Различные авторы

«Монист, Том 2, 1891-1892»

Страница 23 из 30 · 54 640 зн. · 63 мин. чтения

Рис. 3.

Затем мы оставляем числа в четырех угловых квадратах, а именно 1, 4, 13, 16, а также числа в четырех средних квадратах, а именно 6, 7, 10, 11, на их первоначальных местах; а на место остальных восьми чисел мы записываем их дополнения до 17: таким образом, 15 вместо 2, 14 вместо 3, 12 вместо 5, 9 вместо 8, 8 вместо 9, 5 вместо 12, 3 вместо 14 и 2 вместо 15. Мы получаем таким образом магический квадрат

Рис. 4.

из которого всегда получается та же сумма 34. Интересным свойством этого квадрата является то, что любые четыре числа, образующие прямоугольник или квадрат вокруг центра, также всегда дают одну и ту же сумму 34; например, 1, 4, 13, 16, или 6, 7, 10, 11, или 15, 14, 3, 2, или 12, 9, 5, 8, или 15, 8, 2, 9, или 14, 12, 3, 5. Мы можем легко убедиться, что этот квадрат получается из квадрата Дюрера путем взаимного обмена двух средних вертикальных рядов.

II. РАННИЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КВАДРАТОВ С НЕЧЕТНЫМ ЧИСЛОМ КЛЕТОК.

С давних времен были известны правила построения магических квадратов более чем 3 на 3 или 4 на 4 клетки. Прежде всего, легко вычислить сумму, которая в случае любого заданного числа клеток должна получиться от сложения каждого ряда. Мы берем определенное число клеток на каждой стороне квадрата, который нам нужно заполнить, умножаем это число само на себя, прибавляем 1, снова умножаем полученное число на число клеток на каждой стороне и, наконец, делим произведение на 2. Так, для 4 на 4 клеток или квадратов мы получаем: 4 на 4 — это 16, 16 и 1 — это 17, и половина от 17 умножить на 4 — это 34. Аналогично, для 5 на 5 квадратов мы получаем: 5 на 5 — это 25, и 1 дает 26, и половина от 26 умножить на 5 — это 65. Аналогично, для 6 на 6 квадратов получается сумма 111, для 7 на 7 квадратов — 175, для 8 на 8 квадратов — 260, для 9 на 9 квадратов — 369, для 10 на 10 квадратов — 505 и так далее. Индусское правило построения магических квадратов, корни которых нечетны, можно сформулировать следующим образом: для начала запишите 1 в центре самого верхнего ряда, затем запишите 2 в самой нижней клетке вертикального столбца, соседнего справа, а затем вписывайте остальные числа в их естественном порядке в квадраты по диагонали вверх вправо так, чтобы при достижении правого края вписывание продолжалось с левого края в ряду, расположенном непосредственно выше, а при достижении верхнего края продолжалось с нижнего края в столбце, соседнем справа, отмечая, что всякий раз, когда мы останавливаемся в своем продвижении из-за уже занятого квадрата, мы должны заполнить квадрат непосредственно под тем, который мы заполнили последним. Таким образом, например, формируется последний предыдущий квадрат из 7 на 7 клеток, в котором читателю предлагается проследить за числами в их естественной последовательности (рис. 5).

Рис. 5.

Дальнейшими успехами теории магических квадратов и методов их построения мы обязаны византийскому греку Мосхопулосу, жившему в XIV веке; также, после Альбрехта Дюрера, жившего около 1500 года, знаменитому арифметику Адаму Ризе и математику Михаэлю Штифелю, которые жили около 1550 года. В XVII веке Баше де Мезириак и Афанасий Кирхер занимались магическими квадратами. Наконец, около 1700 года французские математики Де ла Ир и Совёр внесли значительный вклад в теорию. В последнее время математики гораздо меньше интересовались магическими квадратами, как, впрочем, и математическими развлечениями в целом. Но совсем недавно брауншвейгский математик Шеффлер изложил свои и чужие исследования по этому предмету в элегантной форме.

Рис. 6.

Наиболее известным из различных методов построения магических квадратов с нечетным числом клеток является следующий. Сначала запишите числа в диагональной последовательности, как на предыдущей диаграмме (рис. 6). После того как 25 клеток квадрата из 49 клеток, который нам нужно заполнить, будут таким образом заняты, перенесите шесть чисел, найденных вне каждой стороны квадрата, не меняя их конфигурации, в пустые клетки непосредственно противоположной стороны. Этим методом, которым мы обязаны Баше де Мезириаку, мы получаем следующий магический квадрат из чисел от 1 до 49:

Рис. 7.

III. СОВРЕМЕННЫЕ СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ КВАДРАТОВ С НЕЧЕТНЫМ ЧИСЛОМ КЛЕТОК.

Читатель справедливо спросит, не существуют ли другие правильные магические квадраты, построенные по иному методу, чем только что приведенный, и не существуют ли способы построения, которые приведут ко всем мыслимым и возможным магическим квадратам с определенным числом клеток. Общий способ построения такого характера был впервые дан для квадратов с нечетным числом клеток Де ла Иром и недавно усовершенствован профессором Шеффлером.

Чтобы ознакомиться с этим общим методом, выберем в качестве примера квадрат из 5. Сначала мы формируем два вспомогательных квадрата. В первом мы записываем числа от 1 до 5 пять раз; а во втором — пять раз следующие кратные пяти, а именно: 0, 5, 10, 15, 20. Теперь ясно, что, складывая каждое из чисел ряда от 1 до 5 с каждым из чисел 0, 5, 10, 15, 20, мы получим все 25 чисел от 1 до 25. Поэтому остается лишь дополнительно сделать так, чтобы при вписывании чисел путем сложения двух чисел в любых двух соответствующих клетках каждая комбинация получалась один и только один раз; и далее, чтобы в каждом горизонтальном, вертикальном и диагональном ряду в каждом вспомогательном квадрате каждое число появлялось один раз. Тогда требуемая сумма 65 должна обязательно получиться в каждом случае, потому что числа от 1 до 5 в сумме дают 15, а числа 0, 5, 10, 15, 20 дают 50.

Мы осуществляем требуемый метод вписывания, представляя числа 1, 2, 3, 4, 5 (или 0, 5, 10, 15, 20) расположенными в циклической последовательности, то есть 1 непосредственно следует за 5, и, начиная с любого числа, пропуская каждый раз либо ноль, либо одну, либо две, либо три и т. д. цифр. Таким образом получаются циклы первого, второго, третьего и т. д. порядков; например, 3 4 5 1 2 — это цикл первого порядка, 2 4 1 3 5 — цикл второго порядка, 1 5 4 3 2 — цикл четвертого порядка и т. д. Единственное, за чем нужно следить в двух вспомогательных квадратах, — это чтобы один и тот же порядок «цикла» горизонтально сохранялся во всех рядах, чтобы то же самое происходило для вертикальных рядов, но чтобы порядок цикла в горизонтальных и вертикальных рядах был разным. Наконец, нам остается только дополнительно позаботиться о том, чтобы одним и тем же числам одного вспомогательного квадрата соответствовали не одинаковые, а разные числа в другом вспомогательном квадрате, то есть лежали в аналогично расположенных клетках. Следующие вспомогательные квадраты, например, таким образом возможны:

Рис. 8.

Рис. 9.

Складывая попарно числа, которые занимают аналогично расположенные клетки, мы получаем следующий правильный магический квадрат:

Рис. 10.

Видно, что мы можем таким образом построить очень большое число магических квадратов из 5 на 5 клеток, варьируя всеми возможными способами числа в двух вспомогательных квадратах. Более того, сформированные таким образом квадраты обладают дополнительной особенностью: каждые 5 чисел, которые заполняют два ряда, параллельных диагонали и лежащих по разные стороны от диагонали, также дают постоянную сумму 65. Например: 3 и 7, 11, 20, 24; или 10, 14 и 18, 22, 1. Всего, таким образом, сумма 65 получается из 20 рядов или пар рядов. От этой особенности зависит тот факт, что если мы представим неограниченное число таких квадратов, расположенных рядом, над или под начальным, мы сможем получить столько квадратичных клеток, сколько захотим, расположенных так, что квадрат, состоящий из любых 25 из этих клеток, будет образовывать правильный магический квадрат, как покажет следующий рисунок:

Рис. 11.

Каждый квадрат из любых 25 из этих чисел, как, например, два с темной каймой, обладает свойством, что сложение горизонтальных, вертикальных и диагональных рядов дает каждый раз одну и ту же сумму 65.

В качестве примера большего числа клеток мы приложим здесь магический квадрат из 11 на 11 клеток, сформированный по общему методу Де ла Ира из двух вспомогательных квадратов на рис. 12 и 13. Из этих двух вспомогательных квадратов мы получаем путем сложения двух чисел каждых двух аналогично расположенных клеток магический квадрат, представленный на диаграмме 14, в котором каждый ряд дает одну и ту же сумму 671.

Рис. 12.

Рис. 13.

Рис. 14.

IV. КВАДРАТЫ С ЧЕТНЫМ ЧИСЛОМ КЛЕТОК.

Из магических квадратов, имеющих четное число мест, мы до сих пор имели дело только с квадратом 4. Для построения квадратов такого описания, имеющих большее четное число мест, должны применяться другие и более сложные методы, чем для квадратов с нечетным числом мест. Однако и в этом случае, как и при работе с квадратом 4, мы начинаем с естественной последовательности чисел, а затем должны найти дополнения чисел до некоторого другого определенного числа (как 17 в квадрате 4), а также осуществить определенные обмены чисел друг с другом. Чтобы сформировать, например, магический квадрат из 6 на 6 мест, мы вписываем в 12 диагональных клеток числа, которые в естественной последовательности вписывания попадают на эти места, затем в остальные клетки — дополнения чисел, которые принадлежат туда, до 37, и, наконец, осуществляем следующие шесть обменов, а именно: чисел 33 и 3, 25 и 7, 20 и 14, 18 и 13, 10 и 9, и 5 и 2. Таким образом получается следующий магический квадрат.

Рис. 15.

Этот квадрат также может быть построен по методу Де ла Ира из двух вспомогательных квадратов с числами 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 0, 6, 12, 18, 24, 30 соответственно. В этом случае, однако, вертикальные ряды одного квадрата и горизонтальные ряды другого должны каждый содержать два одинаковых числа, повторенных трижды, так, чтобы сумма всегда оставалась 21 и 90 соответственно. Таким образом, мы получаем последний приведенный выше магический квадрат из двух следующих вспомогательных квадратов:

Рис. 16.

Рис. 17.

В связи с этим примером следует отметить, что здесь также, как и в случае с квадратами с нечетным числом клеток, можно вписать шесть раз числа от 1 до 6 так, чтобы каждое число появлялось один и только один раз в каждом горизонтальном, вертикальном и диагональном ряду; например, следующим образом:

Рис. 18.

Но если мы попытаемся таким же образом вставить другой набор чисел 0, 6, 12, 18, 24, 30 во второй вспомогательный квадрат так, чтобы каждое число первого вспомогательного квадрата стояло один и только один раз в соответствующей клетке с каждым числом второго квадрата, все попытки, которые мы можем предпринять для одновременного выполнения последнего названного условия, закончатся неудачей. Поэтому необходимо выбирать вспомогательные квадраты, подобные двум приведенным выше. Примечательно, что выполнение второго условия невозможно только в случае квадрата 6, но что в случае квадрата 4 или квадрата 8, например, возможны два вспомогательных квадрата, как того требует метод Де ла Ира. Таким образом, взяв квадрат 4, мы получаем

Рис. 19.

Рис. 20.

Читатель может сам сформировать магический квадрат, который они дают.

Существование этих двух вспомогательных квадратов дает ключ к решению красивой карточной задачи. Если мы заменим, а именно, числа 1, 2, 3, 4 на Туза, Короля, Даму и Валета, а числа 0, 4, 8, 12 на четыре масти — трефы, пики, червы и бубны, мы сразу поймем, что возможно, и обязательно должно быть так, квадратично расположить таким образом четыре Туза, четыре Короля, четыре Дамы и четыре Валета, чтобы в каждом горизонтальном, вертикальном и диагональном ряду каждая из четырех мастей и каждое из четырех достоинств появлялись один и только один раз. Приведенные выше вспомогательные квадраты дают приложенное решение этой задачи:

Рис. 21.

Чтобы закрепить решение задачи в памяти, заметьте, что, начиная с различных углов, каждая масть и каждое достоинство должны быть помещены на места хода коня. Если мы зафиксируем позиции четырех карт любого одного ряда, останется только две возможности расположить другие карты так, чтобы требуемое условие наличия каждой масти и каждого достоинства один и только один раз в каждом ряду было выполнено.

Из магических квадратов с четным числом мест мы до этого момента рассматривали только квадраты 4 и 6. Ради полноты мы приложим здесь один квадрат из 8 и один из 10 мест. Способ построения этих квадратов аналогичен методу, обсуждавшемуся выше для меньших четных чисел.

Рис. 22.

Рис. 23.

Построенные таким образом магические квадраты с четными числами — не единственно возможные. Напротив, возможно очень много других, которые подчиняются другим законам формирования. Было подсчитано, например, что для квадрата 4 можно построить 880, а для квадрата 6 — несколько миллионов различных магических квадратов. Число магических квадратов с нечетным числом клеток, конструируемых по методу Де ла Ира, также очень велико. Для квадрата 7 возможные конструкции составляют 363 916 800. С квадратами больших чисел множество возможностей увеличивается в том же огромном соотношении.

V. МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ, СУММА КОТОРЫХ ДАЕТ НОМЕР ГОДА.

Магические квадраты, которые мы до сих пор рассматривали, содержат только натуральные числа от 1 и выше. Однако можно легко вывести из правильного магического квадрата другие квадраты, в которых другой закон управляет последовательностью вписываемых чисел. Из квадратов, полученных таким образом, мы посвятим здесь наше внимание только таким, в которых, хотя они и сформированы путем вписывания последовательных чисел, сумма, полученная от сложения рядов, является определенным числом, которое мы заранее установили, как номер года. В таком случае нам просто нужно прибавить к числам исходного квадрата определенное число, которое нужно рассчитать так, чтобы требуемая сумма получалась каждый раз. Если эта сумма делится на 3, всегда можно получить магические квадраты с 3 на 3 местами, которые дадут эту сумму. В таком случае мы делим требуемую сумму на 3 и вычитаем 5 из результата, чтобы получить число, которое мы должны прибавить к каждому числу исходного квадрата. Если желаемая сумма четная, но не делится на 4, мы должны вычесть из нее 34 и взять одну четвертую результата, чтобы получить число, которое в этом случае нужно прибавить в каждой клетке. Если, например, мы хотим получить номер года 1890 в качестве результирующей суммы каждого ряда, нам придется прибавить к каждому из чисел обычного магического квадрата из 4 на 4 места число 464; другими словами, вместо чисел от 1 до 16 мы должны вставить в квадраты числа от 465 до 480. Поскольку номер текущего года 1892 делится на 11, должно быть возможно вывести из магического квадрата, построенного нами в конце раздела III, второй магический квадрат, в котором каждый ряд из 11 клеток даст номер года 1892. Для этого мы вычитаем из 1892 сумму исходного квадрата, а именно 671, и делим остаток на 11, благодаря чему получаем 111 и таким образом понимаем, что числа от 112 до 232 должны быть вписаны в клетки требуемого квадрата. Мы получаем таким образом предыдущий квадрат, из которого одну и ту же сумму, а именно 1892, можно получить 44 раза: во-первых, из каждого из 11 горизонтальных рядов, во-вторых, из каждого из 11 вертикальных рядов, в-третьих, из каждого из двух диагональных рядов и, в-четвертых, двадцать дополнительных раз из каждой и всякой пары любых двух рядов, которые лежат параллельно диагонали, имеют вместе 11 клеток и лежат по разные стороны от диагонали, как, например, 196, 122, 158, 205, 131, 167, 214, 140, 187, 223, 149.

Рис. 24.

VI. КОНЦЕНТРИЧЕСКИЕ МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ.

Острота ума математиков также обнаружила магические квадраты, которые обладают тем своеобразным свойством, что если убирать один ряд за другим с каждой стороны, оставшиеся меньшие внутренние квадраты все равно будут магическими квадратами, то есть все их ряды при сложении дадут одну и ту же сумму. Будет достаточно привести здесь два примера таких квадратов (законы их построения несколько более сложны), из которых первый имеет 7 на 7, а второй 8 на 8 мест. Числа внутри каждой из рамок с темной каймой образуют по отношению к центру меньшие квадраты, которые, в свою очередь, являются магическими.

Рис. 25.

Рис. 26.

В первом из этих двух квадратов внутренний квадрат из 3 на 3 места содержит числа от 21 до 29 таким образом, что каждый ряд при сложении дает сумму 75. Этот квадрат лежит внутри большего квадрата из 5 на 5 клеток, который содержит числа от 13 до 37 таким образом, что каждый ряд дает сумму 125. Наконец, этот последний квадрат является частью квадрата из 7 на 7 мест, который содержит числа от 1 до 49, так что каждый ряд дает сумму 175.

Во втором квадрате внутренний центральный квадрат из 4 на 4 места содержит числа от 25 до 40 таким образом, что каждый ряд дает сумму 130. Этот квадрат является серединой квадрата из 6 на 6 мест, который содержит числа от 15 до 50 так, что каждый ряд дает сумму 165. Наконец, этот последний квадрат снова является серединой обычного магического квадрата, состоящего из чисел от 1 до 64.

VII. МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ С МАГИЧЕСКИМИ ЧАСТЯМИ.

Если мы разделим квадрат из 8 на 8 мест с помощью двух средних линий, параллельных его сторонам, на 4 части, содержащие по 4 на 4 клетки каждая, мы можем поставить задачу вставить числа от 1 до 64 в эти клетки так, чтобы не только целое образовывало магический квадрат, но и чтобы каждая из 4 частей индивидуально была магической, то есть давала одну и ту же сумму для каждого ряда. Эта задача также была успешно решена, как покажет следующая диаграмма.

Рис. 27.

4 числа в каждом ряду любого из подквадратов здесь дают 130; так что сумма каждого из рядов большого квадрата будет 260.

Наконец, в дальнейшую иллюстрацию этой идеи мы представим на рассмотрение наших читателей очень примечательный квадрат из чисел от 1 до 81. Этот квадрат, который можно найти на следующей странице (рис. 28), разделен параллельными линиями на 9 частей, каждая из которых содержит 9 последовательных чисел, которые по отдельности составляют магический квадрат сами по себе.

Рис. 28.

Какими бы удивительными ни казались свойства этого квадрата, закон, по которому автор сконструировал его, столь же прост. Нам просто нужно рассматривать 9 частей как 9 клеток магического квадрата из чисел от I до IX, а затем вписать по магическому предписанию в квадрат, обозначенный как I, числа от 1 до 9, в квадрат, обозначенный как II, числа от 10 до 18 и так далее. Таким образом, вышеприведенный квадрат получается из следующего базового квадрата:

Рис. 29.

VIII. МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ, ВКЛЮЧАЮЩИЕ ХОД ШАХМАТНОГО КОНЯ.

Кто из наших читателей не знает задач, содержащихся в развлекательных колонках наших журналов, требования которых состоят в том, чтобы составить в стих 8 на 8 квадратично расположенных слогов, из которых каждые два последовательных слога стоят на местах, расположенных друг относительно друга так, что шахматный конь может сделать ход от одного к другому? Если мы заменим в таком расположении 64 последовательных слога 64 числами от 1 до 64, мы получим задачу о коне, состоящую из чисел. Существуют, конечно, методы построения таких расположений чисел, которые затем формируют основу построения задач в газетах. Но большинство задач о коне этого класса являются результатом эксперимента, а не продуктом методического творчества. Если, однако, формирование задачи о коне путем эксперимента является суровым испытанием терпения, то само собой разумеется, что еще более суровым испытанием является достижение в то же время дополнительного результата, чтобы 64 числа, которые формируют задачу о коне, также формировали магический квадрат.

Это испытание на выносливость было предпринято несколько десятилетий назад моравским офицером в отставке по имени Венцелидес, который проводил последние дни своей жизни в деревне. После серии испытаний, длившихся годами, ему наконец удалось вписать в 64 квадрата шахматной доски числа от 1 до 64 так, что последовательные числа, а также числа 64 и 1, всегда были удалены друг от друга по расстоянию и направлению ходом коня, и что в дополнение к этому сумма горизонтальных и вертикальных рядов всегда давала одну и ту же сумму 260. В конечном итоге он обнаружил несколько квадратов такого описания, которые были опубликованы в «Берлинском шахматном журнале». Один из них приложен здесь:

Рис. 30.

Ход коня и равенство суммы горизонтальных и вертикальных рядов, следовательно, являются фактами, которые следует здесь отметить. Диагональные ряды не дают сумму 260. Возможно, кто-то из наших читателей, обладающий временем и терпением, будет искушен превзойти Венцелидеса и придумать числовую задачу о коне такого рода, которая даст 260 не только в горизонтальных и вертикальных, но и в двух диагональных рядах.

IX. МАГИЧЕСКИЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ.

До сих пор мы рассматривали только такие расширения идеи, лежащей в основе построения магического квадрата, при которых сохранялась фигура квадрата. Однако мы можем придумать расширения этой идеи, при которых вместо квадрата появляются прямоугольник, треугольник, пятиугольник и тому подобное. Не вдаваясь в рассмотрение методов построения таких фигур, мы приведем здесь лишь несколько примеров магических многоугольников, все из которых предоставлены профессором Шеффлером:

1) Числа от 1 до 32 можно записать в прямоугольнике 4 × 8 таким образом, чтобы длинные горизонтальные ряды давали сумму 132, а короткие вертикальные ряды — сумму 66; таким образом:

Рис. 31.

2) Числа от 1 до 27 можно расположить в трех правильных треугольниках вокруг точки, образующей общий центр, так, чтобы каждая сторона самого внешнего треугольника содержала 6 чисел с общей суммой 96, а каждая сторона среднего треугольника — 4 числа, сумма которых равна 61; как показывает следующий рисунок:

Рис. 32.

3) Числа от 1 до 80 можно сформировать вокруг точки как общего центра в 4 пятиугольника так, чтобы каждая сторона первого пятиугольника изнутри содержала два числа, каждая сторона второго пятиугольника — четыре числа, каждая сторона третьего — шесть чисел, и каждая сторона четвертого, самого внешнего пятиугольника — восемь чисел. Сумма чисел каждой стороны второго пятиугольника равна 122, сумма чисел каждой стороны третьего пятиугольника равна 248, а сумма чисел каждой стороны четвертого пятиугольника — 254. Кроме того, сумма любых четырех угловых чисел, лежащих на одной прямой с центром, также одинакова; а именно, 92.

Рис. 33.

4) Числа от 1 до 73 можно расположить вокруг центра, в котором записано число 37, в три шестиугольника, содержащих соответственно 3, 5 и 7 чисел на каждой стороне и обладающих следующими красивыми свойствами. Каждый шестиугольник всегда дает одну и ту же сумму не только при суммировании вдоль его шести сторон, но и при суммировании вдоль шести диаметров, соединяющих его углы, и вдоль шести диаметров, построенных под прямым углом к его сторонам; эта сумма для первого шестиугольника изнутри равна 111, для второго — 185, а для третьего — 259.

Рис. 34.

X. МАГИЧЕСКИЕ КУБЫ.

Несколько исследователей, в частности Коханский (1686), Совер (1710), Хюгель (1859) и Шеффлер (1882), распространили принцип магических квадратов на плоскости на трехмерное пространство. Представьте себе куб, разделенный плоскостями, параллельными его граням и равноудаленными друг от друга, на кубические ячейки. Задача состоит в том, чтобы вставить в эти ячейки последовательные натуральные числа так, чтобы каждый ряд справа налево, каждый ряд спереди назад, каждый ряд сверху вниз, каждая диагональ квадрата и каждая главная диагональ, проходящая через центр куба, содержали числа, сумма которых всегда одинакова. Для 3 на 3 на 3 ячеек магический куб такого описания построить невозможно. Для 4 на 4 на 4 ячеек можно построить куб так, что любой ряд, параллельный ребру куба, и каждая главная диагональ дают сумму 130. Чтобы получить магический куб из 64 ячеек, представьте числа, которые должны находиться в ячейках, записанными на их верхней поверхности, а затем снимите числа слоями по 16 штук сверху вниз. Мы получим таким образом 4 квадрата по 16 ячеек каждый, которые вместе составляют магический куб; как покажут следующие диаграммы:

Та же сумма 130 здесь получается не менее 52 раз; а именно: во-первых, из 16 рядов слева направо, во-вторых, из 16 рядов спереди назад, в-третьих, из 16 рядов, считая сверху вниз, и, наконец, из 4 рядов, которые соединяют каждые два противоположных угла куба, а именно из рядов: 1, 43, 22, 64; 49, 27, 38, 16; 13, 39, 26, 52; 61, 23, 42, 4.

Для куба с 5 ячейками на каждом ребре расположение фигур можно сделать таким, что все 75 рядов, параллельных любому ребру, все 30 рядов, лежащих на любой диагонали квадрата, и все 4 ряда, образующие любую главную диагональ, будут иметь одну и ту же сумму — 315.

Подобно тому, как магические квадраты с нечетным числом ячеек можно было сформировать с помощью двух вспомогательных квадратов, так и магические кубы с нечетным числом ячеек можно построить с помощью трех вспомогательных кубов.

Таким образом сформирован предыдущий магический куб из 5 на 5 на 5 ячеек, в котором, можно дополнительно заметить, среднее число между 1 и 125, а именно 63, помещено в центральную ячейку; благодаря этому расположению достижение суммы 315 обеспечено в четырех главных диагоналях и 30 поддиагоналях. Условие, достигнутое в магических квадратах, что пары диагоналей, параллельные поддиагоналям, также должны давать сумму 315, в данном случае недостижимо, но достижимо в случае большего количества ячеек.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Размышления над такими задачами, как магические квадраты, увлекательны для мыслителей математического склада ума. Мы находим удовольствие в открытии гармонии, которая является неотъемлемым качеством форм нашего мышления. Задачи о магических квадратах — это игровые головоломки, придуманные, по-видимому, просто ради времяпрепровождения и забавы. Но в основе всех этих маленьких загадок лежит более глубокая проблема, и эта более глубокая проблема имеет огромное значение. Это философская проблема мирового порядка.

Формальные науки — это создания разума. Мы строим науки математику, геометрию и алгебру с помощью нашего представления о чистых формах, которые являются абстрактными идеями. И тот же порядок, который преобладает в этих ментальных конструкциях, пронизывает вселенную, так что старый философ, пораженный величием закона, воображал, что слышит его ритм в космической гармонии сфер.

Г. Шуберт.

ПРИМЕЧАНИЯ:

[68] Термин «меланхолия» во времена Дюрера, как и во времена Шекспира и Мильтона, означал «мысль или задумчивость». Мильтон говорит в «Il Penseroso»:

“Hail, thou Goddess, sage and holy,

Hail divinest melancholy

Whose saintly visage is too bright

To hit the sense of human sight,

And therefore to our weaker view

O’erlaid with black, staid Wisdom’s hue.”—I, 12.

Мысль, которая не ведет к действию, порождает мрачное состояние ума. Задумчивость, которая не может найти выхода из самой себя, — это та меланхолия, которая порождает слабость, — истина, проиллюстрированная в «Гамлете». Шекспир все еще использует слова «мысль» и «меланхолия» как синонимы, говоря:

“The native hue of resolution

Is sicklied o’er with the pale cast of thought.”

Меланхолия Дюрера представляет не мрачность мысли, а силу изобретательности. Трезвость и даже некоторая печаль рассматриваются лишь как элемент этой меланхолии, но в целом гений мысли кажется светлым, уравновешенным и сильным.

Дюрер изображает науку механического изобретательства в виде крылатой женской фигуры, размышляющей над какой-то проблемой. Разбросанные на полу вокруг нее лежат некоторые простые инструменты, использовавшиеся в XVI веке. К дому прислонена лестница, помогающая взбираться на недоступные иным способом высоты. Весы, песочные часы, колокол и магический квадрат висят на стене позади нее.

Вдали в воздухе, словно темное облако, парит летучеподобное существо, являющееся мраком меланхолии, но солнце встает над горизонтом, и в счастливой середине между этими двумя крайностями стоит радуга безмятежной надежды и радостной уверенности.

Г-Н СПЕНСЕР ОБ ЭТИКЕ КАНТА.

Г-н Герберт Спенсер опубликовал в «Fortnightly Review» за июль 1888 года и в «Popular Science Monthly» за август того же года статью об «Этике Канта», в которой он настолько странно искажает позицию Канта, что Кант любому непосвященному читателю должен казаться не только поверхностным и мелким, но даже явно бессмысленным.

Статья г-на Спенсера об «Этике Канта» является суровой критикой, главным образом, бессмысленной идеи, ошибочно приписываемой Канту, о воле, не имеющей цели. В то же время г-н Спенсер упрекает Канта в том, что он предполагает простоту совести и верит в неэволюционное происхождение разума живых существ.

В ответ г-ну Спенсеру в «The Open Court» появилась редакционная статья под заголовком «Герберт Спенсер об этике Канта» (№ 51 и 52), которая была дополнена другой статьей под названием «Кант об эволюции» (№ 158), последняя была вызвана возобновившейся атакой г-на Спенсера на взгляды Канта (которая появилась в «Mind», № LIX, стр. 313).

Г-н Спенсер переиздал свою статью «Этика Канта» вместе со многими другими старыми статьями в трехтомном труде под названием «Научные, политические и спекулятивные эссе», 1891 г., в котором он повторяет следующее предложение:

«Таким образом, основа аргумента, с помощью которого Кант пытается оправдать свое предположение о том, что существует добрая воля помимо доброй цели, полностью исчезает; и оставляет его догму во всей ее нагой немыслимости».

К этому предложению он добавляет следующую сноску в качестве ответа на мою критику:

«Я обнаружил, что в трех вышеприведенных абзацах я воздал Канту меньше, чем следовало, и больше, чем следовало — меньше, предположив, что его эволюционный взгляд ограничивался генезисом нашей звездной системы, и больше, предположив, что он не противоречил сам себе. Мои знания о трудах Канта крайне ограничены. В 1844 году перевод его «Критики чистого разума» (тогда, я думаю, недавно опубликованный) попал мне в руки, и я прочитал первые несколько страниц, излагающих его доктрину времени и пространства: мое категорическое неприятие которой заставило меня отложить книгу. Дважды с тех пор случалось то же самое; ибо, будучи нетерпеливым читателем, когда я не согласен с кардинальными положениями работы, я не могу идти дальше. Еще кое-что я знал. Из косвенных ссылок я узнал, что Кант выдвинул идею о том, что небесные тела были сформированы путем агрегации рассеянной материи. За пределами этого мои знания о его концепциях не распространялись; и мое предположение о том, что его эволюционная концепция остановилась на генезисе солнца, звезд и планет, было связано с тем фактом, что его доктрина времени и пространства как форм мышления, предшествующих опыту, подразумевала сверхъестественное происхождение, несовместимое с гипотезой естественного генезиса. Д-р Пол Карус, который вскоре после публикации этой статьи в «Fortnightly Review» за июль 1888 года взялся защищать кантовскую этику в американском журнале, который он редактирует, «The Open Court», теперь (4 сентября 1890 г.) в другой защитной статье перевел различные отрывки из «Критики способности суждения» Канта, его «Предполагаемого начала человеческой истории» и его работы «О различных человеческих расах», показывая, что Кант был, если не полностью, то частично эволюционистом в своих размышлениях о живых существах. Есть, возможно, некоторые основания сомневаться в правильности перевода д-ром Карусом этих отрывков на английский язык. Когда, как в первой из только что названных статей, он не смог различить сознание (consciousness) и добросовестность (conscientiousness), и когда, как в этой последней статье, он обвиняет англичан в неправильном переводе Канта, поскольку они сказали: «Кант утверждал, что пространство и время — это созерцания», что совершенно неверно, ибо они везде описывали его как утверждающего, что пространство и время — это формы созерцания, можно извинить того, кто подумает, что, возможно, д-р Карус вложил в некоторые выражения Канта значения, которых они по праву не имеют. Тем не менее, общее направление процитированных отрывков делает довольно ясным, что Кант, должно быть, верил в действие естественных причин как в значительной, хотя и не полной мере способствующих формированию органических форм: распространяя эту веру (которую он называет «дерзким предприятием разума») в некоторой степени на происхождение самого человека. Он, однако, не распространяет теорию естественного генезиса до исключения теории сверхъестественного генезиса. Когда он говорит об органической привычке, «которая в мудрости природы, по-видимому, устроена таким образом, чтобы вид сохранялся»; и когда, далее, он говорит: «мы видим, кроме того, что в него вложено зерно разума, посредством которого, после развития оного, он предназначен для социального общения», он подразумевает божественное вмешательство. И это показывает, что я был оправдан, приписывая ему веру в то, что пространство и время как формы мышления являются сверхъестественными дарами. Если бы он мыслил органическую эволюцию последовательным образом, он неизбежно рассматривал бы пространство и время как субъективные формы, порожденные общением с объективными реальностями».

«Помимо того, что Кант имел частичную, если не полную, веру в органическую эволюцию (хотя и без представления о ее причинах), переведенные д-ром Карусом отрывки показывают, что он придерживался подразумеваемой веры, которую здесь мне особенно важно отметить, поскольку она относится к его теории «доброй воли». Он одобрительно цитирует лекцию д-ра Москати, показывающую, «что прямохождение человека является вынужденным и неестественным», и показывающую несовершенное устройство внутренних органов и последующие болезни, которые возникают в результате: не только принимая, но и далее иллюстрируя аргумент д-ра Москати. Если здесь, таким образом, есть явное признание, или скорее утверждение, что различные человеческие органы несовершенно приспособлены к своим функциям, что становится с постулатом, процитированным выше, «что ни один орган для какой-либо цели не будет найден в нем, кроме того, который также является наиболее подходящим и наилучшим образом приспособленным для этой цели»? И что становится с аргументом, который исходит из этого постулата? Ясно, что я обязан д-ру Карусу тем, что он позволил мне доказать, что защита Кантом своей теории «доброй воли» является, по его собственному признанию, беспочвенной».

Ответ г-на Спенсера на мою критику удивителен более чем в одном отношении.

Во-первых, даже не упоминая возражения, которые я выдвигаю, он дискредитирует мои аргументы, ставя под сомнение правильность переводов процитированных отрывков.

Во-вторых, он утверждает, с целью оправдания своего сомнения, что в первой из моих статей я «не смог различить сознание и добросовестность».

В-третьих, г-н Спенсер заявляет, что я «вложил в некоторые выражения Канта значения, которых они по праву не имеют».

В-четвертых, г-н Спенсер основывает это мнение на двойной ошибке: он обвиняет меня в том, что я не различаю кантовские фразы о том, что «пространство и время — это созерцания», и о том, что они являются «формами созерцания».

В-пятых, признавая в конце концов, что Кант имел по крайней мере «частичную веру в органическую эволюцию», г-н Спенсер обвиняет его в непоследовательности.

В-шестых, несколько утверждений относительно взглядов Канта сделаны не потому, что Кант их придерживался, а потому, что г-н Спенсер предполагает по тривиальным причинам, что он «оправдан, приписывая их ему».

В-седьмых, эти столь энергично изложенные утверждения сопровождаются удивительно откровенным признанием г-на Спенсера в незнакомстве с обсуждаемым предметом.

Можно добавить, что г-н Спенсер называет мою критику «защитными статьями». Он говорит, что «я взялся защищать кантовскую этику»; в то время как, на самом деле, мои статьи являются агрессивными. Кант не нуждается в защите от непонимания, и не мое дело защищать его, ибо я не кантианец в том смысле, что я принимаю какие-либо основные доктрины Канта. Напротив, я не согласен с ним почти по всем фундаментальным вопросам. В этике я возражаю против взглядов Канта, поскольку их можно рассматривать как чистый формализм. Я кантианец лишь в том смысле, что я уважаю Канта как одного из самых выдающихся философов, что я чту его как того моего учителя, чье влияние на меня было наибольшим, и я считаю изучение трудов Канта необходимым условием для понимания проблем философии нашего времени. Далекий от защиты позиции Канта, я лишь взял на себя труд проинформировать г-на Спенсера о том, что Кант действительно утверждал, чтобы вместо разоблачения абсурдов, о которых Кант никогда не думал, он мог критиковать реального Канта.

Теперь я перейду к деталям ответа г-на Спенсера:

Мне жаль видеть, что г-н Спенсер, вместо того чтобы откровенно признать свои ошибки, прибег к дискредитации переводов, которые могли быть очень легко проверены либо им самим, либо его друзьями; особенно учитывая, что немецкий оригинал наиболее важных отрывков, везде, где могло возникнуть какое-либо сомнение, а также тех выражений, на неправильном понимании которых г-н Спенсер основывает свое неблагоприятное мнение о Канте, был добавлен в сносках.

II.

Но г-н Спенсер приводит, как если бы это был факт, пример моих серьезных ошибок. Он говорит, что я не смог различить «сознание» и «добросовестность». Г-н Спенсер придает большое значение мелочи, которая, если бы она была такой, как он предполагает, должна была бы считаться опечаткой.

Утверждение г-на Спенсера настолько категорично, что оно должно произвести на любого читателя впечатление несомненной истинности. Однако во всей моей первой статье, да и в обеих статьях, «добросовестность» нигде не упоминается, и было бы неправильно заменять слово «сознание» в любом из отрывков, в которых оно встречается, на «добросовестность».

Я был бы рад, если бы г-н Спенсер любезно указал мне на отрывок, который он имел в виду, делая свое заявление, ибо, поскольку нет даже повода для смешения сознания и добросовестности, я стою здесь перед психологической проблемой. Утверждение г-на Спенсера — полная загадка для меня. Либо у меня негативная галлюцинация, как называют ее психологи, так что я не вижу того, что есть на самом деле, либо у г-на Спенсера должна была быть позитивная галлюцинация. То, что г-н Спенсер прочитал в моей статье, никогда не было написано, и этого там нет. Предполагаемый факт, на который он ссылается, не существует.

Такого рода ошибочная ссылка, в которую г-н Спенсер непреднамеренно впал, является очень тяжкой ошибкой. Она кажется более серьезной, чем простая оговорка, если учесть, что г-н Спенсер использует это утверждение с целью инкриминации. Он оправдывает на этом чрезвычайно слабом основании свое сомнение относительно правильности переводов процитированных отрывков, и сомнение г-на Спенсера относительно правильности этих переводов является его главным аргументом для отклонения моей критики in toto.

Не исключено, более того, вероятно, что г-н Спенсер имел в виду «совесть» вместо «добросовестности». Есть один отрывок, в котором поверхностный читатель мог бы ожидать «совесть» вместо «сознания». Однако это не встречается ни в одном из переводов, а в абзаце, где я говорю от своего имени. Этот отрывок появляется в приложенной перепечатке на странице 23, строка 14. Что бы кто ни ожидал в этом отрывке, я, безусловно, намеревался сказать «сознание», и только поспешный читатель, только тот, кто мог бы прочитать лишь первую строку абзаца, счел бы слово «сознание» ошибкой.

Чтобы избежать любой двусмысленности, однако, даже для поспешных читателей, и чтобы предостеречь от неверного толкования, которое г-н Спенсер, возможно, придал предложению, я предлагаю изменить отрывок, добавив несколько слов следующим образом:

«Совершенно верно, что не только совесть, но и каждое состояние сознания является чувством» и т. д.

Выделенные курсивом слова вставлены просто для того, чтобы показать, что здесь я имею в виду «сознание», а не «совесть». В остальном они нисколько не меняют смысл предложения. В этом отрывке, как и во всей статье, термины «сознание» и «совесть» были использованы правильно.

Замечая, что г-н Спенсер, по-видимому, совершил ту же ошибку, в которой он ошибочно обвиняет меня, я не хочу сказать, что он «не смог различить» добросовестность и совесть. Я бы скорее счел это мелочностью с моей стороны, если бы сделал такой вывод из того, что является либо оговоркой, либо недосмотром при корректуре. Но мне кажется, что тот плутоватый мошенник среди фей, которого Шекспир называет Паком, а ученые определяют как случайность или совпадение, сыграл в приступе гнева и, возможно, из чувства простительной иронии, юмористическую шутку над г-ном Спенсером. Мораль заключается в том, что когда автор порицает своих коллег-авторов с чрезмерной суровостью за вещи, которые могут быть просто опечатками, он должен внимательно следить за своим собственным «типографским чертом».

III.

Г-н Спенсер дискредитирует мои знания о Канте. Он говорит обо мне:

«Можно извинить того, кто подумает, что, возможно, д-р Карус вложил в некоторые выражения Канта значения, которых они по праву не имеют».

Я не давал г-ну Спенсеру никакого повода для этого личного размышления. Я не хвастаюсь какой-либо необычайной осведомленностью о трудах Канта. Есть бесчисленное множество немецких, а также английских и американских ученых и философов, которые знают Канта почти наизусть. Но вопрос не в том, какими я считаю идеи Канта, а в том, что Кант действительно сказал, и я был очень осторожен, позволяя Канту говорить самому за себя.

Моя критика концепции Канта г-ном Спенсером состояла почти исключительно в сопоставлении и противопоставлении взглядов г-на Спенсера на Канта с цитатами из работ Канта. Как я могу вкладывать что-либо в некоторые выражения Канта, если я представляю переводы самих выражений, добавляя к ним в сносках оригинал везде, где могли возникнуть сомнения? И одного общего направления цитат достаточно, чтобы опровергнуть концепцию Канта г-на Спенсера.

Правда в том, что г-н Спенсер совершил ту ошибку сам, за которую он несправедливо порицает меня. «Г-н Спенсер вложил в некоторые выражения Канта значения, которых они по праву не имеют».

IV.

Но г-н Спенсер приводит факт, который, если бы он был таким, как его представляет г-н Спенсер, показал бы мою неспособность делать важные различия. Он говорит обо мне:

«Он обвиняет англичан в неправильном переводе Канта, поскольку они сказали: «Кант утверждал, что пространство и время — это созерцания», что совершенно неверно, ибо они везде описывали его как утверждающего, что пространство и время — это формы созерцания».

Это двойная ошибка: (1) Кант и его переводчики не делали того различия, о котором говорит г-н Спенсер, и (2) цитата, которую г-н Спенсер делает из моей статьи, представлена как означающая нечто иное, чем то, что она на самом деле означает в контексте.

Прежде чем я буду говорить от своего имени о том, что я на самом деле сказал, давайте изложим факты относительно использования Кантом терминов «созерцания» и «формы созерцания».

Кант определяет в § 1 своей «Критики чистого разума», что он понимает под «Трансцендентальной эстетикой». Он различает «эмпирическое созерцание» (empirische Anschauung) и «чистое созерцание» (reine Anschauung). Он говорит:

«Тот вид созерцания, который относится к объекту посредством ощущения, называется эмпирическим созерцанием».

Представления содержат, помимо того, что относится к ощущению, некоторые другие элементы. Кант говорит:

«То, что приводит к тому, что содержание явления может быть упорядочено в определенных отношениях, я называю его формой».

И далее он продолжает:

«Эту чистую форму чувственности я буду называть чистым созерцанием».

Это фразы Канта в известном переводе Дж. М. Д. Мейклджона. Термин «чистое созерцание» повторяется снова и снова, и мы часто находим добавленные в качестве объяснения фразы «как простая форма чувственности», «простая форма явлений», «формы чувственного созерцания», а также (как г-н Спенсер подчеркивает как единственный правильный способ) «формы созерцания».

Кант говорит:

1) «Diese reine Form der Sinnlichkeit wird auch selber reine Anschauung heissen.» § 1.

2) «Zweitens worden wir von dieser (der empirischen Anschauung) noch alles abtrennen, damit nichts als reine Anschauung und die blosse Form der Erscheinungen übrig bleibe.» § 1.

3) «Raum ... muss ursprünglich Anschauung sein.» § 3.

4) «Der Raum ist nichts anderes als nur die Form aller Erscheinungen äusserer Sinne.» § 3.

5) «Der Raum aber betrifft nur die reine Form der Anschauung.» (Этот отрывок встречается только в первом издании, абзац, содержащий его, опущен во втором издании.) § 3.

6) «Die Zeit ist ... eine reine Form der sinnlichen Anschauung....» § 4.

7) «Es muss ihr unmittelbare Anschauung zum Grunde liegen.» § 4.

8) «Die Zeit ist nichts anderes als die Form des inneren Sinnes.» § 6.

9) «... dass die Vorstellung der Zeit selbst Anschauung sei.» § 6.

10) «Wir haben nun ... reine Anschauung a priori, Raum und Zeit.» § 10. Заключение трансцендентальной эстетики.

Эти цитаты не претендуют на исчерпываемость, да это и не нужно для текущей цели.

Кант, как мы узнаем из этих цитат, не делает различия между reine Anschauung и Form der Anschauung. Он чаще всего использует термин reine Anschauung и в нескольких местах обозначает пространство и время просто как Anschauung. (См. цитаты 3, 7 и 9.) Насколько я могу судить из повторного прочтения, выражение, предложенное г-ном Спенсером, «форма созерцания», Form der Anschauung, встречается только один раз, и то в отрывке, опущенном во втором издании.

Почти излишне добавлять, что английские переводчики и интерпретаторы Канта следуют оригиналу довольно близко. Соответственно, на самом деле неверно, «что они везде(!) описывали Канта как утверждающего, что пространство и время — это формы созерцания». В дополнение к цитатам из Мейклджона я обращаю внимание г-на Спенсера на «Словарь философии» Уильяма Флемминга (4-е изд., под ред. Генри Колдервуда), где sub voce «Intuition», стр. 228, со ссылкой на взгляд Канта читаем:

«Пространство и время — это созерцания чувств».

Сказать «Время и пространство — это формы созерцания» совершенно правильно согласно кантовской терминологии. Никаких возражений г-ну Спенсеру на этом основании быть не может. Но сказать «Время и пространство — это созерцания» также совершенно правильно, и г-н Спенсер неправ, порицая это выражение.

Почему г-н Спенсер так сурово упрекает меня в пункте, который не имеет никакого значения? Он кажется уверенным, что я обнаружил непростительное заблуждение в философии Канта. Но, указав с помощью цитат из Канта, что это не так, я теперь перейду к объяснению того, почему цитата, которую г-н Спенсер делает из моей статьи, хотя восемь слов в кавычках процитированы буквально, является неверной цитатой. Она вырвана из контекста. Я вовсе не обвинял английских переводчиков Канта, но я обвинял его интерпретаторов, среди которых английские интерпретаторы (не все английские интерпретаторы, но, безусловно, некоторые из них) являются худшими, за «искажение лучших мыслей Канта, так что этот герой прогресса предстает как оплот устаревших взглядов»; и в качестве примера я обратил внимание на неправильное понимание термина Anschauung у Канта, сказав:

«Насколько отличается философия Канта, например, если его позиция относительно времени и пространства ошибочна! «Время и пространство — это наши Anschauungen», — говорит Кант. Но его английские переводчики заявляют: «Кант утверждал, что пространство и время — это созерцания». Какая разница, если созерцание интерпретируется в смысле, придаваемом ему английской школой интуитивизма, вместо того чтобы быть взятым в первоначальном значении слова Anschauung».

Слово «созерцание» (intuition) подразумевает нечто таинственное; слово Anschauung обозначает то, что воспринимается непосредственно, просто, как если бы мы смотрели на это. Так, особенно чувственные восприятия вещей перед нами являются Anschauungen.

Г-н Спенсер, полагая, что он поймал меня на совершении непреднамеренной ошибки, вырывает отрывок из контекста, игнорирует его смысл, делает акцент на антитезе, которая не имела в мире никакого отношения к обсуждаемой теме, только чтобы бросить на меня позор некомпетентности. Даже если бы антитеза г-на Спенсера между «созерцанием» и «формами созерцания» имела какое-то значение (как, к несчастью для г-на Спенсера, это не так), она ничего бы не значила против меня, потому что я не говорил о «формах» в упомянутом отрывке, я просто намекнул на одну неверную интерпретацию термина Anschauung, которая довольно распространена среди английских кантианцев. Для цели, которую я преследовал, не требовалось вдаваться в какие-либо детали относительно того, какой вид Anschauung я имел в виду, и намек на «форму» или на любой другой предмет послужил бы только для того, чтобы спутать идею, которую я намеревался изложить в абзаце, из которого цитирует г-н Спенсер.

Неверного цитирования такого рода, в которое г-н Спенсер был вовлечен поспешным чтением, следует избегать с величайшей осторожностью, ибо оно содержит инсинуацию. Оно уводит от главного обсуждаемого пункта к побочным вопросам и искажает автора, из которого сделана цитата. Оно внушает значение, которого отрывок не имеет и о котором даже не думали в контексте, из которого он вырван.

Г-н Спенсер цитирует отрывок так, как если бы я предпочел термин «созерцание» термину «форма созерцания», или, по крайней мере, как если бы я не имел представления о том, что Кант мыслит время и пространство как «формы». Тем не менее, г-н Спенсер, пытаясь доказать свою правоту против меня, выдает свою собственную нехватку информации. Кант настаивал самым решительным образом на том, чтобы называть формы нашей чувственности (т. е. пространство и время) «Anschauungen».

Но случай г-на Спенсера еще хуже. В то время как он настаивает на утверждении, что согласно переводчикам Канта пространство и время являются «формами созерцания», что по крайней мере верно, он дважды в том же самом абзаце использует выражение, что согласно Канту «пространство и время — это формы мышления», что неверно. Формы мышления согласно кантовской терминологии — это не пространство и время, а область трансцендентальной логики. Любой, кто путает два термина «формы созерцания» и «формы мышления», доказывает свою неспособность сформировать правильное мнение о философии Канта. Именно это характерно для Канта, что он рассматривает время и пространство не как мышление, ни как формы мышления, а как Anschauungen, и в отличие от чувственных созерцаний (т. е. ощущений) он называет их reine Anschauungen или Formen der Anschauung.

Г-н Спенсер, комментируя свою критику идеи Канта о доброй воле, говорит:

«Ясно, что я обязан д-ру Карусу тем, что он позволил мне доказать, что защита Кантом своей теории «доброй воли» является, по его собственному признанию, беспочвенной».

Идея Канта о доброй воле не имеет ничего общего с эволюцией, и мы можем воздержаться здесь от обсуждения того, был ли Кант эволюционистом или нет. Верна эволюция или нет, какая разница для положения, что добрая воля — это единственная вещь, которую можно назвать доброй без дальнейших ограничений (ohne Einschränkung)? Удовольствие — это хорошо, но оно не является абсолютно добрым, бывают случаи, когда удовольствие — очень плохая вещь. Мы должны квалифицировать наше утверждение и ограничить его особыми случаями. Добрая воля, однако, говорит Кант, сама по себе добра при любых обстоятельствах.

Доказал ли г-н Спенсер беспочвенность положения Канта, доказав эволюцию? Непоследовательно ли верить в эволюцию и в то же время рассматривать добрую волю как абсолютно добрую, как добрую без оговорок или ограничений? Я думаю, нет!

VI.

Г-н Спенсер, признавая, что «общее направление процитированных отрывков делает довольно ясным, что Кант, должно быть, верил в действие естественных причин... при формировании органических форм», добавляет:

«Он, однако, не распространяет теорию естественного генезиса до исключения теории сверхъестественного генезиса».

Как г-н Спенсер доказывает свое утверждение? Цитирует ли он отрывок из Канта, который выражает его веру в сверхъестественное? Нет, г-н Спенсер не цитирует Канта, и было бы трудно найти отрывок, подходящий для этой цели. Г-н Спенсер приводит несколько бессмысленных фраз, собранных наугад и вырванных из контекста, и из этих фраз он заключает, что Кант верил в сверхъестественное. Кант где-то говорил о «мудрости природы», которая устроила все так, чтобы виды могли сохраняться. Если мудрость природы в сохранении видов понимать буквально, фраза могла бы доказать, что Кант верил, что природа — это мудрая старушка. Кант далее говорил о «зерне разума, вложенном в человека, посредством которого он предназначен для социального общения». Действительно ли использование слова «предназначен» «подразумевает божественное вмешательство», как говорит г-н Спенсер? Г-н Спенсер добавляет:

«И это [т. е. использование Кантом этих фраз] показывает, что я был оправдан, приписывая ему веру в то, что пространство и время как формы мышления [sic!], являются сверхъестественными дарами».

Что бы мы ни доказали с помощью такого рода свободной аргументации!

Кант не вводил никаких сверхъестественных объяснений; напротив, он предлагал исключить «сверхъестественный генезис». Он говорит, например, в отрывке из «Критики способности суждения», процитированном на странице 41 приложения:

«Если мы предположим окказионализм для производства организованных существ, природа тем самым полностью отбрасывается... поэтому нельзя предполагать, что эта система принята кем-либо, кто имел дело с философией».

И далее Кант отвергает частичное допущение сверхъестественного, говоря:

«Как будто это не одно и то же — заставлять требуемые формы возникать сверхъестественным образом в начале мира или в ходе его развития».

Г-н Спенсер обвиняет Канта в непоследовательности. Мы не намерены говорить, что Кант был во всех фазах своего развития последователен сам с собой. Но мы говорим, что обвинение г-на Спенсера против Канта состоит в следующем: реальный Кант сказал вещи, которые несовместимы со взглядом г-на Спенсера на Канта.

Это решает шестой пункт.

VII.

Ответ г-на Спенсера на мою критику — очень странный предмет полемики, и я действительно был в недоумении, как его объяснить.

Ситуацию можно объяснить только предположением, что г-н Спенсер, будучи нетерпеливым читателем, обнаружив, что он не согласен с моими положениями, не мог идти дальше и написал свой ответ мне, не прочитав моих статей. Это очень тяжело для критика, который, тщательно избегая всего, что могло бы выглядеть как придирчивость, старательно заботится о том, чтобы дать критикуемому автору все средства для самостоятельного исследования истины и помогает ему дружеским образом исправить свои ошибки.