«Система логики: силлогистическая и индуктивная»

Таким образом, в предыдущем примере конечный индуктивный вывод состоял в том, что определенное правительство вряд ли будет свергнуто; этот вывод был сделан согласно формуле, в которой желание общественного блага было записано как признак того, что оно вряд ли будет свергнуто; признаком этого признака было действие определенным образом; а признаком действия таким образом было утверждение об этом умными и незаинтересованными свидетелями: этот признак правительство, обсуждаемое нами, было распознано чувствами как обладающее. Следовательно, это правительство подпало под последнюю индукцию и ею было приведено под действие всех остальных. Воспринятое сходство случая с одним набором наблюдаемых частных случаев привело его в известное сходство с другим набором, а тот — с третьим.

В более сложных отраслях знания дедукции редко состоят, как в примерах, до сих пор представленных, из одной цепи: а — признак b, b — признак с, с — признак d, следовательно, а — признак d. Они состоят (продолжая ту же метафору) из нескольких цепей, соединенных на конце, как например: а — признак d, b — признак е, с — признак f, d, е, f — признаки n, следовательно, а, b, с — признаки n. Предположим, например, следующую комбинацию обстоятельств: 1-е, лучи света, падающие на отражающую поверхность; 2-е, эта поверхность параболическая; 3-е, эти лучи параллельны друг другу и оси поверхности. Должно быть доказано, что совпадение этих трех обстоятельств является признаком того, что отраженные лучи пройдут через фокус параболической поверхности. Теперь, каждое из трех обстоятельств по отдельности является признаком чего-то существенного для случая. Лучи света, падающие на отражающую поверхность, являются признаком того, что эти лучи будут отражены под углом, равным углу падения. Параболическая форма поверхности является признаком того, что из любой ее точки линия, проведенная к фокусу, и линия, параллельная оси, будут составлять равные углы с поверхностью. И, наконец, параллельность лучей оси является признаком того, что их угол падения совпадает с одним из этих равных углов. Три признака, взятые вместе, являются, следовательно, признаком всех этих трех вещей, объединенных вместе. Но три объединенных вместе являются, очевидно, признаком того, что угол отражения должен совпадать с другим из двух равных углов, тем, который образован линией, проведенной к фокусу; и это снова, согласно фундаментальной аксиоме о прямых линиях, является признаком того, что отраженные лучи проходят через фокус. Большинство цепей физической дедукции относятся к этому более сложному типу; и даже в математике такие изобилуют, как во всех суждениях, где гипотеза включает многочисленные условия: «Если взят круг, и если внутри этого круга взята точка, не являющаяся центром, и если проведены прямые линии из этой точки к окружности, тогда» и т. д.

§ 4. Изложенные сейчас соображения устраняют серьезную трудность из взгляда, который мы приняли на рассуждение; который в противном случае мог бы показаться нелегко согласующимся с фактом, что существуют дедуктивные или рассудочные науки. Могло бы показаться, если все рассуждение есть индукция, что трудности философского исследования должны лежать исключительно в индукциях и что, когда они легки и не подвержены сомнению или колебаниям, не могло бы быть науки или, по крайней мере, трудностей в науке. Существование, например, обширной науки математики, требующей высочайшего научного гения у тех, кто внес вклад в ее создание, и призывающей к самому продолжительному и энергичному напряжению интеллекта для того, чтобы усвоить ее, когда она создана, может показаться трудным для объяснения на основе вышеизложенной теории. Но более недавно приведенные соображения устраняют тайну, показывая, что даже когда сами индукции очевидны, может быть много трудностей в нахождении того, подпадают ли под них частный случай, являющийся предметом исследования; и достаточно места для научной изобретательности в таком комбинировании различных индукций, чтобы посредством одной, под которую случай очевидно подпадает, привести его под другие, под которые он не может быть непосредственно виден как включенный.

Когда более очевидные из индукций, которые могут быть сделаны в любой науке из прямых наблюдений, были сделаны и были сформулированы общие формулы, определяющие границы, в которых эти индукции применимы, всякий раз, когда новый случай может быть сразу увиден как подпадающий под одну из формул, индукция применяется к новому случаю, и дело закончено. Но постоянно возникают новые случаи, которые не подпадают очевидно под какую-либо формулу, посредством которой можно было бы ответить на вопрос, который мы хотим решить в отношении них. Возьмем пример из геометрии: и так как он взят только для иллюстрации, пусть читатель уступит нам на данный момент то, что мы постараемся доказать в следующей главе, а именно, что первые принципы геометрии являются результатами индукции. Нашим примером будет пятое суждение первой книги Евклида. Исследование таково: равны или неравны углы при основании равнобедренного треугольника? Первое, что нужно рассмотреть, — какие у нас есть индукции, из которых мы можем вывести равенство или неравенство. Для выведения равенства у нас есть следующие формулы: «Вещи, которые при наложении друг на друга совпадают, равны. Вещи, равные одной и той же вещи, равны. Целое и сумма его частей равны. Суммы равных вещей равны. Разности равных вещей равны». Нет других исходных формул для доказательства равенства. Для выведения неравенства у нас есть следующие: «Целое и его части неравны. Суммы равных вещей и неравных вещей неравны. Разности равных вещей и неравных вещей неравны». Всего восемь формул. Углы при основании равнобедренного треугольника не подпадают очевидно ни под одну из них. Формулы указывают определенные признаки равенства и неравенства, но нельзя интуитивно воспринять, что углы обладают какими-либо из этих признаков. При исследовании оказывается, что они обладают; и мы в конечном итоге преуспеваем в приведении их под формулу «Разности равных вещей равны». Откуда берется трудность распознавания этих углов как разностей равных вещей? Потому что каждый из них является разностью не одной пары, а бесчисленных пар углов; и из них мы должны были вообразить и выбрать две, которые могли бы либо интуитивно восприниматься как равные, либо обладали бы некоторыми из признаков равенства, записанных в различных формулах. Упражнением изобретательности, которое со стороны первого изобретателя заслуживает того, чтобы считаться значительным, были найдены две пары углов, которые объединяли эти требования. Во-первых, можно было интуитивно воспринять, что их разностями были углы при основании; и, во-вторых, они обладали одним из признаков равенства, а именно совпадением при наложении друг на друга. Это совпадение, однако, не было воспринято интуитивно, а выведено в соответствии с другой формулой.

Для большей ясности я прилагаю анализ доказательства. Евклид, как помнится, доказывает свое пятое суждение посредством четвертого. Это нам не позволено делать, потому что мы беремся проследить дедуктивные истины не к предшествующим дедукциям, а к их исходному индуктивному основанию. Мы должны, следовательно, использовать посылки четвертого суждения вместо его заключения и доказать пятое непосредственно из первых принципов. Чтобы сделать это, требуется шесть формул. (Мы должны начать, как у Евклида, с продления равных сторон AB, AC на равные расстояния и соединения концов BE, DC.)

Первая формула. Суммы равных равны.

AD и AE являются суммами равных по предположению. Имея этот признак равенства, они, согласно этой формуле, заключаются как равные.

Вторая формула. Равные прямые линии при наложении друг на друга совпадают.

AC, AB подпадают под эту формулу по предположению; AD, AE были приведены под нее предыдущим шагом. Обе эти пары прямых линий имеют свойство равенства; которое, согласно второй формуле, является признаком того, что, если их наложить друг на друга, они совпадут. Совпадение в целом означает совпадение в каждой части и, конечно, в их концах D, E и B, C.

Третья формула. Прямые линии, имеющие совпадающие концы, совпадают.

BE и CD были приведены под эту формулу предыдущей индукцией; они, следовательно, совпадут.

Четвертая формула. Углы, имеющие совпадающие стороны, совпадают.

Третья индукция показала, что BE и CD совпадают, а вторая — что AB, AC совпадают, углы ABE и ACD тем самым приведены под четвертую формулу и, соответственно, совпадают.

Пятая формула. Вещи, которые совпадают, равны.

Углы ABE и ACD приведены под эту формулу индукцией, непосредственно предшествующей. Эта цепочка рассуждений, будучи также применимой, mutatis mutandis, к углам EBC, DCB, эти также приведены под пятую формулу. И, наконец,

Шестая формула. Разности равных равны.

Угол ABC, являясь разностью ABE, CBE, и угол ACB, являясь разностью ACD, DCB, которые были доказаны как равные; ABC и ACB приведены под последнюю формулу всем предыдущим процессом.

Трудность, встреченная здесь, заключается главным образом в том, чтобы представить себе два угла при основании треугольника ABC как остатки, полученные путем вырезания одной пары углов из другой, в то время как каждая пара должна быть соответствующими углами треугольников, которые имеют две стороны и угол между ними равными. Именно благодаря этой удачной уловке так много различных индукций приводятся к воздействию на один и тот же частный случай. И так как это совсем не очевидная мысль, из примера, столь близкого к порогу математики, можно увидеть, какой простор может быть для научной ловкости в высших отраслях этой и других наук, чтобы так комбинировать несколько простых индукций, чтобы привести под каждую из них бесчисленные случаи, которые не очевидно включены в нее; и как долго, и многочисленно, и сложно могут быть процессы, необходимые для сведения индукций вместе, даже когда каждая индукция сама по себе может быть очень легкой и простой. Все индукции, вовлеченные во всю геометрию, заключены в тех простых, формулы которых являются аксиомами и несколькими так называемыми определениями. Остальная часть науки состоит из процессов, используемых для приведения непредвиденных случаев под эти индукции; или (на силлогистическом языке) для доказательства меньших посылок, необходимых для завершения силлогизмов; большими посылками являются определения и аксиомы. В этих определениях и аксиомах изложены все признаки, посредством искусной комбинации которых было найдено возможным открыть и доказать все, что доказывается в геометрии. Признаков так мало, а индукции, которые их предоставляют, так очевидны и привычны; соединение нескольких из них вместе, которое составляет дедукции или цепочки рассуждений, составляет всю трудность науки и, за ничтожным исключением, весь ее объем; и поэтому геометрия является дедуктивной наукой.

§ 5. В дальнейшем будет показано, что существуют веские научные основания для того, чтобы придавать каждой науке в максимально возможной степени характер дедуктивной науки; для того чтобы стремиться построить науку на основе как можно меньшего числа простейших индукций и сделать их, при любых, даже самых сложных комбинациях, достаточными для доказательства даже таких истин, относящихся к сложным случаям, которые могли бы быть доказаны, если бы мы пожелали того, путем индукций из специфического опыта. Каждая отрасль естественной философии была изначально экспериментальной; каждое обобщение основывалось на специальной индукции и было выведено из своего собственного отдельного набора наблюдений и экспериментов. Из наук чистого эксперимента, как принято выражаться, или, говоря точнее, наук, в которых рассуждения по большей части состоят не более чем из одного шага и выражаются единичными силлогизмами, все эти науки в некоторой степени, а некоторые из них почти полностью, стали науками чистого рассуждения; благодаря чему множество истин, уже известных путем индукции из столь же различных наборов экспериментов, стали представляться как дедукции или следствия из индуктивных положений более простого и универсального характера. Таким образом, механика, гидростатика, оптика, акустика, термология последовательно становились математическими; а астрономия была приведена Ньютоном к законам общей механики. Почему замена этого окольного способа действий процессом, казалось бы, гораздо более легким и естественным, считается, и справедливо, величайшим триумфом исследования природы, мы на данной стадии нашего исследования рассматривать не готовы. Но необходимо отметить, что, хотя в результате этой прогрессивной трансформации все науки стремятся стать все более дедуктивными, они от этого не становятся менее индуктивными; каждый шаг в дедукции по-прежнему является индукцией. Противопоставление здесь идет не между терминами «дедуктивный» и «индуктивный», а между «дедуктивным» и «экспериментальным». Наука является экспериментальной в той мере, в какой каждый новый случай, представляющий какие-либо особые черты, нуждается в новом наборе наблюдений и экспериментов — в новой индукции. Она является дедуктивной в той мере, в какой способна делать выводы относительно случаев нового рода с помощью процессов, которые подводят эти случаи под старые индукции; путем установления того, что случаи, в которых невозможно наблюдать требуемые признаки, тем не менее обладают признаками этих признаков.

Таким образом, мы теперь можем понять, в чем заключается родовое различие между науками, которые могут быть сделаны дедуктивными, и теми, которые пока еще должны оставаться экспериментальными. Различие состоит в том, смогли ли мы или еще не смогли обнаружить признаки признаков. Если с помощью наших различных индукций мы не смогли продвинуться дальше таких положений, как «a — признак b», или «a и b — признаки друг друга», «c — признак d», или «c и d — признаки друг друга», не имея ничего, что связывало бы a или b с c или d, то мы имеем науку об обособленных и взаимно независимых обобщениях, таких как: кислоты окрашивают растительные синие вещества в красный цвет, а щелочи окрашивают их в зеленый; ни из одного из этих положений мы не могли бы прямо или косвенно вывести другое: и наука, насколько она состоит из таких положений, является чисто экспериментальной. Химия в нынешнем состоянии наших знаний еще не избавилась от этого характера. Однако существуют другие науки, положения которых имеют такой вид: «a — признак b», «b — признак c», «c — признак d», «d — признак e» и т. д. В этих науках мы можем подняться по лестнице от a до e с помощью процесса рассуждения; мы можем заключить, что a является признаком e и что каждый объект, обладающий признаком a, обладает свойством e, хотя, возможно, мы никогда не были в состоянии наблюдать a и e вместе, и хотя даже d, наш единственный прямой признак e, может быть невоспринимаем в этих объектах, а лишь выводим. Или, варьируя первую метафору, можно сказать, что мы добираемся от a до e под землей: признаки b, c, d, которые указывают путь, должны все где-то присутствовать у объектов, которые мы исследуем; но они находятся под поверхностью: a — единственный видимый признак, и с его помощью мы можем последовательно проследить все остальные.

§ 6. Теперь мы можем понять, как экспериментальная наука может трансформироваться в дедуктивную благодаря простому прогрессу эксперимента. В экспериментальной науке индукции, как мы уже сказали, лежат обособленно, например: «a — признак b», «c — признак d», «e — признак f» и так далее: теперь новый набор примеров и вытекающая из него новая индукция могут в любой момент перекинуть мост через интервал между двумя этими несвязанными арками; например, может быть установлено, что b является признаком c, что позволяет нам в дальнейшем дедуктивно доказать, что a является признаком c. Или, как иногда случается, какое-нибудь всеобъемлющее обобщение может возвести арку высоко в воздухе, которая перекроет множество из них сразу: b, d, f и все остальные оказываются признаками чего-то одного или вещей, между которыми уже была прослежена связь. Как когда Ньютон обнаружил, что движения — как регулярные, так и кажущиеся аномальными — всех тел Солнечной системы (каждое из которых было выведено отдельной логической операцией из отдельных признаков) все являются признаками движения вокруг общего центра с центростремительной силой, изменяющейся прямо пропорционально массе и обратно пропорционально квадрату расстояния от этого центра. Это величайший пример, который до сих пор встречался, трансформации одним ударом науки, которая все еще в значительной степени была лишь экспериментальной, в дедуктивную науку.

Трансформации того же характера, но в меньшем масштабе, постоянно происходят в менее развитых отраслях физического знания, не позволяя им избавиться от характера экспериментальных наук. Так, в отношении двух упомянутых выше несвязанных положений, а именно: «Кислоты окрашивают растительные синие вещества в красный цвет», «Щелочи окрашивают их в зеленый», Либих отмечает, что все синие красящие вещества, которые краснеют от кислот (как и, взаимно, все красные красящие вещества, которые синеют от щелочей), содержат азот: и вполне возможно, что это обстоятельство однажды создаст связь между двумя рассматриваемыми положениями, показав, что антагонистическое действие кислот и щелочей при создании или разрушении синего цвета является результатом какого-то одного, более общего закона. Хотя это связывание разрозненных обобщений является большим достижением, оно мало способствует приданию дедуктивного характера какой-либо науке в целом; потому что новые курсы наблюдений и экспериментов, которые таким образом позволяют нам связать воедино несколько общих истин, обычно открывают нам еще большее число несвязанных новых истин. Отсюда химия, хотя подобные расширения и упрощения ее обобщений происходят постоянно, в основном остается экспериментальной наукой; и, вероятно, будет оставаться таковой до тех пор, пока в будущем не будет достигнуто какое-либо всеобъемлющее обобщение, которое, подобно ньютоновскому, свяжет воедино огромное количество меньших известных индукций и сразу изменит весь метод науки. В химии уже есть одно великое обобщение, которое, хотя и относится к одному из подчиненных аспектов химических явлений, обладает в своей ограниченной сфере этим всеобъемлющим характером: принцип Дальтона, называемый атомной теорией, или учением о химических эквивалентах; который, позволяя нам до известной степени предвидеть пропорции, в которых будут соединяться два вещества, до того как эксперимент был проведен, несомненно, является источником новых химических истин, получаемых путем дедукции, а также связующим принципом для всех истин того же рода, полученных ранее экспериментальным путем.

§ 7. Открытия, которые меняют метод науки с экспериментального на дедуктивный, по большей части состоят в установлении, либо путем дедукции, либо путем прямого эксперимента, того, что разновидности определенного явления единообразно сопровождают разновидности какого-то другого, более известного явления. Так, наука о звуке, которая ранее находилась на низшей ступени чисто экспериментальной науки, стала дедуктивной, когда было доказано экспериментально, что каждая разновидность звука является следствием, а следовательно, и признаком, отчетливой и определимой разновидности колебательного движения частиц передающей среды. Когда это было установлено, из этого следовало, что каждое отношение последовательности или сосуществования, которое имело место между явлениями более известного класса, имело место также между явлениями, соответствующими им в другом классе. Каждый звук, будучи признаком определенного колебательного движения, становился признаком всего, что, согласно законам динамики, было известно как выводимое из этого движения; и все, что по тем же законам было признаком какого-либо колебательного движения частиц упругой среды, становилось признаком соответствующего звука. И таким образом многие истины, ранее не подозревавшиеся, касающиеся звука, становятся выводимыми из известных законов распространения движения через упругую среду; в то время как факты, уже эмпирически известные относительно звука, становятся указанием на соответствующие свойства вибрирующих тел, ранее не обнаруженные.

Но великим агентом превращения экспериментальных наук в дедуктивные является наука о числе. Свойства чисел, единственные среди всех известных явлений, являются в самом строгом смысле свойствами всех вещей вообще. Не все вещи окрашены, или весомы, или даже протяженны; но все вещи исчислимы. И если мы рассмотрим эту науку во всем ее объеме, от обычной арифметики до исчисления вариаций, то уже установленные истины кажутся почти бесконечными и допускают неограниченное расширение.

Эти истины, хотя и могут быть утверждены обо всех вещах вообще, конечно, применимы к ним только в отношении их количества. Но если обнаруживается, что вариации качества в каком-либо классе явлений регулярно соответствуют вариациям количества либо в тех же самых, либо в каких-то других явлениях, то каждая формула математики, применимая к величинам, которые изменяются таким конкретным образом, становится признаком соответствующей общей истины относительно вариаций качества, которые их сопровождают: и поскольку наука о количестве является (насколько это возможно для любой науки) полностью дедуктивной, теория этого конкретного вида качеств становится в этой мере также дедуктивной.

Наиболее ярким примером в этом отношении, который дает история (хотя это не пример экспериментальной науки, ставшей дедуктивной, а пример беспрецедентного расширения, данного дедуктивному процессу в науке, которая уже была дедуктивной), является революция в геометрии, которая началась с Декарта и была завершена Клеро. Эти великие математики указали на важность того факта, что каждой разновидности положения точек, направления линий или формы кривых или поверхностей (все из которых являются качествами) соответствует особое отношение количества между двумя или тремя прямолинейными координатами; настолько, что если бы был известен закон, согласно которому эти координаты изменяются относительно друг друга, то каждое другое геометрическое свойство рассматриваемой линии или поверхности, будь то относящееся к количеству или качеству, можно было бы вывести. Отсюда следовало, что любой геометрический вопрос мог быть решен, если мог быть решен соответствующий алгебраический; и геометрия получила приращение (фактическое или потенциальное) новых истин, соответствующих каждому свойству чисел, которое прогресс исчисления выявил или может выявить в будущем. В той же общей манере механика, астрономия и, в меньшей степени, каждая отрасль естественной философии, обычно так называемой, были сделаны алгебраическими. Было обнаружено, что разновидности физических явлений, с которыми имеют дело эти науки, соответствуют определяемым разновидностям количества того или иного обстоятельства; или, по крайней мере, разновидностям формы или положения, для которых соответствующие уравнения количества уже были или могли быть обнаружены геометрами.

В этих различных трансформациях положения науки о числе лишь выполняют функцию, свойственную всем положениям, образующим цепь рассуждений, а именно: позволяют нам прийти непрямым методом, через признаки признаков, к таким свойствам объектов, которые мы не можем непосредственно установить (или не так удобно) путем эксперимента. Мы движемся от данного видимого или осязаемого факта через истины чисел к искомым фактам. Данный факт является признаком того, что определенное отношение существует между количествами некоторых из рассматриваемых элементов; в то время как искомый факт предполагает определенное отношение между количествами некоторых других элементов: теперь, если эти последние количества зависят известным образом от первых, или наоборот, мы можем рассуждать от численного отношения между одним набором количеств к определению того, которое существует между другим набором; теоремы исчисления предоставляют промежуточные звенья. И таким образом один из двух физических фактов становится признаком другого, будучи признаком признака признака его.

ГЛАВА V. О ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ И НЕОБХОДИМЫХ ИСТИНАХ.

§ 1. Если, как было установлено в двух предыдущих главах, фундаментом всех наук, даже дедуктивных или доказательных, является индукция; если каждый шаг в рассуждениях даже геометрии является актом индукции; и если цепь рассуждений — это лишь подведение многих индукций под один и тот же предмет исследования и подведение случая под одну индукцию посредством другой; то в чем заключается особая достоверность, всегда приписываемая наукам, которые являются полностью или почти полностью дедуктивными? Почему их называют точными науками? Почему математическая достоверность и доказательность являются обычными фразами для выражения высочайшей степени уверенности, достижимой разумом? Почему математика почти всеми философами, а (некоторыми) даже те отрасли естественной философии, которые через посредство математики были превращены в дедуктивные науки, считаются независимыми от свидетельств опыта и наблюдения и характеризуются как системы необходимых истин?

Ответ, как я полагаю, заключается в том, что этот характер необходимости, приписываемый истинам математики, и даже (с некоторыми оговорками, которые будут сделаны ниже) особая достоверность, приписываемая им, является иллюзией; для поддержания которой необходимо предположить, что эти истины относятся к свойствам чисто воображаемых объектов и выражают их. Признается, что выводы геометрии дедуцируются, по крайней мере частично, из так называемых определений и что эти определения предполагаются как правильные представления, насколько это возможно, объектов, с которыми имеет дело геометрия. Теперь мы указали, что из определения как такового никакое положение, если только оно не касается значения слова, никогда не может следовать; и что то, что по-видимому следует из определения, в действительности следует из подразумеваемого предположения, что существует реальная вещь, соответствующая ему. Это предположение в случае определений геометрии ложно: не существует реальных вещей, точно соответствующих определениям. Не существует точек без величины; линий без ширины, или совершенно прямых; кругов со всеми их радиусами, точно равными, или квадратов со всеми их углами, совершенно прямыми. Возможно, скажут, что предположение не распространяется на фактическое, а только на возможное существование таких вещей. Я отвечаю, что, согласно любому критерию возможности, который у нас есть, они даже невозможны. Их существование, насколько мы можем судить, по-видимому, несовместимо с физическим устройством нашей планеты, по крайней мере, если не всей Вселенной. Чтобы избавиться от этой трудности и в то же время спасти авторитет предполагаемой системы необходимых истин, принято говорить, что точки, линии, круги и квадраты, которые являются предметом геометрии, существуют только в наших представлениях и являются частью нашего ума; который, работая над своим собственным материалом, конструирует априорную науку, доказательство которой является чисто ментальным и не имеет ничего общего с внешним опытом. Какими бы высокими авторитетами ни была санкционирована эта доктрина, она кажется мне психологически неверной. Точки, линии, круги и квадраты, которые есть у кого-либо в уме, являются (я полагаю) просто копиями точек, линий, кругов и квадратов, которые он знал из своего опыта. Наша идея точки, я полагаю, есть просто наша идея minimum visibile, наименьшей части поверхности, которую мы можем видеть. Линия, как она определена геометрами, совершенно немыслима. Мы можем рассуждать о линии так, как если бы она не имела ширины; потому что у нас есть способность, которая является фундаментом всего контроля, который мы можем осуществлять над операциями нашего ума; способность, когда восприятие присутствует в наших чувствах или концепция в нашем интеллекте, обращать внимание только на часть этого восприятия или концепции, а не на целое. Но мы не можем представить себе линию без ширины; мы не можем сформировать ментальный образ такой линии: все линии, которые есть в нашем уме, — это линии, обладающие шириной. Если кто-то сомневается в этом, мы можем отослать его к его собственному опыту. Я сильно сомневаюсь, что кто-либо, кто воображает, что может представить себе то, что называется математической линией, думает так на основании свидетельства своего сознания: я подозреваю, что это скорее потому, что он предполагает, что если бы такая концепция была невозможна, математика не могла бы существовать как наука: предположение, которое, как нетрудно показать, совершенно беспочвенно.

Поскольку, следовательно, ни в природе, ни в человеческом уме не существует объектов, точно соответствующих определениям геометрии, в то время как нельзя предполагать, что эта наука имеет дело с небытием; не остается ничего иного, как рассматривать геометрию как имеющую дело с такими линиями, углами и фигурами, которые реально существуют; а определения, как их называют, должны рассматриваться как некоторые из наших первых и наиболее очевидных обобщений относительно этих природных объектов. Правильность этих обобщений, как обобщений, безупречна: равенство всех радиусов круга верно для всех кругов, насколько оно верно для любого одного; но оно не является точно верным для любого круга; оно лишь почти верно; настолько почти, что никакой ошибки сколько-нибудь важной на практике не возникнет, если мы будем притворяться, что оно точно верно. Когда у нас есть повод распространить эти индукции или их следствия на случаи, в которых ошибка была бы ощутимой — на линии ощутимой ширины или толщины, параллели, которые заметно отклоняются от равноудаленности, и тому подобное — мы исправляем наши выводы, объединяя с ними новый набор положений, относящихся к аберрации; точно так же, как мы включаем положения, относящиеся к физическим или химическим свойствам материала, если эти свойства вносят какую-либо модификацию в результат; что они легко могут сделать, даже в отношении формы и величины, как, например, в случае расширения от тепла. Однако до тех пор, пока не существует практической необходимости обращать внимание на какие-либо свойства объекта, кроме его геометрических свойств, или на какие-либо естественные неровности в них, удобно пренебречь рассмотрением других свойств и неровностей и рассуждать так, как если бы их не существовало: соответственно, мы формально объявляем в определениях, что намерены действовать по этому плану. Но ошибкой было бы полагать, что, поскольку мы решаем ограничить наше внимание определенным числом свойств объекта, мы тем самым представляем себе или имеем идею объекта, лишенного других его свойств. Мы все время думаем именно о таких объектах, которые мы видели и осязали, и со всеми свойствами, которые естественно им принадлежат; но для научного удобства мы притворяемся, что они лишены всех свойств, кроме тех, которые существенны для нашей цели и в отношении которых мы намерены их рассматривать.

Особая точность, предполагаемая как характерная для первых принципов геометрии, таким образом, оказывается фиктивной. Утверждения, на которых основываются рассуждения этой науки, не соответствуют факту точно, не более чем в других науках; но мы предполагаем, что они соответствуют, ради прослеживания следствий, которые вытекают из этого предположения. Мнение Дугалда Стюарта относительно оснований геометрии, я полагаю, по существу верно: что она построена на гипотезах; что она обязана этим единственно той особой достоверности, которая, как предполагается, отличает ее; и что в любой науке, рассуждая из набора гипотез, мы можем получить совокупность выводов столь же достоверных, как и выводы геометрии, то есть столь же строго соответствующих гипотезам и столь же неотразимо принуждающих к согласию, при условии, что эти гипотезы истинны.

Поэтому, когда утверждается, что выводы геометрии являются необходимыми истинами, необходимость заключается в действительности лишь в том, что они правильно следуют из предположений, из которых они дедуцируются. Эти предположения настолько далеки от того, чтобы быть необходимыми, что они даже не являются истинными; они намеренно отступают, более или менее значительно, от истины. Единственный смысл, в котором необходимость может быть приписана выводам любого научного исследования, — это смысл законного следования из некоторого допущения, которое, по условиям исследования, не подлежит сомнению. В этом отношении, конечно, производные истины каждой дедуктивной науки должны находиться по отношению к индукциям или допущениям, на которых основывается наука и которые, истинны они или неистинны, достоверны или сомнительны сами по себе, всегда предполагаются достоверными для целей конкретной науки. И поэтому выводы всех дедуктивных наук назывались древними необходимыми положениями. Мы уже отмечали, что быть предикатом необходимо было характерно для предикабилии Proprium, и что proprium было любым свойством вещи, которое могло быть выведено из ее сущности, то есть из свойств, включенных в ее определение.

§ 2. Важная доктрина Дугалда Стюарта, которую я пытался обосновать, была оспорена д-ром Уэвеллом как в диссертации, приложенной к его превосходному «Механическому Евклиду», так и в его обстоятельном труде по «Философии индуктивных наук»; в последнем он также отвечает на статью в «Эдинбургском обозрении» (приписываемую автору большого научного авторитета), в которой мнение Стюарта защищалось от его прежних критических замечаний. Предполагаемое опровержение Стюарта состоит в доказательстве против него (как это было сделано и в данной работе), что посылки геометрии — это не определения, а допущения реального существования вещей, соответствующих этим определениям. Это, однако, мало что дает для цели д-ра Уэвелла; ибо именно эти допущения утверждаются как гипотезы, и он, если отрицает, что геометрия основана на гипотезах, должен показать, что они являются абсолютными истинами. Все, что он делает, однако, — это замечает, что они, во всяком случае, не являются произвольными гипотезами; что мы не были бы свободны подставлять другие гипотезы вместо них; что не только «определение, чтобы быть допустимым, должно обязательно относиться к некоторой концепции, которую мы можем отчетливо сформировать в наших мыслях, и соглашаться с ней», но что прямые линии, например, которые мы определяем, должны быть «теми, которыми содержатся углы, теми, которыми ограничены треугольники, теми, о которых может быть предикатирована параллельность, и тому подобное». И это верно; но этому никогда не противоречили. Те, кто говорит, что посылки геометрии являются гипотезами, не обязаны утверждать, что они являются гипотезами, не имеющими никакого отношения к фактам. Поскольку гипотеза, сформулированная для целей научного исследования, должна относиться к чему-то, что имеет реальное существование (ибо не может быть науки о небытии), из этого следует, что любая гипотеза, которую мы делаем относительно объекта, чтобы облегчить его изучение, не должна включать ничего, что является отчетливо ложным и противоречащим его реальной природе: мы не должны приписывать вещи никакого свойства, которого у нее нет; наша свобода простирается лишь на небольшое преувеличение некоторых из тех, которые у нее есть (предполагая, что она является полностью тем, чем она на самом деле является очень почти), и подавление других, при непременном обязательстве восстанавливать их всякий раз и в той мере, в какой их присутствие или отсутствие имело бы какое-либо существенное значение для истинности наших выводов. Такого рода, соответственно, являются первые принципы, включенные в определения геометрии. Что гипотезы должны быть именно такого характера, однако, необходимо лишь постольку, поскольку никакие другие не могли бы позволить нам дедуцировать выводы, которые с должными поправками были бы истинными для реальных объектов: и на самом деле, когда наша цель — только иллюстрировать истины, а не исследовать их, мы не находимся под таким ограничением. Мы могли бы предположить воображаемое животное и разработать путем дедукции из известных законов физиологии его естественную историю; или воображаемое государство и из элементов, составляющих его, могли бы рассуждать, какова была бы его судьба. И выводы, которые мы могли бы таким образом сделать из чисто произвольных гипотез, могли бы составить весьма полезное интеллектуальное упражнение: но поскольку они могли бы научить нас только тому, каковы были бы свойства объектов, которые реально не существуют, они не составили бы никакого дополнения к нашему знанию природы: в то время как, напротив, если гипотеза лишь лишает реальный объект части его свойств, не облекая его в ложные, выводы всегда будут выражать, при известной возможности коррекции, фактическую истину.

§ 3. Но хотя д-р Уэвелл не поколебал доктрину Стюарта относительно гипотетического характера той части первых принципов геометрии, которые включены в так называемые определения, он, я полагаю, имеет большое преимущество перед Стюартом в другом важном пункте теории геометрического рассуждения: необходимости признания среди этих первых принципов аксиом, а также определений. Некоторые из аксиом Евклида могли бы, несомненно, быть представлены в форме определений или могли бы быть дедуцированы путем рассуждения из положений, подобных тем, что так называются. Так, если вместо аксиомы «Величины, которые могут быть совмещены, равны» мы введем определение «Равные величины — это те, которые могут быть приложены друг к другу так, чтобы совпасть», то три аксиомы, которые следуют (Величины, равные одной и той же, равны друг другу — Если к равным прибавляются равные, суммы равны — Если от равных отнимаются равные, остатки равны), могут быть доказаны путем воображаемого наложения, напоминающего то, с помощью которого доказывается четвертое положение первой книги Евклида. Но хотя эти и некоторые другие могут быть вычеркнуты из списка первых принципов, потому что, хотя они и не требуют доказательства, они восприимчивы к нему; в списке аксиом найдутся две или три фундаментальные истины, не способные быть доказанными: среди которых должна считаться положение, что две прямые линии не могут заключать пространство (или его эквивалент: Прямые линии, которые совпадают в двух точках, совпадают полностью), и некоторое свойство параллельных линий, отличное от того, которое составляет их определение: одно из наиболее подходящих для этой цели — то, которое выбрано профессором Плейфэром: «Две прямые линии, которые пересекают друг друга, не могут обе быть параллельны третьей прямой линии».

Аксиомы, как те, которые недоказуемы, так и те, которые допускают доказательство, отличаются от того другого класса фундаментальных принципов, которые включены в определения, тем, что они истинны без какой-либо примеси гипотезы. То, что вещи, равные одной и той же вещи, равны друг другу, так же верно для линий и фигур в природе, как это было бы для воображаемых, принятых в определениях. В этом отношении, однако, математика находится лишь наравне с большинством других наук. Почти во всех науках есть некоторые общие положения, которые точно истинны, в то время как большая часть является лишь более или менее отдаленными приближениями к истине. Так, в механике первый закон движения (продолжение движения, однажды приданного, пока оно не будет остановлено или замедлено какой-либо сопротивляющейся силой) истинен без оговорок или ошибок. Вращение Земли за двадцать четыре часа, той же длины, что и в наше время, продолжается с момента первых точных наблюдений без увеличения или уменьшения на одну секунду за весь этот период. Это индукции, которые не требуют фикции, чтобы их принимали как точно истинные: но наряду с ними есть другие, как, например, положения относительно фигуры Земли, которые являются лишь приближениями к истине; и чтобы использовать их для дальнейшего продвижения нашего знания, мы должны притворяться, что они точно истинны, хотя на самом деле им не хватает чего-то до этого.

§ 4. Остается спросить, каково основание нашей веры в аксиомы — каково свидетельство, на котором они покоятся? Я отвечаю: они являются экспериментальными истинами; обобщениями из наблюдения. Положение «Две прямые линии не могут заключать пространство» — или, другими словами, «Две прямые линии, которые однажды встретились, не встречаются снова, а продолжают расходиться» — есть индукция из свидетельства наших чувств.

Это мнение идет вразрез с научной предубежденностью давнего происхождения и большой силы, и, вероятно, нет положения, высказанного в этой работе, для которого следовало бы ожидать более неблагоприятного приема. Это, однако, не новое мнение; и даже если бы это было так, оно заслуживало бы того, чтобы судить о нем не по его новизне, а по силе аргументов, которыми оно может быть поддержано. Я считаю очень удачным, что такой выдающийся поборник противоположного мнения, как д-р Уэвелл, нашел повод для самой обстоятельной обработки всей теории аксиом, пытаясь построить философию математических и физических наук на основе доктрины, против которой я сейчас выступаю. Тот, кто стремится к тому, чтобы дискуссия дошла до сути предмета, должен радоваться, видя противоположную сторону вопроса достойно представленной. Если то, что сказано д-ром Уэвеллом в поддержку мнения, которое он сделал фундаментом систематического труда, можно показать не убедительным, этого будет достаточно, не идя дальше в поисках более сильных аргументов и более мощного противника.

Нет необходимости показывать, что истины, которые мы называем аксиомами, изначально подсказываются наблюдением и что мы никогда не узнали бы, что две прямые линии не могут заключать пространство, если бы никогда не видели прямой линии: это признается д-ром Уэвеллом и всеми, в недавнее время, кто придерживается его взгляда на предмет. Но они утверждают, что не опыт доказывает аксиому; а что ее истинность воспринимается априори, конституцией самого ума, с первого момента, когда смысл положения понят; и без какой-либо необходимости проверять ее повторными испытаниями, как это требуется в случае истин, действительно установленных наблюдением.

Они не могут, однако, не допустить, что истинность аксиомы «Две прямые линии не могут заключать пространство», даже если она очевидна независимо от опыта, также очевидна из опыта. Нуждается ли аксиома в подтверждении или нет, она получает подтверждение почти в каждое мгновение нашей жизни; поскольку мы не можем смотреть на любые две прямые линии, которые пересекают друг друга, не видя, что от этой точки они продолжают расходиться все больше и больше. Экспериментальное доказательство обрушивается на нас в таком бесконечном изобилии и без единого случая, в котором могло бы возникнуть даже подозрение на исключение из правила, что у нас вскоре было бы более сильное основание верить в аксиому, даже как в экспериментальную истину, чем у нас есть для почти любой из общих истин, которые мы признанно узнаем из свидетельства наших чувств. Независимо от априорного свидетельства, мы, безусловно, верили бы в нее с интенсивностью убеждения, гораздо большей, чем та, которую мы придаем любой обычной физической истине: и это тоже в возрасте гораздо более раннем, чем тот, с которого мы датируем почти любую часть нашего приобретенного знания, и слишком раннем, чтобы допустить сохранение нами какого-либо воспоминания об истории наших интеллектуальных операций в тот период. Где же тогда необходимость предполагать, что наше признание этих истин имеет иное происхождение, чем остальное наше знание, когда его существование прекрасно объясняется предположением, что его происхождение то же самое? когда причины, которые производят веру во всех других случаях, существуют в этом случае и в степени силы, настолько превосходящей то, что существует в других случаях, насколько сама интенсивность веры превосходит ее? Бремя доказательства лежит на сторонниках противоположного мнения: им предстоит указать на какой-либо факт, несовместимый с предположением, что эта часть нашего знания о природе происходит из тех же источников, что и любая другая часть.

Это, например, они смогли бы сделать, если бы могли доказать хронологически, что мы имели это убеждение (по крайней мере практически) так рано в младенчестве, что оно предшествовало тем впечатлениям на чувства, на которых, согласно другой теории, основывается убеждение. Это, однако, не может быть доказано: точка слишком далека, чтобы быть в пределах досягаемости памяти, и слишком неясна для внешнего наблюдения. Сторонники априорной теории вынуждены прибегать к другим аргументам. Они сводятся к двум, которые я постараюсь изложить как можно яснее и убедительнее.

§ 5. Во-первых, говорится, что если бы наше согласие с положением, что две прямые линии не могут заключать пространство, было получено из чувств, мы могли бы быть убеждены в его истинности только путем фактического испытания, то есть путем видения или осязания прямых линий; тогда как на самом деле оно видится истинным просто при мысли о них. Что камень, брошенный в воду, идет ко дну, может быть воспринято нашими чувствами, но простая мысль о камне, брошенном в воду, никогда не привела бы нас к этому выводу: не так, однако, с аксиомами, относящимися к прямым линиям: если бы меня заставили представить, что такое прямая линия, не видя ее, я бы сразу признал, что две такие линии не могут заключать пространство. Интуиция — это «воображаемое смотрение»; но опыт должен быть реальным смотрением: если мы видим свойство прямых линий истинным, просто воображая, что мы смотрим на них, основание нашей веры не может быть чувствами или опытом; это должно быть что-то ментальное.

К этому аргументу можно было бы добавить в случае этой конкретной аксиомы (ибо утверждение было бы неверным для всех аксиом), что свидетельство ее из фактического осмотра не только ненужно, но и недостижимо. Что говорит аксиома? Что две прямые линии не могут заключать пространство; что после того, как они однажды пересеклись, если их продлить до бесконечности, они не встречаются, а продолжают расходиться друг от друга. Как это можно доказать в любом единичном случае фактическим наблюдением? Мы можем следовать за линиями на любое расстояние, какое пожелаем; но мы не можем следовать за ними до бесконечности: насколько наши чувства могут свидетельствовать, они могут, непосредственно за самой дальней точкой, до которой мы их проследили, начать приближаться и, наконец, встретиться. Если бы, следовательно, у нас не было другого доказательства невозможности, чем то, которое дает нам наблюдение, у нас не было бы основания верить в аксиому вообще.

На эти аргументы, которые, я надеюсь, нельзя обвинить в преуменьшении, удовлетворительный ответ, я полагаю, будет найден, если мы обратим внимание на одно из характерных свойств геометрических форм — их способность быть нарисованными в воображении с отчетливостью, равной реальности: другими словами, точное сходство наших идей формы с ощущениями, которые их подсказывают. Это, во-первых, позволяет нам делать (по крайней мере с небольшой практикой) ментальные картины всех возможных комбинаций линий и углов, которые напоминают реальности так же хорошо, как любые, которые мы могли бы сделать на бумаге; и, во-вторых, делает эти картины такими же подходящими предметами геометрического экспериментирования, как и сами реальности; поскольку картины, если они достаточно точны, конечно, демонстрируют все свойства, которые были бы проявлены реальностями в один данный момент и при простом осмотре: и в геометрии мы имеем дело только с такими свойствами, а не с тем, что картины не могли бы продемонстрировать, — взаимным действием тел друг на друга. Основания геометрии, следовательно, были бы заложены в прямом опыте, даже если бы эксперименты (которые в данном случае состоят лишь в внимательном созерцании) практиковались исключительно над тем, что мы называем нашими идеями, то есть над диаграммами в наших умах, а не над внешними объектами. Ибо во всех системах экспериментирования мы берем некоторые объекты, чтобы служить представителями всех, которые напоминают их; и в данном случае условия, которые квалифицируют реальный объект быть представителем своего класса, полностью выполняются объектом, существующим только в нашей фантазии. Не отрицая, следовательно, возможности убедиться, что две прямые линии не могут заключать пространство, просто думая о прямых линиях, не глядя на них фактически; я утверждаю, что мы не верим в эту истину на основании воображаемой интуиции просто, но потому, что мы знаем, что воображаемые линии точно напоминают реальные, и что мы можем заключать от них к реальным с такой же уверенностью, как мы могли бы заключать от одной реальной линии к другой. Вывод, следовательно, все еще является индукцией из наблюдения. И мы не были бы уполномочены подменять наблюдение образа в нашем уме наблюдением реальности, если бы не узнали путем долгого опыта, что свойства реальности верно представлены в образе; точно так же, как мы были бы научно оправданы, описывая животное, которое мы никогда не видели, по сделанной с него дагеротипом картине; но не раньше, чем мы узнали бы путем достаточного опыта, что наблюдение такой картины в точности эквивалентно наблюдению оригинала.

Эти соображения также снимают возражение, возникающее из невозможности зрительно следовать за линиями в их продлении до бесконечности. Ибо хотя, чтобы фактически увидеть, что две данные линии никогда не встречаются, было бы необходимо следовать за ними до бесконечности; однако, не делая этого, мы можем знать, что если они когда-либо встретятся или если после расхождения друг от друга они снова начнут приближаться, это должно произойти не на бесконечном, а на конечном расстоянии. Предполагая, следовательно, что это так, мы можем перенести себя туда в воображении и можем создать ментальный образ того вида, который одна или обе линии должны представлять в этой точке, на который мы можем положиться как на точно подобный реальности. Теперь, фиксируем ли мы наше созерцание на этой воображаемой картине или вспоминаем обобщения, которые нам приходилось делать из прежнего зрительного наблюдения, мы узнаем свидетельством опыта, что линия, которая после расхождения с другой прямой линией начинает приближаться к ней, производит впечатление на наши чувства, которое мы описываем выражением «изогнутая линия», а не выражением «прямая линия».

§ 6. Первый из двух аргументов в поддержку теории, что аксиомы являются априорными истинами, будучи, я думаю, достаточно опровергнутым; я перехожу ко второму, на который обычно полагаются больше всего. Аксиомы (утверждается) мыслятся нами не только как истинные, но как универсально и необходимо истинные. Теперь опыт никак не может придать какому-либо положению этот характер. Я мог видеть снег сто раз и мог видеть, что он белый, но это не может дать мне полной уверенности даже в том, что весь снег белый; тем более что снег должен быть белым. «Сколько бы примеров истинности положения мы ни наблюдали, нет ничего, что гарантировало бы нам, что следующий случай не будет исключением из правила. Если строго верно, что каждое известное до сих пор жвачное животное имеет раздвоенные копыта, мы все еще не можем быть уверены, что в будущем не будет обнаружено какое-то существо, которое имеет первый из этих атрибутов, не имея другого.... Опыт всегда должен состоять из ограниченного числа наблюдений; и, как бы многочисленны они ни были, они не могут показать ничего в отношении бесконечного числа случаев, в которых эксперимент не был проведен». Кроме того, аксиомы не только универсальны, они также необходимы. Теперь «опыт не может предложить ни малейшего основания для необходимости положения. Она может наблюдать и записывать то, что произошло; но она не может найти ни в каком случае, ни в каком накоплении случаев никакой причины для того, что должно произойти. Она может видеть объекты бок о бок; но она не может видеть причину, почему они должны быть бок о бок. Она находит, что определенные события происходят в последовательности; но последовательность не предоставляет в своем возникновении никакой причины для своего повторения. Она созерцает внешние объекты; но она не может обнаружить никакой внутренней связи, которая неразрывно соединяет будущее с прошлым, возможное с реальным. Узнать положение из опыта и увидеть, что оно необходимо истинно, — это два совершенно разных процесса мысли». И д-р Уэвелл добавляет: «Если кто-либо не понимает ясно это различие необходимых и случайных истин, он не сможет следовать за нами в наших исследованиях оснований человеческого знания; и, действительно, успешно продолжать какую-либо спекуляцию на эту тему».

В следующем отрывке нам говорится, в чем заключается различие, непризнание которого влечет за собой это осуждение. «Необходимые истины — это те, в которых мы не только узнаем, что положение истинно, но видим, что оно должно быть истинным; в которых отрицание истины не только ложно, но невозможно; в которых мы не можем, даже усилием воображения или в предположении, представить себе обратное тому, что утверждается. Что существуют такие истины, нельзя сомневаться. Мы можем взять, например, все отношения числа. Три и два, сложенные вместе, составляют пять. Мы не можем представить себе, чтобы это было иначе. Мы не можем никаким капризом мысли вообразить, чтобы три и два составляли семь».

Хотя д-р Уэвелл естественно и правильно использовал множество фраз, чтобы донести свой смысл более убедительно, он, я полагаю, допустил бы, что они все эквивалентны; и что то, что он подразумевает под необходимой истиной, было бы достаточно определено как положение, отрицание которого не только ложно, но и немыслимо. Я не могу найти ни в одном из его выражений, как ни поворачивай их, смысла сверх этого, и я не верю, что он стал бы утверждать, что они означают что-то большее.

Это, следовательно, утверждаемый принцип: что положения, отрицание которых немыслимо, или, другими словами, которые мы не можем представить себе как ложные, должны покоиться на свидетельстве более высокого и более убедительного описания, чем любое, которое может предоставить опыт.

Теперь я не могу не удивляться, что такое большое значение придается обстоятельству немыслимости, когда есть такой богатый опыт, показывающий, что наша способность или неспособность представить себе вещь имеет очень мало общего с возможностью самой вещи; но в действительности является в значительной степени делом случая и зависит от прошлой истории и привычек нашего собственного ума. Нет более общепризнанного факта в человеческой природе, чем крайняя трудность, ощущаемая поначалу в представлении чего-либо как возможного, что противоречит давно установившемуся и знакомому опыту; или даже старым знакомым привычкам мысли. И эта трудность является необходимым результатом фундаментальных законов человеческого ума. Когда мы часто видели и думали о двух вещах вместе и никогда ни в одном случае не видели или не думали о них по отдельности, по первичному закону ассоциации возникает возрастающая трудность, которая в конце концов может стать непреодолимой, представить себе эти две вещи порознь. Это наиболее заметно у необразованных людей, которые в целом совершенно неспособны разделить любые две идеи, которые однажды прочно ассоциировались в их умах; и если люди культурного интеллекта имеют какое-либо преимущество в этом пункте, то только потому, что, видя, слыша и читая больше и будучи более привычными к упражнению своего воображения, они испытывали свои ощущения и мысли в более разнообразных комбинациях и были предотвращены от формирования многих из этих неразрывных ассоциаций. Но это преимущество обязательно имеет свои пределы. Самый практикующий интеллект не свободен от универсальных законов нашей концептивной способности. Если ежедневная привычка представляет кому-либо в течение длительного периода два факта в комбинации, и если он не ведом в течение этого периода ни случаем, ни своими добровольными ментальными операциями к тому, чтобы думать о них порознь, он, вероятно, со временем станет неспособен сделать это даже при самом сильном усилии; и предположение, что два факта могут быть разделены в природе, в конце концов представится его уму со всеми характеристиками немыслимого явления. Существуют замечательные примеры этого в истории науки: примеры, в которых самые просвещенные люди отвергали как невозможное, потому что немыслимое, вещи, которые их потомки, благодаря более ранней практике и более долгому упорству в попытке, находили вполне легкими для представления, и которые теперь все знают как истинные. Было время, когда люди самых культурных интеллектов и наиболее освобожденные от господства ранних предрассудков не могли поверить в существование антиподов; были неспособны представить себе, в противовес старой ассоциации, силу гравитации, действующую вверх, а не вниз. Картезианцы долго отвергали ньютоновскую доктрину гравитации всех тел друг к другу на вере в общее положение, обратное которому казалось им немыслимым — положение, что тело не может действовать там, где его нет. Весь громоздкий механизм воображаемых вихрей, принятый без малейшей частицы доказательства, казался этим философам более рациональным способом объяснения небесных движений, чем тот, который включал то, что казалось им столь великим абсурдом. И они, несомненно, находили столь же невозможным представить, что тело должно действовать на Землю на расстоянии Солнца или Луны, как мы находим невозможным представить конец пространства или времени, или две прямые линии, заключающие пространство. Сам Ньютон не был способен реализовать эту концепцию, иначе у нас не было бы его гипотезы тонкого эфира, оккультной причины гравитации; и его труды доказывают, что, хотя он считал конкретную природу промежуточного агента делом догадки, необходимость некоторого такого агента казалась ему несомненной. Казалось бы, что даже сейчас большинство ученых людей не полностью преодолели эту самую трудность; ибо хотя они наконец научились представлять Солнце, притягивающее Землю без какой-либо промежуточной жидкости, они все еще не могут представить Солнце, освещающее Землю без какой-либо такой среды.