«Система логики: умозаключающей и индуктивной»

Когда аппроксимативные обобщения соединяются путем сложения, мы можем вывести из теории вероятностей, изложенной в предыдущей главе, каким образом каждое из них добавляет к вероятности вывода, который имеет гарантию их всех.

Если в среднем два из каждых трех А суть Б, и три из каждых четырех В суть Б, вероятность того, что вещь, которая является и А, и В, есть Б, будет больше, чем два к трем, или чем три к четырем. Из каждых двенадцати вещей, которые суть А, все, кроме четырех, суть Б по предположению; и если все двенадцать, а следовательно, и те четыре, имеют также характеристики В, три из них будут Б на этом основании. Следовательно, из двенадцати, которые суть и А, и В, одиннадцать суть Б. Чтобы выразить аргумент другим способом: вещь, которая есть и А, и В, но которая не есть Б, встречается только в одной из трех секций класса А и только в одной из четырех секций класса В; но эта четверть В, будучи распределена по всему А без разбора, только одна третья часть ее (или одна двенадцатая всего числа) принадлежит к третьей секции А; следовательно, вещь, которая не есть Б, встречается только один раз среди двенадцати вещей, которые суть и А, и В. Аргумент был бы, на языке доктрины шансов, выражен так: шанс того, что А не есть Б, равен 1/3, шанс того, что В не есть Б, равен 1/4; следовательно, если вещь есть и А, и В, шанс равен 1/3 от 1/4 = 1/12.

[pg 422] В этом вычислении, конечно, предполагается, что вероятности, возникающие из А и В, независимы друг от друга. Не должно быть никакой такой связи между А и В, что когда вещь принадлежит к одному классу, она поэтому будет принадлежать к другому или даже иметь больший шанс на это. Иначе не-Б, которые суть В, могут быть, большинство или даже все они, идентичны с не-Б, которые суть А; в последнем случае вероятность, возникающая из А и В вместе, будет не больше, чем та, что возникает из А отдельно.

Когда аппроксимативные обобщения соединяются вместе другим способом, способом дедукции, степень вероятности вывода, вместо того чтобы увеличиваться, уменьшается на каждом шаге. Из двух таких посылок, как «большинство А суть Б», «большинство Б суть В», мы не можем с уверенностью заключить, что даже один А есть В; ибо вся часть А, которая каким-либо образом подпадает под Б, может, возможно, быть включена в исключительную его часть. Все же два рассматриваемых суждения дают ощутимую вероятность того, что любой данный А есть В, при условии, что среднее значение, на котором основано второе суждение, было взято справедливо по отношению к первому; при условии, что суждение «большинство Б суть В» было достигнуто способом, не оставляющим подозрения, что вероятность, возникающая из него, распределена иначе, чем справедливо по секции Б, которая принадлежит к А. Ибо хотя примеры, которые суть А, могут быть все в меньшинстве, они могут также быть все в большинстве; и одна возможность должна быть противопоставлена другой. В целом, вероятность, возникающая из двух суждений, взятых вместе, будет правильно измерена вероятностью, возникающей из одного, уменьшенной в отношении той, что возникает из другого. Если девять из десяти шведов имеют светлые волосы и восемь из девяти жителей Стокгольма суть шведы, вероятность, возникающая из этих двух суждений, что любой данный житель Стокгольма светловолос, составит восемь к десяти; хотя строго возможно, что все шведское население Стокгольма могло бы принадлежать к той десятой части народа Швеции, которая является исключением из остальных.

Если посылки известны как истинные не для простого большинства, а почти для всего объема своих соответствующих субъектов, мы можем продолжать соединять одно такое суждение с другим на несколько шагов, прежде чем придем к выводу, который предположительно не является истинным даже для большинства. Ошибка вывода составит совокупность ошибок всех посылок. Пусть суждение «большинство А суть Б» истинно для девяти из десяти; «большинство Б суть В» — для восьми из девяти; тогда не только один А из десяти не будет В, потому что не Б, но даже из девяти десятых, которые суть Б, только восемь девятых будут В; то есть случаи А, которые суть В, будут только 8/9 от 9/10, или четыре пятых. Давайте теперь добавим «большинство В суть Г» и предположим, что это истинно для семи случаев из восьми; пропорция А, которая есть Г, будет только 7/8 от 8/9 от 9/10, или 7/10. Таким образом, вероятность постепенно уменьшается. Опыт, однако, на котором основаны наши аппроксимативные обобщения, так редко подвергался или допускает точную численную оценку, что мы не можем в общем применить какое-либо измерение к уменьшению вероятности, которое происходит при каждом умозаключении; но должны довольствоваться тем, что помним, что она уменьшается на каждом шаге и что, если посылки не приближаются очень близко к тому, чтобы быть универсально истинными, вывод после очень немногих шагов ничего не стоит. Слух о слухе или аргумент из предположительных доказательств, зависящий не от непосредственных признаков, а от признаков признаков, бесполезен на очень немногих удалениях от первой стадии.

§ 7. Существуют, однако, два случая, в которых рассуждения, зависящие от аппроксимативных обобщений, могут быть доведены до любой длины, какой мы пожелаем, с такой же уверенностью и являются столь же строго научными, как если бы они состояли из универсальных законов природы. Но эти случаи являются исключениями того рода, о которых принято говорить, что они подтверждают правило. Аппроксимативные обобщения столь же пригодны в рассматриваемых случаях для целей умозаключения, как если бы они были полными обобщениями, потому что они способны быть преобразованы в полные обобщения, точно эквивалентные.

Первое: Если аппроксимативное обобщение относится к классу, в котором наша причина для остановки на аппроксимации — не невозможность, а только неудобство идти дальше; если мы осознаем характер, который отличает случаи, согласующиеся с обобщением, от тех, которые являются исключениями из него; мы можем тогда заменить аппроксимативное суждение универсальным суждением с оговоркой. Суждение «большинство лиц, имеющих неограниченную власть, используют ее плохо» — это обобщение этого класса, и оно может быть преобразовано в следующее: «Все лица, имеющие неограниченную власть, используют ее плохо, при условии, что они не являются лицами с необычайной силой суждения и прямотой цели». Суждение, несущее с собой гипотезу или оговорку, может тогда рассматриваться уже не как аппроксимативное, а как универсальное суждение; и до какого бы числа шагов ни доходило рассуждение, гипотеза, будучи перенесенной к выводу, будет точно указывать, насколько этот вывод далек от того, чтобы быть применимым универсально. Если в ходе аргументации вводятся другие аппроксимативные обобщения, каждое из которых подобным образом выражено как универсальное суждение с приложенным условием, сумма всех условий появится в конце как сумма всех ошибок, которые влияют на вывод. Таким образом, к последнему процитированному суждению добавим следующее: «Все абсолютные монархи имеют неограниченную власть, если только их положение не таково, что они нуждаются в активной поддержке своих подданных (как это было в случае с королевой Елизаветой, Фридрихом Прусским и другими)». Объединяя эти два суждения, мы можем вывести из них универсальный вывод, который будет подлежать обеим гипотезам в посылках: «Все абсолютные монархи используют свою власть плохо, если только их положение не заставляет их нуждаться в активной поддержке своих подданных или если они не являются лицами с необычайной силой суждения и прямотой цели». Не имеет значения, как быстро накапливаются ошибки в наших посылках, если мы способны таким образом записывать каждую ошибку и вести счет совокупности по мере ее роста.

Во-вторых, существует случай, когда приблизительные суждения, даже без учета нами условий, при которых они неверны для отдельных случаев, тем не менее для целей науки являются универсальными; а именно в исследованиях, которые касаются свойств не индивидов, а множеств. Главной из них является наука о политике, или о человеческом обществе. Эта наука занимается преимущественно действиями не одиночных индивидов, а масс; судьбами не отдельных лиц, а сообществ. Поэтому государственному деятелю, как правило, достаточно знать, что большинство людей действуют или подвергаются воздействию определенным образом; поскольку его умозаключения и практические мероприятия относятся почти исключительно к случаям, в которых все сообщество или его значительная часть подвергаются воздействию одновременно, и в которых, следовательно, то, что совершается или ощущается большинством людей, определяет результат, производимый этим или воздействующий на общество в целом. Он может вполне успешно обходиться приблизительными обобщениями о человеческой природе, поскольку то, что приблизительно истинно для всех индивидов, абсолютно истинно для всех масс. И даже когда действия отдельных людей играют роль в его дедукциях, как, например, когда он рассуждает о королях или других единоличных правителях, все же, поскольку он планирует на неопределенно долгий срок, предполагающий неопределенную смену таких индивидов, он должен в целом как рассуждать, так и действовать так, как если бы то, что истинно для большинства людей, было истинно для всех.

Два вида приведенных выше соображений являются достаточным опровержением популярного заблуждения о том, что размышления об обществе и правительстве, основываясь лишь на вероятных свидетельствах, должны уступать в достоверности и научной точности выводам так называемых точных наук и быть менее надежными на практике. Существует достаточно причин, по которым моральные науки должны оставаться менее совершенными, по крайней мере, чем более совершенные физические науки; почему законы их более сложных явлений не могут быть столь полно расшифрованы, а явления предсказаны с той же степенью уверенности. Но хотя мы не можем достичь столь многих истин, нет причин, по которым те, которых мы можем достичь, должны заслуживать меньшего доверия или иметь меньше научного характера. Об этой теме, однако, я буду рассуждать более систематически в заключительной книге, к которой и следует отложить дальнейшее ее рассмотрение.

[pg 425]

Глава XXIV.

Об остальных законах природы.

§ 1. В первой книге мы обнаружили, что все утверждения, которые могут быть переданы посредством языка, выражают нечто одно или несколько из пяти различных вещей: существование, порядок в пространстве, порядок во времени, причинность и сходство. Из них причинность, в нашем понимании предмета, не будучи фундаментально отличной от порядка во времени, сводит пять видов возможных утверждений к четырем. Суждения, которые утверждают порядок во времени в любом из его двух модусов — сосуществовании и последовательности, — до сих пор составляли предмет настоящей книги. И теперь мы завершили изложение, насколько оно входит в пределы, отведенные для этой работы, природы свидетельств, на которых основываются эти суждения, и процессов исследования, посредством которых они устанавливаются и доказываются. Остаются три класса фактов: существование, порядок в пространстве и сходство, в отношении которых теперь должны быть решены те же вопросы.

Что касается первого из них, то здесь нужно сказать очень мало. Существование в целом — это предмет не для нашей науки, а для метафизики. Определить, какие вещи могут быть признаны реально существующими, независимо от наших собственных чувственных или иных впечатлений, и в каком смысле термин в этом случае предицируется им, относится к рассмотрению «вещей в себе», от которого на протяжении всей этой работы мы по возможности воздерживались. Существование, насколько логика имеет к нему отношение, относится только к феноменам; к актуальным или возможным состояниям внешнего или внутреннего сознания, в нас самих или в других. Чувства чувствующих существ или возможности обладания такими чувствами — это единственные вещи, существование которых может быть предметом логической индукции, потому что это единственные вещи, существование которых в отдельных случаях может быть предметом опыта.

Правда, мы говорим, что вещь существует, даже когда она отсутствует и, следовательно, не воспринимается и не может быть воспринята. Но даже тогда ее существование для нас — лишь другое слово для нашего убеждения, что мы восприняли бы ее при определенном допущении; а именно, если бы мы находились в необходимых обстоятельствах времени и места и были наделены необходимой полнотой органов чувств. Моя вера в то, что император Китая существует, — это просто моя вера в то, что если бы я был перенесен в императорский дворец или какую-то другую местность в Пекине, я бы увидел его. Моя вера в то, что Юлий Цезарь существовал, — это моя вера в то, что я увидел бы его, если бы присутствовал на Фарсальском поле или в здании сената в Риме. Когда я верю, что звезды существуют за пределами пределов моего зрения, даже если мне помогают самые мощные телескопы из когда-либо изобретенных, моя вера, выраженная философски, заключается в том, что с еще более совершенными телескопами, если бы таковые существовали, я мог бы их увидеть, или что они могут быть восприняты существами, менее удаленными от них в пространстве, или чьи способности восприятия превосходят мои.

Существование, следовательно, феномена — это лишь другое слово для его восприятия или для выводимой возможности его восприятия. Когда феномен находится в пределах настоящего наблюдения, посредством настоящего наблюдения мы убеждаемся в его существовании; когда он находится за пределами этого диапазона и, следовательно, называется отсутствующим, мы выводим его существование из признаков или свидетельств. Но чем могут быть эти свидетельства? Другими феноменами, установленными индукцией как связанные с данным феноменом либо путем последовательности, либо путем сосуществования. Простое существование, следовательно, индивидуального феномена, когда он не воспринимается непосредственно, выводится из некоторого индуктивного закона последовательности или сосуществования; и, следовательно, не подлежит никаким особым индуктивным принципам. Мы доказываем существование вещи, доказывая, что она связана последовательностью или сосуществованием с какой-то известной вещью.

Что касается общих суждений этого класса, то есть тех, которые утверждают голый факт существования, то они имеют особенность, которая делает логическое обращение с ними очень простым делом; это обобщения, которые достаточно доказать одним примером. То, что призраки, или единороги, или морские змеи существуют, было бы полностью доказано, если бы можно было положительно установить, что такие вещи были замечены хотя бы раз. Все, что произошло однажды, способно произойти снова; единственный вопрос касается условий, при которых это происходит.

Поэтому, насколько это касается простого существования, у индуктивной логики нет узлов, которые нужно развязывать. И мы можем перейти к оставшимся двум из великих классов, на которые были разделены факты: сходству и порядку в пространстве.

§ 2. Сходство и его противоположность, за исключением случая, когда они принимают названия равенства и неравенства, редко рассматриваются как предметы науки; предполагается, что они воспринимаются простым схватыванием; путем простого применения наших чувств или направления нашего внимания на два объекта одновременно или в непосредственной последовательности. И это одновременное, или фактически одновременное, применение наших способностей к двум вещам, которые подлежат сравнению, неизбежно составляет окончательную апелляцию, где бы такое применение ни было практически осуществимо. Но в большинстве случаев это неосуществимо: объекты не могут быть сближены настолько, чтобы чувство их сходства (по крайней мере, полное его чувство) непосредственно возникло в уме. Мы можем лишь сравнить каждый из них с каким-то третьим объектом, способным быть перенесенным от одного к другому. И кроме того, даже когда объекты могут быть приведены в непосредственное сопоставление, их сходство или различие известно нам лишь несовершенно, если мы не сравнили их детально, часть за частью. Пока это не сделано, вещи, в действительности весьма несходные, часто кажутся неразличимо похожими. Две линии очень неравной длины будут казаться примерно равными, когда они лежат в разных направлениях; но поместите их параллельно, выровняв их дальние концы, и если мы посмотрим на ближние концы, их неравенство станет предметом прямого восприятия.

Установить, сходны ли два феномена или различаются и в чем именно, поэтому не всегда так просто, как может показаться на первый взгляд. Когда два феномена нельзя сопоставить или нельзя сопоставить так, чтобы наблюдатель мог сравнить их отдельные части в деталях, он должен использовать косвенные средства рассуждения и общие суждения. Когда мы не можем сблизить две прямые линии, чтобы определить, равны ли они, мы делаем это с помощью физической помощи линейки, приложенной сначала к одной, а затем к другой, и логической помощи общего суждения или формулы: «Вещи, равные одной и той же вещи, равны между собой». Сравнение двух вещей через посредство третьей вещи, когда их прямое сравнение невозможно, является надлежащим научным процессом для установления сходств и различий и составляет сумму всего того, чему логика может научить по этому предмету.

Чрезмерное расширение этого замечания побудило Локка рассматривать само рассуждение как не что иное, как сравнение двух идей посредством третьей, а знание — как восприятие согласия или несогласия двух идей; доктрины, которые школа Кондильяка слепо приняла без оговорок и различий, с которыми они старательно охранялись их прославленным автором. Там, где действительно согласие или несогласие (иначе называемое сходством или несходством) любых двух вещей является самим предметом, подлежащим определению, как это имеет место, в частности, в науках о количестве и протяженности, там процесс, посредством которого решение, если оно не достижимо прямым восприятием, должно быть косвенно найдено, состоит в сравнении этих двух вещей посредством третьей. Но это далеко не верно для всех исследований. Знание того, что тела падают на землю, — это не восприятие согласия или несогласия, а серия физических событий, последовательность ощущений. Определения знания и рассуждения Локка требовали ограничения нашим знанием о сходствах и рассуждением о них. Но даже при таком ограничении эти суждения не являются строго правильными; поскольку сравнение производится не, как он представляет, между идеями двух феноменов, а между самими феноменами. Эта ошибка была указана в более ранней части нашего исследования, и мы проследили ее до несовершенного представления о том, что происходит в математике, где очень часто сравнение действительно производится между идеями без всякой апелляции к внешним чувствам; только, однако, потому, что в математике сравнение идей строго эквивалентно сравнению самих феноменов. Там, где, как в случае с числами, линиями и фигурами, наша идея объекта является полной картиной объекта, насколько это касается рассматриваемого дела, мы можем, конечно, узнать из картины все, что можно было бы узнать из самого объекта простым созерцанием его в тот конкретный момент, когда картина была сделана. Никакое простое созерцание пороха никогда не научило бы нас тому, что искра заставит его взорваться, и, следовательно, созерцание идеи пороха не сделало бы этого; но простое созерцание прямой линии показывает, что она не может заключать в себе пространство; соответственно, созерцание идеи ее покажет то же самое. То, что происходит в математике, таким образом, не является аргументом в пользу того, что сравнение происходит только между идеями. Это всегда, косвенно или прямо, сравнение феноменов.

В случаях, когда мы не можем подвергнуть феномены проверке прямым осмотром вообще или не можем сделать это достаточно точно, но должны судить об их сходстве путем вывода из других сходств или несходств, более доступных наблюдению, мы, конечно, требуем, как и во всех случаях умозаключения, обобщений или формул, применимых к предмету. Мы должны рассуждать исходя из законов природы; из единообразий, которые наблюдаемы в факте сходства или несходства.

§ 3. Из этих законов или единообразий наиболее всеобъемлющими являются те, что поставляются математикой; аксиомы, относящиеся к равенству, неравенству и пропорциональности, и различные теоремы, на них основанные. И это единственные законы сходства, которые требуют того, чтобы их рассматривали отдельно, или которые могут быть так рассмотрены. Правда, существуют бесчисленные другие теоремы, которые утверждают сходства между феноменами; как, например, то, что угол отражения света равен углу его падения (равенство является лишь точным сходством по величине). Далее, что небесные тела описывают равные площади за равные времена; и что их периоды обращения пропорциональны (еще один вид сходства) полуторным степеням их расстояний от центра силы. Эти и подобные суждения утверждают сходства той же природы, что и те, которые утверждаются в теоремах математики; но различие заключается в том, что суждения математики истинны для всех феноменов вообще, или, по крайней мере, без различия происхождения; в то время как рассматриваемые истины утверждаются только для особых феноменов, которые возникают определенным образом; и равенства, пропорциональности или другие сходства, которые существуют между такими феноменами, должны неизбежно быть либо производными от закона их происхождения, либо идентичными ему — закона причинности, от которого они зависят. Равенство площадей, описываемых за равные времена планетами, выведено из законов причин; и, пока его выведение не было показано, оно было эмпирическим законом. Равенство углов отражения и падения идентично закону причины; ибо причиной является падение луча света на отражающую поверхность, а рассматриваемое равенство — это самый закон, согласно которому эта причина производит свои следствия. Этот класс, следовательно, единообразий сходства между феноменами неотделим, фактически и мысленно, от законов производства этих феноменов; и принципы индукции, применимые к ним, суть не что иное, как те, о которых мы рассуждали в предыдущих главах этой книги.

Иначе обстоит дело с истинами математики. Законы равенства и неравенства между пространствами или между числами не имеют связи с законами причинности. То, что угол отражения равен углу падения, есть утверждение способа действия конкретной причины; но то, что при пересечении двух прямых линий противоположные углы равны, истинно для всех таких линий и углов, какой бы причиной они ни были произведены. То, что квадраты периодов обращения планет пропорциональны кубам их расстояний от Солнца, есть единообразие, выведенное из законов причин (или сил), которые производят планетные движения; но то, что квадрат любого числа в четыре раза больше квадрата половины этого числа, истинно независимо от какой-либо причины. Единственные законы сходства, следовательно, которые мы призваны рассматривать независимо от причинности, принадлежат к области математики.

§ 4. То же самое очевидно в отношении единственной оставшейся из наших пяти категорий — порядка в пространстве. Порядок в пространстве следствий причины есть (как и все остальное, относящееся к следствиям) следствие законов этой причины. Порядок в пространстве, или, как мы его назвали, размещение первоначальных причин, является (как и их сходство) в каждом случае предельным фактом, в котором не прослеживаются никакие законы или единообразия. Единственные оставшиеся общие суждения относительно порядка в пространстве, и единственные, которые не имеют ничего общего с причинностью, — это некоторые истины геометрии; законы, посредством которых мы способны, исходя из порядка в пространстве определенных точек, линий или пространств, делать выводы о порядке в пространстве других, которые связаны с первыми каким-то известным образом; совершенно независимо от конкретной природы этих точек, линий или пространств в любом другом отношении, кроме положения или величины, а также независимо от физической причины, из которой в любом конкретном случае они случайно получают свое происхождение.

[pg 429] Таким образом, оказывается, что математика — это единственный отдел науки, методы которого еще предстоит исследовать. И тем менее необходимо, чтобы это исследование занимало нас долго, поскольку мы уже во второй книге достигли значительного прогресса в нем. Мы там отметили, что непосредственно индуктивные истины математики немногочисленны; они состоят из аксиом вместе с некоторыми суждениями относительно существования, неявно включенными в большинство так называемых определений. И мы привели то, что казалось убедительными причинами для утверждения, что эти исходные посылки, из которых дедуцируются остальные истины науки, являются, вопреки всем видимостям, результатами наблюдения и опыта; основанными, короче говоря, на свидетельстве чувств. То, что вещи, равные одной и той же вещи, равны между собой, и что две прямые линии, которые однажды пересеклись, продолжают расходиться, являются индуктивными истинами; основывающимися, действительно, подобно закону всеобщей причинности, только на индукции per enumerationem simplicem; на том факте, что они постоянно воспринимались как истинные и никогда не оказывались ложными. Но, как мы видели в недавней главе, это свидетельство в случае закона, столь совершенно универсального, как закон причинности, равносильно полнейшему доказательству, так это еще более очевидно верно для общих суждений, к которым мы сейчас обращаемся; потому что, поскольку восприятие их истинности в любом индивидуальном случае требует лишь простого акта взгляда на объекты в надлежащем положении, в их случае никогда не могло быть (что в течение долгого периода было в случае закона причинности) примеров, которые были бы кажущимися, хотя и не реальными, исключениями из них. Их непогрешимая истинность была признана с самой зари размышления; и поскольку их крайняя привычность делала невозможным для ума мыслить объекты по какому-либо другому закону, они были и до сих пор считаются истинами, признаваемыми по их собственному свидетельству или по инстинкту.

§ 5. Есть нечто, что, по-видимому, требует объяснения в том факте, что огромное множество истин (множество, столь же далекое от исчерпания, как и всегда), включенных в математические науки, может быть извлечено из столь малого числа элементарных законов. Сначала не видишь, как может быть место для такого бесконечного разнообразия истинных суждений о предметах, по-видимому, столь ограниченных.

Начнем с науки о числе. Элементарными или предельными истинами этой науки являются общие аксиомы относительно равенства, а именно: «Вещи, равные одной и той же вещи, равны между собой» и «Равные, прибавленные к равным, дают равные суммы» (никаких других аксиом не требуется), вместе с определениями различных чисел. Подобно другим так называемым определениям, они состоят из двух вещей: объяснения имени и утверждения факта; из которых последнее одно может составлять первый принцип или посылку науки. Факт, утверждаемый в определении числа, является физическим фактом. Каждое из чисел два, три, четыре и т. д. обозначает физические феномены и коннотирует физическое свойство этих феноменов. Два, например, обозначает все пары вещей, а двенадцать — все дюжины вещей, коннотируя то, что делает их парами или дюжинами; и то, что делает их таковыми, есть нечто физическое; поскольку нельзя отрицать, что два яблока физически отличимы от трех яблок, две лошади от одной лошади и так далее; что они являются разными видимыми и осязаемыми феноменами. Я не берусь сказать, в чем заключается различие; достаточно того, что существует различие, которое чувства могут распознать. И хотя сто две лошади не так легко отличить от ста трех, как две лошади от трех — хотя в большинстве положений чувства не воспринимают никакого различия, — все же они могут быть расположены так, что различие станет заметным, иначе мы никогда не различили бы их и не дали бы им разные имена. Вес, как общепризнано, является физическим свойством вещей; однако малые различия между большими весами столь же незаметны для чувств в большинстве ситуаций, как малые различия между большими числами; и становятся очевидными только при помещении двух объектов в особое положение, а именно на противоположные чаши точных весов.

Что же тогда коннотируется именем числа? Конечно, некоторое свойство, принадлежащее агломерации вещей, которые мы называем этим именем; и это свойство есть характерный способ, которым агломерация составлена из частей и может быть разделена на них. Я постараюсь сделать это более понятным с помощью нескольких объяснений.

Когда мы называем совокупность объектов два, три или четыре, они не являются два, три или четыре в абстракции; они являются двумя, тремя или четырьмя вещами какого-то конкретного рода: гальками, лошадьми, дюймами, фунтами веса. То, что коннотирует имя числа, — это способ, которым отдельные объекты данного рода должны быть соединены, чтобы произвести этот конкретный агрегат. Если агрегат состоит из гальки и мы называем его два, имя подразумевает, что для составления агрегата одна галька должна быть присоединена к одной гальке. Если мы называем его три, одна, одна и одна галька должны быть собраны вместе, чтобы произвести его, или же одна галька должна быть присоединена к агрегату того рода, который называется два, уже существующему. Агрегат, который мы называем четыре, имеет еще большее число характерных способов формирования. Одна, одна, одна и одна галька могут быть собраны вместе; или два агрегата того рода, который называется два, могут быть объединены; или одна галька может быть добавлена к агрегату того рода, который называется три. Каждое последующее число в возрастающем ряду может быть сформировано путем соединения меньших чисел в прогрессивно большем разнообразии способов. Даже ограничивая части двумя, число может быть сформировано и, следовательно, может быть разделено столькими различными способами, сколько существует чисел, меньших, чем оно само; и если мы допустим тройки, четверки и т. д., то в еще большем разнообразии. Другие способы прихода к тому же агрегату представляют себя не путем объединения меньших, а путем расчленения больших агрегатов. Так, три гальки могут быть сформированы путем удаления одной гальки из агрегата в четыре; две гальки — путем равного деления подобного агрегата; и так далее.

Каждое арифметическое суждение, каждое утверждение результата арифметической операции есть утверждение одного из способов формирования данного числа. Оно утверждает, что определенный агрегат мог быть сформирован путем сложения определенных других агрегатов или путем изъятия определенных частей некоторого агрегата; и что, как следствие, мы могли бы воспроизвести эти агрегаты из него, обратив процесс.

[pg 431] Таким образом, когда мы говорим, что куб 12 равен 1728, мы утверждаем следующее: что если, имея достаточное количество гальки или любых других объектов, мы сложим их в особый род посылок или агрегатов, называемых двенадцатью; и сложим эти двенадцать снова в подобные коллекции; и, наконец, составим двенадцать из этих самых больших посылок; то агрегат, таким образом сформированный, будет таким, который мы называем 1728; а именно, тем, который (чтобы взять самый знакомый из его способов формирования) может быть сделан путем соединения посылки, называемой тысячей галек, посылки, называемой семьюстами гальками, посылки, называемой двадцатью гальками, и посылки, называемой восемью гальками.

Обратное суждение о том, что кубический корень из 1728 равен 12, утверждает, что этот большой агрегат может быть снова разложен на двенадцать двенадцатых двенадцатых галек, из которых он состоит.

Способы формирования любого числа бесчисленны; но когда мы знаем один способ формирования каждого, все остальные могут быть определены дедуктивно. Если мы знаем, что a сформировано из b и c, b из a и e, c из d и f и так далее, пока мы не включили все числа любой шкалы, которую мы решили выбрать (заботясь о том, чтобы для каждого числа способ формирования был действительно отличным, не возвращая нас снова к прежним числам, а вводя новое число), мы имеем набор суждений, из которых мы можем рассуждать обо всех других способах формирования этих чисел друг из друга. Установив цепь индуктивных истин, соединяющих все числа шкалы, мы можем установить формирование любого из этих чисел из любого другого, просто перемещаясь от одного к другому вдоль цепи. Предположим, что мы знаем только следующие способы формирования: 6=4+2, 4=7-3, 7=5+2, 5=9-4. Мы могли бы определить, как 6 может быть сформировано из 9. Ибо 6=4+2=7-3+2=5+2-3+2=9-4+2-3+2. Оно может, следовательно, быть сформировано путем удаления 4 и 3 и добавления 2 и 2. Если мы знаем, кроме того, что 2+2=4, мы получаем 6 из 9 более простым способом, просто удалив 3.

Достаточно, следовательно, выбрать один из различных способов формирования каждого числа как средство установления всех остальных. И поскольку вещи, которые единообразны и, следовательно, просты, легче всего воспринимаются и удерживаются пониманием, существует очевидное преимущество в выборе способа формирования, который был бы одинаковым для всех; в фиксации коннотации имен числа на одном единообразном принципе. Способ, которым устроена наша существующая числовая номенклатура, обладает этим преимуществом, с дополнительным преимуществом, что он удачно передает уму два из способов формирования каждого числа. Каждое число рассматривается как сформированное путем добавления единицы к числу, следующему непосредственно за ним по величине, и этот способ формирования передается местом, которое оно занимает в ряду. И каждое также рассматривается как сформированное путем добавления числа единиц, меньших десяти, и числа агрегатов, каждый из которых равен одной из последовательных степеней десяти; и этот способ его формирования выражается его произносимым именем и его числовым символом.

Что делает арифметику типом дедуктивной науки, так это удачная применимость к ней закона, столь всеобъемлющего, как «Суммы равных равны»: или (чтобы выразить тот же принцип менее знакомым, но более характерным языком), все, что составлено из частей, составлено из частей этих частей. Эта истина, очевидная для чувств во всех случаях, которые могут быть справедливо отнесены к их решению, и столь общая, что она соразмерна самой природе, будучи истинной для всех видов феноменов (ибо все допускают нумерацию), должна считаться индуктивной истиной, или законом природы, высшего порядка. И каждая арифметическая операция есть применение этого закона или других законов, способных быть выведенными из него. Это наше основание для всех вычислений. Мы верим, что пять и два равны семи, на свидетельстве этого индуктивного закона, объединенного с определениями этих чисел. Мы приходим к этому выводу (как знают все, кто помнит, как они впервые узнали это) путем добавления по одной единице за раз: 5 + 1=6, следовательно, 5+1+1=6+1=7; и снова 2=1+1, следовательно, 5+2=5+1+1=7.

Бесчисленны истинные суждения, которые могут быть сформированы относительно конкретных чисел, но адекватного представления нельзя было бы получить из них одних о степени истин, составляющих науку о числе. Такие суждения, о которых мы говорили, являются наименее общими из всех числовых истин. Правда, даже они соразмерны всей природе; свойства числа четыре истинны для всех объектов, которые делимы на четыре равные части, и все объекты либо фактически, либо идеально так делимы. Но суждения, которые составляют науку алгебры, истинны не для конкретного числа, а для всех чисел; не для всех вещей при условии деления их определенным образом, а для всех вещей при условии деления их любым образом — вообще быть обозначенными числом.

Поскольку для разных чисел невозможно иметь какие-либо из их способов формирования полностью общими, это своего рода парадокс — сказать, что все суждения, которые могут быть сделаны относительно чисел, относятся к их способам формирования из других чисел, и все же существуют суждения, которые истинны для всех чисел. Но этот самый парадокс ведет к реальному принципу обобщения относительно свойств чисел. Два разных числа не могут быть сформированы одинаковым образом из одних и тех же чисел; но они могут быть сформированы одинаковым образом из разных чисел; как девять сформировано из трех путем умножения его на самого себя, а шестнадцать сформировано из четырех тем же процессом. Таким образом возникает классификация способов формирования, или, на языке, обычно используемом математиками, классификация функций. Любое число, рассматриваемое как сформированное из любого другого числа, называется функцией его; и существует столько видов функций, сколько существует способов формирования. Простые функции отнюдь не многочисленны, большинство функций формируется комбинацией нескольких операций, которые формируют простые функции, или последовательными повторениями какой-то одной из этих операций. Простые функции любого числа x все сводимы к следующим формам: x + a, x - a, ax, x/a, log. x (по основанию a) и те же выражения, варьируемые путем подстановки x вместо a и a вместо x, везде, где такая подстановка изменила бы значение: к чему, возможно, следует добавить sin x и arc (sin=x). Все другие функции x формируются путем подстановки одной или нескольких простых функций вместо x или a и подвергания их тем же элементарным операциям.

Чтобы проводить общие рассуждения по предмету функций, нам требуется номенклатура, позволяющая нам выражать любые два числа именами, которые, не уточняя, какие именно это числа, покажут, какой функцией является каждое из них от другого; или, другими словами, сделают очевидным их способ формирования друг из друга. Система общего языка, называемая алгебраической нотацией, делает это. Выражения a и a2+3a обозначают: одно — любое число, другое — число, сформированное из него определенным образом. Выражения a, b, n и (a+b)n обозначают любые три числа и четвертое, которое сформировано из них определенным образом.

Следующее может быть сформулировано как общая проблема алгебраического исчисления: F будучи некоторой функцией данного числа, найти, какой функцией F будет от любой функции этого числа. Например, бином a + b есть функция своих двух частей a и b, а части, в свою очередь, являются функциями a + b: теперь (a + b)n есть некоторая функция бинома; какой функцией будет это от a и b, двух частей? Ответ на этот вопрос — бином Ньютона. Формула (a + b)n = an + n/1 an-1b + n.n-1/1.2 an-2b2 и т. д. показывает, каким образом число, которое сформировано путем умножения a + b на самого себя n раз, могло быть сформировано без этого процесса, непосредственно из a, b и n. И такого рода все теоремы науки о числе. Они утверждают идентичность результата разных способов формирования. Они утверждают, что некоторый способ формирования из x и некоторый способ формирования из определенной функции x производят одно и то же число.

Такова, как описано выше, цель и конец исчисления. Что касается его процессов, каждый знает, что они просто дедуктивны. Демонстрируя алгебраическую теорему или решая уравнение, мы движемся от datum к quaesitum путем чистого умозаключения; в котором единственными введенными посылками, помимо исходных гипотез, являются фундаментальные аксиомы, уже упомянутые — что вещи, равные одной и той же вещи, равны между собой, и что суммы равных вещей равны. На каждом шаге в демонстрации или в вычислении мы применяем ту или иную из этих истин или истины, выводимые из них, как, например, что разности, произведения и т. д. равных чисел равны.

Было бы несовместимо с масштабом этой работы и не нужно для ее замысла продолжать анализ истин и процессов алгебры далее; что также тем менее необходимо, поскольку задача была в значительной степени выполнена другими авторами. Алгебра Пикока и «Учение о пределах» доктора Уэвелла полны наставлений по этому предмету. Глубокие трактаты поистине философского математика, профессора Де Моргана, должны быть изучены каждым, кто желает понять свидетельство математических истин и значение более темных процессов исчисления, а размышления М. Конта в его «Курсе позитивной философии» о философии высших разделов математики являются одними из многих ценных даров, которыми философия обязана этому выдающемуся мыслителю.

§ 7. Если крайняя общность и отдаленность не столько от чувств, сколько от визуального и тактильного воображения законов числа делает несколько трудным усилием абстракции мыслить эти законы как в действительности физические истины, полученные путем наблюдения, то та же трудность не существует в отношении законов протяженности. Факты, выражениями которых являются эти законы, относятся к роду, особенно доступному чувствам, и внушают в высшей степени отчетливые образы воображению. То, что геометрия является строго физической наукой, несомненно, было бы признано во все века, если бы не иллюзии, порожденные двумя обстоятельствами. Одно из них — характерное свойство, уже замеченное, фактов геометрии, что они могут быть собраны из наших идей или ментальных картин объектов столь же эффективно, как и из самих объектов. Другое — демонстративный характер геометрических истин; который в одно время предполагался составляющим радикальное различие между ними и физическими истинами; последние, как основывающиеся лишь на вероятных свидетельствах, считались существенно неопределенными и неточными. Развитие знания, однако, сделало очевидным, что физическая наука в своих лучше понятых разделах столь же демонстративна, как и геометрия. Задача дедуцирования ее деталей из нескольких сравнительно простых принципов оказывается чем угодно, только не невозможностью, как когда-то предполагалось; и понятие о превосходной достоверности геометрии есть иллюзия, возникающая из древнего предрассудка, который в этой науке принимает идеальные данные, из которых мы рассуждаем, за особый класс реальностей, в то время как соответствующие идеальные данные любой дедуктивной физической науки признаются тем, чем они являются на самом деле, — гипотезами.

Каждая теорема в геометрии есть закон внешней природы и могла бы быть установлена путем обобщения из наблюдения и эксперимента, которые в этом случае сводятся к сравнению и измерению. Но было найдено практически осуществимым, и, будучи осуществимым, было желательно дедуцировать эти истины путем умозаключения из малого числа общих законов природы, достоверность и универсальность которых очевидны самому небрежному наблюдателю и которые составляют первые принципы и предельные посылки науки. Среди этих общих законов должны быть включены те же два, которые мы отметили как предельные принципы науки о числе также и которые применимы к любому описанию количества; а именно: суммы равных равны, и вещи, равные одной и той же вещи, равны между собой; последнее из которых может быть выражено способом, более внушающим неисчерпаемое множество его следствий, следующими терминами: все, что равно любому из числа равных величин, равно любому другому из них. К этим двум должен быть добавлен в геометрии третий закон равенства, а именно, что линии, поверхности или твердые пространства, которые могут быть так приложены друг к другу, чтобы совпасть, равны. Некоторые авторы утверждали, что этот закон природы есть просто словесное определение; что выражение «равные величины» означает не что иное, как величины, которые могут быть так приложены друг к другу, чтобы совпасть. Но с этим мнением я не могу согласиться. Равенство двух геометрических величин не может фундаментально отличаться по своей природе от равенства двух весов, двух степеней тепла или двух частей длительности, ни к одному из которых это определение равенства не было бы подходящим. Ни одна из этих вещей не может быть так приложена друг к другу, чтобы совпасть, однако мы прекрасно понимаем, что мы имеем в виду, когда называем их равными. Вещи равны по величине, как вещи равны по весу, когда они ощущаются как точно сходные в отношении атрибута, в котором мы сравниваем их: и приложение объектов друг к другу в одном случае, подобно взвешиванию их на паре весов в другом, есть лишь способ приведения их в положение, в котором наши чувства могут распознать недостатки точного сходства, которые в противном случае ускользнули бы от нашего внимания.

Наряду с этими тремя общими принципами или аксиомами остаток посылок геометрии состоит из так называемых определений: то есть суждений, утверждающих реальное существование различных объектов, в них обозначенных, вместе с одним свойством каждого. В некоторых случаях обычно предполагается более одного свойства, но ни в одном случае не требуется более одного. Предполагается, что в природе существуют такие вещи, как прямые линии, и что любые две из них, исходящие из одной точки, расходятся все больше и больше без предела. Это допущение (которое включает и выходит за пределы аксиомы Евклида о том, что две прямые линии не могут заключать пространство) столь же необходимо в геометрии и столь же очевидно, основываясь на столь же простом, знакомом и универсальном наблюдении, как любая из других аксиом. Также предполагается, что прямые линии расходятся друг от друга в разной степени; другими словами, что существуют такие вещи, как углы, и что они способны быть равными или неравными. Предполагается, что существует такая вещь, как круг, и что все его радиусы равны; такие вещи, как эллипсы, и что суммы фокусных расстояний равны для каждой точки в эллипсе; такие вещи, как параллельные линии, и что эти линии везде равноудалены.

§ 8. Представляет более чем любопытство рассмотреть, какой особенности физических истин, являющихся предметом геометрии, обязано то, что они все могут быть дедуцированы из столь малого числа исходных посылок; почему мы можем исходить только из одного характерного свойства каждого вида феномена и с этим и двумя или тремя общими истинами, относящимися к равенству, можем перемещаться от признака к признаку, пока не получим обширный корпус производных истин, по всей видимости, чрезвычайно непохожих на те элементарные.

Объяснение этого замечательного факта, по-видимому, заключается в следующих обстоятельствах. Во-первых, все вопросы положения и фигуры могут быть сведены к вопросам величины. Положение и фигура любого объекта определяются путем определения положения достаточного числа точек в нем; и положение любой точки может быть определено величиной трех прямоугольных координат, то есть перпендикуляров, опущенных из точки на три плоскости под прямым углом друг к другу, произвольно выбранные. Посредством этого преобразования всех вопросов качества в вопросы только количества геометрия сводится к единственной проблеме измерения величин, то есть установления равенств, которые существуют между ними. Теперь, когда мы рассматриваем, что согласно одной из общих аксиом любое равенство, будучи установленным, является доказательством стольких же других равенств, сколько есть других вещей, равных любому из двух равных; и что согласно другой из этих аксиом любое установленное равенство является доказательством равенства стольких пар величин, сколько может быть сформировано многочисленными операциями, которые сводятся к прибавлению равных к самим себе или к другим равным; мы перестаем удивляться тому, что по мере того, как наука занимается равенством, она должна предоставлять более обильный запас признаков признаков; и что науки о числе и протяженности, которые занимаются почти исключительно равенством, должны быть наиболее дедуктивными из всех наук.

Существуют также два или три основных закона пространства или протяженности, которые необычайно приспособлены для того, чтобы делать одно положение или величину признаком другого, и тем самым способствовать тому, чтобы наука была в значительной степени дедуктивной. Во-первых, величины заключенных пространств, будь то поверхностные или твердые, полностью определяются величинами линий и углов, которые ограничивают их. Во-вторых, длина любой линии, будь то прямая или кривая, измеряется (при заданных определенных других вещах) углом, который она стягивает, и vice versa. Наконец, угол, который любые две прямые линии образуют друг с другом в недоступной точке, измеряется углами, которые они порознь образуют с любой третьей линией, которую мы решили выбрать. Посредством этих общих законов измерение всех линий, углов и пространств вообще могло бы быть выполнено путем измерения одной прямой линии и достаточного числа углов; что является планом, фактически преследуемым в тригонометрической съемке страны; и удачно то, что это практически осуществимо, так как точное измерение длинных прямых линий всегда трудно, а часто невозможно, но измерение углов очень легко. Три таких обобщения, как вышеупомянутые, предоставляют такие удобства для косвенного измерения величин (путем снабжения нас известными линиями или углами, которые являются признаками величины неизвестных, и тем самым пространств, которые они заключают), что легко понятно, как из нескольких данных мы можем продолжать устанавливать величину неопределенного множества линий, углов и пространств, которые мы не могли бы легко или не могли бы вовсе измерить никаким более прямым процессом.

§ 9. Таковы замечания, которые кажется необходимым сделать в этом месте относительно законов природы, являющихся особым предметом наук о числе и протяженности. Огромная роль, которую эти законы играют в придании дедуктивного характера другим отделам физической науки, хорошо известна; и это неудивительно, если мы рассмотрим, что все причины действуют согласно математическим законам. Следствие всегда зависит от, или является функцией, количества агента; и, как правило, также его положения. Мы не можем, следовательно, рассуждать относительно причинности, не вводя соображений количества и протяженности на каждом шаге; и если природа феноменов допускает получение нами числовых данных достаточной точности, законы количества становятся великим инструментом для вычисления вперед к следствию или назад к причине. Что во всех других науках, так же как и в геометрии, вопросы качества едва ли когда-либо независимы от вопросов количества, можно видеть на самых знакомых феноменах. Даже когда несколько цветов смешиваются на палитре художника, сравнительное количество каждого полностью определяет цвет смеси.

Этим простым указанием на общие причины, которые делают математические принципы и процессы столь преобладающими в тех дедуктивных науках, которые предоставляют точные числовые данные, я должен по настоящему случаю ограничиться; отсылая читателя, желающего более полного знакомства с предметом, к первым двум томам систематического труда М. Конта.

В том же труде, и более подробно в третьем томе, также полностью обсуждаются пределы применимости математических принципов к совершенствованию других наук. Такие принципы явно неприменимы там, где причины, от которых зависит любой класс феноменов, столь несовершенно доступны нашему наблюдению, что мы не можем установить надлежащей индукцией их числовые законы; или где причины столь многочисленны и смешаны столь сложным образом друг с другом, что даже при допущении их законов известными, вычисление совокупного следствия превосходит силы исчисления, как оно есть или вероятно будет; или, наконец, где сами причины находятся в состоянии постоянной флуктуации; как в физиологии и еще более, если возможно, в социальной науке. Математические решения физических вопросов становятся прогрессивно более трудными и несовершенными по мере того, как вопросы освобождаются от своего абстрактного и гипотетического характера и приближаются ближе к степени сложности, фактически существующей в природе; настолько, что за пределами пределов астрономических феноменов и тех, которые наиболее близко аналогичны им, математическая точность обычно достигается «за счет реальности исследования»: в то время как даже в астрономических вопросах, «несмотря на удивительную простоту их математических элементов, наш слабый интеллект становится неспособным эффективно проследить логические комбинации законов, от которых зависят феномены, как только мы пытаемся принять во внимание одновременно более двух или трех существенных влияний». Об этом проблема трех тел уже была процитирована более чем однажды как замечательный пример; полное решение столь сравнительно простого вопроса тщетно испытывало мастерство самых глубоких математиков. Мы можем представить, тогда, насколько химерической была бы надежда на то, что математические принципы могли бы быть выгодно применены к феноменам, зависящим от взаимного действия бесчисленных мельчайших частиц тел, как таковые химии, и еще более физиологии; и по сходным причинам те принципы остаются неприменимыми к еще более сложным исследованиям, предметами которых являются феномены общества и правительства.

Ценность математического обучения как подготовки к тем более трудным исследованиям заключается в применимости не его доктрин, а его метода. Математика навсегда останется самым совершенным типом дедуктивного метода в целом; и применения математики к дедуктивным разделам физики доставляют единственную школу, в которой философы могут эффективно учиться самой трудной и важной части своего искусства — применению законов более простых феноменов для объяснения и предсказания более сложных. Эти основания вполне достаточны для того, чтобы считать математическую подготовку незаменимой основой реального научного образования и рассматривать (согласно изречению, которое старая, но недостоверная традиция приписывает Платону) того, кто является ἀγεωμέτρητος, как лишенного одной из самых существенных квалификаций для успешного культивирования высших разделов философии.

[pg 438]

Глава XXV.

Об основаниях неверия.

§ 1. Метод прихода к общим истинам, или общим суждениям, достойным того, чтобы в них верить, и природа свидетельств, на которых они основываются, были обсуждены, насколько позволяли пространство и способности автора, в двадцати четырех предыдущих главах. Но результат исследования свидетельств не всегда есть вера или даже приостановка суждения; иногда это неверие. Философия, следовательно, индукции и экспериментального исследования неполна, если не рассматриваются основания не только веры, но и неверия; и этой теме мы посвятим одну, и последнюю, главу.

Под неверием здесь следует понимать не просто отсутствие веры. Основанием для воздержания от веры является лишь отсутствие или недостаточность доказательств; и, рассматривая, какие свидетельства достаточны для подтверждения того или иного вывода, мы уже подразумеваем, какие свидетельства для этой цели недостаточны. Под неверием здесь понимается не то состояние ума, при котором мы не формируем никакого мнения по предмету, а то, при котором мы полностью убеждены в ложности какого-либо мнения; настолько, что если бы в пользу этого мнения были представлены доказательства, даже обладающие большой кажущейся силой (основанные ли на свидетельстве других или на наших собственных предполагаемых восприятиях), мы бы сочли, что свидетели говорят неправду, или что они, либо мы сами, если были непосредственными очевидцами, ошибаемся.

Вряд ли кто-то станет оспаривать, что такие случаи существуют. Утверждениям, для которых имеется множество положительных свидетельств, часто не верят из-за того, что называют их невероятностью или невозможностью. И вопрос для рассмотрения заключается в том, что в данном случае означают эти слова, и в какой мере и при каких обстоятельствах свойства, которые они выражают, являются достаточными основаниями для неверия.

§ 2. Прежде всего следует отметить, что положительные свидетельства, представленные в поддержку утверждения, которое тем не менее отвергается по причине невозможности или невероятности, никогда не сводятся к полному доказательству. Они всегда основаны на некотором приблизительном обобщении. Факт мог быть подтвержден сотней свидетелей; но существует множество исключений из универсальности обобщения, что то, что утверждают сто свидетелей, является истиной. Нам может казаться, что мы сами видели этот факт; но то, что мы действительно видим то, что думаем, что видим, отнюдь не является универсальной истиной; наши органы могли находиться в болезненном состоянии; или мы могли сделать некое умозаключение и вообразить, что восприняли его. Таким образом, поскольку свидетельство в пользу утверждения никогда не является чем-то большим, чем приблизительное обобщение, все будет зависеть от того, каково свидетельство против него. Если оно также опирается на приблизительное обобщение, это случай для сравнения вероятностей. Если приблизительные обобщения, ведущие к утверждению, в совокупности менее сильны, или, иными словами, дальше от универсальности, чем приблизительные обобщения, поддерживающие отрицательную сторону вопроса, то суждение называется невероятным и подлежит предварительному неверию. Если же предполагаемый факт противоречит не какому-либо количеству приблизительных обобщений, а завершенному обобщению, основанному на строгой индукции, он называется невозможным и подлежит полному неверию.