IV. Преломляющая поверхность, которая также является разделяющей поверхностью двух сред, есть та, в которой находится точка преломления.
V. Угол преломления есть тот, который преломленная линия образует в точке преломления с той линией, которая из той же точки проведена перпендикулярно к разделяющей поверхности в другой среде.
VI. Угол рефракции есть тот, который преломленная линия образует с продолженной линией падения.
VII. Угол наклона есть тот, который линия падения образует с той линией, которая из точки преломления проведена перпендикулярно к разделяющей поверхности.
VIII. Угол падения есть дополнение до прямого угла угла наклона.
И так (на рис. 1) преломление совершается в A B F. Преломленная линия есть B F. Линия падения есть A B. Точка падения и преломления есть B. Преломляющая или разделяющая поверхность есть D B E. Линия падения, продолженная прямо, есть A B C. Перпендикуляр к разделяющей поверхности есть B H. Угол рефракции есть C B F. Угол преломления есть H B F. Угол наклона есть A B G или H B C. Угол падения есть A B D.
IX. Более того, более разреженная среда понимается как та, в которой меньше сопротивления движению или порождению движения; а более плотная — та, в которой больше сопротивления.
X. И та среда, в которой сопротивление везде одинаково, есть однородная среда. Все остальные среды — неоднородные.
In perpendicular motion there is no refraction.
Если тело проходит или происходит порождение движения из одной среды в другую различной плотности по линии, перпендикулярной к разделяющей поверхности, преломления не будет.
Ибо, видя, что со всех сторон от перпендикуляра все вещи в средах предполагаются подобными и равными, если само движение предполагается перпендикулярным, наклоны также будут равны, или, вернее, их вовсе не будет; и поэтому не может быть причины, из которой можно было бы вывести преломление с одной стороны перпендикуляра, которая не привела бы к тому же преломлению с другой стороны. Поскольку это так, преломление с одной стороны уничтожит преломление с другой стороны; и, следовательно, либо преломленная линия будет везде, что абсурдно, либо преломленной линии не будет вовсе; что и требовалось доказать.
Следствие. Отсюда очевидно, что причина преломления состоит только в наклонности линии падения, независимо от того, проникает ли падающее тело в обе среды или, не проникая, распространяет движение только давлением.
Things thrown out of a thinner into a thicker medium are so refracted that the angle refracted is greater than the angle of inclination.
3. Если тело, без какого-либо изменения положения своих внутренних частей, как камень, движется наклонно из более разреженной среды и продолжает проникать в более плотную среду, и более плотная среда такова, что ее внутренние части, будучи приведены в движение, восстанавливают себя в прежнее положение, угол преломления будет больше угла наклона.
Ибо пусть D B E (на том же первом рисунке) будет разделяющей поверхностью двух сред; и пусть тело, например брошенный камень, понимается как движущееся, как предполагается, по прямой линии A B C; и пусть A B находится в более разреженной среде, как в воздухе; а B C — в более плотной, как в воде. Я утверждаю, что камень, который, будучи брошен, движется по линии A B, не продолжит движение по линии B C, а по какой-то другой линии, а именно той, с которой перпендикуляр B H образует угол преломления H B F, больший угла наклона H B C.
Ибо, видя, что камень, идущий из A и падающий на B, заставляет то, что находится в B, двигаться к H, и что подобное происходит во всех прямых линиях, которые параллельны B H; и видя, что движущиеся части восстанавливают себя обратным движением по той же линии; будет порождено обратное движение в H B и во всех прямых линиях, которые параллельны ей. Посему движение камня будет совершаться слиянием движений в A G, то есть в D B, и в G B, то есть в B H, и, наконец, в H B, то есть слиянием трех движений. Но слиянием движений в A G и B H камень будет перенесен в C; и поэтому, добавив движение в H B, он будет перенесен выше по какой-то другой линии, как в B F, и образует угол H B F, больший угла H B C.
И отсюда можно вывести причину, почему тела, которые брошены по очень наклонной линии, если они либо плоские, либо брошены с большой силой, при падении на воду будут отброшены снова из воды в воздух.
Ибо пусть A B (на рис. 2) будет поверхностью воды; в которую из точки C пусть будет брошен камень по прямой линии C A, образуя с линией B A, продолженной очень мало, угол C A D; и, продолжая B A неопределенно до D, пусть C D будет проведена перпендикулярно к ней, а A E — параллельно C D. Камень, следовательно, будет двигаться в C A слиянием двух движений в C D и D A, чьи скорости относятся как сами линии C D и D A. И от движения в C D и всех его параллелях вниз, как только камень упадет на A, произойдет реакция вверх, потому что вода восстанавливает себя в прежнее положение. Если теперь камень брошен с достаточной наклонностью, то есть если прямая линия C D достаточно коротка, то есть если стремление камня вниз меньше реакции воды вверх, то есть меньше стремления, которое она имеет от собственной тяжести (ибо это может быть), камень по причине избытка стремления, которое вода имеет к восстановлению себя, над тем, которое камень имеет вниз, будет поднят снова над поверхностью A B и перенесен выше, отразившись по линии, которая идет выше, как линия A G.
Endeavour, which from one point tendeth every way, will be so refracted, as that the sine of the angle refracted will be to the sine of the angle of inclination, as the density of the first medium is to the density of the second medium, reciprocally taken.
4. Если из точки, какова бы ни была среда, стремление распространяется во все стороны во все части этой среды; и тому же стремлению наклонно противопоставлена другая среда иного свойства, то есть либо более разреженная, либо более плотная; это стремление будет преломлено так, что синус угла преломления к синусу угла наклона будет относиться как плотность первой среды к плотности второй среды, взятые обратно.
Во-первых, пусть тело находится в более разреженной среде в A (рис. 3), и пусть понимается, что оно имеет стремление во все стороны, и, следовательно, что его стремление продолжается по линиям A B и A b; к которым пусть B b, поверхность более плотной среды, будет наклонно противопоставлена в B и b, так что A B и A b равны; и пусть прямая линия B b будет продолжена в обе стороны. Из точек B и b пусть будут проведены перпендикуляры B C и b c; и на центрах B и b, и на равных расстояниях B A и b A, пусть будут описаны круги A C и A c, пересекающие B C и b c в C и c, и те же C B и c b, продолженные в D и d, а также A B и A b, продолженные в E и e. Затем из точки A к прямым линиям B C и b c пусть будут проведены перпендикуляры A F и A f. A F, следовательно, будет синусом угла наклона прямой линии A B, а A f — синусом угла наклона прямой линии A b, которые два наклона по построению сделаны равными. Я утверждаю, что как плотность среды, в которой находятся B C и b c, относится к плотности среды, в которой находятся B D и b d, так синус угла преломления относится к синусу угла наклона.
Пусть прямая линия F G будет проведена параллельно прямой линии A B, встречаясь с прямой линией b B, продолженной в G.
Видя, следовательно, что A F и B G также параллельны, они будут равны; и, следовательно, стремление в A F распространяется за то же время, за которое стремление в B G распространилось бы, если бы среда была той же плотности. Но потому что B G находится в более плотной среде, то есть в среде, которая сопротивляется стремлению больше, чем среда, в которой A F, стремление будет распространяться меньше в B G, чем в A F, согласно пропорции, которую плотность среды, в которой A F, имеет к плотности среды, в которой B G. Пусть, следовательно, плотность среды, в которой B G, относится к плотности среды, в которой A F, как B G к B H; и пусть мерой времени будет радиус круга. Пусть H I будет проведена параллельно B D, встречаясь с окружностью в I; и из точки I пусть I K будет проведена перпендикулярно к B D; по завершении чего B H и I K будут равны; и I K будет относиться к A F как плотность среды, в которой A F, к плотности среды, в которой I K. Видя, следовательно, что во время A B, которое есть радиус круга, стремление распространяется в A F в более разреженной среде, оно будет распространяться за то же время, то есть во время B I в более плотной среде от K к I. Следовательно, B I есть преломленная линия линии падения A B; и I K есть синус угла преломления; а A F — синус угла наклона. Посему, видя, что I K относится к A F как плотность среды, в которой A F, к плотности среды, в которой I K; будет как плотность среды, в которой A F или B C, к плотности среды, в которой I K или B D, так синус угла преломления к синусу угла наклона. И по той же причине можно показать, что как плотность более разреженной среды относится к плотности более плотной среды, так K I, синус угла преломления, будет относиться к A F, синусу угла наклона.
Во-вторых, пусть тело, которое стремится во все стороны, находится в более плотной среде в I. Если, следовательно, обе среды были бы одной плотности, стремление тела в I B направлялось бы прямо к L; и синус угла наклона L M был бы равен I K или B H. Но потому что плотность среды, в которой I K, к плотности среды, в которой L M, относится как B H к B G, то есть к A F, стремление будет распространяться дальше в среде, в которой L M, чем в среде, в которой I K, в пропорции плотности к плотности, то есть M L к A F. Посему, когда B A проведена, угол преломления будет C B A, а его синус — A F. Но L M есть синус угла наклона; и поэтому снова, как плотность одной среды относится к плотности другой среды, так обратно синус угла преломления относится к синусу угла наклона; что и требовалось доказать.
В этом доказательстве я сделал разделяющую поверхность B b плоской по построению. Но хотя бы она была вогнутой или выпуклой, теорема все равно была бы верна. Ибо преломление совершается в точке B плоской разделяющей поверхности, если провести кривую линию, как P Q, касающуюся разделяющей линии в точке B; ни преломленная линия B I, ни перпендикуляр B D не изменятся; и угол преломления K B I, как и его синус K I, останутся теми же, какими они были.
The sine of the refracted angle in one inclination is to the sine of the refracted angle in another inclination, as the sine of the angle of that inclination is to the sine of the angle of this inclination.
5. Синус угла преломления при одном наклоне относится к синусу угла преломления при другом наклоне как синус угла того наклона к синусу угла этого наклона.
Ибо, видя, что синус угла преломления относится к синусу угла наклона, каков бы ни был этот наклон, как плотность одной среды к плотности другой среды; пропорция синуса угла преломления к синусу угла наклона будет составлена из пропорций плотности к плотности и синуса угла одного наклона к синусу угла другого наклона. Но пропорции плотностей в одном и том же однородном теле предполагаются одинаковыми. Посему углы преломления при различных наклонах относятся как синусы углов тех наклонов; что и требовалось доказать.
If two lines of incidence, having equal inclination, be one in a thinner the other in a thicker medium, the sine of the angle of inclination will be a mean proportional between the two sines of the refracted angles.
6. Если две линии падения, имеющие равный наклон, находятся одна в более разреженной, другая в более плотной среде, синус угла их наклона будет средним пропорциональным между двумя синусами их углов преломления.
Ибо пусть прямая линия A B (на рис. 3) имеет свой наклон в более разреженной среде и преломляется в более плотной среде в B I; и пусть E B имеет такой же наклон в более плотной среде и преломляется в более разреженной среде в B S; и пусть R S, синус угла преломления, будет проведен. Я утверждаю, что прямые линии R S, A F и I K находятся в непрерывной пропорции. Ибо как плотность более плотной среды к плотности более разреженной среды, так R S к A F. Но также как плотность той же более плотной среды к плотности той же более разреженной среды, так A F к I K. Посему R S : A F :: A F : I K суть пропорциональные; то есть R S, A F и I K находятся в непрерывной пропорции, а A F есть среднее пропорциональное; что и требовалось доказать.
If the angle of inclination be semirect, and the line of inclination be in the thicker medium, and the proportion of their densities be the same with that of the diagonal to the side of a square, and the separating superficies be plain, the refracted line will be in the separating superficies.
7. Если угол наклона полупрямой, а линия наклона находится в более плотной среде, и пропорция плотностей та же, что у диагонали к стороне ее квадрата, а разделяющая поверхность плоская, преломленная линия будет лежать в этой разделяющей поверхности.
Ибо в круге A C (рис. 4) пусть угол наклона A B C будет углом в 45 градусов. Пусть C B будет продолжена до окружности в D; и пусть C E, синус угла E B C, будет проведен, к которому пусть B F будет взята равной в разделяющей линии B G. B C E F будет, следовательно, параллелограммом, а F E и B C, то есть F E и B G, равными. Пусть A G будет проведена, а именно диагональ квадрата, чья сторона есть B G, и будет как A G к E F, так B G к B F; и так, по предположению, плотность среды, в которой C, к плотности среды, в которой D; и так также синус угла преломления к синусу угла наклона. Проводя, следовательно, F D, и из D линию D H перпендикулярно к A B, продолженной, D H будет синусом угла наклона. И видя, что синус угла преломления относится к синусу угла наклона как плотность среды, в которой C, к плотности среды, в которой D, то есть, по предположению, как A G к F E, то есть как B G к D H; и видя, что D H есть синус угла наклона, B G будет, следовательно, синусом угла преломления. Посему B G будет преломленной линией и лежать в плоской разделяющей поверхности; что и требовалось доказать.
Следствие. Поэтому очевидно, что когда наклон больше 45 градусов, как и когда он меньше, при условии, что плотность больше, может случиться, что преломление вовсе не войдет в более разреженную среду.
If a body be carried in a strait line upon another body, and do not penetrate it, but be reflected from it, the angle of reflection will be equal to the angle of incidence.
8. Если тело падает по прямой линии на другое тело и не проникает в него, но отражается от него, угол отражения будет равен углу падения.
Пусть есть тело в A (на рис. 5), которое, падая с прямым движением по линии A C на другое тело в C, не проходит дальше, но отражается; и пусть угол падения будет любой угол, как A C D. Пусть прямая линия C E будет проведена, образуя с D C, продолженной, угол E C F, равный углу A C D; и пусть A D будет проведена перпендикулярно к прямой линии D F. Также в той же прямой линии D F пусть C G будет взята равной C D; и пусть перпендикуляр G E будет воздвигнут, пересекая C E в E. По завершении этого треугольники A C D и E C G будут равны и подобны. Пусть C H будет проведена равной и параллельной прямой линии A D; и пусть H C будет продолжена неопределенно до I. Наконец, пусть E A будет проведена, которая пройдет через H и будет параллельна и равна G D. Я утверждаю, что движение из A в C по прямой линии падения A C отразится по прямой линии C E.
Ибо движение из A в C совершается двумя коэффициентами или сопутствующими движениями, одно в A H параллельно D G, другое в A D перпендикулярно к той же D G; из которых двух движений то, что в A H, не производит никакого действия на тело A после того, как оно было перемещено до C, потому что, по предположению, оно не проходит прямую линию D G; тогда как стремление в A D, то есть в H C, действует дальше к I. Но видя, что оно только давит, а не проникает, произойдет реакция в H, которая вызывает движение из C к H; и тем временем движение в H E остается тем же, каким оно было в A H; и поэтому тело теперь будет двигаться слиянием двух движений в C H и H E, которые равны двум движениям, которые оно имело ранее в A H и H C. Посему оно будет перенесено по C E. Угол, следовательно, отражения будет E C G, равный, по построению, углу A C D; что и требовалось доказать.
Теперь, когда тело рассматривается лишь как точка, все равно, является ли поверхность или линия, в которой совершается отражение, прямой или кривой; ибо точка падения и отражения C находится как в кривой линии, которая касается D G в C, так и в самой D G.
The same happens in the generation of motion in the line of incidence.
9. Но если мы предположим, что движется не тело, а распространяется лишь некоторое стремление из A в C, доказательство тем не менее будет тем же. Ибо всякое стремление есть движение; и когда оно достигло твердого тела в C, оно давит на него и стремится дальше в C I. Посему реакция будет продолжаться в C H; и стремление в C H, сливаясь со стремлением в H E, породит стремление в C E, таким же образом, как при отскоке движущихся тел.
Если, следовательно, стремление распространяется из любой точки к вогнутой поверхности сферического тела, отраженная линия с окружностью большого круга в той же сфере образует угол, равный углу падения.
Ибо если стремление распространяется из A (на рис. 6) к окружности в B, а центр сферы есть C, и линия C B проведена, как и касательная D B E; и, наконец, если угол F B D сделан равным углу A B E, отражение совершится по линии B F, как было только что показано. Посему углы, которые прямые линии A B и F B образуют с окружностью, также будут равны. Но здесь следует заметить, что если C B продолжить как угодно до G, стремление в линии G B C будет происходить только от перпендикулярной реакции в G B; и что поэтому не будет никакого другого стремления в точке B к частям, которые находятся внутри сферы, кроме того, которое направлено к центру.
И здесь я заканчиваю третью часть этого рассуждения; в которой я рассматривал движение и величину сами по себе в абстракции. Четвертая и последняя часть, касающаяся явлений природы, то есть касающаяся движений и величин тел, которые являются частями мира, реальными и существующими, есть та, что следует.