«Принципы науки: Трактат о логике и научном методе»

Общим принципом научного метода является то, что если эффекты малы по сравнению с нашими средствами наблюдения, все совместные эффекты будут более высокого порядка малости и поэтому могут быть отброшены в первом приближении. Этот принцип был использован Даниилом Бернулли в теории звука под названием «Принцип сосуществования малых вибраций». Он показал, что если на струну воздействуют два вида вибраций, мы можем рассматривать каждую как происходящую так, как если бы другой не существовало. Мы не можем заметить, что звучание одного музыкального инструмента предотвращает или даже изменяет звук другого, так что все звуки, по-видимому, распространяются через воздух и воздействуют на ухо независимо друг от друга. Аналогичное допущение делается в теории приливов, которые являются большими волнами. Одна волна создается притяжением Луны, а другая — притяжением Солнца, и возникает вопрос, будет ли при совпадении этих волн, как во время сизигийных приливов, совместная волна просто суммой отдельных волн. Согласно принципу Бернулли, это будет так, потому что приливы в океане очень малы по сравнению с глубиной океана.

Принцип Бернулли, однако, является лишь приближенно верным. Волна никогда не остается в точности той же самой, когда другая волна интерферирует с ней, но чем меньше смещение частиц, обусловленное каждой волной, тем в еще большей степени уменьшается воздействие одной волны на другую. В последние годы Гельмгольц пришел к подозрению, что некоторые звуковые явления могут, в конечном счете, быть обусловлены результирующими эффектами, упущенными из виду в предположениях предыдущих физиков. Он исследовал вторичные волны, которые возникали бы вследствие интерференции значительных возмущений, и смог показать, что должны быть слышны определенные комбинационные или результирующие тона, а эксперименты, впоследствии разработанные для этой цели, показали, что их действительно можно услышать.

Во всех механических науках Принцип суперпозиции малых движений имеет фундаментальное значение, и его можно объяснить следующим образом. Предположим, что две силы, действующие из точек B и C, одновременно перемещают тело A. Пусть сила, действующая из B, такова, что за одну секунду она переместила бы A в точку p, и аналогично пусть вторая сила, действуя в одиночку, переместит A в точку r. Возникает вопрос, будет ли их совместное действие направлять A в точку q вдоль диагонали параллелограмма. Можем ли мы сказать, что A переместится на расстояние Ap в направлении AB и на Ar в направлении AC, или, что то же самое, вдоль параллельной линии pq? Строго говоря, мы не можем так сказать; ибо когда A переместилось к p, сила из C больше не будет действовать вдоль линии AC, и аналогично движение A к r изменит действие силы из B. Это вмешательство одной силы в линию действия другой будет, очевидно, тем больше, чем значительнее рассматриваемая величина движения; с другой стороны, по мере того как мы уменьшаем параллелограмм Apqr по сравнению с расстояниями AB и AC, вмешательство сил будет уменьшаться. Соответственно, математики избегают всякой ошибки, рассматривая движения как бесконечно малые, так что вмешательство становится бесконечно малым еще более высокого порядка и им можно полностью пренебречь. Благодаря ресурсам дифференциального исчисления можно вычислить движение частицы A, как если бы она проходила через бесконечное число бесконечно малых диагоналей параллелограммов. Великие открытия Ньютона на самом деле возникли из применения этого метода вычислений к движениям Луны вокруг Земли, которая, постоянно стремясь двигаться вперед по прямой линии, также отклоняется к Земле под действием гравитации и движется по эллиптической кривой, состоящей, так сказать, из бесконечно малых диагоналей бесконечно многочисленных параллелограммов. Математик при исследовании кривой всегда рассматривает ее как состоящую из большого числа прямых линий, и можно усомниться, мог ли бы он рассматривать ее каким-либо иным образом. В конечных результатах нет ошибки, поскольку после получения формул, вытекающих из этого допущения, каждая прямая линия затем рассматривается как становящаяся бесконечно малой, и ломаная линия становится неотличимой от идеальной кривой.

В абстрактных математических теоремах приближение к абсолютной истине совершенно, поскольку мы можем оперировать бесконечно малыми величинами. В физической науке, напротив, мы имеем дело с наименьшими величинами, которые поддаются восприятию. Тем не менее, тщательно различая эти два разных случая, мы можем без опасений применять к обоим принцип суперпозиции малых эффектов. В физической науке нам нужно лишь позаботиться о том, чтобы эффекты были действительно настолько малы, чтобы любой совместный эффект был, несомненно, незаметен. Предположим, например, что существует некая причина, которая изменяет размеры тела в отношении 1 к 1 + α, и другая причина, которая вызывает изменение в отношении 1 к 1 + β. Если они обе действуют одновременно, изменение будет в отношении 1 к (1 + α)(1 + β), или как 1 к 1 + α + β + αβ. Но если α и β — обе очень малые доли от общих размеров, то αβ будет еще гораздо меньше и им можно пренебречь; отношение изменения тогда приблизительно равно 1 к 1 + α + β, или совместный эффект есть сумма отдельных эффектов. Таким образом, если бы тело подвергалось трем деформациям, направленным под прямым углом друг к другу, общее изменение объема тела было бы приблизительно равно сумме изменений, вызванных отдельными деформациями, при условии, что они очень малы. Точно так же не только расширение каждого твердого и жидкого вещества при нагревании приблизительно пропорционально изменению температуры, когда это изменение очень мало по величине, но и кубическое расширение также может рассматриваться как в три раза большее, чем линейное расширение. Ибо если повышение температуры расширяет стержень металла в отношении 1 к 1 + α, и расширение одинаково во всех направлениях, то куб из того же металла расширился бы как 1 к (1 + α)³, или как 1 к 1 + 3α + 3α² + α³. Когда α — очень малая величина, третий член 3α² будет незаметен, а тем более четвертый член α³. Коэффициенты расширения твердых тел на самом деле настолько малы и настолько неточно определены, что физики редко принимают во внимание их вторые и более высокие степени.

Результатом этих принципов является то, что все малые ошибки можно считать изменяющимися в простой пропорции к их причинам — это новая причина, почему при устранении ошибок мы должны прежде всего сделать их как можно меньшими. Предположим, что существует прямоугольный треугольник, у которого два катета, образующие прямой угол, имеют длины 3 и 4, так что гипотенуза равна √3² + 4² или 5. Теперь, если при двух измерениях первого катета мы совершим небольшие ошибки, сделав его последовательно 4,001 и 4,002, то расчет даст длины гипотенузы почти в точности 5,0008 и 5,0016, так что ошибка в гипотенузе будет казаться изменяющейся в простой пропорции к ошибке катета, хотя на самом деле это происходит не с идеальной точностью. Логарифм числа не изменяется пропорционально этому числу — тем не менее, мы обнаруживаем, что разность между логарифмами чисел 100000 и 100001 почти в точности равна разности между числами 100001 и 100002. Таким образом, общим правилом является то, что очень малые разности между последовательными значениями функции приблизительно пропорциональны малым разностям переменной величины.

На основе этих принципов легко составить ряд правил, подобных тем, что приведены у Кольрауша для выполнения вычислений в сокращенной форме, когда переменная величина очень мала по сравнению с единицей. Так, вместо 1 ÷ (1 + α) мы можем подставить 1 – α; вместо 1 ÷ (1 – α) мы можем поставить 1 + α; 1 ÷ √1 + α становится 1 – 1/2α и так далее.

Четыре значения равенства.

Хотя может показаться, что существует мало терминов, более свободных от двусмысленности, чем термин «равный», ученые все же используют его как минимум в четырех значениях, которые желательно различать. Эти значения я могу описать как

(1) Absolute Equality.

(2) Sub-equality.

(3) Apparent Equality.

(4) Probable Equality.

Под абсолютным равенством мы подразумеваем то, что является полным и совершенным в высшей степени; но очевидно, что мы можем знать о таком равенстве только теоретическим или гипотетическим образом. Площади двух треугольников, стоящих на одном основании и между одними и теми же параллелями, абсолютно равны. Гиппократ прекрасно доказал, что площадь луночки, или фигуры, заключенной между двумя сегментами кругов, абсолютно равна площади определенного прямоугольного треугольника. Как общее правило, все геометрические и другие элементарные математические теоремы включают абсолютное равенство.

Де Морган предложил описывать как субравные те величины, которые равны с точностью до бесконечно малой величины, так что x является субравным x + dx. Можно сказать, что дифференциальное исчисление возникает из пренебрежения бесконечно малыми величинами, и в математической науке, возможно, придется проводить другие тонкие различия между видами равенства, как показал Де Морган в примечательном мемуаре «О бесконечности и о знаке равенства».

Кажущееся равенство — это то, с чем имеет дело физическая наука. Те величины являются кажущимися равными, которые различаются лишь на незаметную величину. Для плотника все, что меньше сотой доли дюйма, не существует; мало найдется искусств или мастеров, для которых стотысячная доля дюйма имеет какое-либо значение. Поскольку всякое совпадение между физическими величинами оценивается тем или иным чувством, мы должны ограничиться знанием кажущегося равенства.

В действительности даже кажущегося равенства приходится ожидать редко. Чаще эксперименты дают лишь вероятное равенство, то есть результаты будут настолько близки друг к другу, что разницу можно приписать неважным возмущающим причинам. Физики часто принимают величины за равные при условии, что они попадают в пределы вероятной ошибки используемых процессов. Мы не можем ожидать, что наблюдения будут согласованы с теорией более тесно, чем они согласуются друг с другом, как заметил Ньютон в своих исследованиях относительно кометы Галлея.

Арифметика приближенных величин.

Учитывая, что почти все величины, с которыми мы имеем дело в физических и социальных науках, являются лишь приближенными, представляется желательным, чтобы при обучении арифметике уделялось внимание правильной интерпретации и обработке приближенных числовых данных. Нам, по-видимому, нужна нотация для выражения приближенности или точности десятичных чисел. Дробь 0,025 может означать либо в точности одну сороковую часть, либо она может означать что угодно между 0,0245 и 0,0255. Я предлагаю, чтобы, когда десятичная дробь дана полностью и точно, добавлялся маленький ноль или кружок, чтобы указать, что больше ничего не следует, как в 0,025°. Когда первая из отбрасываемых цифр десятичной дроби равна 5 или более, первая сохраняемая цифра должна быть увеличена на единицу, согласно правилу, одобренному Де Морганом и ныне общепризнанному. Чтобы указать, что таким образом сохраненная дробь больше истинного значения, в некоторых таблицах логарифмов над последней цифрой ставилась точка; но аналогичная точка используется для обозначения периода повторяющейся десятичной дроби, и поэтому я предложил бы использовать двоеточие после цифры; таким образом, 0,025: означало бы, что истинная величина лежит между 0,0245° и 0,025°, включая нижний, но не включая верхний предел. Когда дробь меньше истинного значения, можно было бы поставить две точки горизонтально, как в 0,025.., что означало бы любое значение между 0,025° и 0,0255°, не включая последнее.

Когда приближенные числа складываются, вычитаются, умножаются или делятся, определение степени точности результата становится делом некоторой сложности. Мало найдется людей, которые могли бы с ходу утверждать, что сумма приближенных чисел 34,70, 52,693, 80,1 равна 167,5 с погрешностью менее 0,07. Г-н Сандеман весьма обстоятельно проследил правила приближенной арифметики, и его указания заслуживают внимательного изучения. Третья часть превосходной книги Зонненшайна и Несбитта по арифметике полностью описывает все виды приближенных вычислений и показывает как то, как избежать ненужного труда, так и то, как должным образом учитывать неточность при операциях с приближенными десятичными дробями. Простое исследование этого предмета можно найти в «Элементарной алгебре» Сонне (Париж, 1848 г.), глава XIV, «Об абсолютных и относительных приближениях». Существует также американская работа по этому предмету.

Хотя точность измерений значительно продвинулась со времен Лесли, не будет лишним повторить его протест против недобросовестности, заключающейся в демонстрации десятичных дробей для придания большей степени точности, чем того требует и допускает природа случая. Я знал ученого, который регистрировал показания барометра с точностью до секунды времени, когда ближайшей четверти часа было бы вполне достаточно. Химики часто публикуют результаты анализа с точностью до десятитысячной или даже миллионной доли целого, когда по всей вероятности на используемые процессы нельзя положиться с точностью более чем до сотой доли. Редко бывает желательно приводить более одного знака сомнительной величины; но следует признать, что тонкое восприятие степени точности, возможной и желательной, необходимо для того, чтобы избежать недопонимания и ненужных вычислений, с одной стороны, и обеспечить всю достижимую точность, с другой стороны.

ГЛАВА XXII. КОЛИЧЕСТВЕННАЯ ИНДУКЦИЯ.

Мы еще не рассматривали формально никакие процессы рассуждения, целью которых является раскрытие законов природы, выраженных в количественных уравнениях. Мы исследовали способы, которыми явление может быть измерено и, если это сложное явление, может быть разложено с помощью нескольких измерений на свои составные части. Мы также рассмотрели меры предосторожности, которые необходимо принимать при проведении наблюдений и экспериментов, чтобы мы знали, какие именно явления мы измеряем, но мы должны помнить, что никакое количество фактов и наблюдений само по себе не может составить науку. Числовые факты, как и другие факты, являются лишь сырым материалом знания, на который должны быть направлены наши способности рассуждения, чтобы извлечь из них принципы природы. Только с помощью обратного процесса рассуждения мы можем обнаружить математические законы, которым подчиняются изменяющиеся величины. С помощью хорошо проведенных экспериментов мы получаем ряд значений переменной и соответствующий ряд значений варианта, и теперь мы хотим знать, какой математической функцией является вариант по отношению к переменной. В обычном ходе развития науки на каждый важный количественный феномен должны быть даны ответы на три вопроса:

(1) Существует ли какая-либо постоянная связь между переменной и вариантом?

(2) Какова эмпирическая формула, выражающая эту связь?

(3) Какова рациональная формула, выражающая соответствующий закон природы?

Вероятная связь изменяющихся величин.

Мы находим у Милля утверждение, что «всякое явление, которое изменяется каким-либо образом всякий раз, когда другое явление изменяется каким-то определенным образом, является либо причиной, либо следствием этого явления, либо связано с ним через какой-то факт причинности». Это утверждение можно считать верным, если его интерпретировать с достаточной осторожностью; но в противном случае оно может привести нас к ошибке. В природе вещей нет абсолютно ничего, что препятствовало бы существованию двух изменений, которые, по-видимому, следуют одному и тому же закону, и при этом не имеют никакой связи друг с другом. Одна двойная звезда могла бы совершать обращение, которое, насколько мы могли бы судить, имело бы равный период с периодом другой двойной звезды, и согласно вышеуказанному правилу движение одной было бы причиной движения другой, что в действительности не было бы так. Две астрономические часы могли бы, теоретически, быть сделаны настолько близкими к совершенству, что в течение нескольких лет нельзя было бы обнаружить никакой разницы, и мы могли бы тогда сделать вывод, что движение одних часов является причиной или следствием движения других. Этот вопрос требует тщательного разграничения. Мы должны помнить, что непрерывные величины пространства, времени, силы и т. д., которые мы измеряем, состоят из бесконечного числа бесконечно малых единиц. Мы можем тогда столкнуться с двумя переменными явлениями, которые следуют законам, настолько близким, что ни в одной части изменений, доступных нашему наблюдению, нельзя обнаружить никакого расхождения. Я допускаю, что если бы можно было показать, что двое часов шли в точности одинаково в течение любого конечного интервала времени, вероятность того, что существует связь между их движениями, стала бы бесконечно высокой. Но мы никогда не сможем абсолютно доказать существование таких совпадений. Допустим, мы можем наблюдать разницу в одну десятую секунды в их времени, однако возможно, что они были независимо отрегулированы так, чтобы идти вместе с разницей менее этой величины времени. Короче говоря, потребовалось бы либо бесконечно долгое время наблюдения, либо бесконечно острые способности измерения расхождения, чтобы положительно решить, находятся ли двое часов в отношении друг с другом или нет.

Похожий вопрос фактически возникает в случае движения Луны. У нас нет записей о том, что какая-либо другая часть Луны когда-либо была видна людям, кроме той, которую мы видим сейчас. Этот факт достаточно доказывает, что в исторический период вращение Луны вокруг своей оси совпадало с ее обращением вокруг Земли. Доказывает ли это совпадение существование отношения причины и следствия? Ответ должен быть отрицательным, потому что могло существовать настолько незначительное расхождение между движениями, что еще не было времени для возникновения какого-либо заметного эффекта. Тем не менее, может существовать высокая вероятность связи.

Весь вопрос об отношении величин, таким образом, сводится к вопросу вероятности. Когда мы можем лишь грубо измерить количественный результат, мы можем придать лишь незначительное значение любому соответствию. Поскольку яркость двух звезд, по-видимому, изменяется одинаковым образом, нет значительной вероятности того, что они имеют какую-либо связь друг с другом. Если бы можно было показать, что их периоды изменения одинаковы с точностью до бесконечно малых величин, было бы достоверно, то есть бесконечно вероятно, что они связаны, как бы маловероятно это ни казалось по другим причинам. Общий способ оценки таких вероятностей идентичен тому, который применяется к другим индуктивным проблемам. То, что любые два периода изменения могли бы случайно стать абсолютно равными, бесконечно невероятно; следовательно, если бы в случае Луны или других движущихся тел мы могли доказать абсолютное совпадение, мы имели бы уверенность в связи. При приближенных измерениях, которые одни только и находятся в нашей власти, мы должны надеяться в лучшем случае на приближенную уверенность.

Принципы вывода и вероятности, согласно которым мы рассматриваем причины и следствия, изменяющиеся по величине, точно такие же, как те, с помощью которых мы рассматривали простые эксперименты. Непрерывная величина, однако, предоставляет нам бесконечно более обширную сферу наблюдения, потому что каждое различное количество причины, как бы мало оно ни отличалось, должно сопровождаться различным количеством следствия. Если мы можем измерить температуру с точностью до одной сотой градуса Цельсия, то между 0° и 100° у нас есть 10 000 возможных испытаний. Если точность наших измерений повысится, так что можно будет оценить одну тысячную долю градуса, наши испытания могут быть увеличены в десять раз. Вероятность связи будет пропорциональна точности наших измерений.

Когда мы можем изменять количество причины по своему желанию, легко обнаружить, обусловлен ли определенный эффект этой причиной или нет. Мы можем тогда производить столько нерегулярных изменений, сколько захотим, и совершенно невероятно, чтобы предполагаемый эффект случайно прошел через точно соответствующий ряд изменений, иначе как по причине зависимости. Если у нас есть звонок, звенящий в вакууме, звук усиливается, когда мы впускаем воздух, и снова уменьшается, когда мы откачиваем воздух. Поющие пламена Тиндаля явно подчинялись указаниям его собственного голоса; а Фарадей, когда он открыл связь магнетизма и света, обнаружил, что, замыкая, размыкая или меняя направление тока электромагнита, он имел полный контроль над лучом света, доказывая вне всяких разумных сомнений зависимость причины и следствия. В таких случаях именно идеальное совпадение во времени между изменением в следствии и изменением в причине создает высокую невероятность случайного совпадения.

Именно на простом примере изменения мы делаем вывод о существовании материальной связи между двумя телами, движущимися с точно одинаковой скоростью, такими как локомотив и следующий за ним поезд. Потребовались тщательные наблюдения, прежде чем астрономы смогли убедиться, что красные водородные пламена, видимые во время солнечных затмений, принадлежат Солнцу, а не атмосфере Луны, как предполагал Флемстид. Еще в 1706 году Станниан заметил кроваво-красную полосу во время затмения, которое он наблюдал в Берне, и он утверждал, что она принадлежит Солнцу; но его мнение не было окончательно установлено до тех пор, пока фотографии затмения 1860 года, сделанные г-ном Де ла Рю, не показали, что темное тело Луны постепенно закрывало красные протуберанцы с одной стороны и открывало их с другой; короче говоря, что эти протуберанцы двигались точно так же, как двигалось Солнце, а не так, как двигалась Луна.

Даже когда у нас нет средств для точного измерения переменных величин, мы все же можем быть убеждены в их связи, если одна всегда заметно изменяется в то же время, что и другая. Усталость возрастает с физическим напряжением; голод — с воздержанием от пищи; желание и степень полезности уменьшаются с количеством потребляемого товара. Мы знаем, что нагревающая способность Солнца зависит от его высоты над горизонтом; что температура воздуха падает при подъеме на гору; что земная кора оказывается заметно теплее по мере того, как мы углубляемся в шахты; мы делаем вывод о направлении, откуда исходит звук, по изменению громкости по мере того, как мы приближаемся или удаляемся. Легкость, с которой мы можем раз за разом наблюдать увеличение или уменьшение одной величины вместе с другой, достаточно показывает связь, хотя мы можем быть не в состоянии указать какой-либо точный закон отношения. Вероятность в таких случаях зависит от частого совпадения во времени.

Эмпирические математические законы.

Важно приобрести ясное понимание той роли, которую играют в научных исследованиях эмпирические формулы и законы. Если у нас есть таблица, содержащая определенные значения переменной и соответствующие значения варианта, существуют математические процессы, с помощью которых мы можем безошибочно обнаружить математическую формулу, дающую числа в более или менее точном согласии с таблицей. Мы можем, как правило, предположить, что величины будут приблизительно соответствовать закону вида

y = A + Bx + Cx2,

в котором x — переменная, а y — вариант. Мы можем затем выбрать из таблицы три значения y и соответствующие значения x; подставив их в уравнение, мы получим три уравнения, решением которых мы найдем значения A, B и C. Как общее правило, будет обнаружено, что полученная таким образом формула дает остальные числа таблицы с высокой степенью приближения.

Во многих случаях даже вторая степень переменной будет излишней; Реньо обнаружил, что результаты его тщательного исследования скрытой теплоты пара при различных давлениях представлены с достаточной точностью эмпирической формулой

λ = 606·5 + 0·305 t,

в которой λ — общая теплота пара, а t — температура. В других случаях может потребоваться включение третьей степени переменной. Так, физики предполагают, что закон расширения жидкостей имеет вид

δt = at + bt2 + ct3,

и они вычисляют из результатов наблюдений значения трех констант a, b, c, которые обычно являются малыми величинами, не превышающими одной сотой части единицы, но требующими определения с большой точностью. Теоретически говоря, этот процесс эмпирического представления мог бы быть применен с любой степенью точности; мы могли бы включить еще более высокие степени в формулу и при достаточном труде получить значения констант, используя равное число экспериментальных результатов. Метод наименьших квадратов также может быть использован для получения наиболее вероятных значений констант.

Аналогичным образом все периодические изменения могут быть представлены с любой требуемой степенью точности формулами, включающими синусы и косинусы углов и их кратных. Форма любой приливной или другой волны может быть таким образом выражена, как объяснил сэр Дж. Б. Эйри. Почти все явления, регистрируемые метеорологами, носят периодический характер, и при освобождении от возмущающих причин могут быть воплощены в эмпирические формулы. Бессель дал правило, с помощью которого из любого регулярного ряда наблюдений мы можем, на принципе метода наименьших квадратов, вычислить с умеренным количеством труда формулу, выражающую изменение наблюдаемой величины наиболее вероятным образом. В метеорологии три или четыре члена обычно достаточны для представления любого периодического явления, но расчет может быть доведен до любой более высокой степени точности. Поскольку детали процесса были описаны Гершелем в его трактате по метеорологии, мне нет нужды вдаваться в них далее.

Читатель может поддаться искушению подумать, что в этих процессах вычисления у нас есть безошибочный метод открытия индуктивных законов и что мои предыдущие утверждения (гл. VII) о чисто пробном и обратном характере индуктивного процесса опровергнуты. Если бы действительно существовал какой-либо общий метод вывода законов из фактов, это опровергло бы мое утверждение, но следует тщательно заметить, что эти эмпирические формулы не совпадают с естественными законами. Они являются лишь приближениями к результатам естественных законов, основанными на общих принципах приближения. Уже было указано, что, как бы сложна ни была природа кривой, мы можем исследовать настолько малую ее часть или исследовать ее с помощью настолько грубых средств измерения, что ее отклонение от эллиптической кривой не будет очевидным. В качестве еще более грубого приближения часть прямой линии всегда послужит нашей цели; но если нам нужна более высокая точность, кривая третьей или четвертой степени почти наверняка будет достаточной. Теперь эмпирические формулы действительно представляют эти приближенные кривые, но они не дают нам никакой информации о точной природе самой кривой, к которой мы приближаемся. Мы не узнаем, какой функцией является вариант от переменной, но мы получаем другую функцию, которая в пределах наблюдения дает почти те же значения.

Открытие рациональных формул.

Давайте теперь перейдем к рассмотрению способов, которыми из числовых результатов мы можем установить фактическое отношение между количеством причины и количеством следствия. Что нам нужно, так это рациональная формула или функция, которая продемонстрирует причину или точную природу и происхождение рассматриваемого закона. Нет слова, которое математики использовали бы чаще, чем слово «функция», и все же трудно определить его значение с идеальной точностью. Первоначально оно означало исполнение или выполнение, будучи эквивалентным греческому λειτουργία или τέλεσμα. Математики сначала использовали его для обозначения любой степени величины, но впоследствии обобщили его так, чтобы оно включало «любую величину, сформированную каким-либо образом из другой величины». Любая величина, следовательно, которая зависит от другой величины и изменяется вместе с ней, может быть названа ее функцией, и любая из них может рассматриваться как функция другой.

Даны величины, нам нужна функция, значениями которой они являются. Простое наблюдение чисел не может, как общее правило, раскрыть функцию. В более ранней главе (стр. 124) я представил читателю определенные числа и попросил его указать закон, которому они подчиняются, и тот же вопрос придется задавать в каждом случае количественной индукции. Существует, возможно, три метода, более или менее различных, с помощью которых мы можем надеяться получить ответ:

(1) Путем чисто случайных проб.

(2) Путем наблюдения общего характера изменения величин и предпочтительного опробования функций, которые дают схожую форму изменения.

(3) Путем выведения из предыдущих знаний формы функции, которая наиболее вероятно подойдет.

Имея числовые результаты, мы всегда вольны изобрести любой вид математической формулы, какой нам нравится, а затем попробовать, можем ли мы, путем подходящего выбора значений для неизвестных постоянных величин, заставить ее дать требуемые результаты. Если мы когда-нибудь натолкнемся на формулу, которая делает это с достаточной степенью приближения, существует презумпция в пользу того, что она является истинной функцией, хотя в этом деле нет никакой уверенности. Таким образом я открыл простой математический закон, который тесно согласовывался с результатами моих экспериментов по мышечному усилию. Этот закон был впоследствии показан профессором Хотоном как истинный рациональный закон согласно его теории мышечного действия.

Но шанс добиться успеха таким образом невелик. Число возможных функций бесконечно, и даже число сравнительно простых функций настолько велико, что вероятность натолкнуться на правильную по чистой случайности очень мала. Даже когда мы получаем закон, это происходит путем дедуктивного процесса, не путем показа того, что числа дают закон, а того, что закон дает числа.

Во втором способе мы можем, путем обзора чисел, получить общее представление о том, какому закону они, вероятно, подчиняются, и нам может очень помочь в этом процессе изображение их в форме кривой. Мы можем таким образом установить с некоторой вероятностью, вернется ли кривая в себя или имеет бесконечные ветви; являются ли такие ветви асимптотическими, то есть бесконечно приближаются к прямым линиям; является ли она логарифмической по характеру или тригонометрической. Это, правда, мы можем сделать, только если помним результаты предыдущих исследований. Процесс остается обратно-дедуктивным и состоит в том, чтобы отметить, какие законы дают конкретные кривые, а затем сделать обратный вывод, что такие кривые принадлежат таким законам. Если мы можем таким образом обнаружить класс функций, к которому принадлежит требуемый закон, наши шансы на успех значительно возрастают, потому что наши случайные пробы теперь сведены в более узкую сферу. Но, если только перед нами не почти вся кривая, идентификация ее характера должна быть делом большой неопределенности; и если, как в большинстве физических исследований, у нас есть лишь фрагмент кривой, помощь, которую это дает, была бы совершенно иллюзорной. Кривые почти любого характера могут быть сделаны приближенными друг к другу на ограниченном протяжении, так что только своего рода прорицанием мы можем натолкнуться на фактическую функцию, если только у нас нет теоретического знания о виде функции, применимой к данному случаю.

Когда мы однажды получили то, что считаем правильной формой функции, остальная часть работы — это просто математическое вычисление, которое должно быть выполнено безошибочно согласно фиксированным правилам, которые включают те, что используются при определении эмпирических формул (стр. 487). Функция будет включать две, три или более неизвестных констант, значения которых нам нужно определить с помощью наших экспериментальных результатов. Выбирая некоторые из наших результатов, широко разнесенные и почти равноотстоящие, мы формируем с их помощью столько уравнений, сколько существует постоянных величин, подлежащих определению. Решение этих уравнений даст нам требуемые константы, и, имея теперь фактическую функцию, мы можем попробовать, дает ли она с достаточной точностью остальные наши экспериментальные результаты. Если нет, мы должны либо сделать новый выбор результатов, чтобы получить новый набор уравнений, и таким образом получить новый набор значений для констант, либо мы должны признать, что наша форма функции была выбрана неверно. Если оказывается, что форма функции была установлена правильно, мы можем рассматривать константы как лишь приближенно точные и можем приступить к использованию метода наименьших квадратов (стр. 393) для определения наиболее вероятных значений, как они даны всем совокупным набором экспериментальных результатов.

В большинстве случаев мы будем вынуждены вернуться к третьему способу, то есть к предвосхищению формы закона, ожидаемого на основании предыдущих знаний. Теория и аналогические рассуждения должны быть нашими проводниками. Общая природа явления часто будет указывать на вид закона, который следует искать. Если одна форма энергии или один вид вещества преобразуется в другой, мы можем ожидать закон прямой простой пропорции. В одном отдельном классе случаев эффект, уже произведенный, влияет на величину последующего эффекта, как, например, при охлаждении нагретого тела, когда закон будет иметь экспоненциальную форму. Когда направление силы влияет на ее действие, вступают в силу тригонометрические функции. Любое влияние, которое свободно распространяется через трехмерное пространство, будет подчиняться закону обратных квадратов расстояния. Из таких соображений мы можем иногда прийти дедуктивно и по аналогии к общей природе требуемого математического закона.

Графический метод.

При попытке обнаружить математический закон, которому подчиняются экспериментальные результаты, часто желательно призвать на помощь пространственные представления. Каждое уравнение, включающее две переменные величины, соответствует некоторому виду плоской кривой, и каждая плоская кривая может быть представлена символически в уравнении, содержащем две неизвестные величины. Теперь в экспериментальном исследовании мы получаем ряд значений варианта, соответствующих равному числу значений переменной; но все числа затронуты более или менее значительной ошибкой, и значения переменной часто будут расположены нерегулярно. Даже если бы числа были абсолютно правильными и расположены через регулярные интервалы, не существует, как мы видели, прямого способа обнаружения закона, но трудность открытия значительно возрастает из-за неопределенности и нерегулярности результатов.

При таких обстоятельствах лучший способ действий — подготовить бумагу, разделенную на равные прямоугольные пространства, причем удобный размер для пространств — одна десятая дюйма в квадрате. Значения переменной отмечаются на самой нижней горизонтальной линии, а точка отмечается для каждого соответствующего значения варианта перпендикулярно над значением переменной и на такой высоте, которая соответствует значению варианта.

Точный масштаб чертежа не имеет большого значения, но его, возможно, потребуется скорректировать в зависимости от обстоятельств, и часто приходится приписывать разные значения вертикальным и горизонтальным делениям, чтобы сделать изменения заметными, но не чрезмерными. Если кривая линия будет проведена через все точки или концы ординат, она, вероятно, будет демонстрировать нерегулярные изгибы из-за ошибок, которые затрагивают числа. Но когда результатов много, становится очевидным, какие результаты более отклоняются от других, и, руководствуясь так называемым чувством непрерывности, можно провести линию среди точек, которая будет приближаться к истинному закону ближе, чем сами точки. Сопровождающий рисунок достаточно объясняет сам себя.

Перкинс использовал этот графический метод с большой осторожностью при демонстрации результатов своих экспериментов по сжатию воды. Числовые результаты были отмечены на листе бумаги, очень точно расчерченном с интервалами в одну десятую дюйма, и первоначальные отметки были оставлены для того, чтобы читатель мог судить о правильности проведенной кривой или выбрать другую для себя. Реньо довел метод до совершенства, нанося точки с помощью винтового делительного двигателя; а затем он сформировал таблицу результатов, проведя непрерывную кривую и измерив ее высоту для равноотстоящих значений переменной. Кривая, проведенная таким образом, не только позволяет нам вывести числовые результаты, более свободные от случайных ошибок, чем любые числа, полученные непосредственно из эксперимента, но форма кривой иногда указывает на класс функций, к которому принадлежат наши результаты.

Гравированные листы бумаги, подготовленные для рисования кривых, можно получить у г-на Стэнфорда на Чаринг-Кросс, у Messrs. W. and A. K. Johnston из Лондона и Эдинбурга, Waterlow and Sons, Letts and Co. и, вероятно, у других издателей. Когда нам не требуется большая точность, бумага, расчерченная обычным машинным способом на равные квадраты со стороной около одной пятой или одной шестой дюйма, послужит достаточно хорошо. Я встречал записные книжки инженеров и геодезистов, расчерченные на квадраты со стороной в одну двенадцатую дюйма. Когда нужно нарисовать много кривых, я нашел лучшим расчертить хороший лист чертежной бумаги линиями, тщательно выверенными на наиболее удобных расстояниях, а затем проколоть точки кривой через него на другой лист, закрепленный под ним. Таким образом мы получаем точную кривую на чистом листе и должны лишь ввести такие разделительные линии, которые необходимы для понимания кривой.

В некоторых случаях наши числовые результаты будут соответствовать не высоте отдельных ординат, а площади кривой между двумя ординатами или средней высоте ординат между определенными пределами. Если мы измеряем, например, количества теплоты, поглощаемые водой при нагревании от 0° до 5°, от 5° до 10° и так далее, эти количества на самом деле будут представлены площадями кривой, обозначающей удельную теплоемкость воды; и поскольку удельная теплоемкость непрерывно изменяется между каждыми двумя точками температуры, мы не получим правильную кривую, просто откладывая количества теплоты при средних температурах, а именно 2 1/2°, 7 1/2° и так далее. Лорд Рэлей показал, что если мы нарисовали такую неверную кривую, мы можем без труда исправить ее простым геометрическим процессом и получить с близким приближением истинные ординаты вместо тех, которые обозначают площади.

Интерполяция и экстраполяция.

Когда мы получили путем эксперимента два или более числовых результата и пытаемся, без дальнейшего эксперимента, вычислить промежуточные результаты, мы называем это интерполяцией. Если мы хотим назначить путем рассуждения результаты, лежащие за пределами эксперимента, мы можем сказать, используя выражение сэра Джорджа Эйри, что мы экстраполируем. Эти две операции одинаковы в принципе, но различаются по практической осуществимости. Вопрос большой научной важности — точно понять, насколько далеко мы можем практиковать интерполяцию или экстраполяцию и на каких основаниях мы действуем.

Во-первых, если интерполяция должна быть чем-то большим, чем эмпирической, мы должны иметь не только экспериментальные результаты, но и законы, которым они подчиняются — мы должны, по сути, пройти через полный процесс научного исследования. Открыв законы природы, применимые к данному случаю, и проверив их, показав, что они согласуются с рассматриваемыми экспериментами, мы затем находимся в положении, позволяющем предвидеть результаты подобных экспериментов. Наше знание даже сейчас не является достоверным, потому что мы не можем полностью доказать истинность любого предполагаемого закона, и мы не можем возможно исчерпать все обстоятельства, которые могут повлиять на результат. В лучшем случае, следовательно, наши интерполяции будут разделять недостаток уверенности и точности, присущий всему нашему знанию природы. Тем не менее, имея предполагаемые законы, наши результаты будут столь же верными и точными, как любые, которых мы можем достичь. Но такая полная процедура — это больше, чем то, что мы обычно подразумеваем под интерполяцией, которая обычно обозначает какой-то метод оценки лишь приближенным образом результатов, которые можно было бы ожидать независимо от теоретического исследования.

Рассматриваемая в этом свете, интерполяция в действительности является неопределенной задачей. Из данных значений функции невозможно определить эту функцию; ибо мы можем изобрести бесконечное число функций, которые дадут эти значения, если мы не ограничены никакими условиями, точно так же, как через данный ряд точек мы можем провести бесконечное число кривых, если мы можем отклоняться между точками или за их пределами в изгибы и точки возврата, как нам заблагорассудится. При интерполяции мы должны, по сути, руководствоваться более или менее априорными соображениями; мы должны знать, например, следует ли ожидать периодических колебаний или нет. Предполагая, что явление непериодическое, мы переходим к допущению, что функция может быть выражена в ограниченном ряде степеней переменной. Число степеней, которые могут быть включены, зависит от числа доступных экспериментальных результатов и должно быть по крайней мере на единицу меньше этого числа. Путем процессов вычисления, о которых уже упоминалось в разделе об эмпирических формулах, мы затем вычисляем коэффициенты степеней и получаем эмпирическую формулу, которая даст требуемые промежуточные результаты. В действительности, следовательно, мы возвращаемся к методам, рассмотренным под заголовком приближения и эмпирических формул; и интерполяция, как ее обычно понимают, состоит в допущении, что кривая простого характера должна пройти через определенные установленные точки. Если у нас есть, например, два экспериментальных результата, и только два, мы предполагаем, что кривая — это прямая линия; ибо параболы, которые могут быть проведены через две точки, бесконечно разнообразны по величине и совершенно неопределенны. Одна прямая линия может пройти через две точки, и она будет иметь уравнение вида y = mx + n, постоянные величины которого могут быть определены из двух результатов. Таким образом, если два значения для x, 7 и 11, дают значения для y, 35 и 53, решение двух уравнений дает y = 4,5 × x + 3,5 в качестве уравнения, и для любого другого значения x, например 10, мы получаем значение y, то есть 48,5. Когда мы берем среднее значение x, а именно 9, этот процесс дает простое среднее значение, а именно 44. Поскольку даны три экспериментальных результата, мы предполагаем, что они лежат на части параболы, и алгебраический расчет дает положение любой промежуточной точки на параболе. Относительно процесса интерполяции, как он практикуется в науке метеорологии, читатель найдет некоторые указания во французском издании «Метеорологии» Кемца.

Когда у нас есть, либо путем прямого эксперимента, либо с помощью кривой, ряд значений варианта для равноотстоящих значений переменной, поучительно взять разности между каждым значением варианта и следующим, а затем разности между этими разностями и так далее. Если какой-либо ряд разностей приближается близко к нулю, это указание на то, что числа могут быть правильно представлены конечной эмпирической формулой; если n-е разности равны нулю, то формула будет содержать только первые n - 1 степеней переменной. Действительно, мы можем иногда получить с помощью исчисления разностей правильную эмпирическую формулу; ибо если p — первый член ряда значений, а Δp, Δ²p, Δ³p — первое число в каждом столбце разностей, то m-й член ряда значений будет

p + mΔp + m m – 1/2 Δ2p + m m – 1/2 m – 2/3 Δ3p + &c.

Близко эквивалентная, но более практичная формула для интерполяции по разностям, разработанная Лагранжем, будет найдена в «Элементах натуральной философии» Томсона и Тэта, стр. 115.

Если ни один столбец разностей не показывает никакой тенденции стать равным нулю на всем протяжении, это указание на то, что закон имеет более сложный, например, экспоненциальный характер, так что он требует иного подхода. Д-р Дж. Хопкинсон предложил метод арифметической интерполяции, который предназначен для того, чтобы избежать многого, что является произвольным в графическом методе. Его процесс даст одинаковые результаты в любых руках.

Насколько мы можем сделать вывод о результатах, которые, вероятно, будут получены путем изменений за пределами пределов эксперимента, мы должны действовать на тех же принципах. Если возможно, мы должны обнаружить точные действующие законы, а затем доверять им как руководству, когда у нас нет опыта. Если нет, эмпирическая формула того же характера, что и те, которые используются при интерполяции, — наш единственный ресурс. Но расширять наш вывод далеко за пределы опыта чрезвычайно небезопасно. Наше знание в лучшем случае лишь приблизительно и не принимает во внимание малые тенденции. Теперь обычно случается, что тенденции, малые в пределах наших наблюдений, становятся заметными или значительными при экстремальных обстоятельствах. Когда переменная в нашей эмпирической формуле мала, мы оправданы в том, что пренебрегаем более высокими степенями и берем только две или три низшие степени. Но по мере того, как переменная увеличивается, более высокие степени приобретают значение и со временем дают основную часть значения функции.

Это не просто теоретический вывод. За исключением немногих первичных законов природы, таких как закон гравитации, сохранения энергии и т. д., едва ли существует какой-либо естественный закон, которому мы можем доверять в обстоятельствах, сильно отличающихся от тех, с которыми мы практически знакомы. Из расширения или сжатия, плавления или испарения веществ под действием тепла на поверхности Земли мы можем составить самое несовершенное представление о том, что произошло бы вблизи центра Земли, где давление почти бесконечно превышает все возможное в наших экспериментах. Физика Земли дает нам слабое и, вероятно, вводящее в заблуждение представление о таком теле, как Солнце, в котором невообразимо высокая температура соединена с невообразимо высоким давлением. Если в просторах космоса существуют туманности, состоящие из раскаленных и неокисленных паров металлов и других элементов, возможно, настолько сильно нагретых, что химический состав исключен, мы едва ли способны рассматривать их как объекты научного вывода. Отсюда возникает великая важность экспериментов, в которых мы исследуем свойства веществ при экстремальных обстоятельствах холода или жары, плотности или разреженности, интенсивного электрического возбуждения и т. д. Эта ненадежность в расширении наших выводов возникает из-за приближенного характера наших измерений. Если бы мы имели способность оценивать бесконечно малые величины, мы бы по принципу непрерывности обнаружили некоторый след каждого изменения, которое вещество могло бы претерпеть при недостижимых обстоятельствах. Наблюдая, например, упругость водяного пара между 0° и 100° C, мы теоретически должны были бы иметь возможность сделать вывод о его упругости при любой другой температуре; но это практически исключено, потому что мы не можем действительно точно установить закон между этими температурами.

Можно привести множество примеров того, что законы, которые, по-видимому, правильно отражают результаты экспериментов в определенных пределах, полностью перестают действовать за их пределами. Эксперименты Роско и Дитмара по поглощению газов водой дают интересные иллюстрации, особенно в случае с соляной кислотой, количество которой, растворяющееся в воде при различных давлениях, очень точно следует линейному закону изменения, от которого, однако, оно сильно отклоняется при низких давлениях. Гершель, выведя из наблюдений двойной звезды γ Девы эллиптическую орбиту движения одного компонента вокруг центра тяжести обоих, обнаружил, что в течение некоторого времени движение звезды очень хорошо согласуется с этой орбитой. Тем не менее, начало проявляться расхождение, и со временем оно стало настолько значительным, что в конечном итоге пришлось принять совершенно новую орбиту, размеры которой более чем вдвое превышали размеры старой.

Иллюстрации эмпирических количественных законов.

Хотя наша цель в количественном исследовании состоит в том, чтобы открыть точные или рациональные формулы, выражающие законы, применимые к предмету, поучительно наблюдать, в сколь многих важных отраслях науки до сих пор не обнаружено точных законов. Упругость водяного пара при различных температурах была определена рядом выдающихся экспериментаторов — Дальтоном, Кемцем, Дюлонгом, Араго, Магнусом и Реньо, — причем последним измерения проводились с исключительной тщательностью. И все же не было установлено никакого бесспорного общего закона. Было предложено несколько функций для выражения упругой силы пара в зависимости от температуры. Первая форма — это форма Юнга, а именно F = (a + bt)^m, в которой a, b и m — неизвестные величины, подлежащие определению путем наблюдения. Рош предложил на теоретических основаниях сложную формулу экспоненциального вида, а третья форма функции — это форма Био, а именно: log F = a + bα^t + cβ^t. Я упоминаю эти формулы, потому что они хорошо иллюстрируют слабые возможности эмпирического исследования. Ни одна из формул не может быть приведена в точное соответствие с результатами экспериментов, а две последние формы соответствуют им почти одинаково хорошо. Существует очень мало вероятности того, что истинный закон был найден, и маловероятно, что он будет открыт иначе, как путем дедукции из механической теории.

Много изобретательного труда было потрачено на открытие какого-либо общего закона атмосферной рефракции. Тихо Браге и Кеплер начали это исследование: Кассини первым составил таблицу рефракций, рассчитанную на теоретических основаниях: Ньютон углубился в некоторые глубокие исследования по этому предмету: Брук Тейлор, Бугер, Симпсон, Брэдли, Майер и Крамп последовательно занимались этим вопросом, который имеет высочайшее практическое значение в отношении коррекции астрономических наблюдений. Лаплас затем работал над этим предметом, не исчерпав его, и Бринкли с Айвори также рассматривали его. Истинный закон до сих пор не открыт. Тесно связанная с этим проблема, касающаяся соотношения между давлением и высотой в различных слоях атмосферы, привлекла внимание длинной череды физиков и была наиболее тщательно исследована Лапласом. И все же не было обнаружено никакого неизменного и общего закона. То же самое можно сказать и о законе смертности людей; имеются обильные статистические данные по этому вопросу, и было выдвинуто много более или менее удовлетворительных гипотез относительно формы кривой смертности, но, по-видимому, невозможно обнаружить ничего, кроме приблизительного закона.

Можно, пожалуй, утверждать, что в таких предметах нельзя ожидать единого неизменного закона. Атмосферу можно разделить на несколько переменных слоев, которые своими несвязанными изменениями расстраивают точные расчеты астрономов. Человеческая жизнь может быть подвержена в разном возрасте ряду различных влияний, не поддающихся сведению к какому-либо одному закону. Наблюдаемые результаты могут, по сути, быть совокупностями огромного числа отдельных результатов, каждый из которых управляется своими собственными отдельными законами, так что предметы могут быть сложными сверх возможности полного разрешения эмпирическими методами. Это, безусловно, верно в отношении математических функций, которые рано или поздно должны быть введены в науку политической экономии.

Простое пропорциональное изменение.

Когда мы впервые рассматриваем численные результаты в каком-либо новом виде исследования, наше впечатление, вероятно, будет заключаться в том, что одна величина изменяется в простой пропорции к другой, подчиняясь закону y = mx + n. Мы должны научиться тщательно различать случаи, когда эта пропорциональность является действительно истинной, и случаи, когда она является лишь кажущейся. Рассматривая принципы аппроксимации, мы обнаружили, что небольшая часть любой кривой будет казаться прямой линией. Когда наши способы измерения сравнительно грубы, мы должны ожидать, что будем не в состоянии обнаружить кривизну. Кеплер предпринял похвальные попытки открыть закон рефракции, и он приблизился к нему, когда заметил, что углы падения и преломления, если они малы, находятся в постоянном отношении друг к другу. Углы, когда они малы, почти равны своим синусам, так что он пришел к приблизительному результату истинного закона. Кардано предположил, вероятно, просто наугад, что сила, необходимая для удержания тела на наклонной плоскости, просто пропорциональна углу наклона плоскости. Это приблизительно так, когда угол мал, но в действительности закон гораздо сложнее, так как требуемая сила пропорциональна синусу угла. Ранние изготовители термометров не знали, пропорционально ли расширение ртути сообщаемому ей теплу, и только в нынешнем столетии мы узнали, что это не так. Мы теперь знаем, что даже газы подчиняются закону равномерного расширения от тепла лишь приблизительно. Пока не доказано обратное, нам следует рассматривать каждый закон простой пропорции как лишь условно истинный.

Тем не менее, многие важные законы природы имеют форму простых пропорций. Везде, где причина действует независимо от своих предыдущих следствий, мы можем ожидать такого отношения. Ускоряющая сила действует одинаково на движущееся и на неподвижное тело. Следовательно, создаваемая скорость находится в простой пропорции к силе и к продолжительности ее равномерного действия. Поскольку тяготеющие тела никогда не мешают гравитации друг друга, эта сила находится в прямой простой пропорции к массе каждого из притягивающихся тел, причем масса измеряется инерцией или пропорциональна ей. Аналогично, во всех случаях «прямого беспрепятственного действия», как заметил Гершель, мы можем ожидать, что проявится простая пропорция. В таких случаях уравнение, выражающее отношение, может иметь простую форму y = mx.

Подобное отношение справедливо, когда происходит превращение одного вещества или формы энергии в другую. Количество соединения равно количеству элементов, которые соединяются. Теплота, возникающая при трении, точно пропорциональна поглощенной механической энергии. Фарадеем было экспериментально доказано, что «химическая сила электрического тока находится в прямой пропорции к количеству прошедшего электричества». Когда создается электрический ток, количество электрической энергии просто пропорционально весу растворенного металла. Если электричество превращается в тепло, снова возникает простая пропорция. Везде, по сути, где одна вещь является лишь другой вещью в новом аспекте, мы можем ожидать найти закон простой пропорции. Но только в самых элементарных случаях это простое отношение будет оставаться истинным. Простые условия, вообще говоря, не производят простых результатов. Планеты движутся по приблизительным кругам вокруг Солнца, но видимые движения, если смотреть с Земли, очень разнообразны. Все эти движения, опять же, суммируются в законе гравитации, не отличающемся большой сложностью; однако люди никогда не были и никогда не будут способны исчерпать сложности действия и противодействия, возникающие из этого закона, даже среди небольшого числа планет. Нам следует остерегаться тенденции предполагать, что связь причины и следствия является отношением прямой пропорции. Бэкон напоминает нам о женщине из басни Эзопа, которая ожидала, что ее курица при двойной порции ячменя будет нести два яйца в день вместо одного, тогда как она растолстела и перестала нести яйца вовсе. Мудрая максима гласит, что половина часто лучше целого.

ГЛАВА XXIII. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГИПОТЕЗЫ.

Если взгляды, отстаиваемые в этой работе, верны, то все индуктивное исследование состоит в соединении гипотезы и эксперимента. Когда факты находятся в нашем распоряжении, мы создаем гипотезу для объяснения их отношений, и по успеху этого объяснения следует судить о ценности гипотезы. При изобретении и обработке таких гипотез мы должны пользоваться всем уже накопленным корпусом науки, и как только мы получили вероятную гипотезу, мы не должны останавливаться, пока не проверим ее путем сравнения с новыми фактами. Мы должны стремиться путем дедуктивного рассуждения предвидеть такие явления, особенно те, которые носят единичный и исключительный характер, которые произошли бы, если бы гипотеза была верна. Из бесконечного числа возможных экспериментов теория должна побудить нас выбрать те критические, которые подходят для подтверждения или опровержения наших ожиданий.