«Натурфилософия»

Далее, процесс координации может быть распространен на третью и четвертую группы и так далее, с тем результатом, что то, что было сделано в одной из скоординированных групп, должно происходить во всех. Если при этом третья группа скоординирована со второй, эффекты совершенно такие же, как если бы она была скоординирована непосредственно с первой, а не косвенно через вторую. И то же самое верно для четвертой и пятой групп и т. д. Таким образом, координация может быть распространена на любое число групп, какое мы пожелаем, и каждая отдельная группа оказывается скоординированной с каждой другой.

Наконец, группа может быть скоординирована сама с собой, причем каждый из ее членов соответствует определенному другому члену. Не исключено, что отдельные члены соответствуют самим себе, в этом случае группа имеет двойные члены или двойные точки. Предельным случаем является тождество, в котором каждый член соответствует самому себе. Этот последний случай сам по себе не может дать никаких особых знаний, но может быть выгодно применен для пролития света на те наблюдения, для которых он представляет крайнюю возможность.

28. Сравнение.

Если у нас есть две группы А и В, и если мы координируем их члены по отдельности, могут возникнуть три случая. Либо группа А исчерпана, в то время как в В остаются члены, либо В исчерпана раньше А, либо, наконец, обе группы допускают взаимную координацию всех своих членов. В первом случае А называется, в более широком смысле слова, меньшей, чем В; во втором В называется меньшей, чем А; в третьем говорят, что две группы равны по величине. Выражение «В больше А» эквивалентно выражению «А меньше В», и наоборот.

Следует отметить, что упомянутые выше отношения верны независимо от того, рассматриваются ли члены как индивидуально отличные друг от друга или же различие членов игнорируется и они рассматриваются как одинаковые. Это происходит из-за того, что каждая определенная координация группы может быть переведена в любую другую возможную координацию путем обмена двух членов за раз парами. Поскольку в этом процессе каждый раз один член заменяется другим, и поэтому пробел никогда не может возникнуть на его месте, группа в новом расположении может быть скоординирована с другой группой так же успешно, как и в старом расположении. В то же время мы узнаем из этого, что при каждой координации группы самой с собой, независимо от расположения ее членов, она должна оказаться равной самой себе.

Путем осуществления координации далее предоставляется доказательство следующих положений:

{ greater than }

If group A is equal to group B

smaller than

{ greater than }

and group B is equal to group C

smaller than

{ greater than }

then group A is equal to group C

smaller than

Из этого следует, что любая совокупность конечных групп, из которых ни одна не равна другой, всегда может быть расположена так, чтобы ряд начинался с наименьшей и заканчивался наибольшей, и чтобы большая всегда следовала за меньшей. Этот порядок был бы однозначным, то есть существует только один ряд данных групп, обладающий этой особенностью. Как мы скоро увидим, ряд целых чисел является чистейшим типом ряда, расположенного таким образом.

При сравнении двух бесконечно больших групп путем координации можно сказать, с одной стороны, что никогда одна группа не будет исчерпана, пока другая все еще содержит члены. Соответственно, возможно обозначить две неограниченные или бесконечные группы (или столько таких групп, сколько мы пожелаем) как равные друг другу. С другой стороны, утверждение, что в обеих группах каждый член одной скоординирован с членом другой, не имеет определенного смысла из-за бесконечно большого числа членов. Определение равенства поэтому не выполнено полностью, и мы не должны свободно применять принцип, справедливый для конечных групп, к бесконечным группам. Это соображение, которое может принимать самые разные формы в зависимости от обстоятельств, объясняет «парадоксы бесконечного», то есть противоречия, которые возникают, когда понятия определенного содержания применяются к случаям, обладающим отчасти другим содержанием. Если мы хотим попытаться применить такое, мы должны в каждом случае проводить специальное исследование того, каким образом отношения со своей стороны меняются при изменении этих содержаний (или посылок). Как общее правило, мы должны ожидать, что прежние отношения не останутся в силе при этих обстоятельствах без каких-либо изменений вообще.

В ходе этих наблюдений мы узнали, как координация может быть использована для получения ряда фундаментальных и многообразно применяемых принципов. Уже из одного этого очевидна великая важность координации, и позже мы увидим, что ее значение еще более далеко идущее. Вся методология всех наук основана на самом многообразном и многостороннем применении процесса координации, и у нас будет повод неоднократно использовать его. Его значение можно кратко охарактеризовать, заявив, что это самое общее средство внесения связи в совокупность нашего опыта.

29. Счёт.

Группа целых чисел, благодаря своей фундаментальной простоте и регулярности, является, безусловно, лучшей основой координации. Ибо в то время как арифметика и теория чисел дают нам самое тщательное знакомство с особенностями этой группы, мы получаем путем процесса координации право предполагать эти особенности и возможность найти их снова в каждой другой группе, которую мы скоординировали с числовой группой. Осуществление такой координации называется счетом, и из сделанных посылок следует, что мы можем считать все вещи, поскольку мы не обращаем внимания на их различия.

Мы считаем, когда координируем по очереди один член группы за другим с членами числового ряда, которые следуют друг за другом, пока группа, подлежащая счету, не будет исчерпана. Последнее число, необходимое для координации, называется суммой членов сосчитанной группы. Поскольку числовой ряд продолжается бесконечно, каждая данная группа может быть сосчитана.

Числительные были скоординированы с именами, а также со знаками. Первые различны в разных языках, вторые интернациональны, то есть они имеют одну и ту же форму во всех языках. Из этого проистекает замечательный факт, что письменные числа понятны всем образованным людям, в то время как произносимые числа понятны только в рамках различных языков.

Цель счета чрезвычайно многообразна. Его наиболее частое и наиболее важное применение заключается в том, что количество дает меру эффективности или ценности соответствующей группы, причем она одновременно увеличивается и уменьшается. Дальнейшее число служит основой для делений и расположений всех видов, которые должны быть выполнены внутри группы, при этом широко используется принцип, согласно которому все, что может быть осуществлено в данной числовой группе, может быть осуществлено и в скоординированной сосчитанной группе.

30. Знаки и имена.

Координация имен и знаков с числами требует нескольких общих замечаний о координации такого рода.

Возможность выполнения формальных операций, осуществленных в одной из групп, над самой скоординированной группой облегчает в чрезвычайной степени практическое формирование реальности для определенных целей. Если путем счета мы установили, что группа людей насчитывает шестьдесят, мы можем сделать вывод, не выполняя фактически шагов, что можно сформировать этих людей в шесть рядов по десять, или в пять рядов по двенадцать, или в четыре ряда по пятнадцать, но что мы не можем получить полные ряды, если попытаемся расположить их по семь или одиннадцать. Эти и бесчисленные другие особенности мы можем узнать о группе людей из ее количества, то есть из ее координации с числовой группой шестидесяти. В координации, следовательно, у нас есть средство ознакомления с фактами, не имея необходимости иметь дело непосредственно с соответствующими реальностями.

Ясно, что люди очень скоро заметят и воспользуются столь огромным преимуществом для овладения жизнью и ее формирования. Таким образом, мы видим процесс координации в общем пользовании среди самых примитивных людей. Даже высшие животные знают, как сознательно использовать координацию. Когда собака учится откликаться на свое имя, когда лошадь реагирует на «тпру» и «но» своего возницы, в каждом случае происходит координация определенного действия или ряда действий, то есть понятия со знаком, или, другими словами, понятия с членом другой группы; и в этом не должно быть ни малейшего сходства между вещами, скоординированными друг с другом. Единственное требование состоит в том, чтобы, с одной стороны, скоординированный знак был легко и определенно выражен и был к месту, а с другой стороны, чтобы он был легко «понят», то есть воспринят чувствами и безошибочно дифференцирован от других знаков, скоординированных с другими вещами.

Таким образом, мы находим, что наиболее частые понятия скоординированных звуковых знаков образуют начала языка в более узком смысле. Очень трудно установить, по каким причинам были выбраны конкретные формы звуковых знаков, да и не является это делом большой важности. С течением времени первоначальные причины исчезли из нашего сознания, и нынешняя связь является чисто внешней. Это очевидно из огромного различия языков, в которых для одного и того же понятия используются сотни различных знаков.

Теперь было бы вполне возможно решить проблему координации с каждой группой понятий соответствующей группы звуков, так чтобы каждое понятие имело свой собственный звук, или, другими словами, чтобы координация была однозначной. Это отнюдь не выходило бы за пределы человеческих сил, если бы не тот факт, что сами понятия все еще находятся в столь хаотичном состоянии, как сейчас. Мы видели, что попытки Лейбница и Локка составить систему понятий, пусть даже в общих чертах, с тех пор не получили дальнейшего развития. Даже самые упорядоченные понятия, как и привычные понятия повседневной жизни, находятся в непрерывном потоке, в то время как скоординированные знаки сравнительно более стабильны. Но и они претерпевают медленное изменение, как показывает история языков, и в соответствии с совершенно иными законами, чем те, которые управляют изменением понятий. Следствием этого является то, что в языке координация понятий и слов далека от однозначности. Наука о языке обозначает наличие нескольких имен для одного и того же понятия и нескольких понятий для одного и того же имени словами синоним и омоним. Эти формы, возникшие случайно, означают столько фундаментальных дефектов языка, поскольку они разрушают принцип однозначности, на котором основан язык. Вследствие ложного представления о его природе мы до сих пор решительно уклонялись от сознательного развития языка таким образом, чтобы он все более и более приближался к идеалу однозначности. Такой идеал, по сути, едва ли известен, не говоря уже о том, чтобы быть признанным.

31. Письменный язык.

Звуковые знаки, безусловно, обладают преимуществом легкого производства без какого-либо аппарата и возможности передачи на немалое расстояние. Но они страдают от недостатка кратковременности. Они достаточны для цели временного взаимопонимания и постоянно используются для этого. Если, с другой стороны, необходимо осуществлять коммуникации на большие расстояния или в течение более длительных периодов времени, звуковые знаки должны быть заменены более постоянными формами.

Для этого мы обращаемся к другому чувству — чувству зрения. Поскольку оптические знаки могут преодолевать гораздо большие расстояния, чем звуковые, не становясь неразличимыми, мы сначала имеем оптические телеграфы, которые находят применение, хотя и довольно ограниченное, в самых разных формах, наиболее эффективной из которых является гелиотроп. Другой вид оптических знаков используется гораздо более широко. Они объективно наносятся на соответствующие твердые тела, сохраняются и понимаются до тех пор, пока существует рассматриваемый объект. Такие знаки образуют письменный язык в широком смысле, и здесь тоже речь идет о координации знаков и понятий.

То, что я сказал относительно весьма несовершенного состояния нашей нынешней системы понятий, верно и для этих двух групп. С другой стороны, письменные знаки не подвержены таким большим изменениям, как звуковые знаки, потому что звуковые знаки должны производиться заново каждый раз, тогда как письменные знаки, начертанные на подходящем материале, могут пережить сотни, даже тысячи лет. Отсюда следует, что письменные языки в целом гораздо лучше развиты, чем разговорные языки. На самом деле, существуют отдельные случаи, в которых можно сказать, что идеал был почти достигнут.

Как мы уже отмечали, такой случай предоставляют письменные знаки чисел. Путем систематической манипуляции десятью знаками 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 можно не только скоординировать письменный знак с любым числом, но эта координация строго однозначна, то есть каждое число может быть записано только одним способом, и каждый числовой знак имеет только одно числовое значение. Это было достигнуто следующим образом:

Сначала специальный знак координируется с каждым из группы чисел от нуля до девяти. Те же знаки координируются со следующей группой, от десяти до девятнадцати, содержащей столько же чисел, сколько первая. Чтобы отличить вторую группу от первой, знак один используется в качестве префикса. Третья группа отмечается префиксным знаком два, и так далее, пока мы не достигнем группы девять. Следующая группа, в соответствии с принятым принципом, имеет в качестве префикса знак десять, который содержит две цифры. Все последующие числа обозначаются соответствующим образом. Из этого гарантируется следующий результат: во-первых, ни одно число в своей последовательности не избегает обозначения; во-вторых, никогда совокупный знак не используется для двух или более различных чисел. Оба эти обстоятельства достаточны для обеспечения однозначности координации.

Известно, что только что описанная система ротации отнюдь не является единственно возможной. Но из всех систем, опробованных до сих пор, она является самой простой и логичной, так что у нее никогда не было серьезного соперника, и неуклюжая нотация, с которой грекам и римлянам приходилось мучиться в свое время, была немедленно вытеснена, чтобы никогда не вернуться после введения индо-арабской нотации, которая проложила себе путь в той же форме среди всех цивилизованных народов и составляет единообразную часть всех их письменных языков.

Сравнение разговорных и письменных языков предлагает очень поучительное доказательство гораздо большей несовершенности языка слов. Число 18654 выражается в английском языке как eighteen thousand six hundred and fifty-four, то есть вторая цифра называется первой, затем первая, третья, четвертая и пятая. Кроме того, используются четыре различных обозначения для указания места цифр: -teen, -thousand, -hundred и -ty. Более бесцельную путаницу трудно себе представить. Было бы гораздо яснее называть цифры просто в их последовательности, как один-восемь-шесть-пять-четыре. К тому же, это было бы однозначно. Если бы мы пожелали указать разрядность заранее, мы могли бы сделать это каким-либо условным способом, например, указав число цифр заранее. Это, однако, было бы излишним и обычно должно опускаться.

32. Пазиграфия и звуковое письмо.

Существует две возможности для координации между понятиями и письменными знаками. Либо координация является прямой, так что речь идет лишь о том, чтобы снабдить каждое понятие соответствующим знаком, либо она косвенная, причем знаки служат только цели выражения языкового звука. В последнем случае письменный язык полностью основан на звуковом языке, и единственная проблема, сравнительно легко решаемая, состоит в том, чтобы построить однозначную координацию между звуком и знаком. Китайское письмо следует прямому процессу, но все виды письма европейско-американских цивилизованных народов основаны на косвенном процессе.

Это, правда, имеет место только в обычном, не научном языке, в то время как для науки европейские народы также в значительной степени выстроили прямое концептуальное письмо. Один пример этого мы видели в числовых знаках. Музыкальная нотация дает еще один пример, хотя и далеко не такой совершенный. Использование различных ключей разрушает однозначную связь между высотой тона и знаком ноты, а ключевые знаки, помещенные в начале всего нотного стана, имеют тот недостаток, что удаляют знак с того места, где он применяется. Несмотря на это несовершенство, музыкальная нотация вполне интернациональна, и каждый, кто понимает европейскую музыку, понимает и ее знаки.

Фундаментально мы не должны колебаться признать в концептуальном письме, или пазиграфии, более полное решение проблемы расположения знаков. Даже весьма неполная китайская пазиграфия делает возможным письменное общение, особенно для торговых целей, между различными восточноазиатскими народами, которые говорят на нескольких десятках различных языков. Но каждое языковое сообщество переводит общие знаки на свои собственные слова, точно так же, как мы делаем это в случае с числовыми знаками. Но для того, чтобы такая система представления была полной, она должна выполнить целый ряд условий, для которых в настоящее время едва ли просматривается отдаленная возможность.

Сначала понятия можно было просто брать так, как они встречаются в словах и грамматических формах различных языков, и каждое снабжать произвольным знаком. Примерно такова китайская система. Но система такого рода влечет за собой крайнее обременение памяти, которое проистекает как из большого количества слов, так и из необходимости удерживать знаки в определенных границах простоты. Если мы учтем, что сложные понятия формируются согласно законам, в значительной степени все еще неизвестным, из относительно небольшого числа элементарных понятий, мы можем попытаться выстроить знаки сложных понятий путем комбинации знаков элементарных понятий согласно соответствующим правилам. Тогда было бы необходимо только выучить знаки для элементарных понятий и правила комбинации, чтобы мы могли представлять все возможные понятия. Это обеспечило бы даже естественное расширение мира понятий, поскольку каждое новое элементарное понятие получало бы свой знак и затем служило бы основой, из которой можно дедуцировать все зависящие от него сложные понятия. На самом деле, даже если бы понятие, до сих пор считавшееся элементарным, оказалось сложным, было бы не трудно объявить, что его знак, подобно имени вымершей расы, мертв, и по прошествии достаточного времени использовать его для других целей.

Числовые знаки предлагают отличный пример для разъяснения этого предмета и в то же время служат доказательством того, что в ограниченных областях идеал уже достигнут. Другой очень поучительный пример дают химические формулы, которые, хотя и используют буквы европейских языков, не ассоциируют с ними звуковые понятия, а химические понятия. Поскольку химические понятия скоординированы с определенными буквами, можно, во-первых, обозначать состав всех комбинаций качественно путем комбинации соответствующих букв. Но поскольку количественный состав происходит согласно определенным отношениям, которые определяются множеством специфических чисел, присущих каждому элементу и называемых его соединительным весом, нам нужно только добавить к знаку элемента понятие соединительного веса, чтобы представить во-вторых количественный состав. Далее, могут быть даны и упомянутые кратные. Поскольку, кроме того, существуют различные вещества, которые, несмотря на равный состав, обладают различными свойствами, была предпринята попытка выразить это новое многообразие положением знаков элементов на бумаге, а в более недавнее время и пространственным представлением. И здесь тоже были выработаны правила, в которых схема дает близкое приближение к опыту. Этот пример показывает, как при постоянном увеличении сложности понятия (здесь химического состава) к скоординированной схеме предъявляются все большие и более многообразные требования. Форма выражения, выбранная первой, не всегда адекватна тому, чтобы идти в ногу с прогрессом науки. В этом случае она должна быть радикально изменена и сформирована заново, чтобы соответствовать новым требованиям.

33. Звуковое письмо.

С точки зрения однозначности координации фонетическое письмо гораздо более несовершенно, чем концептуальное письмо. Очевидно, что в фонетическом письме все недостатки, уже присутствующие в координации между понятием и звуком, переносятся на письменный язык. К ним добавляются дефекты в отношении однозначности, возникающие при координации между звуком и знаком, от которых не свободен ни один язык. В некоторых языках, на самом деле, особенно в английском, эти дефекты доходят до вопиющего бедствия. Принцип однозначности требовал бы, чтобы никогда не возникало сомнений относительно того, как пишется произнесенное слово, и столь же мало сомнений относительно того, как произносится написанное слово. Не нужно доказательств, чтобы показать, как часто этот принцип нарушается в каждом языке. В немецком языке один и тот же звук представляется буквами f, v и ph; в английском — f и ph. И как в немецком, так и в английском совершенно разные звуки ассоциируются с c, g, s и другими буквами. Тот факт, что орфографические ошибки могут быть сделаны при письме на любом языке, является прямым доказательством его несовершенства, и чем чаще возникает эта возможность, тем более несовершенен язык в этом отношении. Мы знаем, что реформы правописания, начатые в Германии более десяти лет назад, а недавно в Америке и Англии, имеют своей целью однозначность в координации между знаком и звуком. Все же следует признать, что эта тенденция не всегда преследовалась неуклонно. Некоторые нововведения, на самом деле, несомненно, представляют собой шаг назад.

34. Наука о языке.

Сравнение наших исследований — которые мы не можем представить подробно, а лишь обозначить — с наукой о языке, или филологией, как ее преподают в университетах и излагают в огромном количестве книг, обнаруживает между ними большое различие. Эта академическая филология проводит самое исчерпывающее изучение отношений, которые с точки зрения целей языка не имеют никакого значения, например, большинства правил и словоупотреблений грамматики. Подобное изучение должно естественным образом ограничиваться лишь установлением того, соблюдали или не соблюдали определенные индивиды или группы индивидов эти правила. Даже главный предмет современной сравнительной филологии — изучение отношений между формами слов и их изменениями в ходе истории, как внутри языковых сообществ, так и при переносе в другие местности, — представляется совершенно бесполезным с точки зрения теории координации. Ибо нам действительно мало что дает знание того, в результате какого процесса изменения, как правило, совершенно поверхностного, определенное слово стало координироваться с понятием, совершенно отличным от того, с которым оно было связано ранее. Несравненно более важными были бы исследования, касающиеся постепенного изменения самих понятий, хотя они отнюдь не так важны, как подлинное изучение понятий. Конечно, такие исследования гораздо труднее, чем изучение зафиксированных в письменном виде форм слов.

Тем не менее, в силу исторического процесса, обсуждение которого завело бы нас слишком далеко, сложилось представление о таких исследованиях слов, которое совершенно не соответствует их значимости. И если мы спросим себя, какой вклад внесли подобные труды в прогресс человеческой цивилизации, мы затруднимся с ответом. Ученые, занимающиеся наукой о языке, проводят резкое различие между ней и знанием языка, которое считается несравненно более низким. Но в то время как знание языка важно по крайней мере в одном отношении — в том, что оно представляет нам культурный материал, зафиксированный на других языках, или делает его доступным в переводе для тех, кто не знает иностранных языков, — филология в этом отношении вовсе не приносит пользы, и занятия ею будут казаться будущей науке столь же невообразимо тщетными, сколь схоластика средних веков кажется нам сейчас.

Неоправданной важности, придаваемой историческому изучению языковых форм, соответствует столь же неоправданная важность, приписываемая грамматической и орфографической правильности в использовании языка. Этот извращенный педантизм дошел до таких крайностей, что считается почти постыдным для кого-либо нарушать привычные формы своего родного языка или даже иностранного, например французского. Мы забываем, что ни Шекспир, ни Лютер, ни Гёте не говорили и не писали на «правильном» английском или немецком языках, и мы забываем, что целью подлинного развития языка не может быть сохранение существующего языкового узуса с его несовершенствами, доходящими порой до абсурда. Его подлинная цель заключается скорее в соответствующем развитии и совершенствовании языка. Мы уже упоминали тот факт, что в одной области, орфографии, истинное понимание природы языка и его развития постепенно начинает утверждаться. Среди большинства народов предпринимаются усилия по улучшению орфографии с целью достижения однозначности, и как только будет достигнута достаточная ясность относительно цели, к которой стремятся в правописании, не составит особого труда найти необходимые средства для ее достижения.

Но во всех остальных областях языка мы все еще почти полностью лишены понимания подлинных потребностей. Хотя пример английского языка доказывает, что мы можем полностью обойтись без многообразных координаций в одном предложении, проявляющихся в специальных формах множественного числа прилагательных, глаголов, местоимений и т. д., идея сознательного применения к другим языкам естественного процесса улучшения, бессознательно развившегося в английском языке, по-видимому, не приходила в голову даже самым смелым языковым реформаторам. Мы все настолько находимся под властью идеала «школьного учителя», то есть идеала сохранения каждого языкового абсурда и непрактичности просто потому, что это «хороший узус».

Двойное преимущество будет достигнуто благодаря введению универсального вспомогательного языка (183). В последнее время усилия в этом направлении достигли значительного прогресса. Во-первых, это обеспечит общее средство общения во всех вопросах, представляющих общий человеческий интерес, особенно в науках. Это будет означать экономию энергии, которую трудно оценить. Во-вторых, суеверный трепет перед языком и наше отношение к нему уступят место более адекватной оценке его технической цели. И когда с помощью искусственного вспомогательного языка мы сможем ежедневно убеждаться в том, насколько проще и полнее может быть сделан такой язык по сравнению с «естественными» языками, тогда непреодолимо возникнет потребность в том, чтобы и эти языки приобщились к его преимуществам. Последствия такого прогресса для человеческой интеллектуальной работы в целом были бы необычайно велики. Ибо можно утверждать, что философия, самая общая из всех наук, до сих пор достигла столь ограниченного прогресса лишь потому, что была вынуждена использовать средство общего языка. Это становится очевидным из того факта, что наиболее близкая к ней наука, математика, достигла наибольшего прогресса из всех, но этот прогресс начался лишь после того, как она приобрела как в индо-арабских цифрах, так и в алгебраических знаках язык, который фактически реализует весьма приблизительно идеал однозначной координации между понятием и знаком.

35. Непрерывность.

До этого момента наши рассуждения основывались на общем понятии вещи, то есть индивидуального опыта, дифференцированного от других опытов. Здесь факт различия, который как общий опыт привел к соответствующему элементарному понятию, выступал на передний план в соответствии со своей общностью. Но в дополнение к нему существует другой общий факт опыта, который привел к столь же общему понятию. Это понятие непрерывности.

Когда, например, мы наблюдаем уменьшение света в нашей комнате, когда вечером темнеет, мы ни в коем случае не можем сказать, что в данный момент стало темнее, чем мгновение назад. Нам требуется заметно долгое время, чтобы с уверенностью сказать, что сейчас темнее, чем раньше, и в течение всего этого времени мы никогда не ощущали увеличения темноты от момента к моменту, хотя теоретически мы абсолютно убеждены, что это правильное понимание процесса.

Этот своеобразный опыт, наша неспособность воспринимать отдельные части изменения, реальность которого мы осознаем, когда различие достигает определенной степени, является очень общим и, подобно памяти, основан на фундаментальном физиологическом факте. Он был уже отмечен Гербартом, но его значение было впервые признано Фехнером и с тех пор стало общеизвестным в физиологии и психологии под названием порога. Наряду с памятью порог определяет фундаментальные линии нашей психической жизни.

Порог, следовательно, означает, что в каком бы состоянии мы ни находились, необходимо преодолеть определенную конечную величину различия или изменения, прежде чем мы сможем воспринять это различие или изменение. Эта особенность проявляется во всех наших состояниях или опытах. Мы уже привели пример с явлениями света и темноты. То же самое верно для различий в цвете и наших суждений о высоте и силе тона. Даже переход от самочувствия «здоров» к «болен» обычно незаметен, и только когда изменение происходит за очень короткое время, мы осознаем его.

Физические причины этих психических явлений нужно обозначить лишь вкратце. Во всех наших опытах существующее химико-физическое состояние в наших органах чувств и в центральном органе претерпевает изменение. Теперь эксперименты с физическими приборами показали, что такой процесс всегда требует конечного, хотя иногда и очень малого количества работы, или, говоря в общем, энергии, прежде чем он вообще может быть осуществлен. Даже самые точные весы, чувствительные к миллионной доле грамма, остаются стационарными, когда на них помещают лишь десятую часть миллионной доли, хотя мы можем видеть тело столь ничтожного веса под микроскопом. Точно так же требуется определенная затрата энергии, чтобы привести органы чувств или центральный орган в действие, и все стимулы, меньшие этого предела или порога, не производят никакого опыта их присутствия.

Этим в нашем опыте вызывается трудное понятие непрерывности. Переход от дневного света к вечерней темноте происходит непрерывно, то есть ни в одной точке всего перехода мы не замечаем, что только что прошедшее состояние отличается от настоящего, в то время как различие на более широком протяжении опыта является несомненным. Если мы хотим живо представить себе противоречие другим привычкам мышления, которое это влечет за собой, нам нужно лишь представить себе следующий пример. Я сравню вещь А в определенное время с вещью B, которая устроена так, что, хотя объективно она отличается от А, различие еще не достигло порога. Из опыта, следовательно, я должен принять А равным B. Затем я сравниваю B с вещью C, которая объективно отличается от B так же, как A от B, хотя и здесь различие все еще находится в пределах порога, хотя и очень близко к нему. Я также должен буду принять B равным C. Но теперь, если я сравню А непосредственно с C, сумма двух различий переходит пороговое значение, и я обнаруживаю, что А отличается от C. Это, таким образом, противоречие фундаментальному принципу, что если A = B и B = C, то A = C. Этот принцип справедлив для сосчитанных вещей, которые, как следствие, прерывны, но не для непрерывных вещей, воспринимаемых нашими чувствами. Если, несмотря на это, он применяется к непрерывным вещам или величинам в более узком смысле, мы должны помнить, что это в такой же степени случай экстраполяции к несуществующему идеальному примеру (стр. 46), как и в случае других общих принципов, которые, хотя и выведены из опыта, тем не менее, для практических целей, выходят за пределы опыта в своем использовании.

Приведенные выше примеры доказывают также, что эти отношения отнюдь не ограничиваются суждениями, которые мы выводим на основе непосредственных ощущений. Когда с помощью весов мы сравниваем три веса, различия которых лежат в пределах их чувствительности, но приближаются к ней, мы можем прийти чисто эмпирическим и объективным путем также к противоречию A = B, B = C, но A ≠ C. В весе и измерении, следовательно, мы придерживаемся принципа, что приведенные отношения не имеют претензии на значимость вне предела их возможных ошибок. Соответственно, хотя неравенство A ≠ C может быть наблюдаемо, различие обоих значений не может быть больше, чем в крайнем случае сумма двух пороговых значений.

Эти соображения также дают нам средство оценки часто повторяемого утверждения о том, что в отличие от физических законов математические законы абсолютно точны. Математические законы относятся не к реальным вещам, а к воображаемым идеальным предельным случаям. Следовательно, они вообще не могут быть проверены опытом, и требования, которые наука предъявляет к ним, лежат в совершенно иной сфере. Их природа должна быть такова, чтобы опыт бесконечно приближался к ним, если должны все более и более выполняться определенные известные постулаты, и чтобы различные абстракции и идеализации были выбраны так, чтобы не противоречить друг другу. Такие противоречия отнюдь не всегда удавалось избежать. Но мы не должны рассматривать их как присущие внутренней организации нашего разума, как это делал Кант. Эти противоречия проистекают из небрежного обращения с техникой понятий, при котором постулаты, отвергнутые в других местах, рассматриваются как действительные. Мы уже сталкивались с примером таких отношений при применении понятия равенства к неограниченным группам (стр. 84).

Мы должны руководствоваться теми же правилами предосторожности при ответе на вопрос, являются ли вещи, ощущаемые как непрерывные — например, пространство и время — «поистине» непрерывными, или же в конечном счете их следует мыслить как прерывные. Различные органы чувств, и еще более различные физические приборы, с помощью которых мы исследуем данные состояния, обладают весьма разной степенью «чувствительности», то есть порог для различения различий может быть весьма разной величины. Поэтому вещь, которая является прерывной для чувствительного аппарата, будет вести себя так, как если бы она была непрерывной для менее чувствительного аппарата. Соответственно, мы будем находить тем больше непрерывных вещей, чем менее остро развита наша способность к дифференциации.

Хотя это обстоятельство делает возможным, что мы можем рассматривать прерывные вещи как непрерывные, временные отношения при определенных обстоятельствах производят обратный эффект. Даже если в процессе изменение непрерывно, но очень быстро, и новое состояние остается неизменным в течение определенного времени, мы легко воспринимаем эту последовательность как прерывную. Мы не можем сопротивляться такому взгляду на процесс, когда изменение происходит за более короткое время, чем пороговое время нашего разума для каждого шага в процессе. Но поскольку этот порог меняется в зависимости от нашего общего состояния, один и тот же процесс может казаться нам как непрерывным, так и прерывным в зависимости от обстоятельств. Здесь, следовательно, у нас есть причина, благодаря действию которой, по мере развития знаний, все больше вещей будет признаваться непрерывными.

Теперь, если мы обратимся к опыту, мы обнаружим, как сумму наших знаний, что ради целесообразности мы подходим ко всему с предположением, что оно непрерывно. Этот совокупный опыт находит свое выражение в таких изречениях, как «природа не делает скачков», и подобных пословичных обобщениях. Но мы должны еще раз подчеркнуть тот факт, что, решая вопросы таким образом, мы имеем дело исключительно с вопросами целесообразности, а не с вопросами природы нашей умственной способности.

36. Измерение.

Измерение в некотором роде является противоположностью счета. В то время как при счете вещи заранее рассматриваются как индивидуальные, и группа, следовательно, является телом, составленным из прерывных элементов, измерение, с другой стороны, состоит в координации чисел с непрерывными вещами, то есть в применении к непрерывным вещам понятия, сформированного на гипотезе прерывности.

В природе такой проблемы заложено то, что трудность адаптации должна проявиться где-то в ходе попытки ее решения. Это фактически подтверждается тем фактом, что измерение оказывается незавершенной и незавершимой операцией. Если, несмотря на это, измерение может и должно по праву обозначаться как одно из важнейших достижений человеческой мысли, из этого следует, что эти фундаментальные трудности практически могут быть сделаны безвредными.

Давайте представим себе какой-нибудь процесс измерения — например, определение длины полоски бумаги. Мы помещаем линейку, разделенную на миллиметры (или какую-то другую единицу), на полоску, а затем определяем отметку единицы, на которой заканчивается полоска. Оказывается, что полоска заканчивается не точно на отметке единицы, а между двумя отметками единиц. И даже если линейка снабжена делениями в десять или сто раз более мелкими, случай остается тем же. В большинстве случаев микроскопическое исследование покажет, что конец полоски не совпадает с делением. Все, что можно сказать, следовательно, это то, что длина должна лежать между n и n + 1 единицами, и даже если дано определенное число, научно подготовленный человек дополнит это число знаком ± f, в котором f обозначает возможные ошибки, то есть предел, в пределах которого данное число может быть ложным.

Мы сразу видим, как характерное понятие порога, которое привело к концепции непрерывного, немедленно утверждает себя при связи с прерывными числами. Адаптация порога к числам может быть доведена так далеко, насколько возможно уменьшить порог, но последний никогда не может быть заставлен исчезнуть полностью.

Значение измерения, следовательно, заключается в том факте, что оно применяет операцию счета со всеми ее преимуществами (см. стр. 85) к непрерывным вещам, которые как таковые поначалу не поддаются перечислению. При применении единичной меры прерывность сначала искусственно устанавливается через деление вещи на части, каждая часть равна единице, или воображение ее таковой разделенной. Затем мы считаем части. Когда количество жидкости измеряется литром, этот общий процесс осуществляется физически. Во всех других менее прямых методах измерения физический процесс заменяется более легким процессом, столь же хорошим. Таким образом, в примере с полоской бумаги нам не нужно разрезать ее на части длиной в миллиметр. Разделенная линейка доступна для сравнения длины любого количества миллиметров, которые случайно попадают под рассмотрение, и нам нужно лишь прочитать по цифрам на линейке количество миллиметров, равное длине полоски, чтобы сделать вывод, что полоску можно разрезать на равное количество частей, каждая длиной в миллиметр.

После того как стало возможным считать непрерывные вещи таким образом, нумерация их может быть затем подвергнута всем математическим операциям, впервые разработанным только для дискретных, непосредственно считываемых вещей. Когда мы размышляем о том, что наше знание вещей дало их нам преимущественно как непрерывные, мы сразу видим, какой важный шаг вперед был сделан благодаря изобретению измерения в интеллектуальном господстве над нашим опытом.

37. Функция.

Понятие непрерывности делает возможным развитие другого понятия большей универсальности, которое можно охарактеризовать как расширение понятия причинности (стр. 31). Последнее является выражением опыта: если есть А, есть и B, в котором А понимается как определенная вещь, поначалу мыслимая как неизменная. Теперь может случиться так, что А не является неизменным, а представляет собой понятие с непрерывно меняющимися характеристиками. Тогда, как правило, B также будет такой природы, так что каждому особому значению или состоянию B соответствует каждое особое значение или состояние А.

Здесь, вместо взаимного отношения двух определенных вещей, мы имеем взаимное отношение двух более или менее обширных групп подобных вещей. Если эти вещи непрерывны, как предполагается здесь (и что крайне часто имеет место), обе группы или серии, даже если они конечны, содержат бесконечное количество индивидуальных случаев. Такое отношение между двумя переменными вещами называется функцией. Хотя это понятие используется главным образом для взаимного отношения непрерывных вещей, ничто не мешает его применению к дискретным вещам, и соответственно мы различаем непрерывные и прерывные функции.

Интеллектуальный прогресс, заключенный в концепции взаимного отношения целых серий или групп друг к другу, в отличие от концепции отношений между индивидуальными вещами, имеет величайшее значение и самым выразительным образом характеризует различие между современным научным мышлением и древним мышлением. Древняя геометрия, например, знала только случаи остроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольника и рассматривала их отдельно, в то время как современный геометр представляет сторону треугольника как начинающуюся от угла ноль и проходящую через всю область возможных углов. Соответственно, в отличие от своего коллеги древности, он не спрашивает об особых принципах, относящихся к этим особым случаям, но он спрашивает, в каком непрерывном отношении находятся стороны и углы друг к другу, и он позволяет особым случаям развиваться друг из друга. Таким образом, он достигает гораздо более глубокого и эффективного понимания всего существующих отношений.

Именно в математике в особенности введение понятия непрерывности и возникающего из него понятия функции оказало необычайно глубокое влияние. Так называемый высший анализ, или инфинитезимальный анализ, был первым результатом этого радикального прогресса, а теория функций, в самом общем смысле, была более поздним результатом. Этот прогресс основан на том факте, что величины, появляющиеся в математических формулах, больше не рассматривались как некие определенные значения (или значения, которые должны быть произвольно определены), а как переменные, то есть значения, которые могут проходить через все возможные количества. Если мы представим отношение между двумя вещами формулой B = f(A), выраженной в разговорном языке как B есть функция от A, то в старой концепции A и B являются каждая индивидуальными вещами, в то время как в современной концепции A и B представляют собой неисчерпаемую серию возможностей, охватывающую каждый мыслимый индивидуальный случай, который может быть скоординирован с соответствующим случаем.

В этом заключается существенное преимущество понятия непрерывности. Правда, оно также вводит в расчет вышеупомянутые противоречия, которые возникают в постоянно повторяющихся дискуссиях относительно бесконечно большого и бесконечно малого. Система, введенная Лейбницем, вычисления с дифференциалами, то есть с бесконечно малыми величинами, которые в большинстве отношений, однако, все еще сохраняют характер конечных величин, из которых они, как считается, были выведены, оказалась столь же плодотворной практическими результатами, сколь трудной для интеллектуального овладения. Мы можем лучше всего представить себе эти дифференциалы как выражение закона порога, который породил или сделал возможным отношение между непрерывным и дискретным.

38. Применение функционального отношения.

Я уже показал (стр. 34), как первая формулировка причинного отношения, которую дает опыт, может быть очищена и разработана путем умножения опыта. Описанный метод основывался на том факте, что необходимые и достаточные факторы результата были получены путем последовательного исключения из «причины» различных факторов, из которых ее понятие было или могло быть составлено, и путем заключения из результата, то есть наличия или отсутствия «эффекта», о необходимости или излишестве каждого фактора.

Очевидно, что применение этого процесса предполагает возможность исключения каждого фактора по очереди. Очень часто это невозможно, и тогда вместо неадекватного метода индивидуального случая вступает метод непрерывного функционального отношения с его бесконечно большей эффективностью. Если в большинстве случаев мы не можем исключить факторы один за другим, существует очень мало случаев, в которых невозможно изменить их или наблюдать результат в автоматически измененных значениях факторов. Но тогда у нас есть принцип, что для причинного отношения существенны все такие факторы, изменение которых влечет за собой изменение результата.

Ясно, что это означает обобщение прежнего и более ограниченного метода. Ибо исключение фактора означает, что его значение сводится к нулю. Но теперь уже нет необходимости доходить до этого крайнего предела; достаточно лишь каким-то образом повлиять на исследуемый фактор.

Правда, здесь различие в результате не может быть выражено «да» или «нет», как раньше. Можно лишь сказать, что оно изменилось частично, больше или меньше. Из этого видно, что применение этого процесса требует более утонченных методов наблюдения, особенно для измерения, то есть для определения значений или величин. С другой стороны, мы должны признать, насколько глубже мы можем проникнуть в знание вещей путем применения процесса измерения. Каждое продвижение в точности измерения означает открытие нового слоя научной истины, ранее недоступного.

39. Закон непрерывности.

Из того факта, что природные явления в целом протекают непрерывно, мы можем вывести ряд важных и общеприменимых заключений, которые постоянно используются для развития науки.

Когда предполагается отношение двух непрерывно изменяющихся значений вида A = f(B), мы убеждаемся в его истинности, наблюдая для различных значений A соответствующие значения B, или наоборот. Если мы обнаруживаем, что изменения в одном соответствуют изменениям в другом, существование такого отношения доказано, поначалу только для наблюдаемых значений, хотя мы никогда не колеблемся сделать вывод, что для значений A, лежащих между наблюдаемыми значениями, но самих еще не наблюдаемых, соответствующие значения B также будут лежать между наблюдаемыми значениями. Например, если температура в данном месте наблюдалась с интервалами в два часа, мы без колебаний предполагаем, что в часы между ними, когда наблюдения не проводились, значения лежат между наблюдаемыми значениями. Если мы обозначим время обычным образом горизонтальными линиями, а температуру для общих периодов времени — продольными линиями, закон непрерывности утверждает, что все эти температурные точки лежат на устойчивой линии, так что когда известно число точек, лежащих достаточно близко друг к другу, точки между ними могут быть выведены из устойчивой линии, которую можно провести через известные точки. Этот очень часто применяемый процесс даст тем более точные результаты, чем ближе известные точки друг к другу и чем проще линия.

Применение закона непрерывности или устойчивости, следовательно, означает не что иное, как то, что возможно, исходя из конечного, часто даже не очень большого числа индивидуальных результатов, получить средства для предсказания результата для бесконечно большого числа неисследованных случаев. Инструмент, выведенный из этого закона, следовательно, является в высшей степени научным.

Ценность этого инструмента еще больше, если удается выразить отношение A = f(B) в строгой математической форме. Сначала результат определения ряда индивидуальных значений этой функции представляется как таблица скоординированных значений. С помощью описанного выше графического процесса или его эквивалента, математического процесса интерполяции, эта таблица расширяется настолько, что она также предоставляет все промежуточные значения. Но это все еще случай механической координации соответствующих значений. Часто нам удается, особенно в отношении простых или чистых понятий, найти общее математическое правило, с помощью которого величина A может быть выведена из величины B, и наоборот. Это единственный случай, в котором мы говорим о естественном законе в количественном смысле.

Так, например, мы можем наблюдать, какой объем занимает данное количество воздуха при последовательном воздействии различных давлений. Если мы расположим все эти значения вместе в таблице, мы можем также рассчитать объем для всех промежуточных давлений. Но при внимательном рассмотрении соответствующих чисел давления и объема мы замечаем, что они находятся в обратном отношении, или что при умножении их друг на друга их произведения будут одинаковыми. Если мы обозначим пространство через v, а давление через p, этот факт принимает математическую форму p · v = K, в которой K — определенное число, зависящее от количества воздуха, единицы давления и т. д., но остающееся неизменным в экспериментальной серии, в которой эти факторы остаются теми же. Общее функциональное уравнение A = f(B) становится определенным p = K/v. И эта формула позволяет нам определить путем простого расчета объем для любой степени давления, при условии, что значение K было однажды установлено экспериментом.

Поначалу мы имеем право на такой расчет только в пределах той области, в которой проводились эксперименты, и простое математическое выражение естественного закона пока не имеет иного значения, кроме как особо удобного правила для интерполяции. Но такая форма немедленно вызывает вопрос, который требует экспериментального ответа. Как далеко может быть расширена форма? То, что должен быть предел, можно непосредственно вывести из рассмотрения самой формулы. Ибо если мы примем p = 0, то v = бесконечности, оба из которых лежат за пределами области возможного опыта.

Подобные соображения справедливы для всех таких математически сформулированных естественных законов, и каждый раз, следовательно, мы должны спрашивать, каков диапазон значимости такого выражения, и отвечать на вопрос экспериментом.

Хотя в этом обсуждении математически сформулированный естественный закон кажется имеющим природу лишь удобной формулы интерполяции, мы тем не менее привыкли рассматривать открытие такой формулы как большое интеллектуальное достижение, которое настолько впечатляет нас, что мы часто называем его именем первооткрывателя. Итак, в чем заключается более значимая ценность таких формулировок?

Она заключается в том факте, что простые формулы обнаруживаются только тогда, когда концептуальный анализ явления продвинулся достаточно далеко. Сама простота формулы показывает, что формирование понятий, которое лежит в ее основе, является особенно полезным. В теории движения планет Птолемея средства для расчета их положений заранее были даны так же, как и в теории Коперника. Но теория Птолемея основывалась на предположении, что Земля стоит неподвижно, а Солнце и другие планеты движутся. Предположение, что Солнце стоит неподвижно, а Земля и другие планеты движутся, значительно облегчает расчет положения планет. В этом заключалась первичная ценность прогресса, достигнутого Коперником. Лишь гораздо позже было обнаружено, что ряд других фактических отношений может быть представлен гораздо более подходящим образом с помощью той же гипотезы, и таким образом теория Коперника стала общепризнанной и применяемой.

Значение закона непрерывности и область его применения отнюдь не были исчерпаны тем, что было сказано выше. Но позже у нас будет ряд случаев, чтобы указать на его применение в особых примерах, и тем самым сделать его использование устойчивой умственной привычкой у начинающего в научных исследованиях.

40. Время и пространство.

Время и пространство — два очень общих понятия, хотя, без сомнения, не элементарные понятия. Ибо помимо элементарного понятия непрерывности, которое содержат оба, время имеет дополнительный характер быть односерийным или одномерным, не допускающим возможности возврата к прошлому моменту времени (отсутствие двойных точек) и абсолютной односторонности, то есть фундаментального различия между до и после. Это последнее качество — как раз то, которое не найдено в понятии пространства, которое во всех смыслах симметрично. С другой стороны, благодаря трем измерениям оно имеет трехкратную многомерность.

То, что несмотря на это радикальное различие в свойствах пространства и времени, все наши опыты могут быть выражены или представлены в рамках понятий пространства и времени, является очень ясным доказательством того, что опыт гораздо более ограничен, чем формальная многомерность мыслимого. В этом смысле пространство и время могут быть осмыслены как естественные законы, которые могут быть применены ко всем нашим опытам. Здесь в то же время становится очень ясным субъективно-человеческий элемент естественного закона.

Свойства времени имеют столь простую и очевидную природу, что не существует специальной науки о времени. То, что нам нужно знать о нем, появляется как часть физики, особенно механики. Тем не менее время играет существенную роль в форономии, предмете, который мы рассмотрим сейчас. В форономии, однако, время появляется только в своей простейшей форме как односерийная непрерывная многомерность.

Что касается пространства, наличие трех измерений обусловливает большую многомерность возможных отношений, а следовательно, существование очень обширной науки о телах в пространстве — геометрии. Геометрия делится на различные части в зависимости от того, входит ли понятие измерения. При работе с чисто пространственными отношениями в отрыве от понятия измерения она называется геометрией положения. Чтобы ввести элемент измерения, необходима определенная гипотеза, которая недоказуема, а потому кажется произвольной и может быть оправдана лишь тем, что она является простейшей из всех возможных гипотез. Эта гипотеза принимает как должное, что твердое тело может быть перемещено во всех направлениях в пространстве, не меняясь в мере. Или, чтобы сформулировать обратное этой гипотезе, в пространстве те части называются равными, которые занимает твердое тело, как бы оно ни перемещалось.

Мы не осознаем крайней произвольности этого допущения просто потому, что привыкли к нему в школе. Но если мы поразмыслим, что в повседневном опыте пространство, занимаемое твердым телом, скажем палкой, кажется глазу претерпевающим радикальные изменения, когда оно меняет свое положение в пространстве, и что мы можем поддерживать эту гипотезу, только объявляя эти изменения «кажущимися», мы признаем произвольность, которая действительно кроется в этом допущении. Мы могли бы представить все отношения так же хорошо, если бы мы предположили, что эти изменения реальны и что они последовательно отменяются, когда мы возвращаем палку в ее прежнее отношение к нашему глазу. Но хотя такая концепция фундаментально осуществима, поскольку она имеет дело лишь с пространственным образом палки, мы тем не менее обнаруживаем, что она привела бы к таким крайним осложнениям в отношении других отношений (например, тот факт, что вес палки не затрагивается изменением оптического образа), что мы сделаем лучше, если будем придерживаться обычного допущения, что оптические изменения являются лишь кажущимися.

В этой связи мы узнаем, какое огромное влияние различные части опыта оказывают друг на друга в развитии науки. В каждом специальном обобщении опытов, то есть в каждой индивидуальной научной теории, наша цель состоит не только в том, чтобы обобщить эту специальную группу опытов в самих себе, но в то же время присоединить к ним такие другие опыты, как того требует целесообразность. Если эффект этой необходимости с одной стороны делает разработку адекватной теории более трудной, то с другой стороны он имеет большое преимущество, предоставляя выбор среди нескольких теорий кажущейся равной ценности, и тем самым делая возможным более точное понятие реальности. Например, для понимания взаимных движений Солнца и Земли безразлично, предполагаем ли мы, что Солнце движется вокруг Земли или Земля вокруг Солнца. Только когда мы пытаемся теоретически представить положение других планет, мы видим экономическое преимущество второй концепции, и факты, подобные эксперименту Фуко с маятником, могут быть представлены только согласно этой второй концепции в нашем нынешнем состоянии знаний.