«Принципы науки: Трактат о логике и научном методе»

Событие наступило m раз без осечки, вероятность того, что оно наступит еще n раз, равна (m + 1) / (m + n + 1). Таким образом, вероятность того, что три новые планеты будут подчиняться закону Боде, равна 10/13; но следует признать, что этот, как и предыдущий результат, был бы значительно ослаблен тем фактом, что о Нептуне едва ли можно сказать, что он подчиняется закону.

3. Если событие наступало и терпело неудачу определенное число раз, чтобы найти вероятность того, что оно наступит в следующий раз, разделите число раз, которое событие наступало, увеличенное на единицу, на общее число раз, которое событие наступало или терпело неудачу, увеличенное на два.

Если событие наступило m раз и потерпело неудачу n раз, вероятность того, что оно наступит в следующий раз, равна (m + 1) / (m + n + 2). Таким образом, если мы предположим, что из элементов, открытых до 1873 года, 50 являются металлическими и 14 неметаллическими, то вероятность того, что следующий открытый элемент будет металлическим, равна 51/66. Опять же, поскольку из 37 металлов, которые были достаточно изучены, только четыре, а именно натрий, калий, лантан и литий, имеют меньшую плотность, чем вода, вероятность того, что следующий изученный или открытый металл будет менее плотным, чем вода, равна (4 + 1) / (37 + 2) или 5/39.

Мы можем изложить результаты метода более общим образом следующим образом: если при данных обстоятельствах определенные события A, B, C и т. д. наступали соответственно m, n, p и т. д. раз, и одно или другое из этих событий должно наступить, то вероятности этих событий пропорциональны (m + 1), (n + 1), (p + 1) и т. д., так что вероятность A будет (m + 1) / (m + 1 + n + 1 + p + 1 + и т. д.). Но если новые события могут наступить в дополнение к тем, которые наблюдались, мы должны назначить единицу для вероятности такого нового события. Тогда шансы становятся 1 для нового события, (m + 1) для A, (n + 1) для B и так далее, а абсолютная вероятность A равна (m + 1) / (1 + m + 1 + n + 1 + и т. д.).

Интересно проследить изменения вероятности согласно этим правилам. В первый раз, когда случайное событие наступает, шансы 2 к 1, что оно наступит снова; если оно наступает, то 3 к 1, что оно наступит в третий раз; и в последующих случаях того же рода шансы становятся 4, 5, 6 и т. д. к 1. Шансы, конечно, будут отличаться от вероятностей, которые последовательно равны 2/3, 3/4, 4/5 и т. д. Таким образом, в первый раз, когда человек видит акулу и замечает, что ее сопровождает маленькая рыба-лоцман, шансы 2 к 1, или вероятность 2/3, что следующая акула будет сопровождаться так же.

Когда событие наступило очень большое число раз, его наступление еще раз приближается почти к достоверности. Если мы предположим, что солнце всходило тысячу миллионов раз, вероятность того, что оно взойдет снова, только на основании этого знания, равна (1 000 000 000 + 1) / (1 000 000 000 + 1 + 1). Но тогда вероятность того, что оно будет продолжать всходить в течение столь же долгого периода в будущем, составляет лишь (1 000 000 000 + 1) / (2 000 000 000 + 1), или почти точно 1/2. Вероятность того, что оно будет продолжать всходить в тысячу раз дольше, составляет лишь около 1/1001. Урок, который мы можем извлечь из этих цифр, вполне соответствует тому, который мы должны принять на других основаниях, а именно, что опыт никогда не дает достоверного знания и что чрезвычайно маловероятно, что события всегда будут происходить так, как мы их наблюдаем. Выводы, продвинутые далеко за пределы своих данных, вскоре теряют всякую значительную вероятность. Де Морган сказал: «Никакой конечный опыт вообще не может оправдать нас в утверждении, что будущее будет совпадать с прошлым во все грядущие времена или что существует какая-либо вероятность для такого заключения». С другой стороны, мы получаем уверенность в том, что достаточно расширенный и продолжительный опыт даст нам знание будущих событий с неограниченной степенью вероятности, при условии, конечно, что эти события не подвержены произвольному вмешательству.

Следует ясно понимать, что эти вероятности являются лишь такими, которые возникают из простого наступления событий, независимо от любого знания, полученного из других источников относительно этих событий или общих законов природы. Все наше знание о природе действительно основано подобным образом на наблюдении и поэтому является лишь вероятным. Сам закон тяготения лишь вероятно истинен. Но когда ряд различных фактов, наблюдаемых при самых разнообразных обстоятельствах, оказывается гармонизированным под предполагаемым законом природы, вероятность закона приближается к достоверности. Каждая наука опирается на так много наблюдаемых фактов и получает так много поддержки от аналогий или связей с другими науками, что существует сравнительно мало случаев, когда наше суждение о вероятности события зависит исключительно от нескольких предшествующих событий, не связанных с общим корпусом физической науки.

События, опять же, могут часто демонстрировать регулярность последовательности или преобладание характера, которые простая формула не примет во внимание. Например, большинство недавно открытых элементов являются металлами, так что вероятность того, что следующее открытие будет открытием металла, несомненно, выше, чем мы вычислили (стр. 258). В более отдаленных частях планетной системы есть признаки возмущения, которые помешали бы нам полагаться на какой-либо вывод от преобладающего порядка известных планет к тем неоткрытым, которые, возможно, существуют на больших расстояниях. Эти и все подобные осложнения никоим образом не опровергают теоретическую истинность формул, но делают их правильное применение гораздо более трудным.

Против теории вероятностей были выдвинуты ошибочные возражения на том основании, что мы не должны доверять нашим априорным концепциям о том, что может произойти, а должны всегда стремиться получить точные экспериментальные данные, чтобы направлять нас. Этот курс, однако, полностью соответствует теории, которая является нашим лучшим и единственным руководством, какими бы данными мы ни обладали. Мы должны всегда применять обратный метод вероятностей, чтобы принять во внимание всю дополнительную информацию. Когда мы подбрасываем монету в первый раз, мы, вероятно, совершенно не знаем, стремится ли она больше упасть орлом или решкой вверх, и поэтому мы должны предположить вероятность каждого события как 1/2. Но если в первом броске выпадает орел, у нас теперь есть очень слабое экспериментальное свидетельство в пользу тенденции к выпадению орла. Шанс двух орлов теперь немного больше, чем 1/4, каким он казался поначалу, и по мере того, как мы продолжаем подбрасывать монету раз за разом, вероятность выпадения орла в следующий раз постоянно варьируется в небольшой степени в зависимости от характера нашего предыдущего опыта. Как отмечает Лаплас, мы всегда должны принимать во внимание такие соображения в обыденной жизни. События при тщательном изучении почти никогда не окажутся совершенно независимыми, и малейшее преобладание в ту или иную сторону является некоторым свидетельством связи, и при отсутствии лучшего свидетельства его следует принимать во внимание.

Великая цель стремления оценить вероятность будущих событий на основе прошлого опыта, по-видимому, занимала Якова Бернулли и Де Муавра, по крайней мере, таково было мнение Кондорсе; и можно сказать, что Бернулли решил один случай этой задачи. Английские авторы Байес и Прайс, однако, несомненно, являются первыми, кто выдвинул какие-либо четкие правила по этому предмету. Кондорсе и несколько других выдающихся математиков развили математическую теорию предмета; но бессмертному Лапласу было суждено принести в этот предмет всю силу своего гения и довести решение задачи почти до совершенства. Поучительно наблюдать, что теория, возникшая из мелких азартных игр, правила и сами названия которых забыты, постепенно развивалась, пока не охватила самые возвышенные проблемы науки и, наконец, не взялась измерять ценность и достоверность всех наших индукций.

Случайные совпадения.

Мы изучали бы теорию вероятностей с очень малой пользой, если бы думали, что она предоставит нам непогрешимое руководство. Сама теория указывает на приблизительную уверенность в том, что мы иногда будем обмануты необычайными случайными совпадениями. Нет такой полосы везения, которая была бы настолько экстремальной, чтобы она не могла произойти, и она может произойти с нами или в наше время, так же как с другими людьми или в другие времена. Мы можем быть вынуждены правильным расчетом отнести такие совпадения к необходимой причине, и все же мы можем быть обмануты. Все, что исчисление вероятностей претендует дать, — это результат в долгосрочной перспективе, как это называется, и это действительно означает в бесконечности случаев. В течение любого конечного опыта, как бы долго он ни длился, шансы могут быть против нас. Тем не менее теория — лучшее руководство, которое мы можем иметь. Если мы всегда думаем и действуем согласно ее хорошо истолкованным указаниям, у нас будет лучший шанс избежать ошибки; и если все люди, во все грядущие времена, будут подчиняться теории подобным образом, они, несомненно, извлекут из этого величайшую выгоду.

Нельзя дать никакого правила для различения совпадений, которые являются случайными, и тех, которые являются следствием закона. Под случайным совпадением мы подразумеваем согласие между событиями, которые, тем не менее, возникают из совершенно независимых и разных причин или условий и которые не всегда будут так соглашаться. Это случайное совпадение, если монета, подбрасываемая неоднократно различными способами, всегда падает на одну и ту же сторону; но это не было бы случайным, если бы было какое-либо сходство в движениях руки и высоте броска, чтобы вызвать или стремиться вызвать единообразный результат. Теперь среди бесконечно многочисленных событий, объектов или отношений во вселенной вполне вероятно, что мы будем время от времени замечать случайные совпадения. В октаве семь интервалов, и нет ничего очень невероятного в том, что цвета спектра случайно оказываются делимыми на ту же или похожую серию из семи интервалов. Еще вряд ли решено, является ли это кажущееся совпадение, которым Ньютон был очень поражен, хорошо обоснованным или нет, но вопрос, вероятно, будет решен в отрицательную сторону.

Это, безусловно, случайное совпадение, которое древние заметили между семью гласными, семью струнами лиры, семью Плеядами и семью вождями под Фивами. Случайности, связанные с числом семь, вводили в заблуждение человеческий интеллект на протяжении исторического периода. Пифагор воображал связь между семью планетами и семью интервалами монохорда. Алхимики никогда не уставали делать выводы из совпадения в числах семи планет и семи металлов, не говоря уже о семи днях недели.

Было указано на единственное обстоятельство, касающееся размеров Земли, Солнца и Луны; диаметр Солнца был почти ровно в 110 раз больше диаметра Земли, в то время как почти в точно таком же соотношении среднее расстояние Земли было больше диаметра Солнца, а среднее расстояние Луны от Земли было больше диаметра Луны. Согласие было настолько близким, что оно могло оказаться чем-то большим, чем случайным, но его случайный характер теперь достаточно показан тем фактом, что совпадение перестает быть примечательным, когда мы принимаем исправленные размеры планетной системы.

Значительное число элементов имеет атомные веса, которые, по-видимому, являются точными кратными веса водорода. Если это не закон, который в конечном итоге должен быть распространен на все элементы, как предполагал Праут, то это самое замечательное совпадение. Но, как я заметил, у нас нет средств абсолютно отличать случайные совпадения от тех, которые подразумевают глубокую производящую причину. Совпадение должно быть либо очень сильным само по себе, либо оно должно быть подтверждено каким-либо объяснением или связью с другими законами природы. Мало внимания когда-либо уделялось совпадению, касающемуся размеров Солнца, Земли и Луны, потому что оно не было очень сильным само по себе и не имело явной связи с принципами физической астрономии. Закон Праута несет в себе больше вероятности, потому что он привел бы конституцию самих элементов в тесную связь с атомной теорией, представляя их как построенные из более простого вещества.

В исторических и социальных вопросах часто указываются совпадения, которые обусловлены случайностью, хотя всегда существует сильная народная тенденция рассматривать их как дело замысла или как имеющие какой-то скрытый смысл. Если к 1794 году, числу года, в который пал Робеспьер, мы добавим сумму его цифр, результат будет 1815, год, в который пал Наполеон; повторение процесса дает 1830, год, в который отрекся Карл Десятый. Опять же, французская Палата депутатов в 1830 году состояла из 402 членов, из которых 221 составляли партию под названием «La queue de Robespierre», в то время как остальные, числом 181, назывались «Les honnêtes gens». Если мы дадим каждой букве числовое значение, соответствующее ее месту в алфавите, будет обнаружено, что сумма значений букв в каждом названии точно указывает число членов партии.

Можно было бы привести ряд таких совпадений, часто очень любопытного характера, и вероятность против наступления каждого из них чрезвычайно велика. Их следует приписать случайности, потому что нельзя показать, что они имеют хоть малейшую связь с общими законами природы; но часто обнаруживается, что люди находятся под сильным влиянием таких совпадений, рассматривая их как свидетельство фатальности, то есть системы причинности, управляющей человеческими делами независимо от обычных законов природы. Пусть будет запомнено, что в жизни есть бесконечное число возможностей для того, чтобы проявилось какое-то странное совпадение, так что вполне следует ожидать, что замечательные конъюнкции иногда будут случаться.

Во всех вопросах судебных доказательств мы должны помнить о вероятном наступлении время от времени необъяснимых совпадений. Римские юристы по этой причине отказывались признавать недействительным завещательный акт, свидетели которого запечатали его одной и той же печатью. Ибо свидетели, независимо использующие свои собственные печати, могли случайно оказаться обладателями идентичных. Хорошо известно, что косвенные доказательства кажущейся подавляющей полноты иногда ведут к ошибочному суждению, и поскольку абсолютная достоверность никогда не достижима на самом деле, каждый суд должен действовать на основе вероятностей высокой величины, и в определенной небольшой доле случаев они почти по необходимости должны осуждать невинных жертв замечательного стечения обстоятельств. Народные суждения обычно опираются на вероятности гораздо меньшей величины, как когда дворец в Никомедии и даже опочивальня Диоклетиана горели дважды в течение пятнадцати дней, люди совершенно отказывались верить, что это могло быть результатом случайности. Римляне верили, что с именем Секст связана фатальность.

«Semper sub Sextis perdita Roma fuit».

Максимальные меры предосторожности не обеспечат защиту от всех непредвиденных обстоятельств. Чтобы избежать ошибок в важных вычислениях, принято, чтобы их повторяли разные вычислители; но зафиксирован случай, в котором три вычислителя сделали точно такие же вычисления места звезды, и все же все сделали это неправильно в точно такой же манере, без какой-либо видимой причины.

Резюме теории индуктивного вывода.

Теория индуктивного вывода, изложенная в этой и предыдущих главах, была подсказана изучением обратного метода вероятности, но она также имеет большое сходство с так называемым дедуктивным методом, описанным Миллем в его знаменитой «Системе логики». Взгляды Милля относительно дедуктивного метода, вероятно, составляют самую оригинальную и ценную часть его трактата, и я приписал бы это учение полностью ему, если бы не обнаружил, что мнения, выдвинутые в других частях его работы, совершенно несовместимы с теорией, отстаиваемой здесь. Поскольку этот предмет является самым важным и трудным из тех, с которыми нам приходится иметь дело, я попытаюсь исправить несовершенный способ, которым я его рассматривал, дав рекапитуляцию принятых взглядов.

Все индуктивное рассуждение есть лишь обратное применение дедуктивного рассуждения. Обладая определенными частными фактами или событиями, выраженными в суждениях, мы воображаем некоторое более общее суждение, выражающее существование закона или причины; и, дедуцируя частные результаты этого предполагаемого общего суждения, мы наблюдаем, согласуются ли они с рассматриваемыми фактами. Гипотеза, таким образом, всегда используется, сознательно или бессознательно. Единственные условия, которым мы должны соответствовать при построении любой гипотезы, заключаются в том, что мы как обладаем, так и упражняем способность дедуктивного вывода от гипотезы к частным результатам, которые должны быть сравнены с известными фактами. Таким образом, в процессе индукции есть только три шага:

(1) Построение некоторой гипотезы относительно характера общего закона.

(2) Дедуцирование следствий из этого закона.

(3) Наблюдение того, согласуются ли следствия с рассматриваемыми частными фактами.

В очень простых случаях обратного рассуждения гипотеза может казаться совершенно ненужной. Чтобы снова взять числа в качестве удобной иллюстрации, мне достаточно взглянуть на ряд,

1, 2, 4, 8, 16, 32, &c.,

чтобы сразу узнать, что общий закон — это закон геометрической прогрессии; мне не нужно последовательное испытание различных гипотез, потому что я знаком с рядом и давно узнал, из какой общей формулы он происходит. Таким же образом математик знакомится с интегралами ряда обычных формул, так что ему не нужно проходить через какой-либо процесс открытия. Но тем не менее верно, что всякий раз, когда предыдущее рассуждение не дает знания, гипотезы должны быть построены и испытаны (стр. 124).

Естественным образом возникают два случая, в зависимости от того, допускает ли природа предмета достоверное или только вероятное дедуктивное рассуждение. Достоверность, действительно, есть лишь особый случай вероятности, и общие принципы процедуры всегда одни и те же. Тем не менее, когда возможна достоверность вывода, процесс упрощается. Из нескольких взаимно несовместимых гипотез, результаты которых могут быть достоверно сравнены с фактом, в конечном итоге может быть принята только одна гипотеза. Так, в обратной логической задаче два логически различных условия не могли дать одну и ту же серию возможных комбинаций. Соответственно, в случае двух терминов мы должны были выбрать один из шести различных видов суждений (стр. 136), а в случае трех терминов наш выбор лежал среди 192 возможных различных гипотез (стр. 140). Законы природы, однако, часто носят количественный характер, и возможные гипотезы тогда бесконечны в своем разнообразии.

Когда дедукция достоверна, сравнение с фактом нужно только для того, чтобы убедиться, что мы правильно выбрали гипотетические условия. Закон устанавливает себя сам, и никакое количество частных верификаций не может добавить к его вероятности. Однажды дедуцировав из принципов алгебры, что разность квадратов двух чисел равна произведению их суммы и разности, никакое количество частных испытаний его истинности не сделает его более достоверным. С другой стороны, никакое конечное число частных верификаций предполагаемого закона не сделает этот закон достоверным. Короче говоря, достоверность принадлежит только дедуктивному процессу и учениям прямой интуиции; и поскольку условия природы не даны интуицией, мы можем быть уверены, что получили правильную гипотезу, только когда из ограниченного числа мыслимо возможных мы выбираем ту одну, которая единственная согласуется с фактами, подлежащими объяснению.

В геометрии и родственных отраслях математики дедуктивное рассуждение заметно достоверно, и часто кажется, будто рассмотрение единственной диаграммы дает нам достоверное знание общего суждения. Но в действительности вся эта достоверность носит чисто гипотетический характер. Несомненно, если бы мы могли установить, что предполагаемый круг был истинным и совершенным кругом, мы могли бы быть уверены относительно множества его геометрических свойств. Но геометрические фигуры — это физические объекты, и чувства никогда не могут уверить нас в их точных формах. Фигуры, действительно рассматриваемые в «Началах» Евклида, воображаемы, и мы никогда не можем проверить на практике выводы, которые делаем с достоверностью в рассуждении; вопросы степени и вероятности вступают в силу.

Переходя теперь к предметам, в которых дедукция лишь вероятна, перестает быть возможным принять одну гипотезу, исключая другие. Мы должны рассматривать в то же время все мыслимые гипотезы и относиться к каждой со степенью уважения, пропорциональной ее вероятности. Мы проходим через те же шаги, что и прежде.

(1) Мы строим гипотезу.

(2) Мы дедуцируем вероятность различных серий возможных следствий.

(3) Мы сравниваем следствия с частными фактами и наблюдаем вероятность того, что такие факты наступили бы при этой гипотезе.

Вышеуказанные процессы должны быть выполнены для каждой мыслимой гипотезы, и тогда абсолютная вероятность каждой будет получена принципом обратного метода (стр. 242). Как в случае достоверности мы принимаем ту гипотезу, которая достоверно дает требуемые результаты, так теперь мы принимаем как наиболее вероятную ту гипотезу, которая наиболее вероятно дает результаты; но мы обязаны рассматривать в то же время все другие гипотезы со степенями вероятности, пропорциональными вероятностям того, что они дали бы те же результаты.

До сих пор мы рассматривали только процесс, посредством которого мы переходим от частных фактов к общим законам, то обратное применение дедукции, которое составляет индукцию. Но прямое использование дедукции часто сочетается с обратным. Как только мы установили общий закон, разум быстро извлекает из него частные следствия. В геометрии нам может почти казаться, что мы выводим, что потому что один равносторонний треугольник равноуголен, поэтому другой таков же. В действительности это не потому, что один таков, другой таков, а потому что все таковы. Геометрические условия совершенно общи, и тем, что иногда называют «по аналогии рассуждения», все, что истинно для одного равностороннего треугольника, поскольку он равносторонен, истинно для всех равносторонних треугольников.

Аналогично, во всех других случаях индуктивного вывода, где мы, кажется, переходим от некоторых частных примеров к новому примеру, мы проходим через тот же процесс. Мы формируем гипотезу относительно логических условий, при которых могли бы произойти данные примеры; мы вычисляем обратно вероятность этой гипотезы и, соединяя это с вероятностью того, что новый пример произошел бы из тех же условий, мы получаем абсолютную вероятность наступления нового примера в силу этой гипотезы. Но поскольку несколько, или много, или даже бесконечное число взаимно несовместимых гипотез могут быть возможны, мы должны повторить вычисление для каждой такой мыслимой гипотезы, и тогда полная вероятность будущего примера будет суммой отдельных вероятностей. Осложнение этого процесса часто очень сильно уменьшается на практике благодаря тому факту, что одна гипотеза может быть почти наверняка истинной, а другие гипотезы, хотя и мыслимые, могут быть настолько маловероятными, что ими можно пренебречь без ощутимой ошибки.

Когда мы не обладаем никаким знанием вообще об условиях, из которых происходят события, мы можем быть не в состоянии сформировать какие-либо вероятные гипотезы относительно их способа происхождения. Мы должны теперь вернуться к общему решению задачи, осуществленному Лапласом, которое состоит в допущении на равных основаниях каждого мыслимого соотношения благоприятных и неблагоприятных шансов для наступления события, а затем принятии совокупного результата как лучшего, который может быть получен. Это решение должно быть принято только при отсутствии всех лучших средств, но, как и другие результаты исчисления вероятностей, оно приходит нам на помощь там, где знание заканчивается и начинается невежество, и оно предотвращает нас от переоценки знания, которым мы обладаем. Общие результаты решения согласуются со здравым смыслом, а именно, что чем чаще событие наступало, тем вероятнее, как общее правило, его последующее повторение. С расширением опыта эта вероятность возрастает, но в то же время вероятность того, что события будут долго продолжать наступать так, как они наступали ранее, мала.

Мы теперь проследили теорию индуктивного вывода настолько, насколько это можно сделать в отношении простых логических или численных отношений. Законы природы имеют дело со временем и пространством, которые бесконечно делимы. Как мы перешли от чистой логики к численной логике, так мы должны теперь перейти от вопросов прерывного к вопросам непрерывного количества, сталкиваясь с новыми соображениями большой трудности. Поэтому, прежде чем мы рассмотрим, как великие индукции и обобщения физической науки иллюстрируют взгляды на индуктивное рассуждение, только что объясненные, мы должны прерваться на время и пересмотреть средства, которыми мы обладаем для измерения и сравнения величин времени, пространства, массы, силы, импульса, энергии и различных проявлений энергии в движении, тепле, электричестве, химическом изменении и других явлениях природы.

КНИГА III. МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ.

ГЛАВА XIII. ТОЧНОЕ ИЗМЕРЕНИЕ ЯВЛЕНИЙ.

По мере того как физическая наука продвигается, она становится все более и более точно количественной. Вопросы простого логического факта через некоторое время разрешаются в вопросы степени, времени, расстояния или веса. Силы, существование которых едва подозревалось одним поколением, ясно распознаются следующим и точно измеряются третьим поколением. Но одно условие этого быстрого прогресса — изобретение подходящих инструментов измерения. Нам нужно то, что Фрэнсис Бэкон называл Instantiæ citantes или evocantes, методы сделать минутные явления воспринимаемыми чувствами; и нам также требуются Instantiæ radii или curriculi, то есть измерительные инструменты. Соответственно, введение нового инструмента часто образует эпоху в истории науки. Как сказал Дэви: «Ничто так не способствует продвижению знания, как применение нового инструмента. Природные интеллектуальные силы людей в разные времена являются не столько причинами разного успеха их трудов, сколько своеобразная природа средств и искусственных ресурсов, находящихся в их распоряжении».

При отсутствии, действительно, развитой теории и аналитической силы очень точный инструмент был бы бесполезен. Измерительная аппаратура и математическая теория должны продвигаться pari passu, и с такой точностью, с какой теоретик может предвидеть результаты, экспериментатор должен быть способен сравнить их с опытом. Скрупулезно точные наблюдения Флемстида были надлежащим дополнением к интенсивным математическим силам Ньютона.

Каждая отрасль знания начинается с количественных понятий очень грубого характера. После того как мы далеко продвинулись, часто забавно оглянуться назад в младенчество науки и противопоставить нынешние методы прошлым. В Гринвичской обсерватории в настоящее время сотая часть секунды не считается незначительной частью времени. Древние халдеи записывали затмение с точностью до часа, а ранние александрийские астрономы считали излишним различать край и центр солнца. С введением астролябии Птолемей и более поздние александрийские астрономы могли определять места небесных тел с точностью до десяти угловых минут. Малый прогресс затем последовал в течение тринадцати столетий, пока Тихо Браге не сделал первый большой шаг к точности, не только применяя лучшие инструменты, но даже более того, перестав рассматривать инструмент как правильный. Тихо, фактически, определил ошибки своих инструментов и исправил свои наблюдения. Он также принял к сведению эффекты атмосферной рефракции и преуспел в достижении точности, часто в шестьдесят раз большей, чем у Птолемея. Тем не менее Тихо и Гевелий часто ошибались на несколько минут в определении места звезды, и великим достижением Ремера и Флемстида было сведение этой ошибки к секундам. Брэдли, современный Гиппарх, продолжил улучшение, его ошибки в прямом восхождении, согласно Бесселю, были менее одной секунды времени, а ошибки склонения менее четырех угловых секунд. В настоящее время средняя ошибка одного наблюдения, вероятно, сведена к половине или четверти того, что она была во времена Брэдли; и дальнейшая экстремальная точность достигается умножением наблюдений и их искусным объединением согласно теории ошибок. Некоторые из более важных констант, например, константа нутации, были определены с точностью до десятой части угловой секунды.

Было бы делом большого интереса проследить зависимость этого прогресса от введения новых инструментов. Астролябия Птолемея, телескоп Галилея, маятник Галилея и Гюйгенса, микрометр Хоррокса и телескопические прицелы и микрометр Гаскойна и Пикара, пассажный инструмент Ремера, квадрант Ньютона и Хэдли, ахроматические линзы Доллонда, хронометр Харрисона и делительная машина Рамсдена — таковы были некоторые из основных дополнений к астрономической аппаратуре. Результат в том, что мы теперь принимаем к сведению величины, в 300 000 или 400 000 раз меньшие, чем во времена халдеев.

Было бы интересно опять же сравнить скрупулезную точность современной тригонометрической съемки с грубой, но изобретательной догадкой Эратосфена о разности широт между Александрией и Сиеной — или с измерением Норвудом градуса широты в 1635 году. «Иногда я измерял, иногда я шагал», — сказал Норвуд; «и я верю, что я в пределах малой доли истины». Таков был заросток тех детальных геодезических измерений, которые сделали размеры земного шара известными нам с точностью до нескольких сотен ярдов.

В других отраслях науки изобретение инструмента обычно отмечало, если не создавало, эпоху. Наука о тепле могла бы быть сказана начинающейся с конструкции термометра, и она недавно была продвинута введением термоэлектрического столба. Химия была создана главным образом тщательным использованием весов, которые образуют уникальный пример инструмента, остающегося по существу в той форме, в которой он был впервые применен к научным целям Архимедом. Весы никогда не были и, вероятно, никогда не могут быть улучшены, за исключением деталей конструкции. Торсионные весы, введенные Кулоном к концу прошлого века, быстро стали существенными во многих отраслях исследования. В руках Кавендиша и Бэйли они дали определение плотности Земли; примененные в гальванометре, они дали тонкую меру электрических сил и незаменимы в термоэлектрическом столбе. Эти весы сделаны просто подвешиванием любого легкого стержня на тонкой проволоке или нити, прикрепленной к средней точке. И мы обязаны им почти всеми более тонкими исследованиями в теориях тепла, электричества и магнетизма.

Хотя мы теперь можем принимать к сведению миллионную долю дюйма в пространстве и миллионную долю секунды во времени, мы не должны упускать из виду тот факт, что в других операциях науки мы все еще находимся в положении халдеев. Прошло не много лет с тех пор, как величины звезд, означающие количества света, которые они посылают в глаз наблюдателя, угадывались самым грубым образом, и астроном присуждал звезду к тому или иному порядку величины грубым сравнением с другими звездами того же порядка. Сэру Джону Гершелю мы обязаны попыткой ввести единообразный метод измерения и выражения, имеющий некоторое отношение к реальным фотометрическим величинам звезд. До исследований Бунзена и Роско о химическом действии света мы были лишены какого-либо способа измерения энергии света; даже сейчас методы утомительны, и неясно, дают ли они энергию света так же, как один из его специальных эффектов. Многие природные явления едва ли еще стали предметом измерения вообще, такие как интенсивность звука, явления вкуса и запаха, величина атомов, температура электрической искры или фотосферы солнца.

Полагать, таким образом, что количественная наука имеет дело только с точно измеримыми величинами, — это грубая, хотя и распространенная ошибка. Всякий раз, когда мы имеем дело с событием, которое либо происходит целиком, либо не происходит вовсе, мы сталкиваемся с неколичественным явлением, фактом, а не степенью; но всякий раз, когда нечто может быть больше или меньше, или вдвое или втрое больше другого, всякий раз, короче говоря, когда отношение входит в рассмотрение даже в самом грубом виде, наука приобретает количественный характер. В самом деле, не может быть сомнений в том, что любая наука по мере своего развития будет становиться все более количественной. Числовая точность — это душа науки, как говорил Гершель, и поскольку все природные объекты существуют в пространстве и включают молекулярные движения, измеримые по скорости и протяженности, не существует видимого предела для конечного расширения количественной науки. Но читатель ни на мгновение не должен полагать, что, поскольку мы все больше полагаемся на математические методы, мы оставляем позади логические методы. Число, как я пытался показать, имеет логическое происхождение, а количество — это лишь развитие числа или нечто аналогичное ему.

Разделение предмета.

Общий предмет количественного исследования должен быть разделен на несколько частей. Мы сначала рассмотрим средства, находящиеся в нашем распоряжении для измерения явлений, и, таким образом, сделаем их в большей или меньшей степени доступными для математической обработки. Эта задача потребует анализа принципов, на которых основаны точные методы измерения, что составит предмет остальной части настоящей главы. Однако, поскольку измерение дает только отношения, в следующей главе мы должны рассмотреть установление единичных величин, в терминах которых могут быть выражены наши результаты. Поскольку каждое явление обычно представляет собой сумму нескольких различных величин, зависящих от разных причин, далее, в главе XV, мы должны исследовать методы, с помощью которых мы можем распутать сложные эффекты и отнести каждую часть совместного эффекта к ее отдельной причине.

Нам еще предстоит в последующих главах рассмотреть количественную индукцию в собственном смысле этого слова. Мы должны следовать обратному логическому методу, поскольку он проявляется в задачах гораздо более высокой степени сложности, чем те, которые имеют дело с объектами, связанными простым логическим образом и неспособными сливаться друг с другом путем сложения и вычитания.

Непрерывная величина.

Явления природы по большей части проявляются в величинах, которые непрерывно увеличиваются или уменьшаются. Когда мы исследуем точное значение непрерывной величины, мы обнаруживаем, что ее можно описать только как то, что делимо без предела. Мы можем разделить миллиметр на десять, сто, тысячу или десять тысяч частей, и, по крайней мере мысленно, мы можем продолжать деление ad infinitum. Любое конечное пространство, следовательно, должно мыслиться как состоящее из бесконечного числа частей, каждая из которых бесконечно мала. Мы не можем придерживаться простейших геометрических понятий, не допуская этого. Понятие квадрата включает понятие стороны и диагонали, которые, как Евклид прекрасно доказывает в 117-м предложении своей десятой книги, не имеют общей меры, что означает отсутствие конечной общей меры. Несоизмеримые величины — это, по сути, те, единственной общей мерой которых является бесконечно малая величина. Несколько поразительно также обнаружить, что в теории несоизмеримые величины будут бесконечно чаще встречаться, чем соизмеримые. Пусть любые две линии будут проведены наугад; бесконечно маловероятно, что они будут соизмеримы, так что соизмеримые величины, с которыми мы, как предполагается, имеем дело на практике, являются лишь единичными случаями среди бесконечно большего числа несоизмеримых случаев.

Практически, однако, мы рассматриваем все величины как состоящие из наименьших количеств, которые могут воспринять наши чувства при содействии лучших измерительных приборов. Пока микроскопы не были изобретены, было достаточно считать дюйм состоящим из тысячи тысячных долей дюйма; теперь мы должны рассматривать его как состоящий из миллиона миллионных долей. Мы могли бы, по-видимому, избежать всякого упоминания о бесконечно малых величинах, никогда не доводя наши приближения до величин, которые не могут оценить чувства. В геометрии, рассматриваемой таким образом, мы никогда не должны утверждать, что две величины равны, а только то, что они кажутся равными. Лежандр действительно принимает этот способ рассмотрения в двадцатом предложении первой книги своей «Геометрии»; и он практически принят во всех физических науках, как мы увидим позже. Но хотя наши пальцы, чувства и инструменты должны где-то остановиться, нет причин, по которым разум должен прекратить движение. Мы видим, что доказательство, которое на самом деле проводится лишь через несколько шагов, могло бы быть продолжено без ограничений, и именно это осознание отсутствия места для остановки делает доказательство Евклидом его 117-го предложения столь впечатляющим. Как бы мы ни пытались обойти этот вопрос, мы не можем действительно избежать рассмотрения бесконечно малого и бесконечно великого. Те же методы приближения, которые кажутся ограниченными конечным, мысленно распространяются на бесконечное.

Одним из результатов этих соображений является то, что мы никак не можем установить абсолютное равенство двух величин. Подвешивание гроба Магомета между двумя точно равными магнитами теоретически мыслимо, но практически невозможно. Сюжет «Венецианского купца» строится на бесконечной невероятности того, что можно отрезать точное количество плоти. Неустойчивое равновесие не может существовать в природе, ибо это то, что разрушается бесконечно малым смещением. Возможно, практически можно сбалансировать яйцо на его конце, потому что ни одно яйцо не имеет поверхности идеальной кривизны. Предположим, что яичная скорлупа идеально гладкая, и этот подвиг стал бы невозможным.

Обманчивые показания чувств.

Я могу кратко напомнить читателю, насколько мало мы можем доверять нашим невооруженным чувствам при оценке степени или величины какого-либо явления. Глаз не может правильно оценить сравнительную яркость двух светящихся тел, которые сильно различаются по блеску; ибо мы знаем, что радужная оболочка постоянно приспосабливается к интенсивности получаемого света и, таким образом, пропускает больше или меньше света в зависимости от обстоятельств. Луна, которая ночью сияет почти ослепительной яркостью, бледна и почти незаметна, пока глаз еще находится под воздействием гораздо более мощного дневного света. Многое было записано относительно сравнительной яркости зодиакального света в разное время, но было бы трудно доказать, что эти изменения не связаны с меняющейся темнотой в это время или различной остротой зрения наблюдателя. По той же причине чрезвычайно трудно установить существование каких-либо изменений в форме или сравнительной яркости туманностей; вид туманности во многом зависит от остроты зрения наблюдателя или случайного состояния свежести или усталости его глаз. То же самое верно и для лунных наблюдений; и даже использование лучшего телескопа не устраняет эту трудность. При суждении о цветах, опять же, мы должны помнить, что свет любого данного цвета имеет тенденцию притуплять чувствительность глаза к свету того же цвета.

И глаз, не подкрепленный инструментами, не является гораздо лучшим судьей величины. Наши оценки размера крошечных ярких точек, таких как неподвижные звезды, полностью искажаются эффектами иррадиации. Тихо вычислил по видимому размеру звездных дисков, что ни одна из главных неподвижных звезд не может поместиться внутри орбиты Земли. Однако, помимо иррадиации или других явных причин ошибки, наши визуальные оценки размеров и форм часто поразительно неточны. Художники почти неизменно рисуют далекие горы в нелепой непропорциональности к более близким объектам, как сразу показывает сравнение эскиза с фотографией. Чрезвычайная кажущаяся разница в размере Солнца или Луны в зависимости от того, высоко ли они в небе или близки к горизонту, должна быть достаточной, чтобы сделать нас осторожными в принятии самых простых показаний наших чувств, не подкрепленных инструментальным измерением. Что касается утверждений о высоте полярного сияния и расстоянии до метеоров, то им следует совершенно не доверять. Когда капитан Парри говорит, что луч полярного сияния внезапно пронзил пространство вниз между ним и землей, которая находилась всего в 3000 ярдов, мы должны считать, что он подвержен чувственной иллюзии.

Правда, ошибки наблюдения чаще являются ошибками суждения, чем чувств. То, что фактически увидено, должно быть в этой мере истинно увидено; и если мы правильно интерпретируем значение явления, ошибки вообще не будет. Но слабость голых чувств как измерительных приборов проистекает из того факта, что они привносят меняющиеся условия неизвестной величины, и мы не можем сделать необходимые поправки и допущения, как в случае с твердым и неизменным инструментом.

Бэкон превосходно изложил недостаточность чувств для оценки величин объектов или обнаружения степеней, в которых проявляются явления. «Вещи ускользают от чувств, — говорит он, — потому что объект недостаточно велик, чтобы поразить чувство: как все мельчайшие тела; потому что перкуссия объекта слишком велика, чтобы быть вынесенной чувствами: как форма солнца при прямом взгляде на него в полдень; потому что время не пропорционально для приведения чувства в действие: как движение пули в воздухе или быстрое круговое движение головни, которые слишком быстры, или часовая стрелка обычных часов, которая слишком медленна; из-за расстояния объекта по месту: как размер небесных тел и размер и природа всех далеких тел; из-за предубеждения другим объектом: как один сильный запах делает другие запахи в той же комнате незаметными; из-за прерывания промежуточными телами: как внутренние части животных; и потому что объект не пригоден для того, чтобы произвести впечатление на чувство: как воздух или невидимый и неосязаемый дух, который заключен в каждом живом теле».

Сложность количественных вопросов.

Одно замечание, которое мы вполне можем сделать, приступая к количественным вопросам, касается большого разнообразия и объема явлений, представленных нашему вниманию. Пока мы имеем дело только с чисто логическим вопросом, этот вопрос сводится лишь к тому: происходит ли определенное событие? или существует ли определенный объект? Как только мы рассматриваем событие или объект как способные к большему и меньшему, вопрос разветвляется на многие. Мы должны теперь спросить: сколько это по сравнению с его причиной? Изменяется ли оно, когда изменяется величина причины? Если да, то изменяется ли оно в том же или противоположном направлении? Является ли изменение в простой пропорции к изменению причины? Если нет, то какой более сложный закон связи остается верным? Этот закон, удовлетворительно определенный в одной серии обстоятельств, может варьироваться при новых условиях, и в конечном итоге могут быть установлены самые сложные отношения нескольких величин.

В каждом вопросе физической науки существует, таким образом, ряд шагов, первые один или два из которых обычно делаются легко, в то время как последующие требуют все более тщательного измерения. Мы не можем установить какой-либо неизменный ряд вопросов, которые должны быть заданы природе. Точный характер вопросов будет варьироваться в зависимости от природы случая, но они обычно будут очевидного рода, и мы можем легко проиллюстрировать их примерами. Предположим, что мы исследуем растворение какой-либо соли в воде. Первый — это чисто логический вопрос: есть ли растворение или нет? Предполагая, что ответ утвердительный, мы далее спрашиваем: варьируется ли растворимость с температурой или нет? По всей вероятности, некоторое изменение будет существовать, и мы должны получить ответ на дальнейший вопрос: увеличивается ли растворяемое количество или уменьшается с температурой? В подавляющем большинстве случаев соли и вещества всех видов растворяются тем свободнее, чем выше температура воды; но есть несколько солей, таких как сульфат кальция, которые следуют противоположному правилу. Значительное число солей напоминает сульфат натрия тем, что они становятся более растворимыми до определенной температуры, а затем варьируются в противоположном направлении. Далее нам требуется определить величину изменения по сравнению с изменением температуры, предполагая сначала, что увеличение растворимости пропорционально увеличению температуры. Поваренная соль является примером очень незначительного изменения, а нитрат калия — очень значительного увеличения с температурой. Точные наблюдения, однако, вероятно, покажут, что простой закон пропорционального изменения верен лишь приблизительно, и в конечном итоге может быть установлен какой-то более сложный закон, включающий вторую, третью или более высокие степени температуры. Все эти исследования должны проводиться для каждой соли отдельно, поскольку еще не было обнаружено четких принципов, по которым мы могли бы делать выводы от одного вещества к другому. Еще открыто неопределенное поле для дальнейших исследований; ибо растворимость солей, вероятно, будет варьироваться в зависимости от давления, под которым находится среда; присутствие других уже растворенных солей может иметь эффекты, еще неизвестные. Исследования, уже проведенные в отношении растворяющей способности воды, должны быть повторены со спиртом, эфиром, сероуглеродом и другими средами, так что, если не будут обнаружены общие законы, это одно явление растворения никогда не может быть исчерпывающе рассмотрено. Тот же тип вопросов повторяется в отношении растворения или поглощения газов в жидкостях, причем давление, так же как и температура, имеет тогда самое решительное влияние, и исследования профессора Роско по этому предмету представляют собой отличный пример последовательного определения различных сложных законов.

Едва ли найдется отрасль физической науки, в которой в конечном итоге не встречаются подобные сложности. В случае гравитации, действительно, мы приходим к окончательному закону, что сила одинакова для всех видов материи и варьируется только с расстоянием действия. Но в других предметах законы, если они просты по своей конечной природе, замаскированы и усложнены в своих видимых результатах. Таким образом, эффект тепла при расширении твердых тел и обратный эффект сильного растяжения или сжатия на температуру тела будут варьироваться от одного вещества к другому, будут варьироваться в зависимости от того, выше или ниже уже температура, и, вероятно, будут следовать весьма сложному закону, который в некоторых случаях дает отрицательные или исключительные результаты. В кристаллических веществах те же исследования должны быть повторены в каждом отдельном осевом направлении.

В науках чистого наблюдения, таких как астрономия, метеорология и земной магнетизм, мы встречаем много интересных серий количественных определений. Так называемые неподвижные звезды, как прозрел Джордано Бруно, на самом деле не неподвижны и могут быть более верно описаны как огромные блуждающие светила, каждое из которых следует своим собственным путем через пространство. Мы должны тогда определить отдельно для каждой звезды следующие вопросы:—

1. Движется ли она? 2. В каком направлении? 3. С какой скоростью? 4. Является ли эта скорость переменной или равномерной? 5. Если переменная, то по какому закону? 6. Является ли направление равномерным? 7. Если нет, то какова форма видимого пути? 8. Приближается ли она или удаляется? 9. Какова форма реального пути?

Последовательные ответы на такие вопросы в случае некоторых двойных звезд дали доказательство того, что движения обусловлены центральной силой, совпадающей по закону с гравитацией и, несомненно, идентичной ей. В других случаях движения обычно настолько малы, что чрезвычайно трудно различить их с уверенностью. И время еще далеко, когда могут быть установлены какие-либо общие результаты относительно звездных движений.

Изменение яркости звезд открывает неограниченное поле для любопытного наблюдения. Нет такой звезды на небе, относительно которой нам, возможно, не пришлось бы определять:—

1. Варьируется ли она по яркости? 2. Увеличивается или уменьшается яркость? 3. Является ли изменение равномерным? 4. Если нет, то по какому закону она варьируется?

В большинстве случаев изменение, вероятно, будет иметь периодический характер, и в этом случае возникнет несколько других вопросов, таких как—

5. Какова продолжительность периода? 6. Существуют ли второстепенные периоды? 7. Каков закон изменения внутри периода? 8. Есть ли какое-либо изменение в величине изменения? 9. Если да, то является ли оно вековым, т.е. постоянно растущим изменением, или оно дает свидетельство о большем периоде?

Уже периодические изменения определенного числа звезд были определены с точностью, и продолжительность периодов варьируется от менее чем трех дней до интервалов времени, по крайней мере, в 250 раз больших. Были также обнаружены периоды внутри периодов.

Пожалуй, нет предмета, в котором приходилось бы определять более сложные количественные условия, чем земной магнетизм. С того времени, когда склонение компаса было впервые замечено, как некоторые полагают, Колумбом, мы время от времени совершали последовательные открытия прогрессивного изменения склонения из века в век; периодического характера этого изменения; разницы склонения в различных частях земной поверхности; меняющихся законов изменения склонения; наклонения стрелки и соответствующих законов его периодических изменений; горизонтальные и перпендикулярные интенсивности также были предметом точного измерения и, как было обнаружено, варьируются в зависимости от места и времени, подобно направлениям стрелки; были также обнаружены суточные и годовые периодические изменения, и все элементы, как оказалось, подвержены случайным бурям или аномальным возмущениям, в которых проявляется одиннадцатилетний период, ныне известный как общий для многих планетарных отношений. Полное решение этих движений стрелки компаса включает не что иное, как определение ее положения и колебаний в каждой части мира в любую эпоху, аналогичное определение для другой эпохи и так далее, раз за разом, пока не будут установлены периоды всех изменений. Этот один предмет предлагает ученым почти неисчерпаемое поле для интересных количественных исследований, в которых мы, несомненно, в какое-то будущее время обнаружим действие причин, ныне самых таинственных и необъяснимых.

Методы точного измерения.

Изучая способы, которыми физики достигали очень точных измерений, мы обнаруживаем, что они весьма разнообразны, но что их, возможно, можно свести к следующим трем классам:—

1. Увеличение или уменьшение в некотором определенном отношении количества, подлежащего измерению, чтобы привести его в пределы досягаемости наших чувств и приравнять его к стандартной единице или некоторому определенному кратному или дольному этой единицы.

2. Обнаружение некоторого естественного соединения событий, которое позволит нам напрямую сравнивать кратные количества с кратными единицы или величиной, связанной в определенном отношении с этой единицей.

3. Косвенное измерение, которое дает нам не само количество, а некоторое другое количество, связанное с ним известными математическими отношениями.

Условия точного измерения.

Несколько условий необходимы для того, чтобы измерение могло быть сделано с большой точностью и чтобы результаты были тесно согласованы при проведении нескольких независимых измерений.

Во-первых, величина должна быть точно определена резкими границами или точными отметками незначительной толщины. Когда граница расплывчата и градуирована, как полутень при лунном затмении, невозможно сказать, где на самом деле конец, и разные люди придут к разным результатам. Мы можем иногда преодолеть эту трудность до некоторой степени с помощью наблюдений, повторяемых особым образом, как мы увидим позже; но, когда это возможно, мы должны выбирать возможности для измерения, когда точное определение легко. Момент покрытия звезды Луной может быть наблюдаем с большой точностью, потому что звезда исчезает с совершенной внезапностью; но существуют другие астрономические соединения, затмения, прохождения и т.д., которые занимают определенную продолжительность времени, и, таким образом, открывают путь к различиям во мнениях. Было бы невозможно наблюдать с точностью движения тела, не обладающего определенными точками отсчета. Цвета полного спектра переходят друг в друга так непрерывно, что точные определения показателей преломления были бы невозможны, если бы у нас не было темных линий солнечного спектра в качестве точных точек для измерения или различных видов однородного света, такого как свет натрия, обладающего почти равномерной длиной вибрации.

Во-вторых, мы не можем измерить точно, если у нас нет средств умножения или деления количества без значительной ошибки, так что мы можем правильно приравнять одну величину к кратному или дольному другой. В некоторых случаях мы воздействуем на количество, подлежащее измерению, и приводим его в точное совпадение со стандартом, как когда в фотометрии мы варьируем расстояние нашего светящегося тела, пока его освещающая сила в определенной точке не станет равной силе стандартной лампы. В других случаях мы повторяем единицу, пока она не станет равна объекту, как при съемке земли или определении веса с помощью весов. Требования точности теперь таковы: (1) Что мы можем повторять единицу за единицей точно равной величины; (2) Что они могут быть соединены вместе так, чтобы совокупность действительно была суммой частей. Те же условия применимы к подразделению, которое можно рассматривать как умножение подчиненных единиц. Чтобы измерить до тысячной доли дюйма, мы должны быть в состоянии добавлять тысячную за тысячной без ошибки в величине этих пространств или в их соединении.

Измерительные приборы.

Рассмотрение механической конструкции научных приборов не входит в мою цель в этой книге. Я хочу указать лишь на общую цель таких инструментов и методы, принятые для выполнения этой цели с большой точностью. Во-первых, мы должны различать инструмент, который осуществляет сравнение между двумя величинами, и стандартную величину, которая часто составляет одну из сравниваемых величин. Астрономические часы, например, не являются стандартом истечения времени; они служат лишь для подразделения с приблизительной точностью интервала последовательных прохождений звезды через меридиан, что они могут осуществлять, возможно, до десятой части секунды, или 1/864000 части целого. Сама движущаяся Земля является настоящими стандартными часами, а пассажный инструмент — стрелкой часов, в то время как звезды — отметками часа, минуты и секунды, не менее точными от того, что они расположены на неравных интервалах. Фотометр — это простой инструмент, с помощью которого мы сравниваем относительную интенсивность лучей света, падающих на данное пятно. Гальванометр показывает сравнительную интенсивность электрических токов, проходящих через провод. Калориметр измеряет количество тепла, проходящего от данного объекта. Но никакие такие инструменты не предоставляют стандартную единицу, в терминах которой должны быть выражены наши результаты. Только в одном особом случае тот же инструмент сочетает в себе единицу измерения и средства сравнения. Теодолит, стенной круг, секстант или другой инструмент для измерения угловых величин не нуждается в дополнительной физической единице; ибо сам круг или полный оборот является естественной единицей, к которой относятся все большие или меньшие количества угловой величины.