«Эссе об основаниях геометрии»

[107] Ср. Grassmann, Ausdehnungslehre von 1844, 2-е изд., стр. xxiii.

[108] См. особенно Stallo, Concepts of Modern Physics, International Science Series, том XLII, главы XIII и XIV; Renouvier, «Philosophie de la règle et du compas», Année Philosophique, II; Delbœuf, «L'ancienne et les nouvelles géométries», Revue Philosophique, тома XXXVI–XXXIX.

[109] М. Дельбёф заслуживает признания за то, что еще в 1860 году в своих «Prolégomènes Philosophiques de la Géométrie» обосновал Евклида с помощью этой аксиомы — безусловно, на первый взгляд, более удачного основания, чем аксиома о параллельных.

[110] Это значение гомогенности не следует смешивать со смыслом, в котором я использовал это слово. В смысле Дельбёфа оно означает, что фигуры могут быть подобными, даже если они разных размеров; в моем смысле оно означает, что фигуры могут быть подобными, даже если они находятся в разных местах. Это свойство пространства Дельбёф называет изогенностью.

[111] Полное доказательство этого положения см. в главе III.

[112] См. главу III, особенно § 133.

[113] Критику этого взгляда см. в вышеприведенных дискуссиях о Римане и Эрдмане.

[114] Ср. Couturat, «De l'Infini Mathématique», Париж, Félix Alcan, 1896, стр. 544.

[115] Ниже приводится список наиболее важных недавних французских философских работ по геометрии, насколько они мне известны.

Andrade: «Les bases expérimentales de la géométrie euclidienne»; Rev. Phil. 1890, II, и 1891, I.

Bonnel: «Les hypothèses dans la géométrie»; Gauthier-Villars, 1897.

L'Abbé de Broglie: «La géométrie non-euclidienne», две статьи; Annales de Phil. Chrét. 1890.

Calinon: «Les espaces géométriques»; Rev. Phil. 1889, I, и 1891, II. «Sur l'indétermination géométrique de l'univers»; там же, 1893, II.

Couturat: «L'Année Philosophique de F. Pillon», Rev. de Mét. et de Morale, янв. 1893. «Note sur la géométrie non-euclidienne et la relativité de l'espace»; там же, май 1893. «Études sur l'espace et le temps», там же, сент. 1896.

Delbœuf: «L'ancienne et les nouvelles géométries», четыре статьи; Rev. Phil. 1893–5.

Lechalas: «La géométrie générale»; Crit. Phil. 1889. «La géométrie générale et les jugements synthétiques à priori» и «Les bases expérimentales de la géométrie»; Rev. Phil. 1890, II. «M. Delbœuf et Le problème des mondes semblables»; там же, 1894, I. «Note sur la géométrie non-euclidienne et le principe de similitude»; Rev. de Mét. et de Morale, март 1893. «La courbure et la distance en géométrie générale»; там же, март 1896. «La géométrie générale et l'intuition»; Annales de Phil. Chrét., 1890. «Etude sur l'espace et le temps»; Париж, Alcan, 1896.

Liard: «Des définitions géométriques et des définitions empiriques», 2-е изд.; Париж, Alcan, 1888.

Mansion: «Premiers principes de la métagéométrie»; две статьи в Rev. Néo-Scholastique, 1896. Опубликовано отдельно, Gauthier-Villars, 1896.

Milhaud: «La géométrie non-euclidienne et la théorie de la connaissance»; Rev. Phil. 1888, I.

Poincaré: «Non-Euclidian Geometry»; Nature, том XLV, 1891–2. «L'espace et la géométrie»; Rev. de Mét. et de Morale, нояб. 1895. «Réponse à quelques critiques», там же, янв. 1897.

Renouvier: «Philosophie de la règle et du compas»; Crit. Phil., 1889, и L'Année Phil., II me année, 1891.

Sorel: «Sur la géométrie non-euclidienne»; Rev. Phil., 1891, I.

Tannery: «Théorie de la connaissance mathématique»; Rev. Phil., 1894, II.

ГЛАВА III.

Раздел А. АКСИОМЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ.

102. Собственно проективная геометрия, как мы видели в главе I, не использует понятие величины и, следовательно, не требует тех аксиом, которые в системах второго, или метрического, периода были необходимы исключительно для того, чтобы сделать возможным применение величины к пространству. Но мы также видели, что сведение Кэли метрических свойств к проективным было чисто техническим и философски нерелевантным. Теперь же именно в метрических свойствах — за исключением аксиомы о прямой линии, которая, однако, сама предполагает метрические свойства [116] — неевклидовы и евклидовы пространства различаются. Свойства, рассматриваемые проективной геометрией, следовательно, постольку, поскольку они получены без использования мнимых величин, являются свойствами, общими для всех пространств. Наконец, различия, которые проявляются между геометриями различных пространств одной и той же кривизны — например, между геометрией плоскости и цилиндра — являются различиями в проективных свойствах [117]. Таким образом, необходимость, возникающая в метрической геометрии в дополнительных уточнениях, помимо условий постоянной кривизны, исчезает, когда наше общее пространство определяется чисто проективными свойствами.

103. У нас есть веские основания ожидать, что аксиомы проективной геометрии будут самым простым и наиболее полным выражением необходимых условий любого геометрического рассуждения: и это ожидание, я надеюсь, не будет обмануто. Проективная геометрия, поскольку она имеет дело только со свойствами, общими для всех пространств, окажется, если я не ошибаюсь, полностью априорной, не заимствующей ничего из опыта и имеющей, подобно арифметике, своим объектом порождение чистого интеллекта. Если это так, то это та ветвь чистой математики, которую Грассман в своей Ausdehnungslehre 1844 года считал возможной и пытался, в блестящей неудаче, построить без какого-либо обращения к пространству созерцания.

104. Но, к сожалению, задача открытия аксиом проективной геометрии далеко не проста. У них до сих пор не нашлось своего Римана или Гельмгольца, чтобы сформулировать их философски. Многие геометры построили системы, которые они намеревались сделать — и которые при достаточной осторожности в интерпретации действительно являются — свободными от метрических предпосылок. Но эти предпосылки настолько укоренены во всех самых элементах геометрии, что задача их устранения требует перестройки всего геометрического здания. Так, Евклид, например, с самого начала имеет дело с пространственным равенством — он использует круг, который обязательно определяется посредством равенства, и основывает все свои последующие предложения на конгруэнтности треугольников, как это обсуждается в книге I [118]. Поэтому, прежде чем мы сможем использовать любое элементарное предложение Евклида, даже если оно выражает проективное свойство, мы должны доказать, что рассматриваемое свойство может быть выведено проективными методами. Это, как правило, не было сделано проективными геометрами, которые слишком часто предполагали, например, что четырехугольное построение — с помощью которого, как мы видели в главе I, они вводят проективные координаты — или ангармоническое отношение, которое prima facie является метрическим, могут быть удовлетворительно установлены на их принципах. Оба этих предположения, однако, могут быть оправданы, и мы можем, следовательно, признать, что претензии проективной геометрии на логическую независимость от измерения или конгруэнтности являются обоснованными. Посмотрим же, как она действует.

105. Прежде всего, важно осознать, что когда в проективной геометрии используются координаты, это не координаты в обычном метрическом смысле, т. е. не численные меры определенных пространственных величин. Напротив, это набор чисел, произвольно, но систематически присвоенных различным точкам, подобно номерам домов на улице, и служащих, с философской точки зрения, лишь удобными обозначениями для точек, которые исследование желает различить. Если бы не краткость алфавита, их, по сути, можно было бы, как у Евклида, заменить буквами. То, как они вводятся и что они означают, обсуждалось в главе I. Здесь нам остается лишь повторить предостережение, пренебрежение которым привело ко многим недоразумениям.

106. Различие между различными точками, таким образом, является не результатом, а условием проективной системы координат. Система координат — это совершенно внешний и лишь удобный набор меток, который никоим образом не затрагивает сущность проективной геометрии. То, с чего мы должны начать в этой области, — это возможность различения различных точек друг от друга. Это можно обозначить, вслед за Веронезе, как первую аксиому геометрии [119]. Как мы должны определять точку и как мы отличаем ее от других точек, в данный момент не имеет значения; ибо здесь мы хотим лишь обнаружить природу проективной геометрии и тот вид свойств, которые она использует и доказывает. Как и с каким обоснованием она их использует и доказывает, мы обсудим позже.

107. Теперь очевидно, что простое собрание точек, различаемых одна от другой, не может основать геометрию: мы должны иметь некоторое представление о том, каким образом точки взаимосвязаны, чтобы иметь адекватный предмет для обсуждения. Но поскольку все идеи количества исключены, отношения точек не могут быть отношениями расстояния в обычном смысле, и даже, в смысле обычной геометрии, ангармоническими отношениями, ибо ангармонические отношения обычно определяются как отношения четырех расстояний или четырех синусов и, таким образом, являются количественными. Но поскольку всякое количественное сравнение предполагает тождество качества, мы можем ожидать, что найдем в проективной геометрии качественные субстраты метрической надстройки.

И это, как мы увидим, действительно так. У нас нет расстояния, но у нас есть прямая линия; у нас нет количественного ангармонического отношения, но у нас есть свойство любых четырех точек на прямой быть точками пересечения с лучами заданного пучка. И на этой основе мы можем построить качественную науку об абстрактной внешности, которая и есть проективная геометрия. Как это происходит, я теперь приступлю к показу.

108. Всякое геометрическое рассуждение в конечном счете является круговым: если мы начинаем с допущения точек, они могут быть определены только линиями или плоскостями, которые их связывают; и если мы начинаем с допущения линий или плоскостей, они могут быть определены только точками, через которые они проходят. Это неизбежный круг, основание необходимости которого проявится по мере нашего продвижения. Поэтому несколько произвольно начинать либо с точек, либо с линий, что математически иллюстрирует в высшей степени проективный принцип двойственности; тем не менее, мы выберем, вслед за большинством геометров, начать с точек [120]. Мы предполагаем, следовательно, в качестве нашего данного набор дискретных точек, на данный момент без учета их взаимосвязей. Но поскольку связи существенны для любого рассуждения о них как о системе, мы вводим, для начала, аксиому прямой линии. Любые две из наших точек, говорим мы, лежат на линии, которую эти две точки полностью определяют. Эта линия, будучи определенной двумя точками, может рассматриваться как отношение двух точек или как прилагательное системы, образованной ими обеими вместе. Это единственное чисто качественное прилагательное — как будет доказано позже — системы из двух точек. Теперь проективная геометрия может принимать во внимание только качественные прилагательные и может различать разные точки только по их отношениям к другим точкам, поскольку все точки per se качественно подобны. Отсюда следует, что для проективной геометрии, когда даны только две точки, они качественно неотличимы от любых двух других точек на той же прямой линии, поскольку любые две такие другие точки имеют то же качественное отношение. Взаимно, поскольку одна прямая линия есть фигура, определяемая любыми двумя из своих точек, и все точки качественно подобны, из этого следует, что все прямые линии качественно подобны. Мы можем, следовательно, рассматривать точку как определенную двумя прямыми линиями, которые встречаются в ней, и точка, с этой точки зрения, становится единственным качественным отношением между двумя прямыми линиями. Следовательно, если дана только точка, две прямые линии качественно неотличимы от любой другой пары, проходящей через эту точку.

109. Расширение этих двух взаимных принципов составляет сущность всех проективных преобразований и, по сути, всей проективной геометрии. Фундаментальные операции, посредством которых фигуры проективно преобразуются, называются проецированием и сечением. Различные формы проецирования и сечения определены в «Проективной геометрии» Кремоны, глава I, из которой я привожу следующее описание.

«Проецировать из фиксированной точки S (центра проецирования) фигуру (ABCD... abcd...), состоящую из точек и прямых линий, — значит построить прямые линии или проецирующие лучи SA, SB, SC, SD, ... и плоскости (проецирующие плоскости) Sa, Sb, Sc, Sd, ... Таким образом, мы получаем новую фигуру, состоящую из прямых линий и плоскостей, которые все проходят через центр S.

«Пересекать фиксированной плоскостью σ (трансверсальной плоскостью) фигуру (αβγδ... abcd...), состоящую из плоскостей и прямых линий, — значит построить прямые линии или следы σα, σβ, σγ... и точки или следы σa, σb, σc... [121] Таким образом, мы получаем новую фигуру, состоящую из прямых линий и точек, лежащих в плоскости σ.

«Проецировать из фиксированной прямой линии s (оси) фигуру ABCD, состоящую из точек, — значит построить плоскости sA, sB, sC... Фигура, полученная таким образом, состоит из плоскостей, которые все проходят через ось s.

«Пересекать фиксированной прямой линией s (трансверсалью) фигуру αβγδ..., состоящую из плоскостей, — значит построить точки sα, sβ, sγ... Таким образом получается новая фигура, состоящая из точек, все из которых лежат на фиксированной трансверсали s.

«Если фигура состоит из прямых линий a, b, c..., которые все проходят через фиксированную точку или центр S, ее можно проецировать из прямой линии или оси s, проходящей через S; результатом является фигура, состоящая из плоскостей sa, sb, sc...

«Если фигура состоит из прямых линий a, b, c..., все лежащие в фиксированной плоскости, ее можно пересечь прямой линией (трансверсалью) s, лежащей в той же плоскости; фигура, которая получается, образована точками sa, sb, sc...»

110. Последовательное применение к любой фигуре двух взаимных операций проецирования и сечения рассматривается как создание фигуры, проективно неотличимой от первой, при условии только, что измерения исходной фигуры были такими же, как у результирующей фигуры, что, например, если вторая операция есть сечение плоскостью, исходная фигура должна была быть плоской фигурой. Фигуры, полученные из данной фигуры только путем проецирования или сечения, связаны с этой фигурой принципом двойственности, о котором нам придется говорить позже.

Я попытаюсь показать в дальнейшем, во-первых, в каком смысле фигуры, полученные друг из друга путем проективного преобразования, качественно подобны; во-вторых, какие аксиомы, или прилагательные пространства, вовлечены в принцип проективного преобразования; и в-третьих, что эти прилагательные должны принадлежать любой форме внешности с более чем одним измерением и являются, следовательно, априорными свойствами любого возможного пространства.

Ради простоты я в целом ограничусь двумя измерениями. Поступая так, я не внесу никакого важного различия в принципе и значительно упрощу вовлеченную математику.

111. Двумя математически фундаментальными вещами в проективной геометрии являются ангармоническое отношение и четырехугольное построение. Все остальное математически следует из этих двух. Что же понимается в проективной геометрии под ангармоническим отношением?

Если мы исходим из ангармонического отношения, как оно обычно определяется, мы сталкиваемся с трудностью его количественной природы [122]. Но среди свойств, выведенных из этого определения, многие, если не большинство, являются чисто качественными. Самым фундаментальным из них является то, что если через любые четыре точки на прямой линии мы проведем четыре прямые линии, которые встречаются в одной точке, и если мы затем проведем новую прямую линию, пересекающую эти четыре, то четыре новые точки пересечения будут иметь то же ангармоническое отношение, что и четыре точки, с которых мы начали. Таким образом, в фигуре abcd, a′b′c′d′, a″b″c″d″ все имеют одно и то же ангармоническое отношение. Взаимное отношение справедливо для ангармонического отношения четырех прямых линий. Здесь у нас есть, очевидно, требуемая основа для качественного определения. Определение должно быть следующим:

Два набора из четырех точек каждый определяются как имеющие одно и то же ангармоническое отношение, когда (1) каждый набор из четырех лежит на одной прямой линии, и (2) соответствующие точки разных наборов лежат попарно на четырех прямых линиях, проходящих через одну точку, или когда оба набора имеют это отношение к любому третьему набору [123]. И взаимно: два набора из четырех прямых линий определяются как имеющие одно и то же ангармоническое отношение, когда (1) каждый набор из четырех проходит через одну точку, и (2) соответствующие линии разных наборов проходят, попарно, через четыре точки на одной прямой линии, или когда оба набора имеют это отношение к любому третьему набору.

Два набора точек или линий, которые имеют одно и то же ангармоническое отношение, рассматриваются проективной геометрией как эквивалентные: эта качественная эквивалентность заменяет количественное равенство метрической геометрии и, очевидно, включена, по своему определению, в вышеприведенное описание проективных преобразований в целом.

112. Нам далее предстоит рассмотреть четырехугольное построение [124]. Оно имеет двойную цель: во-первых, определить важный частный случай, известный как гармонический ряд; и во-вторых, предоставить однозначный и исчерпывающий метод присвоения различных чисел различным точкам. Этот последний метод, опять же, имеет двойную цель: во-первых, цель дать удобный символизм для описания и различения различных точек и, таким образом, предоставить средство для введения анализа; и во-вторых, присвоить эти числа так, чтобы, если бы они имели обычное метрическое значение, как расстояния от некоторой точки на пронумерованной прямой линии, они давали бы –1 как ангармоническое отношение гармонического ряда, и чтобы, если четыре точки имеют то же ангармоническое отношение, что и четыре другие, то же самое имели бы и соответствующие числа. Эта последняя цель обусловлена чисто техническими мотивами: она позволяет избежать путаницы с нашими предвзятыми мнениями, которая возникла бы из любого другого значения для гармонического ряда; она позволяет нам, когда желательны метрические интерпретации проективных результатов, делать эти интерпретации без утомительных численных преобразований, и она позволяет нам выполнять проективные преобразования алгебраическими методами. В то же время, со строго проективной точки зрения, как отмечалось выше, введенные числа имеют чисто условное значение; и пока мы не перейдем к метрической геометрии, нельзя привести никаких причин для присвоения значения –1 гармоническому ряду. С этим предварительным замечанием, давайте посмотрим, в чем состоит четырехугольное построение.

113. Гармонический ряд в элементарной геометрии — это ряд, ангармоническое отношение которого равно –1, или ряд, в котором три сегмента, образованные четырьмя точками, находятся в гармонической прогрессии, или, опять же, ряд, в котором отношение двух внутренних сегментов равно отношению двух внешних сегментов. Если a, b, c, d — четыре точки, легко видеть, что эти определения эквивалентны друг другу: они дают соответственно:

ab bc

/

ad dc = – 1 ,

1 ab –

1 ac =

1 ac –

1 ad , and

ab bc =

ad cd

.

Но поскольку все они количественные, их нельзя использовать для нашей текущей цели. Также недоступны никакие определения, включающие деление линий или углов пополам. Мы должны иметь определение, которое полностью осуществляется с помощью прямых линий и точек, без измерения расстояний или углов. Теперь из вышеприведенных определений гармонического ряда мы видим, что a, b, c, d имеют то же ангармоническое отношение, что и c, b, a, d. Это дает нам свойство, которое нам требуется для нашего определения. Ибо оно показывает, что в гармоническом ряду мы можем найти проективное преобразование, которое поменяет местами a и c. Это необходимое и достаточное условие для гармонического ряда, и четырехугольное построение является общим методом для его осуществления.

Даны любые три точки A, B, D на одной прямой линии, четырехугольное построение находит точку C, гармоническую к A относительно B, D, следующим методом: Возьмите любую точку O вне прямой линии ABD и соедините ее с B и D. Через A проведите любую прямую линию, пересекающую OD, OB в P и Q. Соедините DQ, BP и пусть они пересекаются в R. Соедините OR и пусть OR встретит ABD в C. Тогда C — требуемая точка.

Чтобы доказать это, пусть DRQ встретит OA в T, и проведем AR, встречающую OD в S. Тогда проективное преобразование A, B, C, D из R на OD дает точки S, P, O, D, которые, будучи спроецированы из A на DQ, дают R, Q, T, D. Но они, опять же, будучи спроецированы из O на ABD, дают C, B, A, D. Следовательно, A, B, C, D могут быть проективно преобразованы в C, B, A, D и, следовательно, образуют гармонический ряд. С этого момента доказательство того, что построение является уникальным и общим, следует просто [125].

Введение чисел с помощью этого построения не представляет никаких трудностей в принципе — за исключением, конечно, тех, которые всегда сопровождают применение числа к континуумам — и может быть удовлетворительно изучено в «Nicht-Euklid» Клейна (I, стр. 337 и сл.). Принцип его заключается в том, чтобы присвоить числа 0, 1, ∞ точкам A, B, D и, следовательно, число 2 точке C, чтобы разности AB, AC, AD были в гармонической прогрессии. Принимая B, C, D как новую триаду, соответствующую A, B, D, мы находим точку, гармоническую к B относительно C, D, и присваиваем ей число 3, и так далее. Таким образом, мы можем получить любое количество точек, и мы уверены, что не получим ни одного числа и ни одной точки дважды, так что наши координаты обладают существенным свойством уникального соответствия с точками, которые они обозначают, и vice versa.

114. Важным моментом в вышеприведенном построении, однако, и причиной, по которой я воспроизвел его в деталях, является то, что оно осуществляется полностью с помощью общих принципов преобразования, сформулированных выше. С этого этапа и далее все осуществляется с помощью двух фундаментальных идей, которые мы только что обсудили, и все, следовательно, зависит от нашего общего принципа проективной эквивалентности. Этот принцип, что касается двух измерений, может быть сформулирован проще, чем в отрывке, процитированном из Кремоны. Он начинается, в двух измерениях, со следующих определений:

Проецировать точки A, B, C, D... из центра O — значит построить прямые линии OA, OB, OC, OD...

Пересекать ряд прямых линий a, b, c, d... трансверсалью s — значит построить точки sa, sb, sc, sd... [126]

Последовательное применение этих двух операций, при условии, что исходная фигура состояла из точек на одной прямой линии или из прямых линий, проходящих через одну точку, дает фигуру, проективно неотличимую от прежней фигуры; и следовательно, по расширению, если любые точки на одной прямой линии в исходной фигуре лежат на одной прямой линии в производной фигуре, и взаимно для прямых линий, проходящих через точки, то две операции дали проективно подобные фигуры. Этот общий принцип может рассматриваться как состоящий из двух частей, в зависимости от порядка операций: если мы начинаем с проецирования и заканчиваем сечением, мы преобразуем фигуру точек в другую фигуру точек; при обратном порядке мы преобразуем фигуру линий в другую фигуру линий.

115. Прежде чем мы сможем прояснить смысл нашего принципа, мы должны иметь некоторое представление о нашем определении точек и прямых линий. Но это определение в проективной геометрии не может быть дано без некоторого обсуждения принципа двойственности, математической формы философского круга, вовлеченного в геометрические определения.

Ограничиваясь на данный момент двумя измерениями, принцип утверждает, грубо говоря, что любая теорема, имеющая дело с линиями, проходящими через точку, и точками на линии, остается истинной, если эти два термина, где бы они ни встречались, поменять местами. Таким образом: две точки лежат на одной прямой линии, которую они полностью определяют; и две прямые линии встречаются в одной точке, которую они полностью определяют. Четыре точки пересечения трансверсали с четырьмя линиями, проходящими через точку, имеют ангармоническое отношение, независимое от конкретной трансверсали; и четыре линии, соединяющие четыре точки на одной прямой линии с пятой точкой, имеют ангармоническое отношение, независимое от этой пятой точки. Так же и наш общий принцип проективного преобразования имеет две стороны: одну, в которой точки движутся вдоль фиксированных линий, и одну, в которой линии поворачиваются вокруг фиксированных точек.

Эта двойственность предполагает, что любое определение точек должно осуществляться с помощью прямой линии, а любое определение прямой линии должно осуществляться с помощью точек. Когда мы принимаем во внимание третье измерение, это правда, двойственность уже не так проста; теперь мы должны учитывать также плоскость, но это лишь вводит круг из трех терминов, который едва ли предпочтительнее круга из двух терминов. Теперь мы говорим: три точки, или линия и точка, определяют плоскость: но, наоборот, три плоскости, или линия и плоскость, определяют точку. Мы можем рассматривать прямую линию как отношение между двумя ее точками, но мы можем также рассматривать точку как отношение между двумя прямыми линиями, проходящими через нее. Мы можем рассматривать плоскость как отношение между тремя точками, или между точкой и линией, но мы можем также рассматривать точку как отношение между тремя плоскостями, или между линией и плоскостью, которые встречаются в ней.

116. Как нам выйти за пределы этого круга? Дело в том, что в чистой геометрии мы не можем выйти за его пределы. Ибо пространство, как мы увидим более полно далее, есть не что иное, как отношения; если, следовательно, мы берем любую геометрическую фигуру и ищем термины, между которыми она является отношением, мы вынуждены в геометрии искать эти термины внутри пространства, поскольку нам больше негде их искать, но мы обречены, поскольку все чисто пространственное есть лишь отношение, обнаружить, что наши термины тают, как только мы пытаемся их ухватить.

Таким образом, относительность пространства, будучи сущностью принципа двойственности, в то же время делает невозможным выражение этого принципа, или любого другого принципа чистой геометрии, таким образом, который был бы свободен от противоречий. Тем не менее, если мы хотим хоть сколько-нибудь продвинуться в нашем анализе геометрического рассуждения и в наших определениях линий и точек, мы должны на время игнорировать это противоречие; мы должны рассуждать так, как если бы его не существовало, чтобы освободить нашу науку от любых противоречий, которые не являются неизбежными.

117. В соответствии с этой процедурой, давайте определим наши точки как термины пространственных отношений, рассматривая все, что не является точкой, как отношение между точками. Чем, с этой точки зрения, должны быть наши точки? Очевидно, если протяженность есть лишь относительность, они должны рассматриваться как не содержащие никакой протяженности; но если они должны предоставлять термины для пространственных отношений, например, для прямых линий, эти отношения должны представлять их как термины фигур, которые они связывают. Другими словами, поскольку то, что действительно может быть принято, без противоречия, как термин пространственного отношения, является непротяженным, мы должны принять, как термин, который будет использоваться в геометрии, где мы не можем выйти за пределы пространства, наименьшую пространственную вещь, с которой геометрия может иметь дело, вещь, которая, хотя и находится в пространстве, не содержит никакого пространства; и эту вещь мы определяем как точку [127].

Пренебрегая, таким образом, фундаментальным противоречием в этом определении, остальные наши определения следуют без труда. Прямая линия — это отношение между двумя точками, а плоскость — это отношение между тремя. Эти определения будут аргументированы и защищены подробно в разделе B этой главы [128], где мы можем обсудить в то же время альтернативные метрические определения; для нашей текущей цели достаточно заметить, что проективная геометрия с самого начала рассматривает прямую линию как определенную двумя точками, а плоскость — как определенную тремя, из чего следует, если мы принимаем точки как возможные термины для пространственных отношений, что прямая линия и плоскость могут рассматриваться как отношения между двумя и тремя точками соответственно. Если мы согласимся на этих определениях, мы можем перейти к обсуждению фундаментального принципа проективной геометрии и к анализу аксиом, вовлеченных в его истинность.

118. Проективная геометрия, как мы видели, не имеет дела с количеством и, следовательно, не признает различия там, где различие является чисто количественным. Теперь количественное сравнение зависит от признанного тождества качества; признание качественного тождества, следовательно, логически предшествует количеству и предполагается каждым суждением о количестве. Следовательно, все фигуры, чьи различия могут быть исчерпывающе описаны количеством, т. е. чистым измерением, должны иметь тождество качества, и это должно быть распознаваемо без обращения к количеству. Из этого следует, что, определяя слово «качество» в геометрических вопросах, мы обнаружим, какие наборы фигур являются проективно неразличимыми. Если наше определение верно, оно должно дать общий проективный принцип, с которого мы начали.

119. Мы договорились рассматривать точки как термины пространственных отношений, и мы договорились, что различные точки могут быть различимы. Но мы отложили обсуждение условий, при которых это различие может быть осуществлено. Это обсуждение даст нам определение качества и доказательство нашего общего проективного принципа.

Точки, для начала, были определены как не что иное, как термины для пространственных отношений. Они, следовательно, не имеют внутренних свойств; но различаются исключительно посредством своих отношений. Теперь отношение между двумя точками, сказали мы, есть прямая линия, на которой они лежат. Это дает то тождество качества для всех пар точек на одной прямой линии, которое требуется как нашим проективным принципом, так и метрической геометрией. (Ибо только там, где есть тождество качества, количество может быть должным образом применено.) Если даны только две точки, они не могут, без использования количества, быть отличены от любых двух других точек на той же прямой линии; ибо качественное отношение между любыми двумя такими точками такое же, как для исходной пары, и только различием отношения точки могут быть отличены друг от друга.

Но, наоборот, одна прямая линия есть не что иное, как отношение между двумя ее точками, и все точки качественно подобны. Следовательно, не может быть ничего, что отличало бы одну прямую линию от другой, кроме точек, через которые она проходит, и они отличаются от других точек только тем фактом, что она проходит через них. Таким образом, мы получаем взаимное преобразование: если нам дана только одна точка, любая пара прямых линий, проходящих через эту точку, качественно неотличима от любой другой. Это, опять же, является, с одной стороны, основой второй части нашего общего проективного принципа, а с другой стороны — условием применения количества, при измерении углов, к отклонению двух пересекающихся прямых линий.

120. Мы можем теперь увидеть причину того, что до сих пор могло казаться несколько произвольным фактом, а именно, необходимости четырех коллинеарных точек для ангармонического отношения. Возвращаясь к четырехугольному построению и последующему введению числа, мы видим, что ангармоническое отношение есть внутреннее проективное отношение четырех коллинеарных точек или конкурирующих прямых линий, такое, что при заданных трех терминах и отношении четвертый термин может быть однозначно определен проективными методами. Теперь рассмотрим сначала пару точек. Поскольку все прямые линии проективно эквивалентны, отношение между одной парой точек точно эквивалентно отношению между другой парой. При заданной только одной точке, следовательно, никакое проективное отношение к любой второй точке не может быть назначено, которое каким-либо образом ограничивало бы наш выбор второй точки. При заданных двух точках, однако, существует такое отношение — третья точка может быть дана коллинеарной с первыми двумя. Это ограничивает ее положение одной прямой линией, но поскольку две точки не определяют ничего, кроме одной прямой линии, третья точка не может быть далее ограничена. Таким образом, мы видим, почему никакое внутреннее проективное отношение не может быть найдено между тремя точками, которое позволило бы нам, исходя из двух, однозначно определить третью. С тремя заданными коллинеарными точками, однако, у нас дано больше, чем просто прямая линия, и четырехугольное построение позволяет нам однозначно определить любое количество новых коллинеарных точек. Это показывает, почему ангармоническое отношение должно быть отношением между четырьмя точками, а не между тремя.

121. Мы можем теперь доказать, я думаю, что две фигуры, которые проективно связаны, качественно подобны. Давайте начнем с коллекции точек на прямой линии. Пока они рассматриваются без ссылки на другие точки или фигуры, они все качественно подобны. Они могут быть различимы непосредственным созерцанием, но когда мы пытаемся, без количества, различить их концептуально, мы находим задачу невозможной, поскольку единственное качественное отношение любых двух из них, прямая линия, является тем же самым для любых других двух. Но теперь давайте выберем, наугад, некоторую точку вне прямой линии. Точки нашей линии теперь приобретают новые прилагательные, а именно их отношения к новой точке, т. е. прямые линии, соединяющие их с этой новой точкой. Но эти прямые линии, взаимно, одни определяют нашу внешнюю точку, и все прямые линии качественно подобны. Если мы возьмем некоторую другую внешнюю точку, следовательно, и соединим ее с теми же точками нашей исходной прямой линии, мы получим фигуру, в которой, пока количество исключено, нет концептуального различия от прежней фигуры. Непосредственное созерцание может различить две фигуры, но качественное различение не может этого сделать. Таким образом, мы получаем проективное преобразование четырех линий в четыре другие линии, как дающее фигуру, качественно неотличимую от исходной фигуры. Подобный аргумент применим к другим проективным преобразованиям. Таким образом, единственная причина, внутри проективной геометрии, не рассматривать проективные фигуры как фактически идентичные, есть интуитивное восприятие различия положения. Это фундаментально и должно быть принято как datum. Оно предполагается в различении различных точек и составляет саму жизнь геометрии. Это, по сути, сущность понятия формы внешности, которое понятие составляет предмет проективной геометрии.

122. Мы можем теперь подвести итоги нашего анализа проективной геометрии и сформулировать аксиомы, на которых основано ее рассуждение. Нам тогда придется доказать, что эти аксиомы необходимы для любой формы внешности, с чем мы перейдем от простого анализа к трансцендентальному аргументу.

Аксиомы, которые были приняты в вышеприведенном анализе и которые, по-видимому, достаточны для основания проективной геометрии, могут быть грубо сформулированы следующим образом:

I. Мы можем различать различные части пространства, но все части качественно подобны и различаются только непосредственным фактом того, что они лежат вне друг друга.

II. Пространство непрерывно и бесконечно делимо; результат бесконечного деления, ноль протяженности, называется точкой [129].

III. Любые две точки определяют уникальную фигуру, называемую прямой линией, любые три в общем определяют уникальную фигуру, плоскость. Любые четыре определяют соответствующую фигуру трех измерений, и, насколько можно судить по противоположному, то же самое может быть верно для любого количества точек. Но этот процесс заканчивается, рано или поздно, с некоторым количеством точек, которые определяют все пространство. Ибо если бы это было не так, никакое количество отношений точки к коллекции заданных точек никогда не могло бы определить ее отношение к новым точкам, и геометрия стала бы невозможной [130].

Это изложение аксиом не претендует на исключительную точность: другие изложения, столь же обоснованные, могли бы быть легко сделаны. Ибо все эти аксиомы, как мы увидим далее, философски взаимозависимы и могут, следовательно, быть сформулированы многими способами. Вышеприведенное изложение, однако, включает, если я не ошибаюсь, все существенное для проективной геометрии и все необходимое для доказательства принципа проективного преобразования. Прежде чем обсуждать априорность этих аксиом, давайте еще раз кратко резюмируем цели, которых они призваны достичь.

123. С исключительно математической точки зрения, как мы видели, проективная геометрия обсуждает только то, какие фигуры могут быть получены друг из друга путем проективных преобразований, т. е. путем операций проецирования и сечения. Эти операции, во всех своих формах, предполагают точку, прямую линию и плоскость [131], чья необходимость для проективной геометрии, с чисто математической точки зрения, таким образом, самоочевидна с самого начала. Но философски проективная геометрия имеет, как мы видели, более широкую цель. Эта более широкая цель, которая придает исследованию проективно эквивалентных фигур его главное значение, состоит в определении качественного пространственного подобия, в определении, то есть, всех фигур, которые, когда дана любая одна фигура, могут быть отличены от данной фигуры, пока количество исключено, только тем фактом, что они внешни по отношению к ней.

124. Теперь, когда мы рассматриваем, что вовлечено в такую абсолютную качественную эквивалентность, мы находим сразу, как ее самое очевидное необходимое условие, совершенную гомогенность пространства. Ибо предполагается, что фигура может быть полностью определена своими внутренними отношениями, и что внешние отношения, которые составляют ее положение, хотя они достаточны для того, чтобы отличить ее от других фигур, никоим образом не влияют на ее внутренние свойства, которые рассматриваются как качественно идентичные свойствам фигур с совершенно другими внешними отношениями. Если бы это было не так, что-либо аналогичное проективному преобразованию было бы невозможно. Ибо такое преобразование всегда изменяет положение, т. е. внешние отношения фигуры, и не могло бы, следовательно, если бы фигуры зависели от своих отношений к другим фигурам или к пустому пространству, быть изучено без ссылки на другие фигуры или на абсолютное положение исходной фигуры. Нам требуется для нашего принципа, короче говоря, то, что можно назвать взаимной пассивностью и взаимной независимостью двух частей или фигур пространства.

Эта пассивность и эта независимость включают гомогенность пространства, или ее эквивалент, относительность положения. Ибо если внутренние свойства фигуры одни и те же, каковы бы ни были ее внешние отношения, из этого следует, что все части пространства качественно подобны, поскольку изменение внешнего отношения есть изменение в части пространства, занимаемой фигурой. Из этого следует также, что всякое положение относительно и экстринсично, т. е. что положение точки, или часть пространства, занимаемая фигурой, не является и не оказывает никакого влияния на какое-либо внутреннее свойство точки или фигуры, но является исключительно отношением к другим точкам или фигурам в пространстве и остается без влияния, кроме случаев, когда такие отношения рассматриваются.

125. Таким образом, однородность пространства и относительность положения являются предпосылками качественного пространственного сравнения, с которым имеет дело проективная геометрия. Последняя, как мы видели, также лежит в основе принципа двойственности. Однако эти свойства, как я теперь постараюсь доказать, с необходимостью присущи любой форме внешности и, следовательно, являются априорными свойствами всех возможных пространств. Чтобы доказать это, однако, мы должны сначала определить понятие формы внешности в целом.

Заметим, прежде всего, что различие между евклидовой и неевклидовой геометриями, столь важное в метрических исследованиях, исчезает в собственно проективной геометрии. Это позволяет предположить, что проективная геометрия, хотя первоначально она была создана как наука о евклидовом пространстве, а впоследствии и о неевклидовых пространствах, на самом деле имеет дело с более широкой концепцией, которая включает в себя обе и пренебрегает атрибутами, в которых они различаются. Эту концепцию я буду называть формой внешности.

126. В глубоком философском введении к своему сочинению «Ausdehnungslehre» (Учение о протяженности) 1844 года Грассман предположил, что геометрия, хотя ее ошибочно считают чистой, на самом деле является разделом прикладной математики, поскольку она имеет дело с предметом, который не создан интеллектом, подобно числу, а дан ему, и поэтому не подчиняется исключительно его законам. Но, как он утверждал, должно быть возможно построить раздел чистой математики, то есть науку, в которой наш объект был бы целиком порождением интеллекта, но которая при этом занималась бы, как и геометрия, протяженностью — однако протяженностью мыслимой, а не эмпирически воспринимаемой в ощущении или интуиции.

С этой точки зрения спор между кантианцами и антикантианцами становится совершенно неуместным, поскольку различие между чистой и смешанной математикой заключается не в различии между субъективным и объективным, а между чисто интеллектуальным, с одной стороны, и всем остальным — с другой. Кант же с большой настойчивостью утверждал, что пространство — это не интеллектуальная конструкция, а субъективная интуиция. Следовательно, согласно различению Грассмана, геометрия относится к смешанной математике как с точки зрения Канта, так и с точки зрения его оппонентов. И различие Грассмана, как я утверждаю, является более важным для эпистемологии и именно его следует принять при разграничении априорного и эмпирического. Ибо то, что является лишь интуитивным, может меняться, не нарушая законов мышления и не делая познание формально невозможным: но то, что является чисто интеллектуальным, не может измениться, если только не изменятся сами законы мышления, что привело бы к одновременному краху всего нашего знания. Поэтому я буду следовать различению Грассмана при построении априорной и чисто концептуальной формы внешности.

127. Чистое учение о протяженности, построенное Грассманом, не нуждается в обсуждении — оно содержало много эмпирического материала и было философски несостоятельным. Но его принципы, я полагаю, позволят нам доказать, что проективная геометрия в абстрактной интерпретации является той наукой, которую он предвидел, и имеет дело с материей, которая может быть сконструирована чистым интеллектом. Если это так, то следует заметить, что проективная геометрия на данный момент является чисто гипотетической. Всякая необходимая истина, как показал Брэдли, является гипотетической и prima facie утверждает лишь основание, на котором покоится необходимая связь посылок и заключения. Если мы конструируем лишь концепцию внешности и тем самым оставляем наше фактически данное пространство, результат нашего построения, пока мы не вернемся к чему-то фактически данному, остается без экзистенциального значения — если существует воспринимаемая внешность, утверждает оно, то должна существовать форма внешности с такими-то и такими-то свойствами. Что воспринимаемая внешность должна существовать, доказывает, как я полагаю, первый аргумент Канта о пространстве для тех, кто допускает опыт мира разнообразных, но взаимосвязанных вещей. Но это вопрос, который относится к следующей главе.

Наша задача здесь состоит не в том, чтобы обсуждать, существует ли форма внешности, а в том, должна ли такая форма, если она существует, обладать свойствами, воплощенными в аксиомах проективной геометрии. Итак, прежде всего, что мы подразумеваем под такой формой?

128. В любом мире, в котором восприятие представляет нам различные вещи, с различенным и дифференцированным содержанием, должен существовать в восприятии по крайней мере один «принцип дифференциации», то есть элемент, посредством которого представленные вещи различаются как различные. Этот элемент, взятый в изоляции и абстрагированный от содержания, которое он дифференцирует, мы можем назвать формой внешности. То, что он должен, будучи взятым в изоляции, представать как форма, а не как простое многообразие материального содержания, является, я думаю, довольно очевидным. Ибо многообразие материального содержания нельзя изучать в отрыве от этого материального содержания; напротив, мы хотим изучить здесь саму возможность такого многообразия, которая образует остаток, как я попытаюсь доказать далее, когда мы абстрагируемся от любого чувственного восприятия от всего, что характерно для его конкретной материи. Эта возможность, следовательно, этот принцип чистого многообразия, и есть наша форма внешности. Насколько необходимо предполагать такую форму, как нечто отличное от взаимосвязанных вещей, я рассмотрю позже. В настоящее время, поскольку пространство, как оно рассматривается в геометрии, безусловно, является формой такого рода, нам остается лишь спросить: какими свойствами должна необходимо обладать такая форма при изучении ее в абстракции?

129. Во-первых, внешность — это по существу относительная концепция: ничто не может быть внешним по отношению к самому себе. Быть внешним по отношению к чему-то — значит быть чем-то другим, имеющим некоторое отношение к этой вещи. Следовательно, когда мы абстрагируем форму внешности от всего материального содержания и изучаем ее в изоляции, положение будет с необходимостью представляться чисто относительным — положение не может обладать никаким внутренним качеством, ибо наша форма состоит из чистой внешности, а внешность не содержит ни тени, ни следа внутреннего качества. Таким образом, мы получаем наш фундаментальный постулат — относительность положения, или, как можно выразиться, полное отсутствие в нашей форме какого-либо следа предметности.

Тот же аргумент можно сформулировать следующим образом: если мы абстрагируем концепцию внешности и попытаемся иметь дело с ней per se, очевидно, что мы должны получить объект, лишенный как элементов, так и целостности. Ибо мы абстрагировались от разнообразной материи, которая наполняла нашу форму, в то время как любой элемент или любое целое сохранили бы некоторые качества материи. Фактически, как элемент, так и целое должны были бы быть вещью, не являющейся внешней по отношению к самой себе, и, таким образом, содержали бы нечто, не являющееся чистой внешностью. Отсюда возникает бесконечная делимость с противоречивым понятием точки при поиске элементов и безграничная протяженность с противоречием бесконечного регресса или порочного круга при поиске завершенного целого. Таким образом, опять же, наша форма не содержит ни элементов, ни целостности, а только бесконечные отношения — члены этих отношений исключаются нашей абстракцией от материи, которая наполняет нашу форму.

130. Подобным образом мы можем вывести однородность нашей формы. Многообразие содержания, которое было возможно только внутри формы внешности, было абстрагировано, оставив лишь чистую возможность многообразия, сам принцип дифференциации, сам по себе единообразный и недифференцированный. Ибо если многообразие предполагает такую форму, то сама форма не может быть разнообразной или дифференцированной, если только она не содержится в новой форме.

Или мы можем вывести то же свойство из относительности положения. Ибо любое качество в одном положении, по которому оно выделялось бы из другого, было бы неизбежно более или менее внутренним и противоречило бы чистой относительности. Следовательно, все положения качественно одинаковы, т.е. форма однородна повсюду.

131. Из того, что было сказано об однородности и относительности, вытекает одно из самых странных свойств формы внешности. Это свойство заключается в том, что отношение внешности между любыми двумя вещами бесконечно делимо и может, следовательно, рассматриваться как состоящее из бесконечного числа предполагаемых элементов нашей формы или, опять же, как сумма двух отношений внешности. Говорить о делении или сложении отношений может показаться абсурдным — это действительно обнаруживает неуместность слова «отношение» в данной связи. Однако трудно найти выражение, которое было бы менее неуместным. По-видимому, внешность — это не столько отношение, сколько чистая относительность или чистая возможность отношения. На эту тему я подробно остановлюсь в главе IV. В данном пункте важно лишь осознать то, что будет предполагать последующий аргумент: отношение — если мы можем его так назвать — внешности между двумя или более вещами должно, поскольку наша форма однородна, быть способным к непрерывному изменению и должно, поскольку наша бесконечно делимая форма состоит из таких отношений, быть способным к бесконечному делению. Но результат бесконечного деления определяется как элемент нашей формы. (Наша форма не имеет элементов, но мы должны вообразить элементы, чтобы рассуждать о ней, как будет более полно показано в главе IV.) Отсюда следует, что каждое отношение внешности может рассматриваться для научных целей как бесконечное множество элементов, хотя философски значимы только отношения, а элементы являются противоречивым результатом гипостазирования формы внешности. Этот способ рассмотрения отношений внешности важен для понимания смысла таких идей, как три или четыре коллинеарные точки.

Поскольку этот пункт сложен и важен, я повторю с несколько большей детализацией объяснение того, каким образом прямые линии и плоскости начинают рассматриваться как совокупности точек. Со строго проективной точки зрения, хотя все другие фигуры являются лишь собранием любого требуемого числа точек, линий или плоскостей, заданных некоторым проективным построением, сами прямые линии и плоскости даны интегрально и не должны рассматриваться как делимые или состоящие из частей. Сказать, что точка лежит на прямой линии, означает для собственно проективной геометрии, что прямая линия есть отношение между этой и некоторой другой точкой. Здесь рассматриваемые точки, если наше утверждение должно быть освобождено от противоречий, должны рассматриваться, если я могу использовать такое выражение, как реальные точки — т.е. как непротяженные материальные центры. Прямые линии и плоскости тогда являются отношениями между этими материальными атомами. Однако это отношения, которые могут претерпевать метрическое изменение, оставаясь проективно неизменными. Когда проективное отношение между двумя точками A и B такое же, как между двумя точками A и C, в то время как метрическое отношение (расстояние) различно, говорят, что три точки A, B, C коллинеарны. Теперь метрический способ рассмотрения пространственных фигур требует, чтобы они были гипостазированы и более не рассматривались как простые отношения. Ибо когда мы рассматриваем величину как протяженную, т.е. как делимую на части, мы неизбежно рассматриваем ее как нечто большее, чем простое отношение или прилагательное, поскольку никакое простое отношение или прилагательное не может быть разделено. Поэтому для количественного рассмотрения пространственные отношения должны быть гипостазированы. Когда это сделано, мы получаем, как видели выше, однородную и бесконечно делимую форму внешности. Мы обнаруживаем теперь, что расстояние, например, может непрерывно изменяться без изменения прямой линии, на которой оно измеряется. Таким образом, мы получаем на рассматриваемой прямой линии непрерывный ряд точек, который, поскольку он непрерывен, мы рассматриваем как составляющий нашу прямую линию. Именно исключительно из гипостазирования отношений, которое требует метрическая геометрия, возникает взгляд на прямые линии и плоскости как на состоящие из точек, и именно из этого гипостазирования проистекают трудности метрической геометрии.

132. Следующий шаг в определении формы внешности получается из идеи измерений. Положения, как мы видели, определяются исключительно их отношениями к другим положениям. Но чтобы такое определение было возможным, должно быть достаточно конечного числа отношений, поскольку бесконечные числа философски недопустимы. Положение должно быть определимо, следовательно, если познание нашей формы вообще возможно, некоторым конечным целым числом отношений к другим положениям. Каждое отношение, необходимое для определения, мы называем измерением. Отсюда мы получаем положение: любая форма внешности должна иметь конечное целое число измерений.

133. Вышеприведенный аргумент, могут возразить, упустил одну возможность. Он использовал трансцендентальный аргумент, может утверждать оппонент, не доказав в достаточной мере, что знание о внешности должно быть возможно без ссылки на материи, внешние друг другу. Определение положения может быть невозможным, пока мы пренебрегаем материей, которая наполняет форму, но может стать возможным, когда эта материя принимается во внимание. Такое возражение, я думаю, можно успешно встретить ссылкой на пассивность и однородность нашей формы. Ибо любая зависимость определения положения от конкретной материи, наполняющей это положение, вовлекала бы некоторого рода взаимодействие между материей и ее положением, некоторое влияние разнообразного содержания на однородную форму. Но поскольку форма полностью лишена предметности, совершенно пассивна и совершенно лишена различий между своими частями, любое такое влияние немыслимо. Влияние на положение должно было бы изменить его каким-то образом, но как оно могло бы быть изменено? Оно не имеет качеств, кроме тех, которые делают его тем положением, которым оно является, в отличие от других положений; следовательно, оно не может измениться, не став другим положением. Но такое изменение противоречит закону тождества. Следовательно, изменилось не положение, а содержание, которое переместилось в форме. Таким образом, должно быть возможно, если знание о нашей форме вообще может быть получено, получить это знание в логической независимости от конкретной материи, которая ее наполняет. Вышеприведенный аргумент, следовательно, при допущении возможности знания в рассматриваемой области, показывает необходимость конечного целого числа измерений.

134. Повторим наш первоначальный аргумент в свете этого разъяснения. Положение полностью определено тогда и только тогда, когда известны достаточные отношения, позволяющие нам определить его отношение к любому новому известному положению. Только посредством отношений внутри формы внешности, как мы только что видели, и никогда посредством отношений, которые включают ссылку на конкретную материю, наполняющую форму, может быть осуществлено такое определение. Но возможность такого определения следует из закона исключенного третьего, когда этот закон интерпретируется так, как его интерпретирует Бозанкет, а именно, что «реальность... есть система взаимно детерминированных частей». Ибо это подразумевает, что при заданных отношениях части A к другим частям B, C... достаточная полнота таких отношений проливает свет на отношения B к C и т.д. Если бы это было не так, части A, B, C... не могли бы считаться образующими такую систему; ибо в такой системе определить A — значит определить в то же время все остальные члены, а дать прилагательное A — значит дать прилагательное B и C. Но отношения между положениями являются, когда мы восстанавливаем материю, из которой были абстрагированы положения, отношениями между вещами, занимающими эти положения, и эти отношения, как мы видели, могут изучаться без ссылки на конкретную природу, в других отношениях, связанных вещей. Отсюда следует, что когда мы применяем общий принцип системного единства к этим отношениям в частности, мы находим, что эти отношения зависят друг от друга, поскольку они не зависят для своего определения ни от чего другого. Это дает аксиому измерений в вышеприведенной общей форме как результат, на нашем абстрактном геометрическом уровне, относительности положения и закона исключенного третьего.