«Исследование принципов естествознания»

Рис. 11.

События-частицы в вертикально противоположных областях и соединены с ректами; а события-частицы в вертикально противоположных областях и соединены с точечными треками.

Локусы, которые ограничивают области, отделяющие точечные треки от ректов, будут называться «нулевыми треками». Их особые свойства будут рассмотрены позже, когда будет введена конгруэнтность. В любой матрице есть два семейства параллельных нулевых треков; и есть один член каждого семейства, проходящий через каждое событие-частицу на прямолинейном треке. Порядок событий-частиц на нулевом треке выводится из его пересечения с системами параллельных ректов [не сомоментальных] или параллельных точечных треков, или из порядков на маршрутах, лежащих на нем.

46. Прямые линии. 46.1 Очевидно, существует важная теория параллельности для семейств матриц, аналогичная теории параллелей для семейств уровней. Детальные свойства здесь не нужно разрабатывать.

Две матрицы могут либо (i) быть параллельными, либо (ii) пересекаться только в одном событии-частице, либо (iii) пересекаться в ректе, либо (iv) пересекаться в точечном треке, либо (v) пересекаться в нулевом треке. Для пересечения двух уровней могут возникнуть только случаи (i), (ii) и (iii); для пересечения уровня и матрицы могут возникнуть только случаи (ii) и (iii).

46.2 Каждая матрица содержит различные наборы параллельных точечных треков. Любой такой набор является локусом точек в пространстве некоторой системы времени. Такой локус точек называется «прямой линией» в пространстве системы времени.

Матрица, которая содержит точки прямой линии в пространстве любой системы времени , будет называться «ассоциированной матрицей для », и она называется «матрицей, включающей» эту прямую линию.

Матрица является ассоциированной матрицей для многих систем времени, но она является матрицей, включающей только одну прямую линию в каждом соответствующем пространстве. Семейство систем времени, для которых данная матрица является ассоциированной матрицей, называется «коллинеарным» семейством. Целое семейство параллельных матриц являются ассоциированными матрицами для одного и того же коллинеарного семейства систем времени, если любая одна матрица этого семейства так ассоциирована. В пространстве любой одной системы времени прямые линии, включенные семейством параллельных ассоциированных матриц, называются параллельными.

46.3 Матрица пересекает момент в ректе. Если момент принадлежит системе времени, с которой матрица ассоциирована, этот рект в моменте соответствует прямой линии, включенной матрицей, в том смысле, что он имеет одну частицу, занимающую каждую из его точек. Рект, таким образом ассоциированный с прямой линией, будет, как говорят, «занимать» ее.

Таким образом, события-частицы на матрице , ассоциированной с системой времени , могут быть исчерпывающе сгруппированы во взаимно исключающие подмножества двумя различными способами: (i) Они могут быть сгруппированы в точки , которые лежат на ; этот локус точек — включенная прямая линия в пространстве , которую мы назовем : (ii) События-частицы на могут быть сгруппированы в наборы параллельных ректов, которые являются пересечениями с моментами , и, таким образом, каждый из этих ректов занимает .

46.4 Существует три различных типа значения, которые могут быть приданы идее «пространства» в связи с внешней природой, (i) Существует четырехмерное пространство, точками которого являются события-частицы, а прямыми линиями — ректы, точечные треки и нулевые треки. В геометрии этого пространства существует отсутствие единообразия между теориями конгруэнтности для ректов и для точечных треков, и нет такой теории для нулевых треков, (ii) Существуют трехмерные моментальные (мгновенные) пространства в моментах любой системы времени , точками которых являются события-частицы, а прямыми линиями — ректы. Наблюдаемое пространство обычного восприятия является приближением к этому точному понятию, (iii) Существует вневременное трехмерное пространство системы времени , точками которого являются точечные треки, а матрицы включают прямые линии. Это пространство физической науки.

Существует точная корреляция между вневременным пространством системы времени и любым моментальным пространством той же системы времени. Ибо любая точка моментального пространства — это событие-частица, которое занимает одну и только одну точку вневременного пространства; и любая прямая линия моментального пространства — это рект, который лежит в одной ассоциированной матрице, включающей одну прямую линию вневременного пространства, или (другими словами) каждая прямая линия моментального пространства занимает прямую линию вневременного пространства.

Система времени соответствует консентиентному множеству ньютоновской группы, а вневременное пространство системы времени — это пространство соответствующей консентиентной группы.

ГЛАВА XII. НОРМАЛЬНОСТЬ И КОНГРУЭНТНОСТЬ

47. Нормальность. 47.1 Точечный трек будет, как говорят, «нормальным» к моментам системы времени, в пространстве которой он является точкой.

Матрица, как говорят, «нормальна» к моментам, которые нормальны к любому из точечных треков, которые она содержит.

Рассмотрим событие-частицу и матрицу , которая содержит . Пусть , ... — коллинеарный набор систем времени, точки которых лежат в матрице или параллельны ей. Пусть , ... — моменты систем времени ..., которые содержат . Тогда уровни , ... в которых соответственно и , и , и т.д. пересекаются, идентичны, и событие-частица является единственным событием-частицей, образующим пересечение и . Также пересекает каждый из этих моментов , и , и , и т.д. в ректах , и т.д. соответственно. Уровень и матрица, как говорят, взаимно «нормальны». Будет отмечено, что любые две системы времени, и , определяют один уровень и одну матрицу, которые взаимно нормальны и каждый содержит данное событие-частицу. Соответственно любому уровню, содержащему , существует одна матрица, нормальная к нему в ; и соответственно любой матрице, содержащей , существует один уровень, нормальный к ней в .

Если и — уровень и матрица, нормальные друг к другу, то ректы в будут называться нормальными к ректам и точечным трекам в . Пара ректов, которые нормальны друг к другу, будут также называться «перпендикулярными» или «под прямым углом». Два точечных трека никогда не могут быть нормальны друг к другу, поскольку ни один точечный трек не лежит на уровне. Параллели к нормалям сами по себе нормальны.

47.2 Продолжая нотацию 47.1, мы отмечаем, что матрица включает прямые линии , и т.д. пространств , и т.д. и пересекает моменты , и т.д. в ректах , и т.д., которые соответственно занимают , и т.д. Рект содержит и нормален к каждому ректу, лежащему в . Пусть ′ будет любым ректом, содержащим и лежащим в . Тогда ′ и взаимно нормальны и оба лежат в моменте .

Прямая ′ занимает одну прямую линию в пространстве ; назовем эту прямую линию ′. Тогда прямые линии и ′ будут называться «нормальными» друг к другу. Это определение нормальности прямых линий можно дать в общих чертах следующим образом: две прямые линии в одном и том же пространстве называются нормальными друг к другу, когда они соответственно заняты нормальными прямыми, лежащими в одном и том же моменте соответствующей системы времени.

47.3 Продолжая обозначения из 47.2, пусть ′ будет уровнем, содержащим и ′; этот уровень лежит в и содержит . Пусть ′ будет матрицей, нормальной к ′ в . Тогда ′ пересекает в прямой ″, которая нормальна как к , так и к ′. Таким образом, в событии-частице на уровне существуют пары взаимно нормальных прямых, ′ и ″, одна из которых выбрана произвольно; а в событии-частице в моменте существуют триады взаимно нормальных прямых, и ′ и ″, с обычными условиями относительно свободы выбора.

Соответствие между моментальным пространством и вневременным пространством той же системы времени позволяет нам немедленно распространить эти теоремы на пары нормальных прямых линий в плоскости и на триады пересекающихся взаимно нормальных прямых линий в трех измерениях.

48. Конгруэнтность. 48.1 Конгруэнтность основана на понятии повторения, а именно: в некотором смысле конгруэнтные геометрические элементы повторяют друг друга. Повторение воплощает принцип единообразия. Мы обнаружили, что повторение является ведущей характеристикой параллельности; соответственно, можно предположить наличие тесной связи между конгруэнтностью и параллельностью. Кроме того, мы только что в общих чертах разработали принципы нормальности, указав, как это свойство берет свое начало во взаимодействии отношений протяженности и когредиентности. Но — как мы знаем из опыта — ведущим свойством нормальности является симметрия, а именно симметрия относительно нормали. Теперь симметрия — это просто другое название для определенного рода повторения; соответственно, конгруэнтность и нормальность должны быть связаны.

Таким образом, мы приходим к поиску выражения природы конгруэнтности через параллельность и нормальность, в частности, через связанные с ними свойства повторения.

48.2 Конгруэнтность, поскольку она выводится из параллельности, определяется утверждениями, что (i) противоположные стороны параллелограммов конгруэнтны друг другу, и (ii) пути на одной и той же прямой или на одном и том же точечном треке, которые конгруэнтны одному и тому же пути, конгруэнтны друг другу [7].

Также действует общий закон, согласно которому два пути, которые (как определено выше) конгруэнтны третьему пути, конгруэнтны друг другу. Этот закон является существенной теоремой о параллельности, а не просто следствием определений.

Но конгруэнтность, выраженная таким образом через параллельность, устанавливает лишь отношение конгруэнтности между прямыми путями на прямых, принадлежащих одному параллельному семейству, или на точечных треках, принадлежащих одному параллельному семейству. Для таких путей в любом параллельном семействе может быть установлена система численного измерения, детали которой здесь не нужно разрабатывать. Однако до сих пор не установлен принцип сравнения длин двух путей, принадлежащих разным параллельным семействам прямых или разным параллельным семействам точечных треков. Когда мы сможем определять равные длины на любых двух прямых, параллельны они или нет, будут определены общие принципы измерения пространства; а когда мы сможем определять равные промежутки [т.е. длины] времени на любых двух точечных треках, параллельны они или нет, будут определены общие принципы измерения времени.

48.3 Конгруэнтность между различными параллельными семействами вытекает из следующего определения, основанного на свойстве повторения [т.е. симметрии] нормальности: пусть и будут парой взаимно нормальных прямых, пересекающихся в , или пусть это будут прямая и точечный трек, пересекающиеся в [где либо , либо является прямой] и взаимно нормальные, и пусть будет средним событием-частицей прямого пути, проходящего между событиями-частицами и , тогда прямые пути и конгруэнтны друг другу.

Из симметрии нормальности следует, что либо обе пары частиц, а именно ( ) и ( ), соединены прямыми, либо обе пары соединены точечными треками, либо обе пары — нулевыми треками. Как и в аналогичном случае конгруэнтности, выведенной из параллельности, транзитивность конгруэнтности выражает существенный закон природы, а не просто дедукцию из условий определения.

Рис. 12.

48.4 Равнобедренный треугольник из 48.3 должен лежать либо на уровне, либо на матрице. Если он лежит на уровне, все прямые пути фигуры должны лежать на прямых. Но на матрице пара нормалей не может быть одного и того же наименования, т.е. не могут быть обе прямыми или оба точечными треками. Таким образом, остается рассмотреть пять случаев. Эти случаи схематически представлены на прилагаемых рисунках, где сплошные линии представляют прямые, а пунктирные линии представляют точечные треки.

Рис. 13.

Очевидно, что случай (i) — единственный, в котором треугольник лежит на уровне: треугольники в остальных четырех случаях лежат на матрицах.

Отношения между диаграммами (ii) и (v) лучше всего видны при объединении их в одну фигуру, как в (vi), а отношения между (iii) и (iv) — при объединении их в одну фигуру, как в (vii).

Рис. 14.

48.5 Случай (i) из 48.4 позволяет нам завершить теорию конгруэнтности для пространственных измерений. Пусть и будут любыми двумя комоментальными прямыми, пересекающимися в событии-частице . Пусть будет любой частицей на , и пусть ′ будет прямой, проходящей через и параллельной .

Теперь предположим, что можно найти одну пару взаимно нормальных прямых, и ′, пересекающихся друг с другом в , и соответственно пересекающих ′ в и ′, где . Через проведите ″ параллельно ′ и пересекающую в ″; и через проведите ′ параллельно и пересекающую в ″.

Тогда из 48.1, и . Таким образом, ′ и ″ обозначают одно и то же событие-частицу. Теперь . Следовательно, согласно случаю (i) из 48.4, . Таким образом, длины на и сравнимы. Нам не нужно здесь рассматривать теоремы, принятые ли как независимые законы природы или выведенные из предыдущих предположений, благодаря которым мы знаем, что прямоугольная пара ( и ′) существует, что ′ и ″ совпадают и не лежат по разные стороны от , и что .

48.6 Опять же, если и — прямые, которые не являются комоментальными и не лежат в параллельных моментах, их измерения все равно сравнимы. Ибо существуют два пересекающихся момента, и , из которых содержит , а содержит .

Рис. 15.

Таким образом, любая прямая ′ на уровне, общем для и , имеет измерения, сравнимые как с измерениями на , так и с измерениями на ; и, следовательно, в силу транзитивности конгруэнтности, измерения на и сравнимы. Благодаря этой процедуре использование случаев (ii) и (iii) из 48.4 становится излишним. Соответственно, эти случаи становятся теоремами, а не определениями конгруэнтности, как предполагалось в их первоначальной формулировке. Если бы они были приняты в качестве определений, дедукция из 48.5 все равно была бы возможна. Но поскольку фигура теперь лежала бы в матрице, одна из и ′ была бы точечным треком, а другая — прямой. Тогда не существует сколько-нибудь очевидного принципа, с помощью которого мы могли бы узнать о существовании пары ( и ′) такой, что , помимо предположения теоремы, которую мы хотим доказать.

48.7 Случаи (iv) и (v) из 48.4 касаются сравнимости измерений времени в различных системах времени. Применимы те же замечания, что и в 48.6; а именно, что метод из 48.5 можно было бы применить, если бы мы могли независимо убедиться, что требуемая пара, и ′ (один — точечный трек, а другой — прямая), существует.

Эта сравнимость измерений времени будет достигнута другим методом, который зависит от того факта, что относительная скорость равна и противоположна. Объяснение этого метода должно быть отложено до следующей главы.

[7] Это определение конгруэнтности дано профессорами Э. Б. Уилсоном и Г. Н. Льюисом в их ценной статье «Пространственно-временное многообразие относительности», Proc. of the Amer. Acad. of Arts and Sciences, том XLVIII, 1912.

ГЛАВА XIII ДВИЖЕНИЕ

49. Аналитическая геометрия. 49.1 Рассмотрим любую систему времени : мы будем называть пространство этой системы времени «-пространством», а ее моменты — «-моментами»; также точки и прямые линии -пространства будут называться «-точками» и «-линиями», а прямые и уровни, лежащие в -моментах, будут называться «-прямыми» и «-уровнями». Если — любое событие-частица, то будет обозначать -момент, который охватывает . Если — любая другая система времени, то не существует -моментов, которые были бы также -моментами, и нет -точек, которые были бы также -точками; но существуют -уровни, которые являются также -уровнями, и -прямые, которые являются также -прямыми. Ибо два момента и пересекаются в общем уровне, который будет называться . Тогда прямые, лежащие в , являются одновременно и -прямыми, и -прямыми. В частности, через в уровне существуют пары взаимно нормальных прямых, и каждая прямая, проходящая через и , является членом одной такой пары.

49.2 Пусть — любое произвольно выбранное событие-частица, которое мы назовем началом координат; и пусть будет -точкой, занятой ; и пусть , , будут любой триадой взаимно прямоугольных -прямых в моменте , каждая из которых содержит . В этом обозначении , и т. д. не обозначают какие-либо конкретные сущности, но символы, такие как и , должны каждый рассматриваться как одно целое. Пусть обозначает матрицу, содержащую и , с аналогичными значениями для и ; и пусть , и обозначают соответственно уровни, содержащие и , и , и . Пусть будет любым другим событием-частицей, занимающим точку , и пусть будут -прямыми, проходящими через и соответственно параллельными , , .

Рис. 16.

На диаграмме третье измерение моментов и , а именно -измерение, опущено, так что эти моменты схематически представлены как двумерные. Точечные треки (в данном случае -точки) представлены пунктирными линиями. Диаграмма имеет недостаток, заключающийся в представлении матриц, таких как , уровнями, и поэтому может привести к необоснованным предположениям.

49.3 Длины на всех прямых, независимо от того, являются ли они -прямыми, измеримы в единицах одной длины. Но промежутки времени между -моментами — или, что то же самое, промежутки времени вдоль -точек — должны измеряться в единице времени, свойственной системе времени , поскольку до сих пор не было раскрыто никаких средств получения конгруэнтных единиц времени в разных системах времени. Мы будем предполагать в настоящее время, что в каждой системе времени существует заданная произвольно выбранная единица для измерения времени.

49.4 Пусть моментальное пространство отнесено к трем прямоугольным -прямым , , в качестве осей координат; и пусть моментальное пространство отнесено к трем прямоугольным -прямым , , в качестве осей координат; и пусть вневременное пространство [ -пространство] отнесено к трем прямоугольным -линиям, соответственно включенным в матрицы , , в качестве осей координат; и пусть четырехмерное пространство всех частиц отнесено к четырем осям, состоящим из трех -прямых , , и -точки в качестве осей координат.

49.5 Пусть — любое событие-частица в моменте , и пусть занимает -точку , которая пересекает момент в событии-частице . Пусть промежуток времени между моментами и равен , где положителен, когда последует за ; и пусть координаты -точки в -пространстве равны ( ). Тогда координаты в моментальном пространстве и в моментальном пространстве также равны ( ). Также «-координаты» в четырехмерном пространстве частиц равны ( ); этот факт для можно также выразить, сказав, что занимает -точку ( ) в -время .

Момент, рассматриваемый как локус событий-частиц, представляется линейным уравнением в четырех координатах ( ). Но обратное неверно; а именно, не каждое линейное уравнение представляет момент. Пара линейных уравнений представляет уровень или матрицу, а три независимых линейных уравнения представляют прямую, точечный трек или нулевой трек.

49.6 Если и — любые две системы времени, можно найти два набора взаимно нормальных осей, , и , , как в предыдущем подразделе. Но эти два набора, очевидно, могут быть скорректированы так, чтобы был идентичен , а был идентичен , где две прямые ( ) должны обе лежать в уровне .

Рис. 17.

Тогда матрица, нормальная к этому уровню в , будет обозначаться ; она содержит через одну -точку , одну -точку , одну -прямую и одну -прямую . Тогда любое событие-частица относится к осям для системы , и к осям для системы . Пусть его -координаты равны ( ) и его -координаты равны ( ), где , и .

На диаграмме, для простоты, частица находится в матрице ; и ее координаты [как на диаграмме] в двух системах равны ( ) и ( ), где (с соответствующим знаком) есть , (с соответствующим знаком) есть , (с соответствующим знаком) есть , и (с соответствующим знаком) есть .

Пара наборов из четырех осей для и , связанных, как описано в этом подразделе, называются «взаимными осями» для двух систем.

49.7 Формулы преобразования от -координат к -координатам, отнесенные к взаимным осям, очевидно, имеют вид , где — константы, зависящие от двух систем и , и от двух произвольно выбранных единиц промежутка времени в и , но, очевидно, не зависящие от произвольно выбранного набора прямоугольных прямых и в уровне .

Соответствующие ( )-уравнения, при перестановке и , имеют вид

Две пары ( )-уравнений, (i) и (ii), должны быть эквивалентны. Условия имеют вид

Только четыре из этих пяти условий являются независимыми.

50. Принцип кинематической симметрии. 50.1 Рассмотрим любую другую систему времени . -точка ( ), занятая ( ), и -точка, занятая тем же событием-частицей, лежат на матрице , которая включает -линию ( ), каждая -точка которой пересекается . Таким образом, коррелирует -точку ( ) с -временем и соседнюю -точку на , а именно ( ), с соседним -временем . Таким образом, делает каждый набор -координат переменной -точки функцией от ; а именно, она коррелирует -точку ( ) со скоростью ( ), которую также можно записать

Аналогично, та же система времени коррелирует -точку ( ) со скоростью ( ), которую можно записать Теперь система времени указывает на определенный перенос от события-частицы ( ) к другому событию-частице ( ), занимающему ту же -точку ( ), где используются любые взаимно нормальные -координаты. Первое событие-частица — это то, которое указано ( ) и ( ), а второе событие-частица — ( ) и ( ).

Следовательно, из уравнений (i) 49.7

Теперь — любая система времени. Сначала отождествим ее с . Тогда . Следовательно , и есть скорость системы времени в пространстве [или, короче, «скорость в »]. Пусть эта скорость будет ; она, очевидно, направлена вдоль -оси в пространстве , и . Опять отождествим систему с . Тогда ; и следовательно , и есть скорость в . Пусть эта скорость будет ; она направлена вдоль -оси в пространстве , и

50.2 Мы теперь введем то, что назовем «Принципом кинематической симметрии».

Перед формулировкой этого принципа необходимо определить стандартный метод выбора положительных направлений осей и в матрице и осей и . Ссылаясь на рисунок подраздела 45.2, можно увидеть, что из четырех угловых областей, на которые прямые и делят матрицу , две вертикально противоположные области не включают точечных треков, проходящих через , а остальные две такие области включают точечные треки, а также прямые, проходящие через . Стандартный выбор положительных направлений для и таков, что две области, ограниченные одна обоими положительными направлениями этих осей, а другая — обоими отрицательными направлениями, должны включать только прямые, проходящие через .

Положительные направления для и определяются правилом, согласно которому положительная мера промежутка времени должна указывать на последовательность во временном порядке к моменту . Это правило определенно из-за окончательного различия между предшествованием и следованием во времени, которое иначе не использовалось. Этот стандартный выбор положительных направлений вдоль взаимных осей для двух систем времени будет всегда принят.

50.3 Принцип кинематической симметрии имеет две части, формулирующие следствия, вытекающие из того факта, что единицы времени в двух системах времени и конгруэнтны. Первую часть можно принять в качестве определения или необходимого и достаточного критерия такой конгруэнтности.

Первую часть принципа можно сформулировать как утверждение, что меры относительных скоростей [т.е. скорость в и скорость в ] равны и противоположны; а именно

Вторая часть — это принцип симметрии двух систем времени в отношении поперечных скоростей; а именно, если скорость в , нормально поперечная направлению в , представлена скоростью ( ) в , где направлена вдоль направления в , а ′ нормально поперечна ему, то та же величина скорости в , нормально поперечная направлению в , представлена скоростью ( ) в , где направлена вдоль направления в , а ′ нормально поперечна ему.

Из первой части принципа, согласно (ii) и (iii) 50.1, мы выводим . Чтобы применить вторую часть принципа, мы сначала отождествляем с , затем из (i) и (ii) 50.1 . Опять отождествляем ( с ), и, переставляя и в приведенных выше формулах, находим . Следовательно, согласно второй части принципа

51. Транзитивность конгруэнтности. 51.1 Из (iii) 49.7, из (ii) и (iii) 50.1 и из (i), (ii), (iii) 50.3 следует, что уравнения (i) 50.1 могут быть записаны

Теперь мы можем выразить и через и абсолютную константу, рассматривая дедукции из транзитивности конгруэнтности.

51.2 Пусть будет системой времени такой, что уровень содержит и , и пусть эти прямые будут осями и . Тогда матрица содержит , , и . Таким образом, мы получили набор взаимных осей для и ; а именно, ( ) и ( ), где и теперь играют роль, которую и поддерживают для и . Таким образом, скорости системы времени в и , согласно (i) 51.1, связаны соотношением

Мы здесь предположили конгруэнтность единиц времени в и .

Теперь отождествим и . Тогда

Следовательно, из (i) 51.1

Опять отождествим с . Тогда

Следовательно, из (i) этого подраздела

Из (ii) и (iii) и (i) 50.3

51.3 Очевидно, если будет любым другим членом коллинеарного набора систем времени ( , ), то

Следовательно, если будет коллинеарным набором систем времени, и , , , будут любыми четырьмя его членами, и следовательно, поскольку , мы получаем , где — константа для коллинеарного набора.

Более того, если будет системой времени, не принадлежащей к , но связанной с и , как объяснено в 51.2,

51.4 Теперь пусть , , будут любыми тремя неколлинеарными системами времени, и построим диаграмму для представления элементов во вневременном пространстве согласно привычному методу геометров.

Точки диаграммы символизируют -точки, а прямые линии диаграммы символизируют -линии. Пусть будет любой -точкой, и пусть будет направлением в -пространстве скорости . Тогда есть направление в -пространстве скорости (положительной или отрицательной) любого члена коллинеарного набора ( ).

Рис. 18.

Пусть будет направлением в -пространстве скорости ; по гипотезе отлично от . Пусть будет -линией, перпендикулярной -плоскости , и пусть будет системой времени, чья скорость в , а именно , направлена вдоль . Пусть обозначает коллинеарный набор ( ), ′ — коллинеарный набор ( ), и ″ — коллинеарный набор ( ). Следовательно, из (vi) 51.3

Следовательно, из (vii) 51.3

Следовательно, поскольку и , легко доказать, что одинаково для любой пары систем времени; другими словами, что — абсолютная константа.

52. Три типа кинематики. 52.1 Таким образом, возможны три типа кинематики, в зависимости от того, является ли положительным, отрицательным или бесконечным. Формально возможный тип, где равно нулю, требует, чтобы либо , либо было равно нулю; при обращении к (i) 49.7 и (i) 51.1 это предположение приводит к результатам, находящимся в таком очевидном противоречии с опытом, что исключает необходимость дальнейшего исследования. Назовем сохраненные типы (согласно привычке) «гиперболическим», «эллиптическим» и «параболическим» типами кинематики.

52.2 Сначала рассмотрим гиперболический тип и положим для . Уравнения статей 49 и 51 тогда принимают вид

Уравнения преобразования, а именно (ii), могут быть выражены симметрично между и с помощью схемы [где ]

, , ,

, 0, 0,

0, 1, 0, 0

0, 0, 1, 0

0, 0,

Мы замечаем, что

Интеграл , взятый по всей четырехмерной области набора событий-частиц, которые анализируют [ср. 37.3] событие , будет называться «абсолютной протяженностью» . Из (i) следует, что абсолютная протяженность события не зависит от системы времени, в которой выражена его мера.

Более того, если будет любой функцией от ( ), она может, согласно (ii) 52.2, быть также выражена как функция от ( ), а затем согласно (i) или, в более привычной форме, , где пределы взяты так, чтобы включать некоторое событие.

Мы можем ожидать, что важные физические свойства будут выразимы через такие интегралы, в частности, когда является инвариантной формой для уравнений преобразования 52.2, и когда условия, которым удовлетворяет величина, представленная интегралом, также инвариантны в своем выражении в различных системах времени.

Формулы этого подраздела справедливы для каждого типа кинематики.

52.4 Гиперболический тип кинематики привел к формулам теории электромагнитной относительности Лармора-Лоренца-Эйнштейна, а именно теории, согласно которой при определенной интерпретации электромагнитные уравнения инвариантны относительно этих преобразований.

Физический смысл также хорошо известен; а именно, любая скорость, которая в любой системе времени имеет величину , имеет ту же величину в любой другой системе времени. Никакое предположение о существовании скорости с этим свойством или об электромагнитной инвариантности не входило в дедукцию кинематических уравнений гиперболического типа. Скорость, превышающая , не может представлять никакую систему времени, и, соответственно, ее физическое значение должно быть совершенно иным, чем значение скорости, меньшей .

52.5 Из (ii) 52.2 легко доказать, что

Если начало координат и событие-частица , т.е. ( ), комоментальны, и — система времени, чей момент содержит , то согласно (i)

Если и последовательны и находятся на точечном треке, и — система времени, чья точка занята , то согласно (i)

Таким образом, существует три способа, которыми можно оценить «разделение» между двумя событиями-частицами ( и ): а именно: (1) в любой принятой системе времени -расстояние между -точками, занятыми событиями-частицами, измеряет -пространственное разделение: (2) промежуток -времени между -моментами, занятыми событиями-частицами, измеряет -временное разделение: и (3) если события-частицы комоментальны, измеряет «собственное» пространственное разделение, и нет «собственного» временного разделения; и если частицы последовательны, измеряет «собственное» временное разделение, и нет «собственного» пространственного разделения.

При формулировании физических законов важно учитывать, какая мера разделения является релевантной. Следует отметить, что могут существовать системы времени (отличные от ), имеющие особое отношение к рассматриваемым явлениям. Совсем не очевидно, что инвариантность формы в отношении всех систем времени является необходимым условием полного выражения таких законов; а именно, требование релятивистских уравнений применимо лишь ограниченно.

Если и находятся на нулевом треке

Можно ожидать, что события-частицы на одном и том же нулевом треке имеют особые физические отношения друг к другу. Назовем такие события-частицы «ко-нулевыми».

52.6 Мы можем представить себе специальную систему времени , связанную (каким-либо образом) с каждым событием-частицей ( ). Таким образом, является функцией этих четырех координат частицы; или, другими словами, ( ) являются функциями ( ).

Корреляция систем времени с событиями-частицами, которая является взаимно однозначной, так что существует одна и только одна система времени, соответствующая каждому событию-частице, называется «полной кинематической корреляцией». Часть этой корреляции, которая касается только событий-частиц во время , называется «кинематической -корреляцией». Другие части могут быть выбраны путем ограничения событий-частиц определенными областями в -пространстве.

Если в определенной кинематической корреляции система времени коррелирует с ( ), то называется системой времени ( ), «собственной» для этой корреляции. «Собственная» система времени события-частицы всегда относится к определенной неявно понимаемой кинематической корреляции. Более того, ( ) — это скорость в ( ), обусловленная неявно понимаемой кинематической корреляцией в -время .

Тогда, будучи собственной системой времени в ( ),

Тогда уравнения (iii) 52.2 могут быть записаны

Кинематическая симметрия между и теперь очевидна в формулах. Первое из уравнений (ii) может быть заменено на

52.7 При рассмотрении эллиптического типа кинематики положим для . Уравнения статьи 51 теперь воплощены в схеме

, , ,

, 0, 0,

0, 1, 0, 0

0, 0, 1, 0

0, 0,

Фундаментальное различие между пространством и временем, т.е. между прямыми и точечными треками, не нашло никакого выражения в формулах для отношений измерения. Соответственно, с этим типом кинематики было бы естественно предположить, что различие не существует и что каждая прямая была точечным треком, а каждый точечный трек — прямой. Эта концепция логически возможна, но, по-видимому, не соответствует свойствам внешнего мира событий, как мы его знаем. Более того, электромагнитные уравнения теряют свое инвариантное свойство.

В целом, по-видимому, есть веские причины отбросить эллиптический тип кинематики как неприменимый к природе.

52.8 В параболическом типе кинематики мы полагаем . Следовательно

Тогда из (ii) 51.1 и (ii) 50.3 и (iii) 50.1

Таким образом, уравнения (i) 49.7 дают

Это формулы для обычной ньютоновской относительности.

Эти формулы хорошо согласуются со здравым смыслом и, по сути, являются формулами, естественно подсказываемыми обычным опытом. В некоторой степени гиперболические формулы приводят к неожиданным результатам, хотя, если — скорость не меньше скорости света, расхождения с выводами здравого смысла имеют место в отношении явлений, которые не проявляются в обычном опыте. Но когда с помощью уточненных методов наблюдения расхождения между двумя типами кинематики должны стать очевидными для чувств, эксперимент до сих пор высказывался в пользу гиперболического типа. Соответственно, именно этот тип мы рассматриваем в дальнейшем.

52.9 Существует, однако, одно возражение против гиперболического типа по сравнению с параболическим типом, которое стоит рассмотреть. В гиперболической кинематике существует абсолютная скорость с особыми свойствами в природе. Трудность, которая при этом возникает, скорее оскорбляет философские инстинкты, чем является логической загадкой. Но, безусловно, наш привычный опыт, каким-то образом, который трудно сформулировать словами, заставляет нас избегать введения таких абсолютных физических величин. Эта конкретная трудность значительно уменьшается, если заметить, что существование с его особыми свойствами на самом деле означает, что единицы пространства и единицы времени сравнимы; а именно, существует естественное отношение между ними, которое можно выразить, приняв за единицу. Либо единица времени была бы неудобно мала, либо единица пространства — неудобно велика; но это неудобство не меняет того факта, что конгруэнтность между временем и пространством определима. Всегда, когда опускается возможное определение конгруэнтности, возникают такие абсолютные физические величины. Тот факт, что, насколько это касается времени и пространства, существование теории конгруэнтности кажется парадоксальным, объясняется отсутствием каких-либо явлений, зависящих от этой теории, за исключением очень исключительных обстоятельств, создаваемых уточненными наблюдениями.

ЧАСТЬ IV ТЕОРИЯ ОБЪЕКТОВ

ГЛАВА XIV РАСПОЛОЖЕНИЕ ОБЪЕКТОВ

53. Расположение. 53.1 Мы представляем себе объекты как расположенные в пространстве. Эта концепция расположения в пространстве отличается от концепции нахождения в событии, хотя эти две концепции тесно связаны определенной связью. Понятие ситуации объекта логически неопределимо, будучи одним из конечных данных науки; понятие расположения объекта определимо через понятие его ситуации.

Объект называется «расположенным» в абстрактивном элементе, если существует простой абстрактивный класс, «сходящийся» к элементу, и такой, что каждый его член является ситуацией объекта.

В общем случае, когда объект расположен в абстрактивном элементе, будет много простых абстрактивных классов, сходящихся к элементу и таких, что каждый из их членов является ситуацией объекта. В любом конкретном случае расположения обычно все абстрактивные классы определенного типа будут обладать требуемым свойством.

Из этого определения следует, что в первичном значении расположения объект расположен в элементе моментального пространства. Понятие расположения во вневременном пространстве следует производно путем корреляции элементов моментального пространства с элементами вневременного пространства способом, уже описанным. В наших непосредственных мыслях, которые следуют за восприятием, мы делаем скачок от ситуации объекта в пределах короткого «специозного» настоящего к его расположению в моментальном пространстве, а оттуда путем дальнейшего размышления — к его расположению во вневременном пространстве. Таким образом, расположение в пространстве — это всегда идеал мысли, а не факт восприятия. Объект может быть расположен в объеме, области, пути или событии-частице моментального пространства, и оттуда производно он будет расположен в объеме, или области, или сегменте, или точке вневременного пространства.

53.2 При рассмотрении научного объекта именно занятое событие соответствует ситуации физического объекта. Занятое событие — это ситуация заряда, поскольку единый научный объект мыслится как (идеальный) физический объект.

53.3 Существует, очевидно, много различных видов расположения, которые удовлетворяют общему определению расположения в абстрактивном элементе, даже когда задан вид абстрактивного элемента. Эти различия в основном возникают из различий в отношениях объектов к частям их ситуаций. Объект — это атомарная сущность, и как таковая он связан со своими ситуациями. Но ситуация — это событие с частями различных видов, и мы должны рассмотреть различные виды отношений, которые объекты могут иметь к различным видам частей своих ситуаций.

Например, если чувственный объект «краснота определенного оттенка» расположен в области, он будет расположен в любой части этой области; и это проистекает из того факта, что если он расположен в событии, он также расположен в любой части этого события. Но неверно, что если стул расположен в событии, то стул — как один атомарный объект — расположен в любой части события, хотя он так расположен в некоторых частях. Опять же, мелодия не может быть расположена в любом событии, входящем в длительность, слишком короткую для того, чтобы прозвучали последовательные ноты. Таким образом, для мелодии необходим минимальный квант времени.

54. Равномерные объекты. 54.1 Будет удобно классифицировать объекты в зависимости от того, удовлетворяют они или нет определенным важным условиям относительно их отношений к своим ситуациям.

«Равномерные» объекты — это объекты с определенной гладкостью в их временных отношениях, так что они не требуют минимального кванта промежутка времени в событиях, которые являются их ситуациями. Это объекты, о которых можно сказать, что они существуют «в данный момент». Например, мелодия не является равномерным объектом; но стул, как обычно признается, является таким объектом. Пример стула и растворение его непрерывных материалов со специфическими физическими константами в совокупности электронов предупреждают нас, что проблема остается для обсуждения после того, как мы определим значение, которое должно быть присвоено «равномерности».

54.2 Чтобы объяснить более точно теорию равномерных объектов, удобно сделать несколько определений:

«Срез» события в системе времени — это та часть , лежащая между двумя моментами , где оба момента пересекают . Два момента называются терминальными моментами среза, а объемы, в которых терминальные моменты пересекают , называются терминальными объемами. Для краткости срез в системе времени называется «-срезом ».

Из непрерывности событий следует, что любой -момент , лежащий между терминальными моментами -среза , пересекает в объеме. Такой объем называется -секцией среза. Срез сам по себе является событием, которое простирается на всю длительность, ограниченную его терминальными моментами. Таким образом, если длительность является «специозным» настоящим для некоторого воспринимающего, срез — это часть события e, которая попадает в это «специозное» настоящее.

54.3 Свойства равномерных объектов будут сформулированы как набор законов, регулирующих их характер.

Закон I. Если — любая система времени, а — ситуация равномерного объекта , то существует -срез , который является ситуацией .

Закон II. Если — любая система времени, а — ситуация равномерного объекта , и ′ — -срез , который является ситуацией , то каждый -срез ′ является ситуацией .

Закон I можно грубо истолковать как означающий, что если равномерный объект был расположен в каком-либо событии, то существует некоторый период времени (в любой системе времени), в течение которого он существовал; и точно так же Закон II означает, что если равномерный объект существовал в течение какого-либо периода времени, то он существовал в течение любого более короткого периода внутри этого периода. Эти законы очевидны применительно к равномерным объектам, но не столь очевидны для объектов в целом, как «объект» определен здесь. Например, музыкальная нота не может существовать в период времени, короче периода ее вибрации, и воспринимающий, чье «специозное» настоящее было слишком коротким, не смог бы ее услышать. Из закона II следует, что если равномерный объект O расположен в событии , а ′ — -срез , который является ситуацией , то можно найти абстрактивный класс -срезов, сходящихся к любой -секции ′, такой, что расположен в каждом члене класса. Следовательно, очевидно, расположен в каждой -секции ′. Это концепция равномерного объекта, расположенного в пространственном объеме в бездлительный момент времени.

С определенными пояснениями и ограничениями законы I и II применимы ко многим типам объектов. На самом деле требуется усилие, чтобы осознать, что существуют случаи, к которым они не применимы. Они были сформулированы выше самым формальным образом, чтобы показать тот факт, что, когда они применимы, они являются эмпирическими законами природы, а не априорными логическими истинами.

55. Компоненты объектов. 55.1 Концепцию «компонента» основного объекта трудно сделать точной. Компонент объекта — это другой, отличный объект ′ такой, что (i) всякий раз, когда расположен в событии , существует событие ′, которое является либо самим , либо частью , в котором расположен ′, и (ii) ′ может также быть расположен в событии ″, которое не является ситуацией или любой частью ситуации .

Таким образом, компонент необходим для основного объекта, но основной объект не является необходимым для компонента. Например, определенная нота может быть необходима для определенной мелодии, но нота может быть сыграна без мелодии. Основной объект требует своего компонента, но компонент не требует основного объекта.

Но эта общая идея компонента не имеет большого значения вне дальнейшей специализации. Существует много таких специализаций; но в науке есть три, которые имеют особое значение, а именно: «конкурентные компоненты», «экстенсивные компоненты» и «причинные компоненты».

Объект ′ является «конкурентным» компонентом объекта , когда он является компонентом , и если — любая ситуация , существует событие ′, которое является частью и таково, что (i) оно является ситуацией ′ и (ii) оно разрезано срезом, который является ситуацией ′, любой длительностью, которая разрезает в срезе, являющемся ситуацией .

Таким образом, конкурентный компонент длится одновременно с основным объектом в любой системе времени.

ГЛАВА XV МАТЕРИАЛЬНЫЕ ОБЪЕКТЫ

56. Материальные объекты. 56.1 Материальный объект — это, по сути, материальный объект определенного вида; а именно, мы определяем виды материальных объектов, которые являются наборами объектов с определенными особенностями, и материальный объект является таковым, потому что он является членом одного из этих видов. Например, кусок дерева — это материальный объект, потому что он принадлежит к классу деревянных объектов и потому что этот класс обладает необходимыми особенностями. Аналогично, электрический заряд — это материальный объект по аналогичной причине.

Объекты, составляющие набор ( ), образуют вид «материальных» объектов, когда (i) объекты набора являются равномерными, (ii) не более одного члена может быть расположено в любом объеме, (iii) ни один член не может быть расположен в двух объемах одного момента, (iv) если и — два члена , расположенные соответственно в неперекрывающихся объемах в одном моменте, то любая пара ситуаций и соответственно являются разделенными событиями, (v) если — член , расположенный в событии , и расположенный в объеме , который является секцией , и — любой объем, который является частью , то существует член , который расположен в и является конкурентным компонентом .

56.2 Если — материальный объект определенного вида, — объем, в котором расположен , а — часть , то материальный объект того же вида, что и , который расположен в , называется «экстенсивным компонентом» .

56.3 Именно посредством свойств материальных объектов атомарные свойства объектов объединяются в математических расчетах с экстенсивной непрерывностью событий. Без материальных объектов математическая физика в ее нынешнем виде была бы невозможна. Например, там, где физик видит электрон как атомарное целое, математик видит распределение электричества, непрерывное во времени и в пространстве и способное к делению на компонентные объекты, которые также являются аналогичными распределениями.

57. Стационарные события. 57.1. Чтобы понять теорию движения материальных объектов, прежде всего необходимо определить понятие «стационарного» события. Рассмотрим некоторую заданную систему времени и пусть V обозначает объем, лежащий в определенный момент t этой системы времени. Пусть d — длительность, ограниченная моментами t1 и t2, в которой содержится V; так что t1, t, t2 — три параллельных момента системы времени, и t лежит между t1 и t2. Объем V является локусом множества событий-частиц, и каждая из этих событий-частиц лежит в одной и только одной станции длительности d. Также каждая станция d либо не пересекает V, либо пересекает его только в одной событии-частице. Совокупность событий-частиц, лежащих на станциях d, которые пересекают V [а именно, каждая событие-частица, лежащая на одной из этих станций], представляет собой полное множество событий-частиц, анализирующих [8] событие. Такое событие называется стационарным в системе времени и простирается на всю длительность d. Его также можно назвать «стационарным в t», поскольку t определяет систему времени. Каждая событие-частица внутри события лежит на станции d; и станция d либо имеет все свои события-частицы, лежащие внутри события, либо не имеет ни одной из них. Объем V является сечением события моментом t. Более того, если t' — любой другой момент системы времени, лежащий между t1 и t2, он пересекает событие в объеме V', который является геометрической копией объема V. Моменты t1 и t2, ограничивающие длительность d, являются терминальными моментами любого события, стационарного в t. Станции d, лежащие в событии, пересекают t1 и t2 в терминальных объемах V1 и V2, которые являются геометрическими копиями V и V'. Объем, такой как V', в котором момент t' пересекает событие, стационарное в t, называется «нормальным поперечным сечением» события. Момент t'' другой системы времени, который пересекает стационарное событие в объеме V'', но не пересекает ни один из терминальных объемов, как говорят, пересекает его в «наклонном поперечном сечении». Все наклонные поперечные сечения стационарного события, образованные моментами одной и той же системы времени, являются геометрическими копиями друг друга.

57.2. Рассмотрим событие E, стационарное в системе времени t, и пусть t' — другая система времени. Пусть V — мера нормальных поперечных сечений E, и пусть V' — мера наклонных поперечных сечений, образованных моментами t'. Нам требуется отношение V к V'. Возьмем (как обычно) взаимные оси для t и t', и пусть событие-частица, являющееся началом координат, лежит в t1, который является предшествующим терминальным моментом E. Тогда E находится в t-времени ноль, и пусть t2 (последующий терминальный момент) будет в t-времени T. Тогда, если (x, y, z) — t-координаты события-частицы, в которой станция s (из множества, составляющего событие E) пересекает t', то t-координаты другого конца (последующего конца) s в t' равны (x + uT, y, z).

Более того, пусть (x1, y1, z1) — t-координаты предшествующего конца s, и пусть (x2, y2, z2) — t-координаты последующего конца s. Тогда по обычным формулам [ср. подстатью 52.2]

Но по рассуждению, аналогичному рассуждению для элементарного случая геометрических параллелограммов, абсолютная протяженность события E может быть выражена как V * T и как V' * T' (где T' — соответствующая длительность в t'). Следовательно, V / V' = T' / T.

57.3. Станции длительности d системы времени t являются частями точек вневременного пространства t [t-пространства].

Таким образом, продлевая станции, составляющие стационарное событие E, мы получаем совокупность t-точек, которая является полной совокупностью t-точек, пересекающих поперечные сечения E, при этом каждая событие-частица в каждом поперечном сечении лежит на одной и только одной такой t-точке, и каждая из этих t-точек пересекает каждое поперечное сечение в одной событии-частице. Совокупность этих t-точек представляет собой объем t-пространства, и последовательные мгновенные объемы, которые являются нормальными поперечными сечениями E [стационарного в t], каждый занимают этот же объем в t-пространстве. Таким образом, стационарное событие E в течение промежутка t-времени, на протяжении которого оно длится, происходит в одном и том же месте в t-пространстве.

Но последовательные наклонные поперечные сечения E, образованные моментами t' другой системы времени, представляют собой мгновенные объемы, которые последовательно занимают различные объемы в t-пространстве. Эти мгновенные объемы перемещаются в t-пространстве, проносясь по нему с равномерной скоростью u, а именно скоростью, обусловленной системой времени t' в t-пространстве.

57.4. «Нормальный срез» стационарного события — это его срез, отсеченный между любыми двумя нормальными поперечными сечениями. «Наклонный срез» стационарного события — это его срез, отсеченный между любыми двумя параллельными наклонными поперечными сечениями. Нормальный срез стационарного события сам по себе является стационарным событием в той же системе времени.

58. Движение объектов. 58.1. Материальный объект является «неподвижным» в течение длительности, когда на протяжении этой длительности материальный объект и его экстенсивные компоненты все расположены в стационарных событиях.

В случае неподвижного материального объекта Закон I для равномерных объектов может быть сформулирован более точно следующим образом:

Если O — материальный объект, неподвижный в длительности d, и E — стационарное событие, простирающееся на всю длительность d, в котором он расположен, то O расположен в любом наклонном срезе E.

Прилагаемые рисунки иллюстрируют (i) тип среза, который включен в этот закон, и (ii) тип среза, который исключен.

Рис. 19.

Отсюда непосредственно следует, что — при номенклатуре формулировки закона — O находится в каждом наклонном поперечном сечении E.

Если t — система времени длительности, в которой O неподвижен, и в некоторой другой системе времени t' длительность d' максимальной протяженности пересекает O в наклонном срезе, то на протяжении d' во вневременном пространстве t материальный объект имеет равномерное поступательное движение со скоростью u системы t' в t.

58.2. Это свойство, присущее материальному объекту, который неподвижен в системе времени t, — быть расположенным в каждом наклонном срезе своей стационарной ситуации — является фундаментальным физическим законом природы. А именно, воспринимающие субъекты, когредиентные с различными системами времени, могут «распознавать» одни и те же материальные объекты. Другими словами, характер материального объекта не изменяется от его движения.

58.3. Движение материального объекта O является «регулярным», когда, если V — любой объем, в котором он расположен, и e — любая событие-частица в V, и V' — любой переменный объем, который содержит e и является частью V, и O' — экстенсивный компонент O, который расположен в V', то, по мере того как V' прогрессивно уменьшается без предела, можно найти систему времени t такую, что ошибки вычислений относительно величин, демонстрируемых O', которые предполагают, что O' неподвижен в t, стремятся к пределу ноль, при условии, что промежуток времени длительностей в t, в пределах которых O' неподвижен, также соответственно уменьшается без предела.

Приведенное выше определение регулярного движения является описанием допущений в обычном математическом подходе к движению материального объекта (не обязательно жесткого), который не движется с равномерным поступательным движением. Если t — стандартная система времени, к которой относятся движения, то скорость O в t — это скорость материального объекта в событии-частице [т.е. в точке t-пространства x, y, z в t-время t].

59. Экстенсивная величина. 59.1. Теория экстенсивной величины необходима для завершения теории материальных объектов.

Пусть O и O' — два объекта (материальных или иных), тогда утверждение, что O и O' обладают количествами определенного рода и что отношение количества O к количеству O' имеет определенное числовое значение, является отсылкой к некоторому детерминированному методу сравнения O с O', который является определяющей характеристикой этого рода количества [9].

Количество определенного рода, которым обладает материальный объект O, называется «экстенсивным», когда оно является детерминированной функцией количеств того же рода, которыми обладают любые два его экстенсивных компонента, которые (i) исчерпывают O и (ii) не перекрываются [т.е. не имеют общего экстенсивного компонента].

Если детерминированная функция является функцией простого сложения [так что, если q, q1, q2 — количества, которыми обладают соответственно O и его два экстенсивных компонента, q = q1 + q2], то род количества будет называться «абсолютно» экстенсивным. Когда экстенсивное количество не является абсолютно экстенсивным, оно будет называться «полуэкстенсивным».

59.2. В философских дискуссиях принято ограничивать термин «экстенсивное количество» тем, что здесь определено как «абсолютно экстенсивное количество», и полностью игнорировать существование полуэкстенсивных количеств. Но в физической науке полуэкстенсивные количества хорошо известны. Например, рассмотрим сферу радиуса a, равномерно заряженную электричеством по всему своему объему. Разделим сферу на две части, а именно на концентрическое ядро радиуса r и оболочку толщиной a-r. Тогда электромагнитная масса всей сферы не является суммой электромагнитных масс этих двух частей, а должна вычисляться по квадратичному закону от зарядов.

Материальный объект выражает пространственное распределение количества «материи», когда это количество является абсолютно экстенсивным.

Объемная плотность в момент t в t-пространстве системы времени t распределения любого абсолютно экстенсивного количества, которым обладает материальный объект O, вычисляется по обычной математической формуле. Рассмотрим любую событие-частицу e, занимающую t-точку (x, y, z) в t-время t. Пусть V — мера объема в t-пространстве, который содержит e; и пусть O' — экстенсивный компонент O, расположенный в V, если такой экстенсивный компонент существует. Пусть q — мера количества, которым обладает O'. Тогда предел отношения q к V, по мере того как V неограниченно уменьшается, является плотностью в e в момент t материала [т.е. абсолютно экстенсивного количества].

59.4. Приведенные выше определения рассматривают количества, непосредственно присущие экстенсивным объектам как таковым, например, электрические заряды и интенсивности чувственных объектов. Но существуют также количества, которые лишь опосредованно присущи объектам, но непосредственно присущи событиям, которые являются их ситуациями. Такие количества могут варьироваться при изменении ситуации объекта, опосредованно ими обладающего.