«Анализ материи»

В теории относительности удаленные пространственно-временные точки имеют только такие отношения, которые могут быть получены путем интегрирования из отношений соседних точек. Поскольку расстояние между двумя точками всегда конечно, то, что мы называем отношением между соседними точками, на самом деле вовсе не является отношением между точками, а является пределом, подобно скорости. Только язык исчисления может точно выразить то, что имеется в виду. Можно было бы сказать, выражаясь образно, что понятие «интервала» касается того, что в каждой точке стремится произойти, хотя мы не можем сказать, что это действительно произойдет, потому что до того, как будет достигнута любая назначенная точка, могло произойти что-то, что вызвало отклонение. Это, конечно, случай со скоростью. Из того факта, что в данный момент тело движется в данном направлении с данной скоростью, мы не можем сделать никакого вывода о том, где тело будет в другой назначенный момент, как бы близок он ни был к первому. Чтобы вывести путь тела из его скорости, мы должны знать его скорость в течение конечного времени. Аналогично, формула для интервала характеризует каждую отдельную точку пространства-времени. Однако, чтобы получить интервал между одной точкой и другой, как бы близко они ни находились, мы должны указать маршрут и интегрировать вдоль этого маршрута. Как мы увидим, однако, существуют маршруты, которые можно назвать «естественными» — а именно, геодезические линии. Только с их помощью понятие интервала может быть с пользой распространено на отношения точек, находящихся на конечном расстоянии друг от друга.

ГЛАВА VII МЕТОД ТЕНЗОРОВ

Метод тензоров содержит ответ на вопрос, который становится неотложным из-за произвольного характера наших координат. Как мы можем узнать, выражает ли формула, выраженная в терминах наших координат, нечто, описывающее физические явления, а не просто конкретную систему координат, которую мы случайно используем? Ярким примером ошибок, возможных в этом отношении, является одновременность. Предположим, у нас есть два события, чьи координаты в системе, которую мы используем, равны (x1, x2, x3, t) и (x1', x2', x3', t) — то есть их временные координаты одинаковы. До специальной теории относительности все утверждали бы, что это представляет собой физический факт о двух событиях — а именно, что они одновременны. Теперь мы знаем, что рассматриваемый факт — это тот, который также включает упоминание системы координат — то есть это отношение не только между двумя событиями, но и между ними и телом отсчета. Но это значит говорить на языке специальной теории. В общей теории наши координаты могут не иметь важного физического значения, и пара событий, имеющих одну идентичную координату, не обязательно должна обладать каким-либо внутренним физическим свойством, не присущим другим парам событий. На практике должен существовать какой-то принцип, по которому назначаются координаты, и этот принцип должен иметь некоторое физическое значение. Но мы могли бы, например, измерять время самыми плохими часами, какие когда-либо были сделаны, при условии, что они только спешили или отставали, но не останавливались на самом деле. И мы могли бы использовать некоторого червя в качестве нашей единицы длины, не обращая внимания на «фицджеральдово сокращение», которому подвергает его движение.

В этом случае, если мы скажем, что было единичное расстояние между двумя событиями, которые оба произошли в определенный момент, мы будем делать сложное сравнение между событиями, плохими часами и определенным червем — то есть мы будем делать утверждение, которое зависит от нашей системы координат. Мы хотим обнаружить достаточное, если не необходимое, условие, которое, будучи выполненным, гарантирует, что утверждение в терминах координат имеет смысл, независимый от координат. Разница более или менее аналогична той, что в обычном языке существует между лингвистическими утверждениями и утверждениями, которые (как это обычно бывает) касаются того, что означают слова. Если я скажу «сила — это желательное качество», мое утверждение может быть переведено на французский или немецкий язык без изменения смысла. Но если я скажу «сила — это слово, содержащее семь согласных и только одну гласную», мое утверждение станет ложным при переводе на французский или немецкий язык. Теперь в физике координаты аналогичны словам, с той разницей, что гораздо труднее отличить «лингвистические» утверждения от других. Это то, что берется делать метод тензоров.

Не представляется возможным изложить метод тензоров на нетехническом языке; я боюсь, что те философы, которые не сочли нужным изучить исчисление, не могут надеяться понять его. Возможно, со временем будет найден какой-то простой способ объяснить его, но пока ни одного не найдено. [24]

Предположим, у нас есть векторная величина, компоненты которой равны A1, A2, A3, A4. (Здесь 1, 2, 3, 4 играют роль суффиксов, а не экспонент, обозначающих степени.) В некоторых случаях случается, что если мы преобразуем к любым другим координатам x1', x2', x3', x4', которые являются непрерывными функциями старых координат x1, x2, x3, x4, мы будем иметь в качестве компонентов вектора в новых координатах A1', A2', A3', A4', где Aμ' = Σ (∂xμ' / ∂xν) Aν, с аналогичными формулами для A2', A3', A4'. Когда это происходит, рассматриваемый вектор называется контравариантным. Простейшим примером является (dx1, dx2, dx3, dx4). За исключением этого единственного случая, «контравариантное» свойство символизируется верхним положением суффикса.

Снова у нас может быть вектор, компоненты которого равны A1, A2, A3, A4, который преобразуется по закону: Aμ' = Σ (∂xν / ∂xμ') Aν, с аналогичными формулами для A2', A3', A4'. Такой вектор называется ковариантным. Простейшим примером является вектор, компоненты которого равны: Aμ = ∂φ / ∂xμ, где φ — некоторая функция, которая имеет фиксированное значение в каждой точке, независимо от системы координат.

Очевидно, что если у нас есть два контравариантных вектора Aμ и Bμ, компоненты которых равны в одной системе координат, то их компоненты равны в любой системе координат; то же самое относится к двум ковариантным векторам Aμ и Bμ. Это сразу следует из вышеприведенных правил преобразования. Таким образом, равенство двух контравариантных векторов или двух ковариантных векторов, когда оно имеет место, является фактом, независимым от системы координат. Это, по сути, тензорное уравнение простейшего вида.

Общее определение «тензора» является обобщением определений контравариантных и ковариантных векторов. Вместо вектора только с четырьмя компонентами мы можем иметь величину с шестнадцатью компонентами: Aμν. Такая величина может быть обозначена как «Aμν», где подразумевается, что μ и ν могут каждое принимать все значения от 1 до 4. Аналогично мы можем иметь величину с шестьюдесятью четырьмя компонентами, Aμνσ и т. д.; такая величина может быть обозначена как «Aμνσ», где μ, ν и σ могут каждое принимать все значения от 1 до 4. Такие величины называются «тензорами», если они подчиняются законам преобразования, аналогичным законам контравариантных и ковариантных векторов. Таким образом, контравариантный тензор с шестнадцатью компонентами, который записывается «Aμν», — это тот, который удовлетворяет правилу: Aμν' = Σ (∂xμ' / ∂xα) (∂xν' / ∂xβ) Aαβ, с аналогичными уравнениями для других компонентов — например, Aμνσ': Aμνσ' = Σ (∂xμ' / ∂xα) (∂xν' / ∂xβ) (∂xσ' / ∂xγ) Aαβγ. Эти уравнения включены в: Aμν' = Σ (∂xμ' / ∂xα) (∂xν' / ∂xβ) Aαβ, где μ, ν должны принимать все значения от 1 до 4. Аналогично, ковариантный тензор с шестнадцатью компонентами, записываемый «Aμν», — это тот, который преобразуется по правилу: Aμν' = Σ (∂xα / ∂xμ') (∂xβ / ∂xν') Aαβ, а смешанный тензор, записываемый Aμν, — это тот, который удовлетворяет правилу: Aμν' = Σ (∂xμ' / ∂xα) (∂xβ / ∂xν') Aαβ.

Нет никакой трудности в распространении этих определений на любое количество суффиксов. Очевидно, как и в случае с контравариантными и ковариантными векторами, что если два тензора одного и того же вида равны в одной системе координат, они равны в любой системе координат, так что тензорные уравнения выражают условия, которые не зависят от выбора координат. По этой причине необходимо выражать все общие законы физики как тензорные уравнения; если это не может быть сделано, рассматриваемый закон должен быть неверным и должен требовать такого исправления, которое позволит выразить его как тензорное уравнение. Закон тяготения является наиболее примечательным примером этого; но, возможно, закон сохранения энергии едва ли менее примечателен. [25] Кажется естественным предположить, что было бы возможно разработать менее косвенный метод выражения физических законов, чем тот, который предоставляется методом тензоров, что, возможно, является следствием исторического развития физики. Первоначально в физике координаты предназначались для выражения физических отношений между рассматриваемым событием и началом координат. Три из координат были длинами, которые, как считалось, можно было установить измерением жестким стержнем. Четвертая была временем, которое можно было измерить хронометром. Однако существовали трудности, которые прогресс физики делал все более очевидными. Пока Землю можно было считать неподвижной, осей, фиксированных относительно Земли, и часов, которые оставались на поверхности Земли, казалось достаточно. Можно было не обращать внимания на факты, что ни одно тело не является вполне жестким и ни одни часы вполне точными, потому что система физических законов, предложенная выбором наиболее жестких тел и наиболее точных часов, могла быть использована для оценки отклонения этих инструментов от строгой постоянности, и результаты в целом были самосогласованными. Но в астрономических задачах, включая задачу о приливах, Землю нельзя было считать неподвижной. Для ньютоновской динамики было необходимо, чтобы оси не имели никакого ускорения, но из закона тяготения следовало, что любые материальные оси должны иметь некоторое ускорение. Оси, следовательно, стали идеальными структурами в абсолютном пространстве; фактические измерения реальными стержнями могли только приближаться к результатам, которые последовали бы, если бы мы могли использовать неускоренные оси. Эта трудность не была самой серьезной: самая большая проблема касалась абсолютного ускорения. Затем последовало экспериментальное открытие фактов, которые привели к специальной теории относительности: изменение длины и массы со скоростью и постоянство скорости света в вакууме, независимо от того, какое тело использовалось для определения координат. Этот набор трудностей был решен специальной теорией относительности, которая показала, что эквивалентные результаты получаются при использовании в качестве тела отсчета любого из набора тел в равномерном прямолинейном движении. Это, однако, только достигло того, чего, как думали Галилей и Ньютон, они достигли. Она включила электромагнитные явления в сферу относительности в отношении скоростей, но было ясно, что необходимо распространить относительность на ускорения, и когда это было сделано, координаты перестали иметь тот ясный физический смысл, который они имели ранее. Это правда, что даже в общей теории координата в любой системе, которая может быть фактически использована, всегда будет иметь некоторое физическое значение, но ее значение тривиально и сложно, а не, как раньше, важно и просто.

Естественно спросить: не могли бы мы обойтись без координат вообще, поскольку они стали немногим более чем условными именами, систематически назначенными? Возможно, это станет возможным со временем, но в настоящее время не хватает необходимой математики. Мы хотим, например, иметь возможность дифференцировать, и мы не можем дифференцировать функцию, если ее аргументы и значения не являются числами. Это не связано с тем, что могло бы показаться более трудными частями определения дифференциала. Мы можем определить для нечисловой функции предел (если он существует) функции для данного аргумента, а также четыре предела, которые существуют чаще — а именно, максимум и минимум для приближений сверху и снизу; мы также можем определить «непрерывную» нечисловую функцию. (См. Principia Mathematica, *230—*234.) Что до сих пор не было определено, за исключением чисел, так это дробь. Теперь dy/dx — это предел дроби; таким образом, хотя мы можем обобщить понятие предела, мы не можем в настоящее время обобщить dy/dx, потому что мы не можем обобщить понятие дроби. Кажется априори ясным, что, поскольку дифференцирование координат физически полезно, даже когда количественное значение координат условно, должен существовать какой-то процесс, частной числовой формой которого является дифференцирование, который можно применять везде, где у нас есть непрерывные функции, даже когда они нечисловые. Определить такой процесс — это проблема математической логики, вероятно, разрешимая, но до сих пор нерешенная. Если бы она была решена, возможно, стало бы возможным избежать сложного и окольного процесса назначения координат, а затем рассмотрения почти всех их свойств как нерелевантных, что и делается при использовании метода тензоров.

Существуют, правда, определенные числа, которые важны в новой геометрии: это те, которые дают меру интервалов. Но, как мы уже видели, две точки на конечном расстоянии друг от друга не имеют однозначного интервала; и любые две точки находятся на конечном расстоянии друг от друга. Числа, участвующие в понятии интервала, — это не конечные расстояния, а числа, выводимые из шестнадцати коэффициентов gμν, участвующих в формуле для ds^2 в предыдущей главе. Эти коэффициенты сами зависят от системы координат, но ds^2 — нет. Мы не можем развить эту тему, пока не рассмотрим геодезические линии; именно из них мы должны вывести числа, которые имеют в новой геометрии тот же род физической важности, которую, как предполагалось, имели координаты в старой. Эти числа будут интегралами ds, взятыми вдоль определенных геодезических линий. Но, в отличие от длин в старой метрической геометрии, они геометрически недостаточны. Чтобы избежать нерелевантных осложнений, мы можем проиллюстрировать эту недостаточность, рассмотрев специальную теорию.

Наиболее очевидный пример неспособности интервала составить геометрию выводится из рассмотрения световых лучей. Интервал между двумя событиями, которые являются частями одного и того же светового луча, равен нулю. Предположим теперь, что световой луч исходит из события A и прибывает в событие B в момент, когда он достигает B, другой световой луч исходит из B и достигает C. Тогда интервал между A и B равен нулю, интервал между B и C равен нулю, но интервал между A и C может иметь любую времениподобную величину. Евклид доказал, что две стороны треугольника вместе больше третьей стороны, и подвергся критике на том основании, что это положение было очевидно даже ослам. Но в релятивистской геометрии это положение ложно. В нашем треугольнике AB и BC равны нулю, в то время как AC может иметь любую конечную величину.

Опять же, события, которые являются частями одного светового луча, имеют определенный временной порядок, несмотря на тот факт, что интервал между любыми двумя из них равен нулю. Это проявляется следующим образом. Предположим, световой луч идет от Солнца к Луне и оттуда отражается к Земле: он достигает Земли позже, чем прямой луч, который покинул Солнце в то же время. Поэтому существует определенный смысл в утверждении, что луч достиг Луны позже, чем покинул Солнце — то есть мы можем сказать, что луч пошел от Солнца к Луне, а не от Луны к Солнцу. Обобщая, мы можем сказать: если A и B являются частью одного светового луча, и световые лучи из A и B, отличные от предыдущего светового луча, содержат события A', B', чей интервал является времениподобным, то временной порядок A', B' один и тот же, какими бы ни были эти новые световые лучи — то есть мы будем иметь всегда A' до B' или всегда B' до A'. В первом случае мы говорим, что «направление» луча — от A к B, во втором — от B к A. Это иллюстрирует трудности, которые возникли бы, если бы мы попытались основать нашу геометрию только на интервале. Мы должны также принять во внимание чисто порядковые свойства пространства-временного многообразия. Эти свойства дают широкое разделение между уходом светового луча от Солнца и его прибытием на Землю, хотя «интервал» между этими двумя событиями равен нулю.

Возвращаясь теперь к методу тензоров и его возможному конечному упрощению, кажется вероятным, что мы имеем пример общей тенденции к переоценке чисел, которая существовала в математике со времен Пифагора, хотя она была временно менее заметной в поздней греческой геометрии, как это представлено у Евклида. Теория пропорций Евклида, конечно, не обходится без чисел, поскольку она использует «кратные»; но, во всяком случае, она требует только целых чисел, а не иррациональных. Из-за того, что арифметика легка, греческие методы в геометрии отошли на второй план со времен Декарта, и координаты стали казаться незаменимыми. Но математическая логика показала, что число логически нерелевантно во многих задачах, где оно раньше казалось существенным, особенно в математической индукции, пределах и непрерывности. Новая техника, которая кажется трудной, потому что она незнакома, требуется, когда числа не используются; но есть компенсирующий выигрыш в логической чистоте. Должно быть возможно применить аналогичный процесс очистки к физике. Метод тензоров сначала назначает координаты, а затем показывает, как получить результаты, которые, хотя и выражены в терминах координат, на самом деле не зависят от них. Должна быть возможна менее косвенная техника, в которой мы используем не больше аппарата, чем логически необходимо, и имеем язык, который будет выражать только такие факты, которые сейчас выражаются на языке тензоров, а не такие, которые зависят от выбора координат. Я не говорю, что такой метод, если он будет открыт, был бы предпочтительнее на практике, но я говорю, что он дал бы лучшее выражение существенных отношений и значительно облегчил бы задачу философа. Тем временем метод тензоров технически восхитителен и достаточен для математических нужд.

СНОСКИ:

[24] О том, что следует далее, см. Eddington, Mathematical Theory of Relativity, chap. II., Cambridge, 1924.

[25] См. Eddington, op. cit., p. 134.

ГЛАВА VIII ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ

Важность геодезических линий возникает из закона, что в общей теории относительности частица, не подверженная ограничениям, движется по геодезической линии. Но давайте сначала рассмотрим, что такое геодезическая линия.

Авантюрный пешеход в Альпах может пожелать пройти из места в одной долине в место в другой по кратчайшему маршруту — то есть кратчайшему, совместимому с пребыванием все время на поверхности Земли. Он не может определить кратчайший маршрут, глядя на крупномасштабную карту и проводя прямую линию между двумя местами, ибо если эта линия включает больший средний градиент, чем другая, она может быть длиннее, по расстоянию, а также по времени, чем другой маршрут, который постепенно поднимается к вершине перевала, а затем снова спускается. То, что ищет путешественник, — это «геодезическая линия» — то есть кратчайшая линия, которую можно провести на поверхности Земли между двумя точками. При отсутствии холмов — например, на море — кратчайший маршрут проходит по большому кругу. На сложных поверхностях геодезические линии могут стать очень сложными кривыми. Определение — это не совсем «кратчайший маршрут между двумя точками». Определение заключается в том, что расстояние вдоль геодезической линии от любой из ее точек до любой другой должно быть «стационарным» — то есть таким, что либо все очень слегка отличающиеся пути длиннее, либо все очень слегка отличающиеся пути короче. Это означает, что для малых вариаций пути изменение длины первого порядка равно нулю. По сути, в обычной геометрии поверхностей геодезическое расстояние является минимумом, а в теории относительности оно является максимумом. Это не такая большая разница, как может показаться нематематическому читателю, поскольку геодезическое расстояние, рассматриваемое в теории относительности, более аналогично тому, что обычно считалось бы течением времени, чем тому, что обычно считалось бы расстоянием в пространстве.

Давайте попробуем сделать этот вопрос немного более конкретным. Земля в своем ежегодном обращении путешествует из места в место в пространстве-времени; между положениями Гринвичской обсерватории в двух случаях с интервалом в шесть месяцев существует определенный интервал. С точки зрения наблюдателя на Солнце интервал раньше был бы разделен на две части — а именно, шесть месяцев и около 186 000 000 миль. Но с точки зрения наблюдателя в Гринвиче существует только один интервал — а именно, время — поскольку рассматриваемое место одинаково в обоих случаях. Если даны часы, которые путешествуют без ограничений из одной точки пространства-времени в другую, интервал между этими двумя точками — это то, что эти часы регистрируют как время между ними. Я говорю, что если бы часы были вынуждены путешествовать по какому-то другому, слегка отличающемуся маршруту, чтобы присутствовать в Гринвичской обсерватории в двух случаях с интервалом в шесть месяцев, но отсутствовать на Земле в промежутке, время, которое эти часы зарегистрировали бы как затраченное на их путешествие, было бы меньше шести месяцев. Интервал между удаленными точками — это не, как расстояние в геометрии, нечто, что можно определить независимо от выбранного маршрута. Интервал должен быть получен путем интегрирования вдоль указанного маршрута, а геодезический маршрут — это тот, который делает интервал больше, чем он был бы по любому слегка отличающемуся маршруту. Время между двумя данными событиями, в которых присутствует человек, кажется меньше, если он провел промежуточное время в быстром путешествии, чем если бы он позволил себе дрейфовать пассивно; это своего рода закон космической скуки. Все тела, предоставленные сами себе, выбирают курс, который в каждый момент является наиболее скучным, в том смысле, что он делает время между двумя данными событиями кажущимся самым длинным. Однако пора покончить с этими неуместностями и вернуться к серьезности.

Поскольку малый интервал ds^2 независим от координат, геодезическая линия также независима от них. Мы можем легко получить дифференциальные уравнения, которым должна удовлетворять геодезическая линия, и эти уравнения должны удовлетворяться одними и теми же линиями, какую бы систему координат мы ни использовали. Из данной точки геодезические линии начинаются во всех направлениях. Некоторые из них являются путями свободно движущихся частиц; другие — нет. Закон, что путь частицы является геодезической линией, не говорит нам так много, как кажется, поскольку только путем наблюдения за движениями тел мы обнаруживаем, какие пути являются геодезическими линиями. Предполагая, что орбита Земли является геодезической линией, мы можем сделать выводы о природе формулы для ds^2 в гравитационном поле Солнца. Ибо у нас нет априорных знаний о коэффициентах gμν, которые появляются в формуле для ds^2; их значения должны быть выведены из наблюдений. Что мы можем сказать, так это то, что возможно, совместимо с наблюдаемыми фактами, так определить gμν, чтобы путь тела в гравитационном поле был геодезической линией. На самом деле мы получаем таким образом более точное представление фактов, чем мы получили из ньютоновского закона, но наблюдаемые различия между ними немногочисленны и незначительны.

Хотя новый закон тяготения и старый не приводят к очень разным результатам — как, действительно, они и не могли, поскольку старый закон тесно согласовывался с наблюдаемыми фактами, — все же разница в вовлеченных идеях очень велика. Планета в новой теории движется свободно, тогда как в старой теории она была подвержена центральной силе, направленной к Солнцу. В старой теории планета двигалась по эллипсу; в новой теории она движется по максимально возможному приближению к прямой линии — а именно, геодезической линии. В старой теории Солнце было подобно деспотическому правительству, издающему указы из метрополии; в новой солнечная система подобна обществу мечты Кропоткина, в котором каждый делает то, что предпочитает в каждый момент, и результатом является идеальный порядок. Странно то, что, насколько позволяют наблюдения, разница между этими двумя теориями чрезвычайно мала. Простому человеку казалось бы невозможным примирить утверждение, что Земля движется по эллипсу, с утверждением, что она движется по своего рода прямой линии, какой бы странной она ни была. И все же почти вся разница между этими двумя утверждениями — вопрос условности. Возможно придерживаться евклидова пространства даже сейчас; это требует другого способа формулировки закона тяготения Эйнштейна, но не требует отказа от чего-либо, что было доказано как истинное. Доктор Уайтхед считает этот план предпочтительнее эйнштейновского. То, что можно назвать новой ортодоксией, напротив, изложено профессором Эддингтоном. Стоит рассмотреть предмет спора между ними.

Профессор Эддингтон говорит (op. cit., p. 37):

«Предположим, что наблюдатель выбрал определенную систему пространственных координат и отсчета времени (x1, x2, x3, x4), и что геометрия этих координат задается формулой: ds^2 = Σ gμν dxμ dxν. Пусть он находится под ошибочным впечатлением, что геометрия есть: ds'^2 = Σ δμν dxμ dxν — это геометрия, с которой он наиболее знаком в чистой математике. Мы используем ds' для различения его ошибочного значения интервала. Поскольку интервалы могут быть сравнены экспериментальными методами, он должен вскоре обнаружить, что его ds' не может быть примирено с результатами наблюдений, и таким образом осознать свою ошибку. Но разум не так легко избавляется от одержимости. Более вероятно, что наш наблюдатель останется при своем мнении и припишет расхождение наблюдений некоторому влиянию, которое присутствует и влияет на поведение его тестовых тел. Он, так сказать, введет сверхъестественное агентство, которое он может винить за последствия своей ошибки. Давайте рассмотрим, какое имя он применил бы к этому агентству.

«Из четырех рассмотренных тестовых тел движущаяся частица в общем случае наиболее чувствительна к малым изменениям геометрии, и именно по этому тесту наблюдатель первым обнаружил бы расхождения. Путь, проложенный для нее нашим наблюдателем, есть: d^2xμ / ds^2 = 0 — то есть прямая линия в координатах (x1, x2, x3, x4). Частица, конечно, не обращает на это внимания и движется по другому пути: d^2xμ / ds^2 + Σ Γμνσ (dxν/ds) (dxσ/ds) = 0. Хотя, по-видимому, невозмущенная, она отклоняется от «равномерного движения по прямой линии». Имя, данное любому агентству, которое вызывает отклонение от равномерного движения по прямой линии, есть сила согласно ньютоновскому определению силы. Следовательно, агентство, вызванное ошибкой нашего наблюдателя, описывается как «поле силы».

«Поле силы не всегда вводится по неосторожности, как в предыдущей иллюстрации. Оно иногда вводится преднамеренно математиком — например, когда он вводит центробежную силу. Было бы мало преимуществ и много недостатков в изгнании фразы «поле силы» из нашего словаря. Мы поэтому упорядочим процедуру, которую принял наш наблюдатель. Мы называем (16·2) абстрактной геометрией системы координат (x1, x2, x3, x4); она может быть выбрана произвольно наблюдателем. Естественная геометрия — это (16·1).

«Поле силы представляет расхождение между естественной геометрией системы координат и абстрактной геометрией, произвольно приписанной ей.

«Поле силы, таким образом, возникает из отношения ума. Если мы не принимаем нашу систему координат за нечто отличное от того, чем она является на самом деле, поля силы нет».

Не совсем ясно, почему человек, который использует силы с условной геометрией, должен рассматриваться как совершающий «ошибку», в то время как человек, который говорит, что свободные частицы движутся по геодезическим линиям, и чтобы оправдать себя, имеет странную геометрию, считается говорящим нечто существенно более точное. Это правда, что мы не должны представлять «силу» как реальное агентство, как это делала старая механика; это просто часть метода описания того, как движутся тела. Но как только это признано, это просто вопрос удобства, говорим ли мы о силах или нет. Пусть будет признано, что метод общей теории относительности лучше с логико-эстетической точки зрения; я не вижу, однако, почему мы должны рассматривать его как более «истинный». Я не рассматриваю в данный момент тот факт, что закон тяготения Эйнштейна дает немного более точную картину явлений, чем закон Ньютона, поскольку это не совсем относится к конкретному предмету спора.

Давайте теперь рассмотрим взгляд доктора Уайтхеда, который в этом пункте противоположен взгляду профессора Эддингтона. В предисловии к «Принципу относительности» [1] он говорит:

«В результате рассмотрения характера нашего знания в целом и нашего знания природы в частности... я вывожу, что наш опыт требует и демонстрирует основу единообразия, и что в случае природы эта основа проявляет себя как единообразие пространственно-временных отношений. Этот вывод полностью отсекает случайную неоднородность этих отношений, которая является существенной для поздней теории Эйнштейна. Именно это единообразие существенно для моего взгляда, а не евклидова геометрия, которую я принимаю как поддающуюся наиболее простому изложению фактов природы. Я был бы очень готов поверить, что каждое постоянное пространство является либо равномерно эллиптическим, либо равномерно гиперболическим, если какие-либо наблюдения объясняются более просто такой гипотезой. Для моей теории неотъемлемо поддерживать старое разделение между физикой и геометрией. Физика — это наука о случайных отношениях природы, а геометрия выражает ее единообразную связанность».

Снова, обсуждая структуру пространства-времени, он говорит (ib., p. 29):

«Структура единообразна из-за необходимости для знания того, чтобы существовала система единообразной связанности, в терминах которой могут быть выражены случайные отношения природных факторов. Иначе мы не можем знать ничего, пока не узнаем все».

И на стр. 64:

«Хотя характер времени и пространства не является в каком-либо смысле априорным, существенная связанность любого воспринимаемого поля событий со всеми другими событиями требует, чтобы эта связанность всех событий соответствовала установленному раскрытию, полученному из ограниченного поля. Ибо мы можем знать, что удаленные события пространственно-временно связаны с событиями, непосредственно воспринимаемыми, только зная, каковы эти отношения. Другими словами, эти отношения должны обладать систематическим единообразием, чтобы мы могли знать о природе как простирающейся за пределы изолированных случаев, подвергнутых прямому исследованию индивидуального восприятия.... Эта доктрина ведет к отвержению интерпретации Эйнштейном своих формул как выражающих случайную неоднородность пространственно-временного искривления, зависящую от случайных прилагательных».

Таким образом, в то время как Эддингтон, по-видимому, считает необходимым принять эйнштейновское переменное пространство, Уайтхед считает необходимым его отвергнуть. Что касается меня, то я не вижу причин соглашаться с какой-либо из этих точек зрения: этот вопрос, по-видимому, является делом удобства при интерпретации формул. Тем не менее аргументы доктора Уайтхеда заслуживают тщательного рассмотрения.

Основная сила приведенных выше отрывков носит эпистемологический характер: затрагиваемый вопрос является кантовским: «Как возможно знание?». Я не хочу рассматривать этот вопрос в его общей форме. Но если не вдаваться в теорию познания, существует то, что можно назвать ответом с позиций здравого смысла. Эйнштейн позволяет нам предсказывать то, что на самом деле может быть предсказано относительно астрономических явлений, и это, по-видимому, все, что от него следует требовать. Доктор Уайтхед возражает против «случайной» неоднородности пространства-времени в системе Эйнштейна. В некотором смысле этот эпитет оправдан, поскольку характер пространства-времени в любой области зависит от обстоятельств, которые могут быть установлены только эмпирически, а именно от распределения материи в окрестности. Но в другом смысле этот эпитет не оправдан, поскольку закон гравитации Эйнштейна дает правило, согласно которому пространство-время подвергается воздействию со стороны соседней материи. Утверждение о том, что мы не можем с помощью этого правила заранее знать геометрию области, которую мы еще не исследовали, кажется недостаточным возражением, поскольку мы также не можем знать, какие астрономические события произойдут, если не будем знать распределения материи. Эйнштейн, как и другие люди, предполагает неизменность материи; это момент, который следует рассмотреть в другой связи, но он не имеет особого отношения к данному вопросу. То, как движутся небесные тела, зависит от распределения материи в их окрестности, которое, по выражению доктора Уайтхеда, является «случайным». Даже предполагая евклидову геометрию, мы не можем делать астрономические прогнозы, если не предположим, что нам известны важные факты о распределении материи в рассматриваемой области. Включаем ли мы следствия этих фактов в нашу геометрию или нет, по-видимому, не имеет никакого реального значения для возможности физического знания. Во всей теоретической физике существует определенная примесь фактов и вычислений; до тех пор, пока эта комбинация дает результаты, подтверждаемые наблюдением, я не вижу, чтобы у нас могли быть какие-либо априорные возражения. Взгляд доктора Уайтхеда, по-видимому, основывается на предположении, что принципы научного вывода должны быть в каком-то смысле «разумными». Возможно, мы все делаем это предположение в той или иной форме. Но что касается меня, я предпочел бы выводить «разумность» из успеха, а не устанавливать заранее стандарт того, что можно считать достоверным.

Поэтому я не вижу никаких оснований для отвержения переменной геометрии, подобной эйнштейновской. Но в равной степени я не вижу оснований полагать, что факты делают ее необходимой. На мой взгляд, этот вопрос — лишь вопрос логической простоты и всеохватности. С этой точки зрения я предпочитаю переменное пространство, в котором тела движутся по геодезическим линиям, евклидову пространству с полем сил. Но я не могу рассматривать этот вопрос как касающийся фактов.

По-видимому, вывод заключается в том, что, когда физика рассматривается, как мы сейчас ее рассматриваем, в качестве дедуктивной системы, мы поступаем правильно, принимая эйнштейновскую интерпретацию: свободные частицы движутся по геодезическим линиям, а закон гравитации — это закон о том, как геодезические линии формируются в окрестности материи. Этот взгляд по существу прост, хотя и ведет к сложной математике. Он согласуется с фактами и ставит закон гравитации на подобающее место среди физических принципов, вместо того чтобы оставлять его, как прежде, изолированным и не связанным законом. Поэтому я предлагаю продолжать придерживаться взгляда Эйнштейна как наилучшего способа интерпретации принципов физики, не утверждая при этом, что никакой другой способ логически невозможен.

Существует один вопрос огромной теоретической важности, который не очень ясен в обычных изложениях теории относительности. Как нам узнать, следует ли считать, что два события происходят с одним и тем же куском материи? Предполагается, что электрон или протон сохраняет свою идентичность во времени; но наш фундаментальный континуум — это континуум событий. Поэтому нужно предположить, что одна единица материи — это ряд событий или ряд множеств событий. Неясно, каков теоретический критерий для определения того, принадлежат ли оба события к одной такой серии. Мы можем предположить, я полагаю, что два события, которые перекрываются, т. е. присутствуют в одной и той же точке пространства-времени, должны принадлежать одной единице материи. (Не следует предполагать, что событие, принадлежащее одной единице материи, не принадлежит никакой другой.) Мы также можем предположить, что два события, которые имеют пространственноподобный интервал или имеют нулевой интервал, не перекрываясь, не принадлежат одной единице материи. Но когда два события имеют времениподобный интервал, очевидного критерия нет. Любые два таких события могут быть соединены геодезической линией, в которой любые две точки имеют времениподобное разделение; поэтому, насколько это касается законов динамики, они оба могли бы принадлежать одной и той же материальной единице. И все же иногда мы думаем, что они принадлежат, а иногда — что нет. Очевидно, что часть задачи физики — сказать нам, как мы должны решать этот вопрос в данном конкретном случае. Что мы можем сказать об этом?

Решение должно зависеть от промежуточной истории, т. е. от существования некоторой серии промежуточных событий (или множеств событий), следующих друг за другом согласно некоторому закону. Если существует какой-либо закон, которому на самом деле подчиняются цепочки событий, такой закон можно использовать для определения того, что мы подразумеваем под одной материальной единицей. Мы знаем, что такие законы существуют, но их важность в этой связи не подчеркивается, поскольку едва ли осознавалось, что существует проблема, связанная с заменой кусочков материи событиями в качестве фундаментальной субстанции физики. Для здравого смысла существует более или менее расплывчатый закон того, что можно назвать качественной непрерывностью. Если вы упорно смотрите в заданном направлении, то, как правило, то, что вы видите, изменяется постепенно; бывают исключения, такие как взрывы, но они редки. (Я говорю не о теоретической постепенности, а о той, которая очевидна для нетренированного восприятия.) Если вы видите, скажем, четко определенное красное пятно, форма и оттенок которого не сильно меняются, пока вы смотрите, вы заключаете, что там есть материальный объект, особенно если вы можете коснуться его, когда захотите. Здравый смысл достигает таким образом значительной степени постоянства в своих объектах. Большего можно достичь, сводя материю к молекулам, еще большего — сводя ее к атомам, и еще большего — сводя ее к протонам и электронам. Но физики не были бы довольны электронами и протонами, если бы не тот факт, что их столы и стулья, их лаборатории и их книги состоят, в целом, из одних и тех же электронов и протонов в разных случаях. Качественная непрерывность остается основой всего процесса. Предположим, однажды вечером вы скажете астроному: «Откуда вы знаете, что это белое пятно в небе — Луна?». Он уставится на вас и подумает, что вы сумасшедший. Он не ответит: «Потому что курс и фазы Луны были разработаны астрономической теорией, и именно там должна находиться Луна, и такую форму она должна иметь в данный момент на этой широте и долготе». Что он скажет, так это: «Ну, разве вы не видите, что это Луна?». На что правильным ответом было бы: «Да, я вижу, но я не предполагал, что вы можете, потому что вы должны были выйти за рамки такого грубого критерия».

Более того, в физике существуют тождества, которые не являются материальными. Волна обладает определенной идентичностью; если бы это было не так, наши зрительные восприятия не имели бы той тесной связи, которую они на самом деле имеют с физическими объектами. Предположим, мы видим несколько ламп одновременно: мы способны различать их, потому что каждая испускает свои собственные световые волны, которые сохраняют свою индивидуальность, пока не достигнут глаза. Наша главная причина не считать волну физическим объектом, по-видимому, заключается в том, что она не является неразрушимой. Но это не единственная наша причина, поскольку, если бы это было так, мы могли бы считать энергию волны физическим объектом. Мы не считаем энергию «вещью», потому что она не связана с качественной непрерывностью объектов здравого смысла: она может проявляться как свет, тепло, звук или что угодно еще. Но теперь, когда энергия и масса оказались идентичными, наш отказ считать энергию «вещью» должен склонить нас к мнению, что то, что обладает массой, не обязательно должно быть «вещью». Мы, таким образом, приходим к взгляду, отстаиваемому Эддингтоном, что существуют определенные инварианты и что (с некоторой долей неточности) наши чувства и наш здравый смысл выделили их как заслуживающие названий. Правильное теоретическое определение отдельного куска материи будет, таким образом, зависеть от математических инвариантов, вытекающих из нашей формулы для интервала. Эта тема, однако, требует новой главы.

СНОСКИ:

[26] Этот предмет рассматривается снова в гл. XIV с несколько иной точки зрения.

ГЛАВА IX ИНВАРИАНТЫ И ИХ ФИЗИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

СУЩЕСТВУЕТ точка зрения, особо связанная с профессором Эддингтоном, которую необходимо рассмотреть на данном этапе, поскольку она естественным образом возникает при попытке развить физику как самодостаточную дедуктивную систему. Согласно этому взгляду, практически вся теоретическая физика является обширной тавтологией или конвенцией, за исключением, пока что, той части, которая включает квантовую теорию. Это не весь взгляд профессора Эддингтона на предмет, как он показал, когда писал не просто как физик-техник; [27] но это то, что мы можем назвать его «профессиональным» взглядом. [28]

Начнем с сохранения импульса и энергии (или массы). Здесь мы исходим из положения чистой математики. Чтобы объяснить это положение, потребуются некоторые предварительные замечания. Напомним, что у нас было: Мы полагаем: И мы пишем для минора в этом определителе, деленного на . Также: который = 0, если и = 1, если .

Следующим шагом является определение «трехиндексных символов», которые суть: Теперь мы можем определить тензор, который Эйнштейн использует для своего закона гравитации. Это, где: суммируется по всем значениям и от 1 до 4. Эйнштейн принимает в качестве закона гравитации в пустом пространстве. На данный момент нас интересует не закон гравитации, а некоторые тождества. Мы полагаем:

Далее, существует правило для поднятия или опускания индексов в любом тензоре, иллюстрацией которого является: так что — Обобщая понятие «дивергенции» вектора, мы получаем общее определение дивергенции любого тензора. Взяв тензор вида для целей иллюстрации, его «дивергенция» имеет четыре компоненты: где: и аналогично для и т. д. Эти определения были даны для того, чтобы сформулировать положение, [29] которое Эддингтон называет «фундаментальной теоремой механики».

Чтобы увидеть использование, которое делается из этого положения, нам нужно ввести «материальный тензор энергии», определенный как: где есть «собственная плотность» рассматриваемой материи, т. е. ее плотность относительно осей, движущихся вместе с материей. Отсюда, по обычному правилу для опускания индекса, мы получаем тензор . Принципы сохранения массы и импульса содержатся в утверждении, что дивергенция обращается в нуль. Это предполагает отождествление с, дивергенция которого обращается в нуль тождественно — помимо численного множителя, который для удобства принимается за . Таким образом, Эддингтон полагает: что является законом гравитации для непрерывной материи.

Необходимо было совершить вышеуказанный экскурс в математические области, чтобы иметь возможность понять замечания, которые следуют за вышеизложенным в изложении Эддингтона (op. cit. стр. 119). Он говорит:

«Теперь осуществляется обращение к Принципу Идентификации. Наша дедуктивная теория начинается с интервала..., из которого немедленно получается тензор. С помощью чистой математики мы выводим другие тензоры... Они составляют наш материал для построения мира; и цель дедуктивной теории — сконструировать из этого мир, который функционирует так же, как известный физический мир. Если мы преуспеем, масса, импульс, напряжение и т. д. должны быть вульгарными названиями для определенных аналитических величин в дедуктивной теории; и именно эта стадия именования аналитических тензоров достигается в (54·3). Если теория предоставляет тензор, который ведет себя точно так же, как тензор, суммирующий массу, импульс и напряжение материи, как наблюдается, то трудно увидеть, как можно было бы требовать от нее чего-то большего».

В работе Эддингтона есть ряд других примеров того же метода, но мы можем взять вышеприведенный как типичный, поскольку он математически наиболее прост. Стоит рассмотреть природу метода, помимо его технического воплощения. Это тем более необходимо, что нелегко прояснить логические и эмпирические элементы в теоретической физике, развитой с помощью вышеуказанного метода.

Фундаментально метод тот же, что всегда применялся, когда математика применялась к физическому миру. Целью было получение математических законов, которые давали правильные результаты везде, где их можно было проверить наблюдением. Чем меньше, общнее и всеохватнее были законы, тем больше удовлетворялся научный вкус. Закон гравитации Ньютона был лучше законов Кеплера, как потому, что это был один закон вместо трех, так и потому, что он давал большее количество правильных дедукций. Но на каждой стадии предмет физики становится все более абстрактным, а его связь с тем, что мы наблюдаем, — все более отдаленной. Идеал Эддингтона — начать только с одного фундаментального закона, а именно формулы для, которая, как обобщено Вейлем, даст электромагнитные уравнения, а также гравитацию. Из этого одного фундаментального закона с помощью чистой математики мы выводим существование величин, ведущих себя определенным образом. Элементарное теоретизирование на основе наблюдений привело нас к убеждению, что существуют величины, связанные с тем, что мы наблюдаем, которые ведут себя таким образом. Поэтому мы отождествляем наблюдаемые величины с выведенными величинами. Это, по сути, то же самое, что мы делаем, когда связываем то, что видим, со световыми волнами. Мы можем, таким образом, рассматривать физику с двух точек зрения: индуктивной и дедуктивной. В последней мы исходим из формулы для интервала (вместе с некоторыми другими предположениями) и выводим с помощью математики мир, обладающий определенными математическими характеристиками. В индуктивном взгляде приходят к тем же математическим характеристикам, но теперь это те, которые, как можно предположить, принадлежат физическому миру в его целостности, если мы дополним наблюдение постулатом о том, что все происходит в соответствии с простыми общими законами.

Мы можем, таким образом, сказать, что мир элементарной физики полуабстрактен, в то время как мир дедуктивной теории относительности полностью абстрактен. Видимость выведения реальных явлений из математики обманчива; на самом деле происходит то, что явления обеспечивают индуктивную верификацию общих принципов, с которых начинается наша математика. Каждый наблюдаемый факт сохраняет свою полную доказательную ценность; но теперь он подтверждает не просто какой-то конкретный закон, а общий закон, с которого начинается дедуктивная система. Однако нет никакой логической необходимости в том, чтобы один факт следовал из другого или ряда других, потому что в наших фундаментальных принципах нет никакой логической необходимости.

Вопрос интерпретации, надо признать, несколько сложен, когда физика мыслится столь абстрактным образом. Что, например, такое? Мы начинаем с взгляда, который до некоторой степени понятен в терминах наблюдения. В случае времениподобного интервала это время, которое проходит между двумя событиями согласно часам, не подверженным ограничениям, которые присутствуют при обоих событиях. На поверхности Земли время, измеренное часами, может быть выведено, при соответствующих предосторожностях, из зрительных восприятий внимательного наблюдателя. В случае пространственноподобного интервала — это расстояние между двумя событиями, как оценивается измерениями, выполненными на теле, которое присутствует при обоих и для которого два события одновременны. Элементарная операция измерения длин здесь предполагается возможной. Но когда мы переходим от этого начального взгляда к абстрактному взгляду, который требуется общей теорией относительности, интервал может быть фактически оценен только с помощью довольно сложной физики для получения дедукций из того, что может быть фактически наблюдаемо с помощью часов и линеек. Для логической теории интервал является примитивным, но с точки зрения эмпирической верификации это сложная функция эмпирических данных, выведенная с помощью физики в ее полуабстрактной форме. Единство и простота дедуктивного здания, следовательно, не должны ослеплять нас сложностью эмпирической физики или логической независимостью ее различных частей.

В частности, когда сохранение массы или импульса появляется как тождество, это верно только в дедуктивной системе; в своем эмпирическом значении эти законы отнюдь не являются логическими необходимостями. Легко мог бы существовать мир, в котором они были бы ложными, и он мог бы быть способен к столь же унифицированной и математической обработке, как общая теория относительности; но если так, фундаментальные законы были бы другими.

Что нового и интересного в точке зрения, которую мы рассматривали, так это характер отношения между эмпирической и дедуктивной физикой. Но нет никакого реального уменьшения потребности в эмпирическом наблюдении. Я ни на мгновение не предполагаю, что что-либо из вышесказанного является критикой профессора Эддингтона; на самом деле, я полагаю, он счел бы это рядом трюизмов. Я был озабочен только тем, чтобы предостеречь от возможного недопонимания со стороны тех, кто не испытывает к математике презрения, которое порождается знакомством.

В вышеприведенных замечаниях, однако, мы упустили один важный аспект теории Эддингтона. Помимо того факта, что вся общая теория относительности может быть выведена из нескольких простых предположений, интерес представляет способ дедукции и соображения, благодаря которым существенное значение математических формул становится меньшим или, по крайней мере, иным, чем можно было бы естественно предположить. Хороший пример дает параграф под заголовком «Интерпретация закона гравитации Эйнштейна». [30] Рассматриваемый закон — не, который не считается вполне точным там, где речь идет о звездных расстояниях; это модифицированный закон: где должно быть очень малым, настолько малым, что в пределах Солнечной системы новый закон дает те же результаты, в пределах точности наблюдений, что и. Новый закон показан как эквивалентный предположению, что в пустом пространстве радиус кривизны во всех направлениях везде. Но это интерпретируется как закон о наших измерительных стержнях, а именно, что они приспосабливаются к радиусу кривизны в любом месте и в любом направлении. Это интерпретируется как означающее:

«Длина указанной материальной структуры находится в постоянном отношении к радиусу кривизны мира в месте и в направлении, в котором она лежит». И добавляется следующее пояснение:

«Закон больше не кажется имеющим какое-либо отношение к конституции пустого континуума. Это закон материальной структуры, показывающий, какие размеры должна принять указанная совокупность молекул, чтобы приспособиться к равновесию с окружающими условиями мира».

В частности, электроны должны делать эти корректировки, и в другом месте предполагается, что симметрия электрона и его равенство с другими электронами не являются существенными фактами, а следствиями метода измерения (стр. 153-4). Нельзя жаловаться на автора за то, что он не сделал всего, но в этом месте большинство читателей почувствуют желание обсудить теорию измерения. Элементарное значение измерения длин выводится из суперпозиции предположительно жесткого тела. Жесткое тело, как указал доктор Уайтхед, — это прежде всего то, что кажется жестким, например, стальной стержень в отличие от куска замазки. Когда я говорю, что тело «кажется» жестким, я имею в виду, что оно выглядит и ощущается так, как будто оно не меняет свою форму и размер. Это, насколько на него можно положиться, подразумевает некоторое постоянное отношение к человеческому телу: если бы глаз и рука росли с той же скоростью, что и «жесткое» тело, оно выглядело бы и ощущалось бы как неизменное. Но если бы другие объекты в нашем непосредственном окружении не росли тем временем, мы бы заключили, что мы и наша мера выросли. Однако не было бы смысла в предположении, что все тела больше в одних местах, чем в других; по крайней мере, если мы предположим, что изменение находится в фиксированном отношении. Если мы не добавим это условие, в предположении есть хороший смысл; на самом деле, мы действительно верим, что все тела больше на экваторе, чем на Северном полюсе, за исключением тех, которые слишком малы, чтобы быть видимыми или осязаемыми. Когда мы говорим, что длина объекта на экваторе составляет один метр, мы не имеем в виду, что его длина — та, которую имел бы стандартный метр, если бы его переместили из Парижа на экватор. Но расширение тел с температурой было бы трудно обнаружить, если бы не было возможности принести тела разных температур в одну окрестность и измерить их до того, как их температуры стали равными; это было бы также трудно, если бы все тела расширялись одинаково при повышении их температур. Эти элементарные соображения, наряду со многими другими, делают жесткость идеалом, к которому реальные тела приближаются, не достигая его. Таким образом, простая суперпозиция перестает давать меру длины: она все еще дает сравнение двух рассматриваемых тел, но не одного из них со стандартной единицей длины. Чтобы получить последнюю, мы должны скорректировать непосредственные результаты операции измерения с помощью массы физической теории. Если меры, которые мы получаем, взаимно согласуются, это все, о чем мы можем просить; но возможно, что изменение в физической теории могло бы дать другие меры, которые также были бы взаимно согласующимися.

Профессор Эддингтон в отрывке, который мы частично процитировали при введении этого обсуждения, осторожно говорит, что он озабочен измерением путем прямого сравнения. Он говорит:

«Утверждение, что радиус кривизны — это постоянная длина, требует большего рассмотрения, прежде чем его полное значение будет оценено. Длина не абсолютна, и результат может означать только постоянство относительно материальных стандартов длины, используемых во всех наших измерениях, и в частности в тех измерениях, которые верифицируют. Чтобы сделать прямое сравнение, материальная единица должна быть перенесена в место и направлена в сторону измеряемой длины. Правда, мы часто используем косвенные методы, избегая фактического переноса или ориентации; но оправдание этих косвенных методов в том, что они дают тот же результат, что и прямое сравнение, и их обоснованность зависит от истинности фундаментальных законов природы. Мы здесь обсуждаем самые фундаментальные из этих законов, и признание обоснованности косвенных методов сравнения на этой стадии завело бы нас в порочный круг».

Признаюсь, я озадачен этим отрывком. Взятый в своем простом и очевидном смысле, он означает, что стандартный метр должен быть взят из Парижа и использован без каких-либо поправок на температуру и т. д., потому что, как только мы вводим такие поправки, мы предполагаем много физики и, таким образом, кажется, подвергаем себя порочному кругу, которого, как нам говорят, следует избегать. Очевидно, однако, что профессор Эддингтон имеет в виду не это, поскольку он сразу же начинает говорить об электроне как о совершающем соответствующие корректировки. Теперь электрон может быть, теоретически, идеальной пространственной единицей, но мы, безусловно, не можем сравнить его размер с размером больших тел напрямую, не предполагая никакого предварительного физического знания. Похоже, что профессор Эддингтон постулирует идеального наблюдателя, который может видеть электроны так же непосредственно (или, скорее, гораздо более непосредственно), как мы можем видеть метровую линейку. Короче говоря, его «прямое измерение» — это операция столь же абстрактная и теоретическая, как и его математический символизм. Как только это признано, мы можем взять электрон в качестве нашей пространственной единицы и спросить себя, что наш идеальный наблюдатель мог бы с ним сделать. Он не мог бы взять множество электронов и поместить их в ряд, с целью измерения заданной длины, поскольку требуется бесконечная сила, чтобы заставить два электрона соприкоснуться. Чтобы измерить обычные длины, ему пришлось бы взять (скажем) водород при заданной температуре и давлении, заключенный в баллон, чей радиус — это измеряемая длина; затем он мог бы подсчитать количество электронов в баллоне и взять его кубический корень как меру указанной длины. Но чтобы установить температуру и давление, ему придется сделать другие измерения; более того, ему придется предположить, что его баллон сферический. В целом, метод не кажется очень практичным.