«Эссе об основаниях геометрии»

135. Прежде чем идти дальше, необходимо обсудить важный частный случай, когда форма внешности имеет только одно измерение. Из двух таких форм, данных в опыте, одна, а именно время, представляет собой пример этого частного случая. Но можно показать, я думаю, что функция, состоящая в возможности опыта, которую мы требуем от таких форм, не могла бы быть выполнена одной лишь одномерной формой. Ибо в одномерной форме различные содержания могут быть расположены в ряд и не могут без взаимопроникновения изменить порядок содержаний в ряду. Но взаимопроникновение невозможно, поскольку форма внешности есть лишь выражение многообразия среди вещей, из чего следует, что вещи не могут занимать одно и то же положение в форме, если нет другой формы, посредством которой их можно было бы дифференцировать. Ибо без внешности нет многообразия. Таким образом, два тела могут занимать одно и то же пространство, но только в разное время: две вещи могут существовать одновременно, но только в разных местах. Форма одного измерения, следовательно, не могла бы сама по себе допустить то изменение отношений внешности, посредством которого только и может быть приведено в сознание разнообразный мир взаимосвязанных вещей. В одномерном пространстве, например, можно было бы воспринимать только один объект, который должен представать как точка, или максимум два объекта, один впереди и один позади. Таким образом, два или более измерений представляются существенным условием всего, что стоит называть опытом взаимосвязанных вещей.

136. На этот аргумент могут возразить, что его обоснованность зависит от предположения, что изменение отношения внешности должно быть непрерывным. Как выдвинуть, так и встретить это возражение способом, который не подразумевал бы время, представляется почти невозможным. Ибо мы не можем говорить об изменении, будь оно непрерывным или дискретным, не воображая время. Давайте поэтому допустим, что время известно, и обсудим, является ли временное изменение в любой другой форме внешности обязательно непрерывным. Мы должны ответить, я думаю, что непрерывность необходима. Изменение отношения в нашей невременной форме можно безопасно описать как движение, и закон причинности — поскольку мы уже предположили время — может быть применен к этому движению. Тогда следует, что дискретное движение вовлекало бы конечное следствие от бесконечно малой причины, ибо причина, действующая только в течение момента времени, была бы бесконечно малой. Оно вовлекает также обоснованность в момент времени, тогда как то, что обосновано в любой форме внешности, есть не бесконечно малый и противоречивый элемент, возникающий из бесконечного деления, как мы уже видели, а конечное отношение, которое математика анализирует на исчезающие элементы. Следовательно, изменение должно быть непрерывным, и возможность серийного расположения остается в силе.

В одномерной форме, отличной от времени, тот же аргумент должен оставаться в силе. Ибо нечто аналогичное причинности было бы необходимо для опыта, и относительность формы все еще неизбежно сохранялась бы. Следовательно, поскольку были предположены только эти два свойства времени, вышеприведенное утверждение оставалось бы справедливым для любой второй формы, чьи отношения были бы коррелированы с отношениями первой, как того требовал бы аналог причинности.

137. Следующий шаг в аргументации, который предполагает два или более измерений, касается общих аналогов прямых линий и плоскостей, т.е. фигур — которые могут рассматриваться либо как отношения между положениями, либо как ряды положений, — однозначно определяемых двумя или тремя положениями. Если этот шаг может быть успешно сделан, наше выведение вышеуказанных проективных аксиом будет завершено, и дескриптивная геометрия будет установлена как абстрактное априорное учение о формах внешности.

Чтобы доказать это утверждение, рассмотрим, какова природа отношений, посредством которых определяются положения. Мы уже видели, что наша форма чисто реляционна и бесконечно делима, и что положения (точки) являются противоречивым результатом поиска чего-то иного, чем отношения. Что мы действительно подразумеваем, следовательно, под отношениями, определяющими положение, — это, когда мы отменяем нашу предыдущую абстракцию, отношения внешности, посредством которых некоторая вещь соотносится с другими вещами. Но как, когда мы остаемся в абстрактной форме, должны представать такие отношения?

138. Мы должны доказать, что два положения должны иметь отношение, независимое от любой ссылки на другие положения. Чтобы доказать это, вернемся к тому, что было сказано в связи с измерениями относительно пассивности и однородности нашей формы. Поскольку положения определяются только отношениями, должны существовать отношения внутри формы между положениями. Но если существуют такие отношения, должно существовать отношение, которое является внутренним для двух положений. Ибо предполагать обратное — значит приписывать взаимодействие или причинную связь некоторого рода между этими двумя положениями и другими положениями — предположение, которое делает абсурдным идеальная однородность нашей формы, поскольку все положения качественно схожи и не могут быть изменены, не теряя своей идентичности. Мы можем сформулировать этот аргумент так: поскольку положения определяются только их отношениями, такое определение никогда не могло бы начаться, если бы оно не начиналось с отношения только между двумя положениями. Ибо предположим, что необходимы три положения A, B, C, которые порождают отношение abc между тремя. Тогда не осталось бы средств для определения различных пар BC, CA, AB, поскольку единственным отношением, определяющим их, было бы отношение, общее для всех трех пар. Ничего не было бы достигнуто в этом случае ссылкой на новые точки, ибо из однородности и пассивности формы следует, что эти новые точки не могли бы повлиять на внутренние отношения нашей триады, которые, если они вообще могут дать определенность, должны дать ее без помощи внешней ссылки. Два положения должны, следовательно, если определение возможно, иметь некоторое отношение, которое они сами по себе достаточны определить. Точно такой же аргумент применим к трем положениям или к четырем; аргумент теряет свою силу только тогда, когда мы исчерпали измерения рассматриваемой формы. Таким образом, в трех измерениях пять положений не имеют нового отношения, не выводимого из уже известных, ибо по определению измерений все вовлеченные отношения могут быть выведены из отношений четвертой точки к первым трем вместе с отношениями пятой к первым трем.

Мы можем придать аргументу более конкретную и, возможно, более убедительную форму, рассматривая материю, расположенную в нашей форме. Если две вещи взаимно внешни, они должны, поскольку принадлежат к одному миру, иметь некоторое отношение внешности; следовательно, существует отношение внешности между двумя вещами. Но поскольку наша форма однородна, то же отношение внешности может существовать в других частях формы, т.е. в то время как две рассматриваемые вещи изменяют свои отношения внешности к другим вещам. Отношение внешности между двумя вещами, следовательно, независимо от других вещей. Следовательно, когда мы возвращаемся к абстрактному языку формы, два положения имеют отношение, определяемое только этими двумя положениями и независимое от других положений.

Точно такой же аргумент применим к отношениям трех положений, и в каждом случае отношение должно представать в форме не как простое умозаключение из положений, которые оно связывает. Ибо отношения, как мы видели, фактически составляют форму внешности и не являются простыми умозаключениями из терминов, которые нигде не могут быть найдены в форме.

Подводя итог: поскольку положение относительно, два положения должны иметь некоторое отношение друг к другу; и поскольку наша форма внешности однородна, это отношение может сохраняться неизменным, пока два положения изменяют свои отношения к другим положениям. Следовательно, их отношение является внутренним и независимым от других положений. Поскольку форма есть лишь комплекс отношений, рассматриваемое отношение должно, если форма чувственна или интуитивна, быть само по себе чувственным или интуитивным, а не простым умозаключением. В этом случае уникальное отношение должно быть уникальной фигурой — в пространственных терминах, прямой линией, соединяющей две точки.

139. На этом наше выведение проективной геометрии из априорных концептуальных свойств формы внешности завершено. То, что такая форма, если рассматривать ее как независимую вещь, противоречива, было в изобилии очевидно на протяжении всего обсуждения. Но наука о форме была основана на противоположном способе ее рассмотрения: мы на протяжении всего времени считали ее лишь комплексом отношений и выводили ее свойства исключительно из этого взгляда на нее. Многие трудности при применении такого априорного выведения к интуитивному пространству и при объяснении как логических необходимостей свойств, которые предстают как чувственные или интуитивные данные, должны быть отложены до главы IV. В настоящее время я хочу указать, что проективная геометрия полностью априорна; что она имеет дело с объектом, свойства которого логически выведены из его определения, а не эмпирически обнаружены из данных; что ее определение, опять же, основано на возможности переживания многообразия в отношении, или множественности в единстве; и что вся наша наука, следовательно, логически подразумевается в возможности такого опыта и выводима из нее.

140. В метрической геометрии, напротив, мы обнаружим совсем другой результат. Хотя геометрические условия, которые делают возможным пространственное измерение, окажутся идентичными, за исключением небольших различий в форме изложения, априорным аксиомам, обсуждавшимся выше, все же само измерение — которое имеет дело с фактически данным пространством, а не с тем чисто интеллектуальным построением, которое мы только что обсуждали — дает результаты, которые могут быть известны только эмпирически и приблизительно и не могут быть выведены никакой необходимостью мышления. Евклидово и неевклидовы пространства дают различные результаты, которые априорно возможны; аксиомы, специфичные для Евклида — которые, собственно, являются не аксиомами, а эмпирическими результатами измерения — определяют в пределах ошибок наблюдения, какая из этих априорных возможностей реализована в нашем актуальном пространстве. Таким образом, измерение имеет дело на всем протяжении с эмпирически данной материей, а не с порождением интеллекта, и его априорные элементы являются лишь условиями, предполагаемыми в возможности измерения. Каковы эти условия, мы увидим во втором разделе этой главы.

Раздел B. АКСИОМЫ МЕТРИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

141. Мы рассмотрели аксиомы проективной геометрии и увидели, что они являются априорными выводами из того факта, что мы можем переживать внешность, т.е. сосуществующую множественность различных, но взаимосвязанных вещей. Но проективная геометрия, несмотря на свои претензии, не является всей наукой о пространстве, что достаточно доказывается тем фактом, что она не может различать евклидово и неевклидовы пространства. Для этой цели требуется пространственное измерение: метрическая геометрия с ее количественными тестами может одна осуществить это различение. Для всякого применения геометрии к физике также требуется измерение; закон тяготения, например, требует определения актуальных расстояний. Короче говоря, для многих целей проективная геометрия совершенно недостаточна: так, она неспособна различать различные виды конических сечений, хотя их различение имеет фундаментальное значение во многих областях знания.

Метрическая геометрия, таким образом, является необходимой частью науки о пространстве, частью, не включенной в дескриптивную геометрию. Ее априорный элемент, тем не менее, поскольку он является пространственным, а не арифметическим, тот же, что и постулат проективной геометрии, а именно однородность пространства или его эквивалент — относительность положения. Мы можем видеть, фактически, что априорный элемент в обоих, вероятно, один и тот же. Ибо априорное в метрической геометрии будет тем, что предполагается в возможности пространственного измерения, т.е. количественного пространственного сравнения. Но такое сравнение предполагает просто известное тождество качества, определение которого является в точности проблемой проективной геометрии. Следовательно, условия возможности измерения, поскольку они не являются арифметическими, будут в точности такими же, как и для проективной геометрии.

142. Метрическая геометрия, следовательно, хотя и отлична от проективной геометрии, не является независимой от нее, но предполагает ее и возникает из ее сочетания с посторонней идеей количества. Тем не менее математическая форма аксиом в метрической геометрии несколько отличается от их формы в проективной геометрии. Однородность пространства заменяется ее эквивалентом — аксиомой свободной подвижности. Аксиома прямой линии заменяется аксиомой расстояния: две точки определяют уникальную величину, расстояние, которое остается неизменным при любом движении двух точек как единой фигуры. Эта аксиома, действительно, будет обнаружена вовлекающей аксиому прямой линии — такая величина не могла бы существовать, если бы две точки не определяли уникальную кривую, — но ее математическая форма изменена. Другим важным изменением является крах принципа двойственности: количество может быть применено к прямой линии, поскольку она делима на подобные части, но не может быть применено к неделимой точке. Мы получаем таким образом причину, которой недоставало в дескриптивной геометрии, для предпочтения точек как пространственных элементов прямым линиям или плоскостям. Наконец, с количеством вводится совершенно новая идея, а именно идея движения. Не то чтобы мы изучали движение или чтобы какие-либо из наших результатов имели отношение к движению, но они не могут, хотя в проективной геометрии могли, быть получены без по крайней мере идеального движения наших фигур через пространство.

Давайте теперь подробно рассмотрим предпосылки пространственного измерения. Мы найдем три аксиомы, без которых такое измерение было бы невозможно, но с которыми оно адекватно для того, чтобы решить, эмпирически и приблизительно, евклидову или неевклидову природу нашего актуального пространства. Мы найдем далее, что эти три аксиомы могут быть выведены из концепции формы внешности и не обязаны ничем свидетельству интуиции. Они, следовательно, подобно их эквивалентам — аксиомам проективной геометрии — являются априорными и выводимыми из условий пространственного опыта. Этот опыт, соответственно, никогда не может опровергнуть их, поскольку само его существование предполагает их.

I. Аксиома свободной подвижности.

143. Метрическая геометрия, для начала, может быть определена как наука, которая имеет дело со сравнением и отношениями пространственных величин. Концепция величины, следовательно, необходима с самого начала. Некоторые из аксиом Евклида, соответственно, были классифицированы как арифметические и предполагались не имеющими ничего общего с пространством. Таковы аксиомы, что равные, прибавленные к равным или вычтенные из равных, дают равные, и что вещи, равные одной и той же вещи, равны друг другу. Эти аксиомы, говорят, являются чисто арифметическими и не приписывают, подобно другим, прилагательное пространству. Что касается их использования в арифметике, это, конечно, верно. Но если арифметическая аксиома должна быть применена к пространственным величинам, она должна иметь некоторое пространственное значение, и таким образом даже этот класс не является в геометрии просто арифметическим. К счастью, геометрический элемент один и тот же во всех аксиомах этого класса — мы можем видеть сразу, фактически, что он не может сводиться к чему-то большему, чем определение пространственной величины. Опять же, поскольку пространство, с которым имеет дело геометрия, бесконечно делимо, определение пространственной величины сводится к определению пространственного равенства, ибо, как только мы имеем последнее, мы можем сравнить две пространственные величины, разделив каждую на число равных единиц и подсчитав число таких единиц в каждой. Отношение числа единиц есть, конечно, отношение двух величин.

144. Нам требуется, таким образом, с самого начала некоторый критерий пространственного равенства: без такого критерия метрическая геометрия стала бы совершенно невозможной. Может показаться на первый взгляд, что это не обязательно должно быть аксиомой, а может быть просто определением. Отчасти это верно, но не полностью. Часть, которая является просто определением, дана в восьмой аксиоме Евклида: «Величины, которые точно совпадают, равны». Но это дает достаточный критерий только тогда, когда величины, подлежащие сравнению, уже занимают одно и то же положение. Когда, как это будет нормально, две пространственные величины внешни друг другу — как, действительно, должно быть, если они различны, а не целое и часть — две величины могут быть заставлены совпасть только движением одной или обеих из них. Чтобы, следовательно, наше определение пространственной величины могло дать однозначные результаты, совпадение при наложении, если оно когда-либо может произойти, должно происходить всегда, какой бы путь ни был выбран для его достижения. Следовательно, если простое движение могло бы изменять формы, наш критерий равенства разрушился бы. Отсюда следует, что применение концепции величины к фигурам в пространстве вовлекает следующую аксиому: пространственные величины могут быть перемещены с места на место без искажения; или, как можно выразиться, формы никоим образом не зависят от абсолютного положения в пространстве.

Вышеприведенная аксиома есть аксиома свободной подвижности. Я предлагаю доказать (1) что отрицание этой аксиомы вовлекало бы логические и философские абсурды, так что она должна быть классифицирована как полностью априорная; (2) что метрическая геометрия, если бы она отказалась от этой аксиомы, была бы неспособна без логического абсурда установить понятие пространственной величины вообще. Заключение будет состоять в том, что аксиома не может быть доказана или опровергнута опытом, но является априорным условием метрической геометрии. Поскольку я буду, таким образом, поддерживать позицию, которая была многократно оспорена, особенно Гельмгольцем и Эрдманом, я должен буду вдаваться в аргументы довольно подробно.

145. A. Философский аргумент. Отрицание аксиомы вовлекает абсолютное положение и действие самого пространства, per se, на вещи. Ибо аксиома не утверждает, что реальные тела, как эмпирический факт, никогда не меняют свою форму каким-либо образом во время их перехода с места на место: напротив, мы знаем, что такие изменения происходят, иногда в очень заметной степени, и всегда в некоторой мере. Но такие изменения приписываются не изменению места как такового, а физическим причинам: изменениям температуры, давления и т.д. С чем наша аксиома должна иметь дело, это не актуальные материальные тела, а геометрические фигуры, и она утверждает, что фигура, которая возможна в любом одном положении в пространстве, возможна в каждом другом. Ее смысл станет яснее при ссылке на случай, где она не выполняется, скажем, пространство, образованное поверхностью яйца. Здесь треугольник, начерченный около экватора, не может быть перемещен без искажения к полюсу, так как он более не соответствовал бы большей кривизне нового положения: треугольник, начерченный около полюса, не может быть пригнан к более плоскому концу и так далее. Таким образом, метод наложения, который использует Евклид в Книге I, Предложении IV, становится невозможным; фигуры не могут быть свободно перемещаемы, действительно, задав любую фигуру, мы можем определить некоторый ряд возможных положений для нее на яйце, вне которых это становится невозможным. Что я утверждаю, это, следовательно, что существует философский абсурд в предположении пространства в целом быть такой природы. На яйце мы имеем отмеченные точки, такие как два конца; пространство, образованное его поверхностью, не является однородным, и если вещи перемещаются в нем, оно должно само по себе оказывать искажающее влияние на них, совершенно независимо от физических причин; если бы оно не оказывало такого влияния, вещи не могли бы быть перемещены. Таким образом, такое пространство не было бы однородным, но имело бы отмеченные точки, ссылаясь на которые тела имели бы абсолютное положение, совершенно независимо от любых других тел. Пространство более не было бы пассивным, но оказывало бы определенное влияние на вещи, и мы должны были бы приспособиться к понятию отмеченных точек в пустом пространстве; эти точки были бы отмечены не телами, которые занимали их, а их влияниями на любые тела, которые могли бы время от времени занимать их. Это отсутствие однородности и пассивности является, однако, абсурдным; пространство должно, поскольку оно является формой внешности, допускать только относительное, а не абсолютное положение и должно быть полностью однородным повсюду. Предполагать иное — значит придать ему предметность, которой никакая форма внешности не может обладать. Мы должны, следовательно, на чисто философских основаниях признать, что геометрическая фигура, которая возможна где угодно, возможна везде, что и есть аксиома свободной подвижности.

146. B. Геометрический аргумент. Посмотрим далее, какого рода геометрию мы могли бы построить без этой аксиомы. Конечный стандарт сравнения пространственных величин должен, как мы видели при введении аксиомы, быть равенством при наложении; но должны ли мы из этого равенства выводить равенство при разделении? Эрдманом было высказано мнение, что для более непосредственных целей геометрии это было бы ненужным. Мы могли бы построить новую геометрию, думает он, в которой размеры варьировались бы с движением по любому определенному закону. Такой взгляд, как я покажу ниже, вовлекает логическую ошибку относительно природы величины. Но прежде чем указать на это, давайте обсудим геометрические следствия предположения его истинности. Предположим, длина бесконечно малой дуги в некотором стандартном положении была ds; тогда в любом другом положении p ее длина была бы ds.f(p), где форма функции f(p) должна предполагаться известной. Но как мы должны определить положение p? Для этой цели нам требуются координаты p, т.е. некоторое измерение расстояния от начала координат. Но расстояние от начала координат могло бы быть измерено только если мы предположили наш закон f(p) для измерения его. Ибо предположим, начало координат есть O, и Op есть прямая линия, чья длина требуется. Если у нас есть измерительный стержень, с которым мы путешествуем вдоль линии и измеряем последовательные бесконечно малые дуги, измерительный стержень будет изменять свой размер по мере нашего движения, так что дуга, которая кажется по мере равной ds, будет на самом деле f(s).ds, где s есть ранее пройденное расстояние. Если, с другой стороны, мы перемещаем нашу линию Op медленно через начало координат и измеряем каждый кусок по мере его прохождения, наша мера, это правда, не изменится, но теперь у нас нет средств обнаружить закон, по которому любой элемент изменил свою длину при приходе к началу координат. Следовательно, пока мы не предположим нашу функцию f(p), у нас нет средств определить p, ибо мы только что видели, что расстояния от начала координат могут быть оценены только посредством закона f(p). Отсюда следует, что опыт не может ни доказать, ни опровергнуть постоянство форм во время движения, поскольку, если бы формы не были постоянны, мы должны были бы предположить закон их вариации до того, как измерение стало бы возможным, и поэтому измерение не могло бы само по себе раскрыть эту вариацию нам.

Тем не менее, такой произвольно предположенный закон действительно, на первый взгляд, дает математически возможную геометрию. Фундаментальное предложение, что две величины, которые могут быть наложены в любом одном положении, могут быть наложены в любом другом, все еще остается в силе. Ибо две бесконечно малые дуги, чьи длины в стандартном положении суть ds1 и ds2, имели бы в любом другом положении p длины f(p).ds1 и f(p).ds2, так что их отношение было бы неизменным. Из этого постоянства отношения, как мы знаем через Римана и Гельмгольца, следует вышеприведенное предложение. Следовательно, все, что требует геометрия, как кажется, в качестве основы для измерения, есть аксиома, что изменение форм во время движения следует определенному известному закону, такому как тот, что был предположен выше.

147. Существует, однако, в таком взгляде, как я заметил выше, логическая ошибка относительно природы величины. Эта ошибка уже была указана при обсуждении Эрдмана и нуждается лишь в кратком повторении здесь. Суждение о величине есть по существу суждение сравнения: в неизмеренном количестве — сравнение относительно простого «больше или меньше», но в измеренной величине — сравнение относительно точного «сколько раз». Говорить о различиях величины, следовательно, в случае, где сравнение не может обнаружить их, логически абсурдно. Теперь в случае, рассматриваемом выше, две величины, которые кажутся равными в одном положении, кажутся равными также при сравнении в другом положении. Нет смысла, следовательно, предполагать две величины неравными при разделении, ни предполагать, следовательно, что они изменили свои величины при движении. Эта бессмысленность нашей гипотезы есть логическое основание математической неопределенности относительно закона вариации. Поскольку, следовательно, нет средств сравнения двух пространственных фигур относительно величины, кроме наложения, единственно логически возможная аксиома, если пространственная величина должна быть самосогласованной, есть аксиома свободной подвижности в форме, данной выше.

148. Хотя эта аксиома априорна, ее применение к измерению актуальных тел, как мы обнаружили при обсуждении взглядов Гельмгольца, всегда вовлекает эмпирический элемент. Наша аксиома, следовательно, только поставляет априорное условие для выполнения операции, которая в конкретном является эмпирической — точно так же, как арифметика поставляет априорное условие для переписи. Поскольку эта тема была обсуждена подробно в главе II, я не буду говорить больше о ней здесь.

149. Остаются, однако, несколько возражений и трудностей, которые нужно обсудить. Во-первых, как мы получаем равенство в телах и в случаях Канта с правой и левой руками или с право- и левосторонними винтами, где актуальное наложение невозможно? Во-вторых, как мы можем принять конгруэнтность как единственно возможную основу пространственного измерения, когда мы имеем перед собой случай времени, где никакая вещь, подобная конгруэнтности, немыслима? В-третьих, можно было бы настаивать, что мы можем немедленно оценить пространственное равенство глазом с большей или меньшей точностью и таким образом иметь меру, независимую от конгруэнтности. В-четвертых, как возможна метрическая геометрия на неконгруэнтных поверхностях, если конгруэнтность есть основа пространственного измерения? Я буду обсуждать эти возражения последовательно.

150. (1) Как мы измеряем равенство тел? Они могли бы быть приведены к актуальной конгруэнтности только если бы мы имели четвертое измерение, в котором действовать, и из того, что я сказал ранее об абсолютной необходимости этого теста, могло бы показаться, что мы были бы оставлены здесь в полном неведении. Евклид молчит на этот счет, и во всех работах по геометрии принимается как самоочевидное, что два куба с равной стороной равны. Это предположение предполагает, что мы не в таком плохом положении, как были бы без конгруэнтности, как теста равенства в одном или двух измерениях; ибо теперь мы можем по крайней мере быть уверены, что два куба имеют все свои стороны и все свои грани равными. Два таких куба различаются, следовательно, никаким чувственным пространственным качеством, кроме положения, ибо объем, в этом случае во всяком случае, не есть чувственное качество. Они, следовательно, насколько такие качества касаются, неразличимы. Если бы их места были переставлены, мы могли бы знать изменение по их цвету или по некоторому другому негеометрическому свойству; но насколько любое свойство, о котором геометрия может иметь познание, касается, все казалось бы как прежде. Предполагать различие объема, следовательно, значило бы приписать влияние простому положению, что мы видели недопустимым при обсуждении свободной подвижности. Кроме положения, они геометрически неразличимы, и мы можем призвать на помощь тождество неразличимых, чтобы установить их согласие в одном оставшемся геометрическом свойстве объема. Это может показаться довольно странным принципом для использования в математике, и для геометрии их равенство, возможно, лучше всего рассматривать как определение; но если мы требуем философского основания для этого определения, оно, я верю, может быть найдено только в тождестве неразличимых. Мы можем без ошибки сделать наше определение трехмерного равенства покоящимся на двумерной конгруэнтности. Ибо поскольку прямое сравнение относительно объема невозможно, мы свободны определить два объема как равные, когда все их различные линии, поверхности, углы и телесные углы конгруэнтны, поскольку не остается в таком случае никакой измеримой разницы между фигурами, составляющими два объема. Конечно, как только мы установили этот один случай равенства объемов, остальная часть теории следует; как явствует из обычного метода интегрирования объемов, путем деления их на малые кубы.

Таким образом, конгруэнтность помогает установить трехмерное равенство, хотя она не может прямо доказать такое равенство; и тот же философский принцип однородности пространства, посредством которого была доказана конгруэнтность, приходит нам на помощь здесь. Но как насчет правосторонних и левосторонних винтов? Здесь мы более не можем применить тождество неразличимых, ибо эти два очень хорошо различимы. Но как с телами, так и здесь, свободная подвижность может помочь нам много. Она может позволить нам посредством обычного измерения показать, что внутренние отношения обоих винтов одни и те же и что различие лежит только в их отношении к другим вещам в пространстве. Зная эти внутренние отношения, мы можем вычислить посредством геометрии, которую свободная подвижность сделала возможной, все геометрические свойства этих винтов — радиус, шаг и т.д. — и можем показать их быть по отдельности равными в обоих. Но это все, что мы требуем. Опосредованное сравнение возможно, хотя непосредственное сравнение нет. Оба могут, например, быть сравнены с цилиндром, на который оба подошли бы, и таким образом их равенство может быть доказано. Точно такое же доказательство остается в силе, конечно, для других случаев, правых и левых рук, сферических треугольников и т.д. В целом, эти случаи подтверждают мой аргумент; ибо они показывают, как Кант намеревался их показать, существенную относительность пространства.

151. (2) Что касается времени, то здесь никакая конгруэнтность немыслима, ибо для осуществления конгруэнтности всегда требуется — как мы видели на примере твердых тел — на одно измерение больше, чем принадлежит сравниваемым величинам. Никакой день нельзя привести во временное совпадение с другим днем, чтобы показать, что они в точности покрывают друг друга; поэтому мы вынуждены прибегнуть к произвольному допущению, что некоторое движение или совокупность движений, данные нам в опыте, являются равномерными. К счастью, у нас есть большой набор движений, которые все приблизительно согласуются между собой: колебание маятника, вращение и обращение Земли и планет и т. д. Они не согласуются в точности, но они приводят нас к законам движения, с помощью которых мы можем, на основе нашей произвольной гипотезы, оценить их небольшие отклонения от равномерности; точно так же, как допущение свободной подвижности позволило нам измерить отклонения реальных тел от жесткости. Но здесь, как и там, математически открыта другая возможность, которую можно исключить лишь в силу ее философской абсурдности; мы могли бы предположить, что вышеупомянутый набор приблизительно согласующихся движений имеет скорости, которые изменяются приблизительно как некоторая произвольно принятая функция времени, скажем f(t), измеренная от некоторого произвольного начала. Такое допущение по-прежнему сохраняло бы их синхронность в прежней степени и дало бы столь же возможную, хотя и более сложную систему механики; вместо первого закона движения мы имели бы следующий: частица сохраняет свое состояние покоя или прямолинейного движения со скоростью, изменяющейся как f(t), за исключением тех случаев, когда она вынуждена изменить это состояние под действием внешних сил. Такая гипотеза математически возможна, но, подобно аналогичной гипотезе для пространства, она логически исключается сравнительной природой суждения о количестве, а философски — тем фактом, что она предполагает абсолютное время как определяющий агент в изменении, тогда как время философски никогда не может быть ничем иным, кроме пассивной формы, абстрагированной от изменения. Я ввел эту параллель со временем не как непосредственно относящуюся к аргументу, а как более простой случай, который может послужить иллюстрацией моих рассуждений в более сложном случае пространства. Ибо поскольку время в математике одномерно, математические трудности здесь проще, чем в геометрии; и хотя ничто в точности не соответствует конгруэнтности, здесь существует очень похожее сочетание математической и философской необходимости, дающее, в конечном счете, вполне определенную аксиому в качестве основы измерения времени, соответствующую конгруэнтности как основе измерения пространства.

152. (3) Случай измерения времени наводит на третье из вышеупомянутых возражений против абсолютной необходимости аксиомы свободной подвижности. Психофизика показала, что мы обладаем приблизительной способностью, посредством того, что можно назвать чувством длительности, непосредственно оценивать равные короткие промежутки времени. Это устанавливает грубую меру, независимую от любого предполагаемого равномерного движения, и в пространстве, можно сказать, мы также обладаем подобной способностью непосредственного сравнения. Мы можем видеть при непосредственном осмотре, что деления на линейке не являются грубо неточными; и поэтому, можно сказать, мы обладаем и мерой, независимой от конгруэнтности, и могли бы обнаружить опытным путем любое грубое отклонение от свободной подвижности. Против этого взгляда, однако, с самого начала существует фундаментальное психологическое возражение. Утверждалось, что все наше сравнение пространственных величин осуществляется посредством идеального наложения. Так, Джеймс говорит («Психология», том II, стр. 152): «Даже там, где мы лишь чувствуем, что одно деление смутно больше или меньше другого, разум должен быстро переходить от него к другому делению и получать непосредственный чувственный шок “большего”», и «поскольку деления чувственного пространства должны быть точно измерены друг относительно друга, объективные формы, занимающие одно деление, должны быть прямо или косвенно наложены на другое».

Даже если мы отбросим это фундаментальное возражение, другие все же останутся. Прежде всего, такие суждения о равенстве являются лишь весьма грубыми приближениями и не могут быть применены к линиям длиннее определенного размера, хотя бы по той причине, что такие линии трудно видеть одновременно. Таким образом, этот метод может дать нам некоторую уверенность лишь в нашем непосредственном окружении и никоим образом не может оправдать операции, необходимые для составления карт и т. д., и тем более для измерения астрономических расстояний. Они могли бы лишь позволить нам сказать, что одни линии длиннее других, но они оставили бы геометрию в положении не лучшем, чем положение гедонистического исчисления, в котором мы зависим от чисто субъективной меры. На самом деле, такой метод признается настолько неточным, что линейка является столь же необходимой в повседневной жизни, как и в науке. Кроме того, никто не доверял бы таким непосредственным суждениям, если бы не тот факт, что более строгий критерий конгруэнтности до некоторой степени подтверждает их; если бы мы не могли применить этот критерий, у нас не было бы оснований доверять им даже в той мере, в какой мы это делаем. Таким образом, у нас здесь нет реального выхода из нашей абсолютной зависимости от аксиомы свободной подвижности.

153. (4) Одно последнее пояснительное замечание необходимо, прежде чем наше доказательство этой аксиомы можно будет считать полным. Мы говорили выше о геометрии на яйце, где свободная подвижность не соблюдается. Что, могут спросить меня, есть в полностью неконгруэнтной геометрии такого, что делает ее более невозможной, чем эта геометрия на яйце? Ответ очевиден. Геометрия неконгруэнтных поверхностей возможна только при использовании бесконечно малых величин, а в бесконечно малом все поверхности становятся плоскими. Фундаментальная формула, формула длины бесконечно малой дуги, получается только при допущении, что такая дуга может рассматриваться как прямая линия и что евклидова планиметрия может быть применена в непосредственной окрестности любой точки. Если бы у нас не было нашей евклидовой меры, которую можно перемещать без искажений, у нас не было бы метода сравнения малых дуг в разных местах, и геометрия неконгруэнтных поверхностей потерпела бы крах. Таким образом, аксиома свободной подвижности в отношении трехмерного пространства необходимо подразумевается и предполагается в геометрии неконгруэнтных поверхностей; возможность последней, следовательно, является зависимой и производной возможностью и не может служить аргументом против априорной необходимости конгруэнтности как критерия равенства.

154. Следует заметить, что аксиома свободной подвижности в том виде, как я ее сформулировал, включает также аксиому, которой Гельмгольц дает название монодромии. Она утверждает, что тело не изменяет своих размеров в результате полного оборота на четыре прямых угла, а занимает в конце то же положение, что и в начале. Предполагаемая математическая необходимость выделения этого свойства пространства в отдельную аксиому была опровергнута Софусом Ли (см. гл. I, § 45); философски это, очевидно, частный случай свободной подвижности, и, действительно, особенно очевидный случай, ибо трансляция действительно вносит некоторое изменение в тело, а именно изменение положения, но вращение на четыре прямых угла можно считать совершенным любое количество раз без появления этого в результате, и абсурдность приписывания пространству способности заставлять тела расти в процессе этого очевидна; все, что было сказано выше о конгруэнтности в целом, применимо с еще большей очевидностью к этому частному случаю.

155. Аксиома свободной подвижности предполагает, если она истинна, однородность пространства или полную относительность положения. Ибо если любая форма, возможная в одной части пространства, всегда возможна и в другой, то из этого следует, что все части пространства качественно сходны и, следовательно, не могут быть различимы никаким внутренним свойством. Отсюда положения в пространстве, если наша аксиома верна, должны быть полностью определены внешними отношениями, т. е. положение не является внутренним, а является чисто относительным свойством вещей в пространстве. Короче говоря, если бы существовало нечто вроде абсолютного положения, метрическая геометрия была бы невозможна. Эта относительность положения является фундаментальным постулатом всей геометрии, к которому ведет каждая из необходимых метрических аксиом и из которого, наоборот, каждая из этих аксиом может быть выведена.

156. Это обратное выведение в отношении свободной подвижности не очень сложно и следует из аргументации раздела А, которую я кратко повторю. Во-первых, внешность — это существенно относительное понятие: ничто не может быть внешним по отношению к самому себе. Быть внешним по отношению к чему-то — значит быть иным, имеющим некоторое отношение к этой вещи. Следовательно, когда мы абстрагируем форму внешности от всякого материального содержания и изучаем ее в изоляции, положение будет с необходимостью казаться чисто относительным — оно не может иметь никакого внутреннего качества, ибо наша форма состоит из чистой внешности, а внешность не содержит ни тени, ни следа внутреннего качества. Отсюда мы выводим наш фундаментальный постулат — относительность положения. Из этого следует однородность нашей формы, ибо любое качество в одном положении, которое выделяло бы это положение среди других, было бы по необходимости более или менее внутренним и противоречило бы чистой относительности. Наконец, свободная подвижность следует из однородности, ибо наша форма не была бы однородной, если бы она не допускала в каждой части формы или системы отношений, которые она допускает в любой другой части. Свободная подвижность, следовательно, является необходимым свойством всякой возможной формы внешности.

157. Суммируя только что завершенную аргументацию, мы можем представить ее, в результате двух предыдущих параграфов, в виде завершенного круга. Исходя из условий пространственного измерения, мы обнаружили, что сравнение, необходимое для измерения, может быть осуществлено только путем наложения. Но мы обнаружили далее, что результат такого сравнения будет однозначным только в том случае, если пространственные величины и формы не изменяются при движении в пространстве, иными словами, если формы не зависят от абсолютного положения в пространстве. Но эта аксиома может быть истинной только в том случае, если пространство однородно, а положение лишь относительно. Наоборот, если предположить, что положение лишь относительно, то изменение величины при движении — поскольку оно предполагает утверждение абсолютного положения — невозможно, и наш критерий пространственного равенства, следовательно, адекватен. Но положение в любой форме внешности должно быть чисто относительным, поскольку внешность не может быть внутренним свойством чего-либо. Наша аксиома, следовательно, является априорной в двойном смысле. Она предполагается во всяком пространственном измерении и является необходимым свойством любой формы внешности. Подобная двойная априорность, как мы увидим, проявляется и в других наших необходимых аксиомах.

II. Аксиома размерностей.

158. Мы видели при обсуждении аксиомы свободной подвижности, что всякое положение относительно, то есть положение существует только в силу отношений. Отсюда следует, что если положения вообще могут быть определены, они должны быть однозначно и исчерпывающе определены некоторым конечным числом таких отношений. Если геометрия возможна, то должно быть так, что после того, как задано достаточное количество отношений для однозначного определения точки, ее отношения к любой новой известной точке могут быть выведены из уже заданных отношений. Следовательно, мы получаем в качестве априорного условия геометрии, логически необходимого для ее существования, аксиому о том, что пространство должно иметь конечное целое число измерений. Ибо каждое отношение, требуемое для определения точки, составляет измерение, а дробная часть отношения бессмысленна. Число требуемых отношений должно быть конечным, поскольку бесконечное число измерений было бы практически невозможно определить. Если мы вспомним нашу аксиому свободной подвижности, а также то, что пространство есть континуум, мы можем сформулировать нашу аксиому для метрической геометрии в виде, данном Гельмгольцем (см. гл. I, § 25): «В пространстве n измерений положение каждой точки однозначно определяется измерением n непрерывных независимых переменных (координат)».

159. Столь многое, следовательно, априорно необходимо для метрической геометрии. Ограничение числа измерений тремя, напротив, представляется целиком делом опыта. Это ограничение не может быть логически необходимым, ибо как только мы сформулировали какую-либо аналитическую систему, оно кажется совершенно произвольным. Почему, вынуждены мы спросить, мы не можем добавить четвертую координату к нашим x, y, z или придать геометрический смысл x4? В этой более частной форме мы склонны рассматривать аксиому размерностей, подобно числу жителей города, как чисто статистический факт, не обладающий большей необходимостью, чем такие факты.

Геометрия дает внутреннее свидетельство истинности моего разделения аксиомы размерностей на априорную и эмпирическую части. Ибо в то время как расширение числа измерений до четырех или до n ничего не меняет в планиметрии и стереометрии, а лишь добавляет новую ветвь, которая никоим образом не мешает старой, во всех геометриях предполагается некоторое определенное число измерений, и невозможно представить себе геометрию, которая была бы свободна от этого допущения.

160. Давайте, поскольку этот момент кажется довольно интересным, повторим наше доказательство априорности этой аксиомы с несколько иной точки зрения. Мы начнем на этот раз с наиболее абстрактного понятия пространства, такого, какое мы находим в диссертации Римана или в протяженностях Эрдмана. Мы имеем здесь упорядоченное многообразие, бесконечно делимое и допускающее свободную подвижность. Свободная подвижность предполагает, как мы видели, способность непрерывно переходить от любой одной точки к любой другой по любому пути, который может показаться нам приятным; она также предполагает, что на таком пути не происходит никаких изменений, кроме изменений простого положения, т. е. положения не отличаются друг от друга каким-либо качественным образом. (Это отсутствие качественного различия является отличительным признаком пространства в противоположность другим многообразиям, таким как системы цветов и тонов: в них каждый элемент имеет определенную качественную сенсорную ценность, тогда как в пространстве сенсорная ценность положения целиком зависит от его пространственного отношения к нашему собственному телу и, таким образом, не является внутренней, а относительной.) Из отсутствия качественных различий между положениями логически следует, что положения существуют только в силу других положений; одно положение отличается от другого просто потому, что их два, а не из-за чего-то внутреннего в каждом из них. Положение, таким образом, определяется просто и исключительно отношением к другим положениям. Любое положение, следовательно, полностью определено тогда и только тогда, когда задано достаточно таких отношений, чтобы позволить нам определить его отношение к любой новой точке, причем эта новая точка определяется тем же числом отношений. Теперь, для того чтобы такое определение было вообще возможно, должно быть достаточно конечного числа отношений. Но каждое такое отношение составляет измерение. Следовательно, если геометрия возможна, априорно необходимо, чтобы пространство имело конечное целое число измерений.

161. Ограничение числа измерений тремя, как мы видели, является эмпирическим; тем не менее, оно не подвержено неточности и неопределенности, которые обычно присущи эмпирическому знанию. Ибо альтернативы, которые логика оставляет чувственному восприятию, дискретны — если измерений не три, то их должно быть два, четыре или какое-то другое число, — так что о малых ошибках не может быть и речи. Отсюда окончательная достоверность аксиомы трех измерений, хотя и отчасти обусловленная опытом, находится в совершенно ином порядке, чем, скажем, закон тяготения. В последнем случае могла бы существовать и оставаться незамеченной небольшая неточность; в первом случае ошибка должна была бы быть настолько значительной, что ее было бы совершенно невозможно не заметить. Отсюда следует, что достоверность всей нашей аксиомы о том, что число измерений равно трем, почти так же велика, как и достоверность априорного элемента, поскольку этот элемент оставляет чувственному восприятию определенную дизъюнкцию дискретных возможностей.

III. Аксиома расстояния.

162. Мы уже видели при обсуждении проективной геометрии, что две точки должны определять уникальную кривую — прямую линию. В метрической геометрии соответствующая аксиома состоит в том, что две точки должны определять уникальную пространственную величину — расстояние. Я намерен доказать в дальнейшем: (1) что если бы расстояние как величина, полностью определяемая двумя точками, не существовало, пространственная величина не была бы измеримой; (2) что расстояние может быть определено двумя точками только в том случае, если в пространстве существует реальная кривая, определяемая этими двумя точками; (3) что существование такой кривой может быть выведено из понятия формы внешности, и (4) что применение количества к такой кривой необходимо приводит к определенной величине, а именно к расстоянию, однозначно определяемому любыми двумя точками, которые определяют эту кривую. Вывод будет состоять в том, если эти положения удастся успешно обосновать, что аксиома расстояния является априорной в том же двойном смысле, что и аксиома свободной подвижности, т. е. она предполагается в возможности измерения и необходимо истинна для любой возможной формы внешности.

163. (1) Возможность пространственного измерения позволяет нам сделать вывод о существовании величины, однозначно определяемой любыми двумя точками. Доказательство этого зависит от аксиомы свободной подвижности или ее эквивалента — однородности пространства. Мы видели, что они вовлечены в возможность пространственного измерения; поэтому мы можем использовать их в любой аргументации относительно условий этой возможности.

Теперь, прежде всего, две точки должны, если геометрия возможна, иметь некоторое отношение друг к другу, ибо мы видели, что такие отношения одни составляют положение или локализацию. Но если две точки имеют отношение друг к другу, это должно быть внутреннее отношение. Ибо из аксиомы свободной подвижности следует, что две точки, образующие фигуру, конгруэнтную данной паре, могут быть построены в любой части пространства. Если бы это было невозможно, мы видели, что метрическая геометрия не могла бы существовать. Но обе фигуры можно рассматривать как состоящие из двух точек и их отношения; следовательно, если две фигуры конгруэнтны, из этого следует, что отношение количественно одинаково для обеих фигур, поскольку конгруэнтность является критерием пространственного равенства. Следовательно, две точки имеют количественное отношение, которое таково, что они могут перемещаться по всему пространству в комбинированном движении, никоим образом не изменяя этого отношения. Но в таком общем движении любое внешнее отношение двух точек, любое отношение, включающее другие точки или фигуры в пространстве, должно быть изменено. Следовательно, отношение между двумя точками, будучи неизменным, должно быть внутренним отношением, отношением, не включающим никакой другой точки или фигуры в пространстве; и это внутреннее отношение мы называем расстоянием.

164. Можно было бы возразить против вышеприведенного аргумента, что он содержит petitio principii. Ибо было принято, что две точки и их отношение образуют фигуру, которой могут быть конгруэнтны другие фигуры. Теперь, если две точки не имеют внутреннего отношения, казалось бы, они не могут образовать такую фигуру. Аргумент, следовательно, по-видимому, предполагает то, что он должен был доказать. Почему, могут спросить, не должны ли требоваться три точки, прежде чем мы получим какое-либо отношение, которое свободная подвижность позволяет нам построить заново в других частях пространства?

Ответ на это, как и на соответствующий вопрос в первом разделе этой главы, заключается, я думаю, в пассивности пространства или взаимной независимости его частей. Ибо из этой независимости следует, что любая фигура или любое собрание точек может обсуждаться без ссылки на другие фигуры или точки. Этот принцип является основой бесконечной делимости, использования количества в геометрии и всей возможности изоляции конкретных фигур для обсуждения. Отсюда следует, что две точки не могут зависеть в своем отношении от каких-либо других точек или фигур, ибо если бы они зависели от них, нам пришлось бы предположить некоторое действие таких точек или фигур на рассматриваемые две точки, что противоречило бы взаимной независимости различных положений. Проиллюстрируем примером: отношение двух данных точек не зависит от других точек прямой линии, на которой лежат данные точки. Ибо только через их отношение, т. е. через прямую линию, которую они определяют, другие точки прямой линии могут быть известны как имеющие какую-либо особую связь с данной парой.

165. Но почему, могут спросить, должно быть только одно такое отношение между двумя точками? Почему не несколько? Ответ на это кроется в том факте, что точки целиком состоят из отношений и не имеют никакой собственной внутренней природы. Точка определяется своими отношениями к другим точкам, и когда отношения, необходимые для определения, уже заданы, никакие новые отношения к точкам, использованным при определении, невозможны, поскольку определенная точка не имеет качеств, из которых могли бы проистекать такие отношения. Теперь одно отношение к любой одной другой точке так же хорошо подходит для определения, как и большее их число, поскольку, сколько бы их у нас ни было, все они оставались бы неизменными при комбинированном движении обеих точек. Следовательно, может быть только одно отношение, определяемое любыми двумя точками.

166. (2) Мы таким образом установили наше первое положение — две точки имеют одно и только одно отношение, однозначно определяемое этими двумя точками. Это отношение мы называем их расстоянием. Остается рассмотреть условия измерения расстояния, т. е. насколько уникальное значение расстояния предполагает кривую, однозначно определяемую двумя точками.

Во-первых, некоторая кривая, соединяющая две точки, вовлечена в вышеупомянутое понятие комбинированного движения двух точек или двух других точек, образующих фигуру, конгруэнтную первым двум. Ибо без некоторой такой кривой две пары точек не могут быть признаны конгруэнтными, и у нас не может быть никакого критерия, с помощью которого можно было бы обнаружить, когда пара точек движется как единая фигура. Расстояние, следовательно, должно измеряться некоторой линией, которая соединяет две точки. Но должна ли это быть линия, которую две точки полностью определяют?

167. Мы привыкли к определению прямой линии как кратчайшего расстояния между двумя точками, что подразумевает, что расстояние могло бы с равным успехом измеряться кривыми линиями. Это следствие, я считаю, ложно по следующим причинам. Когда мы говорим о длине кривой, мы можем придать смысл нашим словам, только предполагая кривую разделенной на бесконечно малые прямолинейные дуги, сумма которых дает длину эквивалентной прямой линии; таким образом, если мы не предполагаем заранее прямую линию, у нас нет способа сравнить длины различных кривых, и поэтому мы никогда не сможем обнаружить применимость нашего определения. Можно было бы подумать, возможно, что какая-то другая линия, скажем круг, могла бы быть использована в качестве основы измерения. Но чтобы оценить таким образом длину любой кривой, отличной от круга, нам пришлось бы разделить кривую на бесконечно малые дуги окружности. Теперь две последовательные точки не определяют круг, так что дуга из двух точек имела бы неопределенную длину. Это правда, что если мы исключим бесконечно малые радиусы для измерительных кругов, длины бесконечно малых дуг были бы определенными, даже если бы круги варьировались, но это только потому, что все малые дуги окружности, проходящие через две последовательные точки, совпадают с прямой линией, проходящей через эти две точки. Таким образом, даже с помощью произвольного ограничения конечным радиусом все, что происходит, — это то, что мы возвращаемся к прямой линии. Если, чтобы поправить дело, мы возьмем три последовательные точки нашей кривой и будем исчислять расстояние по дуге круга кривизны, понятие расстояния теряет свое фундаментальное свойство быть отношением между двумя точками. Ибо две последовательные точки дуги тогда не могли бы иметь никакого соответствующего расстояния между ними — потребовались бы три точки, прежде чем понятие расстояния стало бы применимым. Таким образом, круг не является возможной основой для измерения, и подобные возражения, конечно, с большей силой применимы к любой другой кривой. Вся эта аргументация призвана показать в деталях логическую невозможность измерения расстояния любой кривой, не полностью определенной двумя точками, расстояние между которыми требуется найти. Если бы в вышесказанном мы приняли расстояние как измеряемое кругами заданного радиуса, мы ввели бы в его определение отношение к другим точкам, помимо тех двух, расстояние между которыми должно быть измерено, что, как мы видели, является логической ошибкой. Более того, откуда нам знать, что все круги имеют равные радиусы, пока у нас нет независимой меры расстояния?