«Логика случая»

Строки, которые были поставлены в качестве эпиграфа к этой работе: «Так заботлива о типе она кажется, так небрежна к отдельной жизни», вскоре после этого исправляются утверждением, что сам тип, если мы рассматриваем его в течение долгого времени, меняется, а затем исчезает и сменяется другими. Так и в вероятности; то единообразие, которое обнаруживается в долгосрочной перспективе и которое представляет такой большой контраст с индивидуальным беспорядком, хотя и долговечно, но не вечно. Продолжайте наблюдать за ним достаточно долго, и будет обнаружено, что оно почти неизменно колеблется, и со временем может оказаться столь же совершенно не поддающимся правилу и, следовательно, столь же неспособным к предсказанию, как и сами индивидуальные случаи. Полное значение этого факта для теории предмета и для некоторых общих способов вычисления, связанных с ним, проявится более полно в некоторых из следующих глав; в настоящее время мы ограничимся лишь очень кратким установлением и иллюстрированием его.

Возьмем, например, среднюю продолжительность жизни. Это, при условии, что наши данные достаточно обширны, как известно, довольно регулярно и единообразно. Этот факт уже был указан в предыдущих разделах и является истиной, которую популярный ум довольно ясно улавливает в наши дни. Но очень небольшое размышление покажет, что может существовать как верхний, так и нижний предел степени, в которой это единообразие может наблюдаться; другими словами, хотя мы можем впасть в ошибку, взяв слишком мало случаев, мы можем также не достичь нашей цели, хотя и совсем по-другому и по совсем другим причинам, взяв слишком много. В настоящее время средняя продолжительность жизни в Англии может составлять, скажем, сорок лет; но столетие назад она была определенно меньше; несколько столетий назад она была, по-видимому, гораздо меньше; в то время как если бы мы обладали статистикой, относящейся к еще более раннему населению страны, мы, вероятно, обнаружили бы, что с того времени произошло еще более заметное улучшение. Какова может быть будущая тенденция, никто не может сказать наверняка. Может быть, и мы надеемся, что так оно и будет, что благодаря санитарным и другим улучшениям продолжительность жизни будет неуклонно расти; по крайней мере, мыслимо, хотя, несомненно, невероятно, что она будет делать это без предела. С другой стороны, и с гораздо большей вероятностью, эта продолжительность могла бы постепенно стремиться к некоторой фиксированной длине. Или, опять же, вполне возможно, что будущие поколения предпочли бы короткую и веселую жизнь и, следовательно, уменьшили бы свою среднюю долговечность. Продолжительность жизни не может не зависеть в некоторой степени от общих вкусов, привычек и занятий людей, то есть от идеала, который они сознательно или бессознательно ставят перед собой, и был бы безрассудным человек, который взялся бы предсказать, каким будет этот идеал через несколько столетий. Все, что здесь необходимо, однако, указать, это то, что это конкретное единообразие (как мы до сих пор называли его, чтобы отметить его относительный характер) варьировалось и, под влиянием будущих вихрей в мнении и практике, может варьироваться до сих пор; и это в любой степени и с любой степенью нерегулярности. Чтобы заимствовать термин из астрономии, мы находим наше единообразие подверженным тому, что можно было бы назвать нерегулярным вековым изменением.

§ 11. Вышеприведенное является справедливым типичным примером. Если бы мы взяли менее простую черту, чем продолжительность жизни, или менее тесно связанную с тем, что можно назвать по сравнению с этим великими постоянными единообразиями природы, мы обнаружили бы особенность, находящуюся под наблюдением, проявленную в гораздо более поразительной степени. Смерти от оспы, например, или случаи дуэлей или обвинения в колдовстве, если их исследовать в течение нескольких последовательных десятилетий, могли бы показать очень сносную степень единообразия. Но эти единообразия поднялись, возможно, с нуля; после различных и очень больших колебаний, по-видимому, снова стремятся к нулю, по крайней мере в этом столетии; и могут, насколько мы знаем, претерпеть еще более быстрые колебания в будущем. Теперь эти примеры должны рассматриваться как лишь крайние, и не такие уж крайние, того, что является почти всеобщим правилом в природе. Я постараюсь показать, что даже немногие кажущиеся исключения, такие как пропорции между рождениями мальчиков и девочек и т. д., могут не быть, и, вероятно, в действительности не являются, строго говоря, исключениями. Тип, то есть, который должен быть в самом полном смысле слов постоянным и неизменным, едва ли можно найти в природе. Полное значение этого вывода будет видно в будущих главах. Внимание здесь направлено только на важный вывод, что, хотя статистика, как известно, не имеет никакой ценности, если она не в достаточном количестве, тем не менее не следует, что в определенных случаях мы можем иметь ее слишком много. Если она сделана слишком обширной, она может снова оказаться недостаточной, по крайней мере для любого конкретного времени или места, для своей величайшей достижимой точности.

§ 12. Эти естественные единообразия, таким образом, оказываются в конечном счете подверженными колебаниям. Теперь противопоставьте им любые единообразия, предоставляемые азартными играми; последние, по-видимому, не показывают никаких следов векового колебания, как долго бы мы ни продолжали наше исследование их. Критика будет предложена в ходе следующих глав на некоторые из обычных попыток доказать априори, что должна быть эта фиксированность в единообразии, о котором идет речь, но в его существовании едва ли может быть много сомнений. Пенни дают орлов и решек примерно одинаково часто сейчас, как они делали, когда их впервые подбрасывали, и как, мы верим, они будут продолжать делать, пока продолжается нынешний порядок вещей. Фиксированность этих единообразий может быть не столь абсолютной, как обычно предполагается, но никакое количество опыта, которое нам нужно учитывать, вряд ли в какой-либо заметной степени помешает им. Отсюда очевидный контраст, что, тогда как естественные единообразия в конечном счете колеблются, те, что предоставляются азартными играми, кажутся фиксированными навсегда.

§ 13. Вот, таким образом, серии, по-видимому, двух разных видов. Они похожи в своей начальной нерегулярности, похожи в своей последующей регулярности; именно в том, что мы можем назвать их конечной формой, они начинают расходиться друг от друга. Одна стремится без какого-либо нерегулярного изменения к фиксированной численной пропорции в своем единообразии; в другой единообразие оказывается в конце концов колеблющимся, и колеблющимся, может быть, способом, совершенно не поддающимся правилу.

Поскольку эта глава призвана быть немногим более чем объяснительной и иллюстративной основ науки, здесь можно сделать замечание (для которого будет предложено последующее оправдание), что именно в случае серий первого рода только мы способны сделать что-либо, что может быть интерпретировано в строгие научные выводы. Мы будем способны, однако, в общем виде увидеть род и степень ошибки, которая была бы совершена, если бы в любом примере мы заменили воображаемой серией первого рода любую фактическую серию второго рода, которую опыт может представить нам. Две серии, конечно, должны быть как можно более похожими во всех отношениях, за исключением того, что переменное единообразие было заменено фиксированным. Разница тогда между ними не проявилась бы на начальной стадии, ибо на этой стадии отличительные характеристики серии вероятности не очевидны; все там нерегулярность, и было бы так же невозможно показать, что они похожи, как и то, что они различны; мы можем только сказать в общем, что каждая показывает один и тот же род нерегулярности. Не проявилась бы она и на следующей последующей стадии, ибо реальная изменчивость единообразия не имеет некоторое время возможности сделать себя замеченной. Она проявилась бы только на том, что мы назвали конечной стадией, когда мы предполагаем, что серия простирается на очень долгое время, что разница начала бы давать о себе знать. [3] Пропорция лиц, например, которые умирают каждый год в возрасте шести месяцев, является, когда рассматриваемые числа в малом масштабе, совершенно нерегулярной; она становится, однако, регулярной, когда рассматриваемые числа в большем масштабе; но если бы мы продолжали наше наблюдение в течение очень долгого времени или на очень большом пространстве страны, мы обнаружили бы, что эта регулярность сама меняется нерегулярным образом. Замена, только что упомянутая, действительно эквивалентна тому, чтобы сказать: Давайте предположим, что регулярность фиксирована и постоянна. Это создание гипотезы, которая может быть не совсем согласующейся с фактом, но которая навязывается нам с целью обеспечения точности утверждения и определения.

§ 14. Полное значение и смысл такой замены станут очевидными только в некоторых из последующих глав, но можно сразу указать, что именно таким образом только мы можем с совершенной строгостью ввести понятие «предела» в наш отчет о деле, во всяком случае в отношении многих применений предмета к чисто статистическим исследованиям. Мы говорим, что определенная пропорция начинает преобладать среди событий в долгосрочной перспективе; но затем, присмотревшись к фактам, мы обнаруживаем, что мы должны выражать себя гипотетически и говорить, что если нынешние обстоятельства останутся такими, как они есть, долгосрочная перспектива покажет свои характеристики без нарушения. Когда, как это часто бывает, мы ничего не знаем точно об обстоятельствах, которыми вызывается последовательность событий, но имеем веские причины подозревать, что эти обстоятельства, вероятно, претерпят некоторые изменения, действительно ничего другого не остается делать. Мы можем только ввести концепцию предела, к которому стремятся числа, предполагая, что эти обстоятельства не меняются; другими словами, заменяя серию с фиксированным единообразием на фактическую с варьирующимся единообразием. [4]

§ 15. Если читатель изучит следующий пример, хорошо известный математикам под названием Петербургской задачи [5], он обнаружит, что он служит для иллюстрации нескольких соображений, упомянутых в этой главе. Он служит особенно для того, чтобы выявить факты, что серия, с которой мы имеем дело, должна рассматриваться как неопределенно обширная в отношении числа или продолжительности; и что, когда так рассматривается, определенные серии, но только определенные серии (та, о которой идет речь, является примером), пользуются неопределенным диапазоном, чтобы продолжать производить индивидов в ней, чье отклонение от предыдущего среднего значения не имеет никакого конечного предела вообще. При правильном рассмотрении это очень простая задача, но она породила, в то или иное время, немало путаницы и недоумения.

Задачу можно сформулировать так: — подбрасывается монета; если выпадает орел, я получаю один фунт; если орлы два раза подряд — два фунта; если орлы три раза подряд — четыре фунта, и так далее; сумма, которую нужно получить, удваивается каждый раз, когда новый орел следует за предыдущим. То есть, я должен продолжать, пока она продолжает давать последовательность орлов, рассматривать эту последовательность как «ход» или набор, а затем делать другой ход, и так далее; и за каждый такой ход я должен получать оплату; выпадение решки, как понимается, не дает ничего, по сути, исключается из нашего рассмотрения. Сколько бы раз орел ни выпадал подряд, число фунтов, на которые я могу претендовать, находится путем возведения двойки в степень на единицу меньшую, чем это число раз. Вот, таким образом, серия, сформированная последовательностью бросков. Мы предположим, — что многие люди сочтут допускающим доказательство, и что, конечно, опыт подтверждает в значительных пределах, — что редкость этих «серий» одной и той же стороны находится в прямой пропорции к сумме, которую я получаю за них, когда они действительно происходят. Другими словами, если мы рассматриваем только случаи, в которых я получаю выплаты, мы обнаружим, что каждый второй раз я получаю один фунт, раз в четыре раза я получаю два фунта, раз в восемь раз — четыре фунта, и так далее без конца. Вопрос тогда задается, что я должен заплатить за эту привилегию? Рискуя небольшим предвосхищением результатов последующей главы, мы можем предположить, что это эквивалентно вопросу, какая сумма, выплачиваемая каждый раз, в среднем не оставила бы меня ни победителем, ни проигравшим? Другими словами, какова средняя сумма, которую я должен был бы получить на вышеуказанных условиях? Теория провозглашает, что я должен дать бесконечную сумму: то есть, никакая конечная сумма, какой бы большой она ни была, не была бы адекватным эквивалентом. И это действительно вполне понятно. Перед мной серия неопределенной длины, и чем дольше я продолжаю работать с ней, тем богаче мои доходы, и это без какого-либо предела вообще. Это правда, что очень богатые уловы чрезвычайно редки, но все же они приходят, и когда они приходят, они компенсируют это своей большей богатством. В каждом случае, когда люди посвящали себя преследованию, о котором идет речь, они знакомились, конечно, только с ограниченной частью этой серии; но серия, на которой мы основываем наш расчет, неограниченна; и выводы, обычно делаемые относительно суммы, которая должна в долгосрочной перспективе быть выплачена за привилегию, о которой идет речь, находятся в полном соответствии с этим предположением.

Обычная форма возражения приводится в ответе, что, далеко не платя бесконечную сумму, ни один здравомыслящий человек не дал бы ничего, приближающегося к 50 фунтам за такой шанс. Вероятно, нет, потому что никто не увидел бы достаточно серии, чтобы сделать это стоящим для него. То, на чем большинство людей формирует свое практическое мнение, — это такие небольшие части серии, которые они фактически видели или могут разумно ожидать. Теперь в любой такой части, скажем, той, которая охватывает 100 ходов, самая длинная последовательность орлов не составила бы в среднем более семи или восьми. Это наблюдается, но забывается, что формула, которая произвела их, если бы она имела больший размах, продолжала бы производить все лучшие и лучшие без какого-либо предела. Отсюда возникает, что некоторые люди озадачены, потому что поведение, которое они приняли бы в отношении сокращенной части серии, с которой они практически, вероятно, встретятся, не находит своего оправдания в выводах, которые обязательно основаны на серии в полноте ее бесконечности.

§ 16. Это будет более ясно видно при рассмотрении различных возможностей и размаха, требуемого для того, чтобы исчерпать их, когда мы ограничиваемся ограниченным числом бросков. Начните с трех. Это дает восемь одинаково вероятных возможностей. В четырех из этих случаев бросающий начинает с решки и поэтому проигрывает: в двух он выигрывает один пункт (т. е. 1 фунт); в одном он выигрывает два пункта, и в одном он выигрывает четыре пункта. Следовательно, его общий выигрыш, составляющий восемь фунтов, достигнутый в четырех разных непредвиденных обстоятельствах, его средний выигрыш составил бы два фунта.

Теперь предположим, что ему позволено дойти до n бросков, так что мы должны рассматривать 2^n возможностей. Все они должны быть приняты во внимание, если мы хотим рассмотреть, что происходит в среднем. Легко будет увидеть, что, когда все возможные случаи были подсчитаны один раз, его общий выигрыш будет (подсчитанный в фунтах),

2n−2 + 2n−3·2 + 2n−4·22 + … + 2·2n−3 + 2n−2 + 2n−1,

viz.

(n + 1) 2n−2.

Это будучи распределенным по 2^(n-1) различным случаям выигрыша, его средний выигрыш будет 1/2(n+1).

Теперь, когда мы ссылаемся на средние значения, нужно помнить, что минимальное число различных событий, необходимых для того, чтобы оправдать среднее значение, — это то, которое позволяет каждому из них проявиться один раз. Человек предлагает остановиться на последовательности из десяти орлов. Хорошо и хорошо. Мы говорим ему, что его средний выигрыш будет 5 фунтов 10 шиллингов 0 пенсов: но мы также внушаем ему, что для того, чтобы оправдать это утверждение, он должен начать подбрасывать по крайней мере 1024 раза, ибо не в меньшем числе могут быть продемонстрированы и сбалансированы все непредвиденные обстоятельства выигрыша и проигрыша. Если он предлагает достичь среднего выигрыша в 20 фунтов, он должен быть готов дойти до 39 бросков. Чтобы оправдать эту выплату, он должен начать бросать 2^39 раз, т. е. около миллиона миллионов раз. Не раньше, чем он совершит это, он будет в состоянии доказать любому скептику, что это истинное среднее значение «хода», простирающегося до 39 последовательных бросков.

Конечно, если он решит подбрасывать до скончания веков, мы должны принять линию объяснения, которая единственно возможна там, где вовлечены вопросы бесконечности в отношении числа и величины. Мы не можем сказать ему выплатить «бесконечную сумму», ибо это не имеет строгого значения. Но мы говорим ему, что, как бы много он ни согласился платить каждый раз, когда происходят серии орлов, он достигнет наконец стадии, в которой он отыграет свои общие выплаты своими общими поступлениями. Как бы велико ни было n, если он упорствует в попытках 2^n раз, он может иметь истинное среднее поступление 1/2(n+1) фунтов, и если он продолжает достаточно долго вперед, он будет иметь его.

Задача вернется для рассмотрения в будущей главе.

1 Следующая статистика даст справедливое представление о широком диапазоне опыта, в котором, как обнаруживается, существует такая регулярность: «В качестве иллюстраций равных количеств колебаний от совершенно несхожих причин, возьмите смерти в Западном округе Лондона за семь лет (колебание 13.66) и правонарушения против личности (колебание 13.61); или смерти от апоплексии (колебание 5.54) и правонарушения против собственности без насилия (колебание 5.48); или студентов, зарегистрированных в Колледже хирургов (колебание 1.85), и количество фунтов произведенного табака, взятого для внутреннего потребления (колебание 1.89); или уличных нищих (колебание 3.45) и тоннаж британских судов, вошедших в балласте (колебание 3.43) и т. д.» [Извлечено из статьи в Журнале Статистического общества, г-ном Гаем, март 1858 г.; «колебание», приведенное здесь, является мерой количества нерегулярности, то есть отклонения от среднего значения, оцененного способом, который будет описан далее.]

2 Труды Кембриджского философского общества, том IX, стр. 605. Перепечатано в собранном издании его сочинений, стр. 50.

3 Мы могли бы выразить это так: — несколько случаев недостаточно, чтобы проявить закон вообще; значительное число будет достаточно, чтобы проявить его; но требуется очень большое число, чтобы установить, что изменение происходит в законе.

4 Математик может проиллюстрировать природу этой замены аналогиями «круга кривизны» в геометрии и «мгновенного эллипса» в астрономии. В случаях, в которых используются эти концепции, мы имеем явление, которое непрерывно варьируется, а также меняет свою скорость изменения. Мы берем его в какой-то данный момент, предполагаем, что его скорость в этот момент фиксирована, а затем завершаем его карьеру на этом предположении.

5 Так названа от того, что ее первая математическая обработка появилась в Commentarii Петербургской академии; множество заметок о ней можно найти в Истории теории вероятностей г-на Тодхантера.

ГЛАВА II.

ДАЛЬНЕЙШЕЕ ОБСУЖДЕНИЕ ПРИРОДЫ СЕРИЙ, УПОМЯНУТЫХ В ПОСЛЕДНЕЙ ГЛАВЕ.

§ 1. В ходе последней главы природа особого рода серии, а именно той, которая должна рассматриваться как составляющая основание науки о вероятности, получила достаточно общее объяснение для предварительной цели введения. Можно было бы, действительно, сказать больше этого; ибо характеристики, которые были там указаны, действительно достаточны сами по себе, чтобы дать справедливое общее представление о природе вероятности и о роде проблем, с которыми она имеет дело. Но в заключительных параграфах было дано указание, что серии этого рода, как они фактически происходят в природе или как результаты более или менее искусственного производства, редко или никогда не встречаются в такой простой форме, как можно было бы ожидать из того, что было сказано ранее; но что они почти всегда рассматриваются как связанные вместе в группы несколько сложным образом. Более полное обсуждение этой темы должно теперь быть предпринято.

Мы возьмем для исследования пример рода, с которым исследования Кетле послужат для ознакомления некоторых читателей. Предположим, что мы измеряем рост большого числа взрослых мужчин в любом городе или стране. Эти показатели роста, конечно, будут лежать между определенными крайностями в каждом направлении, и если мы продолжим накапливать наши измерения, будет обнаружено, что они имеют тенденцию лежать непрерывно между этими крайностями; то есть, что при этих обстоятельствах никакой промежуточный рост не будет обнаружен как постоянно не представленный в такой коллекции измерений. Теперь предположим, что эти показатели роста выстроены в порядке их величины. Что мы всегда находим, так это нечто следующего рода: — около средней точки между крайностями, большое число результатов будет обнаружено скученными вместе: немного по каждую сторону от этой точки все еще будет избыток, но не в такой большой степени; и так далее, в некоторой уменьшающейся шкале пропорции, пока по мере того, как мы добираемся к крайним результатам, числа редеют и становятся относительно чрезвычайно малыми.

Точка, к которой здесь направляется внимание, — это не просто факт того, что числа таким образом имеют тенденцию уменьшаться от середины в каждом направлении, но, как будет более полно объяснено непосредственно, закон, согласно которому происходит это прогрессивное уменьшение. Слово «закон» здесь используется в его математическом смысле, чтобы выразить формулу, соединяющую вместе два элемента, о которых идет речь, а именно, сам рост и относительное число, которое найдено этого роста. Мы должны будем спросить, является ли один из этих элементов функцией другого, и, если да, то какой функцией.

§ 2. После того, что было сказано в последней главе, вряд ли нужно настаивать на том, что интерес и значимость таких исследований, как эти, почти полностью зависят от того, что статистика является очень обширной. В той или иной работе Кетле по Социальной физике [1] будет найдена подборка измерений почти каждого элемента, который может предоставить физическая рамка человека: — его рост, его вес, мышечная сила различных конечностей, размеры почти каждой части и органа, и так далее. Некоторые из наиболее обширных из них выражают рост 25 000 федеральных солдат из Армии Потомака и окружности груди 5738 шотландских ополченцев, взятые много лет назад. Те, кто желает проконсультироваться с большим репертуаром такой статистики, не могут быть направлены к каким-либо лучшим источникам, чем к этим и другим работам того же автора. [2]

Интересными и ценными, однако, как являются статистические исследования Кетле (и большая часть важности, теперь заслуженно придаваемой таким исследованиям, возможно, обязана больше его усилиям, чем усилиям любого другого лица), я не могу не чувствовать убежденности, что есть много в том, что он написал по предмету, что является ошибочным и запутывающим в отношении оснований науки о вероятности и философских вопросов, которые она включает. Эти ошибки отнюдь не ограничиваются им, но по разным причинам они будут лучше обсуждены в форме критики его явного или неявного выражения их, чем каким-либо более независимым способом.

§ 3. Прежде всего, он всегда или почти всегда исходит из того, что в подобных статистических исследованиях может существовать лишь один и тот же закон распределения для результатов наших наблюдений, измерений и так далее. Иными словами, он предполагает, что всякий раз, когда мы получаем группу таких величин, группирующихся вокруг среднего значения и становящихся менее частыми по мере удаления от этого среднего, мы обнаружим, что это уменьшение частоты происходит согласно одному неизменному закону, какова бы ни была природа этих величин и каков бы ни был процесс, с помощью которого они были получены.

То, что подобная единообразность должна преобладать среди многих и различных классов явлений, вероятно, показалось бы удивительным в любом случае. Но полное значение такого факта (если бы это действительно был факт) становится очевидным лишь тогда, когда внимание направляется на глубокие различия в природе и происхождении явлений, которые, как предполагается, гармонизируются путем подведения их под один всеобъемлющий принцип. Это будет лучше оценено, если мы кратко взглянем на некоторые из основных классов, на которые можно разделить вещи, с которыми главным образом имеет дело вероятность. Они бывают трех видов.

§ 4. Во-первых, существуют различные комбинации и серии удач, предоставляемые азартными играми. Предположим, что горсть из десяти монет подбрасывалась много раз подряд, а результаты были сведены в таблицу. То, что мы получили бы, было бы чем-то вроде следующего. В определенной доле случаев, причем самых многочисленных из всех, мы обнаружили бы, что получили пять орлов и пять решек; в несколько меньшей доле случаев мы имели бы в качестве одинаково частых результатов четыре орла и шесть решек, а также четыре решки и шесть орлов; и так далее, в постоянно уменьшающейся пропорции, пока, наконец, мы не дошли бы, в очень малом относительном числе случаев, до девяти орлов и одной решки, а также девяти решек и одного орла; в то время как наименее частыми результатами были бы те, которые давали все орлы или все решки. [3] Здесь рассматриваемые статистические элементы, по крайней мере в том, что касается их происхождения, являются произвольными или вызванными человеческим выбором. Поэтому их обычно описывали бы как преимущественно искусственные, но их результаты в конечном счете — целиком дело случая.

Далее, во-вторых, мы могли бы взять точные измерения — т.е. сами фактические величины — множества природных объектов, принадлежащих к одному роду или классу; например, уже упоминавшиеся случаи роста или других характеристик жителей какого-либо района. Здесь человеческая воля или вмешательство любого рода, по-видимому, имеют мало общего с делом или не имеют ничего общего вовсе. Нам решать, собирать ли эти измерения, но измеряемые вещи находятся вне нашего контроля. Поэтому их обычно описывали бы как целиком порождение природы, и не предполагалось бы, что в строгом смысле случай имеет хоть какое-то отношение к делу.

В-третьих, результат, к которому мы стремимся, может представлять собой некоторую фиксированную величину, одну и ту же в каждой из наших последовательных попыток, так что если бы наши измерения были строго точными, мы просто получали бы один и тот же результат, повторяющийся снова и снова. Но поскольку все наши методы достижения целей практически подвержены бесчисленным несовершенствам, фактически полученные результаты будут в той или иной степени отклоняться почти в каждом случае от реального и фиксированного значения, которое мы пытаемся получить. Они будут иногда дальше от цели, иногда ближе, причем худшие попытки, разумеется, будут менее частыми. Если человек целится в мишень, он редко или никогда не попадет точно в центр, но его удачные выстрелы будут более [4] многочисленны, чем неудачные. Здесь, следовательно, мы снова имеем ряд величин (т.е. отклонения выстрелов от точки прицеливания), группирующихся вокруг среднего значения, но полученных совсем иным способом, чем в двух предыдущих случаях. В этом примере элементы обычно рассматривались бы как лишь частично являющиеся результатами человеческой воли, а случай, следовательно, как лишь соучастник произведенных эффектов. С ними должны быть классифицированы то, что можно назвать оценками, в отличие от измерений. Под последними обычно понимаются результаты некоторого количества механизмов или манипуляций; под первыми мы можем понимать те случаи, в которых рассматриваемая величина определяется путем прямого наблюдения или интроспекции. Интерес и важность этого класса, насколько это касается научных принципов, восходят главным образом к исследованиям Фехнера. Его главная область, естественно, находится среди психологических данных.

Можно было бы легко привести и другие классы вещей, помимо упомянутых выше. Однако это те классы, о которых можно получить наиболее обширную статистику или которым придается наибольшее практическое значение и интерес. Глубокие различия, разделяющие их происхождение и характер, очевидны. Если бы все они действительно демонстрировали в точности один и тот же закон вариации, это был бы весьма примечательный факт, несомненно указывающий на некое глубокое тождество, лежащее в основе различных способов, по-видимому, столь широко различающихся, которыми они были порождены. Вопросы, которые теперь предстоит обсудить, таковы: верно ли, с какой-либо значительной степенью строгости, что действительно преобладает только один закон распределения? И, поскольку это так, как это происходит?

§ 5. В поддержку утвердительного ответа на первый из этих двух вопросов предлагаются или могут быть предложены доказательства нескольких различных видов.

(I.) В качестве одного из способов мы можем обратиться непосредственно к опыту, собирая наборы статистических данных и наблюдая, каков их закон распределения. Как было отмечено выше, это было сделано в самых разных случаях, а в некоторых примерах — в весьма значительной степени — Кетле и другими. Его исследования сделали вполне убедительным то, что многие классы вещей и процессов, сильно различающиеся по своей природе и происхождению, тем не менее, по-видимому, соответствуют с довольно высокой степенью точности одному и тому же [5] закону. По крайней мере, это становится ясным для более центральных значений, то есть для тех, которые расположены наиболее близко к среднему значению. Что касается экстремальных значений, то здесь, с другой стороны, есть некоторые трудности. Например, в распределении роста ряда людей эти крайности являются скорее камнем преткновения; действительно, было предложено исключить их с обоих концов шкалы под тем предлогом, что они являются отклонениями, тогда как на самом деле их относительные числа, по-видимому, отнюдь не являются теми, которые приписала бы теория. [6] Такой план исключения, однако, совершенно неправомочен, ибо эти карлики и гиганты рождаются в мир, как и их более нормально сложенные собратья, и имеют точно такое же право, как и любые другие, быть включенными в формулы, которые мы составляем.

Помимо примера с ростом людей, уже упоминались другие классы наблюдений несколько схожего характера, собранные и систематизированные Кетле. Однако, в силу природы самого дела, под рукой не так много подходящих примеров; ибо когда наша цель состоит не в том, чтобы проиллюстрировать закон, который может быть доказан иным способом, а в том, чтобы получить его фактическое прямое доказательство, сбор наблюдений и измерений должен производиться в таком большом масштабе, чтобы удержать любого, кроме самых упорных вычислителей, от выполнения необходимой работы. Некоторые замечания, сделанные в примечании на противоположной странице, послужат иллюстрацией трудностей, которые могли бы возникнуть на пути такого способа доказательства.

Мы говорим здесь, следует понимать, только о симметричных кривых: если существует асимметрия, т.е. если закон ошибок различен по разные стороны от среднего значения, — сравнительно очень небольшого числа наблюдений было бы достаточно, чтобы обнаружить этот факт. Но, при условии симметрии и быстрого убывания частоты по обе стороны от среднего значения, мы могли бы обычно выбрать некоторый вид экспоненциальной кривой, который довольно точно представлял бы нашу статистику в окрестности среднего значения. То есть там, где статистических данных много, мы могли бы обеспечить согласие; а там, где мы не могли бы обеспечить согласие, статистические данные были бы сравнительно настолько скудны, что нам пришлось бы продолжать наблюдения в течение очень долгого времени, чтобы доказать отсутствие согласия.

§ 6. Предоставляя различным статистическим данным такой кредит, которого они заслуживают в отношении их объема, уместности, точности и так далее, общий вывод, который в целом сделает почти каждый, кто возьмет на себя труд ознакомиться с ними, заключается в том, что они в значительной степени приблизительно соответствуют одному типу или закону, по крайней мере для всех, кроме экстремальных значений. Столь многое должно быть полностью признано. Но то, что они не всегда делают это, — более того, можно сказать, что они не могут всегда делать это в случае экстремальных значений, — станет очевидным при небольшом размышлении. В некоторых классах вещей, к которым, как предполагается, применим этот закон, например, в последовательностях орлов и решек при подбрасывании монеты, нет предела величине флуктуаций, которые могут и будут происходить. Постулируйте сколь угодно длинную последовательность орлов или решек, и если бы мы могли жить и подбрасывать достаточно долго, мы бы в конце концов преуспели в ее получении. В других случаях, включая многие приложения вероятности к естественным явлениям, такие пределы почти неизбежно должны существовать. Отклонения, превышающие определенный диапазон, могут быть не просто маловероятными, то есть очень редкими, но часто, в силу природы самого дела, могут быть фактически невозможными. И даже когда они не являются фактически невозможными, часто при рассмотрении может оказаться, что они становятся возможными только благодаря случайному введению факторов, которые, как предполагается, не участвуют в создании более обычных или промежуточных значений. Когда, например, мы проводим наблюдения с помощью какого-либо инструмента, характер его конструкции может наложить абсолютный предел на возможную величину ошибки. И даже если нет абсолютного предела при всех видах использования, тем не менее может оказаться, что он существует при честном и надлежащем использовании; дело в том, что только тогда, когда инструмент намеренно или небрежно повреждается, будут введены новые причины расхождения, которые не были ограничены старыми пределами.

Предположим, например, что человек стреляет в мишень. Его худшие выстрелы должны считаться вызванными комбинацией таких причин, которые действовали или были готовы действовать в любом другом случае; крайний пример того, что мы можем таким образом назвать «честным использованием», — это когда ряд различных причин случайно совпал, так что они стремятся в одном направлении, вместо того чтобы, как в других случаях, более или менее нейтрализовать работу друг друга. Но совокупный эффект таких причин вполне может считаться ограниченным. Человек не произведет выстрел почти под прямым углом к истинной линии огня, если не вмешается какая-то совершенно новая причина, например, из-за какого-то необычного обстоятельства, отвлекшего его внимание, или из-за спазматического приступа. Но влияния такого рода, как предполагалось, не были доступны ранее; и даже если они были, мы делаем смелый шаг, предполагая, что эти случайные великие возмущения подчиняются тем же видам законов, что и совокупности бесчисленных малых.

Мы действительно не можем придавать большого значения примеру последнего рода по сравнению с теми, в которых мы можем с уверенностью видеть, что существует фиксированный предел диапазона ошибки. Поэтому он предлагается скорее для иллюстрации, чем для доказательства. Огромная, фактически невообразимая величина чисел, выражающих вероятность очень редких комбинаций, подобных рассматриваемым, оказывает такое ошеломляющее воздействие на ум, что иногда можно быть склонным смешивать невозможное с высшими степенями просто математически маловероятного.

§ 7. Во время написания первого издания этого эссе авторы по статистике, я думаю, все еще по большей части находились под влиянием Кетле и были склонны переоценивать его авторитет в этом конкретном вопросе: однако в последнее время внимание неоднократно обращалось на необходимость учета иных законов распределения, нежели биномиальный или экспоненциальный.

Мистер Гальтон, например, — которому так многим обязана каждая ветвь теории статистики, — настаивал [7] на том, что «предположение, лежащее в основе хорошо известного закона 'Частоты ошибок'... является неверным во многих группах жизненных и социальных явлений... Например, предположим, что мы пытаемся подобрать оттенок; закон Фехнера в его аппроксимативной и простейшей форме ощущение = log стимула говорит нам, что ряд оттенков, в которых количества белого, рассеянного на черном фоне, относятся как 1, 2, 4, 8, 16, 32 и т.д., будут казаться глазу разделенными равными интервалами оттенка. Поэтому, подбирая серый цвет, содержащий 8 порций белого, мы с такой же вероятностью можем ошибиться, выбрав тот, в котором 16 порций, как и тот, в котором 4 порции. В первом случае будет ошибка в избытке на 8; во втором — ошибка в недостатке на 4. Следовательно, ошибка той же величины в избытке или в недостатке не является одинаково вероятной». Последствия этого предположения разработаны в замечательной статье доктора Д. Макалистера, к которой нам еще придется вернуться в дальнейшем. Все, что нам здесь важно отметить, это то, что когда результаты статистики такого характера располагаются графически, мы не получаем кривую, которая была бы симметричной по обе стороны от центральной оси.

§ 8. Совсем недавно мистер Ф. И. Эджуорт (в отчете комитета Британской ассоциации, назначенного для расследования изменения денежного стандарта) выдвинул те же соображения в отношении цен на товары. Он приводит ряд статистических данных, «взятых из цен на двенадцать товаров в течение двух периодов 1782–1820, 1820–1865 гг. После того как были отмечены максимальное и минимальное значения для каждой серии, было обнаружено, что количество записей выше 'средней точки', находящейся на полпути между максимумом и минимумом, [8] в каждом случае меньше половины общего числа записей в серии. В двадцати четырех испытаниях нет ни одного исключения из этого правила, и в очень немногих случаях даже приближения к исключению. Мы можем предположить, следовательно, что кривые имеют однобокий характер, указанный на прилагаемой диаграмме». Те же факты установлены и в отношении пространственных вариаций в отличие от временных. К этому можно добавить некоторые мои собственные статистические данные, относящиеся к высоте барометра, измеренной в один и тот же час в течение более 4000 последовательных дней (см. Nature, 2 сентября 1887 г.). Насколько они позволяют судить, они показывают заметную асимметрию распределения.

На самом деле мне кажется, что эту нехватку симметрии следует искать во всех случаях, когда измеряемые явления имеют «односторонний» характер; в том смысле, что они измеряются только с одной стороны от некоторой фиксированной точки, от которой, как предполагается, начинается их возможность. Ибо они не только не могут опуститься ниже этой точки: задолго до того, как они достигают ее, влияние ее близости ощущается в усилении трудности и важности той же величины абсолютной разности.

Взгляните, например, на таблицу роста со средним значением 69 дюймов. Уменьшение на три фута (если бы это было возможно) гораздо более значительно — значит гораздо больше во всех смыслах этого слова, — чем прибавление такой же величины; ибо первое не удваивает среднее значение, тогда как второе более чем уменьшает его вдвое. Вернемся к иллюстрации. Если бы огромное количество мелких влияющих обстоятельств описанного типа воздействовало на качающийся маятник, мы ожидали бы, что отклонения в каждом направлении будут демонстрировать симметрию; но если бы они воздействовали на пружину, мы не ожидали бы такого результата. Любые явления, для которых последняя является более подходящей иллюстрацией, вряд ли могут располагаться симметрично вокруг среднего значения. [9]

§ 9. (II.) Последние замечания подскажут другой вид доказательства, который можно было бы предложить для установления неизменного характера закона ошибок. Он носит прямой дедуктивный характер, не апеллируя непосредственно к статистике, но включая исследование фактической или предполагаемой природы причин, которыми вызываются события. Представьте, что рассматриваемое событие происходит, во-первых, по какой-то фиксированной причине или группе фиксированных причин. Если бы это охватывало все влияющие обстоятельства, событие неизменно происходило бы в точности одинаково: не было бы никаких ошибок или отклонений, которые нужно было бы принимать во внимание. Но теперь предположим, что существовало также огромное количество очень малых причин, которые стремились вызвать отклонения; что эти причины действовали в полной независимости друг от друга; и что каждая из них в конечном счете сказывалась так же часто в одном направлении, как и в противоположном. Легко [10] увидеть в общем виде, что последовало бы из этих предположений. В очень немногих случаях почти все причины действовали бы в одном направлении; иными словами, в очень немногих случаях отклонение было бы экстремальным. Однако в большем числе случаев только большая их часть действовала бы в одном направлении, в то время как немногие делали бы все возможное, чтобы противодействовать остальным; результатом было бы сравнительно большее число несколько меньших отклонений. И так далее, во все возрастающих числах, пока мы не приблизимся к средней точке. Здесь мы будем иметь очень большое число очень малых отклонений: случаи, в которых противоположные влияния как раз успевают уравновесить друг друга, так что не производится никакой ошибки, будут, хотя фактически и редкими, относительно самыми частыми из всех.

Теперь, если бы все отклонения от среднего значения вызывались способом, только что указанным (указанием, которое должно быть достаточным для настоящего момента), мы всегда имели бы один и тот же закон распределения частоты для этих отклонений или ошибок, а именно экспоненциальный [11] закон, упомянутый в § 5.

§ 10. Можно легко признать, исходя из того, что мы знаем о возникновении событий, что нечто, напоминающее эти предположения, а следовательно, и нечто, напоминающее последствия, которые из них вытекают, действительно обеспечивается в очень большом числе случаев. Но хотя это может преобладать приблизительно, в высшей степени маловероятно, что это когда-либо могло быть обеспечено, даже искусственно, с чем-то, приближающимся к строгой точности. Во-первых, причины отклонения редко или никогда не будут действительно независимыми друг от друга. Некоторые из них, как правило, будут такого рода, что предположение о том, что несколько из них колеблются в одном направлении, может повлиять на способность каждой из них произвести тот полный эффект, который она была бы способна произвести, если бы была оставлена выполнять свою работу в одиночку. В обычном примере, например, стрельбы в мишень, пока мы рассматриваем случай довольно хороших выстрелов, эффект ветра (одна из причин ошибки) будет приблизительно одинаковым, каково бы ни было точное направление пули. Но когда выстрел значительно отклоняется от цели, ветер уже нельзя рассматривать как действующий под прямым углом к линии полета, и его эффект, как следствие, не будет в точности таким же, как раньше. Другими словами, причины здесь не являются строго независимыми, как предполагалось; и, следовательно, результаты, которые следует приписать каждой из них, не являются абсолютно не подверженными влиянию результатов других. Несомненно, эффект здесь ничтожен, но я опасаюсь, что если бы мы тщательно изучили способы, которыми несколько элементов общей причины объединяются, мы обнаружили бы, что предположение об абсолютной независимости было рискованным, если не сказать неоправданным, в очень большом числе случаев. Эти краткие замечания о процессе, с помощью которого вызываются отклонения, должны быть достаточными для настоящей цели, так как эта тема получит более полное исследование в ходе следующей главы.

Согласно, следовательно, наилучшему рассмотрению, которое может быть предоставлено этой теме на данном этапе, мы можем сделать аналогичный вывод из этой дедуктивной линии аргументации, что и из прямого обращения к статистике. По-видимому, установлен тот же общий результат; а именно, что приблизительно, с достаточной точностью для всех практических целей, мы можем сказать, что исследование причин, которыми обычно вызываются отклонения, показывает, что они по большей части таковы, что привели бы к получению общепринятого «Закона ошибок», как он называется. [12] Две линии исследования, следовательно, в установленных пределах, обеспечивают друг другу решительное взаимное подтверждение.

§ 11. (III.) Остается еще третья, косвенная и математическая линия доказательства, которую можно было бы предложить для установления вывода о том, что Закон ошибок всегда один и тот же. Можно утверждать, что признанное и повсеместное применение одного и того же метода, известного математикам и астрономам как метод наименьших квадратов, во всех возможных различных случаях с весьма удовлетворительными результатами, совместимо только с предположением, что ошибки, к которым применяется этот метод, должны группироваться согласно одному неизменному закону. Если бы все «законы ошибок» не были одного и того же типа, то есть если бы относительная частота больших и малых расхождений (о которых мы говорили) не была организована по одному шаблону, как мог бы один метод или правило одинаково подходить им всем?

Чтобы сохранить непрерывность изложения, здесь необходимо уделить некоторое внимание этому исследованию, хотя, как и в случае с последним аргументом, тщательное обсуждение темы на данном этапе невозможно. Во-первых, это потребовало бы слишком большого использования математики, или, по крайней мере, математических концепций, чтобы соответствовать общему плану этого трактата: я, соответственно, посвятил специальную главу его рассмотрению.

Основная причина, однако, против обсуждения этого аргумента здесь заключается в том, что это потребовало бы предвосхищения совершенно иной стороны науки о вероятности, чем та, что рассматривалась до сих пор. На этом необходимо особо настаивать, так как пренебрежение этим влечет за собой большую путаницу и некоторую ошибку. В течение этих ранних глав мы были полностью заняты тем, что можно назвать физическими основами вероятности. Мы не делали ничего иного, кроме как устанавливали, тем или иным способом, существование определенных групп или расположений вещей, которые, как обнаруживается, проявляются в природе; мы пытались объяснить, как они происходят, и мы проиллюстрировали их основные характеристики. Но это лишь основы вывода, мы еще не сказали ни слова о логических процессах, которые должны быть воздвигнуты на этих основах. Мы, следовательно, еще не вступили в логику случая.

§ 12. Теперь то, как иногда говорят о методе наименьших квадратов, имеет тенденцию скрывать масштаб этого различия. Авторы рассматривали его как синоним Закона ошибок, тогда как на самом деле эти две вещи не только совершенно различны, но и едва ли имеют какую-либо необходимую связь друг с другом. Закон ошибок — это утверждение физического факта; он просто приписывает, с большей или меньшей точностью, относительную частоту, с которой ошибки или отклонения любого рода обнаруживаются на практике. Поэтому он принадлежит к тому, что можно назвать физическими основами науки. Метод наименьших квадратов, с другой стороны, вообще не является законом в научном смысле этого термина. Это просто правило или указание, информирующее нас о том, как мы можем наилучшим образом поступить, чтобы обработать любую группу этих ошибок, которые могут быть представлены нам, чтобы извлечь истинный результат, к которому они стремились. Ясно, следовательно, что он принадлежит к логической или выводной части предмета.

Нельзя, конечно, отрицать, что методы, которые мы применяем, должны иметь некоторую связь с расположением фактов, к которым они применяются; но эти две вещи тем не менее различны по своей природе, и в данном случае связь не кажется вовсе необходимой, а в лучшем случае — связью уместности и удобства. Метод наименьших квадратов обычно применяется, без сомнения, к наиболее знакомой и распространенной форме Закона ошибок, а именно к экспоненциальной форме, которой мы недавно занимались. Но могут существовать и другие формы законов ошибок, и если бы они существовали, рассматриваемый метод мог бы с таким же успехом быть применен к ним. Я не утверждаю, что это обязательно был бы лучший метод в каждом случае, но он был бы возможным; действительно, мы можем пойти дальше и сказать, как будет показано в будущей главе, что это был бы хороший метод почти в каждом случае. Но его конкретные достоинства или недостатки не мешают его возможному применению в каждом случае, в котором мы можем пожелать прибегнуть к нему. Таким образом, будет видно, даже из немногих замечаний, которые можно сделать по этому предмету здесь, что тот факт, что один и тот же метод очень часто применяется с удовлетворительными результатами, дает мало или вообще не дает доказательств того, что ошибки, к которым он применяется, должны быть организованы согласно одному фиксированному закону.

§ 13. Столько, следовательно, о попытке доказать повсеместность, во всех случаях, этого конкретного закона расхождения. Следующий момент в подходе Кетле к предмету, который заслуживает внимания как ошибочный или запутывающий, — это доктрина, поддерживаемая им и другими относительно существования того, что он называет типом в рассматриваемых группах вещей. Это не является неестественным следствием некоторых данных и выводов последних нескольких параграфов. Обратитесь назад к двум из трех классов вещей, уже упомянутых в § 4. Если бы действительно было так, что при расположении в порядке серии наших собственных неверных наблюдений или попыток, а также коллекции природных объектов, принадлежащих к одному и тому же виду или классу, мы обнаружили бы, что закон их расхождения в каждом случае идентичен в конечном счете, мы были бы естественно склонны применять одно и то же выражение «Закон ошибок» к обоим примерам одинаково, хотя в строгом смысле оно могло бы быть уместным только для первого. Когда мы выполняем операцию сами с ясным осознанием того, к чему мы стремимся, мы можем вполне правильно говорить о каждом отклонении от этого как об ошибке; но когда природа представляет нам группу объектов любого рода, использование в этом случае также метафоры «закон ошибок» является довольно смелым, как если бы она все время стремилась к чему-то и, подобно остальным из нас, промахнулась мимо своей цели более или менее в почти каждом случае. [13]

Предположим, мы делаем длинную последовательность попыток точно измерить рост человека, мы по той или иной причине редко или никогда не преуспели бы в этом с абсолютной точностью. Но мы не имеем права предполагать, что эти наши несовершенные измерения отклонялись бы согласно одному конкретному закону ошибок, представляя точный аналог серии фактических ростов разных людей, если предположить, что последние были определены с абсолютной точностью. Каков мог бы быть фактический закон ошибок в серии прямых измерений любой заданной величины, едва ли можно утверждать заранее, и, вероятно, попытка определить его опытным путем не предпринималась достаточно часто, чтобы позволить нам установить его; но на общих основаниях кажется отнюдь не уверенным, что он следовал бы так называемому экспоненциальному закону. Как бы то ни было, это скорее вольность языка — говорить так, как если бы природа работала так же, как один из нас; стремясь (по большей части безуспешно) к заданному результату, то есть к созданию человека, наделенного определенным ростом, пропорциями и так далее, который поэтому мог бы рассматриваться как типичный человек.

§ 14. Сформулированная как выше, а именно, что существует фиксированный неизменный человеческий тип, которого, как можно считать, были призваны достичь все отдельные экземпляры человечества, но от которого они отклонились в том или ином направлении согласно закону отклонения, поддающемуся априорному определению, эта доктрина является немногим более чем абсурдной. Но если мы присмотримся немного ближе к фактам дела и вероятному объяснению этих фактов, мы можем увидеть путь к важной истине. Факты, согласно авторитету статистики Кетле (великий интерес и ценность которой должны быть откровенно признаны), очень кратко таковы: если мы возьмем любой элемент нашего физического строения, который допускает точное измерение, скажем, рост, и определим эту меру у большого числа различных индивидов, принадлежащих к любому достаточно однородному классу людей, мы обнаружим, что эти показатели роста действительно допускают упорядоченное расположение вокруг среднего значения, на манер, который уже неоднократно упоминался. Что подразумевается под однородным классом? — это уместный и значимый вопрос, но при применении этого условия к любым простым случаям его значение легко формулируется. Это подразумевает, что рассматриваемое среднее значение будет различным в зависимости от национальности лиц, подвергаемых измерению. Согласно Кетле, [14] в случае англичан среднее значение составляет около 5 футов 9 дюймов; для бельгийцев около 5 футов 7 дюймов; для французов около 5 футов 4 дюйма. Едва ли стоит добавлять, что эти меры — меры взрослых мужчин.

§ 15. Здесь можно справедливо спросить, каково было бы последствие, если бы мы, вместо того чтобы держать англичан и французов отдельно, смешали результаты наших измерений их всех вместе? Вопрос важный, так как он заставит нас более ясно понять, что мы подразумеваем под однородными классами. Ответ, который обычно давался бы на него, хотя и является по существу правильным, несколько слишком решителен и краток. Сказали бы, что мы здесь смешиваем отчетливо неоднородные элементы и что, как следствие, результирующий закон ошибок отнюдь не будет иметь того простого характера, который был продемонстрирован ранее. Насколько такой ответ должен быть принят, его основания легко оценить. В соответствии с обычным законом ошибок отклонения от среднего значения становятся непрерывно менее многочисленными по мере увеличения их величины. Теперь, если мы смешаем показатели роста французов и англичан, что последует? Начиная со среднего значения англичан в 5 футов 9 дюймов, показатели роста поначалу будут почти полностью следовать закону, определенному этими английскими условиями, ибо в этой точке английских данных очень много, а французских, для сравнения, очень мало. Но по мере того, как мы начинаем приближаться к среднему значению французов, числа перестанут показывать то постоянное уменьшение, которое они должны были бы показывать согласно английской шкале расположения, ибо здесь французские данные, в свою очередь, очень многочисленны, а английские, для сравнения, малочисленны. Результат такой комбинации неоднородных элементов проиллюстрирован прилагаемым рисунком, конечно, в очень преувеличенной форме.

§ 16. В вышеприведенном случае природа неоднородности и причины, по которым статистические данные должны собираться и располагаться так, чтобы избежать ее, казались довольно очевидными. Это будет видно еще яснее, если мы возьмем параллельный случай, взятый из искусственных действий. Предположим, что после того, как человек произвел несколько тысяч выстрелов в определенную точку, скажем, в пластинку, закрепленную где-то на стене, положение точки, в которую он целится, было смещено, и он произвел еще несколько тысяч выстрелов в пластинку в ее новом положении. Теперь давайте соберем и расположим все выстрелы обеих серий в порядке их удаления от любого из центров, скажем, нового. Здесь мы действительно смешивали бы два несогласованных набора элементов, каждый из которых, если бы его держали отдельно от другого, имел бы простой и однородный характер. Мы обнаружили бы, как следствие, что результирующий закон ошибок выдал свое составное или неоднородное происхождение вопиющим отклонением от обычной формы, несколько на манер, указанный на вышеприведенной диаграмме.