«Очерки педагогического учения»

Второй курс допустит больше исторических фактов, чем первый, хотя все еще лишь очень немногие, относящиеся к более старой эпохе. Только более недавние события могут быть удобно связаны с географией, за исключением случаев, когда сохранились исторические памятники — такие, например, как руины в Италии, смешанный язык Англии, своеобразная политическая организация Швейцарии с ее многочисленными подразделениями, видимыми на карте, и ее языковым разнообразием.

Если, как иногда рекомендуется, принимается план подготовки пути к изучению средневековой и современной истории с помощью отдельного вводного курса кратких биографий, то такой план, хотя в лучшем случае дает лишь фрагментарные результаты, становится, по крайней мере, более осуществимым, когда исторические заметки такого рода, как только что упомянутые, включаются в уроки географии. Но в этом случае тем более важно иметь на стене хронологическую таблицу, к некоторым датам которой учитель должен при любой возможности обращаться, чтобы ученики могли получить хотя бы некоторые фиксированные точки. В противном случае разрозненные биографии могут вызвать большую путаницу.

246. (2) Главной основой для начальных этапов исторического преподавания всегда будет греческая и римская история. Будет нелишним начать с нескольких очаровательных историй из гомеровской мифологии, поскольку существует тесная связь между историей народа и его религией. Однако следует избегать двух неправильных путей: одного — давать подробную теогонию или включать сомнительные мифы ради полноты, что здесь было бы лишено разумной цели; другого — заставлять заучивать мифологические элементы. Только подлинная история должна заучиваться детьми. Мифология — это предмет для юношей или мужчин.

Персидская история должна быть рассказана приблизительно в последовательности и обстановке, данных Геродотом; к ней можно присоединить историю Ассирии и Египта в форме эпизодов, при этом Греция должна оставаться на переднем плане. Истории из Ветхого Завета, с другой стороны, образуют цепь уроков сами по себе. История Рима должна сначала сохранить свои мифические начала.

Каково бы ни было немецкое мнение относительно начал исторического обучения для их собственных детей, американская история обладает сильными правами на приоритет, когда речь заходит о детях Соединенных Штатов. Если мы считаем, что главная интеллектуальная цель истории для ученика — это понимание настоящего статуса через знание исторического прогресса, который к нему привел, то первобытная и пионерская история этой страны бесконечно ценнее любой другой для американского ребенка, ибо в ней заключены силы, которые развили наш народ; тогда как Греция и Рим столь же далеки по влиянию, сколь и по времени. Именно мифология Греции и Рима больше всего привлекает детей; но она относится скорее к литературе, чем к истории. Описания сражений примерно одинаковы во всем мире, но требуется большая зрелость ума, чтобы понять греческую жажду индивидуальности после возникновения философии, чем понять соответствующее чувство среди американских пионеров, не говоря уже о желательности преподавания последнего как фазы нашего собственного развития. Поэтому по соображениям простоты, а также из-за психологической близости и национальной важности, американская история должна иметь приоритет над историей Греции и Рима для американских детей.

247. Предположим теперь, что подробные рассказы по образцам, предоставленным древними, завоевали внимание учеников; тем не менее, одно лишь удовольствие от слушания историй не может определять впечатление, которое должно быть произведено. За ними должны следовать сжатые обзоры, и несколько основных фактов должны быть заучены в хронологическом порядке.

Здесь будут уместны следующие предложения. Основные события должны привязываться в памяти к заученным датам таким образом, чтобы не возникало путаницы. Теперь одна дата может быть достаточной для группы связанных инцидентов, составляющих одно главное событие; если кажется необходимым добавить вторую или третью, хорошо, но продолжать умножать даты — значит побеждать саму цель. Чем больше дат, тем слабее их эффект из-за растущей трудности запомнить их все. В истории одной страны даты должны оставаться как можно дальше друг от друга, чтобы промежуточные числа были тем более доступны для целей синхронистической таблицы, с помощью которой истории разных стран должны быть сведены вместе и связаны. Такое же экономное использование должно быть сделано в отношении фактов древней географии, но те, которые введены, должны быть выучены точно.

Признавая, что первобытный метод исторического повествования учителем является наиболее эффективным в своем обращении к начинающему, необходимо утверждать, что объединенные знания и литературное мастерство современных историков бесконечно превосходят способности обычного учителя. Современная проблема заключается не в том, как сочинять историю, а в том, как использовать то, что уже было сочинено. Короче говоря, это защита от путаницы, которая возникает из-за расплывчатости. Широкое историческое чтение может быть столь же вредным для ученика, как и широкое чтение романов. Ум может отдаться проходящей панораме так же полностью в одной области, как и в другой, пока произведенные впечатления не станут подобны впечатлениям корабля на море. Средство — это тщательная организация в сознании ученика знаний, полученных в различных областях. Это обеспечивается учителем или автором, или обоими. Некоторые авторы обеспечивают ясность контура с помощью тем, ссылок и исследовательских вопросов. «История Англии» Ларнеда завершает каждую главу таким образом. В качестве иллюстрации мы можем процитировать главу XVI, которая повествует о ссоре между королем Карлом и его народом:

202. Карл I.

Тема.

Характер и взгляды Карла.

Ссылки. — Брайт, II, 608, 609; Грин, 495; Монтегю, 118; Рэнсом, 138, 139.

203. Вероломство в начале правления.

Тема.

Брак Карла и нарушенные обещания.

Ссылка. — Брайт, II, 608, 614.

204. Первый парламент короля Карла.

Темы.

Замыслы Карла и его обращение с парламентом.

Отношение Палаты общин и их роспуск.

Королевские поборы.

Ссылка. — Гардинер, II, 502, 503.

Исследовательские вопросы. — (1) Каковы были законные и незаконные источники доходов короля? (Рэнсом, 151, 155). (2) Что можно было бы считать частной собственностью короны? (3) Что способствовало тому, что двор Карла стал дорогим? (Трейлл, IV, 76). (4) Как эта потребность в деньгах способствовала величию парламента? [25]

Подобным образом записаны остальные темы этого раздела английской истории, направляя ученика в его конспектах и чтении. При надлежащей заботе со стороны учителя о том, чтобы ученик твердо закрепил конспект в памяти, нет опасности потеряться в дебрях слов. В то же время ум ученика обогащается из многих благородных источников, вместо того чтобы ограничиваться предположительно скудными ресурсами одного учителя. Этим методом ребенок может пользоваться преимуществами современной эрудиции, не подвергаясь при этом вреду от рассеивания умственной энергии.

Другие авторы достигают тех же целей другими средствами. «История Соединенных Штатов» Фиске, например, завершает каждую главу тематическим конспектом, в котором подчеркиваются причина и следствие. В конце главы X, посвященной «Причинам и началу Революции», мы находим следующее:

Темы и вопросы

76. Причины неприязни между Англией и ее колониями.

Каково было европейское представление о колонии и ее цели?

Какие ошибочные представления о торговле существовали?

Какова была главная цель законов, регулирующих торговлю и т. д.?

77. Необходимость федерального союза.

Одна трудность в ведении французских войн.

Рассказ о Франклине.

План союза Франклина и т. д.

78. Гербовый сбор: принятие и отмена.

Тип правительства, необходимый колониям.

Как парламент стремился установить такое правительство.

Природа гербового сбора и т. д.

79. Налогообложение в Англии.

Как дружба Питта к Америке оскорбила Георга III.

Представительство английского народа в парламенте.

Как представительство народа поддерживается в справедливом виде в Соединенных Штатах.

Как оно стало несправедливым в Англии.

Коррупционные практики, поощряемые этой несправедливостью.

Партия старых вигов.

Тори, или партия Георга III.

Партия новых вигов и ее цели.

Почему Георг III был так озлоблен против Питта.

Отношение короля к налогообложению в Америке.

Народ Англии — не наши враги и т. д.

В конце этих тем следует список из пятнадцати «Наводящих вопросов и указаний» со ссылками на страницы «Американской революции» Фиске, том I, и все это завершается восемнадцатью темами для дополнительного чтения из «Американской революции» и «Вирджинии» Кука. [26]

Знаменательным фактом является то, что современные учебники для детей готовятся мастерами в различных областях знаний, причем немало внимания уделяется наилучшему использованию всех современных инструментов для пробуждения интеллектуального интереса учеников. В таком случае бессмысленно полагаться на первобытные методы, какими бы мощными они ни были в прошлом, при работе с учениками, которые научились бегло читать.

[25] Ларнед, «История Англии», Houghton, Mifflin & Co., стр. 396.

[26] Фиске, Джон, «История Соединенных Штатов для школ», Houghton, Mifflin & Co., Бостон, стр. 211–215.

248. Общие обзоры, которые следуют за подробными повествованиями, имеют для ученика то преимущество, что он сам делает вывод: в периоды, о которых рассказано немного, тем не менее происходило очень многое, что история или учитель обходят молчанием. Таким образом предотвращаются ложные впечатления, которые были бы произведены чисто конспективным обучением, которое, действительно, на более позднем этапе становится в некоторой мере неизбежным.

249. (3) Средневековая история не получает никакой помощи от изучения древних языков, и она не тесно связана с современными условиями; трудно придать изложению этой истории больше ясности, чем та, что достижима через географию и хронологию. Но требуется нечто большее: бремя одной лишь зубрежки без интереса стало бы слишком тяжелым. Фундаментальные факторы — исламизм, папство, Священная Римская империя, феодализм — должны быть объяснены и им должно быть уделено должное внимание. Большинство фактов вплоть до Карла Великого могут быть использованы для внесения дополнительных штрихов в панораму Великого переселения народов. С Карлом Великим начинается цепь немецкой истории, и обычно будет считаться целесообразным продлить эту цепь до конца Средневековья, чтобы иметь нечто, к чему можно было бы привязать синхронные события позже. Однако возникают некоторые сомнения относительно ценности такого плана. Конечно, правления Оттонов, Генрихов, Гогенштауфенов вместе с промежуточными событиями образуют довольно хорошо связанное целое; но уже во время междуцарствия происходит печальный разрыв, и хотя историческое повествование восстанавливается, так сказать, с рассказами о Рудольфе, Альбрехте и Людвиге Баварском, в именах последующих лидеров, от Карла IV до Фридриха III, нет ничего, что сделало бы их подходящими отправными точками и связующими центрами для синхронизма всего рассматриваемого периода. Поэтому, возможно, было бы лучше остановиться на отлучении Людвига Баварского, на собрании выборщиков в Рензе и на рассказе о том, как папы стали резидентировать в Авиньоне. Затем — вернувшись к Карлу Великому — можно взяться за Францию, Италию, даже Англию и придать большую полноту истории крестовых походов. Далее, особое внимание можно было бы уделить синхронистическим образом Бургундии и Швейцарии, а также переменчивой судьбе войн между Англией и Францией. Французская история может затем закончиться правлением Карла VIII, а английская — правлением Генриха VII, в то время как немецкая история, начиная с Максимилиана, снова помещается на передний план. Гуситские войны будут рассматриваться как предвестники Реформации. Другие события должны быть искусно вставлены. Многие модификации группировки должны быть оставлены для последующих повторений.

250. (4) При изложении современной истории учителю будет полезно воспользоваться тем фактом, что современная история не охватывает столь длительные отрезки времени, как средневековая, и что она распадается на три четко определенных периода, первый из которых заканчивается Вестфальским миром, второй простирается от этой даты до Французской революции, а третий — до наших дней. Эти периоды должны быть тщательно разграничены, ведущие события каждого из них должны быть изложены синхронистически, и за этим должно следовать изложение самых существенных исторических фактов о каждой стране. Только после того, как каждый из них будет обработан таким образом и представленный материал будет тщательно запечатлен в памяти с помощью повторений, будет хорошо перейти к несколько более полному этнографическому обзору, уходящему в средневековую историю каждой страны и простирающемуся до наших времен. Никакого вреда не будет от того, чтобы пройти тот же путь снова с целью расширения того, что ранее появилось только в конспекте.

Главный момент заключается в том, что никакой курс обучения, претендующий на полноту культуры, не может считаться завершенным, прежде чем он не познакомит ученика с прагматическим изучением истории и не научит его искать причины и следствия. Это относится преимущественно к современной истории из-за ее прямой связи с настоящим; но средневековую и древнюю историю также необходимо проработать еще раз с этой точки зрения. История должна быть учительницей человечества; если она ею не становится, вина в значительной степени лежит на тех, кто преподает историю в школах.

251. Хорошо составленная и хорошо сбалансированная краткая история изобретений, искусств и наук должна завершать преподавание истории не только в гимназиях, но также и особенно в высших бюргерских школах, поскольку их учебные курсы не дополняются университетом.

Более того, весь курс истории должным образом сопровождается иллюстративными поэтическими отрывками, которые, хотя, возможно, и не созданы в разные эпохи, все же находятся в некотором отношении к ним; и которые в некоторой мере, пусть даже только иллюстрируя очень отдаленные друг от друга века, демонстрируют огромные различия в самых свободных проявлениях человеческого разума.

Примечание. — Национальная история не одинакова для каждой страны, не везде представляет равный интерес и, из-за своей связи с более крупными событиями, часто непонятна молодым умам, когда она вырвана из своего места и представлена сама по себе. Если желательно ее раннее введение, чтобы зажечь сердце, следует приложить особые усилия, чтобы выбрать то, что понятно и что обращается к юношеству.

ГЛАВА III Математика и естествознание

252. Склонность к математике встречается не реже, чем склонность к другим предметам. То, что кажется обратным, объясняется запоздалым и небрежным началом. Но то, что математики редко склонны уделять детям столько времени, сколько следовало бы, вполне естественно. Элементарные уроки комбинаторики и геометрии пренебрегаются в пользу арифметики, а доказательства предпринимаются там, где еще не пробуждено математическое воображение.

Первое, что необходимо — это внимание к величинам и их изменениям там, где они происходят. Отсюда — счет, измерение, взвешивание, где это возможно; где невозможно — по крайней мере, оценка величин, чтобы определить, пусть сначала и смутно, большее и меньшее, крупное и мелкое, близкое и далекое.

Особое внимание следует уделить, с одной стороны, числу перестановок, вариаций и комбинаций; а с другой стороны, квадратичным и кубическим отношениям, где подобные плоскости и тела определяются аналогичными линиями.

Примечание. — Здесь не место говорить о многом, что можно было бы сказать относительно того, что делает раннее обучение математике излишне трудным. Но можно кратко заметить, что некоторые из этих трудностей возникают из-за терминологии, некоторые — из-за привычной точки зрения учителя, а некоторые — из-за умножения различных требований.

(1) Используемая фразеология создает препятствие даже для самых легких шагов в дробях. Дробь 2/3, например, читается как две трети, и, соответственно, 2/3 × 4/5 — как две трети умножить на четыре пятых, вместо умножения на два и на четыре и деления на три и на пять. Упускается из виду тот факт, что третья часть целого включает в себя понятие этого целого, которое не может быть множителем, а только множимым. Об эту трудность ученики спотыкаются. То же самое относится к таинственному слову «квадратный корень», используемому вместо выражения: один из двух равных множителей произведения. Дела становятся еще хуже позже, когда они слышат о корнях уравнений.

(2) Еще больше можно сказать в критику ошибочного взгляда, согласно которому числа записываются как суммы единиц. Это так же неверно, как и то, что суммы являются произведениями; «два» не означает две вещи, а означает удвоение, независимо от того, является ли то, что удваивается, одним или многим. Понятие «дюжина стульев» не состоит из 12 восприятий отдельных стульев; оно включает только два умственных продукта — общее понятие «стул» и нераздельное умножение на 12. Понятие «сто человек» также содержит только два понятия — общее понятие «человек» и нераздельное число 100. Так же и в таких выражениях, как «шесть футов», «семь фунтов», в которых язык помогает правильному пониманию использованием единственного числа. Числовые понятия остаются несовершенными до тех пор, пока они отождествляются с рядами чисел и прибегают к последовательному счету.

(3) В арифметических задачах трудность, связанная с пониманием вещей, с которыми имеют дело, смешивается с трудностью самого решения. Основной капитал, проценты и время, скорость, расстояние и время и т. д. — это вопросы, которые должны быть знакомы ученикам, а следовательно, должны быть предварительно объяснены задолго до того, как их можно будет использовать для практики. Ученику, которому арифметические понятия все еще доставляют трудности, следует давать конкретные примеры, настолько знакомые ему, чтобы он мог из них заново создать математическое понятие, а не быть вынужденным применять его к ним.

253. Измерение линий, углов и дуг (для чего многие детские игры, имеющие конструктивную направленность, могут дать первый повод) ведет к упражнениям по наблюдению, имеющим дело как с плоскостями, так и со сферами. Как только навык в этом направлении будет достигнут, его необходимо часто применять, иначе, как и всякое другое приобретение, он снова будет утрачен. Каждый план здания, каждая карта, каждая астрономическая карта могут предоставить возможности для практики.

Эти упражнения по наблюдению должны быть организованы таким образом, чтобы по завершении измерения путь был полностью подготовлен для тригонометрии, при условии, что помимо работы по планиметрии алгебра была доведена до уравнений второй степени.

Расширенные дискуссии о месте и значении идеи отношения в элементарной арифметике можно найти в «Психологии числа» Маклеллана и Дьюи [27] и в «Новой арифметике» У. У. Спира [28]. Первая работа выступает за раннюю практику измерения с изменяемыми единицами, утверждая, что ребенок должен рано приобрести идею числа как выражения отношения, которое измеренное нечто имеет к выбранному измерителю, и делая счет частным случаем измерения. Г-н Спир делает идею отношения еще более заметной, снабжая школу многочисленными наборами блоков различных размеров и форм, с помощью которых упражняет учеников в мгновенном распознавании числа как отношения между двумя величинами. Для расширенного изучения этих принципов читатель может обратиться к способному трактату д-ра Дэвида Юджина Смита о преподавании элементарной математики [29].

Примечание. — Прошло уже почти сорок лет с тех пор, как автор написал небольшую книгу по плану А, Б, В наблюдения Песталоцци, и с тех пор ее часто использовали учителя. Многочисленные предложения были даны другими под названием «Изучение форм». Главное — это тренировка глаза в оценке расстояний и углов и сочетание таких упражнений с очень простыми вычислениями. Цель состоит не только в том, чтобы обеспечить остроту наблюдения за объектами чувств, но, прежде всего, пробудить геометрическое воображение и связать с ним арифметическое мышление. Действительно, упражнения такого рода составляют необходимую, хотя и обычно игнорируемую подготовку к математике. Используемые пособия должны быть конкретными объектами. Различные вещи были опробованы и снова отброшены; наиболее удобны для первых шагов треугольники, сделанные из тонких досок твердой древесины. Из них нужно только семнадцать пар, все они — прямоугольные треугольники с одной равной стороной. Чтобы найти эти треугольники, нарисуйте круг с радиусом в четыре дюйма и проведите касательные и секущие под углом 5°, 10°, 15°, 20° и т. д. до 85°. Многочисленные комбинации, которые можно сделать, легко подскажут сами себя. Касательные и секущие должны быть фактически измерены учениками; начиная с 45°, соответствующие цифры, поначалу не выводимые дальше десятых долей, должны быть отмечены и после некоторого повторения выучены наизусть. На этой основе могут быть разработаны очень легкие арифметические примеры для непосредственной цели завоевания длительного внимания учеников к вещам столь простым. Наблюдения, относящиеся к сфере, требуют более сложного аппарата, а именно трех подвижных больших кругов глобуса. Было бы хорошо иметь такие средства под рукой при преподавании сферической тригонометрии. Излишне говорить, что упражнения по наблюдению не заменяют геометрию, тем более тригонометрию, но подготавливают почву для этих наук. Когда ученик доходит до планиметрии, деревянные треугольники откладываются в сторону, и наблюдение подчиняется геометрическому построению. Тем временем арифметика выходит за рамки упражнений, имеющих дело только с пропорциями, к степеням, корням и логарифмам. Фактически, без понятия квадратного корня даже теорема Пифагора не может быть полностью понята.

«А, Б, В чувственного восприятия Гербарта» вместе с рядом второстепенных педагогических работ были переведены на английский язык [30]. Она изобилует проницательными наблюдениями и остроумными устройствами, однако в целом представляет собой одну из тех побочных экскурсий, которые, хотя и восхитительны для гения, не особенно полезны для мира. Приучить детей к привычке разлагать пейзаж на серию треугольников, возможно, и можно, но, как и любая другая схематизация вселенной, это слишком искусственно, чтобы быть желательным. Тем не менее, ограниченное использование устройств, упомянутых в этом разделе, могло бы способствовать оживлению в остальном вялого ума.

[27] Маклеллан и Дьюи, «Психология числа», Международная педагогическая серия, D. Appleton & Co., Нью-Йорк, 1895.

[28] Спир, У. У., «Новая арифметика», Ginn & Co., Бостон, 1896.

[29] Смит, Дэвид Юджин, «Преподавание элементарной математики», гл. V, The Macmillan Co., Нью-Йорк, 1900.

[30] Экхофф, Уильям Дж., «А, Б, В чувственного восприятия Гербарта», Международная педагогическая серия, D. Appleton & Co., Нью-Йорк, 1896.

254. Но теперь возникает предмет, который из-за трудностей, которые он вызывает, требует особого рассмотрения, а именно — логарифмы. Довольно легко объяснить их использование и сделать лежащее в основе понятие понятным, насколько это необходимо на практике — арифметический ряд, соответствующий геометрическому, при этом натуральные числа мыслятся как геометрический ряд. Но с научной точки зрения логарифмы включают дробные и отрицательные показатели, а также применение бинома Ньютона. Последний, конечно, является лишь легкой комбинаторной формулой, поскольку речь идет о целых положительных показателях, но, ограниченный ими, он здесь сравнительно мало полезен.

Теперь, поскольку тригонометрия в своих основных теоремах не зависит от логарифмов, но мало применяется без их помощи, возникает вопрос: следует ли начинающим обязательно давать полный и строго научный курс логарифмов, откладывая весьма полезное обучение тригонометрии до успешного завершения такого курса, или же практическое использование логарифмов допустимо до того, как будет получено точное понимание лежащих в их основе принципов?

Примечание. — Трудность, с которой сталкиваются в этом предмете — несомненно, одна из тех трудностей, которые наиболее остро ощущаются при преподавании математики, — в конце концов, является лишь иллюстрацией пагубных последствий прежних грехов упущения. Если бы геометрическое воображение не игнорировалось, была бы широкая возможность не только для того, чтобы гораздо глубже запечатлеть понятие пропорции, требуемое даже элементарной арифметикой, но и для раннего развития идеи функции. Упомянутые выше предметные уроки уже проиллюстрировали зависимость тангенсов и секансов от углов. Когда эти отношения зависимости стали такими же знакомыми, как можно ожидать после полугодового обучения, берутся также синусы и косинусы. Но оставлять дело на этом недостаточно. Несколько позже, примерно в то время, когда вводится измерение, квадраты и кубы натуральных чисел должны быть подчеркнуты и очень скоро выучены наизусть. Затем следует указать, как путем нахождения разностей квадратов и кубов соответственно, а затем сложения этих разностей, можно снова получить исходные числа. Подобное обращение должно быть применено к фигурным числам.

Маленькие деревянные диски, похожие на шашки, рекомендуются для этой цели. С их помощью находятся различные фигуры. Учеников просят указать, сколько дисков им нужно, чтобы построить ту или иную фигуру. Дальнейшим шагом будет показать увеличение квадратов и кубов, соответствующее увеличению корня, и сделать эту информацию служащей подготовкой к элементарным частям дифференциального исчисления. Теперь пришло время перейти к рассмотрению последовательных значений корней, которые, как обнаруживается, различаются на величины постоянно уменьшающейся малости по мере того, как непрерывно продвигаешься через систему чисел. И так, после того как логарифмы 1, 10, 100, 1000 и т. д., а также 1/10, 1/100 и т. д. были пройдены много раз, вперед и назад, наконец достигается концепция интерполяции логарифмов.

255. В школах, где преобладают практические цели, логарифмы следует объяснять сравнением арифметической прогрессии с геометрической, и практическое применение последует немедленно. Но даже там, где прибегают к теореме Тейлора и биному Ньютона, выигрыш для начинающего обычно не будет очень большим. Не то чтобы эти теоремы вместе с элементами дифференциального исчисления нельзя было сделать ясными; реальная проблема заключается в том, что многое из того, что понято, вряд ли сохранится в памяти. У начинающего, когда он доходит до применения, все еще есть воспоминание о доказательстве и о том, что он его понял. Действительно, с некоторой помощью он, возможно, смог бы снова шаг за шагом проследить ход доказательства. Но ему не хватает перспективы; и в его применении логарифмов для него не имеет значения, каким методом они были вычислены.

То, что было сказано здесь о логарифмах, может быть применено более широко. Ценность строгих доказательств полностью видна только тогда, когда человек освоился в области понятий, к которым они принадлежат.

В американских школах принято приступать к элементарной алгебре и элементарной геометрии по завершении арифметики, причем и алгебра, и геометрия в некоторой степени предвосхищаются на более поздних этапах арифметики. Следующие параграфы, написанные Дэвидом Юджином Смитом [31], указывают на некоторый прогресс в алгебре со времен Гербарта:

«Великое возрождение обучения, известное как Ренессанс, в шестнадцатом веке, увидело, как алгебра начала новый старт после нескольких столетий полного застоя. Тарталья решил кубическое уравнение, а чуть позже Феррари решил биквадратное. К концу шестнадцатого века Виет поставил замковый камень в арку элементарной алгебры, и единственными существенными улучшениями на некоторое время вперед были улучшения в области символики. В течение следующих двухсот лет борьба алгебраистов шла за решение уравнения пятой степени или, более широко, за общее решение уравнения любой степени.

«Начало девятнадцатого века увидело несколько великих дополнений к теории алгебры. Первым было положительное доказательство того, что общее уравнение пятой степени неразрешимо с помощью элементарной алгебры, доказательство, принадлежащее Абелю. Вторым было овладение числовыми системами алгебры — полное понимание отрицательного, мнимого, несоизмеримого, трансцендентного. Другие дополнения были в области сходимости рядов, приближения действительных корней численных уравнений, изучения детерминантов — все они нашли путь в элементы, вместе с теориями форм и групп, которые вскоре должны начать влиять на ранние главы предмета.

«Этот беглый взгляд на развитие предмета достаточен, чтобы показать, как он был революционизирован в современные времена. Сегодня он прогрессирует, как никогда раньше. Высшая культура начинает влиять на низшую; детерминанты нашли место в курсе для начинающих; графические методы, против которых возражают как против инноваций некоторые, кто невежественен относительно их значимости в детстве науки, восстанавливают свои права; «мнимое» стало очень реальным; наследие гильдии учителей алгебры рассматривается критическими глазами, и многие старые задачи и правила вскоре должны будут уйти в прошлое. Учителю полезно видеть, какие изменения были произведены, чтобы он мог присоединиться к движению по искоренению плохого, чтобы держаться хорошего и чтобы дотянуться до сферы современной математики, чтобы увидеть, не сможет ли он, возможно, найти то, что является хорошим, полезным и проливающим свет для элементарной работы».

Истинный порядок элементарной математики, согласно д-ру Смиту, по существу таков:

Элементарные операции арифметики.

Простое измерение, корреляция с черчением, модели в руках: — Индуктивная геометрия — примитивная форма науки.

Арифметика бизнеса и науки, использующая простое уравнение с одним неизвестным количеством везде, где это проливает свет на предмет.

Элементарная теория чисел, корни, ряды, логарифмы.

Элементарная алгебра, включая квадратичные и радикальные уравнения.

Доказательная планиметрия, начатая до завершения алгебры и скоррелированная с ней.

Плоская тригонометрия и ее элементарные применения.

Стереометрия. Тригонометрия. Высшая алгебра с элементами дифференцирования и интегрирования.

«Затем ученик должен сделать быстрый обзор своей элементарной математики, включая курс элементарной аналитической геометрии и исчисления. Тогда он будет готов приступить к изучению высшей математики».

[31] Сравните Смит, Дэвид Юджин, «История современной математики», в «Высшей математике» Мерримана и Вудворта, Wiley, Нью-Йорк, 1896.

256. Доказательства, идущие окольным путем через отдаленные вспомогательные понятия, являются серьезным злом в обучении, будь они хоть сколько-нибудь элегантными.

Следует выбирать такие способы изложения, которые исходят из простых элементарных понятий. Ибо с ними убеждение не зависит от несчастного условия, требующего всестороннего взгляда на длинный ряд предварительных положений. Таким образом, теорема Тейлора может быть выведена из интерполяционной формулы, а эта, в свою очередь, из рассмотрения разностей, для чего не требуется ничего, кроме сложения, вычитания и знания перестановок чисел.

Следующее изложение мнимых и комплексных чисел, принадлежащее доктору Дэвиду Юджину Смиту, настолько ясно, что приводится здесь полностью:

«Иллюстрации отрицательных чисел настолько многочисленны, просты и общеизвестны из обычных учебников, что нет необходимости останавливаться на них. Долг и кредит, шкала термометра, долгота, широта, подъемная сила воздушного шара в сравнении с силой тяжести и графическое изображение всего этого на горизонтальных и вертикальных линиях — все это знакомо каждому.

Однако мнимые и комплексные числа в большинстве учебников остаются окутанными тайной. Книги говорят между строк: “Вот √−1; это ничего не значит; вы не можете себе этого представить; автор ничего об этом не знает; давайте закончим с этим и пойдем дальше”. Именно так в ранние времена печатных алгебр относились к отрицательным числам, но сегодня подобное отношение было бы осуждено как непростительное. На самом деле сегодня нет никаких оснований относиться к мнимым числам столь же неразумно, как было принято относиться к отрицательным четыреста лет назад. Графическое представление комплексного числа сегодня не является для студента, приступающего к изучению квадратных уравнений, более сложным, чем представление отрицательного числа для того, кто только начинает изучать алгебру.

«Вкратце, следующая схема будет достаточной для иллюстрации процедуры работы с комплексным числом:

«1. Отрицательные числа могут быть представлены в направлении, противоположном направлению положительных чисел, начиная с произвольной точки, называемой нулем. Следовательно, когда мы покидаем область положительных чисел, вступает понятие направления. Но на плоскости существует бесконечно много направлений, помимо направлений положительных и отрицательных чисел, а значит, могут существовать и другие числа, помимо этих.

«2. При сложении положительных и отрицательных чисел мы получаем результаты, которые кажутся новичку странными. Например, если мы сложим +4 и −3, мы скажем, что сумма равна 1, хотя длина 1 меньше длины 4 или длины −3; однако это нас не смущает, потому что мы учли нечто помимо длины, а именно направление; тем не менее, верно, что сумма 4 и −3 меньше абсолютной величины каждого из них. Это, однако, представляется вполне разумным благодаря многочисленным иллюстрациям (как, например, суммарный вес воздушного шара, тянущего вверх с силой 3 фунта, привязанного к грузу весом 4 фунта), так что мы перестаем замечать эту странность; графически мы представляем сумму как результат движения от 0 на 4 единицы в положительном направлении, а затем на 3 единицы в отрицательном направлении, при этом суммой является расстояние от 0 до точки остановки.

«3. Если мы умножим 1 на −1, или на √−1 · √−1, или дважды на √−1, мы повернем его против часовой стрелки на 180° и получим −1; следовательно, если мы умножим его на √−1 один раз, мы должны повернуть его на 90°. Таким образом, мы можем графически представить √−1 как единицу на перпендикулярной оси YY′, и это дает иллюстрацию для √−1, 2√−1, 3√−1, ··· −√−1, −2√−1, −3√−1 или, короче, ±i, ±2i, ±3i, ···, где i означает √−1. Мы видим, таким образом, что i — это символ качества (графически — направления), точно так же, как + или −, и что −3 · 5i, i√5 и т. д. столь же реальны, как −3 · 5, √5 и т. д. Невозможно выглянуть в окно −3 · 5 раз, так же как невозможно выглянуть −3 · 5i раз; строго говоря, одно число столь же “мнимое”, как и другое, хотя по обычаю этот термин стал применяться к одному, а не к другому.

«4. Комплексное число 3 + 2i теперь легко понять. Точно так же, как 3 + (−2) графически представляется путем начала движения от произвольного нуля, прохождения 3 единиц в положительном направлении (скажем, вправо), а затем 2 единиц в противоположном направлении, называя суммой расстояние от 0 до точки остановки, так и 3 + 2i может быть представлено графически. Начиная от 0, пройдите 3 единицы в положительном направлении (вправо на рисунке), затем 2 единицы в направлении i, называя суммой расстояние от 0 до точки остановки.

«Конечно, возникнет вопрос о том, является ли гипотенуза суммой двух сторон прямоугольного треугольника. Но этот случай аналогичен упомянутому в пункте 2; это не сумма абсолютных величин, так же как 1 не является суммой абсолютных величин 4 и −3; это сумма, когда мы определяем сложение для чисел, включающих направление наряду с длиной.

«Часто с пользой применяется простая иллюстрация с параллелограммом сил.

«Предположим, одна сила тянет 3 фунта вправо (+3 фунта), а другая тянет 2 фунта вверх (+2i фунтов); требуется найти равнодействующую этих двух сил. Очевидно, что это OP, т. е. OP = 3 + 2i.

«Это элементарное введение в предмет комплексных чисел показывает, что “мнимый” элемент легко устраняется и что студенты, собирающиеся приступить к изучению квадратных уравнений, способны получить хотя бы представление об этом предмете. Здесь не место для сколько-нибудь адекватного рассмотрения этих чисел: такое рассмотрение легко доступно. Есть надежда, что было представлено достаточно материала, чтобы сделать невозможным для любого читателя довольствоваться совершенно бессмысленным и неоправданным подходом, встречающимся во многих учебниках».

[32] См. Beman & Smith, “Elements of Algebra”, стр. 17.

[33] Элементарное изложение предмета см. в книге Beman and Smith, “Elements of Algebra”, Бостон, 1900. Историю предмета см. в переводе Beman and Smith книги Fink, “History of Mathematics”, Чикаго, 1900, или в докладе профессора Beman на посту вице-президента Американской ассоциации содействия развитию науки, 1898, или в уже упомянутой “History of Modern Mathematics” автора.

257. Педагогическая ценность математического обучения в целом зависит главным образом от того, в какой степени оно проникает в общую область мышления и знаний ученика и воздействует на нее. Из этой истины следует, прежде всего, что одного лишь изложения недостаточно; целью должно быть скорее вовлечение самодеятельности ученика. Математические упражнения необходимы. Ученики должны осознать, как много они могут сделать с помощью математики. Время от времени следует задавать письменные работы по математике; только поставленные задачи должны быть достаточно легкими. Не следует требовать и настаивать на большем, чем ученики могут комфортно выполнить. Некоторые рано увлекаются чистой математикой, особенно когда геометрия и арифметика правильно сочетаются. Но более верный путь к хорошим результатам — это прикладная математика, при условии, что применение осуществляется к объекту, интерес к которому уже был пробужден другими способами.

Однако учеников не следует слишком долго задерживать на узком круге математических задач; должен быть прогресс и в изложении теории. Если бы единственным требованием было стимулирование самодеятельности, элементарных принципов могло бы легко хватить для бесчисленных примеров, доставляющих ученику удовольствие от возрастающей легкости и даже радость от собственных открытий, не давая ему никакого представления о величии науки. Многие задачи можно сравнить с остроумными шутками, которые могут быть вполне уместны в нужном месте, но не должны посягать на время, отведенное для работы. Не должно быть задержки на вещах, которые с углублением изучения решаются сами собой, только ради демонстрации изобретательности. Несравненно важнее, чем просто практические примеры, знакомство с фактами природы, и такое знакомство служит математике тем лучше, если сочетается с техническими знаниями.

258. Даже маленькие дети могут вполне успешно заниматься с книжками с картинками по зоологии, а позже — с анализом собранных ими растений. Если их приучить к этому рано, они при некотором руководстве легко продолжат занятия самостоятельно. Позже их учат наблюдать внешние характеристики минералов. Продолжение изучения зоологии сопряжено с некоторыми трудностями из-за элемента пола.

Хотя об этом много спорят, нет другой области образования, которая была бы более неопределенной как по содержанию, так и по методу, чем изучение природы в начальных классах. Некоторые ученые хотели бы преподавать большие объемы хорошо классифицированных знаний; другие довольствуются тем, что сформировали у детей благожелательное отношение к природе. Если в детях можно воспитать любовь к цветам и птицам, то последние считают, что достигнут наилучший результат. Таким образом, возникает дискуссия о том, что ценнее: отношение или знание.

Некоторые опасаются, что любая попытка преподавать настоящую науку, даже элементарного характера, приведет к параличу постоянного научного интереса. На это отвечают, что сентиментальное отношение к эстетическим аспектам природы обеспечивает лишь незначительный или вовсе не обеспечивает истинный научный интерес.

Обе стороны в значительной степени неправы; ибо, хотя они кажутся антагонистичными в своих целях, они лишь по-разному применяют общий принцип, который, если не полностью ошибочен, то по крайней мере неадекватен. Обе стороны исходят из того, что цель, которую необходимо достичь при изучении природы, лишь отдаленно связана с практической жизнью ученика. Одни хотели бы представить природу ради нее самой как научное знание; другие предложили бы ее ради нее самой как источник эстетического или иного чувства. Ученый часто предполагает, что для ученика научный факт или закон является самооправданием. Он думает, что в груди каждого правильно сформированного ребенка должен быть естественный, спонтанный отклик на такой факт или закон, так что для того, чтобы привить уму научный дух, достаточно лишь подвергнуть его воздействию научного факта.

Возможно, к несчастью для нормального ребенка, этот взгляд в некоторой степени поощряется биографиями научных гениев. С другой стороны, те, кто придерживается поэтического взгляда на природу, предполагают, что в каждом ребенке должен быть врожденный отклик на природные красоты; так что истинный метод состоит в том, чтобы подвергнуть его воздействию красоты природы, и тогда восторг обязательно последует. Опять же, к несчастью для ученика, этот взгляд поощряется влиянием поэтов-природоведов. В результате естествознание представляется как самоцель — в одном случае как научное знание, в другом — как нечто привлекательное в природе.

Хотя можно признать, что немногие дети будут откликаться то на один, то на другой стимул, огромная масса не приходит в восторг от красоты природы и не скована научным интересом к ее законам. Чтобы стать объектом растущего интереса для детей, природа должна иметь лучшую основу, чем естественный детский восторг от новизны или благоговение перед научным законом. Первое из них мимолетно, второе — слабо.

Мы можем согласиться с ученым, как и с поэтом, что и наука, и поэтическое восприятие являются желаемыми целями, но их нельзя привить детскому уму дидактическим указом.

Если есть одна заслуга, которую Гербарт оказал образованию больше, чем любую другую, то это четкое осознание нами высшей важности принципа апперцепции, или ментальной ассимиляции, как рабочей основы для образовательных процессов. До тех пор, пока факт, принцип или система знаний стоят как самоцель, они остаются чем-то отделенным от реальной ментальной жизни ребенка. Даже формально правильный метод изложения, если бы он даже сразу обращался ко всем «шести» классам интереса, не смог бы создать ничего, кроме искусственного ментального энтузиазма. Это похоже на разговор, который «делают» интересным; этого может хватить, чтобы скрасить утомительный час, но он не пробуждает жизненного отклика. Когда же естественная любовь к новизне или врожденный отклик на истинное подкрепляются чувством теплой личной связи, когда факты леса, равнины, шахты или животного мира наполняют ум неожиданными и значимыми откровениями относительно настоящего или прошлого в тесном личном контакте с учащимся, тогда обучение покоится на апперцептивной основе. Абстракции, которые раньше были бледными, красоты, которые были холодными, теперь получают цвет и теплоту, потому что они приобретают новую субъективную оценку, которая раньше была невозможна.

Спокойная овца, щиплющая траву или отдыхающая в тени, прыгающий ягненок, резвящийся на лугу, — подходящие объекты для изучения природы. Их шкуры, копыта, рога, шерсть заслуживают внимания как научные факты. Разбавленный интерес может быть даже добавлен чтением детских стишков о «Маленькой Бо-Пип» и «У Мэри был ягненок». Но это приемы для слабоумных.

Если учитель может раскрыть ученику функцию шерсти в изготовлении одежды для человечества и может привести его к повторению процессов, с помощью которых с незапамятных времен шерсть прялась в пряжу и ткалась в ткань; если в то же время может быть показано влияние этой индустрии на домашнюю жизнь как мужчин, так и женщин, изучение овцы становится достойным внимания даже мальчика, который умеет играть в футбол, или девочки, которая умеет готовить. Литература об овцах больше не является инфантильной или глупой. У нас есть гамма, простирающаяся от Пенелопы до Присциллы. По словам профессора Дьюи: «Ребенок, который интересуется тем, как жили люди, какими инструментами они пользовались, трансформацией жизни, возникшей благодаря полученным таким образом силе и досугу, стремится повторить подобные процессы в своих собственных действиях; делать утварь, воспроизводить процессы, перерабатывать материалы. Поскольку он понимает их проблемы и успехи, только видя, какие препятствия и какие ресурсы они имели от природы, ребенок интересуется полем и лесом, океаном и горой, растением и животным... Интерес к истории придает более человеческую окраску, более широкое значение его собственному изучению природы» [34].

Вывод, вытекающий из этого аргумента, заключается в том, что изучение природы как самоцель или вещь, отделенная от реального или воображаемого опыта ученика, является лишь слабым отражением того, чем оно может стать при более рациональном подходе. По времени изучения природы в самых ранних классах действительно может покоиться на простом восторге детского ума от нового, странного, красивого и особенно от движения живых существ, и может быть подкреплено детской литературой. Однако, когда начинается отрочество, промышленный мотив, сначала в домашней среде, а затем в первобытные времена, становится главной опорой для устойчивого интереса. В воспроизведении первобытных процессов по необходимости присутствует исторический элемент. Когда природа обрела прочную апперцептивную основу через подражание первобытным промышленным процессам и получила исторический фон, тогда она может быть должным образом дополнительно подкреплена литературной ссылкой. Поэтическая ценность природы теперь будет воздействовать на ум с силой, которая проистекает из внутренней жизни и опыта; научный закон теперь будет иметь некоторый шанс воздействовать на ум с некоторым подобием того благоговения, которое Кант просил для морального закона. Истинный порядок обращения при изучении природы поэтому таков: для младенчества — естественное любопытство и восторг от движений живых существ; для возраста отрочества — подражание, реальное или воображаемое, процессам, зависящим от природных объектов и сил, вместе с исторической и литературной ссылкой; вторично, работа с природой может также обращаться к юношескому интересу к естественному закону или красоте.

[34] Dewey, John, “The Aim of History in Elementary Education”, Elementary School Record, ноябрь 1900, University of Chicago Press.

259. С вышеизложенным следует соединить большое внимание к внешней природе, к изменениям, соответствующим временам года, и к средствам взаимосвязи.

К этому разделу относится, с одной стороны, наблюдение за небесными телами — где восходят солнце и луна, как последняя растет и убывает, где находится северная звезда и какие дуги описываются более яркими звездами и наиболее заметными созвездиями.

Сюда относится, с другой стороны, технологическое знание, приобретаемое отчасти через прямое наблюдение, отчасти через уроки описательного естествознания. Технологию не следует рассматривать только со стороны так называемых материальных интересов. Она предоставляет очень важные связующие звенья между постижением фактов природы и человеческими целями. Каждый растущий мальчик и юноша должен научиться обращаться с обычными инструментами плотника, а также с линейкой и циркулем. Механический навык часто оказывался бы гораздо более полезным, чем гимнастические упражнения. Первое приносит пользу уму, вторые приносят пользу телу. С бюргерскими школами должны идти школы ручного труда, что не означает, что последние должны обязательно быть ремесленными школами. Наконец, каждый человек должен научиться пользоваться своими руками. Рука занимает почетное место рядом с языком в возвышении человечества над животным.

Вышеупомянутый запас информации также входит в изучение географии; как именно, станет ясно в следующей главе.

Обоснованность вышеприведенных замечаний подтверждается быстрым развитием школ ручного труда в последнее десятилетие и почти всеобщим желанием, если не практикой, обеспечить значительное количество ручного труда для учеников грамматических классов. Девочки обычно занимаются какими-то видами шитья и кулинарии, в то время как мальчики занимаются слодом или другой подобной работой с деревом. Обоснование требования к девочкам заниматься плотницким делом вместо форм ручных упражнений, которые особенно относятся к их полу, еще не удовлетворительно установлено.

260. На наблюдении за небесными телами основывается популярная астрономия, которая служит проверкой того, правильно ли развито математическое воображение.

261. Элементарная статика и механика послужат ранним введением в физику, которая сочетается с самыми легкими частями химии. Задолго до того, как физика будет представлена формально, она должна быть предвосхищена многими вещами, стимулирующими внимание. Внимание направляется на часы, мельницы, самые знакомые явления атмосферного давления, на электрические и магнитные игрушки и т. д. В бюргерских школах, по крайней мере, нужно сказать о зданиях и машинах столько, сколько необходимо, чтобы побудить к дальнейшему изучению в будущем. То же самое относится к фундаментальным фактам физиологии.

262. Как часто вводится новая тема для изучения, важно выделить некоторые из наиболее важных фактов, и они должны быть точно заучены. Более того, ученикам нужна практика в точном описании. Там, где это возможно, эти описания корректируются путем фактического осмотра самих объектов.

Поспешное и поверхностное наблюдение объектов, представленных для осмотра, всегда требует суровой критики; иначе коллекции и эксперименты становятся бесполезными. Также не следует показывать объекты слишком расточительно; ученикам часто нужно заранее сказать, что они должны искать. Часто может служить цели последовательное использование хороших описаний, картинок и прямого наблюдения.

ГЛАВА IV География

263. Что касается географии, можно выделить по крайней мере два курса. Один из них аналитический и начинается с непосредственного окружения ученика, топографии местности, в то время как другой начинается с глобуса. Здесь будет обсуждаться только первый, так как второй можно получить непосредственно из хороших учебников.

Примечание. — Обычный метод принятия глобуса в качестве отправной точки был бы менее открыт для критики, если бы для того, чтобы сделать концепцию сферичности Земли более понятной, внимание направлялось на форму Луны, при этом наблюдение проводилось бы время от времени с помощью телескопа. Но даже если это делается, все равно остается ошибкой подменять прямое восприятие слабым и расплывчатым представлением об огромном шаре. Столь же неразумным является план начала с Португалии и Испании. То место, где в данный момент находятся ученики и учитель, — это точка, от которой ученики должны ориентироваться и в мыслях расширять свой горизонт. Никогда не удастся обойти естественные отправные точки, обеспечиваемые чувственным восприятием.

Если бы к примечанию к этому разделу прислушались должным образом, нам не пришлось бы ждать пятьдесят лет после смерти Гербарта, прежде чем стать свидетелями нынешних рациональных методов применения географической науки в начальном образовании. Гордостью современной элементарной географии является то, что она начинается с изучения фактического окружения ученика. Термин «домашняя география» стал теперь привычным. Он означает, что ученика учат наблюдать географические элементы, как они существуют в его собственном окружении. Он изучает холмы, водотоки, почву, леса, озера, вместе с промышленными явлениями, которые попадают в сферу его исследования. На этой первичной чувственной основе он возводит структуру своих географических знаний.

264. География — это ассоциирующая наука, и необходимо использовать возможности, которые она предлагает для связывания воедино множества фактов, ни одному из которых нельзя позволить оставаться изолированным в уме учащегося. Это не математическая часть, дополненная и сделанная интересной популярной астрономией, которая служит первым связующим звеном между математикой и историей (второй курс); даже основы географии могут, на базе упражнений по наблюдению, обеспечить практику в определении треугольников, которые встречаются на первых используемых картах, хотя этот шаг не всегда необходим, когда уже приобретен некоторый навык в выделении примечательных особенностей. (Определение положения по широте и долготе для первого курса столь же иррационально, как действие путешественника в Германии или Франции, если бы он взялся составить картину мест, где он собирается остаться, с помощью их отношения к экватору и первому меридиану.)

Физическая география предполагает некоторое знание природы и дает повод для обогащения этого знания. Политическая география обозначает способ, которым человек населяет и использует поверхность Земли. Педагогической целью обучения географии является объединение всего этого.

265. Учитель должен развивать искусство повествования; его рассказы должны напоминать рассказы путешественника. Но повествование должно конфликтовать с определением относительного положения мест (путем группировки их вокруг одного главного места, а в случае более чем одного — с помощью использования треугольников) так же мало, как при преподавании истории рассказ о событиях должен конфликтовать со схемой хронологии. Они идут вместе. Повествование должно представлять ясную картину, и для этой цели требует поддержки нескольких фиксированных точек в пространстве. С другой стороны, эти точки не должны оставаться изолированными; они должны быть соединены линиями картины.

Не безразлично, сколько незнакомых имен упоминается за одну минуту или час. Также не безразлично, произносятся ли они до или после восприятия картины, которую представляет карта. Первое требование состоит в том, чтобы каждая карта, помещенная перед учениками, воспринималась как страна; достаточно трех, самое большее четырех названий рек и названий нескольких гор; полнота здесь неуместна. Несколько данных названий предоставляют достаточную возможность для фиксации положения примечательных точек, как по отношению друг к другу, так и к граничным линиям страны.

После того как этим географическим особенностям было уделено должное внимание, их следует соединить, скажем, с помощью классной доски, на которой они грубо набрасываются одна за другой и впоследствии правильно соединяются. В случае истоков и устьев рек это может быть сделано линией, чтобы обозначить течение. Если теперь ученики хорошо использовали свои глаза ранее, особенно если они заметили падение ручьев и рек и наблюдали наклон земли в конкретном регионе — если нет, этот недостаток должен быть восполнен прежде всего — будет не слишком рано переходить к общему описанию внешнего вида, который страна, рассматриваемая в данный момент, представила бы путешественнику. И теперь пришло время для несколько более полного упоминания названий рек и гор, но эти названия должны сразу же быть повторены несколько раз учениками. Это покажет, не был ли список новых названий сделан слишком длинным; часто это во многом связано с небрежностью в этом отношении, если изучение географии оказывается бесплодным или обременительным. Далее следуют подробные описания конкретных чудес природы, где таковые имеются. Затем внимание уделяется некоторым из главных городов, при этом упоминается количество жителей. Здесь снова вступает определение относительного местоположения, и для этого самодеятельность учеников незаменима. Наконец, человеческая промышленность и искусство, насколько они относятся к продуктам страны, вместе с тем немногом из политической организации, что ученики могут понять. Названия провинций обычно следует опускать из первого курса.