«Монист: Квартальный философский журнал, Том I (1890-1891)»

Мы видели на левой руке другого вора горшок с лимонным деревом и инициалы V. G. (vengeance); что на странном языке преступников означает: измена, а затем месть. Он не скрыл от нас тот факт, что его постоянной мыслью было отомстить женщине, которая любила его, а затем бросила. Его желанием было отрезать ей нос. Его брат предложил выполнить операцию за него, но он отказался, оставляя себе удовольствие осуществить свою цель, когда он в конечном итоге будет освобожден.

Видно, следовательно, из этих немногих примеров, что среди преступников существует своего рода иероглифическое письмо, но которое не является регламентированным или фиксированным. Система основана на повседневных событиях и жаргоне, как это было бы среди первобытного человечества. Очень часто, на самом деле, ключ означает среди воров молчание тайны; а череп (голая кость) — месть. Иногда вместо фигур используются точки. Таким образом, один преступник пометил себя 17 точками, что означает, по его мнению, что он намерен причинить вред своему врагу семнадцать раз, когда бы он с ним ни встретился.

Преступные татуировщики Неаполя имеют привычку делать длинные надписи на своих телах; но вместо слов используются инициалы. Многие каморристы Неаполя носят татуировку, которая представляет железные прутья, за которыми находится заключенный, а внизу инициалы Q. F. Q. P. M.; что означает: «Quando finiranno queste pene? Mai!» (Когда закончатся эти муки? Никогда!) Другие носят эпиграф C. G. P. V. и т. д., что означает: «Courage, galeriens, pour voler et piler; nous devons tout mettre à sang et à feu!» (Мужайтесь, каторжники, чтобы воровать и грабить; мы должны предать все огню и мечу!) Мы видим здесь сразу, что определенные формы татуировки используются преступными федерациями и служат своего рода призывом к сплочению. В Баварии и на юге Германии карманники, которые объединены в настоящие союзы, узнают друг друга по эпиграфической татуировке «T и L», что означает Thal und Land (долина и страна); слова, которые они должны произносить вполголоса при встрече друг с другом, чтобы не быть донесенными полиции. Вор Р…, который имеет на правой руке рисунок, изображающий две скрещенные руки, и слово union (единство), окруженное гирляндой цветов, сказал нам, что эта татуировка широко принята злоумышленниками на юге Франции (Драгиньян). Согласно откровениям, сделанным нам заслуженными каморристами, ящерица или змея обозначает первую степень этой опасной ассоциации.

Я обхожу молчанием, и по веским причинам, татуировки, распространенные по всем остальным частям тела.

В Revista de Antropologia Criminal, новом издании, которое только что появилось в Мадриде, г-н Саллилас опубликовал отличное исследование, касающееся татуировки испанских преступников. По его словам, это частый обычай среди убийц. Преобладание религиозного характера там заметно, но всегда с печатью похотливой непристойности, повсеместно наблюдаемой. У меня недавно была возможность проверить, до какой степени импульс, который ведет преступников к тому, чтобы наносить себе эту странную операцию, является атавистическим. Один из самых неисправимых воров, которых я встречал, у которого шесть братьев татуированы, как он сам, умолял меня, несмотря на то, что он был наполовину покрыт самыми непристойными татуировками, найти ему профессионального татуировщика, который завершил бы то, что вполне можно назвать ковровым покрытием его кожи. «Когда татуировка очень странная и гротескная и распространяется по всему телу», — сказал он, — «это для нас, воров, то же самое, что черный фрак и украшенный жилет для общества. Чем больше мы татуированы, тем больше наше уважение друг к другу; чем больше индивид татуирован, тем больше у него власти над своими товарищами. С другой стороны, тот, кто мало татуирован, не пользуется никаким влиянием среди нас; не считается настоящим негодяем и не имеет уважения своих собратьев». «Очень часто», — сказал мне другой, — «когда мы посещали проституток, и они видели нас покрытыми татуировками, они осыпали нас подарками и давали нам деньги, вместо того чтобы требовать их». Если все это не атавизм, то атавизма не существует в науке.

Об этой характеристике, конечно, как и обо всех других характеристиках преступников, можно сказать, что она встречается среди нормальных людей. Но главное здесь — это ее пропорция, ее обычность и преувеличенная степень, в которой она практикуется. Среди честных, добропорядочных людей отсутствуют ее специфический оттенок, ее местный и непристойный колорит, а также бесполезная, тщеславная и неосмотрительная демонстрация преступления.

Опять же, вероятно, будут возражать, что это не психология и что только через последнюю науку мы можем набросать картину преступника. Я мог бы хорошо ответить здесь, что эти татуировки являются действительно психологическими явлениями. И я могу добавить, что г-н Ферри во вводной части своей работы об убийствах дал нам, в дополнение к настоящей статистической психологии, анализ всех преступных склонностей и их степени до и после преступления.

Среди прирожденных преступников, например, 42 из 100 всегда отрицают преступление, в котором их обвиняют, в то время как среди случайных преступников, и в частности среди увечителей, только 21 из 100 отрицают все; из первых 1 из 100, а из вторых 2 из 100 признаются в своем преступлении со слезами; и т. д.[49]

[49] L'Omicidio, Турин, 1890.

ЧЕЗАРЕ ЛОМБРОЗО. [Проф. Ломброзо готовит для этой серии криминологических исследований эссе о физиогномике анархистов. — РЕД.]

КВАДРАТУРА КРУГА.

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК ПРОБЛЕМЫ С ДРЕВНЕЙШИХ ВРЕМЕН ДО НАШИХ ДНЕЙ.[50] [50] Из Sammlung gemeinverständlicher wissenschaftlicher Vorträge Хольцендорфа и Вирхова, вып. 67. Гамбург: Verlagsanstalt и др.

I.

#Всеобщий интерес к проблеме.#

В течение двух с половиной тысяч лет как подготовленные, так и неподготовленные умы тщетно стремились решить проблему, известную как квадратура круга. Теперь, когда геометры наконец преуспели в том, чтобы дать строгое доказательство невозможности решения этой проблемы с помощью линейки и циркуля, кажется уместным и своевременным бросить взгляд на природу и историю этой очень древней проблемы. И это будет признано тем более оправданным ввиду того факта, что квадратура круга, по крайней мере по названию, очень широко известна за пределами узких границ профессиональных математиков.

#Резолюция Французской академии.#

Труды Французской академии за 1775 год содержат на странице 61 резолюцию Академии не рассматривать с того времени никаких так называемых решений квадратуры круга, которые могли бы быть представлены. Академия была вынуждена пойти на это решение из-за подавляющего множества профессиональных решений знаменитой проблемы, которые присылались ей каждый месяц в году, — решений, которые, конечно, были неизменным свидетельством невежества и самомнения их авторов, но которые коллективно страдали от очень важной ошибки в математике: они были неверны. С того времени все профессиональные решения проблемы, полученные Академией, находят надежное пристанище в корзине для мусора и остаются без ответа навсегда. Квадратурщик круга, однако, видит в этом высокомерном способе отказа только зависть великих к его грандиозному интеллектуальному открытию. Он полон решимости встретить признание и поэтому апеллирует к публике. Газеты должны получить для него ту оценку, в которой отказали научные общества. И каждый год старый математический морской змей не раз красуется в колонках наших газет, что г-н Н. Н. из П. П. наконец решил проблему квадратуры круга.

#Всеобщее невежество квадратурщиков.#

Но что это за люди, эти квадратурщики круга, если посмотреть на них в свете? Почти всегда они оказываются недостаточно образованными людьми, чьи математические знания не превышают знаний современного первокурсника колледжа. Редко они точно знают, каковы требования проблемы и какова ее природа; они никогда не знают двух с половиной тысячелетней истории проблемы; и они не имеют никакого представления о важных исследованиях и результатах, которые были сделаны в отношении этой проблемы великими и настоящими математиками в каждом столетии вплоть до нашего времени.

#Циклометрический тип.#

И все же, как ни велик квантум невежества, который квадратурщики круга примешивают к своим интеллектуальным продуктам, щедрый запас самомнения и самосознания, которым они приправляют свои выступления, еще больше. Мне не нужно далеко ходить, чтобы предоставить подтверждение этому. Книга, напечатанная в Гамбурге в 1840 году, лежит передо мной, в которой автор на каждой второй странице благодарит Всемогущего Бога за то, что Он выбрал его, и никого другого, чтобы решить «феноменальную проблему» математики, «так долго искомую, так страстно желаемую и к которой приступали миллионы». После того как скромный автор провозгласил себя разоблачителем обмана Архимеда, он говорит: «Таким образом, было угодно нашей матери-природе скрыть эту математическую жемчужину от взора человеческого исследования, пока она не сочла уместным открыть истину простоте».

Этого будет достаточно, чтобы показать большое самосознание автора. Но этого недостаточно, чтобы доказать его невежество. Он не имеет представления о математическом доказательстве; он принимает как должное, что вещи таковы, потому что они кажутся таковыми ему. Ошибки логики также в изобилии встречаются в его книге. Но помимо этой общей некорректности, давайте посмотрим, в чем заключается реальная суть его заблуждения. Требуется значительный труд, чтобы выяснить, что это такое, из напыщенного языка и высокопарного стиля, в котором автор похоронил свои выводы. Но это вот что. Автор вписывает квадрат в круг, описывает другой вокруг него, затем указывает, что внутренний квадрат состоит из четырех конгруэнтных треугольников, тогда как описанный квадрат состоит из восьми таких треугольников; из чего, видя, что круг больше одного квадрата и меньше другого, он делает смелый вывод, что круг равен по площади шести таким треугольникам. Трудно представить, что разумное существо могло бы сделать вывод, что нечто, что больше 4 и меньше 8, должно обязательно быть 6. Но с человеком, который пытается решить квадратуру круга, этот вид рассуждения возможен.

Аналогично в случае всех других попыток решения проблемы можно указать либо на логические ошибки, либо на нарушения элементарных арифметических или геометрических истин. Только они не всегда носят столь тривиальный характер, как в только что упомянутой книге.

Давайте теперь спросим, откуда возникает склонность, которая побуждает людей браться за квадратуру круга и пытаться решить ее.

#Очарование проблемы.#

Прежде всего необходимо обратить внимание на древность проблемы. Квадратура была предпринята в Египте за 500 лет до исхода израильтян. Среди греков проблема никогда не переставала играть роль, которая сильно влияла на прогресс математики. И в средние века квадратура круга спорадически появляется как философский камень математики. Таким образом, проблема никогда не переставала рассматриваться и обдумываться. Но не древность проблемы привлекает квадратурщиков круга, а очарование, которое оказывает все, что рассчитано на то, чтобы поднять индивида из массы обычного человечества и возложить на его виски лавровый венок знаменитости. Именно амбиции побуждали людей в Древней Греции и до сих пор побуждают их в современные времена расколоть этот первобытный математический орех. Компетентны ли они к этому — вопрос второстепенный. Они смотрят на квадратуру круга как на главный приз лотереи, который может так же легко достаться им, как и любому другому. Они не помнят, что —

«Труд перед честью поставлен мудрыми декретами Бессмертных»,

и что требуются годы непрерывных исследований, чтобы овладеть математическим оружием, которое является абсолютно необходимым для атаки на проблему, но которое даже в руках самых выдающихся математических стратегов не было достаточным, чтобы взять эту крепость.

#Почти единственная проблема, известная непрофессиональному миру.#

Но как же так получается, мы должны спросить далее, что это именно квадратура круга, а не какая-то другая нерешенная математическая проблема, на которую направлены усилия людей, не имеющих знаний в математике, но все же занимающихся математическими вопросами? Вопрос решается тем фактом, что квадратура круга — это почти единственная математическая проблема, которая известна непрофессиональному миру, — по крайней мере по названию. Даже среди греков проблема была очень широко известна за пределами математических кругов. В глазах греческого мирянина, как и в настоящее время среди многих его современных собратьев, занятие этой проблемой рассматривалось как самое важное и существенное дело математиков. На самом деле у них было специальное слово для обозначения этого вида деятельности; а именно, τετραγωνίζειν, что означает заниматься квадратурой. В современные времена также каждый образованный человек, даже если он не математик, знает проблему по названию и знает, что она неразрешима, или, по крайней мере, что, несмотря на усилия самых известных математиков, она еще не была решена. По этой причине фраза «квадрировать круг» теперь используется в смысле попытки сделать невозможное.

#Убеждение, что предлагались награды.#

Но в дополнение к древности проблемы и тому факту, что она известна непрофессиональному миру, у нас есть еще третий фактор, который побуждает людей заниматься ею. Это слух, который распространяется уже сто лет, что Академии, Королева Англии или какое-то другое влиятельное лицо предложили большой приз тому, кто первым решит проблему. На самом деле мы находим, что надежда получить этот большой денежный приз является главным стимулом к действию у многих квадратурщиков круга. И автор вышеупомянутой книги просит своих читателей оказать ему помощь в получении предложенных призов.

#Проблема среди математиков.#

Хотя в непрофессиональном мире широко распространено мнение, что профессиональные математики все еще заняты решением проблемы, это отнюдь не так. Напротив, в течение двухсот лет усилия многих значительных математиков были направлены исключительно на то, чтобы с точностью доказать, что проблема неразрешима. Как правило, — и естественно, — труднее доказать, что что-то невозможно, чем доказать, что это возможно. И так случилось, что до недавнего времени, несмотря на использование самых разнообразных и самых всеобъемлющих методов современной математики, никому не удавалось предоставить желаемое доказательство невозможности проблемы. Наконец, профессор Линдеман из Кенигсберга в июне 1882 года преуспел в предоставлении доказательства — и первого доказательства — того, что невозможно исключительно с помощью линейки и циркуля построить квадрат, который был бы математически точно равен по площади данному кругу. Доказательство, естественно, не было осуществлено с помощью старых элементарных методов; ибо если бы это было так, оно наверняка было бы достигнуто столетия назад; но потребовались методы, которые были впервые предоставлены теорией определенных интегралов и разделами высшей алгебры, развитыми в последние десятилетия; другими словами, потребовался прямой и косвенный подготовительный труд многих столетий, чтобы наконец сделать возможным доказательство неразрешимости этой исторической проблемы.

Конечно, это доказательство не окажет большего эффекта, чем резолюция Парижской академии 1775 года, в том, чтобы заставить плодовитую расу квадратурщиков круга исчезнуть с лица земли. В будущем, как и в прошлом, будут люди, которые ничего не знают и не хотят ничего знать об этом доказательстве, и которые верят, что они не могут не преуспеть в деле, в котором другие потерпели неудачу, и что именно они были назначены Провидением решить знаменитую головоломку. Но, к сожалению, неискоренимая страсть хотеть решить квадратуру круга имеет и свою серьезную сторону. Квадратурщики круга не всегда так самодовольны, как автор упомянутой нами книги. Они часто видят или, по крайней мере, предчувствуют непреодолимые трудности, которые возвышаются перед ними, и конфликт между их стремлениями и их результатами, осознание того, что они хотят решить проблему, но не способны решить ее, омрачает их душу, и, потерянные для мира, они становятся интересными субъектами для науки психиатрии.

II.

#Природа проблемы. Численная ректификация.#

Если перед нами круг, нам легко определить длину его радиуса или его диаметра, который должен быть вдвое больше радиуса; и затем возникает вопрос найти число, которое представляет, во сколько раз его окружность, то есть длина круговой линии, больше его радиуса или его диаметра. Из того факта, что все круги имеют одинаковую форму, следует, что эта пропорция всегда будет одинаковой как для больших, так и для малых кругов. Теперь, со времен Архимеда, все цивилизованные нации, которые культивировали математику, называли число, которое обозначает, во сколько раз окружность круга больше его диаметра, π, — греческая начальная буква слова periphery (периферия). Вычислить π, следовательно, означает рассчитать, во сколько раз окружность круга больше его диаметра. Этот расчет называется «численной ректификацией круга».

#Численная квадратура.#

После расчета окружности расчет площади круга с помощью его радиуса или диаметра является, пожалуй, наиболее важным; то есть вычисление того, какую площадь измеряет та часть плоскости, которая лежит внутри круга. Этот расчет называется «численной квадратурой». Он, однако, зависит от проблемы численной ректификации; то есть от расчета величины π. Ибо в элементарной геометрии доказано, что площадь круга равна площади треугольника, полученного путем проведения в круге радиуса, возведения на его конце касательной — то есть, в данном случае, перпендикуляра, — отсечения на последней длины окружности, измеряемой от конца, и соединения полученной таким образом точки с центром круга. Но из этого следует, что площадь круга во столько раз больше квадрата на его радиусе, во сколько раз составляет число π.

#Конструктивная ректификация и квадратура.#

Численная ректификация и численная квадратура круга, основанные на вычислении числа π, должны быть четко отделены от проблем, которые требуют, чтобы прямая линия, равная по длине окружности круга, или квадрат, равный по площади кругу, были конструктивно произведены из его радиуса или его диаметра; проблемы, которые можно было бы правильно назвать «конструктивной ректификацией» или «конструктивной квадратурой». Приблизительно, конечно, путем использования приблизительного значения для π эти проблемы легко решаемы. Но решить проблему построения в геометрии означает решить ее с математической точностью. Если бы значение π было точно равно отношению двух целых чисел друг к другу, конструктивная ректификация не представила бы трудностей. Например, предположим, что окружность круга была ровно в 3-1/7 раза больше его диаметра; тогда диаметр можно было бы разделить на семь равных частей, что легко сделать по принципам планиметрии с помощью линейки и циркуля; затем мы произвели бы на величину такой части прямую линию ровно в три раза больше диаметра и получили бы таким образом прямую линию, точно равную окружности круга. Но на самом деле, и как было фактически доказано, не существует двух целых чисел, какими бы большими они ни были, которые точно представляли бы своим соотношением друг к другу число π. Следовательно, ректификация описанного типа не достигает желаемой цели.

Здесь можно было бы спросить, не следует ли из доказанного факта, что число π не равно отношению двух целых чисел, какими бы большими они ни были, что невозможно построить прямую линию, точно равную по длине окружности круга; таким образом, сразу доказывая невозможность решения проблемы. На этот вопрос следует ответить отрицательно. Ибо в геометрии существует много наборов из двух линий, из которых одна может быть легко построена из другой, несмотря на тот факт, что нельзя найти два целых числа, которые представляли бы отношение этих двух линий. Сторона и диагональ квадрата, например, устроены именно так. Правда, отношение последних двух величин близко к 5 к 7. Но эта пропорция не является точной, и на самом деле нет двух чисел, которые представляли бы это отношение точно. Тем не менее, любая из этих двух линий может быть легко построена из другой исключительно с помощью линейки и циркуля. Это могло бы быть случаем и с ректификацией круга; и, следовательно, из невозможности представления π отношением между двумя целыми числами невозможность проблемы ректификации не выводима.

Квадратура круга стоит и падает вместе с проблемой ректификации. Она основана на вышеупомянутой истине, что круг равен по площади прямоугольному треугольнику, в котором одна сторона равна радиусу круга, а другая — окружности. Предполагая, соответственно, что окружность круга была ректифицирована, тогда мы могли бы построить этот треугольник. Но каждый треугольник, как учит элементарная планиметрия, может с помощью линейки и циркуля быть преобразован в квадрат, точно равный ему по площади. Так что, следовательно, при условии, что ректификация окружности круга была успешно выполнена, можно было бы построить квадрат, который был бы точно равен по площади кругу.

Взаимозависимость трех проблем — вычисления числа π, квадратуры круга и его спрямления — вынуждает нас при рассмотрении истории квадратуры считать исследования, касающиеся значения π, и попытки спрямления круга одинаково важными и рассматривать их соответствующим образом.

#Условия геометрического решения.#

В ходе этого обсуждения мы неоднократно использовали выражение «построить с помощью циркуля и линейки». Необходимо пояснить, что подразумевается под спецификацией этих двух инструментов. Когда к геометрическому требованию построить определенную фигуру добавляется такое количество условий, что в соответствии с заданными условиями возможно построение только одной фигуры или ограниченного числа фигур, такое полное требование называется задачей на построение, или, кратко, задачей. Когда задача такого рода предлагается для решения, необходимо свести ее к более простым задачам, уже признанным разрешимыми; а поскольку последние, в свою очередь, зависят от других, еще более простых задач, мы в конечном итоге возвращаемся к определенным фундаментальным задачам, на которых основываются остальные, но которые сами по себе не сводимы к менее простым задачам. Эти фундаментальные задачи являются, так сказать, нижними камнями здания геометрического построения. Затем возникает вопрос о том, какие задачи можно должным образом считать фундаментальными; и было обнаружено, что решение большей части задач, возникающих в элементарной планиметрии, основывается на решении всего пяти исходных задач. Они таковы:

1. Построение прямой линии, которая должна проходить через две данные точки.

2. Построение окружности, центром которой является данная точка, а радиус имеет данную длину.

3. Определение точки, которая лежит на пересечении двух данных прямых линий, продолженных настолько, насколько это необходимо, — в случае, если такая точка (точка пересечения) существует.

4. Определение двух точек, которые лежат на пересечении данной прямой линии и данной окружности, — в случае, если такие общие точки (точки пересечения) существуют.

5. Определение двух точек, которые лежат на пересечении двух данных окружностей, — в случае, если такие общие точки (точки пересечения) существуют.

Для решения трех последних из этих пяти задач достаточно одного глаза, в то время как для решения двух первых задач, помимо карандаша, чернил, мела и тому подобного, требуются дополнительные специальные инструменты: для решения первой задачи чаще всего используется линейка, а для решения второй — циркуль. Но следует помнить, что геометрию не заботит, какие механические инструменты используются при решении упомянутых пяти задач. Геометрия просто ограничивается предпосылкой, что эти задачи разрешимы, и считает сложную задачу решенной, если при спецификации построений, из которых состоит решение, не требуется никаких иных условий, кроме пяти вышеупомянутых. Поскольку, соответственно, геометрия сама не дает решения этих пяти задач, а скорее требует их, они называются постулатами.[51] Не все задачи планиметрии сводимы только к этим пяти задачам. Существуют задачи, которые могут быть решены только при допущении разрешимости других задач, не включенных в пять данных; например, построение эллипса при заданных центре, большой и малой осях. Многие задачи, однако, обладают свойством быть разрешимыми исключительно с помощью пяти сформулированных выше постулатов, и в этом случае говорят, что они «построимы с помощью циркуля и линейки» или «элементарно» построимы.

[51] Обычно геометры упоминают только два постулата (№ 1 и № 2). Но поскольку для собственно геометрии безразлично, необходим ли только глаз или дополнительные специальные механические инструменты, автор счел более правильным с точки зрения метода принять пять постулатов.

После этих общих замечаний о разрешимости задач геометрического построения, которые делают понимание истории квадратуры круга безусловно необходимым, станет понятным значение вопроса о том, является ли квадратура круга разрешимой, то есть элементарно разрешимой. Но только что обсужденная концепция элементарной разрешимости лишь постепенно обретала четкую форму, и поэтому мы находим как у греков, так и у арабов стремления, в некотором отношении успешные, которые были направлены на решение квадратуры круга с помощью иных средств, нежели пять постулатов. Мы также должны принять во внимание эти стремления, особенно потому, что они, не меньше, чем безуспешные попытки элементарного решения, в целом продвинули науку геометрию и внесли большой вклад в прояснение геометрических идей.

III.

#Египетская квадратура.#

В древнейшем математическом труде, которым мы располагаем, мы находим правило, которое говорит нам, как построить квадрат, равный по площади данному кругу. Эта знаменитая книга, Папирус Ринда из Британского музея, переведенная и объясненная Эйзенлором (Лейпциг, 1887), была написана, как указано в работе, на тридцать третьем году правления царя Ра-а-уса писцом этого монарха по имени Ахмес. Таким образом, создание работы относится к периоду двух династий гиксосов, то есть к периоду между 2000 и 1700 годами до н. э. Но с этим связано еще одно важное обстоятельство. Ахмес упоминает в своем введении, что он составил свою работу по образцу старых трактатов, написанных во времена царя Раенмата; откуда следует, что оригиналы математических изложений Ахмеса еще на полтысячи лет старше Папируса Ринда.

Правило, приведенное в этом папирусе для получения квадрата, равного кругу, гласит, что диаметр круга должен быть сокращен на одну девятую часть своей длины, и на полученной таким образом сокращенной линии должен быть построен квадрат. Конечно, площадь квадрата такого построения лишь приблизительно равна площади круга. Можно получить представление о степени точности этой оригинальной, примитивной квадратуры, если заметить, что если диаметр рассматриваемого круга равен одному метру, то квадрат, который предполагается равным кругу, будет чуть меньше чем на полквадратного дециметра больше; приближение не столь точное, как вычисленное Архимедом, но гораздо более верное, чем многие из тех, что использовались позже. Неизвестно, как Ахмес или его предшественники пришли к этой приближенной квадратуре; но несомненно, что она передавалась в Египте из века в век и в поздние египетские времена неоднократно появляется.

#Библейская и вавилонская квадратуры.#

Помимо египтян, мы также находим в догреческой древности попытку вычисления круга у вавилонян. Это не квадратура, а стремление к спрямлению окружности. Вавилонские математики обнаружили, что если радиус круга последовательно вписывать в качестве хорды в его окружность, то после шестого вписывания мы приходим в точку отправления, и они заключили из этого, что окружность круга должна быть немного больше линии, которая в шесть раз длиннее радиуса, то есть в три раза длиннее диаметра. След этого вавилонского метода вычисления можно найти даже в Библии; ибо в 3-й Книге Царств (7:23) и 2-й Книге Паралипоменон (4:2) описывается великая чаша, которая под названием «литое море» составляла украшение храма Соломона; и об этом сосуде говорится, что он измерялся десятью локтями от края до края и тридцатью локтями в окружности. Число 3 как отношение между окружностью и диаметром еще более ясно дано в Талмуде, где мы читаем, что «то, что измеряет три длины в окружности, составляет одну длину в поперечнике».

#У греков.#

Что касается более ранних греческих математиков — таких как Фалес и Пифагор, — мы знаем, что они приобрели основы своих математических знаний в Египте. Но до нас не дошло ничего, что показывало бы, что они знали о старой египетской квадратуре или что они вообще занимались этой проблемой. Но предание гласит, что впоследствии учитель Еврипида и Перикла, великий философ и математик Анаксагор, которого так высоко хвалил Платон, «начертил квадратуру круга» в тюрьме в 434 году. Таков рассказ Плутарха в семнадцатой главе его работы «Об изгнании». #Анаксагор.# Метод, которым Анаксагор предположительно решил проблему, нам не сообщается, и не сказано, сознательно или бессознательно он выполнил приближенное решение по методу Ахмеса. Но во всяком случае, Анаксагору принадлежит заслуга привлечения внимания к проблеме, которая принесла большие плоды, побудив греческих ученых заняться геометрией и тем самым все более и более продвигать эту науку.

#Квадратриса Гиппия из Элиды.#

Далее сообщается, что математик Гиппий из Элиды изобрел кривую линию, которая могла служить двойной цели: во-первых, для трисекции угла, и во-вторых, для квадратуры круга. Эта кривая линия — τετραγωνίστουσα, так часто упоминаемая более поздними греческими математиками и называемая римлянами «квадратрисой». О природе этой кривой мы имеем точные сведения от Паппа. Но здесь будет достаточно сказать, что квадратриса не является ни окружностью, ни частью окружности, так что ее построение невозможно с помощью постулатов, перечисленных в предыдущем разделе. И поэтому решение квадратуры круга, основанное на построении квадратрисы, не является элементарным решением в смысле, обсуждавшемся в последнем разделе. Мы можем, правда, представить себе механизм, который будет чертить эту кривую так же, как циркуль чертит окружность; и с помощью механизма такого рода квадратура круга разрешима с точностью. Но если позволить использовать в решении специально приспособленный для этого аппарат, можно сказать, что любая задача разрешима. Строго говоря, изобретение кривой Гиппия заменяет одну непреодолимую трудность другой, столь же непреодолимой. Некоторое время спустя, около 350 года, математик Динострат показал, что квадратриса может быть использована также для решения задачи спрямления, и с того времени эта задача играет в греческой математике почти ту же роль, что и связанная с ней задача квадратуры.

#Решение софистов.#

По мере того как эти задачи постепенно становились известны нематематикам Греции, сразу же возникали попытки решения, достойные того, чтобы стоять в одном ряду с решениями современных математиков-любителей, занимающихся квадратурой круга. Софисты, в частности, считали себя способными с помощью соблазнительной диалектики взять крепость, которая бросала вызов интеллектуальным атакам величайших математиков. С вербальной тонкостью, доходящей до ребячества, говорилось, что квадратура круга зависит от нахождения числа, которое представляет собой одновременно и квадрат, и круг; квадрат — будучи квадратным числом, круг — в том, что оно оканчивается той же цифрой, что и число корня, из которого путем умножения на само себя оно было получено. Число 36, соответственно, было, как они думали, тем, что воплощало решение знаменитой проблемы.

#Попытка Антифона.#

В отличие от этой игры слов, размышления Брисона и Антифона, обоих современников Сократа, хотя и неточные, кажутся в высшей степени разумными. Антифон разделил круг на четыре равные дуги и, соединив точки деления, получил квадрат; затем он разделил каждую дугу еще на две равные части и таким образом получил вписанный восьмиугольник; отсюда он построил вписанный двенадцатиугольник и заметил, что вписанная таким образом фигура все более и более приближается к форме круга. Таким образом, говорил он, следует продолжать до тех пор, пока в круг не будет вписан многоугольник, стороны которого в силу своей малости не совпадут с кругом. Теперь этот многоугольник можно было, методами, уже преподанными пифагорейцами, преобразовать в квадрат равной площади; и на основании этого факта Антифон считал квадратуру круга решенной.

Против этого метода нельзя сказать ничего, кроме того, что, как бы далеко ни заходило деление дуг пополам, результат все равно должен оставаться приближенным.

#Брисон Гераклейский.#

Попытка Брисона Гераклейского была еще лучше; ибо этот ученый не удовлетворился нахождением квадрата, который был очень немного меньше круга, но получил с помощью описанных многоугольников другой квадрат, который был очень немного больше круга. Только Брисон совершил ошибку, полагая, что площадь круга является средним арифметическим между вписанным и описанным многоугольниками с равным числом сторон. Несмотря на эту ошибку, однако, Брисону принадлежит заслуга, во-первых, введения в математику своим подчеркиванием необходимости квадрата, который был слишком велик, и квадрата, который был слишком мал, концепции максимальных и минимальных «пределов» в приближениях; и во-вторых, своим сравнением вписанных и описанных правильных многоугольников с кругом, заслуга указания Архимеду пути, которым следовало достичь приближенного значения для π.

#Гиппократ Хиосский.#

Вскоре после Антифона и Брисона Гиппократ Хиосский рассмотрел проблему, которая стала теперь все более и более знаменитой, с новой точки зрения. Гиппократ не удовлетворялся приближенными равенствами и искал криволинейно ограниченные плоские фигуры, которые были бы математически равны прямолинейно ограниченной фигуре и, следовательно, могли бы быть преобразованы с помощью циркуля и линейки в квадрат, равный по площади. Сначала Гиппократ обнаружил, что серповидная плоская фигура, полученная путем проведения двух перпендикулярных радиусов в круге и описания полукруга на линии, соединяющей их концы, точно равна по площади треугольнику, образованному этой линией соединения и двумя радиусами; и на основании этого факта усилия неутомимого ученого были направлены на преобразование круга в серп. Естественно, он не смог достичь этой цели, но своими усилиями в этом направлении он открыл многие новые геометрические истины; среди прочих — обобщенную форму упомянутой теоремы, которая носит до наших дней название «Lunulae Hippocratis», луночки Гиппократа. Таким образом, в случае с Гиппократом с предельной ясностью видно, как сами неразрешимые проблемы науки способны продвигать науку; в том, что они побуждают исследователей с упорством посвящать себя ее изучению и тем самым постигать ее глубины.

#Избегание проблемы Евклидом.#

Вслед за Гиппократом в историческом ряду великих греческих геометров идет систематизатор Евклид, чья строгая формулировка геометрических принципов оставалась стандартным изложением вплоть до нынешнего столетия. «Начала» Евклида, однако, не содержат ничего, относящегося к квадратуре круга или вычислению круга. Сравнения поверхностей, которые относятся к кругу, действительно встречаются в книге, но нигде нет вычисления окружности круга или площади круга. Этот ощутимый пробел в системе Евклида был заполнен Архимедом, величайшим математиком древности.

#Вычисления Архимеда.#

Архимед родился в Сиракузах в 287 году до н. э. и посвятил свою жизнь, проведенную там, математическим и физическим наукам, которые он обогатил бесценным вкладом. Он жил в Сиракузах до взятия города Марцеллом в 212 году до н. э., когда пал от руки римского солдата, которому запретил разрушать фигуры, начерченные им на песке. К величайшим достижениям Архимеда несомненно относится успешное вычисление числа π. Подобно Брисону, он начал с правильных вписанных и описанных многоугольников. Он показал, как возможно, начав с периметра вписанного шестиугольника, который равен шести радиусам, получить путем вычисления периметр правильного двенадцатиугольника, а затем периметр фигуры, имеющей вдвое большее число сторон, чем предыдущая. Рассматривая затем описанные многоугольники подобным образом и продолжая обе серии многоугольников до правильного 96-угольника, он заметил, с одной стороны, что отношение периметра вписанного 96-угольника к диаметру больше, чем 6336 : 2017-1/4, а с другой стороны, что соответствующее отношение в отношении описанного 96-угольника меньше, чем 14688 : 4673-1/2. Он заключил из этого, что число π, отношение окружности к диаметру, больше дроби 6336/2017-1/4 и меньше 14688/4673-1/2. Сокращая два найденных таким образом предела для значения π, Архимед затем показал, что первая дробь больше 3-10/71, а вторая дробь меньше 3-1/7, откуда с уверенностью следовало, что искомое значение для π лежит между 3-1/7 и 3-10/71. Большее из этих двух приближенных значений — единственное, которое обычно изучается и используется. То, что больше всего наполняет нас изумлением в архимедовом вычислении π, — это, во-первых, большая проницательность и точность, проявленные во всех деталях вычисления, а затем неутомимое упорство, которое он должен был проявить при вычислении пределов π без преимуществ арабской системы счисления и десятичной нотации. Ибо следует учитывать, что на многих этапах вычисления было необходимо то, что мы называем извлечением корней, и что Архимед мог только путем чрезвычайно утомительных вычислений получить отношения, которые приближенно выражали корни данных чисел и дробей.

#Более поздние математики Греции.#

Что касается математиков Греции, которые следуют за Архимедом, все они ссылаются на приближенное значение 3-1/7 для π и используют его, однако не внося ничего существенно нового или дополнительного в проблемы квадратуры и циклометрии. Так, Герон Александрийский, отец геодезии, который процветал около 100 года до н. э., использует для целей практического измерения иногда значение 3-1/7 для π, а иногда даже более грубое приближение π = 3. Астроном Птолемей, живший в Александрии около 150 года н. э. и известный как автор планетарной системы, общепризнанной правильной вплоть до времен Коперника, был единственным, кто предоставил более точное значение; он обозначил его в шестидесятеричной системе дробной нотации, которую использовал, как 3, 8, 30 — то есть 3 и 8/60 и 30/3600, или, как мы сейчас говорим, 3 градуса, 8 минут (partes minutae primae) и 30 секунд (partes minutae secundae). На самом деле выражение 3 + 8/60 + 30/3600 = 3-17/120 представляет число π более точно, чем 3-1/7; но, с другой стороны, оно из-за величины чисел 17 и 120 по сравнению с числами 1 и 7 более громоздко.

IV.

#У римлян.#

В математических науках, более чем в любых других, римляне стояли на плечах греков. Действительно, в отношении циклометрии они не только не добавили ничего к греческим открытиям, но часто выказывали даже то, что они либо не знали о прекрасном результате, полученном Архимедом, либо, по крайней мере, не знали, как его оценить. Например, Витрувий, живший во времена Августа, вычислил, что колесо диаметром 4 фута должно иметь в окружности 12-1/2 футов; иными словами, он принял π равным 3-1/8. И точно так же трактат по геодезии, сохранившийся до нас в Гудианской рукописи библиотеки в Вольфенбюттеле, содержит следующие инструкции по квадратуре круга: разделите окружность круга на четыре части и сделайте одну часть стороной квадрата; этот квадрат будет равен по площади кругу. Помимо того факта, что для построения квадрата такого рода требуется спрямление дуги круга, римская квадратура, рассматриваемая как вычисление, более неточна даже, чем любое другое вычисление; ибо ее результат — π = 4.

#У индусов.#

Математические достижения индусов были не только больше, чем у римлян, но в определенных направлениях даже превосходили достижения греков. В древнейшем источнике по математике Индии, который мы знаем, «Шульба-сутрах», которые датируются временем немного ранее нашей эры, мы не находим, правда, рассмотрения квадратуры круга, но рассматривается противоположная задача, которую можно было бы уместно назвать «окружением квадрата». Половина стороны данного квадрата продлевается на одну треть избытка длины половины диагонали над половиной стороны, и полученная таким образом линия берется как радиус круга, равного по площади квадрату. Самый простой способ получить представление о точности этого построения — вычислить, каким должно было бы быть π, если бы построение было абсолютно верным. Мы обнаруживаем таким образом, что значение π, на котором основано индийское «окружение квадрата», примерно на пять-шесть сотых меньше истинного значения, тогда как приближенное π Архимеда, 3-1/7, лишь на одну-две тысячных слишком велико, а старое египетское значение превышает истинное значение на одну-две сотых. Циклометрия, весьма вероятно, сделала большие успехи у индусов в первые четыре или пять веков нашей эры; ибо Ариабхата, живший около 500 года после Христа, утверждает, что отношение окружности к диаметру составляет 62832 : 20000, приближение, которое по точности превосходит даже приближение Птолемея. Индусский результат дает 3.1416 для π, в то время как π на самом деле лежит между 3.141592 и 3.141593. Как индусы получили это превосходное приближенное значение, рассказывает Ганеша, комментатор Бхаскары, автор двенадцатого века. Ганеша говорит, что метод Архимеда был доведен индусскими математиками еще дальше; что путем постоянного удвоения числа сторон они перешли от шестиугольника к многоугольнику из 384 сторон и что путем сравнения окружностей вписанных и описанных 384-угольников они нашли, что π равно 3927 : 1250. Можно увидеть, что значение, данное Бхаскарой, идентично значению Ариабхаты. Далее достойно замечания, что более ранний из этих двух индусских математиков не упоминает ни значение 3-1/7 Архимеда, ни значение 3-17/120 Птолемея, но что более поздний знает оба значения и особенно рекомендует значение Архимеда как наиболее полезное для практического применения. Как ни странно, хорошее приближенное значение Ариабхаты не встречается у Брахмагупты, великого индусского математика, который процветал в начале седьмого века; но мы находим у этого автора любопытную информацию о том, что площадь круга в точности равна квадратному корню из 10, когда радиус равен единице. Значение π, выводимое из этой формулы, — значение на две-три сотых слишком большое, — несомненно возникло на индусской почве. Ибо оно не встречается ни у одного греческого математика; и арабские авторы, которые были в лучшем положении, чем мы, чтобы знать греческую и индусскую математическую литературу, заявляют, что приближение, которое делает π равным квадратному корню из 10, имеет индусское происхождение. Возможно, что индусский народ, который был более других склонен к числовому мистицизму, стремился найти в этом приближении некоторую связь с тем фактом, что у человека десять пальцев; и десять, соответственно, является основой их системы счисления.

Рассматривая достижения индусов в целом в отношении проблемы квадратуры, мы приходим к признанию того, что этот народ, чьи таланты лежали скорее в области арифметических вычислений, чем в восприятии пространственных отношений, совершил почти ничего на чисто геометрической стороне проблемы, но что им принадлежит заслуга доведения архимедова метода вычисления π на несколько этапов дальше и получения таким образом гораздо более точного значения для него — обстоятельство, которое объяснимо, если учесть, что индусы являются изобретателями нашей нынешней системы записи чисел, обладая которой они легко превзошли Архимеда, использовавшего неуклюжую греческую систему.

#У китайцев.#

Что касается китайцев, то этот народ в древние времена оперировал вавилонским значением для π, или 3; но обладал знанием приближенного значения Архимеда по крайней мере с конца шестого века. Помимо этого, в ряде китайских математических трактатов появляется приближенное значение, свойственное только им, в котором π = 3-7/50; значение, однако, которое, несмотря на то, что оно записано большими цифрами, не лучше, чем значение Архимеда. Попытки конструктивной квадратуры круга у китайцев не встречаются.

#У арабов.#

Большими были заслуги арабов в продвижении и развитии математики; и особенно в силу того факта, что они сохранили от забвения как греческую, так и индусскую математику и передали их христианским странам Запада. Арабы четко различали архимедово приближенное значение и два индусских значения: квадратный корень из 10 и отношение 62832 : 20000. Это различие встречается также у Мухаммеда ибн Мусы аль-Хорезми, того самого ученого, который в начале девятого века принес принципы нашей нынешней системы записи чисел из Индии и ввел их в мусульманский мир. Арабы, однако, изучали не только численную квадратуру круга, но и конструктивную; как, например, Ибн аль-Хайсам, который жил в Египте около 1000 года и чей трактат о квадратуре круга сохранился в ватиканском кодексе, который, к сожалению, еще не был издан.

#В христианские времена.#

Христианская цивилизация, к которой мы теперь переходим, произвела до второй половины пятнадцатого века чрезвычайно незначительные результаты в математике. Даже в отношении нашей нынешней проблемы мы можем упомянуть лишь одну важную работу; работу, а именно, Франкоса фон Люттиха о квадратуре круга, опубликованную в шести книгах, но сохранившуюся лишь во фрагментах. Автор, живший в первой половине одиннадцатого века, вероятно, был учеником папы Сильвестра II, сам по себе немаловажного математика для своего времени, который также написал самую знаменитую книгу по геометрии того периода.

#Кардинал Николай Кузанский.#

Больший интерес стал проявляться к математике в целом, но особенно к проблеме квадратуры круга, во второй половине пятнадцатого века, когда науки снова начали возрождаться. Этот интерес был особенно возбужден кардиналом Николаем Кузанским, человеком, высоко ценимым благодаря его астрономическим и календарным исследованиям. Он утверждал, что открыл квадратуру круга с помощью использования исключительно циркуля и линейки, и тем самым привлек внимание ученых к теперь уже исторической проблеме. Люди верили знаменитому кардиналу и дивились его мудрости, пока Региомонтан в письмах, которые он написал в 1464 и 1465 годах и которые были опубликованы в 1533 году, жестко не продемонстрировал, что квадратура кардинала неверна. Построение Кузанского было следующим. Радиус круга продлевается на расстояние, равное стороне вписанного квадрата; полученная таким образом линия берется как диаметр второго круга, и в последнем описывается равносторонний треугольник; тогда периметр последнего равен окружности исходного круга. Если это построение, которое его изобретатель считал точным, рассматривать как построение приближения, то окажется, что оно еще более неточно, чем построение, вытекающее из значения π = 3-1/7. Ибо по методу Кузанского π было бы на пять-шесть тысячных меньше, чем оно есть на самом деле.

#Бовиллий и Оронций Финеус.#

В начале шестнадцатого века появляется некий Бовиллий, который заново объявил о построении Кузанского; однако не встретив никакого внимания. Но около середины шестнадцатого века была опубликована книга, которую ученые того времени сначала встретили с интересом. Она носила гордое название «De Rebus Mathematicis Hactenus Desideratis». Ее автор, Оронций Финеус, заявлял, что преодолел все трудности, которые когда-либо стояли на пути геометрических исследователей; и попутно он также сообщил миру «истинную квадратуру» круга. Его слава была недолгой. Ибо вскоре после этого, в книге под названием «De Erratis Orontii», португалец Петрус Нониус продемонстрировал, что квадратура Оронция, как и большинство других его заявленных открытий, была неверна.

#Симон ван Эйк.#

В период, последовавший за этим, число занимающихся квадратурой круга так возросло, что нам придется ограничиться теми, кого признают математики. И особенно следует упомянуть Симона ван Эйка, который к концу шестнадцатого века опубликовал квадратуру, которая была настолько приближенной, что значение π, выведенное из нее, было более точным, чем значение Архимеда; и чтобы опровергнуть ее, математик Питер Метиус был вынужден искать еще более точное значение, чем 3-1/7. Ошибочная квадратура ван Эйка была, таким образом, поводом для открытия Метиусом того, что отношение 355 : 113, или 3-16/113, отличается от истинного значения π менее чем на одну миллионную, затмевая, соответственно, все значения, полученные до сих пор. Более того, доказуемо с помощью теории непрерывных дробей, что, допуская цифры только до четырех знаков, никакие два числа не представляют значение π более точно, чем 355 и 113.

#Джозеф Скалигер.#

Таким же образом квадратура великого филолога Джозефа Скалигера привела к опровержениям. Как и большинство занимающихся квадратурой круга, которые верят в свое открытие, Скалигер также был мало сведущ в элементах геометрии. Он решил, однако — по крайней мере, по его собственному мнению, — знаменитую проблему; и опубликовал в 1592 году книгу о ней, которая носила претенциозное название «Nova Cyclometria» и в которой имя Архимеда было высмеяно. Никчемность его предполагаемого открытия была продемонстрирована ему величайшими математиками его времени; а именно, Виетом, Адрианом Романусом и Клавиусом.

#Лонгомонтан, Джон Порта и Григорий Сент-Винсент.#

Из ошибающихся занимающихся квадратурой круга, которые процветали до середины семнадцатого века, трое других заслуживают особого упоминания — Лонгомонтан из Копенгагена, который оказал такие большие услуги астрономии, неаполитанец Джон Порта и Григорий Сент-Винсент. Лонгомонтан принял π = 3.14185/100000 и был настолько убежден в правильности своего результата, что горячо благодарил Бога в предисловии к своей работе «Inventio Quadraturae Circuli» за то, что Он даровал ему в его преклонном возрасте силы победить знаменитую трудность. Джон Порта последовал инициативе Гиппократа и верил, что решил проблему путем сравнения луночек. Григорий Сент-Винсент опубликовал квадратуру, ошибку которой было очень трудно обнаружить, но которая была наконец обнаружена Декартом.

#Питер Метиус и Виет.#

Из знаменитых математиков, которые занимались нашей проблемой в период между концом пятнадцатого века и временем Ньютона, мы сначала встречаем Питера Метиуса, упомянутого ранее, которому удалось найти в дроби 355 : 113 лучшее приближенное значение для π, включающее только малые числа. Проблема получила иное продвижение из рук знаменитого математика Виета. Виет был первым, кому пришла в голову идея представления π с математической точностью с помощью бесконечного ряда продолжаемых операций. Путем сравнения вписанных и описанных многоугольников Виет обнаружил, что мы приближаемся все ближе и ближе к π, если позволим операциям извлечения квадратного корня из 1/2, а также сложения и умножения следовать друг за другом определенным образом, и что π должно получиться точно, если бы этот ряд операций можно было бесконечно продолжать. Виет таким образом обнаружил, что диаметру в 10000 миллионов единиц соответствует окружность в 31415 миллионов и от 926535 до 926536 единиц той же длины.

#Адриан Романус, Лудольф ван Цейлен.#

Но Виет был превзойден нидерландцем Адрианом Романусом, который добавил пять дополнительных десятичных знаков к десяти знакам Виета. Чтобы достичь этого, он вычислил с невыразимым трудом окружность правильного описанного многоугольника из 1073741824 сторон. Это число является тридцатой степенью 2. Но как велик ни был труд Адриана Романуса, труд Лудольфа ван Цейлена был еще больше; ибо последнему вычислителю удалось довести архимедов процесс приближения для значения π до 35 десятичных знаков, то есть отклонение от истинного значения было меньше одной тысячной квинтиллионной, степень точности, о которой мы едва ли можем иметь какое-либо представление. Лудольф опубликовал цифры колоссального вычисления, которое привело к этому результату. Его вычисление было тщательно проверено математиком Гримбергером и объявлено правильным. Лудольф справедливо гордился своей работой и, следуя примеру Архимеда, просил в своем завещании, чтобы результат его важнейшего математического достижения, вычисление π до 35 десятичных знаков, был выгравирован на его надгробии; просьба, которая, как говорят, была выполнена. В честь Лудольфа π называют сегодня в Германии лудольфовым числом.

#Новый метод Снеллиуса. Проверка его Гюйгенсом.#

Хотя благодаря труду Лудольфа была получена степень точности для циклометрических операций, которая была более чем достаточна для любой практической цели, которая когда-либо могла возникнуть, ни проблема конструктивного спрямления, ни проблема конструктивной квадратуры не были тем самым теоретически продвинуты. Исследования, проведенные знаменитыми математиками и физиками Гюйгенсом и Снеллиусом около середины семнадцатого века, были более важны с математической точки зрения, чем работа Лудольфа. В своей книге «Cyclometricus» Снеллиус занял позицию, что метод сравнения многоугольников, который возник у Архимеда и использовался Лудольфом, вовсе не обязательно должен быть лучшим методом достижения искомой цели; и ему удалось с помощью предложений, которые утверждают, что определенные дуги круга больше или меньше определенных прямых линий, связанных с кругом, получить методы, которые делают возможным достижение результатов, подобных лудольфовым, с гораздо меньшим трудом вычисления. Прекрасные теоремы Снеллиуса были доказаны во второй раз, и лучше доказаны, знаменитым голландским популяризатором науки оптики Гюйгенсом (Opera Varia, стр. 365 и сл.; «Theoremata De Circuli et Hyperbolae Quadratura», 1651), а также усовершенствованы во многих отношениях. Снеллиус и Гюйгенс полностью осознавали, что они продвинули только проблему численной квадратуры, а не проблему конструктивной квадратуры. Это, в случае Гюйгенса, ясно проявилось из яростного спора, который он вел с английским математиком Джеймсом Грегори. Этот спор имеет некоторое значение для истории нашей проблемы, из того факта, что Грегори сделал первую попытку доказать, что квадратура круга с помощью циркуля и линейки должна быть невозможна. #Спор между Гюйгенсом и Грегори.# Результатом спора, которому мы обязаны многими ценными трактатами, было то, что Гюйгенс наконец продемонстрировал неопровержимым образом неверность доказательства невозможности Грегори, добавив, что он также был того мнения, что решение проблемы с помощью циркуля и линейки невозможно, но тем не менее не был сам способен доказать этот факт. И Ньютон, позже, высказался в подобном смысле. На самом деле потребовалось время до самого недавнего периода, то есть более 200 лет, пока высшая математика не была достаточно продвинута, чтобы предоставить строгое доказательство невозможности.

V.

Прежде чем мы перейдем к рассмотрению стимулирующего влияния, которое изобретение дифференциального и интегрального исчисления оказало на нашу проблему, мы перечислим по крайней мере несколько из того бесконечного ряда ошибающихся квадраторов, которые радовали мир плодами своей изобретательности со времен Ньютона до настоящего периода; и из благочестивого и искреннего уважения к современному миру мы полностью опустим здесь говорить о занимающихся квадратурой круга нашего собственного времени.

#Квадратура Гоббса.#

Первым следует упомянуть знаменитого английского философа Гоббса. В своей книге «De Problematis Physicis», в которой он главным образом предлагает объяснить явления гравитации и океанских приливов, он также берется за квадратуру круга и дает очень тривиальное построение, которое, по его мнению, окончательно решило проблему, принимая π = 3-1/5. Ввиду важности Гоббса как философа, два математика, Гюйгенс и Валлис, сочли уместным подробно опровергнуть Гоббса. Но Гоббс защищал свою позицию в специальном трактате, в котором, чтобы поддержать хотя бы видимость правоты, он оспаривал фундаментальные принципы геометрии и теорему Пифагора; так что математики могли перейти от него к порядку дня.