«Принципы науки: Трактат о логике и научном методе»

Чтобы сделать это более понятным, пусть читатель теперь рассмотрит числа —

7, 17, 37, 47, 67, 97.

Все они оканчиваются на 7, а не на 5, и хотя интервалы между ними не равны, они такие же, как в предыдущем случае. После размышления читатель поймет, что все эти числа объединяет то, что они являются простыми числами, или числами, кратными только единице. Можем ли мы тогда сделать вывод, что следующее или любое другое число, оканчивающееся на 7, является простым? Очевидно, нет, ибо при проверке мы обнаруживаем, что 27, 57, 117 не являются простыми. Таким образом, шесть примеров, рассмотренных эмпирически, в одном случае приводят нас к истинному и универсальному закону, а в другом — вводят в заблуждение. На самом деле мы не должны доверять никакому закону, пока не подвергнем его дедуктивной проверке и не покажем, что из предполагаемых условий должны следовать ожидаемые результаты. Никто не может показать на основе принципов теории чисел, что числа, оканчивающиеся на 7, должны быть простыми.

Из истории теории чисел можно привести несколько хороших примеров ложной индукции. Возьмем следующую последовательность простых чисел:

41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, &c.,

можно обнаружить, что все они являются значениями общего выражения x^2 + x + 41, если последовательно подставлять вместо x значения 0, 1, 2, 3, 4 и т. д. Нам кажется, что мы всегда получаем простое число, и индукция, по-видимому, сильна в том смысле, что это выражение всегда будет давать простые числа. Однако несколько дополнительных попыток опровергают этот ложный вывод. Подставим x = 40, и мы получим 40 × 40 + 40 + 41, или 41 × 41. Такая неудача никогда бы не произошла, если бы мы привели дедуктивное обоснование того, почему x^2 + x + 41 должно давать простые числа.

Нет никаких сомнений в том, что то, что здесь происходит с сорока примерами, может произойти с сорока тысячами или сорока миллионами примеров. Очевидный закон, ни разу не нарушившийся до определенного момента, может затем внезапно рухнуть, так что индуктивное рассуждение, как его описывали некоторые авторы, не может дать верного знания о том, что произойдет в будущем. Бэббидж в своем «Девятом Бриджуотерском трактате» указал, что можно сконструировать машину, которая будет выдавать совершенно правильный ряд чисел на протяжении огромного количества шагов, и все же внезапно нарушит закон прогрессии в любой требуемой точке. Никакое количество частных случаев как таковых не позволяет нам путем вывода перейти к любому новому случаю. Вряд ли стоит здесь спрашивать, что можно вывести из бесконечного ряда фактов, поскольку они практически никогда не находятся в нашей власти; но мы можем без колебаний принять вывод, что никакое конечное число примеров никогда не сможет доказать общий закон или дать нам достоверное знание даже об одном другом случае.

Общие математические теоремы действительно были открыты путем наблюдения частных случаев и могут быть открыты таким образом снова. У нас есть собственное утверждение Ньютона о том, что именно так он пришел к важнейшей биномиальной теореме, лежащей в основе всей структуры математического анализа. Говоря об определенном ряде членов, выражающих площадь круга или гиперболы, он пишет: «Я размышлял о том, что знаменатели находятся в арифметической прогрессии; так что оставалось исследовать только числовые коэффициенты числителей. Но в чередующихся площадях это были цифры степеней числа одиннадцать, а именно 11^0, 11^1, 11^2, 11^3, 11^4; то есть в первой 1; во второй 1, 1; в третьей 1, 2, 1; в четвертой 1, 3, 3, 1; в пятой 1, 4, 6, 4, 1. Я исследовал, следовательно, каким образом все остальные цифры могут быть найдены из первых двух; и я обнаружил, что если первую цифру назвать m, то все остальные могут быть найдены путем постоянного умножения членов формулы

m - 0/1 × m - 1/2 × m - 2/3 × m - 3/4 × &c.”‍139

Из этого весьма интересного утверждения довольно очевидно, что Ньютон, просто наблюдая последовательность чисел, пробовал различные формулы, пока не нашел ту, которая соответствовала им всем. Однако он был настолько мало удовлетворен этим процессом, что проверял частные результаты своей новой теоремы путем сравнения с результатами обычного умножения и правилом извлечения квадратного корня. Ньютон, по сути, не дал доказательства своей теоремы; и величайшие математики прошлого века — Якоб Бернулли, Маклорен, Ланден, Эйлер, Лагранж и др. — занимались поиском убедительного метода дедуктивного доказательства.

Нет сомнений в том, что и в геометрии открытия были подсказаны прямым наблюдением. Многие из ныне тривиальных предложений «Начал» Евклида, вероятно, были открыты таким образом древнегреческими геометрами; и у нас есть довольно ясные доказательства этого в комментариях Прокла. Галилей первым исследовал замечательные свойства циклоиды — кривой, описываемой точкой на окружности колеса, катящегося по плоскости. Путем прямого наблюдения он установил, что площадь этой кривой, по-видимому, в три раза больше площади порождающего круга или колеса, но он не смог доказать это точно или подтвердить строгим геометрическим рассуждением. Сэр Джордж Эйри описал любопытный случай, когда он случайно, путем проб, наткнулся на новое геометрическое свойство сферы. Но открытие в таких случаях означает не что иное, как подсказку, и именно чистая дедукция всегда по-настоящему устанавливает общий закон. Как выразился Прокл, мы должны «перейти от чувственного восприятия к умозрению».

Если, например, взять ряд фигур на прилагаемой диаграмме, измерение покажет, что кривые линии приближаются к полуокружностям, а прямолинейные фигуры — к прямоугольным треугольникам. Эти фигуры могут, казалось бы, подсказать уму общий закон о том, что углы, вписанные в полуокружности, являются прямыми; но никакое количество примеров и никакая точность измерений не смогли бы по-настоящему установить истинность этого общего закона. Воспользовавшись подсказкой, предоставленной фигурами, мы можем лишь дедуктивно исследовать следствия, вытекающие из определения круга, пока не обнаружим среди них свойство содержать прямые углы. Некоторые люди думали, что открыли метод трисекции угла с помощью плоских геометрических построений, потому что определенное сложное расположение линий и кругов, по-видимому, делило угол на три части в каждом опробованном ими случае, и они делали вывод, посредством предполагаемого акта индукции, что это будет удаваться во всех остальных случаях. Де Морган зафиксировал предложенный способ трисекции угла, который нельзя было отличить чувствами от истинного общего решения, за исключением случаев, когда он применялся к очень тупым углам. Во всех таких случаях всегда оказывалось либо то, что угол вообще не делился на три части, либо то, что таким образом можно было разделить на три части только некоторые частные углы. Трисекторы были введены в заблуждение каким-то кажущимся или особым совпадением, и только дедуктивное доказательство могло установить истинность и общность результата. В данном конкретном случае дедуктивное доказательство показывает, что поставленная задача невыполнима и что углы в общем случае не могут быть разделены на три части обычными геометрическими методами.

Геометрическое рассуждение.

Этот взгляд на предмет решительно подтверждается дальнейшим рассмотрением геометрических рассуждений. Никакое мастерство и тщательность никогда не позволили бы нам абсолютно проверить какое-либо одно геометрическое предложение. Руссо в своем «Эмиле» говорит нам, что мы должны обучать ребенка геометрии, заставляя его измерять и сравнивать фигуры путем наложения. Пока ребенок еще не способен к общим рассуждениям, это, несомненно, было бы поучительным упражнением; но это никогда не могло бы научить геометрии или доказать истинность какого-либо одного предложения. Все наши фигуры — это грубые приближения, и они могут казаться неравными, когда должны быть равными, и равными, когда должны быть неравными. Более того, фигуры могут случайно оказаться равными в одном случае за другим, и все же может не быть никакой общей причины, почему они должны быть таковыми. Результаты дедуктивного геометрического рассуждения абсолютно достоверны и либо точно истинны, либо могут быть доведены до любой требуемой степени приближения. В идеальном треугольнике углы должны быть в точности равны половине оборота; даже бесконечно малое расхождение было бы невозможно; и я с такой же уверенностью верю, что сколько бы углов ни было у фигуры, при условии, что нет входящих углов, сумма углов будет в точности и абсолютно равна удвоенному количеству прямых углов, соответствующему числу сторон фигуры, минус четыре прямых угла. В таких случаях дедуктивное доказательство абсолютно и полно; эмпирическая проверка может в лучшем случае предостеречь от случайных недосмотров.

Существует второй класс геометрических истин, которые могут быть доказаны только путем приближения; но, поскольку разум не видит причин, по которым это приближение не могло бы продолжаться всегда, мы приходим к полному убеждению. Таким образом, мы узнаем, что поверхность сферы в точности равна двум третям всей поверхности описанного цилиндра, или четырем площадям порождающего круга. Площадь параболы в точности равна двум третям площади описанного параллелограмма. Площадь циклоиды в точности в три раза больше площади порождающего круга. Это истины, которые мы никогда не смогли бы установить или даже проверить путем наблюдения; ибо любая конечная величина разности, меньшая той, которую могут различить чувства, фальсифицировала бы их.

Существуют, опять же, геометрические отношения, которые мы не можем определить точно, но можем довести до любой желаемой степени приближения. Отношение длины окружности к ее диаметру составляет 3,14159265358979323846... к 1, и приближение может быть доведено до любой степени путем затраты достаточного труда. Г-н У. Шенкс привел значение этой природной константы, известной как π, до 707 знаков после запятой. Несколько лет назад я развлекался тем, что пытался узнать, насколько близко я могу подойти к этому отношению с помощью тщательного использования циркуля, и я не приблизился ближе, чем 1 часть к 540. Мы могли бы представить себе измерения, выполненные настолько точно, что дали бы нам восемь или десять правильных знаков. Но возможности рук и чувств вскоре должны закончиться, тогда как умственные способности дедуктивного рассуждения могут продолжаться до неограниченной степени приближения. Геометрические истины, следовательно, не поддаются проверке; и если так, то их нельзя даже изучить путем наблюдения. Как я мог изучить путем наблюдения предложение, истинность которого я не могу доказать даже путем наблюдения, когда я уже владею им? Все, что может сделать наблюдение или эмпирическая проба, — это подсказать предложения, истинность которых впоследствии может быть доказана дедуктивно.

Если верить истории Вивиани, Галилей пытался убедиться в площади циклоиды, вырезая несколько больших циклоид из картона, а затем сравнивая площади кривой и порождающего круга путем их взвешивания. В каждой попытке кривая казалась немного меньше, чем три круга, так что Галилей, как нам говорят, начал подозревать, что отношение не было в точности 3 к 1. Однако совершенно ясно, что никакой процесс взвешивания или измерения никогда не смог бы доказать подобные истины, и Торричелли оставалось только показать то, о чем его учитель Галилей только догадывался.

Многое было сказано об особой достоверности математических рассуждений, но это лишь достоверность дедуктивного рассуждения, и такая же достоверность присуща всем правильным логическим дедукциям. Если треугольник прямоугольный, то квадрат на гипотенузе, несомненно, будет равен сумме двух квадратов на других сторонах; но я никогда не могу быть уверен, что треугольник прямоугольный: так же я могу быть уверен, что азотная кислота не растворяет золото, при условии, что я знаю, что используемые вещества действительно соответствуют тем, на которых я проводил эксперимент ранее. Здесь такая же достоверность вывода и такое же сомнение относительно фактов.

Различение достоверности и вероятности.

Мы никогда не сможем слишком часто возвращаться к истине о том, что наше знание о законах и будущих событиях внешнего мира является лишь вероятным. Сам разум вполне способен обладать достоверным знанием, и хорошо тщательно различать то, что мы можем и чего не можем знать с уверенностью. Во-первых, любое чувство, которое действительно присутствует в уме, достоверно известно этому уму. Если я вижу голубое небо, я могу быть вполне уверен, что действительно испытываю ощущение голубизны. Все, что я чувствую, я чувствую вне всякого сомнения. Мы, действительно, очень склонны путать то, что мы реально чувствуем, с тем, что мы склонны ассоциировать с этим или индуктивно выводить из этого; но все наше сознание, поскольку оно является результатом чистой интуиции и свободно от выводов, есть достоверное знание вне всякого сомнения.

Во-вторых, мы можем иметь достоверность вывода; фундаментальные законы мышления и правило подстановки (стр. 9) безусловно истинны; и если бы мои чувства могли сообщить мне, что A неотличимо по цвету от B, а B от C, то я был бы столь же уверен, что A неотличимо от C. Короче говоря, какую бы истину ни содержали посылки, я могу, безусловно, воплотить ее в их правильном логическом результате. Но эта достоверность обычно носит гипотетический характер. Я никогда не могу быть вполне уверен, что два цвета в точности одинаковы, что две величины в точности равны или что любые два тела идентичны даже в своих видимых качествах. Почти все наши суждения включают количественные отношения, и, как будет показано в следующих главах, мы никогда не сможем достичь точности и достоверности там, где входит непрерывная величина. Суждения, касающиеся прерывной величины или чисел, однако, допускают достоверность; я могу установить вне всякого сомнения, например, что разность квадратов 17 и 13 есть произведение 17 + 13 и 17 - 13, и, следовательно, равна 30 × 4, или 120.

Выводы, которые мы делаем относительно природных объектов, никогда не являются достоверными, за исключением гипотетической точки зрения. Может показаться достоверным, что железо магнитно или что золото нерастворимо в азотной кислоте; но если мы тщательно исследуем значения этих утверждений, окажется, что они не содержат никакой достоверности, кроме достоверности сознания и достоверности гипотетического вывода. Ибо что я подразумеваю под железом или золотом? Если я выберу замечательный кусок желтого вещества, назову его золотом, а затем погружу его в жидкость, которую я называю азотной кислотой, и обнаружу, что не происходит изменения, называемого растворением, тогда сознание, безусловно, сообщило мне, что, согласно моему значению терминов, «золото нерастворимо в азотной кислоте». Я могу далее быть уверен в чем-то еще; ибо если это золото и азотная кислота останутся тем, чем они были, я могу быть уверен, что при повторении эксперимента растворения не будет. Если я возьму другие порции золота и азотной кислоты и буду уверен, что они действительно идентичны по свойствам с прежними порциями, я могу быть уверен, что растворения не будет. Но в этот момент мое знание становится чисто гипотетическим; ибо как я могу быть уверен без пробы, что золото и кислота действительно идентичны по природе с тем, что я ранее называл золотом и азотной кислотой? Как я узнаю золото, когда вижу его? Если я сужу по видимым качествам — цвету, ковкости, удельному весу и т. д., — я могу быть введен в заблуждение, потому что всегда может существовать вещество, которое к цвету, ковкости, удельному весу и другим указанным качествам добавляет другие, которых мы не ожидаем. Аналогично, если железо магнитно, как показал эксперимент с объектами, отвечающими этим названиям, то все железо магнитно, подразумевая все куски материи, идентичные моему предполагаемому куску. Но пытаясь идентифицировать железо, я всегда открыт для ошибки. И эта подверженность ошибке — не только предмет спекуляций.

История химии показывает, что самые уверенные выводы могли быть фальсифицированы из-за путаницы одного вещества с другим. Так, стронция никогда не отличалась от барита, пока Клапрот и Гаюи не обнаружили различия между некоторыми их свойствами. Соответственно, химики часто должны были делать выводы относительно стронции, которые были верны только для барита, и наоборот. Сейчас нет сомнений в том, что недавно открытые вещества, цезий и рубидий, долгое время принимались за калий. Другие элементы часто путали друг с другом — например, тантал и ниобий; серу и селен; церий, лантан и дидим; иттрий и эрбий.

Даже самые известные законы физической науки не исключают ложных выводов. Ни один закон природы не был установлен лучше, чем закон всемирного тяготения, и мы с величайшей уверенностью верим, что любое тело, способное воздействовать на чувства, будет притягивать другие тела и падать на землю, если ему не помешать. Эйлер замечает, что, хотя он никогда не испытывал камни, из которых сложена церковь в Магдебурге, у него не было ни малейшего сомнения в том, что все они тяжелые и упадут, если их не поддерживать. Но он добавляет, что было бы чрезвычайно трудно дать какое-либо удовлетворительное объяснение этой уверенной вере. Факт в том, что вера не должна достигать достоверности, пока эксперимент не был проведен, а тем временем возникает небольшая доля неопределенности, потому что мы не можем быть уверены, что камни Магдебургской церкви похожи на другие камни во всех своих свойствах.

Точно так же ни одна из индуктивных истин, которые люди установили или думают, что установили, на самом деле не застрахована от исключений или опровержений. Лавуазье, закладывая основы химии, встретил так много примеров, указывающих на существование кислорода во всех кислотах, что принял общее заключение на этот счет и соответственно придумал название «кислород» (oxygen). Он не питал заметных сомнений в том, что кислота, существующая в морской соли, также содержит кислород; однако последующий опыт фальсифицировал его ожидания. Этот пример относится к науке в ее младенчестве, если говорить относительно возможных достижений людей. Но все науки находятся и всегда будут оставаться в младенчестве относительно масштабов и сложности вселенной, которую они берутся исследовать. Эйлер выражает не более чем истину, когда говорит, что было бы невозможно указать на какую-либо одну действительно существующую вещь, о которой мы могли бы иметь столь совершенное знание, чтобы быть вне досягаемости ошибки. Мы можем быть вполне уверены, что комета будет продолжать двигаться по аналогичной траектории, если все обстоятельства останутся такими же, как прежде; но если мы опустим эту обширную оговорку, наши предсказания всегда будут подвержены риску фальсификации каким-либо неожиданным событием, таким как разделение кометы Биэлы или влияние неизвестного гравитирующего тела.

Индуктивный вывод мог бы достичь достоверности, если бы наше знание об агентах, существующих во всей вселенной, было полным, и если бы мы в то же время были уверены, что та же Сила, которая создала вселенную, позволит ей продолжаться без произвольных изменений. Всегда существует возможность существования причин без нашего ведома, и они могут в любой момент произвести неожиданный эффект. Даже когда с помощью теории вероятностей нам удается сформировать некоторое представление о сравнительной уверенности, с которой мы должны принимать индуктивные результаты, мне все же кажется, что мы должны сделать допущение. События выходят, как шары из огромной избирательной урны природы, и тщательное наблюдение позволит нам сформировать некоторое представление, как мы увидим в следующей главе, о содержимом этой урны. Но мы все равно должны предположить, что между моментом наблюдения и тем моментом, к которому относятся наши выводы, в урне не произошло никаких изменений.

ГЛАВА XII. ИНДУКТИВНОЕ ИЛИ ОБРАТНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ.

Мы до сих пор рассматривали теорию вероятности только в ее простом дедуктивном применении, в котором она позволяет нам определять из заданных условий вероятный характер событий, происходящих при этих условиях. Но поскольку дедуктивное рассуждение при обратном применении составляет процесс индукции, так и расчет вероятностей может быть применен обратно; из известного характера определенных событий мы можем рассуждать назад к вероятности определенного закона или условия, управляющего этими событиями. Успешно выполнив эту работу, мы можем, действительно, рассчитывать вперед вероятный характер будущих событий, происходящих при тех же условиях; но эта часть процесса является прямым использованием дедуктивного рассуждения (стр. 226).

Теперь весьма поучительно обнаружить, что независимо от того, применяется ли теория вероятности дедуктивно или индуктивно, расчет всегда выполняется в соответствии с принципами и правилами дедукции. Вероятность того, что событие имеет определенное условие, полностью зависит от вероятности того, что если бы условие существовало, событие последовало бы. Если мы возьмем колоду обычных игральных карт и заметим, что они расположены в идеальном числовом порядке, мы сделаем вывод вне всякого разумного сомнения, что они были намеренно расположены таким образом каким-то лицом, знакомым с обычным порядком последовательности. Этот вывод совершенно неотразим, и справедливо так; ибо существуют только два предположения, которые мы можем сделать относительно причины того, что карты находятся в этом конкретном порядке: —

1. Они могли быть намеренно расположены кем-то, кто, вероятно, предпочел бы числовой порядок.

2. Они могли попасть в этот порядок случайно, то есть в результате некоторой серии условий, которые, будучи неизвестными нам, не могут быть известны как ведущие с предпочтением к рассматриваемому конкретному порядку.

Последнее предположение отнюдь не абсурдно, ибо любой порядок так же вероятен, как и любой другой, когда нет преобладающей тенденции. Но мы можем легко рассчитать с помощью теории перестановок вероятность того, что пятьдесят два объекта случайно попадут в какой-либо один конкретный порядок. Пятьдесят два объекта могут быть расположены в 52 × 51 × ... × 3 × 2 × 1, или примерно 8066 × (10)^64 возможных порядков, число которых требует 68 знаков для своего полного выражения. Следовательно, чрезвычайно маловероятно, чтобы кто-либо когда-либо встретил колоду карт, случайно расположенную в идеальном порядке. Если мы встречаем такую колоду, мы неизбежно принимаем другое предположение: что какой-то человек, имея причины предпочесть этот особый порядок, сложил их таким образом.

Мы знаем, что из огромного числа возможных порядков числовой порядок является наиболее примечательным; он полезен как доказательство идеального состава колоды и является намеренным результатом определенных игр. Во всяком случае, вероятность того, что намерение должно произвести этот порядок, несравненно больше, чем вероятность того, что случайность должна произвести его; и поскольку существует определенная колода в этом порядке, мы справедливо предпочитаем предположение, которое наиболее вероятно ведет к наблюдаемому результату.

Подобным способом рассуждения мы каждый день приходим, и обоснованно приходим, к выводам, приближающимся к достоверности. Всякий раз, когда мы наблюдаем идеальное сходство между двумя объектами, как, например, две печатные страницы, две гравюры, две монеты, два отпечатка ног, мы вправе утверждать, что они происходят от одного типа, одной пластины, одной пары штампов или одного ботинка. И почему? Потому что почти невозможно, чтобы при разных типах, пластинах, штампах или ботинках не было произведено какого-то видимого различия в форме. Руке самого искусного художника невозможно сделать два объекта одинаковыми, так что механическое повторение является единственным вероятным объяснением точного сходства.

Мы часто можем с чрезвычайной вероятностью установить, что один документ скопирован с другого. Предположим, что каждый документ содержит 10 000 слов и что одно и то же слово написано с ошибкой в каждом из них. Тогда существует вероятность менее 1 на 10 000, что одна и та же ошибка будет сделана в каждом. Если мы встречаем вторую ошибку, возникающую в каждом документе, вероятность того, что два таких совпадения произойдут случайно, составляет менее 1 на 10 000 × 9999, и числа растут с чрезвычайной быстротой для более многочисленных совпадений. Мы не можем сделать никаких точных расчетов, не принимая во внимание характер совершенных ошибок, относительно условий которых у нас нет точных средств оценки вероятностей. Тем не менее, таким образом можно получить обильные доказательства происхождения документов друг от друга. При исследовании многих наборов логарифмических таблиц было обнаружено шесть примечательных ошибок во всех, кроме двух, и было доказано, что таблицы, напечатанные в Париже, Берлине, Флоренции, Авиньоне и даже в Китае, помимо тринадцати наборов, напечатанных в Англии между 1633 и 1822 годами, были получены прямо или косвенно из какого-то общего источника. С определенным количеством труда можно установить вне разумного сомнения родство или генеалогию любого количества копий одного документа, происходящих, возможно, от ныне утраченных родительских копий. Отношения между рукописями Нового Завета были тщательно исследованы таким образом, и та же работа была проделана для многих классических произведений, особенно немецкими учеными.

Принцип обратного метода.

Обратное применение правил вероятности полностью зависит от предложения, которое может быть сформулировано следующим образом, почти словами Лапласа. Если событие может быть произведено любой из определенного числа различных причин, все одинаково вероятны априори, вероятности существования этих причин, выведенные из события, пропорциональны вероятностям события, выведенным из этих причин. Другими словами, наиболее вероятная причина события, которое произошло, — это та, которая наиболее вероятно привела бы к событию, если предположить, что причина существует; но все другие возможные причины также должны быть приняты во внимание с вероятностями, пропорциональными вероятности того, что событие произошло бы, если бы причина существовала. Предположим, чтобы четко зафиксировать наши идеи, что E — это событие, а C1, C2, C3 — три единственные мыслимые причины. Если существует C1, вероятность p1 того, что E последует; если существуют C2 или C3, подобные вероятности соответственно p2 и p3. Тогда как p1 относится к p2, так вероятность того, что C1 является фактической причиной, относится к вероятности того, что C2 является ею; и, аналогично, как p2 относится к p3, так вероятность того, что C2 является фактической причиной, относится к вероятности того, что C3 является ею. Простым математическим процессом мы приходим к выводу, что фактическая вероятность того, что C1 является причиной, есть

p1/p1 + p2 + p3;

и подобные вероятности существования C2 и C3 есть,

p2/p1 + p2 + p3 and p3/p1 + p2 + p3.

Сумма этих трех дробей составляет единицу, что правильно выражает достоверность того, что та или иная причина должна действовать.

Мы можем таким образом выразить результат на общем языке. Если достоверно, что существует та или иная из предполагаемых причин, вероятность того, что какая-либо одна существует, есть вероятность того, что если она существует, событие происходит, деленная на сумму всех подобных вероятностей. В этом предмете может показаться запутанность, которая может оказаться неприятной для некоторых читателей; но эта запутанность существенна для рассматриваемого предмета. Никто не может понять принципы индуктивного рассуждения, если не возьмет на себя труд освоить значение этого правила, с помощью которого мы отступаем от события к вероятности каждой из его возможных причин.

Это правило или принцип косвенного метода — то, что здравый смысл заставляет нас принять почти инстинктивно, прежде чем мы получим какое-либо понимание принципа в его общей форме. Легко видеть, что это правило, которое из огромного множества случаев чаще всего приведет нас к истине, поскольку наиболее вероятная причина события действительно означает ту причину, которая в наибольшем числе случаев производит событие. Донкин и Буль дали доказательства этого принципа, но самое легкое для понимания — это доказательство Пуассона. Он представляет каждую возможную причину события как отдельную избирательную урну, содержащую черные и белые шары в таком соотношении, что вероятность вытягивания белого шара равна вероятности того, что событие произойдет. Он далее предполагает, что каждая коробка, как это возможно, содержит одинаковое общее число шаров, черных и белых; затем, смешивая все содержимое коробок вместе, он показывает, что если белый шар вытянут из совокупной избирательной урны, сформированной таким образом, вероятность того, что он произошел из какой-либо конкретной избирательной урны, представлена числом белых шаров в этой конкретной коробке, деленным на общее число белых шаров во всех коробках. Этот результат соответствует результату, данному рассматриваемым принципом.

Таким образом, если есть три коробки, каждая из которых содержит десять шаров всего и соответственно содержит семь, четыре и три белых шара, то при смешивании всех шаров вместе мы имеем четырнадцать белых; и если мы вытягиваем белый шар, то есть если событие происходит, вероятность того, что он вышел из первой коробки, есть 7/14; что в точности равно 7/10 / (7/10 + 4/10 + 3/10), дроби, данной правилом обратного метода.

Простые применения обратного метода.

Во многих случаях научной индукции мы можем применить принцип обратного метода простым образом. Если могут быть сделаны только две или, самое большее, несколько гипотез относительно происхождения определенных явлений, мы иногда можем легко рассчитать соответствующие вероятности. Именно так Бунзен и Кирхгоф установили с вероятностью, близкой к достоверности, что железо существует на Солнце. При сравнении спектров солнечного света и света, исходящего от раскаленного пара железа, стало очевидно, что по крайней мере шестьдесят ярких линий в спектре железа совпадали с темными линиями в спектре Солнца. Такие совпадения никогда не могли быть наблюдаемы с достоверностью, потому что, даже если линии только близко приближались, инструментальные несовершенства спектроскопа делали бы их кажущимися совпадающими, и если одна линия подходила в пределах полумиллиметра к другой на карте спектров, их нельзя было бы объявить различными. Теперь среднее расстояние солнечных линий на карте Кирхгофа составляет 2 мм, и если мы бросим линию, так сказать, чисто случайно на такую карту, вероятность составляет около одной второй, что новая линия попадет в пределах 1/2 мм с одной или другой стороны какой-либо одной из солнечных линий. Чтобы выразить это иначе, мы можем предположить, что каждая солнечная линия, либо из-за своей реальной ширины, либо из-за дефектов инструмента, обладает шириной 1/2 мм, и что каждая линия в спектре железа имеет подобную ширину. Вероятность тогда составляет ровно одну вторую, что центр каждой линии железа попадет случайно в пределах 1 мм от центра солнечной линии, так чтобы казаться совпадающим с ней. Вероятность случайного совпадения каждой линии железа с солнечной линией аналогично составляет 1/2. Совпадение в случае каждой из шестидесяти линий железа — очень маловероятное событие, если оно возникает случайно, ибо оно имело бы вероятность только (1/2)^60 или менее 1 на триллион. Шансы, короче говоря, более чем миллион миллионов миллионов к единице против такого случайного совпадения. Но по другой гипотезе, что железо существует на Солнце, весьма вероятно, что такие совпадения были бы наблюдаемы; несравненно более вероятно, что шестьдесят совпадений были бы наблюдаемы, если бы железо существовало на Солнце, чем то, что они возникли бы от случайности. Следовательно, по нашему принципу, чрезвычайно вероятно, что железо действительно существует на Солнце.

Все другие интересные результаты, данные сравнением спектров, основаны на том же принципе вероятности. Почти полное совпадение между спектрами солнечного, лунного и планетарного света делает практически достоверным, что свет имеет солнечное происхождение и отражается от поверхностей Луны и планет, претерпевая лишь незначительные изменения от атмосфер некоторых планет. Таким образом, предоставляется новое подтверждение истинности теории Коперника.

Гершель доказал таким образом связь между направлением косых граней кристаллов кварца и направлением, в котором те же кристаллы вращают плоскость поляризации света. Ибо если во втором кристалле обнаружено, что отношение такое же, как в первом, вероятность того, что это произойдет случайно, составляет 1/2; вероятность того, что в другом кристалле также направление будет таким же, составляет 1/4, и так далее. Вероятность того, что в n + 1 кристаллах будет случайное совпадение направления, есть n-я степень 1/2. Таким образом, если при исследовании четырнадцати кристаллов в каждом из них обнаружено то же отношение двух явлений, шансы на то, что это происходит от единообразных условий, составляют более 8000 к 1. Поскольку первые наблюдения по этому предмету были сделаны в 1820 году, исключений не наблюдалось, так что вероятность неизменной связи неисчислимо велика.

Чрезвычайно вероятно, что древние египтяне точно записывали затмения, происходящие в течение долгих периодов времени, ибо Диоген Лаэртский упоминает, что было наблюдаемо 373 солнечных и 832 лунных затмения, и отношение между этими числами в точности выражает то, что было бы верно для затмений любого долгого периода, скажем, 1200 или 1300 лет, как оценено на астрономических основаниях. Очевидно, что совпадение между малыми числами или обычными числами, такими как семь, сто, мириада и т. д., гораздо вероятнее произойдет от случайности и поэтому дает гораздо меньшее предположение о зависимости. Если два древних писателя говорили о жертвоприношении волов, они со всей вероятностью описали бы его как гекатомбу, и в этом совпадении не было бы ничего примечательного. Но невозможно указать какую-либо особую причину, почему старый писатель должен выбрать такие числа, как 373 и 832, если бы они не были результатами наблюдения.

На подобных основаниях мы неизбежно должны верить в человеческое происхождение кремневых отщепов, так обильно обнаруженных в последние годы. Ибо хотя случайный удар одного камня о другой может часто производить отщепы, такие как иногда находят на морском берегу, все же когда несколько отщепов найдены в тесной компании, и каждый из них несет свидетельство не одного удара только, а нескольких последовательных ударов, все ведущих к формированию симметричной ножеподобной формы, вероятность естественного и случайного происхождения становится невероятно малой, а противоположное предположение, что они — работа разумных существ, — приблизительно достоверным.

Теория вероятности в астрономии.

Наука астрономия, занятая простыми отношениями расстояния, величины и движения небесных тел, допускает легче, чем почти любая другая наука, интересные выводы, основанные на теории вероятности. Более века назад, в 1767 году, Мичелл показал крайнюю вероятность связей, соединяющих вместе системы звезд. Он был поражен неожиданным числом неподвижных звезд, которые имеют спутников близко к ним. Такое соединение могло произойти случайно, если одна звезда, хотя, возможно, на большом расстоянии от другой, случайно оказалась на прямой линии, проходящей вблизи Земли. Но вероятности настолько сильно против того, чтобы такой оптический союз происходил часто в пространстве небес, что Мичелл утверждал существование некоторой связи между большинством двойных звезд. С тех пор Струве оценил, что шансы составляют 9570 к 1 против того, чтобы любые две звезды не менее седьмой величины попали в пределах видимого расстояния четырех секунд друг от друга случайно, и все же девяносто один такой случай был известен, когда оценка была сделана, и многие другие случаи были обнаружены с тех пор. Были также четыре известные тройные звезды, и все же шансы против появления любого такого соединения составляют 173 524 к 1. Выводы Мичелла были полностью подтверждены открытием, что многие двойные звезды связаны гравитацией.

Мичелл также исследовал вероятность того, что шесть ярчайших звезд в Плеядах случайно оказались в такой поразительной близости. Оценивая число звезд равной или большей яркости в 1500, он нашел шансы почти 500 000 к 1 против случайного соединения. Распространяя тот же вид аргумента на другие скопления, такие как скопление Ясли, туманность в рукояти меча Персея, он говорит: «Мы можем с высочайшей вероятностью заключить, шансы против противоположного мнения составляют многие миллионы миллионов к единице, что звезды действительно собраны вместе в скопления в некоторых местах, где они образуют своего рода систему, в то время как в других их либо мало, либо нет вовсе, к какой бы причине это ни относилось, будь то их взаимная гравитация или какой-то другой закон или назначение Творца».

Расчеты Мичелла были поставлены под сомнение покойным Джеймсом Д. Форбсом, и г-н Тодхантер смутно поддерживает его возражения, иначе я не счел бы их имеющими большой вес. Конечно, Лаплас принимает взгляды Мичелла, и если Мичелл ошибается, то в методах расчета, а не в общей обоснованности его рассуждений и выводов.

Подобные расчеты могли бы, без сомнения, быть применены к своеобразным дрейфующим движениям, которые были обнаружены г-ном Р. А. Проктором в некоторых созвездиях. Шансы очень сильно против того, чтобы какая-либо многочисленная группа звезд двигалась вместе в каком-либо одном направлении случайно. На подобных основаниях нет сомнений, что Солнце имеет значительное собственное движение, потому что в среднем неподвижные звезды показывают тенденцию двигаться, по-видимому, из одной точки небес к диаметрально противоположной. Движение Солнца в противоположном направлении объяснило бы эту тенденцию, иначе мы должны верить, что тысячи звезд случайно согласуются в своем направлении движения или побуждаются какой-то общей силой, от которой Солнце свободно. Можно сказать, что вращение Земли доказано подобным же образом, потому что несравненно более вероятно, что одно тело вращалось бы, чем то, что Солнце, Луна, планеты, кометы и все звезды небес должны были бы вращаться вокруг Земли ежедневно с равномерным движением, добавленным к их собственным своеобразным движениям. Это, по-видимому, главная причина, которая привела Гилберта, одного из первых английских коперниканцев и во всех отношениях замечательного физика, признать вращение Земли, в то время как Фрэнсис Бэкон отрицал его.

Созерцая планетную систему, мы поражаемся сходству в направлении почти всех ее движений. Ньютон отмечал регулярность и единообразие этих движений и противопоставлял их эксцентричности и нерегулярности кометных орбит. Если бы мы, фактически, могли смотреть вниз на систему с северной стороны, мы увидели бы все планеты, движущиеся вокруг с запада на восток, спутники, движущиеся вокруг своих первичных тел, и Солнце, планеты и спутники, вращающиеся в том же направлении, с некоторыми исключениями на краю системы. Во времена Лапласа было известно одиннадцать планет, и направления вращения были известны для Солнца, шести планет, спутников Юпитера, кольца Сатурна и одного из его спутников. Таким образом, всего было 43 движения, все совпадающие, а именно: —

Orbital motions of eleven planets 11

Orbital motions of eighteen satellites 18

Axial rotations 14

—

43

Вероятность того, что 43 движения, независимые друг от друга, совпали бы случайно, есть 42-я степень 1/2, так что шансы составляют около 4 400 000 000 000 к 1 в пользу некоторой общей причины для единообразия направления. Эта вероятность, как отмечает Лаплас, выше, чем вероятность многих исторических событий, в которые мы безоговорочно верим. В настоящее время вероятность значительно увеличилась открытием дополнительных планет и вращением других спутников, и она лишь слегка ослаблена тем фактом, что некоторые из внешних спутников являются исключительными по направлению, так как существует значительное свидетельство случайного возмущения в более отдаленных частях системы.

Едва ли менее примечательным, чем единообразное направление движения, является близкое приближение орбит планет к общей плоскости. Даниил Бернулли грубо оценил вероятность такого согласия, возникающего от случайности, как 1 ÷ (12)^6, наибольшее наклонение любой орбиты к экватору Солнца составляет 1/12 часть квадранта. Лаплас посвятил этому предмету некоторые из своих самых остроумных исследований. Он нашел вероятность того, что сумма наклонений планетных орбит не превысила бы случайно фактическую величину (0,914187 прямого угла для десяти планет, известных в 1801 году), равной 1/10! (0,914187)^10 или около 0,00000011235. Эта вероятность может быть объединена с вероятностью, полученной из направления движения, и тогда становится чрезвычайно вероятным, что устройство планетной системы возникло из единообразных условий, или, как мы говорим, из некоторой общей причины.

Если тот же вид расчета применить к орбитам комет, результат будет совсем другим. Из орбит, которые были определены, 48,9 процента только являются прямыми или в том же направлении, что и планетные движения. Следовательно, становится очевидным, что кометы не принадлежат должным образом к солнечной системе, и вероятно, что они являются блуждающими частями туманной материи, которые случайно стали присоединенными к системе силами притяжения Солнца или Юпитера.

Общая обратная задача.

В примерах, описанных в предыдущих разделах, мы были заняты отступлением от возникновения определенных подобных событий к вероятности того, что должно было быть условие или причина для таких событий. Мы обнаружили, что теория вероятности, хотя никогда не дающая достоверного результата, часто позволяет нам установить гипотезу вне досягаемости разумного сомнения. Существует, однако, другой метод применения теории, который обладает для нас даже большим интересом, потому что он иллюстрирует, самым полным образом, теорию вывода, принятую в этой работе, которая, действительно, была подсказана этой теорией. Задача, которую нужно решить, заключается в следующем: —

Событие произошло определенное число раз и не произошло определенное число раз, требуется вероятность того, что оно произойдет любое заданное число раз в будущем при тех же обстоятельствах.

Все крупные планеты, до сих пор обнаруженные, движутся в одном направлении вокруг Солнца; какова вероятность того, что если будет обнаружена новая планета, внешняя по отношению к Нептуну, она будет двигаться в том же направлении? Все известные постоянные газы, кроме хлора, бесцветны; какова вероятность того, что если будет обнаружен какой-то новый постоянный газ, он будет бесцветным? В общем решении этой задачи мы хотим вывести будущее возникновение любого события из числа раз, которое оно уже наблюдалось происходящим. Теперь, очень поучительно обнаружить, что нет известного процесса, с помощью которого мы можем перейти прямо от данных к выводу. Всегда необходимо отступать от данных к вероятности некоторой гипотезы и сделать эту гипотезу основанием нашего вывода относительно будущих событий. Математики, фактически, делают каждую гипотезу, которая применима к рассматриваемому вопросу; они затем рассчитывают, обратным методом, вероятность каждой такой гипотезы в соответствии с данными и вероятность того, что если каждая гипотеза истинна, требуемое будущее событие произойдет. Общая вероятность того, что событие произойдет, есть сумма отдельных вероятностей, внесенных каждой отдельной гипотезой.

Чтобы проиллюстрировать метод решения этой задачи более точно, желательно принять какой-либо конкретный способ представления, и урна для голосования, столь часто используемая математиками, лучше всего послужит нашей цели. Пусть наступление какого-либо события будет представлено извлечением белого шара из урны, тогда как ненаступление события будет представлено извлечением черного шара. В индуктивной задаче мы предполагаем, что нам неизвестно содержимое урны, и мы должны основывать все наши выводы на нашем опыте относительно этого содержимого, полученном в ходе последовательных извлечений. Здравый смысл привел бы нас почти к верному заключению. Так, если бы мы извлекли двадцать шаров один за другим, возвращая шар после каждого извлечения, и каждый раз шар оказывался бы белым, мы бы поверили, что в урне имеется значительное преобладание белых шаров и существует вероятность извлечения белого шара в следующий раз. Хотя мы извлекали бы белые шары тысячи раз без осечки, все же оставалась бы возможность того, что в урне скрывались черные шары, которые в конце концов появились бы, так что наши выводы никогда не могли бы быть достоверными. С другой стороны, если бы черные шары появлялись через определенные промежутки, мы ожидали бы, что после некоторого числа испытаний черные шары будут появляться снова время от времени с примерно той же частотой.

Математическое решение этого вопроса состоит не более чем в тщательном анализе того способа, которым действует наш здравый смысл. Если было извлечено двадцать белых шаров и ни одного черного, мой здравый смысл подсказывает мне, что любая гипотеза, согласно которой черных шаров в урне значительное количество по сравнению с белыми, маловероятна; преобладание белых шаров — более вероятная гипотеза, и как следствие из этой более вероятной гипотезы я ожидаю повторного появления белых шаров. Математик лишь сводит этот мыслительный процесс к точным числам. Принимая, например, гипотезу о том, что в урне 99 белых и один черный шар, он может вычислить вероятность того, что в этих обстоятельствах будут извлечены 20 белых шаров подряд; таким образом он формирует определенную оценку вероятности этой гипотезы и, зная в то же время вероятность повторного появления белого шара, если таково содержимое урны, он объединяет эти вероятности и получает точную оценку того, что белый шар появится снова вследствие этой гипотезы. Но поскольку эта гипотеза — лишь одна из многих возможных, так как соотношение белых и черных шаров может быть 98 к 2, или 97 к 3, или 96 к 4 и так далее, он должен повторить оценку для каждой такой возможной гипотезы. Чтобы сделать метод решения задачи совершенно очевидным, я опишу в следующем разделе очень простой случай этой задачи, первоначально разработанный для этой цели Кондорсе, который также был принят Лакруа и перешел в труды Де Моргана, Лаббока и других.

Простая иллюстрация обратной задачи.

Предположим, известно, что в урне для голосования всего четыре черных или белых шара, причем соотношение черных и белых шаров неизвестно. Было произведено четыре извлечения с возвращением, и белый шар появлялся каждый раз, кроме одного; требуется определить вероятность того, что белый шар появится в следующий раз. Гипотезы, которые можно выдвинуть относительно содержимого урны, весьма ограничены по количеству и сводятся максимум к следующим пяти:

4

white

and

0

black

balls

3

"

"

1

"

"

2

"

"

2

"

"

1

"

"

3

"

"

0

"

"

4

"

"

Фактическое появление черных и белых шаров при извлечениях исключает первую и последнюю гипотезы, так что у нас остаются для рассмотрения только три.

Если в урне три белых и один черный шар, вероятность извлечения белого каждый раз равна 3/4, а черного — 1/4; таким образом, наблюдаемое сложное событие, а именно три белых и один черный, имеет вероятность 3/4 × 3/4 × 3/4 × 1/4 согласно правилу, уже приведенному (стр. 204). Но так как безразлично, в каком порядке извлекаются шары, и черный шар мог появиться первым, вторым, третьим или четвертым, мы должны умножить на четыре, чтобы получить вероятность трех белых и одного черного в любом порядке, получив таким образом 27/64.

Принимая следующую гипотезу о двух белых и двух черных шарах в урне, мы получаем для той же вероятности величину 1/2 × 1/2 × 1/2 × 1/2 × 4, или 16/64, а из третьей гипотезы об одном белом и трех черных мы выводим аналогично 1/4 × 1/4 × 1/4 × 3/4 × 4, или 3/64. Таким образом, в зависимости от того, принимаем ли мы первую, вторую или третью гипотезу, вероятность того, что наблюдаемый результат действительно последует, равна 27/64, 16/64 и 3/64. Теперь несомненно, что та или иная из этих гипотез должна быть верной, и их абсолютные вероятности пропорциональны вероятностям того, что наблюдаемые события последовали бы из них (стр. 242, 243). Все, что нам нужно сделать, чтобы получить абсолютную вероятность каждой гипотезы, — это изменить эти дроби в едином соотношении так, чтобы их сумма была равна единице, выражению достоверности. Теперь, поскольку 27 + 16 + 3 = 46, это будет достигнуто делением каждой дроби на 46 и умножением на 64. Таким образом, вероятности первой, второй и третьей гипотез соответственно равны —

27/46, 16/46, 3/46.

Индуктивная часть задачи завершена, поскольку мы обнаружили, что урна, скорее всего, содержит три белых и один черный шар, и назначили точную вероятность каждого возможного предположения. Но теперь мы в состоянии возобновить дедуктивное рассуждение и вывести вероятность того, что следующее извлечение даст, скажем, белый шар. Ибо если урна содержит три белых и один черный шар, вероятность извлечения белого, безусловно, равна 3/4; и поскольку вероятность того, что урна устроена именно так, равна 27/46, сложная вероятность того, что урна будет так наполнена и даст белый шар при следующем испытании, равна

27/46 × 3/4 or 81/184.

Далее, вероятность того, что урна содержит два белых и два черных, равна 16/46, и при этих условиях вероятность появления белого шара равна 1/2; следовательно, вероятность того, что белый шар появится вследствие этого условия, равна

16/46 × 1/2 or 32/184.

Из третьего предположения мы получаем аналогичным образом вероятность

3/46 × 1/4 or 3/184.

Поскольку одна и не более чем одна гипотеза может быть верной, мы можем сложить эти отдельные вероятности и обнаружим, что

81/184 + 32/184 + 3/184 or 116/184

есть полная вероятность того, что белый шар будет извлечен в следующий раз при предполагаемых условиях и данных.

Общее решение обратной задачи.

В примере обратного метода, описанном в последнем разделе, шары, предполагаемые в урне, были немногочисленны, чтобы упростить вычисление. Чтобы наше решение могло быть применено к природным явлениям, мы должны сделать наши гипотезы как можно менее произвольными. Не имея априорного знания об условиях рассматриваемых явлений, нет предела разнообразию гипотез, которые можно было бы предложить. Поэтому математики прибегли к самым обширным предположениям, какие только можно сделать, а именно, что урна содержит бесконечное число шаров; затем они варьировали пропорцию белых шаров к черным непрерывно, от наименьшей до наибольшей возможной пропорции, и оценивали совокупную вероятность, которая вытекает из этого всеобъемлющего предположения.

Чтобы объяснить их процедуру, представим, что вместо бесконечного числа урна содержит большое конечное число шаров, скажем 1000. Тогда число белых шаров могло бы быть 1, 2, 3, 4 и так далее, вплоть до 999. Предполагая, что из урны, как и прежде, были извлечены три белых и один черный шар, существует некоторая очень малая вероятность того, что это произошло бы в случае урны, содержащей один белый и 999 черных шаров; существует также малая вероятность того, что из такой урны следующий шар был бы белым. Соедините эти вероятности, и мы получим вероятность того, что следующий шар действительно будет белым вследствие существования такой пропорции шаров. Если в урне два белых и 998 черных шаров, вероятность выше и будет возрастать до тех пор, пока шары не будут предполагаться в пропорции извлеченных. Теперь возможны 999 различных гипотез, и вычисление должно быть сделано для каждой из них, а их совокупность принята в качестве окончательного результата. Очевидно, что по мере увеличения числа шаров в урне абсолютная вероятность любой одной гипотезы относительно точной пропорции шаров уменьшается, но совокупные результаты всех гипотез примут характер более широкого среднего значения.

Когда мы делаем шаг, предполагая, что шары в урне бесконечны по количеству, возможные пропорции белых и черных шаров также становятся бесконечными, и вероятность существования любой одной пропорции бесконечно мала. Следовательно, окончательный результат, что следующий извлеченный шар будет белым, на самом деле является суммой бесконечного числа бесконечно малых величин. Может показаться невозможным вычислить задачу, имеющую бесконечное число гипотез, но удивительные ресурсы интегрального исчисления позволяют сделать это с гораздо большей легкостью, чем если бы мы предполагали какое-либо большое конечное число шаров, а затем фактически вычисляли результаты. Я не буду пытаться описывать процессы, с помощью которых Лаплас в конечном итоге осуществил полное решение задачи. Они описаны в нескольких английских работах, особенно в «Трактате о вероятностях» Де Моргана в «Encyclopædia Metropolitana» и в «Истории теории вероятностей» г-на Тодхантера. Сокращающая сила математического анализа никогда не была показана более поразительно. Но я могу добавить, что, хотя интегральное исчисление используется как средство суммирования бесконечно многочисленных результатов, мы никоим образом не отказываемся от принципов комбинаций, которые уже рассматривались. Мы вычисляем значения бесконечно многочисленных факториалов, не получая, однако, их фактических произведений, что привело бы к бесконечному числу цифр, а получая окончательный ответ на задачу с помощью приемов, которые можно понять только после изучения интегрального исчисления.

Следует признать, что гипотеза, принятая Лапласом, в некоторой степени произвольна, так что существовала некоторая возможность для сомнения, которое Буль высказал по этому поводу. Но можно ответить: (1) что предположение о бесконечном числе шаров, рассматриваемое способом Лапласа, менее произвольно и более всеобъемлюще, чем любое другое, которое можно предложить. (2) Результат не сильно отличается от того, который был бы получен при гипотезе о любом большом конечном числе шаров. (3) Это предположение ведет к ряду простых формул, которые можно легко применять во многих случаях и которые несут в себе все признаки истины, насколько это может быть независимо оценено здравым и практическим пониманием.

Правила обратного метода.

С помощью решения задачи, описанного в последнем разделе, мы получаем следующий ряд простых правил.

1. Чтобы найти вероятность того, что событие, которое до сих пор не наблюдалось как не наступившее, произойдет еще раз, разделите число раз, которое событие наблюдалось, увеличенное на единицу, на то же число, увеличенное на два.

Если было m случаев, в которых определенное событие могло быть замечено как наступившее, и оно наступало во всех этих случаях, то вероятность того, что оно наступит в следующий раз того же рода, равна (m + 1) / (m + 2). Например, мы можем сказать, что в планетной системе есть девять мест, где могли бы существовать планеты, подчиняющиеся закону расстояний Боде, и в каждом месте есть планета, подчиняющаяся закону более или менее точно, хотя причина этого совпадения неизвестна. Следовательно, вероятность того, что следующая планета за Нептуном будет соответствовать закону, равна 10/11.

2. Чтобы найти вероятность того, что событие, которое до сих пор не терпело неудачу, не потерпит ее в течение определенного числа новых случаев, разделите число раз, которое событие наступало, увеличенное на единицу, на то же число, увеличенное на единицу и число раз, которое оно должно наступить.