«Организация мысли: образовательная и научная»

Такая дискуссия требует рассмотрения технического образования. Техническое образование — это в основном обучение искусству использования знаний для производства материальных продуктов. Такое обучение подчеркивает ручные навыки, скоординированные действия руки и глаза, а также суждение при контроле процесса строительства. Но суждение требует знания тех природных процессов, использование которых представляет собой производство. Таким образом, где-то в техническом обучении требуется образование в области научных знаний. Если вы минимизируете научную сторону, вы ограничите ее научными экспертами; если вы максимизируете ее, вы в некоторой степени привьете ее людям, и — что не менее важно — директорам и менеджерам предприятий.

Техническое образование не обязательно связано исключительно с наукой в своей ментальной стороне. Это может быть образование для художника или для учеников художественного ремесла. В таком случае в связи с ним придется развивать эстетическую оценку.

Дурной стороной платоновской культуры было полное пренебрежение техническим образованием как составной частью полного развития идеальных человеческих существ. Это пренебрежение возникло из двух катастрофических антитез, а именно: между разумом и телом, и между мыслью и действием. Я здесь вставлю, исключительно чтобы избежать критики, что я прекрасно осознаю, что греки высоко ценили физическую красоту и физическую активность. Однако у них было то извращенное чувство ценностей, которое является возмездием за рабовладение.

Я выдвигаю в качестве образовательной аксиомы, что в преподавании вы потерпите неудачу, как только забудете, что у ваших учеников есть тела. Это в точности ошибка пост-ренессансной платоновской программы. Но природу нельзя удержать вилами; поэтому в английском образовании, будучи изгнанной из класса, она вернулась с бубенцами в виде всепобеждающего атлетизма.

Связи между интеллектуальной деятельностью и телом, хотя и рассеянные в каждом телесном ощущении, сфокусированы в глазах, ушах, голосе и руках. Существует координация чувств и мысли, а также взаимное влияние между активностью мозга и материальной творческой деятельностью. В этой реакции руки особенно важны. Спорный вопрос, создала ли человеческая рука человеческий мозг, или мозг создал руку. Безусловно, связь тесная и взаимная. Такие глубоко укоренившиеся отношения не атрофируются широко за несколько сотен лет неиспользования в исключительных семьях.

Неиспользование ручного труда является сопутствующей причиной мозговой летаргии аристократии, которая смягчается только спортом, где сопутствующая мозговая активность сведена к минимуму, а ручной труд лишен тонкости. Необходимость постоянного письма и устного изложения является некоторым слабым стимулом для мыслительной способности профессиональных классов. Великие читатели, которые исключают другие виды деятельности, не отличаются тонкостью мозга. Они склонны быть робкими конвенциональными мыслителями. Несомненно, это отчасти связано с тем, что их чрезмерные знания опережают их мыслительные способности; но отчасти это связано с отсутствием мозгового стимула от продуктивной деятельности рук или голоса.

Оценивая важность технического образования, мы должны подняться над исключительной ассоциацией обучения с книжным обучением. Знание из первых рук — это конечная основа интеллектуальной жизни. В значительной степени книжное обучение передает информацию из вторых рук, и как таковое никогда не может подняться до важности непосредственной практики. Наша цель — увидеть непосредственное событие нашей жизни как примеры наших общих идей. То, что ученый мир склонен предлагать, — это один кусок информации из вторых рук, иллюстрирующий идеи, полученные из другого куска информации из вторых рук. Вторичность ученого мира — секрет его посредственности. Он ручной, потому что его никогда не пугали факты. Главная важность влияния Фрэнсиса Бэкона заключается не в какой-либо особой теории индуктивного рассуждения, которую он случайно выразил, а в восстании против информации из вторых рук, лидером которого он был.

Особое достоинство научного образования должно заключаться в том, что оно основывает мысль на наблюдении из первых рук; а соответствующее достоинство технического образования заключается в том, что оно следует нашему глубокому естественному инстинкту переводить мысль в ручной навык, а ручную деятельность — в мысль.

Мы — Математическая ассоциация, и естественно спросить: где наше место? Наше место как раз в этом пункте.

Мысль, которую вызывает наука, — это логическая мысль. Сейчас логика бывает двух видов: логика открытия и логика открытого.

Логика открытия состоит во взвешивании вероятностей, в отбрасывании деталей, считающихся нерелевантными, в угадывании общих правил, согласно которым происходят события, и в проверке гипотез путем разработки подходящих экспериментов. Это индуктивная логика.

Логика открытого — это дедукция специальных событий, которые при определенных обстоятельствах произошли бы в соответствии с предполагаемыми законами природы. Таким образом, когда законы открыты или предполагаются, их использование полностью зависит от дедуктивной логики. Без дедуктивной логики наука была бы совершенно бесполезна. Это просто бесплодная игра — подниматься от частного к общему, если впоследствии мы не можем обратить процесс и спуститься от общего к частному, поднимаясь и спускаясь, как ангелы по лестнице Иакова. Когда Ньютон угадал закон гравитации, он сразу же приступил к расчету притяжения Земли к яблоку на ее поверхности и к Луне. Мы можем мимоходом отметить, что индуктивная логика была бы невозможна без дедуктивной логики. Таким образом, расчеты Ньютона были существенным шагом в его индуктивной проверке великого закона.

Теперь математика — это не что иное, как более сложные части искусства дедуктивного рассуждения, особенно там, где это касается числа, количества и пространства.

В преподавании науки следует преподавать искусство мысли: а именно, искусство формирования ясных концепций, применяемых к опыту из первых рук, искусство угадывания общих истин, которые применимы, искусство проверки догадок и искусство использования общих истин путем рассуждения к более частным случаям некоторой особой важности. Более того, необходима способность к научному изложению, чтобы релевантные вопросы из запутанной массы идей могли быть изложены ясно, с должным акцентом на важных пунктах.

К тому времени, когда наука или небольшая группа наук была преподана таким образом, с должным вниманием к общему искусству мысли, мы прошли долгий путь к исправлению специализма науки. Худшее в научном образовании, основанном, как это неизбежно должно быть, на одной или двух конкретных отраслях науки, заключается в том, что учителя под влиянием системы экзаменов склонны просто пичкать своих учеников узкими результатами этих специальных наук. Существенно, чтобы общность метода постоянно выявлялась и противопоставлялась специальности конкретного применения. Человек, который знает только свою собственную науку как рутину, свойственную этой науке, даже этого не знает. У него нет плодовитости мысли, нет способности быстро схватывать значение чуждых идей. Он ничего не откроет и будет глуп в практических применениях.

Эту демонстрацию общего в частном чрезвычайно трудно осуществить, особенно в случае с младшими учениками. Искусство образования никогда не бывает легким. Преодолеть его трудности, особенно трудности начального образования, — задача, достойная высочайшего гения. Это воспитание человеческих душ.

Математика, если ее хорошо преподавать, должна быть самым мощным инструментом в постепенном внедрении этой общности идеи. Суть математики — постоянно отбрасывать более специальные идеи в пользу более общих идей, и специальные методы в пользу общих методов. Мы выражаем условия специальной задачи в форме уравнения, но это уравнение послужит для сотни других задач, разбросанных по разным наукам. Общее рассуждение — это всегда мощное рассуждение, потому что дедуктивная убедительность является свойством абстрактной формы.

Здесь, опять же, мы должны быть осторожны. Мы разрушим математическое образование, если будем использовать его только для того, чтобы впечатлить общими истинами. Общие идеи — это средство соединения частных результатов. В конце концов, важны конкретные частные случаи. Таким образом, при обращении с математикой в ваших результатах вы не можете быть слишком конкретными, а в ваших методах вы не можете быть слишком общими. Существенный ход рассуждения — обобщить то, что является частным, а затем конкретизировать то, что является общим. Без общности нет рассуждения, без конкретности нет важности.

Конкретность — это сила технического образования. Я хотел бы напомнить вам, что истины, лишенные высочайшей общности, не обязательно являются конкретными фактами. Например, x + y = y + x — это алгебраическая истина, более общая, чем 2 + 2 = 4. Но «дважды два — четыре» — это само по себе весьма общее суждение, лишенное какого-либо элемента конкретности. Чтобы получить конкретное суждение, требуется непосредственная интуиция истины, касающейся конкретных объектов; например, «эти два яблока и те яблоки вместе составляют четыре яблока» — это конкретное суждение, если у вас есть прямое восприятие или непосредственная память об этих яблоках.

Чтобы получить полное осознание истин как применимых, а не как пустых формул, нет альтернативы техническому образованию. Простого пассивного наблюдения недостаточно. Только в творчестве есть яркое понимание свойств объекта, тем самым произведенного. Если вы хотите что-то понять, сделайте это сами — это здравое правило. Ваши способности будут живы, ваши мысли обретут яркость благодаря немедленному переводу в действия. Ваши идеи обретут ту реальность, которая приходит от видения пределов их применения.

В начальном образовании эта доктрина давно применяется на практике. Маленьких детей учат знакомиться с формами и цветами с помощью простых ручных операций вырезания и сортировки. Но как бы хорошо это ни было, это не совсем то, что я имею в виду. Это практический опыт до того, как вы начнете думать, опыт, предшествующий мысли для создания идей, — очень отличная дисциплина. Но техническое образование должно быть гораздо большим, чем это: это творческий опыт, пока вы думаете, опыт, который реализует вашу мысль, опыт, который учит вас координировать действие и мысль, опыт, ведущий вас к ассоциации мысли с предвидением, а предвидения — с достижением. Техническое образование дает теорию и проницательное понимание того, где теория терпит неудачу.

Техническое образование не следует рассматривать как искалеченную альтернативу совершенной платоновской культуре: а именно, как дефектную подготовку, к сожалению, ставшую необходимой из-за стесненных условий жизни. Ни один человек не может достичь ничего, кроме фрагментарных знаний и фрагментарной тренировки своих способностей. Существуют, однако, три основных пути, по которым мы можем двигаться с хорошей надеждой на продвижение к лучшему балансу интеллекта и характера: это путь литературной культуры, путь научной культуры, путь технической культуры. Ни один из этих методов не может быть использован исключительно без серьезной потери интеллектуальной активности и характера. Но простое механическое смешение трех программ даст плохие результаты в виде обрывков информации, никогда не связанных между собой и не используемых. Мы уже отметили как одну из сильных сторон традиционной литературной культуры то, что все ее части скоординированы. Проблема образования состоит в том, чтобы сохранить доминирующий акцент, будь то литературный, научный или технический, и без потери координации привнести в каждый путь образования что-то от двух других.

Чтобы сделать проблему технического образования определенной, сосредоточьте внимание на двух возрастах: один — тринадцать лет, когда заканчивается начальное образование; и другой — семнадцать лет, когда заканчивается техническое образование, насколько оно сжато в рамках школьной программы. Я знаю, что для ремесленников в младших технических школах трехлетний курс был бы более обычным. С другой стороны, для морских офицеров и для руководящих классов в целом можно позволить более длительное время. Мы хотим рассмотреть принципы, которыми должна руководствоваться учебная программа, которая приведет этих детей к семнадцати годам в положение обладания техническим навыком, полезным для общества.

Их техническое ручное обучение должно начинаться в тринадцать лет, составляя скромную долю от остальной их работы, и должно увеличиваться с каждым годом, чтобы в конечном итоге достичь существенной доли. Прежде всего, оно не должно быть слишком специализированным. Мастерская отделка и мастерские уловки, адаптированные к одной конкретной работе, должны преподаваться в коммерческой мастерской и не должны составлять существенную часть школьного курса. Правильно обученный работник освоил бы их в кратчайшие сроки. Во всем образовании главная причина неудачи — застой. Техническое образование обречено, если мы рассматриваем его как систему для ловли детей в раннем возрасте и для придания им одного узкоспециализированного ручного навыка. Нации нужна текучесть рабочей силы, не только с места на место, но и в разумных пределах смежных навыков, от одного специального типа работы к другому специальному типу. Я знаю, что здесь я на зыбкой почве, и я не утверждаю, что людей, пока они специализируются на одном виде работы, следует спазматически переводить на другие виды. Это вопрос организации торговли, к которому педагоги не имеют отношения. Я лишь утверждаю принципы, что подготовка должна быть шире, чем окончательная специализация, и что возникающая способность к адаптации к меняющимся требованиям выгодна работникам, работодателям и нации.

Рассматривая интеллектуальную сторону учебной программы, мы должны руководствоваться принципом координации исследований. В целом, интеллектуальные исследования, наиболее непосредственно связанные с ручным обучением, будут некоторыми отраслями науки. На самом деле будет задействована не одна отрасль; и даже если это не так, невозможно сузить научное исследование до одной тонкой линии мысли. Однако возможно, при условии, что мы не будем слишком далеко заходить в классификации, примерно классифицировать технические занятия в соответствии с доминирующей вовлеченной наукой. Таким образом, мы находим шестикратное деление, а именно: (1) Геометрические техники, (2) Механические техники, (3) Физические техники, (4) Химические техники, (5) Биологические техники, (6) Техники торговли и социального обслуживания.

Под этим делением подразумевается, что помимо вспомогательных наук некоторая конкретная наука требует акцента в подготовке к большинству профессий. Мы можем, например, отнести столярное дело, скобяные изделия и многие художественные ремесла к геометрическим техникам. Аналогично, сельское хозяйство — это биологическая техника. Вероятно, кулинария, если она включает в себя общественное питание, находилась бы посередине между биологическими, физическими и химическими науками, хотя я в этом не уверен.

Науки, связанные с торговлей и социальным обслуживанием, были бы частично алгеброй, включая арифметику и статистику, и частично географией и историей. Но этот раздел несколько неоднороден в своих научных пристрастиях. В любом случае, точный способ классификации технических занятий в отношении науки — это деталь. Существенный момент заключается в том, что при некотором размышлении можно найти научные курсы, которые освещают большинство профессий. Более того, проблема хорошо понятна и была блестяще решена во многих технологических школах и младших технических школах по всей стране.

Переходя от науки к литературе в нашем обзоре интеллектуальных элементов технического образования, мы отмечаем, что многие исследования зависают между ними: например, история и география. Они оба очень важны в образовании, при условии, что это правильная история и правильная география. Также книги, дающие описательные отчеты об общих результатах и ходах мысли в различных науках, попадают в ту же категорию. Такие книги должны быть частично историческими и частично разъясняющими основные идеи, которые в конечном итоге возникли. Недавняя книга проф. Р. А. Грегори «Открытие» и серия «Библиотека домашнего университета» иллюстрируют мою мысль. Их ценность в образовании зависит от их качества как ментальных стимуляторов. Они не должны быть надуты газом о чудесах науки и должны быть информированы широким кругозором.

К сожалению, литературный элемент в образовании редко рассматривался отдельно от грамматического изучения. Историческая причина в том, что когда формировалась современная платоновская программа, латынь и греческий были единственными ключами, которые делали великую литературу доступной. Но нет никакой необходимой связи между литературой и грамматикой. Великий век греческой литературы уже прошел до прибытия грамматиков Александрии. Из всех типов людей, существующих сегодня, классические ученые наиболее далеки от греков времен Перикла.

Простое литературное знание имеет небольшое значение. Единственное, что имеет значение, — это то, как оно известно. Факты, о которых идет речь, — ничто. Литература существует только для того, чтобы выражать и развивать тот воображаемый мир, который является нашей жизнью, царство, которое внутри нас. Отсюда следует, что литературная сторона технического образования должна состоять в усилии заставить учеников наслаждаться литературой. Неважно, что они знают, но наслаждение жизненно важно. Великие английские университеты, под чьим прямым руководством школьники экзаменуются по пьесам Шекспира, к верному уничтожению их наслаждения, должны быть привлечены к ответственности за убийство души.

Теперь есть два вида интеллектуального наслаждения: наслаждение творчеством и наслаждение отдыхом. Они не обязательно разделены. Смена занятия может дать полный прилив счастья, который приходит от совпадения обеих форм удовольствия. Оценка литературы — это действительно творчество. Написанное слово, его музыка и его ассоциации — это только стимулы. Видение, которое они вызывают, — наша собственная работа. Никто, никакой гений, кроме нашего собственного, не может заставить нашу собственную жизнь жить. Но за исключением тех, кто занят литературными профессиями, литература — это также отдых. Она дает упражнение той другой стороне, которую любое занятие должно подавлять в рабочие часы. Искусство также имеет ту же функцию в жизни, что и литература.

Чтобы получить удовольствие от отдыха, не требуется никакой помощи. Удовольствие — это просто перестать делать. Некоторый такой чистый отдых является необходимым условием здоровья. Его опасности печально известны, и к большей части необходимого отдыха природа приложила не наслаждение, а забвение сна. Творческое наслаждение — это результат успешного усилия и требует помощи для своего начала. Такое наслаждение необходимо для высокоскоростной работы и для оригинального достижения.

Ускорять производство с невыспавшимися рабочими — катастрофическая экономическая политика. Временный успех будет за счет нации, которой в течение долгих лет жизни придется содержать изношенных ремесленников — нетрудоспособных. Столь же катастрофично чередование спазмов усилий с периодами чистого отдыха. Такие периоды — время посева дегенерации, если их строго не ограничивать. Нормальным отдыхом должна быть смена деятельности, удовлетворяющая потребности инстинктов. Игры дают такую активность. Их разобщенность подчеркивает отдых, но их избыток оставляет нас пустыми.

Именно здесь литература и искусство должны играть существенную роль в здоровой организованной нации. Их услуги экономическому производству были бы лишь вторыми после услуг сна или пищи. Я сейчас говорю не о подготовке художника, а об использовании искусства как условия здоровой жизни. Это аналогично солнечному свету в физическом мире.

Когда мы однажды избавимся от мысли, что знания должны быть востребованы, нет особой трудности или расходов, связанных с помощью росту художественного наслаждения. Всех школьников можно было бы регулярно отправлять в соседние театры, где подходящие пьесы могли бы субсидироваться. Аналогично для концертов и кинофильмов. Картины более сомнительны в своей популярной привлекательности; но интересные представления сцен или идей, о которых дети читали, вероятно, понравились бы. Самих учеников следует поощрять в художественных усилиях. Прежде всего, следует культивировать искусство чтения вслух. Эссе Роджера де Коверли Аддисона — идеальные примеры читабельной прозы.

Искусство и литература имеют не просто косвенный эффект на основные энергии жизни. Напрямую они дают видение. Мир широко простирается за пределы результатов материального чувства, с тонкостями реакции и с пульсами эмоций. Видение — необходимый предшественник контроля и направления. В состязании рас, которое в своих конечных результатах будет решено в мастерских, а не на поле битвы, победа будет принадлежать тем, кто является хозяевами запасов тренированной нервной энергии, работая в условиях, благоприятных для роста. Одним из таких существенных условий является Искусство.

Если бы было время, есть другие вещи, которые я хотел бы сказать: например, выступить за включение одного иностранного языка во все образование. Из прямого наблюдения я знаю, что это возможно для детей ремесленников. Но достаточно было представлено вам, чтобы сделать ясными принципы, с которыми мы должны предпринимать национальное образование.

В заключение я возвращаюсь к мысли бенедиктинцев, которые спасли для человечества исчезающую цивилизацию древнего мира, связав воедино знание, труд и моральную энергию. Наша опасность — воспринимать практические дела как царство зла, в котором успех возможен только путем вытеснения идеальных целей. Я верю, что такая концепция — заблуждение, прямо опровергнутое практическим опытом. В образовании эта ошибка принимает форму низкого взгляда на техническую подготовку. Наши предки в темные века спасли себя, воплотив высокие идеалы в великих организациях. Наша задача — без рабского подражания смело упражнять наши творческие энергии, помня среди разочарований, что самый холодный час непосредственно предшествует рассвету.

ПРИМЕЧАНИЯ:

[1] Ср. БЕРНАРД ШОУ: «Другой остров Джона Булла».

ГЛАВА III ПОЛИТЕХНИКУМ В ВОЕННОЕ ВРЕМЯ

Address at the Prize Distribution, Borough Polytechnic Institute, Southwark, 16th February, 1917

Я начну с того, что обращу ваше внимание на некоторые удовлетворительные черты отчета директора о работе Института за прошедший год. Это был год больших трудностей. Некоторые из наших сотрудников служат в войсках, и наши классы были истощены. Но, несмотря на все, мы справились очень хорошо. Во-первых, средний результат на экзаменах был хорошим, удивительно хорошим ввиду нынешних обстоятельств. Совет управляющих придает большое значение поддержанию высокого среднего результата; это лучший единичный тест эффективности. Опять же, наши индивидуальные успехи были заметны. Мы получили — я говорю «мы», потому что мы все едины в нашем удовольствии от этих успехов — мы получили две стипендии L.C.C. по 80 фунтов стерлингов, девятнадцать выставок, в дополнение к первому месту, а также медали, призы и сертификаты. Все это очень удовлетворительно. Это говорит об эффективном преподавании, а также о тяжелой работе и регулярном посещении со стороны студентов. Мы знаем, что поддерживаем стандарт эффективности, который в прошлом был источником гордости для каждого, кто связан с этим Институтом.

Теперь вся эта хорошая работа не происходит сама по себе без чьих-либо усилий. Такая запись требует нашего квалифицированного штата учителей и организаторов. Они очень усердно работали в течение последней сессии в условиях больших трудностей, чтобы создать успешный результат, который мы здесь празднуем. Я кое-что знаю о преподавании. Это очень требовательная работа, и она может быть успешной только при постоянной преданности. Я уверен, что выражаю ваши чувства, и я знаю, что выражаю чувства управляющих, когда очень сердечно благодарю дам и господ из персонала за их услуги в течение последней сессии.

Вручение призов — всегда приятные случаи. Мы пришли сюда, чтобы подумать о наших успехах и поздравить наших студентов. Нет более удовлетворительного собрания управляющих в течение года, чем когда мы встречаемся по этому случаю, и встречаемся с нашими друзьями, и говорим им, как мы довольны успешным результатом их тяжелой работы. Сегодня вечером я вдвойне счастлив, потому что мои коллеги попросили меня быть их представителем в выражении наших добрых пожеланий победителям призов. Вы усердно работали, и вы преуспели, и я уверен, что вы все заслуживаете своих успехов; они — удовольствие не только для вас, но и в ваших домах, и для ваших товарищей и сокурсников.

Успешная работа здесь позволит вам приобрести навыки в ваших профессиях и тем самым лучше зарабатывать на жизнь. Зарабатывание на жизнь в среднем — неплохой тест на услугу, оказанную обществу. Человек, который сделал себя искусным в своей профессии и хорошо преуспел на своем жизненном пути, в целом имеет веские основания полагать, что он гражданин, который принес пользу своей стране. Это злой день для нации, когда она теряет уважение к успеху в промышленности.

Но если вы будете направлять свою жизнь по компасу, который устойчиво указывает на Северный полюс личного успеха, вы упустите свои величайшие шансы в жизни. Мягкий климат — на юге.

Я имею в виду следующее: вы должны принять решение найти лучшую часть своего счастья в добрых полезных отношениях с другими. Нашей амбицией должно быть оставить наш собственный маленький уголок мира немного опрятнее и немного счастливее, чем когда мы вошли в него. Я прекрасно осознаю, что это старая история; но старые истории иногда правдивы, и это самая большая истина во всем мире. Теплые добрые чувства — это счастливые чувства. Удачливые люди — это те, чьи умы наполнены мыслями, в которых они забывают себя и помнят других. Это неправда, что природа — просто сцена борьбы, в которой каждый соревнуется со своим соседом. Те сообщества процветают лучше и живут дольше, которые наполнены духом взаимной помощи.

Будущее страны зависит от вас. Венец вашего успеха — обещание будущей работы, часто непризнанной работы, проделанной в условиях разочарования, но проделанной устойчиво и весело. Именно от вас страна зависит в поддержании и росте тех идеалов, без которых раса увядает. Не отчаивайтесь из-за трудностей, которые кажутся непреодолимыми. Условия жизни, которые формируют нас всех, модифицируются нашей волей, нашей энергией и чистотой наших намерений.

Если мы можем судить об интенсивности чувства по длине памяти, наслаждение от получения приза кусается очень глубоко. Спустя более сорока лет, до того, как многие из ваших родителей родились, или когда их носили в длинных одеждах, я могу вспомнить, как будто это было вчера, случай, когда я получил свой первый приз в школе. Я вижу средневековую классную комнату, директора и моих товарищей. Возможно, некоторые из вас, когда пройдет поколение, вспомнят сцену сегодня вечером — этот Стэнли-гимназиум, напоминающий память мисс Мод Стэнли, которая посвятила нашему благополучию так много своей энергии и своих мыслей — прилегающий Эдрик-холл, связанный с именем мистера Эдрика Бэйли, отца Института; мистера Миллиса и мисс Смит, первого директора и первой леди-суперинтенданта, архитекторов нашего процветания; мистера Леонарда Спайсера, нашего председателя и члена семьи и фирмы, известной во всем мире и уважаемой в той мере, в какой они известны. И причина, почему сегодня вечером мы — небольшое собрание, — еще одна причина, почему это собрание никогда не может ускользнуть из вашей памяти. Мы встречаемся в момент, когда Англия находится в такой же смертельной опасности, как и в любой предыдущий момент своей истории — такая опасность, как когда испанские корабли Армады стояли в Английском канале, или когда Наполеон наблюдал за нашим побережьем через Дуврский пролив. Нынешнюю опасность можно преодолеть только тем же мужеством, которое спасло нашу свободу в те прежние времена.

Поэтому сегодня вечером, вспоминая деятельность различных секций нашего общества, которые формируют этот великий Политехнический институт, наши мысли уходят дальше. Они путешествуют по суше и по морю, пока не приведут перед нашими умами доблестную группу, которую этот Институт отправил на фронт — более 800 наших членов находятся в войсках. То, что наши сражающиеся люди сделали для нас, для мира в целом и для будущего Англии, настолько ошеломляюще, что слова не могут похвалить их достаточно. Я просто скажу вам одну вещь: когда вы читаете о великих делах, совершенных в прошлые времена, о встреченных опасностях, о приключениях, о неустрашимом мужестве, о патриотизме, о самопожертвовании, о страданиях, перенесенных ради благородного дела, каждый из вас может сказать — я тоже знал таких героев; они среди моих соотечественников, они среди моих коллег-работников, они среди моих сокурсников и товарищей, они среди дорогих обитателей моего дома. И для тех, кто пал, нам нужно воздвигнуть памятник, достаточный для передачи будущим векам памяти об их жертве. Для этой цели есть только один мемориал, который может быть достаточным, а именно: дело, ради которого они умерли. Величие Англии, будущее Англии были оставлены ими на наше хранение. Охраняйте его хорошо.

Величие страны — это не что иное, как величие жизней мужчин и женщин, которые ее составляют. Не оглядывайтесь вокруг и не думайте, кто должен быть великими англичанами — будьте великими сами — вы те люди, которые должны достичь этого, вы, кто сидит здесь сегодня вечером. Не может быть никакой замены службы для этой цели. Именно коллективная энергия всего народа потребуется, чтобы создать новую Англию, достойную страданий, которые ради нее были перенесены.

Несколько дней назад я спросил человека, который много лет работал в Египте под началом лорда Китченера, что бы он выбрал в качестве лучшего признака величия лорда Китченера. Он ответил: что бы Китченер ни брался делать, это тем самым становилось важным. Теперь это секрет всего — возьмитесь за свои возможности и сделайте их важными.

Здесь мы в этом Боро-политехникуме. Какую возможность он представляет. Этот Институт — центр для социального общения, центр для отдыха, центр для образования, центр для дискуссий. Мы не пожертвуем ни одной из наших сторон. Они все должны быть частью величия, на которое мы претендуем. Сделайте их все первоклассными.

Рассмотрите сначала социальную и рекреационную стороны. Ради всего святого, не думайте, что вы должны быть скучными, чтобы быть великими. Нет лучшего теста для нации, чем то, как она формирует свои развлечения. Три столетия назад после Армады мы сделали хороший старт в Саутуарке. У Шекспира был здесь свой театр, и он писал свои пьесы, чтобы их играли в этом боро. Он ходил по этим улицам, и если бы вы встретили его в Вестминстере, он, вполне вероятно, сказал бы вам, что идет вниз к «Слону». И даже сейчас представления, данные в «Олд Вик», — одни из лучших в Лондоне для цели видеть его пьесы правильно сыгранными. Что Саутуарк сделал для драмы, она может сделать для других искусств, используя этот Институт как инструмент для своих энергий. Почему бы нам не быть центром для художественного предприятия — я имею в виду для нашего собственного искусства и нашего собственного предприятия, продуманного нами самими и наслаждаемого нами самими и проведенного нами самими? Мы не всегда будем наслаждаться творениями друг друга, но главный момент — делать наши собственные усилия. Конечно, все усилия требуют подготовки и стимула и знания того, что делают другие.

В настоящее время — прерванная на момент войной — великая революция в искусстве живописи прогрессирует по всему миру. Ее центры — Париж, Италия, Лондон и Мюнхен, а ее происхождение — на дальнем востоке, в Китае и Японии. Есть две стороны, как в каждой революции: консерваторы и революционеры. Наши собственные фрески в соседней комнате представляют раннюю стадию движения в Лондоне. Почему бы нам не знать все об этом — получать займы картин, которые иллюстрируют его фазы и его перекрестные течения, и сравнивать их с примерами старого стиля?

Но картины — только одна фаза искусства, и не тот сорт искусства, который мы сами можем производить легче всего. Есть музыка, танцы, декламация, литература, резьба и моделирование, и различные декоративные искусства, такие как вышивка, переплетное дело, кройка и шитье и обивка. Этот список, неполный, как он есть, говорит нам две великие истины — вы не можете отделить искусство и отдых, и вы не можете отделить искусство и бизнес. Список включает пункты, которые мы считаем развлечениями, и пункты, о которых мы думаем как о бизнесе. Мы начали с танцев и закончили обивкой. Сделайте их все красивыми.

Красивые вещи имеют достоинство. Наслаждайтесь ритмом ваших танцев и восхищайтесь красотой вашей вышивки или вашего переплетного дела. В чем бы вы ни делали, имейте идеал совершенства. Любое разделение между искусством и работой — не только ошибка, но и очень плохой бизнес. Наши храбрые союзники, французы, сделали Париж центром искусства мира. Они построили и поддерживают свою большую и прибыльную торговлю декоративными продуктами Франции, главным образом по причине трех качеств, которыми они обладают. Во-первых, они наслаждаются искусством сами и почитают его. Во-вторых, у них огромная сила тяжелой работы. И в-третьих, у каждого француза, и еще больше у каждой француженки, внутри них есть огромный фонд здравого смысла. Тройной секрет — любовь к искусству, трудолюбие и здравый смысл.

Чтобы сделать доступными нашу промышленность и здравый смысл в профессиях, где они нужны, необходима строгая подготовка в школах дизайна и техники. У нас здесь есть такие департаменты. Но вся такая подготовка вас будет неудачей, если вы сами не будете наслаждаться искусством и красотой как естественным отдыхом. Техническая школа подготовки похожа на глубокий, узкий колодец, вырытый с тщательным трудом, чтобы добраться до подземной реки воды, которая течет под поверхностью наших натур. Но ваш колодец будет сухим, если яркое теплое солнце сначала не вытянуло пар из широкого океана, и свободные, ничем не скованные бризы не перенесли облака туда и сюда, пока наконец они не прорвались, как бы случайно, над далекими холмами и не пропитали землю своим ливнем.

То, что я сказал об искусстве, — притча, которая применяется к другим занятиям и другим исследованиям. Это больше, чем притча; это буквальная правда. Любовь к искусству — это любовь к совершенству, это наслаждение триумфом дизайна над бесформенными продуктами случайных сил. Инженер, который стоит своей соли, любит красоту своих машин, показанную в их регулировке частей и в их быстрых, плавных движениях. Он любит также чувство предвидения и проницательности, которое знание может дать ему. Люди говорят, что техника и торговля вытесняют красоту из современного мира. Я не верю в это. Добавляется новая красота, более интеллектуальная красота, обращающаяся к пониманию так же, как к глазу.

Чудо Лондона всегда захватывает ум свежим изумлением. Город обладает парками, дворцами и соборами. Но никакие другие его части не превосходят в чуде его дома бизнеса, его мастерские и его фабрики.

В следующие несколько лет будущее мира будет решено на столетия вперед. Битвы этой войны — только первая часть состязания между расами и между образами жизни, за которые стоят эти расы. Мы верим, что Англия, с ее различными народами и сообществами, разбросанными по островам и континентам за морями, стоит за образы жизни, бесконечно драгоценные: путь человечности, путь свободы, путь самоуправления, путь хорошего порядка, основанного на терпимости и добром чувстве, путь мирной промышленности. Окончательное решение в этой борьбе будет найдено в мастерских мира. Оно лежит в ваших руках. Государственные деятели и императоры будут только регистрировать результаты, которых вы достигли. Вашим оружием будут мастерство, энергия и знание. Вам потребуется здравое понимание ваших собственных прав и здравое понимание прав и трудностей других классов. Величие Англии будет вашим величием, а ее успех — вашим успехом.

Арсенал для войны находится в Вулвиче. Этот Политехнический институт — арсенал для мира, где вы можете найти оружие для завоевания ваших жизней.

ГЛАВА IV МАТЕМАТИЧЕСКАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА

(Presidential Address to the London Branch of the Mathematical Association, 1912)

Ситуация в отношении образования в настоящее время не может найти параллели, не возвращаясь на несколько столетий назад к распаду средневековых традиций обучения. Тогда, как и сейчас, традиционный интеллектуальный взгляд, несмотря на авторитет, который он справедливо приобрел благодаря своим заметным триумфам, стал слишком узким для интересов человечества. Результатом этого сдвига человеческого интереса было требование параллельного сдвига основы образования, чтобы приспособить учеников к идеям, которые позже в жизни фактически заняли бы их умы. Любое серьезное фундаментальное изменение в интеллектуальном взгляде человеческого общества должно неизбежно сопровождаться образовательной революцией. Оно может быть отложено на поколение из-за корыстных интересов или из-за страстной привязанности некоторых лидеров мысли к циклу идей, в пределах которого они получили свой собственный ментальный стимул в впечатлительном возрасте. Но закон неумолим, что образование, чтобы быть живым и эффективным, должно быть направлено на информирование учеников теми идеями и на создание для них тех способностей, которые позволят им оценить текущую мысль их эпохи.

Не существует такой вещи, как успешная система образования в вакууме, то есть система, которая отделена от непосредственного контакта с существующей интеллектуальной атмосферой. Образование, которое не является современным, разделяет судьбу всех органических вещей, которые хранятся слишком долго.

Но благословенное слово «современный» на самом деле не решает наших трудностей. Что мы имеем в виду, так это релевантность современной мысли, либо в переданных идеях, либо в произведенных навыках. Что-то, найденное только вчера, может на самом деле не быть современным в этом смысле. Оно может принадлежать какой-то ушедшей системе мысли, преобладавшей в предыдущую эпоху, или, что гораздо более вероятно, оно может быть слишком заумным. Когда мы требуем, чтобы образование было релевантным современной мысли, мы имеем в виду мысли, широко распространенные в культурном обществе. Именно этот вопрос непригодности заумных предметов для использования в общем образовании я хочу сделать ключевой нотой моего выступления сегодня днем.

На самом деле это довольно деликатный предмет для нас, математиков. Посторонние склонны обвинять наш предмет в том, что он заумный. Давайте сразу схватим быка за рога и откровенно признаем, что в общем мнении это самый типичный пример заумности. Под этим словом я не имею в виду трудность, а то, что вовлеченные идеи имеют высокоспециализированное применение и редко влияют на мысль.

Эта подверженность заумности — характерное зло, которое склонно разрушать полезность математики в либеральном образовании. Насколько оно цепляется за образовательное использование предмета, настолько мы должны смириться с ужасно низким уровнем математического достижения среди культурных людей в целом. Я никому не уступлю в своем стремлении увеличить образовательный охват математики. Путь к достижению этой цели — не просто слепое требование большего количества математики. Мы должны встретить реальную трудность, которая препятствует ее расширенному использованию.

Является ли этот предмет сложным? Если рассматривать его в целом, то, думаю, да. Securus judicat orbis terrarum — общее суждение человечества — верно.

Предмет в том виде, в каком он существует в умах и книгах изучающих математику, сложен. Он строится путем выведения бесчисленных частных результатов из общих идей, причем каждый результат сложнее предыдущего. В мои задачи сегодня не входит защита математики как предмета для глубокого изучения. Она вполне может постоять за себя сама. Я хочу подчеркнуть, что именно те причины, которые делают эту науку восхитительной для ее приверженцев, являются причинами, препятствующими ее использованию в качестве образовательного инструмента, а именно: безграничное богатство дедукций из взаимодействия общих теорем, их сложность, их кажущаяся отдаленность от идей, с которых начиналось рассуждение, разнообразие методов и их чисто абстрактный характер, приносящий в дар вечную истину.

Конечно, все эти характеристики имеют бесценное значение для студентов; веками они очаровывали самые острые умы. Мое единственное замечание состоит в том, что для всех, кроме весьма избранного круга, они губительны в образовании. Ученики сбиты с толку множеством деталей, не имеющих очевидного отношения ни к великим идеям, ни к обычным мыслям. Расширение подобного обучения в сторону накопления большего количества деталей — последнее, чего можно желать в интересах образования.

Мы приходим к выводу, что математика, если она должна использоваться в общем образовании, должна быть подвергнута строгому процессу отбора и адаптации. Я не имею в виду то, что, конечно, очевидно: сколько бы времени мы ни уделяли предмету, средний ученик не продвинется далеко. Но я имею в виду, что, как бы ни был ограничен прогресс, определенные характеристики предмета, естественные на любой стадии, должны быть строго исключены. Наука в том виде, в каком она преподносится юным ученикам, должна утратить свою сложность. Она должна, на первый взгляд, иметь дело непосредственно и просто с несколькими общими идеями, имеющими далеко идущее значение.

Теперь, в вопросе реформирования математического образования, нынешнее поколение учителей может по праву гордиться своими достижениями. Оно проявило огромную энергию в реформах и сделало больше, чем можно было бы ожидать за столь короткое время. Не всегда осознается, насколько трудна задача изменения устоявшейся учебной программы, защищенной государственными экзаменами.

Но, несмотря на все это, был достигнут большой прогресс, и, выражаясь мягко, старая мертвая традиция была разрушена. Я хочу сегодня указать на руководящую идею, которая должна направлять наши усилия по реконструкции. Я уже подытожил ее в одной фразе: мы должны стремиться к устранению сложности из образовательного использования этого предмета.

Наши учебные курсы должны быть спланированы так, чтобы просто иллюстрировать последовательность идей очевидной важности. Все красивые отступления должны быть строго исключены. Цель, к которой нужно стремиться, состоит в том, чтобы ученик приобрел знакомство с абстрактным мышлением, осознал, как оно применяется к конкретным обстоятельствам, и знал, как применять общие методы к его логическому исследованию. При таком образовательном идеале нет ничего хуже бесцельного накопления теорем в наших учебниках, которые занимают свое место лишь потому, что детей можно заставить их выучить, а экзаменаторы могут составить по ним аккуратные вопросы. Изучаемый материал должен быть очень важным как иллюстрация идей. Примеры — и пусть их будет столько, сколько учителя сочтут нужным — должны быть прямыми иллюстрациями теорем, либо в виде абстрактных частных случаев, либо в виде применения к конкретным явлениям. Здесь стоит заметить, что совершенно бесполезно упрощать учебный материал, если примеры на экзаменах фактически требуют обширных знаний сложных деталей. Существует ошибочное мнение, что задачи проверяют способности и гениальность, а учебный материал — зубрежку. Это не соответствует моему опыту. Только мальчики, специально натасканные для получения стипендий, могут успешно справиться с работой по решению задач. Учебный материал, правильно подобранный, а не просто вырванный из контекста согласно обычному плохому плану, является гораздо лучшим тестом способностей, при условии, что он дополнен прямыми примерами. Но это отступление о пагубном влиянии экзаменов на преподавание.

Основные идеи, лежащие в основе математики, вовсе не сложны. Они абстрактны. Но одна из главных целей включения математики в гуманитарное образование — приучить учеников оперировать абстрактными идеями. Наука составляет первую большую группу абстрактных идей, которые естественным образом приходят на ум в любой точной форме. Для целей образования математика состоит из отношений числа, отношений количества и отношений пространства. Это не общее определение математики, которая, на мой взгляд, является гораздо более общей наукой. Но мы сейчас обсуждаем использование математики в образовании. Эти три группы отношений, касающиеся числа, количества и пространства, взаимосвязаны.

Теперь в образовании мы переходим от частного к общему. Соответственно, детей следует учить использованию этих идей на практике среди простых примеров. Моя мысль такова: целью должно быть не бесцельное накопление специальных математических теорем, а окончательное осознание того, что предыдущие годы работы иллюстрировали те отношения числа, количества и пространства, которые имеют фундаментальное значение. Такая подготовка должна лежать в основе всякого философского мышления. Фактически, элементарная математика, правильно понятая, дала бы именно ту философскую дисциплину, на которую способен обычный ум. Но чего мы должны избегать любой ценой, так это бессмысленного накопления деталей. Сколько угодно примеров; пусть дети работают над ними семестрами или годами. Но эти примеры должны быть прямыми иллюстрациями основных идей. Только так и никак иначе можно избежать фатальной сложности.

Я сейчас говорю не в частности о тех, кто собирается стать профессиональными математиками, или о тех, кому по профессиональным причинам требуются знания определенных математических деталей. Мы рассматриваем гуманитарное образование всех студентов, включая эти две категории. Это общее использование математики должно быть простым изучением нескольких общих истин, хорошо проиллюстрированных практическими примерами. Это изучение должно рассматриваться само по себе и быть полностью отделенным по замыслу от профессионального обучения, упомянутого выше, для которого оно послужило бы отличной подготовкой. Его завершающей стадией должно быть признание общих истин, которые проиллюстрировала проделанная работа. Насколько я могу судить, в настоящее время завершающей стадией является доказательство некоторого свойства окружностей, связанных с треугольниками. Такие свойства чрезвычайно интересны математикам. Но не являются ли они довольно сложными, и каково точное отношение таких теорем к идеалу гуманитарного образования? Цель всех грамматических занятий студента-классика — читать Вергилия и Горация, величайшие мысли величайших людей. Довольны ли мы, выступая за адекватное представление нашей собственной науки в образовании, тем, что целью математической подготовки является знание студентом свойств окружности девяти точек? Спрашиваю вас откровенно, не является ли это скорее «шагом назад»?

Это поколение учителей математики проделало такую напряженную работу по реорганизации математического образования, что нет нужды отчаиваться в его способности разработать учебную программу, которая оставит в умах учеников нечто более благородное, чем «неопределенный случай».

Давайте подумаем, как этот итоговый обзор, завершающий элементарный курс, может быть проведен для более способных учеников. Отчасти, несомненно, он требует общего обзора всей проделанной работы, рассматриваемой без излишних деталей, чтобы подчеркнуть использованные общие идеи и их потенциальную важность при дальнейшем изучении. Также аналитические и геометрические идеи находят непосредственное применение в физической лаборатории, где должен быть пройден курс простой экспериментальной механики. Здесь точка зрения двойственна: физические идеи и математические идеи иллюстрируют друг друга.

Математические идеи необходимы для точной формулировки механических законов. Идея точного закона природы, степень, в которой такие законы фактически подтверждаются нашим опытом, и роль абстрактного мышления в их формулировке становятся тогда практически очевидными для ученика. Вся тема, конечно, требует детальной разработки с полными конкретными иллюстрациями и не предлагается как требующая лишь нескольких сухих абстрактных утверждений.

Однако было бы серьезной ошибкой придавать слишком большое значение самому процессу прямого объяснения предыдущей работы в качестве итогового обзора. Моя мысль заключается в том, что завершающая часть курса должна быть выбрана так, чтобы фактически были выдвинуты на первый план общие идеи, лежащие в основе всей предыдущей математической работы. Это вполне может быть сделано путем кажущегося перехода к новому предмету. Например, идеи количества и идеи числа являются фундаментальными для всякого точного мышления. На предыдущих этапах они не были четко разделены; и детей, вполне справедливо, подталкивают к алгебре без лишних хлопот с количеством. Но более способные из них в конце своей учебной программы получили бы огромную пользу от тщательного рассмотрения тех фундаментальных свойств количества в целом, которые ведут к введению численного измерения. Это тема, которая также имеет то преимущество, что необходимые книги уже под рукой. Пятая книга Евклида считается квалифицированными судьями одним из триумфов греческой математики. Она касается именно этого вопроса. Ничто не может быть более характерным для безнадежно негуманитарного характера традиционного математического образования, чем тот факт, что эта книга всегда опускалась. Она имеет дело с идеями, а потому была предана остракизму. Конечно, требуется тщательный отбор наиболее важных предложений и тщательный пересмотр аргументации. Это также есть в публикациях моего непосредственного предшественника на посту президента, профессора Хилла. Более того, в полном издании Евклида сэра Т. Л. Хита есть полный комментарий, воплощающий большую часть того, что было сказано и подумано по этому поводу. Таким образом, учителям совершенно легко получить общую информацию по этой теме. Вся книга не понадобилась бы, а только те несколько предложений, которые воплощают фундаментальные идеи. Предмет не подходит для отстающих учеников; но, безусловно, его можно было бы сделать интересным для более продвинутого класса. Было бы много возможностей для интересной дискуссии о природе количества и тестах, которые мы должны применять, чтобы установить, когда мы имеем дело с величинами. Работа не была бы оторвана от жизни, а иллюстрировалась бы на каждом этапе ссылками на реальные примеры случаев, где количественный характер отсутствует, или неясен, или сомнителен, или очевиден. Можно было бы рассмотреть температуру, теплоту, электричество, удовольствие и боль, массу и расстояние.

Другая идея, требующая иллюстрации, — это идея функциональности. Функция в анализе является аналогом закона в физической вселенной и кривой в геометрии. Дети изучали отношения функций к кривым с самого начала изучения алгебры, а именно при построении графиков. В последние годы произошла большая реформа в отношении графиков. Но на нынешнем этапе она либо зашла слишком далеко, либо недостаточно далеко. Недостаточно просто нарисовать график. Идея, стоящая за графиком — подобно человеку за ружьем, — необходима для того, чтобы сделать его эффективным. В настоящее время существует некоторая тенденция просто заставлять детей рисовать кривые и на этом оставлять весь вопрос.

Изучая простые алгебраические функции и тригонометрические функции, мы начинаем изучение точного выражения физических законов. Кривые — это еще один способ представления этих законов. Простые фундаментальные законы — такие как закон обратных квадратов и закон прямой зависимости от расстояния — должны быть рассмотрены, а применения простых функций для выражения важных конкретных случаев физических законов — изучены. Я не могу не думать, что итоговый обзор этой темы вполне мог бы принять форму изучения некоторых основных идей дифференциального исчисления, примененных к простым кривым. Нет ничего особенно сложного в концепции скорости изменения; и дифференцирование нескольких степеней x, таких как x2, x3 и т. д., могло бы быть легко осуществлено; возможно, с помощью геометрии можно было бы дифференцировать даже sin x и cos x. Если мы однажды откажемся от нашей пагубной привычки пичкать детей теоремами, которые они не понимают и никогда не будут использовать, у нас будет достаточно времени, чтобы сосредоточить их внимание на действительно важных темах. Мы можем дать им знакомство с концепциями, которые действительно влияют на мышление.

Прежде чем оставить эту тему физических законов и математических функций, следует отметить другие моменты. Тот факт, что точный закон никогда не подтверждается наблюдением с полной точностью, поддается легкому иллюстрированию и предоставлению отличных примеров. Опять же, статистические законы, а именно законы, которые удовлетворяются только в среднем большими числами, могут быть легко изучены и проиллюстрированы. Фактически, небольшое изучение статистических методов и их применения к социальным явлениям дает один из простейших примеров применения алгебраических идей.

Другой способ, которым идеи студентов могут быть обобщены, — это использование истории математики, задуманной не как простое собрание дат и имен людей, а как изложение общего потока мысли, который сделал эти предметы объектами интереса во время их первой разработки. Использование истории математики будет рассмотрено на более позднем этапе наших сегодняшних заседаний. Соответственно, я лишь обращаю на это внимание сейчас, чтобы указать, что, возможно, это именно тот предмет, который лучше всего может достичь результатов, за которые я ратую.

Мы указали две основные темы, а именно общие идеи количества и законов природы, которые должны быть объектом изучения в математической учебной программе гуманитарного образования. Но есть и другая сторона математики, которую нельзя упускать из виду. Это главный инструмент дисциплины в логическом методе.

Итак, что такое логический метод и как можно кого-либо обучить ему?

Логический метод — это нечто большее, чем просто знание правильных типов рассуждений и практика в концентрации ума, необходимой для следования им. Если бы это было только так, это все равно было бы очень важно; ибо человеческий разум развивался в прошлые века не ради рассуждений, а лишь для того, чтобы позволить человечеству с большим искусством охотиться между приемами пищи за новыми запасами еды. Соответственно, немногие люди могут следовать близкому рассуждению без значительной практики.

Требуется нечто большее, чтобы стать хорошим логиком или даже просветить обычных людей знанием того, что составляет сущность этого искусства. Искусство рассуждения состоит в том, чтобы взяться за предмет с правильного конца, ухватиться за те немногие общие идеи, которые освещают все, и настойчиво выстраивать вокруг них все вспомогательные факты. Никто не может быть хорошим логиком, если постоянной практикой он не осознал важность того, чтобы ухватиться за большие идеи и держаться за них, как за спасательный круг. Для такого рода подготовки геометрия, я думаю, лучше, чем алгебра. Область мысли алгебры довольно неясна, тогда как пространство — это очевидная, настойчивая вещь, понятная всем. Затем процесс упрощения, или абстракции, посредством которого все нерелевантные свойства материи, такие как цвет, вкус и вес, отбрасываются, — это образование само по себе. Опять же, определения и предложения, принимаемые без доказательств, иллюстрируют необходимость формирования ясных представлений о фундаментальных фактах предмета и отношениях между ними. Все это относится к простым пролегоменам предмета. Когда мы переходим к его развитию, его превосходство возрастает. Ученик изначально не сталкивается с какой-либо символикой, которая утомляет память своими правилами, какими бы простыми они ни были. Также с самого начала рассуждение, если оно проводится правильно, доминируется четко выраженными идеями, которые направляют каждый этап развития. Соответственно, сущность логического метода получает немедленное подтверждение.