«Эссе об основаниях геометрии»

В остальной части главы Эрдман настаивает на том, что прямая линия и т.д., хотя и не абстрагированы из опыта, который нигде не представляет прямых линий, должны все же, как применимые к общепризнанно эмпирическим наукам, быть эмпирическими (стр. 159) — критерий, который он, по-видимому, применяет только тогда, когда все другие основания для эмпирического мнения терпят неудачу, и который, очевидно, никогда не может отказаться выполнять свою работу, поскольку все элементы знания восприимчивы к применению на некотором эмпирическом материале. Он также определяет прямую линию (стр. 155) как линию постоянной кривизны ноль, как будто кривизна могла быть измерена независимо от прямой линии. Даже арифметические аксиомы объявлены эмпирическими (стр. 165), поскольку в мире, где вещи были бы все безнадежно отличны друг от друга, эти аксиомы не могли бы быть применены. После этого напоминания о Милле мы не удивлены, несколько страниц спустя (стр. 172), смутному призыву к «английским логикам» как доказавшим, что геометрия является индуктивной наукой. Тем не менее, Эрдман объявляет, почти на последней странице своей книги (стр. 173), что геометрия отличается от всех других наук однородностью своего материала: принцип, ни одно применение которого не встречается во всей его книге, и который, как мы увидим в главе III, прямо противоречит философским теориям, отстаиваемым на всех его предыдущих страницах.

В целом, следовательно, нельзя сказать, что Эрдман сделал много для укрепления философской позиции Римана и Гельмгольца. Я критиковал его подробно, потому что его книга имеет вид большой тщательности и потому что она, несомненно, является лучшей защитой из существующих той позиции, которую она занимает. Теперь нам предстоит выполнить противоположную задачу: защитить метагеометрию, с ее математической стороны, от нападок Лотце и других и отстоять для нее ту меру философской важности — гораздо меньшую, правда, чем надежды Эрдмана, — которой она, по-видимому, действительно обладает.

Лотце.

85. Аргумент Лотце относительно геометрии — который следует за метафизическим аргументом об онтологической природе пространства и предполагает результаты этого аргумента — состоит из двух частей: первая обсуждает различные значения, логически приписываемые (стр. 233–247) предложению о том, что возможны другие пространства, кроме евклидова, а вторая критикует, в деталях, процедуру метагеометрии. Первый из этих вопросов очень важен и требует значительной осторожности относительно логического значения суждения о возможности. Хотя обсуждение Лотце превосходно во многих отношениях, я не могу убедить себя, что он нашел единственный истинный смысл, в котором возможны неевклидовы пространства. Я постараюсь обосновать это утверждение на следующих страницах.

86. Лотце открывает несколько поразительным утверждением, которое, хотя философски достойно того, чтобы быть истинным, по-видимому, исторически не подтверждается. Евклидова геометрия была главным образом поколеблена, говорит он, кантовским понятием исключительной субъективности пространства — если пространство есть только наша частная форма интуиции, для которой не существует аналога в объективном мире, то другие существа могут иметь другие пространства, не предполагая никакого различия в мире, который они упорядочивают в этих пространствах (стр. 233). Это, безусловно, кажется законной дедукцией из субъективности пространства, которая, будучи далекой от установления всеобщей значимости Евклида, устанавливает его значимость только после эмпирического исследования природы пространства, как оно интуитивно постигается Томом, Диком или Гарри. Но на самом деле те, кто сделал больше всего для продвижения неевклидовой геометрии — за исключением Римана, который был учеником Гербарта, — обычно наследовали от Ньютона наивный реализм относительно абсолютного пространства. Я мог бы привести пример отрывка, процитированного из Бойяи в главе I, или Клиффорда, который, по-видимому, думал, что мы фактически видим изображения вещей на сетчатке, или, опять же, веру Гельмгольца в зависимость геометрии от поведения твердых тел. Эта вера привела к взгляду, что геометрия, подобно физике, есть экспериментальная наука, в которой объективная истина может быть достигнута, это правда, но только эмпирическими методами. Однако основание Лотце для неуверенности относительно Евклида является философски приемлемым основанием, и будет поучительно наблюдать различные возможности, которые возникают из него.

Если пространство есть только субъективная форма — так Лотце открывает свой аргумент, — другие существа могут иметь другую форму. Если это соответствует другому миру, различие, говорит он, неинтересно: ибо только наш мир релевантен для любого метафизического обсуждения. Но если это другое пространство соответствует тому же миру, который мы знаем под евклидовой формой, тогда, по его мнению, мы получаем вопрос подлинного философского интереса. И здесь он различает два случая: либо отношения между вещами, которые представлены этим гипотетическим существам под формой некоторого другого пространства, являются отношениями, которые не появляются нам, или, во всяком случае, не появляются пространственными; либо они являются теми же отношениями, которые появляются нам как фигуры в евклидовом пространстве (стр. 235). Первая возможность была бы проиллюстрирована, говорит он, существами, для которых тоновые или цветовые многообразия казались протяженными; но мы не можем, по его мнению, вообразить многообразие, такое как требуется для этого случая, имеющим свои измерения однородными и сравнимыми inter se, и поэтому содержания различных представлений, составляющих такое многообразие, не могли бы быть объединены в единое содержание, содержащее их все. Но возможность такой комбинации есть сущность чего-либо, стоящего того, чтобы называться пространством: следовательно, первая из вышеуказанных возможностей немотивирована и неинтересна. Вывод Лотце по этому пункту, я думаю, неоспорим, но я сомневаюсь, что его аргумент очень убедителен. Однако, поскольку эта возможность не имеет связи с той, которую созерцают неевклиды, не стоит обсуждать ее далее.

Вторая возможность также, думает Лотце, не является возможностью метагеометрии, но в действительности она ближе к ней, чем любая из других обсуждаемых возможностей. Если бы неевклид был в то же время сторонником субъективности пространства, он должен был бы быть приверженцем этого взгляда. Давайте посмотрим точнее, что это за взгляд. В книге II, главе I, Лотце принял аргумент Трансцендентальной эстетики, но отверг аргумент математических антиномий: он решил, что пространство есть, как верил Кант, субъективное, но обладает тем не менее тем, что Кант ему отказывал, — объективным аналогом. Отношение представленного пространства к его объективному аналогу, как оно мыслится Лотце, довольно трудно понять. Оно кажется едва ли напоминающим отношение ощущения к его объекту — например, света к эфирным вибрациям, — ибо если бы это было так, пространство не было бы в каком-либо особом смысле субъективным. Оно кажется скорее напоминающим отношение воспринимаемого телесного движения к состоянию ума лица, желающего движения. Как бы то ни было, объективный аналог пространства предполагается состоящим из некоторых непосредственных взаимодействий монад, которые испытывают взаимодействия как модификации своих внутренних состояний. Такие взаимодействия, ясно, не формируют предмет геометрии, которая имеет дело только с нашими результирующими восприятиями пространственных фигур. Теперь, если конструкция пространства Лотце верна, кажется, безусловно, нет причин, почему эти результирующие восприятия не могли бы, для одного и того же взаимодействия между монадами, быть очень разными у существ, иначе конституированных, чем мы сами. Но если бы они были разными, говорит Лотце, они должны были бы быть совершенно разными — настолько разными, например, как интервал между двумя нотами отличается от прямой линии. Возможность эта, следовательно, по его мнению, есть та, о которой мы не можем знать ничего, и та, которая должна оставаться всегда лишь пустой идеей. Это кажется мне заходящим слишком далеко: ибо каков бы ни был объективный аналог, любой аргумент, который дает нам информацию о нем, должен, будучи обращенным, дать нам информацию о любой возможной форме интуиции, в которой этот аналог представлен. Аргумент, который Лотце использовал в своей прежней главе, например, выводя из относительности положения чисто реляционную природу объективного аналога, позволяет нам, наоборот, сделать вывод из этой реляционной природы о полной относительности положения в любой возможной пространственной интуиции — если только, конечно, она не имела совершенно обманчивого отношения к тем взаимодействиям монад, которые формируют ее объективный аналог. Но полная относительность положения, как я постараюсь установить в главе III, достаточна для доказательства того, что наша геометрия должна быть евклидовой, эллиптической, сферической или псевдосферической. Мы имеем, следовательно, казалось бы, очень значительное знание, по теории пространства Лотце, о том, каким образом то, что кажется нам пространством, должно казаться любым существам с нашими законами мышления. Мы не можем знать, это правда, какая психологическая теория пространственного восприятия применялась бы к таким существам: они могли бы иметь чувство, отличное от любого из наших, и они могли бы не иметь чувства, в каком-либо смысле напоминающего наше, но все же их геометрия имела бы точки сходства с нашей, как геометрия слепых совпадает с геометрией видящих. Если пространство имеет какой-либо объективный аналог вообще, короче говоря, и если какой-либо вывод возможен, как Лотце считает его таковым, из пространства к его аналогу, тогда обратный аргумент также возможен, хотя он может дать некоторые только из качеств евклидова пространства, поскольку некоторые только из этих качеств могут быть найдены имеющими необходимый аналог в аналоге.

87. Допуская, следовательно, в смысле Лотце, субъективность пространства, вышеуказанная возможность не кажется такой пустой, как он воображает. Он обсуждает ее кратко, однако, чтобы перейти к тому, что он рассматривает как реальное значение метагеометрии. В этом он виновен в математической ошибке, которая вызывает много нерелевантных рассуждений. Ибо он верит, что метагеометрия конструирует свои пространства из прямых линий и углов во всех отношениях подобных евклидовым, откуда он извлекает легкую победу в доказательстве того, что эти элементы могут привести только к одному пространству. В этом он был введен в заблуждение фразеологией неевклидов, а также отделением Евклидом определений и аксиом. Ибо факт состоит, конечно, в том, что прямые линии полностью определены только тогда, когда мы добавляем к формальному определению аксиомы прямой линии и параллельных. Внутри евклидова пространства определения Евклида достаточно, чтобы отличить прямую линию от всех других кривых; две упомянутые аксиомы затем поглощаются в определение пространства. Но помимо ограничения евклидовым пространством, определение должно быть дополнено двумя аксиомами, чтобы полностью определить евклидову прямую линию. Таким образом, Лотце неправильно понял значение неевклидовых конструкций и просто упустил суть, аргументируя так, как он это делает. Возможность, созерцаемая неевклидом, если бы она подпадала под какой-либо из случаев Лотце, подпадала бы под второй случай, обсуждавшийся выше.

88. Но значение метагеометрии действительно, я думаю, отличается от всего, воображаемого Лотце; и поскольку немногие писатели кажутся ясными по этому пункту, я войду несколько полно в то, что я считаю ее целью.

Во-первых, есть некоторые писатели — особенно Клиффорд, — которые, будучи наивными реалистами относительно пространства, считают, что наше свидетельство совершенно недостаточно, пока что, чтобы решить относительно его природы в бесконечном или в бесконечно малом (ср. Essays, Vol. I, стр. 320): эти писатели не обеспокоены какой-либо возможностью существ, отличных от нас самих, но просто повседневным пространством, которое мы знаем, которое они исследуют в духе химика, обсуждающего, является ли водород металлом, или астронома, обсуждающего небулярную гипотезу.

Но это меньшинство: большинство, более осторожные, допускают, что наше пространство, насколько простирается наблюдение, является евклидовым, и если не точно евклидовым, должно быть лишь слегка сферическим или псевдосферическим. Здесь опять же это пространство повседневной жизни, которое находится под обсуждением, и здесь далее обсуждение, я думаю, независимо от любого философского предположения относительно природы нашей пространственной интуиции. Ибо даже если это чисто субъективно, перевод интуиции в концепцию может быть осуществлен только приблизительно, в пределах ошибок наблюдения, свойственных самоанализу; и пока интуиция пространства не стала концепцией, мы не получаем научной геометрии. Аподиктическая достоверность аксиомы параллельных сжимается до немотивированного субъективного убеждения и исчезает совсем у тех, кто питает неевклидовы сомнения. Чтобы подкрепить евклидову веру, разум должен теперь быть приведен на помощь интуиции; но разум, к сожалению, оставляет нас, и мы оставлены на милость приближенных наблюдений звездных треугольников — скудная поддержка, действительно, для заветной религии нашего детства.

89. Но возможность неточности, столь незначительной, что наши самые точные инструменты и самые далекие параллаксы не обнаруживают ее следов, тревожила бы умы не больше, чем аналогичная вероятность неточности в законе всемирного тяготения, если бы не философская значимость даже малейшей возможности в этой сфере. И именно философское значение метагеометрии, как мне кажется, составляет ее подлинную важность. Даже если бы, как мы предположим на мгновение, наблюдение установило вне всякого сомнения, что наше пространство можно с уверенностью считать евклидовым, метагеометрия все равно продемонстрировала бы философскую возможность, и уже на этом основании она могла бы претендовать, я полагаю, почти на все то внимание, которого она заслуживает в настоящее время.

Но что это за возможность? Вещь возможна, согласно Брэдли (Logic, с. 187), когда она вытекает из определенного числа условий, некоторые из которых, как известно, реализованы. Условия же, которым должна соответствовать форма внешности, чтобы быть утвержденной, таковы: во-первых, разумеется, чтобы она была воспринята или законно выведена из чего-то воспринятого; но во-вторых, чтобы она соответствовала определенным логическим условиям, подробно изложенным в главе III, которые можно свести к относительности положения. То, что сделала метагеометрия в любом случае, — это предложила доказательство того, что второе из этих условий выполняется неевклидовыми пространствами. Евклид утверждается, следовательно, только на основании непосредственного опыта, и его истинность, как не опосредованная логической необходимостью, является лишь ассерторической или, если угодно, эмпирической. Это, как мне кажется, наиболее важный смысл, в котором возможны неевклидовы пространства. Короче говоря, они являются шагом в философском аргументе, а не в исследовании фактов: они проливают свет на природу оснований для Евклида, а не на фактическую конфигурацию пространства [102]. Это значение метагеометрии отрицается Лотце на том основании, что неевклидова логика ошибочна, — основание, которое он пытается обосновать с большими подробностями на многих страницах, — и мы перейдем к рассмотрению того, с каким успехом.

90. Атака Лотце на метагеометрию — хотя она и остается, насколько мне известно, лучшей из существующих враждебных критических работ, и хотя ее аргументы стали частью обычного арсенала евклидовых философов — содержит, если я не ошибаюсь, несколько недоразумений, вызванных недостаточными математическими знаниями в этой области. Поскольку эти недоразумения широко распространились среди философов и их нелегко устранить иначе, как критику, который с некоторым вниманием вник в неевклидову геометрию, представляется желательным обсудить критические замечания Лотце пункт за пунктом.

91. Математическая критика начинается (§ 131) с несколько предрешающего определение параллельных прямых. Две прямые aα и bβ, согласно этому определению, параллельны, когда — при условии, что a и b являются произвольными точками на двух линиях — если aα = bβ, то ab = αβ, где α и β — две другие точки на соответствующих прямых. Это определение, которое содержит аксиому и определение Евклида, объединенные в очень удобной и привлекательной форме, конечно, полностью подходит для евклидовой геометрии и немедленно приводит ко всем евклидовым предложениям о параллельных. Но, пожалуй, честнее следовать курсом Евклида; когда аксиома таким образом скрыта в определении, кажется, поскольку определения считаются произвольными, что трудность преодолена, тогда как в действительности возможность параллельных, как определено выше, включает в себя сам спорный момент, а именно оспариваемую аксиому о параллельных. Ибо то, что утверждает эта аксиома, есть просто существование линий, соответствующих определению Лотце. Дедукция основных положений о параллельных, которой Лотце сопровождает свое определение, конечно, является очень простым процессом — процессом, однако, в котором первый шаг предрешает вопрос.

92. Следующий аргумент в пользу априорности евклидовой геометрии имеет, как ни странно, прямо противоположную направленность, хотя он очень любим противниками метагеометрии. Измерения звездных треугольников и все подобные попытки эмпирического определения пространственной константы, согласно Лотце, не достигают цели; ибо любое наблюдаемое отклонение от двух прямых углов или любой конечный годовой параллакс для далеких звезд были бы приписаны какому-то новому виду рефракции или, как в случае с аберрацией, какой-то другой физической причине, но никогда не геометрической природе пространства. Это сильный аргумент в пользу эмпирической значимости Евклида, но как аргумент в пользу аподиктической достоверности ортодоксальной системы он имеет противоположную тенденцию. Ибо наблюдения такого рода должны были бы быть обусловлены доселе неизвестными отклонениями световых лучей звезд от евклидовой прямолинейности. Такое отклонение в определенных случаях могло бы быть объяснено конечной пространственной константой, но оно также, вероятно, могло бы быть объяснено изменением в оптике, например, приписыванием эфиру свойств преломления. Такие свойства могли бы существовать только в том случае, если бы эфир был переменной плотности, если бы (скажем) он был плотнее в окрестностях любого из небесных тел. Но такое допущение, я полагаю, разрушило бы полезность эфира для физики; поэтому небольшое изменение в нашей геометрии, настолько незначительное, чтобы заметно не влиять на расстояния в пределах Солнечной системы, вероятно, в конечном счете, если бы такие ошибки когда-либо были обнаружены, было бы более простым объяснением, чем любое, которое могла бы предложить физика. Но не в этом суть моего утверждения. Суть в том, что если физическое объяснение, как полагает Лотце, возможно в вышеуказанном случае, то должно быть верно и обратное: должно быть возможно объяснить нынешние явления, предположив эфир преломляющим, а пространство — неевклидовым. От этого вывода нет спасения. Если любое мыслимое поведение световых лучей может быть объяснено в рамках Евклида физическими причинами, то должно быть также возможно, путем подходящего выбора гипотетических физических причин, объяснить фактические явления как принадлежащие неевклидову пространству. Такая гипотеза была бы справедливо отвергнута наукой в настоящее время из-за ее ненужной сложности. Тем не менее, для философии она оставалась бы возможностью, с которой нужно считаться, и выбор мог бы быть решен только на эмпирических основаниях простоты. Можно вполне усомниться в том, что в известном нам мире явления можно было бы приписать отчетливо неевклидову пространству, но этот вывод неизбежно следует из утверждения, что никакие явления не могли бы заставить нас предположить такое пространство. Аргумент Лотце, следовательно, если его довести до конца, опровергает его собственную точку зрения и ставит евклидово пространство как эмпирическое объяснение явлений на один уровень со светоносным эфиром [103].

93. Лотце переходит теперь (§ 132) к подробной критике Гельмгольца, которого он считает типичным представителем метагеометрии. Возможно, что во время написания своей работы Гельмгольц действительно занимал эту позицию; но прискорбно, что в умах философов он продолжает занимать ее до сих пор, после весьма существенных достижений, вызванных проективным подходом к предмету. Также прискорбно, что его несколько небрежные попытки популяризировать математические результаты так часто подвергались критике без должного внимания к его более техническим и солидным вкладам. Так, его романы о Флатландии и Сфероландии — в лучшем случае лишь сказочные аналогии сомнительной ценности — подвергались нападкам так, как будто они составляли существенную черту метагеометрии.

Но перейдем к частностям: Лотце охотно допускает, что жители Флатландии создали бы планиметрию, какой мы ее знаем, но отказывается признать, что жители Сфероландии могли бы, не выводя третьего измерения, создать двумерную сферическую геометрию, свободную от противоречий. Я попытаюсь дать свободное изложение аргумента Лотце по этому пункту.

Предположим, говорит он, произвольно зафиксированные северный и южный полюса, N и S, и экватор EW. Предположим, существо B, способное к впечатлениям только от вещей на поверхности сферы, движется по меридиану NBS. Пусть B начнет с некоторой точки a и, наконец, описав большой круг, вернется в ту же точку a. Если a известно только по качеству впечатления, которое оно производит на B, B может вообразить, что он достиг не той же самой точки a, а другой подобной точки a', имеющей отношение к a, подобное отношению октавы в пении: он мог бы даже вообще не упорядочивать свои впечатления пространственно. Чтобы это произошло, нам требуется дополнительное предположение, что каждое различие в вышеупомянутых ощущениях (как он описывает меридиан) может быть представлено как пространственное расстояние между двумя местами. Даже теперь B может думать, что он описывает евклидову прямую линию, содержащую подобные точки через определенные интервалы. Допуская, однако, что он осознает тождественность a со своей начальной позицией, ему теперь будет казаться, что, двигаясь по прямой линии, он вернулся в точку, с которой начал, ибо его движение не может, без третьего измерения, казаться ему иным, чем прямолинейным.

До этого момента оснований для возражений, кажется, мало, за исключением, пожалуй, идеи прямой линии с периодическими подобными точками — если бы B был столь же философски настроен, как мы обычно предполагаем в этих дискуссиях, он, вероятно, возразил бы против такой интерпретации своего опыта на том основании, что она рассматривает пустое пространство как нечто независимое от объектов в нем. Стоит также отметить, что B не нужно было бы описывать весь круг, чтобы внезапно обнаружить, что он снова дома со своими старыми друзьями. Точных измерений малых треугольников было бы достаточно, чтобы определить его пространственную константу и показать ему длину большого круга (или прямой линии, как он бы ее назвал). Мы должны также признать, что столь гипотетическое существо, как B, могло бы вообще не сформировать пространственной интуиции, но поскольку он введен исключительно для целей аналогии, удобно предоставить ему все возможные квалификации для его роли. Но эти пункты не затрагивают ядра аргумента, которое заключается в утверждении, что такая прямая линия, возвращающаяся в саму себя через конечное время, показалась бы B «невыносимым противоречием» и, таким образом, вынудила бы его, для логических, хотя и не для сенсорных целей, к допущению третьего измерения. Это утверждение кажется мне совершенно необоснованным: вся метагеометрия является солидным массивом доказательств против него. Аргумент Гельмгольца, следует помнить, является лишь аналогией, и противоречие существовало бы только для евклидианца. Полная трехмерная геометрия, как мы видели в главе I, была развита на допущении, что прямые линии имеют конечную длину. Постоянное значение меры кривизны, как показало наше обсуждение Римана, не предполагает ни ссылки на четвертое измерение, ни какого-либо рода внутреннего противоречия. Этот факт опровергает утверждение Лотце, которое проистекает исключительно из неспособности освободить свое воображение от евклидовых идей.

Затем Лотце нападает на Гельмгольца за утверждение, что B ничего не знал бы о параллельных линиях — параллельных прямых, как показывает контекст, имел он в виду [104]. Лотце, однако, понимает его, по-видимому, как означающего просто кривые постоянного расстояния от данной прямой линии, которые являются частью обычного арсенала метагеометрии. Параллели широты, в географическом смысле, не казались бы B — за исключением экватора — прямыми линиями, а кругами. Большие круги он называл бы прямыми, и этот факт, по-видимому, ввел Лотце в заблуждение, заставив думать, что все круги следует рассматривать как прямые линии. Параллели широты, следовательно, хотя B мог бы называть их параллелями, не опровергли бы утверждение Гельмгольца, которое относится только к прямым линиям.

Аргумент о том, что такие малые круги были бы параллельными, который мы только что опровергли, является лишь предисловием к другому доказательству того, что B потребовалось бы третье измерение. Назовем две из этих параллелей широты ln и ls и пусть они будут равноудалены от экватора, одна в северном, другая в южном полушарии. Последовательные касательные плоскости вдоль этих параллелей сходятся в одном случае к северу, в другом — к югу. Либо B мог бы осознать их различие, говорит Лотце, либо не мог бы. В первом случае, который он считает более вероятным, он легко доказывает, что B вывел бы третье измерение. Но эта альтернатива, я думаю, совершенно недопустима. Касательные плоскости, как и евклидовы плоскости в целом, не имели бы смысла для B; если только, конечно, он не был бы метагеометром, которым, при всей его метафизической и математической тонкости, аргумент предполагает его не быть — и против такого предположения Лотце, безусловно, последний человек, который имеет право возражать. Попытка Лотце доказать, что это правильная альтернатива, основывается, если я правильно его понимаю, на чистой ошибке в обычной сферической геометрии. B заметил бы, говорит он, что меридианы образуют меньшие углы с его путем к более близкому, чем к более далекому полюсу — на самом деле они были бы просто перпендикулярны его пути в обоих направлениях. Что Лотце имеет в виду, возможно, так это то, что все меридианы встретились бы раньше в одном направлении, чем в другом, и это, конечно, верно. Но полюса, в которых меридианы встречаются, казались бы B центрами соответствующих параллелей, в то время как сами параллели казались бы кругами. Теперь я в затруднении понять, какая трудность возникла бы у B при предположении, что два разных круга имеют разные центры [105]. Мы должны, следовательно, принять первую альтернативу, что B не имел бы никакого знания о том, в каком направлении сходятся касательные плоскости. Здесь Лотце пытается, если я не неправильно его понял, доказать reductio ad absurdum: B подумал бы, говорит он, что он описывает два пути, полностью совпадающих по направлению, и тогда он мог бы рассматривать оба пути как круги в плоскости. Можно заметить, что направление, примененное к кругу в целом, бессмысленно; действительно, направление во всей метагеометрии может означать, даже при применении к прямым линиям, только направление к точке. Говорить о двух линиях, которые не встречаются, как имеющих одно и то же направление, — это тайное введение аксиомы о параллельных. Помимо этого, я не могу представить себе никакого возражения со стороны B против такого взгляда — следовало бы сказать «должен», а не «мог бы». Вся аргументация, следовательно, если ее неясность не ввела меня в заблуждение, должна быть признана бесплодной и неубедительной.

94. После этого предварительного обсуждения Сфероландии Лотце переходит к вопросу о четвертом измерении, а оттуда к сферическому и псевдосферическому пространству. Как и прежде, он, по-видимому, знает только более небрежные и популярные высказывания Гельмгольца и Римана и не взял на себя труд понять даже основы математической метагеометрии. Из-за этого пренебрежения многое из того, что он говорит, становится совершенно бесполезным. Начнем с того, что он рассматривает в качестве цели сказки Гельмгольца предположение о возможном четвертом измерении, тогда как реальная цель была прямо противоположной — сделать понятным чисто трехмерное неевклидово пространство. Гельмгольц ввел Флатландию только потому, что ее отношение к Сфероландии аналогично отношению нашего к сферическому пространству [106]. Но Лотце говорит: жители Флатландии не нашли бы затруднений в третьем измерении, поскольку оно никоим образом не противоречило бы их собственной геометрии, в то время как люди в Сфероландии, из-за противоречий в их двумерной системе, уже были бы приведены к нему. На последнее утверждение я уже пытался ответить; первое звучит странно, учитывая попытку, несколькими страницами позже, доказать à priori, что все формы интуиции, каким-либо образом аналогичные пространству, должны иметь три измерения. Нельзя не заподозрить, что жители Флатландии, с двумя измерениями вместо трех, предприняли бы аналогичную попытку. Но вернемся к аргументу Лотце: ни одна аналогия не может быть использована, говорит он, чтобы доказать, что мы должны, возможно, установить четвертое измерение, поскольку для нас не существует никаких противоречий или иных необъяснимых явлений. Единственные люди, насколько мне известно, которые использовали эту аналогию, — это доктор Эббот и несколько спиритуалистов — первые в шутку, вторые — чтобы объяснить некоторые явления, более просто объяснимые, возможно, Маскелайном и Куком. Но хотя вывод Лотце в этом вопросе верен и с ним мог бы согласиться Гельмгольц, его аргументы, на мой взгляд, неуместны и неубедительны. Есть такая разница, говорит он, между нами и жителями Сфероландии: последние были логически вынуждены к новому измерению и нашли его возможным; мы не вынуждены к нему и находим его в нашем пространстве невозможным. Я же утверждал, что, напротив, ничто не заставило бы жителей Сфероландии предполагать третье измерение, в то время как они нашли бы его невозможным точно так же, как мы находим четвертое невозможным — не логически, то есть, а только как представимую конструкцию в данном пространстве.

После несколько неуклюжей шутки о социалистических китах в четырехмерном море фурьеристской eau sucrée, Лотце переходит к логическому доказательству того, что каждая форма интуиции, которая охватывает всю систему упорядоченных отношений сосуществующего многообразия, должна иметь три измерения. Можно было бы возразить на à priori основаниях против любой такой попытки: то, что принадлежит чистой интуиции, едва ли, можно было бы подумать, может быть определено à priori рассуждением [107]. Я не буду, однако, развивать этот аргумент здесь, а попытаюсь указать, насколько позволит его неясность, конкретную ошибку рассматриваемого доказательства.

Аргумент Лотце заключается в следующем. В этой дискуссии, хотя наша терминология неизбежно взята из пространства, мы на самом деле имеем дело с гораздо более общим понятием. Мы предполагаем, чтобы сохранить однородность измерений, что различие (расстояние) между любыми двумя элементами (точками) нашего многообразия — заимствуя слово Римана — того же рода, что и различие между любыми другими двумя элементами, и соизмеримо с ним. Возьмем ряд элементов на последовательных расстояниях x таких, что расстояние между любыми двумя есть сумма расстояний между промежуточными элементами. Такой ряд соответствует прямой линии, которая берется как ось x. Тогда ряд OY называется перпендикулярным к оси x OX, когда расстояния любого элемента y на OY от +mx и -mx равны. Согласно нашей гипотезе, эти расстояния сравнимы с x и y и качественно подобны им. Пока OY определяется только отношением к OX, он концептуально уникален. Но теперь предположим, что то же отношение, что и между OX и OY, возможно между OY и новым рядом OZ; тогда мы получаем третий ряд OZ, перпендикулярный к OY, и снова концептуально уникальный, пока он определяется только отношением к OY. Мы могли бы продолжить таким же образом к четвертой линии OU, перпендикулярной к OZ. Но необходимо для наших целей, чтобы OZ был перпендикулярен к OX, а также к OY. Без этого условия OZ мог бы простираться в другой мир и не иметь соответствующего отношения к OX — это возможность, исключенная только нашими неизбежными пространственными образами. В этой точке наступает crux аргумента. Тот OZ, говорит Лотце, который, помимо перпендикулярности к OY, также перпендикулярен к OX, должен быть среди ряда OY, ибо они были определены только перпендикулярностью к OX. Следовательно, заключает он, может существовать даже третье измерение только в том случае, если OZ совпадает с одним, и — как только OX считается фиксированным — только с одним из многих членов ряда OY.

В этом аргументе трудно — по крайней мере, мне — увидеть хоть какую-то силу. Единственный способ, которым я могу объяснить его, — это предположить, что Лотце пренебрег возможностью любых, кроме простых бесконечностей. При такой интерпретации аргумент можно было бы сформулировать так: существует бесконечный ряд непрерывно изменяющихся OY; к общему свойству этих мы добавляем другое свойство, которое разделит их общее число на бесконечность. Оставшийся OZ, следовательно, должен быть однозначно определен. Тот же вид аргумента, однако, доказал бы, что две поверхности могут пересекаться только в одной точке, и бесчисленное множество других абсурдов. Дело в том, что бесконечности могут быть разных порядков. Например, число точек на линии может быть принято как простая бесконечность, так же как и число линий в плоскости через любую точку; следовательно, путем умножения, число точек в плоскости есть двойная бесконечность, ∞2, и если мы разделим это число на простую бесконечность, у нас все равно останется бесконечное число. Таким образом, аргумент Лотце предполагает то, что он должен доказать, а именно, что число линий, перпендикулярных данной линии через любую точку, есть простая бесконечность, что эквивалентно аксиоме трех измерений. Весь отрывок настолько неясен, что его смысл мог ускользнуть от меня. Очевидно à priori, однако, как я указал в начале, что любое доказательство аксиомы должно быть ошибочным где-то, и вышеприведенная интерпретация аргумента — единственная, которую я смог найти.

95. Остальная часть главы посвящена атаке на сферическое и псевдосферическое пространство на том основании, что они мешают однородности трех измерений и подобию всех частей пространства. Это просто ложь. Такие пространства, как поверхность сферы, одинаковы повсюду. Лотце показывает здесь и в других местах, что он не взял на себя труд выяснить, что такое метагеометрия на самом деле. Я сам придерживаюсь мнения, и пытался доказать в этом эссе, что конгруэнтность является à priori аксиомой, без которой геометрия была бы невозможна; но желание поддержать эту аксиому, как должен был знать Лотце, является тем самым мотивом, который побудил метагеометрию ограничиться пространствами постоянной меры кривизны. Мы видим здесь важность различения между Гельмгольцем-философом и Гельмгольцем-математиком. Хотя философ хотел обойтись без конгруэнтности, математик, как мы видели в главе I, сохранил и решительно подчеркнул ее. Чуть позже Лотце показывает, опять же, как он был введен в заблуждение неудачной аналогией Сфероландии. Сферическую поверхность, говорит он, он может понять; но как нам перейти от этого к сферическому пространству? Либо эта поверхность является всем нашим пространством, как в Сфероландии, либо она порождает пространство постепенно растущим радиусом. Такие концентрические сферы, как торжествующе указывает Лотце, конечно, порождают евклидово пространство. Его дизъюнкция, однако, совершенно и полностью ложна и никогда не могла быть предложена кем-либо, имеющим хотя бы поверхностное знание метагеометрии. Этот пункт менее проработан, чем предыдущий, который во всей своей наготе переформулирован в последнем предложении главы: «Я не могу убедить себя, что можно было бы, без элементов однородного пространства, даже сформировать или определить представление о неоднородных пространствах или о таких, которые имели переменные меры кривизны». Как будто такие пространства когда-либо устанавливались неевклидовой математикой!

В заключение Лотце выражает надежду, что философия в этом вопросе не позволит математике навязать себе что-либо. Я должен, напротив, радоваться, что математика не позволила философии навязать себе что-либо, а свободно развила важную и самосогласованную систему, которая заслуживает, за свой тонкий анализ логических и фактических элементов, благодарности всех, кто ищет философию пространства.

96. Возражения против неевклидовой геометрии, которые только что были обсуждены, подпадают под четыре заголовка:

I. Неевклидовы пространства не являются однородными; метагеометрия поэтому чрезмерно овеществляет пространство.

II. Они включают ссылку на четвертое измерение.

III. Они не могут быть установлены без неявной ссылки на евклидово пространство или на евклидову прямую линию, от которых они поэтому зависят.

IV. Они самопротиворечивы в одном или нескольких отношениях.

Читателю, который последовал за мной в признании этих четырех возражений ошибочными, не составит труда справиться с любым другим критиком метагеометрии, поскольку это единственные математические аргументы, насколько мне известно, когда-либо выдвигавшиеся против неевклидианцев [108]. Логическая обоснованность метагеометрии и математическая возможность трехмерных неевклидовых пространств будут, следовательно, рассматриваться на протяжении остальной части работы как достаточно установленные.

97. Два других возражения могут, действительно, быть выдвинуты против метагеометрии, но они имеют скорее философское, чем строго математическое значение. Первое из них, которое было сделано Дельбёфом базой операций, в равной степени применимо ко всем неевклидовым пространствам. Второе, которое, насколько мне известно, не часто использовалось, но все же кажется мне заслуживающим внимания, направлено непосредственно только против пространств положительной кривизны; но если бы оно могло дискредитировать их, оно могло бы поставить под сомнение метод, с помощью которого все они получены. Эти два возражения таковы:

I. Пространство должно быть таким, чтобы допускать подобие, т.е. увеличение или уменьшение в постоянном отношении всех линий в фигуре без изменения углов; тогда как в неевклидовой геометрии линии, как и углы, имеют абсолютную величину.

II. Пространство должно быть бесконечным, тогда как сферические и эллиптические пространства конечны.

Я обсужу первое возражение в связи со статьями Дельбёфа, упомянутыми выше. Второе, которое, насколько мне известно, не широко использовалось в критике, лучше отложить до главы III.

Дельбёф.

98. Четыре статьи г-на Дельбёфа в Revue Philosophique содержат много материала, который уже был рассмотрен в критике Лотце, и много такого, что не имеет отношения к нашей нынешней цели. Единственный пункт, который я хочу обсудить здесь, — это вопрос об абсолютной величине, как ее называют, — вопрос, то есть, о том, может ли возможность подобных, но неравных геометрических фигур быть известна à priori [109].

При обсуждении этого вопроса важно, для начала, четко различать смысл, в котором абсолютная величина требуется в неевклидовой геометрии, от другого смысла, в котором было бы абсурдно рассматривать любую величину как абсолютную. Суждения о величине могут быть результатом только сравнения, и если бы метагеометрия требовала величин, которые могли бы быть определены без сравнения, она, безусловно, заслуживала бы осуждения. Но этого не требуется. Все, что мы требуем, — это чтобы было невозможно, пока остальная часть пространства не затронута, изменить величину любой фигуры по сравнению с другими фигурами, оставляя относительные внутренние величины ее частей неизменными. Эта конструкция, которая возможна в Евклиде, невозможна в метагеометрии. Мы должны обсудить, делает ли такая невозможность неевклидовы пространства логически ошибочными.

Позиция г-на Дельбёфа по этой аксиоме — которую он называет постулатом однородности [110] — заключается в том, что вся геометрия должна предполагать ее, и что метагеометрия, следовательно, хотя и логически здравая, логически вторична по отношению к Евклиду и может делать свои конструкции только в евклидовом «однородном» пространстве (Rev. Phil. Vol. XXXVII, с. 380–1). Он, тем не менее, по-видимому, думает, что однородность (в его смысле) познается из опыта, хотя по этому пункту он не очень ясен. (См. Vol. XXXVIII, с. 129.) Никакого à priori доказательства, во всяком случае, в его статьях не предлагается. Как результат опыта, каждый признал бы, что подобие, как известно, возможно в пределах наблюдений; но тот факт, что эта возможность распространяется на топографические карты, которые имеют дело со сферической поверхностью, должен заставить нас остерегаться вывода из таких данных о достоверности Евклида для больших пространств. Более того, если однородность эмпирична, метагеометрия, которая обходится без нее, не обязательно находится в логической зависимости от Евклида, поскольку однородность и изогенность логически разделимы. Я буду исходить, следовательно, как из единственного утверждения, которое может быть интересным для нашего аргумента, из того, что однородность рассматривается как à priori и как логически существенная для геометрии.

99. Теперь мы видели, обсуждая взгляды Эрдмана на суждение о количестве, что в неевклидовом пространстве, как и в евклидовом, изменение всех пространственных величин в одном и том же отношении не было бы изменением вовсе; отношения всех величин к пространственной константе были бы неизменны, и пространственная константа, как конечный стандарт сравнения, не может, в каком-либо понятном смысле, считаться имеющей какую-либо конкретную величину. Абсолютные величины метагеометрии, следовательно, абсолютны только по отношению к любой другой конкретной величине, а не по отношению к другим величинам в целом. Если бы это было не так, сравнительная природа суждения о величине была бы опровергнута, и метрическая метагеометрия стала бы абсурдной. Но как есть, различие от Евклида состоит только в том, что в метагеометрии у нас есть, тогда как в Евклиде нет, стандарт сравнения, вовлеченный в природу нашего пространства в целом, который мы называем пространственной константой. Мы должны обсудить, предполагает ли утверждение такого стандарта чрезмерное овеществление пространства.

Я не верю, что это так. Ибо чрезмерное овеществление пространства возникло бы только в том случае, если бы мы больше не могли рассматривать положение как полностью относительное и как геометрически определимое только через отклонение от других положений. Но относительность положения, как мы в изобилии видели, сохраняется всеми пространствами постоянной кривизны — во всех них положения могут быть определены геометрически только отношениями к новым положениям [111]. Этот ряд определений может привести к бесконечному регрессу, но он может также, как в сферическом пространстве, образовать порочный круг и вернуться снова к положению, с которого он начал. Никакое овеществление пространства, никакое независимое существование простых отношений, кажется, не вовлечено в такую процедуру. Вся метагеометрия, короче говоря, является доказательством того, что относительность положения совместима с абсолютной величиной в единственном смысле, требуемом неевклидовыми пространствами. Мы должны заключить, следовательно, что нет ничего несовместимого в отрицании однородности (в смысле Дельбёфа) ни с реляционной природой пространства, ни со сравнительной природой величины. Это последнее à priori возражение против метагеометрии, следовательно, не может быть поддержано, и вопрос должен быть решен только на эмпирических основаниях.

100. Основания геометрии были предметом многих недавних спекуляций во Франции, и это, кажется, требует некоторого внимания. Но несмотря на блестящую работу, которую французы проделали по смежному вопросу о числе и непрерывной величине, я не могу убедить себя, что они преуспели в значительном продвижении предмета геометрической философии. Главными авторами были, с математической стороны, Калинон и Пуанкаре, с философской — Ренувье и Дельбёф; как посредник между математикой и философией — Лешала.

Калинон в интересной статье о геометрической неопределенности вселенной утверждает, что любая геометрия может быть применена к реальному миру посредством подходящей гипотезы о ходе световых лучей. Ибо только земля известна нам иначе, чем через оптику, а земля — это бесконечно малая часть вселенной. Эта линия аргументации уже обсуждалась в связи с Лотце, но Калинон добавляет новое предположение, что пространственная константа может, возможно, меняться со временем. Это предполагало бы причинную связь между пространством и другими вещами, что кажется едва ли мыслимым и что, если рассматривать его как возможное, должно, безусловно, разрушить геометрию, поскольку геометрия повсюду зависит от нерелевантности причинности [112]. Более того, во всех операциях измерения тратится некоторое время; если бы мы не знали, что пространство неизменно на протяжении всей операции, трудно понять, как наши результаты могли бы быть достоверными и как, следовательно, можно было бы обнаружить изменение параметра. Те же трудности возникли бы, по сути, как те, которые проистекают из предположения, что пространство не однородно.

Пуанкаре утверждает, что вопрос о том, следует ли принять Евклида или метагеометрию, является вопросом удобства и конвенции, а не истины; аксиомы — это определения в маскировке, и выбор между определениями произволен. Этот взгляд обсуждался в главе I в связи с теорией расстояния Кэли, от которой он зависит.

Лешала — философский ученик Калинона. Он рационалист докантовского типа, но верующий в обоснованность метагеометрии. Он полагает, что геометрия может обойтись без всех чисто пространственных постулатов и работать только с аксиомами величины [113], которые, по его мнению, чисто аналитичны. Принцип противоречия для него — единственный и единственный критерий истины; мы строим длинные цепи рассуждений от наших предпосылок, чтобы увидеть, возникнут ли противоречия. Можно было бы возразить, что этот взгляд, хотя он спасает общую геометрию от того, чтобы быть логически эмпирической, оставляет ее лишь эмпирически логической; это, по сути, должна быть судьба любого знания à priori, если бы критерий г-на Лешала был единственным критерием истины. Однако он заключает, что общая геометрия аподиктична, в то время как пространство нашего реального мира, как и все другие явления, контингентно.

Дельбёф критикует неевклидово пространство с ультрареалистической точки зрения: он полагает, что реальное пространство не является ни однородным, ни изогенным, но что мыслимое пространство, как абстрагированное от реального пространства, обладает обоими этими свойствами. Он не предлагает никакого оправдания для своего реального пространства, которое, кажется, поддерживается в духе наивного реализма, и не показывает, как он приобрел свое глубокое знание его конституции [114]. Его аргументы против метагеометрии, поскольку они не являются повторениями Лотце, были обсуждены выше.

Ренувье, наконец, — чистый кантианец, самого ортодоксального типа. Его взгляды на важность для геометрии различия между синтетическими и аналитическими суждениями обсуждались в связи с Кантом в начале настоящей главы [115].

101. Прежде чем начать конструктивный аргумент следующей главы, давайте попытаемся кратко суммировать теории, которые полемически отстаивались на протяжении всей критики, которую мы только что завершили. Мы согласились принять, вместе с Кантом, необходимость для любого возможного опыта в качестве теста à priori, но мы отказались, на данный момент, обсуждать связь à priori с субъективным, рассматривая чисто логический тест как достаточный для нашей непосредственной цели. Мы также отказались придавать значение различению аналитического и синтетического, поскольку оно, казалось, применялось не к разным суждениям, а только к разным аспектам любого суждения.

Затем мы обсудили попытку Римана идентифицировать эмпирический элемент в геометрии с элементом, не выводимым из идей величины, и мы решили, что эта идентификация была вызвана путаницей относительно природы величины. Ибо суждения о величине, сказали мы, требуют всегда некоторой качественной основы, которая не выразима количественно.

Критикуя Гельмгольца, мы решили, что механика логически предполагает геометрию, хотя пространство предполагает материю; но что материя, которую предполагает пространство и к которой косвенно относится геометрия, является более абстрактной материей, чем материя механики, материей, лишенной силы и причинных атрибутов и обладающей только чисто пространственными атрибутами, требуемыми для возможности пространственных фигур. Но мы признали, что геометрия, при применении к смешанной математике или к повседневной жизни, требует большего, чем это, требует, по сути, некоторого средства обнаружения в более конкретной материи механики либо жесткого тела, либо тела, чье отклонение от жесткости следует некоторому эмпирически обнаруживаемому закону. Фактическое измерение, следовательно, мы согласились рассматривать как эмпирическое.

Наши выводы относительно эмпиризма Римана и Гельмгольца были подкреплены критикой Эрдмана. Затем у нас была противоположная задача — защитить метагеометрию от Лотце. Здесь мы увидели, что есть два смысла, в которых возможна метагеометрия. Первый касается нашего реального пространства и утверждает, что оно может иметь очень малую пространственную константу; второй касается философских теорий пространства и утверждает чисто логическую возможность, которая оставляет решение за опытом. Мы видели также, что математические замечания Лотце возникли из недостаточного знания предмета и все могли быть опровергнуты лучшим знакомством с метагеометрией.

Наконец, мы обсудили вопрос об абсолютной величине и не нашли в нем логического препятствия для неевклидовых пространств. Наш вывод, следовательно, поскольку мы пока имеем право на вывод, заключается в том, что все пространства с пространственной константой à priori оправданы и что решение между ними должно быть делом опыта. Пространства же без пространственной константы, с другой стороны, пространства, то есть, которые не являются однородными повсюду, мы нашли логически несостоятельными и невозможными для познания, а потому подлежащими осуждению à priori. Конструктивное доказательство этого тезиса составит аргумент следующей главы.

СНОСКИ:

[67] The Critical Philosophy of Kant, Vol. I. p. 287.

[68] Для обсуждения Канта с менее чисто математической точки зрения см. гл. IV.

[69] Ср. Commentar Вайхингера, II. с. 202, 265. Также с. 336 сл.

[70] Например, второе издание, с. 39: «So werden auch alle geometrischen Grundsätze, z. B. dass in einem Triangel zwei Seiten zusammen grösser sind als die dritte, niemals aus allgemeinen Begriffen von Linie und Triangel, sondern aus der Anschauung, und zwar à priori mit apodiktischer Gewissheit abgeleitet».

[71] Ср. Logic Брэдли, кн. III. ч. I. гл. VI.; Logic Бозанкета, кн. I. гл. I. с. 97–103.

[72] Philosophie de la Règle et du Compas, Année Philosophique, II. с. 1–66.

[73] Я изложил это учение догматически, так как доказательство потребовало бы целого трактата по логике. Я принимаю доказательства, предложенные Брэдли и Бозанкетом, к которым отсылается читатель.

[74] Для дальнейшего обсуждения этого пункта см. гл. III и IV.

[75] См. гл. IV для обсуждения этого аргумента.

[76] См. гл. IV, § 185.

[77] Здесь имеется в виду инаковость субстанции, а не атрибута; инаковость, которую, возможно, можно назвать реальной в противоположность логическому разнообразию.

[78] Это положение будет подробно аргументировано в гл. IV.

[79] См. Psychologie als Wissenschaft, I. раздел III. гл. VII.; II. раздел I. гл. III. и раздел II. гл. III. Сравните также Synechologie, раздел I. гл. II. и III.

[80] О влиянии Гербарта на Римана сравните Эрдман, Die Axiome der Geometrie, с. 30.

[81] Я не имею в виду, что измерение цветов осуществляется без ссылки на их отношения, поскольку всякое измерение есть по существу сравнение. Но в цветах сравниваются элементы, тогда как в пространстве — отношения между элементами.

[82] Для обсуждения этого пункта см. гл. III. сек. B, § 176.

[83] Работы Гельмгольца по геометрической философии включают, в дополнение к статьям, процитированным в гл. I, следующие статьи: «Ursprung und Sinn der geometrischen Axiome, gegen Land», Wiss. Abh. Vol. II. с. 640, 1878. (Также Mind, Vol. III: ответ Ланду в Mind, Vol. II.) «Ursprung und Bedeutung der geometrischen Axiome», 1870, Vorträge und Reden, Vol. II. с. 1. (Также Mind, Vol. I.) Два приложения к «Die Thatsachen in der Wahrnehmung» под названием: II. «Der Raum kann transcendental sein, ohne dass es die Axiome sind»; и III. «Die Anwendbarkeit der Axiome auf die physische Welt», 1878, Vorträge und Reden, Vol. II. с. 256 сл.

Два последних упомянутых приложения являются популяризациями и расширениями статьи в Mind, Vol. III. Самой широко читаемой, хотя, на мой взгляд, и наименее ценной из всех работ Гельмгольца по геометрии, является статья в Mind, Vol. I. Она содержит знаменитые и часто неправильно понимаемые аналогии Флатландии и Сфероландии, которые будут обсуждены и, насколько возможно, защищены в ответе на атаку Лотце на метагеометрию — атаку, основанную, по-видимому, почти полностью на этой одной популярной статье. Настоящая дискуссия, следовательно, может быть ограничена почти полностью Mind, Vol. III и философскими частями двух работ, процитированных в гл. I, т.е. статьями в Wiss. Abh. Vol. II. с. 610–660. Его другие работы популярны и важны только из-за большой аудитории, к которой они обращаются.

[84] В ответе Ланду, Mind, Vol. III. и Wiss. Abh. II. с. 640.

[85] См. также Die Thatsachen in der Wahrnehmung, Zusatz II., Der Raum kann transcendental sein, ohne dass es die Axiome sind. Vorträge und Reden, Vol. II.

[86] См. ниже, критику Эрдмана, § 84.

[87] См. проф. Ланд в Mind, Vol. II.

[88] См. заключительный абзац статьи Гельмгольца в Mind, Vol. III.

[89] Ср. Веронезе, Grundzüge der Geometrie (немецкий перевод), с. ix. Также с. xxxiv, 304 и примечание II. с. 692–4.

[90] См. гл. IV. § 197 сл.

[91] Ср. мнение Бойяи, процитированное Эрдманом, Axiome, с. 26; ср. также там же, с. 60.

[92] Die Axiome der Geometrie: Eine philosophische Untersuchung der Riemann-Helmholtz'schen Raumtheorie, Лейпциг, 1877.

[93] О влиянии Милля ср. Сталло, Concepts of Modern Physics, с. 216.

[94] Этот взгляд, по-видимому, происходит через Римана от Гербарта. См. Psych. als Wiss. изд. Харт. Vol. V. с. 262.

[95] Та же несводимость пространства к простой величине доказывается с помощью кантовских рук и сферических треугольников, в которых различие сохраняется вопреки полной количественной эквивалентности.

[96] См. §§ 146–7.

[97] «Любая попытка сохранить учение Канта об априорности как о субъективном факторе познания, абсолютно независимом от всякого опыта, является поэтому заранее безнадежной».

[98] Ausdehnungslehre von 1844, 2-е изд., стр. xxii, xxiii.

[99] См. § 129 и сл.

[100] Metaphysik, книга II, глава II. Мои ссылки даны на оригинал.

[101] См. Lectures and Essays, том I, стр. 261.

[102] О значении геометрической возможности см. Veronese, Grundzüge der Geometrie (немецкий перевод), стр. xi–xiii.

[103] Сравните Calinon, «Sur l'Indétermination géométrique de l'Univers», Revue Philosophique, 1893, том XXXVI, стр. 595–607.

[104] Vorträge und Reden, том II, стр. 9: «Параллельных линий обитатели сферы вовсе не знали бы. Они утверждали бы, что любые две прямые линии, будучи надлежащим образом продолжены, должны в конечном счете пересекаться не в одной, а в двух точках». (Курсив мой.) Опущение слова «прямые» в таких фразах является частой небрежностью математиков.

[105] Мне было высказано предположение, что Лотце рассматривает меридианы как спроецированные на плоскость, подобно тому как это делается на карте. Если это так, то здесь имеет место явно неправомерное введение третьего измерения.

[106] Это доказывается замечанием Гельмгольца в конце подробной попытки сделать сферические и псевдосферические пространства представимыми (там же, стр. 28): «Иначе обстоит дело с тремя измерениями пространства. Поскольку все наши средства чувственного созерцания распространяются только на пространство трех измерений, а четвертое измерение было бы не просто видоизменением уже существующего, но чем-то совершенно новым, мы уже в силу нашей телесной организации находимся в абсолютной невозможности представить себе способ созерцания четвертого измерения».