«Принципы науки: Трактат о логике и научном методе»

Единица пространства и стержневой эталон.

Следующим по важности после измерения времени является измерение пространства. Время стоит на первом месте в теории, потому что явления, наши внутренние мысли, например, могут меняться во времени без отношения к пространству. Что касается явлений внешней природы, они все больше и больше стремятся разрешиться в движения молекул, а движение не может быть осмыслено или измерено без отношения как ко времени, так и к пространству.

Переходя теперь к измерению пространства, мы находим почти столь же трудным зафиксировать и определить раз и навсегда единичную величину. Существует три различных способа, которыми было предложено попытаться увековечить стандартную длину.

(1) Путем конструирования фактического образца стандартного ярда или метра в форме стержня.

(2) Путем принятия самого земного шара в качестве конечного эталона величины, причем практической единицей является дольная часть некоторого измерения земного шара.

(3) Путем принятия длины простого секундного маятника в качестве эталона отсчета.

На первый взгляд может показаться, что в этом деле нет большой трудности и что любой из этих методов мог бы подойти достаточно хорошо; но чем детальнее мы вникаем в подробности, тем более безнадежной кажется попытка установить неизменный эталон. Мы должны в первую очередь указать на принцип не очевидного характера, а именно, что стандартная длина должна быть определена одним единственным объектом. Сделать два стержня в точности одинаковой длины или даже два стержня, имеющих идеально определенное отношение друг к другу, выше сил человеческого искусства. Если будут сделаны две копии стандартного метра и объявлены одинаково правильными, будущие исследователи, безусловно, обнаружат некоторое расхождение между ними, доказывая, конечно, что они не могут оба быть эталоном, и давая повод для спора о том, какая величина должна тогда считаться правильной.

Если бы можно было сконструировать и поддерживать один неизменный стержень в качестве абсолютного эталона, такого неудобства не могло бы возникнуть. Каждое последующее поколение, приобретая более высокие возможности измерения, обнаруживало бы ошибки в копиях эталона, но сам эталон оставался бы вне подозрений и, так сказать, становился бы постепенно все более и более точно известным. К сожалению, сконструировать и сохранить метр или ярд — это также задача, которая либо невозможна, либо, что почти то же самое, не может быть показана как возможная. Опуская практическую трудность определения концов стандартной длины с полной точностью, будь то точками или линиями на поверхности, или конечными точками стержня, у нас нет средств доказать, что вещества остаются неизменных размеров. Точно так же, как мы не можем сказать, равномерно ли вращение Земли, кроме как сравнивая его с другими движущимися телами, считающимися более равномерными в движении, так мы не можем обнаружить изменение длины стержня, кроме как сравнивая его с некоторым другим стержнем, предполагаемым неизменным. Но как нам узнать, какой стержень неизменен? Несомненно, многие жесткие и, по-видимому, неизменные вещества действительно меняются в размерах. Колба термометра, безусловно, сжимается с возрастом, помимо претерпевания быстрых изменений размеров при нагревании или охлаждении на 100° по Цельсию. Можем ли мы быть уверены, что даже самые твердые металлические стержни не сжимаются слегка с возрастом или не претерпевают изменений в своей структуре из-за изменения температуры. Физо был побужден попробовать, будет ли кварцевый кристалл, подвергнутый нескольким сотням чередований температуры, модифицирован в своих физических свойствах, и он не смог обнаружить никакого изменения в коэффициенте расширения. Не следует, однако, что, поскольку в кварцевом кристалле не было обнаружено видимых изменений, недавно сконструированные металлические стержни не претерпят никаких изменений.

Лучший принцип, как мне кажется, на котором может быть основано увековечение эталона длины, заключается в том, что если изменение длины происходит, оно, по всей вероятности, будет разной величины в разных веществах. Если тогда было бы сконструировано большое количество стандартных метров из всех видов различных металлов и сплавов; твердых пород, таких как гранит, серпентин, сланец, кварц, известняк; искусственных веществ, таких как фарфор, стекло и т.д., тщательное сравнение время от времени показывало бы сравнительные изменения длины этих различных веществ. Наиболее изменчивые вещества были бы наиболее расходящимися, и эталон был бы предоставлен средней длиной тех, которые согласуются друг с другом наиболее тесно, точно так же, как равномерное движение — это движение тех тел, которые согласуются наиболее тесно в указании течения времени.

Земной эталон.

Второй метод предполагает, что сам земной шар является телом неизменных размеров, и основатели метрической системы выбрали десятимиллионную часть расстояния от экватора до полюса в качестве определения метра. Первое несовершенство такого метода заключается в том, что Земля, безусловно, не является неизменной в размерах; ибо мы знаем, что она выше по температуре, чем окружающее пространство, и должна медленно остывать и сжиматься. Есть много оснований полагать, что все землетрясения, вулканы, поднятия гор и изменения уровня моря являются свидетельствами этого сжатия, как утверждает г-н Маллет. Но таков огромный объем Земли и длительность ее прошлого существования, что это сжатие, возможно, менее быстро в пропорции, чем сжатие любого стержня или другого материального эталона, который мы можем сконструировать.

Вторая и главная трудность этого метода проистекает из огромного размера Земли, который препятствует нам делать какое-либо сравнение с конечным эталоном, кроме как путем тригонометрической съемки самого сложного и дорогостоящего вида. Французские физики, которые впервые предложили этот метод, попытались устранить это неудобство, выполнив съемку раз и навсегда, а затем сконструировав стандартный метр, который должен был быть в точности одной десятимиллионной частью расстояния от полюса до экватора. Но поскольку все измерительные операции являются лишь приблизительными, было невозможно, чтобы эта операция была выполнена идеально. Соответственно, в 1838 году было показано, что предполагаемый французский метр был ошибочным в значительной степени — одна часть из 5527. Тогда стало необходимым либо изменить длину предполагаемого метра, либо отказаться от его предполагаемой связи с размерами Земли. Французское правительство и Международная метрическая комиссия по очевидным причинам решили в пользу последнего курса и, таким образом, вернулись к первому методу определения метра с помощью данного стержня. Поскольку время от времени отношение между этим предполагаемым стандартным метром и квадрантом Земли становится более точно известным, у нас есть лучшие средства восстановления этого метра путем отсчета к земному шару, если потребуется. Но пока он не потерян, не уничтожен или по какой-либо ясной причине не дискредитирован, стержневой метр, а не земной шар, является эталоном. Томсон и Тэйт замечают, что любое из более точных измерений английской тригонометрической съемки могло бы подобным образом использоваться для восстановления нашего стандартного ярда, в терминах которого записаны результаты.

Маятниковый эталон.

Третий метод определения стандартной длины, путем отсчета к секундному маятнику, был впервые предложен Гюйгенсом и одно время был принят английским правительством. Из принципа маятника (стр. 302) ясно следует, что если время колебания и сила, воздействующая на маятник, одинаковы, длина маятника должна быть одинаковой. Мы не избавляемся от теоретических трудностей, ибо мы должны предположить, что притяжение гравитации в некоторой точке земной поверхности, скажем, в Лондоне, неизменно со временем, а звездные сутки неизменны, причем ни одно из этих допущений не является абсолютно правильным, насколько мы можем судить. Маятник, короче говоря, является лишь косвенным средством сделать одну физическую величину пространства зависимой от двух других физических величин времени и силы.

Практические трудности, однако, носят гораздо более серьезный характер, чем теоретические. Длина маятника — это не обычная длина прибора, которая могла бы быть значительно изменена без влияния на длительность вибрации, а расстояние от центра подвеса до центра колебания. Нет прямых средств определения этого последнего центра, который зависит от среднего импульса всех частиц маятника относительно центра подвеса. Гюйгенс обнаружил, что центры подвеса и колебания взаимозаменяемы, и Кейтер указал, что если маятник вибрирует с точно такой же быстротой при подвешивании из двух разных точек, расстояние между этими точками является истинной длиной эквивалентного простого маятника. Но практические трудности при использовании реверсивного маятника Кейтера значительны, и должны быть рассмотрены вопросы, касающиеся возмущения воздуха, силы гравитации или даже интерференции электрических притяжений. Было показано, что все эксперименты, проведенные под руководством правительства для определения отношения между стандартным ярдом и секундным маятником, были испорчены ошибкой в поправках на сопротивляющуюся, прилипающую или выталкивающую силу воздуха, в котором раскачивались маятники. Даже если бы такие поправки были сделаны ненужными путем работы в вакууме, остаются другие сложные вопросы. Метод Гаусса сравнения вибраций проволочного маятника при подвешивании на двух разных длинах открыт для равных или больших практических трудностей. Таким образом, установлено, что маятниковый эталон не может конкурировать по точности и достоверности с простым стержневым эталоном, и метод был бы полезен только как вспомогательный способ восстановления стержневого эталона, если он когда-либо снова будет уничтожен.

Единица плотности.

Прежде чем мы сможем измерить явления природы, нам требуется третья независимая единица, которая позволит нам определить количество материи, занимающей любое данное пространство. Все изменения природы, как мы увидим, вероятно, являются столь многими проявлениями энергии; но энергия требует некоторого субстрата или материального механизма молекул, в котором и посредством которого она может быть проявлена. Наблюдение показывает, что в отношении силы могут существовать два способа изменения материи. Как говорит Ньютон в первом определении Principia, «количество материи есть мера оной, возникающая из ее плотности и объема вместе». Таким образом, сила, требуемая для приведения тела в движение, варьируется как в зависимости от объема материи, так и в зависимости от ее качества. Два кубических дюйма железа одинакового качества потребуют вдвое больше силы, чем один кубический дюйм, чтобы произвести определенную скорость за данное время; но один кубический дюйм золота потребует больше силы, чем один кубический дюйм железа. Существует, таким образом, некоторое новое измеримое качество в материи, помимо ее объема, которое мы можем назвать плотностью и которое, строго говоря, указывается ее способностью сопротивляться и поглощать действие силы. За единицу плотности мы можем принять плотность любого вещества, которое однородно по качеству и может легко соотноситься время от времени. Чистая вода при любой определенной температуре, например, тающего снега под незначительным давлением, предоставляет неизменный эталон плотности, и путем сравнения равных объемов различных веществ с таким же объемом ледяной воды, в отношении скорости, произведенной в единицу времени той же силой, мы установили бы плотности этих веществ, выраженные в плотности воды. Практически сила гравитации используется для измерения плотности; ибо прекрасный эксперимент с маятником, выполненный Ньютоном и повторенный Гауссом, показывает, что все виды материи гравитируют одинаково. Две порции материи, которые находятся в равновесии на весах, могут быть приняты как обладающие равной инерцией, и их плотности, следовательно, будут обратно пропорциональны их кубическим размерам.

Единица массы.

Умножая число единиц плотности некоторого количества материи на число единиц занимаемого ею пространства, мы получаем количество материи, или, как его обычно называют, единицу массы, определяемую присущими ей инерцией и гравитацией. Чтобы действовать наиболее простым способом, единицей массы следовало бы считать массу кубической единицы материи стандартной плотности; однако создатели метрической системы приняли за единицу массы кубический сантиметр воды при температуре максимальной плотности (около 4° C). Они назвали эту единицу массы граммом и изготовили эталонные образцы килограмма, к которым могли бы легко обращаться все, кому необходимо использовать точные веса. К сожалению, определение объема заданного веса воды при определенной температуре — это операция, сопряженная со многими трудностями, и в настоящее время она не может быть выполнена с точностью выше примерно одной части на 5000, при этом результаты тщательных наблюдений иногда различаются на величину до одной части на 1000.

С другой стороны, веса можно сравнивать друг с другом с точностью по меньшей мере до одной части на миллион. Следовательно, если различные образцы килограмма изготавливаются путем прямого взвешивания относительно воды, они не будут точно соответствовать друг другу; два основных эталонных килограмма не согласуются ни друг с другом, ни со своим определением. По словам профессора Миллера, так называемый «Архивный килограмм» (Kilogramme des Archives) весит 15432,34874 грана, в то время как килограмм, хранящийся в Министерстве внутренних дел в Париже в качестве эталона для коммерческих целей, весит 15432,344 грана. Поскольку эталонный вес, изготовленный из платины или платино-иридиевого сплава, может сохраняться без каких-либо заметных изменений и поскольку его можно очень точно сравнить с другими весами, мы в конечном итоге достигнем наибольшей точности в наших измерениях массы, приняв какой-либо один килограмм в качестве временного эталона, оставив определение его фактической массы в единицах пространства и плотности для будущих исследований. Именно так практически поступают в настоящее время, и таким образом единица массы занимает место единицы плотности как во французской, так и в английской системах. Английский фунт определяется определенным куском платины, хранящимся в Вестминстере, и является произвольной массой, выбранной лишь для того, чтобы она как можно точнее соответствовала старым английским фунтам. Галлон, старая английская единица кубического измерения, определяется условием, что он должен содержать ровно десять фунтов веса воды при 62° по Фаренгейту; и хотя указывается, что его вместимость составляет около 277,274 кубических дюймов, это соотношение между кубической и линейной системами измерения не закреплено законодательно, а оставлено открытым для исследований. Хотя французская метрическая система в своем первоначальном виде была теоретически совершенной, в этом пункте она практически не отличается от английской системы.

Естественная система эталонов.

Совсем недавно профессор Клерк Максвелл предположил, что колебания света и атомы материи могли бы мыслимым образом использоваться в качестве предельных эталонов длины, времени и массы. Таким образом, мы пришли бы к естественной системе эталонов, которая, хотя и не имеет в настоящее время практического значения, представляет значительный теоретический интерес. «В нынешнем состоянии науки, — говорит он, — самым универсальным эталоном длины, который мы могли бы принять, была бы длина волны в вакууме определенного вида света, испускаемого каким-либо широко распространенным веществом, таким как натрий, имеющим четко определенные линии в своем спектре. Такой эталон был бы независим от любых изменений размеров Земли и должен быть принят теми, кто ожидает, что их труды будут более долговечными, чем это тело». Точно так же мы получили бы универсальную стандартную единицу времени, независимую от всех вопросов о движении материальных тел, приняв за единицу период колебаний того конкретного вида света, длина волны которого является единицей длины. Из этого следовало бы, что при таких единицах длины и времени единица скорости совпадала бы со скоростью света в пустом пространстве. Что касается единицы массы, профессор Максвелл, как мне кажется, с юмором замечает, что если мы ожидаем вскоре получить возможность определить массу отдельной молекулы какого-либо стандартного вещества, мы можем подождать с этим определением, прежде чем устанавливать универсальный эталон массы.

С теоретической точки зрения не может быть разумных сомнений в том, что колебания света являются, насколько мы можем судить, наиболее неизменными по величине из всех явлений. Как обычно, в этом вопросе нет полной уверенности, поскольку свойства основы света могут в некоторой степени варьироваться в разных частях пространства. Однако никаких различий в скорости света в разных частях Солнечной системы установить не удалось, а спектры звезд показывают, что периоды колебаний там не отличаются заметно от таковых в этой части Вселенной. Таким образом, все предположения свидетельствуют в пользу абсолютного постоянства колебаний света — абсолютного, то есть, насколько позволяют судить любые средства исследования, которыми мы, вероятно, располагаем. Почти те же соображения применимы к атомному весу как эталону массы. Невозможно доказать, что все атомы одного и того же вещества имеют равную массу, и некоторые физики полагают, что они различаются, так что неизменность пропорций соединения может быть обусловлена лишь приблизительным постоянством среднего значения бесчисленных миллионов различающихся весов. Но в любом случае обнаружение различий, вероятно, находится за пределами наших возможностей. Таким образом, с теоретической точки зрения величины, предложенные профессором Максвеллом, представляются наиболее неизменными из всех, о которых мы имеем какое-либо знание, поэтому они неизбежно становятся естественными единицами.

С практической точки зрения, как первым отметил бы профессор Максвелл, они имеют малую или нулевую ценность, поскольку в нынешнем состоянии науки мы не можем измерить колебание или взвесить атом с точностью, приближающейся к той, которая достижима при сравнении эталонных метров и килограммов. Скорость света известна, вероятно, не точнее чем до одной тысячной части, и по мере прогресса в познании света мы будем прогрессировать в точном установлении других эталонов. Все, что можно сказать, это то, что весьма желательно определить длины волн и периоды основных линий солнечного спектра, а также абсолютные атомные веса элементов со всей достижимой точностью в терминах наших существующих эталонов. Полученные таким образом числа позволили бы воспроизвести наши эталоны в какую-либо будущую эпоху с соответствующей степенью точности, если бы возникла необходимость в такой сверке; но, насколько мы можем судить в настоящее время, нет значительной вероятности того, что этот способ воспроизведения когда-либо станет наилучшим.

Вспомогательные единицы.

Установив однажды стандартные единицы времени, пространства и плотности или массы, мы могли бы использовать их для выражения всех величин такого рода. Но часто бывает удобно в отдельных отраслях науки использовать кратные или дольные единицы исходных единиц для простого выражения величин. Мы используем милю, а не ярд, когда говорим о размерах земного шара, а среднее расстояние между Землей и Солнцем — не слишком большая единица, когда нам нужно описать расстояния до звезд. С другой стороны, когда мы имеем дело с микроскопическими объектами, дюйм, линия или миллиметр становятся наиболее удобными терминами для выражения.

Ученый вправе ввести новую единицу в любой области знаний, при условии, что она способствует точности выражения и тщательно соотнесена с первичными единицами. Так, профессор А. У. Уильямсон предложил в качестве удобной единицы объема в химической науке абсолютный объем, равный примерно 11,2 литра, представляющий собой объем одного грамма газообразного водорода при стандартной температуре и давлении, или эквивалентный вес любого другого газа, такого как 16 граммов кислорода, 14 граммов азота и т. д.; короче говоря, объем того количества любого из этих газов, которое весит столько граммов, сколько единиц содержится в числе, выражающем его атомный вес. Гофман предложил новую единицу веса для химиков, называемую «крит» (crith), определяемую весом одного литра газообразного водорода при 0° C и 0,76 м ртутного столба, весящего около 0,0896 грамма. Обе эти единицы следует рассматривать как чисто подчиненные единицы, в конечном счете определяемые через отсылку к первичным единицам и не влекущие за собой никаких новых допущений.

Производные единицы.

После того как стандартные единицы времени, пространства и массы были однажды зафиксированы, многие виды величин естественным образом измеряются единицами, производными от них. От метра, единицы линейной величины, наиболее очевидным образом следуют сантиар или квадратный метр — единица поверхностной величины, и литр, то есть куб десятой части метра — единица вместимости или объема. Скорость движения выражается отношением пройденного пространства, когда движение равномерно, к затраченному времени; следовательно, единицей скорости является скорость тела, которое проходит единицу пространства за единицу времени. В физической науке единицей скорости можно принять один метр в секунду. Количество движения измеряется движущейся массой с учетом как количества материи, так и скорости, с которой она движется. Следовательно, единицей количества движения будет количество движения единичного объема материи единичной плотности, движущегося с единичной скоростью, или, во французской системе, кубический сантиметр воды максимальной плотности, движущийся со скоростью один метр в секунду.

Ускоряющая сила измеряется отношением созданного количества движения к затраченному времени, при условии, что сила действует равномерно. Единицей силы будет, следовательно, та, которая создает единицу количества движения за единицу времени, или которая заставляет, во французской системе, один кубический сантиметр воды при максимальной плотности приобрести за одну секунду скорость один метр в секунду. Сила тяжести — самый привычный вид силы, и поскольку, действуя беспрепятственно на любое вещество, она создает в Париже за секунду скорость 9,80868... метров в секунду, из этого следует, что абсолютная единица силы составляет примерно десятую часть силы тяжести. Если мы используем британские веса и меры, абсолютная единица силы представлена силой тяжести примерно половины унции, поскольку сила тяжести любой части материи, действующая на эту материю в течение одной секунды, создает конечную скорость 32,1889 фута в секунду, или около 32 единиц скорости. Хотя благодаря постоянному действию и приблизительной равномерности мы находим в гравитации наиболее удобную силу для сравнения и поэтому привычно используем ее для оценки количеств материи, мы должны помнить, что это лишь один из многих примеров силы. Строго говоря, нам следовало бы выражать вес в терминах силы, но на практике мы выражаем другие силы в терминах веса.

Нам все еще нужна единица энергии, более сложного понятия. Количество движения тела выражает количество движения, которое принадлежит или принадлежало бы совокупности частиц; но когда мы рассматриваем, как это движение связано с действием силы, создающей или устраняющей его, мы обнаруживаем, что эффект силы пропорционален массе, умноженной на квадрат скорости, и удобно принять половину этого произведения в качестве требуемого выражения. Но в книгах по динамике показано, что результат будет в точности тем же, если мы определим энергию как силу, действующую на определенном расстоянии. Естественной единицей энергии будет тогда та, которая преодолевает единицу силы, действующую на единице расстояния; когда мы поднимаем один килограмм на один метр против силы тяжести, мы, следовательно, совершаем 9,80868... единиц работы, то есть мы превращаем такое количество единиц потенциальной энергии, существующей в мышцах, в потенциальную энергию гравитации. При поднятии одного фунта на один фут происходит таким же образом преобразование 32,1889 единиц энергии. Соответственно, единицей энергии в английской системе будет та, которая требуется для поднятия одного фунта на примерно тридцать вторую часть фута; в метрических единицах это будет энергия, требуемая для поднятия килограмма на примерно одну десятую часть метра.

Каждый человек волен измерять и записывать величины в терминах любой единицы, которая ему нравится. Он может использовать ярд для линейного измерения и литр для кубического измерения, только тогда между его различными результатами будет сложная зависимость. Система производных единиц, которую мы кратко рассмотрели, — это та, которая дает наиболее простые и естественные отношения между количественными выражениями различных видов и поэтому способствует легкости понимания и экономии трудоемких вычислений.

Очевидно, было бы большим удобством, если бы ученые могли договориться о какой-то единой системе единиц, исходных и производных, в терминах которых можно было бы выражать все величины. Таким образом, утверждения стали бы легко сопоставимыми, большая часть научной литературы стала бы понятной для всех, а экономия умственного труда была бы огромной. Также, по-видимому, общепризнано, что метрическая система весов и мер представляет собой наилучшую основу для окончательной системы; она полностью утвердилась в Западной Европе; она узаконена в Англии; она уже повсеместно используется учеными; она сама по себе является наиболее простой и научной из систем. Таким образом, есть все основания для того, чтобы метрическая система была принята, по крайней мере, в своих основных чертах.

Временные единицы.

В конечном счете, в чем мы вряд ли можем сомневаться, все явления будут признаны как проявления энергии; и, будучи выраженными в терминах единицы энергии, они будут сводимы к первичным единицам пространства, времени и плотности. Однако, чтобы осуществить это сведение в любом конкретном случае, мы должны не только уметь сравнивать различные количества явления, но и проследить всю последовательность шагов, посредством которых оно связано с первичными понятиями. Мы можем легко заметить, что интенсивность одного источника света больше, чем другого; и, зная, что интенсивность света уменьшается по мере увеличения квадрата расстояния, мы можем легко определить их сравнительную яркость. Следовательно, мы можем выразить интенсивность света, падающего на любую поверхность, если у нас есть единица, в которой можно сделать это выражение. Свет, несомненно, является одной из форм энергии, и единица должна, следовательно, быть единицей энергии. Но в настоящее время совершенно невозможно сказать, сколько энергии содержится в каком-либо конкретном количестве света. Тогда возникает вопрос: должны ли мы отложить измерение света до тех пор, пока не сможем установить его связь с другими формами энергии? Если мы ответим «да», это равносильно утверждению, что наука о свете должна остановиться, возможно, на целое поколение; и не только эта наука, но и многие другие. Истинный путь, очевидно, заключается в том, чтобы выбрать в качестве временной единицы света какой-либо свет удобной интенсивности, который можно время от времени воспроизводить с той же интенсивностью и который определяется физическими обстоятельствами. Все явления света могут быть экспериментально исследованы относительно этой единицы, например, той, что была получена после большого труда Бунзеном и Роско. В последующие годы предметом исследования станет вопрос о том, какая энергия затрачивается в такой единице света; но может пройти много времени, прежде чем эта связь будет точно определена.

Временная единица, таким образом, означает ту, которая принята и физически определена надежным и воспроизводимым способом, чтобы конкретные величины можно было сравнивать inter se (между собой) более точно, чем их можно пока отнести к первичным единицам. В действительности подавляющее большинство наших измерений выражается в терминах таких временно независимых единиц, и даже единицу массы, как мы видели, следует считать временной.

Единица тепла должна была бы быть просто единицей энергии, уже описанной. Но вес можно измерить с точностью до одной миллионной части, а температуру — до менее чем тысячной доли градуса Фаренгейта, и, следовательно, до менее чем пятисоттысячной доли абсолютной температуры, тогда как механический эквивалент тепла, вероятно, не известен с точностью до тысячной доли. Отсюда необходимость во временной единице тепла, которую часто принимают за количество, необходимое для нагревания одного грамма воды на один градус Цельсия, то есть от 0° до 1°. Это количество тепла поддается приблизительному выражению в терминах времени, пространства и массы; ибо благодаря естественной константе, определенной доктором Джоулем и называемой механическим эквивалентом тепла, мы знаем, что принятая единица тепла равна энергии 423,55 грамм-метров, или той энергии, которая поднимет массу 423,55 грамма на один метр против 9,8... абсолютных единиц силы. Тепло также может быть выражено в терминах количества льда при 0° C, которое оно способно превратить в воду при незначительном давлении.

Теория размерностей.

Чтобы понять отношения между величинами, рассматриваемыми в физической науке, необходимо обратить внимание на теорию размерностей, впервые четко сформулированную Жозефом Фурье, но в более поздние годы развитую несколькими физиками. Эта теория исследует способ, которым каждая производная единица зависит от одной или нескольких фундаментальных единиц или включает их в себя. Число единиц в прямоугольной площади находится путем перемножения чисел единиц в сторонах; таким образом, единица длины дважды входит в единицу площади, о которой поэтому говорят, что она имеет две размерности по отношению к длине. Обозначая длину через L, мы можем сказать, что размерности площади равны L × L или L². Очевидно, таким же образом, что размерности объема или вместимости будут L³.

Число единиц массы в теле находится путем умножения числа единиц объема на единицы плотности. Следовательно, масса имеет три размерности в отношении длины и одну в отношении плотности. Обозначая плотность через D, размерности массы равны L³D. Как уже объяснялось, однако, обычно принято подставлять произвольную временную единицу массы, обозначаемую M; согласно принятому здесь взгляду, мы можем сказать, что размерности M равны L³D.

Вводя время, обозначаемое через T, легко увидеть, что размерности скорости будут L/T или LT⁻¹, потому что число единиц в скорости тела находится путем деления единиц пройденного расстояния на единицы затраченного времени. Ускорение тела измеряется увеличением скорости по отношению ко времени, то есть мы должны разделить единицы полученной скорости на единицы времени, затраченного на ее получение; следовательно, его размерности будут LT⁻². Количество движения — это произведение массы и скорости, так что его размерности равны MLT⁻¹. Эффект силы измеряется ускорением, произведенным в единице массы за единицу времени; следовательно, размерности силы равны MLT⁻². Совершенная работа пропорциональна действующей силе и пространству, через которое она действует; так что она имеет размерности силы с добавлением размерности длины, что дает ML²T⁻².

Следует особо отметить, что угловая величина вообще не имеет размерностей, будучи измеряемой отношением дуги к радиусу (стр. 305). Таким образом, мы имеем размерности LL⁻¹ или L⁰. Это согласуется с ранее сделанным утверждением, что никакой произвольной единицы угловой величины не требуется. Аналогично, все чистые числа, выражающие только отношения, такие как синусы и другие тригонометрические функции, логарифмы, показатели степени и т. д., лишены размерностей. Это абсолютные числа, обязательно выраженные в терминах самой единицы, и они совершенно не зависят от выбора произвольных физических единиц. Угловая величина, однако, входит в другие величины, такие как угловая скорость, которая имеет размерности 1/T или T⁻¹, так как единицы угла делятся на единицы затраченного времени. Размерности углового ускорения обозначаются через T⁻².

Величины, рассматриваемые в теориях тепла и электричества, многочисленны и сложны в отношении своих размерностей. Теплоемкость имеет размерности ML⁻³, теплопроводность — ML⁻¹T⁻¹. В магнетизме размерности силы полюса равны M¹/²L³/²T⁻¹, размерности напряженности поля равны M¹/²L⁻¹/²T⁻¹, и интенсивность намагничивания имеет те же размерности. В науке об электричестве физики имеют дело с многочисленными видами величин, и их размерности также различны в электростатической и электромагнитной системах. Так, электродвижущая сила имеет размерности M¹/²L¹/²T⁻¹ в первой системе и M¹/²L³/²T⁻² во второй. Емкость в электростатике просто зависит от длины, но в электромагнетизме — от L⁻¹T². Особого внимания заслуживает тот факт, что электрические величины имеют простые размерности, когда они выражены в терминах плотности, а не массы. Приведенных примеров достаточно, чтобы показать трудность осмысления и прослеживания отношений величин, рассматриваемых в физической науке, без систематического метода вычисления и представления их размерностей. Только в самые последние годы были достигнуты ясные представления об этих величинах. Полвека назад, вероятно, никто, кроме Фурье, не смог бы объяснить, что он подразумевает под температурой или теплоемкостью. Понятие измерения электричества едва ли рассматривалось.

Помимо предоставления нам ясного взгляда на сложные отношения физических величин, эта теория особенно полезна в двух отношениях. Во-первых, она дает проверку правильности математических рассуждений. Согласно принципу однородности, все величины, складываемые и приравниваемые в любом уравнении, должны иметь одинаковые размерности. Следовательно, если при оценке размерностей членов в любом уравнении они не являются однородными, значит, была допущена какая-то ошибка. Невозможно прибавить силу к скорости или массу к количеству движения. Даже если бы численные значения двух частей неоднородного уравнения были равны, это было бы случайностью, и любое изменение физических единиц привело бы к неравенству и обнаружило бы ложность закона, выраженного в уравнении.

Во-вторых, теория единиц позволяет нам легко и безошибочно вывести изменение в численном выражении любой физической величины, вызванное изменением фундаментальных единиц. Конечно, очевидно, что для представления одной и той же абсолютной величины число должно изменяться обратно пропорционально величине единиц, которые подсчитываются. Ярд, выраженный в футах, равен 3; принимая дюйм за единицу вместо фута, он становится равным 36. Каждая величина, в которую размерность длины входит положительно, должна быть изменена таким же образом. При изменении единицы с фута на дюйм численные выражения объема должны быть умножены на 12 × 12 × 12. Когда размерность входит отрицательно, будет действовать противоположное правило. Если вместо минуты мы подставим секунду в качестве единицы времени, то мы должны разделить все числа, выражающие угловые скорости, на 60, а числа, выражающие угловое ускорение, — на 60 × 60. Правило состоит в том, что численное выражение изменяется обратно пропорционально величине единицы для каждой целой размерности, входящей положительно, и оно изменяется прямо пропорционально величине единицы для каждой целой размерности, входящей отрицательно. В случае дробных показателей степени необходимо брать соответствующий корень из отношения изменения.

Изучение этого предмета можно продолжить по книге профессора Дж. Д. Эверетта «Иллюстрации системы единиц сантиметр-грамм-секунда», опубликованной издательством Taylor and Francis в 1875 году; по «Теории тепла» профессора Максвелла или «Учебнику электричества» профессора Флеминга Дженкина.

Естественные константы.

Приобретя точные измерительные приборы и определившись с единицами, в которых будут выражены результаты, остается вопрос: как использовать наши возможности измерения? Наша главная цель должна состоять в открытии общих количественных законов природы; но очень большое количество предварительной работы затрачивается на точное определение размеров существующих объектов и численных отношений между различными силами и явлениями. Шаг за шагом каждая часть материальной Вселенной исследуется и приводится в известные отношения с другими частями. Каждое проявление энергии соотносится с каждым другим видом проявления. Профессор Тиндаль описал тщательность, с которой проводятся такие операции.

«Те, кто не знаком с деталями научных исследований, не имеют представления о том объеме труда, который затрачивается на определение тех чисел, от которых зависят важные расчеты или выводы. Они не имеют представления о терпении, проявленном Берцелиусом при определении атомных весов; Реньо — при определении коэффициентов расширения; или Джоулем — при определении механического эквивалента тепла. В таких делах проявляется своего рода мораль, которая по своей строгости, вероятно, не имеет аналогов ни в одной другой области интеллектуальной деятельности».

Каждая новая записанная естественная константа дает нам возможность сделать множество новых выводов. Ибо если n — число таких известных констант, то 1/2(n² — n) — это число отношений, которые находятся в пределах наших возможностей вычисления, и это число растет пропорционально квадрату n. Таким образом, мы постепенно собираем карту природы, на которой линии вывода от одного явления к другому быстро растут в сложности, а возможности научного предсказания соответственно увеличиваются.

Бэббидж предложил создать сборник постоянных чисел природы — работу, за которую наконец взялся Смитсоновский институт. Правда, полный сборник таких чисел был бы почти соразмерен научной литературе, поскольку пришлось бы включить почти все числа, встречающиеся в трудах по химии, минералогии, физике, астрономии и т. д. Тем не менее, удобный том, содержащий все наиболее важные числа и их логарифмы, при необходимости отнесенные к различным общепринятым единицам, был бы очень полезен. Небольшой сборник постоянных чисел можно найти в конце таблиц логарифмов Бэббиджа, Хаттона и многих других, а несколько более обширный сборник приведен в «Карманном справочнике механика и инженера» Темплтона.

Наша нынешняя цель будет состоять в том, чтобы классифицировать эти постоянные числа грубо, в соответствии с их сравнительной общностью и важностью, по следующим заголовкам:

(1) Mathematical constants.

(2) Physical constants.

(3) Astronomical constants.

(4) Terrestrial numbers.

(5) Organic numbers.

(6) Social numbers.

Математические константы.

Во главе списка естественных констант должны стоять те, которые выражают необходимые отношения чисел друг к другу. Обычная таблица умножения является наиболее знакомой и наиболее важной из таких серий констант и, теоретически говоря, бесконечна по своему охвату. Далее мы должны поместить арифметический треугольник, значение которого уже было указано (стр. 182). Таблицы логарифмов также содержат обширные серии естественных констант, возникающих из отношений чистых чисел. В основе всей логарифмической теории лежит таинственная естественная константа, обычно обозначаемая через e или ε, равная бесконечному ряду 1 + 1/1 + 1/1.2 + 1/1.2.3 + 1/1.2.3.4 + ... и, таким образом, состоящая из суммы отношений между числами перестановок и сочетаний 0, 1, 2, 3, 4 и т. д. вещей. Не следует забывать таблицы простых чисел и множителей составных чисел.

Другая обширная и, по сути, бесконечная серия числовых констант содержит те, которые связаны с измерением углов и воплощены в тригонометрических таблицах, будь то натуральные или логарифмические синусы, косинусы и тангенсы. Никогда не следует забывать, что, хотя эти числа находят свое главное применение в связи с тригонометрией, или измерением сторон прямоугольного треугольника, сами числа возникают из числовых отношений, не имеющих особого отношения к пространству. Важнейшей среди тригонометрических констант является хорошо известное число π, обычно используемое для выражения отношения окружности к диаметру круга; из π следует значение дуговой или натуральной единицы угловой величины, выраженной в обычных градусах (стр. 306).

Среди других нередко используемых математических констант можно упомянуть таблицы факториалов (стр. 179), таблицы чисел Бернулли, таблицы функции ошибок, последние из которых незаменимы не только в теории вероятностей, но и в нескольких других отраслях науки.

Следует четко понимать, что математические константы и справочные таблицы, которыми мы уже располагаем, хотя и очень обширны, являются лишь бесконечно малой частью того, что могло бы быть создано. С прогрессом науки будет постоянно требоваться табулирование новых функций, и заслуживает рассмотрения вопрос о том, не следует ли выделять государственные средства для вознаграждения тяжелого, длительного и, как правило, неблагодарного труда, который необходимо проделать при расчете таблиц. Такие труды приносят пользу всему человечеству, пока оно существует, хотя лишь немногие могут оценить масштаб этой пользы. Весьма интересное и превосходное описание многих математических таблиц можно найти в статье Де Моргана «Таблицы» в «Английской циклопедии», Отдел искусств и наук, том vii, стр. 976. Почти исчерпывающий критический каталог существующих таблиц публикуется Комитетом Британской ассоциации, две части которого, составленные главным образом г-ном Дж. У. Л. Глейшером и профессором Кэли, появились в отчетах Ассоциации за 1873 и 1875 годы.

Физические константы.

Второй класс констант содержит те, которые относятся к фактическому строению материи. По большей части они зависят от особенностей рассматриваемого химического вещества, но мы можем начать с тех, которые имеют наиболее общий характер. В первый подкласс мы можем поместить скорость света или тепловых колебаний, числа, выражающие отношение между длинами колебаний и быстротой колебаний, причем эти числа зависят только от свойств эфирной среды и, вероятно, одинаковы во всех частях Вселенной. Теория тепла порождает несколько чисел высочайшей важности, особенно механический эквивалент тепла Джоуля, абсолютный нуль температуры, среднюю температуру пустого пространства и т. д.

Принимая во внимание разнообразные свойства элементов, мы должны иметь таблицы атомных весов, удельных теплоемкостей, удельных весов, показателей преломления не только элементов, но и их почти бесконечно многочисленных соединений. Свойства твердости, упругости, вязкости, расширения при нагревании, тепло- и электропроводности также должны быть определены с огромной детализацией. Существуют, однако, некоторые из этих чисел, которые выделяются, поскольку они служат промежуточными единицами или терминами сравнения. Таковы, например, абсолютные коэффициенты расширения воздуха, воды и ртути, температура максимальной плотности воды, скрытая теплота плавления льда и парообразования воды, точка кипения воды при стандартном давлении, точки плавления и кипения ртути и так далее.

Астрономические константы.

Третий большой класс состоит из чисел, обладающих гораздо меньшей общностью, поскольку они относятся не к свойствам материи, а к особым формам и расстояниям, в которых материя была расположена в той части Вселенной, которая открыта для нашего изучения. Мы должны, прежде всего, определить величину и форму Земли, ее среднюю плотность, константу аберрации света, выражающую отношение между средней скоростью Земли в пространстве и скоростью света. От Земли, как нашей обсерватории, мы затем переходим к установлению средних расстояний Солнца и планет от того же центра; все элементы планетных орбит, величины, плотности, массы, периоды осевого вращения отдельных планет постепенно определяются с растущей точностью. Те же труды должны быть проделаны для спутников. Не следует упускать каталоги комет с элементами их орбит, насколько они могут быть установлены.

От орбиты Земли как новой базы наблюдений мы переходим к исследованию небес и установлению видимых положений, величин, движений, расстояний, периодов изменения и т. д. звезд. Все каталоги звезд, начиная с каталогов Гиппарха и Тихо, полны чисел, грубо выражающих строение видимой Вселенной. Но трудам астрономов, очевидно, нет предела; не только миллионы далеких звезд ожидают своих первых измерений, но и те, что уже зарегистрированы, требуют бесконечного изучения в отношении их движений в трех измерениях пространства, их периодов обращения, их изменений яркости и цвета. Очевидно, что, хотя астрономические числа условно называются постоянными, они, вероятно, во всех случаях подвержены более или менее быстрому изменению.

Земные числа.

Наше знание о земном шаре, на котором мы живем, включает множество численных определений, которые имеют мало или вообще не имеют связи с астрономической теорией. К этому классу должны относиться предельные высоты главных гор, средние высоты континентов, средние или предельные глубины океанов, удельные веса горных пород, температура шахт, множество чисел, выражающих метеорологические или магнитные условия каждой части поверхности. Многие такие числа не следует называть постоянными, так как они подвержены периодическим или вековым изменениям, но они фактически едва ли более изменчивы, чем некоторые из тех, которые в астрономической науке считаются постоянными. Во многих случаях величины, которые кажутся наиболее изменчивыми, могут проходить через ритмические изменения, приводящие к почти равномерному среднему значению, и только в ходе длительного прогресса физических исследований мы можем надеяться успешно различать те элементарные числа, которые фиксированы, и те, которые изменяются. В последнем случае закон изменения становится постоянным отношением, которое является объектом наших поисков.

Органические числа.

После того как формы и свойства неживой природы были достаточно определены предыдущими классами чисел, остается органический мир, как растительный, так и животный, который предлагает более высокий ряд явлений для нашего исследования. Все точные знания, относящиеся к формам и размерам живых существ, их численности, количествам различных соединений, которые они потребляют, содержат или выделяют, их мышечной или нервной энергии и т. д., должны быть выделены в отдельный класс. Все такие числа, несомненно, более или менее подвержены изменениям и лишь в незначительной степени поддаются точному определению. Человек, поскольку он является животным и в отношении своей физической формы, также должен рассматриваться в этом классе.

Социальные числа.

В этой работе едва ли нужно упоминать тот факт, что человек в своих экономических, санитарных, интеллектуальных, эстетических или моральных отношениях может стать предметом наук, самых высоких и самых полезных из всех наук. Каждый, кто занимается статистическими исследованиями, должен признать возможность существования естественных законов, управляющих такими статистическими фактами. Следовательно, мы должны отвести особое место числовой информации, относящейся к численности, возрасту, физическому и санитарному состоянию, смертности и т. д. различных народов, короче говоря, к жизненной статистике. Экономическая статистика, охватывающая количества произведенных, существующих, обмененных и потребленных товаров, составляет еще одну обширную область науки. С течением времени точное исследование, возможно, покорит области явлений, которые в настоящее время не поддаются никакому научному подходу. Невероятно, чтобы научный метод когда-либо мог исчерпать явления человеческого разума.

ГЛАВА XV. АНАЛИЗ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ЯВЛЕНИЙ.

В двух предыдущих главах мы занимались рассмотрением того, как явление может быть точно измерено и выражено. Измерение, претендующее на сколько-нибудь значительную степень точности, является настолько тонкой и сложной операцией, что немалая часть мастерства и терпения физиков обычно тратится на эту работу. Большая часть этой трудности проистекает из того факта, что почти никогда невозможно измерить только один эффект за раз. Конечной целью должно быть открытие математического уравнения или закона, связывающего количественную причину с ее количественным следствием; эта цель обычно включает, как мы увидим, изменение одного условия за раз, при сохранении остальных условий постоянными. Труды экспериментатора были бы сравнительно легкими, если бы он мог следовать этому правилу изменения одного обстоятельства за раз. Тогда он получил бы ряд соответствующих значений рассматриваемых переменных величин, из которых он мог бы путем надлежащей гипотетической обработки получить требуемый закон связи. Но в действительности редко удается выполнить это указание, за исключением приблизительного способа. Поэтому, прежде чем мы перейдем к рассмотрению самого процесса количественной индукции, необходимо рассмотреть несколько приемов, с помощью которых можно распутать сложную серию эффектов. Каждое измеренное явление обычно будет суммой, разностью или, возможно, произведением или частным двух или более различных эффектов, и они должны быть каким-то образом проанализированы и измерены отдельно, прежде чем мы будем обладать материалами для индуктивной обработки.

Иллюстрации сложности эффектов.

Легко привести множество примеров, показывающих, что явление редко наблюдается в простом и изолированном виде. Почти всегда необходим более или менее сложный процесс анализа. Так, если экспериментатор хочет наблюдать и измерить расширение жидкости при нагревании, он помещает ее в трубку термометра и регистрирует подъем столбика жидкости в узкой трубке. Но он не может нагреть жидкость, не нагрев при этом стекло, так что наблюдаемое изменение на самом деле является разностью между расширениями жидкости и стекла. Более детальное исследование покажет необходимость, возможно, учета дальнейших мелких эффектов, а именно сжатия жидкости и расширения колбы из-за повышенного давления столбика по мере его удлинения.

Во многих случаях наблюдаемый эффект будет, по крайней мере по видимости, простой суммой двух отдельных и независимых эффектов. Тепло, выделяющееся при сгорании нефти, частично обусловлено углеродом, а частично водородом. Измерение тепла, выделяемого ими совместно, не может сообщить нам, сколько происходит от одного, а сколько от другого. Если с помощью какого-либо отдельного определения мы сможем установить, сколько дает водород, то путем простого вычитания мы узнаем, что относится к углероду; и vice versâ (наоборот). Тепло, переносимое жидкостью, может частично переноситься истинной теплопроводностью, частично конвекцией. Свет, рассеянный внутри жидкости, состоит как из того, что отражается плавающими частицами, так и из того, что обусловлено истинной флуоресценцией; и мы должны найти какой-то способ определения одной части, прежде чем сможем узнать другую. Кажущееся движение пятен на Солнце является алгебраической суммой осевого вращения Солнца и собственного движения пятен по поверхности Солнца; отсюда трудность установления путем прямых наблюдений периода вращения Солнца.

Мы не можем получить вес порции жидкости на химических весах, не взвесив ее вместе с сосудом, в котором она находится. Следовательно, чтобы иметь реальный вес жидкости, используемой в эксперименте, мы должны произвести отдельное взвешивание сосуда, с прилипшей пленкой жидкости или без нее, в зависимости от обстоятельств. Это также способ, которым взвешиваются телега и ее груз вместе, при этом предварительно установленная тара телеги вычитается. Изменение высоты барометра является совместным эффектом, частично обусловленным реальным изменением атмосферного давления, частично расширением ртутного столба от тепла. Эффекты могут быть разграничены, если вместо одной барометрической трубки у нас будут две трубки, содержащие ртуть, расположенные близко друг к другу, чтобы иметь одинаковую температуру. Если одна из них будет закрыта снизу, чтобы на нее не влияло атмосферное давление, она будет показывать изменения, обусловленные только температурой, и, вычитая эти изменения из тех, что показаны в другой трубке, используемой в качестве барометра, мы получим реальные колебания атмосферного давления. Но эта поправка, как ее называют, барометрических показаний лучше осуществляется путем расчета по показаниям обычного термометра.

В других случаях количественный эффект будет разностью двух причин, действующих в противоположных направлениях. Сэр Джон Гершель изобрел прибор, похожий на большой термометр, который он назвал актинометром, а Пуйе сконструировал несколько похожий прибор, называемый пиргелиометром, для определения нагревающей способности солнечных лучей. В обоих приборах тепло Солнца поглощалось резервуаром, содержащим воду, и повышение температуры воды точно наблюдалось либо по ее собственному расширению, либо по показаниям чувствительного термометра, погруженного в нее. Но при воздействии актинометра на Солнце мы не получаем полного эффекта поглощенного тепла, потому что принимающая поверхность в то же время излучает тепло в пустое пространство. Наблюдаемое приращение температуры, короче говоря, является разностью между тем, что получено от Солнца, и тем, что потеряно в результате излучения. Последняя величина поддается легкому определению; нам нужно только затенить прибор от прямых солнечных лучей, оставив его открытым для неба, и мы сможем наблюдать, насколько он остывает за определенное время. Общий эффект солнечных лучей, очевидно, будет равен кажущемуся эффекту плюс эффект охлаждения за равное время. Путем попеременного воздействия на солнце и в тени в течение равных интервалов желаемый результат может быть получен с значительной точностью.

Два количественных эффекта были прекрасно разграничены в эксперименте Джона Кантона, разработанном в 1761 году с целью демонстрации сжимаемости воды. Он сконструировал термометр с большой колбой, наполненной водой, и короткой капиллярной трубкой, часть которой над водой была освобождена от воздуха. При этих обстоятельствах вода была освобождена от давления атмосферы, но стеклянная колба, выдерживая это давление, несколько сжалась. Затем он поместил прибор под колпак воздушного насоса, и при откачивании воздуха вода в трубке опустилась. Получив таким образом меру эффекта атмосферного давления на колбу, он открыл верхнюю часть трубки термометра и впустил воздух. Уровень воды теперь опустился еще больше, частично из-за того, что давление на колбу теперь было скомпенсировано, а частично из-за сжатия воды атмосферным давлением. Очевидно, что величина последнего эффекта была приблизительно разностью двух наблюдаемых понижений.

Нередко фактическое явление, которое мы хотим измерить, значительно меньше различных мешающих эффектов, которые входят в вопрос. Так, сжимаемость ртути значительно меньше расширения сосудов, в которых она измеряется под давлением, так что внимание экспериментатора должно быть главным образом сосредоточено на изменении величины сосудов. Многие астрономические явления, такие как параллакс или собственные движения неподвижных звезд, гораздо меньше ошибок, вызванных инструментальными несовершенствами, или движений, возникающих из-за прецессии, нутации и аберрации. Нас не должно удивлять, что астрономы время от времени принимали одно явление за другое, как когда Флемстид вообразил, что открыл параллакс Полярной звезды.