«Философия мистера Б*ртр*нда Р*сс*лла»

Логическая импликация часто является врагом достоинства и красноречия. Де Морган [54] рассказывает «предание о кембриджском профессоре, которого однажды спросили в математической дискуссии: «Полагаю, вы признаете, что целое больше своей части?», и который ответил: «Не я, пока не увижу, какое применение вы собираетесь из этого сделать»». И осторожность, проявляемая такими осмотрительными математиками, как Пуанкаре, Шёнфлис, Борель, Хобсон и Бэр, воздерживающимися от доведения своих аргументов до их логических заключений, вероятно, основана на бессознательном — но не менее обоснованном — страхе показаться смешными, если они будут иметь дело с такими крайними случаями, как «ряд всех порядковых чисел» [55]. Они, вероятно, так же не осознают импликацию, как Гиббон, когда заметил, что всегда носил экземпляр Горация в кармане, и часто в руке, не осознавал необходимой импликации этих пропозиций, что его рука иногда была в кармане.

[51] Md., N. S., том iii., 1894 г., стр. 436-8. Ср. дискуссии У. Э. Джонсона (ibid., стр. 583) и Рассела (P. M., стр. 18, примечание, и Md., N. S., том xiv., 1905 г., стр. 400-1).

[52] Жители «Эревона» наказывали больных более сурово, чем преступников. В наше время часто слышишь утверждение, что преступление — это болезнь; и если так, то, безусловно, ложно, что преступники должны быть наказаны.

[53] Иррелевантной в популярном смысле; нельзя было бы сказать, выражаясь нестрого, что факт убийства Брутом Цезаря имплицирует, что море соленое; и все же это заключение имплицируется как вышеприведенной посылкой, так и посылкой о том, что Цезарь убил Брута. Ср. по таким вопросам Venn, S. L., 2-е изд., стр. 240-4.

[54] F. L., стр. 264.

[55] Ср. Главы XXIX и XXXVII.

ГЛАВА XX

ДОСТОИНСТВО

Мы видели в конце предыдущей главы, что логическая импликация часто является врагом достоинства. Тема достоинства обычно не рассматривается в трактатах по логике, но, как мы отмечали, многие математики неявно или явно, по-видимому, опасаются либо того, что достоинство математики будет подорвано, если она будет логически следовать выводам, либо того, что только акт веры может спасти нас от убеждения, что, если бы мы логически следовали выводам, мы обнаружили бы что-то тревожное о прошлом, настоящем или будущем математики.

Таким образом, представляется необходимым исследовать несколько ближе природу достоинства с целью обнаружения того, является ли оно, как принято считать, достоинством в жизни и логике.

Главное использование достоинства — вуалировать невежество. Так, хорошо известно, что самые достойные люди, как правило, — школьные учителя, а школьные учителя обычно настолько заняты преподаванием, что у них нет времени чему-либо научиться. И поскольку достоинство используется для сокрытия невежества, ясно, что наглость не всегда является противоположностью достоинства, но что достоинство иногда и есть наглость. Говорят, что достоинство внушает уважение; и это может быть отчасти причиной того, почему уважение к другим — это ошибка суждения, а самоуважение — смехотворно.

Самоуважение — это, конечно, самооценка. Уильям Джеймс заметил, что самооценка зависит не просто от нашего успеха, а от отношения нашего успеха к нашим притязаниям, и поэтому может быть увеличена путем уменьшения наших притязаний. Таким образом, если человек успешен, но только тогда, он может быть одновременно амбициозным и достойным. Джеймс также подразумевает, что счастье возрастает с самооценкой. Сходство мыслей с друзьями, следовательно, не делает человека счастливым, ибо иначе человек, который мало ценил себя, был бы действительно счастлив. Также, если человек несчастен, он не мог бы, исходя из наших посылок, по принципам силлогизма и контрапозиции, быть достойным — вывод, который должен быть фатальным для героев многих романов.

Размышление о пессимизме, к которому приводит эта дискуссия, заключается в следующем: по-видимому, самооценка человека возрастала бы от убеждения в недостойности его соседей. Человек, следовательно, который думает, что мир и все его обитатели, кроме него самого, очень плохи, должен быть чрезвычайно счастлив. Фактически, последствия едва ли отличались бы от последствий оптимизма. А оптимизм, как всем известно, — это состояние ума, вызванное глупостью.

ГЛАВА XXI

СИНТЕТИЧЕСКАЯ ПРИРОДА ДЕДУКЦИИ

Часто высказывалось сомнение относительно того, может ли силлогизм каким-либо образом добавить к нашим знаниям. Джон Стюарт Милль и Анри Пуанкаре, в частности, придерживались мнения, что заключение силлогизма является «аналитическим» суждением в смысле Канта и поэтому может быть получено простым расчленением посылок. Любой, следовательно, кто утверждает, что математика основана исключительно на логических принципах, по-видимому, утверждает, что математика в конечном счете сводится к огромной тавтологии.

Милль в главе III книги II своей «Системы логики» сказал, что «необходимо признать, что в каждом силлогизме, рассматриваемом как аргумент для доказательства заключения, есть petitio principii. Когда мы говорим

All men are mortal,

Socrates is a man, therefore Socrates is mortal,

это неопровержимо утверждается противниками силлогистической теории, что пропозиция «Сократ смертен» предполагается в более общем допущении «Все люди смертны»; что мы не можем быть уверены в смертности всех людей, если мы уже не уверены в смертности каждого отдельного человека; что если все еще сомнительно, смертен ли Сократ или любой другой индивид, которого мы выберем назвать, то та же степень неопределенности должна висеть над утверждением «Все люди смертны»; что общий принцип, вместо того чтобы быть данным как доказательство частного случая, сам по себе не может быть принят за истинный без исключения, пока каждая тень сомнения, которая могла бы повлиять на любой случай, включенный в него, не будет развеяна доказательствами aliunde; и тогда что остается доказывать силлогизму? Что, короче говоря, никакое рассуждение от общего к частному не может как таковое доказать что-либо, поскольку из общего принципа мы не можем вывести никаких частностей, кроме тех, которые сам принцип предполагает известными. Эта доктрина кажется мне неопровержимой....

Но нетрудно увидеть, что по крайней мере в определенных случаях дедукция дает нам новое знание [56]. Если мы уже знаем, что дважды два всегда четыре, и что Асквит и Ллойд Джордж — двое, и так же германский император и кронпринц, мы можем дедуцировать, что Асквит, Ллойд Джордж, германский император и кронпринц — четверо. Это новое знание, не содержащееся в наших посылках, потому что общая пропозиция «дважды два — четыре» никогда не говорила нам, что существуют такие люди, как Асквит, Ллойд Джордж, германский император и кронпринц, а частные посылки не говорили нам, что их четверо, тогда как дедуцированная частная пропозиция говорит нам обе эти вещи. Но новизна знания гораздо менее определенна, если мы возьмем стандартный пример дедукции, который всегда приводится в книгах по логике, а именно: «Все люди смертны; Сократ — человек, следовательно, Сократ смертен». В этом случае то, что мы действительно знаем вне разумного сомнения, — это то, что некоторые люди, A, B, C, были смертны, поскольку, фактически, они умерли. Если Сократ — один из этих людей, глупо идти окольным путем через «все люди смертны», чтобы прийти к заключению, что, вероятно, Сократ смертен. Если Сократ не один из тех людей, на которых основана наша индукция, нам все равно будет лучше рассуждать прямо от наших A, B, C к Сократу, чем идти в обход через общую пропозицию «все люди смертны». Ибо вероятность того, что Сократ смертен, больше, исходя из наших данных, чем вероятность того, что все люди смертны. Это очевидно, потому что если все люди смертны, то и Сократ смертен; но если Сократ смертен, из этого не следует, что все люди смертны. Следовательно, мы придем к заключению, что Сократ смертен, с большим приближением к уверенности, если сделаем наш аргумент чисто индуктивным, чем если пойдем через «все люди смертны», а затем используем дедукцию.

Много лет назад появился, главным образом благодаря инициативе д-ра Ф. К. С. Шиллера из Оксфорда, комический номер журнала Mind. Идея была необычайно хороша, чего нельзя сказать об исполнении. Немецкий друг д-ра Шиллера был озадачен появлением рекламных объявлений, которые были сомнительно юмористическими. Однако с помощью силлогистического процесса он получил информацию, которая была для него новой и полезной, и тем самым попутно опроверг Милля. По-видимому, он начал с названия журнала (Mind!), ибо восклицательный знак, кажется, почти всегда в немецком языке является признаком намеченной шутки (включая, конечно, знак после вежливости, выраженной в первом предложении частного письма или публичного обращения). Был бы, таким образом, следующий силлогизм:

This is a book of would-be jokes (i.e. everything in this book is a would-be joke); This advertisement is in this book; Therefore, this advertisement is a would-be joke.

Таким образом, силлогизм может быть почти таким же мощным агентом в обнаружении юмора, как критерий М. Бергсона, который будет описан в будущей главе [57].

[56] [Следующий отрывок почти слово в слово совпадает с отрывком на стр. 123-5 «Проблем философии» г-на Рассела, впервые опубликованных в 1912 году, через год после смерти г-на Р*сс*лла. Легко поспешно заключить, что г-н Рассел был обязан г-ну Р*сс*ллу в большей степени, чем принято считать. Но изучение внутренних доказательств приводит нас к другому выводу. Два текста, как выяснится, различаются только именами германского императора, кронпринца и других персонажей, замененными в книге 1912 года именами г-д Брауна, Джонса, Смита и Робинсона. Теперь, г-н Рассел в новом издании своих «Проблем», выпущенном ближе к началу европейской войны и до русской революции, заменил «императора Китая» из первого издания на «императора России». Следовательно, кажется вполне вероятным, что г-н Рассел, который всегда проявлял тенденцию заменять существующее на несуществующее, написал заметки г-на Р*сс*лла. — Ред.]

[57] [См. Главу XLII. — Ред.]

ГЛАВА XXII

СМЕРТНОСТЬ СОКРАТА

Смертность Сократа так часто утверждается в книгах по логике, что, возможно, стоит кратко рассмотреть, что это означает. Фраза «Сократ смертен» может быть определена так: «Существует по крайней мере один момент t такой, что t не имеет к Сократу отношения один-ко-многим R, которое является обратным отношению «существует в», и все моменты, следующие за t, не имеют отношения R к Сократу, и существует по крайней мере один момент t´ такой, что ни t´, ни любой момент, предшествующий t´, не имеет отношения R к Сократу».

Это определение имеет много достоинств. Во-первых, не делается никакого предположения о том, что Сократ вообще когда-либо жил. Во-вторых, не делается никакого предположения о том, что моменты времени образуют непрерывный ряд. В-третьих, не делается никакого предположения о том, имел ли Сократ первый или последний момент своего существования. Если время действительно является непрерывным рядом, то мы можем легко дедуцировать [58], что должен был быть либо первый момент его небытия, либо последний момент его существования, но не оба; точно так же, как, по-видимому, существует либо наибольший вес, который человек может поднять, либо наименьший вес, который он не может поднять, но не оба [59]. Это может быть изложено следующим образом: в настоящее время мы не будем заниматься доказательствами за или против человеческого бессмертия; я просто попытаюсь представить некоторые логические вопросы, которые постоянно возникают, когда мы думаем о вечной жизни. Одно из величайших достоинств современной логики заключается в том, что она позволила нам придать точность таким проблемам, определенно отказавшись от любых претензий на их решение; и теперь я применю логико-аналитический метод к одной из проблем нашего знания о вечном мире [60].

Мы начнем с общепринятой пропозиции, что все люди смертны. Ясно, что если бы мы могли знать каждого отдельного человека и знать, что он смертен, это не позволило бы нам знать, что все люди смертны, если бы мы не знали, кроме того, что это все люди, которые есть. Но нам не нужно здесь предполагать какое-либо такое знание общих пропозиций; и, хотя большинство из нас признает, что рассматриваемая пропозиция обладает большой внутренней правдоподобностью, для нашей нынешней цели не является строго необходимым предполагать что-либо большее, чем еще более вероятную пропозицию «Сократ смертен». Эта последняя пропозиция, совершенно помимо того факта, что у нас есть большое количество исторических доказательств ее истинности, повторялась так часто в книгах по логике, что приобрела респектабельный вид банальности, сохраняя при этом характер чрезвычайно вероятной истины. Истина также проистекает из того факта, что она используется как заключение силлогизма. Ибо хорошо известный факт, что силлогизмы могут рассматриваться как часть здравого образования только в том случае, если заключения очевидно истинны. Использование силлогизма вида «Все кошки — утки, и все утки — мыши, следовательно, все кошки — мыши» вызвало бы серьезные сомнения в Оксфордском университете относительно того, можно ли логику дольше считать ценной умственной тренировкой для того, что забавно называют «учеными профессиями».

Если, следовательно, мы разделим все моменты времени, будь то прошлое, настоящее или будущее, на два ряда — те моменты, в которые Сократ был жив, и те моменты, в которые он не был жив, — и оставим без рассмотрения, ради большей простоты, все те моменты, прежде чем он жил, мы сразу увидим, путем простого применения аксиомы Дедекинда, что, если Сократ вступил в вечную жизнь после своей смерти, должен был быть либо последний момент его земной жизни, либо первый момент его вечной жизни, но не оба.

Логика сама по себе не может дать нам никакой информации о том, какой из этих случаев действительно имел место, и мы вынуждены вернуться к обсуждению эмпирических доказательств. Не редкость читать о людях, которые думали, «что каждый момент будет их последним». В этом случае совершенно очевидно, что они, следовательно, думали, что вечность не будет иметь начала.

Теперь здесь мы должны рассмотреть две вещи: (1) Явно небезопасно заключать из того, что люди думают, произойдет, к тому, что произойдет; (2) даже если бы мы могли так заключать, было бы небезопасно дедуцировать, что был последний момент в жизни Сократа: мы могли бы только сделать догадку правдоподобной, так как мы использовали бы индуктивный метод.

Есть два других доказательства того, что существует последний момент любого земного существования, которые мы можем теперь кратко рассмотреть. Что это так, придерживался Карло Микельштедтер; но поскольку он, по-видимому, верил в это только потому, что хотел, приписывая этому моменту предполагаемую этическую ценность, дать поддержку своей теории самоубийства, мы не должны придавать большое значение этому доказательству. Во-вторых, Томас Гоббс возражал против принципа «что величина может уменьшаться и уменьшаться вечно, так чтобы в конце концов быть равной другой величине; или, что то же самое, что существует последнее в вечности» как «лишенного смысла». Теперь, подразумеваемый принцип истинен, так что, хотя другая пропозиция, упомянутая Гоббсом, логически не следует из первой, есть некоторое доказательство того, что эта другая истинна. Фактически, то, что Гоббс думал, что такая-то пропозиция следует из другой пропозиции, которую он ошибочно считал ложной, является гораздо лучшим доказательством истинности такой-то пропозиции, чем любое, которое у нас есть для истинности большинства наших самых заветных убеждений.

В-третьих, Лейбниц в диалоге [61], написанном во время его путешествия 1676 года к Спинозе, поднял вопрос о том, может ли момент, в который человек умирает, рассматриваться как последний момент, в который он жив, и первый, в который он мертв, как это должно быть согласно теории непрерывности Аристотеля. Согласие с этим взглядом нарушает закон противоречия; отрицание его имплицирует, что два момента могут быть непосредственно смежными. Путем отрицания, следовательно, мы приходимся к рассмотрению пространства и времени как состоящих из неделимых точек и моментов, и таким образом, поскольку мы можем провести одну и только одну параллель из любой точки диагонали квадрата к данной стороне, диагональ будет содержать то же (бесконечное) число точек, что и эта сторона, и поэтому будет равна ей. В этом Лейбниц повторил аргумент, использованный древними арабами, Роджером Бэконом и Уильямом Оккамом. Это Лейбниц считал доказательством того, что линия не может быть совокупностью точек. Действительно, их число было бы «числом всех чисел» наибольшего возможного целого числа, которое не есть.

Далее, не кажется, что какой-либо свет проливается на логический вопрос о человеческой смертности или бессмертии юридическими решениями. По-видимому, можно, юридически говоря, быть живым в течение любого периода менее двадцати четырех часов после того, как вы мертвы, и быть мертвым в течение любого периода менее двадцати четырех часов до вашей смерти. По крайней мере, согласно Salkeld, i. 44, было «присуждено, что если кто-то родился первого февраля в одиннадцать часов ночи, и в последний день января на двадцать первом году своей жизни, в час ночи, он составляет свое завещание на земли и умирает, это хорошее завещание, ибо он был тогда совершеннолетним». В деле сэра Роберта Говарда (ibid., ii. 625) главный судья Холт постановил, что «если A родился третьего сентября; и второго сентября двадцать один год спустя он составляет свое завещание, это хорошее завещание; ибо закон не делает никакой дроби дня, и, как следствие, он был совершеннолетним». Но вряд ли нужно замечать, что таким образом проблема, с которой мы имеем дело, просто смещается, а не решается. Ибо вопрос о том, существует или не существует последний момент жизни человека, не решается решением о том, что он умирает юридически за двадцать четыре часа до или после того, как он умирает в обычном смысле слова, и возникает проблема о том, существует или не существует последний момент его юридического совершеннолетия [62].

Так, предполагая, что был последний момент земной жизни Сократа, и, следовательно, не было первого момента его вечной жизни, мы видим далее, что, если не допускается возможность бесконечных чисел, для нас было бы вполне возможно логически сомневаться в возможности вечной жизни для Сократа на тех же основаниях, которые привели Зенона к утверждению, что движение невозможно и что Ахиллес никогда не сможет обогнать Черепаху. Если, с другой стороны, признать, что вечность, по крайней мере в случае Сократа, имела начало, эти же аргументы Зенона привели бы любого, кто отрицает возможность бесконечного числа, к заключению, что Сократ, подобно червю, никогда не может умереть. Таким образом, совершенно ясно, что трудности относительно бессмертия, которые встречают нас в самом начале нашего исследования, могут быть частично решены только с помощью теории бесконечных чисел и частично, по-видимому, никак.

Существует другая трудность относительно бессмертия, которая совершенно отлична от этой и аналогична другому аргументу Зенона. Если, действительно, все моменты времени разделить, как раньше, на два ряда моментов, в которые Сократ был жив, и моментов, в которые он не был жив, из этого сразу следует, что ни один момент времени не остается без учета. Ни в один из этих моментов, однако, Сократ не умирает; очевидно, он не может умереть ни когда он жив, ни когда он мертв. Таким образом, казалось бы, что Сократ никогда не умирал, и что мы должны переопределить термин «смертный», чтобы он означал «человеческое существо, которое живо в некоторые моменты и мертво в некоторые». Следовательно, мы должны избегать очень заманчивого заключения, что, поскольку Сократ никогда не умирал, он, следовательно, был бессмертен.

Очень важно тщательно различать два аргумента, которые я только что изложил. Второй аргумент доказывает совершенно жестко, что Сократ и, действительно, кто угодно другой, никогда не умирает, существует или не существует последний момент его жизни на земле. Первый аргумент доказывает, что, если существует первый момент вечной жизни Сократа, его жизнь на земле никогда не заканчивается. Но мы видели, что мы не можем заключить, что эта бесконечная жизнь доказывает, что он никогда не находится или не будет находиться в состоянии вечности.

[58] По «Аксиоме Дедекинда», E. N., стр. 11.

[59] M., том xx., 1910 г., стр. 134-5.

[60] [Здесь, опять же, работа г-на Р*сс*лла, по-видимому, предвосхищает некоторые более поздние работы г-на Рассела, например, в «Нашем знании внешнего мира как области для научного метода в философии», Чикаго и Лондон, 1914 г., стр. 3-4, 55-6, et passim. — Ред.]

[61] «Pacidius Philalethi» в Louis Couturat, Opuscules et Fragments inédits de Leibniz, Paris, 1903, pp. 594-627, особенно pp. 599, 601, 608, 611. Ср. [A. E. Taylor, Hastings’ Encyclopædia of Religion and Ethics, том iv., Часть 2, Edinburgh, 1912, p. 96. — Ред.]; Robert Latta, Leibniz: The Monadology and other Philosophical Writings, Oxford, 1898, pp. 21 ff, 29 (note); Couturat, La Logique de Leibniz d’après des documents inédits, Paris, 1901, pp. 130, 132; и Russell, Ph. L., pp. 108-16, 243-9.

[62] [Можно заметить, что, согласно The Times от 20 декабря 1917 года, судья Сарджент в Канцелярском отделении также постановил, что «закон не признает дробей дня», и что лорд Блэкберн в своем решении (9 App. Cas., 371, 373) о том, что человек, родившийся тринадцатого мая 1853 года, достиг возраста двадцати одного года тринадцатого мая 1874 года, «говорил не строго». — Ред.]

ГЛАВА XXIII

ДЕНОТАЦИЯ

Концепт денотирует, когда, если он встречается в пропозиции, пропозиция не о концепте, а о термине, связанном определенным своеобразным образом с концептом. Некоторые люди часто утверждают, что человек смертен, и все же мы никогда не видим объявленным в The Times, что Человек умер в определенный день на своей вилле «Камелот» в Аппер-Тутинге [63], и мы не слышим, что Прокрастинация снова была предметом шуток г-на Плаудена в полицейском суде Мэрилебон на прошлой неделе.

То, что две фразы могут иметь разные значения и одну и ту же денотацию, было обнаружено Алисой и Фреге. Алиса [64] заметила, что дорога, которая вела к дому Траляля, была той, что вела к дому Труляля; и Фреге указал, что фразы «дом, к которому ведет дорога, ведущая к дому Траляля» и «дом, к которому ведет дорога, ведущая к дому Труляля» имеют разный Sinn, но одну и ту же Bedeutung.

[63] Ср. P. M., стр. 53-4.

[64] См. Приложение M.

ГЛАВА XXIV

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ АРТИКЛЬ

Слово «the» (определенный артикль) подразумевает существование и уникальность; ошибка — говорить «сын такого-то», если у такого-то прекрасная семья из десяти сыновей [65]. Люди, которые ссылаются на «Оксфордское движение», подразумевают, что Оксфорд двигался только один раз; и те странные люди, которые говорят, что «A — настоящий джентльмен», подразумевают как сомнительную пропозицию о том, что в мире есть только один джентльмен, так и несомненно ложную пропозицию о том, что он — этот человек. Вероятно, A — один из тех людей, которые добавляют путаницы в использование определенного артикля, говоря о своей жене как о «той самой жене».

В одном детском сборнике гимнов читаем:

Река необъятная и малая.

Мало кто стал бы отрицать, что существует не одна такая река, но, к сожалению, сомнительно, существует ли такая река вообще. Случай в точности такой же с онтологическим доказательством существования самого совершенного существа [66].

Согласно Daily Mail от 9 октября 1906 года, судья Рассел вынес решение против иска, поданного агентом против своей компании за назначение другого агента, на том основании, что он был назначен «тем самым» агентом.

Большинство людей признают, что число 2 может быть прибавлено к числу 2, чтобы дать число 4, но это ошибка. Они допускают, когда используют «the», что существует только одно число 2, и все же они воображают, что, когда они рассматривают его отдельно как первый член нашей вышеупомянутой суммы, они могут найти другое, чтобы прибавить к нему, и тем самым сформировать третий член. Истина в том, что «2 + 2 = 4» — очень вводящее в заблуждение уравнение, и то, что мы на самом деле подразумеваем под этим ошибочно сокращенным утверждением, точнее: если x и y обозначают любые вещи, которые образуют класс B, и x´ и y´ любые другие вещи, которые образуют класс (A), который, подобно классу x и y, является членом класса (который мы называем «2») тех классов, которые имеют взаимно однозначное соответствие с B (так что любой член A соответствует одному, и только одному, члену B, и наоборот), класс всех членов A и B вместе является членом того класса классов, который, аналогично, мы называем «4». В этом, ради краткости, мы ввели сокращения, которые не должны использоваться в строгом логическом утверждении.

[65] Ср. Md., N. S., том xiv., 1905 г., стр. 481, 484.

[66] Ср. ibid., стр. 491, примечание.

ГЛАВА XXV

НЕСУЩЕСТВОВАНИЕ

Когда люди говорят, что такая-то вещь «не существует», они обычно имеют в виду, что нет никакой «вещи» того рода, о котором идет речь. Венн имел в виду это, когда описывал [67] свою встречу с тем, кого он вообразил очень изобретательным торговцем: «Мне однажды предоставили несколько растений клубники, о которых продавец признался, что они не принесут много ягод. Но он заверил меня, что это не имеет значения, поскольку они компенсируют своим размером то, что теряют в количестве. (Он дал мне, фактически, гиперболическую формулу, xy = c, чтобы связать количество и величину.) Когда пришло лето, никаких плодов вообще не появилось. Я увидел, что жаловаться бесполезно, потому что человек стал бы настаивать, что размер несуществующей ягоды бесконечен, что я не мог опровергнуть. Я забыл исключить нулевые значения любой из переменных».

Следует сожалеть, что эта полезная заметка была опущена во втором издании книги Венна; можно представить, что она могла бы защитить г-на Макколла и г-на Мейнонга (которые верили, в отличие от Алисы в том, что можно назвать ее первой теорией [68], в круглые квадраты и сказочных монстров) от нечестных практик торговцев, которые были слишком щедры на обещания. Ибо смертельный удар по этому виду торговли был нанесен только в 1905 году, когда г-н Рассел опубликовал свою статью «О денотации» [69] и занял позицию Белого Короля в противовес более поздним утверждениям Алисы [70].

Опыт Венна иллюстрирует другую характеристику математической логики. Необходимо, чтобы сделать наши аргументы убедительными, уделять большое внимание устранению трудностей, которые редко возникают. Белый Рыцарь — который был подобен Булю в том, что был пионером математической логики таким образом, и все же, кажется, придерживался, как и Буль, тех философских мнений, которые основывали бы логику на психологии, — признавал необходимость принятия мер предосторожности против любого необычного появления мышей на спине лошади [71].

[67] S. L., 1881, p. 339, note.

[68] См. Приложение N.

[69] Md., N. S., том xiv., октябрь 1905 г., стр. 479-93.

[70] См. Приложение N.

[71] См. Приложение O.

ГЛАВА XXVI

ЕСТЬ

«Есть» имеет четыре совершенно различных значения в английском языке, помимо неправильного использования этого слова. Среди неправильных использований, пожалуй, наиболее важными являются те, на которые ссылается Де Морган [72]: «... Мы говорим «убийство есть смерть для преступника», где связка «есть» означает «приносит»; «два и два есть четыре», где связка означает «имеют значение» и т. д.»

Шрёдер [73] весьма удовлетворительно указал на хорошо известное различие между «есть», где подлежащее и сказуемое могут быть переставлены местами (например: «класс, членами которого являются Сим, Хам и Иафет, есть класс сыновей Ноя»), и «есть» или «суть», где они не могут быть переставлены (например: «англичане суть британцы»), но не сумел увидеть [74] более важное различие (проведенное Пеано) «есть» в смысле «является членом». Если англичане суть британцы, а британцы суть цивилизованные люди, то из этого следует, что англичане суть цивилизованные люди; однако, хотя «Британская энциклопедия» (Harmsworth Encyclopædia) является членом класса «Книга» (состоящего из одного или нескольких томов), и этот класс является членом класса А, единственным членом которого он является, всё же «Британская энциклопедия» не является членом А, ибо неверно, что она представляет собой весь класс книг; и подобное утверждение даже не было бы сделано, разве что, возможно, в форме рекламного объявления.

Четвертое значение «есть» — «существует»; в некоторые редкие моменты приходится сожалеть о том, что существуют трудности при использовании одного слова для обозначения четырех разных вещей. Ибо, если бы их не было, мы могли бы доказать существование чего угодно, сделав это предметом суждения, и тем самым заслужить благодарность теологов.

[72] F. L., стр. 268.

[73] A. d. L., т. i, стр. 127 и сл.

[74] Там же, т. ii, стр. 461, 597.

ГЛАВА XXVII

И, И, ИЛИ

Когда, вслед за Булем, альтернативы (A, B) рассматриваются как взаимно исключающие, логическое сложение можно описать как процесс взятия A и B или A или B. Это большое и редкое удобство — иметь два термина для обозначения одной и той же вещи: обычно люди обозначают одним и тем же термином несколько вещей, и только немногие немцы имеют привилегию называть, скажем, непрерывность (continuity) как Stetigkeit или Kontinuierlichkeit. Но Джевонс [75] цитировал Мильтона, Шекспира и Дарвина, чтобы доказать, что альтернативы не являются исключающими, и таким образом пришел к признанным взглядам с помощью аргументов, которые были явно неуместны.

Конечно, «и» часто используется как знак логического сложения: так, можно говорить о своих братьях и сестрах, не подразумевая при этом пустой класс (как должно было бы быть), или молиться за своих «родственников и друзей», не будучи уверенным, что молитва будет услышана — как это, безусловно, произошло бы, если бы вы намеревались молиться за пустой класс, поскольку именно он является указанным классом. А слово вроде «в то время как» часто используется для логического сложения, когда исключительность альтернатив почти подразумевается. Так, рецензент в журнале Mind [76], заметив перевод «Популярных научных лекций» Маха на американский английский, сказал о лекциях следующее: «Большинство из них будут знакомы... эпистемологам и экспериментальным психологам: в то время как остальные, которые касаются физических вопросов, вполне стоят того, чтобы их прочитать». У читателя складывается впечатление, вероятно, непреднамеренно, что эпистемологические и психологические лекции профессора Маха, по мнению рецензента, читать не стоит.

[75] Pure Logic..., Лондон, 1864, стр. 76-9. Ср. Венн, S. L., 2-е изд., стр. 40-8.

[76] N. S., т. iv, стр. 261.

ГЛАВА XXVIII

КОНВЕРСИЯ ОТНОШЕНИЙ

«Конверсия отношений» означает вовсе не то, что можно было бы предположить; она не имеет ничего общего с тем, что Кант называл «здоровым искусством убеждения». Что нас здесь интересует, так это обратимость логического отношения. Если A имеет определенное отношение R к B, то отношение B к A, которое можно обозначить как Ř, называется конверсией (обратным) R. Как заметил Де Морган [77], эта конверсия иногда может представлять трудности. Ниже приводится пример Де Моргана:

«Учитель: „Ну, мальчики, Сим, Хам и Иафет были сыновьями Ноя; кто был отцом Сима, Хама и Иафета?“ Ответа нет.

Учитель: „Мальчики, вы знаете мистера Смита, плотника напротив; есть ли у него сыновья?“

Мальчики: „О! Да, сэр! Есть Билл и Бен“.

Учитель: „А кто отец Билла и Бена Смитов?“

Мальчики: „Ну, конечно, мистер Смит“.

Учитель: „Ну, тогда еще раз: Сим, Хам и Иафет были сыновьями Ноя; кто был отцом Сима, Хама и Иафета?“

«Долгая пауза; наконец, один мальчик, возмущенный тем, что он счел попыткой обмана, закричал: „Это не мог быть мистер Смит“. Эти мальчики никогда не конвертировали отношение отца и сына...“

[77] Trans. Camb. Phil. Soc., т. x, 1864, часть ii, примечание на стр. 334.

ГЛАВА XXIX

ПРЕДШЕСТВУЮЩИЕ ФИЛОСОФСКИЕ ТЕОРИИ МАТЕМАТИКИ

Математики обычно пытаются обосновать математику на двух принципах: [78] один — это принцип смешения знака и означаемой вещи (они называют этот принцип краеугольным камнем формальной теории), а другой — Принцип тождества неразличимых (который они называют принципом постоянства эквивалентных форм).

Но истина заключается в том, что если мы отправимся в путешествие за открытиями, имея у руля только Логику, мы должны либо выбросить за борт такие принципы, как «тождество тех концепций, которые имеют общие интересующие нас свойства» и «принцип постоянства», либо, если нам не нравится так поступать со старыми спутниками, с которыми мы настолько свыклись, что едва ли можем испытывать к ним презрение, по крайней мере, четко признать их не имеющими логической силы и лишь психологическими принципами, и низвести их до скромного ранга стюардов, чтобы они служили нашим человеческим слабостям в пути. И тогда, если мы примем мудрую политику сведения наших аксиом к минимальному числу, мы должны воздержаться от создания или мысли о том, что мы создаем новые числа, чтобы заполнить пробелы между старыми, и отсюда признать, что наши рациональные числа не являются частными случаями «реальных» чисел, и так далее.

Таким образом, мы получаем мир концепций, который выглядит и является очень отличным от того, который, как они думают, видят обычные математики; и, возможно, именно по этой причине некоторые выдающиеся математики, такие как Гильберт и Пуанкаре, создали столь абсурдные дискуссии об основных принципах математики, [79] еще раз демонстрируя истинность не совсем оригинального замечания тетушки Джейн, которая

...заметила во второй раз, когда вывалилась из автобуса: «Короток шаг от возвышенного до смешного».

В своей готовности рассматривать многие разные вещи как одну — рассматривать, например, отношение 2:1 как то же самое, что кардинальное число 2 — такие математики, как Пикок, Ханкель и Шуберт, были предвосхищены Голубем, который думал, что Алиса и Змея — одно и то же существо, потому что у обоих длинные шеи и они едят яйца. [80] Однако сомнительно, чтобы Голубь последовал примеру только что упомянутых математиков настолько, чтобы принять кредо номинализма и, таким образом, не чувствовать затруднений при вычитании из нуля — затруднение, на которое с большой проницательностью указали Шляпник [81] и современные математические логики.

[78] Эти принципы, после многих попыток их сформулировать, предпринятых Пикоком, Красной и Белой Королевой (см. Приложение P), Ханкелем, Шрёдером и Шубертом, были впервые точно сформулированы Фреге в Z. S.; ср. также главу VII.

[79] См. Кутюра, R. M. M., т. xiv, март 1906 г., стр. 208-50, и Рассел, там же, сентябрь 1906 г., стр. 627-34.

[80] См. Приложение P.

[81] См. там же.

ГЛАВА XXX

КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ

Мне однажды показали утверждение, сделанное выдающимся математиком из Кембриджа, из которого можно было бы сделать вывод, что этот математик считал, будто конечные расстояния становятся бесконечными, когда они достаточно велики. В одной из тех великолепно напечатанных книг в синем переплете, изданных университетским издательством и продаваемых примерно за гинею в качестве руководства по какой-либо продвинутой области чистой математики, можно прочитать, даже во втором издании, опубликованном в 1900 году, следующие слова: «Представление [комплексной переменной] на плоскости, очевидно, более эффективно для точек на конечном расстоянии от начала координат, чем для точек на очень большом расстоянии».

Очевидно, что некоторые из точек на очень большом расстоянии находятся на конечном расстоянии, ибо тот же автор упоминает, что сфера Неймана для представления положений точек на плоскости «имеет преимущество... в демонстрации уникальности z = ∞ как значения переменной».

ГЛАВА XXXI

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОЗНАНИЯ ТРИСТРАМА ШЕНДИ

Тристрам Шенди [82] говорил, что его отец иногда выигрывал от несчастья; ибо если удовольствие от рассуждений о нем было равно десяти, а само несчастье — только пяти, он выигрывал «половину на половину» и снова чувствовал себя так же хорошо, как если бы несчастья никогда не случалось.

Предположим, что единица (произвольная) удовольствия обозначается через A; Тристрам Шенди, пренебрегая в этой этической дискуссии введением отрицательных величин (брошюра Канта, пропагандирующая это введение в философию, была написана позже [83]), по-видимому, получил в результате 15A, и вряд ли можно утверждать, что это половина от 10A. Возможно, однако, что Тристраму Шенди удалось доказать кажущееся парадоксальным уравнение

15A = 5A

заметив, что аксиома «целое больше части» не всегда верна. Это замечание непосредственно вытекает из того, что мистер Рассел [84] назвал «Парадоксом Тристрама Шенди». Этот парадокс описывается мистером Расселом следующим образом:

«Тристрам Шенди, как мы знаем, потратил два года на описание первых двух дней своей жизни и сетовал, что при таком темпе материал будет накапливаться быстрее, чем он сможет с ним справляться, так что он никогда не сможет закончить. Теперь я утверждаю, что если бы он жил вечно и не устал от своей задачи, то, даже если бы его жизнь продолжалась так же насыщенно событиями, как и началась, ни одна часть его биографии не осталась бы ненаписанной».

Этот парадокс строго коррелятивен хорошо известному парадоксу Зенона об Ахиллесе и Черепахе. [85] «Ахиллес доказывает, что две переменные в непрерывном ряду, которые приближаются к равенству с одной и той же стороны, никогда не могут иметь общего предела: Тристрам Шенди доказывает, что две переменные, которые начинаются с общего члена и движутся в одном направлении, но расходятся всё больше и больше, могут тем не менее определять один и тот же предельный класс (который, однако, не обязательно является сегментом, поскольку сегменты были определены как имеющие члены за их пределами). Ахиллес предполагает, что целое и часть не могут быть подобны, и выводит парадокс; другой, исходя из банальности, выводит, что целое и часть могут быть подобны. Должен признаться, для здравого смысла это самое прискорбное положение дел». И мистер Рассел считает, что перед лицом доказательств он должен в отчаянии покончить с собой.

Теперь я предлагаю крайне маловероятную возможность того, что Тристрам Шенди, размышляя о своей собственной жизни и литературных трудах, пришел к правильному курсу принятия парадокса, который вытекал из этого размышления, и отвержения Ахиллеса. Таким образом, он пришел к выводу, что бесконечное целое может быть подобно (или, в терминологии Кантора, «эквивалентно») собственной правильной части, и, следовательно, из-за смешения подобия с тождеством (или эквивалентности с равенством), которое он разделяет с некоторыми последующими философами, [86] что целое может быть равно собственной правильной части. Если A — бесконечный класс, нетрудно увидеть, что мы можем иметь

10A = 5A.

Таким образом, многие избежали мнения, которое покоится не на лучшем основании, чем то, которого некогда придерживались индуктивные философы Центральной Африки, что все люди черные. [87]

[82] Ср. письмо Де Моргана в «Мемуарах Августа Де Моргана» миссис Де Морган, стр. 324.

[83] Трактат Канта был опубликован в 1763 году, тогда как «Тристрам Шенди» был опубликован в 1760 году.

[84] P. M., стр. 358-9 [Ср. M., т. xxii, январь 1912 г., стр. 187. — Ред.]

[85] Ср. P. M., стр. 350, 358-9; M., т. xxii, 1912 г., стр. 157.

[86] [Ср., например, Козимо Гуастелла, Dell’ infinito, Палермо, 1912. — Ред.]

[87] Ср. Рассел, P. M., стр. 360.

ГЛАВА XXXIII

ТРУДНОСТИ ЧЕЛОВЕКА С НЕОГРАНИЧЕННЫМ ДОХОДОМ

Я однажды слышал, как человек назвал свой доход ограниченным, чтобы проиллюстрировать трудности класса людей, к которому он, конечно, принадлежал, в связи с необходимостью платить довольно высокий подоходный налог. Очевидно, что этот человек говорил с завистью и, следовательно, признавал существование более удачливых людей, которые имели неограниченные доходы. Немного размышлений показало бы этому человеку, что он не занимает парадоксальную позицию. «Парадоксальная позиция» — это, конечно, утверждение одного или нескольких суждений, истинность которых не может быть воспринята философом — и особенно идеалистом — и может быть воспринята логиком и иногда, но не всегда, человеком здравого смысла. Такими суждениями являются: «Кот голоден», «Колумб открыл Америку» и «Вещь, которая всегда находится в покое, может переместиться из положения A в другое положение B».

Теперь, если бы человек имел неограниченный доход, непосредственным выводом было бы то, что, как бы ни был низок подоходный налог, он должен был бы ежегодно выплачивать в Казначейство своей страны сумму, равную по стоимости всему его доходу. Более того, если бы его доход был получен от капитала, инвестированного под конечную процентную ставку (как это обычно бывает), ежегодные выплаты подоходного налога были бы равны по стоимости всему капиталу человека. Если бы тогда человек с неограниченным доходом решил быть недовольным, он был бы уверен в сочувствующей аудитории среди философов и деловых знакомых; но недовольство не могло бы длиться долго, ибо мысль о трудностях, которые он создает для Канцлера Казначейства, который нашел бы составление своего бюджета весьма озадачивающим, была бы забавной. Опять же, открытие того, что после уплаты бесконечного подоходного налога доход остался бы совершенно не уменьшенным, очевидно, принесло бы удовлетворение, хотя, возможно, удовлетворение могло бы быть смешано с легким беспокойством относительно любых действий, которые Комиссары по подоходному налогу могли бы предпринять в свете этого факта.

Проблема совершенно иного характера связана с возможной покупкой человеком с неограниченным доходом счетно-бесконечного множества пар ботинок. Если бы он хотел доказать, что у него четное число ботинок, это было бы легко, если бы правые ботинки были отличимы от левых, но если бы человек был таким чудаком, что настаивал бы на том, чтобы его левые ботинки не были сделаны ничем не отличающимися от правых, для него было бы невозможно доказать упомянутую теорему, если бы он не предположил то, что известно как «мультипликативная аксиома». На самом деле эта аксиома показывает, что законно выбирать бесконечную последовательность членов бесконечного класса произвольным образом. В случае с парами ботинок каждая пара содержит два члена, и если нет способа различить их, когда мы хотим выбрать один из них для каждой из бесконечности пар, мы не можем сказать, какие именно мы намерены выбрать, если не предположим, с помощью вышеуказанной аксиомы, что конкретизированный член всегда может быть найден даже с вещами, о каждой из которых можно сказать, что она, подобно рядовому Джеймсу в «Балладах Бэба»,

Не имела никаких характерных черт, ни одного отличительного признака.

Однако решение этой головоломки было дано доктором Денешем Кёнигом из Будапешта. Вы сначала доказываете, что в пространстве существуют такие точки, что если P — одна из них, то существует не более конечного числа пар ботинок, таких что каждый центр масс двух членов пары равноудален от P. Взяв точку P такого рода, выберите из каждой пары ботинок тот, чей центр масс ближе всего к P. (Может остаться конечное число пар, но с ними можно поступить произвольно.)

Другая форма этой проблемы выглядит следующим образом. Каждый раз, когда человек покупал пару ботинок, он также покупал пару носков к ним; у него было счетно-бесконечное множество пар тех и других, и проблема состоит в том, чтобы доказать, что у него было столько же ботинок, сколько носков. В этом случае ботинки, как мы предположим, можно разделить на правые и левые, а носки — нет. Таким образом, существует счетно-бесконечное множество ботинок, но число носков нельзя определить, не признав вышеупомянутую аксиому. Дальнейшая трудность могла бы возникнуть, если бы владелец ботинок и носков потерял одну ногу в результате какого-либо несчастного случая и приказал своему дворецкому раздать половину своих носков. Естественно, дворецкий столкнулся бы с большими логическими трудностями при этом, и было бы интересной этической проблемой, следует ли его уволить с должности за неспособность доказать мультипликативную аксиому. Опять же, если бы дворецкий украл пару ботинок, у миллионера было бы столько же пар, сколько раньше, но могло бы стать меньше ботинок. Пока нет доказательств того, что число его ботинок равно или больше числа пар.

ГЛАВА XXXIII

ОТНОШЕНИЯ ВЕЛИЧИН КАРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Теоремы кардинальной арифметики часто используются в обычном разговоре. То, что известно как теорема Шрёдера-Бернштейна, использовалось задолго до Бернштейна или Шрёдера Эдвардом Тёрлоу, впоследствии лордом-канцлером лордом Тёрлоу, когда он был студентом колледжа Кайус в Кембридже. Тёрлоу получил выговор за лень от магистра, который сказал ему: «Мистер Тёрлоу, всякий раз, когда я выглядываю в окно, я вижу, как вы пересекаете двор». Таким образом, проректор утверждал взаимно однозначное соответствие между классом A его актов выглядывания в окно и частью класса B актов Тёрлоу по пересечению двора. Тёрлоу в ответ утверждал взаимно однозначное соответствие между B и частью A: «Всякий раз, когда я пересекаю двор, я вижу, как вы выглядываете в окно». Теорема Шрёдера-Бернштейна, таким образом, позволяет нам сделать вывод, что существует взаимно однозначное соответствие между классами A и B. То, что A и B были конечными классами, не является виной магистра или Тёрлоу; и это логически не имеет значения.

ГЛАВА XXXIV

НЕПОЗНАВАЕМОЕ

Согласно мистеру С. Н. Гупте [88], первое, что должен усвоить каждый студент индуистской логики, когда, как говорят, он начинает изучение вывода, — это то, что «все H суть S» не всегда эквивалентно «ни одно H не есть не-S». «Последнее суждение является абсурдом, когда S есть Kebalánvayi, т.е. охватывает всю сферу мысли и существования... „Познаваемое“ и „Называемое“ — среди примеров терминов Kebalánvayi. Если вы говорите, что существует вещь непознаваемая, как вы это знаете? Если вы говорите, что существует вещь неназываемая, вы должны указать на нее, т.е. как-то назвать ее. Таким образом, вы противоречите сами себе».

Доктрина мистера Герберта Спенсера о «Непознаваемом» порождает некоторые забавные мысли. Утверждать, что всякое знание о той или иной вещи выше интеллекта определенного человека, не является самопротиворечивым, а лишь грубым: утверждать, что всякое знание о чем-то выше всякого возможного человеческого интеллекта, — это бессмыслица, несмотря на ее скромный, банальный вид. Ибо утверждение, по-видимому, показывает, что мы все же знаем что-то о ней, а именно, что она непознаваема.

К последнему (1900) изданию «Первых принципов» было добавлено «Послесловие к Части I», в котором справедливость этой простой и хорошо известной критики относительно противоречия, заключенного в разговорах о «Непознаваемом», которая часто высказывалась в течение сорока с лишним лет, пока различные издания были на рынке, была неохотно признана следующим образом: [89]

«Несомненно верно, что сказать, чем вещь не является, — это в некоторой мере сказать, чем она является;... Следовательно, нельзя отрицать, что утверждать об Абсолютной Реальности, что она непознаваема, — это, в отдаленном смысле, утверждать некоторое знание о ней, и поэтому включает в себя противоречие».

Это «Послесловие» напоминает послесловие к письму одного ирландца. Этот ирландец, не обнаружив своих бритв после возвращения из визита к другу, написал другу, давая точные указания, где искать пропавшие бритвы; но перед отправкой письма добавил послесловие о том, что он нашел бритвы.

Возникает искушение спросить, аналогичным образом, в чем мог бы состоять, в свете Послесловия, смысл значительной части Части I Спенсера. Это, используя описание Де Морганом [90] аргументов некоторых, кто утверждает, что мы ничего не можем знать о бесконечности, той же силы, что и у человека, который ответил на вопрос, как долго он был глухонемым.

Но лучшая часть шутки над мистером Спенсером заключается в том, что он, как мы увидим в главе XXXVIII, был опровергнут ошибочным аргументом и, таким образом, ошибочно утверждал справедливость опровержения замечаний, которые оказались необоснованными.

Аналогию противоречия Бурали-Форти с противоречием, заключенным в понятии «непознаваемого», можно изложить следующим образом. Если A скажет B: «Я знаю вещи, которые ты никогда ни при каких обстоятельствах не сможешь узнать», он может говорить правду. Точно так же можно сказать, без противоречия, что ω превосходит все конечные целые числа. Но если кто-то другой, C, скажет: «Есть некоторые вещи, о которых ни один человек никогда не сможет ничего узнать», он говорит бессмыслицу. [91] И точно так же, если бы нам удалось вообразить число, которое превосходит все числа, нам удалось бы вообразить абсурд числа, которое превосходит само себя.

Все парадоксы логики (или «теории совокупностей») аналогичны трудности, возникающей из утверждения человека: «Я лгу». [92] На самом деле, если это истинно, то оно ложно, и наоборот. Если такое утверждение немного развернуть, оно превращается в забавную мистификацию или эпиграмму. Так, можно подарить другу карточку, на обеих сторонах которой написано: «Утверждение на другой стороне этой карточки ложно»; в то время как первая из эпиграмм, выведенных из этого принципа, по-видимому, была написана греческим сатириком: [93]

Лерийцы плохи; не некоторые плохи, а некоторые нет; А все; нет ни одного лерийца в округе, Кроме Прокла, которого можно назвать хорошим человеком; — А Прокл — все-таки лериец.

Это оригинал известной эпиграммы Порсона, который заметил, что все немцы не знают греческих метров,

Все, кроме Германа; — А Герман — немец.

[88] Md., N. S., т. iv, 1895 г., стр. 168.

[89] First Principles, 6-е изд., 1900 г., стр. 107-10. Первое издание было опубликовано в 1862 году.

[90] Примечание на стр. 6 его статьи: «О бесконечности; и о знаке равенства», Trans. Camb. Phil. Soc., т. xi, часть i, стр. 1-45 (прочитано 16 мая 1864 г.).

[91] Утверждение о конечности человеческого разума представляется бессмыслицей; как потому, что, если мы говорим, что разум человека ограничен, мы молчаливо постулируем «непознаваемое», так и потому, что, даже если бы человеческий разум был конечен, нет больше оснований против его постижения бесконечного, чем оснований для того, чтобы разум был синим, чтобы постичь пару синих глаз (ср. Де Морган, там же).

[92] Рассел, R. M. M., т. xiv, сентябрь 1906 г., стр. 632-3, 640-4.

[93] The Greek Anthology, лорд Нивз (Ancient Classics for English Readers), Эдинбург и Лондон, 1897 г., стр. 194.

ГЛАВА XXXIV

МИСТЕР СПЕНСЕР, АФАНАСЬЕВСКИЙ СИМВОЛ ВЕРЫ И СТАТЬИ

Когда в том, что, как я полагаю, ошибочно называют «Афанасьевским символом веры», люди говорят «Отец непостижим» и так далее, они не впадают в ту же ошибку, что и мистер Спенсер, ибо латинский эквивалент «непостижимого» — это просто «immensus», и епископ Хилси перевел его более правильно как «неизмеримый». [94] Прискорбный факт, что доктор Блант [95] в своей ошибочной скромности добавил к этому отрывку примечание: «Тем не менее, верно, что смысл, не предполагавшийся в Символе веры, развился через это изменение языка, ибо Природа Бога столь же далека от постижения разумом, как и от возможности быть заключенной в локальные границы».

Мистер Спенсер кажется не более счастливым, когда мы сравниваем его утверждения с теми, что содержатся в Англиканских статьях религии. Там Бог никогда не упоминается как бесконечный. Правда, Его сила и доброта упоминаются таким образом; но этот недостаток, по-видимому, был допущен намеренно, чтобы вера могла обретать смысл с течением времени.

[94] A. C. P., стр. 217.

[95] Там же, стр. 218.

ГЛАВА XXXVI

ЮМОР МАТЕМАТИКОВ

Задача Брахмагупты [96] представляется самым ранним примером своего рода шутки, которая широко использовалась математиками. Ради придания некоторой живописности данным задач, и тем самым для возбуждения того рода интереса, который отчасти выражается улыбкой, математики вошли в привычку говорить, например, о обезьянах в форме геометрических точек, карабкающихся по невесомым веревкам. Профессор П. Штеккель [97] верно заметил, что физиологическая механика — механика костей, мышц и так далее — совершенно отлична от этой. Был однажды лектор по математике в Кембридже, который ежегодно предлагал своим ученикам задачу по жесткой динамике, относящуюся к движению садового катка, который предполагался без массы или трения, когда тяжелое и совершенно шероховатое насекомое ходило вокруг внутренней части его в направлении нормального качения.

До сих пор это был единственный математический выход для юмора математиков; и те, кто действительно принимал интересы математики близко к сердцу, с тревогой наблюдали растущую тенденцию к схоластике в математических шутках. К счастью, открытие логики некоторыми математиками устранило эту опасность. Все же многим математикам логика до сих пор неизвестна, и для них — например, для профессора А. Шёнфлиса — современная математика, благодаря своему союзу с логикой, кажется, погружается в схоластику. Правда, слово «схоластика» не используется профессором Шёнфлисом в каком-либо намеренно точном значении, а лишь как расплывчатый эпитет неодобрения, подобно тому как слово «социализм» используется обычным филистером, и это, безусловно, послужило бы достаточным оправданием. Но оправдание не требуется: эти мнения сами по себе являются источником математических шуток.

[96] См. главу XII.

[97] Encykl. der math. Wiss., т. iv, часть i, стр. 474.

ГЛАВА XXXVII

ПАРАДОКСЫ ЛОГИКИ

Мы уже [98] упоминали о презрении, проявляемом некоторыми математиками к точному мышлению, которое они осуждают под названием «схоластика». Пример этого дает Шёнфлис во второй части своей публикации, обычно известной как Bericht über Mengenlehre. [99] Здесь [100] боевой клич курсивом —

«Против всякой покорности, но также против всякой схоластики!» —

нашел свое выражение. Позже Шёнфлис [101] стал смелее и принял более личный боевой клич, также курсивом и отдельной строкой:

«За канторизм, но против расселизма!»

«Канторизм» означает теорию трансфинитных совокупностей и чисел, воздвигнутую по большей части Георгом Кантором. Короче говоря, великий грех «расселизма» состоит в том, что он зашел слишком далеко в цепи логической дедукции для многих математиков, которые были, возможно, подобно Шёнфлису, [102] ослеплены своей довольно некритичной любовью к математике. Таким образом получается, что Шёнфлис [103] осуждает расселизм как «схоластический и нездоровый». Эта странная смесь качеств, безусловно, вызвала бы любопытство самого пресыщенного человека относительно того, что за странная вещь должен быть расселизм. [104]

Шёнфлис [105] сказал, что некоторые математики приписывали логическим парадоксам, которые доставили Расселу так много хлопот при их прояснении, «особенно тем, которые искусственно сконструированы, значение, которого они не имеют». Однако не было приведено никаких оснований для этого утверждения, из которого можно было бы сделать вывод, что тщательное изучение любого понятия неважно. Парадоксы — это просто необходимые результаты определенных логических взглядов, которые в настоящее время приняты, каковые взгляды, за исключением случаев, когда они рассматриваются довольно пристально, не кажутся содержащими каких-либо трудностей. Противоречие, как оказалось, не ощущается людьми, которые ограничивают свое внимание первыми несколькими числовыми классами Кантора, и это, по-видимому, породило мнение, которое немного удивительно встретить у некоторых до сих пор, что случаи, обычно не встречающиеся, хотя и подпадающие под то же понятие, что и обычно встречающиеся, имеют малое значение. Можно было бы с таким же успехом утверждать, что непрерывные, но не дифференцируемые функции неважны, потому что они искусственно сконструированы — термин, который, я полагаю, означает, что они не появляются, когда их не просят. Скорее следует сказать, что только путем обнаружения и исследования таких случаев можно судить о рассматриваемом понятии и окончательно доказать справедливость определенных теорем — если они справедливы. То, что это было сделано, главным образом благодаря работе Рассела, — просто факт; то, что эта работа была и остается непонятой многими [106], прискорбно по этой причине, среди прочих, что она доказывает, что в настоящее время, как и во времена, когда были написаны «Путешествия Гулливера», некоторые математики являются плохими логиками. [107]