«Принципы науки: Трактат о логике и научном методе»

Методы устранения ошибок.

В любом конкретном эксперименте целью экспериментатора является измерение только одного эффекта, и он стремится получить этот эффект, свободный от мешающих воздействий. Если это невозможно, как это редко или никогда не бывает действительно возможным, он делает эффект как можно более значительным по сравнению с другими эффектами, которые он сводит к минимуму и рассматривает как вредные ошибки. Те величины, которые в одном случае называются ошибками, в другом исследовании могут быть действительно наиболее важными и интересными явлениями. Когда мы говорим об устранении ошибки, мы на самом деле имеем в виду распутывание сложных явлений природы. Физик справедливо хочет рассматривать одну вещь за раз, но поскольку эта цель редко может быть строго претворена в практику, он должен искать какой-то способ противодействия нерелевантным и мешающим причинам.

Общий принцип заключается в том, что одно наблюдение может сделать известной только одну величину. Следовательно, если известно, что в любое исследование входят несколько различных количественных эффектов, мы должны иметь по крайней мере столько же отдельных наблюдений, сколько имеется величин для определения. Каждый полный эксперимент будет поэтому состоять в общем случае из нескольких операций. Руководствуясь, если возможно, предыдущим знанием о действующих причинах, мы должны организовать определения так, чтобы с помощью простого математического процесса мы могли различить отдельные величины. По-видимому, существует пять основных методов, с помощью которых мы можем достичь этой цели; эти методы указаны ниже и проиллюстрированы в последующих разделах.

(1) Метод избегания. Физик может искать какой-то особый способ эксперимента или возможность наблюдения, при которых ошибка отсутствует или незначительна.

(2) Дифференциальный метод. Он может найти возможности для наблюдения, когда все мешающие явления остаются постоянными, а только предмет наблюдения в один момент присутствует, а в другой отсутствует; разница между двумя наблюдениями затем дает его величину.

(3) Метод коррекции. Он может попытаться оценить величину мешающего эффекта наилучшим доступным способом, а затем внести соответствующую поправку в результаты наблюдения.

(4) Метод компенсации. Он может изобрести какой-то способ нейтрализации мешающей причины путем уравновешивания ее точно равной и противоположной причиной неизвестной величины.

(5) Метод обращения. Экспериментатор может проводить эксперимент таким образом, чтобы мешающая причина действовала в противоположных направлениях при чередующихся наблюдениях, благодаря чему средний результат будет свободен от помех.

I. Метод предотвращения ошибки.

Астрономы ищут возможности для наблюдений, когда ошибки будут минимально возможными. Несмотря на тщательные наблюдения и длительные теоретические исследования, не представляется возможным установить какой-либо удовлетворительный закон для преломляющей способности атмосферы. Хотя кажущееся изменение положения небесного тела, вызванное рефракцией, может быть вычислено более или менее точно, ошибка зависит от температуры и давления атмосферы, и, когда луч сильно наклонен к перпендикуляру, неопределенность в рефракции становится весьма значительной. Поэтому астрономы всегда проводят свои наблюдения, если это возможно, когда объект находится в высшей точке своего суточного пути, т. е. на меридиане. В некоторых видах исследований, как, например, при определении широты обсерватории, астроном волен выбирать одну или несколько звезд из бесчисленного множества видимых. В таком случае есть очевидное преимущество в выборе звезды, проходящей близко к зениту, чтобы ее можно было наблюдать почти полностью свободной от атмосферной рефракции, как это делал Гук.

Астрономы стремятся сделать свои часы как можно более точными, устраняя источник вариаций. Маятник является идеально изохронным до тех пор, пока его длина остается неизменной, а колебания — строго равными по длине. Они делают его почти неизменным по длине, то есть по расстоянию между центрами подвеса и колебания, с помощью компенсационного устройства для изменения температуры. Но поскольку эта компенсация не может быть выполнена идеально, некоторые астрономы помещают свои главные контрольные часы в погреб или другое помещение, где изменения температуры могут быть как можно более незначительными. В Парижской обсерватории часы были помещены в пещеры под зданием, где нет заметной разницы между летней и зимней температурой.

Чтобы избежать эффекта неравных колебаний, Гюйгенс провел свои прекрасные исследования, которые привели к открытию, что маятник, центр колебаний которого движется по циклоидальной траектории, будет идеально изохронным, независимо от изменения длины колебаний. Но хотя маятник можно легко сделать в некоторой степени циклоидальным с помощью стальной подвесной пружины, выясняется, что механические приспособления, необходимые для создания истинно циклоидального движения, вносят больше ошибок, чем устраняют. Поэтому астрономы стремятся свести ошибку к минимуму, поддерживая равномерное движение маятников своих часов; фактически, пока часы в исправном состоянии и имеют те же гири, изменение длины колебаний должно быть незначительным. Когда маятник не удается заставить колебаться равномерно, как в экспериментах по силе тяжести, становится необходимым прибегнуть к третьему методу, и вводится поправка, рассчитанная на теоретических основаниях исходя из величины наблюдаемого изменения длины колебания.

Упоминалось, что кажущееся расширение жидкости при нагревании, когда она находится в трубке термометра или другом сосуде, представляет собой разницу между реальным расширением жидкости и расширением вмещающего сосуда. Эти эффекты можно точно различить при условии, что мы можем узнать реальное расширение при нагревании любой одной удобной жидкости; ибо, наблюдая кажущееся расширение той же жидкости в любом требуемом сосуде, мы можем по разности узнать величину расширения сосуда из-за любого заданного изменения температуры. Как только мы узнаем изменение размеров сосуда, мы, конечно, можем определить абсолютное расширение любой другой жидкости, испытанной в нем. Таким образом, важнейшей задачей в научных исследованиях стало точное измерение абсолютного расширения при нагревании какой-либо одной жидкости, и ртуть, в силу нескольких обстоятельств, была наиболее подходящей. Дюлонг и Пти разработали прекрасный способ осуществления этого, просто полностью избегая эффекта изменения размера сосуда. Две вертикальные трубки, наполненные ртутью, были соединены тонкой трубкой внизу и поддерживались при двух разных температурах. Поскольку ртуть могла свободно перетекать из одной трубки в другую по соединительной трубке, два столба обязательно оказывали равное давление согласно принципам гидростатики. Следовательно, нужно было только очень точно измерить с помощью катетометра разность уровней поверхностей двух столбов ртути, чтобы узнать разность длин столбов равного гидростатического давления, что сразу дает разность плотности ртути и расширение при нагревании. Изменения размеров вмещающих трубок стали делом совершенно безразличным, и длина столба ртути при разных температурах измерялась так же легко, как если бы он представлял собой твердый стержень. Эксперимент был выполнен Реньо со многими улучшениями в деталях, и абсолютное расширение ртути при температурах от 0° до 350° по Цельсию было определено почти так точно, как это было необходимо.

Наличие большой и неопределенной величины ошибки может сделать метод эксперимента бесполезным. Фуко разработал прекрасный эксперимент с маятником для популярной демонстрации вращения Земли, но он не мог быть использован для точного измерения вращения. Невозможно заставить маятник колебаться в идеальной плоскости, и малейшее боковое движение придает ему эллиптическую траекторию с прогрессивным движением оси эллипса, которое маскирует и часто полностью подавляет движение, обусловленное вращением Земли.

Трудоемкие эксперименты Фарадея по связи гравитации и электричества были сильно затруднены тем фактом, что невозможно переместить большой вес металла, не генерируя токи электричества либо путем трения, либо путем индукции. Отличить электричество, если таковое имеется, непосредственно обусловленное действием гравитации, от больших количеств, косвенно произведенных, было проблемой чрезвычайной сложности. Бейли в своих экспериментах по плотности Земли знал о существовании необъяснимых возмущений, которые с тех пор с большой вероятностью были отнесены к действию электричества. Мастерство и изобретательность экспериментатора часто истощаются в попытках разработать такую форму аппаратуры, в которой подобные причины ошибок были бы сведены к минимуму.

В некоторых элементарных экспериментах мы хотим лишь установить существование количественного эффекта, не измеряя точно его величину; если существуют причины ошибки, величину которых мы не можем ни узнать, ни сделать пренебрежимо малой, лучший способ — сделать их все отрицательными, чтобы количественные эффекты были скорее меньше истины, чем больше. Гроув, например, доказывая, что намагничивание или размагничивание куска железа повышает его температуру, позаботился о том, чтобы поддерживать электромагнит, с помощью которого намагничивалось железо, при более низкой температуре, чем железо, чтобы он скорее охлаждал, чем нагревал железо путем излучения или теплопроводности.

Знаменитый эксперимент Румфорда по доказательству того, что тепло генерируется из механической силы при сверлении пушки, был подвержен трудности, заключавшейся в том, что тепло могло передаваться к пушке путем теплопроводности от соседних тел. Изобретательным приемом Дэви было создание трения с помощью часового механизма, покоящегося на глыбе льда в откачанном сосуде; поскольку температура машины поднималась выше 32°, было несомненно, что тепло не поступало путем теплопроводности от опоры. Во многих других экспериментах лед может быть использован для предотвращения доступа тепла путем теплопроводности, и это устройство, впервые примененное Мюрреем, прекрасно используется в калориметре Бунзена.

Наблюдение истинной температуры воздуха, хотя и кажется таким простым, на самом деле является очень сложным делом, поскольку термометр обязательно подвергается воздействию либо солнечных лучей, либо излучения от соседних объектов, либо утечки тепла в пространство. Эти источники ошибок слишком изменчивы, чтобы допустить исправление, поэтому единственный точный способ действий — это способ, разработанный доктором Джоулем: окружение термометра медным цилиндром, искусно приспособленным к температуре воздуха, как он описал, чтобы эффект излучения был сведен к нулю.

Когда предотвращение ошибки не представляется возможным, все же желательно уменьшить абсолютную величину мешающей ошибки настолько, насколько это возможно, прежде чем применять последующие методы для исправления результата. Как общее правило, мы можем определить величину с меньшей неточностью, если она меньше, так что если сама ошибка мала, то ошибка при определении этой ошибки будет еще более низкого порядка величины. Но в некоторых случаях абсолютная величина ошибки не имеет значения, как в случае с инструментальной ошибкой разделенного круга или разницей между хронометром и астрономическим временем. Даже скорость, с которой часы спешат или отстают, не имеет большого значения, при условии, что она остается постоянной, так что можно сделать верный расчет ее величины.

2. Дифференциальный метод.

Когда мы не можем избежать существования ошибки, мы часто можем с успехом прибегнуть ко второму способу, измеряя явления при таких обстоятельствах, чтобы ошибка оставалась почти одинаковой во всех наблюдениях и нейтрализовала сама себя в отношении поставленных целей. Этот способ доступен всякий раз, когда нам нужна разница между величинами, а не абсолютная величина каждой из них. Определение параллакса неподвижных звезд чрезвычайно затруднительно, потому что величина параллакса гораздо меньше большинства поправок на атмосферную рефракцию, нутацию, аберрацию, прецессию, инструментальные неровности и т. д., и с трудом может быть обнаружена среди этих явлений различной величины. Но, как давно предложил Галилей, всех таких трудностей можно было бы избежать путем дифференциального наблюдения звезд, которые, хотя и кажутся близкими друг к другу, на самом деле далеко разделены на линии зрения. Две такие звезды в близкой кажущейся близости будут подвержены почти в точности равным ошибкам, так что все, что нам нужно сделать, — это наблюдать кажущееся изменение положения более близкой звезды по отношению к более далекой. Хороший телескоп, снабженный точным микрометром, — это все, что нужно для применения этого метода. Гюйгенс, по-видимому, был первым наблюдателем, который действительно попытался применить этот метод на практике, но только в 1835 году улучшение телескопов и микрометров позволило Струве обнаружить таким образом параллакс звезды α Лиры. Одно из многих преимуществ наблюдения прохождений Венеры для определения солнечного параллакса заключается в том, что рефракция атмосферы влияет в точно равной степени на планету и на ту часть диска Солнца, по которой она проходит. Таким образом, наблюдения носят строго дифференциальный характер.

С помощью процесса взвешивания подстановкой можно установить равенство или неравенство двух весов почти с полным отсутствием ошибок. Если два веса A и B помещены на чаши лучших весов, мы не можем быть уверены, что равновесие коромысла указывает на точное равенство, потому что плечи коромысла могут быть неравными или несбалансированными. Но если мы вынем B и положим другой вес C, и равновесие все еще существует, очевидно, что одни и те же причины ошибочного взвешивания существуют в обоих случаях, при условии, что весы не были расстроены; тогда B должно быть в точности равно C, поскольку оно оказывает точно такой же эффект при тех же обстоятельствах. Подобным образом, общее правило гласит: если с помощью какого-либо равномерного механического процесса мы получаем копию объекта, маловероятно, что эта копия будет в точности такой же, как оригинал по величине и форме, но две копии будут одинаково отклоняться от оригинала и поэтому будут почти в точности походить друг на друга.

Дифференциальный термометр Лесли был хорошо приспособлен для экспериментов, для которых он был изобретен. Имея два равных баллона, любое изменение температуры воздуха будет действовать одинаково путем теплопроводности на каждый из них и не вызовет изменений в показаниях прибора. Только то лучистое тепло, которое целенаправленно направляется на один из баллонов, произведет какой-либо эффект. Этот термометр, короче говоря, осуществляет принцип дифференциального метода механическим образом.

3. Метод коррекции.

Всякий раз, когда на результат эксперимента влияет мешающая причина в поддающейся расчету величине, достаточно прибавить или вычесть эту величину. Говорят, что мы исправляем наблюдения, когда таким образом устраняем то, что обусловлено посторонними причинами, хотя, конечно, мы лишь отделяем правильные эффекты нескольких агентов. Изменение высоты барометра частично обусловлено изменением температуры, но поскольку коэффициент абсолютного расширения ртути был точно определен, как уже описано (стр. 341), нам остается только произвести расчеты простого характера или, что еще лучше, составить таблицу ряда таких расчетов для общего пользования, и поправка на температуру может быть сделана со всей желаемой точностью. На высоту ртути в барометре также влияет капиллярное притяжение, которое понижает ее на постоянную величину, зависящую главным образом от диаметра трубки. Необходимые поправки могут быть оценены с точностью, достаточной для большинства целей, тем более что мы можем проверить правильность показаний барометра путем сравнения со стандартным барометром и ввести, если нужно, инструментальную ошибку, включающую как ошибку при прикреплении шкалы, так и эффект, обусловленный капиллярностью. Но при создании самого стандартного барометра мы должны принять большие меры предосторожности; капиллярное понижение несколько зависит от качества стекла, отсутствия воздуха и идеальной чистоты ртути, так что мы не можем назначить точную величину эффекта. Поэтому стандартный барометр конструируется с широкой трубкой, иногда даже дюймового диаметра, чтобы капиллярный эффект мог быть сведен почти к нулю. Гей-Люссак изготавливал барометры в форме равномерной сифонной трубки, чтобы капиллярные силы, действующие на верхней и нижней поверхностях, уравновешивали и уничтожали друг друга; но метод терпит неудачу на практике, потому что нижняя поверхность, будучи открытой для воздуха, загрязняется и подвергается воздействию иной силы капиллярности.

В механических экспериментах трение является мешающим условием и поглощает часть энергии, предназначенной для использования определенным образом. Мы должны, конечно, в первую очередь уменьшить трение до минимально возможной величины, но поскольку его нельзя полностью предотвратить и оно не поддается расчету с уверенностью на основе каких-либо общих законов, мы должны определять его отдельно для каждого аппарата с помощью подходящих экспериментов. Так, Смитон в своих замечательных, но почти забытых исследованиях, касающихся водяных колес, устранил трение самым простым способом, определив опытным путем, какой вес, действуя через шнур и ролик на его модель водяного колеса, заставит его вращаться без воды так же быстро, как вода заставляла его вращаться. Короче говоря, он установил, какой вес, действуя совместно с водой, будет в точности компенсировать трение. В экспериментах доктора Джоуля по определению механического эквивалента тепла путем конденсации воздуха значительное количество тепла производилось трением конденсационного насоса, а небольшая часть — перемешиванием воды, используемой для поглощения тепла. Это тепло трения измерялось путем простого повторения эксперимента в точно такой же манере, за исключением того, что конденсация не производилась, и наблюдения за изменением температуры, которое тогда возникало.

Мы можем описать как тестовые эксперименты любые, в которых мы выполняем операции, не предназначенные для получения величины основного явления, а некоторую величину, которая в противном случае осталась бы как ошибка в результате. Так, в астрономических наблюдениях почти любой инструментальной ошибки можно избежать, увеличивая количество наблюдений и распределяя их таким образом, чтобы получить в конечном среднем значении столько же ошибок в одну сторону, сколько и в другую. Но есть один источник ошибки, впервые обнаруженный Маскелайном, которого нельзя избежать таким образом, потому что он влияет на все наблюдения в одном и том же направлении и на одну и ту же среднюю величину, а именно Личная ошибка наблюдателя или склонность записывать прохождение звезды через нити телескопа немного слишком рано или немного слишком поздно. Эта личная ошибка была впервые тщательно описана в Edinburgh Journal of Science, том i, стр. 178. Разница между суждениями наблюдателей в Гринвичской обсерватории обычно варьируется от 1/100 до 1/3 секунды и остается довольно постоянной для одних и тех же наблюдателей. Один опытный наблюдатель в экспериментах с маятником сэра Джорджа Эйри записывал все свои временные наблюдения в среднем на полсекунды раньше по сравнению с главным наблюдателем. У некоторых наблюдателей она доходила до семи или восьми десятых секунды. Де Морган, по-видимому, придерживался мнения, что этот источник ошибки по существу не поддается устранению или исправлению. Но представляется ясным, как я предположил, не зная, что было сделано, что эта личная ошибка может быть определена абсолютно с любой желаемой степенью точности с помощью тестовых экспериментов, состоящих в том, чтобы заставить искусственную звезду двигаться на значительном расстоянии и записывать с помощью электричества точный момент ее прохождения через нить. Этот метод на самом деле был успешно применен в Лейдене, Париже и Невшателе. Совсем недавно наблюдатели проходили подготовку для экспедиций по наблюдению прохождения Венеры с помощью механической модели, представляющей движение Венеры по Солнцу, причем эта модель была помещена на небольшом расстоянии и рассматривалась через телескоп, так что различия в суждениях разных наблюдателей становились очевидными. Представляется вероятным, что тесты такого рода могли бы с успехом применяться и в других случаях.

Ньютон использовал маятник для проведения экспериментов по удару шаров. Два шара были подвешены в соприкосновении, и один из них, будучи отведенным в сторону на измеренную дугу, затем был отпущен, чтобы ударить другой, причем дуги колебаний давали достаточные данные для расчета распределения энергии в момент удара. Сопротивление воздуха было мешающей причиной, которую он оценил очень просто, заставив один из шаров совершить несколько полных колебаний без удара, а затем отметив уменьшение длин дуг, соответствующая доля которого была добавлена к каждой из других дуг колебаний, когда происходил удар.

Точное определение стандарта длины — один из самых важных, как и один из самых сложных вопросов в физической науке, и различная практика разных наций вносит ненужную путаницу. Если бы все стандарты были сконструированы так, чтобы давать истинную длину при фиксированной равномерной температуре, например, при точке замерзания, тогда любые два стандарта можно было бы сравнить без вмешательства температуры, приведя их оба к точно одной и той же фиксированной температуре. К сожалению, французский метр был определен платиновой линейкой при 0°C, в то время как наш ярд был определен бронзовой линейкой при 62°F. Таким образом, совершенно невозможно сравнить ярд и метр без введения поправки либо на расширение платины, либо бронзы, либо того и другого. Металлические стержни также слишком сильно различаются по скорости расширения в зависимости от их молекулярного состояния, поэтому опасно делать выводы от одного стержня к другому.

Когда мы начинаем использовать инструменты с большой точностью, существует много мелких источников ошибок, от которых необходимо предохраняться. Если термометр был градуирован в вертикальном положении, он будет показывать несколько иначе, если его положить горизонтально, так как давление столба ртути снимается с баллона. Показание также может быть несколько изменено, если он недавно был нагрет до более высокой температуры, чем обычно, если он помещен под вакуумный колпак или если трубка нагрета неравномерно по сравнению с баллоном. Для этих мелких причин ошибок нам, возможно, придется вводить обременительные поправки, если мы не примем простую предосторожность использовать термометр в условиях положения и т. д., в точности аналогичных тем, в которых он был градуирован. Нет конца количеству мелких поправок, которые в конечном итоге могут потребоваться. Большое количество экспериментов с газами, стандартными весами и мерами и т. д. зависит от высоты барометра; но когда сравниваются эксперименты в разных частях мира, мы должны, в качестве дальнейшего уточнения, принимать во внимание изменяющуюся силу тяжести, которая даже между Лондоном и Парижем дает разницу в 0,008 дюйма ртутного столба.

Измерение количества тепла — дело большой сложности, потому что нет известного вещества, непроницаемого для тепла, и поэтому задача так же сложна, как измерение жидкостей в пористых сосудах. Чтобы определить скрытую теплоту пара, мы должны сконденсировать определенное количество пара в известном весе воды, а затем наблюдать повышение температуры воды. Но пока мы проводим эксперимент, часть тепла будет уходить путем излучения и теплопроводности из конденсирующего сосуда или калориметра. Мы можем, конечно, уменьшить потерю тепла, используя сосуды с двойными стенками и яркими поверхностями, окруженные лебяжьим пухом или другими непроводящими материалами; и мы можем также избегать повышения температуры воды намного выше температуры окружающего воздуха. Однако мы не можем никакими такими средствами сделать потерю тепла незначительной. Румфорд изобретательно предложил свести потерю к нулю, начиная эксперимент, когда температура калориметра настолько же ниже температуры воздуха, насколько она в конце эксперимента выше ее. Таким образом, сосуд сначала будет получать, а затем терять тепло путем излучения и теплопроводности, и эти противоположные ошибки будут приблизительно уравновешивать друг друга. Но Реньо показал, что потеря и получение тепла не происходят по в точности одинаковым законам, поэтому в очень точных исследованиях метод Румфорда недостаточен. Остается метод коррекции, который был прекрасно осуществлен Реньо при определении скрытой теплоты пара. Он использовал два калориметра, изготовленные в точности одинаковым образом и попеременно используемые для конденсации определенного количества пара, так что пока один измерял скрытую теплоту, другой калориметр был занят определением поправок, которые должны быть применены, будь то из-за излучения и теплопроводности от сосуда или из-за тепла, достигающего сосуда с помощью соединительных труб.

4. Метод компенсации.

Существует много случаев, в которых причину ошибки нельзя удобно свести к нулю, и она все еще находится вне досягаемости третьего метода — метода расчета необходимой поправки на основе независимых наблюдений. Величина ошибки может быть подвержена постоянным изменениям из-за смены погоды или других непостоянных обстоятельств, находящихся вне нашего контроля. Может быть либо непрактично наблюдать изменение этих обстоятельств с достаточной детализацией, либо, если они наблюдаются, расчет величины ошибки может быть подвержен сомнению. В этих случаях, и только в этих случаях, будет желательно изобрести какой-либо искусственный способ противопоставления переменной ошибки равной ошибке, подверженной точно такому же изменению.

Мы не можем взвесить объект с большой точностью, если не сделаем поправку на вес воздуха, вытесненного объектом, и не прибавим ее к кажущемуся весу. В очень точных исследованиях, касающихся стандартных весов, принято отмечать показания барометра и термометра во время взвешивания и, исходя из измеренных объемов сравниваемых объектов, рассчитывать вес вытесненного воздуха; фактически принимается третий метод. Производить эти расчеты при частых взвешиваниях, необходимых в химическом анализе, было бы чрезвычайно трудоемко, поэтому поправкой обычно пренебрегают. Но когда химик хочет взвесить газ, содержащийся в большом стеклянном шаре, с целью определения его удельного веса, поправка становится весьма важной. Поэтому химики сразу избегают ошибки и труда по ее исправлению, прикрепляя к противоположной чаше весов пустой запаянный стеклянный шар равной емкости с тем, который содержит взвешиваемый газ, отмечая только разницу в весе, когда рабочий шар полон и пуст. Поправкой, будучи одинаковой для обоих шаров, можно полностью пренебречь.

Устройство почти такого же рода используется при конструировании гальванометров, которые измеряют силу электрического тока по отклонению подвешенной магнитной стрелки. Сопротивление стрелки частично обусловлено направляющим влиянием земного магнетизма, а частично — кручением нити. Но первая сила часто может быть неудобно большой, а также хлопотной для определения при различных наклонах. Поэтому принято соединять вместе две одинаково намагниченные стрелки, полюса которых направлены в противоположные стороны, причем одна стрелка находится внутри, а другая — снаружи катушки провода. Что касается земного магнетизма, то стрелки теперь астатичны или безразличны, так как стремление одной стрелки к полюсу уравновешивается стремлением другой.

Изящный пример устранения возмущающей силы путем компенсации можно найти в исследованиях Фарадея по магнетизму газов. Наблюдать магнитное притяжение или отталкивание газа кажется невозможным, если мы не заключим газ в оболочку, вероятно, лучше всего сделанную из стекла. Но любая такая оболочка обязательно будет в большей или меньшей степени подвержена влиянию магнита, так что становится трудно различить три силы, которые входят в проблему, а именно: магнетизм рассматриваемого газа, магнетизм оболочки и магнетизм окружающего атмосферного воздуха. Фарадей избежал всех трудностей, используя две равные и подобные стеклянные трубки, соединенные вместе и подвешенные на плече крутильных весов так, что трубки находились в подобных частях магнитного поля. Когда одна трубка была наполнена азотом, а другая — кислородом, было обнаружено, что кислород, по-видимому, притягивается, а азот отталкивается. Подвесная нить весов затем поворачивалась до тех пор, пока сила кручения не возвращала трубки в их первоначальное положение, где магнетизм трубок, а также окружающего воздуха, будучи одинаковым и действующим в противоположных направлениях на две трубки, не мог вызвать никаких помех. Сила, необходимая для возвращения трубок, измерялась величиной кручения нити, и она правильно указывала разницу между силами притяжения кислорода и азота. Затем кислород был удален из одной из трубок, и был проведен второй эксперимент, чтобы сравнить вакуум с азотом. Теперь не требовалось никакой силы для удержания трубок на своих местах, так что было обнаружено, что азот, приблизительно говоря, безразличен к магниту, то есть ни магнитен, ни диамагнитен, в то время как было доказано, что кислород является положительно магнитным. Потребовалось высочайшее экспериментальное мастерство со стороны Фарадея и Тиндаля, чтобы различить, что является кажущимся, а что реальным в магнитном притяжении и отталкивании.

Только опыт может окончательно решить, способствует ли компенсационное устройство точности. Как общее правило, механическая компенсация — это последнее средство, и в более точных наблюдениях она, вероятно, вносит больше неопределенности, чем устраняет. Было разработано множество инструментов, включающих механическую компенсацию, но они обычно носят ненаучный характер, потому что компенсируемые ошибки могут быть более точно определены и учтены. Но есть исключения из этого правила, и, по-видимому, доказано, что в деликатной и утомительной операции измерения базовой линии неизменные стержни, компенсированные для расширения при нагревании, дают наиболее точные результаты. Это происходит из-за того, что очень трудно точно определить температуру измерительных стержней при изменяющихся условиях погоды и манипуляций. Опять же, последнее уточнение в измерении времени в Гринвичской обсерватории зависит от механической компенсации. Сэр Джордж Эйри, заметив, что стандартные часы увеличивают свою скорость отставания на 0,30 секунды при увеличении атмосферного давления на один дюйм, поместил магнит, приводимый в движение барометром, в такое положение под маятником, чтобы почти полностью нейтрализовать эту причину нерегулярности. Полным средством, однако, было бы полное устранение причины ошибки путем помещения часов в вакуумный корпус.

Таким образом, мы видим, что выбор того или иного способа устранения ошибки зависит исключительно от обстоятельств и поставленной цели; но мы можем с уверенностью сформулировать следующие выводы. Прежде всего, стремитесь полностью избежать источника ошибки, если это можно удобно сделать; если нет, проводите эксперимент так, чтобы ошибка была как можно меньшей, но, что особенно важно, как можно более постоянной. Если имеются средства для определения ее величины путем расчета на основе других экспериментов и принципов науки, позвольте ошибке существовать и внесите поправку в результат. Если это нельзя сделать точно или это требует слишком много труда для поставленных целей, тогда внесите противодействующую ошибку, которая должна быть как можно ближе по величине при всех обстоятельствах к той, которую нужно устранить. Однако остается еще один важный метод — метод обращения, который послужит подходящим переходом к последующим главам о методе средних результатов и законе ошибок.

5. Метод обращения.

Пятый метод устранения ошибок является наиболее мощным и удовлетворительным, когда его можно применить, но он требует, чтобы мы могли обратить аппаратуру и способ действий, чтобы заставить мешающую причину действовать попеременно в противоположных направлениях. Если мы можем получить два экспериментальных результата, один из которых настолько же больше, насколько другой меньше, ошибка равна половине разности, а истинный результат — это среднее арифметическое двух кажущихся результатов. Неизбежным дефектом химических весов, например, является то, что точки подвеса чашек не могут быть зафиксированы на в точности равных расстояниях от центра подвеса коромысла. Поэтому два веса, которые, по-видимому, уравновешивают друг друга, никогда не будут в действительности совсем равны. Разница обнаруживается путем обращения весов, и ее можно оценить, добавляя небольшие веса на недостающую сторону для восстановления равновесия, а затем принимая за истинный вес геометрическое среднее двух кажущихся весов одного и того же объекта. Если разница мала, то арифметическое среднее, то есть половина суммы, может быть подставлено вместо геометрического среднего, от которого оно не будет заметно отличаться.

Этот метод обращения наиболее широко используется в практической астрономии. Кажущаяся высота небесного тела наблюдается с помощью телескопа, движущегося по разделенному кругу, на котором считывается наклон телескопа. Теперь это показание будет ошибочным, если круг и телескоп не имеют в точности один и тот же центр. Но если мы одновременно считываем оба конца телескопа, одно показание будет примерно настолько же меньше, насколько другое больше, и среднее значение будет почти свободно от ошибок. На практике наблюдение проводится иначе, но принцип тот же; телескоп прикреплен к кругу, который движется вместе с ним, и угол, на который он перемещается, считывается в трех, шести или более точках, расположенных через равные интервалы вокруг круга. Старые астрономы, вплоть до времени Флемстида, привыкли использовать только части разделенного круга, обычно квадранты, и Рёмер сделал огромное улучшение, когда ввел полный круг.

Транзитный круг, используемый для определения прохождения небесных тел через меридиан, сконструирован таким образом, что телескоп и ось, несущая его, фактически вся движущаяся часть инструмента, могут быть вынуты из опорных гнезд и перевернуты, так что то, что раньше было западной цапфой, становится восточной, и наоборот. Невозможно, чтобы инструмент был настолько идеально сконструирован, смонтирован и отрегулирован, чтобы телескоп указывал в точности на меридиан, но эффект обращения заключается в том, что он будет указывать настолько же на запад в одном положении, насколько на восток в другом, и средний результат наблюдений в двух положениях должен быть свободен от такой причины ошибки.

Точность, с которой может быть определен наклон стрелки компаса, зависит почти полностью от метода обращения. Инклинатор состоит из стержня намагниченной стали, подвешенного несколько подобно коромыслу чувствительных весов на тонкой оси, проходящей через центр тяжести стержня, так что он может свободно покоиться в той точной степени наклона в магнитном меридиане, которую вызывает магнетизм Земли. Наклон считывается на вертикальном разделенном круге, но чтобы избежать ошибки, возникающей из-за центрирования стрелки и круга, считываются оба конца, и берется среднее значение результатов. Весь инструмент теперь осторожно поворачивается на 180°, что заставляет стрелку принять новое положение относительно круга и дает два новых показания, в которых любая ошибка, обусловленная неправильным положением нуля деления, будет обращена. Поскольку ось стрелки может быть не в точности горизонтальной, она теперь обращается таким же образом, как транзитный инструмент, причем конец оси, который раньше указывал на восток, заставляют указывать на запад, и берется новый набор из четырех показаний.

Наконец, ошибка может возникнуть из-за того, что ось не проходит в точности через центр тяжести стержня, и эту ошибку можно обнаружить и устранить только при изменении магнитных полюсов стержня путем применения сильного магнита. Таким образом, ошибка заставляется действовать в противоположных направлениях. Для обеспечения всей возможной точности каждое обращение должно быть объединено с каждым другим обращением, так что стрелка будет наблюдаться в восьми различных положениях по шестнадцати показаниям, среднее значение которых даст требуемый наклон, свободный от всех устранимых ошибок.

Существуют определенные случаи, в которых возмущающую причину можно легко заставить действовать в противоположных направлениях при чередующихся наблюдениях, так что среднее значение результатов будет свободно от возмущений. Так, в прямых экспериментах по скорости звука при прохождении через воздух между станциями, находящимися на расстоянии двух или трех миль друг от друга, ветер является причиной ошибки. Будет хорошо, в первую очередь, выбрать время для эксперимента, когда воздух почти неподвижен, а возмущение незначительно, но если в тот же момент сигнальные звуки будут издаваться на каждой станции и наблюдаться на другой, два звука будут проходить в противоположных направлениях через одну и ту же массу воздуха, и ветер будет ускорять один звук почти в точности так же, как он замедляет другой. Опять же, в тригонометрических съемках кажущаяся высота точки будет зависеть от атмосферной рефракции и кривизны Земли. Но если в случае двух точек наблюдается кажущаяся высота каждой из них, видимая с другой, поправки будут одинаковыми по величине, но обратными по направлению, и среднее значение между двумя кажущимися разностями высот даст истинную разницу уровней.

В следующих двух главах мы фактически продолжаем применение метода обращения к более сложным задачам.

ГЛАВА XVI. МЕТОД СРЕДНИХ.

Все результаты измерения непрерывной величины могут быть лишь приблизительно истинными. Если бы это утверждение подверглось сомнению, его можно было бы легко доказать прямым опытом. Если какой-либо человек, используя инструмент величайшей точности, делает и регистрирует последовательные наблюдения беспристрастным образом, почти неизменно обнаруживается, что результаты отличаются друг от друга. Когда мы действуем с достаточной осторожностью, мы не можем выполнить такой простой эксперимент, как взвешивание объекта на хороших весах, не получив расходящихся чисел. Только грубый и небрежный экспериментатор будет думать, что его наблюдения согласуются, но в действительности обнаружится, что он упускает из виду различия. Самые тщательные исследования, такие как те, что предпринимаются в связи со стандартными весами и мерами, всегда делают очевидным, что полное совпадение исключено и что чем точнее становятся наши способы наблюдения, тем многочисленнее становятся источники мелких ошибок, которые становятся заметными. Мы можем рассматривать существование ошибки во всех измерениях как нормальное состояние вещей. Абсолютно невозможно устранить отдельно множество мелких возмущающих влияний, кроме как уравновешивая их друг против друга. Даже при выведении среднего значения следует ожидать, что мы приблизимся к истине, а не попадем в нее в точности. При измерении непрерывной величины абсолютное совпадение, если оно кажется имеющим место, должно быть только кажущимся и не является признаком точности. Одна из самых неловких вещей, с которыми мы можем столкнуться, — это когда экспериментальные результаты согласуются слишком тесно. Такие совпадения должны вызывать у нас подозрение, что используемый аппарат каким-то образом ограничен в своей работе, так что он на самом деле вообще не дает истинного результата, или что фактические результаты не были добросовестно записаны помощником, отвечающим за аппарат.

Если тогда мы не можем получить дважды в точности один и тот же результат, возникает вопрос: как мы можем когда-либо достичь истины или выбрать результат, который можно предположить наиболее близким к ней? Количество определенного явления выражается в нескольких числах, которые отличаются друг от друга; не более одного из них в лучшем случае может быть истинным, и более вероятно, что все они ложны. Может быть предложено, возможно, чтобы наблюдатель выбрал одно наблюдение, которое он счел наиболее хорошо выполненным, и, несомненно, часто будет возникать чувство, что один или несколько результатов были удовлетворительными, а другие — менее заслуживающими доверия. По-видимому, именно этот курс был принят ранними астрономами. Флемстид, когда он сделал несколько наблюдений звезды, вероятно, выбрал произвольным образом то, которое показалось ему наиболее близким к истине.

Когда Хоррокс выбрал для своей оценки полудиаметра Солнца среднее значение между результатами Кеплера и Тихо, он заявил, что сделал это не из-за какого-либо уважения к праздной пословице «Medio tutissimus ibis» («Средним путем пойдешь безопаснее»), а потому, что он считал его правильным на основе своих собственных наблюдений. Но этот метод совсем не применим, когда наблюдатель сделал ряд измерений, которые, по его мнению, одинаково хороши, и совершенно очевидно, что при использовании инструмента или аппарата значительной сложности наблюдатель не обязательно сможет судить, повлияли ли на его работу незначительные причины или нет.

В этом вопросе, как, впрочем, и во всей индуктивной логике, мы имеем дело только с вероятностями. Не существует непогрешимого способа прийти к абсолютной истине, которая лежит за пределами досягаемости человеческого интеллекта и может быть лишь отдаленным объектом наших длительных и мучительных приближений. Тем не менее, существует способ, указанный как здравым смыслом, так и высшим математическим рассуждением, который с большей вероятностью, чем любой другой, как общее правило, приведет нас к истине. «ἄριστον μέτρον» (лучшая мера) или «aurea mediocritas» (золотая середина) высоко ценились в древней философии Греции и Рима; но маловероятно, чтобы кто-либо из древних был способен ясно проанализировать и выразить причины, по которым они отстаивали среднее как самый безопасный путь. Но в последние два столетия этот, казалось бы, простой вопрос о среднем оказался полем для упражнения величайшего математического мастерства. Роджер Котс, редактор «Principia», по-видимому, имел некоторое представление о ценности среднего; но глубокие математики, такие как Де Муавр, Даниил Бернулли, Лаплас, Лагранж, Гаусс, Кетле, Де Морган, Эйри, Лесли Эллис, Буль, Глейшер и другие, едва ли исчерпали эту тему.

Несколько способов использования среднего результата.

Устранение ошибок неизвестных источников почти всегда достигается простым арифметическим процессом взятия среднего, или, как его часто называют, среднего значения нескольких расходящихся чисел. Взять среднее — значит сложить несколько величин вместе и разделить на количество сложенных таким образом величин, что дает частное, лежащее среди или посередине нескольких величин. Однако, прежде чем полностью исследовать основания этой процедуры, важно заметить, что этот один арифметический процесс на самом деле применяется по крайней мере в трех разных случаях, для разных целей и на разных принципах, и мы должны быть очень осторожны, чтобы не перепутать одно применение процесса с другим. Средний результат, таким образом, может иметь любое из следующих значений.

(1) Он может давать просто репрезентативное число, выражающее общую величину ряда количеств и служащее удобным способом сравнения их с другими рядами количеств. Такое число правильно называется фиктивным средним или средним результатом.

(2) Он может давать результат, приблизительно свободный от возмущающих величин, которые, как известно, влияют на некоторые результаты в одном направлении, а на другие результаты — в равной степени в противоположном направлении. Мы можем сказать, что в этом случае мы получаем точный средний результат.

(3) Он может давать результат, более или менее свободный от неизвестных и неопределенных ошибок; это мы можем назвать вероятным средним результатом.

Из этих трех способов использования среднего первый совершенно отличается по своей природе от двух последних, поскольку он не дает приближения к какой-либо естественной величине, а предоставляет нам арифметический результат, сравнивающий совокупность определенных величин с их количеством. Третье использование среднего полностью опирается на теорию вероятностей и будет более полно рассмотрено в более поздней части этой главы. Второе использование тесно связано или даже идентично методу обращения, уже описанному, но будет желательно несколько полно рассмотреть все три применения одного и того же арифметического процесса.

Среднее и среднее значение.

Существует большая путаница в популярном или даже научном использовании терминов «mean» (среднее) и «average» (среднее значение), и они обычно принимаются как синонимы. Необходимо тщательно выяснить, какие значения мы должны им придавать. Английское слово «mean» эквивалентно «medium», будучи производным, возможно, через французское «moyen», от латинского «medius», которое, в свою очередь, несомненно, родственно греческому «μεσος». Этимологи также полагают, что это греческое слово связано с предлогом «μετα», немецким «mitte» и истинно английским «mid» или «middle»; так что в конце концов «mean» — это технический термин, идентичный по своему корню с более популярным эквивалентом «middle» (середина).

Если мы спросим, что такое среднее с математической точки зрения, истинный ответ заключается в том, что существует несколько или много видов средних. Старые арифметики признавали десять видов, которые изложены Боэцием, а одиннадцатый был добавлен Иорданом.

Среднее арифметическое — это то, которое гораздо чаще всего обозначается этим термином, и то, которое мы можем понимать как означающее его в отсутствие какой-либо квалификации. Это сумма ряда величин, деленная на их количество, и может быть представлена формулой 1/2(a + b). Но существует также среднее геометрическое, которое является квадратным корнем из произведения, √a × b, или та величина, логарифм которой является средним арифметическим логарифмов величин. Существует также среднее гармоническое, которое является обратной величиной среднего арифметического обратных величин. Таким образом, если a и b — величины, как и раньше, их обратные величины — 1/a и 1/b, среднее которых равно 1/2(1/a + 1/b), а обратная величина снова равна 2ab / a + b, что является средним гармоническим. Другие виды средних, несомненно, могли бы быть изобретены для конкретных целей, и мы могли бы применить этот термин, как указал Де Морган, к любой величине, функция которой равна функции двух или более других величин, и является такой, что перестановка этих последних величин между собой не внесет никаких изменений в значение функции. Символически, если Φ (y, y, y....) = Φ (x1, x2, x3....), то y — это вид среднего величин x1, x2 и т. д.

Среднее геометрическое обязательно принимается в определенных случаях. Когда мы оцениваем работу, совершаемую против силы, которая изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния от фиксированной точки, средняя сила — это среднее геометрическое между силами в начале и конце пути. Когда в несовершенных весах мы обращаем веса для устранения ошибки, истинный вес будет средним геометрическим двух кажущихся весов. Почти во всех расчетах статистики и коммерции, строго говоря, следует использовать среднее геометрическое. Если товар повышается в цене на 100 процентов, а другой остается неизменным, средний рост цены не составляет 50 процентов, потому что отношение 150 : 200 не то же самое, что 100 : 150. Среднее отношение равно единице к √1,00 × 2,00 или 1 к 1,41. Разница между тремя видами средних в таком случае весьма значительна; в то время как рост цены, оцененный по среднему арифметическому, составил бы 50 процентов, он составил бы только 41 и 33 процента соответственно согласно среднему геометрическому и гармоническому.

Во всех расчетах, касающихся средней скорости прогресса сообщества или любой из его операций, следует использовать среднее геометрическое. Ибо если величина увеличивается на 100 процентов за 100 лет, она не будет в среднем увеличиваться на 10 процентов каждые десять лет, так как 10 процентов будут в конце каждого десятилетия рассчитываться на все большие и большие величины и дадут в конце 100 лет гораздо больше, чем 100 процентов, фактически целых 159 процентов. Истинная средняя скорость в каждом десятилетии была бы 10√2 или около 1,07, то есть увеличение составило бы около 7 процентов каждые десять лет. Но когда величины различаются очень мало, среднее арифметическое и геометрическое приблизительно одинаковы. Так, среднее арифметическое 1,000 и 1,001 равно 1,0005, а среднее геометрическое — около 1,0004998, причем разница составляет порядок, пренебрежимо малый почти во всех научных и практических вопросах. Даже при сравнении стандартных весов методом обращения Гаусса среднее арифметическое обычно может быть подставлено вместо среднего геометрического, которое является истинным результатом.

Рассматривая среднее значение в отсутствие прямого уточнения об обратном как обычное арифметическое среднее, мы все же должны различать два его применения: когда оно дает с большей или меньшей точностью и вероятностью действительно существующую величину, и когда оно выступает лишь как представитель других величин. Если я провожу множество экспериментов для определения атомного веса элемента, существует некое число, к которому я стремлюсь приблизиться, и среднее значение моих отдельных результатов будет, при отсутствии каких-либо причин для обратного, наиболее вероятным приближенным результатом. Когда мы определяем среднюю плотность Земли, это происходит не потому, что какая-либо часть Земли имеет именно такую плотность; может не существовать части, точно соответствующей средней плотности, и, поскольку земная кора имеет лишь около половины средней плотности, внутреннее вещество земного шара, конечно, должно быть выше среднего. Даже плотность однородного вещества, такого как углерод или золото, должна рассматриваться как среднее между реальной плотностью его атомов и нулевой плотностью промежуточного вакуумного пространства.

Совершенно различное значение слова «среднее» в этих двух случаях было полностью объяснено Кетле, а важность этого различия была отмечена сэром Джоном Гершелем в рецензии на его работу. Весьма желательно, чтобы ученые обозначали это различие, используя слово «среднее» (mean) только в первом смысле, когда оно обозначает приближение к определенной существующей величине, и «среднее арифметическое» (average), когда среднее является лишь фиктивной величиной, используемой для удобства мышления и выражения. Этимология слова «average» несколько неясна, но, согласно Де Моргану, оно происходит от averia, «имущество или владения», особенно применительно к сельскохозяйственному скоту. В силу случайностей языка averagium стало означать труд сельскохозяйственных лошадей, на который имел право лорд, и, вероятно, таким образом оно приобрело понятие распределения целого на части — смысл, в котором оно рано стало применяться к морским авариям или взносам других владельцев груза тем, чьи товары были выброшены за борт или использованы для безопасности судна.

О среднем арифметическом или фиктивном среднем.

Хотя среднее арифметическое при использовании в своем собственном смысле фиктивного среднего не представляет никакой реально существующей величины, оно тем не менее имеет высочайшее научное значение, позволяя нам охватить в одном результате множество деталей. Оно позволяет нам произвести гипотетическое упрощение задачи и избежать сложности, не совершая ошибки. Вес тела есть сумма весов бесконечно малых частиц, каждая из которых действует в разных местах, так что механическая задача, строго говоря, сводится к бесконечному числу отдельных задач. Мы обязаны Архимеду первым введением прекрасной идеи о том, что в гравитирующем теле может быть обнаружена одна точка, такая, что вес всех частиц может рассматриваться как сосредоточенный в этой точке, и при этом поведение всего тела будет точно представлено поведением этой тяжелой точки. Этот центр тяжести может находиться внутри тела, как в случае со сферой, или в пустом пространстве, как в случае с кольцом. Можно представить, что любые два тела, соединенные или раздельные, имеют центр тяжести; центр тяжести Солнца и Земли лежит внутри Солнца, всего в 267 милях от его центра.

Хотя мы чаще всего используем понятие центра или средней точки применительно к гравитации, то же самое понятие применимо и к другим случаям. Земная гравитация — это случай приблизительно параллельных сил, а центр тяжести — лишь частный случай более общего центра параллельных сил. Везде, где ряд сил любой величины действует по параллельным линиям, можно обнаружить точку, в которой алгебраическая сумма сил может быть представлена как действующая с точно таким же эффектом. Вода в цистерне давит на стенку с давлением, изменяющимся в зависимости от глубины, но всегда в направлении, перпендикулярном стенке. Мы можем тогда представить все давление как приложенное к одной точке, которая будет находиться на одной трети расстояния от дна цистерны и может быть названа центром давления. Центр качания маятника, открытый Гюйгенсом, — это та точка, в которой весь вес маятника может считаться сосредоточенным без изменения времени качания (стр. 315). Когда одно тело ударяет другое, центр удара — это та точка в ударяющем теле, в которой вся его масса могла бы быть сосредоточена без изменения эффекта удара. По своему положению центр удара не отличается от центра качания. Математики также описали центр вращения, центр преобразования, центр трения и т. д.

Мы должны тщательно различать те случаи, в которых может быть назначен неизменный центр, и те, в которых это невозможно. В строгом смысле слова, не существует такого понятия, как истинный неизменный центр тяжести. Как общее правило, тело способно обладать неизменным центром только для идеально параллельных сил, а гравитация никогда не действует по абсолютно параллельным линиям. Таким образом, как обычно, мы обнаруживаем, что наши концепции верны лишь гипотетически и применимы к реальным обстоятельствам лишь приблизительно. Существуют, действительно, определенные геометрические формы, называемые центробарическими, такие, что тело такой формы притягивало бы другое точно так же, как если бы масса была сосредоточена в центре тяжести, независимо от того, действуют ли силы параллельно или нет. Ньютон показал, что однородные сферы материи обладают этим свойством, и эта истина оказалась величайшей важности для упрощения его расчетов. Но это, в конечном счете, чисто гипотетическая истина, потому что мы нигде не можем встретить и не можем построить идеально сферическое и однородное тело. Малейшая неровность или выступ на поверхности разрушат строгую правильность этого допущения. Сфероид, с другой стороны, не имеет неизменного центра, в котором его масса всегда могла бы считаться сосредоточенной. Точка, из которой действует его результирующее притяжение, будет перемещаться в зависимости от расстояния и положения другого притягивающего тела, и она совпадет с центром только в отношении бесконечно удаленного тела, чьи силы притяжения могут рассматриваться как действующие по параллельным линиям.

Физики привычно говорят о полюсах магнита, и этот термин может быть использован для удобства. Но если мы придаем какое-либо определенное значение этому слову, то полюса — это не концы магнита и не какие-либо фиксированные точки внутри, а переменные точки, из которых могут считаться действующими равнодействующие всех сил, оказываемых частицами стержня на внешние магнитные частицы. Полюса — это, короче говоря, центры магнитных сил; но поскольку эти силы никогда не являются действительно параллельными, положение этих центров будет меняться в зависимости от относительного места притягиваемого объекта. Только когда мы рассматриваем магнит как притягивающий очень далекую или, строго говоря, бесконечно удаленную частицу, его центры становятся фиксированными точками, расположенными в коротких магнитах приблизительно на одной шестой всей длины от каждого конца стержня. В приведенных выше примерах центров или полюсов силы мы имеем достаточные примеры того, как фиктивное среднее или среднее арифметическое используется в физической науке.

Точный средний результат.

Теперь мы переходим к тому способу использования среднего результата, который аналогичен методу обращения, но который применяется самым широким образом во многих отраслях физической науки. Мы находим простейший возможный случай при определении широты места путем наблюдений Полярной звезды. Тихо Браге предположил, что если наблюдать высоту любой околополярной звезды при ее верхнем и нижнем прохождении через меридиан, то половина суммы этих высот будет широтой места, что равно высоте полюса. Такая звезда находится настолько же выше полюса при своем высшем прохождении, насколько ниже при низшем, так что среднее значение должно обязательно дать высоту самого полюса, свободную от сомнений, за исключением случайных ошибок. Полярная звезда обычно выбирается для целей таких наблюдений, потому что она описывает наименьший круг и, таким образом, в целом наименее подвержена влиянию атмосферной рефракции.

Всякий раз, когда действуют несколько причин, каждая из которых в одно время увеличивает, а в другое время уменьшает совместный эффект на равные величины, мы можем применить этот метод и распутать эффекты. Так, солнечные и лунные приливы движутся почти в полной независимости друг от друга. Когда Луна находится в новолунии или полнолунии, солнечный прилив совпадает, или почти совпадает, с приливом, вызванным Луной, и совместный эффект есть сумма отдельных эффектов. Когда Луна находится в квадратуре, или в фазе четверти, два прилива действуют в оппозиции, один поднимает, а другой опускает воду, так что мы наблюдаем только разность эффектов. У нас, по сути, есть —