что является вероятным; весь ход событий может казаться находящимся в полном противоречии с тем, чего мы должны были бы ожидать, и все же случайное сочетание событий может быть реальным объяснением. Вполне возможно, что некоторые закономерные совпадения, которые мы приписываем неизменным законам природы, обусловлены случайным сочетанием явлений в тех случаях, на которые направлено наше внимание. Все, что мы можем извлечь из конечного опыта, согласно теории вероятностей, способно ввести нас в заблуждение, и только бесконечный опыт мог бы гарантировать нам какие-либо индуктивные истины.

В то же время вероятность того, что произойдут какие-либо крайние стечения обстоятельств, настолько чрезмерно мала, что было бы абсурдно всерьез ожидать их возникновения. Почти невозможно, например, чтобы какой-либо игрок в вист сыграл две партии, в которых распределение карт было бы в точности одинаковым, исключительно по чистой случайности (стр. 191). Такое явление, как человек, постоянно проигрывающий в игре, основанной на чистой случайности, совершенно неизвестно. Подобные совпадения, как я уже сказал, не невозможны, но они настолько маловероятны, что жизнь любого человека или даже вся продолжительность истории не дают сколько-нибудь заметной вероятности их возникновения. Всякий раз, когда мы проводим обширную серию испытаний случайных результатов, как при бросании кости или монеты, велика вероятность того, что результаты будут почти совпадать с предсказаниями, полученными на основе теории. Точного совпадения ожидать не следует, ибо это, как показывает теория, крайне маловероятно. Было предпринято несколько попыток проверить таким образом соответствие теории и опыта. Бюффон поручил провести первое испытание маленькому ребенку, который много раз подряд подбрасывал монету, и получил 1992 решки на 2048 орлов. Ученик Де Моргана повторил это испытание для собственного удовлетворения и получил 2044 решки на 2048 орлов. В обоих случаях совпадение с теорией настолько близко, насколько можно было ожидать, и подробности можно найти в «Формальной логике» Де Моргана, стр. 185.

Кетле также проверил теорию более полным образом, поместив 20 черных и 20 белых шаров в урну и вынимая шар раз за разом случайным образом, причем каждый шар возвращался обратно перед тем, как делалось новое извлечение. Он обнаружил, как и следовало ожидать, что чем больше было сделано извлечений, тем ближе количество белых и черных шаров было к равенству. По окончании эксперимента он зарегистрировал 2066 белых и 2030 черных шаров, при этом отношение составило 1,02.

Я провел серию экспериментов третьим способом, который показался мне еще более интересным и допускающим более широкую проверку. Взяв горсть из десяти монет, обычно шиллингов, я подбрасывал их раз за разом и регистрировал количество выпавших орлов каждый раз. Теперь вероятность получения 10, 9, 8, 7 и т. д. орлов пропорциональна числу сочетаний из 10, 9, 8, 7 и т. д. элементов из 10. Следовательно, результаты должны приближаться к числам в одиннадцатой строке Арифметического треугольника. Я сделал в общей сложности 2048 бросков, двумя сериями по 1024 броска каждая, и полученные числа приведены в следующей таблице:—

Character of Throw.

Theoretical

Numbers.

First

Series.

Second

Series.

Average.

Divergence.

Heads

Tail

2 + 1

171/2

+ 71/2

+ 20

120

129

123

126

+ 6

210

181

190

185 1/2

– 25

252

257

232

244 1/2

– 71/2

210

201

197

199

– 11

120

111

119

115

– 5

+ 6

+ 8

1/2 – 1/2

Totals ... ...

1024

– 1

Общее число одиночных бросков монет составило 10 × 2048, или 20 480 всего, половина из которых, или 10 240, теоретически должны были дать орла. Общее количество полученных орлов фактически составило 10 353, или 5222 в первой серии и 5131 во второй. Совпадение с теорией довольно близкое, но, учитывая большое количество бросков, есть некоторые основания подозревать тенденцию в пользу орлов.

Особый интерес этого испытания заключается в демонстрации в практической форме результатов теоремы Бернулли и закона ошибок или отклонения от среднего, которые будут рассмотрены позже более подробно. Оно иллюстрирует связь между сочетаниями и перестановками, которая представлена в Арифметическом треугольнике и которая лежит в основе многих важных теорем науки.

Вероятностные дедуктивные аргументы.

С помощью теории вероятностей мы можем расширить сферу дедуктивного аргумента. До сих пор мы рассматривали суждения как достоверные и на гипотезе достоверности выводили выводы, столь же достоверные. Но информация, на основе которой мы рассуждаем в обычной жизни, редко или никогда не бывает достоверной, и почти все рассуждения на самом деле являются вопросом вероятности. Поэтому мы должны полностью осознавать способ и степень, в которой дедуктивное рассуждение затрагивается теорией вероятности, и многих могут удивить результаты, которые необходимо признать. Некоторые полемизирующие авторы, как заметил Де Морган, по-видимому, считают, что вывод из нескольких равновероятных посылок сам по себе так же вероятен, как любая из них, но истинный результат очень отличается. Если аргумент включает в себя много суждений, и каждое из них является неопределенным, вывод будет иметь очень малую силу.

Достоверность вывода можно рассматривать как сложное событие, зависящее от того, окажутся ли посылки истинными; таким образом, чтобы получить вероятность вывода, мы должны перемножить дроби, выражающие вероятности посылок. Если вероятность того, что А есть Б, равна 1/2, и вероятность того, что Б есть В, также равна 1/2, то вывод о том, что А есть В, на основании этих посылок, равен 1/2 × 1/2, или 1/4. Аналогично, если для обоснования вывода требуется любое количество посылок и их вероятности равны p, q, r и т. д., вероятность вывода на основании этих посылок равна p × q × r × ... Это произведение имеет лишь небольшое значение, если только каждая из величин p, q и т. д. не близка к единице.

Но особенно следует отметить, что вероятность, вычисленная таким образом, не является полной вероятностью вывода, а лишь той, которую он получает из рассматриваемых посылок. Замечания Уэйтли по этому предмету могут ввести читателя в заблуждение, заставив его предположить, что вычисление завершается перемножением вероятностей посылок. Но Де Морган полностью объяснил, что мы должны принимать во внимание предшествующую вероятность вывода; А может быть В по другим причинам, помимо того, что оно есть Б, и, как он замечает: «Трудно, если не невозможно, построить цепь аргументации, результат которой рассуждающий может основывать только на этих аргументах». Неудача одного аргумента не опровергает, за исключением особых обстоятельств, истинность вывода, который он призван поддержать, иначе существует мало истин, которые могли бы пережить необдуманные аргументы, приводимые в их пользу. Как веревка не обязательно рвется из-за того, что одна или две ее пряди выходят из строя, так и вывод может зависеть от бесконечного числа соображений, помимо тех, что находятся непосредственно в поле зрения. Даже когда у нас нет другой информации, мы не должны считать утверждение лишенным всякой вероятности. Истинным выражением полного сомнения является отношение равенства между шансами «за» и «против», и это отношение выражается вероятностью 1/2.

Теперь, если А и В — совершенно неизвестные вещи, у нас нет оснований полагать, что А есть В, скорее, чем А не есть В. Предшествующая вероятность тогда равна 1/2. Если у нас также есть вероятности того, что А есть Б, равная 1/2, и что Б есть В, равная 1/2, мы не имеем права предполагать, что вероятность того, что А есть В, уменьшается аргументом в его пользу. Если вывод истинен на своих собственных основаниях, неудача аргумента не затрагивает его; таким образом, его общая вероятность — это его предшествующая вероятность, сложенная с вероятностью того, что в случае неудачи первого аргумента новый рассматриваемый аргумент подтвердит его. Существует вероятность 1/2, что нам не потребуется специальный аргумент; вероятность 1/2, что потребуется, и вероятность 1/4, что аргумент в этом случае подтвердит его. Таким образом, полный результат равен 1/2 + 1/2 × 1/4, или 5/8. В общем виде, если a — вероятность, основанная на конкретном аргументе, а c — предшествующая вероятность события, общий результат равен 1 - (1 - a)(1 - c), или a + c - ac.

Мы можем выразить это еще более общим образом: пусть a, b, c и т. д. — вероятности вывода, основанного на различных аргументах. Только когда все аргументы терпят неудачу, наш вывод оказывается окончательно неверным; вероятности неудачи каждого из них равны соответственно 1 - a, 1 - b, 1 - c и т. д.; вероятность того, что они все потерпят неудачу, равна (1 - a)(1 - b)(1 - c) ...; следовательно, вероятность того, что вывод не окажется неверным, равна 1 - (1 - a)(1 - b)(1 - c) ... и т. д. Отсюда следует, что каждый аргумент в пользу вывода, каким бы слабым и незначительным он ни был, добавляет ему вероятности. Когда неизвестно, затонуло просроченное судно или нет, каждое слабое указание на потерю судна добавит некоторую вероятность к убеждению в его потере, и опровержение какого-либо конкретного доказательства не опровергнет само событие.

Мы должны применять эти принципы доказательства с большой осторожностью и заметить, что в значительной части случаев приведение слабого аргумента действительно способствует опровержению его вывода. Утверждение само по себе может обладать большой внутренней невероятностью, будучи противопоставленным другим доказательствам или предполагаемому закону природы, и можно предположить, что каждый рассуждающий действует прямо и выдвигает всю силу доказательств, которыми он обладает в его пользу. Если он приводит только один аргумент, и его вероятность a мала, то в формуле 1 - (1 - a)(1 - c) и a, и c малы, и все выражение имеет лишь небольшое значение. Весь эффект аргумента, таким образом, сводится к вопросу о том, остаются ли другие аргументы, чтобы мы могли ввести другие факторы (1 - b), (1 - d) и т. д. в вышеприведенное выражение. В суде, в публикации, имеющей определенную цель, и во многих других случаях, несомненно, правильно предполагать, что выдвинуты все доказательства, которые считаются имеющими какую-либо ценность в отношении утверждаемого вывода.

Назначение предшествующей вероятности любого суждения может быть делом трудным или невозможным, и таким, с которым логика и теория вероятностей имеют мало общего. Из общего корпуса науки, которым мы располагаем, мы должны в каждом случае выносить наилучшее суждение, на которое способны. Но при отсутствии всякого знания вероятность следует считать равной 1/2, ибо если мы сделаем ее меньше этого, мы склонны считать его скорее ложным, чем истинным. Таким образом, до того, как мы обладали какими-либо средствами оценки величин неподвижных звезд, утверждение о том, что Сириус больше Солнца, имело вероятность ровно 1/2; было столь же вероятно, что он будет больше, как и то, что он будет меньше; и так же с любой другой звездой. Это было предположение, которое сделал Мичелл в своих замечательных размышлениях. Может показаться, действительно, что поскольку каждое суждение выражает согласие, а согласия или сходства между явлениями бесконечно меньше, чем различий (стр. 44), каждое суждение должно при отсутствии другой информации быть бесконечно невероятным. Но в нашей логической системе каждый термин может быть безразлично положительным или отрицательным, так что мы выражаем в той же форме столько же различий, сколько и согласий. Поэтому невозможно, чтобы у нас была какая-либо причина не верить, а не верить утверждению о вещах, о которых мы ничего не знаем. Мы едва ли можем придумать суждение, относительно истинности которого мы абсолютно невежественны, за исключением случаев, когда мы полностью невежественны относительно используемых терминов. Если я попрошу читателя назначить шансы того, что «Платитиптический коэффициент положителен», он вряд ли увидит способ сделать это, если только не сочтет их равными.

Предположение о том, что полное сомнение правильно выражается величиной 1/2, было поставлено под сомнение епископом Терро, который предлагает вместо этого неопределенный символ 0/0; и он считает, что «априорная вероятность, полученная из абсолютного невежества, не оказывает влияния на силу впоследствии принятой вероятности». Но если мы допустим, что вероятность может иметь любое значение между 0 и 1, и что каждое отдельное значение равновероятно, то n и 1 - n равновероятны, и среднее всегда равно 1/2. Или мы можем взять p.dp, чтобы выразить вероятность того, что наша оценка относительно любого суждения должна лежать между p и p + dp. Полная вероятность суждения тогда есть интеграл, взятый в пределах от 1 до 0, или снова 1/2.

Трудности теории.

Теория вероятности, хотя и несомненно истинная, требует очень осторожного применения. Это не только отрасль математики, в которой часто совершаются упущения, но и во многих случаях представляет большую трудность убедиться, что формула правильно представляет данные задачи. Эти трудности часто возникают из логической сложности условий, которые могли бы быть, возможно, в некоторой степени прояснены постоянным удержанием в уме системы сочетаний, как она развита в Косвенном логическом методе. В изучении вероятностей математики бессознательно использовали логические процессы, далеко опережающие те, которыми владели логики, и Косвенный метод есть лишь полное изложение этих процессов.

Очень любопытно, как часто самые острые и мощные умы сбивались с пути при вычислении вероятностей. Редко Паскаль ошибался, однако он открыл эту науку ошибочным решением. Лейбниц впал в необычайную ошибку, полагая, что число двенадцать является столь же вероятным результатом при бросании двух костей, как и число одиннадцать. Не в немногих случаях ложное решение, полученное первым, кажется по сей день более правдоподобным, чем правильное, с тех пор доказанное. Яков Бернулли откровенно записывает два ложных решения задачи, которые он поначалу считал самоочевидными; и он добавляет предупреждение против риска ошибки, особенно когда мы пытаемся рассуждать на эту тему без строгого соблюдения методических правил и символов. Монмор не был свободен от подобных ошибок. Д’Аламбер постоянно впадал в ошибки и не мог понять, например, что вероятности будут одинаковыми при бросании монет последовательно, как и при бросании одновременно. Некоторые люди с большой репутацией, такие как Ансийон, Мозес Мендельсон, Гарве, Огюст Конт, Пуансо и Дж. С. Милль, настолько неверно поняли теорию, что поставили под сомнение ее ценность или даже оспорили ее обоснованность. Ошибочные утверждения о теории, приведенные в ранних изданиях «Системы логики» Милля, были частично отозваны в более поздних изданиях.

Многие люди имеют ошибочную склонность верить, что когда случайное событие произошло несколько раз подряд в необычном сочетании, оно менее вероятно произойдет снова. Д’Аламбер всерьез полагал, что если орел выпадал три раза подряд при бросании монеты, то решка с большей вероятностью появится при следующем испытании. Беклен придерживался того же мнения, и все же для этого нет никаких оснований. Если событие действительно случайно, то, что произошло раньше, не может ни в малейшей степени повлиять на него. На самом деле, чем чаще происходит случайное событие, тем вероятнее, что оно произойдет снова; потому что есть некоторое слабое эмпирическое свидетельство тенденции. Источник этого заблуждения следует искать целиком в чувствах удивления, с которыми мы наблюдаем событие, происходящее случайно, таким образом, который кажется исходящим от замысла.

Непонимание может также возникнуть из-за игнорирования разницы между перестановками и сочетаниями. Выбросить десять орлов подряд с помощью монеты не более невероятно, чем выбросить любую другую конкретную последовательность орлов и решек, но это гораздо менее вероятно, чем пять орлов и пять решек без учета их порядка, потому что существует не менее 252 различных конкретных бросков, которые дадут этот результат, когда мы абстрагируемся от различия порядка.

Трудности в применении теории возникают из-за нашего привычного игнорирования слабых вероятностей. Мы вынуждены практически принимать истины как достоверные, которые являются почти таковыми, потому что перестает быть целесообразным вычислять разницу. Никакое наказание не могло бы быть назначено, если бы требовались абсолютно достоверные доказательства вины, и, как замечает Локк: «Тот, кто не сдвинется с места, пока не узнает безошибочно дело, которым занимается, преуспеет, будет иметь мало другого дела, кроме как сидеть сложа руки и погибнуть». Нет ни одного момента в нашей жизни, когда мы не находились бы под слабой угрозой смерти или какой-то ужасной участи. Нет ни одного действия еды, питья, сидения или вставания, которое не оказалось бы фатальным для кого-то. Несколько философов пытались назначить предел вероятностей, которые мы считаем равными нулю; Бюффон назвал 1/10 000, потому что это вероятность, практически игнорируемая, того, что человек 56 лет умрет на следующий день. Паскаль заметил, что человека сочли бы глупцом за колебания принять смерть, когда три кости давали шестерки двадцать раз подряд, если бы его награда в случае иного результата была корона; но так как шанс смерти в вопросе составляет только 1 ÷ 6^60, или единица, деленная на число из 47 знаков, можно сказать, что мы подвергаемся большим рискам каждый день ради меньших мотивов. Существует гораздо больший риск смерти, например, в игре в крикет или при посещении катка.

Нет ничего более необходимого, чем тщательно различать истинность теории и правдивое применение теории к фактическим обстоятельствам. Как общее правило, события в природе и искусстве будут представлять сложность отношений, превышающую наши возможности обработки. Запутанное действие разума часто вмешивается и делает полный анализ безнадежным. Если, например, вероятность того, что стрелок попадет в цель одним выстрелом, равна 1 к 10, нам может показаться, что нетрудно вычислить вероятность любой последовательности попаданий; таким образом, вероятность трех последовательных попаданий была бы один к тысяче. Но в действительности уверенность и опыт, полученные от первого успешного выстрела, сделали бы второй успех более вероятным. События не являются действительно независимыми, и обычно наблюдалось бы гораздо большее преобладание серий кажущейся удачи, чем простое вычисление вероятностей могло бы объяснить. У некоторых людей, однако, замечательная серия успехов вызовет степень возбуждения, делающую продолжение успеха почти невозможным.

Попытки применить теорию вероятности к результатам судебных разбирательств оказались малоценными просто потому, что условия слишком сложны. Как сказал Лаплас: «Tant de passions, d’intérêts divers et de circonstances compliquent les questions relatives à ces objets, qu’elles sont presque toujours insolubles». Люди, действующие в составе присяжных или дающие показания перед судом, подвержены столь многим сложным влияниям, что никакие математические формулы не могут быть составлены для выражения реальных условий. Присяжных или даже судей на скамье нельзя рассматривать как действующих независимо, с определенной вероятностью в пользу вынесения каждым из них правильного суждения. Каждый человек из присяжных более или менее находится под влиянием мнения других, и существуют тонкие эффекты характера, манеры и силы ума, которые не поддаются анализу. Даже в физической науке мы можем в сравнительно немногих случаях применять теорию определенным образом, потому что требуемые данные слишком сложны и трудны для получения. Но такие неудачи никоим образом не умаляют истинности и красоты самой теории; в действительности нет такой отрасли науки, в которой наши символы могли бы справиться со сложностью Природы. Как сказал Донкин:—

«Я не вижу, на каком основании можно сомневаться в том, что каждое определенное состояние убеждения относительно предложенной гипотезы само по себе способно быть представлено числовым выражением, как бы трудно или непрактично ни было установить его фактическое значение. Было бы очень трудно оценить в числах живую силу (vis viva) всех частиц человеческого тела в любой момент; но никто не сомневается, что она способна к числовому выражению».

Трудность, короче говоря, лишь относительна к нашему знанию и навыкам, а не абсолютна или присуща самому предмету. Мы должны различать то, что теоретически мыслимо, и то, что практически осуществимо с нашими нынешними умственными ресурсами. При условии, что наши стремления направлены в правильную сторону, мы не должны позволять им угаснуть от соображения, что они выходят за рамки того, что сейчас может быть обращено к немедленному использованию. Несмотря на огромные трудности применения и клевету, которая ошибочно была возведена на нее, теория вероятностей, повторяю, является благороднейшей, как она со временем докажет, возможно, самой плодотворной отраслью математической науки. Это самый путеводитель жизни, и мы едва ли можем сделать шаг или принять решение любого рода, не делая правильно или неправильно оценку вероятностей. В следующей главе мы переходим к рассмотрению того, как вся убедительность индуктивного рассуждения покоится на вероятностях. Истинность или ложность естественного закона, при тщательном исследовании, сводится к высокой или низкой степени вероятности, и это так, независимо от того, способны ли мы предоставить точные числовые данные.

ГЛАВА XI. ФИЛОСОФИЯ ИНДУКТИВНОГО ВЫВОДА.

Мы исследовали природу совершенной индукции, посредством которой мы переходим назад от определенных наблюдаемых сочетаний событий к логическим условиям, управляющим такими сочетаниями. Мы также исследовали основания той теории вероятности, которая должна быть нашим проводником, когда мы оставляем позади достоверность и разбавляем знание невежеством. Перед нами теперь трудная задача попытаться решить, как с помощью этой теории мы можем подняться от фактов к законам природы; и можем затем с большим или меньшим успехом предвидеть будущий ход событий. Все наше знание о природных объектах должно в конечном итоге быть получено из наблюдения, и возникает трудный вопрос: как мы можем когда-либо знать что-либо, чего мы не наблюдали непосредственно через одно из наших чувств, отверстия разума? Полезность рассуждения состоит в том, чтобы убедить нас в том, что в определенное время и в определенном месте, или при указанных условиях, определенное явление будет наблюдаться. Когда мы можем использовать наши чувства и воспринимать, что явление действительно происходит, рассуждение излишне. Если чувства нельзя использовать, потому что событие в будущем или вне досягаемости, как рассуждение может занять их место? По-видимому, по крайней мере, мы должны выводить неизвестное из известного, и разум должен сам создать дополнение к сумме знаний. Но я утверждаю, что совершенно невозможно сделать какие-либо реальные дополнения к содержанию нашего знания, кроме как через новые впечатления на чувства или на какой-либо орган чувства. Я попытаюсь показать, что вывод, будь то индуктивный или дедуктивный, никогда не является чем-то большим, чем раскрытие содержания нашего опыта, и что он всегда исходит из предположения, что будущее и невоспринятое будут управляться теми же условиями, что и прошлое и воспринятое, предположение, которое часто будет оказываться ошибочным.

В индуктивном, как и в дедуктивном рассуждении, вывод никогда не выходит за пределы посылок. Рассуждение добавляет не больше к неявному содержанию нашего знания, чем расстановка образцов в музее добавляет к количеству этих образцов. Расстановка добавляет к нашему знанию в определенном смысле: она позволяет нам воспринимать сходства и особенности образцов, и на предположении, что музей является адекватным представлением природы, она позволяет нам судить о преобладающих формах природных объектов. Первый афоризм Бэкона остается совершенно верным, что человек не знает ничего, кроме того, что он наблюдал, при условии, что мы включаем все его источники опыта и все неявное содержание его знания. Вывод лишь раскрывает скрытый смысл наших наблюдений, и теория вероятности показывает, как далеко мы выходим за пределы наших данных, предполагая, что новые образцы будут напоминать старые, или что будущее можно рассматривать как протекающее единообразно с прошлым.

Различные классы индуктивных истин.

Желательно, в первую очередь, различать несколько видов истин, которые мы стремимся установить путем индукции. Хотя существует определенный общий и универсальный элемент во всех наших процессах рассуждения, все же разнообразие возникает в их применении. Сходство условий между событиями, из которых мы аргументируем, и теми, к которым мы аргументируем, всегда должно быть основанием вывода; но это сходство может касаться либо времени или места, либо простого логического сочетания событий, либо любого мыслимого соединения обстоятельств, включающего качество, время и место. Встретив много кусков вещества, обладающих пластичностью и ярко-желтым цветом, и обнаружив путем совершенной индукции, что все они обладают высоким удельным весом и свободой от коррозионного действия кислот, мы ожидаем, что каждый кусок вещества, обладающий подобной пластичностью и похожим желтым цветом, будет иметь столь же высокий удельный вес и такую же свободу от коррозии кислотами. Это случай сосуществования качеств; ибо характер исследованных образцов не меняется ни со временем, ни с местом.

Во втором классе случаев время будет входить как главное основание сходства. Когда мы слышим, как маятник часов бьет раз за разом, через равные промежутки и с равномерным звуком, мы уверенно ожидаем, что удар будет продолжать повторяться равномерно. Комета, появившаяся несколько раз через почти равные промежутки, заставляет нас сделать вывод, что она, вероятно, появится снова по истечении другого такого же интервала. Человек, который возвращался домой вечер за вечером в течение многих лет и находил свой дом стоящим, может на тех же основаниях ожидать, что он будет стоять и на следующий вечер, и на многие последующие вечера. Даже непрерывное существование объекта в неизменном состоянии или нахождение снова того, что мы спрятали, — это лишь вопрос вывода, зависящий от опыта.

Еще более обширный и сложный класс случаев включает отношения пространства, в дополнение к отношениям времени и качества. Наблюдая, что каждый треугольник, начерченный на диаметре круга, с вершиной на окружности, по-видимому, содержит прямой угол, мы можем установить, что все треугольники в подобных обстоятельствах будут содержать прямые углы. Это случай чисто пространственного рассуждения, помимо обстоятельств времени или качества, и он, по-видимому, управляется другими принципами рассуждения. Я попытаюсь показать, однако, что геометрическое рассуждение отличается лишь по степени от того, которое применяется к другим естественным отношениям.

Отношение причины и следствия.

В очень большой части научных исследований, которые должны быть рассмотрены, мы имеем дело с событиями, которые следуют из предыдущих событий, или с существованиями, которые следуют за существованиями. Наука, действительно, могла бы возникнуть, даже если бы материальная природа была фиксированным и неизменным целым. Наделите разум способностью перемещаться и сравнивать часть с частью, и он, безусловно, мог бы делать выводы относительно сходства форм, сосуществования качеств или преобладания определенного вида материи в неизменном мире. Твердая вселенная, по крайней мере в приблизительном равновесии, не является немыслимой, и тогда отношение причины и следствия было бы, очевидно, не более чем отношением «до» и «после». Как существует природа, однако, это прогрессивное существование, постоянно движущееся и изменяющееся по мере того, как время, великая независимая переменная, идет вперед. Отсюда возникает, что мы должны постоянно сравнивать то, что происходит сейчас, с тем, что произошло мгновение назад, и мгновение назад до того момента, и так далее, пока мы не достигнем неопределенных периодов прошлого времени. Комета видна движущейся в небе, или ее составные частицы освещают небеса своими хвостами огня. Мы не можем объяснить нынешние движения такого тела, не предполагая его предшествующего существования, с определенным количеством энергии и определенным направлением движения; также мы не можем обоснованно предполагать, что наша задача завершена, когда мы обнаруживаем, что она пришла, блуждая в нашу солнечную систему через неизмеримую обширность окружающего пространства. Каждое событие должно иметь причину, а та причина — снова причину, пока мы не потеряемся в неясности прошлого и не будем вынуждены к вере в одну Первопричину, которой был определен ход природы.

Ошибочное использование термина «причина».

Слова «причина» и «причинность» породили бесконечные трудности и неясности и в немалой степени задержали прогресс науки. Со времен Аристотеля работа философии описывалась как открытие причин вещей, и Фрэнсис Бэкон принял это понятие, когда сказал «vere scire esse per causas scire». Даже сейчас нередко предполагается, что знание причин — это нечто отличное от другого знания и состоит, так сказать, в овладении ключами природы. Одно слово может, таким образом, действовать как заклинание и привести самый ясный интеллект в замешательство, как я часто думал, что Локк был приведен в замешательство, когда пытался найти значение для слова «сила». В «Системе логики» Милля термин «причина» кажется, вновь утвердил свою старую вредоносную силу. Милль не только рассматривает Законы Причинности как почти равнозначные науке, но и использует выражение так, чтобы подразумевать, что, как только мы входим в круг причинности, мы имеем дело с достоверностями.

Философскую опасность, которая прикрепляется к использованию этого слова, можно описать следующим образом. Причина определяется как необходимое или неизменное предшествующее событие, так что когда существует причина, следствие также будет существовать или вскоре последует. Если тогда мы знаем причину события, мы знаем, что произойдет наверняка; и поскольку подразумевается, что наука, посредством надлежащего экспериментального метода, может достичь знания причин, следует, что опыт может дать нам достоверное знание будущих событий. Но нет ничего более бесспорного, чем то, что конечный опыт никогда не может дать нам достоверного знания будущего, так что либо причина не является неизменным предшествующим, либо мы никогда не можем получить достоверное знание причин. Первый рог этой дилеммы вряд ли может быть принят. Несомненно, в природе существует какой-то неизменно действующий механизм, такой, что из определенных фиксированных условий всегда возникает неизменный результат. Но мы, с нашими конечными умами и коротким опытом, никогда не сможем проникнуть в тайну тех существований, которые воплощают Волю Творца и развивают ее во времени. Мы находимся в положении зрителей, которые наблюдают за продукцией сложной машины, но которым не позволено исследовать ее интимную структуру. Мы узнаем, что действительно происходит и что действительно появляется, но если мы спросим о причине, ответ будет включать бесконечную глубину тайны. Самый простой кусочек материи или самый тривиальный инцидент, такой как удар двух бильярдных шаров, предлагает бесконечно больше для изучения, чем когда-либо может постичь человеческий интеллект. Слово «причина» покрывает столько же невысказанного смысла, сколько любое из слов «субстанция», «материя», «мысль», «существование».

Смешение двух вопросов.

Предмет сильно осложнен также смешением двух различных вопросов. Событие произошло, мы можем спросить—

(1) Is there any cause for the event?

(2) Of what kind is that cause?

Никто не стал бы утверждать, что разум обладает какой-либо способностью, способной вывести до опыта, что возникновение внезапного шума с пламенем и дымом указывает на горение черного порошка, образованного смесью черного, белого и желтого порошков. Величайший сторонник априорных доктрин допустит, что конкретный вид, форма, размер, цвет, текстура и другие качества причины должны быть собраны через чувства.

Вопрос о том, существует ли вообще какая-либо причина для события, совершенно иного рода. Если бы взрыв мог произойти без каких-либо ранее существующих условий, это должно было бы быть новым творением — отчетливым дополнением к вселенной. Можно правдоподобно утверждать, что мы не можем вообразить ни сотворения, ни уничтожения чего-либо. Что касается материи, это давно считается истинным; что касается силы, теперь почти повсеместно принимается как аксиома, что энергия не может ни возникнуть, ни исчезнуть без отчетливых актов Творческой Воли. Что существует какое-либо инстинктивное убеждение на этот счет, действительно, кажется сомнительным. Мы находим Лукреция, философа величайшей интеллектуальной силы и культуры, серьезно предполагающего, что его падающие атомы могут отклоняться от своих прямых путей самоопределяющимся образом и этим спонтанным возникновением энергии определять форму вселенной. Сэр Джордж Эйри, тоже, серьезно обсуждал математические условия, при которых вечное движение, то есть вечный источник самосозданной энергии, могло бы существовать. Большая часть философского мира давно придерживается мнения, что в ментальных актах есть свободная воля — короче говоря, самопричинность. Тщетно пытаться примирить эту доктрину с доктриной интуитивной веры в причинность, как сэр У. Гамильтон откровенно допускал.

Очевидно, более того, что утверждать существование причины для каждого события не может сделать больше, чем перенести в неопределенное прошлое немыслимый факт и тайну творения. В любой данный момент материя и энергия были равны тому, что они есть в настоящее время, или они не были; если равны, мы можем сделать тот же запрос относительно любого другого момента, как бы давно ни было, и мы, таким образом, вынуждены принять один рог дилеммы — существование из бесконечности или творение в какой-то момент. Это лишь один из многих случаев, в которых мы вынуждены верить в ту или иную из двух альтернатив, обе немыслимые. Моя нынешняя цель, однако, состоит в том, чтобы указать, что мы не должны путать этот чрезвычайно трудный вопрос с тем, в который индуктивная наука исследует на фундаменте фактов. Путем индукции мы не получаем достоверного знания; но путем наблюдения и обратного использования дедуктивного рассуждения мы оцениваем вероятность того, что событие, которое произошло, было предварено условиями указанного характера, или что такие условия будут сопровождаться событием.

Определение термина «причина».

Четкие определения слова «причина» были даны несколькими философами. Гоббс сказал: «Причина — это сумма или совокупность всех таких акциденций, как в агентах, так и в пациентах, которые сходятся в производстве предложенного эффекта; все они существуют вместе, и нельзя понять, что эффект существует с ними; или что он может существовать, если какой-либо из них отсутствует». Браун, в своем «Эссе о причинности», дал почти соответствующее утверждение. «Причина», говорит он, «может быть определена как объект или событие, которое непосредственно предшествует любому изменению, и которое, существуя снова в подобных обстоятельствах, будет всегда непосредственно сопровождаться подобным изменением». О родственном слове «сила» он также говорит: «Сила — это не что иное, как та неизменность предшествования, которая подразумевается в вере в причинность».

Эти определения могут быть приняты с оговоркой, что наше знание причин в таком смысле может быть только вероятным. Работа науки состоит в установлении сочетаний, в которых явления представляют себя. Относительно каждого события мы должны будем определить его вероятные условия, или группу предшествующих, из которых оно, вероятно, следует. Предшествующее — это все, что существует до события; последующее — это все, что существует после предшествующего. Обычно не случится так, что существует какая-либо вероятная связь между предшествующим и последующим. Таким образом, азот является предшествующим для зажигания обычного огня; но он настолько далек от того, чтобы быть причиной зажигания, что делает горение менее активным. Дневной свет является предшествующим для всех огней, зажженных в течение дня, но он, вероятно, не оказывает заметного влияния на их горение. Но в случае любого данного события обычно можно обнаружить определенное количество предшествующих, которые, по-видимому, всегда присутствуют, и с большей или меньшей вероятностью мы заключаем, что когда они существуют, событие последует.

Пусть будет замечено, что в настоящее время пользуются величайшей свободой в использовании термина «причина». Не только причина может быть существующей вещью, наделенной силами, как кислород является причиной горения, порох — причиной взрыва, но само отсутствие или удаление вещи также может быть причиной. Вполне правильно говорить о сухости египетской атмосферы, или отсутствии влаги, как о причине сохранения мумий и других остатков древности. Причина возвышенности горы, Инглборо, например, — это выемка окружающих долин путем денудации. Не так обычно говорить о существовании вещи в один момент как о причине ее существования в следующий, но мне это кажется самым обычным случаем причинности, который может произойти. Причиной движения бильярдного шара может быть удар другого шара; и недавняя философия заставляет нас смотреть на все движения и изменения как на не что иное, как на проявления ранее существующей энергии. По всей вероятности, нет сотворения энергии и нет разрушения, так что как в отношении механических, так и молекулярных изменений, причина — это действительно проявление существующей энергии. Таким же образом я не вижу, почему предшествующее существование материи не является также причиной в отношении ее последующего существования. Вся наука стремится показать нам, что существование вселенной в конкретном состоянии в один момент является условием ее существования в следующий момент, в по-видимому другом состоянии. Когда мы анализируем значение, которое мы можем приписать слову «причина», оно сводится к существованию подходящих частей материи, наделенных подходящими количествами энергии. Если мы можем принять утверждение Хорна Тука, «причина» этимологически имеет значение «вещь до». Хотя, действительно, происхождение слова очень неясно, его производные, итальянское «cosa» и французское «chose», означают просто «вещь». В немецком эквиваленте «ursache» мы имеем ясно первоначальное значение «вещь до», «sache» обозначает «интересный или важный объект», английское «sake», а «ur» является эквивалентом английского «ere», «до». Мы отказываемся, таким образом, и от этимологии, и от философии, когда приписываем «законам причинности» любое значение, выходящее за рамки «условий», при которых событие можно ожидать, согласно нашему наблюдению за предыдущим ходом природы.

Я не возражаю против использования слов «причина» и «причинность», при условии, что им никогда не позволят привести нас к воображению, что наше знание природы может достичь достоверности. Повторяю, что если причина — это неизменное и необходимое условие события, мы никогда не можем знать достоверно, существует причина или нет. Для нас, тогда, причина не должна отличаться от группы положительных или отрицательных условий, которые с большей или меньшей вероятностью предшествуют событию. В этом смысле нет никакой особой разницы между знанием причин и нашим общим знанием последовательности сочетаний, в которых явления природы представлены нам или обнаружены в экспериментальном исследовании.

Различие индуктивных и дедуктивных результатов.

Мы должны тщательно избегать смешения индуктивных исследований, которые заканчиваются установлением общих законов, и тех, которые, по-видимому, ведут непосредственно к знанию будущих частных событий. Только тот процесс можно назвать индукцией, который дает общие законы, и именно посредством последующего использования дедукции мы предвидим частные события. Если наблюдение ряда случаев показывает, что сплавы металлов плавятся при более низких температурах, чем их составляющие металлы, я могу с большей или меньшей вероятностью сделать общий вывод на этот счет и могу оттуда дедуктивно установить вероятность того, что следующий исследованный сплав будет плавиться при более низкой температуре, чем его составляющие. Было утверждено, действительно, Миллем и частично признано г-ном Фаулером, что мы можем аргументировать непосредственно от случая к случаю, так что то, что верно для некоторых сплавов, будет верно для следующего. Профессор Бэйн принял тот же взгляд на рассуждение. Он думает, что Милль вывел нас из тупика силлогизма и совершил полную революцию в логике. Он считает, что рассуждение от частного к частному — это не только обычный, самый очевидный и самый готовый метод, но и тип рассуждения, который лучше всего раскрывает реальный процесс. Несомненно, это обычный результат нашего рассуждения, если принимать во внимание степени вероятности; но эти логики совершенно не дают никакого объяснения процесса, с помощью которого мы переходим от случая к случаю.

Можно допустить, что знание будущих частных событий является главной целью наших исследований, и если бы существовал какой-либо процесс мышления, с помощью которого мы могли бы переходить непосредственно от события к событию, не поднимаясь к общим истинам, этот метод был бы достаточным и, безусловно, самым кратким. Верно также, что законы ментальной ассоциации заставляют разум всегда ожидать подобного снова в по-видимому подобных обстоятельствах, и даже животные с очень низким интеллектом должны иметь некоторый след таких способностей ассоциации, служащий для того, чтобы направлять их более или менее правильно, в отсутствие истинных способностей рассуждения. Но цель логики, согласно Миллю, состоит в том, чтобы установить, были ли выводы сделаны правильно, а не открывать их. Даже если мы можем, тогда, по привычке, ассоциации или любому грубому процессу вывода, выводить будущее непосредственно из прошлого, работа логики — анализировать условия, от которых зависит правильность этого вывода. Даже Милль признал бы, что такой анализ включает рассмотрение общих истин, и в этом, как и в нескольких других важных пунктах, мы могли бы опровергнуть собственные взгляды Милля его собственными утверждениями. Мне кажется нежелательным в систематической работе, подобной этой, вступать в полемику сколько-нибудь долго или пытаться опровергнуть взгляды других логиков. Но я буду чувствовать себя обязанным заявить в отдельной публикации свое очень взвешенное мнение, что многие инновации Милля в логической науке, и особенно его доктрина рассуждения от частного к частному, совершенно безосновательны и ложны.

Основания индуктивного вывода.

Я придерживаюсь мнения, что во всех случаях индуктивного вывода мы должны изобретать гипотезы, пока не натолкнемся на какую-либо гипотезу, которая дает дедуктивные результаты в соответствии с опытом. Такое соответствие делает выбранную гипотезу более или менее вероятной, и мы можем тогда вывести, с некоторой степенью вероятности, характер нашего будущего опыта, на предположении, что не происходит никакого произвольного изменения в условиях природы. Мы можем аргументировать только от прошлого к будущему, на общем принципе, изложенном в этой работе, что то, что верно для вещи, будет верно для подобного. Настолько, насколько один объект или событие отличается от другого, всякий вывод невозможен, частное как частное не может сделать вывод больше, чем песчинки могут сделать веревку. Мы должны всегда подниматься к чему-то, что является общим или тем же самым в случаях, и, предполагая, что это тождество распространяется на новые случаи, мы узнаем их природу. Слыша, как часы тикают пять тысяч раз без исключения или вариации, мы принимаем очень вероятную гипотезу, что существует какая-то неизменно действующая машина, которая производит эти равномерные звуки и которая будет, при отсутствии изменений, продолжать производить их. Встречая двадцать раз ярко-желтое пластичное вещество и обнаруживая, что оно всегда очень тяжелое и некорродирующее, я делаю вывод, что было какое-то естественное условие, которое стремилось при создании вещей объединить эти свойства вместе, и я ожидаю найти их объединенными в следующем случае. Но всегда есть возможность, что какое-то неизвестное изменение может произойти между прошлыми и будущими случаями. Часы могут остановиться или подвергнуться сотне случайностей, изменяющих их состояние. Нет никакой причины в природе вещей, насколько нам известно, почему желтый цвет, пластичность, высокий удельный вес и некорродируемость должны всегда быть объединены вместе, и в других случаях, если не в этом, ожидания людей были обмануты. Наши выводы, поэтому, всегда сохраняют более или менее гипотетический характер и настолько открыты для сомнения. Только в той пропорции, в какой наша индукция приближается к характеру совершенной индукции, она приближается к достоверности. Количество неопределенности соответствует вероятности того, что могут существовать другие объекты, кроме исследованных, и фальсифицировать наши выводы; количество вероятности соответствует количеству информации, полученной нашим исследованием; и теория вероятности будет нужна, чтобы предотвратить нас от переоценки или недооценки знания, которым мы обладаем.

Иллюстрации индуктивного процесса.

Чтобы проиллюстрировать переход от известного к по-видимому неизвестному, давайте предположим, что явления, находящиеся под исследованием, состоят из чисел, и что следующие шесть чисел, будучи представленными нам, мы должны вывести характер следующего в ряду:—

5, 15, 35, 45, 65, 95.

Прежде всего возникает вопрос: как мы можем описать этот ряд чисел? Что является для них единообразно верным? Читатель не может не заметить с первого взгляда, что все они оканчиваются на пять, и задача состоит в том, чтобы на основе свойств этих шести чисел сделать вывод о свойствах следующего числа, оканчивающегося на пять. Если мы проверим их свойства с помощью процесса полной индукции, то вскоре обнаружим, что у них есть еще одно общее свойство, а именно делимость на пять без остатка. Можем ли мы тогда утверждать, что следующее число, оканчивающееся на пять, также делится на пять, и если да, то на каком основании? Или, расширяя вопрос: делится ли любое число, оканчивающееся на пять, на пять? Следует ли из того, что шесть чисел подчиняются предполагаемому закону, что 376 685 975 или любое другое число, каким бы большим оно ни было, также подчиняется этому закону? Я отвечаю: безусловно, нет. Рассматриваемый закон, несомненно, верен, но его истинность не доказывается никаким конечным числом примеров. Все, что могут сделать эти шесть чисел, — это навести меня на мысль о возможном существовании такого закона; затем я устанавливаю его истинность, дедуктивно доказывая на основе правил десятичной нумерации, что любое число, оканчивающееся на пять, должно состоять из кратных пяти и, следовательно, само должно быть кратным.