«История научных идей»

Вопрос, исследуемый таким образом, — это тот, с которым Кант взялся иметь дело в своем знаменитом труде «Критика чистого разума» (Kritik der reinen Vernunft): и наше решение проблемы, насколько это касается идей пространства и времени, в основном согласуется с его решением. Аргументы, содержащиеся в главах II и VII этой книги, являются ведущими аргументами относительно пространства и времени в «Критике» Канта. Кант, однако, вместо того чтобы называть пространство и время идеями, называет их необходимыми формами нашего опыта, как я указал в тексте.

Но хотя я принял аргументы Канта относительно пространства и времени, все, что следует в последующих книгах в отношении других идей, не имеет сходства с какими-либо доктринами Канта или его школы (за исключением, возможно, некоторых взглядов на идею причины). Природа и характер других научных идей, которые я исследовал в последующих книгах, были установлены путем анализа истории различных наук, для которых эти идеи существенны, и исследования трудов основных первооткрывателей в этих науках.]

ГЛАВА I. О чистых науках.

1. Все внешние объекты и события, которые мы можем созерцать, рассматриваются как имеющие отношения пространства, времени и числа; и они подчинены общим условиям, которые налагают эти идеи, а также частным законам, которые принадлежат каждому классу объектов и происшествий. Специальные законы природы, рассматриваемые под различными аспектами, которые составляют различные науки, получаются путем смешанного обращения к опыту и к фундаментальным идеям каждой науки. Но помимо наук, сформированных таким образом с помощью специального опыта, условия, которые вытекают из тех более всеобъемлющих идей, упомянутых первыми, — пространства, времени и числа — составляют совокупность науки, применимую к объектам и изменениям всех видов и выведенную без необходимости прибегать к какому-либо наблюдению в частности. Эти науки, таким образом развернутые из одних лишь идей, не смешанные с какой-либо отсылкой к явлениям материи, называются поэтому чистыми науками. Основными науками этого класса являются геометрия, теоретическая арифметика и алгебра, рассматриваемая в ее самом общем смысле как исследование отношений пространства и числа посредством общих символов.

2. Эти чистые науки не были включены в наш обзор истории наук, потому что они не являются индуктивными науками. Их прогресс состоял не в сборе законов из явлений, истинных теорий из наблюдаемых фактов и более общих законов из более ограниченных, а в прослеживании следствий самих идей и в обнаружении наиболее общих и глубоких аналогий и связей, которые преобладают среди таких концепций, которые выводимы из этих идей. Эти науки не имеют принципов, кроме определений и аксиом, и никакого процесса доказательства, кроме дедукции; этот процесс, однако, принимает здесь весьма примечательный характер и демонстрирует комбинацию простоты и сложности, строгости и всеобщности, совершенно не имеющую аналогов в других предметах.

3. Всеобщность истин и строгость доказательств этих чистых наук привлекали внимание в самые ранние времена; и было замечено, что они предлагают упражнение и дисциплину интеллектуальных способностей в форме, особенно свободной от примеси посторонних элементов. Они усердно культивировались греками как с целью такой дисциплины, так и из любви к умозрительной истине, которая преобладала среди этого народа: и название «математика», которым они обозначаются, указывает на этот их характер дисциплинарных исследований.

4. Как уже было сказано, идеи, которые включают эти науки, распространяются на все объекты и изменения, которые мы наблюдаем во внешнем мире; и поэтому рассмотрение математических отношений составляет большую часть многих наук, которые рассматривают явления и законы внешней природы, таких как астрономия, оптика и механика. Такие науки поэтому часто называются смешанной математикой, так как отношения пространства и числа в этих отраслях знания комбинируются с принципами, собранными из специальных наблюдений; в то время как геометрия, алгебра и подобные предметы, которые не включают никакого результата опыта, называются чистой математикой.

5. Пространство, время и число могут быть осмыслены как формы, которыми формуется знание, полученное из наших ощущений, и которые независимы от различий в материи нашего знания, возникающих из самих ощущений. Отсюда науки, которые имеют эти идеи своим предметом, могут называться формальными науками. С этой точки зрения они отличаются от наук, в которых, помимо этих чисто формальных законов, посредством которых исправляются явления, мы стремимся применить к явлениям идею причины или некоторые другие идеи, которые проникают глубже в принципы природы. Мы таким образом в «Истории» разделили формальную астрономию и формальную оптику от физической астрономии и физической оптики.

Мы теперь переходим к нашему исследованию идей, которые составляют фундамент этих формальных или чисто математических наук, начиная с идеи пространства.

ГЛАВА II. Об идее пространства.

1. Говоря о пространстве как об идее, я намерен подразумевать, как уже было сказано, что постижение объектов как существующих в пространстве и отношений положения и т. д., преобладающих среди них, не является следствием опыта, а результатом особого устройства и активности ума, который независим от всякого опыта в своем происхождении, хотя постоянно сочетается с опытом в своем упражнении.

То, что идея пространства таким образом независима от опыта, уже было указано при разговоре об идеях в целом: но может быть полезно проиллюстрировать эту доктрину далее в этом частном случае.

Я утверждаю, следовательно, что пространство не является понятием, полученным из опыта. Опыт дает нам информацию относительно вещей вне нас: но наше постижение их как вне нас принимает как должное их существование в пространстве. Опыт знакомит нас с тем, каковы форма, положение, величина конкретных объектов: но то, что они имеют форму, положение, величину, предполагает, что они находятся в пространстве. Мы не можем вывести из явлений путем наблюдения привычку представлять вещи себе как находящиеся в пространстве; ибо никакой единичный акт наблюдения невозможен иначе, как начиная с такого представления и осмысления объектов как уже существующих в пространстве.

2. То, что наш способ представления пространства себе не происходит из опыта, ясно также из того, что через этот способ представления мы приходим к положениям, которые являются строго всеобщими и необходимыми. Положения такого рода не могли бы быть получены из опыта; ибо опыт может учить нас только ограниченным числом примеров и, следовательно, никогда не может надежно установить всеобщее положение: и, опять же, опыт может только информировать нас о том, что что-то есть так, и никогда не может доказать, что оно должно быть так. То, что две стороны треугольника больше третьей, есть всеобщая и необходимая геометрическая истина: она верна для всех треугольников; она верна таким образом, что противоположное не может быть мыслимо. Опыт не мог бы доказать такое положение. И опыт не доказал его; ибо, возможно, никто никогда не делал проверку как средство устранения сомнений: и никакая проверка не могла бы, по сути, добавить в малейшей степени к достоверности этой истины. Искать доказательство геометрических положений путем обращения к наблюдению не доказывает ничего в действительности, кроме того, что человек, который прибегает к таким основаниям, не имеет должного постижения природы геометрического доказательства. Мы слышали о людях, которые убедили себя путем измерения, что геометрическое правило относительно квадратов на сторонах прямоугольного треугольника верно: но это были люди, чьи умы были поглощены практическими привычками и в которых умозрительное развитие идеи пространства было подавлено другими занятиями. Практическая проверка правила может проиллюстрировать, но не может доказать его. Правило, конечно, будет подтверждено такой проверкой, потому что то, что верно в общем, верно и в частном: но правило не может быть доказано из любого количества проверок, ибо никакое накопление частных случаев не составляет всеобщий случай. Для всех людей, которые могут видеть силу любого доказательства, вышеупомянутое геометрическое правило столь же очевидно, и его очевидность столь же независима от опыта, как утверждение, что шестнадцать и девять составляют двадцать пять. В то же время истинность геометрического правила совершенно независима от числовых истин и проистекает из одних лишь отношений пространства. Это не могло бы быть так, если бы наше постижение отношений пространства было плодом опыта: ибо опыт не имеет элемента, из которого такая истина и такое доказательство могли бы возникнуть.

3. Таким образом, существование необходимых истин, таких как истины геометрии, доказывает, что идея пространства, из которой они проистекают, не происходит из опыта. Такие истины немыслимы в предположении, что они собраны из наблюдения; ибо впечатления чувств не включают никакого свидетельства необходимости. Но мы можем легко понять необходимый характер таких истин, если мы предположим, что существуют определенные необходимые условия, при которых только ум получает впечатления чувств. Поскольку эти условия заключены в устройстве ума и применяются к каждому восприятию объекта, которого ум может достичь, мы легко видим, что их правила должны включать не только все, что было, но и все, что может быть предметом опыта. Наши ощущения каждое по отдельности не могут передать никакой информации, кроме как о себе самих; каждое не может содержать следа другого дополнительного ощущения; и таким образом никакое отношение и связь между двумя ощущениями не могут быть даны самими ощущениями. Но способ, которым ум воспринимает эти впечатления как объекты, может и будет вводить необходимые отношения между ними: и таким образом, осмысливая идею пространства как условие восприятия в уме, мы можем осмыслить существование необходимых истин, которые применяются ко всем воспринимаемым объектам.

4. Если мы рассматриваем впечатления чувств как простые материалы нашего опыта, такие материалы могут быть накоплены в любом количестве и в любом порядке. Но если мы предположим, что эта материя имеет определенную форму, данную ей в акте принятия умом, мы можем понять, как это происходит, что эти материалы подчинены неизбежным правилам; — как ничто не может быть воспринято вне отношений, которые принадлежат такой форме. И поскольку существуют такие истины, применимые к нашему опыту и возникающие из природы пространства, мы можем таким образом рассматривать пространство как форму, которую материалы, данные опытом, необходимо принимают в уме; как расположение, происходящее от воспринимающего ума, а не от одних лишь ощущений.

5. Таким образом, эта фраза — что пространство есть форма, принадлежащая нашей воспринимающей способности — может быть использована для выражения того, что мы не можем воспринимать объекты как находящиеся в пространстве без операции ума, так же как и чувств — без активных, так же как и пассивных способностей. Эта фраза, однако, не является необходимой для изложения наших доктрин. Называем ли мы концепцию пространства условием восприятия, формой восприятия, или идеей, или любым другим термином, это нечто изначально присущее воспринимающему уму, а не воспринимаемым объектам. И именно потому, что постижение всех объектов таким образом подчинено определенным ментальным условиям, формам или идеям, наше знание включает определенные незыблемые отношения и необходимые истины. Принципы таких истин, насколько они касаются пространства, происходят из идеи пространства, и мы должны постараться представить такие принципы в их общей форме. Но прежде чем мы это сделаем, мы можем заметить некоторые из условий, которые принадлежат не нашим идеям в целом, а этой идее пространства в частности.

ГЛАВА III. О некоторых особенностях идеи пространства.

1. Некоторые из идей, которые мы должны будем исследовать, включают концепции определенных отношений объектов, как идея причины и сходства; и могут казаться подсказанными опытом, позволяя нам абстрагировать это общее отношение из частных случаев. Но будет видно, что пространство не является такой общей концепцией отношения. Ибо мы не говорим о пространствах, как мы говорим о причинах и сходствах, но о пространстве. И когда мы говорим о пространствах, мы понимаем под этим выражением части одного и того же идентичного везде распространенного пространства. Мы мыслим всеобщее пространство; которое не составлено из этих частичных пространств как своих составных частей, ибо оно осталось бы, если бы они были убраны; и их нельзя мыслить, не предполагая абсолютное пространство. Абсолютное пространство существенно едино; и сложность, которая существует в нем, и концепция различных пространств зависят лишь от границ. Пространство должно, следовательно, быть, как мы сказали, не общей концепцией, абстрагированной из частностей, а всеобщим способом представления, совершенно независимым от опыта.

2. Пространство бесконечно. Мы представляем его себе как бесконечно большую величину. Такая идея, как идея сходства или причины, без сомнения, найдена в бесконечном числе частных случаев и в этой мере включает эти случаи. Но эти идеи не включают бесконечное число случаев как части бесконечного целого. Когда мы говорим, что все тела и частичные пространства существуют в бесконечном пространстве, мы используем выражение, которое не применяется в том же смысле ни к каким случаям, кроме случаев пространства и времени.

3. То, что здесь сказано, может показаться отрицанием реального существования пространства. Следует заметить, однако, что мы не отрицаем, а отчетливо утверждаем существование пространства как реального и необходимого условия всех воспринимаемых объектов; и что мы не только допускаем, что объекты видятся внешними по отношению к нам, но мы основываем на факте того, что они так видятся, наш взгляд на природу пространства. Если, однако, будет сказано, что мы отрицаем реальность пространства как объекта или вещи, это правда. И не кажется легким поддерживать, что пространство существует как вещь, когда рассматривается, что эта вещь бесконечна во всех своих измерениях; и, более того, что это вещь, которая, будучи ничем сама по себе, существует только для того, чтобы другие вещи могли существовать в ней. И те, кто поддерживает реальное существование пространства, должны также поддерживать реальное существование времени в том же смысле. Теперь две бесконечные вещи, таким образом реально существующие и все же существующие только как другие вещи существуют в них, — это понятия столь экстравагантные, что мы вынуждены прибегнуть к какому-то другому способу объяснения состояния дела.

4. Таким образом, пространство — это не объект, свойства которого мы воспринимаем, а форма нашего восприятия; не вещь, которая воздействует на наши чувства, а идея, которой мы подчиняем впечатления чувств. И его особенности, по-видимому, зависят от того, что это не только форма ощущения, но и интуиции; что в отношении пространства мы не только воспринимаем, но созерцаем объекты. Мы видим объекты в пространстве, бок о бок, внешними друг по отношению к другу; пространство и объекты, поскольку они занимают пространство, имеют части, внешние по отношению к другим частям; и имеют целое, таким образом составленное из соположения частей. Этот способ постижения принадлежит только идеям пространства и времени. Пространство и время составлены из частей, но причина и сходство не постигаются как составленные из частей. И термин «интуиция» (в его строгом смысле) применим только к тому способу созерцания, в котором мы таким образом смотрим на объекты как на составленные из частей и постигаем отношения этих частей в то же самое время и тем же самым актом, которым мы постигаем сами объекты.

5. Как мы сказали, пространство, ограниченное границами, дает начало различным концепциям, которые мы часто должны рассматривать. Будучи ограниченным, пространство принимает форму или фигуру; и разнообразие концепций, таким образом привлеченных к нашему вниманию, бесконечно. Мы имеем каждую возможную форму линии, прямой линии и кривой; и кривых бесконечное число — круги, параболы, гиперболы, спирали, геликоиды. Мы имеем плоские поверхности различных форм — параллелограммы, многоугольники, эллипсы; и мы имеем твердые фигуры — кубы, конусы, цилиндры, сферы, сфероиды и так далее. Все они имеют свои различные свойства, зависящие от отношений их границ; и исследование их свойств составляет дело науки геометрии.

6. Пространство имеет три измерения, или направления, в которых оно может быть измерено; оно не может иметь больше или меньше. Самое простое измерение — это измерение прямой линии, которая имеет только длину. Поверхность имеет как длину, так и ширину: и твердое пространство имеет длину, ширину и толщину или глубину. Происхождение такого различия измерений будет видно, если мы поразмыслим, что каждая часть пространства имеет границу и распространена как в направлении, в котором распространяется ее граница, так и в направлении от ее границы; ибо иначе она не была бы границей. Точка не имеет измерений. Линия имеет только одно измерение — расстояние от ее границы, или ее длину. Плоскость, ограниченная прямой линией, имеет измерение, которое принадлежит этой линии, а также имеет другое измерение, возникающее из расстояния ее частей от этой граничной линии; и это может быть названо шириной. Твердое тело, ограниченное плоскостью, имеет измерения, которые имеет эта плоскость; и имеет также третье измерение, которое мы можем назвать высотой или глубиной, если мы рассматриваем твердое тело распространенным выше или ниже плоскости; или толщиной, если мы опускаем всякое рассмотрение верха и низа. И никакое пространство не может иметь никаких измерений, которые не сводимы к этим трем.

Мы можем теперь перейти к рассмотрению способа, которым идея пространства используется в формировании геометрии.

ГЛАВА IV. Об определениях и аксиомах, которые относятся к пространству.

1. Отношения пространства постигались с особой отчетливостью и ясностью с самого первого развертывания умозрительных способностей человека. Это было следствием обстоятельства, которое мы только что заметили, что самые простые из этих отношений и те, от которых зависят другие, видятся интуицией. Следовательно, как только люди были приведены к умозрению относительно отношений пространства, они приняли верные принципы и получили истинные результаты. Говорят, что наука геометрия имела свое происхождение в Египте, до рассвета греческой философии: но знание ранних египтян (исключая их мифологию) по-видимому было чисто практическим; и, вероятно, их геометрия состояла только в некоторых максимах землемерия, что и означает этот термин. Греки времен Платона, однако, не только овладели многими из наиболее примечательных элементарных теорем науки; но и в нескольких случаях достигли границы науки в ее элементарной форме; как когда они предложили себе задачи удвоения куба и квадратуры круга.

Но дедукция этих теорем посредством систематического процесса и первичное изложение самых простых принципов, включенных в идею пространства, которые такая дедукция требует, не имели места, насколько нам известно, до периода несколько более позднего. «Начала геометрии» Евклида, в которых эта задача была выполнена, по сей день являются стандартным трудом по предмету: автор этого труда преподавал математику с большим успехом в Александрии, в царствование Птолемея Лага, около 280 лет до Рождества Христова. Принципы, которые Евклид делает основой своей системы, были очень мало упрощены с его времени; и все эссе и споры, которые касаются этих принципов, имели отсылку к форме, в которой они изложены им.

2. Определения. — Первые принципы геометрии Евклида являются, как должны быть первые принципы любой системы геометрии, определениями и аксиомами относительно различных идеальных концепций, которые он вводит; как прямые линии, параллельные линии, углы, круги и тому подобное. Но следует заметить, что эти определения и аксиомы очень далеки от того, чтобы быть произвольными гипотезами и предположениями. Они имеют свое происхождение в идее пространства и являются лишь способами демонстрации этой идеи таким образом, чтобы сделать ее дающей основания для дедуктивного рассуждения. Аксиомы являются необходимыми следствиями концепций, относительно которых они утверждаются; и определения являются не менее необходимыми ограничениями концепций; не требуемыми для того, чтобы прийти к тому или иному следствию; но необходимыми для того, чтобы было возможно сделать какие-либо следствия и установить какие-либо общие истины.

Например, если мы положим конец одного прямого посоха на середину другого прямого посоха и будем перемещать первый посох в различные положения, мы тем самым изменим углы, которые первый посох образует с другим в правую сторону и в левую. Но если мы поместим посох в то специальное положение, в котором эти два угла равны, каждый из них есть прямой угол, согласно Евклиду; и это есть определение прямого угла, за исключением того, что Евклид использует абстрактную концепцию прямых линий, вместо того чтобы говорить, как мы сделали, о посохах. Но этот выбор случая, в котором два угла равны, не является простым актом каприза; как это могло бы быть, если бы он выбрал случай, в котором эти углы неравны в любой пропорции. Ибо следствия, которые могут быть сделаны относительно случаев неравных углов, не ведут к общим истинам без некоторой отсылки к тому особому случаю, в котором углы равны: и таким образом становится необходимым выделить и определить этот специальный случай, отмечая его специальной фразой. И это определение не только дает полное и отчетливое знание того, что такое прямой угол, любому, кто может сформировать концепцию угла в целом; но также поставляет принцип, из которого все свойства прямых углов могут быть дедуцированы.

3. Аксиомы. — Относительно других концепций также, как круги, квадраты и тому подобное, возможно установить определения, которые являются достаточной основой для нашего рассуждения, насколько такие фигуры затронуты. Но, помимо этих определений, было найдено необходимым ввести определенные аксиомы среди фундаментальных принципов геометрии. Они самого простого характера; например, что две прямые линии не могут пересекать друг друга более чем в одной точке, и аксиома относительно параллельных линий. Подобно определениям, эти аксиомы проистекают из идеи пространства и представляют эту идею под различными аспектами. Они отличаются от определений; и определения не могут быть сделаны занимающими место аксиом в рассуждении, посредством которого устанавливаются элементарные геометрические свойства. Например, определение параллельных прямых линий состоит в том, что они таковы, что, как бы далеко они ни были продолжены, они никогда не могут встретиться: но, чтобы рассуждать относительно таких линий, мы должны далее принять некоторую аксиому относительно них: например, мы можем очень удобно принять эту аксиому; что две прямые линии, которые пересекают одна другую, не являются обе параллельными третьей прямой линии. Определение и аксиома видятся неразрывно связанными нашей интуицией свойств пространства; но аксиома не может быть доказана из определения никаким строгим дедуктивным доказательством. И если бы мы взяли любое другое определение двух параллельных прямых линий (как то, что они обе перпендикулярны третьей прямой линии), мы все равно, в тот или иной момент нашего прогресса, столкнулись бы с той же трудностью доказательного установления их свойств без некоторого дальнейшего предположения.

1 This axiom is simpler and more convenient than that of Euclid. It is employed by the late Professor Playfair in his Geometry.

4. Таким образом, элементарные свойства фигур, которые являются основой нашей геометрии, являются необходимыми результатами нашей идеи пространства; и связаны друг с другом природой этой идеи, а не просто нашими гипотезами и конструкциями. Определения и аксиомы должны быть объединены, чтобы выразить эту идею, насколько того требуют цели дедуктивного рассуждения. Эти словесные провозглашения результатов идеи не могут быть сделаны зависящими друг от друга по логическому следствию; но имеют взаимную зависимость более интимного рода, которую слова не могут полностью передать. Невозможно разрешить эти истины в определенные гипотезы, из которых все остальное будет необходимым логическим следствием. Необходимость не гипотетическая, а интуитивная. Аксиомы требуют не того, чтобы их даровали, а того, чтобы их видели. Если бы кто-либо согласился с ними, не видя их истинности, его согласие было бы бесполезным для целей рассуждения: ибо он был бы также неспособен видеть, в каких случаях они могут быть применены. Ясное обладание идеей пространства является первым требованием для всякого геометрического рассуждения; и эта ясность идеи может быть проверена путем исследования того, предлагают ли себя аксиомы уму как очевидные.

5. Необходимость идей, добавляемых к ощущениям для получения знания, в современную эпоху часто упускалась из виду или отрицалась. Поскольку основа необходимых истин, которую предоставляют идеи, была таким образом утрачена, возникло представление, что основа необходимости все еще сохраняется в определениях; что мы можем обладать необходимыми истинами, утверждая в особенности то, что определение неявно содержит в себе в общем виде. Также считалось, что это справедливо для геометрии: что все свойства круга, например, неявно содержатся в определении круга. То, что это само по себе не является основанием необходимости истин, касающихся круга, — что мы не могли бы таким образом развернуть определение в суждения, не обладая интуицией отношений, к которым ведет определение, — уже было показано. Но недостаточность вышеприведенного объяснения оснований необходимой геометрической истины проявилась и в другом отношении. Оказалось невозможным составить систему определений, из которых одних можно было бы вывести всю геометрическую истину. Выяснилось, что аксиомы не могут быть вытеснены. Нельзя было дать такое определение прямой линии, которое сделало бы аксиому о прямых линиях излишней. И таким образом стало ясно, что источником геометрических истин является не только определение; и в этом результате мы находим подтверждение доктрины, которую мы здесь отстаиваем, а именно: этот источник истины следует искать в форме или условиях нашего восприятия; в идее, которую мы неизбежно соединяем с чувственными впечатлениями; в активности, а не в пассивности разума.

2 I formerly stated views similar to these in some ‘Remarks’ appended to a work which I termed The Mechanical Euclid, published in 1837. These Remarks, so far as they bear upon the question here discussed, were noticed and controverted in No. 135 of the Edinburgh Review. As an examination of the reviewer’s objections may serve further to illustrate the subject, I shall annex to this chapter an answer to the article to which I have referred.

6. Это станет еще более очевидным, когда мы перейдем к рассмотрению того, каким образом мы осуществляем наблюдение за пространственными отношениями. Но прежде всего мы можем сделать замечание, которое способствует выявлению связи между нашим представлением о прямой линии и аксиомой, положенной в основу наших рассуждений о пространстве. Аксиома такова: две прямые линии, соединенные обоими концами, не могут иметь промежуточные части, расходящиеся таким образом, чтобы заключать в себе пространство. Необходимость этой аксиомы того же рода, что и необходимость определения прямого угла, о котором мы уже говорили. Ибо подобно тому, как линия, стоящая на другой, образует прямые углы, когда она делает углы по обе стороны от себя равными, так и линия является прямой линией, когда она делает две части пространства по обе стороны от себя подобными. И так как существует только одно положение первой упомянутой линии, которое может сделать углы равными, так существует только одна форма линии, которая может сделать пространства вблизи линии подобными с одной и с другой стороны: и поэтому не может быть двух прямых линий, подобных тем, что описывает аксиома, которые между одними и теми же пределами давали бы две разные границы для таким образом разделенного пространства. И таким образом мы видим основание для этой аксиомы. Возможно, этот взгляд можно прояснить еще больше, если взять лист бумаги, сложить его и загладить сгиб. Таким образом, мы получим прямую линию на сгибе; и эта линия делит поверхность бумаги, в том виде, как она была первоначально расправлена, на два подобных пространства. А то, что эти пространства подобны в той мере, в какой это касается сгиба, разделяющего их, видно из того, что эти две части совпадают, когда бумага сложена. И таким образом сгиб на листе бумаги одновременно иллюстрирует определение прямой линии согласно вышеприведенному взгляду и подтверждает аксиому о том, что две такие линии не могут заключать в себе пространство.

Если бы разделение двух частей пространства было произведено не прямой, а какой-либо другой линией; если бы, например, бумага была разрезана вогнутой линией, то при перевертывании одной из частей легко увидеть, что край одной части был бы вогнут в одну сторону, а край другой части — в другую, и эти две линии заключили бы в себе пространство. И каждая из них разделила бы все пространство на две части, которые не были бы подобными; ибо одна часть имела бы вогнутый край, а другая — выпуклый. Между любыми двумя точками можно провести бесчисленное множество линий, некоторые выпуклые в одну сторону, некоторые — в другую; но прямая линия — это линия, которая не является выпуклой ни в ту, ни в другую сторону; это единственная средняя мера, от которой другие могут отклоняться в противоположных направлениях.

Подобные соображения достаточно показывают, что единственность прямой линии, соединяющей любые две точки, является результатом наших фундаментальных представлений о пространстве. И все же вышеупомянутые представления о подобной форме двух частей пространства по обе стороны линии и о форме линии, которая является промежуточной среди всех других форм, носят столь неопределенный характер, что их нельзя должным образом положить в основу нашей элементарной геометрии; и их гораздо удобнее заменить, как это было сделано почти во всех трактатах по геометрии, аксиомой о том, что две прямые линии не могут заключать в себе пространство.

7. Но мы можем заметить, что в предшествующем изложении мы рассматривали пространство только в одном из его аспектов: как плоскость. Лист бумаги, который мы взяли для иллюстрации природы прямой линии, предполагался идеально плоским или ровным: ибо в противном случае, складывая его, мы могли бы получить линию, не являющуюся прямой. Теперь это допущение плоскости, по-видимому, принимает как нечто само собой разумеющееся то самое представление о прямой линии, которое лист бумаги должен был иллюстрировать; ибо определение плоскости, данное в «Началах» геометрии, гласит, что это поверхность, на которой лежат все прямые линии, проведенные из одной точки поверхности в другую. И таким образом, приведенное выше объяснение природы прямой линии — что она делит плоское пространство на подобные части с каждой стороны — представляется несовершенным или бесполезным.

На это мы ответим, что объяснение должно быть сделано полным и обоснованным путем выведения понятия плоскости из соображений того же рода, что и те, которые мы использовали для прямой линии. Любая часть твердого пространства может быть разделена на две части поверхностями, проходящими через любую заданную линию или границы. И эти поверхности могут быть выпуклыми либо с одной, либо с другой стороны, и они допускают бесчисленные изменения от выпуклости с одной стороны до выпуклости с другой в любой степени. До тех пор, пока поверхность выпукла в любую сторону, две части пространства, которые она разделяет, не являются подобными, так как одна имеет выпуклую, а другая — вогнутую границу. Но существует определенное промежуточное положение поверхности, в котором две части пространства, разделяемые ею, имеют границы, в точности подобные друг другу. В этом положении поверхность не является ни выпуклой, ни вогнутой, а плоской. И таким образом, плоская поверхность определяется этим условием — тем, что она является единственной поверхностью, представляющей собой промежуточную форму среди всех выпуклых и вогнутых поверхностей, которыми можно разделить твердое пространство, — и тем, что она разделяет такое пространство на две части, границы которых, хотя они и представляют собой одну и ту же поверхность в двух противоположных положениях, в точности подобны.

Таким образом, плоскость является простейшей и наиболее симметричной границей, которой может быть разделено твердое тело; а прямая линия — простейшей и наиболее симметричной границей, которой может быть разделена плоскость. Эти представления получаются путем рассмотрения границ бесконечного пространства, способного к воображаемому делению в любом направлении. И подобно тому, как ограниченное пространство может быть разделено на две части плоскостью, а плоскость, в свою очередь, разделена на две части прямой линией, так и линия делится на две части точкой, которая является общей границей двух частей; конец одной и начало другой части сами по себе не имеют ни величины, ни формы, ни частей.

8. Геометрические свойства плоскостей и тел выводимы из первых принципов «Начал» без каких-либо новых аксиом; определение плоскости, процитированное выше, — что все прямые линии, соединяющие ее точки, лежат в плоскости, — является достаточным основанием для всех рассуждений по этим предметам. И таким образом, взгляды, которые мы представили на природу пространства, будучи словесно выраженными посредством определенных определений и аксиом, становятся фундаментом длинного ряда дедуктивных рассуждений, посредством которых устанавливается весьма обширная и любопытная совокупность истин, а именно вся наука элементарной планиметрии и стереометрии.

Эта наука имеет незаменимое применение и постоянную значимость для каждого исследователя законов природы; ибо отношения пространства и числа — это алфавит, на котором написаны эти законы. Но помимо интереса и важности такого рода, которыми обладает геометрия, она имеет огромное и особое значение для всех, кто желает понять основы человеческого знания и методы, с помощью которых оно приобретается. Ибо изучающий геометрию обретает, с той степенью проницательности и ясности, которую нематематический читатель может лишь слабо вообразить, убеждение в том, что существуют необходимые истины, многие из которых носят весьма сложный и поразительный характер; и что несколько самых простых и самоочевидных истин, которые только может постичь человеческий разум, могут путем систематической дедукции привести к самым отдаленным и неожиданным результатам.

При проведении таких философских исследований, как то, которым мы сейчас заняты, для исследователя весьма полезно в некоторой степени изучить геометрию; поскольку благодаря этому изучению он может в полной мере осознать такие особенности человеческого знания, как те, что мы упомянули. С помощью урока, извлеченного таким образом из созерцания геометрических истин, мы пытались обосновать дальнейшие положения: что эти истины суть лишь различные аспекты одной и той же фундаментальной идеи и что основания необходимости, которой обладают эти истины, коренятся в идее, из которой они проистекают, причем эта идея является не производным результатом опыта, а его первичным правилом. Когда читатель получит ясное и удовлетворительное представление об этих доктринах, насколько они применимы к нашему знанию о пространстве, он, как мы можем надеяться, преодолеет основную трудность, которая возникнет при следовании курсу представленных ему размышлений. Тогда он будет готов идти вперед вместе с нами; увидеть, насколько широка область, к которой применимы эти же доктрины, и сколь богатый и разнообразный урожай знания произрастает из этих, казалось бы, скудных принципов.

Но прежде чем мы оставим предмет, находящийся сейчас на нашем рассмотрении, мы постараемся ответить на некоторые возражения, которые были сделаны против представленных здесь взглядов, и попытаемся дополнительно проиллюстрировать активные силы, которые мы приписали разуму.

ГЛАВА V. О некоторых возражениях, которые были сделаны против доктрин, изложенных в предыдущей главе.

3 In order to render the present chapter more intelligible, it may be proper to state briefly the arguments which gave occasion to the review. After noticing Stewart’s assertions, that the certainty of mathematical reasoning arises from its depending upon definitions, and that mathematical truth is hypothetical; I urged,—that no one has yet been able to construct a system of mathematical truths by the aid of definitions alone; that a definition would not be admissible or applicable except it agreed with a distinct conception in the mind; that the definitions which we employ in mathematics are not arbitrary or hypothetical, but necessary definitions; that if Stewart had taken as his examples of axioms the peculiar geometrical axioms, his assertions would have been obviously erroneous; and that the real foundation of the truths of mathematics is the Idea of Space, which may be expressed (for purposes of demonstration) partly by definitions and partly by axioms.

В «Эдинбургском обозрении» (№ cxxxv) содержится критика работы под названием «Механический Евклид», в которой были высказаны мнения, почти совпадающие с некоторыми из тех, что были изложены в последней главе и будут изложены далее в главе XI. Хотя я полагаю, что нет таких аргументов, использованных рецензентом, ответы на которые не пришли бы сами собой в голову любому, кто внимательно прочитал то, что было сказано в предыдущих главах (за исключением, возможно, одного или двух замечаний, касающихся механических идей), может послужить прояснению предмета, если я отвечу на возражения прямо, принимая их в том виде, в каком их изложил рецензент.

I. Я не согласился с утверждением Стюарта о том, что математическая истина гипотетична или зависит от произвольных определений; поскольку под гипотезой мы понимаем предположение, которое мы можем не только сделать, но и воздержаться от него или заменить другим предположением; тогда как определения и гипотезы геометрии необходимо являются такими, какие они есть, и не могут быть изменены или исключены. Рецензент (стр. 84) сообщает нам, что он понимает Стюарта, когда тот говорит о гипотезах и определениях как об основании геометрии, как о гипотезе, что реальные объекты соответствуют нашим геометрическим определениям. «Если кристалл является точным гексаэдром, то геометрические свойства гексаэдра могут быть приписаны этому кристаллу». На это я отвечаю, что такие гипотезы, как эта, являются основаниями нашего применения геометрических истин к реальным объектам, но их никак нельзя назвать основанием самих истин; что я не думаю, что смысл, который придает рецензент, был смыслом Стюарта; но что если это было так, то этот взгляд на использование математики вовсе не затрагивает вопрос, который и он, и я предложили обсудить, а именно — основание математической достоверности. Я могу добавить, что является ли кристалл точным гексаэдром — это вопрос наблюдения и измерения, а не определения. Я думаю, читателю нетрудно увидеть, насколько мало моя доктрина затрагивается связью, на которой так настаивает рецензент. Я утверждал, что суждение, утверждающее, что квадрат на диагонали прямоугольника равен сумме квадратов на двух сторонах, не опирается на произвольные гипотезы; оппонент отвечает, что суждение о том, что квадрат на диагонали этой страницы равен сумме квадратов на сторонах, зависит от произвольной гипотезы, что страница является прямоугольником. Даже если бы этот факт был делом произвольной гипотезы, какое отношение он мог бы иметь к общему геометрическому суждению? Как мог бы отдельный факт, наблюдаемый или гипотетический, повлиять на универсальную и необходимую истину, которая была бы столь же истинной, если бы факт был ложным? Если в геометрии нет ничего произвольного или гипотетического, пока мы не дойдем до таких шагов в ее применении, то ясно, что сами истины не являются гипотетическими; что и является вопросом, который нам предстоит решить.

2. Затем рецензент (стр. 85) рассматривает доктрину о том, что аксиомы, так же как и определения, являются основаниями геометрии; и здесь он странным образом сужает и запутывает дискуссию, становясь адвокатом Стюарта, вместо того чтобы аргументировать сам вопрос. Я утверждал, что некоторые аксиомы необходимы в качестве оснований математического рассуждения в дополнение к определениям. Если Стюарт не намеревался обсуждать этот вопрос, то меня не касалось то, что он говорил об аксиомах. Но у меня были все основания полагать, что именно этот вопрос Стюарт и намеревался обсудить. Я полагаю, нет сомнений, что он намеревался высказать мнение об основаниях математического рассуждения в целом. Ибо он начинает свои рассуждения («Начала», том II, стр. 38) с оспаривания мнения Рида по этому предмету, которое изложено в общем виде; и он снова обращается к тому же предмету, утверждая в общих чертах, что первыми принципами математики являются не аксиомы, а определения. Если затем он сделал свое доказательство более узким, чем свое утверждение; если, заявив, что никакие аксиомы не нужны, он впоследствии ограничился тем, что показал, что семь из двенадцати аксиом Евклида являются бесплодными трюизмами, то мне не было никакого дела до оспаривания этого утверждения, которое оставляло мой тезис нетронутым. Я утверждал, что собственно геометрические аксиомы (что две прямые линии не могут заключать в себе пространство, и аксиома о параллельных линиях) являются незаменимыми в геометрии. Какое объяснение этим аксиомам дает рецензент, мы скоро увидим; но если Стюарт допускал, что они являются аксиомами, необходимыми для геометрического рассуждения, то он опровергал свое собственное утверждение относительно оснований такого рассуждения; и если он не сказал ничего решительного об этих аксиомах, которые являются пунктами, на которых должна решиться битва, то он оставил свое утверждение совершенно недоказанным; и мне не было необходимости продолжать войну в бесплодном и неважном углу, когда столица была сдана. Ликование рецензента по поводу того, что я не оспорил первые семь аксиом, является забавным примером самодовольного рвения адвоката.

3. Но давайте обратимся к существенному пункту — собственно геометрическим аксиомам. Каково объяснение рецензента этим аксиомам? Какую сторону альтернативы он принимает? Зависят ли они от определений, и готов ли он показать эту зависимость? Или они излишни, и может ли он воздвигнуть структуру геометрии без их помощи? Один из этих двух путей, по-видимому, он должен выбрать. Ибо мы оба начинаем с утверждения превосходства геометрии как примера доказанной истины. Именно этот атрибут придает интерес нашему нынешнему исследованию. Как же тогда рецензент объясняет это превосходство со своих позиций? Как он оценивает фундамент здания, которое мы оба согласны считать совершенным примером интеллектуального строительства?

Я полагаю, что могу принять в качестве его ответа на этот вопрос его гипотетическое утверждение о том, что сказал бы Стюарт (стр. 87), исходя из предположения, что среди оснований геометрии существовали самоочевидные недоказуемые истины: хотя, конечно, странно, что рецензент не решается определиться относительно истинности или ложности этого предположения. Если бы такие истины существовали, они были бы, говорит он, «законными порождениями» определений. Они были бы включены в определения. И снова он говорит об основании геометрической доктрины параллельных линий как о недостатке, как об истине, которая требует, но не получила доказательства. И еще раз он говорит нам, что каждая из этих предполагаемых аксиом (например, двенадцатая аксиома Евклида) является «лишь указанием на тот пункт, в котором геометрия не выполняет того, что она берется выполнить» (стр. 91); и что в действительности ее истины еще не доказаны. Суть этого в том, что геометрические аксиомы следует считать «законными порождениями» определений, потому что, хотя они, безусловно, истинны, их нельзя доказать из определений; что они включены в определения, хотя их нельзя из них вывести; и что вместо того, чтобы признать, что они имеют какое-то иное происхождение, нежели определения, мы должны провозгласить, что геометрия не выполнила того, что она берется выполнить.

На это я отвечаю, что не могу понять, что имеется в виду под «законными порождениями» принципов, если эта фраза не означает следствия таких принципов, установленные строгими и формальными доказательствами; что рецензент, если он претендует на какое-либо реальное значение своей фразы, должен обосновать ее смысл таким доказательством; он должен установить свое «законное порождение» с помощью генеалогической таблицы в удовлетворительной форме. Когда это невозможно сделать, утверждать, несмотря на это, что суждения включены в определения, — это просто предрешение вопроса; а оправдывать этот недостаток тем, что геометрия не выполняет того, что она обещала, — значит клеветать на характер той науки, которую мы претендуем сделать нашим стандартом, вместо того чтобы отказаться от произвольного и недоказанного утверждения относительно реальных оснований ее превосходства. Я добавляю далее, что если доктрина параллельных линий или любая другая геометрическая доктрина, истинность которой мы видим с совершенным пониманием ее необходимости, до сих пор не получила доказательства, удовлетворяющего какую-либо школу мыслителей, то этот недостаток должен проистекать из их ошибочных взглядов на природу доказательств и основания математической достоверности.

4. Я полагаю, таким образом, что рецензенту совершенно не удалось опровергнуть доктрину о том, что аксиомы геометрии необходимы как часть оснований этой науки. Я утверждал далее, что эти аксиомы восполняют то, чего недостает в определениях; и что они, наряду с определениями, служат для представления идеи пространства в таких аспектах, что мы можем логически рассуждать о нем. Этому рецензент противопоставляет (стр. 96) общее мнение о том, что совершенное определение — это полное объяснение имени и что критерием его совершенства является то, что мы можем подставить определение вместо имени везде, где оно встречается. Я отвечаю, что моя доктрина о том, что определение выражает часть, но не целое существенных характеристик идеи, безусловно, расходится с мнением, иногда поддерживаемым, что определение лишь объясняет слово и должно объяснять его настолько полно, чтобы оно всегда могло заменить его. Ошибочность этого общего мнения, я думаю, можно показать из таких соображений: что если мы беремся объяснить одно слово несколькими, то нас могут призвать на том же основании объяснить каждое из этих нескольких другими, и что таким образом мы не можем достичь ни предела, ни места для остановки; что на самом деле это ведет не к ясности, а к неясности, когда при обсуждении общих принципов мы таким образом подставляем определения вместо отдельных терминов; что даже если это сделано, мы не можем рассуждать, не понимая, что означают термины; и что при этом отношения наших концепций, а не произвольная эквивалентность двух форм выражения, являются основаниями нашего рассуждения.

5. Рецензент полагает, что некоторые из так называемых аксиом на самом деле являются определениями. Аксиома о том, что «величины, которые совпадают друг с другом, то есть которые заполняют одно и то же пространство, равны», является определением геометрического равенства: аксиома о том, что «целое больше своей части», является определением целого и части. Но, безусловно, существуют очень серьезные возражения против этого взгляда. Казалось бы более естественным сказать, если первая аксиома является определением слова «равный», что последняя является определением слова «больший». И как может одна короткая фраза определять два термина? Если я скажу: «жара летом больше, чем жара зимой», определяет ли это утверждение что-либо, хотя суждение совершенно понятно и отчетливо? Я думаю, таким образом, что эта попытка свести данные аксиомы к определениям совершенно несостоятельна.

6. Я заявил, что определение не может быть полезным, если мы не можем постичь возможность и истинность свойства, связанного с ним; и что если мы действительно постигаем это, мы можем по праву начать наши рассуждения с изложения свойства в качестве аксиомы; что и делает Евклид в случае с прямыми линиями и параллелями. Рецензент спрашивает (стр. 92), готов ли я распространить эту доктрину на случай кругов, для которых рассуждение обычно основывается на определении; готов ли я заменить это определение аксиомой, утверждающей возможность такого круга. На это я мог бы ответить, что я вовсе не обязан соглашаться на такое изменение; ибо я все время утверждал, что безразлично, представлены ли фундаментальные свойства, из которых мы исходим, как определения или как аксиомы, при условии, что необходимость ясно видна. Но я готов заявить, что, по моему мнению, форма нашей геометрии ничуть не стала бы хуже, если бы вместо обычного определения круга — «что это фигура, ограниченная одной линией, которая называется окружностью, и которая такова, что все прямые линии, проведенные из определенной точки внутри окружности, равны друг другу» — мы подставили аксиому и определение следующим образом: Аксиома. Если линия проведена так, что она во всех точках равноудалена от определенной точки, эта линия вернется в себя или будет одной линией, заключающей в себе пространство. Определение. Это пространство называется кругом, линия — окружностью, а точка — центром.

И когда это будет сделано, было бы верно, как отмечает рецензент, что геометрия не может сделать ни одного шага, не опираясь на аксиому. И я вовсе не колеблюсь сказать, что вышеприведенная аксиома, выраженная или подразумеваемая, не менее необходима, чем определение, и молчаливо предполагается в каждом суждении, в которое входят круги.

7. Я думаю, что теперь я разобрался с основными возражениями, которые касаются собственно аксиом геометрии. Принципы, которые изложены как первые семь аксиом «Начал» Евклида, не нуждаются, как я уже сказал, в обсуждении здесь. Это принципы, которые относятся не к пространству в частности, а к количеству вообще: такие, например, как эти: «Если к равным прибавить равные, то целые будут равны»; «Если от равных отнять равные, то остатки будут равны». Но я сделаю одно или два замечания по их поводу, прежде чем продолжу.

И Локк, и Стюарт говорили об этих аксиомах как о бесплодных трюизмах: как о суждениях, из которых невозможно вывести ни одного вывода: и рецензент утверждает, что они являются не первыми принципами, а законами мышления (стр. 88). С этим последним выражением я готов согласиться; но я бы добавил, что не только эти, но и все принципы, выражающие фундаментальные условия нашего знания, могут с равным основанием называться законами мышления; ибо эти принципы зависят от наших идей и регулируют активные операции разума, посредством которых его пассивным впечатлениям придаются связность и связь. Но утверждение, что из простых аксиом или законов человеческого мышления, которые касаются количества, нельзя сделать никаких выводов, отнюдь не верно. Вся арифметика — например, правила умножения и деления больших чисел, правило нахождения общего делителя и, короче говоря, огромный свод теории относительно чисел — покоится не на ином основании, чем такие аксиомы, которые только что были замечены, что если к равным прибавить равные, то целые будут равны. И даже когда утверждение Локка о том, что из этих аксиом нельзя вывести никаких истин, модифицируется Стюартом и рецензентом и ограничивается геометрическими истинами, оно едва ли состоятельно (хотя, по правде говоря, для нашего аргумента мало что значит, так ли это или нет). Ибо большая часть седьмой книги «Начал» Евклида (о соизмеримых и несоизмеримых величинах) и пятая книга (о пропорции) зависят от этих аксиом с добавлением только определения или аксиомы (ибо это может быть изложено и так, и так), которая выражает идею пропорциональности в числах. Так что попытка опровергнуть необходимость и использование аксиом как принципов рассуждения терпит неудачу, даже когда мы берем те примеры, которые оппоненты считают наиболее явно благоприятными для их доктрины.

8. Но, возможно, вопрос уже возник в уме читателя: какая польза может быть от формального изложения таких принципов (например, что если к равным прибавить равные, то целые будут равны), поскольку, независимо от того, изложены они или нет, они будут предполагаться в нашем рассуждении? И как можно сказать, что такие принципы необходимы, когда наше доказательство протекает столь же успешно без какой-либо ссылки на них? И ответ заключается в том, что именно потому, что это общие принципы рассуждения, которые мы естественно используем, специально не созерцая их, они требуют отделения от других шагов и формального изложения, когда мы анализируем полученные нами доказательства. В каждом ментальном процессе многие принципы объединяются и сокращаются, и таким образом в некоторой мере скрываются и затемняются. При анализе этих процессов объединение должно быть разрешено, а сокращение — расширено, и таким образом создается видимость педантичной и излишней формальности. Но то, что излишне для доказательства, необходимо для анализа доказательства. Чтобы отчетливо показать условия доказательства, их нужно показать формально. Таким же образом в доказательстве мы обычно не выражаем каждый шаг в форме силлогизма, но мы видим основания убедительности доказательства, разрешая его на силлогизмы. Ни аксиомы, ни силлогизмы не необходимы для убеждения; но они необходимы, чтобы показать условия, при которых убеждение становится неизбежным. Применение одной-единственной из только что упомянутых аксиом является столь мелким шагом в доказательстве, что кажется педантичным отводить ему заметное место; но сама сущность доказательства состоит в том, что оно состоит из нерасторжимой последовательности таких мелких шагов. Удивительное обстоятельство заключается в том, что путем накопления таких, казалось бы, незаметных продвижений мы можем в конце концов сделать столь обширный и столь верный прогресс. Полнота анализа нашего знания проявляется в малости элементов, на которые оно таким образом разложено. Мелкость любого из этих элементов истины, аксиом, например, не мешает им быть столь же существенными, как и другие, которые более очевидны. И любая попытка принять только один вид элемента, когда ход нашего анализа ставит перед нами два или более видов, является совершенно ненаучной. Аксиомы и определения являются ближайшими составными принципами наших доказательств; и тесная связь, которая соединяет определение и аксиому по одному и тому же предмету, не выражается истинно утверждением, что последняя выводится из первой. Эта связь существует в уме рассуждающего, в его концепции того, к чему относятся и определение, и аксиома, и, следовательно, в общей фундаментальной идее, модификацией которой является эта концепция.

ГЛАВА VI. О восприятии пространства.

1. Согласно вышеизложенным взглядам, некоторые из впечатлений наших чувств передают нам восприятие объектов как существующих в пространстве; поскольку в силу устройства нашего ума мы не можем получать эти впечатления иначе, как в определенной форме, предполагающей такой способ существования. Но вопрос заслуживает того, чтобы быть заданным: каковы те впечатления чувств, посредством которых мы таким образом знакомимся с пространством и его отношениями? И поскольку мы видели, что эта идея пространства подразумевает акт разума, а также впечатление на чувство, какие проявления этой активности разума мы находим в нашем наблюдении внешнего мира?