«Закат Европы: Форма и действительность»

Готические соборы и дорические храмы — это математика в камне. Несомненно, Пифагор был первым в античной Культуре, кто концептуализировал число научно как принцип мирового порядка постижимых вещей — как стандарт и как величину, — но даже до него оно находило выражение, как благородное упорядочивание чувственно-материальных единиц, в строгом каноне статуи и дорическом ордере колонн. Великие искусства суть, все до одного, способы интерпретации посредством пределов, основанных на числе (рассмотрите, например, проблему представления пространства в масляной живописи). Высокая математическая одаренность может, без какой-либо математической науки вообще, прийти к плодоношению и полному самопознанию в технических сферах.

В присутствии столь мощного чувства числа, какое засвидетельствовано, даже в Древнем царстве, в измерении пирамидальных храмов и в технике строительства, управления водными ресурсами и государственного управления (не говоря уже о календаре), никто, конечно, не стал бы утверждать, что бессмысленная арифметика Ахмеса, принадлежащая Новому царству, представляет уровень египетской математики. Австралийские туземцы, которые интеллектуально ранжируются как полные примитивы, обладают математическим инстинктом (или, что сводится к тому же, способностью мыслить числами, которая еще не передаваема знаками или словами), который в отношении интерпретации чистого пространства далеко превосходит таковой у греков. Их открытие бумеранга может быть приписано только тому, что они имеют верное чувство чисел такого класса, который мы отнесли бы к высшей геометрии. Соответственно — мы оправдаем это наречие позже — они обладают необычайно сложной церемониальностью и, для выражения степеней родства, такими тонкими оттенками языка, каких даже высшие Культуры сами по себе не могут показать.

Существует аналогия, опять же, между евклидовой математикой и отсутствием, у грека зрелого периклова века, какого-либо чувства как к церемониальной общественной жизни, так и к одиночеству, в то время как барокко, резко отличаясь от античного, представляет нам математику пространственного анализа, двор Версаля и государственную систему, покоящуюся на династических отношениях.

Именно стиль Души проявляется в мире чисел, и мир чисел включает в себя нечто большее, чем наука о нем.

III

Из этого следует факт решающей важности, который до сих пор был скрыт от самих математиков.

Не существует и не может существовать числа как такового. Существует несколько числовых миров, как существует несколько Культур. Мы находим индийский, арабский, античный, западный типы математического мышления и, соответствующий каждому, тип числа — каждый тип фундаментально своеобразен и уникален, выражение специфического мироощущения, символ, имеющий специфическую значимость, которая даже способна к научному определению, принцип упорядочивания Ставшего, который отражает центральную сущность одной и только одной души, а именно души этой конкретной Культуры. Следовательно, существует более чем одна математика. Ибо несомненно, внутренняя структура евклидовой геометрии есть нечто совершенно иное, чем структура картезианской, анализ Архимеда есть нечто иное, чем анализ Гаусса, и не только в вопросах формы, интуиции и метода, но прежде всего в сущности, во внутреннем и обязательном значении числа, которое они соответственно развивают и излагают. Это число, горизонт, внутри которого оно смогло сделать феномены самообъяснимыми, и, следовательно, вся «природа» или мир-протяженность, который заключен в данных пределах и поддается ее специфическому роду математики, не являются общими для всего человечества, но специфичны в каждом случае для одного определенного рода человечества.

Стиль любой математики, которая возникает, таким образом, зависит целиком от Культуры, в которой она укоренена, от того рода человечества, который размышляет над ней. Душа может довести свои присущие возможности до научного развития, может управлять ими практически, может достичь высочайших уровней в их обработке — но совершенно бессильна изменить их. Идея евклидовой геометрии актуализирована в самых ранних формах античного орнамента, а идея Исчисления бесконечно малых — в самых ранних формах готической архитектуры, за столетия до того, как родились первые ученые математики соответствующих Культур.

Глубокий внутренний опыт, подлинное пробуждение эго, которое превращает ребенка в высшего человека и инициирует его в сообщество его Культуры, знаменует начало чувства числа, как и начало чувства языка. Только после этого объекты приходят к существованию для бодрствующего сознания как вещи, ограничимые и различимые по числу и роду; только после этого свойства, концепты, причинная необходимость, система в окружающем мире, форма мира и мировые законы (ибо то, что установлено и урегулировано, есть ipso facto ограниченное, затвердевшее, числом-управляемое) поддаются точному определению. И вместе с тем приходит также внезапное, почти метафизическое чувство тревоги и благоговения относительно более глубокого смысла измерения и счета, рисования и формы.

Теперь, Кант классифицировал сумму человеческого знания согласно синтезам a priori (необходимым и общезначимым) и a posteriori (эмпирическим и варьирующимся от случая к случаю) и в первый класс включил математическое знание. Тем самым, несомненно, он получил возможность свести сильное внутреннее чувство к абстрактной форме. Но, совершенно помимо того факта (широко засвидетельствованного в современной математике и механике), что не существует такого резкого различия между ними, как это изначально и безусловно подразумевается в принципе, само a priori, хотя, безусловно, одна из самых вдохновенных концепций философии, есть понятие, которое, кажется, вовлекает огромные трудности. С ним Кант постулирует — не пытаясь доказать то, что совершенно неспособно к доказательству — как неизменность формы во всей интеллектуальной деятельности, так и идентичность формы для всех людей в оной. И, как следствие, фактор неизмеримой важности — благодаря интеллектуальным предубеждениям его периода, не говоря уже о его собственных — просто игнорируется. Этот фактор есть варьирующаяся степень этой предполагаемой «универсальной значимости». Существуют, несомненно, определенные характеры очень широко распространенной значимости, которые (по-видимому, во всяком случае) независимы от Культуры и столетия, к которым может принадлежать познающий индивид, но наряду с ними существует совершенно особая необходимость формы, которая лежит в основе всего его мышления как аксиоматическая и которой он подчинен в силу принадлежности к своей собственной Культуре и никакой другой. Здесь, таким образом, мы имеем два очень разных вида a priori мыслительного содержания, и определение границы между ними, или даже демонстрация того, что таковая существует, есть проблема, которая лежит за пределами всех возможностей знания и никогда не будет решена. До сих пор никто не осмелился предположить, что предполагаемая постоянная структура интеллекта есть иллюзия и что история, развернутая перед нами, содержит более чем один стиль познания. Но мы не должны забывать, что единодушие по поводу вещей, которые еще не стали проблемами, может точно так же подразумевать универсальную ошибку, как и универсальную истину. Правда, всегда существовало определенное чувство сомнения и неясности — настолько, что правильная догадка могла быть сделана из того несогласия философов, которое показывает нам каждый взгляд на историю философии. Но то, что это несогласие не обусловлено несовершенствами человеческого интеллекта или нынешними пробелами в совершенствуемом знании, одним словом, не обусловлено дефектом, а судьбой и исторической необходимостью — это открытие. Выводы о глубоких и конечных вещах должны быть достигнуты не путем предикации констант, а путем изучения различий и развития органической логики различий. Сравнительная морфология форм знания — это область, которую западная мысль еще должна атаковать.

IV

Если бы математика была простой наукой, подобной астрономии или минералогии, было бы возможно определить их объект. Этого человек не может и никогда не мог сделать. Мы, западные европейцы, можем поставить наше собственное научное понятие числа выполнять те же задачи, с которыми возились математики Афин и Багдада, но факт остается фактом: тема, намерение и методы одноименной науки в Афинах и в Багдаде были совершенно иными, чем у нашей собственной. Не существует математики, а только математики. То, что мы называем «историей математики» — подразумевая лишь прогрессивную актуализацию единого неизменного идеала — есть на самом деле, под обманчивой поверхностью истории, комплекс самодостаточных и независимых развитий, постоянно повторяющийся процесс рождения новых миров форм и присвоения, трансформации и сбрасывания чуждых миров форм, чисто органическая история цветения, созревания, увядания и умирания в установленный период. Студент не должен позволять себя обмануть. Математика античной души проросла почти из ничего, исторически конституированная западная душа, уже обладая античной наукой (не внутренне, а внешне как вещью выученной), должна была завоевать свою собственную, по-видимому, изменяя и совершенствуя, но в действительности разрушая существенно чуждую евклидову систему. В первом случае агентом был Пифагор, во втором — Декарт. В обоих случаях акт, в основе своей, один и тот же.

Отношение между формой-языком математики и формой-языком родственных великих искусств, таким образом, поставлено вне сомнений. Темперамент мыслителя и темперамент художника действительно сильно различаются, но способы выражения бодрствующего сознания внутренне одинаковы для каждого. Чувство формы скульптора, живописца, композитора по своей природе существенно математично. То же самое вдохновенное упорядочивание бесконечного мира, которое проявилось в геометрическом анализе и проективной геометрии XVII века, могло оживить, наполнить энергией и пронизать современную музыку гармонией, которую она развила из искусства генерал-баса (который есть геометрия мира звуков), а современную живопись — принципом перспективы (прочувствованной геометрией мира пространства, которую знает только Запад). Это вдохновенное упорядочивание есть то, что Гёте называл «Идеей, форма которой непосредственно постигается в области интуиции, тогда как чистая наука не постигает, а наблюдает и расчленяет». Математика выходит за пределы наблюдения и расчленения, и в свои высшие моменты находит путь через видение, а не абстракцию. Гёте же мы обязаны глубоким изречением: «математик полон лишь постольку, поскольку он чувствует внутри себя красоту истинного». Здесь мы чувствуем, как близко тайна числа связана с тайной художественного творчества. И поэтому рожденный математик занимает свое место рядом с великими мастерами фуги, резца и кисти; он и они в равной степени стремятся, и должны стремиться, актуализировать великий порядок всех вещей, облекая его в символ, и тем самым сообщать его простому человеку, который слышит этот порядок внутри себя, но не может эффективно обладать им; область числа, подобно областям тона, линии и цвета, становится образом формы мира. По этой причине слово «творческий» означает больше в математической сфере, чем в чистых науках — Ньютон, Гаусс и Риман были натурами художников, и мы знаем, с какой внезапностью их великие концепции приходили к ним. «Математик», — говорил старый Вейерштрасс, — «который не является в то же время немного поэтом, никогда не будет полным математиком».

Математика, таким образом, есть искусство. Как таковое, она имеет свои стили и стилевые периоды. Она не является, как воображают мирянин и философ (который в этом деле тоже мирянин), существенно неизменной, но подвержена, как и всякое искусство, незаметным изменениям от эпохи к эпохе. Развитие великих искусств никогда не должно рассматриваться без (безусловно, не бесполезного) бокового взгляда на современную математику. В очень глубоком отношении между изменениями музыкальной теории и анализом бесконечного детали никогда еще не были исследованы, хотя эстетика могла бы извлечь из них гораздо больше, чем из всей так называемой «психологии». Еще более показательной была бы история музыкальных инструментов, написанная не (как она всегда пишется) с технической точки зрения производства тона, а как исследование глубоких духовных основ тоновых красок и тоновых эффектов, к которым стремились. Ибо именно желание, усиленное до степени тоски, заполнить пространственную бесконечность звуком, породило — в отличие от античной лиры и тростника (lyra, kithara; aulos, syrinx) и арабской лютни — два великих семейства клавишных инструментов (орган, фортепиано и т.д.) и смычковых инструментов, и это уже в готическое время. Развитие обоих этих семейств принадлежит духовно (и, возможно, также в плане технического происхождения) кельтско-германскому Северу, лежащему между Ирландией, Везером и Сеной. Орган и клавикорд принадлежат, безусловно, Англии, смычковые инструменты достигли своих определенных форм в Верхней Италии между 1480 и 1530 годами, в то время как именно в Германии орган был развит в пространство-командующего гиганта, которого мы знаем, инструмент, подобного которому не существует во всей музыкальной истории. Свободная органная игра Баха и его времени была ничем иным, как анализом — анализом странного и обширного мира тонов. И, аналогично, в соответствии с западным числовым мышлением, и в оппозиции к античному, наши струнные и духовые инструменты были развиты не по отдельности, а в больших группах (струнные, деревянные духовые, медные духовые), упорядоченных внутри себя согласно диапазону четырех человеческих голосов; история современного оркестра, со всеми его открытиями новых и модификацией старых инструментов, есть в действительности самодостаточная история одного мира тонов — мира, более того, который вполне способен быть выраженным в формах высшего анализа.

V

Когда, около 540 г. до н.э., круг пифагорейцев пришел к идее, что число есть сущность всех вещей, это был не «шаг в развитии математики», который был сделан, а совершенно новая математика, которая родилась. Долго предвещаемая метафизическими постановками проблем и художественными тенденциями формы, теперь она вышла из глубин античной души как сформулированная теория, математика, рожденная в одном акте в один великий исторический момент — точно так же, как была математика египтян, и алгебра-астрономия вавилонской Культуры с ее эклиптической системой координат — и новая — ибо эти старые математики давно угасли, а египетская никогда не была записана. Исполненная ко II веку н.э., античная математика исчезла в свою очередь (ибо хотя она по-видимому существует даже сегодня, она делает это лишь как удобство нотации) и уступила место арабской. Из того, что мы знаем об александрийской математике, является необходимым предположением, что существовало великое движение внутри Ближнего Востока, центр тяжести которого должен был лежать в персидско-вавилонских школах (таких как Эдесса, Гундишапур и Ктесифон) и из которого лишь детали нашли свой путь в регионы античной речи. Несмотря на их греческие имена, александрийские математики — Зенодор, который имел дело с фигурами равного периметра, Серен, который работал над свойствами гармонического пучка в пространстве, Гипсикл, который ввел халдейское деление круга, Диофант, прежде всего — были все без сомнения арамеями, и их работы лишь малая часть литературы, которая была написана преимущественно на сирийском языке. Эта математика нашла свое завершение в исследованиях арабо-исламских мыслителей, и после них снова был долгий интервал. И затем родилась совершенно новая математика, западная, наша собственная, которую в нашем ослеплении мы рассматриваем как «Математику», как кульминацию и имплицитную цель двух тысяч лет эволюции, хотя в действительности ее столетия (строго) сочтены и сегодня почти исчерпаны.

Самое ценное в античной математике — это ее положение о том, что число есть сущность всех вещей, воспринимаемых чувствами. Определяя число как меру, она заключает в себе все мироощущение души, страстно преданной «здесь» и «теперь». Измерение в этом смысле означает измерение чего-то близкого и телесного. Рассмотрим содержание античного произведения искусства, скажем, отдельно стоящую статую обнаженного мужчины; здесь каждый существенный и важный элемент бытия, весь его ритм исчерпывающе передается поверхностями, измерениями и чувственными отношениями частей. Пифагорейское понятие гармонии чисел, хотя оно, вероятно, было выведено из музыки — музыки, заметим, которая не знала полифонии или гармонии и формировала свои инструменты для передачи отдельных полных, почти мясистых тонов, — кажется самой формой для скульптуры, обладающей таким идеалом. Обработанный камень является чем-то лишь постольку, поскольку он обладает обдуманными пределами и измеренной формой; то, что он есть, — это то, чем он стал под резцом скульптора. Помимо этого, он есть хаос, нечто еще не актуализированное, фактически на данный момент — ничто. То же чувство, перенесенное на более грандиозную сцену, порождает, как противоположность состоянию хаоса, состояние космоса, которое для античной души подразумевает проясненную ситуацию внешнего мира, гармонический порядок, включающий каждую отдельную вещь как четко определенную, постижимую и наличную сущность. Сумма таких вещей составляет ни больше ни меньше как весь мир, а промежутки между ними, которые для нас заполнены впечатляющим символом Вселенной Пространства, для них являются небытием (τὸ μὴ ὅν).

Протяженность означает для античного человека тело, а для нас — пространство, и именно как функция пространства вещи «являются» нам. И, оглядываясь назад с этой точки зрения, мы, возможно, сможем проникнуть в глубочайшее понятие античной метафизики — анаксимандровский ἄπειρον, слово, которое совершенно непереводимо ни на один западный язык. Это то, что не обладает «числом» в пифагорейском смысле этого слова, не имеет измеримых измерений или определяемых пределов, а следовательно, и бытия; безмерное, отрицание формы, статуя, еще не высеченная из глыбы; ἀρχὴ, оптически безграничное и бесформенное, которое становится чем-то (а именно миром) лишь после того, как оно расчленено чувствами. Это лежащая в основе форма a priori античного познания, телесность как таковая, которая в кантовской картине мира заменяется именно тем Пространством, из которого, как утверждал Кант, все вещи могут быть «вымыслены».

Теперь мы можем понять, что именно разделяет одну математику от другой, и в частности античную от западной. Все мироощущение зрелого античного мира приводило его к тому, чтобы видеть математику только как теорию отношений величины, измерения и формы между телами. Когда из этого чувства Пифагор развил и выразил решающую формулу, число стало для него оптическим символом — не мерой формы вообще, не абстрактным отношением, а пограничным столбом области Становления, или, скорее, той ее части, которую чувства были способны расчленить и подвергнуть обозрению. Весь античный мир без исключения мыслит числа как единицы меры, как величину, длины или поверхности, и никакой другой вид протяженности для него немыслим. Вся античная математика в своей основе есть стереометрия (геометрия тел). Для Евклида, завершившего ее систему в III веке, треугольник по глубокой необходимости является ограничивающей поверхностью тела, а вовсе не системой трех пересекающихся прямых линий или группой из трех точек в трехмерном пространстве. Он определяет линию как «длину без ширины» (μῆκος ἀπλατές). В наших устах такое определение было бы жалким — в античной математике оно было блестящим.

Западное число также не является, как думали Кант и даже Гельмгольц, чем-то, исходящим из Времени как формы постижения a priori, но является чем-то специфически пространственным, поскольку оно есть порядок (или упорядочивание) подобных единиц. Актуальное время (как мы будем все яснее видеть в дальнейшем) не имеет ни малейшего отношения к математическим вещам. Числа принадлежат исключительно области протяженности. Но существует ровно столько возможностей — а следовательно, и необходимостей — упорядоченного представления протяженного, сколько существует Культур. Античное число — это мыслительный процесс, имеющий дело не с пространственными отношениями, а с визуально ограничиваемыми и осязаемыми единицами, и из этого естественно и необходимо следует, что античность знает только «натуральные» (положительные и целые) числа, которые, напротив, играют в нашей западной математике весьма незначительную роль посреди комплексных, гиперкомплексных, неархимедовых и других числовых систем.

По этой причине идея иррациональных чисел — бесконечных десятичных дробей в нашей записи — была нереализуема в рамках греческого духа. Евклид говорит — и его следовало бы понять лучше, — что несоизмеримые линии «не относятся друг к другу как числа». Фактически именно идея иррационального числа, будучи достигнутой, отделяет понятие числа от понятия величины, ибо величина такого числа (например, π) никогда не может быть определена или точно представлена никакой прямой линией. Более того, из этого следует, что при рассмотрении отношения, скажем, между диагональю и стороной квадрата грек внезапно натолкнулся бы на совершенно иной род числа, который был фундаментально чужд античной душе и, следовательно, вызывал страх как тайна его собственного существования, слишком опасная, чтобы быть раскрытой. Существует странная и значимая позднегреческая легенда, согласно которой человек, первым опубликовавший скрытую тайну иррационального, погиб при кораблекрушении, «ибо невыразимое и бесформенное должно оставаться скрытым навсегда».

Страх, лежащий в основе этой легенды, — это то же самое представление, которое мешало даже самым зрелым грекам расширять свои крошечные города-государства для политической организации сельской местности, прокладывать улицы, заканчивающиеся перспективами, и аллеи, открывающие виды, которое заставляло их раз за разом отступать перед вавилонской астрономией с ее проникновением в бесконечное звездное пространство и отказываться от попыток выйти за пределы Средиземноморья по морским путям, на которые задолго до них отважились финикийцы и египтяне. Это глубокий метафизический страх того, что чувственно-постижимое и наличное, в котором античное существование укрепилось, рухнет и низвергнет свой космос (во многом созданный и поддерживаемый искусством) в неизвестные первобытные бездны. И понять этот страх — значит понять окончательное значение античного числа, то есть меры в противоположность безмерному, и осознать высокое этическое значение его ограниченности. Гёте тоже, как исследователь природы, чувствовал это — отсюда его почти испуганное отвращение к математике, которое, как мы теперь видим, было на самом деле непроизвольной реакцией на неантичную математику, на исчисление бесконечно малых, лежавшее в основе натурфилософии его времени.

Религиозное чувство античного человека фокусировалось все более интенсивно на физически присутствующих, локализованных культах, которые одни только выражали коллегию евклидовых божеств. Абстракции, догматы, парящие бездомно в пространстве мысли, были ему всегда чужды. Культ такого рода имеет столько же общего с римско-католическим догматом, сколько статуя с органом в соборе. Нет сомнения, что нечто от культа было заключено в евклидовой математике — вспомните, например, тайные учения пифагорейцев и теоремы о правильных многогранниках с их эзотерическим значением в кругу Платона. Точно так же существует глубокая связь между анализом бесконечного у Декарта и современной ему догматической теологией, по мере того как она прогрессировала от окончательных решений Реформации и Контрреформации к полностью десенсуализированному деизму. Декарт и Паскаль были математиками и янсенистами, Лейбниц — математиком и пиетистом. Вольтер, Лагранж и Д’Аламбер были современниками. Теперь античная душа чувствовала принцип иррационального, который опрокидывал статуарно-упорядоченный ряд целых чисел и законченный и самодостаточный мировой порядок, за который они стояли, как нечестие против самого Божественного. В «Тимее» Платона это чувство несомненно. Ибо трансформация ряда дискретных чисел в континуум бросала вызов не только античному понятию числа, но и самой античной идее мира, и поэтому понятно, что даже отрицательные числа, которые для нас не представляют концептуальных трудностей, были невозможны в античной математике, не говоря уже о нуле как числе, этом утонченном творении удивительной абстрагирующей силы, которое для индийской души, задумавшей его как базу для позиционной нумерации, было ничем иным, как ключом к смыслу существования. Отрицательные величины не имеют существования. Выражение -2×-3=+6 не является ни чем-то воспринимаемым, ни представлением величины. Ряд величин заканчивается на +1, и в графическом представлении отрицательных чисел

( + 3 + 2 + 1 0 - 1 - 2 - 3 )

— ･ — ･ — ･ ･ — ･ — ･ — ･

мы внезапно имеем, начиная с нуля, положительные символы чего-то отрицательного; они означают что-то, но они больше не суть. Но осуществление этого акта не лежало в направлении античного числового мышления.

Каждый продукт бодрствующего сознания античного мира, таким образом, возводится в ранг реальности посредством скульптурного определения. То, что нельзя нарисовать, не есть «число». Архит и Евдокс используют термины «поверхностные» и «объемные» числа для обозначения того, что мы называем вторыми и третьими степенями, и легко понять, что понятие высших целых степеней для них не существовало, ибо четвертая степень сразу же постулировала бы для ума, основанного на пластическом чувстве, протяженность в четырех измерениях, да еще и в четырех материальных измерениях, «что абсурдно». Выражения вроде εix, которые мы постоянно используем, или даже дробный показатель (например, 5½), который используется в западной математике уже у Орема (XIV век), были бы для них полнейшей бессмыслицей. Евклид называет множители произведения его сторонами πλευραί, а дроби (конечно, конечные) рассматривались как целочисленные отношения между двумя линиями. Ясно, что из этого никакое понятие нуля как числа возникнуть не могло, ибо с точки зрения чертежника оно бессмысленно. Мы, обладая иначе устроенным умом, не должны судить по нашим привычкам об их и рассматривать их математику как «первую стадию» в развитии «Математики». Внутри и для целей мира, который античный человек развил для себя, античная математика была завершенной вещью — она просто не является таковой для нас. Вавилонская и индийская математики давно содержали, как существенные элементы своих числовых миров, вещи, которые античное числовое чувство рассматривало как бессмыслицу — и не из-за невежества, поскольку многие греческие мыслители были с ними знакомы. Нужно повторить: «Математика» — это иллюзия. Математический и, вообще, научный способ мышления является правильным, убедительным, «необходимостью мысли», когда он полностью выражает присущее ему жизненное чувство. В противном случае он либо невозможен, тщетен и бессмысленен, либо же, как мы любим говорить в высокомерии нашей исторической души, «примитивен». Современная математика, хотя и «истинна» только для западного духа, является несомненно шедевром этого духа; и все же Платону она показалась бы смешным и болезненным отклонением от пути, ведущего к «истинной» — а именно античной — математике. То же самое и с нами. Очевидно, у нас почти нет представления о множестве великих идей, принадлежащих другим Культурам, которые мы позволили угаснуть, потому что наше мышление с его ограничениями не позволило нам их усвоить или (что сводится к тому же) заставило нас отвергнуть их как ложные, излишние и бессмысленные.

VI

Греческая математика, как наука о воспринимаемых величинах, намеренно ограничивает себя фактами постижимого наличного и ограничивает свои исследования и их значимость близким и малым. По сравнению с этой безупречной последовательностью положение западной математики представляется практически несколько нелогичным, хотя этот факт был по-настоящему осознан только после открытия неевклидовой геометрии. Числа — это образы совершенно десенсуализированного рассудка, чистого мышления, и они содержат свою абстрактную значимость в самих себе. Их точное применение к реальности сознательного опыта является, следовательно, проблемой самой по себе — проблемой, которая всегда ставится заново и никогда не решается, — и соответствие математической системы эмпирическому наблюдению в настоящее время является чем угодно, только не самоочевидным. Хотя обывательское представление — как оно встречается у Шопенгауэра — состоит в том, что математика покоится на прямых свидетельствах чувств, евклидова геометрия, поверхностно идентичная популярной геометрии всех времен, согласуется с феноменальным миром лишь приблизительно и в очень узких пределах — фактически, в пределах чертежной доски. Расширьте эти пределы, и что станет, например, с евклидовыми параллелями? Они встречаются на линии горизонта — простой факт, на котором основана вся наша художественная перспектива.

Теперь непростительно, что Кант, западный мыслитель, уклонился от математики расстояния и апеллировал к набору примеров фигур, которые своей мелочностью исключаются из рассмотрения специфически западными методами исчисления бесконечно малых. Но Евклид, как мыслитель античной эпохи, был полностью последователен в своем духе, когда воздерживался от доказательства феноменальной истинности своих аксиом путем ссылки, скажем, на треугольник, образованный наблюдателем и двумя бесконечно удаленными неподвижными звездами. Ибо их нельзя ни нарисовать, ни «интуитивно постичь», и его чувство было именно тем чувством, которое содрогалось перед иррациональными числами, которое не осмеливалось придать ничтожности значение нуля (т.е. числа) и даже при созерцании космических отношений закрывало глаза на Бесконечное и придерживалось своего символа Пропорции.

Аристарх Самосский, который в 288-277 годах принадлежал к кругу астрономов в Александрии, несомненно имевшему связи с халдейско-персидскими школами, спроектировал элементы гелиоцентрической системы мира. Переоткрытая Коперником, она должна была потрясти метафизические страсти Запада до самых оснований — свидетель тому Джордано Бруно — стать исполнением могучих предчувствий и оправдать то фаустовское, готическое мироощущение, которое уже исповедовало свою веру в бесконечность через формы своих соборов. Но мир Аристарха встретил его работу с полным безразличием, и в короткое время она была забыта — намеренно, как мы можем предположить. Его немногие последователи были почти все уроженцами Малой Азии, а его самый выдающийся сторонник Селевк (около 150 г.) был из персидской Селевкии на Тигре. Фактически аристархова система не имела духовной привлекательности для античной Культуры и могла бы действительно стать опасной для нее. И все же она отличалась от коперниканской (момент, который всегда упускается) тем, что делало ее совершенно соответствующей античному мироощущению, а именно предположением, что космос заключен в материально конечную и оптически постижимую полую сферу, в середине которой планетарная система, устроенная как таковая на коперниканских началах, двигалась. В античной астрономии Земля и небесные тела последовательно рассматриваются как сущности двух разных видов, как бы разнообразно ни интерпретировались их движения в деталях. Равным образом противоположная идея о том, что Земля — лишь звезда среди звезд, не является сама по себе несовместимой ни с птолемеевой, ни с коперниканской системами и, по сути, была предвосхищена Николаем Кузанским и Леонардо да Винчи. Но этим устройством небесной сферы принцип бесконечности, который поставил бы под угрозу чувственно-античное понятие границ, был подавлен. Можно было бы предположить, что концепция бесконечности неизбежно подразумевалась системой Аристарха — задолго до его времени вавилонские мыслители пришли к ней. Но никакой такой мысли не возникает. Напротив, в знаменитом трактате об исчислении песчинок Архимед доказывает, что заполнение этого стереометрического тела (ибо это то, чем в конечном счете является Космос Аристарха) атомами песка приводит к очень высоким, но не к бесконечным числовым результатам. Это положение, хотя его и цитируют раз за разом как первый шаг к Интегральному исчислению, равносильно отрицанию (подразумеваемому, впрочем, в самом названии) всего того, что мы подразумеваем под словом «анализ». В то время как в нашей физике постоянно возникающие гипотезы материального (т.е. непосредственно познаваемого) эфира разбиваются одна за другой о наш отказ признать материальные ограничения любого рода, Евдокс, Аполлоний и Архимед, безусловно, самые проницательные и смелые из античных математиков, полностью разработали, в основном с помощью циркуля и линейки, чисто оптический анализ вещей-ставших на основе скульптурно-античных границ. Они использовали глубоко продуманные (и для нас едва понятные) методы интегрирования, но они обладают лишь поверхностным сходством даже с методом определенного интеграла Лейбница. Они использовали геометрические места и координаты, но это всегда были заданные длины и единицы измерения, а никогда, как у Ферма и прежде всего у Декарта, незаданные пространственные отношения, значения точек в терминах их положений в пространстве. К этим методам следует отнести и метод исчерпывания Архимеда, приведенный им в недавно обнаруженном письме к Эратосфену по таким вопросам, как квадратура сегмента параболы с помощью вписанных прямоугольников (вместо использования подобных многоугольников). Но сама тонкость и крайняя сложность его методов, которые основаны на определенных геометрических идеях Платона, заставляют нас осознать, несмотря на поверхностные аналогии, какая огромная разница отделяет его от Паскаля. Если отвлечься от идеи интеграла Римана, то какой более резкий контраст мог бы быть к этим идеям, чем так называемые квадратуры сегодняшнего дня? Само название теперь не более чем неудачный пережиток, «поверхность» обозначается ограничивающей функцией, а чертеж как таковой исчез. Нигде больше два математических ума не приближались друг к другу ближе, чем в этом случае, и нигде не очевиднее, что пропасть между двумя душами, выражающими себя таким образом, непреодолима.

В кубическом стиле своей ранней архитектуры египтяне, так сказать, скрывали чистые числа, боясь наткнуться на их тайну, и для эллинов тоже они были ключом к смыслу ставшего, застывшего, смертного. Каменная статуя и научная система отрицают жизнь. Математическое число, формальный принцип мира протяженности, феноменальное существование которого есть лишь производное и слуга бодрствующего человеческого сознания, несет на себе клеймо причинной необходимости и поэтому связано со смертью, как хронологическое число связано со становлением, с жизнью, с необходимостью судьбы. Эту связь строгой математической формы с концом органического бытия, с феноменом его органического остатка — трупом, мы будем все яснее видеть как происхождение всего великого искусства. Мы уже заметили развитие раннего орнамента на погребальных принадлежностях и сосудах. Числа — это символы смертного. Застывшие формы — это отрицание жизни, формулы и законы распространяют жесткость по лицу природы, числа умерщвляют — и «Матери» из «Фауста II» восседают, величественные и отстраненные, в

“The realms of Image unconfined.

... Formation, transformation,

Eternal play of the eternal mind

With semblances of all things in creation

For ever and for ever sweeping round.”[58]

Гёте очень приближается к Платону в этом прозрении одной из последних тайн. Ибо его недосягаемые Матери — это Идеи Платона: возможности духовности, нерожденные формы, которые должны быть реализованы как активная и целенаправленная Культура, как искусство, мысль, государственное устройство и религия в мире, упорядоченном и определенном этой духовностью. И так числовое мышление и мировая идея Культуры связаны, и благодаря этой связи первое возвышается над простым знанием и опытом и становится взглядом на вселенную, причем, следовательно, существует столько математик — столько числовых миров, — сколько существует высших Культур. Только так мы можем понять как нечто необходимое тот факт, что величайшие математические мыслители, творческие художники царства чисел, были приведены к решающим математическим открытиям своих Культур глубокой религиозной интуицией.

Античное, аполлоническое число мы должны рассматривать как творение Пифагора, который основал религию. Именно инстинкт вел Николая Кузанского, великого епископа Бриксенского (около 1450 г.), от идеи бесконечности Бога в природе к элементам исчисления бесконечно малых. Сам Лейбниц, который два столетия спустя окончательно установил методы и обозначения исчисления, был ведом чисто метафизическими спекуляциями о божественном принципе и его отношении к бесконечной протяженности, чтобы задумать и развить понятие analysis situs — вероятно, самое вдохновенное из всех толкований чистого и эмансипированного пространства, — возможности которого были развиты позже Грассманом в его Ausdehnungslehre и, прежде всего, Риманом, их подлинным творцом, в его символике двусторонних плоскостей, репрезентативных для природы уравнений. И Кеплер, и Ньютон, оба строго религиозные натуры, были и оставались убеждены, подобно Платону, что именно через посредство числа они смогли интуитивно постичь сущность божественного миропорядка.

VII

Античная арифметика, как нам всегда говорят, была впервые освобождена от своей чувственной связанности, расширена и дополнена Диофантом, который, правда, не создал алгебру (науку о неопределенных величинах), но привел ее к выражению в рамках античной математики, которую мы знаем, — и так внезапно, что мы должны предположить наличие заранее существовавшего запаса идей, которые он разработал. Но это означает не обогащение, а полную победу над античным мироощущением, и одного этого факта должно было быть достаточно, чтобы показать, что внутренне Диофант вообще не принадлежит к античной Культуре. В нем активно новое числовое чувство, или, скажем, новое чувство предела по отношению к актуальному и ставшему, а уже не то эллинское чувство чувственно-наличных пределов, которое породило евклидову геометрию, обнаженную статую и монету. Деталей формирования этой новой математики мы не знаем — Диофант стоит так совершенно особняком в истории так называемой позднеантичной математики, что предполагалось индийское влияние. Но здесь также влияние должно было быть влиянием тех раннеарабских школ, чьи исследования (помимо догматических) до сих пор были так несовершенно изучены. У Диофанта, пусть даже он не осознает своего собственного существенного антагонизма к античным основаниям, на которых он пытался строить, из-под поверхности евклидова намерения проступает новое чувство предела, которое я обозначаю как «магическое». Он не расширил идею числа как величины, а (невольно) устранил ее. Ни один грек не мог бы высказать ничего о неопределенном числе a или неименованном числе 3 — которые не являются ни величинами, ни линиями, — тогда как новое чувство предела, чувственно выраженное числами такого рода, по крайней мере лежало в основе, если не составляло, диофантову трактовку; а буквенная нотация, которую мы используем, чтобы облечь нашу собственную (опять же переоцененную) алгебру, была впервые введена Виетом в 1591 году, как недвусмысленный, хотя и непреднамеренный протест против классицизирующей тенденции математики Возрождения.

Диофант жил около 250 г. н.э., то есть в третьем столетии той арабской Культуры, чья органическая история, до сих пор подавленная поверхностными формами Римской империи и «Средних веков», включает в себя все, что произошло после начала нашей эры в регионе, который позже стал исламским. Именно во времена Диофанта последняя тень аттического статуарного искусства поблекла перед новым чувством пространства купола, мозаики и саркофажного рельефа, которое мы имеем в раннехристианском сирийском стиле. В то время снова появилось архаическое искусство и строго геометрический орнамент; и в то же время Диоклетиан завершил трансформацию теперь уже просто фиктивной Империи в Халифат. Четыре столетия, которые отделяют Евклида от Диофанта, отделяют также Платона от Плотина — последнего и окончательного мыслителя, Канта завершенной Культуры, и первого схоласта, Дунса Скота, только что пробудившейся Культуры.

Именно здесь мы впервые осознаем существование тех высших индивидуальностей, чье пришествие, рост и распад составляют реальную субстанцию истории, лежащую под мириадами красок и изменений поверхности. Античная духовность, достигшая своей финальной фазы в холодной интеллигентности римлян и чье «тело» образует вся античная Культура со всеми ее произведениями, мыслями, делами и руинами, родилась около 1100 г. до н.э. в стране вокруг Эгейского моря. Арабская Культура, которая под прикрытием античной Цивилизации прорастала на Востоке со времен Августа, полностью вышла из региона между Арменией и Южной Аравией, Александрией и Ктесифоном, и мы должны рассматривать как выражения этой новой души почти все «позднеантичное» искусство Империи, все молодые пылкие религии Востока — мандеизм, манихейство, христианство, неоплатонизм, и в самом Риме, наряду с Императорскими форумами, тот Пантеон, который является первой из всех мечетей.

То, что Александрия и Антиохия все еще писали по-гречески и воображали, что мыслят по-гречески, — факт не более важный, чем то, что латынь была научным языком Запада вплоть до времен Канта и что Карл Великий «обновил» Римскую империю.

У Диофанта число перестало быть мерой и сущностью пластических вещей. В равеннских мозаиках человек перестал быть телом. Незаметно греческие обозначения утратили свои первоначальные коннотации. Мы покинули царство аттической καλοκάγαθία, стоической ἀταραξία и γαλήνη. Диофант еще не знает нуля и отрицательных чисел, это правда, но он перестал знать пифагорейские числа. И эта арабская неопределенность числа, в свою очередь, есть нечто совершенно иное, чем контролируемая изменчивость поздней западной математики, изменчивость функции.

Магическая математика — мы видим контуры, хотя и не знаем деталей — продвигалась через Диофанта (который, очевидно, не является отправной точкой) смело и логично к кульминации в аббасидский период (IX век), которую мы можем оценить у Аль-Хорезми и Альсидзши. И как евклидова геометрия относится к аттической статуарности (одна и та же форма выражения в другой среде), а анализ пространства — к полифонической музыке, так эта алгебра относится к магическому искусству с его мозаикой, его арабеской (которую Сасанидская империя, а позже Византия производили с постоянно возрастающим изобилием и роскошью осязаемо-неосязаемых органических мотивов) и его константиновским высоким рельефом, в котором неопределенные глубокие тени разделяют свободно трактуемые фигуры переднего плана. Как алгебра относится к античной арифметике и западному анализу, так купольная церковь относится к дорическому храму и готическому собору. Это не значит, что Диофант был одним из великих математиков. Напротив, многое из того, что мы привыкли связывать с его именем, — не его работа в одиночку. Его случайная важность заключается в том, что, насколько нам известно, он был первым математиком, у которого новое числовое чувство присутствует недвусмысленно. По сравнению с мастерами, которые завершают развитие математики — с Аполлонием и Архимедом, с Гауссом, Коши, Риманом, — Диофант имеет, особенно в своем языковом оформлении, нечто примитивное. Это нечто, что до сих пор нам было угодно относить к «позднеантичному» упадку, мы вскоре научимся понимать и ценить, точно так же, как мы пересматриваем наши идеи относительно презираемого «позднеантичного» искусства и начинаем видеть в нем пробное выражение зарождающейся раннеарабской Культуры. Столь же архаичной, примитивной и блуждающей была математика Николая Орема, епископа Лизье (1323-1382), который был первым западным человеком, использовавшим координаты, так сказать, эластично, и, что еще важнее, использовавшим дробные степени — и то, и другое предполагает числовое чувство, пусть неясное, но совершенно недвусмысленное, которое является полностью неантичным и также неарабским. Но если, далее, мы подумаем о Диофанте вместе с раннехристианскими саркофагами из римских коллекций, а об Ореме вместе с готической настенной статуарностью немецких соборов, мы увидим, что математики, как и художники, имеют нечто общее, а именно то, что они стоят в своих соответствующих Культурах на одном и том же (а именно примитивном) уровне абстрактного понимания. В мире и эпохе Диофанта стереометрическое чувство границ, которое давно достигло у Архимеда последних стадий утонченности и элегантности, присущих мегалополитанскому интеллекту, ушло. По всему тому миру люди были неясны, тоскующи, мистичны и больше не были светлыми и свободными в аттическом смысле; они были людьми, укорененными в почве молодой сельской местности, а не мегалополитами, как Евклид и Д’Аламбер. Они больше не понимали глубоких и сложных форм античной мысли, а их собственные были смутными и новыми, далекими еще от городской ясности и опрятности. Их Культура была в готическом состоянии, как все Культуры были в своей юности — как даже античная была в ранний дорический период, который известен нам теперь только по своей дипилонской керамике. Только в Багдаде и в IX и X веках молодые идеи эпохи Диофанта были доведены до завершения зрелыми мастерами калибра Платона и Гаусса.

VIII

Решающий акт Декарта, чья геометрия появилась в 1637 году, состоял не во введении нового метода или идеи в области традиционной геометрии (как нам так часто говорят), а в окончательной концепции новой идеи числа, которая была выражена в эмансипации геометрии от рабства перед оптически реализуемыми конструкциями и измеренными и измеримыми линиями вообще. С этим анализ бесконечного стал фактом. Жесткая, так называемая декартова, система координат — полуевклидов метод идеального представления измеримых величин — была давно известна (свидетель Орем) и считалась высоко важной, и когда мы добираемся до сути мысли Декарта, мы обнаруживаем, что он не завершил систему, а преодолел ее. Ее последним историческим представителем был современник Декарта Ферма.

На место чувственного элемента конкретных линий и плоскостей — специфического характера античного чувства границ — пришел абстрактный, пространственный, неантичный элемент точки, которая с тех пор рассматривалась как группа соотнесенных чистых чисел. Идея величины и воспринимаемого измерения, заимствованная из античных текстов и арабских традиций, была разрушена и заменена идеей переменных значений отношений между положениями в пространстве. В целом не осознается, что это означало вытеснение геометрии, которая с тех пор пользовалась лишь фиктивным существованием за фасадом античной традиции. Слово «геометрия» имеет нерасширяемое аполлоническое значение, и со времен Декарта то, что называется «новой геометрией», состоит отчасти из синтетической работы над положением точек в пространстве, которое уже не обязательно является трехмерным («многообразие точек»), и отчасти из анализа, в котором числа определяются через положения точек в пространстве. И эта замена длин положениями несет с собой чисто пространственное, а уже не материальное, понятие протяженности.

Самым ясным примером этого разрушения унаследованной оптико-конечной геометрии кажется мне превращение угловых функций — которые в индийской математике были числами (в смысле слова, едва доступном нашему уму) — в периодические функции, и их переход оттуда в бесконечное числовое царство, в котором они становятся рядами и не остается ни малейшего следа евклидовой фигуры. Во всех частях этого царства число круга π, подобно неперову основанию ε, порождает отношения всех видов, которые стирают все старые различия геометрии, тригонометрии и алгебры, которые не являются ни арифметическими, ни геометрическими по своей природе и в которых никто больше не мечтает о том, чтобы действительно рисовать круги или вычислять степени.

IX

В момент, точно соответствующий тому, в который (ок. 540 г.) античная Душа в лице Пифагора открыла свое собственное аполлоническое число, измеримую величину, западная душа в лице Декарта и его поколения (Паскаль, Ферма, Дезарг) открыла понятие числа, которое было дитя страстной фаустовской тенденции к бесконечному. Число как чистая величина, присущая материальной наличности вещей, параллельно числам как чистому отношению, и если мы можем охарактеризовать античный «мир», космос, как основанный на глубокой потребности в видимых границах и составленный соответственно как сумма материальных вещей, то мы можем сказать, что наша картина мира есть актуализация бесконечного пространства, в котором видимые вещи появляются почти как реальности низшего порядка, ограниченные в присутствии безграничного. Символ Запада — это идея, о которой ни одна другая Культура не дает даже намека, идея Функции. Функция есть что угодно, только не расширение, это полная эмансипация от любой заранее существовавшей идеи числа. С функцией не только евклидова геометрия (и вместе с ней обычная человеческая геометрия детей и обывателей, основанная на повседневном опыте), но и архимедова арифметика перестали иметь какую-либо ценность для действительно значимой математики Западной Европы. С тех пор она состояла исключительно из абстрактного анализа. Для античного человека геометрия и арифметика были самодостаточными и завершенными науками высшего ранга, обе феноменальные и обе имеющие дело с величинами, которые можно было нарисовать или пересчитать. Для нас, напротив, эти вещи — лишь практические вспомогательные средства повседневной жизни. Сложение и умножение, два античных метода исчисления величин, подобно их сестре геометрическому черчению, полностью исчезли в бесконечности функциональных процессов. Даже степень, которая в начале обозначает численно набор умножений (произведений равных величин), через экспоненциальную идею (логарифм) и ее применение в комплексных, отрицательных и дробных формах, диссоциирована от всякой связи с величиной и перенесена в трансцендентный реляционный мир, к которому греки, знавшие только две положительные целочисленные степени, представляющие площади и объемы, были неспособны приблизиться. Подумайте, например, о выражениях вроде ε-x, π√x, α1⁄i.

Каждое из значимых творений, которые следовали одно за другим так быстро со времен Возрождения, — мнимые и комплексные числа, введенные Кардано еще в 1550 году; бесконечные ряды, теоретически установленные великим открытием Ньютоном биномиальной теоремы в 1666 году; дифференциальная геометрия, определенный интеграл Лейбница; совокупность как новая числовая единица, намеченная даже Декартом; новые процессы, подобные процессам общих интегралов; разложение функций в ряды и даже в бесконечные ряды других функций — есть победа над популярным и чувственным числовым чувством в нас, победа, которую новая математика должна была одержать, чтобы сделать новое мироощущение актуальным.

Во всей истории до сих пор нет второго примера того, чтобы одна Культура питала к другой, давно угасшей Культуре такое почтение и покорность в вопросах науки, как наша питала к античной. Прошло очень много времени, прежде чем мы нашли мужество мыслить свою собственную мысль. Но хотя желание подражать античности постоянно присутствовало, каждый шаг этой попытки в действительности уводил нас дальше от воображаемого идеала. История западного знания, таким образом, есть история прогрессирующей эмансипации от античной мысли, эмансипации, никогда не желаемой, но принудительной в глубинах бессознательного. И так развитие новой математики состоит из долгой, тайной и наконец победоносной битвы против понятия величины.

X

Одним из результатов этой классицизирующей тенденции было то, что она помешала нам найти новую нотацию, подобающую нашему западному числу как таковому. Современный язык знаков математики извращает ее реальное содержание. Именно благодаря этой тенденции вера в числа как величины до сих пор правит даже среди математиков, ибо разве не является она основой всей нашей письменной нотации?

Но не отдельные знаки (например, χ, π, ς), служащие для выражения функций, а сама функция как единица, как элемент, переменное отношение, уже не способное быть оптически определенным, составляет новое число; и это новое число должно было потребовать новой нотации, построенной с полным игнорированием античных влияний. Рассмотрим разницу между двумя уравнениями (если одно и то же слово можно использовать для двух таких непохожих вещей), такими как 3x + 4x = 5x и xn + yn = zn (уравнение теоремы Ферма). Первое состоит из нескольких античных чисел — т.е. величин, — но второе есть одно число другого рода, скрытое тем, что оно записано согласно евклидово-архимедовой традиции в идентичной форме первого. В первом случае знак = устанавливает жесткую связь между определенными и осязаемыми величинами, но во втором он утверждает, что внутри области переменных образов существует отношение такое, что из определенных изменений с необходимостью следуют определенные другие изменения. Первое уравнение имеет своей целью спецификацию путем измерения конкретной величины, т.е. «результата», в то время как второе, в общем, не имеет результата, а является просто картиной и знаком отношения, которое для n>2 (это знаменитая проблема Ферма) вероятно, может быть показано как исключающее целые числа. Греческий математик нашел бы совершенно невозможным понять смысл операции вроде этой, которая не предназначалась для того, чтобы быть «вычисленной».

Применительно к буквам в уравнении Ферма понятие неизвестного совершенно вводит в заблуждение. В первом уравнении x есть величина, определенная и измеримая, которую наше дело вычислить. Во втором слово «определенный» вообще не имеет смысла для x, y, z, n, и, следовательно, мы не пытаемся вычислить их «значения». Следовательно, они вовсе не являются числами в пластическом смысле, а знаками, представляющими связь, лишенную клейм величины, формы и уникального значения, бесконечность возможных положений подобного характера, ансамбль, объединенный и тем самым достигающий существования как число. Все уравнение, хотя и записанное в нашей неудачной нотации как множество членов, на самом деле есть одно единственное число, где x, y, z — не более числа, чем + и =.

Фактически, как только вводится по существу антиэллинская идея иррациональных чисел, основы идеи числа как конкретного и определенного рушатся. С тех пор ряд таких чисел — это уже не видимый ряд возрастающих, дискретных чисел, способных к пластическому воплощению, а одномерный континуум, в котором каждый «разрез» (в смысле Дедекинда) представляет число. Такое число уже трудно примирить с античным числом, ибо античная математика знает только одно число между 1 и 3, тогда как для западной совокупность таких чисел есть бесконечная совокупность. Но когда мы вводим далее мнимые (√-1 или i) и, наконец, комплексные числа (общая форма a + bi), линейный континуум расширяется в высокотрансцендентную форму числового тела, т.е. содержание совокупности однородных элементов, в которой «разрез» теперь означает числовую поверхность, содержащую бесконечную совокупность чисел низшей «мощности» (например, все действительные числа), и не остается ни следа числа в античном и популярном смысле. Эти числовые поверхности, которые со времен Коши и Римана играют важную роль в теории функций, являются чистыми мысленными картинами. Даже положительное иррациональное число (например, √2) могло быть задумано в своего рода негативном ключе античными умами; у них, по сути, было достаточно представления о нем, чтобы запретить его как ἄῤῥητος и ἄλογος. Но выражения вида x + yi лежат за пределами всякой возможности постижения античной мыслью, тогда как именно на расширении математических законов на всю область комплексных чисел, внутри которой эти законы остаются действующими, мы построили теорию функций, которая наконец представила западную математику во всей чистоте и единстве. Не раньше, чем эта точка была достигнута, эта математика могла быть безоговорочно применена в параллельной сфере нашей динамической западной физики; ибо античная математика была приспособлена именно к своему собственному стереометрическому миру отдельных объектов и к статической механике, развитой от Левкиппа до Архимеда.