«Организация мысли: образовательная и научная»

Теперь мы должны спросить, можно ли ожидать, что принцип сходимости к простоте даст тот же тип простоты для каждого такого сходящегося пути. Ответ, как мы могли ожидать, таков: это зависит от природы свойств, которые должны быть упрощены.

Например, рассмотрим применение ко времени. Теперь время одномерно; поэтому, когда это свойство одномерности было выражено надлежащими условиями, здесь не указанными, сходящееся множество объектов включения должно, рассматриваемое как путь приближения, демонстрировать свойства одного уникального мгновения времени, как обычно мыслится евклидовым определением. Соответственно, какая бы простота ни должна была быть достигнута применением ко времени принципа сходимости к простоте, она должна быть продемонстрирована среди свойств любого такого пути приближения.

Для пространства возникают другие соображения. Благодаря его множественным измерениям мы можем показать, что различные сходящиеся множества объектов включения, указывающие на разные пути приближения, могут демонстрировать сходимость к разным типам простоты, некоторые более сложные, чем другие.

Например, рассмотрим прямоугольную коробку высотой h футов, шириной b футов и толщиной c футов. Теперь сохраним h и b постоянными, и пусть центральная плоскость (высота h, ширина b), перпендикулярная толщине, будет фиксированной, затем заставим c уменьшаться бесконечно. Мы таким образом получаем сходящийся ряд бесконечно большого числа коробок, и нет наименьшей коробки. Таким образом, этот сходящийся ряд демонстрирует путь приближения к типу простоты, выраженному как плоская область высотой h, шириной b и без толщины.

Опять же, сохраняя центральную линию высоты h фиксированной и заставляя b и c уменьшаться бесконечно, ряд сходится к сегменту прямой линии длины h.

Наконец, сохраняя только центральную точку фиксированной и заставляя h, b и c уменьшаться бесконечно, ряд сходится к точке.

Более того, мы не ввели пока никакой концепции, которая предотвратила бы формирование объекта включения из отдельных фрагментов в пространстве. Таким образом, мы можем легко вообразить сходящееся множество, которое сходится к числу точек в пространстве. Например, каждый объект набора мог бы быть сформирован из двух неперекрывающихся сфер радиуса r с центрами A и B. Затем, уменьшая r бесконечно и сохраняя A и B фиксированными, мы имеем сходимость к паре точек A и B.

Остается теперь рассмотреть, как те сходящиеся множества, которые сходятся к одной точке, могут быть дискриминированы от всех других типов таких множеств, просто используя концепции, основанные на отношении включения.

Назовем сходящиеся множества греческими буквами; продвигаясь «вперед» вдоль любого такого множества, будем понимать процесс постоянного перехода от больших к меньшим объектам включения, которые формируют набор.

Будем говорить, что сходящееся множество покрывает сходящееся множество, если каждый член включает некоторые члены. Мы замечаем, что если объект включения x включает любой член (y) из, то каждый член «хвостовой части», найденный путем продвижения вперед вдоль от y, должен быть включен x. Таким образом, если покрывает, каждый член включает каждый член хвостовой части, начиная с наибольшего члена, который включен этим членом.

Возможно, чтобы каждое из двух сходящихся множеств покрывало другое. Например, пусть один набор (α) будет набором концентрических сфер, сходящихся к их центру A, а другой набор (β) будет набором концентрических кубов, аналогично расположенных, сходящихся к тому же центру A. Тогда α и β будут каждый покрывать другой.

Назовем два сходящихся множества, которые таковы, что каждое покрывает другое, «равными».

Тогда достаточным условием для обеспечения того, что сходящееся множество обладает точечным типом сходимости, является то, если каждое сходящееся множество, покрываемое им, также равно ему, а именно, α — это сходящееся множество с точечным типом сходимости, если «покрывает β» всегда подразумевает, что β покрывает α.

Легко увидеть на простых примерах, что другие типы сходимости к поверхностям, линиям или наборам точек не могут обладать этим свойством. Рассмотрим, например, три сходящихся множества коробок в предыдущей иллюстрации, которые сходятся соответственно к центральной плоскости, центральной линии в центральной плоскости и центральной точке в центральной линии. Первый набор покрывает второй и третий наборы, а второй набор покрывает третий набор, но никакие два из наборов не равны.

Более сложный вопрос — определить, является ли условие, здесь указанное как достаточное для обеспечения точечного типа сходимости, также необходимым. Вопрос сводится к тому, насколько мыслительные объекты восприятия обладают точными границами до разработки точных математических концепций пространства. Если они должны мыслиться как обладающие такими точными границами, тогда сходящиеся множества, сходящиеся к точкам на таких границах, должны быть допущены. Процедура, необходимая для спецификации полного точечного условия, становится тогда очень сложной [3] и здесь рассматриваться не будет.

Но такое точное определение, которое вовлечено в концепцию точной пространственной границы, по-видимому, не принадлежит истинному мыслительному объекту восприятия. Приписывание точной границы действительно принадлежит переходной стадии мышления, когда оно переходит от мыслительного объекта восприятия к мыслительному объекту науки. Переход от чувственного объекта, непосредственно представленного, к мыслительному объекту восприятия исторически совершается по колеблющейся неопределенной линии мышления. Определенные стадии, здесь отмеченные, просто служат доказательством того, что логически объяснимый переход возможен.

Мы соответственно предполагаем, что условие, изложенное выше для обеспечения точечной сходимости сходящегося множества объектов включения, является не только достаточным, но и необходимым.

Можно доказать, что если два сходящихся множества объектов включения оба равны третьему сходящемуся множеству, они равны друг другу. Рассмотрим теперь любое точечное сходящееся множество (α). Мы хотим определить «точку», к которой α является путем приближения, способом, который нейтрален между α и всеми сходящимися множествами, которые равны α. Каждый из этих наборов является путем приближения к той же «точке», что и α. Это определение обеспечивается, если мы определим точку как класс, сформированный всеми объектами включения, которые принадлежат либо α, либо любому сходящемуся множеству, которое равно α. Пусть P будет этим классом объектов включения. Тогда любое сходящееся множество (β), которое состоит из объектов включения, полностью выбранных из членов класса P, должно быть путем приближения к той же «точке», что и исходный точечный набор α; а именно, при условии, что мы выбираем достаточно малый объект включения в α, мы всегда можем найти член β, который включает его; и при условии, что мы выбираем достаточно малый объект включения в β, мы всегда можем найти член α, который включает его. Таким образом, P включает только сходящиеся множества точечного типа, и путь приближения, указанный любыми двумя сходящимися множествами, выбранными из P, сходится к идентичным результатам.

Использование точек. — Единственное использование точек — облегчить применение принципа сходимости к простоте. По этому принципу некоторые простые отношения в соответствующих обстоятельствах становятся истинными, когда рассматриваются объекты, которые достаточно ограничены во времени или в пространстве. Введение точек позволяет этому принципу быть доведенным до его идеального предела. Например, предположим, что g(a, b, c) представляет некоторое утверждение относительно трех объектов включения a, b, c, которое может быть истинным, если объекты достаточно ограничены в протяженности. Пусть A, B, C будут тремя данными точками, тогда мы определяем g(A, B, C) как означающее, что какие бы три объекта включения a, b, c ни были выбраны, такие что a является членом A, b — членом B, а c — членом C, всегда возможно найти три других члена A, B, C, а именно x — член A, y — член B и z — член C, такие что aEx, bEy, cEz и g(x, y, z). Так что, спускаясь достаточно далеко в хвостовые части A, B, C, мы всегда можем обеспечить три объекта x, y, z, для которых g(x, y, z) истинно.

Например, пусть g(A, B, C) означает «A, B, C — три точки в линейном ряду». Это должно быть истолковано как означающее, что какие бы три объекта a, b, c мы ни выбрали, члены A, B, C соответственно, мы всегда можем найти три объекта x, y, z, также члены A, B, C соответственно, и такие что a включает x, b включает y, c включает z, а также такие что x, y, z находятся в линейном ряду.

Иногда необходима двойная сходимость, а именно, сходимость условий, а также сходимость объектов. Например, рассмотрим утверждение: «точки A и B находятся на расстоянии двух футов друг от друга». Теперь точное утверждение «на расстоянии двух футов» не применяется к объектам. Для объектов x и y мы должны подставить утверждение: «расстояние между x и y лежит между пределами (2 ± e) футов». Здесь e — некоторое число, меньшее двух, которое мы выбрали для этого утверждения. Тогда точки A и B находятся на расстоянии двух футов друг от друга; если, однако, мы выберем число e, какие бы объекты включения a и b, члены A и B соответственно, мы ни рассматривали, мы всегда можем найти объекты включения x и y, члены A и B соответственно, такие что a включает x и b включает y, а также такие что расстояние между x и y лежит между пределами (2 ± e) футов. Очевидно, поскольку e может быть выбрано сколь угодно малым, что это утверждение точно выражает условие, что A и B находятся на расстоянии двух футов друг от друга.

Прямые линии и плоскости. — Но проблема интеллектуальной конструкции прямых линий и плоскостей еще недостаточно проанализирована. Мы интерпретировали значение утверждения, что три или более точек коллинеарны, и можем аналогично увидеть, как интерпретировать значение утверждения, что четыре или более точек компланарны, в любом случае выводя точные геометрические утверждения из более смутных утверждений относительно протяженных объектов.

Эта процедура рассматривает только группы конечных чисел точек. Но прямые линии и плоскости мыслятся как содержащие бесконечные числа точек. Это завершение линий и плоскостей получается обновленным применением принципа агрегации, точно так же, как набор первых грубых мыслительных объектов восприятия агрегируется в один полный мыслительный объект восприятия. Таким образом, повторяющиеся суждения о коллинеарности наборов точек в конечном счете, когда выполняются определенные условия переплетения, агрегируются в едином суждении обо всех точках групп как формирующих одно целое коллинеарное объединение. Аналогично для суждений о компланарности. Этот процесс логической агрегации может быть продемонстрирован в его точном логическом анализе. Но здесь нет необходимости переходить к таким деталям. Таким образом, мы мыслим наши точки как отсортированные в плоскости и прямые линии, относительно которых имеют место различные аксиомы геометрии. Эти аксиомы, поскольку они существенно требуют концепции точек, способны быть продемонстрированы как результат более смутных, менее точных суждений относительно отношений протяженных объектов.

Пустое пространство. — Следует заметить, что точки, до сих пор определенные, обязательно включают мыслительные объекты восприятия и лежат внутри пространственной протяженности, занятой такими объектами. Это правда, что такие объекты в значительной степени гипотетичны и что мы можем внести в наши гипотезы достаточно объектов, чтобы завершить наши линии и плоскости. Но каждая такая гипотеза ослабляет связь между нашей научной концепцией природы и актуальными наблюдаемыми фактами, которые вовлечены в актуальные чувственные представления.

Бритва Оккама, Entia non multiplicanda præter necessitatem, не является произвольным правилом, основанным на простой логической элегантности. Также ее применение не ограничивается чисто метафизическими спекуляциями. Я не знаю точной причины ее метафизической обоснованности, но ее научная обоснованность очевидна, а именно: каждое использование гипотетических сущностей уменьшает претензию научного рассуждения на то, чтобы быть необходимым результатом гармонии между мышлением и чувственным представлением. По мере увеличения гипотезы необходимость уменьшается.

Мышление здравого смысла также поддерживает этот отказ мыслить все пространство как существенно зависящее от гипотетических объектов, которые его заполняют. Мы думаем о материальных объектах как заполняющих пространство, но мы спрашиваем, существуют ли какие-либо объекты между Землей и Солнцем, между звездами или за пределами звезд. Для нас пространство есть; единственный вопрос в том, полно оно или нет. Но эта форма вопроса предполагает значение пустого пространства, а именно пространства, не содержащего гипотетических объектов.

Это приводит к более широкому использованию концепции точек, требующему более широкого определения. До сих пор мы мыслили точки как указывающие на отношения включения между объектами. Мы таким образом приходим к тому, что теперь мы назовем «материальными точками». Но идея точек теперь может быть преобразована так, чтобы указывать на возможности внешних отношений, не являющихся отношениями включения. Это осуществляется расширением концепции идеальных точек, уже известных геометрам.

Определим «материальные линии» как полные коллинеарные классы коллинеарных точек. Рассмотрим теперь набор материальных линий, которые содержат определенную материальную точку. Назовем такой набор линий идеальной точкой. Этот набор линий указывает на возможность позиции, которая на самом деле занята той материальной точкой, общей для всех материальных линий. Так что эта идеальная точка — это занятая идеальная точка. Теперь рассмотрим набор из трех материальных линий, таких что любые две компланарны, но не все три, и далее рассмотрим полный набор материальных линий, таких что каждая компланарна с каждой из трех материальных линий, выбранных первыми. Аксиомы, которые имеют место для материальных линий, позволят нам доказать, что любые две линии этого набора компланарны. Тогда весь набор линий, включая три исходные линии, формирует идеальную точку, согласно определению в его полной общности. Такая идеальная точка может быть занята. В этом случае существует материальная точка, общая для всех линий набора, но она может быть незанятой. Тогда идеальная точка просто указывает на возможность пространственных отношений, которая не была реализована. Это точка пустого пространства. Таким образом, идеальные точки, которые могут быть или не быть заняты, — это точки геометрии, рассматриваемой как прикладная наука. Эти точки распределены в прямые линии и плоскости. Но любое дальнейшее обсуждение этого вопроса приведет нас в техническую область аксиом геометрии и их непосредственных следствий. Достаточно было сказано, чтобы показать, как геометрия возникает согласно реляционной теории пространства.

Пространство, понятое таким образом, является мыслительным пространством материального мира.

IV. Силовые поля

Мыслительные объекты науки мыслятся как непосредственно связанные с этим мыслительным пространством. Их пространственные отношения входят в число тех, что указываются точками мыслительного пространства. Их появление в науке было лишь дальнейшим развитием процессов, уже присущих обыденному мышлению.

Отношения внутри полного чувственного представления репрезентировались в мышлении концепцией мыслительных объектов восприятия. Не все чувственное представление могло быть репрезентировано таким образом; кроме того, изменение и исчезновение мыслительных объектов вызывали путаницу в мышлении. Упорядочение этой путаницы было предпринято с помощью концепций постоянной материи с первичными и вторичными качествами. В конечном счете это привело к тому, что вторичные качества стали рассматриваться как восприятие событий, порождаемых объектами, но — в том виде, в каком они воспринимаются — полностью с ними не связанных. Также мыслительные объекты восприятия были заменены молекулами, электронами и эфирными волнами, пока, наконец, воспринимается уже никогда не мыслительный объект науки, а сложные ряды событий, в которые они вовлечены. Если наука права, никто никогда не воспринимал вещь, а только событие. Результат заключается в том, что старый язык философии, который все еще сохраняется во многих кругах, теперь совершенно сбивает с толку, когда его связывают с современными концепциями науки. Философия — то есть старая философия — мыслит вещь как непосредственно воспринимаемую. Согласно научному мышлению, предельная вещь никогда не воспринимается, так как восприятие по существу исходит из ряда событий. Примирить эти две точки зрения невозможно.

Преимущество современной научной концепции состоит в том, что она способна «объяснить» текучие, расплывчатые очертания чувственного представления. Мыслительный объект восприятия теперь мыслится как довольно стабильное состояние движения огромной группы молекул, постоянно меняющееся, но сохраняющее определенную идентичность характеристик. Также объяснимы теперь и случайные чувственные объекты, не данные непосредственно как часть мыслительного объекта восприятия: танцующее отражение света, смутно слышимый звук, запах. Фактически, воспринимаемые события научного мира имеют то же общее определение и отсутствие определения, ту же общую стабильность и отсутствие стабильности, что и чувственные объекты полного чувственного представления или мыслительные объекты восприятия.

Мыслительные объекты науки, а именно молекулы, атомы и электроны, приобрели постоянство. События сводятся к изменениям в конфигурации пространства. Законы, определяющие эти изменения, являются предельными законами природы.

Законы изменения в физической вселенной исходят из предположения, что предшествующие состояния вселенной определяют характер изменения. Таким образом, знание конфигураций и событий вселенной вплоть до любого момента включительно содержало бы достаточные данные, из которых можно определить последовательность событий во всем времени.

Но при прослеживании предшествующих событий обыденное мышление, имеющее дело с миром мыслительных объектов восприятия, привычно предполагает, что большим числом предшествующих событий можно пренебречь как нерелевантными. Рассмотрение причин ограничивается несколькими событиями в течение короткого предшествующего интервала. Наконец, в научном мышлении было принято предположение, что достаточно событий в произвольно малом предшествующем промежутке времени. Таким образом, физические величины и их последовательные дифференциальные коэффициенты любого порядка в данный момент, но с их предельными значениями непосредственно перед этим моментом, согласно этой теории, достаточны для определения состояния вселенной во все моменты времени после этого момента. Предполагаются и более частные законы. Но поиск их направляется этим общим принципом. Также предполагается, что большинство событий в физической вселенной не имеют отношения к порождению какого-либо конкретного эффекта, который, как предполагается, проистекает из относительно немногих предшествующих событий. Эти предположения выросли из опыта человечества. Первый урок жизни состоит в том, чтобы сосредоточить внимание на немногих факторах чувственных представлений и на еще меньшем числе факторов вселенной мыслительных объектов восприятия.

Принцип, которым — сознательно или бессознательно — руководствовалось мышление, состоит в том, что при поиске конкретных причин удаленность во времени и удаленность в пространстве являются свидетельствами сравнительной разобщенности влияния. Крайняя форма этого принципа — отрицание любого действия на расстоянии, будь то во времени или в пространстве. Трудность принятия этого принципа в его грубой форме заключается в том, что, поскольку не существует смежных точек, друг на друга могут воздействовать только совпадающие тела. Я не вижу ответа на эту трудность — а именно: либо тела имеют одно и то же местоположение и, таким образом, совпадают, либо они имеют разные местоположения и, следовательно, находятся на расстоянии и не воздействуют друг на друга.

Эта трудность не обходится гипотезой непрерывно распределенного эфира. По двум причинам: во-первых, непрерывность эфира не устраняет дилемму; и, во-вторых, трудность относится как к времени, так и к пространству, и дилемма доказала бы, что причинность, вызывающая изменение, невозможна, а именно: никакое измененное состояние не могло бы быть результатом предшествующих обстоятельств.

С другой стороны, прямое взаимодействие между двумя телами, разделенными в пространстве, несомненно, противоречит концепции расстояния как подразумевающего физическую разобщенность, а также пространственное отношение. В допущении действия на расстоянии нет логической трудности, как и в случае его отрицания, но оно противоречит устойчивым предположениям того аппарата обыденного мышления, который является главной задачей науки гармонизировать с чувственным представлением, используя лишь минимум модификаций.

Современная наука на самом деле не обеспокоена этим спором. Ее (непризнанные) концепции на самом деле совершенно иные, хотя словесные объяснения сохраняют форму предыдущей эпохи. Суть изменения в концепции заключается в том, что старый мыслительный объект науки мыслился как обладающий простотой, не присущей материальной вселенной в целом. Он был уединен в конечной области пространства, и изменения в его обстоятельствах могли возникать только из сил, которые не составляли существенной части его природы. Эфир был призван к существованию, чтобы объяснить активные отношения между этими пассивными мыслительными объектами. Вся концепция страдает от логических трудностей, отмеченных выше. Также невозможно сформировать ясное представление о том, в каком смысле эфир является объясняющим. Он должен обладать типом активности, в котором отказано исходному мыслительному объекту, а именно: он несет потенциальную энергию, тогда как атом обладал только кинетической энергией, а так называемая потенциальная энергия атома на самом деле принадлежит окружающему эфиру. Истина заключается в том, что эфир на самом деле исключен из аксиомы «никакого действия на расстоянии», и аксиома тем самым лишается всей своей силы.

Современный мыслительный объект науки — еще не признанный явно — обладает сложностью всей материальной вселенной. В физике, как и везде, безнадежная попытка вывести сложность из простоты была молчаливо оставлена. Целью является не простота, а постоянство и регулярность. В некотором смысле регулярность — это своего рода простота. Но это простота стабильных взаимных отношений, а не простота отсутствия типов внутренней структуры или типа отношения. Этот мыслительный объект заполняет все пространство. Это «поле»; то есть это определенное распределение скалярных и векторных величин во всем пространстве, причем эти величины имеют каждое свое значение для каждой точки пространства в каждый момент времени, будучи непрерывно распределенными во всем пространстве и во всем времени, возможно, с некоторыми исключительными разрывами. Различные типы величин, образующие поле, имеют фиксированные отношения друг к другу в каждой точке времени и пространства. Эти отношения являются предельными законами природы.

Например, рассмотрим электрон. Существует скалярное распределение электричества, которое обычно называют электроном. Это скалярное распределение имеет объемную плотность в момент времени t в любой точке (x, y, z). Таким образом, ρ является функцией (x, y, z, t), которая равна нулю везде, кроме ограниченной области. Более того, в любой момент времени t, в качестве существенного дополнения, существует непрерывное пространственное распределение в каждой точке двух векторов (X, Y, Z), что является электрической силой, и (α, β, γ), что является магнитной силой. Наконец, индивидуальность приписывается скалярному электрическому распределению, так что в дополнение к сохранению количества — вовлеченному в предполагаемые законы — также возможно назначить скорости, с которыми движутся различные индивидуальные части распределения. Пусть (u, v, w) будет этой скоростью в (x, y, z, t).

Вся эта схема скалярных и векторных величин, а именно ρ, (X, Y, Z), (α, β, γ), (u, v, w), взаимосвязана электромагнитными законами. Из этих законов следует, что электрон, в смысле скалярного распределения ρ, должен мыслиться как в каждый момент распространяющий от себя эманацию, которая движется наружу со скоростью света в вакууме и из которой (X, Y, Z) и (α, β, γ) могут быть вычислены, насколько они обусловлены этим электроном. Таким образом, поле в любой момент времени, обусловленное электроном в целом, зависит от предыдущей истории электрона, причем чем ближе к электрону, тем более недавней является релевантная история. Вся схема такого поля является одним единым мыслительным объектом науки: электрон и его эманации образуют одно существенное целое, а именно один мыслительный объект науки, существенно сложный и существенно заполняющий все пространство. Электрон как таковой, а именно скалярное распределение ρ, является фокусом целого, причем существенным фокусным свойством является то, что поле в любой момент полностью определяется предыдущей историей фокуса и его пространственных отношений на протяжении всего предыдущего времени. Но поле и фокус не являются независимыми концепциями, они существенно коррелируют в одном организованном единстве, а именно: они являются существенно коррелирующими членами в поле одного отношения, в силу которого сущности входят в наши мысли.

Поля группы электронов накладываются друг на друга согласно линейному закону агрегации, а именно: чистое сложение для аналогичных скалярных величин и закон параллелограмма для аналогичных векторов. Изменения в движении каждого электрона полностью зависят от результирующего поля в области, которую он занимает. Таким образом, поле можно рассматривать как возможность действия, но возможность, которая представляет собой действительность.

Следует отметить, что здесь включены обе альтернативные точки зрения на причинность. Полное поле внутри любой области пространства зависит от прошлых историй всех электронов, историй, простирающихся назад пропорционально их расстояниям. Также эту зависимость можно мыслить как передачу. Но рассматривая причину, которая вызывает изменения в электроне внутри этой области, это исключительно то поле внутри области, которое совпадает с этим электроном как во времени, так и в пространстве.

Этот процесс осмысления действительности, лежащей в основе возможности, является единообразным процессом, посредством которого в научное мышление вводится регулярность и постоянство, а именно: мы переходим от действительности факта к действительности возможности.

В соответствии с этим принципом пропозиции являются продуктом актуальных мыслительных выражений, мыслительные объекты восприятия — грубых чувственных объектов, гипотетические мыслительные объекты восприятия — актуальных мыслительных объектов восприятия, материальные точки — гипотетических бесконечных рядов гипотетических мыслительных объектов восприятия, идеальные точки — материальных точек, мыслительные объекты науки — мыслительных объектов восприятия, поля электронов — актуальных взаимных реакций актуальных электронов.

Процесс представляет собой поиск постоянства, единообразия и простоты логического отношения. Но он не приводит к простоте внутренней структуры. Каждый предельный мыслительный объект науки сохраняет каждое качество, приписываемое всей научной вселенной, но сохраняет их в форме, характеризующейся постоянством и единообразием.

V. Заключение

Мы начали с исключения суждений о ценности и онтологических суждений. Мы завершаем, вспоминая о них. Суждения о ценности не являются частью ткани физической науки, но они являются частью мотива ее создания. Человечество воздвигло здание науки, потому что сочло это стоящим. Другими словами, мотивы включают бесчисленные суждения о ценности. Опять же, происходил сознательный отбор частей научной области для культивирования, и этот сознательный отбор включает суждения о ценности. Эти ценности могут быть эстетическими, или моральными, или утилитарными, а именно: суждения о красоте структуры, или о долге исследования истины, или об утилитарности в удовлетворении физических потребностей. Но каков бы ни был мотив, без суждений о ценности науки не было бы.

Опять же, онтологические суждения не были исключены по причине отсутствия интереса. Они фактически подразумеваются в каждом акте жизни: в наших привязанностях, в нашем самоограничении и в наших конструктивных усилиях. Они подразумеваются в моральных суждениях. Трудность с ними заключается в отсутствии согласия относительно метода гармонизации грубых суждений обыденного здравого смысла.

Наука не уменьшает потребность в метафизике. Там, где эта потребность наиболее настоятельна, это связано с тем, что выше было названо «действительностью, лежащей в основе возможности». Несколько слов объяснения могут сделать аргумент яснее, хотя они и включают опрометчивый подход к метафизическим высотам, исследовать которые не является целью данной статьи.

Концепция субъекта и объекта в небрежном обсуждении охватывает два различных отношения. Существует отношение всего воспринимающего сознания к части своего собственного содержания, например, отношение воспринимающего сознания к объекту красноты, явленному ему. Существует также отношение воспринимающего сознания к сущности, которая не существует в силу того, что является частью содержания этого сознания. Такое отношение, насколько оно известно воспринимающему сознанию, должно быть выведенным отношением, причем вывод делается из анализа содержания воспринимающего сознания.

Основания для таких выводов должны быть элементами в сознании, непосредственно известными как превосходящие их непосредственную презентацию в сознании. Такими элементами являются универсальные логические истины, моральные и эстетические истины, а также истины, воплощенные в гипотетических пропозициях. Это непосредственные объекты восприятия, которые являются чем-то иным, нежели простые аффекты воспринимающего субъекта. Они обладают свойством быть частями непосредственных презентаций для индивидуальных субъектов и в то же время чем-то большим, чем такие части. Все остальное существование — это выведенное существование.

В этой главе мы более непосредственно заняты истинами, воплощенными в гипотетических пропозициях. Такие истины не следует путать с какой-либо сомнительностью, которая приписывается нашим суждениям о будущем ходе природных явлений. Гипотетическая пропозиция, подобно категорическому суждению, может быть сомнительной или нет. Также, подобно категорическому суждению, она выражает факт. Этот факт двоякий: как презентация в сознании, это просто данное гипотетическое суждение; как выражение категорического факта, оно утверждает отношение, которое лежит за пределами сознания, существующее между сущностями, выведенными таким образом.

Но этот метафизический анализ, каким бы кратким он ни был, вероятно, неверен и в лучшем случае вызовет лишь частичное согласие. Конечно; и это признание подчеркивает именно тот момент, который я хотел высказать. Физическая наука основана на элементах мышления, таких как суждения, регистрирующие актуальные восприятия, и суждения, регистрирующие гипотетические восприятия, которые при определенных обстоятельствах были бы реализованы. Эти элементы образуют согласованное содержание аппарата обыденного мышления. Они требуют метафизического анализа; но они являются одними из данных, с которых начинается метафизика. Метафизика, которая отвергает их, потерпела неудачу, точно так же, как физическая наука потерпела неудачу, когда она неспособна гармонизировать их в своей теории.

Наука лишь делает метафизическую потребность более настоятельной. Сама по себе она мало способствует решению метафизической проблемы напрямую. Но она кое-что вносит, а именно: изложение того факта, что наш опыт чувственных явленных вещей способен быть проанализирован в научную теорию, теорию, конечно, не полную, но дающую всякое обещание бесконечного расширения. Это достижение подчеркивает интимную связь между нашим логическим мышлением и фактами чувственного восприятия. Также особая форма научной теории неизбежно окажет некоторое влияние. В прошлом ложная наука была родителем плохой метафизики. В конце концов, наука воплощает строгое изучение одной части всего свидетельства, из которого метафизики выводят свои заключения.

СНОСКИ:

[3] Ср. Révue de Métaphysique et de Morale, май 1916 г., где этот вопрос рассматривается автором в конце статьи «La théorie relationniste de l'espace».

ГЛАВА VIII ПРОСТРАНСТВО, ВРЕМЯ И ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ

(Статья, прочитанная в Секции А на Манчестерском собрании Британской ассоциации в 1915 году, а позднее перед Аристотелевским обществом)

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ проблемы, касающиеся пространства и времени, рассматривались с позиций, созданных многими различными науками. Цель этой статьи — скромная задача: привести некоторые из этих позиций в отношение друг к другу. Это требует очень беглого рассмотрения каждой точки зрения.

Математические физики разработали свою теорию относительности, чтобы объяснить отрицательные результаты эксперимента Морли-Майкельсона и эксперимента Траутона. Экспериментальные психологи рассмотрели эволюцию пространственных идей из грубых чувственных данных опыта. Метафизики рассматривали величественную единообразность пространства и времени, без начала и без конца, без границ и без исключений в истинах, касающихся их; все эти качества тем более приковывают наше внимание из-за запутанной случайной природы эмпирической вселенной, которая ими обусловлена. Математики изучали аксиомы геометрии и теперь могут вывести все, что считается универсально истинным о пространстве и времени, с помощью строжайшей логики из ограниченного числа предположений.

Эти различные направления мысли развивались с удивительно слабой взаимосвязью. Возможно, так и лучше. Результаты науки никогда не бывают вполне истинными. Благодаря здоровой независимости мышления, возможно, мы иногда избегаем добавления чужих ошибок к своим собственным. Но нет сомнения, что нормальный метод взаимного обогащения мысли заключается в рассмотрении тех же или смежных с нашими проблем в той форме, которую они принимают в других науках.

Здесь я не предлагаю входить в систематическое изучение этих различных глав науки. У меня нет ни знаний, ни времени.

Во-первых, давайте возьмем предельное основание любой теории относительности. Все пространственное измерение идет от материи в пространстве к материи в пространстве. Геометрические сущности пустого пространства никогда не появляются. Единственные геометрические свойства, о которых мы имеем прямое знание, — это свойства тех сдвигающихся, изменчивых явлений, которые мы называем вещами в пространстве. Именно солнце далеко, и мяч круглый, и фонарные столбы находятся в линейном порядке. Откуда бы человечество ни взяло свою идею бесконечного неизменного пространства, можно с уверенностью сказать, что это не непосредственный результат прямого наблюдения.

Существует два антагонистических философских способа признания этого вывода.

Один из них — утверждать, что пространство и время являются условиями для чувственного опыта, что без проекции в пространство и время чувственный опыт не существовал бы. Таким образом, хотя может быть верно сказать, что наше знание пространства и времени дано в опыте, неверно говорить, что оно выведено из опыта в том же смысле, в каком из него выведен Закон всемирного тяготения. Оно не выведено, потому что в акте переживания мы неизбежно осознаем пространство как бесконечное данное целое, а время — как бесконечную единообразную последовательность. Эта философская позиция выражается словами, что пространство и время являются априорными формами чувственности.

Противоположный философский метод решения этого вопроса состоит в утверждении, что наши концепции времени и пространства являются дедукциями из опыта, точно так же, как Закон всемирного тяготения является такой дедукцией. Если мы сформируем точные концепции точек, линий и поверхностей, а также последовательных моментов времени и предположим, что они связаны так, как выражено аксиомами геометрии и аксиомами времени, то мы обнаружим, что создали концепцию, которая со всей точностью, на которую способны наши наблюдения, выражает факты опыта.

Эти две философские позиции каждая призвана объяснить определенную трудность. Априорная теория объясняет абсолютную универсальность, приписываемую законам пространства и времени, универсальность, не приписываемую никакой дедукции из опыта. Эмпирическая теория объясняет выведение пространственно-временных концепций без введения каких-либо иных факторов, кроме тех, которые, как признано, присутствуют при формировании других концепций физической науки.

Но мы еще не закончили с различиями, которые в любом обсуждении пространства или времени должны обязательно приниматься во внимание. Отложим в сторону вышеуказанный вопрос о том, как эти пространственно-временные концепции связаны с опытом — что они собой представляют, когда они сформированы?

Мы можем мыслить точки пространства как самосущие сущности, которые имеют неопределимое отношение занятия их предельной материей (материей, я буду ее называть), которая там находится. Таким образом, сказать, что солнце находится там (где бы оно ни было), — значит подтвердить отношение занятия между набором положительных и отрицательных электронов, которые мы называем солнцем, и определенным набором точек, причем точки имеют существование, существенно независимое от солнца. Это абсолютная теория пространства. Абсолютная теория сейчас не популярна, но на ее стороне очень авторитетные лица — Ньютон, например, — так что относитесь к ней бережно.

Другая теория связана с Лейбницем. Наши пространственные концепции — это концепции отношений между вещами в пространстве. Таким образом, не существует такой сущности, как самосущая точка. Точка — это просто название для некоторой особенности отношений между материей, которая, на обычном языке, называется находящейся в пространстве.

Из относительной теории следует, что точка должна быть определима в терминах отношений между материальными вещами. Насколько мне известно, этот результат теории ускользнул от внимания математиков, которые неизменно принимали точку как предельное исходное основание своих рассуждений. Много лет назад я объяснил некоторые типы способов, которыми мы могли бы достичь такого определения, а совсем недавно добавил некоторые другие. Подобные объяснения применимы и ко времени. Прежде чем теории пространства и времени будут доведены до удовлетворительного завершения на реляционной основе, потребуется провести долгое и тщательное изучение определений точек пространства и моментов времени, и многие способы осуществления этих определений должны быть опробованы и сравнены. Это ненаписанная глава математики, находящаяся примерно в том же состоянии, что и теория параллелей в восемнадцатом веке.

В этой связи я хотел бы обратить внимание на аналогию между временем и пространством. Анализируя наш опыт, мы различаем события, а также различаем вещи, чьи меняющиеся отношения образуют события. Если бы у меня было время, было бы интересно рассмотреть более внимательно эти концепции событий и вещей. Сейчас достаточно указать, что вещи имеют определенные отношения друг к другу, которые мы рассматриваем как отношения между пространственными протяженностями вещей; например, одно пространство может содержать другое, или исключать его, или перекрывать его. Точка в пространстве — это не что иное, как определенный набор отношений между пространственными протяженностями.

Аналогично, существуют определенные отношения между событиями, которые мы выражаем, говоря, что они являются отношениями между временными длительностями этих событий, то есть между временными протяженностями событий. [Длительности двух событий A и B могут: одно предшествовать другому, или частично перекрываться, или одно может содержать другое, что дает в сумме шесть возможностей.] Свойства протяженности события во времени во многом аналогичны протяженности объекта в пространстве. Пространственные протяженности выражаются отношениями между объектами, временные протяженности — отношениями между событиями.

Точка во времени — это набор отношений между временными протяженностями. Нужно совсем немного размышлений, чтобы убедиться, что точка во времени не является непосредственным результатом опыта. Мы живем в длительностях, а не в точках. Но какая общность, помимо простого названия, существует между протяженностью во времени и протяженностью в пространстве? В свете интимной связи между временем и пространством, выявленной современной теорией относительности, этот вопрос приобрел новое значение.

Я не продумал ответ на этот вопрос. Я предполагаю, однако, что время и пространство воплощают те отношения между объектами, от которых зависит наше суждение об их внешности по отношению к нам самим. А именно: местоположение в пространстве и местоположение во времени оба воплощают и, возможно, делают необходимым суждение о внешности. Это предположение очень расплывчато, и я должен оставить его в этой грубой форме.

Различные евклидовы системы измерения

Переходя теперь к математическим исследованиям аксиом геометрии, результат, который наиболее важно помнить, — это большое разделение, которое она обнаруживает между неметрической проективной геометрией и метрической геометрией. Неметрическая проективная геометрия является гораздо более фундаментальной. Начиная с концепций точек, прямых линий и плоскостей (из которых не все три нужно принимать как неопределимые) и с некоторых очень простых неметрических свойств этих сущностей — таких, например, как то, что две точки однозначно определяют прямую линию, — можно построить почти всю геометрию. Можно ввести даже количественные координаты, чтобы облегчить рассуждения. Но упоминание о расстоянии, площади или объеме вводить не нужно. Точки будут иметь порядок на линии, но порядок не подразумевает никакого установленного расстояния.

Когда мы теперь спрашиваем, какие измерения расстояния возможны, мы обнаруживаем, что существуют различные системы измерения, все одинаково возможные. Существует три основных типа системы: любая система одного типа дает евклидову геометрию, любая система другого типа дает гиперболическую (или лобачевскую) геометрию, любая система третьего типа дает эллиптическую геометрию. Также разные существа, или одно и то же существо, если он пожелает, могут считать в разных системах одного типа или в системах разных типов. Рассмотрим пример, который заинтересует нас позже. Два существа, A и B, договариваются использовать одни и те же три пересекающиеся линии в качестве осей x, y, z. Оба они используют систему измерения евклидова типа и (что не обязательно так) соглашаются относительно плоскости на бесконечности. То есть они соглашаются относительно линий, которые параллельны. Тогда при обычном методе прямоугольных декартовых осей они соглашаются, что координаты P — это длины ON, NM, MP. Пока все в гармонии. A фиксирует отрезок OU1 на Ox как единичную длину, а B — отрезок OV1 на Ox. A называет свои координаты (x, y, z), а B называет их (X, Y, Z).

Тогда обнаруживается [поскольку обе системы евклидовы], что, какую бы точку P ни взять, они приступают к урегулированию своих различий и сначала берут x-координаты. Очевидно, они взяли разные единицы длины вдоль Ox. Длину OU1, которую A называет одной единицей, B называет единицами. B меняет свою единицу длины на OU1, от ее первоначальной длины OV1, и получает X = x. Но теперь, поскольку он должен использовать одну и ту же единицу для всех своих измерений, его другие координаты изменяются в том же отношении. Таким образом, теперь мы имеем фундаментальное расхождение, которое теперь очевидно. A и B согласны относительно своих единиц вдоль Ox. Они договорились об этом, взяв вдоль этой оси данный отрезок OU1 как имеющий единичную длину. Но они не могут договориться о том, какой отрезок вдоль Oy равен OU1. A говорит, что это OU2, а B — что это OU2'. Аналогично для длин вдоль OZ.

Результат заключается в том, что сферы A — это эллипсоиды B, таким образом, измерение углов ими безнадежно расходится.

Если, существует один и только один набор общих прямоугольных осей в O, а именно тот, с которого они начали. Если, но, тогда существует однократно бесконечное число общих прямоугольных осей, найденных путем вращения осей вокруг Ox. Это для нас интересный случай. Те же явления воспроизводятся при переносе на любые параллельные оси.

Корень трудности в том, что измерительный стержень A, который для него является жестким неизменным телом, кажется B меняющимся в длине при повороте в разных направлениях. Аналогично, все измерительные стержни, удовлетворительные для A, нарушают непосредственное суждение B о неизменности и меняются согласно тому же закону. Выхода из трудности нет. Два стержня и совпадают, когда их накладывают друг на друга; удерживается неподвижно, и оба человека согласны, что он не меняется. Но поворачивается. A говорит, что он неизменен, B говорит, что он меняется. Чтобы проверить это, поворачивается, чтобы измерить его, и точно подходит к нему. Но пока A удовлетворен, B заявляет, что изменился точно так же, как и. Тем временем B приобрел два материальных стержня, удовлетворительных для него как неизменные, и A выдвигает точно такие же возражения.

Мы скажем, что A и B используют различные евклидовы метрические системы.

Самый необычный факт человеческой жизни заключается в том, что все существа, по-видимому, формируют свои суждения о пространственном количестве согласно одной и той же метрической системе.

Относительность в современной физике

Ввиду того факта, что точки пространства неспособны к непосредственному распознаванию, существует трудность — помимо любого абстрактного вопроса о природе пространства — в решении о движении, которое следует приписать любому телу. Даже если существует такая вещь, как абсолютное положение, на практике невозможно непосредственно решить, изменилось ли абсолютное положение тела. Все пространственное измерение относительно материи.

Законы движения Ньютона в их современном виде обходят эту трудность, утверждая, что каркас осей координат может быть определен их отношениями к материи таким образом, что, если предположить, что эти оси находятся в покое, и все скорости измеряются относительно них, законы выполняются. Тот же прием приходится использовать для времени, а именно: законы выполняются, когда измерение течения времени производится надлежащим отнесением к периодическим событиям. Таким образом, законы утверждают, что каркас и естественные часы, адаптированные для их использования, были успешно найдены.

Но если один каркас подойдет, бесконечное множество других послужит так же хорошо; а именно, не только — как, конечно, имеет место — все те, что находятся в покое относительно первого каркаса, но также все те, которые движутся без относительного вращения с равномерной скоростью относительно первого. Весь этот набор каркасов находится на одном уровне в отношении законов Ньютона. Мы будем называть их динамическими каркасами.

Теперь предположим, что есть два наблюдателя, A и B. Они согласны в своей неметрической проективной геометрии, например, то, что A называет прямой линией, так же называет и B. Они также оба применяют евклидову метрическую систему измерения к этому пространству. Их две метрические системы также согласуются в наличии одной и той же плоскости на бесконечности, то есть линии, которые параллельны для A, также параллельны для B. Более того, они оба успешно применили законы Ньютона к движению материи и согласны в наличии одних и тех же наборов динамических осей. Но каркас (среди этих наборов), который A решает рассматривать как находящийся в покое, отличается от каркаса (среди тех же наборов), который B рассматривает таким образом.

Без изменения своего соответствующего суждения о покое они выбирают свои координатные оси так, чтобы начала (O для A и O' для B) находились в относительном движении вдоль OO', которая является осью x для обоих.

Далее, поскольку OO' является линией симметрии их различных евклидовых систем, мы предполагаем, что две системы измерения согласуются для плоскостей, перпендикулярных OO', т.е. мы предполагаем симметрию вокруг OO'. Тогда если для A в O расстояние OO' равно ξ, отношения в любой момент времени между координатами A (x, y, z) и координатами B (x', y', z') для той же точки P даются

Также, согласно часам A, O' движется вперед с равномерной скоростью v, и мы измеряем время A с момента совпадения O и O'.

Таким образом и

Теперь мы рассматриваем часы B и спрашиваем о самом общем предположении, которое согласуется с тем фактом, что их суждения относительно факта равномерного движения совпадают.

Мы не предполагаем, что события в различных частях пространства, которые A считает одновременными, так же считаются B. Но мы предполагаем, что в любой точке P с координатами (x, y, z) для A существует определенное отношение между временем T B и x, y, z, t.

Положим

Запишем

Теперь предположим, что точка P движется и что (u1, u2, u3) — это ее набор компонент скоростей вдоль осей согласно системе «пространства и часов» A, а (U1, U2, U3) — это ее набор компонент скоростей согласно системе «пространства и часов» B. Тогда путем простого дифференцирования следует после короткой математической дедукции, что

Но мы предположили, что, каково бы ни было направление результирующей скорости (u1, u2, u3), скорости (U1, U2, U3) и (u1, u2, u3) обе равномерны, когда любая из них равномерна.

Следовательно, легко доказывается, что P, Q, R, S не зависят от координат (x, y, z) и от времени t. Другими словами, они постоянны.

Следовательно, мы получаем

Но мы предположили, что OO', т.е. Ox, является осью симметрии. Из этого предположения следует, что

Таким образом, мы получаем упрощенные результаты

Здесь мы помним, что (u1, u2, u3) — это скорости любой частицы согласно системе «пространства и часов» наблюдателя А, а (U1, U2, U3) — скорости той же точки согласно системе «пространства и часов» наблюдателя B. Мы получили наиболее общие соотношения, согласующиеся с фактами, что (1) они оба используют евклидовы системы, связанные описанным выше образом, и (2) они согласуются в своих суждениях о равномерности скорости.

Теперь сравним их суждения о величинах скоростей.

Пусть величина скорости P равна V согласно суждению А, и V′ согласно суждению B.

Тогда

Также мы можем положить

где (l, m, n) не имеют отношения к величине V, а зависят просто от направления движения. Фактически (l, m, n) являются «направляющими косинусами» скорости согласно суждению А. Подставляя это в приведенное выше уравнение для V2, мы видим, что

Теперь, подставляя (u1, u2, u3) в уравнения (I) выше, возводя в квадрат, складывая и исключая m2 + n2 с помощью только что найденного соотношения, мы сразу находим

Таким образом видно, что в общем случае соотношение V' к V зависит от направляющего косинуса l. Теперь l — это косинус угла, который направление скорости V образует с OO′, согласно суждению А.

Смысл этого соотношения заключается в том, что если А стреляет из орудий в точке P снарядами с заданной начальной скоростью V согласно своему суждению, B будет считать, что их начальные скорости отличаются друг от друга, за исключением случая пар орудий, одинаково наклоненных к оси OO′. Примеры такого расхождения в суждениях можно наблюдать каждый день, если кто-то посмотрит в окно вагона поезда и забудет, что он едет.

Теперь предположим, что скорость V′ находится в отношении к скорости V, которое не зависит от l. Тогда l должно исчезнуть из приведенной выше формулы. Должны быть выполнены два условия

Одно условие — это

или в более удобной форме

Смысл этого условия заключается в том, что существует одна, и только одна, начальная скорость V (согласно суждению А), а именно начальная скорость, заданная приведенной выше формулой, которая может обладать свойством, при котором B будет судить, что все орудия стреляют в своих различных направлениях с одной общей начальной скоростью.

Теперь предположим, что V имеет это особое значение: то есть, если мы рассматриваем это значение V как известное, мы должны предположить, что задается второй из приведенных выше формул.

Другое условие позволяет привести P и S к формам

Таким образом, мы имеем набор формул

Значение, которое мы придаем, является чисто вопросом согласования единиц измерения. Если мы хотим, чтобы А и B были согласны в своих суждениях о величине этой особой начальной скорости, мы полагаем.

Тогда мы получаем обычно принимаемые формулы, а именно

Но если мы предпочитаем, чтобы А и B вели расчет (согласно суждению А) в одних и тех же единицах времени, мы полагаем и получаем

Но А и B в любом случае находятся в таких безнадежных затруднениях при сравнении своих суждений о времени, что детали использования одних и тех же единиц им не сильно помогают. Соответственно, используются формулы, отмеченные (II). Таким образом, А и B согласны в своих суждениях относительно величины одной особой скорости V, независимо от того, в каком направлении движется обладающий ею объект.

Чтобы достичь этой меры согласия, они должны разойтись в своих суждениях о пространстве и времени. Коренная причина их разногласий — это различие в суждениях о том, какая система осей должна считаться покоящейся для целей измерения скоростей.

Прежде чем обсуждать природу разногласий, выявленных в формуле (II), давайте спросим, почему мы должны навлекать на себя эти трудности, предполагая, что два человека в относительном движении, которые оба (для целей измерения скоростей) полагают, что они находятся в покое, должны соглашаться в своих суждениях относительно этой особой скорости V.

Такое согласие не имеет аналогов ни в одном из наших очевидных суждений, сделанных из вагонов поездов. Конечно, мы можем подождать, пока возникнет непредвиденное обстоятельство, прежде чем обсуждать путаницу, которую оно создает.

Но непредвиденное обстоятельство возникло. Оно возникает, когда мы рассматриваем скорость света. Возможно, я осмелюсь напомнить философскому обществу, что свет движется так быстро, что трудно вообще рассматривать его скорость. Поэтому нас не должно удивлять, что этот особый факт, касающийся его скорости, не является более очевидным.

Теперь, если V — скорость света, то, если v не велико, v/V (и тем более v2/V2) будет совершенно незначительным. Единственная доступная скорость, достаточно большая, чтобы дать v/V заметное значение, — это скорость Земли на ее орбите.

Было проведено много различных экспериментов, и все они сходятся в выводе, что человек, который предполагает, что Земля находится в покое, обнаружит путем измерений, что скорость света одинакова во всех направлениях. Более того, когда тот же человек обращает свое внимание на межзвездные или межпланетные явления и предполагает, что Солнце находится в покое, он снова обнаружит, что скорость света одинакова во всех направлениях. Это хорошо подтвержденные эксперименты, проведенные с большими интервалами времени.

Это именно то непредвиденное обстоятельство, которое рассматривалось выше.

Опять же, скорость света в вакууме недавно приобрела новое значение. Раньше она была одной из других волновых скоростей, таких как скорость звука в воздухе или в воде, или скорость поверхностных волн в воде. Но Клерк Максвелл обнаружил, что все электромагнитные влияния распространяются со скоростью света, и теперь современная физическая наука наполовину подозревает, что электромагнитные влияния — это единственные физические влияния, которые связывают изменения в физическом мире. Соответственно, скорость света становится фундаментальной естественной скоростью, и эксперимент показывает, что наше суждение о ее величине не зависит от нашего выбора системы отсчета в состоянии покоя, пока мы придерживаемся набора динамических осей. Эти эксперименты со светом были подтверждены другими электромагнитными экспериментами, не связанными со светом.